ÇOK KADEMEL STOK YÖNET M ve DAĞITIM OPT M ZASYONU

Transkript

T.C.
İSTANBUL ÜNİVERSİTESİ
SOSYAL BİLİMLER ENSTİTÜSÜ
İŞLETME ANABİLİM DALI
ÜRETİM BİLİM DALI
DOKTORA TEZİ
ÇOK KADEMELİ STOK YÖNETİMİ ve
DAĞITIM OPTİMİZASYONU
A. Fahri Negüs
2502050249
Danışman Öğretim Üyesi
Doç. Dr. Necdet Özçakar
İstanbul – 2008
i
TEZ ONAYI
ii
ÖZET
Üretilen malların, dağınık bir şekilde bulunan yerel müşteri ve tüketicilere
etkin bir şekilde ve en düşük maliyetle ulaştırılması, bir dağıtım ağında karşılaşılan
en temel problemdir. Bu çalışmada unlu gıda maddeleri üreten ve bunların, Türkiye
dahilinde 50 ildeki 10.000 civarında perakendeci ve son kullanıcıya dağıtımını yapan
bir işletmenin çok kademeli stok ve taşıma maliyetleri ele alınmaktadır.
Burada problem, bu ve benzeri işletmeler için, tesis edilecek bölgesel dağıtım
depolarının sayısının, konumlarının, perakendeci ve son kullanıcıların hangi dağıtım
depolarından ikmal edilmeleri ve stok politikalarının ne şekilde yönetilmesi
gerektiğinin belirlenmesidir. Amaç, toplam stok, dağıtım ve depo işletme giderlerinin
en aza indirilmesidir.
Bu çalışmada problem iki alt problem olarak ele alınmaktadır. Önce taşıma
ve işletme maliyetleri en az olacak şekilde bölgesel dağıtım depolarının sayısı ve
konumları belirlenmekte, daha sonra her dağıtım deposu ve perakendeci için
optimum sipariş periyodu hesaplanmaktadır. Burada ele alınan örnekte olduğu gibi,
çok sayıda değişkenin, ayrıca doğrusallıktan sapmaların da söz konusu olduğu geniş
kapsamlı dağıtım ağlarında, doğrusal programlama ve çözüm yöntemlerinin
doğrudan uygulanması çoğunlukla mümkün olmamaktadır. Bu tip problemlerin
çözümünde sezgisel yöntemler, esneklik, yapılabilirlik ve kısa bilgi işleme süreleri
gibi, çeşitli avantajlar sağlamaktadır. Bu çalışmada da dağıtım depolarının sayısı ve
konumları oluşturulan bir sezgisel yöntem kullanılarak belirlenmektedir. Son olarak,
problemin karmaşıklığı da gözönüne alınarak, sipariş periyotları önce gevşek
problem olarak anılan daha basit bir problemin çözümleri olarak elde edilmekte,
daha sonra bu sonuçlar uygun şekilde yuvarlatılarak yapılabilir bir son çözüme
ulaşılmaktadır.
iii
ABSTRACT
The delivery of goods efficiently from supplier/s to local retailers and endusers at a minimum cost is a major problem in a distribution network. In this
research, the distribution network design problem integrating multiechelon inventory
and transportation costs for a company in food secteur who produces and delivers
goods to more than 10.000 retailers and end-users in 50 different cities in Turkey, is
studied. The trade-off between inventory cost, direct shipment to end users / retailers
cost and facility operating cost is considered.
The problem is to determine how many warehouses to set up, their locations,
how to serve the end users / retailers through these warehouses and the optimal
inventory policies for the warehouses and retailers. The objective is to minimize the
total multiechelon inventory, transportation and facility operating costs.
The problem is divided into two sub-problems: determining and locating the
warehouses to have minimum distribution cost and then calculating the optimal order
cycles for every warehouse and retailer. The linear programming algorithms
available for the optimisation of the routing of shipments in multi-warehouse, multidestination systems cannot be applied directly to general and large distribution
networks, due to the large number of variables and nonlinearities involved. In this
research, a heuristic for locating warehouses is used. The heuristic approach offers
significant advantages to solve this class of problems such as, providing flexibility
for the solution, feasibility for large-scale locating problems and economical
computing time. Finally, the inventory policy problem, being also too difficult to
work directly, is first solved as a simpler problem called the relaxed problem, next by
rounding off the relaxed problem’s solution, a feasible solution is obtained.
iv
ÖNSÖZ
Bu çalışmada unlu gıda maddeleri üreten ve bunların, Türkiye dahilinde
Doğu Anadolu ve Doğu Karadeniz bölgeleri hariç, 50 ilde yer alan 10.000 civarında
market, otel, lokanta, büfe ve benzeri perakendeci ve son kullanıcıya dağıtımını
yapan bir işletmenin stok ve dağıtım maliyetleri çok kademeli stok kavramı
anlayışıyla ele alınmıştır.
Karşılaşılan problem burada ele alınan örnek işletme ve benzeri işletmeler
için, tüketicilere en etkin biçimde hizmet verecek şekilde, tesis edilecek bölgesel
dağıtım depolarının sayısının, konumlarının ve bu dağıtım depolarından hangi
perakendeci ve son kullanıcılara hizmet verileceğinin belirlenmesidir. Ayrıca, hizmet
kalitesinin yanı sıra bir işletmenin temel amaçlarından biri olan, bu işlemlerin sipariş,
stok, taşıma ve depo işletme giderleri gibi genel anlamda dağıtım maliyetini
oluşturan unsurların en aza indirilmesi için, sipariş ve stok politikalarının ne şekilde
yönetilmesi gerektiği irdelenmelidir.
Öncelikle problemin taşıma, depo işletme maliyetleri ve stok maliyetlerini
içeren toplam dağıtım maliyet formülü ortaya konulmuştur. Bu küme bölüntülemeli
tamsayılı doğrusal programlama (set-partitioning integer-programming) modeli olup,
kuramsal olarak bu problemin sütun üretme yöntemi ile çözülebilmesi olasıdır. Bu
tarz bir çözümde sütun üretme işlemsel sürecinden kaynaklanan, fiyatlandırma alt
problemi olarak adlandırılabilecek, bir tali problem ortaya çıkar; bu ise bir alt
modüler fonksiyon minimizasyonu problemi şeklinde ele alınarak çözülebilir.
Bununla birlikte, pratikte gerek çok sayıdaki değişken, gerek fonksiyonlardaki
doğrusallıktan sapmalar sebebiyle, bu tür bir uygulama genelde yapılabilir değildir.
Bu sebeplerle, aşağıdaki çalışmada problem iki ayrı problem olarak ele
alınmıştır. Öncelikle taşıma ve depo işletme maliyetleri en az olacak şekilde bölgesel
dağıtım depolarının sayısı ve konumları, oluşturulan bir işlemsel süreç ile
belirlenmiştir. Daha sonra her dağıtım deposu ve perakendecilerin yer aldığı iller
için optimum sipariş periyotları hesaplanmıştır. Burada ele alınan örnekte olduğu
v
gibi, çok sayıda değişkenin, ayrıca doğrusallıktan sapmaların da söz konusu olduğu
geniş kapsamlı dağıtım ağlarında, doğrusal programlama ve çözüm yöntemlerinin
doğrudan uygulanması çoğunlukla mümkün olmamaktadır. Bu tip problemlerin
çözümünde sezgisel yöntemlerin, esneklik, yapılabilirlik ve kısa bilgi işleme süreleri
gibi, sağladığı çeşitli avantajlar da düşünülerek bu çalışmada dağıtım depolarının
sayısı ve konumları oluşturulan bir sezgisel yöntem kullanılarak belirlenmiştir.
Sonraki aşamada stok politikası ele alınmıştır; gevşek problem olarak anılan bir
problemin çözümleri olarak elde edilen sonuçlar anlamlı olabilmeleri
amacıyla
uygun şekilde tamsayılara yuvarlatılarak, sipariş periyotları için yapılabilir bir
çözüme ulaşılmıştır.
Son olarak, bu çalışmayı hazırlarken, bana manevi olarak büyük destek
sağlayan ve çeşitli aşamalarda karşılaştığım sorunların çözümünde yardımlarını
esirgemeyen, beni destekleyerek yüreklendiren değerli hocalarım, İstanbul
Üniversitesi İşletme Fakültesi Dekan Yardımcısı ve Üretim Ana Bilim Dalı başkanı
tez danışmanım Doç. Dr. Necdet Özçakar’a, tez izleme komitesi üyeleri Galatasaray
Üniversitesi öğretim üyesi Prof. Dr. Mehmet Yaman Öztek’e ve İstanbul Üniversitesi
öğretim üyesi Yrd. Doç. Dr. Faik Başaran’a, ayrıca İstanbul Üniversitesi öğretim
üyeleri Doç. Dr. Mehpare Timor ve Yrd. Doç. Dr. Alp Baray’a içtenlikle teşekkür
ederim.
Yük. Müh. A. Fahri NEGÜS
Aralık 2008
vi
İÇİNDEKİLER
TEZ ONAYI ................................................................................................ ii
ÖZET.......................................................................................................... iii
ABSTRACT................................................................................................ iv
ÖNSÖZ.........................................................................................................v
İÇİNDEKİLER .......................................................................................... vii
TABLOLAR LİSTESİ ................................................................................ xi
ŞEKİLLER LİSTESİ.................................................................................. xii
SEMBOLLER LİSTESİ .............................................................................xiv
KISALTMALAR LİSTESİ ...................................................................... xvii
GİRİŞ..........................................................................................................19
1
STOK KONTROL KAVRAMI ve TALEP TAHMİNLERİ ..................22
1.1
Giriş...............................................................................................22
1.2
Talep Tahminleri............................................................................24
1.3
Talep Tahmin Yöntemleri ..............................................................25
1.4
Zaman Serileri................................................................................27
1.5
Zaman Serilerinin Bileşenlerine Ayrılması .....................................28
1.5.1 Trendin Belirlenmesi ................................................................30
1.5.1.1 Zaman serilerinde regresyon analizi ...................................30
1.5.1.2 Hareketli Ortalamalar .........................................................31
1.5.2 Mevsim Etkisinin Belirlenmesi .................................................33
1.5.3 Konjonktür ve Arızi Faktörlerin Etkilerinin Belirlenmesi..........35
1.6
Üstel Düzgünleştirme Yöntemleri ..................................................36
1.6.1 Tekli Basit Üstel Düzgünleştirme Yöntemi ...............................37
1.6.2 Doğrusal Hareketli Ortalamalar Yöntemi..................................38
1.6.3 Brown’ın Tek Parametreli Doğrusal Üstel Düzgünleştirme
Yöntemi
.................................................................................................39
vii
1.6.4 Holt’un İki Parametreli Doğrusal Üstel Düzgünleştirme Yöntemi
.................................................................................................39
1.6.5 Doğrusal ve Mevsimsel Üstel Düzgünleştirme (Winters) Yöntemi
.................................................................................................40
2
1.7
Stokların Sınıflandırılması..............................................................41
1.8
Stok Kontrolünden Etkilenen Maliyet Unsurları .............................43
1.9
Stok Kontrol Yöntemleri ................................................................49
STOK KONTROL MODELLERİ .........................................................53
2.1
Giriş...............................................................................................53
2.2
Sabit Talep Durumunda Bir Kalem için Stok Kontrol Modelleri.....55
2.2.1 Ekonomik Sipariş Miktarı (ESM) Modeli .................................55
2.2.2 Sürekli Tedarik Halinde ESM Hesabı .......................................61
2.2.3 Miktar İskontosu ile ESM Hesabı .............................................64
2.2.3.1 Artımlı Miktar İskontosu Durumunda ESM Hesabı ............66
2.2.3.2 Tüm Partiye Miktar İskontosu Uygulandığında ESM Hesabı.
...........................................................................................68
2.2.4 Elde Bulundurmama Durumunda ESM Hesabı .........................70
2.2.4.1 Temel Model......................................................................70
2.2.4.2 Sipariş Bakiyesinin Kısıtlandığı Model ..............................75
2.2.4.3 Ortalama Bekleme Süresi ...................................................76
2.2.4.4 Satış Kayıpları....................................................................77
2.2.5 Hatalı Mallar Sözkonusu Olduğunda ESM Hesabı ....................78
2.2.5.1 Hatalı Malların ESM’ye Etkisi ...........................................78
2.2.5.2 Sürekli Tedarik Durumunda Hatalı Malların ESM’ye Etkisi ..
...........................................................................................80
2.2.5.3 Zamanla Bozulan Ürünlerin ESM’ye Etkisi........................80
2.2.6 Cari Değer (İskontolu Maliyet) Kriteri......................................82
2.3
Değişken Ancak Öngörülebilir Talep Durumunda Bir Kalem için
Stok Kontrol Modelleri........................................................................................86
2.3.1 Değişken Talep Durumunda ESM Modeli.................................88
2.3.1.1 Değişkenliğin Küçük Olduğu Durumda ESM Modeli.........88
2.3.1.2 Değişkenliğin Hızlı Olduğu Durumda ESM Modeli ...........89
viii
2.3.1.3 Değişkenliğin Yavaş Olduğu Durumda ESM Modeli..........90
2.3.1.4 Sonlu Üretim Hızı Durumunda ESM Modeli ......................92
2.3.2 Dinamik Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli ..............................94
2.3.2.1 Doğrusal Maliyet Durumu..................................................97
2.3.2.2 Ağ Şebeke Tasarımı ve Çözümü.........................................98
2.3.2.3 Sezgisel yöntemler - Silver – Meal Sezgisel yöntemi........101
2.3.2.4 DESM Modelinin Uygulaması ile İlgili Yorumlar ............103
2.3.2.5 Temel DESM Modelinden Ayrılmalar..............................104
3
ÇOK KADEMELİ STOK KONTROL MODELLERİ ve DAĞITIM
OPTİMİZASYONU..............................................................................................109
3.1
Giriş.............................................................................................109
3.2
Üretim ve Dağıtımda Çok Kademeli Stok Sistemleri ....................111
3.3
Bağımsız Unsurlar için Stok Modelleri.........................................116
3.3.1 Toplam Başarım Ölçüleri........................................................116
3.3.2 cS-wF Grafiği .........................................................................118
3.3.3 Maliyet Tahmini ve Optimizasyon ..........................................119
3.4
Kademeli Seri Sistemler için Stok Modelleri ................................122
3.4.1 Varsayımlar ............................................................................122
3.4.2 Kademeler ve Kademe Stokları Kavramı ................................124
3.4.3 Politika Özellikleri..................................................................128
3.4.4 Yapılabilir Politika Oluşturma ................................................137
3.4.4.1 Temel Periyot Kullanarak Politika Oluşturma...................138
3.4.4.2 Temel Periyot Kullanmadan Politika Oluşturma...............139
3.4.5 Yorumlar ................................................................................142
3.5
Kademeli Ağaç Sistemler için Stok Modelleri ..............................145
3.5.1 Ağ Şebeke Yapısı ve Varsayımlar...........................................145
3.5.2 Kademeler ve Kademe Stokları...............................................150
3.5.3 Politika Özellikleri..................................................................150
3.5.4 Gevşek Problem......................................................................151
3.5.5 Yapılabilir Politika Oluşturma ................................................154
3.6
Eşgüdümlü Tedarik – Kapsam Ekonomisi ....................................157
3.6.1 Birleşik İkmal Problemi..........................................................157
ix
3.7
Değişken Talep Durumunda Stok Modelleri.................................160
3.7.1 Özgün Model..........................................................................160
3.7.2 Sınırlı Kapasite Durumu .........................................................165
3.8
Malzeme İhtiyaç Planlaması.........................................................166
3.9
Dağıtım Sistemleri ve Depolama ..................................................168
3.9.1 Dağıtımın Önemi ....................................................................168
3.9.2 Depolama ...............................................................................169
3.9.3 Depo Sayısı ve Boyutları ........................................................170
3.9.4 Depo Yerinin Seçimi ..............................................................174
4
MODEL, YÖNTEM ve AMAÇ ..........................................................177
4.1
Giriş.............................................................................................177
4.2
Bir Depo Çok Perakendecili Dağıtım Problemi ............................179
4.3
Model ..........................................................................................182
4.3.1 Varsayımlar ............................................................................183
4.3.2 Kullanılan Semboller ..............................................................186
4.3.3 Amaç Fonksiyonu...................................................................188
4.3.4 Depolar – Perakendeciler Atama Problemi..............................191
4.3.5 Dağıtım
Belirlenmesi
Depolarının
Konumlarının
Sezgisel
Yöntem
ile
...............................................................................................193
4.4
Sezgisel Yöntemin Modele Uygulanması .....................................200
4.5
Stok Miktarları ve Sipariş Periyotları ...........................................218
SONUÇ.....................................................................................................224
KAYNAKÇA............................................................................................232
ÖZGEÇMİŞ ..............................................................................................238
x
TABLOLAR LİSTESİ
Tablo 4-1. Elleçlenen ürün miktarına bağlı olarak toplam depo işletme maliyetleri
......................................................................................................................201
Tablo 4-2. Dağıtım Yapılan İller Aylık Satış Payları ............................................203
Tablo 4-3. Sezgisel Model ve 0-1 Doğrusal Programlama ile Elde Edilen Sonuçların
Karşılaştırılması.............................................................................................204
Tablo 4-4. Sezgisel Yöntem ile Birinci Aşamada Elde Edilen Aylık Dağıtım
Maliyetinin DMAX ile Değişimi....................................................................205
Tablo 4-5. Sezgisel Yöntem ile DMAX = 350 km Alarak Birinci Aşamada Elde
Edilen Dağıtım Planı......................................................................................206
Tablo 4-7. Sezgisel Yöntem ile DMAX = 350 km Alarak İkinci Aşamada Elde Edilen
Dağıtım Planı.................................................................................................207
Tablo 4-8. Sezgisel Yöntem ile DMAX = 400 km Alarak İkinci Aşamada Elde Edilen
Dağıtım Planı.................................................................................................207
Tablo 4-9. Sezgisel Yöntem ile DMAX = 350 km Alarak Üçüncü Aşamada Elde
Tablo 4-11. Sezgisel Yöntem ile Elde Edilen Optimum Aylık Dağıtım Maliyetinin
DMAX ile Değişimi.......................................................................................209
Tablo 4-12. Sezgisel Yöntem ile Her Aşamada DMAX = 350 km Kısıtlaması
Uygulanarak Elde Edilen Optimum Dağıtım Planı ........................................210
Uygulanarak Elde Edilen Optimum Dağıtım Planı ........................................210
Tablo 4-14. Önerilen dağıtım planına göre toplam dağıtım ve stok maliyetleri. ....220
xi
ŞEKİLLER LİSTESİ
Şekil 1-1. Talep tahmin sisteminin genel akış şeması. .............................................25
Şekil 1-2. Sabit sipariş periyodu yöntemine göre stok kontrolünün unsurları...........50
Şekil 1-3. Sabit sipariş miktarı yöntemine göre stok kontrolünün unsurları. ............51
Şekil 2-1. Sabit sipariş miktarı yönteminde stok pozisyonu ve stok seviyesi ...........54
Şekil 2-2. Tüketim hızı sabit olan bir stok kalemi için stok miktarı .........................56
Şekil 2-3. Ekonomik sipariş miktarının TSM eğrisi yardımıyla bulunması. .............58
Şekil 2-4. Sürekli tedarik durumunda stok seviyesi .................................................61
Şekil 2-5. Tüm partiye miktar iskontosu uygulandığında TSM’nin değişimi ...........68
Şekil 2-6. Elde bulundurmama durumunda net stok seviyesinin değişimi................71
Şekil 2-7. Elde bulundurmama durumunda çevrimin iki aşaması ............................72
Şekil 2-8. r = %12,5 ve r = %25 faiz oranları için özgün ESM ve cari değer kriteri ile
bulunan sipariş periyodlarının karşılaştırması...................................................85
Şekil 2-9. Talebin hızlı değiştiği durumunda stok seviyesi ......................................89
Şekil 2-10. Sabit kapasite durumunda değişken talep ..............................................93
Şekil 2-11. T = 5 için ağ şebeke modeli ve olası bir yol seçimi................................98
Şekil 2-12. Sipariş bakiyeleri durumunda DESM için ağ şebeke modeli................107
Şekil 3-1. Temel bir tedarik zinciri örneğinde işlemler ve stoklar..........................110
Şekil 3-2. Seri halde iki kademeli stok sistemi ......................................................112
Şekil 3-3. Çok kademeli bir üretim / montaj sistemi..............................................112
Şekil 3-4. Çok kademeli bir dağıtım sistemi..........................................................113
Şekil 3-5. Ağaç (a) ve genelleştirilmiş karma (b) sistemler....................................114
Şekil 3-6. Çok kademeli üretim sistemi örneğine ait ürün ağacı ............................115
Şekil 3-7. cS – wF grafiği ....................................................................................119
Şekil 3-8. J aşamalı seri sistem ............................................................................122
Şekil 3-9. 4 aşamalı bir seri sistemde kademeler ...................................................124
Şekil 3-10. Zaman içinde yerel stokların değişimi.................................................126
Şekil 3-11. Zaman içinde kademe stokların değişimi ............................................126
xii
Şekil 3-12. Alt gruplar ..........................................................................................132
Şekil 3-13. Birikimli maliyet grafiği. ....................................................................134
Şekil 3-14. Dışbükeyleştirilmiş birikimli maliyet grafiği.......................................134
Şekil 3-15. u’, [1,2[ aralığında değiştiğinde u(m)’in değişimi (u* = 3,464 için).....140
Şekil 3-16. Tedarik süreli kademeli bir montaj sistemi..........................................147
Şekil 3-17. Tedarik süreli kademeli bir dağıtım sistemi.........................................147
Şekil 3-18. Tedarik süreli kademeli bir ağaç sistem...............................................148
Şekil 3-19. Tedarik süreli kademeli bir karma sistem ............................................149
Şekil 3-20. Ağaç sistemlerde gruplar ....................................................................152
Şekil 3-21. 1 depo ve 2 perakendeciden oluşan dağıtım sistemi.............................154
Şekil 3-22. 2 perakendecili dağıtım sistemi için genişletilmiş ağ şebeke................155
Şekil 3-23. Birleşik ikmal sistemine eşdeğer dağıtım sistemi ................................159
Şekil 3-24. Fiziksel tedarik ve dağıtımda depoların kullanım şekilleri...................171
Şekil 3-25. Depo sayısı ile lojistik maliyetleri arasındaki bağıntı...........................174
Şekil 4-1. Bir depo çok perakendecili doğrudan dağıtım sistemi ...........................179
Şekil 4-2. Bölgesel dağıtım merkezlerinden son tüketicilere (veya perakendecilere)
dağıtım ..........................................................................................................182
Şekil 4-3. Depo işletme maliyeti fonksiyonları......................................................186
Şekil 4-4. Depo işletme maliyetinin elleçlenen ürün miktarına bağlı olarak değişimi
......................................................................................................................201
Şekil 4-5. Sezgisel yöntem ile birinci aşamada elde edilen aylık dağıtım maliyetinin
DMAX ile değişimi. ......................................................................................205
Şekil 4-6. 1. Aşama dağıtım planı (DMAX = 400 km, Toplam Dağıtım Maliyeti :
475.534,90 YTL) ...........................................................................................211
Şekil 4-7. 2. ve 3. Aşamalar sonunda optimum dağıtım planı (DMAX = 400 km,
Toplam Dağıtım Maliyeti : 452.693,20 YTL).................................................212
Şekil 4-8. Bursa’da bir bölgesel dağıtım deposunun daha açıldığı seçenek (DMAX =
400 km, Toplam Dağıtım Maliyeti : 456.740,70 YTL) ...................................214
xiii
SEMBOLLER LİSTESİ
Aw
w deposunun ikmal ettiği perakendecilerin alt kümesi
b
Elde bulundurmama maliyeti (para birimi/birim miktar)
b0,w
Ana depo ile w bölgesel dağıtım deposu arasındaki birim taşıma maliyeti
(Para birimi / Birim mal değeri.km)
bw, j
w bölgesel dağıtım deposu ile j perakendecisinin bulunduğu il arasındaki
birim taşıma maliyeti (Para birimi / Birim mal değeri.km)
B(t)
t anındaki sipariş bakiyesi veya bekletilen siparişler (birim miktar)
BW
Ortalama sipariş bekleme süresi (birim zaman)
c
Sipariş başına değişken maliyet (para birimi/birim miktar)
ci(t)
i unsurunun t anındaki değişken sipariş maliyeti
C
Toplam sipariş maliyeti (para birimi)
Cw,Aw
w dağıtım deposunun Aw alt kümesindeki perakendecileri ikmal etmesi
durumunda oluşacak toplam maliyet
card(A)
A kümesinin eleman sayısı [card(A)=|A|]
cS
Toplam stok yatırımı
d
Birim zamandaki talep miktarı - tüketim hızı (birim mal/birim zaman)
d’i(t)
i unsuruna t anındaki yerel talep
dj
j perakendecisinin aylık talebi
D
Birikimli talep miktarı
DMAX
Depolar ile bağlı iller arasındaki azami uzaklık (km)
Dw
w dağıtım deposundan sevkedilen aylık mal miktarı
fw
w deposu için aylık depo değişken işletme maliyeti katsayısı
Fw
w deposu için aylık toplam depo işletme maliyeti
F’w
w deposu için aylık sabit işletme maliyeti
h
Stokta bulundurma maliyeti (para birimi/birim miktar)
hd
Doğrudan stokta bulundurma maliyeti (para birimi/birim miktar)
h’j
j. inci unsur için elde bulundurma maliyeti
xiv
hj
j. inci kademe için elde bulundurma maliyeti
h’i(t)
i unsurunun t anındaki yerel elde bulundurma maliyeti
hr’j
j perakendecisi için birim mal başına aylık elde bulundurma maliyeti
hw’w
w dağıtım deposu için birim mal başına aylık elde bulundurma maliyeti
h’0
Ana depo için birim mal başına aylık elde bulundurma maliyeti
I(w,Aw)
durumunda oluşacak ikmal maliyeti
IL%
Dağıtım yapılan il sayısı
j
Perakendeciler indeksi (j = 1, 2, ..... , J)
k
Sipariş başına sabit maliyet (para birimi)
kj
j. inci unsur için sabit sipariş maliyeti
ki(t)
i unsurunun t anındaki sabit sipariş maliyeti
krj
j perakendecisi için sabit sipariş maliyeti
kww
w dağıtım deposu için sabit sipariş maliyeti
k0
Ana depo için sabit sipariş maliyeti
L
Tedarik süresi (birim zaman)
L’ j
j. inci unsur için tedarik süresi
−
Lj
j. inci unsur için ileri kademe tedarik süresi (forward echelon leadtime)
L’i j
i ve j arasındaki işlemlerin süresi
nw
Ana deponun w dağıtım deposuna uzaklığı
nw,,j
w dağıtım deposunun j perakendecisine uzaklığı
next(m)
m‘den bir sonraki grup
NS(t)
t anındaki net stok seviyesi (birim miktar)
Pre(j)
j.inci unsurun öncellerinin kümesi
prev(m)
m‘den bir önceki grup
q
Sipariş miktarı (birim miktar)
r
Faiz oranı
R
Yeniden sipariş noktası (birim miktar)
S(t)
t anındaki stok seviyesi (birim miktar)
S’i (t)
t anındaki i.inci aşama yerel stok seviyesi
Si(t)
t anındaki i.inci kademe stok seviyesi
xv
SF
Sipariş frekansı (Adet sipariş, SF = 1/u)
SP(t)
t anındaki stok pozisyonu (birim miktar)
Suc(i)
i.inci unsurun ardıllarının kümesi
SW
Ortalama stokta bekleme süresi (birim zaman)
t
Zaman indeksi
T
Plan ufku
u
Siparişler arasındaki süre, sipariş periyodu, zaman indeksi
urj
j perakendecisi için sipariş periyodu
uww
w dağıtım deposu için sipariş periyodu
u0
Ana depo için sipariş periyodu
w
Depo indeksi, işyükü (workload)
wF
Toplam iş yükü
x'i(t)
i unsurunun t anındaki yerel stok seviyesi
zi(t)
i unsurunun t anındaki sipariş miktarı
α
Düzgünleştirme sabiti
δ
Hatalı mal oranı
δ(.)
Heaviside fonksiyonu
ε (x)
Hata fonksiyonu
ζ
Elde bulundurmama oranı ( ζ = ν q )
η
Elde bulundurma maliyeti çarpanı
θw,j
Ana depodan w deposu yoluyla j perakendecisine gönderilen ürünler için
aylık taşıma maliyeti
κ
Sabit sipariş maliyeti çarpanı
µ
Üretim hızı (birim mal/birim zaman)
ξ
Hatasız mal oranı ( ξ = 1 − δ )
ν
Sipariş bakiyesi (bekletilen sipariş) miktarı (birim miktar)
νw,j
Depoların ikmal ettiği perakendecilerle ilgili ikili değişken
ρ
Kullanım oranı ( ρ = d µ )
τ
Hazırlık süresi (birim zaman)
ωw
w deposu ile ilgili ikili değişken
xvi
KISALTMALAR LİSTESİ
Dipnotlar ve kaynakçalar için kısaltmalar :
a.e.
Aynı eser / yer
a.g.e.
Adı geçen eser
a.y.
Yazara ait son zikredilen yer,
b.a.
Eserin bütününe atıf
Bkz.:
Bakınız
Bkz.:aş.
Eserin kendi içinde aşağıya atıf
Bkz.:yuk. Eserin kendi içinde yukarıya atıf
Çev.
Çeviren
Ed.
Editör
Haz.
Yayına hazırlayan
Iss.
Sayı
s.
Sayfa / sayfalar
t.y.
Basım tarihi yok
v.d.
Çok yazarlı eserlerde ilk yazardan sonrakiler
Vol.
Cilt
y.y.
Basım yeri yok
xvii
Diğer kısaltmalar :
A
Arızi faktörlerin etkisi
BDÇP
Bir depo çok perakendeci
DESM
Dinamik ekonomik sipariş miktarı
DP
Doğrusal programlama
DPDT
Depolar–perakendeciler dağıtım ağı tasarımı
ESM
Ekonomik sipariş miktarı
JIT
Just-in-Time (Tam zamanında üretim)
KTDP
Karma tamsayılı doğrusal programlama
K
Konjonktür etkisi
M
Mevsim etkisi
Mİ
Mevsim indeksi
MRP
Malzeme ihtiyaç planlaması (Material requirement planning)
NSD
Net stok seviyesi
ÜPK
Üretim planlama ve kontrol
SF
Sipariş frekansı
SP
Stok pozisyonu (Stock position)
SD
Stok seviyesi (Stock level)
T
Trend
TDP
Tamsayılı doğrusal programlama
TSM
Toplam sipariş maliyeti
YA
Yöneylem araştırması
xviii
GİRİŞ
İşletme, kar amacı ile oluşturulan ve mal veya hizmet üreterek, diğer bir
deyişle fayda yaratarak, bu amaca ulaşmaya çalışan bir kuruluş olarak tanımlanır.
Bunu gerçekleştirmek için tüm üretim unsurlarının belirli şartlar ve yöntemlerle bir
araya getirilerek kullanılması gerekir. Modern üretim çok sayıda farklı elemanın bir
birleşimidir. Ancak genel anlamda üretim kısaca, hammadde, işçilik ve sermaye
unsurlarının birleşimi ve bunların yönetimi olarak tanımlanabilir. Tüm bu temel
unsurlar arzu edilen azami faydayı sağlamak için biraraya getirilmeli, bunların
eşgüdümü ve kontrolü sağlanmalıdır. Temel üretim unsurları uygun ve etkin olarak
yönetilmezlerse üretim yapılsa bile bundan istenen fayda sağlanamaz. Örneğin,
piyasanın talebinden fazla üretim yapılır ve bunlar satılamazsa hammadde, işgücü ve
sermaye israf edilmiş olur; zaman içinde ürünlerin bozulması, piyasada
çekiciliklerini yitirmeleri veya en azından stokta durmalarında dolayı eldeki
sermayenin azalması sonucunda üretim bile yapılamaz hale gelinebilir.İkinci Dünya
Savaşı sonrasında, özellikle de 1990’lardan sonra işletme yönetimi anlayışı devrim
niteliğinde gelişme ve değişmelere sahne olmuştur. 1980’lerin ortalarına kadar
işletme yönetiminde, tanımlı meslekler çerçevesinde, mamul mühendisliği, metod
mühendisliği, satınalma, üretim, kalite kontrol, pazarlama ve satış, personel, nakliye,
müşteri hizmetleri vb. şeklinde, işletme içindeki çeşitli bölümlerin organizasyonu,
her bölümün de kendi içinde geliştirilmesi ve veriminin arttırılması şeklinde dikey
bir yönetim anlayışı önde gelmiştir. Bu anlayışla özellikle ticari anlamda ve
araştırma - geliştirme alanındaki evrim ve iyileştirme çalışmaları dikkat çekicidir. Bu
dönemde karşılaşılan başlıca sorunlar gelişen teknolojiye bağlı olarak ürünlerin
giderek karmaşıklaşması ve bunun sonucunda üretim işlemlerinin çeşitlenmesi ve
sayılarının artması, diğer taraftan rekabet artışı, hatta bazı ürünlerde dünya çapındaki
rekabete koşut olarak teslimat, dolayısıyla üretim sürelerinin kısaltılması gereksinimi
gibi problemlerdir. Bu sorunların üstesinden gelebilmek amacıyla da, malzeme
tedarik planlaması (MRP, Material Resource Planning), tam zamanında üretim
19
(JIT, Just - in - time), toplam kalite yönetimi (TQM, Total Quality Management)
gibi, ancak çoğunlukla sınırlı alanları kapsayan, özellikle de üretim süreçlerinin
kısaltılması ve kalitenin arttırılmasına yönelik işletme teknikleri geliştirilmiştir.
Ancak, 1990’lardan itibaren, giderek artan rekabet baskısı ile iletişim ve bilgi
teknolojilerindeki gelişmelerle beraber, ürünün piyasaya sunum süresi (time to
market) en önemli rekabet unsuru olarak algılanmaya başlamıştır. Müşterinin
istekleri ve klasik kalite anlayışının değişmesi, alışılagelmiş garanti anlayışının
ötesinde verilen servisin kalitesi, stokların ve hatalı üretimin en aza indirilmesi, ürün
ve müşteri taleplerinin takibi gibi hususların da rekabette oynadığı rol göz önüne
alındığında, işletmeler arayışlarını hızlandırmak ve yeni teknikler geliştirmek
zorunda kalmışlardır. Bunlar kısaca, üretim faaliyetlerinin entegrasyonu, üretim
sistemlerinin esnekleştirilmesi, tepki sürelerinin kısaltılması, hammadde girişinden
son ürüne kadar işlemlerin sürekliliği, bilgi ve iletişim potansiyelinin arttırılması gibi
tedbirler olmuştur. Bu çerçevede işletmecilikte devrim niteliğindeki bu tekniklerin ve
değişimlerin hepsine yönelik bir yaklaşım olarak tedarik zinciri anlayışı ön plana
çıkmıştır.
Günümüzün modern işletmeleri, rekabet üstünlüğü elde etmek için işletmeler
arası ilişkilerin önemini anlamış ve gerek tedarikçileri, gerek müşterileriyle olan
ilişkilerini karşılıklı işbirliği ve çıkar esasına bağlı olarak yeniden yapılandırmaya
başlamışlardır. Özellikle, tedarikçilerle geliştirilen sıkı işbirliğinin, ürün kalitesinin
arttırılması, satın alınan hammadde ve ürünlerin maliyetlerinin düşürülmesi, üretim
ve dağıtım esnekliği, müşteri memnuniyetinin artırılması gibi konularda, son derece
olumlu katkılar sağladığını görmüşlerdir. Tedarik zinciri kavramı, iş ortakları,
tedarikçiler, imalatçılar, perakendeciler ve müşteriler arasında, iletişim, projeleri
ortak bir alan üzerinden takip etmek ve yönetmek, müşteri isteklerini en etkin bir
şekilde karşılayabilmek, kaynakları en yüksek verimle kullanmak, maliyetleri
azaltmak, planlı, hızlı ve esnek bir tedarik, üretim ve dağıtım sistemi kurmak ve
yönetmek amaçları ile ortaya çıkmış bir kavramdır. Bir işletmenin tedarik zinciri,
hammadde temini, hammadde ve yarı ürünlerin işlenmiş ürüne dönüştürmesi yani
üretim işlemleri ve bunun ardından bitmiş ürünlerin dağıtım kanalları aracılığıyla
nihai tüketiciye kadar ulaştırılması sırasında değer yaratan bütün unsurlar olarak
değerlendirilir.
20
Bugün, üreticiden nihai tüketiciye kadar herkesin beklentisi, kaliteli hizmet
veren, ürünü kolay ve uygun fiyatla bulunan, verdiği sözü yerine getiren güvenilir
işletmelerle çalışmaktır. Bunun yolu ise iyi düzenlenmiş bir tedarik zinciri kurmak ve
başarılı bir şekilde yönetmekten geçmektedir. Tedarik zinciri yönetimi dendiğinde
artık sadece üreticiden tüketiciye malı ulaştırma işi anlaşılmamaktadır; tedarik zinciri
yönetimi bundan daha geniş ve karmaşık ilişkiler bütünü olarak tanımlanabilir. Bu
bütünde herkes alıcı, herkes satıcı olmak ve herkes birbirinin ne yaptığını iyi bilmek,
takip etmek ve işinde uzmanlaşmak durumundadır. Sonuç olarak tedarik zinciri, bir
işin akışını bilgi yönetimi ve bilgi teknolojileri ile yoğurarak yine teknolojik altyapı
üzerinden yönetmektir. Tüm bu sonuçlarla ortaya çıkan tedarik zinciri anlayışı,
işletmeler arası bütün ilişkileri, haberleşmeyi, üretimin planlanmasını ve ürün
bilgilerinin yönetilmesini, tedarikçiler ve alıcılar arasındaki eşgüdümü, iş
süreçlerinden tüm üreticilerin, tedarikçilerin ve alıcıların haberdar olmasını, projelere
olası durumlar karşısında yeni yönler verebilmeyi, kaynak ve zaman planlamasını
sağlar.
Gerek yukarıda betimlendiği gibi modern bir tedarik zinciri içinde olsun,
gerek bağımsız bir işletmede olsun, hammadde temini, üretim ve ürünlerinin
dağıtımında en önemli maliyet unsurlarından biri de sistemdeki stokların miktarı ve
ürünlerin nihai tüketiciye ulaştırılmalarına kadar geçen süreçte yüklenilmesi gereken
giderlerdir. Bu nedenle günümüz modern işletmelerinde stok kontrolü ve ürün
dağıtımının en uygun şartlarla gerçekleştirilmesinin sağlanması, pazardaki fiyat
rekabeti ve karlılık üzerindeki doğrudan etkilerinden dolayı titizlikle takip edilen bir
unsurdur.
Bu çalışmada önce, ikinci bölümde genel anlamda stok kavramı ve kontrolü,
üçüncü bölümde tek bir mal için stok modelleri ve dördüncü bölümde çok kademeli
stok kontrolü kavramları ve ilgili bazı stok modelleri ele alınacaktır. Daha sonra, kısa
raf ömrüne (5-7 gün) sahip unlu gıda ürünleri üreten bir işletme için perakendecilere
ve/veya son kullanıcılara kurulacak bölgesel dağıtım merkezlerinden sevkiyat
yapılması durumunda toplam dağıtım maliyeti analiz edilecek ve dağıtım
merkezlerinin optimum sayısı ve yerleri belirlenecektir. Daha sonra da gerek dağıtım
depoları gerek perakendeciler için optimum sipariş periyodu hesaplanacaktır.
21
1
1.1
STOK KONTROL KAVRAMI ve TALEP TAHMİNLERİ
Giriş
Üretim yapan bir işletmede, ürüne dolaylı ve dolaysız olarak katılan
hammadde, yardımcı maddeler, hazır parçalar gibi tüm maddi varlıklar ve bitmiş
ürünün kendisi stok kavramı içinde düşünülür. Stoklar bu varlıkların miktarları ve
parasal değerleri ile ölçülür.1
Siparişle çalışan bir atölyede genellikle küçük miktarda çok kullanılan bazı
hammaddeler ve civata, somun gibi standart parçalar dışında stok bulundurmaya
gerek yoktur, çünkü gerekli hammaddeler ve diğer malzemeler sipariş alındıktan
sonra tedarik edilir, ürünler ise üretim tamamlandığında müşteriye teslim edilir.
Ancak, üretim sistemi büyüyüp karmaşıklaştıkça, özellikle de ürün adedi, miktarı ve
ürünü oluşturan parça sayısı arttıkça, tedarik, imalat, taşıma ve talebe ilişkin
unsurlardaki belirsizlikler ile bunların arasındaki ilişkiler stok bulundurmayı
gerektirir. Örneğin bazı büyük üretim şirketleri ile askeri kurumlar 500.000’den fazla
farklı kalem malzeme ve yedek parça, büyük perakende satış mağazaları 100.000
civarında satışa hazır ürünü stoklarında bulundurmak zorundadırlar. Orta büyüklükte
bir üretim tesisi bile stoklarında 10.000 kalem civarında hammadde, hazır parça,
yardımcı malzeme ve tamamlanmış ürün bulundurmak zorundadır.2 Diğer taraftan,
büyük işletmelerde üretim ve satışların birbirine koşut gitmesi de neredeyse
imkansızdır. Üretimde makina kapasitelerinin mümkün olan en yüksek düzeyde
kullanılması, iş yüklemesinin düzgün yapılabilmesi ve hazırlık maliyetlerinin
azaltılması üretim hızının mümkün olduğunca sabit tutulması, diğer bir ifadeyle
ürünlerin ekonomik miktarlarında partiler halinde üretilmesi ile gerçekleştirilebilir.
1
Bülent Kobu, Üretim Yönetimi, Genişletilmiş ve Güncelleştirilmiş 11. baskı. İstanbul
Avcıol Basım Yayın, 2003, s.341
2
Edward A. Silver, David F. Pyke ve Rein Peterson. Inventory Management and
Production Planning and Scheduling. 3.b. New York – USA : John Wiley & Sons, 1988, s.27
22
Ancak bu takdirde, üretimin satışların üzerinde gerçekleşmesi durumunda artan
ürünün stoklanması, tersi durumda ise stoktan satış yapılması söz konusudur.
İşletmede stok bulundurulması çeşitli maliyetlerin ortaya çıkmasına sebep olur. Buna
karşılık üretim hızının sabit tutulması, ekonomik miktarlarda partiler halinde üretim
yapılması ve müşteri isteklerinin gecikmeden karşılanabilmesi ile sağlanan avantajlar
vardır.
Üretim yapan bir işletmede stok tanımlaması ile ilgili genelde iki farklı
görüşle karşılaşılır.3 Maliyet ve finasman ile ilgili kişiler için stoklar, para, aktif
veya malzeme görünümünde nakit demektir. Bu sebeple stoklara finansal açıdan
bakan yöneticiler için stok ne kadar az ise, o kadar iyidir. Üretim, satınalma ve satışla
ilgili kişiler için ise stoklar, hammadde, üretim için gerekli yardımcı malzemeler,
yarı ürünler ve satışa hazır ürünlerdir. Bu kişilerde ise, hem üretimi sorunsuz
yürütebilmek hem de müşteri taleplerini sorunsuz karşılayabilmek açılarından,
yatırımların geri dönüş hızını fazla düşünmeden, daha fazla stok daha iyidir anlayışı
hakimdir.
Tüm bunlar göz önüne alındığında, stok kontrolünün amacı olumlu ve
olumsuz maliyet unsurları arasında işletme açısından en uygun denge noktasının
belirlenmesi olarak tanımlanabilir. Bununla birlikte stok yönetimi sadece stok
kontrolü olarak anlaşılmamalıdır. Geçmiş yıllara göre işletmelerin stok yönetimi
kavramı oldukça değişikliğe uğramıştır. Örneğin 35-40 yıl önce stok kontrolü sadece
teknik bir işlev olarak anlaşılmaktaydı. Tedarik işlevi ile ilintili teknoloji durağan,
talep tamamen öngürülebilir olmasa bile, dalgalanmaların düzenli olacağı kabul
edilmekte ve her ikisi de harici etkilere özellikle çevre koşullarına veya daha yüksek
yönetim kademelerine ait kararlara bağlı bir işlev olarak görülmekteydi.4 Ancak
zaman içinde stok teorisi ile ilgili analizler ve model oluşturma tekniklerinin gelişimi
ile günümüzde stok yönetimi anlayışı sadece teknik anlamda stok kontrolünün çok
ötesine geçmiş bulunmaktadır.
3
Georges W. Plossl, Production and Inventory Control Principles and Techniques. 2.b.
New Jersey – USA : Prentice – Hall, 1985, s.16
4
Paul H. Zipkin, Foundations of Inventory Management, USA: Mc Graw-Hill, 2000, s.14
23
1.2
Talep Tahminleri
Bir işletmede ideal bir tedarik ve stok kontrol sistemi kurulması üretilen
ürünlere olan talebin özelliklerine bağlıdır. Örneğin, en başından itibaren talebin
sabit olacağı veya en azından zaman içinde küçük değişmeler göstereceği biliniyorsa,
tedarik ve üretim işlemleri bu sabit talebi veya öngörülebilen nitelikteki küçük
değişimleri karşılayacak şekilde planlanarak önemli miktarlarda stok tutmaya gerek
kalmaksızın sorunsuzca yürütülebilir. Ancak gerçekte böyle ideal bir durum
sözkonusu değildir. Karşılaşılan çoğu durumda üretim ile talep miktarları birbirleri
ile uyuşmazlar. İşte stok yönetiminin önemi üretim ve talep arasındaki çeşitli
nedenlerle ortaya çıkan bu uyuşmazlığı dengelemek anlamında ortaya çıkar. Diğer
taraftan, bir ürünün talep alındığı anda üretilerek müşteriye gönderilebilmesi de
mümkün değildir. Bu ürün için gerekli hammaddelerin tedarik edilmesi, üretim
süreci ve taşıma süresi gibi mal teslimatının hemen yapılamamasına sebep olacak
unsurlar, müşteriden talep gelmeden önce tedarik ve üretimin gerçekleştirilmiş
olmasını zorunlu kılar. Son olarak çeşitli sipariş ve üretim maliyetlerini en aza
indirebilmek için de belirli bir malı sipariş üzerine tek tek üretmek yerine belirli
büyüklükte partiler halinde üretmek zorunluluğu vardır.
Tüm bu sebeplerden dolayı, bir işletmenin ileriye bakması ve gelecekte
oluşacak talebi tahmin etmesi stok yönetimi açısından büyük önem taşır. Talep
tahmini kabaca gelecek dönemlerde oluşacak ortalama talebin tahmin edilmesi olarak
tanımlanabilir. Ancak, tek başına ortalamanın tahmini de yererli değildir; bunun yanı
sıra bu tahminin ne kadar belirsizlik içerdiğinin de bilinmesi gerekir. Belirsizlik
arttıkça doğal olarak daha büyük miktarda emniyet stoğu bulundurulması
gereksinimi de artacaktır.5 Bu sebeple, tahmin hatasının da bilinmesi, örneğin
tahminin ortalama mutlak sapması veya standart sapması gibi bir büyüklüğün de
belirlenmesi şarttır.
5
Sven Axsäter, Inventory Control, USA Kluver Academic Publishers, 2000, s.5
24
Talep tahminleri başlı başına istatistik biliminin konusu olmakla birlikte,
özellikle rassal (stochastic) stok modellerinin anlaşılabilmesi için sıkça kullanılan
talep tahmin yöntem ve modellerine kısaca değinmek faydalı olacaktır.
1.3
Talep Tahmin Yöntemleri
Talep tahmini geleceğin öngörülmesi demektir. Bu tahmin öncelikle geçmiş
verilerin geleceğe yansıtılması ile gelecekte ortaya çıkabilecek olayların ve bunların
talebe
yansımalarının
öngörülmesine
dayanır.
Bunun
yanısıra
promosyon
kampanyalarının etkileri, rakiplerin tepkileri, genel ekonomik durum gibi pazarlama
ile ilgili yargıları da içermelidir. Genel anlamda bir talep tahmin sisteminin yapısı
Şekil 1-1’de gösterilmektedir.6
Geçmişe ait
veriler
Model seçimi
Model veya parametrelerindeki olası
değişiklikler
Matematik
model
İstatistiksel
tahmin
Yönetici
görüşleri
Fiili talep
Yargılar
Talep tahmini
Tahmin hatalarının
hesaplanması
Tahmin başarımı ile ilgili bilgiler
Şekil 1-1. Talep tahmin sisteminin genel akış şeması.
6
Silver, Pyke ve Peterson. Inventory Management and Production Planning and
Scheduling, s.75
25
Talep tahminleri kapsadıkları zaman aralığına göre çok kısa, kısa, orta ve
uzun vadeli tahminler olabilir. Uzun vadeli tahminler beş yıl veya daha uzun süre
için yapılan tahminler olup, yeni tesis kurulması, tesislerin genişletilmesi, yeni
makina alımı gibi yatırım planlaması amaçlı tahminlerdir. Üretim planlaması ve stok
yönetimini ilgilendiren talep tahminleri ilk üç sınıfa giren zaman aralıklarını
kapsayan tahminlerdir. Çok kısa vadeli tahminler haftalık, hatta günlük olarak yapılır
ve amaçları parça, yardımcı malzeme ve ürün stoklarının kontrolu ile üretim hattı iş
programlarının hazırlanması için gerekli bilgilerin elde edilmesidir. Kısa vadeli
tahminler, 3-6 aylık süreleri kapsayan, en uygun üretim parti miktarlarının, gerekli
hammadde, parça vs. tedarik zamanları ve bunların sipariş büyüklüklerinin
saptanması amacıyla yapılan talep tahminlerdir. Orta vadeli tahminler ise altı aydan
birkaç yıla kadar zaman sürelerine yayılan ve tedarik süreleri uzun olan malzeme
alımlarının, karmaşık üretim faaliyetlerinin, talebi mevsimsel dalgalanmalar gösteren
ürün stoklarının planlanması amacına yönelik tahminlerdir.7
Bir talep tahmini araştırmasında öncelikle gereken, doğru bilgilerin
toplanması, daha sonra toplanan bu bilgilerin uygun yöntemlerle değerlendirilmesi
çok önemlidir. Kullanılan analiz yöntemi doğru olsa bile toplanan bilgiler yanlış
veya eksik ise hatalı sonuç alınacağı gibi, uygun olmayan hesaplama yöntemlerinin
kullanılması durumunda, doğru bilgiler dahi işe yaramaz hale gelebilir.
Talep tahminlerinde başvurulabilecek ilk yöntem, bir işletmenin ilgili
birimlerindeki çalışanlar ile yöneticilerin tecrübe ve sezgilerinden yararlanarak
gelecekle ilgili tahminlerde bulunmak olabilir. Bu yöntem düşük maliyetli olmakla
beraber tamamen kişisel tecrübe ve sezgiye dayandığından çeşitli sakıncalar taşır.
Günümüz koşullarında talebi etkileyen unsurların çokluğu ve bunların aralarındaki
ilişkilerin karmaşıklığı, bu yöntemi tamamiyle geçersiz olmasa bile yetersiz
kıldığından, tahminlerin duyarlılığı açısından istatistik yöntemlerin kullanılması
zorunlu hale gelmiştir. Son yıllarda bilgisayar teknolojisindeki hızlı gelişmeler çok
sayıda stok kalemleri söz konusu olduğu durumlarda bile istatistiksel tahminlerin
kolaylıkla yapılabilmesine olanak sağlamıştır. Daha önce elle hesaplanması saatler
sürebilecek tahmin modelleri, bilgisaylarlar ve hazır paket programlar yardımıyla
7
Kobu, Üretim Yönetimi, s.100
26
birkaç dakika içinde çok hızlı bir şekilde çözülebilmektedir. Diğer taraftan, kişiler ne
kadar tecrübeli ve sezgileri isabetli olsa da tahminlerin kapsadığı zaman aralığı
arttıkça yanılma paylarının da hızla artacağı gözden uzak tutulmamalıdır. Ancak,
özellikle yeni bir ürünün piyasaya çıkarılması gibi elde geçmiş dönemlere ait veriler
olmadığı durumlarda bu yönteme başvurulabilir.
Diğer bir yöntem ise nüfus artışı, işsizlik oranı, kişi başına milli gelir, fiyat
artışları, bankalardaki mevduat hesapları gibi çok çeşitli demografik ve ekonomik
göstergelerden faydalanmaktır. Bu verilerin bir veya birkaç tanesi ile işletmenin
satışları arasında bir ilişki olup olmadığı regresyon ve korelasyon analizleri ile
incelenerek eğer anlamlı bir ilişki olduğu görülürse bunlara dayanarak satış
tahminleri yapılır.
Talep tahminlerinde sıklıkla başvurulan en önemli yöntem, geçmiş dönemlere
ait satış bilgilerinin analizi yoluyla gelecek hakkında tahminlerde bulunmaktır. Bu
yöntemde istatistikteki zaman serileri analizi temel alınarak çeşitli talep modelleri
oluşturulur ve bu modeller bilgisayarlar desteği ile de stok kontrol sistemlerinde
kolaylıkla uygulanabilir. Stokların takibi için tüm mal giriş ve çıkışları zaten
bilgisayara kaydedildiğinden, aynı satış bilgileri gelecek dönemlerin talep
tahminlerinde de fazla çaba gerektirmeksizin kullanılır.
1.4
Zaman Serileri
Bir işletmede, çeşitli amaçlı planlama çalışmalarında olduğu gibi, stok
yönetimini ilgilendiren talep tahminlerinde de sıklıkla kullanılan yöntem geçmişe ait
satış bilgilerinin kullanılmasıdır. Bu hususta geçerli bir teknik ortaya koyabilmek için
öncelikle rassal talebin nasıl oluştuğunu betimleyen bir model ortaya koymak
gereklidir. Bu ise geçmiş verilerin analizi sonucunda elde edilebilir. Ancak, böyle bir
model oluşturmak için elde yeterli veri yoksa genel kabul görmüş modellerden birini
kullanmak ile işe başlanır. Bu modeller istatistikteki özellikle zaman serileri
analizinden yola çıkılarak oluşturulmuş modellerdir.
Zaman serileri, değişkenlerin gün, hafta, ay, mevsim veya yıl gibi herhangi
bir zaman birimine göre eşit aralıklarla dağılımını gösteren serilerdir. Makro ve
27
mikro ekonomik verilerin hemen hemen tamamı zaman serileri şeklinde düzenlenir.
Zaman serilerinde bağımsız değişken kullanılan zaman birimi, bağımlı değişken ise
bir ülkenin milli geliri, dış ticareti, tarımı, çelik üretimi gibi makro ekonomik veriler
veya bir işletmenin üretim miktarları, satışları, yatırımları, fiatlar, ödenen ücretler
gibi mikro ekonomik verilerdir. Zaman serileri analizinde geleceğin tahmini
geçmişte elde edilen bilgilere dayanarak yapıldığından, ele alınan olayda geçmişteki
davranış biçiminin gelecekte de aynı şekilde devam edeceği varsayılır. Bu sebeple
istikrarsız veya beklenmedik değişimlerin olduğu ortamlarda bu yöntemin
kullanılması doğru olmaz.
Zaman serileri analizleri altı grupta toplanabilir8. Bunlar :
1.5
1)
Zaman serilerinin bileşenlerine ayrılması yöntemi.
2)
Üstel düzgünleştirme yöntemleri.
3)
Otoregressif modeller.
4)
Hareketli ortalama yöntemleri.
5)
Bileşik otoregresif hareketli ortalama yöntemleri.
6)
Eşleştirilmiş zaman serileri analizi.
Zaman Serilerinin Bileşenlerine Ayrılması
Zaman serilerinin bileşenlerine ayrılma yönteminde ele alınan ekonomik
zaman serisi genel eğilim veya trend “T”, konjonktür “K”, mevsimsel etki “M” ve
arızi faktörler “A” olarak olarak dörde ayrılarak incelenir.9
1)
Trend (Genel eğilim) : Belirli bir değişkenin yeteri kadar uzun bir zaman
dilimindeki davranışı olarak tanımlanır. Trendin ortaya çıkarılabilmesi için
10–15 yıllık veya 10–15 yılı kapsayan aylık veya mevsimlik veriye
gereksinim vardır. Bu süre, iktisatçılarca 3–5 yıl olarak kabul edilen
konjonktür dalgalanmalarından 2–3 konjonktür dalgalanmasını kapsaması
8
Neyran Orhubilge, Zaman Serileri Analizi, Tahmin ve Fiyat İndeksleri, İstanbul : Avcıol
Basım Yayın, 1999, s.4
9
W. Wayne Daniel ve James C. Terrell. Business Statistics. 5.b. Boston – USA : Houghton
Mifflin, 1989. s.713
28
anlamına gelir. Daha kısa bir dönemin analizi trendin değil de
konjonktürün ortaya çıkarılması, daha uzun dönem alınması ise farklı
trend dönemlerinin karışması gibi bir sakınca doğurur. Trendin
başlatılacağı dönemin ekonominin durgun olduğu bir dönem olması, refah
veya resesyon dönemlerine isabet etmemesi önerilir.
2)
Mevsimsel etki : Mevsimsel etkiler aylık veya mevsimlik verilerde ortaya
çıkar. Özellikle aylık veya sezonluk verilerde mevsime bağlı olarak
meydana gelen değişmeler mevsimlik dalgalanmalar olarak adlandırılır.
Örneğin yaz aylarında dondurma ve meşrubat satışlarındaki, sonbahar ve
kış aylarında doğalgaz tüketimindeki artışlar bu tip dalgalanmalardır.
Buna
karşılık,
temel
gıda
maddelerinin
satışları
mevsimlik
dalgalanmalardan çoğunlukla etkilenmezler.
3)
Konjonktür dalgalanmaları : Uzun vadede sektörlerin veya genel
ekonominin refah veya resesyon dönemlerinindeki değişmelerdir.
Yatırımlar, üretim, gelirler ve satışlar bir süre artar (refah dönemi), daha
sonra bu göstergelerde düşüş başlar (resesyon dönemi). İktisatçılar
konjonktür dalgalanmalarının uzunluğunu 3–5 yıl olarak kabul ederler. Bu
dalgalanmalar mevsimsel etkiden farklı olarak daha uzun zaman
sürelerinde ortaya çıkan değişimler olup, daha zor öngörülebilen
değişimlerdir. Ekonomik değişkenlerin değerleri refah döneminde trendin
üzerinde, resesyon döneminde ise trendin altında kalır.
4)
Arızi faktörler : Doğal afetler, savaşlar, siyasi hareketler gibi sosyal ve
ekonomik nedenlerle ortaya çıkan ve önceden tahmin edilmesi mümkün
olmayan olaylardır. Bu olaylar ekonomik değişkenlerin değerleri üzerinde
etki yaparak bazılarının artmasına, bazılarının ise azalmasına sebep
olurlar.
Analizlerde, bir t devresindeki belirli bir yt değeri bu dört bileşenin çarpımı
olarak ifade edilirler.
yt = T .K .M . A
(1.1)
29
1.5.1 Trendin Belirlenmesi
Bir değişkenin zaman içinde izlediği trendin belirlenmesinde kullanılan iki
temel yöntem vardır.
1.5.1.1 Zaman serilerinde regresyon analizi
Trendin belirlenmesinde kullanılan yöntemlerden biri ilişki analizi, diğer bir
ifade ile zaman serilerinde regresyon analizidir. Basit regresyon denkleminin
yazılabilmesi için izlenebilecek bir yol, verilerin grafiğini çizerek buna bir fonksiyon
uydurmadır. Bu kesin sonuç veren bir yöntem olmamakla birlikte trend hakkında bir
fikir veren çabuk bir yoldur. Diğer bir yol ise, basit regresyon analizinde de
kullanıldığı şekliyle en küçük kareler yöntemidir (Least squares method); ancak
burada bağımsız değişken hafta, ay, mevsim veya yıl gibi bir zaman birimidir.
Bilindiği gibi, ölçülen değişkenin gerçek değerleri yt , hesaplanan değerleri y’t
n
ve tahmin hatası et olmak üzere,
n
∑e = ∑( y
2
t
2
t
i =1
− yt ' ) toplamının minimum olduğu
i =1
fonksiyon trend fonksiyonu olarak seçilir. Basit regresyon analizi için çıkarılan
sonuçlarla, duyarlılık ve uygunluk ölçüleri trend analizi için de geçerlidir.
Trendin belirlenmesinde değişkenin özelliklerine göre,
Düzgün model : yt = a + et
→
Doğrusal model : yt = a + b ⋅ t + et
yt ' = a
yt ' = a + b ⋅ t
→
Logaritmik model : yt = a + b ⋅ n t + et
→
yt ' = a + b ⋅ n t
ve benzeri çeşitli modeller kullanılabilir.
Burada yt’ belirli bit t anındaki hesaplanan talep miktarı, a ve b modelin
katsayılarıdır. a ve b katsayıları
n
n
i =1
i =1
∑ et2 = ∑ ( yt − yt ') toplamının türevi sıfıra
2
eşitlenerek bulunur.
Örneğin doğrusal model için en küçük kareler yöntemi ile a ve b katsayıları,
n
n
∑ yt = na + b ⋅ ∑ xt
t =1
t =1
ve
n
n
n
t =1
t =1
t =1
∑ xt ⋅ yt = a ⋅ ∑ xt + b ⋅ ∑ xt2
denklemleri çözülerek
elde edilebilir. Diğer bir ifade ile de, x ve y ortalama değerler olmak üzere,
