z - Burak Kurt

Transkript

z - Burak Kurt

Bölüm 4
z-DÖNÜŞÜMÜNÜN
UYGULAMALARI
8
4.1
Bölüm 4. z-Dönüşümünün Uygulamaları
GİRİŞ
z-dönüşümünün ayrık-zamanlı sistem teorisinde oynadığı rol
Laplace dönüşümünün sürekli-zamanlı sistem teorisindeki rolüne
benzer [1-3].
z-dönüşümünün en önemli avantajlarından biri
doğrusal fark denklemlerinin sistematik bir şekilde çözülmesinde
sağladığı kolaylıktır. İki polinomun oranı biçiminde ifade edilen
ayrık-zamanlı transfer fonksiyonu, sabit katsayılı doğrusal bir
fark denklemine karşı düşer ve sayısal bir bilgisayar yardımıyla
gerçekleştirilebilir.
Bu bölümde, transfer fonksiyonunun fark
4.1. Giriş
9
denklemlerinden elde edilmesi gösterilecek, ayrıca impuls cevabı
ve durum denklemlerinin karakterize edilmesi de tartışılacaktır.
Zaman ve frekans domeni analizleri, kararlılık ve kararlı duruma
getirmek gibi konular z-dönüşümünün diğer uygulama alanları
olarak incelenecektir.
10
4.2
TRANSFER FONKSİYONU
Bölüm 2.4’te impuls cevabı h(n) olan bir ayrık zamanlı sistemin
x (n) giriş işareti için oluşturduğu çıkış işareti y(n)’nin konvolüsyon
toplamı ile elde edildiği gösterilmişti.
∞
X
y(n) =
x (n − k) h(k)
(4.1)
k=−∞
Konvolüsyon teoremi yardımıyla (4.1)’in z-dönüşümü
Y (z) = H (z) X (z)
(4.2)
olarak yazılır. Burada
H (z) =
∞
X
n=−∞
h ( n ) z−n
(4.3)
4.2. Transfer Fonksiyonu
11
ayrık-zamanlı sistemin transfer fonksiyonu olarak adlandırılır.
H (z) transfer fonksiyonu (4.2) yardımıyla
Y (z)
H (z) =
(4.4)
X (z)
olarak tanımlanabilir. O halde transfer fonksiyonu, çıkış işaretinin
z- dönüşümünün giriş işaretinin z-dönüşümüne oranıdır.
Eğer sistemin impuls cevabı biliniyorsa,
(4.3)’deki gibi
z-dönüşümü alınarak transfer fonksiyonu bulunabilir.
Ancak,
fark denklemi, durum denklemi ve ayrık-zamanlı sistemin devre
yapısı yardımıyla da transfer fonksiyonu (4.4)’deki tanımdan
yararlanarak yazılabilir. Şimdi bunları inceleyelim.
12
4.2.1
Fark-Denklemlerinden
a(0), a(1), a(2), . . ., a( M) ve b(1), b(2), . . ., b( N ) sabit katsayılar
olduğuna göre doğrusal ğ-ru-sal ve zamanla değişmeyen ayrık
zamanlı sistemin giriş ve çıkış ilişkisi aşağıdaki fark denklemi ile
belirlenebilir.
y(n) =
M
X
k =0
a(k) x (n − k) −
N
X
k =1
b(k)y(n − k)
(4.5)
Bu fark denkleminden transfer fonksiyonunu elde edebilmek için
fark denkleminin her iki tarafının z-dönüşümü alınır.
Böylece
Y (z)’nin Y (z) = H (z) X (z) formunda elde edilmesi sağlanır. Her
iki tarafın z-dönüşümünü alır ve z-dönüşümünün öteleme ve
13
doğrusallık özelliklerinden faydalanırsak,
M
N
X
X
Y (z) = X (z)
a ( k ) z−k − Y ( z )
b ( k ) z−k
(4.6)
fonksiyonunu elde ederiz.
N
M
X
X
Y (z) 1 +
b ( k ) z−k = X ( z )
a ( k ) z−k
(4.7)
k =0
k =1
Buradan, Y (z) içeren terimleri bir tarafa toplayarak H (z) transfer
k =1
k =0
M
P
a ( k ) z−k
Y (z) = k=0N
X (z)
P
1+
b ( k ) z−k
k =1
|
{z
}
H (z)
(4.8)
14
4.2.2
Devre Yapısından
Sayısal süzgecin gerçekleştirilmesi için herhangi bir formda
belirlenen giriş ve çıkış ilişkisi hesaplanabilir bir algoritmaya
çevrilmelidir. Bu algoritmanın sayısal bir bilgisayar ve özel amaçlı
