Hint Matematiği

Transkript

Hint Matematiği

MATEMATİK
TARİHİ
3. Dönem
Hint, İslam ve Rönesans Matematik
Dönemi
Derleyen: Ersin Kuset Bodur
1

Hint Matematiği
HİNT YARIMADASINDAKİ MEDENİYETLER
2
HARAPPAN DÖNEMİ (MÖ 2600 – MÖ 1700)
MÖ 3000 yıllarında, İndus nehri civarında Harappan medeniyeti hüküm sürdü

Harappan medeniyeti ortaya çıkan ilk medeniyet olup, 500 yıllık bir süre Hint
yarımadasında hüküm sürdü ve sonradan kuzeyden gelen Aryan’lar tarafından yok
edildi.

Harappan medeniyeti döneminde iki önemli yerleşim yeri: Harappa ve Mohenjo-Daro
olarak biliniyor.

Harappanda da Mezopotamya ve Mısırdaki medeniyetler gibi gelişmiş bir medeniyet
hüküm sürdü .
Harappan yazısının çözülememiş olmasından, o döneme ait elimizde çok az bilgi var,
yine de arkeolojik kalıntılar Harappan döneminde dini kökene dayalı gelişmiş bir
kültürün varlığına işaret etmektedir.


Bu kalıntılarda bulunan, ağırlığı ve uzunluğu ölçmek için kullanılan standart aletler, bu
dönemde matematikten anlayan bir kültürün-olgunun varlığını işaret etmektedir.
Lothal’da bulunan ve Mohenjodaro çetveli olarak isimlendirilen cetvelde, 1.32 inç
aralıklarla “İndus inçi” diye isimlendirilen ölçü birimleri bulunmaktadır.
Yaklaşık olarak, MÖ 1800 yıllarında, Hint-Avrupa kökenli bir dil konuşan Aryanların
Orta Asya platolarından kuzey hint yarımadasındaki Pencap ve Ganj nehri
bölgelerine göç etmeye başlamaları Harappan medeniyetinin sonu olmuştur.
3
VEDA DÖNEMİ (MÖ 1500 – MÖ 400)

Aryan’larla ilgili bilgiyi Veda olarak bilinen yazılı eserlerde görüyoruz
Veda, sözcük anlamı bilgi demektir, bu eserler dini bilgileri ve kahinlerin gelecekle
ilgili tahminlerini anlatmakta idi.

Veda’lar dört şekilde ortaya çıkmıştır:

1.
2.
3.
4.
MÖ 1700 – MÖ 1000 yıllarında ortaya çıkmış olan ve Samhita diye bilinen dini ilahi
ve dualar
MÖ 1000 ile MÖ 600 yıllarında ortaya çıkan, ve yorumcuların, adak (kurban) ile ilgili
rehber olarak yorumladıkları Brahmana’lar.
MÖ 700 yılllarında ortaya çıkan Aranyaka’lar
MÖ 800 ile MÖ 500 yıllarında ortaya çıkan Upanishad’lar.
4
JAINA DÖNEMİ (MÖ 400 – MS 200)

MÖ 600 yıllarında Veda dini yerine Budizimden etkilenerek yeni bir din gelişir; Jaina
dini

Toprak sahipleri ve tüccarların da desteği ile Jainciler, mali olarak güçlendiler.

Büyük İskender sonrası otorite boşluğundan yararlanarak Mauryan İmparatorluğu’nun
doğmasına sebep olurlar.

Jaina döneminin matematik ile ilgili en önemli kaynağı Bakshali yazmaları’dır. Bu
yazmalarda, Jaina dönemindeki aritmetik ile ilgili birçok bilgi mevcuttur. Bu bilgiler:
karekök hesapları, basamak değeri olan ondalık sayı sistemi, ikinci derece
denklemlerin çözümü gibi önemli bilgilerdir.
5
KLASİK DÖNEM (400 - 1200)




Hint matematiğinin altın dönemi olan bu dönemde Aryabhata, Varahamihira,
Brahmagupta, Bhaskara I, Mahavira ve Bhaskara II gibi matematikçilerin eserlerini
görüyoruz.
Bu eserler ve eserlerdeki katkılar Asya’ya, Orta Doğu ve Avrupa’ya yayılır.
Bu dönemde astronomi önem kazanmış ve astronominin üç dalı : Matematik,
Astroloji ve Kehanet oluşmuştur
Bu dönem 18 tane siddhanta (tartışma ürünü) adlı eserin yazıldığı dönemdir. Bu
eserlerden yalnızca 5 tanesi günümüze ulaşabilmiştir.
KERALA DÖNEMİ (1300 – 1600)
Altın dönem 1200 yıllarında gerilemeye başlar ama Kerala civarlarında matematik
gelişmeye devam eder. 1400 – 1600 yılları arasında ise, matematiğin bu bölgede en
parlak dönemini yaşadığını görüyoruz.
6
HİNT MATEMATİKÇİLERİN BAZI ESERLERİ
Problem:
 İki karenin alanına eşit alanı
bulunan karenin elde edilmesi.
 ABCD ve PQRS herhangi iki kare
olsun.
 PQ üzerinde X noktası AB = PX
olacak şekilde seçilir.
 Böylece, kenarı SX olan karenin
alanı, ABCD ve PQRS karelerinin
alanlarının toplamına eşit olur.
2
PX 2 PS 2
 Pisagor bağıntısına göre SX
olduğu, ve böylece istenen karenin
elde edildiği açıktır.
7
Problem:


Bir dörtgenin köşegeni boyunca
uzanan bir ip, dik ve yatay
kenarların birlikte oluşturduğu
toplam alan kadar, alan oluşturur.
Pisagor bağıntısına göre, DB2 AB2 AD2
olduğu açıktır.
8
Problem:
Tam kare olmayan bir sayının kare kökünü bulmak için,
2
Q
A
b
b
2A
A
b
2A
2 A
2
b
2A
formülü kullanılıyordu.
41
41
62
5
6
5
12
5
12
2
5
2 6
12
6.403138528
6.403124237
9
487
Bakhshali formülü tarafından 22.068076490965 olarak hesaplanır.
Gerçek değer 22.068076490713’dir. 9 ondalık basamak doğru hesaplanmıştır.
889
Gerçek değer 29.8161030317511’dir. 5 ondalık basamak doğru hesaplandı.
339009
Doğru değer 582.2447938796876’dir. 11 ondalık basamak doğru
hesaplanmıştır.
10

İslam Matematiği
11
İslam Medeniyetlerine Kısa bir Bakış
Yedinci yüzyıl başlarında, İslam İmparatorluğu, doğuda Çin sınırından
Hindistana, kuzey Afrika’ya ve batıda ise Cebelitarık’tan Pirene dağlarına kadar
geniş bir coğrafyaya uzanıyordu.

İslam dünyasına bilimin Abbasiler zamanında geldiği görülür.

Abbasiler Şam‟ı başkent yapmayarak, 762 yılında Bağdat‟ı kurup, burayı
başkent yaptıklarından, Bağdat ticaret ve kültür merkezi olmuş. 9. yy da
800 000 nüfuslu bir kent olan Bağdat, o dönemdeki Bizans
İmparatorluğunun başkenti Constantinople (İstanbul)
dan bile büyük bir kent olmuş.

Dil olarak ise Arapça, İslam egemenliği topraklarında kullanılan bir dil
haline gelmiş.
12

Abbasi halifeleri Mansur, Harun Reşit ve El-Mamun, Bağdat’ta “Dar’ül Hikmet”
(Aklın Evi veya Bilgelik Evi) diye bilinen medreseyi kurmuşlar ve bu medresede
önemli çeviriler yapmışlardır.

İlk çevirileri, Yunan dil ve kültürüne yakın bölgelerde yapmışlar.

Çeviriler aynı zamanda Yunanca, Hintçe, Pehlevice ve İbranice dillerinden de olduğu
görülmektedir.

Bu çevirilerden büyük kütüphane oluşturmuşlardır.

Çeviriler dolayısıyle İslam matematiği: Yunan, Mezopotamya ve Hint matematiklerinin
toplamıdır diyebiliyoruz.

Sayı sistemleri, aritmetik, trigonometri ve cebir Mezopotamya ve Hint geleneklerine;
Geometri ise Yunan geleneğine dayanmaktadır.
.

750-1450 yılları arasında yaşamış olan 50 tane matematikçi-bilim adamının ismi ve
çalışmaları günümüze ulaşabilmiştir.
13
İslam Matematikçileri:
MUHAMMED ibni MUSA al-HARAZMİ (780-850)

Horasan’da doğup Bağdat da yaşamış matematik, astronomi
ve coğrafya bilginidir.

Harezmî nin çalışmaları cebirin temelini oluşturmuştur.

Hindistan’da sayıları ifade etmek için harfler ya da heceler
yerine basamaklı sayı sisteminin kullanıldığını saptamıştır.

Harezmî nin yazdığı “Algoritmi de numero Indorum” adlı
kitabının Latince’ye tercüme edilmesi ile, sembollerden
oluşan sayı sistemi ve sıfır 12. yüzyılda batı dünyasına
sunulmuştur.


Hesab-ül Cebir vel-Mukabele adlı kitabı, matematik tarihinde birinci ve ikinci
dereceden denklemlerin sistematik çözümlerinin yer aldığı ilk eserdir.
Bu yüzden Harezmî (Diophantus ile birlikte) “cebirin babası” olarak bilinir.
İngilizcede kullanılan “algebra”, Türkçede karşılığı olan “cebir” kelimesi, Harezmî’nin
kitabında ikinci dereceden denklemleri çözmek için kullandığı yöntemlerinden biri olan
“el-cebr” kelimesinden gelmektedir.
14

Algoritma (İngilizcede “algorithm”) sözcüğü de Harezmî’nin kitabının Latince karşılığı
olan “Algoritmi” kelimesinden türemiştir.