30
n
n
∑( x − x) ⋅ ( y
i
b=
−y
i
i =1
n
∑(
xi − x
i =1
)
n
∑x ⋅ y
)
i
veya
2
b=
i
n
∑ xi ⋅ ∑ yi
−
i =1
i =1
i =1
n
 n 
 ∑ xi 
n
2
xi −  i =1 
∑
n
i =1
2
a = y −b⋅x
tahminin standard hatası ise,
∑ ( y − y ')
S yx =
n−2
2
=
∑( y − y)
2
−b⋅∑ x − x ⋅ y − y
(
)(
)
n−2
şeklinde elde edilir. Buna göre, belirli bir t anındaki talep tahmin tahmin aralığı ise,
2
Yt = yt ' ± ( t veya z ) ⋅ S yx ⋅
1
1+ +
n
( x − x)
∑( x − x)
0
2
olarak hesaplanır.
1.5.1.2 Hareketli Ortalamalar
Trendin belirlenmesinde kullanılan diğer bir yöntem de düzgün talep modeli
( yt = a + et ) durumunda kullanılan hareketli ortalamalar (moving averages)
yöntemidir.10 Bu, geçmiş dönem verilerinden k adedinin aritmetik ortalaması alınarak
elde edilen değer, ya dönemin ortasındaki (merkezi hareketli ortalamalar –
centered moving averages), ya da bir sonraki döneme ait değerin (basit hareketli
ortalamalar – single moving averages) tahmini olarak kullanılmasından ibaret bir
yöntemdir.
Merkezi hareketli ortalamalar aşağıdaki formüller yardımıyla hesaplanır :11
yt ' =
10
yt − ( k −1) 2 + … + yt −1 + yt + yt +1 + … + yt + ( k −1) 2
k
(1.2)
Silver, Pyke ve Peterson, Inventory Management and Production Planning and
Scheduling, s.87
11
Orhubilge, Zaman Serileri Analizi, Tahmin ve Fiyat İndeksleri, s.12
31
Burada :
k
: Dönem uzunluğu (veya ortalamaya giren veri adedi)
y’t : Değişkenin incelenen dönemin tam ortasındaki tahmini değeridir.
Merkezi hareketli ortalamalar yönteminde seçilen dönem sayısı tek ise,
incelenen serinin başından ve sonundan ( k − 1) 2 , çift ise k 2 tane değerin tahmini
yapılamamaktadır. Kaç veri üzerinden ortalamalar alınacağına karar verilirken k ’ nın
büyük olmasının kaybedilen terim sayısını arttırdığı göz önüne alınmalıdır.
Merkezi hareketli ortalamalar ile incelenen dönemin sonundaki değerler
tahmin edilemediğinden doğal olarak bu yöntem gelecek tahminlerinde kullanılmaz.
Sadece
geçmiş
dönemlerin
incelenmesi
ile
verilerin
trendin
etkisinden
arındırılmasında uygulanabilen bir yöntemdir.
Basit hareketli ortalamalar ise, incelenen döneme ait ortalamanın bu
dönemden bir sonrakine ait değerin tahmininde kullanılır. k dönem için hesaplanan
basit hareketli ortalama,12
y 't +1 =
t
yt − k +1 + yt − k + 2 + … + yt −1 + yt 1
= ⋅ ∑ yi
k
k i = t − k +1
(1.3)
formülü ile elde edilir. Yani, t+1 inci devre değerinin ardışık k devrenin ortalamasına
eşit olacağı varsayılır. Özellikle mevsim etkisi hesaba katılmadığından bu yöntem
durgun serilerde uygulanabilir; aksi takdirde hatalı sonuçlar elde edilir.
Diğer taraftan, yukarıdaki iki formülden de anlaşılacağı gibi hareketli
ortalamalar hesaplanırken geçmiş dönem verilerinin hepsine eşit ağırlıklar
verilmektedir. Bu sebeple basit hareketli ortalamalar ile yapılan tahminler genelde
çok sağlıklı değildir. Özellikle geçmiş dönem verilerine gittikçe azalan ağırlık
verildiği üstel düzgünleştirme yöntemlerinin geliştirilmesi ile bu yöntem uygulamada
yaygınlığını kaybetmektedir.
12
32
1.5.2 Mevsim Etkisinin Belirlenmesi
Mevsimlik değişim kavramı ilk anda bu değişkenliğin mevsim ve iklim
şartlarından kaynaklandığı fikrini akla getirir. Bu, özellikle hammadde temini
mevsimlerle veya iklim şartları ile yakından bağlantılı olan salça, konserve gibi tarım
ürünleri veya tüketimi iklim şartlarından etkilenen dondurma, meşrubat gibi ürünler
için doğru olabilir. Bu durumlarda değişkenin yıl içindeki değişkenliği önemlidir.
Ancak, örneğin bir lokanta işletmesi için satışların hafta içinde günlere göre
değişiminin bilinmesi önemlidir; bu durumda artık kelime anlamı ile bir mevsim
etkisi değil, haftalık olarak gün temelinde bir etkilenme söz konusudur. Kısaca, bir
mevsimsel döngü, bir değişkenin değerinin zaman içindeki konumuna göre
değişikliğe uğradığı zaman periyotları takımı olarak tanımlanabilir.13
Mevsimlik dalgalanmaların incelenmesinin kısa dönemdeki dalgalanmaların
açıklanması, kısa dönem tahminlerinin yapılabilmesi ve zaman serilerinin mevsim
etkisinden arınıdırılabilmesi olarak sayılabilecek üç önemli nedeni vardır. Mevsim
etkisini ortaya çıkarmak için mevsim indeksi adı verilen indeksler düzenlenir.
Mevsim indeksinin oluşturulması için değişkenlere ait verilerin en az 6–7 yıllık, ay
veya mevsim bazında olması gereklidir.
Mevsim indeksinin hesaplanmasında kullanılan en önemli yöntem hareketli
ortalamalar oran yöntemidir. Yönteme aylık verilerde 12’şerli, mevsimlik verilerde
4’erli merkezi hareketli ortalamaların hesaplanması ile başlanır. Trend, konjonktür,
mevsim ve arızi faktörlerden oluşan zaman serisi verilerinde bu yolla trend ve
konjonktür bileşenleri elde edilir. Gözlem verilerinin hesaplanan hareketli
ortalamalara oranlanması ile mevsimlik ve arızi faktörlerin etkisi ortaya çıkarılır.
Aylık verilerle çalışıldığında bu işlem aşağıdaki şekilde gösterilebilir.14
yt
T ⋅K ⋅M ⋅ A
⋅ 100 =
⋅ 100 = M ⋅ A ⋅ 100
yt '
T ⋅K
yt
: Aylık gözlem değerleri
yt '
: 12’şerli hareketli ortalamalardır.
13
Daniel ve Terrell. Business Statistics. s. 742
14
Orhubilge. Zaman Serileri Analizi, Tahmin ve Fiyat İndeksleri, s.65-66
(1.4)
33
12’şerli hareketli ortalamalar hesaplanırken kullanılan veri sayısı çift
olduğundan birbirini takip eden iki yılın aynı aylarının değerlerinin yarısı ile diğer 11
ayın değerlerinin toplamı 12’ye bölünerek tam ortaya düşen ayın 12’şerli hareketli
ortalaması bulunur.
y 't + 6 =
yt / 2 + yt +1 + yt + 2 + … + yt +12 / 2
12
yt
⋅ 100 işlemi ile gözlem değerleri trend ve konjonktürün etkisinden
yt '
arındırılarak mevsimlik ve arızi faktörlerin etkisi ortaya çıkarılır. Bu işlem her ay için
yapılarak (n–1) adet yüzdenin aritmetik ortalamaları alınarak mevsim indeksi
oluşturulur. 12 aylık mevsim indeksinin toplamı 1200 (mevsimlik analizlerde 400)
olması gerekir. Ancak her seferinde bu toplama ulaşmak mümkün olmadığından
aşağıdaki şekilde bir düzeltme işlemi yapılır.
Düzeltilmiş mevsim indeksi : Mİ ⋅
1200
12
∑ Mİ
(1.5)
t =1
12
Burada
∑ Mİ , elde edilen 12 aylık mevsim indeksleri toplamıdır.
t =1
Mevsim indekslerinde, indeksin 100 veya civarında olduğu aylarda veya
dönemlerde mevsim etkisi yok demektir. Mevsim indeksinin 100’den küçük olduğu
devrelerde mevsim etkisi ile azalma, 100’den büyük olduğu devrelerde ise mevsim
etkisi ile artış olduğu anlaşılır. Aylık veya dönemlik veriler mevsim indeksine
bölünerek, isteniyorsa mevsimlik etkiden arındırılır. Belirli bir devredeki değerin
tahmini istendiğinde ise trend ile tahmin edilen değer mevsim indeksi ile çarpılarak o
devreye ait mevsim etkisini de kapsayan değer bulunur. ( y t = yt '⋅ M )
34
1.5.3 Konjonktür ve Arızi Faktörlerin Etkilerinin Belirlenmesi
Konjonktür dalgalanmaları ve arızi faktörler zaman serilerinin diğer önemli
bileşenleridir. Konjonktür dalgalanmaları, işletmenin kontrolü dışında oluşan genel
ekonomik gelişmelerden kaynaklanan değişimlerdir. Ekonomideki hızlı büyüme
(refah) dönemlerini ekonomide yavaşlama (resesyon) dönemleri takip eder.15 Bu
hareketlerin saptanması işletmelerde sektörün, ekonomide ise sektörlerin hangi
yönde hareket ettiğinin, kısa dönemde işletmelerin veya sektörün değerlendirmesi ve
planlamasında kullanılan kısa dönem tahminlerinin yapılmasına olanak verir. Bir
konjonktür dalgalanmasının uzunluğunu bulmak için iki refah veya iki resesyon
dönemi arasındaki fark alınır.
Yıllık zaman serileri söz konusu olduğunda, konjonktür ve arızi faktörlerin
etkisi aşağıdaki şekilde hesaplanır.
yt
T ⋅K ⋅A
⋅ 100 =
⋅ 100 = K ⋅ A ⋅ 100
yt '
T
(1.6)
Aylık veya devrelik zaman serileri söz konusu olduğunda ise, konjonktür ve
arızi faktörlerin etkisi, mevsim etkisi de göz önüne alınarak,
yt
T ⋅K ⋅M ⋅ A
⋅ 100 =
⋅ 100 = K ⋅ A ⋅ 100
yt '⋅ M
T ⋅M
(1.7)
şeklinde hesaplanır.
15
35
1.6
Üstel Düzgünleştirme Yöntemleri
Zaman serilerinin rassal dalgalanmalardan arındırılması ve serilerin içindeki
gizli eğilimlerin ortaya çıkarılması amacıyla düzgünleştirme adı verilen bir takım
yöntemler kullanılır. Bunlardan birincisi yukarıda ele alınmış olan basit hareketli
ortalamalar yöntemidir. Zaman serilerinde kullanılan diğer bir düzgünleştirme
yöntemi de üstel düzgünleştirmedir. Bu yöntemin basit hareketli ortalamalardan en
önemli farkı, geçmiş dönem verilerine eşit değil azalan ağırlıklar verilmesi, diğer bir
anlatımla tahminlerde kullanılan geçmiş dönem verilerinin daha yakın geçmişte
gerçekleşenlerinin yüksek, veriler eskidikçe de üstel olarak azalan ağırlıklarla hesaba
dahil edilmeleridir. Sıkça kullanılan üstel düzgünleştirme yöntemleri :
1)
Tekli basit üstel düzgünleştirme.
2)
Brown’ın tek parametreli doğrusal üstel düzgünleştirme yöntemi.
3)
Holt’un iki parametreli doğrusal üstel düzgünleştirme yöntemi.
4)
Brown’ın ikinci dereceden üstel düzgünleştirme yöntemi.
5)
Doğrusal ve mevsimsel üstel düzgünleştirme – Winters yöntemidir.
6)
Chow’un uyarlanabilir kontrol yöntemi.
7)
Brown’ın tek parametreli uyarlanabilir yöntemi.
8)
Box – Jenkins üç parametreli düzgünleştirme yöntemi.
9)
Harrison’un harmonik düzgünleştirme yöntemi.
10) Winters’in çarpım modeli.
11) Uyarlanabilir tepki oranlı basit üstel düzgünleştirme yöntemi.
gibi yöntemler sayılabilir. 6 – 11 grubundaki yöntemler çok uzun hesaplamalar
gerektirdiklerinden yaygın olarak kullanılmazlar ve burada ele alınmayacaklardır.
36
1.6.1 Tekli Basit Üstel Düzgünleştirme Yöntemi
Brown’ın basit üstel düzgünleştirme yöntemi olarak da bilinir. Bu yöntemin
uygulanması aşağıda açıklanmıştır. Belirgin bir trendi olmayan ve mevsimlik
dalgalanmaların olmadığı zaman serilerinde kullanılır.
y1, y2, .... , yn belirgin bir trendi ve mevsimlik dalgalanması olmayan örneğin
aylık bir zaman serisi olsun (doğal olarak aynı şekilde haftalık, günlük vs. serilere de
uygulanabilir). t ayının tahmini değeri, y 't = α ⋅ yt −1 + (1 − α ) ⋅ y 't −1
olarak ifade
edilir. Burada yt – 1 , t–1 ayının gözlem değeri, y’t – 1 , t–1 ayının tahmini değeri ve α
düzgünleştirme sabitidir. α sabiti 0 ile 1 arasında değerler almak üzere
n
n
∑e = ∑( y
i =1
2
t
t
− yt ' )
2
toplamını minimum yapacak şekilde seçilir. Uygulamada α
i =1
düzgünleştirme sabiti için 0,01–0,30 değerlerinin genellikle uygun olduğu
görülmüştür.16
y 't = α ⋅ yt −1 + (1 − α ) ⋅ y 't −1
(1.8)
Burada y’t–1 bir önceki ayın verileri ile y 't −1 = α ⋅ yt − 2 + (1 − α ) ⋅ y 't − 2 şeklinde yazılıp
yerine konursa :
y 't = α ⋅ yt −1 + (1 − α ) ⋅ α ⋅ yt − 2 + (1 − α ) ⋅ y 't − 2 
2
y 't = α ⋅ yt −1 + α ⋅ (1 − α ) ⋅ yt − 2 + (1 − α ) ⋅ y 't − 2
(1.9)
Benzer şekilde y’t–2 açılarak yerine konursa :
2
y 't = α ⋅ yt −1 + α ⋅ (1 − α ) ⋅ yt − 2 + (1 − α ) ⋅ α ⋅ yt − 3 + (1 − α ) ⋅ y 't − 3 
2
3
y 't = α ⋅ yt −1 + α ⋅ (1 − α ) ⋅ yt − 2 + α ⋅ (1 − α ) ⋅ yt − 3 + (1 − α ) ⋅ y 't − 3
(1.10)
Böyle devam edilerek n ay için tahmini değer hesaplanırsa :
n
y 't = α ⋅ ∑ (1 − α )
i −1
⋅ yt − i
+
(1 − α )
n
⋅ y 't − n
(1.11)
i =1
0 ≤ α ≤ 1 olduğu hatırlanırsa (1.10) ve (1.11) denklemlerinden görüleceği
gibi eski ayların verilerine üstel olarak azalan ağırlıklar verilmektedir.17
16
17
37
Diğer taraftan, (1.8) denklemi aşağıdaki şekilde de yazılabilir.
y 't = y 't −1 + α ⋅ ( yt −1 − y 't −1 ) = y 't −1 + α ⋅ et −1
(1.12)
Bu eşitlikten de anlaşılacağı gibi t ayının y’t tahmini değeri, bir önceki ayın
tahminine o ayın tahmin hatası α ağırlıkla eklenmek suretiyle bulunur. Bu şekilde,
daha
önceki
aylarda
yapılan
tahmin
hataları
yeni
dönem
tahminlerinin
düzeltilmesinde kullanılmaktadır. İncelenen dönemin ilk ayının tahmini yapılırken
genellikle bir önceki ayın tahmini değeri yerine gözlem değeri kullanılır
( y 't −1 → yt −1 ⇒
y 't = yt −1 ). Bir diğer yol da birkaç dönemin gözlem değerlerinin
ortalamasının alınarak y 't −1 yerine kullanılmasıdır.
1.6.2 Doğrusal Hareketli Ortalamalar Yöntemi
Belirgin bir trendi olan verilere hareketli ortalamalar uygulandığında
tahminlerin daima gerçek değerlerden düşük oldukları gözlemlenmiştir. Bu
sistematik hatayı ortadan kaldırmak için doğrusal hareketli ortalamalar (Linear
moving averages) adı verilen yöntem geliştirilmiştir.18 Yöntemin esası ikinci kez
hareketli ortalamalar hesaplamak, diğer bir deyişle gözlenen verilerle elde edilen
hareketli ortalamaların bir kez daha hareketli ortalamalarını hesaplamaktır.
k dönem için basit hareketli ortalamalar :
y 't +1 =
yt − k +1 + yt − k + 2 + … + yt −1 + yt
k
İkinci hareketli ortalamalar ise :
y "t +1 =
y 't − k +1 + y 't − k + 2 + … + y 't −1 + y 't
k
Buna göre t + m inci devre tahmini y t + m = at + bt ⋅ m
(1.13)
aşağıdaki denklemle yapılır. Burada,
at = y 't + ( y 't − y "t ) = 2 y 't − y "t
18
ve
bt =
2
⋅ ( y 't − y "t )
k −1
(1.14)
38
1.6.3 Brown’ın Tek Parametreli Doğrusal Üstel Düzgünleştirme Yöntemi
Doğrusal hareketli ortalamalara benzeyen bir yöntemdir. Trendi olan ve
mevsim etkisi taşımayan serilere uygundur. t devresindeki tahmini değerin
denkleminin y 't = at + bt ⋅ t + et olduğu düşünülsün.
Birinci basit üstel düzgünleştirilmiş değer : y 't = α ⋅ yt + (1 − α ) ⋅ y 't −1
İkinci basit üstel düzgünleştirilmiş değer : y "t = α ⋅ y 't + (1 − α ) ⋅ y "t −1
y't ve y”t değerleri hesaplanırken bilinmeyen y't – 1 ve y”t – 1 değerleri yerine
yt veya birkaç gözlem değerinin ortalaması kullanılır. Uygulamada düzgünleştirme
sabitinin 0,1–0,2 değerlerinin genellikle uygun olduğu görülmüştür.19
Buna göre t + m inci devre tahmini (1.13) denklemindeki gibi aşağıdaki
y = a + b ⋅ m denklemi ile yapılır.
t
t
t +m
Burada,
at = y 't + ( y 't − y "t ) = 2 y 't − y "t
ve
bt =
α
⋅ ( y 't − y "t )
1−α
(1.15)
1.6.4 Holt’un İki Parametreli Doğrusal Üstel Düzgünleştirme Yöntemi
Bu yöntem Brown’ın doğrusal düzgünleştirme yöntemine benzemekle birlikte
burada ikinci düzgünleştirme formülü kullanılmaz. Bunun yerine doğrudan trend
değerleri düzgünleştirilmektedir. Bu yöntemde tahminler yine 0–1 arasında değerler
alabilen α ve β gibi iki düzgünleştirme sabiti ile yapılır. Şöyle ki,
t + m inci devre tahmini : y t + m = y 't − bt ⋅ m
Burada :
y 't = α ⋅ yt + (1 − α ) ⋅ ( y 't −1 + bt −1 )
bt = β ⋅ ( y 't − y 't −1 ) + (1 − β ) ⋅ bt −1
(1.16)
(1.17)
α ve β sabitleri, tahmin hataları kareler toplamını minimum yapacak şekilde
çeşitli değerler denenerek seçilir.
19
39
1.6.5 Doğrusal ve Mevsimsel Üstel Düzgünleştirme (Winters) Yöntemi
Üstel düzgünleştirme kavramı mevsim etkisini içeren modellere de
uygulanabilir. Mevsim etkisini de içeren modelin bit t devresi için genel ifadesi, Mt
bu devreye ait mevsimsel etki çarpanı olmak üzere y 't = ( a + b ⋅ t ) ⋅ M t + et olarak
yazılır. Belirli bir dönem boyunca bir t devresine ait verilerin bilindiği varsayılsın.
Bir sonraki t+1 devresine ve t+m devrelerine ait tahmin değerleri sırasıyla aşağıdaki
gibi elde edilir :20
y 't +1 = ( at + bt ) ⋅ M t − L +1
(1.18)
y 't + m = ( at + bt ⋅ m ) ⋅ M t − L + m
(1.19)
Buradaki at ve bt parametreleri, t devresi için a ve b’nin tahmin edilen
değerleri, L mevsim uzunluğu, örneğin bir yıl içindeki ay veya mevsim sayısıdır.
Winters yönteminin denklemleri ise :
at = α ⋅
yt
+ (1 − α ) ⋅ ( at −1 + bt −1 )
Mt−L
bt = β ⋅ ( at − at −1 ) + (1 − β ) ⋅ bt −1
Mt = γ ⋅
(1.20)
yt
+ (1 − γ ) ⋅ M t − L
at
Bu denklemlerdeki α , β ve γ
düzgünleştirme sabitleridir. Yukarıdaki
düzgünleştirme yöntemlerinde olduğu gibi bu sabitler tahmin hataları kareler
toplamını
minimum
yapacak
şekilde
seçileceklerdir.
Ancak
üç
sabit
belirleneceğinden çok sayıdaki kombinasyonların denenmesi oldukça zaman alıcıdır.
20
40
1.7
Stokların Sınıflandırılması
Talep tahminleri hakkında bu bilgilerden sonra stok kavramı ele alınsın.
Üretim yapan bir işletmenin stokları göz önüne alınırsa, stoklanan varlıkların
arasında cins, değer, kullanım yeri, stoklama şekli gibi çeşitli farklılıklar olduğu
görülür. Genel bir stok tanımı yerine, bunları istenen amaca uygun olarak
sınıflandırmak ve bu şekilde incelemek yerinde olur. Örneğin ÜPK, tedarik, satış ve
maliyet muhasebesi bölümleri açısından uygun olan aşağıdaki şekilde genel bir
sınıflandırma yapılabilir.21
1)
Hammaddeler : Bir işletmede üretime giren ve üzerinde belirli işlemler
yapılarak bir fayda yaratılan tüm varlıklar hammaddedir. Hammadde
tanımı işletmeye göre değişebilir; örneğin bir çelik tel çekme tesisinde
çelik kütük hammadde, tel üründür, oysa bir araba lastiği üreticisi için
çelik tel hammadde olarak kabul edilir.
2)
Yarı ürünler : Üzerinde yapılacak işlemler sona ermemiş bulunan ve iş
istasyonları arasındaki ara depolarda biriken malzemelerdir. Bunlar üretim
sürecindeki stoklar (WIP = Work-in-process) olarak da adlandırılır ve
görecekleri işlemler tamamlandığında ürüne dönüşürler. Atölyeye teslim
edilmiş hammadde ve hazır parçalar da, son ürüne dönüşünceye kadar bu
kapsamda kabul edilebilirler.22 Üretim sürecinde bu tip stokların
oluşmasının,
bir sonraki işlem için sıraya girilmesi, üretime devam
edilmesi için kalite kontrol sonuçlarının veya iş emirlerinin beklenmesi, bu
parçaların ürüne dönüşebilmesi için eksik parçaların sözkonusu olması
gibi çeşitli nedenleri vardır. Yarı ürünler bir işletmenin aynı üretim
tesisinde ürüne dönüşecekler ise üretim sürecindeki stok olarak, başka bir
tesiste ürüne dönüşecekler ise bitmiş ürün olarak addedilirler.
21
22
Kobu, Üretim Yönetimi, s.342-343
Ronald G. Askin ve Jeffrey B.Goldberg, Design and Analysis of a Lean Production
Systems, New York – USA : Wiley, 2002, s.29-30
41
3)
Ürünler : Fabrika içindeki yapılacak tüm işlemler tamamlanmış ve
müşterilere teslim edilmeye hazır olarak depolanan varlıklardır. Ürünler
tüm üretim aşamalarını tamamlayıp belirli yerlerde durduklarından sayma,
değerleme ve kontrol açılarından problem teşkil etmezler. Buna karşılık
hammaddeler, özellikle de yarı ürünlerde belirsizlik göreceli olarak fazla
olduğundan bunların değerlendirilmeleri daha güçtür.
4)
Hazır parçalar : Ürünün bir kısmını oluşturan ve işletme dışından tedarik
edilen varlıklardır. Bunlar civata, somun, vida, kayış vs. basit parçalar
olabilecekleri gibi elektrik motoru, dişli kutusu, pompa, kompresör gibi
daha karmaşık ürünler de olabilir.
5)
Yardımcı malzemeler : Ürün içinde doğrudan yer almayan ancak onlarsız
üretim yapılamayacak yedek parçalar, kesme sıvıları, makina yağı gibi
tüketim malzemeleridir.
Bu genel sınıflandırma işletmenin yapısına göre daha farklı biçimlerde ve
sayıda yapılabilir veya amaca göre yukarıdaki sınıflardan ilgili olanlara alt sınıflar
eklenebilir. Örneğin, stoklanma amaçlarına göre aşağıdaki gibi farklı bir
sınıflandırma yapılabilir :23
1)
Çevrim Stokları : İkmal işleminden kaynaklanan stoklardır. Bir işletmede
bir ürün için talep hızı ve teslimat süreleri kesin olarak biliniyorsa, belirli
bir süre boyunca talebi karşılayacak miktar stokta tutulur ve stoktaki ürün
miktarı sıfıra düştüğünde teslim alınacak şekilde sipariş verilir. Bu
durumda emniyet vs. başkaca bir stok tutmaya gerek yoktur.
2)
Transit Stokları : Bir ürünün üretim kaynağından tüketiciye ulaştırılması
için geçen zamanı ve taşınan miktarı karşılamak için oluşturulan dağıtım
amaçlı stoklardır. Çevrim stoklarının bir parçası olarak düşünülebilir. Stok
maliyetlerini hesaplama açısından, varış yerine kadar geçen sürede satış
veya kullanıma hazır olmadıklarından çıkış noktasındaki bir stok olarak
ele alınır.
23
James R. Stock, Douglas M. Lambert, Strategic Logistics Management, 4.b. Singapore:
Mc Graw-Hill, 2001, s.232
42
3)
Emniyet veya Tampon Stokları : Talep hızı veya teslimat süresinin belirsiz
olduğu durumlarda, çevrim stoklarına ilave olarak beklenmedik aşırı talebi
veya teslimattaki gecikmeleri karşılamak amacıyla oluşturulan stoklardır.
4)
Spekülatif Amaçlı Stoklar : Ekonomik miktarlarda üretim yapılmasından,
sipariş ve elde bulundurma maliyetleri toplamını en aza indirmek için
ekonomik sipariş miktarı kadar veya iskontolardan yararlanmak amacıyla
gereğinden fazla satınalma yapılmasından kaynaklanan stoklardır. Ayrıca
bir ürünün fiyatının gelecekte artacağı, arzın azalacağı öngörüldüğünde
veya olası bir greve karşı işletmeyi korumak amacıyla da gereğinden fazla
stok tutma yoluna gidilebilir.
5)
Mevsimsel Stoklar : Talepteki dalgalanmaları (özellikle mevsimsel
dalgalanmaları) karşılamak amacıyla tutulan stoklardır.
6)
Ölü Stok : Modasının geçmiş veya özelliklerini yitirmiş olduğundan
talebin kalmadığı ürünlerdir. Bir mal için, işletmenin satış yaptığı tüm
bölgelerde olabileceği gibi, sadece belirli bir bölgede talep sona ermiş
olabilir. İkinci durumda ölü stoklar talebin devam ettiği bölgelere
sevkedilerek değerlendirilir.
1.8
Stok Kontrolünden Etkilenen Maliyet Unsurları
Stoklar tek başına, çoğu işletme için mevcut mal varlıklarının önemli
kalemlerinden birini oluşturur. Son yıllardaki artan rekabet ortamı, gelen talepleri
anında karşılayarak pazarın çeşitli kesimlerindeki müşterilerinin memnuniyetini
artırmak amacıyla, işletmeleri daha fazla miktarda stok tutmaya yönlendirmektedir.
Buna koşut olarak, özellikle bazı sektörlerde, müşteriler de, istedikleri miktarda
ürünü en kısa zamanda elde edebilme alışkanlığı edinmişlerdir. Bunun işletmeler için
doğal sonucu ise stoklarının artma eğilimi göstermesi olmuştur. Üretici işletmelerde
stokların değeri tipik olarak mevcut mal varlıklarının % 10’u civarında olup bazı
durumlarda % 20’lere kadar çıkabilmektedir. Toptancı ve perakendeciler için ise bu
oran % 20 - 50 arasındadır.24 Stokların işletmelerin mal varlıkları içinde bu kadar
24
Stock ve M. Lambert, Strategic Logistics Management, s.188
43
büyük bir paya sahip olması, işletmelerde daha gerçeğe yakın ve sağlıklı bir stok
kontrolüne verilen önemi artırmıştır. Aşağı yukarı tüm işletme problemlerinde
olduğu gibi stok kontrol probleminde de bir kararın maliyet açısından olumlu ve
olumsuz yönde etkileri vardır. Burada da çeşitli maliyet unsurları arasında bir denge
durumunun araştırılması söz konusudur. Stok kontrol yöntemlerinin daha iyi
anlaşılabilmeleri için öncelikle bu maliyet unsurlarının ele alınması yararlı olacaktır.
Stok kontrolü politikalarından etkilenen başlıca maliyet unsurları aşağıdaki
gibi tanımlanabilir.25
1)
Miktar iskontoları : Tedarikçiler üretim programlarını düzgünleştirmek,
aynı zamanda stoklarını da düşük tutmak amaçlarıyla müşterilerini daha
büyük miktarlarda mal satınalmaya özendirmek isterler. Bu düşünceyle
sipariş miktarı artıkça sattıkları malın birim fiyatında belirli oranda
indirim yapabilirler. Müşteri konumundaki bir işletme açısından, dış
tedarikçilerden satınalınan hammadde, parça ve malzemelerin bir defalık
sipariş miktarları büyüdükçe birim fiyatta miktar iskontosu denen bir
indirim sözkonusu olabilir. Buna karşı ihtiyaçtan fazla miktarda alınan
mallar gereksiz stokların ortaya çıkmasına sebep olur. İşletmenin miktar
iskontosu ile sağlayacağı yararlar gereğinden fazla stok tutma maliyetleri
ile karşılaştırılarak bir defada sipariş edilecek mal miktarları belirlenir.
2)
Sipariş maliyetleri : İşletme içinden veya dışından verilen siparişlerde
sadece yeni bir sipariş verilmesi nedeni ile yapılan masraflar sipariş
maliyeti olarak adlandırılır. Örneğin dış tedarikçiden alınacak mallarda
talep formlarının hazırlanması, ilgili bölümlerden onay alınması,
tedarikçiler arasında fiyat araştırması yapılması, mal kabulünün
yürütülmesi, finansman giderleri, ithal mallarda sabit akreditif masrafları
gibi maliyetler vardır. Benzer şekilde işletme içinde imalata alınacak
ürünler için de birimler arası yazışmalar, iş emirlerinin düzenlenmesi ve
üretim hattında kalıp, takım, aparat değişimi gibi kayıp zamanlardan
kaynaklanan sipariş maliyetleri vardır. Bu maliyetler ile sık sipariş
vermenin getireceği avantajlar karşılaştırılarak karar verilir.
25
Kobu, Üretim Yönetimi, s.346-349
44
3)
Doğrudan malzeme maliyetleri : Genel anlamda, doğrudan kullanılan
hammadde ve malzeme miktarları üretilen ürün miktarları ile doğru
orantılıdır ve sipariş miktarının buna bir etkisi yoktur. Ancak rulo sacların
galvanizlenmesi, boru üretimi gibi bazı durumlarda, üretimin başlangıcı ve
sonunda kaybedilen malzeme, tezgah ayar süreleri ve işçilerin yeni bir
ürüne adaptasyonundan kaynaklanan hatalı imalat ve ıskarta oranlarının
artması gibi malzeme kayıpları olabilir. Böyle durumlarda parti hacmi
büyüdükçe birim ürün başına düşen kayıp malzeme miktarı azalır.
4)
Doğrudan işçilik maliyeti : Doğrudan malzeme maliyetinde olduğu gibi
doğrudan işçilik maliyeti de üretilen mal miktarı ile doğru orantılıdır.
Ancak burada da öğrenme süreleri ve işe adaptasyon süresi, özellikle
emek yoğun ürünlerde işçilik kaybına sebebiyet vererek birim ürün başına
düşen doğrudan işçilik maliyetini arttırabilir. Bu durumda stokları bir
miktar yüksek tutup, doğrudan işçilik maliyetini azaltmak avantajlı
olabilir.
5)
Fazla mesai veya vardiya maliyetleri : Satışlardaki mevsimsel
dalgalanmalar veya aşırı talep sebebiyle piyasadaki talep miktarının üretim
kapasitesini aştığı dönemlerde artan talep, fazla mesai yaptırılarak veya
vardiyalı çalışma düzenine geçilerek karşılanmaya çalışılır. Ancak fazla
mesailerde işçilere normalden daha fazla ücret ödenir veya vardiyalı
çalışmada üretim veriminin düşük olması gibi çeşitli ek maliyetler oluşur.
Talebin düşük olduğu dönemlerde stok yapmak ve artan dönemsel talep
artışını bu stoklardan karşılamak fazla mesai veya vardiyalı çalışmaya
göre daha az maliyetli ise bu yol tercih edilebilir.
6)
Yeni işçi alma, eğitme ve işten çıkarma maliyetleri : Talebin yüksek
olduğu dönemlerde, işçiye fazla mesai yaptırmak veya vardiyalı
çalıştırmak yerine yeni veya mevsimsel işçi almak da düşünülebilir. Ancak
bu durumda yeni işçi alma ve işten çıkartma ile bunların eğitilmesi için
harcanacak kaynakların maliyetleri göz önüne alınmalıdır.
7)
Fazla kapasite maliyetleri : Talebin arttığı dönemlerde üretim miktarını
arttırmak için baş vurulabilecek diğer bir yöntem de elde fazla sayıda
makina bulundurmak ve gerektiğinde bu makinalardan yararlanmaktır.
45
Ancak talebin düşük olduğu dönemlerde bu makinalar boş kalacaktır.
Makina kapasitesinin bu şekilde yüksek tutulması daha fazla yatırım,
amortisman, tamir ve bakım masrafı demektir. Bu sebeplerden birim ürün
maliyetinde meydana gelecek sabit ve değişken masraflardaki artışın stok
tutma maliyetinden fazla olmadığı kontrol edilerek bir karar alınır.
8)
Müşteri
kaçırılması
maliyeti
:
Ürün
yokluğu
nedeniyle
isteği
karşılanamayan müşteri başka bir firmanın malına yönlenirse, gelecekte
bu müşteriyi geri kazanmak için ilave harcamalar ve fedakarlıklar
yapılması gerekebilir. Bazı durumlarda bu müşteri tamamen de
kaybedilebilir. Bu maliyeti değerlendirmek çok zor olmakla beraber uzun
vadede
işletmenin
pazar
payındaki
değişmeler
incelenerek
bir
değerlendirme yapılabilir. Müşteri talebini zamanında karşılayamamanın
ve müşteriyi kaybetmenin çok önemli olduğu durumlarda maliyetlere fazla
bakılmadan stok tutma yoluna gidilir. Diğer taraftan, bir işletmede üretim
için gerekli hammadde, parça veya yardımcı malzemelerin gereken zaman
ve miktarda hazır bulunmaması da üretim programında aksamalara,
makina ve işçilerin boş kalmalarına dolayısıyla verim düşüklüğüne, ayrıca
müşteri siparişlerinin tesliminde aksamalara sebep olarak istenen faydanın
elde edilememesine ve işletmenin prestij yitirmesine yol açar.
9)
Yıpranma ve eskime maliyetleri : Stokta tutulan malların zamanla
bozulabilir nitelikte olması da stok miktarlarını belirleyen bir unsurdur.
Örneğin pastorize süt gibi kısa zamanda bozulabilen ürünlerin
stoklanmasının hiçbir anlamı yoktur. Ayrıca, teknolojik gelişmeler veya
ürünün
modasının
geçmesi
yüzünden
stokta
tutulan
varlıkların
değerlerinin düşmesi, hatta hiç bir değerlerinin kalmaması da sözkonusu
olabilir. Stok miktarları belirlenirken bu durumların da göz önüne alınması
gerekir.
10) Fiyat değişiklikleri : Fiyatların çok hızlı değiştiği şartlarda stok
politikalarının doğruluğu büyük önem taşır. Stoklardaki malın fiyatının
artması ek kazanç sağlıyor olsa da finansman maliyetlerinin yüksek olması
durumu tamamen tersine döndürebilir. Diğer taraftan çelik, aluminyum,
buğday gibi temel hammaddelerde, dünya piyasa fiyatlarının yakından
46
takip edilerek işletmenin yanlış alımlardan dolayı zarar etmesine engel
olunmalıdır.
11) Vergiler ve faiz giderleri : Ülkede geçerli vergi yasaları, uygulanan
muhasebe sistemi veya döviz kurlarındaki hareketlilik, stokta bulunan
mallardan dolayı işletmenin vergi yükünün artmasına sebep olabilir. Bu
durumda mali yıl sonunda işletmenin stoklarının yüksek olmamasına
dikkat etmek gereklidir. Ayrıca stokta bulunan malların parasal değeri atıl
sermaye demek olduğundan işletmenin uğradığı finansman maliyetini de
değerlendirmek ve buna göre bir stok politikası izlemek gereklidir. Stokta
gereğinden
fazla
mal
bulunması
işletmenin
finansal
yapısının
zayıflamasına, hatta üretim yapamaz duruma gelmesine bile yol açabilir.
12) Depolama maliyetleri : Stok seviyeleri belirlenirken stokların korunduğu
binaların kira, emlak vergisi, sigorta primleri, ayrıca depoların yatırım,
bakım, işletme maliyetleri de hesaba katılmalıdır. Ayrıca kısıtlı bir depo
alanında çok fazla stok tutulduğunda böyle sıkışık bir ortamda hem aranan
mallara kolayca erişme imkanı azalacağından, hem de taşımalarda yer
darlığından kaynaklanan sorunlar ortaya çıkacağından, uygun verimlilikle
çalışmak mümkün olmayacak, bu da işçilik ve zaman kayıplarının ortaya
çıkmasına sebep olacaktır. Bu sebeple stok miktarının belirlenmesinde
depo kapasitesi de gözden uzak tutulmamalıdır.
13) Taşıma maliyetleri : Üretim kaynağından depoya, depodan müşteriye
taşımada, özellikle taşıma uzaklıkları fazla ise, sevkedilen mal belirli bir
miktarın altına indiğinde birim taşıma maliyeti artar. Örneğin yarı dolu bir
kamyonla sevkiyat yapıldığında birim taşıma maliyeti aracın tam dolu
olması durumuna oranla iki katına çıkacaktır. Satınalınacak mallar için de
birim taşıma maliyetlerinin analiz edilerek en uygun sipariş miktarları ve
zamanları belirlenmelidir.
47
Buraya kadar sayılan tüm maliyet unsurlarının ayrı ayrı hesaba katılması
sistemin modellenmesi açısından pratik olmaz. Bu sebeple uygulamada stok
maliyetleri üç ana grupta toplanır ve tüm maliyet unsurları bu üç gruptan uygun olan
birine dahil edilir.
1)
Sipariş maliyetleri : Yeni bir sipariş verileceği zaman ortaya çıkan tüm
maliyet unsurlarıdır. Miktar iskontoları, taşıma maliyetleri, satınalınacak
malın fiyat değişiklikleri, tedarikçi araştırması, hazırlık maliyetleri,
doğrudan malzeme ve işçilik maliyetleri gibi unsurlar bu gruba dahil
edilebilir.
2)
Stok bulundurma maliyetleri : Elde bulundurma maliyetleri olarak da
bilinirler. Bir malın stokta tutulmasının yaratacağı maliyetlerdir. Fazla
mesai maliyetleri, vergi ve faiz giderleri, yıpranma ve eskime maliyetleri,
depolama maliyetleri bu grup kapsamında düşünülebilir.
3)
Stokta bulundurmama maliyetleri : Elde bulundurmama maliyeti olarak da
adlandırılır. Bir malın stokta bulunmaması veya gerekenden az miktarda
bulunması sonucunda ortaya çıkan maliyetlerdir. Elde bulundurmamanın
sonuçları ve buna bağlı maliyetler iki şekilde ele alınabilir. Müşteriden
sipariş alındığında istenen mal stokta mevcut değilse alıcı gereksinimini
başka firmalardan temin etme yoluna gidebilir. Buna müşteri kaçırma
maliyeti adı verilir ve bu maliyeti tam olarak değerlendirmek çok zordur.
İstediği mal veya hizmeti alamayan müşteri, mal hazır oluncaya kadar
bekleme yolunu da seçebilir. Bu durumda istenen malı teslim edebilmek
için alım siparişlerinin değiştirilmesi, malı normalden daha kısa sürede
teslim edebilmek için fazla mesai yapılması, gecikmeden dolayı ceza
ödenmesi veya müşteriyi memnun etmek için fiyat iskontosu yapılması
gibi ek maliyetler oluşur.
48
1.9
Stok Kontrol Yöntemleri
Stok kontrolünün amacı belirli bir malın istenen zamanda, istenen miktarda
ve istenen yerde hazır bulundurulması ve bu işlemin de mümkün olan en az maliyetle
gerçekleştirilmesidir. Sözkonusu mal hammadde, hazır parça ve yardımcı
malzemeler gibi üretim girdileri veya bitmiş ürün olabilir. İşletmeler büyüklüklerine,
yönetim politikalarına, mali olanaklarına, üretim şekillerine, kayıt ve personel
durumlarına uygun olarak çeşitli stok kontrol yöntemleri uygularlar. Bu yöntemler
ana hatları ile beş grupta incelenebilir.
1)
Gözle kontrol yöntemi : Stokların belirli zaman aralıkları ile bir ambar
görevlisi tarafından gözden geçirilmesinden ibaret pratik ve ucuz bir
yöntemdir. Ambar görevlisinin tecrübe ve yargısına dayanarak belirli bir
miktarın altına düşmüş stok kalemleri sipariş edilir. Bu yöntem az sayıda
stok kalemine sahip küçük işletmelerde, perakende satış mağazalarında
uygulanabilir. Gözden geçirme periyodu, yeniden sipariş seviyesi, sipariş
miktarı kişisel yargılara dayandığından, ayrıca stok kalemlerinin sayısı
arttığında hata olasılığı fazladır. Diğer taraftan tüketim hızı, tedarik süresi
gibi faktörler değiştiğinde gerekli önlemlerin alınmasında geç kalınabilir.
2)
Sabit sipariş periyodu yöntemi : Her stok kalemi önceden saptanmış bir
süre (tS) sonunda sayılır ve bu maldan belirli bir maksimum stok
seviyesine ulaşacak miktarda sipariş verilir. (Bkz.: Şekil 1-2) Her sayım
periyodunda tüketim hızı farklı olabileceğinden sipariş edilen q1, q2, q3, ...
parti miktarları da farklı olacaktır. Çok sayıda stok kalemi bulunan
işletmelerde her kalem için farklı sipariş periyotları belirlenmesi ve bu
sürelerde kontrolların yapılması bilgisayar kullanılsa bile zor ve zaman
alıcı bir iştir. Ayrıca her parti miktarı farklı olacağından satınalma
güçlükleri ile karşılaşma ve miktar iskontolarından yararlanamama gibi
sakıncaları vardır.
49
Miktar
Maksimum stok seviyesi
q2
q1
q4
q3
tS
tS
tS
Zaman
Şekil 1-2. Sabit sipariş periyodu yöntemine göre stok kontrolünün unsurları.
3)
Sabit sipariş miktarı yöntemi : (R,q) yöntemi olarak da anılır. Stoklar
sürekli olarak izlenir ve stok miktarı daha önceden belirlenmiş olan bir R
seviyesine indiğinde, toplam sipariş maliyeti minimum olacak şekilde
yine daha önceden belirlenmiş olan bir q miktarında sipariş verilir. R,
yeniden sipariş seviyesi ve q ekonomik sipariş miktarı olarak
adlandırılır. Sipariş noktası seviyesi belli olduğundan, her periyotta sipariş
süresi tS ve tedarik süresi tr farklıdır. (Bkz.: Şekil 1-3) Oysa ki tedarik
süresi belirli bir stok kalemi için çoğunlukla sabittir. Burada, bulunan tr
değerlerinin en küçüğünün, stok kaleminin gerçek tedarik süresinden (L)
az olmamasına özellikle dikkat edilmelidir. Sipariş miktarının sabit
olmasına karşılık sipariş periyotlarının değişken olması, tüketim hızının
sabit olmadığı durumlarda izlemede bazı sorunlar yaratır. Ancak stok
kayıtlarının bilgisayarda tutulduğu sistemlerde, herhangi bir stok
kaleminin miktarı sipariş seviyesinin altına düştüğünde ilgili kişiyi
uyaracak şekilde bir düzenleme yapılarak bu zorluk aşılabilir.
50
Miktar
Maksimum stok seviyesi
q
q
q
Sipariş seviyesi (R)
Minimum stok seviyesi
tr
tS
tr
tS
Zaman
Şekil 1-3. Sabit sipariş miktarı yöntemine göre stok kontrolünün unsurları.
4)
Bu temel yöntemlerden hareketle daha başka alternatif stok kontrol
sistemleri oluşturulması mümkündür. Örneğin, çift kutu yöntemi olarak
anılan yöntemde herhangi bir stok kalemi iki gözlü bir kutuda depolanır.
Birinci gözdeki malzeme tükendiğinde daha önce belirlenmiş q miktarda
sipariş verilir. Sipariş teslim alınıncaya kadar ikinci gözdeki malzeme ile
gereksinim karşılanır. Gözle kontrol yöntemi gibi pratik ve ucuz bir
yöntemdir, ancak aynı sakıncalar burada da sözkonusudur. Bu yöntem
sabit sipariş miktarı yönteminin daha basit bir uyarlamasıdır. Kanban
yöntemi de yine sabit sipariş miktarı yöntemine benzer bir uygulamadır.
Burada da her biri q adet parça içeren kaplar söz konusudur. Bir kaptaki
malzeme tükeniğinde bu kap üzerine Kanban adı verilen bir sipariş kartı
iliştirilerek ilgili birime gönderilir. Üretim veya satınalma birimi bu
miktarda üretim veya satınalma yaparak dolu kabı gönderildiği iş
istasyonuna geri gönderir.
51
5)
ABC yöntemi : Stok kalemlerinin toplam stok içindeki değer olarak
kümülatif yüzdelerine göre sınıflandırılmasından ibaret bir stratejidir. Bu
yöntemde stoklar genellikle üç grup olarak ele alınırlar. Toplam stok
değerinin % 75 - 80’ini, miktarının % 15 - 20’sini oluşturan varlıklar A
grubu stok kalemleri, toplam değerin % 10 - 15’ini, miktarın % 30 - 40’ını
oluşturan kalemler B grubu stok kalemleri ve toplam değerin % 5 10’unu, miktarın % 40 - 50’sini oluşturan kalemler C grubu stok kalemleri
olarak ele alınırlar.26 Bı sınıflandırma işletmenin stok yapısına göre daha
farklı şekillerde de yapılabilir. ABC yöntemi uygulanmasında öncelikle iki
kural uygulanır. Düşük değerli kalemlerden herhangi bir aksaklık
karşısında işletmeyi zora sokmayacak şekilde ve miktar iskontosu vb.
satınalma avantajları göz önüne alınarak bol miktarda bulundurulur,
yüksek değerli stok kalemlerinin miktarı düşük tutulup, stok kontrolu
sıkılaştırılır. A grubu stok kalemleri için ayrıntılı stok kayıt sistemleri
düzenlenmesi, bunların kontrol sorumluluğunun daha deneyimli personele
verilmesi, stokların gözden geçirilme periyodunun kısaltılması, tedarik
işlemlerinin yakından takip edilmesi gibi çarelerle sıkı bir stok kontrolü
sağlanır. C grubundaki stok kalemleri için bu hususlara mümkün olan en
alt seviyede dikkat harcanır. Kontrol, sipariş ve kayıt işlemleri daha
basitçe yapılır. Stok miktarları yüksek tutulduğundan sık sık gözden
geçirme ve sipariş vermeye gerek kalmaz. B grubundaki kalemler için ise
ikisi arası bir yol izlenir.
26
Kobu, Üretim Yönetimi, s.354
52
2
2.1
STOK KONTROL MODELLERİ
Giriş
Stok kontrolünün amacı hatırlanırsa, stok yönetiminde temel problem bir
üründen ne zaman ve ne miktarda satınalınacağının veya üretileceğinin
belirlenmesi olduğu kolayca anlaşılır. Bu karar verilirken stok pozisyonu, talep
tahminleri ve yukarıdaki bölümde sıralanan çeşitli maliyet unsurları göz önüne
alınmalıdır. Bu unsurlar ise stok kontrolünü oldukça karmaşık bir problem haline
getirmektedir. Böyle karmaşık ve belirsizlikler içeren problemleri çözmek için
başvurulan yöntemlerden biri de sözkonusu sistemin modellenmesidir. Modellemede
temel ilke gerçek bir olayın benzerini bir model üzerinde yaratıp çeşitli durumlarda
ortaya çıkan sonuçları görmekten ibarettir. Modelleme mühendislikte kullanıldığı
şekliyle benzetim (simülasyon) tekniklerinden yararlanarak örneğin bir geminin
modelinin oluşturup bunu su kanalında denemek ve oluşacak etkileri görmek
olabileceği gibi, sistemi özelliklerini matematik denklemlerle betimleyerek
karşılaşılan problemi çözmek şeklinde de olabilir. Benzetim teknikleri sosyal
bilimlerde, özellikle de işletmecilik alanında da sıkça başvurulan bir yöntemdir.
Ancak
şimdilik benzetim
bir kenara
bırakılarak,
öncelikle
stok kontrol
problemlerinin matematiksel modeller şeklinde ifade edilmeleri ve çözümleri ele
alınacaktır.
Matematiksel modeller temel bilim, mühendislik ve sosyal bilimler gibi bir
çok alanda kullanılabilir. Örneğin fizikte kullanılan bir matematiksel model ilgili
olduğu sistemi, konu hakkındaki tüm ayrıntıları içerecek şekilde betimleyen bir
modeldir. Oysa burada konu edilecek işletmecilik ve yöneylem araştırmasında (YA)
kullanılan modeller, çözümleri kolaylaştırabilmek amacıyla olaya etki eden ancak
çok önemli görülmeyen unsurlardan bazılarının ihmal edildiği, çeşitli varsayımlar
içeren daha kaba modellerdir. Stok kontrolünde kullanılan modeller ele alınmadan
önce bazı kavramların tanımlanması faydalı olacaktır.
53
Stok pozisyonu denilince öncelikle stoktaki varlıklar akla gelir. Bununla
birlikte, sipariş hazırlanırken eldeki mevcut stoğun yanı sıra daha önce sipariş
edilmiş ancak henüz teslim alınmamış mallar ile talep gelmiş ancak stokta
bulunmadığından dolayı müşteriye teslim edilmemiş sipariş bakiyeleri de hesaba
katılmalıdır. Buna göre, stok kontrolü probleminde, “Stok Pozisyonu (SP) = Eldeki
Mevcut Stok + Teslim Alınmamış Siparişler – Sevkedilememiş Satışlar” şeklinde
düşünülmelidir. Ayrıca, müşteriler daha ileri tarihlerde teslim edilmek üzere
rezervasyon yaptırabiliyorlarsa, teslimat tarihinin çok ileri bir tarih olmaması
durumunda bu tip müşteri siparişleri de stok pozisyonundan düşülmelidir. Sipariş
verme kararı stok pozisyonu ile ilgili olmakla beraber, elde bulundurma ve
bulundurmama maliyetleri hesaplanırken stok seviyesi temel alınır. Bu miktar ise
“Stok Seviyesi (S) = Eldeki Mevcut Stok – Sevkedilememiş Satışlar” şeklinde
bulunur.27 Bu kavramlar, örneğin sabit sipariş miktarı yöntemi
(R,q) ile stok
kontrolü yapılan bir mal için gösterilmek istenirse (Bkz.: Şekil 2-1)
S (Miktar)
Stok pozisyonu (SP)
R+q
R
Stok
seviyesi
L
L
Zaman
Şekil 2-1. Sabit sipariş miktarı yönteminde stok pozisyonu ve stok seviyesi
27
Axsäter, Inventory Control, s.27
54
2.2
Sabit Talep Durumunda Bir Kalem için Stok Kontrol
Modelleri
Stok yönetiminde kullanılan en basit stok kontrol modelleri, üretimde
kullanılan bir malzeme için tüketim veya bitmiş ürün için müşterilerin talep
miktarının belirli ve göz önüne alınan belirli bir dönem boyunca zaman içinde sabit
olduğu bir kalem için stok kontrol modelleridir. Bu model için incelenen dönem
planlama dönemi veya plan ufku (planning horizon) olarak adlandırılır. Bu ürünün
tüketim veya talep miktarı birim zamanda d birim (birim miktar/birim zaman), diğer
bir ifade ile tüketim hızı sabit ve d olsun.
2.2.1 Ekonomik Sipariş Miktarı (ESM) Modeli
En temel stok kontrol modeli, talebin sabit olduğu herhangi bir mal kalemi
için ekonomik sipariş miktarı (ESM) modelidir. Bu model ne kadar zaman aralıkları
ile ve ne miktarda sipariş verileceğinin belirlenmesini amaçlayan bir sabit sipariş
miktarı
(R,q)
yapılmaktadır :
modelidir.
Bu
model
oluşturulurken
aşağıdaki
varsayımlar
28
1)
Talep miktarı belirli, talep sabit ve incelenen dönem içinde süreklidir.
2)
Malın birim fiyatı sabittir, yani miktar iskontosu uygulanmamaktadır.
3)
Sipariş verme maliyeti her sipariş için sabittir.
4)
Elde bulundurma maliyeti ortalama stok seviyesi esas alınarak hesaplanır.
5)
Tedarikçi istenen miktarda malın tamamını siparişin verilmesinden
itibaren L zaman sonunda teslim eder.
6)
Her siparişin miktarı q sabittir ve bu miktar sınırsız kabul edilmektedir.
7)
Stok seviyesinin sıfırın altına düşmesine izin verilmez.
8)
Plan ufku çok uzundur, yani tüm parametrelerin yeteri kadar uzun bir süre
boyunca aynı değerlerde kaldıkları varsayılmaktadır.
28
Scheduling, s.150
55
Bu model, üreticiden mal alarak müşterilerine satan bir perakende satış
mağazasında sıkça karşılaşılan bir durumdur. Burada tedarik süresi (L), sipariş
hazırlama ve sevkiyat sürelerini kapsar. Aynı senaryo, üretim yapan bir işletme için
de uygulanabilir. Bu durumda sipariş, istenen mal için üretim emridir; L ise gerekli
hammadde ve malzemelerin tedarik, hazırlık ve üretim sürelerinin toplamıdır. Zaman
içinde satış yapıldıkça veya mal tüketildikçe stoktaki mal miktarı –d eğimli bir doğru
boyunca azalacaktır. (Bkz.: Şekil 2-2) Stok seviyesinin R miktara düştüğü belirli bir t
anında q miktarda sipariş verildiğinde stok pozisyonu R + q seviyesine çıkar, buna
karşılık stok seviyesi L zamanı boyunca –d eğimli doğru boyunca azalmaya devam
ederek L süresi sonunda sıfıra düşer. t + L anında sipariş teslim alınır ve stok
seviyesi yeniden q miktara çıkar. Bu problemde amaç belirli bir zaman süresini
kapsayan bir dönem boyunca (örneğin yıllık olarak) kaç kez ve ne miktarlarda sipariş
verilmesi gerektiğinin hesaplanmasıdır.
Stok seviyesi
R+q
SP(t)
q
q
R
Eğim d
S(t)
L
L
Zaman (t)
u
Şekil 2-2. Tüketim hızı sabit olan bir stok kalemi için stok miktarı
Peşpeşe iki sipariş arasındaki süre, yani sipariş periyodu u ile gösterilsin. u
süresinin uzunluğu u = q d ve bir dönem boyunca sipariş adedi veya diğer bir ifade
56
ile sipariş frekansı SF = 1 u = d q olacaktır. u süresince ortalama stok seviyesi ise
S = q 2 dir.
Sipariş başına sabit maliyet k (para birimi/sipariş), değişken maliyet c (para
birimi/birim miktar) olsun. Diğer taraftan, birim malın elde bulundurma maliyetinin
ana hatları ile iki tip maliyetten oluştuğu söylenebilir. Bunlardan birincisi depo
kirası, elleçleme maliyeti, soğutma, iklimlendirme, sigorta gibi bir malın stokta
bulundurulmasından kaynaklanan tüm doğrudan maliyetlerdir; bu hd ile gösterilsin.
Diğeri maliyet unsuru da finansman maliyetidir; r faiz oranı olmak üzere finansman
maliyeti birim mal için r.c olacaktır. Dolayısıyla toplam elde bulundurma maliyeti
h = hd + r ⋅ c (para birimi/birim miktar/birim zaman) olarak ifade edilebilir. Buna
göre toplam sipariş maliyeti,29
C ( q ) = ( k + c ⋅ q ) ⋅ SF + h ⋅ S = ( k + c ⋅ q ) ⋅
C (q) = c ⋅ d +
k ⋅d h⋅q
+
q
2
d
q
+ h⋅
q
2
( q > 0)
(2.1)
Bu genel bir formül olup, buradaki tüm parametrelerin amaca uygun olarak
aynı birimlere dönüştürülmesi gerekir. Örneğin d (kg/hafta), h (paket/ay), q (ton/yıl)
gibi birimler ile verilmişse bunların hepsi aynı birimlere dönüştürülmelidir.
Bu problemde amaç hatırlanacağı gibi TSM’ni minimum yapan q değerini
bulmaktır. (2.1) ifadesinin birinci terim q’den bağımsızdır; ikinci terim bir hiperbol,
üçüncü terimin ise bir doğruyu göstermektedir. Bu ifadedeki terimlerin temsil ettiği
eğriler (Şekil 2-3)’de gösterilmektedir. Burada hiperbol ile doğrunun kesiştikleri
nokta TSM’ni minimum olduğu ekonomik sipariş miktarı q* değerini verecektir.
Buna göre :
k ⋅d h⋅q
=
q
2
29
⇒ q* =
2⋅k ⋅d
h
Zipkin, Foundations of Inventory Management, s.35
57
400
350
300
C (q) = c ⋅ d +
250
k ⋅d h⋅q
+
q
2
200
150
h⋅q
2
100
50
k ⋅d
q
0
0
10
20
q*
30
40
50
60
Şekil 2-3. Ekonomik sipariş miktarının TSM eğrisi yardımıyla bulunması.
Aynı sonuç, (2.1) ifadesinin q’ye göre türevini alıp, türev sıfıra eşitlenerek te
bulunabilir.
d C (q)
k ⋅d h
=− 2 + =0
dq
q
2
Ekonomik sipariş miktarı (ESM) : q* =
2⋅k ⋅d
h
(2.2)
Bu değerden hareketle, optimum sipariş periyodu da aşağıdaki şekilde
bulunur.
u* =
q*
=
d
2⋅k
h⋅d
(2.3)
58
Ekonomik sipariş miktarına karşı gelen TSM ise, (2.1) bağıntısında q yerine
q* konularak aşağıdaki şekilde elde edilir :
C * = C ( q *) = c ⋅ d +
k ⋅d h⋅q*
+
q*
2
C* = C ( q *) = c ⋅ d +
k2 ⋅ d2 ⋅ h
2 ⋅ k ⋅ d ⋅ h2
+
2⋅k ⋅d
4⋅h
C* = C ( q *) = c ⋅ d +
k ⋅d ⋅h
k ⋅d ⋅h
k ⋅d ⋅h
+
= c⋅d + 2⋅
2
2
2
C* = c ⋅ d +
2⋅k ⋅d ⋅h
(2.4)
Yukarıda sayılan varsayımlarda da belirtildiği gibi ESM modelinde en önemli
parametrelerden olan talep hızı d, sabit sipariş maliyeti k ve elde bulundurma
maliyeti h sabit kabul edilmektedir. Ancak çoğu durumda bu değerler önceden
bilinmez ve bunların olasılık dağılımlarının belirlemek ya çok zor, ya da imkansızdır.
Bu aşağıda sayılan ortamlarda sıkça karşılaşılan bir durumdur.30
1)
Stok maliyetlerinin henüz kesin olarak bilinmediği yeni tesis edilmiş stok
sistemlerinde.
Piyasaya ilk defa çıkan yeni bir ürün sözkonusu olduğunda talep hızı, sabit
2)
sipariş ve elde bulundurma maliyetleri bilinmez.
3)
Rekabetin fazla olduğu ürünler için rakiplerin hareketlerine koşut olarak
talep hızındaki değişmeler fazladır.
4)
İthal ve ihraç mallarında döviz kurlarının değişimi, devletin ekonomi
politikalarının değişmesi, vergilerdeki değişimler stok maliyetlerini
etkiler.
ESM yukarıda izah edildiği şekilde belirlendikten sonra, q* ’ın talep
hızındaki değişimlerden nasıl etkilendiği araştırılmak istenebilir. Talep hızı d, d’
olarak değiştiğinde (2.2) bağıntısından faydalanarak kolayca, yeni ESM değeri q*’
için,
q *'
=
q*
30
d'
d
(2.5)
Gang Yu, “Robust Economic Order Quantity Models”, European Journal of Operational
Reserch, 1997, s.482-493
59
bağıntısı yazılabilir; yani, talep hızı değiştiğinde ESM değeri talep hızının karekökü
ile orantılı olarak değişir.
Örneğin talep % 50 arttığında, q* sadece % 22,5 artar. Diğer bir ifade ile,
“talep miktarındaki değişimlere göre q* güçlüdür.” denir.31 Bu önemli bir özelliktir
ve ESM modelinin, içerdiği cüretkar varsayımlara rağmen yaygın bir şekilde
kullanılmasının en önemli sebeplerinden biridir. Özellikle talep hızı tahminlere
dayandığından çoğu durumda bu ESM modeli bir miktar hata içerir; bu hata çok
büyük olmadığı sürece tahminlere dayanarak hesaplanan q* değeri gerçek değerlere
yakın çıkacağından çok önemli bir hata yapılmamış olacaktır.
Diğer taraftan, Şekil 2-3’de görüldüğü gibi ESM’nin bulunmasında c.d terimi
q’den bağımsızdır. Bir an için bu terim hariç tutulursa, (2.1) ve (2.4)
bağıntılarından,32
C (q)
k ⋅d
h⋅q
=
+
C*
q⋅ 2⋅k ⋅d ⋅h 2⋅ 2⋅k ⋅d ⋅h
C (q)
2⋅k ⋅d
q⋅ h
=
+
C*
2⋅q⋅ h 2⋅ 2⋅k ⋅d
C (q) 1  q * q 
= ⋅
+
 elde edilir.
C*
2  q q*
(2.6)
Buna göre, örneğin q q* = 5 4 olduğunda, yani ESM değeri % 25
aşıldığında, TSM’ndeki artış C ( q ) C * = 41 40 = 1,025 , yani % 2,5 olmaktadır.
Tersine örneğin q q* = 9 10 olduğunda, yani ESM değerinden % 10 daha az bir
sipariş miktarı için TSM’ndeki artış C ( q ) C * = 181 180 = 1,005 , yani yaklaşık ‰
5,6 olmaktadır. Bu özellik tam zamanında tedarik (JIT = Just-in-Time)
yaklaşımının önemli unsurlarından birini oluşturmaktadır; böylece ekonomik sipariş
miktarı q* değeri daha küçük tutularak TSM’deki küçük artışlara karşılık elde
bulundurma maliyetinin düşürülmesi amaçlanmaktadır. TSM’ni azaltmak için diğer
bir yol da, personeli eğiterek k, yani sabit sipariş miktarını düşürmek olabilir.
31
32
60
2.2.2 Sürekli Tedarik Halinde ESM Hesabı
Daha önce de belirtildiği gibi ESM modeli, üretim yapan bir işletmede de
uygulanabilir. Bir önceki bölümde ele alınan ESM modelinde L tedarik süresi
sonunda bir parti malın anında üretildiği ve tek bir seferde stoğa atıldığı
varsayılmaktadır. Oysa ki, üretim yapan bir tesiste tüm parti tamamlanmadan, hazır
olan malların peyderpey ilgili birimlere gönderilmesi gerçeğe daha yakın bir
durumdur. Özellikle üretim miktarının çok fazla olduğu durumlarda bir siparişin
tamamlanması günler, hatta haftalar sürebilir. Böyle durumlarda ilgili stoklama
noktalarına sevkiyat yapmak için tüm partinin tamamlanması beklenmeyip, daha
küçük miktarlarda, hatta sürekli olarak üretimi tamamlanan malın ilgili birime
gönderilmesi gibi uygulamalar sözkonusu olabilir. Şimdi, bir parti tamamlanıncaya
kadar üretimden çıkan malların sürekli bir akış halinde ilgili birimlere sevkedildiği
bir durum varsayılsın. Üretim hızı µ (birim mal/birim zaman) ile gösterilsin ve üretim
hızı tüketim hızından fazla olsun (µ > d). µ < d ise talep hiçbir zaman
karşılanamayacak, µ = d olduğunda ise üretim bir kez başladığında her üretilen birim
anında tüketilecek demektir ki bu durum bile pratikte mümkün değildir. ρ = d µ
oranı kullanım oranı olarak adlandırılır.33
Stok seviyesi
q
(1 –ρ).q
O
ρu
u
Zaman
Şekil 2-4. Sürekli tedarik durumunda stok seviyesi
33
Plossl, Production and Inventory Control Principles and Techniques, s.47
61
Üretilen parti büyüklüğü q ile gösterilsin. Stok miktarı sıfır olduğunda (veya
izlenen politikaya göre emniyet stoğu miktarına eşit olduğunda), üretim başlar. Her
çevrim bir üretim periyodu ile başlar (aktif periyot), q miktarda üretim yapıldıktan
sonra üretim durdurulur (pasif periyot). (Bkz.: Şekil 2-4)
Bir çevrim süresi yine u = q d ve bir dönem boyunca sipariş adedi
SF = 1 u = d q olacaktır.
µ hızıyla q miktarda üretim yapıldığı aktif periyot uzunluğu q µ = ρ ⋅ u olur;
pasif periyot uzunluğu ise u − ρ ⋅ u = (1 − ρ ) ⋅ u olacaktır. Aktif periyot sonunda stok
seviyesi aşağıdaki maksimum değerine ulaşır.34
S max = q − d ⋅
q
µ
= (1 − ρ ) ⋅ q
Bir çevrim süresince ortalama stok miktarı bu değerin yarısına eşittir.
S=
1
⋅ (1 − ρ ) ⋅ q
2
Buna göre toplam sipariş maliyeti :
C (q) = c ⋅ d +
k ⋅ d h ⋅ (1 − ρ ) ⋅ q
+
q
2
q>0
(2.7)
ESM ise bu ifadenin q’ye göre türevi sıfıra eşitlenerek veya elde edilir.
−
k ⋅ d h ⋅ (1 − ρ )
+
=0
q2
2
q* =
2⋅k ⋅d
h ⋅ (1 − ρ )
(2.8)
Ekonomik sipariş miktarına karşı gelen TSM ise, (2.7) bağıntısında q yerine
q* konularak aşağıdaki şekilde elde edilir :
C* = c ⋅ d +
2 ⋅ k ⋅ d ⋅ h ⋅ (1 − ρ )
(2.9)
Görüleceği gibi burada elde edilen q* değeri, bir önceki ESM
modelindekinden küçüktür. Bunun sebebi, üretilen miktarın bir kısmı kullanılmakta
olduğundan ortalama stok miktarının daha az olmasıdır. Aslında, bir önceki ESM
34
Zipkin, Foundations of Inventory Management, s.50-51
62
modeli, buradaki q* ‘ın ρ = 0 veya µ → ∞ iken hesaplanan özel bir halidir.
Talepteki değişimin q* ‘a etkisi burada da ESM modelindekine benzerdir. Talep
miktarı d, d’ olarak değişirse :
q*'
=
q*
d'
⋅
d
1− ρ
1− ρ '
(2.10)
Üretim sözkonusu olduğunda bu modele τ (zaman birimi) ile gösterilecek bir
hazırlık zamanı da dahil etmek gereklidir. Hazırlık zamanı her parti üretime
başlamadan önce tezgahların ayarı, takım veya kalıp değişimi, kalıpların ısıtılması
vs. işlemlerin yapıldığı süre olarak tanımlanabilir. Burada dikkat edilmesi gereken
nokta hazırlık zamanı ile tedarik süresi L’nin karıştırılmamasıdır. Örneğin sac
parçaların üretildiği bir pres düşünülsün. İşlenen parçadan bir başkasına geçildiğinde
prese yeni kalıbın bağlanması, ayarlanması, kalıbın üretime başlanmadan ısıtılması
gibi işlemlerin yapılabilmesi için bir süreye ihtiyaç vardır. Bu işlemler ise bir önceki
kalıp tezgahtan sökülmediği sürece yapılamayacaktır. Oysa, tedarik süresinin bir
parçası olan hammadde temini bir önceki parçanın üretimi sürerken de yapılabilir.
Diğer bir ifade ile, farklı parçalar için tedarik süreleri örtüşebilir, oysa ki, hazırlık
sürelerinin üst üste binmesi, mümkün değildir. Bu soruna Toyota, JIT yaklaşımı ile,
kalıpların ayar sürelerini kısaltmak, tezgaha bağlamadan önce ısıtmak gibi bir takım
önlemler ile (SMED, Single Minute Exchange of Die programı) bir ölçüde çözüm
getirmiştir.35 Hazırlık zamanı ESM’yi doğrudan etkileyen bir unsurdur. Hatırlanacağı
gibi kullanım oranı ρ = d µ , q’den bağımsızdır. Bir çevrimdeki hazırlık süresi oranı
τ u = τ ⋅ d q ise q’ye bağlıdır. Hazırlık süresi de düşünüldüğünde toplam kullanım
oranı τ ⋅ d q + ρ olur. Bu oran, birden fazla olamayacağından q aşağıdaki kısıtı
sağlamalıdır :36
q≥
35
τ ⋅d
1− ρ
(2.11)
Scheduling, s.635
36
63
Bu eşitsizlik sağlandığı sürece TSM hazırlık süresinden etkilenmeyecektir;
sadece Şekil 2-4’deki stok grafiği τ kadar sağa kayacaktır. Hazırlık süresi k değerini
arttıracak, ancak k ne olursa olsun, ortalama hazırlık maliyeti k ⋅ d q olarak
kalacaktır. Bununla birlikte, gerektiğinde mal bulunmaması gibi bir durumla
karşılaşmamak için yeniden sipariş verme noktası R = d ⋅ ( L + τ ) olmalıdır.
Buraya kadar, üretimden çıkan her parçanın anında tüketilmeye başlandığı,
dolayısıyla da stok sıfıra düştüğünde yeni üretime başlandığı varsayılmaktadır.
Ancak, kolayca anlaşılacağı gibi çoğu fiili durumda bu mümkün olmamaktadır;
parçaların bir ara depoya sevkedilme gerekliliği, soğuma veya kurumalarının
beklenmesi gibi sebeplerden tüm parti üretimi tamamlanıncaya kadar tüketimin
başlamaması durumu ile sıkça karşılaşılır. O halde, stok seviyesi tüm partinin üretimi
süresince yetecek bir miktara indiğinde üretimin başlaması gereklidir. Üretim süresi
yine q µ ve bu sürede talep d ⋅ ( q µ ) = ρ ⋅ q dir. Bu miktar aynı zamanda her
çevrim süresince eldeki minimum stoktur. Maksimum stok ise, bir parti
tamamlandığı andaki miktar olup, q’ye eşittir. Çevrim süresince ortalama stok ise,
S=
q ⋅ (1 + ρ )
dir.
2
Buna göre, (2.11) şartı da göz önüne alınarak, q* için aşağıdaki değer elde edilir :
 τ ⋅ d
2 ⋅ k ⋅ d 
,
q* = max. 