bir donanım ile gerçekleştirilmesinde bazı temel işlemler kullanılır.
Tablo 4.1’de gösterildiği gibi bu işlemler, birim gecikme, toplama
ve çarpma işlemlerinden oluşmaktadır [3]. Buna göre z-domeni
tanımları yardımıyla,
1. Birim gecikme: Y (z) = z−1 X (z)
2. Toplama : Y (z) = X1 (z) + X2 (z)
15
3. Çarpma: Y (z) = cX (z)
formunda gösterilebilir.
devresinden
O halde, verilen bir sayısal süzgeç
analizini yapmak ve transfer fonksiyonunu elde
etmek mümkündür.
Tablo 4.1 Sayısal Süzgeç Elemanları
Sembol
Birim Gecikme
Denklem
z -1
x(n)
y(n)
y ( n ) = x ( n − 1)
x 1(n)
y ( n ) = x1 ( n ) + x2 ( n )
Toplayıcı
y(n)
x 2(n)
c
Çarpıcı
x(n)
y(n) = cx(n)
y(n)
16
x(n)
y(n)
v(n)
k1
z -1
k3
z -1
k2
k4
Şekil 4.1 İkinci dereceden sayısal süzgeç.
rnek 4.1
Şekil 4.1’de verilen ikinci dereceden sayısal süzgecin
transfer fonksiyonunu bulalım. Tablo 4.1’deki temel elemanları
kullanarak,
V ( z ) = Y ( z ) + k 3 z −1 V ( z ) + k 4 z −2 V ( z )
(4.9)
Y ( z ) = X ( z ) + k 1 z −1 V ( z ) + k 2 z −2 V ( z )
(4.10)
17
yazılabilir. Burada V (z) ve Y (z)
V (z) =
Y (z)
1 − k 3 z −1 − k 4 z −2
Y ( z ) = X ( z ) + ( k 1 z −1 + k 2 z −2 ) V ( z )
şeklinde elde edilir. V (z) yok edilerek,
k 1 z −1 + k 2 z −2
Y (z) = X (z) +
Y (z)
−
1
−
2
1 − k3 z − k4 z
bulunur. O halde, transfer fonksiyonu H (z)
Y (z)
1
= H (z) =
X (z)
k 1 z −1 + k 2 z −2
1−
1 − k 3 z −1 − k 4 z −2
1 − k 3 z −1 + k 4 z −2
=
1 − ( k 1 + k 3 ) z −1 − ( k 2 + k 4 ) z −2
olarak elde edilir.
(4.11)
(4.12)
(4.13)
(4.14)
18
b0
x(n)
w(n) +
+
-
-
y(n)
z -1
a2
a1
z -1
Şekil 4.2 Birim kazançlı rezonatör.
rnek 4.2
Birim kazançlı rezonatör olarak da adlandırılan Şekil
4.2’deki sayısal süzgecin transfer fonksiyonunu bulalım. Temel
elemanlar yardımıyla,
W (z) = b0 X (z) − a1 z−1 W (z) − a2 (b0 X (z) + z−2W (z))
Y ( z ) = W ( z ) − z −2 W ( z )
(4.15)
(4.16)
yazılabilir. W (z)’nin yok edilmesi için
−1
−2
W ( z ) 1 + a1 z + a2 z
= b0 (1 − a2 ) X (z)
19
(4.17)
bulunarak
Y (z)
b0 (1 − a2 )(1 − z−2 )
H (z) =
=
X (z)
1 + a 1 z −1 + a 2 z −2
(4.18)
20
4.3
KARARLILIK
Sayısal süzgeç tasarımında kararlılık çok önemli bir kavramdır.
Kararlı olmayan sayısal süzgecin pratikte kullanılma olanağı
yoktur. Bu nedenle, tasarlanan tüm sayısal süzgeçler kararlı olmak
zorundadır. Kararlılığa ilişkin konuların incelenebilmesi için bazı
ön bilgilere ihtiyaç vardır. Bunlar aşağıda kısaca özetlenmiştir.
4.3. Kararlılık
21
Tanım 4.1
Bir { x (n)} dizisinin
∞
X
n=−∞
şartını sağlaması halinde,
toplanabilir denir.
| x (n)| < ∞
(4.19)
{ x (n)} dizisine mutlak değerli
22
Tanım 4.2
Bir { x (n)} dizisinin M < ∞ olan bir gerçel sabit için,
| x (n)| < M, tüm n için
(4.20)
şartını sağlaması halinde, { x (n)} dizisine sınırlı (değerli) denir.
4.3. Kararlılık
23
Tanım 4.3
Herhangi bir sınırlı genlikli giriş dizisinin sınırlı genlikli bir
çıkış dizisi ürettiği doğrusal zamanla-değişmeyen sayısal süzgeç
sınırlı-giriş-sınırlı-çıkış (SGSÇ) anlamında kararlıdır.
Tanım
4.3
gereğince,
bir
süzgecin
kararsız
olduğunu
gösterebilmek için sınırlı olmayan çıkış dizisi üreten bir sınırlı