İspanyolca’daki basamak anlamına gelen “guarismo” kelimesi Harezmî’den
gelmektedir.

Horasan bölgesinde ilk eğitimini alan Harezmi, gençliğinde Bağdat’ta ileri bilimin
olduğunu fark eder. Ve çalışmak için Bağdat a gider.

Al-Harazmi’nin en ünlü kitabı “Al-Cebir ve Al-Mukabele” dır. Bu “indirgeme ve
denkleme” manasına gelen başlık, daha sonraları “Cebir” (veya Algebra) olarak
kısaltılmıştır.

Kitapta Al-Harazmi ikinci dereceden bir polinomu katsayılarının işaretine göre 6 sınıfa
ayırarak, sistematik olarak, her sınıf için, köklerin nasıl bulunacağını “algoritmik” bir
şekilde göstermiştir.
15

2
Polinomu x 10 x 4 şeklinde yazmış ve bu polinomun
köklerini bulmak için adım – adım ne yapılması gerektiğini
belirtmiştir

O tarihlerde negatif sayılar kullanılmıyor ve sayılar uzunluk
olarak düşünülüyordu.

Müslümanlar, 750-1450 yılları arasında Abu Waffa (940998) hariç, negatif sayıları hiç kullanmamışlardır.

Al-Harazmi’nin, verilen bir polinomun kökünü bulmak için,
izlemiş olduğu adım-adım yaklaşımına günümüzde
“algoritmik” yaklaşım denmektedir;
16

Diğer eseri “Hesap” kitabıdır.


Bu kitabın Arapçası değil de Latince çevirisi günümüze ulaşabilmiştir.
Hesap kitabında bugün kullanılan Hind-Arap rakamları olarak bilinen
(1,2,…,9, 0) rakamlarını tanıtmış; bu rakamlarla sayıların nasıl yazıldığını,
toplama, çarpma gibi işlemlerinin nasıl yapıldığını anlatmıştır.

Sıfır sayı olarak değil “ boşluk” dolduran sembol olarak kullanılmıştır.

Sayı olarak, sıfır ilk kez, 876 de Hindistan’da kullanılmıştır.

Negatif sayıların da yine Hindistan’da 620 lerde kullanıldığı bilinmektedir
ama yaygın olarak kullanılmaya başlanmaları 1600 ler den sonradır.
17
Bazı eserleri
18
ÖMER HAYYAM

Ömer Hayyam (1048-1131) yılları arasında yaşamıştır.

Nişabur da doğmuş, 1073 den sonra, İsfahan’da kurulan
rasathanede, Selçuk hükümdarı Melik Şahın “müneccim
başı” olarak çalışmaya başlamıştır.

Günümüze Ömer Hayyam Rubaileri, bir cebir kitabı ve
astronomiyle ilgili çalışmalarından da bazı bölümler
kalmıştır.

Cebir kitabında, üçüncü dereceden polinomların bir
sınıflandırmasını yaparak, konik kesitlerini kesiştirerek, bu
polinomların köklerini geometrik olarak bulmaya çalışmıştır.





Eski Mısır, Mezopotamya, Grek ve Hint medeniyetlerine ait eserlerin bulunduğu Bağdat
Saray Kütüphanesinin idaresinde görevlendirilir.
Bağdat Saray Kütüphanesindeki yabancı eserleri tercüme yapmak amacıyla kurulan bir
tercüme akademisi Beyt’ül Hikmet’de görevlendirilir.
Celali takvimini hazırlamıştır.
Celali takviminde, her 5000 yılda bir günlük hata oluşmaktadır.
Günümüz takvimi olan Gregorian takviminde ise her 3300 yılda 1 günlük bir hata
oluşmaktadır. Bu da takvimin Derleyen:
ne kadar
hassas
olduğunu ortaya koyar
19
Ersin
Kuset Bodur
Problem:

Ömer Hayyam’ın
x 3 qx r
denkleminin çözümünü geometrik
olarak bulması

Şekilde AB doğru parçasının uzunluğu
b olarak alınmıştır. AB’ye dik BC doğru
parçasının uzunluğu c olsun,
Tepe noktası B ve ekseni BF ve
parametresi b, olan parabol
oluşturulur.