h ⋅ (1 + ρ ) 
1 − ρ
(2.12)
2.2.3 Miktar İskontosu ile ESM Hesabı
2.2.1 bölümünde ele alınan temel ESM modelinde değişken maliyet c (para
birimi/birim miktar) sabit kabul edilmektedir. Oysa uygulamada, tedarikçilerin
müşterilerini daha büyük partiler halinde mal alımına özendirmek için, sipariş
miktarı arttıkça malın birim fiatında iskonto yapmaları sıkça karşılaşılan bir
durumdur. Bu bölümde miktar iskontosu söz konusu olduğunda ESM modelinin ne
şekilde uygulanacağı incelenecektir.
64
Miktar iskontosu uygulandığı durumlarla ilgili belli başlı özellikler
şunlardır:37
1)
İskontodan faydalanmak için gereğinden daha büyük miktarlarda alım
yapılır. Bu ise stokta bulundurma maliyetinin artmasına sebep olur.
2)
Bir seferde daha fazla miktarda sipariş verilerek bir dönem (örneğin bir
yıl) içindeki sipariş sayısı azaltılacağından (genelde bu toplam maliyeti
çok fazla etkilememekle birlikte) sabit sipariş maliyeti düşecektir. Bunun
yanısıra, stokta ortalama olarak fazla miktarda mal bulunacağından
siparişlerin karşılanamaması gibi bir durumla karşılaşmak olasılığı azalır,
dolayısıyla emniyet stokları ihtiyacı ortadan kalkar.
3)
Malın birim alış fiyatı düşeceğinden, bu toplam maliyeti önemli ölçüde
azaltabilir.
Miktar iskontosu iki şekilde uygulanabilir. Bunlardan birincisi, artımlı veya
kademeli iskonto olarak da tanımlanabilecek, sadece belirli bir miktarın üzerindeki
mallar için iskonto uygulamasıdır. Burada bir χ miktarına kadar malın birim fiyatı
c0 ise, χ miktardan sonraki mallar için c1 < c0 bir birim fiyat uygulanır.
Sipariş maliyeti k + c ( q ) olmak üzere bu iskonto aşağıdaki iki farklı şekilde
formüle edilir :38

c(q) = 

c0 ⋅ q
c0 ⋅ χ + c1 ⋅ ( q − χ )
0 < q ≤ χ ise
q > χ ise
veya, k0 = k ve k1 = k + ( c0 − c1 ) ⋅ χ olmak üzere, sipariş maliyeti,

k + c(q) = 

k0 + c0 ⋅ q
0<q≤χ
k1 + c1 ⋅ q
q>χ
ise
ise
37
38
65
Fiyat kategorileri ikiden fazla sayıda da olabilir. Örneğin m sayıda birim fiyat
kategorisi varsa,39




c(q) = 




0 < q ≤ χ1 ise
c1 ⋅ q
a −1
χ1 < q ≤ χ m −1 ise
i =2
 a = 2,……, ( m − 1) 
c1 ⋅ χ1 + ∑ ci ⋅ ( χ i − χi −1 ) + ca ⋅ ( q − χ m −1 )
m −1
c1 ⋅ χ1 + ∑ ci ⋅ ( χ i − χi −1 ) + cm ⋅ ( q − χ m −1 )
q > χ m −1 ise
i =2
İkinci tip miktar iskontosunda ise, bir χ miktarına kadar malın birim fiatı c0
ise, χ miktarıdan fazla alımlar için tüm partiye c1 < c0 birim fiyat uygulanır. Bu
durumda değişken maliyet,

c(q) = 

c0 ⋅ q
0<q< χ
c1 ⋅ q
q≥χ
ise
ise
şeklinde ifade edilir. Burada da ikiden fazla fiyat kategorisi belirlemek mümkündür.
2.2.3.1 Artımlı Miktar İskontosu Durumunda ESM Hesabı
Kolaylık açısından iki kademeli iskontu uygulandığı durum ele alınsın. Bu
durumda da sipariş maliyeti ESM modeline benzer şekilde hesaplanmakla birlikte
elde bulundurma maliyetinde, doğrudan stokta bulundurma maliyeti veya elleçleme
ile finansman giderleri ayrı ayrı ele alınmalıdır. r faiz oranını, c(q) ortalama değişken
maliyeti göstermek üzere, birim faiz gideri r ⋅ c ( q ) / q  olur. hd birim doğrudan elde
bulundurma maliyeti olmak üzere TSM,40
C ( q ) =  k + c ( q )  ⋅
r ⋅ c(q) 
d q 
+ ⋅  hd +

q 2 
q 
(2.13)
olur. Burada amaç TSM olan C(q) değerini minimum yapmaktır.
C ( q ) = min {C0 ( q ) , C1 ( q )}
39
Askin ve Goldberg, Design and Analysis of a Lean Production Systems, s.177
40
66
Buna göre,
0 < q ≤ χ ise : c ( q ) = c0 ⋅ q ve k + c ( q ) = k0 + c0 ⋅ q olacağından,
C0 ( q ) = ( k0 + c0 ⋅ q ) ⋅
d q
r ⋅ c0 ⋅ q
+ ⋅ hd +
q 2
2
k0 ⋅ d q
+ ⋅ ( hd + r ⋅ c0 )
q
2
C0 ( q ) = c0 ⋅ d +
(2.14)
q > χ ise : c ( q ) = c0 ⋅ χ + c1 ⋅ ( q − χ ) ve k + c ( q ) = k1 + c1 ⋅ q
olacağından,
C1 ( q ) = ( k1 + c1 ⋅ q ) ⋅
C1 ( q ) = c1 ⋅ d +
r ⋅ c0 ⋅ χ + r ⋅ c1 ⋅ ( q − χ )
d q
+ ⋅ hd +
q 2
2
k1 ⋅ d q
r⋅χ
+ ⋅ ( hd + r ⋅ c1 ) +
⋅ ( c0 − c1 )
q
2
2
(2.15)
elde edilir.
(2.14) ve (2.15) ifadelerinin q’ye göre türevleri alınıp sıfıra eşitlenirse, bu
değerleri minimum yapan q miktarları elde edilecektir.
C0 ' ( q ) = −
k0 ⋅ d 1
+ ⋅ ( hd + r ⋅ c0 ) = 0 ⇒ q0 * =
q2
2
C1 ' ( q ) = −
k1 ⋅ d 1
+ ⋅ ( hd + r ⋅ c1 ) = 0 ⇒ q1* =
q2
2
2 ⋅ k0 ⋅ d
h
( d + r ⋅ c0 )
2 ⋅ k1 ⋅ d
( hd + r ⋅ c1 )
(2.16)
(2.17)
k1 > k0 ve c1 < c0 olduğundan q1* > q0* olduğu açıktır. Burada üç olası
durum vardır :
1)
q0 * < q1* ≤ χ
2)
q0 * < χ < q1 *
3)
χ ≤ q0 * < q1 *
Birinci durumda, q ≥ χ olursa, C ( q ) = C1 ( q ) ≥ C1 ( χ ) = C0 ( χ ) > C0 ( q0 *)
dir ve q0* en ekonomik sipariş miktardır. Benzer şekilde üçüncü durumda da q1* ‘ın
en ekonomik sipariş miktarı olduğu görülür. Sadece ikinci durum şüphelidir. Bu
durumda C0 ( q0 *) ve C1 ( q1 *) hesaplanarak bunlardan hangisi daha küçükse buna
karşılık gelen sipariş miktarının ESM olduğuna karar verilir.
67
2.2.3.2 Tüm Partiye Miktar İskontosu Uygulandığında ESM Hesabı
Belirli bir χ miktarından fazla sipariş verildiğinde tüm partiye iskontolu
fiyat uygulandığı durumda TSM aşağıdaki gibi olacaktır :
Ci ( q ) = ci ⋅ d +
k ⋅d q
+ ⋅ ( hd + r ⋅ ci )
q
2
(2.18)
Örneğin iki fiyat kategorisi uygulanan bir durum için :
q<χ
için, C0 ( q ) = c0 ⋅ d +
k ⋅d q
+ ⋅ ( hd + r ⋅ c0 )
q
2
(2.19)
q≥χ
için : C1 ( q ) = c1 ⋅ d +
k ⋅d q
+ ⋅ ( hd + r ⋅ c1 )
q
2
(2.20)
Bu fonksiyona ait örnek bir grafik Şekil 2-5’de gösterilmektedir.
34000
q<χ
33000
32000
31000
q≥χ
30000
29000
28000
0
50
χ =100
100
150
200
250
Şekil 2-5. Tüm partiye miktar iskontosu uygulandığında TSM’nin değişimi
68
•
c1 < c0 olduğundan önce (2.20) ifadesinden iskontolu durumda ESM için q1*
değeri hesaplanır.41
q1* =
2⋅k ⋅d
hd + r ⋅ c1
Eğer q1* ≥ χ ise, en iyi çözüm q1* değeridir. Buna karşılık gelen TSM, (2.4)
ifadesine benzer şekilde,
C1* = d ⋅ c1 +
•
2kd ⋅ ( hd + r ⋅ c1 ) dir.
(2.21)
Eğer q1* < χ ise, (2.19) ifadesinden hareketle, q0* değeri ve buna karşılık
gelen TSM sırasıyla aşağıdaki gibi hesaplanır :
q0 * =
2⋅k ⋅d
hd + r ⋅ c0
C0 * = d ⋅ c0 +
2kd ⋅ ( hd + r ⋅ c0 )
(2.22)
c1 < c0 olduğundan q0 * < q1* ≤ χ dir. Diğer taraftan (2.20) fonksiyonu çukur
(konveks) bir fonksiyon olduğundan iskontolu fiyat uygulandığında en düşük TSM,
q = χ için gerçekleşeceğinden, iskontolu fiyat için,
(TSM )min →
C1 ( χ ) = c1 ⋅ d +
k ⋅d
χ
+
χ
2
⋅ ( hd + r ⋅ c1 )
(2.23)
(2.22) ve (2.23) ifadeleri karşılaştırılarak bunlardan küçük olan maliyet değeri
aranan minimum TSM, dolayısıyla ESM değerini verir. Diğer bir ifade ile,
C0 * < C1 ( χ ) ise q = q0* , C1 ( χ ) < C0 * ise q = χ en uygun sipariş miktarıdır.
41
Axsäter, Inventory Control, s.37-38
69
2.2.4 Elde Bulundurmama Durumunda ESM Hesabı
Bir işletmenin, özellikle de üretim yapan bir işletmenin, karlılığının artırmak
için üç ana amacı vardır; azami müşteri memnuniyeti, asgari stok yatırımı ve
kaynakların (veya üretim olanaklarının) en etkin şekilde kullanılması. Müşteri
memnuniyeti, diğer bir deyişle müşteri hizmet seviyesinin (customer service)
arttırılması çoğu zaman stok seviyesinin yüksek tutulmasını gerektirir.42 Bazı
durumlarda, özellikle de sipariş üzerine imalat yapan işletmelerde stokta müşteriden
gelen talebi anında karşılayacak miktarda ürün olmayabilir.
2.2.4.1 Temel Model
Şimdi, tüm siparişlerin anında stoklardan karşılanmasının zorunlu olmadığı
bir durum göz önüne alınsın. Bu durumda belirli bir mal, stok mevcudu olduğu
sürece sipariş geldikçe müşterilere teslim edilecek, mal stoğu tükendiğinde ise daha
sonra teslim edilmek üzere sipariş almaya devam edilecektir. Bu şekilde daha ileri bir
tarihte teslim edilmek üzere alınan siparişler sipariş bakiyeleri veya bekletilen
siparişler (backorders) olarak adlandırılır. Burada müşterilerin geç teslimatları
kabul
edecekleri,
üreticinin
de
istenen teslimatı
yapmayı taahhüt ettiği
varsayılmaktadır. Diğer bir senaryo ise müşterilerin gecikmeli teslimatları kabul
etmedikleri ve bundan dolayı satış olanağının tamamen kaybedilmesinin sözkonusu
olduğu durumdur. Böyle durumlarda gecikmeden dolayı müşterilere bir iskonto
yapılması, gecikme cezası ödenmesi veya müşteri kaybı gibi sebeplerden dolayı bir
elde bulundurmama maliyeti ortaya çıkacaktır.
Böyle bir modelde bir t anındaki sipariş bakiyesi miktarı B(t) olsun. Tüketim
yine sabit kabul edildiğinden, iki alım siparişi arasında stok seviyesi –d eğimi ile
değişecektir. Daha önceki modellerden farklı olarak stok seviyesi sıfırın altına
düştüğünde de stok seviyesi azalmaya devam edecektir; diğer bir deyişle sipariş
bakiyesinin sözkonusu olduğu bölgede eksi stok sözkonusudur. Herhangi bir t anında
net stok seviyesi NS(t) ile gösterilirse,
42
70