giriş dizisi bulmak yeterlidir. Oysa, aynı süzgecin kararlı olduğunu
gösterebilmek için, her sınırlı giriş için çıkışların sonlu olduğunun
gösterilmesi gerekir. Sonsuz sayıda sınırlı giriş dizisinin varlığı
gözönüne alınacak olursa, pratikte Tanım 4.3’ten sayısal süzgecin
24
kararlılığına karar verilmesi mümkün değildir. Aşağıdaki teorem
SGSÇ kararlılık için gerek ve yeter koşulu göstermektedir.
4.3. Kararlılık
25
Teorem 4.1 Bir sayısal süzgecin SGSÇ kararlı olabilmesi için gerek
ve yeter koşul, süzgecin impuls cevabı { h(n)}’nin mutlak değer
toplanabilir olmasıdır. Yani
∞
X
n =0
|h(n)| < ∞
şartı sağlanmalıdır.
Tanıt. Bu teoremin tanıtı Bölüm 2.1’de gösterilmiştir
Ne var ki, Teorem 4.1’deki kararlılık kriteri yardımıyla da
kararlılığı belirlemek pratikte güçtür.
Önce süzgecin impuls
cevabının bulunması, sonra mutlak değerlerinin toplanması
26
gerekmektedir.
Bu güçlüğü önlemek için sayısal süzgecin
transfer fonksiyonundan kararlılığı belirleyen aşağıdaki teorem
geliştirilmiştir. Kararlılık transfer fonksiyonu H (z)’den kolaylıkla
belirlenebilecektir.
4.3. Kararlılık
Teorem 4.2
27
(4.8)’deki gibi rasyonel transfer fonksiyonlu nedensel
sayısal süzgecin kararlı olması için gerek ve yeter koşul transfer
fonksiyonu H (z)’nin kutuplarının tümünün z-düzleminde birim
daire içinde olmasıdır. Yani, H (z)’nin kutuplarının genliği birden
küçük olmalıdır.
Tanıt. Önce kararlı sayısal süzgece ait transfer fonksiyonu H (z)’nin
|z| > 1 koşulunu sağlayan bölgede yakınsak olduğunu gösterelim.
28
Gerçekten,
∞
∞
X
X
|h(n)||z−n |
| H (z)| = h ( n ) z−n 6
n =0
6
∞
X
n =0
n =0
(4.21)
|h(n)| < ∞, tüm |z| > 1 için
O halde, eğer sayısal süzgeç kararlı ise, H (z)’nin kutuplarından
hiçbiri |z| > 1 bölgesinde bulunmaz. Başka bir deyişle H (z)’nin
tüm kutupları birim dairenin içindedir.
Şimdi, eğer H (z)’nin tüm kutupları birim dairenin içinde ise
sayısal süzgecin kararlı olduğunu gösterelim. Kolaylık sağlamak
için H (z)’nin tüm kutuplarını birbirlerinden farklı olduğunu
4.3. Kararlılık
29
varsayalım. (4.8)’deki H (z)
N
X
Ai z
H (z) =
z − pi
(4.22)
i =1
şeklinde yazılabilir. O halde, Tablo 3.1’den,
h(n) =
N
X
Ai pin
(4.23)
i =1
ve
∞
X
n =0
∞ X
M
X
n
|h(n)| =
Ai pi 6
n =0 i =1
N
∞
X
X
i =1
| Ai |
n =0
| pi | n
(4.24)
30
elde edilir. Eğer tüm i için | pi | < 1 ise,
N1
∞
X
X
| pi |n = lim
| pi | n
N1 →∞
n =0
n =0
1 − | pi | N1 +1
= lim
N1 →∞ 1 − | pi |
1
=
, tüm i için
1 − | pi |
Sayısal süzgecin sonlu sayıda kutbu olduğundan
∞
X
|h(n)| < ∞
(4.25)
(4.26)
n =0
bulunur. Buradan da sayısal süzgecin kararlı olduğu sonucuna
varılır.
4.3. Kararlılık
Aıklama 4.1
31
Sayısal süzgecin kararlılığı sadece kutupların
z-düzlemi üzerindeki yerine bağımlıdır.
Sıfırların herhangi bir
rolü yoktur. Geri beslemeli olmayan (FIR) süzgeçlerde transfer
fonksiyonu H (z)’nin payda polinomu B(z)= 1 olduğu için süzgeç
daima kararlıdır.
32
rnek 4.3
İkinci dereceden özyineli (rekürsif) sayısal süzgecin
transfer fonksiyonu
H (z) =
1
1 + b1 z−1 + b2 z−2
(4.27)
olarak verilmiş ise, bu sayısal süzgecin kararlı olduğu b1 ve b2
katsayılarını belirleyiniz.