Günümüz notasyonu ile Parabol’ün denklemi x2 = by olur.
Böylece BC çaplı yarı çemberin denklemi
Olur ve yarıçember, parabolü D noktasında keser. Bu noktanın x-koordinatı kübik
denklemin çözümlerinden birini oluşturur.
20
Şarafeddin al-Tusi (1135-1213)
x3
Doğum yeri İran‟ın Tus şehri.
Farklı yerlerde (Şam, Halep,
Musul ve Bağdat) matematik
okumuştur. Önemli bir cebir
kitabının yazarıdır. Şarafeddin AlTusi de, üçüncü dereceden
polinomların köklerini bulmak için
uğraşmıştır. Harazmi gibi, üçüncü
dereceden denklemleri 25 sınıfa
ayırarak, cebirsel yaklaşımla,
onların köklerini bulmaya
çalışmıştır. Bugünkü notasyonla,
x3 ax b
gibi bir denklemin belli bir aralıkta
çözümünün olabilmesi için, b nin
ax
b
in en yüksek ile en düşük
değerleri olması gerektiği anlayan
Ş. Al-Tusi, bu ifadenin en yüksek
değerinin bu ifadenin “türev” inin
sıfır olduğu yerde aranması
gerektiğini anlamıştır. Kimi
yazarlara göre bu türevin keşfidir.
Matematiğin en önemli
keşiflerinden olan türev, 1636 de
Fermat tarafından tekrar
keşfedilecek ve bu da, analitik
geometri ile beraber, kalkülüsün
(Calculus) doğmasına sebep
olmuştur.
21
Nasireddin Al-Tusi’dir (1201-1274)
O devirin İslam dünyasında en
büyük bilim adamlarındandır, Tus
ve Nişapur‟da okumuştur.
Mantık, Ahlak, Felsefe, Astronomi
ve Matematik kitapları yazmıştır.
Bir ziç olan Ziç-i-İlhani‟ yi
hazırlamıştır. Ziçler, astronomik
hesaplar için gerekli olan, sinüs
cetvelleridir.
N. Al-Tusi‟nin astronomi ile ilgili
çalışmaları, Batlamyüs‟den sonra
Copernicus‟un çalışmalarına
kadar, astronomi hakkında en
önemli çalışmalardan biri olarak
kabul edilir. Matematikle ilgili en
önemli çalışması, düzlem ve
küresel trigonometri ile ilgili
çalışmalarıdır. Bu eserden sonra
trigonometri, astronomi için bir
araç olmaktan çıkıp, matematiğin
bir ana dalı olmuştur. Bunun
dışında, Yunanca‟dan çeviri çok
sayıda matematik kitaplarına
izah ve yorumlar yazmış; bir
sayının n inci kökünü bulmak için
çalışmalar yapmıştır. Batılı
matematikçi ve astronomiçilerin,
eserlerinden en çok
yararlandıkları islam dünyası bilim
adamlarının başında N. Al-Tusi
gelir.
22
Cemşit Al-Kaşi‟ dır (1380-1429)
Kaşan (Iran) da doğmuştur.
Semarkand‟ ta Uluğ Bey
medresesinde ve rasathanesinde
çalışmıştır. Timurleng‟in torunu
olan Uluğ Bey (1393-1449) iyi bir
matematikçi, bilim aşığı bir
hükümdardı. O tarihlerde Uluğ
Bey‟ in medresesinde 60 civarında
zamanın en iyi bilim adamları
ders vermekte ve araştırma
yapmaktadır; bu medrese, pozitif
bilimlerin okutulduğu ve bilimsel
bir saygınlığı olan İslam
ülkelerindeki son medresedir. AlKaşi, Uluğ Bey‟le beraber, N. AlTusi‟nin ziçlerinden de
yararlanarak, Ziç-i-Hakani olarak
bilinen Uluğ Bey‟in ziçlerini
hazırlamıştır. Bu ziç‟te 1 den 90
dereceye kadar olan açıların
sinüsleri verilmiştir.
Her açının sinüsü, virgülden sonra
8. haneye kadar hesaplanmıştır.
Yazdığı ziçde, güneş, ay ve
gezegenlerin konumu ve
hareketleri hakkında bilgi
vermektedir. Al-Kaşi muhteşem
bir hesap yeteneği olan
matematikçidir. Yarı çapı 1 olan
bir daireyi 3x2^28=805. 306.
368 kenarlı bir poligonun içine
oturtarak, pi sayısının virgülden
sonra 16 hanesini ( 10 ve 60
tabanlı sayı sistemlerinde) doğru
olarak vermiştir. Bu rekor ancak
200 yıl sonra kırılabilecektir. AlKaşi, içeriğinin zenginliği,
ispatlarının açıklığı ile orta çağın
en iyi kitaplarından biri olarak
kabul edilen “Aritmetiğin
Anahtarı” başlıklı bir kitabın da
yazarıdır. Ondalık kesirlerle 4
işlemin nasıl yapılacağını
açıklayan matematikçidir.
23
Al-Kaşi‟nin ölümünden sonra Uluğ
Bey‟e ziçlerini tamamlamasına,
Al-Kaşi nin de öğrencisi olan, Ali
Kuşçu yardım etmiştir. 1449 da
Uluğ Bey‟in, bilimle uğraşıyor diye
öz oğlu ve akrabaları tarafından
öldürülmesinden sonra, Uluğ
Bey‟in medrese ve rasathanesi de
çökmüştür. Bu olay İslam
dünyasındaki son önemli pozitif
bilim merkezinin yıkılması olarak
yansımıştır.
1450 den 1940 yıllarına
kadar İslam dünyasında
orijinal bir çalışma yapmış
bir matematikçinin - bilim
adamının ismini
göremiyoruz.
24
Müslümanların matematiğe katkıları
Bazılarına göre Müslümanların
matematiğe hiç bir katkısı
olmamıştır; bazılarına göre ise,
Müslümanların matematiğe ve
astronominin gelişmesine özgün
katkıları olmuştur; Aslında batılı
bilim adamlarının adını taşıyan bir
çok teorem veya sonuç daha önce
Müslümanlar tarafından
bulunmuştur. Özellikle Müslüman
matematikçiler yaptıkları
araştırmaları geliştirememiş ve
kullanamamışlar.
Müslüman matematikçilerin Küresel
geometriye, cebire, sayılar teorisine,
trigonometri ve astronomiye özgün
katkıları olmuştur. Ayrıca, Müslüman
matematikçiler yaptıkları çevirilerle
Mısır-Mezopotamyada yapılan
matematiğin sonraki yıllara
iletilmesine-gelişmesine katkıda
bulunmuşlardır.
25