NS ( t ) = 

S (t )
NS ( t ) ≥ 0 ise
− B ( t ) NS ( t ) < 0 ise
dir.
Bu şekilde bir NS(t) tanımı, sipariş bakiyelerinin eksi stok seviyesi olarak
gösterilmesine olanak tanır. Stok seviyesi bir R değerine düştüğünde q miktar için
alım siparişi verilecek ve stok pozisyonu R+q miktara çıkacaktır. Net stok seviyesi
azalmaya devam edecek, sipariş teslim alındığında NSD yeniden q – B(t) miktara
çıkacaktır. (Bkz.: Şekil 2-6)
Net stok seviyesi
q
q
Yeniden
R
seviyesi
O
ν
sipariş
Zaman
L
L
u
Şekil 2-6. Elde bulundurmama durumunda net stok seviyesinin değişimi
Sipariş bakiyesi miktarının en fazla ν olması isteniyorsa, ν = R − d ⋅ L
yazılır. Buna göre siparişlerin karşılanamadığı süre ise y = ν d olacaktır.
71
Net stok seviyesi
q −ν
R
y
O
u–y
Zaman
−ν
Şekil 2-7. Elde bulundurmama durumunda çevrimin iki aşaması
Şekil 2-7’da benzer üçgenlerden
q q −ν ν
=
=
yazılabilir. Buradan, elde
u u−y y
bulundurmama süresinin tam çevrim süresine oranı ζ =
süresinin çevrim süresine oranı
y ν
= ve stokta bulundurma
u q
u − y q −ν
=
bulunur. Buna göre,
u
q
Ortalama stok miktarı : S =
q −ν
q
 q −ν
⋅
 2
Ortalama sipariş bakiyesi miktarı : B =
 ( q −ν )
=
2⋅q

ν ν
⋅
q 2
=
2
ν2
2⋅q
SF = 1 u = d q olduğu da hatırlanırsa ve elde bulundurmama maliyeti b
(para birimi/birim miktar) olmak üzere, toplam sipariş maliyeti,
2
( q −ν ) + b ⋅ ν 2
d
C (ν , q ) = ( k + c ⋅ q ) ⋅ SF + h ⋅ S + b ⋅ B = ( k + c ⋅ q ) ⋅ + h ⋅
q
2⋅q
2⋅q
72
2
( q − ν ) + b ⋅ ν 2 olur.
k ⋅d
C (ν , q ) = c ⋅ d +
+ h⋅
q
2⋅q
2⋅q
(2.24)
İki değişkenli bu fonksiyonun bir ekstremumu olması için gerek şart kısmi
türevlerin sıfır olmasıdır. Kısmi türevler alınırsa,
h ⋅ ( q − ν ) b ⋅ν
∂C
=−
+
=0
∂ν
q
q
2
4 ⋅ q ⋅ ( q − ν ) − 2 ⋅ ( q − ν ) b ⋅ν 2
k ⋅d
∂C
= − 2 + h⋅
−
=0
∂q
q
4 ⋅ q2
2 ⋅ q2
2
2
∂C
k ⋅ d h ⋅ ( q − ν ) b ⋅ν 2
=− 2 +
−
=0
∂q
q
2 ⋅ q2
2 ⋅ q2
Birinci eşitlikten ν =
h⋅q
elde edilir.
b+h
İkinci eşitlikten,
(
)
−2 ⋅ k ⋅ d + h ⋅ q 2 − ν 2 − b ⋅ν 2 = 0
h ⋅ q 2 − 2 ⋅ k ⋅ d = ( b + h ) ⋅ν 2 =
h2 ⋅ q 2
b+h
h 

h ⋅ q 2 ⋅ 1 −
 = 2⋅k ⋅d
 b+h
ω=
q* =
b
konursa, ekonomik sipariş miktarı aşağıdaki gibi elde edilir.
b+h
2⋅k ⋅d
h ⋅ω
(2.25)
Buna göre,
En uygun sipariş bakiyesi miktarı : ν * = (1 − ω ) ⋅ q *
(2.26)
En uygun yeniden sipariş seviyesi : R* = d ⋅ L − ν *
(2.27)
En uygun çevrim süresi : u* =
q*
=
d
Elde bulundurmama oranı : ζ * =
ν*
q*
2⋅k ⋅d
h ⋅ d ⋅ω
=1− ω
(2.28)
(2.29)
q* ’ye karşılık gelen minimum TSM ise, (2.24) ifadesinde q yerine q* ve ν
yerine ν * değerleri konularak :
73
2
( q * −ν *) + b ⋅ ν *2
k ⋅d
C* = C (ν *, q *) = c ⋅ d +
+ h⋅
q*
2⋅q*
2⋅q*
2
q *2 ⋅ 1 − (1 − ω ) 
q *2 ⋅ (1 − ω )
k ⋅d
C* = c ⋅ d +
+ h⋅
+b⋅
q*
2⋅q*
2⋅q*
2
Gerekli işlemler yapılırsa,
C* = c ⋅ d +
k ⋅ d h ⋅ω ⋅ q *
k2 ⋅ d 2 ⋅ h ⋅ω
2 ⋅ k ⋅ d ⋅ h2 ⋅ ω 2
+
= c⋅d +
+
q*
2
2⋅k ⋅d
4 ⋅ h ⋅ω
C* = C (ν *, q *) = c ⋅ d +
2 ⋅ k ⋅ d ⋅ h ⋅ω
bulunur.
(2.30)
Elde edilen bu değer, ilk ESM modeli için hesaplanan (2.4) deki ile çok
benzerdir. Sadece ikinci terim
ω ile çarpılmaktadır. 0 < ω < 1 olduğundan, burada
bulunan optimum TSM, özgün ESM modelindekinden daha düşüktür. Aynı şekilde
buradaki q* değeri de özgün ESM modelindeki q* değeri
ω ile bölümüne eşit
olduğundan, daha büyüktür.
Burada da duyarlılık analizi özgün ESM modeline benzer şekilde yapılır. q*
ve C* değerleri, karekök işlemlerinden dolayı d ve k’daki değişimlerden az etkilenir.
Benzer şekilde ω ve h’ın q* ve C* üzerindeki etkisi de zayıftır. Diğer taraftan, (2.24)
ifadesinde ν = (1 − ω ) ⋅ q konulursa,
C (q) = c ⋅ d +
k ⋅ d h ⋅ω ⋅ q
+
q
2
(2.31)
elde edilir. Burada özgün ESM modelindeki gibi bir analiz yapılırsa, q’deki q* ‘dan
küçük sapmaların TSM üzerindeki etkisinin de yine,
C (q) 1  q * q 
= ⋅
+

C*
2  q q*
bağıntısına uygun şekilde küçük olacağı görülür.
74
2.2.4.2 Sipariş Bakiyesinin Kısıtlandığı Model
Bir malın stokta bulundurulmamasının arzu edilemeyen çeşitli sonuçları
vardır. Bunlar daha önce de bahsedildiği gibi, sipariş teslimatındaki gecikmelerden
etkilenen müşterilerin memnuniyetsizliklerini gidermek için iskontolu fiyat
uygulanması, gecikme cezaları, üretim hattında yeterli miktarda parça veya
hammadde bulunmamasından kaynaklanan üretimdeki aksamalardan, müşterilerin
kaybına kadar uzanan çeşitli sonuçlardır. Tüm bu olumsuz etkiler b ile gösterilen
elde bulundurmama maliyeti ile modellere dahil edilir; ancak bu maliyetleri,
içlerinde soyut unsurlar da barındırdıklarından, tam anlamıyla değerlendirmek, diğer
bir ifade ile b katsayısını tam doğru belirlemek çok zordur. Hem bu belirsizlikler
sebebiyle, hem de müşteri memnuniyetini arttırmak amacıyla, sipariş bakiyeleri
çeşitli yollarla kontrol altında tutulmalıdır. Bunun için alternatif yaklaşımlardan biri
de stokta bulundurmama oranı ζ = ν q veya stokta bulundurma oranı olan 1 − x ‘in
kısıtlanmasıdır. Bu amaçla örneğin 0 < ωS < 1 olacak şekilde bir hizmet katsayısı
tanımlanarak stokta bulundurmama süresinin toplam çevrim süresine oranı için
ζ ≤ 1 − ωS şeklinde bir üst sınır konulsun.43
Bu kısıtlamanın etkisini görmek için bir an için q sabit, ν değişken kabul
edilsin. Toplam sipariş maliyetinin C = c ⋅ d + k ⋅ SF + h ⋅ S olduğu düşünülürse,
buradaki bir dönemdeki sipariş adedi 1 u = d q , ν ’den bağımsız, S ise ν ’ye
bağlıdır. ν arttıkça ζ artacak, S ise azalacaktır.
( q −ν )
S=
2
2⋅q
göre, C ( q ) = c ⋅ d +
ifadesinde, ν = q ⋅ (1 − ωS ) konursa, S =
ωS2 ⋅ q
2
elde edilir. Buna
k ⋅ d h ⋅ ωS2 ⋅ q
+
olur. Bu ifade (2.31) ile karşılaştırılırsa, ω
q
2
yerine ωS2 gelmek üzere iki ifadenin de aynı olduğu görülür. (2.25)’de de ω yerine
ωS2 koyarak ESM, q* =
43
2⋅k ⋅d
olarak bulunur.
h ⋅ ωS2
75
Özetlemek gerekirse, ωS hizmet katsayısının kullanıldığı model ile
ω = b ( b + h ) maliyet çarpanı kullanılması arasında temelde bir fark yoktur. Teknik
olarak, bu model h katsayısının aynı, sabit sipariş maliyetinin k/ωS olduğu temel
modele eşdeğerdir; buna göre b katsayısı da ω = b ( b + h ) = ωS2 bağıntısını
sağlayacak şekilde seçilecektir. Bazı durumlarda b yerine ωS büyüklüğünü
kullanmak daha uygun olabilir.
2.2.4.3 Ortalama Bekleme Süresi
ζ ve B büyüklükleri bekletilen siparişlerle ilgili büyüklüklerdir, dolayısıyla
müşterilere verilen hizmetin kalitesini de gösterirler. Ancak servis kalitesini daha
doğrudan gösterebilecek ortalama sipariş bekleme süresi gibi bir büyüklüğün de
ayrıca tanımlanması faydalı olacaktır. Şekil 2-7’da görüleceği gibi stok seviyesi sıfıra
düşünceye kadar siparişlerin tesliminde bir bekleme söz konusu değildir. Stok
seviyesi eksiye düştükten sonra ise ortalama bekleme süresi y 2 = ν 2d dir. Tüm
çevrim süresi göz önüne alındığında ise, ortalama sipariş bekleme süresi,
BW =
ν
⋅
ν
q 2⋅d
=
ν2
2⋅q⋅d
=
B
dir.
d
Bu bağıntıdan da görüleceği üzere, “Bir sipariş için ortalama bekleme süresi,
ortalama sipariş bakiyesi miktarı ile doğru orantılıdır.”44
Benzer şekilde ortalama stok seviyesi ile bağıntılı olarak, bir fiziksel varlığın
bir biriminin teslim alınıp depoya girmesinden kullanılmasına veya satılmasına kadar
geçen ortalama süreyi gösteren, ortalama stokta bekleme süresi ( SW ) şeklinde bir
büyüklük de tanımlanabilir. Kolayca anlaşılabileceği gibi SW = S d dir. Bu
büyüklüğün tersi, yani 1 SW = d S , stok devir hızı olarak adlandırılır.
Bu şekilde ortalama sipariş bakiyesi ve ortalama stok seviyesi gibi iki fiziksel
miktar birimi zaman birimine dönüştürülmüş olur.
44
76
2.2.4.4 Satış Kayıpları
Buraya kadar zamanında teslim edilmeyen siparişler için müşterilerin
beklemeyi kabullendikleri durumlar incelenmiştir. Ancak, stoklarda yeterli mal
olmadığında müşterilerin siparişlerini iptal etmeleri ve gereksinimlerini başka
tedarikçilerden temin etme yolunu seçmeleri de söz konusu olabilir. Bu durumda
stok mevcudu olmayan mallar satılamayacaktır.
(R,q) modelinde olduğu gibi tedarikçiden u zaman aralıklarıyla q miktarlarda
alım yapılmaktadır. Bir çevrim süresince talep miktarı q ' = d ⋅ u ve kaybedilen
satışların
miktarı
ν'
ile
gösterilsin.
Dolayısıyla,
q = q '− ν ' ,
sipariş
frekansı SF = 1 u = d q ' , bekletilen sipariş oranı ζ = ν ' q ' , bir çevrim süresince
ortala stok seviyesi S = ( q '− ν ' ) 2 ⋅ q ' ve ortalama satış kaybı ζ ⋅ d olacaktır. Bu
durumda da model ν ve q yerine ν ' ve q’ koymak şartıyla temel elde bulundurmama
modeli ile aynıdır. Sipariş maliyeti k + c ⋅ q = k + c ⋅ ( q '− ν ') ve satış kayıplarının
birim maliyeti b olmak üzere TSM,
C (ν ', q ') =  k + c ⋅ ( q '− ν ' )  ⋅ SF + h ⋅ S + b ⋅ x ⋅ d
ζ =
ν'
q'
ve SF =
1 d
olduğundan,
=
u q'
C (ν ', q ') = ( k + c ⋅ q ') ⋅ SF + h ⋅ S + ζ ⋅ d ⋅ ( b − c )
(2.32)
bulunur.
77
2.2.5 Hatalı Mallar Sözkonusu Olduğunda ESM Hesabı
Şimdiye kadar incelenen modellerde, tedarikçilerden teslim alınan malların
hatasız oldukları ve bu malların alıcılara teslim edilinceye kadar kalitelerinde bir
değişme olmadığı varsayılmıştır. Oysa ki, gerçekte teslim alınan malların bazılarının
hatalı olması genellikle karşılaşılan bir durumdur. Modeli kolaylaştırmak bakımından
ürünlerin kalite bakımından ya hatasız, ya da kullanılamayacak kadar hatalı oldukları
varsayılacak, tamir edilerek kullanılma durumu ele alınmayacaktır.
Satınalınan mallar veya ürünlerde hatalar çeşitli şekillerde ortaya çıkabilir.
Hatalar,
uygun
olmayan
hammadde
kullanımı
veya
doğrudan
üretimden
kaynaklanabildiği gibi, ürünlerin zaman içinde bozulabilir olmalarından da ortaya
çıkabilir. Yine sözkonusu hatalar hemen veya gecikmeli olarak ileri aşamalarda
farkedilebilir. Diğer taraftan hatalı mallar için tedarikçiye hiç ödeme yapılmaması
veya hatalı mallar için yapılan ödemenin daha sonra geri alınması durumları
sözkonusu olabilir. Tüm bu durumların ESM modeline etkisi aşağıda ayrı ayrı ele
alınacaktır.
2.2.5.1 Hatalı Malların ESM’ye Etkisi
Tedarikçiden teslim alınan malların belirli ve sabit bir oranında hatalı olduğu
varsayılsın ve her partideki hatalı mal oranı δ, hatasız oranı ξ = 1 − δ ile gösterilsin.
Burada aşağıdaki dört durum ele alınacaktır :45
1)
Durum 1 : (Hatalar anında farkedilmekte ve hatalı mallar için ödeme
yapılmamaktadır). Hatalı malların teslimat anında farkedildikleri ve iade
edildikleri veya bunlar için tedarikçiye ödeme yapılmadığı kabul edilsin.
Bu durumda ESM modeli sipariş miktarı q değil, ξ ⋅ q imiş gibi uygulanır.
Dolayısıyla, ESM q* miktarı yerine q * ξ olur. C* sipariş maliyeti hatalı
oranından bağımsızdır.
2)
Durum 2 : (Hatalar anında farkedilmekte ancak hatalı mallar için de
ödeme yapılmaktadır). Bazı durumlarda hatalı mallar kabul anında
farkedilmiş olsalar da, çeşitli sebeplerden tüm parti için ödeme yapılır.
45
78
Hatalı parça oranı hesaba katılarak q ξ miktarda sipariş verilir; sipariş
maliyeti k + ( c ξ ) ⋅ q olur. Diğer bir deyişle, birim fiyat 1 ξ kadar artmış
olur. Hatırlanacağı üzere, birim fiyat ESM’yi doğrudan etkilemese de, elde
bulundurma maliyeti h dolayısıyla q* değişir. Faiz oranı r olmak üzere,
finansman maliyeti r.c ve doğrudan stokta bulundurma maliyeti hd olmak
üzere, elde bulundurma maliyeti, h = hd + r ⋅ ( c ξ ) olur. Dolayısıyla, q*
normalden az olmalıdır. Ancak hatalı malları karşılamak için q* yerine
q* ξ
miktarda sipariş verilmelidir. Bu durumda C* değeri de
( C* = c ⋅ d +
2 ⋅ k ⋅ d ⋅ h ) hem h’daki artıştan, hem de c’nin c ξ olarak
artışından dolayı artacaktır.
3)
Durum 3 : (Hatalar geç farkedilmekte ve hatalı mallar için de ödeme
yapılmaktadır). Çeşitli sebeplerden, hatalı malların kabul anında
farkedilememiş oldukları, ancak daha sonra müşteriye teslimatta veya
üretim sırasında hataların ortaya çıkarıldığı durumlar olabilir. Bu
durumlarda ESM modelinde, sadece sağlam parçalar ortalama stok
seviyesi olarak kabul edilir. Doğrudan elde bulundurma maliyeti hd ξ ,
birim fiyat c ξ ve toplam elde bulundurma maliyeti h = ( hd + r ⋅ c ) ξ
olur. Bu durumda ikinci duruma göre q* daha da azalmış, C* değeri ise
daha da fazla artmış olur.
4)
Durum 4 : (Hatalar geç farkedilmekte ancak hatalı malların bedeli
tedarikçiden tazmin edilmektedir). Bu durum üçüncü durumla aynı
olmakla birlikte, hatalı parçaların bedeli gecikmeli de olsa tazmin
edildiğinden birim fiyat c olarak kalacağından C* değerindeki artış üçüncü
duruma göre daha az olacaktır.
79
2.2.5.2 Sürekli Tedarik Durumunda Hatalı Malların ESM’ye Etkisi
2.2.2 bölümünde olduğu gibi µ hızı ile üretim yapılan ve hazırlık süresinin
olmadığı ( τ = 0 ) bir sistem düşünülsün. Üretimden çıkan hatalı ve hatasız oranları
sırasıyla δ ve ξ = 1 − δ ise, birim zamandaki hatalı ürün miktarı δ ⋅ µ , hatasız ürün
miktarı ξ ⋅ µ olacaktır.
Hatalı ürünlerin kabulde farkedildiği ve bunlar için ödeme yapılmadığı
durumda (üretimin tedarikçi tarafından yapıldığı varsayılarak) model, µ → ξ ⋅ µ
koyarak ilgili bölümde irdelenen ile aynı olacaktır. Bu durumda ρ = d µ kullanım
oranı da ρ ξ ’ye dönüşecektir.
Buna göre, üretimden çıkan mallar anında tüketiliyor ise,
q* =
2⋅k ⋅d
h ⋅ (1 − ρ ξ )
(2.33)
üretimden çıkan mallar partiler halinde tüketiliyor ise,
q* =
2⋅k ⋅d
h ⋅ (1 + ρ ξ )
(2.34)
olur. τ ≠ 0 olduğunda ise, q* için τ ⋅ d (1 − ρ ξ ) şeklinde bir alt limit vardır.
2.2.5.3 Zamanla Bozulan Ürünlerin ESM’ye Etkisi
Zamanla bozulabilen ürünler iki sınıfa ayrılabilir; belirli ömrü olanlar ve
rassal olarak bozulanlar.46 Özellikle gıda ürünleri, ilaçlar, bazı kimyasal maddeler
gibi mallar belirli sürelerden uzun stokta tutulduklarında özelliklerini yitirir ve
kullanılamaz hale gelirler. Böyle bozulabilir ürünler için azami stokta tutulma
süreleri önceden belirlenmeli ve bu süreler ESM hesabında dikkate alınmalıdır.
Örneğin böyle bir ürün için stokta tutulma süresi u+ olarak belirlenmiş olsun. Bu süre
u çevrim süresi için bir üst limit teşkil eder. u ≤ u+ , dolayısıyla da sipariş miktarı
46
Scheduling, s.403
80
q ≤ d ⋅ u + olmalıdır. Buraya kadar ele alınan modellerden uygun biri ile hesaplanan
q* bu şartı gerçekliyorsa q*, aksi takdirde q* = d ⋅ u + miktarda sipariş verilmelidir.
Diğer taraftan, belirli bir ömrü olmamakla beraber, zaman içinde depoda
hasar görme, su alma, sıcaktan etkilenme gibi çeşitli sebeplerden dolayı da bir ürün
kullanılamaz hale gelebilir. Bu gibi durumlar için özel bir hasar modeli oluşturmak
gerekir. Rassal ömürlü ürünler üzerinde çalışan çoğu araştırmacıya göre eldeki stokta
sabit bir hızda bozulma görülür. Örneğin en basit model olarak stoktaki bir ürünün δ
oranındaki kısmının düzenli bir şekilde kullanılamaz hale geldiği düşünülsün; bu
durumda stoktaki ürün zaman içinde δ ⋅ S ( t ) olarak hatalı hale gelecektir. Özgün
ESM modelinde olduğu gibi bu ürünün stok seviyesi sıfıra düştüğünde stoklara
girecek şekilde q miktarda sipariş edildiği varsayılsın. Ürünün depoya girdiği an
çevrimin başlangıcı olarak düşünülürse S ( 0 ) = q , çevrim sonunda S ( u ) = 0
olacaktır. Yani, herhangi bir t anındaki stok seviyesini gösteren S(t) periyodik bir
fonksiyondur.
Bir
çevrim
içinde
talep
ve
ıskarta
göz
önüne
alınırsa,
S ' ( t ) = −δ ⋅ S ( t ) − d yazılabilir. Bu ise, başlangıç şartı S ( 0 ) = q olan, birinci
dereceden basit bir diferansiyel denklem ve çözümü,
S ( t ) = q ⋅ e −δ t −
d
δ
⋅ (1 − e −δ t )
(2.35)
dir. Çözümdeki e −δ t teriminden dolayı, bu hasarlı ürün modeli üstel bozulma
modeli olarak isimlendirilir. u çevrim sonunda S(u) = 0 olacağından, u karar
değişkeni olarak kullanılarak, q =
d
δ
⋅ (1 − e −δ u ) ve buradan da çevrim süresince
ortalama stok seviyesi,
d
S=δ
(
)
⋅ e −δ u − δ ⋅ u − 1
δ ⋅u
(2.36)
olarak elde edilir. Sipariş maliyeti ise,47
47
Rau, Hsin ; Mei-Ying Wu ve Hui-Ming Wee. “Integrated Inventory Model for
Deteriorating Items Under a Multi-Echelon Supply Chain Environment.” International Journal of
Production Economics, 86 (2003), s.162
81
C ( q ) = ( k + c ⋅ q ) ⋅ SF + hd ⋅ S +
C (u ) =
k +c⋅
d
δ
(
⋅ 1 − e−δ u
u
)
r ⋅c⋅q
den
2
d
+ hd ⋅ δ
(
)
⋅ e−δ u − δ ⋅ u − 1
δ ⋅u
+
1
d
⋅ r ⋅ c ⋅ ⋅ 1 − e −δ u
δ
2
(
)
(2.37)
olarak elde edilir. Bu fonksiyonu minimum yapan u* değerini bulmak için
C ( u *) = 0 denkleminin çözümü aranmalıdır. Buradan u* değerini bulmak oldukça
karmaşık işlemler gerektirdiğinden, çözüm bilgisayarlar yardımıyla sayısal olarak
elde edilir. Bununla birlikte, bozulmanın etkisi yaklaşık bir hesapla, küçük δ
değerleri için, 48
q* ≈
2⋅k ⋅d
hd + r ⋅ c + δ ⋅ c
olur.
(2.38)
2.2.6 Cari Değer (İskontolu Maliyet) Kriteri
Buraya kadar incelenen ESM modellerinin temel amacı birim zamandaki
ortalama toplam sipariş maliyetinin belirlenmesidir. İzlenen işletme politikaları
zaman içinde maliyetleri etkilediğinden, ESM modelinin gerçekten izlenen
polikaların etkilerini yansıtıp yansıtmadığını çeşitli bakış açılarından ele alarak
değerlendirmek gerekir. Bu bakış açılarından biri de cari değer (present value) veya
iskontolu maliyet (discounted cost) olarak adlandırılan kavramdır; bu bölümde bu
yeni bakış açısı ile öncelikle özgün ESM modelinin bir değerlendirmesi yapılacaktır.
“Bir işletmenin finansal yükü, harcamaların satınalınması ile gelirlerin
satılması
arasındaki
zaman
farkından
kaynaklanır.”49
Bu
zaman
farkını
karşılayabilmek için işletmeler kredi kullanır ve faiz öderler. ESM modellerinde,
satınalınmış ancak henüz satılmamış bir mal veya hizmetin faiz ürettiği varsayılır.
Oysa ki, bedeli yapılan diğer satışların getirisi ile daha önce ödenmiş
olabileceğinden, stoktaki bir malın doğrudan faiz üretmesi varsayımı çok kaba bir
48
49
a.e., s.62
82
yaklaşımdır; işte, cari değer kavramı ile finansal maliyetler, gerçekleştikleri şekilde
hesaba katılırlar.
Cari değer kavramını anlayabilmek için öncelikle finans teorisinin ana hatları
ele alınmalıdır. Hatırlanacağı üzere t = 0 anındaki 1 birimlik bir yatırım, r faiz oranı
ile t anında e r ⋅t değerine erişir. Bunu tersine olarak t anında 1 birimlik bir değer elde
etmek için t = 0 anındaki yatırım e− r ⋅t olmalıdır. Benzer şekilde t anında A birimlik
bir değer elde etmek için t = 0 anında A ⋅ e − r ⋅t yatırım yapılmalıdır. Bu şekilde A’yı
e− r ⋅t ile çarpmak iskonto olarak adlandırılır. Cari değer kriterinin iskontolu maliyet
olarak da adlandırılması bundan kaynaklanmaktadır.
Borçlanma ve yatırım faiz oranları aynı olmamakla birlikte, basitlik için bir
işletmenin aynı r faiz oranı ile kredi kullanabildiği de varsayılsın. Bugün (t = 0), A
kadar bir ödeme yapılacak ise, t anında A ⋅ e r ⋅t ödemek üzere A miktar kadar borç
alınır. Benzer şekilde t anında A ödeme yapılacak ise, bugün A ⋅ e − r ⋅t borçlanılılır; bu
değer iskontolu maliyet olarak adlandırılır.
Bir işletmenin ti anlarında Ai miktarlarda bir nakit akışı olduğu varsayılsın. Ai
değerlerinin bazıları pozitif (satışlar), bazıları ise negatif (borçlar) olacaktır. Bu
akışın bugünkü cari değeri yukarıdaki gibi hesaplanarak, her kalem için Ai ⋅ e − r ⋅ti ,
tüm nakit akışının net cari değeri ise,
∑A ⋅e
i
r ⋅ti
olacaktır.
i
Bu yeni bakış açısı ile özgün ESM modeli ele alınsın. Basitlik için doğrudan
stokta bulundurma maliyeti ve teslimat süresi olmadığı (hd=0 , L=0) varsayılsın.
Daha önce olduğu gibi sipariş miktarları (q) ve çevrim süreleri (u) sabittir. Sipariş
maliyeti yine k + c ⋅ q = k + c ⋅ d ⋅ u dir. Ürünler p birim fiyattan satılmakta,
dolayısıyla sabit p.d gelir elde edilmektedir. S ( 0− ) = 0 , yani ilk sipariş alınmadan
önce mal stoğunun sıfır olduğu kabul edilsin. t = 0, u , 2u ,… anlarında sipariş
verildiğine göre, toplam sipariş maliyeti, aşağıdaki gibi olacaktır.50
∞
C ( u ) = ∑ ( k + c ⋅ d ⋅ u ) ⋅ e − r ⋅ n ⋅u =
n=0
50
k + c ⋅d ⋅u
1 − e − r ⋅u
(2.39)
83
C(u) çukur (konveks) bir fonksiyon olduğundan, C’(u)=0 için C(u) minimum
(
)
− r ⋅u
− r ⋅ e − r ⋅u ⋅ ( k + c ⋅ d ⋅ u )
d C (u ) (c ⋅ d ) ⋅ 1 − e
olur. C ' ( u ) =
=
=0
2
du
1 − e − r ⋅u
(
)
c ⋅ d − c ⋅ d ⋅ e − r ⋅u − k ⋅ r ⋅ e − r ⋅u − c ⋅ d ⋅ u ⋅ r ⋅ e − r ⋅u = 0
Bu eşitliğin her iki tarafı e r ⋅u ( c ⋅ d ⋅ r ) ile çarpılırsa (c, d, r ≠ 0) :
e r ⋅u 1
k
u⋅r
− −
−
=0 ⇒
r
r c⋅d
r
f ( x ) = e x − x − 1 veya
k
e r ⋅u − r ⋅ u − 1
=
c⋅d
r
f ( r ⋅ u ) = e r ⋅u − r ⋅ u − 1 olmak üzere,
f (r ⋅ u)
k
=
bulunur.
r
c⋅d
(2.40)
Bu denklemin bir çözümü yoktur; bununla birlikte, bilgisayarlar yardımıyla
sayısal olarak çözülebilir.
∞
Diğer taraftan
∑
n =0
∞
xn
xn
= e x olduğu hatırlanırsa, f ( x ) = ∑
yazılabilir.
n!
n = 2 n!
Faiz oranı r ve k c ⋅ d
oranının küçük olduğu varsayılırsa, (2.40)
denkleminden elde edilen x = r ⋅ u değerlerinin de küçük olacağı görülebilir. Bu
sebeple uygun değerler için f ( x ) fonksiyonunun sadece birinci terimi alınarak
2
yaklaşık olarak, f ( r ⋅ u ) ≈ ( r ⋅ u ) 2 yazılabilir. Bu yaklaşım ile,
u* =
2⋅k
r ⋅c⋅d
ve
q* =
2⋅k ⋅d
r ⋅c
(2.41)
bulunur. Bu değer ise h = r.c (hd = 0) olduğu düşünülürse, özgün ESM modelinde
(2.2) bağıntısı yardımıyla hesaplanan q* değeri ile aynıdır.
Doğrudan elde bulundurma maliyeti hd ≠ 0 olduğu durumda ise,
C (u ) =
k + c ⋅d ⋅u h⋅ d 
r ⋅ t ⋅ e − r ⋅u

+
⋅
r
⋅
u
−
1
+
(
)
1 − e − r ⋅u
r2 
1 − e − r ⋅u

(
)



f (r ⋅ u)
r ⋅k
=
şeklinde olur.51
r
d ⋅ ( r ⋅ c + hd )
51
84
xn
n!
∞
Bulunan bu u* değeri (2.40) denkleminde yerine konursa, f ( x ) = ∑
n=2
açılımındaki n > 3 pozitif terimler ihmal edilmiş olduğundan, denklemin sol tarafı
daha büyüktür. Ayrıca u arttıkça denklemin sol tarafı artar. Dolayısıyla bu denklemin
gerçek çözümü u* ‘dan küçüktür. Diğer bir ifadeyle, burada bulunan u* ve benzer
şekilde q* değerleri özgün ESM modelindekinden küçüktür.
Hem daha önce bulunmuş olması, hem de çözümünün kolay olması sebebiyle
özgün ESM modeli çok daha fazla kullanılagelmektedir. Bununla birlikte, cari değer
kriterinin finans akışını daha gerçekçi olarak temsil ettiği de açıktır. Özgün ESM
modeli kullanıldığında yapılan hatanın mertebesini belirlemek için bir karşılaştırma
yapmak faydalı olacaktır. Şekil 2-8‘de r = % 12,5 ve r = % 25 faiz oranları ile özgün
ESM ve cari değer kriteri ile hesaplanan sipariş periyodlarının bir karşılaştırılması
yapılmaktadır. Burada Ox ekseni k/c.d, Oy ekseni yıl olarak sipariş periyodlarını
göstermektedir.
T(yıllar)
6
5
4
3
2
CD(%25)
CD(%12,5)
ESM(%12,5)
1
ESM(%25)
k/cd
0
0
0,5
1
1,5
2
Şekil 2-8. r = %12,5 ve r = %25 faiz oranları için özgün ESM ve cari değer kriteri ile
bulunan sipariş periyodlarının karşılaştırması
85
2.3
Değişken Ancak Öngörülebilir Talep Durumunda Bir Kalem
için Stok Kontrol Modelleri
Buraya kadar bir ürüne olan talebin ve sipariş maliyetinin zaman içinde sabit
kaldığı varsayılmıştır. Oysa ki, çoğunlukla mevsimsel etkiler, büyüyen veya daralan
pazar şartları veya değişen genel ekonomik şartların etkisi altında gerek talep
miktarı, gerek sipariş maliyetleri sabit kalmaz. Bu bölümde talebin ve sipariş
maliyetlerinin zamanla değiştiği durumlar ele alınacaktır. Ancak, talep değişken
olmakla birlikte değişimin tümüyle öngörülebilir olduğu varsayılacaktır.
Talep zaman içinde değişken olduğunda, bazı seyrek durumlar dışında sabit
tedarik miktarları varsayımının en iyi çözüm olmayacağı açıktır. Diğer taraftan, sabit
sipariş miktarları varsayımı kullanılsa bile stok miktarı – zaman grafiği Şekil
2-2’deki gibi düzgün bir testere dişi şeklinde olmayacağından, kesin bir analiz
yapmak çok karmaşıklaşacaktır; bu ise, özgün ESM modelinde varsayıldığı gibi bir
dönem içinde sipariş maliyetinin sabit kaldığı kabulünü geçersiz kılacaktır. Bunun
yerine, en uygun sipariş miktarlarını belirlemek için, bulunulan zamandan başlayan
sonlu bir dönem süresince gelecek talep bilgileri esas alınacaktır. Bu dönem, daha
önce de belirtildiği gibi planlama dönemi veya plan ufku olarak adlandırlır. Plan
ufkunun uzunluğunun seçilen stok stratejisi ile ilgili toplam maliyet üzerinde önemli
bir etkisi olacaktır. Talep tahminlerinin kapsayacağı gelecek uzadıkça tahminlerin
kesinliği azalacağından, planlama dönemi mümkün olduğunca kısa tutulmalıdır. Fiili
uygulamada şöyle bir yöntem kullanılabilir. Bir plan dönemi için tüm sipariş
miktarları hesaplanır, bununla birlikte bunlardan sadece yakın geleceğe ait kararlar
uygulanır. Bir sonraki karar anında ise, planlama döneminin uzunluğu aynı kalacak
şekilde, güncelleştirilmiş talep tahminleri kullanılarak yeni bir planlama yapılır.
Diğer taraftan, talep zaman içinde sürekli olabilidiği gibi sabit ve belirli
aralıklarla kesikli olarak da oluşabilir. Birinci durumda zaman içinde sürekli küçük
miktarlarda satışlar, diğerinde ise belirli aralıklarla (örneğin haftalık, aylık vs.) daha
büyük miktarda sevkiyatlar sözkonusudur. Diğer bir karar değişkeni ise, siparişlerin
belirli sabit aralıklarla mı, yoksa zaman içinde herhangi bir anda mı verileceğidir.
86
Talebin zaman içinde değişken ancak öngörülebilir olduğu durumlar için üç
temel yaklaşım vardır :52
1)
Özgün ESM modeli : Bu en basit modeldir. Bu yaklaşımda, planlama
dönemi boyunca ortalama talep esas alınarak hesaplanan sabit q
miktarlarda, gerek olduğu
zamanlarda sipariş verilir. Kolayca
anlaşılabileceği gibi bu model, talepteki değişimin az olduğu durumlarda
uygulanabilir.
2)
Karşılaşılan duruma en uygun matematik modelin kullanılması : Dinamik
ESM modeli veya Wagner – Within algoritması olarak adlandırılan ve
belirli bir duruma özel varsayımların kullanılması ile toplam sipariş
maliyetinin minimum yapılmasını hedefleyen bir modeldir.
3)
Yaklaşık veya sezgisel (heuristic) modeller : Deneme – yanılma ile zaman
içindeki değişkenliğin yakalanarak kullanıldığı modellerdir.
Aksi belirtilmedikçe her üç yaklaşım için de kullanılacak varsayımlar
aşağıdaki şekilde özetlenebilir :53
1)
Talep miktarı zamana bağlı olup d(t) dir. Kesikli talep sözkonusu
olduğunda, bir dönemde n periyot olmak üzere, talep miktarları d(j), (j = 1,
2, ..... , n) ile gösterilir.
2)
Her periyotta sipariş edilen mallar o periyodun başında stoklara
girmektedir.
3)
Miktar iskontosu uygulanmamaktadır, yani birim fiyat sipariş miktarına
bağlı değildir.
4)
Sipariş maliyeti zaman içinde sabittir.
5)
Sipariş teslim süresi belirlidir. Bu sayede sipariş verilme zamanı mallar
periyotun başında stoklara girecek şekilde belirlenebilmektedir.
6)
Stok seviyesinin sıfırın altına düşmesine izin verilmez.
7)
Tüm sipariş bir seferde stoklara girer.
52
Scheduling, s. 200
53
a.e., s.201
87
8)
Basitlik amacıyla, stokta bulundurma maliyeti, bir periyottan diğerine
aktarılan stoklar için hesaplanır. Her üç yaklaşımda da bir periyot içindeki
stokta bulundurma maliyetlerini hesaplamak mümkündür; ancak tamamen
basitlik sağlamak için gerektiğinde yukarıda belirtilen şekilde hesaplama
yapılacaktır.
2.3.1 Değişken Talep Durumunda ESM Modeli
Özgün ESM modeline benzer ancak bu defa talebin sabit değil zaman içinde
değişken olduğu bir durum göz önüne alınsın. Yani, tüm maliyet unsurları aynı
kalmak üzere talep, d(t) şeklinde zamanın fonksiyonu olsun. Böyle bir modelin
çözümü oldukça karmaşık olmakla birlikte bazı özel varsayımlar ile problemin
çözümü, en azından yaklaşık çözümler bulunarak, basitleştirilebilir.
2.3.1.1 Değişkenliğin Küçük Olduğu Durumda ESM Modeli
Öncelikle talebin zaman içinde çok küçük değişimler gösterdiği bir durum
sözkonusu olsun. Diğer bir deyişle göz önüne alınan dönem içinde talebin ortalama
değeri d olmak üzere, d(t) talebinin d civarında küçük değişimler gösterdiği
varsayılsın. (Buradaki küçük kavramı göreceli olup kesin bir mertebe vermek uygun
değildir; maliyet hesaplanırken öngörülen duyarlılığa göre değişkenliğin mertebesini
belirlemek uygun olacaktır.)
Bu durumda, talep d(t) = d olarak sabit kabul edilebilir. Diğer taraftan, ESM
modeli irdelenirken, talepteki değişimler karşısında maliyetin güçlü olduğu
gösterilmiştir. Dolayısıyla, talepteki küçük değişimlerin maliyet üzerindeki etkisi
önemsiz olacağından, sabit sipariş miktarı kullanıldığında C(q), sabit sipariş periyodu
kullanıldığında ise C(u) maliyetleri çok az etkileceğinden, özgün ESM modeli
olduğu şekliyle kullanılabilir.
88
2.3.1.2 Değişkenliğin Hızlı Olduğu Durumda ESM Modeli
Bir önceki bölümdeki varsayım değişimin genliği ile ilgilidir. Bundan sonraki
iki varsayım ise değişimin frekansı ile ilgilidir. Öncelikle, d(t) talebinin d dönem
ortalaması etrafında kısa aralıklarla değiştiği varsayılsın. Bu durumda her t anı için, t
civarında ortalama talep d ( t ) olarak gösterilsin. Eğer d ( t ) sabit ve yaklaşık olarak
d’ye eşit ise, değişimlerin hızlı olduğu kabul edilebilir.54 Diğer bir deyişle,
değişimler büyük olabilir, ancak o derece hızlıdırlar ki, zaman içinde ortalamalarının
d’ye eşit olduğu varsayılabilir. (Bkz.: Şekil 2-9) Örneğin, u* = 2 ⋅ k / h ⋅ d
formülünden hareketle, [t , t + u * / 4] aralığında d ( t ) ≈ d ise, değişimler hızlı olarak
kabul edilebilir. Bu gibi durumlarda d talebi yaklaşık olarak sabit kabul
edilebileceğinden özgün ESM modeli olduğu şekliyle kullanılabilir.
S(t)
t
Şekil 2-9. Talebin hızlı değiştiği durumunda stok seviyesi
54
89
2.3.1.3 Değişkenliğin Yavaş Olduğu Durumda ESM Modeli
Bir önceki durumun aksine bu sefer de d(t) talebinin zaman içinde çok yavaş
olarak değiştiği, diğer bir ifade ile makul bir sipariş periyodu boyunca sabit kaldığı
varsayılsın. Örneğin mevcut d(t) sabit kalıyormuş gibi her t anı için hesaplanmış en
uygun sipariş periyodu,
u (t ) =
2⋅k
h ⋅ d (t )
(2.42)
olarak tanımlansın. Değişimin yavaş olmasının bir ölçüsü olarak, d(t)‘nin her t için
t , t + u ( t )  zaman aralığında çok az değişmesi olarak kabul edilebilir. Burada
uygulanabilecek uygun strateji, stoğun tükeneceği bir t anında,
q (t ) =
2 ⋅ k ⋅ d (t )
h
(2.43)
miktarda sipariş vermektir. Bu ise özgün ESM formülüdür. Diğer bir yaklaşım ise,
t + u(t) anına kadar yetecek miktarda sipariş vermek olabilir.
Bu aşamada, deneme yanılma ile elde edilen q(t) miktarının gerçekten en
düşük toplam sipariş maliyetine karşı gelip gelmediği sorusu akla gelebilir. d(t)
dolayısıyla da q(t) değerlerinin fazla değişmediği (yaklaşık sabit kaldığı) birkaç
sipariş periyodunu kapsayan bir ara dönem ele alınırsa, bu dönemde TSM’yi
minimum yapan sipariş miktarı, talebin sabit olduğu özgün ESM modeli ile
hesaplanan q* olacaktır. d(t)‘nin küçük miktarlarda değiştiği bir dönem boyunca,
hesaplanacak her q(t) değeri de q* ’a yakın değerler olacağından toplam sipariş
maliyeti de aşağı yukarı minimum olacaktır. Aynı yaklaşım benzer çeşitli ara
dönemler boyunca da doğru olacağından, bu şekilde bir strateji ile tüm planlama
dönemi boyunca TSM’ni yaklaşık olarak minimum düzeyde tutmak mümkün
olabilecektir. Sezgisel anlamdaki böyle bir kanıtlama çok yeterli olmamakla beraber
buradaki temel kavram, talepte önemli bir değişmenin ancak uzak gelecekte olacağı
ve güncel sipariş periyotlarında bu değişimin hiç göz önüne alınmamakta olduğudur.
90
Aynı mantıkla, (2.4) formülüne benzer şekilde t anı için optimum sipariş
maliyeti,
C * (t ) = c ⋅ d (t ) +
2 ⋅ k ⋅ h ⋅ d (t )
(2.44)
ve SF = 1/ u sipariş frekansı olmak üzere, plan dönemi boyunca optimum sipariş
maliyeti,