zm. Kutupların yerlerini belirlemek için,
B(z) = 1 + b1 z−1 + b2 z−2
= (1 − λ1 z−1 )(1 − λ2 z−1 )
yazılabilir. λ1 ve λ2 kökleri gerçel veya karmaşık olabilir.
(4.28)
4.3. Kararlılık
33
Gerçel kökler (b12 > 4b2) için
s 2
b1
b1
− b2
λ1 , λ2 = − ±
2
2
Karmaşık kökler (b12 < 4b2 ) için
s
2
b1
b1
±j
b2 −
2
2
bulunur. Karmaşık kökler birbirinin karmaşık eşleniğidir.
λ1 , λ2 = −
(4.29)
(4.30)
Bu durum için λ1 = λ2∗ olur. Kutupsal koordinatlar kullanılarak,
p
r = b2
(4.31a)
θ = cos
−1
b1 − √
2 b2
(4.31b)
34
tanımlanırsa,
λ1 , λ2 = re± jθ
(4.32)
olarak elde edilir. O halde, (4.31a) ve (4.31b)’den,
b2 = r2
(4.33a)
b1 = −2r cos θ
(4.33b)
s
(4.33c)
sin θ =
b12
1−
4b2
4.3. Kararlılık
35
bulunur. Kararlılık için kutupların birim dairenin içinde olması
gerektiğinden
koşulları sağlanmalıdır.
|b2 | < 1
(4.34a)
|b2 + 1| > ±b1
(4.34b)
(4.34a) koşulu, (4.33a) ve genliğin
birim daire içinde (r < 1) olmasından elde edilir.
Sınırdaki
z = ±1 noktalarında gerçek kutuplar olamayacağından (4.34b)
koşulu bulunur. Şekil 4.3’te, (4.34)’daki kararlılık koşulları b1 , b2
düzleminde gösterilmektedir. Kararlılık üçgeni olarak adlandırılan
36
bölge içinde seçilen b1 ve b2 değerleri için sayısal süzgeç kararlıdır.
Kararlılık üçgeni dışındaki b1 ve b2 değerlerinde kararsız olur.
Yukarıda belirtildiği gibi b12 < 4b2 için kutuplar karmaşık, aksi halde
gerçeldir.
4.3. Kararlılık
37
=1
karmaşık kutuplar
Şekil 4.3 İkinci dereceden sayısal süzgeçin kararlı olduğu b1 ve b2 katsayılarının
bölgesi.
Örnek
4.5’te
gösterildiği
gibi,
ikinci
dereceden
sayısal
süzgeçlerin kararlılığını kararlılık üçgeni yardımıyla kolaylıkla
belirlemek mümkündür.
Uygulamada IIR sayısal süzgeçler
38
ikinci dereceden süzgeçlerin ardışıl (cascade) bağlanmasıyla
gerçeklenebileceğinden, bu metod oldukça etkilidir.
4.4. Kararsız Sistemlerin Kararlı Duruma Getirilmesi
4.4
39
KARARSIZ SİSTEMLERİN KARARLI DURUMA GETİRİLMESİ
Sayısal bir süzgecin tasarımında esas amaç, belirli bir frekans
cevabı karakteristiğiniği-ni sağlayan transfer fonksiyonu H (z)’nin
bulunmasıdır. Tasarım sonucu bulunan transfer fonksiyonu istenen
frekans özelliklerini sağlamasına karşılık kararlı olmayabilir.
Pratikte kararsız süzgeçlerin kullanımı mümkün olmadığından
kararsız H (z)’den faydalanılamaz. Ancak kararsız H (z) transfer
fonksiyonu, frekans karakteristiğini değiştirmeden kararlı bir
transfer fonksiyonu elde edilecek biçimde değişikliğe uğratılabilir.
40
4.4.1
Resiprok Kutuplar Yöntemi
Süzgeç tasarımında, transfer fonksiyonu H (z)’nin genlik frekans
karakteristiğini sağlaması ve kararsız olması durumunda H (z)’nin
kararsızlığına neden olan kutuplar resiprokları ile değiştirilir. Birim
dairenin dışında bir kutbu olan süzgecin transfer fonksiyonu
A(z)
H (z) =
B(z)(z − re jθ )
(4.35)
formundadır. Varsayım gereği r > 1 olup re jθ kutbu kararsızlığa
neden olmaktadır. (4.35)’dan
A(z)
A(z)
H (z) =
=
B(z)r (z − r−1 e jθ )
B(z)(rz − e jθ )
′
(4.36)
41
yazılabilir. H ′ (z) transfer fonksiyonunun re jθ kutbu r−1 e jθ kutbuyla
değiştirilir. r−1 e jθ kutbuna re jθ ’nın resiprokal kutubu denir.