Rönesans Matematiği
Batıya matematik nasıl girdi :
a) Ortadoğu‟da 4 krallık kurup, 200 yıla yakın bir süre
Ortadoğu‟da kalan haçlılar vasıtasıyla
b) Arap medreselerinde okuyan batılı öğrenciler vasıtasıyla;
c) Endülüs‟ten.
26

12. yy a kadar Avrupa okullar, din
ağırlıklı okullardı. 12. yüzyıl ortalarında
İtalya’da (Bolonya, Padova),
öğrencilerin “universita” eğitim amaçlı
oluşturdukları birimler daha sonra
üniversite kurumlarının temelini
oluşturmuşlar. Buralardaki hocalar
Arap medreslerinde okumuş batılı
gençlerdi. Daha sonra bu kurumlarda
okuyan Avrupalı öğrenciler
Almanya’da (Köln), Fransa’da
(Sorbone) ve İngiltere’de ( Oxford,
Cambrigde) gibi ileride üniversite
olacak eğitim kurumlarını kurmuşlardır.
Bu dönemde Kutsal Roma-Germen
imparatoru olan 2. Frederik’in bilime
değer veren bir insan olması, ayrıca
1200 lerin başında kurulmuş olan
Fransican tarikatı bilimin
Avrupa‟ya girmesine ve
gelişmesine katkısı olmuştur.

1200 ile 1500 yılları arasında
Avrupalıların bilimsel kaynakları
Arapça eserlerdi. Uğraştıkları
sorular-konular bu kitaplarda
Müslüman matematikçilerin
uğraştığı sorular-konulardı.
Örneğin: geometri soruları, 3.
dereceden polinomun köklerini
bulma, sayılar teorisiyle ilgili
sorular. 1450 lerden sonra,
İstanbul‟ dan İtalya‟ya giden
kitaplardan, matematiğin
Yunanca kaynaklarına ulaşılır, ve
bunun sonucunda Yunanca
kaynaklardan çeviriler yapılmaya
başlanır.

1500 yıllarından sonra ise Arapça
kaynakların terk edildiği
gözlemleniyor, bunun sonucunda
ise Avrupa‟da matematik
alanında özgün gelişmeler
başlar.Ya da özgün çalışmalar
başladığından arapça kaynaklar
terk edilir.
27

Batıya Hint-Arap rakamları (1,2,...,9,

1500-1600 arası iki önemli çalışma
Tartaglia’nın (1499-1557) bulduğu
ama Cardano’nun (1501-1576)
yayımladığı üçüncü dereceden
polinomların cebirsel olarak köklerinin
bulunmasıdır. Kompleks sayılar ilk
olarak 3. derecede polinomların
kökünü veren formülde, o tarihlerde
anlaşılmamış, yine de ortaya çıkmıştır.

Bombelli (1526-1572) cebir kitabında
bazı kompleks sayılara yer verir,
onlarla nasıl işlem yapılacağını anlatır.