C* = lim T ⋅
SF →∞

SF
∫
0

C * ( t ) ⋅ dt 

olur.
Özet olarak, talepteki değişmeler küçük ve/veya hızlı ise, anlık talep
değişimleri ihmal edilerek uzun vadedeki ortalama talep değeri d göz önüne
alınmalıdır. Tersine, d(t) yavaş değişiyorsa uzun vadeli talep hesaba katılmaksızın
anlık talep üzerinde yoğunlaşılmalıdır. Her üç durumda da bu şartlar dikkate
alınarak, oldukça iyi bir yaklaşıklıkla ESM modeli kullanılabilir.
Bu özel varsayımların ötesinde bu üç durumun beraberce oluştuğu durumlar
da olabilir. Örneğin d(t) talep fonksiyonunun küçük, hızlı ve yavaş değişimleri temsil
eden üç fonksiyonun toplamından oluştuğu varsayılsın; yani, küçük ve hızlı
değişimler için bölgesel talep ortalamaları d ( t ) ’lerin zaman içinde yavaş olarak
değiştiği düşünülsün. Yukarıdaki düşüncelere koşut olarak (2.43) bağıntısında d(t)
yerine d ( t ) değerleri konularak q(t) sipariş miktarları hesaplanabilir.55
Diğer taraftan, d(t) talebinin ne hızlı ne de yavaş olmamak üzere önemli
ülçüde, ancak belirli bir aralıkta değiştiği durumlarda da aralık uç değerleri ile ESM
hesaplanarak, sipariş miktarları bu uç değerler arasında kalacak şekilde
düzenlenebilir. Bununla birlikte, talebin çok fazla değiştiği durumlarda bu aralık çok
artacağından daha duyarlı sonuçlara gereksinildiğinde ileride incelenecek dinamik
modellere başvurulmalıdır.
55
91
2.3.1.4 Sonlu Üretim Hızı Durumunda ESM Modeli
Son olarak yukarıdaki üç durumda varsayılanın aksine üretim hızının sonlu
bir µ değerinde olduğu durum ele alınsın. Küçük veya hızlı değişimlerin ortalama
talep, dolayısıyla model üzerindeki etkileri ihmal edilebileceğinden sadece talebin
yavaş değiştiği duruma bakmak yeterlidir.
Her t anı için d ( t ) < µ kaldığında, ρ ( t ) = d ( t ) µ olmak üzere, yukarıdaki
ile aynı mantıkla sipariş miktarı sonlu tedarik hızı ile ESM modelinde kullanılan
bağıntıya benzer şekilde,
q (t ) =
2 ⋅ k ⋅ d (t )
h ⋅ 1 − ρ ( t ) 
(2.45)
bulunur. Burada da, tedarik edilen ürün hemen kullanılmayıp, partiler halinde
teslimat
yapıldığında
bu
formülde
1 − ρ (t )
yerine
1 + ρ (t )
geleceği
unutulmamalıdır.
Bu yaklaşım d ( t ) > µ olduğunda geçerli olmamaktadır. Şekil 2-10’de
görüldüğü gibi bazı t anlarında talep arzın üzerine çıkabilmektedir. Birikimli talep
t
D (t ) =
∫ d ( s ) ⋅ ds
ile gösterilirse, her t için D ( t ) ≤ µ ⋅ t olmalıdır.
0
Şekilde görüldüğü gibi t > t+ iken d(t) < µ olduğu sonlu bit t+ anı olduğu
varsayılsın. t = t+ anından sonra talep kapasitenin altındadır ve talebi karşılama
problemi yoktur; (2.45) bağıntısı uygulanarak en uygun sipariş miktarı belirlenir.
( )
(
)
Ancak t+ anından hemen önce d(t) > µ ve D t + − D ( t ) > µ ⋅ t + − t dir.
t daha da azaltılırsa bu eşitsizlik bir süre daha, d(t) < µ olduğunda bile
geçerliliğini korumaya devam eder. Ancak öyle bir t = t
–
anı vardır ki, burada
birikimli talep D ( t + ) − D ( t ) = µ ⋅ ( t + − t ) olur. Eğer t – anına stoksuz gelinmiş ise t +
anına kadar sürekli üretim yapılmalıdır. Şekil 2-10’de düşey taranmış bölge t
+
anından önce talebin kapasitenin üzerinde seyrettiği süreci temsil etmektedir. Bu
kapasite eksiği t – anından itibaren yapılan fazla imalat ile karşılanmaktadır ve t –
düşey ve eğik taranmış alanların birbirlerine eşitlendikleri andır. t < t – dan önce ise
kapasite talebin üzerindedir ve t + anına kadar (2.45) bağıntısı yine uygulanabilir.
92
Miktar
Üretim kapasitesi
Talep eğrisi
t–
t
t+
Zaman
Şekil 2-10. Sabit kapasite durumunda değişken talep
Görüldüğü gibi [t
–
, t
+
] zaman aralığı hariç sınırlı kapasite altında ESM
hesabı uygulanarak sipariş miktarları belirlenir. [t – , t + ] aralığında ise yukarıdaki
açıklandığı süre tam kapasite üretim yapılarak talep fazlası karşılanarak aşırı stok
bulundurma külfetinden kurtulunmuş olunur.
93
2.3.2 Dinamik Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli
Talebin çok fazla ve herhangi bir şekilde değiştiği, ayrıca birim fiyat, sipariş
verme maliyetinin de zaman içinde sabit olmadığı durumlarda ESM modelinin
yukarıdaki sayılan varsayımlar ile uyarlanması yapılan hataları arttırır. Böyle genel
durumlar için farklı dinamik modeller oluşturulması gerekliliği kaçınılmaz
olagelmiştir. Bu gibi durumlar için Wagner ve Within 1958’de bu bölümün başında
sayılan varsayımlar geçerli olmak üzere, toplam sipariş maliyetini minimum yapacak
optimum sipariş miktarlarını belirlemek için bir işlemsel süreç (algoritma)
geliştirmişlerdir.
Bu modeli oluşturmak için öncelikle yeni bir zaman kavramı tanımlanmalıdır.
Şimdiye kadar kullanılandan farklı olarak, zaman artık sürekli değil, birbirini izleyen
kesikli anlar (zaman içinde noktalar) olarak ele alınır; belirli anlar arasındaki zaman
süreleri ise zaman periyotları olarak tanımlanır. Wagner ve Within’in ortaya koyduğu
aşağıdaki iki temel özellik sayesinde problemin biçemlendirilmesi (formülasyonu)
önemli derecede sadeleştirilebilir. Bunlar :56
1)
Malzeme ikmali stok seviyesi sıfıra düştüğünde yapılır.
2)
Bir j periyodunun d(j) gereksiniminin bu periyottan ne kadar önce sipariş
miktarına yansıtılacağının bir üst sınırı vardır. Diğer bir deyişle bir j
periyoduna ait gereksinimin birçok periyot öncesinden sipariş edilmesi o
kadar yüksek bir stokta bulundurma maliyetine yola açacaktır ki, bunun
yerine bu miktarı j periyodunun başında sipariş etmek daha ucuza mal
olacaktır.
Diğer bir ifade ile talep oluştuğunda karşılanmalıdır, sipariş bakiyesi veya
satış kaybına izin verilmez. Her an sipariş verilebilir veya imalat yapılabilir ve stok
bir periyottan bir sonrakine aktarılabilir. İkmal kararı anında sonuçlandırıldığı, yani
teslimat süresi olmadığı varsayılır. Amaç tüm periyotlar göz önüne alındığında
toplam stok maliyetini minimum yapacak bir sipariş planının oluşturulmasıdır.
56
Scheduling, s. 205
94
Problemin biçemlendirilmesinde aşağıdaki simgelem kullanılacaktır :
T
: Plan (zaman) ufku. T sonludur.
t
: Zaman noktaları (anlar) için indis. t = 0, 1, 2, .......... , T. t.inci zaman
periyodu t anından t + 1 anının hemen öncesine kadar olan süreçtir.
d(t)
: t anındaki talep miktarı.
x(t)
: t anındaki stok.
z(t)
: t anındaki sipariş miktarı.
x(t) ve z(t) karar değişkenleri ve d(t) negatif değerler alamazlar. t = 0
anındaki başlangıç stoğu x(0) = x0 bilinmektedir.
Her t < T anı için x(t) stok seviyesine bakılır ve z(t) miktarda sipariş verme
kararı alınır. t periyodu içinde herhangi bir anda z(t) siparişi stoğa girer ve d(t) talebi
oluşur. Bu olayların t periyodunun sonunda, t + 1 anından hemen önce neticelenmiş
olmak kaydıyla periyot içinde hangi anda oluştukları dikkate alınmadan periyot
başında gerçekleştikleri varsayılır. Bu şekilde t + 1 anında x (t + 1) stok seviyesi
bellidir. Bu süreç T periyodu sonuna kadar devam eder, son stok seviyesi x(T) dir ve
bundan sonra sipariş veya talep olmayacağı kabul edilir.
Maliyet parametreleri ise :
k(t)
: t anındaki sabit sipariş maliyeti.
c(t)
: t anındaki değişken sipariş maliyeti.
h(t)
: t anındaki stokta bulundurma maliyetidir.
z > 0 için δ(z) = 1, z ≤ 0 için δ(z) = 0 [δ(.) – Heaviside fonksiyonu] olmak
üzere, bir t anındaki toplam sipariş maliyeti k ( t ) ⋅ δ  z ( t )  + c ( t ) ⋅ z ( t ) , stokta
bulundurma
maliyeti
h ( 0 ) ⋅ x ( 0 ) = h ( 0 ) ⋅ x0
ise
h (t ) ⋅ x (t )
dir.
Dönem
başlangıcındaki
stokta bulundurma maliyeti yok sayılır, ancak dönem
sonundaki h (T ) ⋅ x (T ) stokta bulundurma maliyeti hesaba dahil edilir.
95
Tüm bu sayılanlara göre problemin biçemi :
Başlangıç şartları :
x ( 0 ) = x0
(2.46)
Problemin dinamiği :
x ( t + 1) = x ( t ) + z ( t ) − d ( t )
t = 0, 1, 2, … , T − 1
(2.47)
Kısıtlar :
x (t ) ≥ 0
t = 1, 2, … , T
z (t ) ≥ 0
t = 0, 1, 2, … , T − 1
(2.48)
Amaç fonksiyonu :

min. 

T −1
∑{
t =0
T
} ∑ h (t ) ⋅ x (t )
k ( t ) ⋅ δ  z ( t )  + c ( t ) ⋅ z ( t ) +
t =1



(2.49)
Bu optimizasyon problemi dinamik ekonomik sipariş miktarı (DESM)
modeli ve mucitlerinden dolayı da Wagner–Within işlemsel süreci (Wagner–
Within algoritması) olarak adlandırılır.57
Kesikli zaman değişkeninin daha esnek olarak ele alındığı benzer başka
modeller de mevcuttur. Örneğin ileride 2.3.2.5 bölümünde ele alındığı şekliyle, göz
önüne alınan dönem boyunca elde bulundurma maliyetinin biriktiği bir model
oluşturulabilir.
t
D(t)
: t anına kadar birikimli talep. D ( t ) = ∑ d ( s )
s =0
D[ t,u [ : t ’den u–1 anına kadar talep. D [t , u[ = D ( u − 1) − D ( t − 1) , t ≤ u
c [t , u[ : Bir birim için t anında sipariş verip u anına kadar stokta tutmaktan
kaynaklanan değişken maliyet. c [t , u[ = c ( t ) +
u
∑ h(s)
, t ≤u
s = t +1
Başlangıç şartı : u = t için c [t , u[ = c ( t )
57
96
DESM modeli δ(t) fonksiyonu yerine iki tabanında bir v(t) fonksiyonu
koyarak amaç fonksiyonu doğrusal hale getirilebilir. v(t), t anında sipariş verilirse 1,
aksi takdirde 0 değerini alacaktır. (2.48) kısıtlarına ilave olarak,
v ( t ) ∈ {0,1}
z ( t ) ≤ D [t , T [ ⋅ v ( t )
(2.50)
t = 1, 2, … , T − 1
kısıtları ilave edilmelidir. Buna göre amaç fonksiyonu doğrusal hale gelir.

min. 

T −1
∑ {k ( t ) ⋅ v ( t ) + c (t ) ⋅ z ( t )}
t =0
T
+
∑ h (t ) ⋅ x (t )
t =1



(2.51)
Bu şekilde DESM modeli tamsayılı doğrusal program olarak ifade edilebilir.
2.3.2.1 Doğrusal Maliyet Durumu
Tüm sabit sipariş maliyeti k(t) lerin sıfır olduğu durumda modelin basit bir
çözümü vardır.
Önce değişken maliyetin sabit, yani c(t) = c > 0 olduğu durum göz önüne
alınsın. Burada çözüm açıktır : x0 = 0 kabulu ile, z(t) = d(t) ve x(t) = 0. x0 > 0 ise
eldeki stok tükeninceye kadar sipariş verilmez, daha sonra x(t) ≥ 0 olacak şekilde en
az miktarda sipariş verilmelidir. Genelde, mümkün olduğu kadar geç ve en az
miktarda sipariş verilir. Bu durum ideal düzgün mal akışının kesikli zamana
uyarlanmasından başka bir şey değildir.
Değişken maliyetin sabit olmadığı durumda temel amaç satınalma ve elde
bulundurma maliyetlerinin dengelenmesidir. x0 = 0 kabulu ile s ≤ t olmak üzere bir s
anında sipariş verildiğinde toplam maliyet, satınalma maliyeti c(t) ve s anından t ‘ye
kadar elde bulundurma maliyeti toplamına eşit olup bu maliyet minimum
yapılmalıdır.
{
c [ s*, t [ = min s c [ s, t [ : 0 ≤ s ≤ t
}
(2.52)
Bu maliyeti minimum yapan s değeri s ( t ) ile gösterilirse, problem t
periyotlarındaki d(t) taleplerini karşılayacak en uygun s ( t ) sipariş zamanlarının
belirlenmesidir.
97
c [ s*,0[ = c ( 0 )
{
(2.53)
}
c [ s*, t + 1[ = min c [ s, t [ + h ( t + 1) , c ( t + 1)
Burada eğer birinci terim küçükse s ( t + 1) = s ( t ) , ikinci terim küçük ise
s ( t + 1) = t + 1 olur. s ( t ) < t ise, bunun anlamı s ( t ) anından t anına kadar geçecek
sürede değişken maliyette elde bulundurma maliyetinden daha fazla bir artış
beklendiğine işaret eder (spekülatif niyet).
2.3.2.2 Ağ Şebeke Tasarımı ve Çözümü
DESM modelinin çözümünde öncelikli problem sipariş zamanlarının
seçimidir. Örneğin x0 = 0 durumu ele alınırsa, sipariş zamanlarının seçimi problemi
bir şebeke problemi olarak çözülebilir. Burada düğümler t = 0, 1, 2, ....., T zaman
noktalarını göstermek ve t < u olmak üzere, t anından u anına kadar olan süreçler
(t,u) düğüm çiftleri arasında çizilen doğru parçaları ile temsil edilir. Bu şebekede
O‘dan T’ye kadar olası yollar arasından seçilen en uygunu üzerindeki düğümler
sipariş zamanlarını verir. Şekil 2-11’de T = 5 için bir DESM modeli örneğine ait ağ
şebeke ve seçilebilecek olası yollardan biri gösterilmektedir. Buna göre 0, 1 ve 3
anlarında sipariş verilmelidir.
DESM modeli için tüm olası yollar
0
5
4
1
2
0
3
5
DESM modelinde olası yollardan biri
4
1
2
3
Şekil 2-11. T = 5 için ağ şebeke modeli ve olası bir yol seçimi
98
En genel durumda, örneğin bir (t,u) yolu seçildiğinde, bu t anında sipariş
verileceği ve sipariş miktarının da t ’den u – 1 zamanına kadar olan talebi
karşılayacak şekilde seçilmesi gerektiği anlamına gelir. Böyle bir karar için toplam
sipariş maliyeti c [t , u[ ile gösterilirse modelin dinamiği gereği,
z ( t ) = D [t , u[ , x ( t + 1) = z ( t ) − d ( t ) = D [t + 1, u[
x ( s + 1) = x ( s ) − d ( s ) = D [ s + 1, u[ , t < s < u
Dolayısıyla, (t,u) yolu için toplam sipariş maliyeti,58
k [t , u[ = k ( t ) + c ( t ) ⋅ z ( t ) +
u
∑ h(s) ⋅ x(s)
s = t +1
k [t , u[ = k ( t ) + c ( t ) ⋅ D [t , u[ +
u
∑ h ( s ) ⋅ D [ s , u[
s = t +1
u −1
k [t , u[ = k ( t ) + ∑ c [t , s[ ⋅ d ( s )
(2.54)
s =t
olarak elde edilir.
Bu şekilde 0 – T arasındaki tüm olası (t,u) yolları için c [t , u[ maliyetleri
hesaplanır. Her yol için bu maliyetler toplanırsa, seçilen yol için 0 – T arasındaki
toplam sipariş maliyeti elde edilecektir. Bu yolların içinde en düşük toplam sipariş
maliyetini veren yol en uygun çözümü yani optimum sipariş zamanlarını verecektir.
Bu şekilde DESM modeli en kısa yol problemine indirgenmiş olur.
Bu problemin çeşitli çözüm yolları vardır. Bu yollardan biri ileri özyineleme
(forward recursion) yöntemidir. Burada ana fikir 0 düğümünden hareketle, t = 1
‘den başlayarak, t = 2 , ….. , t = T düğümüne kadar tüm yollar içinde en düşük
maliyetli olanın hesaplanmasıdır. Bu yöntemde, her t için adım adım t düğümüne
kadar olan (t ufuklu) en düşük maliyetli yol bulunur.
t düğümüne kadar olan olası yollar içinde en düşük maliyet V*(t) ile
gösterilsin. t inci adımın amacı t ufku için, s*(t) ile gösterilen son sipariş anının
belirlenmesidir. Ancak, s < t için
s*(t) = s varsayımı ile daha önceki sipariş
zamanları s ufuklu problemin optimum çözümüne göre seçilmelidir. Dolayısıyla,
58
99
toplam sipariş maliyeti V * ( s ) + c [ s, t [ ≡ V * ( s, t ) olacaktır. En uygun s’in bulunması
için ise, V*(s,t) ‘lerin en küçüğü hesaplanmalıdır. Bu yol aşağıdaki işlemsel süreçte
özetlenmektedir :59
V*(0) = 0
Her t = 1, 2, …… , T için,
V * ( s, t ) = V * ( s ) + c [ s , t [
0≤s<t
V * ( t ) = min s {V * ( s, t ) : 0 ≤ s < t}
s*(t) = Bu ifadeyi minimum yapan en büyük s değeri olacaktır.
Bu çözüm yönteminde T yineleme ve her t inci adım için t adet hesaplama
T
yapılmalıdır; dolayısıyla, toplam işlem sayısı
∑i =
i =1
T ⋅ (T + 1)
olacaktır. Elle
2
hesaplama yapıldığında bu çözümün uzun zaman alacağı açıktır. Bununla birlikte,
eldeki bilgisayarlar ve programlar ile çözüm süresinin saniyeler mertebesine
indirilmesi mümkündür.
Wagner – Within işlemsel sürecinin talebin değişken olduğu durumlarda
ESM modelinden daha iyi sonuç verdiği ve belirli bir planlama ufku için toplam
sipariş maliyetini minimum yapacak ikmal miktarlarını verdiği tartışmasızdır. Bu
modelin çözümü için çeşitli hesap tabloları (spreadsheet) ve yollar geliştirilmiştir.
Bununla birlikte bu yöntem pratikte çok sınırlı bir kabul görmüştür. Bunun başlıca
sebepleri aşağıdaki şekilde sayılabilir :60
1)
Bu yöntemin oldukça karmaşık yapısından dolayı pratikte anlaşılması zor
olmaktadır.
2)
Yöntemin mantığına bağlı olarak talep tahmin ve planlama döneminin
belirli bir sonu olmalı ve bu son noktaya ait tüm bilgilerin başlangıçtan
itibaren, ilk sipariş miktarını belirlerken dahi bilinmelidir. Bu ise yakın
gelecekte talebin bitmeyeceği bir ürün için sanal bir durum olacaktır. İlk
59
60
Scheduling, s. 209
100
en uygun ikmal miktarının doğruluğunu garanti edecek plan ufkunu
belirlemek öteden beri yoğun araştırmalara konu olmuştur.
3)
Diğer bir husus ise, bu modelin sıklıkla MRP yazılımları ile bağlantılı
olarak kullanılmasıdır. Ancak MRP yazılımları devinen bir süreç için
tasarlanmış olduklarından ikmal miktarları, gelecek talep bilgileri elde
edildikçe, değişmemelidir. Wagner – Within yaklaşımı ise buna izin
vermemektedir. Baker bu durumu tecrit özelliği olarak tanımlar.
4)
Wagner – Within yöntemi ikmalin belirli zamanlarda (her periyodun
başlangıcında) yapıldığını varsayar. Periyotlar bölünerek bu varsayımın
etkisi yumuşatılabilir; ancak, periyot sayısı arttıkça hesap süresinin
uzayacağı da gözden uzak tutulmamalıdır.
2.3.2.3 Sezgisel yöntemler - Silver – Meal Sezgisel yöntemi
Mevcut bilgi – işlem olanakları kullanıldığında DESM modelinin çözümü
kolaylaşmış olmakla birlikte, yukarıda sıralanan sakıncalar sebebiyle daha kolayca
sonuca ulaştıran çeşitli sezgisel yöntemler de (heuristics) geliştirilmiştir. Diğer
taraftan, daha önce ele alındığı gibi zaman içinde talepteki değişimlerin az olması
durumunda ESM modeli ile kolayca ve etkili şekilde sonuç alınabilir. Ancak, önemli
ölçüde değişimlerin söz konusu olduğu durumlarda ESM modeli yetersiz
kalacağından dinamik modellere veya daha basit çözümler için sezgisel yöntemlere
başvurmak gerekli olacaktır.
Genelde benzer anlayışa sahip olmakla beraber bunlardan en gözde olan ve
en iyi bilineni 1973’de Silver ve Meal tarafından ortaya konan yöntemdir. Bu
yöntemin ana fikri, tüm bir planlama dönemini ele almak yerine, gelecekteki kısıtlı
sayıda dönemi göz önüne alarak, bir anlamda deneme – yanılma yoluyla toplam stok
maliyetini en az yapacak sayıda dönem gereksinimini karşılayacak sipariş miktarının
belirlenmesi olarak özetlenebilir.61
Başlangıçtaki stok seviyesinin x0 = 0 olduğu varsayılsın. Örneğin, sadece
gelecekteki ilk dönem gereksinimi d(0)’ı karşılayacak kadar sipariş verilmesi
61
101
durumunda z(0) = d(0) ve birikimli talep D [ 0,1[ = d (0) veya iki dönem için
D [ 0, 2[ = d (0) + d (1) veya üç dönem için D [ 0,3[ = d (0) + d (1) + d ( 2 ) , .... şeklinde
yazılabilir.
Benzer
şekilde
gelecekteki
u
döneme
kadar
birikimli
talep
D [ 0, u[ = d (0) + d (1) + d ( 2 ) + … + d ( u ) , bu zaman sürecindeki toplam sipariş
maliyeti C [ 0, u[ ve dönem başına ortalama toplam sipariş maliyeti C [ 0, u[
u
olur.62 Yöntemin amacı bu ortalama maliyeti en aza indirmektir. Bu amaçla u = 1
‘den başlayarak, ortalama maliyet azaldığı sürece u değeri birer arttırılarak devam
edilir. Bu şekilde devam edilirken u’daki artış sonunda ortalama maliyetin arttığı
noktada işleme son verilir; maliyetin azaldığı en son u değeri, ortalama maliyetin en
az olması için, siparişin kapsayacağı dönem sayısını verir.
Bu işlem aşağıdaki gibi formüle edilebilir :63
u
k + h ⋅ ∑ ( t − 1) ⋅ D [ 0, u[
Maliyet Dönem =
t =1
(2.55)
u
Burada,
u +1
u
k + h ⋅ ∑ ( t − 1) ⋅ D [ 0, u[
t =1
u +1
k + h ⋅ ∑ ( t − 1) ⋅ D [ 0, u[
<
t =1
u
(2.56)
olacak şekilde en küçük u değeri seçilir.
“Maliyetler açısından bu yaklaşım ne derecede etkilidir?” sorusunu
cevaplayabilmek için, öncelikle bu yöntemin sabit maliyet unsurları için tasarlanmış
olduğu düşünülmelidir; bu sebeple maliyet unsurlarının hızlı değiştiği durumlarda
elde edilecek sonuçlar da yetersiz olacaktır. İlave olarak talebin sabit ve T ‘nin
sonsuz olduğu durumda bu yöntem en uygun çözümü verir. Ayrıca, talebin çok yavaş
hatta orta hızda değiştiği durumlarda da model oldukça iyi iş görür. Buna karşı, hızlı
değişen talep modelin başarımını zayıflatır.64
O halde, mevcut bilgi işlem olanakları ile doğrudan işlemsel süreçlerin hızlı
bir şekilde çözülebildiği göz önüne alındığında, sezgisel yöntemlere gerek kalmadığı
62
63
64
102
düşünülebilir. Ancak, sezgisel yöntemler hala hem daha yalın, hem de daha hızlı
olduklarından halen bunlara baş vurulmaktadır. Bununla birlikte, günümüz bilgi
işlem hızları ve bilgisayar kullanım olanakları göz önüne alındığında hız büyük bir
avantaj olarak kalmayıp, kesin çözüm yöntemleri ile de yeteri kadar hızlı bir şekilde
sonuç alınabilmektedir. Hız üstünlüğü ötesinde sezgisel yöntemleri kullanımı ile
ilgili olarak göz önüne alınması gereken başka hususlar da vardır.
2.3.2.4 DESM Modelinin Uygulaması ile İlgili Yorumlar
DESM modeli halen yaygın olarak kullanılmaktadır. Tüm matematik
modellerde olduğu gibi DESM modeli için de, uygulamada karşılaşılan hemen her
durumda kurulan model ile gerçek şartlar arasında, talep tahminlerinden sapmalar,
maliyetlerin tahmini olması gibi hususlardan kaynaklanan önemli farklılıklar vardır.
Tipik bir DESM modeli, ortaya çıkan değişimler doğrultusunda gerekli
güncellemeler yapılmak suretiyle zaman içinde tekrar tekrar model oluşturularak
uygulanır. Diğer bir deyişle planlama ufku T sabittir, ancak başlangıç zamanı sürekli
yenilenerek gider. Bu durum hareketli ufuk senaryosu olarak adlandırılır. Bu yolla
model ile gerçek durum arasındaki farklılıklar azaltılmaya çalışılır.
DESM modeli ile ilgili önemli bir husus da modelin çözümünde kullanılan
yöntemdir. Yukarıda da ele alındığı gibi Silver-Meal yöntemi ile elde edilen çözüm
çoğu durumda optimum çözüme yakın olmakla birlikte, bazı durumlarda önemli
ölçüde farklı sonuçlar verebilir. Sezgisel yöntemlerde göreceli olarak uzak
gelecekteki parametreler hesaba katılmadan çözüme ulaşılır; buna karşılık, optimum
çözümde toplam maliyeti etkileyebileceği düşünülen tüm parametreler modele dahil
edilir. Ancak, parametreler tahmini değerler olduklarından ve özellikle uzak
gelecekle ilgili tahminlerin de ne derecede sağlıklı oldukları kesin olarak
bilinemeyeceğinden, bunun gerçekten en düşük stok maliyetini vereceği de açık
değildir. Burada sorun yöntemden ziyade parametrelerin ne derece sağlıklı olarak
tahmin edilebilecekleridir. Dolayısıyla, şu veya bu çözüm yönteminin en doğru
sonucu vereceği, en azından bugün bilinen yöntemler düşünüldüğünde, kesin olarak
iddia edilemez; optimum çözüm yöntemi olsun, sezgisel yöntemler olsun, çözüme
ulaşmada herbirinin yeri ayrıdır.
103
Uygulamada kullanılan diğer bir seçenek emniyet stokları ilavesi ile elde
edilen DESM’i düzeltmektir. Bunun matematiksel anlamı kısıtlamalarda alt sınırı 0
olan x(t) miktarının her periyot veya bazı periyotlar için arttırılmasıdır. Ancak burada
da sorun bu miktarların en uygun şekilde nasıl belirleneceğidir. Bu amaçla, rassal
modellerden faydalanmak söz konusudur.
Diğer bir konu da modelin duyarlılığıdır. Bunun anlamı parametrelerdeki
küçük değişikliklere modelin ne oranda tepki vereceğidir. Genelde, optimum
çözümün Silver-Meal yöntemine oranla daha hassas olduğu görülmektedir. Ayrıca,
sabit maliyet k(t) arttıkça modelin duyarlılığı da artmaktadır.
2.3.2.5 Temel DESM Modelinden Ayrılmalar
Temel DESM modelinde bazı şartların değiştirilmesi veya ilavesi ile farklı
modeller oluşturulabilir. Bunlardan bazıları temel modelde basit değişiklikler
yapılarak elde edilebileceği gibi, bazıları için önemli analizler yapılması gerekebilir.
Aşağıda uygulamada sıkça karşılaşılan farklı durumların temel DESM modeline ne
şekilde dahil edilebilecekleri özet olarak ele alınmıştır.65
Teslimat Süresi :
DESM modelinde teslimat süreleri göz önüne alınmamış olmakla beraber, bu
unsur basitçe modele dahil edilebilir. Ürünün teslimat süresi L (sabit, pozitif bir tam
sayı) ile gösterilsin. Buna göre bir t anında verilen sipariş t + L – 1 periyodunun
sonunda veya t + L periyodunun başında stoğa girecektir. (Özgün DESM modelinde
teslimat süresi 1 olarak kabul edilmektedir.) Buna göre t – L + 1 anında verilen bir
sipariş miktarı z(t), bu siparişin sabit ve değişken maliyetleri ise sırasıyla k(t) ve c(t)
ile gösterilecektir. z(t) miktarda sipariş yine t +1 periyodundan hemen önce stoğa
gireceğinden (2.47) ‘deki bağıntı yine geçerli olacaktır. Buna karşılık başlangıç
şartlarında değişiklik yapmak gerekecektir. t < L – 1 için z(t) ve t < L için x(t)
değerleri t = 0 anından önce belirlenmiş değerler olup, sabit olarak ele alınacaklardır.
65
104
Burada zaman yerine fiziksel stok öne çıkarılarak oluşturulabilecek benzer
ancak farklı bir yaklaşım daha mevcuttur. Bu modelde z(t) yine t anındaki sipariş
miktarı olsun. Sırasıyla x(t) ve x0 ile t ve başlangıç anındaki stok pozisyonları, x ( t )
ile de t anındaki gerçek stok gösterilsin. Buna göre x ( t + L ) = x ( t ) − D [t , t + L[
yazılabilir. (2.46) ve (2.47) ‘deki bağıntılar geçerli olmak üzere, (2.48) kısıtları ve
(2.49) amaç fonksiyonunda x(t) yerine x ( t ) koyularak ve daha sonra yukarıdaki
bağıntı yardımıyla x ( t ) yok edilerek özgün DESM modelinin yeni şekli elde edilir.
Bu durumda kısıtlarda x ( t ) ≥ 0
yerine D [t , t + L[ > 0 gelecektir.
Cari Değer Kriteri :
DESM modeli, 2.2.6 bölümünde ele alınan cari değer veya iskontolu maliyet
kriterini kapsayacak şekilde kolayca düzenlenebilir. Bir periyottaki faiz oranı, periyot
uzunluğuna bakılmaksızın, r ile gösterilirse γ = 1 (1 + r ) iskonto çarpanı olmak
üzere, bir t anındaki birim nakit akışının cari değeri γ t olacaktır. DESM modelinin
amaç
fonksiyonunda
fiili
maliyet
unsurları
c ( t ) → γ t ⋅ c ( t ) , k ( t ) → γ t ⋅ k ( t ) ve h ( t ) → γ t ⋅ h ( t )
yerine,
şeklinde
iskontolu
yazılırsa
değerleri
amaç
fonksiyonu iskontolu toplam maliyeti verecektir. Burada dikkat edilmesi gereken h(t)
ile yine sadece fiziki elde bulundurma maliyetinin temsil edileceği ve buna finansal
maliyetlerin dahil olmadığı hususudur.
Biriken Maliyet Kavramı :
DESM modelinde, gerçekte sürekli bir değişken olan zamanı kesikli bir
değişken şeklinde kabul edilerek bir yaklaşım sağlanmaktadır. Oysa ki, gerçek
durumda talepler sürekli olarak oluşur ve elde bulundurma maliyeti de zaman içinde
birikerek gider. Oysa modelde, belirli bir periyot içinde talep anları, her anlık elde
bulundurma maliyeti ve siparişlerin stoğa girdiği belirgin değildir. Periyotların
uzunlukları gerektiği kadar kısa alınırsa d(t) ve h(t+1) parametrelerinin t ile t + 1
periyotları arasında sabit kaldıkları varsayılabilir. Ayrıca z(t) miktarda siparişin de
105
periyodun başlangıcında stoğa girdiği varsayılırsa, t ve t + 1 noktaları arasındaki bir s
anında :
Stok seviyesi, x ( s ) = x ( t ) + z ( t ) − ( s − t ) ⋅ d ( t )
Elde bulundurma maliyeti,
t +1
h ( t + 1) ⋅
∫
t

x ( s ) ⋅ ds = h ( t + 1) ⋅  x ( t ) + z ( t ) −


t +1
∫ ( s − t ) ⋅ d ( t ) ⋅ ds 

t


d (t ) 
d (t ) 
= h ( t + 1) ⋅  x ( t ) + z ( t ) −
 = h ( t + 1) ⋅  x ( t + 1) +
 olur.
2 
2 


Amaç fonksiyonu ise,
1
⋅ ∑ t h ( t + 1) ⋅ d ( t ) teriminin ilavesi ile biriken elde
2
bulundurma maliyetini de içerir duruma gelir.
Sipariş Bakiyeleri :
Özgün DESM modelinde sipariş bakiyesine izin verilmez. Şimdi, modelde
sipariş bakiyelerine de izin verildiği durum ele alınsın. x(t) değişkeni, x+(t) stok
miktarı ve x– (t) sipariş bakiyesini göstermek üzere x ( t ) = x + ( t ) − x − ( t ) şeklinde
yeniden tanımlansın. Kısıtlarda, x(t) ≥ 0 kısıtı kaldırılıp, z(t) ≥ 0 kısıtı korunarak,
x+(t) ≥ 0 ve x– (t) ≥ 0 kısıtları da eklensin. Amaç fonksiyonundaki h ( t ) ⋅ x ( t ) terimi
ise,
b(t)
birim
elde
bulundurmama
maliyeti
olmak
üzere,
t , x ( t )  = h ( t ) ⋅ x + ( t ) + b ( t ) ⋅ x − ( t ) şeklinde değiştirilsin.
C


Özgün DESM modelinde her sipariş o ve takip eden periyotlardaki talepleri
karşılamaktadır. Sipariş bakiyesi söz konusu olduğunda da durum aynıdır. Ancak,
burada özgün modeldekinden farklı olarak bir periyotta verilen sipariş, o ve sonraki
periyotların yanısıra daha önceki periyotlara ait siparişleri de karşılayacak şekilde
düşünülmelidir.
Bu şekilde değişiklikler yapıldıktan sonra, problem yine ağ şebeke yaklaşımı
ile çözülebilir. Şöyle ki, t = T periyodu için, T– olarak işaretlenmiş bir düğüm, t < T
için ise t+ ve t
–
olarak işaretlenmiş ikişer düğüm olan bir ağ şebeke sistemi
oluşturulur. Burada ara yollar artı düğümleri eksilere ve eksileri artılarla
106
ilişkilendirir. Her t ≤ u için bir (t –, u+) ve her t < u için bir (t +, u–) yolu vardır.
( Şekil 2-12 )
0–
1–
0+
2–
1+
3–
2+
Şekil 2-12. Sipariş bakiyeleri durumunda DESM için ağ şebeke modeli
0– – T– arasındaki bir yol boyunca t+ düğümleri sipariş zamanlarını, t
–
düğümleri ise sipariş miktarlarını temsil eder. Bu yol üzerinde bulunan, s ≤ t < u
olmak üzere, (s –, t+) ve (t +, u–) bağlarının anlamı, t anında verilen bir siparişin s’den
u – 1 ‘e kadar olan zaman sürecindeki talebi karşılayacağı anlamındadır. Bu şekilde
oluşturulan tüm bağlantılar için maliyetler hesaplanır ve bu maliyetlerin toplamının
en küçük olduğu yol, en düşük maliyetli çözümü verir.
Sınırlı Kapasite Durumu :
Özgün modelde z(t) sipariş miktarının sınırsız olduğu varsayılmıştır. Ancak,
uygulamada üretim veya sipariş miktarının bir üst sınırı vardır; bu üst sınır z+(t) ile
temsil edilsin. Bu durumda özgün modeldeki kısıtlara,
z (t ) ≤ z + (t )
t = 0,…, T − 1
(2.57)
şartı eklenmelidir. Ayrıca, yapılabilirlik açısından, üretim kapasitesi veya sipariş
edilebilecek miktarın başlangıç ile t periyodu arasındaki her t için talepten fazla
t
 t

olduğu da  ∑ z + ( s ) ≥ ∑ d ( s )  kabul edilsin. Kapasitedeki bu sınırlama, ileride
s =0
 s=0