Şimdi,
H (z)
ve
H ′ (z)
transfer
fonksiyonlarının
genlik
cevaplarının aynı olduğunu gösterelim. Burada,
| H (e jΩ )| = | H ′ (e jΩ )|, tüm Ω için
(4.37)
olduğunu ispat edebilmek için
|e jΩ − re jΩ | = |re jΩ − e jΩ |, tüm Ω için
(4.38)
olduğunu göstermek yeterlidir. Gerçekten,
|e jΩ − re jΩ | = |cos Ω + j sin Ω − rcosθ − jr sin θ |
= [(cos Ω − r cos θ )2 + (sin Ω − r sin θ )2 ]1/2
(4.39)
42
ve
|re jΩ − e jΩ | = |e jΩ e jθ (re− jΩ − e− jΩ )|
= |(e− jΩ − re− jΩ |
elde edilir.
olmaktadır.
(4.40)
= [(cos Ω − r cos θ )2 + (sin Ω − r sin θ )2 ]1/2
(4.39) ve (4.40)’den, (4.37)’deki eşitlik doğrulanmış
rnek 4.4
43
Birinci dereceden transfer fonksiyonunun kararlı hale
getirilmesi şöyle olur. Eğer | a| > 1 ise
H (z) = 1/(z + a)
(4.41)
kararsızdır. Kararlı duruma getirilmiş transfer fonksiyonu
H ′ (z) = ±1/( az + 1)
olarak elde edilir. H ′ (z)’nin kutbu birim dairenin içindedir.
(4.42)
44
rnek 4.5 İkinci dereceden bir süzgece ait transfer fonksiyonu
1
(4.43)
H (z) = 2
z + bz + c
olarak verilsin. Örnek 4.3’den biliyoruz ki, eğer c > 1 ve
(c + 1)2 > b2 ise, transfer fonksiyonun iki kutbu da birim dairenin
dışındadır. Her iki kutup ya karmaşık yada gerçeldir. H (z)’yi
kararlı yapmak için
∓1
H (z) = 2
cz + bz + 1
yazılabilir. H ′ (z)’nin kutupları birim dairenin içindedir.
′
(4.44)
45
rnek 4.6 Kararsız transfer fonksiyonu,
z2 + 10
H (z) =
(4.45)
(z + 0.8)(z − 2)(z2 + 2z + 3)
resiprok kutuplar kullanılarak
∓(z2 + 10)
′
H (z) =
(4.46)
2
(z + 0.8)(−2z + 1)(3z + 2z + 1)
şeklinde kararlı duruma getirilebilir. Payın işareti eksi alınırsa
H ′ (1) > 0 olarak elde edilecektir.
46
4.5
AYRIK İŞARETİN SIFIRLARI VE KUTUPLARI YARDIMIYLA
GÖSTERİLİMİ
Pratikte karşılaşılan bir x (k) işaretinin z-dönüşümü X (z)’nin iki
polinomun oranı biçiminde yazılması mümkündür.
X (z) =
M
P
A(z)
= m=N0
P
B(z)
k =0
am z−m
(4.47)
bk z − k
Gerçel işaretler için, A(z) ve B(z) polinomlarının katsayıları gerçel
sayılardır.
X (z)’nin kutupları pk ; k
= 1, 2..., N ve sıfırları
4.5. Ayrık İşaretin Sıfırları ve Kutupları Yardımıyla Gösterilimi
zm ; m = 1, 2..., M ile gösterilirse, (4.47)’deki ifade
M
Q
( z − zm )
=1
X (z) = A0 mN
Q
( z − pk )
47
(4.48)
k =1
biçiminde yazılabilir. A0 sabit bir sayıdır. O halde, (4.47)’deki gibi
z-dönüşümü olan tüm işaretleri sıfırları ve kutupları yardımıyla
gösterilebiliriz. Bu türden gerçel işaretlerin sıfırları ve kutupları ya
gerçeldir yada karmaşık eşlenik çiftler biçimindedir.
48
rnek 4.7
Aşağıdaki işaretin kutuplar ve sıfırlar formunda
gösterilimini ele alalım:
x (n) = bn u(n), |b| < 1 için
(4.49)
z-dönüşümü alınarak,
X (z) =
∞
X
n =0
b n z−n
(4.50)
1
z
=
, |z| > |b| için
−
1
1 − bz
z−b
bulunur. X (z) dönüşümünün z1 = 0’da bir adet sıfırı ve p1 = b’de
=
bir kutbu vardır.
4.6. Ayrık İşaretin Fourier Dönüşümünün Bulunması
4.6
49
AYRIK İŞARETİN FOURİER DÖNÜŞÜMÜNÜN BULUNMASI
Sayısal bir x (n) işaretinin ayrık zaman Fourier dönüşümü şöyle
tanımlanır:
X (Ω) =
∞
X
x (n)e− jΩn
(4.51)
n=−∞
Bu tanımdan da görüldüğü gibi X (Ω) gerçel Ω değişkeninin sürekli
ve karmaşık (kompleks) değerli bir fonksiyonudur.