F. De Viete (1540-1603) in cebir kitabı
yine önemli bir çalışmadır. Bu kitapta,
ilk defa cebir, sözel olmaktan çıkıp,
sembolleşmeye başlamıştır. Viete’in
kitabında sessiz harfler bilinen sayılar
için, sesliler de bilinmeyenler için
kullanılmıştır. Sabitler için a,b gibi
alfabenin ilk harflerinin; bilinmeyenler
için de x,y gibi alfabenin son
harflerinin kullanılması Descartes’le
başlayacaktır.
0) 1200 lerin başında Fibonacci’nin
(1175-1250) yazdığı “ Liber Abacci”
kitabıyla girmiştir. Bu kitapta Fibonacci,
kendinden 400 yıl önce Harazmi’nin
yaptığı gibi, bu rakamlarla sayıların
nasıl yazılacağını, dört işlemin nasıl
yapılacağını anlatmıştır. Bu rakamlar
batıda günlük hayatta 16. yy a kadar
yaygın olarak kullanılmamış. Bu
rakamların halk arasında yaygın olarak
kullanılması Fransız devriminden
sonra olmuştur. 1200 lerden 1500 lere
kadar önemli özgün bir çalışma yoktur.
28

1600-1700 yılları arası
matematikte önemli gelişmeler
olur. Bu yüzyılın üç önemli
gelişmesi:
a) Türevin bulunması. P.
Fermat (1601-1665), bir eğrinin
maksimum, minimum ve
tanjantını bulmak için verdiği
uğraşlar sonucunda ( Ş. AlTusi‟den 5 asır sonra) türevin
keşfini yapabilmiştir.
b) Analitik geometrinin ve
kartezyen koordinat sistemini
ortaya çıkması. R. Descartes‟ın
(1596-1650) geometriyi
cebirleştirme çabası ve bir eğriyi
bir sistemde çizme isteği analitik
geometrinin doğmasına ve, bugün
Descartes „a ithafen adlandırılan,
“cartesien” koordinat sisteminin
ortaya çıkmasına yol açmıştır.

c) Türev ile integral
arasındaki, “Analizin Temel
Teoremi” olarak bilinen,
ilişkinin Newton (1643-1727)
ve Leibniz (1646-1716)
tarafından, farklı zamanlarda
bulunması.
Böylelikle “ Integral Calculus”
doğar. Bu olay, Matematiği
evrensel bir bilim konumuna
getirecektir. Ayrıca, Analizle
beraber bilimsel fizik ve
mühendislik bilimleri de
doğacaktır. Türevden önce,
differensiel denklem, dolaysıyla
bilimsel fizik yoktu. Bir
differensiyel denklem, fiziki bir
olayın metematiki ifadesindir. Bu
çalışmalar ve astronomideki
gelişmeler matematiği başka bir
düzeye, yeni bir döneme
taşıyacaktır.
29

R. Descardes

P. Fermat
30

I. Newton

Leibniz
31
MATEMATİK
TARİHİ
4. Dönem
Klasik Matematik Dönemi
32
4. Dönem


Klasik Matematik Dönemi 1700-1900
Klasik matematik dönemi altın çağ olarak
biliniyor. Bu dönemin önemli
matematikçilerini: Euler, Laplace, Lagrange
ve D’Alembert olarak sayabiliriz.
Leonhard Euler (1707-1783)
İsviçre de, Basel de doğmuş.
Petersbourg ve Berlin‟de
yaşamıştır. Çok üretken bir
bilim adamıdır.
Analizi (Calculus) sayılar
teorisine, diferensiyel
denklemlere, mühendislik
problemlerine ...uygulamıştır.
30.000 sayfadan fazla bilimsel
eseri vardır. Hatta öldükten
sonra 50 sene makalelerinin
yayını sürmüştür.
Euler ile matematik evrensel boyuta
ulaşmıştır. Bugün bile matematikçilerin
yaptıları çalışmaların ana fikri Euler‟in
çalışmalarına dayanır.
Euler ile birlikte analiz bilim dalı olmuştur.
Analiz in babası Euler, fakat bilindiği gibi
analiz Eudoxus ve Arşimed le birlikte
başlamıştır (yani analizin büyükbabaları
diyebiliriz)
33

Laplace (1749-1827) Fransa‟da,
Normandia‟ da doğmuştur. Gök
ve yer mekaniği hakkında yazdığı
11 ciltlik eseri, bütün zamanlarda
mekanik hakkında yazılmış en
kapsamlı eserlerinden biridir.
“Theorie Analytique des
Probabilites” başlıklı kitabı
olasılık teorisinin ilk önemli
eseridir..