oluşabilecek aşırı talebe hazırlıklı olmak amacıyla önceden daha fazla üretim
yapmak (veya fazla sipariş vermek), dolayısıyla da daha fazla stok tutmak sonucunu
107
doğurur. Bu durumu matematiksel olarak ifade edebilmek için bu fazla stok x+(t) ile
gösterilsin. Buna göre, t anından ilerideki zaman için fazla talep,
x+ (T ) = 0
x+ ( t ) =  d ( t ) − z + ( t ) + x+ ( t + 1) 
+
0≤t <T
(2.58)
olacaktır. Her olanaklı çözüm için, x(t) ≥ x+(t) olması gerektiği açıktır.
Bu şekilde oluşturulabilecek yeni modelin çözümü bazı özel durumlar
haricinde oldukça zordur. Kapasite unsurunun katıldığı başkaca modeller de
oluşturulmuştur, ancak özel durumlar hariç tutulursa, benzer zorluklar bu modeller
için de mevcuttur.
Miktar İskontoları :
Eğer tedarikçi miktar iskontosu uyguluyorsa, bu iskonto da modele dahil
edilmelidir. Örneğin tedarikçinin kademeli bir iskonto uyguladığı varsayılsın; t
anında z adet alım yapıldığında fiyat, yani toplam değişken sipariş maliyeti c(t,z)
olsun. Özgün DESM modelinde değişken sipariş maliyeti doğrusal bir büyüklüktür,
oysa, c(t,z) doğrusal değildir. Ancak bu da c[t,z(t)] şeklinde yazılarak doğrusal hale
getirilebilir. Buna göre, modelin amaç fonksiyonunda c ( t ) ⋅ z ( t ) → c t , z ( t ) 
koyularak uygun çözümler elde edilebilir.
108
3
ÇOK KADEMELİ STOK KONTROL MODELLERİ ve
DAĞITIM OPTİMİZASYONU
3.1
Giriş
Buraya kadar tek bir ürünün veya malın, tek bir yerde depolanması
durumunda ortaya çıkan maliyetler ve bu maliyetlerin toplamının en düşük seviyede
tutulabilmesi için ne sıklıkla ve ne miktarda sipariş verilmesi gerektiği teorik olarak
ele elınmıştır. Ancak gerek üretim, gerek dağıtım yapan veya her iki faaliyetin
birarada yürütüldüğü bir işletmede veya bir tedarik zincirinde durum çok daha
karmaşıktır. Mal veya ürün sayısı birden çok daha fazla, tedarik ve dağıtım noktaları
çok sayıda ve coğrafi olarak dağınık olabilir. Böyle sistemlerde stokların en uygun
şekilde konuşlanması ve işlemlerin en yalın ve düşük stoklar ile yürütülmesi, hem
gerekli işletme finansmanının düşük tutulması, hem de satışları ve müşteri
memnuniyetini arttırma açılarından hayati bir önem taşır. Üretim ve dağıtım yapan
bir işletmede veya bir tedarik zincirinde yürütülen işlemler ve stoklar Şekil 3-1‘de
özetlendiği gibi en temel olarak üç aşamada ele alınabilir.66
Tedarik zincirinin başlangıcında dışarıdan temin edilen hammadde ve
parçalar vardır. Bunlardan bir kısmı geldikleri anda doğrudan imalata gidebilecekleri
gibi, diğerleri talep edildiği zaman gönderilmek üzere hammadde ve parça
depolarında bekletilirler. Üretim aşamasında farklı evreler söz konusudur; bazı
ürünler tamamlanıp satılmak üzere sevkedilebilecekleri gibi, bazı ara ürünler ve ara
montajlı parçalar son ürün montajında kullanılmak üzere ara aşamalarda
bekletilmekte olabilirler. Daha sonra tamamlanmış ürünler, buradan doğrudan
müşterilere veya ara depolara sevkedilmek üzere ürün ana deposuna alınırlar. Ana
depoya iki işlev atfedilebilir. Öncelikle ana ürün deposu bir ana dağıtım merkezi
66
Langenhoff, L.J.G. ve Zijm, W.H.M. “An Analytical Theory of Multi-Echelon Production
/ Distributin Systems”, Statistica Neerlandica, 1990, nr.3 s.150
109
olarak işlev görür; ayrıca, üretimden çıkar çıkmaz sevkedilemeyecek ürünler daha
sonra ilgili noktalara gönderilmek üzere burada stoklanırlar. Son olarak da, yerel
ürün depoları, nihai müşterilere sevkedilecek malların tutulduğu, üretici ile pazar
arasındaki arayüzler olarak görülebilir. Böyle bir zincirdeki malzeme akışında, iki
ana amaç arasında bir denge oluşturulmaya çalışılır : Müşteri memnuniyeti (servis
kalite seviyesi) ve en düşük dağıtım ve stok maliyeti.
Tedarik
Üretim
Dağıtım
Hammadde ve
Ara ürün
Ürün ana
Yerel ürün
parça depoları
depoları
deposu
depoları
Şekil 3-1. Temel bir tedarik zinciri örneğinde işlemler ve stoklar
Bu amaçları gerçekleştirebilmek için, pratikte birden fazla tesis veya işlevin
birbirleri ile bağlantılı olduğu durumlarda çok kademeli stoklama sistemleri sıklıkla
başvurulan bir yapıdır. Örneğin, geniş bir coğrafyada dağıtım yapan işletmelerde
üretim tesisine yakın bir ana depo ile çeşitli bölgelerdeki müşterilere yakın
konumlarda olan bir veya birden fazla sayıda yerel stoklama noktası/ları şeklinde bir
yapı dahilinde çalışması sıkça karşılaşılan bir durumdur. Sadece üretim yapan bir
işletmede de hammaddeler, hazır parçalar, yarı ürünler ve bitmiş ürünler arasında sıkı
bir ilinti söz konusudur. Tüm bu stokların etkin olarak yönetilebilmesini sağlamak
amacıyla, buralarda da çeşitli unsurlar arasındaki ilişkileri hesaba katacak şekilde
özel yöntemler kullanılması zorunludur. Diğer taraftan, bir tedarik zincirinde
110
genellikle birden fazla işletmenin, malzeme akışını iyileştirmek amacıyla birlikte
çalışmaları ve ortak kararlar almaları sözkonusudur. Günümüz bilişim ve iletişim
teknolojileri, elektronik veri alış verişi, uydu haberleşme imkanları ile böyle büyük
ve karmaşık yapılarda eşgüdüm olanaklarını arttırarak, bunların yönetilmesinde yeni
yöntem ve anlayışlar geliştirilebilmesinin önünü açmıştır.
3.2
Üretim ve Dağıtımda Çok Kademeli Stok Sistemleri
Öncelikle şunu vurgulamak gerekir ki, çok kademeli stok sistemlerini gerek
üretim, gerek dağıtımla ilgili problemlerin çözümünde bir ayrım yapılmaksızın
kullanmak olasıdır; diğer bir ifade ile aynı stok modeli ve analiz teknikleri hem
birden fazla mal, hem de birden fazla konum sözkonusu olduğunda hiçbir değişikliğe
gerek kalmaksızın oldukları gibi kullanılabilirler. Bu koşutluk aslında doğaldır; gerek
üretim, gerek nakliye ayrıntılarda farklılıklar olmakla birlikte, stok yönetimi
açısından sonuçta her ikisi de zaman ve para gerektiren fiziksel dönüşümlerdir. Bu
koşutluk göz önüne alınarak bundan sonra modellerde ürün veya konum yerine
sadece o sınıfa ait bir varlığı betimlemek amacıyla unsur sözcüğü kullanılacaktır.
Buna göre çok unsurlu olarak adlandırılacak bir model farklı ürünlerin veya farklı
coğrafi konumların veya her ikisinin birden mevcut olduğu bir model olarak
anlaşılacaktır.
Çok kademeli stok sistemleri, unsurların düğüm noktaları (nodes), bunlar
arasındaki bağıntıların (arcs) da oklarla gösterildiği yönlendirilmiş bir ağ şebeke
sistemi oluşturur. Amaca uygun olarak farklı stok sistemleri oluşturmak mümkündür.
En genel hatları ile çok kademeli stok sistemleri beş ana gruba ayrılabilir.67
1)
Seri sistemler.
2)
Üretim sistemleri.
3)
Dağıtım sistemleri.
4)
Ağaç sistemler.
5)
Genelleştirilmiş karma sistemler.
67
Zipkin Foundations of Inventory Management, s.109-110
111
Bu sistemlerin en yalını Şekil 3-2‘de gösterilen seri sistemlerdir. Burada
müşteri talepleri B stok noktasından karşılanmakta, B noktası A’dan ve son olarak A
da sistem dışındaki bir tedarikçiden ikmal edilmektedir. Böyle bir sistem dağıtım
amaçlı ise, A işletmenin üretim tesisine yakın bir noktadaki ana ürün deposunu, B ise
müşterilerin bulunduğu daha uzak bir bölgedeki yerel dağıtım deposunu betimler. B
için tedarik süresi, A ile B arasındaki sevkiyat süresine eşittir. Üretim amaçlı benzer
bir sistemde ise örneğin B son ürün stoku, A ise bunun üretilmesi için gerekli bir yarı
ürün stoku olarak düşünülebilir. Bu durumda B için tedarik süresi ağırlıklı olarak
üretim (veya montaj) süresine eşittir. Her iki sistemde de B, A’nın müşterisi, A ise
B’nin tedarikçisi olarak ele alınır.
A
B
Şekil 3-2. Seri halde iki kademeli stok sistemi
4
2
5
3
1
6
7
Şekil 3-3. Çok kademeli bir üretim / montaj sistemi
Seri sistemin biraz daha gelişmişi üretim (montaj) sistemidir. Bu sistemler
isimden de anlaşılacağı gibi daha çok üretim işlevleri ile ilgilidir. Ağ şebeke
tamamlanmış ürünü temsil eden bir düğüm ile sona erer. Dış kaynaklardan tedarik
112
edilen birden fazla kalem hammadde, parça vs. çeşitli işlemlerden geçirilerek,
birleştirilerek ara ürünlere, daha sonra bu ara ürünler de yeniden montajlanarak son
ürüne dönüştürülür. Şebekedeki oklar çeşitli üretim istasyonları arasındaki malzeme,
parça, ara ürün taşımalarını betimler. (Şekil 3-3)
Dağıtım sistemi, bir anlamda üretim sisteminin geriye doğru yürüyeni gibi
olup, ıraksak bir sistemdir. Üretim amaçlı olarak tek bir hammaddeden hareketle
çeşitli ürünler elde edildiği durumlarda da (örneğin, sütü işleyerek pastorize süt, yağ,
süttozu üretimi) kullanılır. Dağıtım amaçlı olarak ele alındıklarında ise şebekenin
başlangıç düğümü merkez (ana) depo, son düğümleri ise perakendeciler veya nihai
tüketicilerdir; ara düğümler ise bölgesel dağıtım depoları gibi ara stoklama
birimlerine karşılık gelirler. (Şekil 3-4) Bu sistemde her düğüm noktasının en fazla
bir tane önceli vardır.
Merkez depo
Perakendeciler
Şekil 3-4. Çok kademeli bir dağıtım sistemi
Dağıtım amaçlı bir sistemde, farklı bölgelerdeki hizmet seviyesini yüksek
tutabilmek için ilgili perakendeciler için stok tutma gereksinimi vardır.
Perakendeciler ise merkezi depo veya ara depolardan ikmal edilmektedir. Merkezi ve
ara depolardaki stok seviyesi yüksek tutularak teslimat süreleri daha kısa ve daha az
değişken hale getirelebilir; bu da perakendecilere stoklarını düşük tutma imkanı
sağlar. Sistem içindeki toplam stok miktarının dağılımı sistemin yapısına, talepteki
113
değişimlere, sevkiyat sürelerine ve birim maliyetlere bağlıdır. Merkez depoda çok
miktarda stok tutulmasını gerektiren durumlar olmakla birlikte, çoğu zaman toplam
stok miktarı beklenenden de oldukça düşük seviyede kalmaktadır.68
Ağaç sistemler, üretim ve dağıtım sistemlerin beraberce bulunduğu,
genelleştirilmiş karma sistemler ise daha da karmaşık ilişkiler içeren sistemlerdir.
(Şekil 3-5) Bu sistemlerde her düğümün birden fazla öncel ve ardılı
bulunabilmektedir. Bu sebeple böyle sistemler için optimum çözümün elde edilmesi
oldukça zahmetli olabilmektedir.
(a)
(b)
Şekil 3-5. Ağaç (a) ve genelleştirilmiş karma (b) sistemler
Özellikle üretim amaçlı çok kademeli stok sistemlerinde malzeme siparişi ve
stoklamada kullanılan bir başka yaklaşım da malzeme listesi veya ürün ağacı olarak
isimlendirilebilecek kavramdır. Bir mal üretilirken birden fazla sayıda parça ve bu
parçaların da birden fazla sayıda kullanılması üretimde sıkça karşılaşılan bir
durumdur. Örneğin Şekil 3-3‘deki 1 no.lu ürün 2, 3 ve 7 no.lu parçalardan, 2 no.lu
parça 4 no.lu parçadan ve 3 no.lu ara ürün 5, 6 ve 7 no.lu parçalardan oluşmaktadır.
Bu durum bir ürün ağacı ile Şekil 3-6‘de gösterilmektedir. Ayrıca, 1 no.lu ürün için
2, 3 ve 7 no.lu parçalardan sırasıyla 2, 2 ve 6 adet, 3 no.lu ara ürün için 5, 6 ve 7
no.lu parçalardan sırasıyla 3, 4 ve 2 adet kullanıldığını ve 2 no.lu ara ürünün de 3
68
Lim Wei-Shi , Ou Jihong ve Teo Chung-Piaw. “Inventory Cost Effect of Consolidating
Several One-Warehouse Multiretailer Systems.”, Operations Research, Vol. 51, No.4, July-August
2003, s.668
114
adet 4 no.lu parçadan oluştuğu varsayılsın. Bu adetler de ürün ağacında parantez
içinde gösterilerek her parça için ihtiyaç duyulan miktarlar kolayca elde edilebilir.
1
2
3
(2)
(2)
4
5
6
7
7
(3)
(3)
(4)
(2)
(6)
Şekil 3-6. Çok kademeli üretim sistemi örneğine ait ürün ağacı
Ürün ağacından hareketle, bu örnekteki 1 no.lu üründen 1 adet üretebilmek
için, 4 no.lu parçadan 6 adet, 5 no.lu parça 6 adet, 6 no.lu parçadan 8 adet ve 7 no.lu
parçadan 10 adet tedarik edilmesi gerektiği hesaplanır.
115
3.3
Bağımsız Unsurlar için Stok Modelleri
3.3.1 Toplam Başarım Ölçüleri
Bir perakende mağazası veya bir yedek parça ambarında sıkça karşılaşılan bir
durum olan, çok unsurlu ve her unsurun özgün ESM modelinin hipotezlerini
gerçeklediği, ayrıca unsurlar arasında arz-talep ilişkisinin bulunmadığı ve talep ile
tedarik işlemlerinin ayrık olduğu bir sistem göz önüne alınsın. Unsurların
birbirlerinden bağımsız oldukları böyle bir ortamda ilk akla gelebilecek çözüm, her
unsur için uygun bir ESM modeli oluşturarak ayrı ayrı en uygun çözümlerin elde
edilmesi olabilir. Esas olarak çoğu hazır stok kontrol programının yaptığı da budur.
Ancak binlerce stok kaleminin olduğu bir işletmede bu işlem bilgisayarlar yardımıyla
yapılsa da usandırıcı bir çalışma olduğu gibi, işletmenin toplam başarımı hakkında da
genel bir bilgi vermez. Unsurların tek tek değerlendirilmesi muhakkak çok
önemlidir. Bununla birlikte, özellikle üst yönetim ayrıntılardan ziyade işletme
kaynaklarının toplamda nasıl kullanıldığı ile ilgilidir. Bu amaçla stoklarla ilgili
toplam kaynak kullanımının değerlendirilmesi için toplam başarım ölçüsü
(aggragate performance measures) olarak adlandırılan, toplam stok yönetiminin
etkinliğinin değerlendirilebilmesini sağlayacak böyle bir ölçü tanımlamak faydalı
olacaktır.
Modelde kullanılacak parametreler aşağıdaki gibi tanımlansın :
j
: ilgili unsurun numarası. (j = 1, 2, ....., J)
dj
: j. inci unsura olan talep.
cj
: j. inci unsur için değişken satınlama maliyeti.
wj
: j. inci unsurun sipariş maliyeti.
qj
: j. inci unsurun sipariş miktarı.
cj katsayısı bir malın elde bulundurulması ile ilgili tüm maliyetleri
kapsamaktadır. Bir malın stokta bulundurulması bu malın değeri kadar bir
anaparanın bağlanmasının yanısıra, depolama masrafları, işgücü ve enerji gibi
maliyetleri de içerdiği unutulmamalıdır. wj katsayısının ise sipariş verme ile teslim
alma sırasında oluşan tüm sabit giderleri kapsadığı varsayılmaktadır.
116
Parametreler
belirtildikten
sonra
öncelikle,
ilerideki
hesaplamalarda
J
kullanılmak üzere, üç büyüklük tarif edilecektir. Bunlardan birincisi cd = ∑ c j ⋅ d j
j =1
şeklinde ifade edilen toplam satınalma maliyetidir. Burada, cd ‘nin birimi para birimi
J
J
j =1
j =1
/ birim zaman dır. Diğer bir şekilde, bu büyüklük d = ∑ d j ve c = ∑
dj
d
⋅ cj
(cj’lerin talebe göre ağırlıklı ortalaması) olmak üzere cd çarpımı olarak ifade
edilebilir. Ancak bu ikinci tanımlamanın, dj’lerin birimleri aynı ise bir anlam ifade
edeceği açıktır.
J  c ⋅d



İkinci büyüklük, w = ∑  j j  ⋅ w j  talep ağırlıklı iş yükü (workload)
j =1  cd


J
veya sipariş maliyetidir. Buna göre, w ⋅ cd = ∑ w j ⋅ c j ⋅ d j olur.
j =1
Son olarak,
 J

 ∑ wj ⋅ c j ⋅ d j 
j =1

J* = 
w ⋅ cd
2
büyüklüğü çeşit indeksi olarak
tanımlanır. 1 ≤ J* ≤ J olduğu kolayca ispatlanabilir. J* , wj.cj.dj.’lerin dağılımının,
diğer bir deyişle unsur sayısının toplam başarımı ne şekilde etkilediğinin ölçüsüdür.
Bunların dağılımı çok farklıysa J* küçük, birbirlerine yakınsa J* büyüktür. Bu ifade
ters bir tanım olarak görülebilir; farklı wj.cj.dj.’ler daha az çeşit, benzer wj.cj.dj.’ler
daha fazla çeşit olduğuna işaret eder.
j. inci unsurun ortalama stok seviyesi
S j = q j 2 , sipariş frekansı
SFj = d j q j olmak üzere, toplam başarım ölçüleri,69
J
J
j =1
j =1
Ortalama toplam stok yatırımı : cS = ∑ c j ⋅ S j = ∑ c j ⋅
J
J
dj
j =1
j =1
qj
Toplam ortalama iş yükü : wF = ∑ w j ⋅ SFj = ∑ w j ⋅
qj
2
(3.1)
(3.2)
şeklinde tanımlanır.
69
117
3.3.2 cS-wF Grafiği
Bu iki değer qj büyüklüğünün fonksiyonlarıdır. Bir an için toplam stok
yatırımının belirli olduğu varsayılsın. Bu durumda problem, bu ödeneğin unsurlar
arasında en uygun ne şekilde dağıtılacağıdır. Bu ise wF değerinin minimum olacağı
qj miktarlarının belirleneceği bir optimizasyon problemidir. Diğer bir ifade ile,
J
cS = ∑ c j ⋅
j =1
qj
2
J
kısıtlaması ile,
∑w
j =1
j
⋅
dj
qj
amaç fonksiyonu minimum olmalıdır.
J
λ Lagrange çarpanı kullanarak, f ( q j ) = ∑ w j ⋅
j =1
wj ⋅ d j
f '( q j ) = 0 ⇒
q
2 ⋅ wj ⋅ d j
qj =
λ ⋅ cj
2
j
=
 J

q
+ λ ⋅  ∑ c j ⋅ j − cS 
qj
2
 j =1

dj
1
⋅ λ ⋅ cj
2
(3.3)
j = 1, 2, …, J
Bu sonuç özgün ESM modelinden elde edilene çok benzemektedir. Bu
değerler kısıt denkleminde yerine konularak λ çözülür; elde edilen λ değeri
kullanılarak (3.3) bağıntısından en uygun qj* değerleri hesaplanır. Bu değerler de
amaç fonksiyonunda yerleştirilerek sonuçta,
wF =
J * ⋅ ( w ⋅ cd )
denklemi elde edilir.
2 ⋅ cS
(3.4)
Bu denklem yardımıyla, wF ile cS arasındaki bağıntının grafiği çizilebilir
(Inventory-workload
tradeoff
curve).
Böyle
bir
grafik
örneği
Şekil
3-7
görülmektedir.
Bu grafik, belirli bir cS değeri için elde edilebilecek en küçük wF değerini
verir. Grafik tersine de kullanılabilir; yani, belirli bir wF değeri için elde edilebilecek
en küçük cS değeri de grafik yardımıyla elde edilebilir. Bununla birlikte, bu eğri tek
başına en uygun çözümü veremez, bunun için daha ayrıntılı maliyet bilgilerine gerek
vardır. Ancak, yine de bu eğri bir hayli kullanışlıdır. Öncelikle, durum tespiti için
kullanılabilir; örneğin fiilen uygulanmakta olan qj kombinasyonlarının gerçekten
uygun olup olmadıklarına test edilebilir. Ayrıca, neyin mümkün neyin imkansız
olacağına karar vermeyi kolaylaştırır. Örneğin finansal veya rekabet amaçlarıyla
stoklar düşük tutulmak istendiğinde, buna karşılık wF değerinin ne kadar artacağını,
118
dolayısıyla bu artışın tolere edilebilir olup olmadığı kararının tartışmaya gerek
kalmadan alınabilmesine olanak tanır.
wF
cS
Şekil 3-7. cS – wF grafiği
3.3.3 Maliyet Tahmini ve Optimizasyon
Şimdi, siparişteki toplam kaynak kullanımını ifade eden wF‘in para birimi
başına maliyet payını belirten bir κ > 0 katsayısı ile toplam stok maliyetinin para
birimi başına etkisini ifade eden bir η > 0 katsayısı tanımlanabileceği varsayılsın
(kredi faiz oranı maliyetin bir bileşeni olduğundan η hem faiz oranını hem de cS ile
orantılı tüm maliyetlerin etkisini içerecektir). Bu katsayılar kullanılarak, wF-cS eğrisi
üzerinde uygun bir noktayı belirleme problemi, (3.4) denklemi ile kısıtlı olmak üzere
κ ⋅ wF + η ⋅ cS fonksiyonunun optimizasyonu problemine indirgenir. Bunun çözümü
ise grafik olarak wF-cS eğrisi üzerinde eğimi –η/κ olan noktanın belirlenmesinden
ibarettir.
Diğer bir eşdeğer yaklaşım da, η ve κ katsayıları belli iken ESM modeli için
gerekli maliyet parametrelerini doğrudan, k j = κ ⋅ w j ve h j = η ⋅ c j bağıntıları ile
tahmin etmek ve daha sonra, bu değerleri her unsur için ayrı ayrı ESM modelinde
kullanarak,
q*j =
2 ⋅ (κ ⋅ w j ) ⋅ d j
η ⋅ cj
j = 1, 2, …, J
(3.5)
119
sipariş miktarlarını hesaplamaktır. Bu sonuç (3.3) ile karşılaştırıldığında η/κ oranının
λ Lagrange çarpanı ile aynı olduğu görülür. Bulunan bu q*j değerleri, (3.1) ve (3.2)
’de yerlerine konursa,
wF =
1
η
( w ⋅ cd ⋅ J* ) ⋅
2
κ
ve cS =
1
κ
( w ⋅ cd ⋅ J* ) ⋅
2
η
(3.6)
bağıntıları elde edilir. Bu ikisi çarpılırsa κ ne η yokedilip, (3.4) denklemi elde edilir;
yani, bulunan nokta wF-cS eğrisi üzerindedir.
κ ve η değerleri belli ise, optimum ortalama toplam maliyet ise,
C * = cd + κ ⋅ wF + η ⋅ cS = cd +
2 ⋅ κ ⋅η ⋅ ( w ⋅ cd ) ⋅ J *
(3.7)
olarak elde edilir.
Hesaplanan maliyet tahminlerinin sağlıklı olması κ ve η katsayılarının
gerçeğe olduğunca yakın olarak seçilmelerine bağlıdır. Bazı durumlarda maliyet
faktörlerini tek bir κ ve η katsayısı ile doğru olarak yansıtmak mümkün olmayabilir.
Örneğin, toplam stok yatırımının η1 ile η2 gibi iki katsayı ve cj1 ile cj2 gibi iki ayrı
değer kullanarak daha doğru yansıtılabileceği düşünülüyorsa, bu h j = η1 ⋅ c j1 + η 2 ⋅ c j 2
yazarak gerçekleştirilebilir.
Yukarıdaki maliyet formülü incelendiğinde, tüm diğer özellikler aynı kalmak
üzere J* arttıkça toplam maliyetin de artacağı açık olarak görülür. Bunun anlamı ise
daha yüksek miktarlarda daha az çeşit üretmenin, küçük miktarlarda çok sayıda çeşit
üretmeye kıyasla daha az maliyetli olacağıdır. Diğer taraftan pazarlama açısından
çoğu işletme için hem satışları arttırmak hem de rekabet amaçlarıyla, ürün sayısının
fazla olması avantajlıdır. Bu da göz önüne alındığında işletmenin etkinliğini
arttırmak amacıyla, ürün çeşidini azaltarak stok maliyetini düşürmenin her zaman
geçerli bir strateji olmayıp, her iki unsurun da değerlendirilerek en uygun ürün
sayısının belirlenmesinin en iyi çözüm olacağı göz önüne alınmalıdır.
Diğer bir konu da, toplam talep değiştiğinde stok miktarının nasıl
değişeceğinin bilinmesidir. Örneğin, toplam talep iki kat arttığında ürün sayısı (J)
sabit kalmak üzere, ESM modeline benzer şekilde qj*’ler
2 ile çarpılacaktır; buna
koşut olarak ortalama stok değerleri S j , dolayısıyla cS değeri de
2 ile çarpılmış
olacaktır. Buna karşılık, her ürüne olan talep miktarlarının aynı kaldığı, ancak ürün
120
sayısının iki katı olduğunda S j ’ler sabit kalacak ancak toplam ortalama stok iki katı
olacak, bağlı olarak cS değeri de iki katı olacaktır. Buradan da anlaşılacağı gibi
toplam stok maliyetinin değişimini bilmek için talepteki değişimin yanı sıra bu
değişimin unsurlar arasında nasıl dağıldığının da bilinmesi gereklidir. Maliyeti
etkileyen diğer iki değişken, w ve J* dır. Genellikle wj’ler hemen hemen sabittir ve
talep değişimlerinde w‘nin çok az değiştiği kabul edilebilir. Dolayısıyla talep
değişimlerinin işletme başarımına etkisinde J* yine önemli bir öğe olarak
değerlendirilmelidir.
Toplam başarım duyarlılığını değerlendirmek için kullanılabilecek bir ölçek
te stok devir hızıdır. Tek bir kalem için devir hızı, hatırlanacağı gibi d / S şeklinde
tanımlanır. Burada da benzer büyüklükler cinsinden toplam stok devir hızı (cd)/(cS)
olarak ifade edilir. Buna göre J* sabit iken doğal olarak cd arttığında devir hızı da
artacaktır; ancak genel olarak J* sabit kalmadığından, devir hızı artışının etkisini tam
olarak tespit edebilmek için hem cd, hem de J*‘nindeğişimi bilinmelidir.
Stok devir hızı farklı şekilde de tanımlanabilir. Örneğin, toplam gelir
J
pd = ∑ p j ⋅ d j olmak üzere, (pd)/(cS) , yani, satış gelirlerinin stok yatırımına oranı
j =1
şeklinde tanımlanabilir. Bu tanıma (pd)/(cd) brüt kar oranı katılarak, stok devir hızı
pd  pd   cd 
=
 ⋅   şeklinde yazılır. İkinci terim özgün devir hızıdır. Birinci oran
cS  cd   cS 
arttırılarak, yani kar marjı yüksek ürünlere tercih edilerek ikinci terim sabit kalsa
bile, parasal olarak stok devir hızını arttırmak olasıdır.
121
3.4
Kademeli Seri Sistemler için Stok Modelleri
3.4.1 Varsayımlar
Başlangıç düğümünden itibaren j = 1, 2, ...... , J şeklinde numaralandırılmış,
Şekil 3-8‘deki gibi J aşamalı seri bir sistem düşünülsün. Böyle bir sistemde unsurlar
ardışık üretim istasyonlarından çıkan ürünleri veya bir tedarik zincirinde depolama
noktalarını betimlemektedir. Burada J numaralı unsur için, sabit d hızı ile talep
oluşmakta ve bir dış kaynaktan 1 noktasına ikmal yapılmaktadır; bunlar dışındaki
tüm tedarik, sistem içinde (örneğin bir tedarik zinciri) gerçekleşmektedir. Bu
modelde unsur terimine karşılık gelmek üzere aşama terimi de kullanılacaktır. Bu
sebeple böyle seri sistemler, çok aşamalı sistemler olarak da isimlendirilir.
1
2
J
Şekil 3-8. J aşamalı seri sistem
ESM modelinde olduğu gibi stoklar belirli miktarda kümeler, partiler olarak
hareket etmektedirler. Bir kümenin herhangi bir aşamaya gönderilme kararı sipariş
olarak adlandırılır. Aşamaların kendi başlarına karar vermedikleri, bilgilerin bir
merkezde toplandıkları ve kararların da bir merkezden verildiği kabul edilmektedir
(ileride böyle bir merkeze gereksinim olmadan da işlemlerin yönetilebileceği
görülecektir). 1 düğümüne ikmal yapan dış kaynağın daima istendiği kadar stoğa
sahip olduğu varsayılmaktadır; ayrıca, her aşamanın talebi karşılanmakta, istenen
malın stokta bulunmamasına izin verilmemektedir. Her sipariş için, ESM modelinde
olduğu gibi sabit ve elde bulundurma maliyetleri oluşmaktadır. j.inci unsurun sipariş
verme maliyeti kj, elde bulundurma maliyeti h’j ve t anındaki stok miktarı S’j(t) ile
gösterilecektir.
122
Her aşama kendi ürününden bir birim üretmek için öncelinden bir birim ürün
talep etmektedir. Eğer herhangi bir aşamada bir üründen birden fazla veya az birime
gereksinim duyuluyorsa, j.inci aşamadaki ürün birimi yeniden tanımlanır (j = J için
birim 1 olmalıdır). Örneğin J.inci aşamada bir adet üretebilmek için j = J – 1 inci
kademedeki üründen 2 adedine gereksinim varsa, J – 1 inci aşamadaki ürünün birimi
2 adet olarak tanımlanır ve h’j – 1 de başta hesaplananın iki katı olarak alınır. Benzer
şekilde J – 1 inci maldan bir adet üretebilmek için J – 2 inci üründen 3 adedine
gereksinim varsa, J – 2 inci aşamadaki ürünün birimi 6 adet olarak tanımlanır ve h’j–2
de başta hesaplananın altı katı olarak alınır.
Diğer taraftan,
j.inci aşama siparişleri için sabit bir L’j tedarik süresi
gerektiği ve aşamalar arasındaki mal akışının sürekli olduğu (kapasite kısıtlaması
olmadığı) varsayılsın. j.inci noktadan (j + 1) .inci noktaya sevkedilen her mal için,
j.inci unsurun stok tutması söz konusu olduğundan, h’j birim elde bulundurma
maliyeti oluşur (Dış kaynaktan 1 numaralı aşamaya mal girişinde bu maliyet yoktur).
Sevkedilecek mal miktarı da d.L’j+1 olacağından, tüm zincir içinde sevkedilen mal
J −1
için toplam elde bulundurma maliyeti d ⋅ ∑ h ' j ⋅ L ' j +1 olacaktır. d sabit ise, bu
j =1
toplam da sabittir ve bu maliyet bundan sonra gerekli düzenlemelerle ihmal
edilebilir. Benzer şekilde, farklı aşamalar arasındaki sevkiyatlarda değişken
maliyetler ve taşıma maliyetleri de sabit olduklarından ihmal edilebilirler.
Ayrıca, ESM modelinde olduğu gibi siparişleri gerektiği kadar önceden
verilebilecekleri, yani zaman içinde uygun şekilde kaydırılabilecekleri düşünülerek,
kolaylık için tedarik süreleri sıfırlanabilir. Böylece dış tedarikçiden mal alındığı anda
bunun son kademeye aktarılabildiği kabul edilir.
Son olarak, sistemin boş stokla başladığı, yani her j için S’j(0) = 0 olduğu
varsayılacaktır.
123
3.4.2 Kademeler ve Kademe Stokları Kavramı
Şekil 3-9‘daki gibi dört aşamalı seri bir sistem düşünülsün. Bu sistemde
örneğin 1 no.lu parçanın stok seviyesi düşmüşse bu parça için sipariş kararı
alınmalıdır. Ancak, bu sırada 2 ve 3 no.lu parçaların stokları fazla ise, 4 no.lu ürünü
yapabilmek için 1 no.lu parçaya acil gereksinim olmayacağı ve hemen ikmal
yapmanın
gerekli
olmadığı
açıktır.
Kademe
stokları
değerlendirebilmek için ortaya atılmış bir yaklaşımdır.
bu
gibi
durumları
70
Tanım gereği bir j.inci aşamanın kademesi (veya kısaca j.inci kademe), j.inci
aşama ile j’den sonra gelen tüm aşamaları kapsar. Dört aşamalı seri bir sistemin
kademeleri Şekil 3-9‘da dikdörtgenler şeklinde gösterilmiştir. Buna göre dördüncü
aşamanın kademesi kendisidir. 1 no.lu parçanın satın alındığı dış tedarikçi ile dörtten
önceki aşamaların tümü dördüncü aşamanın tedarikçileri olarak düşünülürler.
Üçüncü aşamanın kademesi üçüncü ve dördüncü aşamaları kapsar. Dış tedarikçi ile
birinci ve ikinci aşamalar üçüncü kademenin tedarikçileri olarak ele alınırlar. Bu
şekilde devam edilerek tüm sistem birbirleri içine yerleştirilmiş alt sistemlerin
silsilesi olarak tanımlanır.71
1
2
3
4
Şekil 3-9. 4 aşamalı bir seri sistemde kademeler
Örneğin, 1. aşamada hammaddeden başlayarak çeşitli işlemler sonucunda
J.inci aşamada son ürünün elde edildiği bir işletme düşünülsün. Böyle bir üretim
sisteminde, i > j inci kademelerdeki her bir birim ürün, j.inci kademede üretilen
üründen bir birim içerecektir. Bu gerçek göz önüne alındığında, bir t anında j
70
71
124
ürününün sistem içindeki toplam stoku, S’j(t)‘ye ilave olarak j’den sonra gelen
ürünlerin stoklarını da kapsayacaktır. Bu durumu analizlere dahil etmek amacıyla bir
t anında j.inci ürünün sistem içindeki toplam stok miktarı Sj(t) ile gösterilecek ve
kademe stoku olarak adlandırılacaktır; buna göre bir j ürünü için kademe stoku
J
S j ( t ) = ∑ S 'i ( t ) olacaktır. Her bir aşamadaki S’j(t) stokları ise, bundan sonra yerel
i= j
stoklar veya tesis stokları olarak adlandırılacaktır.72
Ayrıca, h0 = 0 başlangıç şartıyla, j.inci kademe için elde bulundurma maliyeti
h j = h ' j − h ' j −1 olsun. Diğer taraftan, h’j’lerin sadece finansal giderlerden oluştukları
varsayılırsa, r faiz oranı ve cj değişken maliyetler olmak üzere, j.inci unsur için elde
j
bulundurma maliyeti h ' j = r ⋅ ∑ ci ve j.inci kademe için elde bulundurma maliyeti
i =1
h j = r ⋅ c j olur. hj terimi j.inci aşamadaki katma değeri yansıtır; cj > 0 olduğundan
hj > 0 dir. Diğer taraftan, h’j’ler fiziksel elleçleme maliyetleri de içeriyorlarsa, bu
maliyetler de kademeler arttıkça artacak veya en azından çok hızlı olarak
azalmayacaklardır.73 Buna göre, tüm sistemdeki için elde bulundurma maliyeti,
J
∑
j =1
J
h ' j ⋅ S ' j ( t ) = ∑ h j ⋅ S j ( t ) olacaktır.
(3.8)
j =1
İki aşamalı seri bir sistem için yerel stokların değişimi Şekil 3-10’da
gösterilmektedir. Burada görüldüğü gibi, S’2(t) stoğu tek unsurlu bir sisteminkine
benzer şekilde, sipariş teslim alındığında sipariş miktarı kadar ani olarak artmakta,
diğer zamanlarda d sabit talep hızı ile azalmaktadır. S’1(t) stoğu ise basamaklı bir
fonksiyon şeklindedir. Bu sisteme ait kademe stokları ise Şekil 3-11’de
gösterilmektedir. Doğal olarak S2 ( t ) = S '2 ( t ) dir; birinci unsurun kademe stoğu ise
S1 ( t ) = S '1 ( t ) + S '2 ( t ) şeklindedir. (Kesikli çizgiler S’1(t) stoğunu göstermektedir.)
Burada da S1(t) stoğu, yine tek unsurlu bir sisteminkine benzer şekildedir ve ani
72
73
Langenhoff, L.J.G. ve Zijm, Statistica Neerlandica, 1990, nr.3 s.152
Tetsuo Iida, “The infinite horizon non-stationary stochastic multi-echelon inventory
problem and near-myopic policies”, European Journal of Operational Research, 2001, nr.134,
s.527
125
artışlar sadece birinci kademeye sipariş girişleri sırasında oluşmakta, ikinci
kademeye sipariş girdiğinde fakat birinci kademeye giriş olmadığında stok yine d
talep hızı ile doğrusal olarak azalmaya devam etmektedir.
S’1(t)
Zaman (t)
S’2(t)
Zaman (t)
Şekil 3-10. Zaman içinde yerel stokların değişimi
S1(t)
Zaman (t)
S2(t)
Şekil 3-11. Zaman içinde kademe stokların değişimi
Zaman (t)
126
Bu durum, “Her j için Sj(t) stoğu, (j – 1).inci aşamaya sipariş girişleri olduğu
anlarda ani olarak artar, bunların dışında d talep hızı ile azalır.” şeklinde
genelleştirilebilir. Bu şekilde, kademe stokları ile işlem yaparak stok maliyetlerinin
hesaplanmasında göreceli bir basitlik sağlanır.74 Bu sonuçlara göre kademe
stoklarının sistemdeki hem stokları hem de bunların elde bulundurma maliyetlerini
yerel stoklar kadar iyi bir şekilde temsil eder.
−
Tedarik süreleri açısından da benzer analizler yapılabilir. L j , j.inci unsur
için ileri doğru kademe tedarik süresi (forward echelon leadtime) olsun. Tanım
olarak bu değer j.inci unsurun müşteriye kadar ulaştırılması için geçeceği tüm
−
aşamalar için gerekli minimum süredir ( L j =
J
∑ L'
i
−
ve L J = 0 ). Gerçek tedarik
i = j +1
süreli bir sistemde, sıfır tedarik süreli yapılabilir bir politika oluşturmak için sipariş
anları zaman içinde tedarik süreleri kadar geri çekilmelidir. Şöyle ki, j.inci unsura
−
giren tüm siparişlerin zamanları L j kadar geri çekilmelidir. Buna koşut olarak, j.inci
−
unsura yapılan tüm sevkiyatların zamanları da L j = L ' j + L j kadar geri çekilecektir.
Bu işlem, sistemde başlangıç anındaki stokların sıfır olması için gereklidir. Alternatif
olarak, tedarik sürelerinin sıfır olarak alındığı bir modelde bunun tersi yapılacak ve
−
son ürün müşteriye L J kadar gecikmeli olarak teslim edilecektir.
74
Clark, Andrew J. ve Herbert Scarf. “Optimal Policies for a Multi-Echelon Inventory
Problem.” Management Science, Vol.50, No.12 Supplement, Dec. 2004, s.1784
127
3.4.3 Politika Özellikleri
Analiz kolaylığı açısından mümkün olduğunca basit politikalara yönelmek
daima tercih edilmelidir.
Tanım olarak, her j için, j.inci aşamada stoğa sipariş girişi (j+1).inci aşamada
da stoğa girişi tetikliyorsa, bu politikaya yuvalanmış stok politikası (nested policy)
adı verilir. Buna göre, seri sistemde herhangi bir aşamadaki sipariş girişi kendinden
sonra gelen aşamalara da sipariş girişi olmasına yol açacaktır. Buna göre, yuvalanmış
bir sistemde tüm aşamalarda en az sipariş girişi birinci aşamada, en çok sipariş girişi
ise J.inci aşamada olacaktır.
Teorem 1 :
Her yuvalanmamış stok politikasından daha iyi bir yuvalanmış stok politikası
75
vardır. (Yuvalanmış politikada stoklar daha düşüktür.)
Teorem, “Her yerel stok ikmal noktası politikasından daha iyi bir kademe
stoğu ikmal noktası politikası vardır”, şeklinde de ifade edilebilir.76
İspat : İspat iki aşamalı bir sistem için yapılacaktır. Yuvalanmamış bir
politika düşünülsün. Bir t anında 1.inci kademenin sipariş verdiği ve 2. kademenin
bundan sonra en erken u anında sipariş verdiği varsayılsın. Dolayısıyla 1.inci
kademeye t anında giren sipariş burada u anına kadar bekleyecektir. Şimdi 1.inci
kademeye sipariş girişinin u’ya kadar geciktirildiği alternatif bir politika düşünülsün.
t’den önce ve u’dan sonrası için iki politikanın bir farkı olmayacağı açıktır. t ≤ s < u
olmak üzere, S’2(s) her iki politika için de aynıdır; ancak, S’1(s) alternatif politika
için daha düşüktür. Yani, alternatif politika birincisinden iyidir. ⁪
75
76
128
Teorem 2 :
Sıfır stoklu bir politika, her sıfırdan farklı stoklu politikadan daha iyidir.77
İspat : Seri bir sistemde, hala stok mevcut iken bir u anında j numaralı unsur
için yeniden sipariş verildiği düşünülsün. j böyle bir unsurun alabileceği en büyük
değer ve t bu unsurun bir önceki sipariş anı olsun. Diğer taraftan, j için t anındaki
sipariş miktarının mümkün olduğunca azaltıldığı ve bu miktarın u anındaki siparişe
kaydırıldığı ikinci bir politika oluşturulsun. Bu durumda S’j(u–) stoğu azalacağından
bu yeni politika açık olarak birincisinden iyi olacaktır. Ayrıca, j.inci unsurun sipariş
sayısı değişmeyecek ve diğer unsurlar da etkilenmeyecektir; t ≤ s < u ve i ≠ j olmak
üzere, Si(s) ler değişmeyecek, ancak Sj(s) stoğu daha düşük olacaktır. ⁪
Buna göre, yuvalanmış ve sıfır stoklu bir politikada j.inci unsur için, bunun
kademe stoğu Sj(t) sıfır olduğunda, sipariş verilecektir. Bu iki özellik göz önüne
alınırsa, analiz kolaylığı açısından kademe stoklarının dikkate alındığı yuvalanmış,
sıfır stoklu politikalar üzerinde yoğunlaşmanın yeterli olacağı açıktır. Şimdi,
yuvalanmış, sıfır stoklu, ayrıca siparişler arasındaki zamanın sabit olduğu bir stok
politikası gözönüne alınsın. Burada j.inci unsurun sipariş periyodu uj ve u = (uj)j
vektörü olsun. Dolayısıyla, ESM modeline benzer şekilde toplam sipariş maliyeti,
J k

1
C (u ) = ∑  j + ⋅ hj ⋅ d ⋅ u j 
j =1 
uj 2

(3.9)
dir ve amaç fonksiyonu,
Min. C ( u ) 
Kısıtlar : u j = ξ j ⋅ u j +1
(ξ
j ∈ ve j < J )
(3.10)
Bu, doğrusal olmayan – karma tamsayılı bir problem olup doğrudan çözümü
oldukça zordur. Ayrıca, gerçekten kullanılabilir optimum bir çözümün mevcut
olduğu da kesin değildir. İlkesel olarak, bu problemin en iyi çözüme ulaşılmaksızın
da olsa, izlenen bir plan dahilinde adım adım daha iyiye gidecek şekilde bir dizi
çözümü bulunabilir. Bu amaç doğrultusunda öncelikle, gevşek çözüm adı verilen
77
Lap Mui Ann Chan ve David Simchi-Levi, “Probabilistic Analysis and Algorithms for
Three-level Distribution Systems”, Management Science, Vol.44 No.11, Nov. 1998, s.1564
129
basit bir çözümü bulunur. Burada elde edilen optimum maliyet gerçek en düşük
maliyet için bir üst sınır teşkil eder. Daha sonra, gevşek problemin çözümü
yuvarlatılarak yapılabilir bir çözüm bulunur. Bu yapılabilir çözümün bir üst sınırı
hesaplanır; bu maliyet değeri gerçek en düşük maliyetin üst sınırını oluşturur. Bu iki
sınır birbirlerine çok yakın olup aralarında yüzde birkaç mertebesinde fark vardır.
Dolayısıyla, bu yapılabilir çözüm iyi bir çözüm olarak kabul edilir; alt sınır ise
optimum maliyet için oldukça duyarlı bir tahmini değerdir.78
Gevşek Problem :
Yukarıdaki problemde her olası u vektörü, u j ≥ u j +1 eşitsizliğini sağlar. Buna
göre, gevşek problem adı verilen ve amaç fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanan bir
problem elde edilir :
C − = min. C ( u ) 
Kısıtlar : u j ≥ u j +1
( j < J)
(3.11)
Bu probleme gevşek problem adı verilmesinin sebebi, buradaki kısıtların
(3.10) problemindeki kısıt bağıntılarının daha yumuşatılmış bir şekli olmasındandır.
C– değeri minimum maliyet problemi için bir alt sınır olacaktır.
Teorem 3 :
Gevşek problemden elde edilen optimum C– değeri, tüm yapılabilir
politikalardan elde edilecek ortalama maliyetlerin bir alt sınırdır.
İspat : Herhangi bir sıfır stoklu yapılabilir çözüm için, bir j unsurunun ] 0 , t [
zaman aralığındaki sipariş adedi SFj(t) ve toplam maliyet C(t) olsun.
J
C (t ) = ∑
j =1
t


 k j ⋅ SFj ( t ) + h j ⋅ ∫ S j ( s ) ⋅ ds 
0


Sipariş aralıkları sabit ve eşit ise, buradaki integralin değeri minimum ve
t
∫ S j ( s ) ⋅ ds =
0
78
d  t 
⋅
 ⋅t
2  SFj ( t ) 
olacaktır. Buna göre,
Robin Roundy, “98% Effective Integer-Ratio Lot-Sizing for One Warehouse Multi-
Retailer Systems”, Management Science, 1985, Vol. 31 nr.11, s.1419
130
J 
d ⋅ hj
C ( t ) ≥ ∑  k j ⋅ SFj ( t ) +
2
j =1 

 t  
⋅
⋅ t olur.
 SFj ( t )  

 
Ayrıca, u j = t SFj ( t ) yazılabileceğinden,
J k

1
C ( t ) ≥ t ⋅ ∑  j + ⋅ d ⋅ h j ⋅ u j  = t ⋅ C ( u ) elde edilir.
j =1 

uj 2
Diğer
taraftan,
bu
politika
SFj ( t ) ≤ SFj +1 ( t ) ⇒ u j ≥ u j +1
yuvalanmış
bir
politika
olduğundan,
olacak ve u j ≥ u j +1 şartı da yerine gelecektir.
Dolayısıyla, C ( t ) t ≥ C ( u ) = C − olur, yani her sonlu t süresi için C– değeri, tüm
yapılabilir çözümlerden elde edilecek ortalama maliyetlerden küçüktür. Ayrıca, bu
özellik t →∞ için de geçerlidir. ⁪
Gevşek problem özgün problemden daha kolay çözülebilir. Tüm değişkenler
sürekli, kısıt bağıntıları doğrusal eşitsizlikler, amaç fonksiyonu da daima içbükey
olan bir fonksiyondur ve u* gibi tek bir optimum çözümü vardır. Sonuç olarak, bu
sistem, standart doğrusal olmayan bir problem şeklinde çözülebilir. Bununla birlikte
problemi başka şekillerde çözmek de olasıdır. Bu çözümlerden en bilineni
Luenberger tarafından önerilen etkin dizi (active set) yönteminin bir uyarlamasıdır.
Burada ana fikir, optimum çözümün araştırılmasında kısıt bağıntılarından
hangilerinin bağlayıcı olduklarının (active), hangilerinin olmadıklarının (inactive)
ayrımını yapmaktır. Bağlayıcı olmayan kısıtlar yoksayılacaktır.79
Unsurlar N = {1, 2, ....., J} ile, kısıtlar A = {1, 2, ....., J – 1} olarak
numaralandırılsın. Her Au ⊆ A alt kümeleri için, gevşek problemin bir uyarlaması
yazılabilir.
Min. C ( u ) 
Kısıtlar : u j = u j +1
( j ∈ Au )
(3.12)
Problemi herhangi bir Au alt kümesi için çözmek daha kolaydır. Bu sistemin
çözümünden elde edilen u* ve buna karşılık gelen Au * = { j ∈ A | u *j = u *j +1} alt
79
Luenberger, Linear and Nonlinear Programming, Massachusetts – USA : Kluwer
Academic Publisher, 2003, s. 326-330
131
kümesi, aynı zamanda (3.11) sisteminin de çözümü olacaktır. Dolayısıyla, problemin
çözümü optimum Au* alt kümesinin belirlenmesine indirgenmiş olmaktadır.
Her Au alt kümesi N’yi, uj sipariş aralıklarının eşit olan gruplara, kümelere
(clusters) ayırır. m, o gruptaki j’lerin en büyüğüne eşit olmak üzere, Nm herhangi
böyle bir grubu göstersin. Her gruptaki unsurların numaraları birbirlerini takip
ederler ve gruplar da indislerine göre sıralanırlar. (Şekil 3-12)’de böyle bir gruplama
gösterilmektedir; burada elipsler gruplara işaret etmektedir. Bu grupların yığını
N = { N m , m ∈ N − Au } şeklinde bir bölüntü (partition) oluşturur. prev(m) ile m‘den bir
önceki ve next(m) ile m‘den bir sonraki grup betimlensin. Bu durumda next(J) = 0,
en küçük m indisi için ise prev(m) = 0 olacaktır.
N3
1
2
N4
3
N6
4
5
6
N8
7
8
Şekil 3-12. Alt gruplar
Buna göre, (3.12) sistemi ile her grup için bir tane olmak üzere card(N) tane
tali problem tanımlanacaktır. Örneğin Nm grubu için,
Min.
∑
kj 1

 + ⋅ d ⋅ hj ⋅ u j 
 u j 2

j∈ N m
Kısıtlar : u j = u j +1
( j ∈ Nm ,
(3.13)
j < m)
veya u = uj ve gj = d.hj koymak suretiyle,
Min.
kj
∑ u
j∈ N m