X (Ω)’nın varlığı için sağ taraftaki sonsuz toplamın sonlu olması
gerekir.
Yani, (4.51)’deki seri yakınsak olmalıdır.
(4.51)’deki
e− jΩn teriminin mutlak değerinin daima bire eşit olduğu gözönüne
alınırsa x (n) dizisinin mutlak değerlerinin toplanabilir olması
50
yeterli bir koşuldur. Yani yakınsaklık için
∞
X
| x (n)| < ∞
(4.52)
n=−∞
yeter koşuldur.
(4.52) koşulunu sağlayan tüm işaretlerin enerjilerinin sonlu
olduğu gösterilebilir. Bu özellik aşağıdaki eşitsizliğin direkt bir
sonucudur.
∞
X
n=−∞
| x (n)|2 <
∞
hX
n=−∞
| x (n)|
i2
(4.53)
Yukarıdaki eşitsizliğin sol tarafı x (n)’nin enerjisidir. O halde,
(4.52) koşulunu sağlayan işaretler (4.53) koşulunu da sağlarlar.
51
Ancak, tüm sonlu enerjili işaretlerin mutlak değerlerinin toplamı
sonlu olmak zorunda değildir.
Bununla birlikte, pratikte
karşılaşılan sonlu enerjili diziler (4.52) koşulunu sağlarlar ve
Fourier dönüşümleri vardır [6].
Şimdi, sayısal işaretin Fourier dönüşümüne ilişkin bu kısa
tanımlamadan sonra z-dönüşümü ile Fourier dönüşümü arasındaki
ilişkiyi inceleyelim.
x (n) işaretinin z-dönüşümü X (z) ile, Fourier dönüşümü X (Ω)
arasındaki ilişkiyi göstermek için (??)’deki tanımı ele alalım:
∞
X
X (z) =
x ( n ) z−n
(4.54)
n=−∞
52
z karmaşık değişkeni, z-düzleminde kutupsal koordinatlarla
gösterilebilir.
z = re jΩ
Bu ilişki (4.54) denklemine yerleştirilecek olursa,
∞
X
X (re jΩ ) =
x (k)(re jΩ )−k
=
k=−∞
∞
X
(4.55)
(4.56)
x (k)r−k e− jΩk
k=−∞
bulunur.
Bu ilişki, (4.51)’deki Fourier dönüşümü ile karşılaştırıldığı
zaman, r = 1 için Fourier dönüşümü ile z-dönüşümünün birbirinin
aynı olduğu görülmektedir. |z| = 1 için r = 1 olacağından,
∞
X
X ( z )
=
x (n)e− jΩn = X (Ω)
|z|=1
53
(4.57)
n=−∞
bulunur.
Diğer bir anlatımla, z-dönüşümünün birim daire üzerinde
hesaplanması işaretin Fourier dönüşümünü vermektedir.
54
Aıklama 4.2
(4.51) ve (4.56)’in karşılaştırılmasından şu sonuç
çıkmaktadır:
(4.52) koşulu sağlanmadığı için verilen işaretin
Fourier dönüşümü yakınsak olmasa bile, gerçek üstel r−k terimi
aynı işaretin z-dönüşümünün yakınsamasını sağlayabilir.
z-dönüşümü gösteriliminde birim dairenin oynadığı rol çok
önemlidir.
Teorem 4.2’de belirtildiği gibi z-dönüşümünün tüm
kutupları birim dairenin içinde ise, ters dönüşüm kararlı, nedensel
bir doğrusal sistemin impuls cevabıdır.
4.7. Sayısal Süzgeç Çıkışının Transfer Fonksiyonu Yardımıyla Hesaplanması
4.7
55
SAYISAL SÜZGEÇ ÇIKIŞININ TRANSFER FONKSİYONU
YARDIMIYLA HESAPLANMASI
Verilen bir sayısal süzgecin transfer fonksiyonunun bulunmasına
ilişkin yöntemler Bölüm 4.2’de ayrıntılı olarak tartışıldı. Şimdi,
bulunan H (z) transfer fonksiyonunu kullanarak bir sayısal
süzgecin çıkışını hesaplayalım. Burada kullanılan yöntem oldukça
basittir.
Giriş dizisi x (n)’nin z-dönüşümü X (z) ile süzgecin
transfer fonksiyonu H (z) çarpılarak çıkış işaretinin z dönüşümü
bulunur, Y (z) = H (z) X (z). Y (z)’nin ters z-dönüşümü çıkış dizisi
y(n)’yi verir. Bölüm 3’te gösterilen ters z-dönüşüm metodlarından
56
biri kullanılabilir. Aşağıda örnekte kısmi kesirlere açılım tekniği