Joseph-Louis Lagrange (17361813) İtalya‟da Turin‟da doğmuş,
meslek hayatının büyük
bölümünü Berlin ve Paris‟te
geçirmiştir. İtalya‟da doğmasına
rağmen Fransız matematikçisi
olarak bilinir. Lagrange cebirsel
denklemlerin çözülebilirliği,
mekanik, differensiyel denklemler
ve varyasyon hesabına önemli
katkılar yapmış, fikirleri ve
yöntemleri bugün de kullanılan bir
bilim adamıdır
Jean
Le Rond D‟Alembert (1717-1783) Paris‟te doğmuş, Fransa‟da
yaşamıştır. D‟Alembert kısmi differensiyel denklemleri ilk inceleyen
bilim adamlarından biridir. Kısmi differensiyel denklemler ve akışkanlar
mekaniği ilgili çalışmaları ve felsefi yazıları dışında, Diderot ile beraber
editörlüğünü yaptığı ünlü 28 ciltlik “Encyclopedie” nin matematik
maddelerinin büyük kısmını D‟Alembert yazmıştır. Bu eser
aydınlamanın temel eserlerinden biridir.
34
1800 lerin başında matematik :
a)
Henüz bir limit kavramı olmadığından ve türevin limit vasıtası ile değil de,
“sonsuz küçük” kavramı kullanılarak tanımlanması. Matematikçilerin ise bu tanımı
tutarsız şekilde kullanmaları,
b)
fonksiyon kavramının doğru tanımlanmamış olması ve matematikçilerin
fonksiyonu aynı şekilde anlamamaları,
c)
süreklilik ve fonksiyon serilerinin yakınsaklığı doğru anlaşılmamış; henüz
düzgün süreklilik ve düzgün yakınsaklık kavramlarının olmayışı, integral kavramı
türev kavramının tersi olarak görülüyordu; türevden bağımsız bir integral ve
integrallenebilirlik kavramının,
d)
kompleks fonksiyonlar teorisinin,
35
e)
cebir’in grup, halka, cisim, vektör uzayı gibi kavramlarının,
f)
Matris ve vektör kavramlarının ( 2 li ve 3 lü determinantlar 1680 lerden beri
biliniyordu).
g)
Matematiksel fiziğin ana teoremlerinin
h)
Differensiyel geometri, topoloji gibi konuların,
olmaması gibi sebeplerden bir kriz devresi yaşıyordu.
36

G. Dirichlet (1805-1859) 1830 larda
fonksiyon kavramını bugün
anladığımız anlamda tanımlamış.

Bu tanım Fourier serileri hakkındaki
tartışmaların son bulmasına sebep
olacak ve bu alandaki çalışmalara
tekrardan hız verilmesine sebep
olacaktır. Fourier serileri Analizin
gelişmesinde en önemli rolü oynayan,
bir bakıma modern matematiğin
doğuşuna neden olan, gerek
uygulamaları ve gerekse de
matematikteki merkezi konumu
açısından, matematiğin en önemli
konularından biridir.
A. Cauchy (1789-1855)
•
limit kavramını, bugünkü kullandığımız
şekliyle tanımlamış,
•
türevi, sürekliliği ve, sürekli
fonksiyonlar için, integrali, limit
kavramı yardımıyla tanımlaması
sonucu analizin sağlam temeller
üzerine oturtulmasına sebep olmuştur.
•
Cauchy’nin çalışmaları sonucu,
kompleks fonksiyonlar teorisi
doğmuştur. Kompleks fonksiyonlar
theorisi Cauchy, B. Riemann (18201866) ve K. Weierstrass (1815-1884)
gibi matematikçilerinin çalışmalarıyla,
matematiğin en temel teorilerinden
birine dönüşmüştür
37

Weierstrass ve öğrencilerinin
çalışmaları sayesinde, 1850 lerden
sonra, düzgün süreklilik, düzgün
yakınsaklık gibi analizin vazgeçilmez
kavramları ortaya çıkacak, fonksiyon
serilerinin yakınsaklığı daha iyi
anlaşılacaktır. F. Gauss’un (17771855) “ Cebir’in Temel Teoremi, ya da
D’Alembert Teoremi” olarak bilinen
teoremi ispatlaması bu asrın başka bir
önemli olayıdır. Bu teorem bugün
cisimler teorisinden analize kadar bir
çok teorinin temelinde olan bir
teoremdir

Bütün zamanların en büyük bilim
adamlarından biri olarak kabul edilen
Gauss’un, sayılar teorisi, differensiel
geometri, matematiksel fizik ve
astronomiye katkıları bu asrın en
önemli çalışmaları arasındadır.
En önemli matematikçilerinden biri olan Riemann matematiğe
kavramsal bir bakış ve yaklaşım getirmiştir.
Bunlardan bir kaçı:Riemann integrali ve integrallenebilirlik kavramı,
Riemann yüzeyleri, Riemann geometrisi, differensiyel geometri,
sayılar teorisi (Riemann hipotezi), kompleks analiz (Riemann
yüzeyleri, Cauchy-Riemann denklemleri), cebirsel geometri,
matematiksel fizik ve topoloji.
38
Analizden sonra Cebir konusunda neler yapıldığına bakalım:

H. Abel (1802-1829) ve E. Galois
(1811-1832) nın 5. dereceden
polinomların cebirsel yöntemlerle
köklerinin bulunupbulunamayacağı konusunda
çalışmaları sonucu grup teorisi
doğdu. Kummer (1810-1893) ve
öğrencilerinin Fermat‟nın
teoremini ispatlamak için
çalışmaları sonucu halka teorisi
ve idealler teorisi ortaya çıkmış.
R. Dedekind (1831-1916) gerçel
sayıların soyut bir tanımını vermek için
yaptığı çalışmalar sonucu, cisim teorisi
ortaya çıkmış.
Cayley (1821-1895 ) ve
Sylvesterin (1814-1897 ) çok
sayıda doğrusal denklemi tek bir
denklem olarak göstermek ve
çözmek için yaptıkları çalışmalar
sonucu matris cebiri doğdu.
Grassman (1809-1877 ) nın üç boyuttan çok boyuta geçme
çabaları sonucunda da vektör uzayları doğdu.
39
1700-1900 arası, matematikde birçok konuda ilerlemelerin olduğu; çok sayıda yeni
teorinin yine bu dönemde ortaya çıktığı; ispatlarda kesinliğin önem kazandığı; kavram
bakış açısının hesap yaklaşımından daha fazla önemsendiği, matematiğin altın çağı
denilen bir dönem olarak biliniyor.
40
MATEMATİK
TARİHİ
5. Dönem
Modern Matematik Dönemi
41
5. Dönem
Modern Matematik Dönemi 1900-

Modern matematiğin babasının
Georg Cantor (1845-1918) olduğu
ifade edilir. Yine “Kümeler” teorisinin
babası olarak bilinmektdir.

Cantor, rasyonel sayılarla irrasyonel
sayıların aynı çoklukta olmadığını
söylemiştir. Başka bir ifadeyle,
rasyonel sayıların kümesiyle,
irrasyonel sayıların kümesi arasında,
her iki kümenin de sonsuz olmasına

Cantor’un bu sonsuz anlayışı,
Kronecker ve Poincaré gibi bir çok
ünlü matematikçi tarafından tepki ile
karşılandı. Bunun sonucu olarak,
“sonsuzu” Cantor gibi anlayanlar ve
Aristo gibi anlayanlar olmak üzere
matematikçiler iki guruba ayrıldılar.

Küme kavramının, aksiyomatik olarak
tanımlanmaksızın, Cantor’un yaptığı
gibi, sözlük manasında kullanılması,
kümeler teorisini çıkmaza soktu. Daha
sonraları ise, bir matematiksel ispatın
ne olduğu, geçerliliği, meşruluğu
sorunu baş gösterdi. Bu olayların
sonucu matematik yeni bir krize girer.

Matematikçiler girdikleri krizden
çıkabilmek için; küme kavramını
aksiyomatik olarak tanımlayıp,
matematiği aksiyomatik kümeler temeli
üzerine inşaa etmeye çalıştılar;
,
karşın bire-bir bir dönüşüm yoktur
demiştir. O halde bu iki kümenin
sonsuzlukları aynı değildir. Böylelikle
ortaya küme kavramı ve kümelerin,
içerdikleri eleman çokluğu açısından,
sınıflandırılması sorunu çıktı. Bu son
kavram “sonsuzun” tek değil, çok
olduğunu söylemektedir; o yıllarda
bu ifade büyük tepki çekmişti.
42

Tüm bu olayların sonucunda “modern matematik” doğdu. Matematiğin,
aritmetik, geometri, ... gibi çeşitli kısımlarının aksiyomatik bir temele
oturtulma girişimleri başladı.

20. yüzyılda birçok yeni teoriler ortaya çıktı. Örneğin: Metrik uzaylar ,
topoljik uzaylar, fonksiyonel analiz, Banach cebirleri, distribüsyon teorisi,
operatörler teorisi....
43

Bu dönemin matematiği: Diğer dönemlere kıyasla daha soyut ; kavramsal
ve yapısaldır. Matematikte uğraşan bilim adamı sayısı çok fazla ve üretim
diğer dönemlere oranla oldukça yüksek. Üretimin çokluğu, çeşitliliği,
kullanılan dilin konuya has oluşu, matematiğin bütünü hakkında bir bilgiye
sahip olmayı imkansız kılmaktadır

Matematiğin ne olduğuna tekradan değinecek olursak: Matematiğin bir dil
olduğunu söyleyebiliriz. Gerçekleri ve hayalleri anlatan bir dil.
Aksiyomlardan oluşan ve amacı daha çok teoremleri ispat etmek olan bir
dildir diyebiliriz.
44
Kaynaklar
1.
2.
Burton, `The History of Mathematics`, 6th Ed., McGraw Hill
Ali Ülger, Matematik Dünyası
DAÜ
Matematik Bölümü
45

Hint Matematiği

Transkript

Benzer belgeler

BU KADARINA DA PES!

5.sınıf bilim uygulamaları deneyleri

DR. H. İBRAHİM BODUR HAKK`A YÜRÜDÜ

düğün - Hekimoğlu Ali Paşa İlköğretim Okulu

Ek - Gülnar İlçe Milli Eğitim Müdürlüğü

Soru 1. - BahceBitkileri.org

yeniçeri kuvvet içeceği

güç elektroniği ı