1
⋅ g j ⋅ u
2

+
(3.14)
( j ∈ Nm )
Kısıtlar : u j = u
Diğer taraftan,
k ( Nm ) =
∑k
j∈N m
j
,
g ( Nm ) =
∑g
j∈ N m
j
ve π ( N m ) =
k ( Nm )
g ( Nm )
132
koyarak amaç fonksiyonu Cm ( u ) =
k ( Nm ) 1
+ ⋅ u ⋅ g ( N m ) olarak yazılır. Bu ise ESM
u
2
modelinin maliyet fonksiyonu ile aynıdır ve maliyetin minimum olduğu değer
u = u ( m) =
2 ⋅ k ( Nm )
=
g ( Nm )
u (m) =
2 ⋅ π ( Nm )
u j = u ( m)
2 ⋅ π ( N m ) dir. Dolayısıyla, (3.12) sisteminin çözümü,
m ∈ N − Au
j ∈ Nm
(3.15)
Bu çözüm aynı zamanda (3.11) sistemi için de yapılabilir olmalıdır. Bunun
için gerek şart, π (Nm) oranlarının doğru sırada seçilmiş olmaları, yani,
π ( N m ) ≥ π  N next ( m ) 
m< J
(3.16)
olmasıdır. Ayrıca bu çözüm optimum çözüm olmalıdır. Bunun için j’nin bulunduğu
Nm grubu (Nm–, Nm+) olarak grup çiftine ayrılır. Burada, N m− = { prev ( m ) + 1, … , j}
ve N m+ = { j + 1, … , m} dir. Çözümün optimum olması için şart,
∀j , π ( N m− ) ≤ π ( N m+ )
(3.17)
dır. Bu son iki şart, (3.15) sisteminden elde edilen u değerinin (3.11) için de en
uygun çözüm olması için gerek ve yeter şartlardır.
Buradan elde edilen optimum çözüm u* tek olmakla birlikte, bölüntüler her
zaman tek olmayabilir. Örneğin, N bölüntüsünün bu iki şartı sağladığı ve (3.16)’daki
eşitsizliklerden birinin π ( N m ) = π  N next ( m )  şeklinde gerçekleştiği varsayılsın. Nm ile
Nnext(m) kademeleri de birleştirilerek yeni bir bölüntü oluşturulduğunda, bu yeni
bölüntü de her iki eşitsizliği sağlar ve çözüm yine u* dır. Benzer şekilde (3.17)
eşitsizliklerden birinin π ( N m− ) = π ( N m+ ) olarak sağladığı varsayılsın. Bu sefer de Nm
kademesi Nm– ve Nm+ şeklinde iki kademeye bölünürse elde edilen yeni bölüntü için
de her iki şart sağlanır ve çözüm bu durumda da u* dır.80
Optimum şartlar grafik olarak da elde edilebilir. N j = {1, ... , j} , j = 1, ... , J
şeklinde gösterilen alt kümeler oluşturulsun. (0,0)‘dan başlayıp [ g(N j) , k(N j) ] veri
çiftlerini dik eksen takımına taşıyarak, birikimli sabit maliyetlerin birikimli elde
80
133
bulundurma maliyetlerinin fonksiyonu olarak değişimini gösteren Şekil 3-13’deki
gibi bir grafik elde edilir.
k
8
6
4
7
5
3
2
1
g = d.h
Şekil 3-13. Birikimli maliyet grafiği.
k
8
6
4
●
7
●
5
3
●2
g = d.h
1
Şekil 3-14. Dışbükeyleştirilmiş birikimli maliyet grafiği.
134
Bu grafik kesikli doğrusal ve artan bir fonksiyonun grafiğidir. Şimdi, bu
grafik dışbükeyleştirilsin; bunun anlamı, özgün fonksiyonun zarfı olacak şekilde en
küçük değerli dışbükey fonksiyonun bulunmasıdır. Şekil 3-14’de görüldüğü gibi, bu
yine kesikli doğrusal ve artan bir grafiktir. Özgün verilere karşılık gelen noktaların
bazıları bu grafik üzerinde yeralmakta, diğerleri ise altında bulunmaktadır. Yeni
grafiğin üzerinde kalan noktalar, (0,0) noktası hariç, Nm kademelerinin m indislerine
karşılık gelmektedir. Bu grafiğin doğrusal parçalarının eğimleri π ( N m ) oranına
eşittirler ve grafiğin dışbükey olması sebebiyle bu eğimler daima azalan bir seyir
izlerler. Diğer bir ifade ile, π ( N m ) ≥ π  N next ( m )  olduğundan, bu şekilde elde edilen
N bölüntüsü optimum çözüm için gerek şartı sağlamaktadır. Diğer taraftan, herhangi
bir Nm kademesini grafik üzerinde temsil eden doğru parçasını bölmek demek bu
doğru parçasını Şekil 3-14’de kesikli çizgilerle belirtildiği şekilde iki doğru
parçasının toplamı şekilinde ifade etmek anlamındadır. Şekilde işaret edilen nokta
dışbükey grafiğin altında bulunduğundan buradaki her iki doğru parçasının eğimleri
azalmayacaktır. Bunun anlamı ise, π ( N m− ) ≤ π ( N m+ ) olması yani optimum çözümle
ilgili ikinci şartın da yerine gelmesidir. Sonuç olarak, dışbükey fonksiyondan elde
edilen optimum N bölüntüsü optimum çözüm için gerek ve yeter şartları
sağlamaktadır.
Bir fonksiyonu dışbükeyleştirmek için çeşitli farklı yöntemler kullanılabilir.
Örneğin aşağıdaki işlemsel süreç (algoritma) ile bu işlemi yapmak mümkündür :81
“ Set Nj = {j}
[ j = 1, 2, .... , J ]
For j = 1, 2, .... , J
While prev(j) ≠ 0 and π  N prev ( j )  ≤ π ( N j ) ;
Reset N j = N prev ( j ) ∪ N j “
Başlangıçta her pre(j) = j – 1 ve π ( N j ) = k j g j alınır. Reset işlemi ise,
(
)
(
)
k ( N j ) = k N prev ( j ) + k ( N j ) , g ( N j ) = g N prev ( j ) + g ( N j ) ve π ( N j ) = k ( N j ) g ( N j )
hesaplanmasını gerçekleştirecektir.
81
135
Bu işlem küçük bir örnek üzerinde incelenirse,82
J = 4, d = 1, her hj = 1 ve k1 = 4, k2 = 8, k3 = 2, k4 = 2 olsun. Yukarıdaki
işlemsel süreç elle uygulanırsa :
Başlangıç şartları :
N1 = {1} ; N2 = {2} ; N3 = {3} ; N4 = {4}
Her gj = hj . d = 1
π ( N1 ) =
k ( N1 ) 4
= =4
g ( N1 ) 1
π ( N2 ) =
k ( N2 ) 8
= =8
g ( N2 ) 1
π ( N3 ) =
k ( N3 ) 2
= =2
g ( N3 ) 1
π ( N4 ) =
k ( N4 ) 2
= =2
g ( N4 ) 1
j = 1 için :
prev(1) = 0
→
Değişiklik yok.
j = 2 için :
prev(2) = 1 ≠ 0 ; π(N1) = 4 < π(N2) = 8 → N2 = {1,2} olarak düzenle.
(
g(N ) = g(N
)
( ) ) + g (N ) = g (N ) + g (N ) =1+1 = 2
k ( N 2 ) = k N prev ( 2) + k ( N 2 ) = k ( N1 ) + k ( N 2 ) = 4 + 8 = 12
2
π ( N2 ) =
prev 2
2
1
2
k ( N 2 ) 12
=
=6
g ( N2 ) 2
Bu işlemden sonra : prev(2) = 0
→
Değişiklik yok.
j = 3 için :
prev(3) = 2 ≠ 0 ; π(N2) = 6 > π(N3) = 2
→
Değişiklik yok.
j = 4 için :
prev(4) = 3 ≠ 0 ; π(N3) = 2 = π(N4) = 2 → N4 = {3,4} olarak düzenle.
82
136
k ( N 4 ) = k ( N3 ) + k ( N 4 ) = 2 + 2 = 4
g ( N 4 ) = g ( N3 ) + g ( N 4 ) = 1 + 1 = 2
π ( N4 ) =
k ( N4 ) 4
= =2
g ( N4 ) 2
Bu işlemden sonra : prev(4) = 2 ≠ 0 ve π(N2) = 6 > π(N4) = 2 → Değişiklik
yok.
Buna göre optimum bölüntü, N2 = {1,2} ve N4 = {3,4} olmak üzere,
N* = { N2 , N4 } olur. Gevşek problemin çözümleri ise :
u1* = u2 * = u * ( 2 ) =
2 ⋅ π ( Nm ) =
2 ⋅ 6 = 3, 464
u3 * = u4 * = u * ( 4 ) =
2 ⋅ π ( Nm ) =
2 ⋅ 2 = 2 olarak bulunur.
k

1
Buna göre C − = ∑ j∈N  j + ⋅ d ⋅ h j ⋅ u j  bağıntısından :
m
 u j 2

C− =
12
2 ⋅ 1 ⋅ 3, 464 4 2 ⋅ 1 ⋅ 2
+
+ +
= 10,928 olur.
3, 464
2
2
2
3.4.4 Yapılabilir Politika Oluşturma
Gevşek problem için yukarıda elde edilen çözümden hareketle düşük
maliyetli, yapılabilir politikalar oluşturulabilir. Ancak, talebin sabit olduğu durumda
bile çok kademeli stok problemlerinin çözümü oldukça karmaşıktır. Bununla birlikte
problemin en uygun çözümü elde edilemese de, bazı yaklaşık çözüm yolları
kullanarak daha basit bir şekilde ve yeteri kadar iyi sonuçlar veren modeller
oluşturmak mümkün olabilir. Roundy 1985’de optimum çözüme (min. toplam sipariş
maliyetli) % 94-98 yaklaşıklıkla böyle çözümler önermiştir.83
83
137
3.4.4.1 Temel Periyot Kullanarak Politika Oluşturma
Öncelikle bir gün, bir hafta gibi u’ ile gösterilen sabit bir temel periyot
belirlenir. Oluşturulacak politikada her uj değeri u’, 2 u’, 4 u’, u’/2, u’/4 vs. şeklinde,
temel periyodun ikinin tamsayı kuvvetlerinin katları olacaktır. Buna göre, aşağıdaki
gibi bir yol takip edilerek yapılabilir bir politika için u+ elde edilir :84

u * (m) 
n ( m ) = En yakın tamsayı  Log 2
 (Çoğunlukla aşağıya yuvarlanır)
u' 

u + ( m ) = 2n ( m ) ⋅ u '
u +j = u + ( m )
u + = ( u +j )
m ∈ N − Au
j ∈ Nm
j
Bu yapılabilir bir politikadır; u*(m), n(m) ve u+(m) ler m ile azalan,
dolayısıyla uj+‘lar da j ile azalandır. Bu politikaya ikinin kuvvetleri politikası denir.
Şimdi
bu
politikanın
en
düşük
maliyetli
politika
olup
olmadığı
araştırılmalıdır. Bu politika ile karşılaşılan maliyetin C+ = C(u+) ile gösterilsin.
Optimum
bölüntü
Cm u * ( m )  =
ε ( x) =
N*
ve
buna
karşılık
gelen
maliyet
de
2 ⋅ k ( N m ) ⋅ g ( N m ) ise, ESM hesabında kullanılan hata fonksiyonu
1 
1
⋅  x +  burada da kullanılarak,
2 
x
Cm u + ( m ) 
 u+ ( m) 
 u+ (m) 
+


=ε
⇒
C
u
m
=
ε
( ) 
 ⋅
m
 u * ( m ) 
*
u
m
Cm u * ( m ) 
(
)




2 ⋅ k ( Nm ) ⋅ g ( Nm )
bulunur. Diğer taraftan, n(m)’nin tanımından,
1
1
−
u+ (m)
1
1
− ≤ n ( m ) + og 2 ( u ') − og 2 u * ( m )  ≤
⇒ 2 2≤
≤ 2 2 elde edilir. Bu
2
2
u * ( m)
aralık içinde x’in alabileceği en büyük değer
2 ve ε(x)’in alabileceği en büyük
değer ise ≈ 1,06 dır. Dolayısıyla,
C+ ≤ ε
84
( 2)⋅C
m
u * ( m )  veya C + ≤ 1,06 ⋅ Cm u * ( m ) 
(3.18)
138
olur, yani bu politika izlendiğinde karşılaşılan toplam maliyet, olası en düşük
maliyetten en fazla % 6 fazladır.85
Bir önceki bölümdeki örnek için u’ = 1 alınarak,

 3, 464  
+
2
n ( 2 ) = Int  og 2 
  = Int (1,792 ) = 2 → u ( 2 ) = 2 = 4
 1 


 2 
n ( 4 ) = Int  og 2    = Int (1) = 1 → u + ( 4 ) = 21 = 2
 1 

k

1
C + = C ( u + ) = ∑ j∈N  +j + ⋅ d ⋅ h j ⋅ u +  bağıntısından,
m
2
u

12 2 ⋅ 1 ⋅ 4   4 2 ⋅ 1 ⋅ 2 
+
+
= 11 bulunur. Burada görüldüğü gibi,
C+ =  +
2   2
2 
4
C + C − = 11 10,928 ≈ 1,007 olup, bu öngörülen maksimum hatadan çok daha iyi bir
yaklaşımdır.
3.4.4.2 Temel Periyot Kullanmadan Politika Oluşturma
Yukarıdaki yöntemi temel bir periyot almadan da kullanmak düşünülebilir.
Bu durumda, C+ maliyeti u’ büyüklüğünün fonksiyonu olacak ve C+(u’)
fonksiyonunu minimum yapan u’ değerini belirlemek gerekecektir.
u’ büyüklüğüne [1,2[ aralığında değerler verildiği düşünülsün. Öncelikle, bu
aralıkta herhangi bir sabit u’ değeri ele alınarak başlansın; u’, 2 ile çarpılırsa n(m) 1
azalacak, 2 ile bölünürse n(m) 1 artacaktır. Her iki durumda da u+(m)
değişmeyecektir. Diğer taraftan, u’ [1,2[ aralığında değiştiğinde n(m) bir süre sabit
kalacak, dolayısıyla u+(m) doğrusal olarak artacaktır; u’ belirli bir değere geldiğinde
n(m) 1 azalacak ve buna koşut olarak u+(m) de aniden düşecektir. Daha sonra u+(m)
yeniden doğrusal olarak artmaya devam edecektir. [1,2[ aralığında daima bu şekilde
bir kırılma noktası olacak ve bu aralıkta u+(m) iki doğrusal parçadan oluşacaktır.
(Şekil 3-15)
85
139
u(m)
5
4
3
2
1
≈ 1,225
2
u'
Şekil 3-15. u’, [1,2[ aralığında değiştiğinde u(m)’in değişimi (u* = 3,464 için)
Benzer şekilde her m için bir kırılma noktası vardır. Burada da u+ vektörü u’
büyüklüğünün card(N) +1 parçalı doğrusal bir fonksiyonudur. Her parça için C+(u’)
ESM modeline benzer bir fonksiyondur ve u’ değişkenine göre türev alınıp sıfıra
eşitlenerek optimum u’ değeri elde edilir.
Bu modelde elde edilen optimum çözüm C+* olsun. C+* değeri [1,2[
aralığında C+(u’)‘lerin en küçüğüdür. Bir f ( u ') =
1
fonksiyonu tanımlansın.
n 2 ⋅ u '
2
∫ f (u ') ⋅ du ' = 1 olup,
f(u’), [1,2[ aralığında bir olasılık fonksiyonudur.
1
2
+
Buna göre, C * ≤
∫ f ( u ') ⋅ C (u ') ⋅ du '
+
ve
Cm+ ( u ') = Cm u + ( m )  olmak
1
üzere C + ( u ' ) = ∑ m Cm+ ( u ' ) yazılabilir. Buradan, C + * ≤ ∑ m
2
∫ f ( u ') ⋅ C ( u ') ⋅ du '
+
m
1
ve C + * ≤ ∑ m
2
2 ⋅ k ( Nm ) ⋅ g ( Nm ) ⋅
∫
1
 u+ (m) 
f ( u ') ⋅ ε 
⋅ du ' elde edilir.
 u * ( m ) 


140
ν m
ν(m), og 2 u * ( m )  − 1 2 ’nin kesirli kısmı olmak üzere, χ ( m ) = 2 ( ) , [1,2[
aralığındaki kırılma noktasıdır. u+(m) fonksiyonu parçalı olarak yazılırsa,
u+(m) =
2
∫
1
 21 2 
u * (m) ⋅ 
 ⋅u'
 χ ( m) 
1 ≤ u ' < χ (m)
 2−1 2 
u * (m) ⋅ 
 ⋅u'
 χ ( m) 
χ ( m) ≤ u ' < 2
 u + ( m) 
1 
f ( u ' ) ⋅ ε 
⋅
 ⋅ du ' =
n 2 
 u * ( m) 

Birinci integral x =
χ ( m)
∫
1
değiştirmeleri yapılarak çözülürse,
∫
2−1 2
∫
1
 u+ ( m) 
f ( u ') ⋅ ε 
⋅ du ' =
 u * ( m ) 


C +* ≤
1
⋅ C−
2 ⋅ n 2
2
∫
χ ( m)
 2 −1 2
 du ' 
⋅ u '

 χ ( m )  u ' 
ε
21 2
2−1 2
⋅ u ' ve ikinci integral x =
⋅ u ' değişken
χ (m)
χ ( m)
21 2
2
 21 2
 du '
⋅ u '
+
 χ ( m)  u '
ε
ε ( x)
x
⋅ dx =
1
ve tüm integralin değeri
2
1
olarak elde edilir. Buna göre,
2 ⋅ n 2
veya C + * ≤≈ 1,02 ⋅ C −
(3.19)
bulunur, yani bu politika izlendiğinde karşılaşılan toplam maliyet, olası en düşük
maliyetten en çok % 2 daha fazladır.86
Yukarıdaki aynı örnek için uygulanacak olursa,
ν ( 2) : og2 u * ( 2) − 1 2 = og2 [3,464] − 1 2 ≈ 1,2924 → ν ( 2) = 0,2924
χ ( 2 ) = 2ν ( 2) = 20,2924 ≈ 1, 225
ν ( 4 ) : og 2 u * ( 4 )  − 1 2 = og 2 [ 2] − 1 2 = 0,5 → ν ( 2 ) = 0,5
χ ( 4 ) = 2ν ( 4) = 20,5 = 2
86
141
+
u (2) =
+
u (4) =
 21 2 
3, 464 ⋅ 
 ⋅ u ' = 4u '
1, 225 
1 ≤ u ' < χ ( 2 ) = 1, 225
 2−1 2 
3, 464 ⋅ 
 ⋅ u ' = 2u '
1, 225 
χ ( 2 ) = 1, 225 ≤ u ' < 2
 21 2 
2⋅
 ⋅ u ' = 2u '
 2
1 ≤ u ' < χ ( 4) = 2
 2−1 2 
2⋅
 ⋅u' = u'
 2 
χ ( 4) = 2 ≤ u ' < 2
C+(u’) maliyetinin [ 1 , χ(2) [ , [ χ(2) , χ(4) [ ve [ χ(4) , 2 [ aralıklarında
değerleri hesaplanmalıdır. Örneğin üçüncü aralıktan :
 12 2 ⋅ 2u '   4 2u '  10
C + ( u ') = 
+
+
+
= + 3u '
2   u ' 2  u '
 2u '
u’ e göre türev alınıp sıfıra eşitlenirse, −
10
+ 3 = 0 ⇒ u' =
u '2
10
≈ 1,826
3
elde edilir. Yani en uygun sipariş periyodu (u’)* = 1,826 ve buna karşılık gelen
maliyet değeri C + * = C + ( u '*) =
sonuç
gevşek
problemde
10
10
+ 3u ' =
+ 3 ⋅ 1,826 = 10,954 elde edilir. Bu
u'
1,826
elde
C + * C − = 10,954 10,928 ≈ 1,002
edilen
optimum
sonuçla
karşılaştırılırsa,
oranının öngörülen maksimum % 98 hata
payından çok daha iyi bir sonuç elde edildiği görülür.
3.4.5 Yorumlar
Sonuç olarak, kademeli seri sistemlerde optimum çözümün doğrudan elde
edilmesi oldukça zor olduğundan, sistem önce gevşek problem şeklinde çözülür,
daha sonra da çözümler yuvarlatılarak optimum çözüm olmasa da, oldukça yakın bir
çözüm elde edilebilir. Bu yolla elde edilen çözüm en kötü durumda bile, temel
periyot kullanımı ile % 6, temel periyot kullanılmadığı durumda ise % 2 gibi kabul
edilebilir bir hata içerir.
Bu politikanın, şimdiye kadar ele alındığı şekliyle merkezi bir denetim ve
eşgüdüm ile yürütülmesi gerektiği öngörülmektedir; tüm sistemde gerçekleştirilen
etkinlikler zamanlama açısından eşgüdümle yürütülmelidir. Aynı kademe içindeki
142
tüm aşamalar için siparişler aynı anda verilmelidir, ayrıca kademelerle ilgili siparişler
de hepsi birden olmasa da eşzamanlı olarak ve eşit aralıklarla verilmelidir. Bununla
birlikte, politikanın merkezi kontrol minimum olacak şekilde yönetilmesi de olasıdır.
Gruplar içindeki tüm aşamalar için siparişler aynı anda verildiklerinden, aynı grup
içindeki tüm aşamaların anında işlenerek bir sonraki aşamaya gönderildiği
varsayıldığından her grubun sadece son aşamasında stok oluştuğu kabul edilir. Bu
sebeple sadece gruplar arasındaki mal akışının denetlenmesi yeterlidir. Her grubun
kendi stokları için ESM benzeri bir politika izlediği düşünülürse, son NJ grubu u+(J)
aralıklarla q+(J) = d. u+(J) miktarda sipariş vermekte ve bu siparişi bir önceki Nprev(J)
grubuna iletmektedir. Nprev(J) grubu da sanki bu harici bir siparişmiş gibi bunu NJ
grubuna ileterek aynı zamanda da öncelleri Npev(prev(J)) gruplarına sipariş verir. Nprev(J)
grupları gerçek anlamda q+(prev(J)) = d. u+(prev(J)) miktarda sipariş vermelidir.
Sistem
içindeki
q + ( prev ( J ) )
q+ ( J )
=
birimler
u + ( prev ( J ) )
u+ ( J )
cinsinden
ise
Nprev(J)
bu
miktarı
tamsayısı şeklinde yorumlar ve tek kalemli ESM
modeline benzer şekilde işlem gerçekleştirir. Tüm diğer gruplar da aynı şekilde
davranacaklardır. Sonuçta, her grup kendi stokları için bu şekilde hareket ederek,
gerçek anlamda merkezi bir kontrola gereksinim kalmadan tüm sistem içindeki
işlemler gerçekleştirilebilecektir.
Politika, ESM modelindeki gibi, kullanma kolaylığı açısından bazı
durumlarda miktar, bazı durumlarda sipariş periyotları cinsinden belirlenebilir.
Modelin duyarlılığına gelince, gevşek problemden elde edilen C– sipariş maliyeti, N*
optimum bölüntü olmak üzere,
C− = ∑
2 ⋅ k ( N m ) ⋅ g ( N m ) dir.
(3.20)
m
(3.16)
ve
(3.17)
şartları
incelenirse,
d
talebi
değiştiğinde
N*‘ın
değişmeyeceği anlaşılır. Sadece C– maliyet tahminindeki terimler, dolayısıyla C–‘nin
kendisi de
d ile orantılı olarak değişecektir.
Benzer şekilde u*(m), 1
d orantılı olarak değişir;
u * (m)
oranı ise
u * ( next ( m ) )
talep değişiminden bağımsızdır. Buna bağlı olarak, tam olmasa da u+(m) yaklaşık
143
olarak 1
d ile orantılıdır; dolayısıyla,
u+ ( m)
oranı sabit kalmamakla
u + ( next ( m ) )
birlikte değişimi oldukça sınırlıdır.
Maliyet parametrelerinin değişimi de doğal olarak C– ‘yi etkileyecektir.
Bunlar,
bağımsız
unsurlarda
olduğu
gibi
k j = κ ⋅ w j ve h j = η ⋅ c j
şeklinde
değişiyorlarsa, wj ve cj’in sabit kaldığı, sadece κ ve η’nın değiştiği durumlarda C–,
κ ⋅η ile orantılı olacaktır. Bu durumda yine cS–wF grafiğinden yararlanmak
mümkündür. Gevşek problem için w ( N m ) = ∑ j∈N w j
m
ve c ( N m ) = ∑ j∈N c j
m
olmak üzere w ve c büyüklükleri,
cd = ∑ m d ⋅ c ( N m ) = d ⋅ ∑ j c j
 c ( Nm ) ⋅ d

w = ∑m 
⋅ w ( N m )
 cd

∑
m
J* = 
w( Nm ) ⋅ c ( Nm ) ⋅ d 

w ⋅ cd
2
olarak yeniden tanımlanır.
144
3.5
Kademeli Ağaç Sistemler için Stok Modelleri
3.5.1 Ağ Şebeke Yapısı ve Varsayımlar
Kademeli montaj, dağıtım, ağaç ve karma modeller seri sistemlere kıyasla
daha karmaşık sistemlerdir. Bununla birlikte, seri sistemler için oluşturulan çözüm
yöntemleri, bazı düzenlemelerle montaj, dağıtım ve ağaç sistemler için de
kullanılabilir. Ancak, karma sistemler için daha katı bir takım sınırlamalar, daha
karmaşık analiz yöntemleri ve simgelem gerekeceğinden bu bölümde esas olarak
montaj ve dağıtım amaçlı kademeli sistemler ile ağaç sistemler ele alınacaktır.
Öncelikle
kademeli
sistemler
(N,A)
sıralı
ikilileri
ile
betimlenen
yönlendirilmiş diyagramlar şeklinde gösterilecektir. Bu diyagramlarda N düğümleri
unsurları, A okları tedarik–talep veya giriş–çıkış ilişkilerini gösterecektir. i'den j’ye
giden ve ( i, j ) ∈ A sıralı ikilisi ile gösterilen bir ok, i unsurunun bir kısmının j
unsurunun tedarikinde veya onu üretmek için kullanıldığı anlamındadır. Farklı i ler
için gösterilen ( i, j ) ∈ A bağıntıları ise j’nin tedarikinde bu i unsurlarının tamamı
kullanılıyor anlamındadır. Diyagramdaki unsurlar daima birbirleri ile bağıntılıdır,
herhangi bir unsur veya grup birbirlerinden bağımsız olamaz ve bir unsur dolaylı
veya dolaysız olarak kendinin yapılması için kullanılmaz. ( i, j ) ∈ A sıralı ikililerinde
i, j’nin önceli ve j, i’nin ardılı olarak adlandırılır.
Pre(j) = j’nin öncelerinin kümesi
Suc(i) = i’nin ardıllarının kümesi
Başlangıç unsuru önceli, son unsur ise ardılı olmayan bir unsurdur. Bir
montaj sisteminde J ile gösterilen bir tek son unsur ve her i < J unsurunun bir tek
ardılı vardır; bir unsurun birden fazla önceli olabilir. Bir dağıtım sisteminde ise 1 ile
gösterilen bir tek başlangıç unsuru ve her j > 1 unsurunun bir tek önceli vardır; bir
unsurun birden fazla ardılı olabilir. Ağaç sistemlerin yapısı biraz daha karmaşıktır :
İki düğüm noktasını birleştiren bir tek ok yani bağıntı vardır, bir unsurun birden fazla
önceli ve ardılı olabilir.
145
Seri sistemlerde olduğu gibi burada da sabit sipariş maliyetleri kj, elde
bulundurma maliyetleri h’j ve bir t anındaki yerel stoklar S’j(t) ile gösterilecektir. Bir
j.inci unsura olan talep d’j olarak ifade edilecektir. Sadece son unsur için d’j > 0
olabilir. Eğer herhangi başka bir unsur için d’j > 0 ise, ağ şebekeye sanal bir j”
unsuru eklenir; bu unsur için sıralı ikili ( j , j ") ∈ A , kj” = 0, h’j” = h’j ve d’j = 0
yapacak şekilde d’j” = d’j olacaktır.
Diğer önemli bir parametre de tedarik süreleridir. Gerçek durumda, montaj
sistemlerinde üretim, montaj, iş istasyonları arasında taşıma, partiler halinde imalat
gibi faaliyetler için geçen süreler, dağıtım sistemlerinde depolar arasındaki nakliye
süreleri gibi nedenlerden farklı aşamalar arasında anında mal teslimatı yapılamaz. Bir
model oluştururken bu sürelerin de dikkate alınması gereklidir. Genel anlamda bir
kademeli sistemde iki düğüm arasındaki her (i, j) bağıntısı için L’i j, ve her başlangıç
unsuru için de L’j ile gösterilen ve pozitif büyüklükler olan tedarik süreleri söz
konusudur. Buna göre, bir t anında tamamlanması istenen bir parti j unsuru için
gerekli miktarda i unsurunun t – L’ij anında sevkedilmesi gerekir. Eğer j’nin öncelleri
birden fazla ise her i ∈ Pre ( j ) için böyle olmalıdır; L’ij’ler farklı olduğunda ise her j
unsuru için değişik unsurların farklı zamanlarda sipariş edilmesi fiilen fazla anlamlı
olamayacaktır. Sipariş zamanlarından ziyade sipariş edilmiş olan unsurların giriş ve
çıkış anlarını bilmek, S’j(t) de buna bağlı olduğundan, daha önemlidir. Hatta daha da
elverişlisi tedarik sürelerinin sıfır olacağı eşdeğer bir sistemin bulunmasıdır. Bu ağaç
sistemler için gerçekleştirilebilir bir durumdur.
Örneğin bir montaj sistemi için, seri sistemlerdeki ileri doğru kademe tedarik
−
süresi kavramına benzer şekilde Li , i unsurundan J’ye kadar olan aşamalar için
−
tedarik süresi olsun. Dışarıya tedarik süresinin sıfır ( L J = 0 ) olduğu bir sistemde
−
i.inci unsurla ilgili her siparişin giriş ve çıkış zamanları Li kadar geriye kaydırmak
yeterli olacaktır. Bu durum, Şekil 3-16‘deki gibi bir diyagram çizilerek daha açıkça
görülebilir. Burada yatay ve L’i j tedarik süresi ile orantılı olarak tüm (i, j) okları
−
çizilir. Bu diyagramda i unsurundan J’ye kadar olan uzunluk Li süresini verir. Buna
göre, örneğin 5 no.lu unsurun t anında teslim edilmesi isteniyorsa, 3 no.lu unsurla
146
−
−
ilgili olaylar t − L3 anında ( L3 = L '35 ) gerçekleştirilmelidir. 2 no.lu unsur için ise,
−
−
L 2 = L '24 + L '45 olup, bu unsurla ilgili olaylar t − L 2 anında yerine getirilmelidirler.
3
L’35
5
2
L’24
4
1
L’45
L’14
Şekil 3-16. Tedarik süreli kademeli bir montaj sistemi
6
L’36
3
5
L’13
L’35
2
L’12
4
1
L’14
Şekil 3-17. Tedarik süreli kademeli bir dağıtım sistemi
Kademeli dağıtım sistemleri de benzer şekilde ele alınabilir. Şekil 3-17’da 6
aşamalı bir dağıtım sistemi için diyagram örneği verilmiştir. Yukarıdakine benzer
şekilde, ancak bu sefer L−j , 1’den j’ye kadar oklarla gösterilen tedarik süreleri olsun.
147
Bu durumda unsurlar,
J no.lu unsur en büyük L−j değerini alacak şekilde
−
numaralandırılırsa, j’den J’ye geçen süre L j = L−J − L−j olacak ve j’ye ilgilendiren
tüm etkinlikler zaman içinde L−j kadar geri çekilecektir.
Benzer yöntem kademeli ağaç sistemler için de uygulanabilir. Burada zaman
kaymalarının hesabı daha karmaşık olmakla birlikte ana kavram yine aynıdır. Şekil
3-18‘de 6 aşamalı böyle bir sisteme ait diyagram örneği verilmektedir.
6
L’36
3
L’35
5
2
L’24
L’45
4
1
L’14
Şekil 3-18. Tedarik süreli kademeli bir ağaç sistem
Ancak, bu yaklaşım genelleştirilmiş karma sistemler için kullanılamaz.
Örneğin, Şekil 3-19’deki gibi bir sistemde 1 ile 5 arasında farklı iki yol mevcuttur ve
bunların toplam süreleri birbirlerinden farklıdır (Şekilde kesik çizgiler ile gösterilen
kısım). Böyle bir sistemde daha uzun tedarik süresine ait 1-4-5 yolu seçilebilir;
ancak, bu durumda 3 düğümünü ikmal etmek için sipariş edilen unsur 1 düğümünde
birikecektir. Bu ise, sıfır stoklu modele kıyasla daha fazla elde bulundurma maliyeti
anlamına geldiğinden, böyle bir sistem için toplam maliyet daha fazla olacaktır.
Yukarıda açıklanan yöntem, pratikte gerçekleşmesi çok ender olmakla birlikte, ancak
tedarik sürelerinin dengelenmiş olduğu, dğer bir deyişle örneğin şekildeki sistemde
L '13 + L '35 = L '14 + L '45 olduğu durumlarda kullanılabilir.
148
6
L’36
3
L’13
L’35
5
2
L’24
L’45
4
1
L’14
Şekil 3-19. Tedarik süreli kademeli bir karma sistem
Buraya kadar izlenen yöntemde bir j unsurunu yapmak için hangi Pre(j)
unsurlarının kullanıldığı tayin edilmekte, ancak bunların miktarları gözönüne
alınmamakta daha doğrusu hem ürün hem bileşenleri bir birimmiş gibi kabul
edilmektedirler. Buna uygun olarak, 3.4.1 varsayımlar bölümünde söylendiği şekilde,
bir ağaç sistem de bir birim j unsurunun yapılması için her i ∈ Pr e ( j ) unsurundan
bir birim kullanıldığı bir modele dönüştürülebilir. Bu amaçla, J unsurundan
başlanarak geriye doğru giderek kullanılan miktarlarla uyumlu birim tanımları yapılır
ve bunlara koşut olarak h’j ile d’j parametreleri de düzeltilerek bire bir model
oluşturulabilir.87 Genel sistemlerde ise, yine unsurlar arasında farklı yollar olduğu
için, bu tarz bir sadeleştirme yapılamaz; oluşturulacak modelde kullanılan unsurların
miktarlarının açık olarak belirtilme zorunluluğu vardır.
Tedarik süreleri ve bileşen miktarları için yukarıda izah edilen şekilde
sadeleştirmeler yapıldıktan sonra artık tüm L 'ij ve L ' j tedarik süreleri sıfır, miktarlar
da bire bir alınarak analize devam edilebilir.
87
Langenhoff, L.G.J. ve Zijm, W.H.M. “An Analytical Theory of Multi-Echelon Production
/ Distribution Systems” Statistica Neerlandica, 44 (1990) Nr.3, s.149-174.
149
3.5.2 Kademeler ve Kademe Stokları
Bir i kademesi, i unsuru ile i unsurunun yapımlarına doğrudan veya dolaylı
olarak katıldığı ardılları ve onların da ardılları şeklinde tanımlanır. Buna göre bir i
unsurunun stoğu i.inci kademenin tüm stoğu ve talep miktarı i.inci kademedeki tüm
unsurlara olan talep şeklinde ele alınır.
i.inci kademe stoğu
: Si ( t ) = S 'i ( t ) + ∑ j∈Suc ( i ) S j ( t )
i.inci kademe talebi
: d i = d 'i + ∑ j∈Suc ( i ) d j
j.inci kademe elde bulundurma maliyeti
: h j = h ' j − ∑ i∈Pre( j ) h 'i
Seri sistemlerde görüldüğü gibi kademe stokları ile işlem yapmak yerel
stokları kullanmaktan daha kolaydır. Burada da, sipariş girişleri hariç Sj(t) doğrusal
olarak dj eğimi ile azalmakta ve bir t anında toplam elde bulundurma maliyeti
J
J
∑ h ' ⋅ S ' (t ) = ∑ h
j
j =1
j
j
⋅ S j ( t ) olacaktır.
j =1
3.5.3 Politika Özellikleri
Ağaç sistemler için sıfır stoklu politikalar yine baskındır. Buna karşılık sabit
sipariş aralıklı politikalar mutlaka en iyi çözümü vermeyebilirler. Bununla birlikte,
elde edilen çözümler yeterince tatminkar olduklarından yine de kullanılabilirler.
Diğer taraftan daha önce de tanımlandığı gibi, yuvalanmış politika bir i.inci elemana
ait siparişin i’nin ardıllarının siparişlerini tetikleyen bir politika olarak tanımlanır.
Seri sistemlere benzer şekilde, kademeli montaj sistemi için, yuvalanmış politika
diğer tüm politikalardan iyidir. Ancak, diğer ağaç sistemler için her zaman böyle
değildir. Örneğin 1 numaralı ana depodan 2 perakendeciye (2 ve 3 numaralı) sevkiyat
yapılan en basit dağıtım sistemi ele alınsın. Burada d2 = d3, elde bulundurma
maliyetleri eşit ve k1 = k2 << k3 olduğu varsayılsın. Bu durumda 1 ve 2 unsurlarını
sıkça ancak 3 no.lu unsuru daha uzun aralıklarla sipariş etmek daha doğru
olacağından politika yuvalanmış değildir. Eğer yuvalanmış bir politika izlenseydi, ya
sık sipariş vermekten dolayı göreceli olarak yüksek olan k3 daha sık oluşacak, ya da
daha uzun aralıklı sipariş vermekten dolayı 1 ve 2 için elde bulundurma maliyeti
150
artacağından yuvalanmış politika bu durumda optimum çözümü veremeyecekti.
Bununla birlikte bazı durumlarda, sadece uygulanması daha kolay olduğu için,
yuvalanmış politikaları tercih etme zorunluluğu ortaya çıkar.
Şimdi yuvalanmış bir ağaç sistem gözönüne alınsın. Bir u politikası için
ortalama
sipariş
maliyeti
J k
 J k

1
1
C (u ) = ∑  j + ⋅ hj ⋅ d j ⋅ u j  = ∑  j + ⋅ g j ⋅ u j 
j =1 
uj 2
 j =1  u j 2