kullanılmaktadır.
57
rnek 4.8 Transfer fonksiyonu
1 + z + z2
H (z) =
(4.58)
2
2 + 3z + z
olarak verilen bir sayısal süzgecin girişine x (n) = 0.5n u(n) dizisi
uygulanırsa çıkış dizisi y(n)’yi bulalım.
zm. Giriş dizisi x (n)’nin z-dönüşümü Tablo 3.1 kullanılarak
z
X (z) = Z[0.5n u(n)] =
(4.59)
z − 0.5
bulunur. (4.58) ve (4.59)’ten
1 + z + z2
z
Y (z) = H (z) X (z) =
(4.60)
2 + 3z + z2 z − 0.5
yazılabilir. Y (z) kısmi kesirlere açılarak
−2
z
6
z
7
z
Y (z) =
+
+
(4.61)
3 z+1
5 z+2
15 z − 0.5
58
y(n) =
2
6
7
− (−1)n + (−2)n + (0.5)n u(n)
3
5
15
(4.62)
bulunur.
(4.61) ve (4.62) ile, sayısal süzgeç çıkışı y(n) z-dönüşümündeki
kutuplar tarafından belirlenmektedir.
Bu nedenle, kutupların
z-düzlemindeki yerleri ile bunlara karşı düşen cevaplar arasındaki
ilişkinin bilinmesi yararlıdır.
Tablo 4.4’te kutupların yerleri ile
zaman cevapları arasındaki ilişki gösterilmektedir.
Tablo 4.2 Kutup Yerleri ile Zaman Cevapları Arasındaki İlişki.
x(n)
Im[z]
z-düzlemi
0
Re[z]
59
60
z-düzleminde birim dairenin içinde olan kutuplara karşı düşen
cevaplar n → ∞ iken sıfıra yaklaşır. Kutubun genliğinin küçülmesi
cevabın sıfıra yaklaşımını hızlandırır. Eğer bir kutup birim dairenin
dışında ise, cevabın genliği n ile birlikte artar.
Eğer kutup
birim daire üzerinde ve katsız ise, cevap sabit veya sabit genlikli
salınımdır. Eğer kutup katlı bir kökse, cevap n → ∞ iken sonsuza
yaklaşır.
Problemler
61
PROBLEMLER
4.1 DZD bir sistemin aşağıdaki fark-denklemi ile tanımlandığını
varsayalım:
y(n) = 0.3y(n − 1) + 0.3y(n + 1) − 0.3x (n)
(a) İmpuls cevabını bulunuz.
(b) Transfer fonksiyonunu bulunuz.
(c) Kararlılık ve nedenselliğini inceleyiniz.
4.2 İmpuls cevabı h(n)
süzgecin
=
e−0.1n u(n) olarak verilen sayısal
62
(a) Transfer fonksiyonunu bulunuz.
(b) Fark-denklemi biçiminde modelleyiniz.
4.3 İmpuls cevabı sol-taraflı olan bir sistemin transfer fonksiyonu
H (z) olduğuna göre, sistemin kararlı olması için gerek ve yeter
koşulun tüm kutupların birim daire dışında olması olduğunu
gösteriniz.
4.4 Aşağıda transfer fonksiyonları verilen sayısal süzgeçlerin
kararlılığını belirleyiniz.
z6
(a) H (z) = 6
6z + 5z5 + 4z4 + 3z3 + 2z2 + z + 1
( z + 2)2
(b) H (z) = 6
6z + 5z5 + 4z4 + 3z3 + 2z2 + z + 1
Problemler
63
4.5 Transfer fonksiyonu
1
H (z) = 2
z + 1/4
olan nedensel sayısal süzgeç için,
(a) x (n) = u(n) sin ω0 n girişine olan cevabı bulunuz.
(b) Kararlı-durum çıkışını ( lim y(n)) bulunuz.
n→ ∞
4.6 Aşağıda fark-denklemleri ile ifade edilen DZD sistemlerin
frekans cevaplarını bulunuz.
−1
1 MP
(a) y(n) =
x (n − m)
M m =0
(b) y(n) − ay(n − 1) = x (n)
(c) y(n) = x (n) − x (n − L)
64
4.7 Sayısal
süzgeç
frekans
cevabına
ilişkin
faz
cevabı
θ (Ω) = ∠ H (e jΩ ) olarak verilir. Sayısal süzgeçlerde grup
dθ (Ω)
gecikmesi τ = −
olarak tanımlandığına göre,
dΩ
y(n) = x (n) + 2x (n − 1) + 3x (n − 2) + 4x (n − 3)+
3x (n − 4) + 2x (n − 5) + x (n − 6)
fark-denklemi ile gösterilen sistemin sabit grup gecikmeli
olduğunu gösteriniz.
Problemler
65
4.8 Aşağıda durum değişkenleri ile gösterilen süzgecin transfer
fonksiyonunu bulunuz.
 
  


q1 (n + 1)  0 1 0  q1 (n) 0
 
  


q (n + 1) =  0 0 1  q (n) + 0 x (n)
 2
 
 2   
  1 1 1 
  

− − −
q3 ( n + 1)
q3 ( n )
1
2 2 2


q 1 ( n ) 

7 5 5 

y(n) =
+ x (n)
q2 ( n )


2 2 2 

q3 ( n )
4.9 Aşağıdaki F (z) polinomunun tüm kökleri birim dairenin
içinde ise, G (z)’nin tüm köklerinin z-düzleminde birim
66
dairenin dışında olduğunu gösteriniz.
F ( z ) = a 0 z N + a 1 z N −1 + . . . + a N −1 z + a N
G ( z ) = a N z N + a N −1 z N −1 + . . . + a 1 z + a 0
Problemler
67
MATLAB UYGULAMALARI
M4.1 Problem 4.4’te verilen transfer fonksiyonlarının kutuplarını
M ATLAB yardımıyla bulunuz ve çizdiriniz.
Bunun için
zplane komutunu kullanabilirsiniz. Çizdirdiğiniz sıfır-kutup
diyagramlarından
sistemlerin
kararlı
olup
olmadığını
belirleyiniz.
M4.2 freqz
komutu,
transfer fonksiyonu pay ve payda
katsayı vektörleri girildiğinde frekans cevabını bulmakta
ve çizdirmektedir.
Bu komutla frekans cevabı, Ω’nın
68
ayrık değerleri için bulunmaktadır. Problem 4.4’te verilen
transfer fonksiyonları için freqz komutunu kullanrak frekans
cevaplarını çizdiriniz.
M4.3 Bir sayısal süzgeç aşağıda verilen fark denklemi ile
belirtilmiş olsun.
y(n) = x (n) + x (n − 1) + 0.7y(n − 1) − 0.6y(n − 2)
(a) freqz komutunu kullanarak bu süzgecin genlik ve faz
cevaplarını çizdirin. ω = π/3 ve ω = π ’de oluşan genlik
ve faz cevabı değerlerini not edin.
Problemler
69
(b) x (n) = cos(πn) + cos(πn/3) işareti için 100 örnek oluşturup
çizdiriniz. Bu işareti yukarıda verilen süzgeçten geçiriniz
ve çıkışı çizdiriniz.
Çıkışı gözlemlediğinizde, her iki
sinüzoidin genlik ve fazları süzgeçten nasıl etkilendi?

z - Burak Kurt

Transkript

Benzer belgeler

2) Temmuz/2007 IARS Yoğun Madde Fiziği Çalıştayı notları

Uzay Zaman Kodlanmıs C¸ oklu Anten Sistemleri için Basit bir Döng

Genlik Modülasyonu

CURRICULUM VITAE Dr. Ibrahim Korpeoglu Associate Professor

Özgeçmiş - Feza Gürsey Merkezi

1. Durum Çalışması ve Tartışma Sorusu

Akademik Özgeçmiş - TED Üniversitesi

TED University Performance Indicators for the