olacaktır. En uygun politikayı belirleme problemi ise daha öncekilere benzer şekilde
aşağıdaki gibi yazılacaktır :
Min. C ( u ) 
Kısıtlar :
ui = ξij ⋅ u j
( i, j ) ∈ A ve ξij ∈ (3.21)
3.5.4 Gevşek Problem
Seri sistemlere benzer şekilde gevşek problem şöyle tanımlanabilir :
C − = Min C ( u ) 
Kısıtlar : ui > u j
( i, j ) ∈ A
(3.22)
C– en düşük maliyetli yuvalanmış politikadır. ui = uj olacak şekilde Au, A’nın
bir alt kümesi olmak üzere, gevşek problem aşağıdaki gibi yazılabilir :
Min C ( u ) 
Kısıtlar : ui = u j
( i, j ) ∈ Au
(3.23)
Şimdi amaç, en uygun Au alt kümesinin belirlenmesidir. Bu problemin
çözümü aynı zamanda (3.22)’in de çözümü olacaktır. Burada da, her Au alt kümesi
N’nin bir N bölüntüsünü betimler. Ağ şebekedeki Au alt kümesine ait olanlar hariç
diğer oklar kaldırılırsa elde edilen alt şebekedeki düğümler Nm grupları oluşturur;
bunları birbirlerine bağlayan oklar da Am ile temsil edilsin. Bu durum Şekil 3-20‘da
gösterilmektedir. Oluşturulan her (Nm, Am) alt şebekesi kendi içinde, ana sistem ile
aynı karakterli bir ağaç sistemdir. Gruplar da bir gruplar ağı oluştururlar. N
düğümleri grupların indisleri (m), A okları da ( i, j ) ∈ A | i ∈ N m ∧ j ∈ N n şeklinde
(m,n) sıralı ikilileridir. Bu (i, j) ikilileri diğer bir ifade ile A – Au kümesi olup, her
( m, n ) ∈ A
için Nm’yi Nn’ye bağlayan bir tane özgün (i, j) oku vardır.
151
N3
N1
1
2
3
N6
4
5
6
7
N7
Şekil 3-20. Ağaç sistemlerde gruplar
(3.23)’ün çözümü seri sistemlere benzer şekilde,
u (m) =
u j = u ( m)
2 ⋅ π ( Nm )
m∈ N
j ∈ Nm
dir.
(3.24)
Yapılabilirlik şartı ise yine, π ( N m ) ≥ π ( N n )
( m, n ) ∈ A
(3.25)
Bir grubu ikiye ayırmak ise, ilgili alt şebekedeki bazı okları veya Au’dan bir
(i, j) okunu kaldırmak demektir. Bu işlem ile i ve j unsurlarını içeren bir Nm grubu
(Nm– , Nm+) ikililerine ayrılır; (i, j) ikilisi ise Nm– ‘den Nm+ ‘ya yoluna işaret eder.
Optimumluk şartı burada da, π ( N m− ) ≤ π ( N m+ ) dır.
(3.26)
Bu iki şart, elde edilen çözümün optimum olması için gerek ve yeter
şartlardır. İkinci şart farklı bir şekilde, γ ( N , N
−
m
+
m
( )
) = π ( N ) − h ( N ) ⋅ d ( N ) olarak
k N m+
+
m
+
m
m
da yazılabilir. γ ( N m− , N m+ ) terimi (Nm– , Nm+) kesitinin net kapasitesi olarak
adlandırılır.88
Optimum bölüntüyü elde etmek için çeşitli yöntemler vardır. Bunlardan biri
aşağıda verilmiştir. İşleme tüm unsurlar tek bir grup olarak ele alınarak başlanır, yani
N = {N} dir. Daha sonra bu grup, (3.26) bağıntısı ile uyuşmayan kesitler alınarak,
88
152
daha küçük gruplara ayrılır. Örneğin M olası bir grup ve B bunun unsurlarını
birleştiren bağıntılar olsun; yani, (M,B), (N,A)’nın bir alt ağaç şebekesi olacaktır.89
“ Procedure Tree_Relaxed (M,B)
If M = 1
( yani, B = ∅)
Set γ * = 0 and STOP
Else,
(
)
{(
Set γ * = γ M *− , M *+ = min γ M − , M +
)}
If γ * < 0,
Call Procedure Tree_Relaxed (M*–, B*–)
Call Procedure Tree_Relaxed (M*+, B*+) “
Algoritma bu işlemi (M,B) = (N,A) oluncaya kadar sürdürür. Elde edilen son
bölüntü (N*), γ* ≥ 0 olan M gruplarından oluşur. İşlem (3.25) yapılabilirlik şartını
gerçeklemek amacıyla minimum net kapasiteli kesitleri kullanır.
Gevşek problemin çözümü elde edildikten sonra, artık seri sistemlerde
kullanılan yuvarlatma yöntemleri ile yapılabilir bir politika oluşturulur. (3.18) ve
(3.19)’daki hata sınırları burada da aynen geçerlidir. Bu yolla, yuvalanmış
sistemlerin çözümü için gerekli tüm bilgiler elde mevcuttur ve montaj sistemleri de
yuvalanmış sistemler olduklarından bunların çözümleri için kabul edilebilir sınırlar
dahilinde uygun çözümler bulunabilir.
89
153
3.5.5 Yapılabilir Politika Oluşturma
Gevşek problemin çözümü elde edildikten sonra, seri sistemlerde yapıldığı
gibi bu çözümler yuvarlatılarak yapılabilir çözümler elde edilir. Özellikle montaj
sistemleri yuvalanmış sistemler olduklarından elde edilmiş olan analiz yöntemleri
bunlar için kullanılabilir.
Dağıtım sistemleri ve genel anlamda ağaç sistemler ise yuvalanmamış
sistemler olduklarından bu yöntemler doğrudan uygulanamaz. Bunlarla ilgili
izlenmesi gereken yol Şekil 3-21’de gösterilen 1 depo ve 2 perakendeciden oluşan en
basit dağıtım sistemi için ele alınarak belirlenmeye çalışılacaktır.
2
1
3
Şekil 3-21. 1 depo ve 2 perakendeciden oluşan dağıtım sistemi
Sıfır stoklu, sabit sipariş aralıklı ve yuvalanmamış böyle bir sistem gözönüne
alınsın. Burada sabit sipariş maliyetleri ile 2 ve 3 numaralı unsurlar için elde
bulundurma kademe maliyeti terimleri, daha önce tanımlanmış olan C(u) ortalama
maliyet fonksiyonunda yeralanlarla aynıdır. Ancak, 1 unsuru için elde bulundurma
maliyeti biraz farklı olacaktır. 1 unsurunda stok hareketleri düşünülürse, 1
unsurundaki her birimin ya 2, ya da 3 düğümüne gideceği açıktır. 1 unsurundaki
birimlerin hangi perakendecilere gideceklerine bu unsurlar stoğa girdikleri an karar
verildiği ve bunların gidecekleri perakendecilere göre iki farklı depoda tutulduğu
varsayılsın. Bu stokların hesabını izlemek için 1 düğümünün Şekil 3-22‘de
gösterildiği gibi 12 ve 13 şeklinde iki sanal düğüme (depoya) bölündüğü kabul
edilsin. Bu sistem genişletilmiş ağ şebeke sistemi olarak adlandırılır.
154
12
2
1
13
3
Şekil 3-22. 2 perakendecili dağıtım sistemi için genişletilmiş ağ şebeke
Elde edilen bu yeni durum bir ağaç sistemdir. Bu durum genelleştirilerek,
j = 1,2, ..., J düğümlü bir sistem için 1 unsurunda her j düğümü için tahsis edilmiş
birimlerin stoklandığı 1j sanal düğümleri oluşturulsun. İzlenen politika sabit sipariş
aralıklı olduğundan tüm sevkiyatlar da düzenli aralıklarla (u1j) yapılacaktır. Ayrıca, j
düğümü için tahsis edilmiş birimlerin sanal 1j düğümüne sevkedilmesi 1j’den j
düğümüne sevkiyatı tetikleyecektir. Bu şekliyle sistem tanım gereği yuvalanmış bir
politikadır. Dolayısıyla, u1j değeri uj’nin tam katı ve u1j unsurunun ortalama kademe
stoğu S 1 j =
d1 j ⋅ u1 j
2
=
d j ⋅ u1 j
2
olur. 1.inci unsurun özgün kademe stoğu bu stokların
toplamı olacaktır. S 1 = S 12 + S 13 =
S1 =
1 J
⋅ ∑ ( d j ⋅ u1 j )
2 j=2
dir.
1
1
⋅ ( d 2 ⋅ u12 + d3 ⋅ u13 ) veya genelleştirilmiş hali ile
2
unsuru
için
elde
bulundurma
maliyeti
ise,
1
1
⋅ ( h12 ⋅ d12 ⋅ u12 + h13 ⋅ d13 ⋅ u13 ) = ⋅ ( h1 ⋅ d 2 ⋅ u12 + h1 ⋅ d3 ⋅ u13 ) veya genelleştirilmiş hali
2
2
ile
1 J
⋅ ∑ ( h1 ⋅ d j ⋅ u1 j ) dir. Bu maliyet C(u) ifadesindeki ile aynı yapıdadır.
2 j =2
Diğer taraftan, 12, 13 düğümleri veya her ikisine birden sipariş girişi
olduğunda bir k1 sabit sipariş maliyeti oluşur. Eğer doğrudan k1j = k1 alınırsa aynı
anda her iki sanal depoya giriş olduğunda sabit sipariş maliyeti gerçeğin iki katı
olarak hesaba katılmış olur. Bunun yerine tüm k1j = 0 alınır ve sadece 1 no.lu depoya
mal girişleri dikkate alınarak sabit sipariş maliyeti k1 / u1 olarak hesaba dahil edilir.
Stok hareketleri ve elde bulundurma maliyetlerinin hesabında zaten d1j veya dj
155
kullanılmış olduklarından d1 = 0 olmalı, yani 1 düğümüne yapılan sevkiyatlar sadece
mantıksal sevkiyatlar olarak değerlendirilmelidir. Sonuç olarak, genişletilmiş ağ
şebeke (yuvalanmış) özgün şebekeye tam anlamıyla eşdeğerdir. Özgün sistem
yuvalanmamış olsa da, bu yaklaşımla yuvalanmış sistemler için oluşturulan maliyet
ve çözüm yöntemleri olduğu gibi, hata oranları da aynı kalmak üzere burada da
kullanılabilir. Benzer yaklaşım ağaç ağ şebekeler için de yapılabilir.
Sonuçta, özgün sistem için sabit sipariş aralıklı bir politika elde edilir. Ancak
özgün sistem yuvalanmamış olduğundan sipariş miktarlarının sabit olması gerekmez.
Örneğin yukarıdaki iki perakendecili sistemde u2+ = u1+ ve u3+ = 2.u1+ olduğu
varsayılırsa, 1 no.lu unsurun sipariş miktarları bir seferinde d2. u2+, diğer siparişte
d2. u2+ + d3. u3+ olacaktır.
Sistemin eşgüdümü için seri sistemler hakkında 3.4.5 bölümünde yapılan
yorumlar burada da geçerlidir. Montaj sistemlerinde her grup kendi içinde daha
küçük bir montaj sistemi şeklindedir ve her grubun son aşamasında stok tutulur.
Ayrıca, her grup ESM benzeri bir model doğrultusunda işlem yapar ve gruplar
arasındaki iletişim de her grubun gerektiğinde öncellerine sipariş vermek ve
ürettiklerini de ardılı grupların ilgili aşamalarına sevketmek şeklinde, yine en az
merkezi kontrolla yürümesi şeklinde sağlanır. Ağaç sistemlerde işlem biraz daha
karmaşık olmakla birlikte, yine benzer şekilde yerel kontrollarla yürüyebilecek,
oldukça yalın politikalar oluşturulabilir.
Sistemin duyarlılığı konusunda da, seri sistemlerde olduğu gibi maliyet
parametreleri k j = κ ⋅ w j ve h j = η ⋅ c j şeklinde ifade edilebildiklerinde, optimum N*
bölüntüsü κ ve η katsayılarından bağımsız olup, burada da cS–wF eğrisi
kullanılabilir. Toplam maliyet burada da, g j = d j ⋅ h j olmak üzere optimum N*
bölüntüsü için, C − = ∑
2 ⋅ k ( N m ) ⋅ g ( N m ) şeklindedir ve C– yine
d
ile
m
orantılıdır.
156
3.6
Eşgüdümlü Tedarik – Kapsam Ekonomisi
3.6.1 Birleşik İkmal Problemi
Şimdi de, bir cins ürünün farklı noktalarda kullanılması veya aynı yerde
kullanılan çeşitli ürünlerin tedariki gibi, farklı unsurların tedarik açısından birbirleri
ile ilişkili olabildikleri bir yapı ele alınsın.
Bir ürün farklı noktalarda kullanılıyorsa, her kullanım noktasının ayrı ayrı
sipariş vermesi yerine bu siparişler birleştirilebilir. Özellikle aradaki uzaklıklar fazla
olduğunda en azından yolun bir bölümü için siparişlerin birleştirilmesi nakliye
ücretlerinin kısılması, tedarikçinin miktar iskontosu uyguladığı durumlarda
siparişleri birleştirerek birim fiyatlarda iyileşme elde edilmesi veya sabit sipariş
maliyetinin yüksek olduğu durumlarda sipariş maliyetlerinin düşürülmesi gibi
avantajlar sağlayabilir. Diğer taraftan aynı noktaya gelecek farklı ürünler için de, her
ürün için ayrı ayrı sipariş vermektense, satınalınacak ürünlerin birleştirilerek tek bir
sipariş verilmesi benzer avantajları vardır. Örneğin birbirlerine yakın ancak değişik
noktalardan satınalınan ürünler o bölge civarındaki bir noktada birleştirilerek
sevkedildiğinde veya farklı ürünleri değişik araçlarla dağıtmaktansa bunları
birleştirerek dağıtım yapılması durumunda taşıma giderlerinde önemli tasarruf
sağlanabilir. Bu durumlar, birleşik tedarik işlemi kapsam ekonomisi (economies of
scope) sağlar şeklinde adlandırılır. Ölçek ekonomisi (economies of scale) bir üründen
çok miktarda sipariş verilerek bir fayda sağlama şeklinde izah edilebilir; kapsam
ekonomisi ise, burada çeşitli unsurların beraber siparişi gibi, farklı etkinliklerden
ortak bir fayda sağlamaya işaret eder. Diğer taraftan birleşik sipariş işleminin
ortalama stokların artması, kontrol giderlerinin yükselmesi, olağanüstü durumlarda
esnekliğin azalması gibi sakıncaları da vardır.90
Bu tip bir sistem basit olarak şöyle modellenebilir : Sabit sipariş maliyetinin,
tek veya birleştirilmiş olsun, her sipariş için aynı olan k0 gibi bir maliyet ile bir j.inci
90
Scheduling, s. 424
157
unsur için buna özel bir kj maliyetinden oluştuğu varsayılsın. Örneğin 2 farklı ürün
için, 1 ve 2 ürünleri ayrı ayrı sipariş verildiğinde sabit sipariş maliyeti 2k0 + k1 + k2
oluyorsa, bu iki ürün birlikte sipariş edildiğinde k0 + k1 + k2 olacaktır. k0 ana sabit
sipariş maliyeti, kj tali sabit sipariş maliyeti ve bu model de birleşik ikmal problemi
(joint replenishment problem) olarak adlandırılır.91
Tüm unsurlar beraber sipariş edildiğinde her unsur için sipariş aralığı u ve bu
J
durumda toplam sabit sipariş maliyeti k = k0 + ∑ k j , j.inci unsur için elde
j =1
bulundurma maliyeti
g j = hj ⋅ d j
ve toplam elde bulundurma maliyeti ise
J
g = ∑ h j ⋅ d j olacaktır. Buna göre, belirli bir u için ortalama toplam sipariş maliyeti
j =1
C (u ) =
k g ⋅u
+
dir. Bu ise özgün ESM modelindeki maliyet fonksiyonu olup, en
u
2
uygun sipariş periyodu u* =
çözümün
optimum
olduğunu
2 ⋅ k g kolayca elde edilir. Bununla birlikte, bu
söyleyebilmek
mümkün
değildir.
Siparişler
birleştirilmek suretiyle tüm unsurlar için eşit sipariş periyodu kullanarak her unsurun
optimizasyonu esnekliğinden vazgeçilmektedir; özellikle k0‘ın kj ‘lere oranla küçük
olduğu durumlarda siparişlerin birleştirilmesinin fazla anlamlı olmayacağı açıktır.
Bir başka yaklaşım tüm unsurları birleştirmek yerine benzer unsurları
(örneğin kj / gj oranları aynı veya yakın olan unsurlar) gruplandırarak, farklı gruplar
için ayrı ayrı sipariş vermek olabilir. Bu yolla grup içinde kapsam ekonomisine sadık
kalınarak, en azından gruplar arasında bir esneklik sağlanabilir. Grupların sipariş
periyotlarının hesaplanmasında ise DESM modelinde kullanılan işlemsel süreçlerden
yararlanmak mümkündür. Ayrıca, burada ortaya çıkabilecek bazı fırsatların da
gözden uzak tutulmaması gerekir. Örneğin iki grup halinde sipariş verildiği ve ikinci
grup için sipariş periyodunun birincinin 2,1 katı olarak hesaplandığı düşünülsün. Bu
durumda ikinci gruptaki unsurların sipariş periyodu birinci grubun iki katı olarak
yuvarlanarak, birinci grubun her iki siparişinden biri, ikinci grup ile birleştirilerek iki
kez k0 ödemekten kurtulmak mümkün olur. Ancak, çok fazla grup varsa bunun
91
158
sistemli olarak uygulanması kolay değildir. Bunun gerçekleştirilmesi için birleşik
tedarik sistemini, eşdeğer bir dağıtım sistemi ile temsil etmek ve buraya kadar ele
alınan çözüm yöntemlerinden yararlanmak düşünülebilir.
Şimdi, birleştirilen siparişlerin önce k0 maliyetle bir merkez depoya (0 olarak
adlandırılsın), buradan da bekletilmeden her bir j noktası için kj maliyetle olmak
üzere ayrı ayrı son varış noktalarına sevkedildikleri, iki aşamalı bir taşıma senaryosu
düşünülsün. Bu sistem, sonuçta Şekil 3-23’de gösterilen iki aşamalı bir dağıtım
sisteminden başka bir şey değildir; tek fark 0 noktasında hiç stok tutulmamasıdır.
Pratikte bu tip yerler aktarma merkezi (trans-shipment center) olarak adlandırılır. 0
noktasında stok tutulmaması, ancak herhangi bir j son varış noktası sipariş
verdiğinde 0 noktasının da sipariş vermesi ile gerçekleşebilir; diğer bir ifade ile,
model ters–yuvalanmış (anti–nested) bir politikadır. Bu modelde dj, hj ve kj
parametreleri oldukları gibi kullanılacak, 0 unsuru için ise d’0 = 0, sabit maliyet k0 ve
stok tutulmadığı için elde bulundurme maliyeti de h’0 = h0 = 0 olacaktır.
1
2
0
J
Şekil 3-23. Birleşik ikmal sistemine eşdeğer dağıtım sistemi
Şekil 3-23’deki eşdeğer sistem parametreler aynı kalmak üzere tersine
çevrilirse elde edilen bu sefer bir montaj sisteminden başka bir şey olmayacaktır.
Dolayısıyla, özgün ters–yuvalanmış sistem, yuvalanmış bir montaj sistemine benzer
hale dönüştürülmüş olacaktır. Bu sistem ise yukarıda bahsedildiği şekilde
yuvalanmış bir montaj sistemi için oluşturulmuş yöntemlerle analiz edilebilir.
Ayrıca, özgün sistemde tedarik süreleri sözkonusuysa, dağıtım sistemlerinde
159
yapıldığı gibi zaman içinde geriye doğru kaydırmalarla sıfır tedarik süreli bir sisteme
dönüştürülerek çözülür.
Bu durumda N* optimum bölüntüsü oldukça basit bir şekilde elde edilir :
Özgün unsurlar, π ({ j}) = k j g j oranı j ile artacak şekilde numaralandırılır. j ≤ j*
unsurları 0 unsuru ile gruplandırılır ve j > j* unsurları da kendi gruplarını oluşturur.
Sonra, gevşek problem işlemsel süreci uygulanır. N0, 0 unsurunu içeren grup olmak
üzere, önce J daha sonra J – 1 vs. unsurları ayrılarak π ( N 0 − { j}) < π ({ j}) kaldığı
sürece kesit almaya devam edilir. Bu şartın gerçekleşmediği ilk j = j* değerinde
işlem sona erdirilir. Yuvarlama işlemini takiben izlenecek politika elde edilir : j ≤ j*
unsurları beraberce u+(0) periyotla, diğer unsurlar ise u+(0)’ın tam katları periyotlarla
daha büyük partiler halinde sipariş edilmelidirler.
3.7
Değişken Talep Durumunda Stok Modelleri
3.7.1 Özgün Model
Bu bölümde talebin zamanla değiştiği kademeli sistemlerde optimum maliyet
için ne şekilde çözümler üretilebileceği üzerinde durulacaktır. Öncelikle talebin çok
hızlı veya yavaş olarak değiştiği özel durumlar ele alıncak, daha sonra da DESM
modeline benzer şekilde kesikli zaman varsayımı ile çözümler bulunmaya
çalışılacaktır.
Talebin d(t) şeklinde zamanın fonksiyonu olduğu seri kademeli bir sistem
düşünülsün. Bölüm 3.4.5’de sabit talep için ele alındığı gibi optimum N* bölüntüsü
talepten bağımsızdır. Dolayısıyla, değişken talep için aynı bölüntünün kullanılması
uygun olacaktır; diğer bir deyişle her Nm grubunda tüm unsurlar yine beraber sipariş
vereceklerdir. Eğer talep zaman içinde çok az ve / veya çok hızlı değişiyorsa, tek
ürün için ESM modelinde olduğu gibi talep dalgalanmaları ihmal edilebilir.
Dolayısıyla, ortalama d talep miktarı esas alınarak ya u+(m) eşit aralıklarıyla, ya da
d.u+(m) eşit miktarları şeklinde sipariş verilmelidir. d(t) talebinin zaman içinde çok
yavaş olarak değiştiği durumda ise uzun vadeli dalgalanmalar gözönüne alınmadan
mevcut d(t) değeri kullanılarak model oluşturulur. Örneğin, yuvalanmış, sıfır stoklu
160
bir model kullanılıyorsa N1 grubu her sipariş vereceğinde o anki d(t) talebi N1
grubunun bir sonraki siparişine kadar sabit gibi kabul edilerek u+(m) eşit
aralıklarıyla, ya da d(t).u+(m) eşit miktarları olarak sipariş verilir. Bu işlem N1
grubunun sipariş verdiği her dönem için tekrarlanarak her seferinde d(t) esas alınarak
yapılabilir politikalar oluşturulur.
Benzer yaklaşımlar ağaç sistemler için de genelleştirilebilir. Talebin çok az
veya çok hızlı olduğu durumlarda talep dalgalanmaları ihmal edilir. Değişim çok
yavaş olduğunda ise durum biraz farklı ele alınır. Örneğin her j unsuru için talebin
d’j0 gibi sabit bir temel sayı ile d(t)’nin çarpımı ile d ' j ( t ) = d ' j 0 ⋅ d ( t ) ifade
edilebileceği varsayılabilir. Seri sistemlerde olduğu gibi N* bölüntüsü yine talepten
bağımsız olacaktır; sipariş periyotları veya miktarları ise seri sistemlere benzer
şekilde dönemsel olarak hesaplanarak yapılabilir politika oluşturma yoluna gidilir.
Bu özel durumlar dışında talebin herhangi bir şekilde değiştiği ancak
değişimin bilindiği durumlarda problem DESM modeline benzer şekilde çözülür.
Yine, her aşama için bir birim ürün çıktısı elde edebilmek için bir birim hammadde
veya ara ürün girdisinin gerekli olduğu genel bir kademeli sistem gözönüne alınsın.
Burada DESM modelinde olduğu gibi kesikli bir zaman tanımı yapılsın. Modelde
kullanılacak simgeler :92
T
: Plan ufku
t
: Zaman noktaları indeksi (t = 0, 1, ......, T)
d’i(t)
: i unsuruna t anındaki yerel talep
ki(t)
: i unsurunun t anındaki sabit sipariş maliyeti
ci(t)
: i unsurunun t anındaki değişken sipariş maliyeti
h’i(t)
: i unsurunun t anındaki yerel elde bulundurma maliyeti
ki(t)
: i unsurunun t anındaki sabit sipariş maliyeti
xi0
: i unsurunun başlangıçtaki yerel stok seviyesi
Karar değişkenleri :
x'i(t)
: i unsurunun t anındaki yerel stok seviyesi
zi(t)
: i unsurunun t anındaki sipariş miktarı
92
161
ve δ(.) Heaviside fonksiyonu olmak üzere model şöyle olacaktır :
Başlangıç şartları : x 'i ( 0 ) = x 'i 0
i = 1, 2, … , J
(3.27)
x 'i ( t + 1) = x 'i ( t ) + zi ( t ) − d 'i ( t ) − ∑ j∈Suc ( i ) z j ( t )
(3.28)
t = 0, 1, … , T − 1 ; i = 1, 2, … , J
Kısıtlar :
x 'i ( t ) ≥ 0
t = 0, 1, … , T
zi ( t ) ≥ 0
; i = 1, 2, … , J
(3.29)
t = 0, 1, … , T − 1 ; i = 1, 2, … , J
Amaç fonksiyonu :
J
Min.
T −1
J
T
∑ ∑ {k ( t ) ⋅ δ  z (t ) + c ( t ) ⋅ z ( t )} + ∑ ∑ h ' ( t ) ⋅ x ' (t )
i
i
i
i
i
i =1 t = 0
i
(3.30)
i =1 t = 0
(3.28) eşitliği hariç model DESM modeli ile aynıdır. Amaç fonksiyonu,
ν i ( t ) = 1 , zi ( t ) > 0 ise
ν i ( t ) = 0 , zi ( t ) = 0 ise
şeklinde ikili değişkeni kullanılarak doğrusal hale getirilebilir. Ayrıca, Di [ t , T [ ile
i.inci unsur için t’den sonraki birikimli talep betimlenirse, kısıt fonksiyonunun yeni
şekli,
ν i ( t ) ∈ {0,1}
zi ( t ) ≤ Di [t , T [ ⋅ν i ( t )
t = 0, 1, … , T − 1 ; i = 1, 2, … , J
(3.31)
ve amaç fonksiyonu,
J
Min.
T −1
J
T
∑ ∑ k ( t ) ⋅ν ( t ) + c ( t ) ⋅ z (t ) + ∑ ∑ h ' (t ) ⋅ x ' ( t )
i
i =1 t = 0
i
i
i
i
i
(3.32)
i =1 t = 0
şeklinde düzenlenerek, problem tamsayılı doğrusal bir programa dönüştürülür.
Optimum veya yakın çözümler elde etmek için problem tamsayılı doğrusal
programlama yöntemi kullanılarak çözülmelidir. Optimum çözümün sıfır stoklu
çözüm olduğu Veinott tarafından 1969’da gösterilmiştir. Ayrıca, Crowston ve
Wagner, Afentakis, Rossling, Zangwill ve Love gibi araştırmacılar tamsayılı
doğrusal programlama çözümleri için yöntem ve işlemsel süreçler üzerinde
çalışmışlardır. Bunun yanısıra bazı sezgisel yöntemler de mevcuttur. MRP (Material
Requirement Planning) için uygulanan yöntem bunlardan biridir. Ayrıca Graves
162
(1981), Blackburn ve Millen (1982), Heinrich ve Schneeweiss (1986) ile Roundy
(1993) bazı alternatif sezgisel yöntemler önermişlerdir. Bunlardan özellikle Roundy
tarafından önerilen bir model oldukça ilginçtir. Burada sabit talepli ve parametreli
model için optimum N* bölüntüsü ile gruplar elde edilmekte, değişken talep modeli
için de aynı gruplardaki unsurları da beraber sipariş vermeye zorlamaktadır. Böylece
modelde artık aşamaların yerini gruplar almaktadır. Daha sonra bu grupların seri
olarak yer aldıkları benzer bir sistem elde ederek aşağıda açıklanan işlemsel süreç
kullanılarak çözüm elde edilmektedir. Roundy bu şekilde elde edilen modelde
maliyetin, optimum çözümün maliyetinden maksimum % 44 daha fazla olacağını
ispatlamıştır; bununla birlikte, uygulamada elde edilen sonuçların bundan çok daha
iyi oldukları gözlenmiştir.
Seri sistemler için uygulanacak işlemsel sürecin ana fikri kademe elde
bulundurma maliyetleri hi ( t ) = h 'i ( t ) − h 'i −1 ( t )
ve birikimli kademe talepleri
Di [t , u[ = DJ [t , u[ büyüklüklerini kullanarak her j için k J [t , u[ maliyetlerini ESM
için bulunan (2.54) bağıntısını kullanarak hesaplamak olarak özetlenebilir. j’den J’ye
kadar aşamalar için ve s anından t ufkuna kadar (0 ≤ s < t ≤ T) sistemin optimum
maliyeti Vj (s,t)
ile gösterilsin. Bu değerler, j = J ‘den başlayıp geriye doğru
gidilerek özyinelemeli olarak, VJ +1 ( s, t ) = 0 olmak üzere ve V j +1 ( s, t ) ’ler belli iken,
k +j [t , u[ = k j [t , u[ + V j +1 ( t , u ) şeklinde hesaplanır.
Şekil 2-11’deki gibi bir ağ şebeke diyagramı çizilip, s < t olmak üzere tüm
olası (s,t) yolları için Vj (s,t) minimum maliyetler belirlenir. Bu yollardan en düşük
maliyetli olanlar izlenerek 1’den T’ye gidildiğinde geçilen düğümler optimum sipariş
zamanlarını verir. Bu şekilde, j = 1 için V1 (0,T), j = 2 için V2 (0,T) vs. değerleri
belirlenir. Burada temel fikir kademe maliyetini hesaplamaktır : j.inci aşama için bir
(t,u) okunun seçilmesinin anlamı, t’den (u – 1)‘e kadar zaman süresini kapsayacak
bir periyot için t anında sipariş vermek demektir. Örneğin kj[ t , u [ maliyeti, j + 1
veya bunun ötesindeki aşamalarda ne olduğunu gözönüne almadan, ilgili sabit sipariş
maliyeti ile j.inci kademenin elde bulundurma maliyetini kapsayacaktır. V j +1 ( t , u ) ,
aynı zaman aralığında, yuvalanmış bir politika kullanarak ileri aşamalar için
163
takınılması gereken en uygun davranışı temsil eder. Dolayısıyla k +j [t , u[ da (t,u)
bağıntısını seçmenin toplam maliyetinin ölçüsüdür.
Diğer taraftan, gerçek sistemler için, örneğin i.inci unsuru j ∈ Suc ( i ) ’ye
aktarmak için L’ij > 0 tedarik süresine gereksinim olduğu düşünülsün. Bu durumda j
unsurunu t anında oluşturmak için her i unsurunun stoğunu t – L’ij kadar geri çekmek
gerekir. Ayrıca, başlangıç unsuru için de L’j tedarik süresi sözkonusudur; özgün
modelde bu süre L’ij = 1 ve L’j = 1 dir. Bu tedarik sürelerini modele dahil etmenin
çeşitli yolları vardır. zi(t) siparişinin (t+1) anından önce stoğa girdiği varsayılsın.
(3.28) bağıntısı,
x 'i ( t + 1) = x 'i ( t ) + zi ( t ) − d 'i ( t ) − ∑ j∈Suc ( i ) z j ( t + L 'ij − 1)
(3.33)
t = 0, 1, … , T − 1 ; i = 1, 2, … , J
şeklinde yazılır. Başlangıç şartı da uygun olarak düzenlenir. Örneğin iki aşamalı seri
bir sistem için L’1 = 3, L’12 = 2 olsun. Başlangıç şartları z1(t) için t < L’1 – 1 = 2 ve
z2(t) için t < L’2 – 1 = 1, t = 0 anından önce belirlenmiş ve sabit değerlerdir.
Dolayısıyla, başlangıç şartları, z1(0) = z1,0 , z2(0) = z2,0 , z1(1) = z1,1 şeklinde belirli
değerlerdir. Yukarıdaki bağıntıda i = 1 ve t = T –1 için z2(T) gibi modelde yer
almayan bir değişken vardır. Bu değişken ya hiç dikkate alınmayabilir, ya z2(T) = 0
olarak son şart olarak konulabilir, ya da plan ufku sadece ikinci aşama için (T + 1)‘e
kadar uzatılır.
Son olarak, unsurlar arasındaki transit stoklarının elde bulundurma maliyeti
için bir düzenleme yapılmalıdır. Bir i.inci unsurun j.inci unsur haline gelmesi için
zamanın fonksiyonu olan h’i(t) maliyeti oluştuğu varsayılsın. Bu terim amaç
fonksiyonuna h 'i ( t ) ⋅ z j ( u ) , j ∈ Suc ( i ) , t ≤ u < t + L!ij − 1 olarak eklenmelidir. Yani,
her cj(t) terimine
∑
t
i∈Pr ev ( j )
∑
… + 2 ⋅ h 'i ( s ) eklenmelidir. Eğer h’i(t) zamanın
s = t − L 'ij
fonksiyonu değil h’i gibi bir sabit ise, cj(t)‘deki ilave terim
∑
i∈Prev ( j )
( L ' − 1) ⋅ h ' ’den
ij
i
ibaret olacaktır.
164
3.7.2 Sınırlı Kapasite Durumu
Birden fazla mal üreten ve üretim kapasitesi bunlar arasında paylaştırılmış bir
işletme düşünülsün. Bir t anında toplam üretim kapasitesi z+(t) ve i ürününe ayrılan
kapasite ai ile gösterilsin. x'i(t), i unsurunun t anındaki yerel stok seviyesi olmak
üzere ve özgün model ile aynı simgelem kullanılarak, böyle bir üretim sisteminin
modeli şöyle yazılabilir :
Başlangıç şartları : xi ( 0 ) = xi 0
i = 1, 2, … , J
(3.34)
xi ( t + 1) = xi ( t ) + zi ( t ) − di ( t )
(3.35)
t = 0, 1, … , T − 1 ; i = 1, 2, … , J
Kısıtlar :
xi ( t ) ≥ 0
zi ( t ) ≥ 0
ν i ( t ) ∈ {0,1}
(3.36)
zi ( t ) ≤ Di [t , T [ ⋅ν i ( t )
t = 0, 1, … , T − 1 ; i = 1, 2, … , J
J
∑ a ⋅ z (t ) ≤ z (t )
i
i
+
t = 0, 1, … , T − 1
i =1
Amaç fonksiyonu :
J T −1
∑∑
Min.
J
T
 ki ( t ) ⋅ν i ( t ) + ci ( t ) ⋅ zi ( t )  + ∑∑ hi ( t ) ⋅ xi ( t )
i =1 t = 0
(3.37)
i =1 t =1
Bu model yine tamsayılı programlama şeklinde çözülür. Ayrıca probleme
makina, işgücü gibi çeşitli kaynaklar için sınırlama getirmek de mümkündür. Bu
kaynaklar r = 1, ..., R ile indekslenerek, toplam kaynak kapasiteleri z+r(t) ve r
kaynağından i ürününe ayrılan kapasite air ile gösterilirse son kısıt bağıntısı,
J
∑a
ir
⋅ zi ( t ) ≤ z+ r ( t )
t = 0, 1, … , T − 1 ; r = 1, 2, … , R
(3.38)
i =1
olarak yazılmalıdır.
Bu modeli çözmek için farklı sezgisel yöntemler de ortaya koyulmuştur.
Bunlardan biri, modelin iki aşamada çözüldüğü hiyerarşik planlama (hierarchical
planning) yöntemidir. Bu yöntemde önce, sabit sipariş maliyetleri dikkate
alınmaksızın ve unsurlar gruplara ayrılarak, toplam model olarak adlandırılan ilk
165
aşamada problemin görece basit bir çözümü bulunur. İkinci aşamada gruplar için ayrı
ayrı, her grubun üretim miktarları kendi içlerindeki özgün unsurlara dağıtılarak
problemin özgün bir çözümü elde edilir.
Her iki durumda da sınırlı kapasite durumunda problemin çözümünün
zorluğu sabit sipariş maliyetlerinden kaynaklanır. Eğer ki(t) = 0 alınırsa, problem
doğrusal programa dönüşür. Bu durumda da problem oldukça geniş olmakla birlikte
çözümü daha kolaydır. Esasen, hiyerarşik planlama aşamasında toplam model
kavramı ile yapılmış olan da budur.
3.8
Malzeme İhtiyaç Planlaması
Malzeme ihtiyaç planlaması (MRP, Material Requirements Planning) terimi
ile, hem işletmecilik faaliyetlerine geniş görüşlü bir yaklaşım, hem de bu yaklaşımı
destekleyen bir bilgisayar programı betimlenir. MRP özellikle A.B.D.’de üretim
planlama ve kontrol konularında standart yaklaşımdır denilebilir. Malzeme ihtiyaç
planlaması MRP I olarak anılır; MRP I, finansal, pazarlama ve satınalma öğelerinin
de ilavesi ile zaman içinde daha geliştirilerek MRP II (Manufacturing Resource
Planning) olarak anılan üretim kaynak planlaması sistemi oluşturulmuştur.93
Burada ele alınacağı şekliyle, MRP model olarak adlandırılmakta olsa da tam
anlamıyla bir model olmayıp, bir önceki bölümde konu edilen modelin sezgisel
çözüm yollarınından biri demek daha doğrudur. Burada model aşağıdaki gibidir :
Başlangıç şartları : x 'i ( 0 ) = x 'i 0
i = 1, 2, … , J
(3.39)
Modelin dinamiği :
x 'i ( t + 1) = x 'i ( t ) + zi ( t ) − d 'i ( t ) − ∑ j∈Suc ( i ) z j ( t + L 'ij − 1)
t = 0, 1, … , T − 1 ; i = 1, 2, … , J
(3.40)
Kısıtlar :
x 'i ( t ) ≥ 0
zi ( t ) ≥ 0
93
t = 0, 1, … , T
; i = 1, 2, … , J
t = 0, 1, … , T − 1 ; i = 1, 2, … , J
(3.41)
166
Amaç fonksiyonu :
J
Min.
T −1
J
T
∑ ∑ {k ( t ) ⋅ δ  z (t ) + c ( t ) ⋅ z ( t )} + ∑ ∑ h ' ( t ) ⋅ x ' (t )
i
i
i
i
i =1 t = 0
i
i
(3.42)
i =1 t = 0
MRP, en son unsurdan başlayıp başa doğru giderek belirli bir unsur için
belirli bir zamandaki çözümü veren bir ayrıştırma tekniğidir. Burada J.inci unsurdan
başlanır. J.inci unsurun bir ardılı olmadığından modelin dinamiğini veren bağıntıdaki
toplam ortadan kalkar. J diğer unsurlarla dinamik olarak bağıntılıdır, ancak MRP bu
ilişkileri ihmal eder, dikkate almaz. Dolayısıyla, problem tek unsurlu bir DESM
modeline indirgenmiş olur ve bu model bilinen yöntemlerden biri ile çözülerek J.inci
unsur için çözüm elde edilir. Buradan elde edilen sipariş miktarı zJ,0(t) ile gösterilsin.
Bir sonraki aşamada (J – 1).inci unsur ele alınır; (J – 1).inci unsurun da artık ardılı
olmayacağından MRP, (J – 1)’in daha önce gelen unsurlarla olan bağıntılarını yine
ihmal etmek yoluyla bunu da J.inci unsur gibi ele alarak benzer şekilde çözer. Diğer
bir şekilde de (J – 1).inci unsurun tek ardılı J ele alınır; zJ(t) = zJ,0(t) belirli olduğu
düşünülürse, problemin dinamiğinden,
x 'J −1 ( t + 1) = x 'J −1 ( t ) + z J −1 ( t ) − d ' J −1 ( t ) − z J ,0 ( t + L 'J −1, J − 1)
( t = 0, … ,T − 1)
veya d J −1,0 ( t ) = d 'J −1 ( t ) + z J ,0 ( t + L 'J −1, J − 1) koyarak,
x 'J −1 ( t + 1) = x 'J −1 ( t ) + z J −1 ( t ) − d J −1,0 ( t ) elde edilir. Yine öncelleri ile olan ilişkiler
ihmal edilerek, (J – 1).inci unsur tek başına, dJ–1,0 talebi gözönüne alınarak çözüm
bulunur. (J – 1).inci unsur için bulunan sipariş miktarı zJ–1,0(t) ile gösterilsin.
Bu şekilde devam edilirse, bir i.inci unsur için tüm zj,0 [ j ∈ Suc ( i ) ]
değerlerinin
belirlenmiş
olduğu
da
d i ,0 ( t ) = d 'i ( t ) + ∑ j∈Suc ( i ) z j ,0 ⋅ ( t + L 'ij − 1)
x 'i ( t + 1) = x 'i ( t ) + + zi ( t ) − d i ,0 ( t )
gözönüne
alınarak,
talep
miktarı
olarak yazılırsa, problemin dinamiği,
( t = 0, … ,T − 1)
olarak
ifade
edilebilir.
DESM modeli ile buradan da i.inci unsur için zi,0(t) değeri bulunur. Böylece tüm
unsurlar için uygun sipariş miktarları hesaplanarak sistemin yapılabilir bir çözümü
elde edilir.
167
3.9
Dağıtım Sistemleri ve Depolama
3.9.1 Dağıtımın Önemi
Bir ürünün değeri, ürün son tüketicisinin eline kullanılabilir şartlarda ve
istenen zamanda ulaştığında oluşur. Bu açıdan istenen faydanın sağlanabilmesi için,
bir işletmenin dağıtım sisteminin gerekli şartlarla uyumlu olması çok önemlidir.
Dağıtım işi genelde zaman alan ve pahalı bir işlemdir. Bir tedarik zincirinde
hammaddeden başlayarak son ürüne kadar geçen aşamalardaki taşıma ve depolama
işlemlerinde oluşan birikimli maliyet düşünüldüğünde, taşıma ve dağıtım maliyetleri
son ürünün maliyet fiyatının yaklaşık % 50’sini oluşturabilir.94 Bu kapsamda son
ürünün tüketiciye beklenen hizmet kalitesinde ve en düşük maliyetle ulaştırılmasında
dağıtım sisteminin ve çeşitli noktalardaki stok seviyelerinin önemi kolayca
anlaşılabilir.
Dağıtım sistemleri ıraksak sistemlerdir. Has bir dağıtım sisteminde, her stok
noktasının en fazla bir tane vasıtasız önceli vardır. Şekil 4-1’de fabrika merkez
deposundan son tüketiciler (veya perakendecilere) doğrudan sevkiyat yapılan iki
aşamalı bir dağıtım sistemi gösterilmektedir. Böyle bir sistemde ana depo tüm
perakendecilerin gereksinimlerini doğrudan karşılayacağından, ana depoda ne kadar
fazla stok varsa perakendecilere o kadar kısa sürelerde ve düzenli teslimat yapılabilir,
dolayısıyla perakendecilere daha düşük stokla çalışma imkanı sağlanır. Ancak böyle
bir uygulama tüm sistemdeki stokların aşırı kabarması gibi bir tehlikeyi de
beraberinde getirir. Stokların tüm sistemdeki dağılımı, sistemin yapısına, talep
dalgalanmalarına ve sevkiyat sürelerine bağlıdır. Dağıtım sisteminin gereği gibi
analizi ile tahmin ilk ayakta öngörülenden çok daha az toplam stokla işler halde
tutulmasının mümkün olduğu sıkça karşılaşılan bir durumdur. Hizmet kalitesini
yükseltmek için başvurulabilecek diğer bir yöntem de ürünlerin son tüketicilerin
bulunduğu yerlere yakın bölgelerde depolanması ve bu yolla sevkiyat sürelerinin
kısaltılmasıdır.
94
168
3.9.2 Depolama
Depolama lojistik zincirinin her safhasında malların muhafazası ve
stoklanması amacıyla kullanılır. Depolama kapsamında en sade anlatımla iki ana stok
kalemi olduğu söylenebilir : Fiziksel tedarik veya içe yönelik (inbound) depolama
kapsamında hammadde, yardımcı malzemeler ve yedek parçalar ile fiziksel dağıtım
veya dışa yönelik (outbound) depolama kapsamında bitmiş ürünlerin depolanması.
Depolar Şekil 3-24’de gösterildiği gibi, amaçlarına göre aşağıdaki şekilde
gruplandırılabilirler :95
1)
Üretimi destekleme amaçlı depolama : Bu tür depolamada ambarlar çeşitli
üreticilerden gelen mallların birleştirilmesi (inbound consolidation) amaçlı
kullanılırlar. İşletmenin çeşitli üreticilere sipariş verdiği ve tedarikçilerin
orta büyüklükte veya büyük partiler halinde sevkettikleri hammadde,
yedek parça ve malzemeler, önce fabrika yakınındaki veya içindeki bir
depoda toplanır. Burada gerekli kontrollar ve malların kabulü yapılarak
daha sonra bu mallar istenen miktarlarda depodan fabrikaya/üretime
gönderilir. İçe yönelik lojistikte depolamanın diğer bir şekli de uzak
mesafelerden küçük partiler halinde tedarik edilen hammadde veya
malzemelerin belirli bir bölgeyi kapsayan, üreticilere yakın merkezlerde
(toplama merkezleri, örneğin süt toplama merkezleri) depolanarak daha
büyük partiler halinde ana fabrika veya üretim merkezine sevkedilmesi
amacıyla yapılan depolamadır. Burada ana amaç nakliye masraflarından
tasarruf sağlamaktır.
2)
Ürün karışımı amaçlı depolama (Product mixing) : Burada birden fazla
fabrikada üretilen malların müşterilere istenen miktarlarda ve karışımda
sevkedilebilmeleri için ürünlerin bir ana depoda toplanması amaçlanır.
Örneğin farklı yerlerdeki A, B ve C fabrikalarında üretilen A, B ve C
ürünleri veya yarı ürünleri orta büyüklükte veya büyük partiler halinde bir
merkez depoya sevkedilir. Bu depoda çeşitli müşterilerin istedikler ürün
cinsleri, istenen miktarlarda karışımlar oluşturularak çeşitli büyüklükte
partiler halinde müşterilere gönderilir.
95
Stock ve M. Lambert, Strategic Logistics Management, s.391-394
169
3)
Birleştirme amaçlı depolama (outbound consolidation) : Burada farklı
yerlerdeki fabrikalarda üretilen bir ürün merkezi bir depoda toplanarak
orta ve büyük partiler halinde çeşitli müşterilere sevkedilir.
4)
Dağıtım amaçlı depolama (Break bulk) : Bu tür depolamada ürünler bir
fabrikadan büyük partiler halinde nihai tüketicilerin yakınındaki bir
depoya, daha sonra buradan da küçük partiler halinde müşterilere
sevkedilir.
Bu sınıflandırmadan da anlaşılacağı gibi birinci tip depolama içe yönelik
diğer üçü ise dışa yönelik depolama kapsamındadır.
3.9.3 Depo Sayısı ve Boyutları
Daha önce de değinildiği gibi gerek hizmet kalitesini yükseltmek, diğer bir
deyişle perakendecilere veya son tüketicilere daha kısa sürelerde ve düzenli teslimat
yapabilmek için fabrika ana deposunda yüksek miktarlarda stok tutmak yerine
başvurulabilecek diğer bir yöntem de ürünlerin son tüketicilere yakın bölgelerde
depolanması ve bu yolla teslimat sürelerinin kısaltılmasıdır. Böyle bir yapılanma
oluşturulurken alınması gereken en önemli kararlar bölgesel depoların veya dağıtım
merkezlerinin sayılarının, boyutlarının ve yerlerinin belirlenmesidir.
Depo sayısı ve boyutları birbirleri ile ters orantılı büyüklüklerdir; diğer bir
deyişle depo sayısı arttıkça ortalama depo boyutları küçülmelidir. İşletmelerin
dağıtım sistemlerinde genel eğilim az sayıda fakat büyük boyutlarda depolar
kullanmak yönündedir.96
Depo boyutlarını irdeleyebilmek için öncelikle boyutların hangi birimlerle
ölçüleceğinin belirlenmesi gerekir. Depo boyutları çoğunlukla depo taban alanı
olarak ifade edilmektedir. Ancak, bu durumda dikey depolama kapasitesi gözönüne
alınmamaktadır. Ayrıca, sıvı depolama veya soğuk depolama gibi bazı özel
durumlarda taban alanının, birincisi için hiç bir anlamı olmayacağından, ikinci
durumda ise soğutma yükünün hesaplanması açısından hacim gerekli bir büyüklük
olduğundan depo boyutlarının hacim olarak ifade edilmesi faydalı olacaktır.
96
170
A – Üretimi destekleme amaçlı depolama :
1. Tedarikçi
2. Tedarikçi
3. Tedarikçi
4. Tedarikçi
OP veya BP
OP veya BP
Depo
OP veya BP
Fabrika
OP veya BP
B – Ürün karışımı amaçlı depolama (Product mixing) :
KP, OP veya BP
1. Müşteri
A
A Fabrikası
B Fabrikası
C Fabrikası
OP veya BP
KP, OP veya BP
B
2. Müşteri
A
OP veya BP
Depo
OP veya BP
KP, OP veya BP
B
C
3. Müşteri
A
KP, OP veya BP
C
C
4. Müşteri
A
B
C – Birleştirme amaçlı depolama (Consolidation) :
A Fabrikası
B Fabrikası
C Fabrikası
OP veya BP
OP veya BP
KP veya OP
Depo
OP veya BP
KP veya OP
KP
D – Dağıtım depoları (Breakbulk) :
Fabrika
KP veya OP
Dağıtım Merkezi
KP
KP
1. Müşteri
2. Müşteri
3. Müşteri
1. Müşteri
2. Müşteri
3. Müşteri
BP : Büyük parti (car load) ; OP : Orta büyüklükte parti (truck load) ; KP : Küçük parti (less than truck load)
Şekil 3-24. Fiziksel tedarik ve dağıtımda depoların kullanım şekilleri
Kaynak : James R. Stock, Douglas M. Lambert, Strategic Logistics Management, 4.b. Singapore: Mc
Graw-Hill, 2001, s.392
171
Bir deponun boyutlarını etkileyen çeşitli unsurlar vardır. Bunların başlıcaları
aşağıdaki şekilde sayılabilir :
•
Hizmet kalitesi ve pazarın hacmi.
•
Ürün sayısı.
•
Talep yapısı.
•
Stok devir sayısı.
•
Tedarik süreleri.
•
Ürünün fiziksel özellikleri.
•
Kullanılan elleçleme yöntemleri.
•
Kullanılan raf sistemleri.
•
Ofis alanları gereksinimi ve boyutları.
Bir işletmenin hizmet kalitesi arttıkça elde bulundurması gereken stok miktarı
artacağından depo boyutları büyüyecektir. Benzer şekilde bir deponun ikmal yaptığı
perakendeci veya son tüketici sayısı arttıkça ve/veya pazar hacmi genişledikçe depo
boyutlarının artacağı açıktır. Diğer taraftan, ürün sayısı fazlalaştıkça her üründen
mümkün olan en az miktarda stok tutuluyor olsa bile stok kalemi sayısı artacağından
daha fazla depolama kapasitesine gereksinim olacaktır. Depo boyutlarının
belirlenmesinde talep yapısının da gözönünde tutulması gerekir. Telebin çok
değişken olduğu ve değişimin öngörülemediği durumlarda arzulanan hizmet
kalitesini koruyabilmek için elde bulundurulması gereken emniyet stoklarının
miktarları artacağından gerekli depo kapasitesi yine artacaktır. Planlama açısından
depo boyutlarını etkileyen bir unsur da stok devir sayısıdır; stok devir sayısı veya
müşteriler doğrudan teslimat olanakları arttıkça birim zaman periyodunda elde
bulundurulması gereken stok miktarı azalacağından depo boyutları daraltılabilir. Son
olarak, tedarik süreleri uzadıkça yine emniyet stoklarının miktarları artacağından
daha büyük depoya gereksinimi ortaya çıkacaktır.
Ürünlerin fiziksel özellikleri depo boyutlarını etkileyen bir diğer unsurdur.
Ürünler ağırlaşıp boyutları büyüdükçe forklift vb. yardımcı makinalar kullanımı,
buna koşut olarak da depo alanı içindeki koridorların daha geniş tutulmaları
gerekeceğinden depodaki faydalı alan oran olarak azalacak, dolayısıyla toplam depo
boyutlarının arttırılması gerekecektir. Diğer taraftan ürünler, yapıları, ağırlıkları,
172
ambalajları
veya
havalanma
gereksinimleri
gibi
sebeplerden
üstüste
konulamayabilirler veya ürünlerin bulundukları rafların aralarında belirli uzaklıklar
olması istenebilir. Bu durumda da faydalı hacmin toplam depo hacmine oranı
azalacağından toplam depo boyutlarının daha geniş olarak projelendirilmesi ile karşı
karşıya kalınacaktır.
Depo sayısının belirlenmesinde başlıca dört önemli unsur gözönüne
alınmalıdır. Bunlar, satış kayıpları, stok bulundurma, depolama ve taşıma
maliyetleridir. Satış kayıpları bir işletme için önemli bir anlam taşıyor olsa da,
bunların hesaplanmaları ve tahmin edilmeleri oldukça zordur ve hem sektör hem de
işletme bazında çok farklı olabilirler. Diğer üçü ise nispeten daha belirgin ve
öngörülebilir olduklarından bunlar esas alınarak bir karar vermek daha doğru ve
anlamlıdır.
Bir işletmede genelde, üretimdeki aksamaları veya beklenmeyen talepleri
karşılamak için her depoda emniyet veya tampon stokları bulundurulur. Depo sayısı
arttıkça tüm sistem içinde bu stokların miktarı da artacağından buna koşut olarak
stok maliyeti de artar. Diğer taraftan, depo sayısı arttıkça, daha fazla depolama tesisi
satınalınması, kiralanması, ayrıca buralarda istihdam edilecek personel sayısının da
artması gibi sebeplerden depolama giderleri de artar. Bu genelde azalan bir artış
şeklindedir. Son olarak, taşıma masrafları depo sayısı arttıkça önce azalır, ancak
belirli bir depo sayısından sonra yeniden artma trendine girer. Bunun başlıca sebebi
depo sayısı arttıkça her depoya sevkedilecek mal miktarının azalması, buna bağlı
olarak nakil aracının tüm kapasitesinin kullanılamaması dolayısıyla da birim taşıma
maliyetlerinin artmasıdır.
Bir işletme için önemli olan toplam maliyetin depo sayısından nasıl
etkileneceğinin bilinmesidir. Bu amaçla, satış kayıpları hariç tutularak diğer lojistik
maliyetler için Şekil 3-25’deki gibi toplam maliyet eğrisi elde edilebilir.97 Buradan
da anlaşılacağı gibi az sayıda depo ile çalışmak daima daha az masraflıdır. Bununla
birlikte, işletme için hizmet kalitesinin yüksek tutulması rekabet açısından önemli ise
veya satış kayıpları çok fazla ise, bu ve benzeri nedenlerle kaçınılmaz olarak depo
sayısının arttırılması yoluna gidilir. Ayrıca, sık ve küçük miktarlarda alım yapmak
97
173
gibi müşterilerin satınalma davranışları, özellikle de rekabet fazla ise depo sayısının
arttırılmasını gerektirebilir.
Maliyet
Toplam maliyet
Stok maliyeti
Depolama maliyeti
Taşıma maliyeti
Depo sayısı
Şekil 3-25. Depo sayısı ile lojistik maliyetleri arasındaki bağıntı
3.9.4 Depo Yerinin Seçimi
Depo yerlerinin seçiminde makro ve mikro düzeyde analizler yapılmalıdır.
Makro düzeyde depoların yerleri, içe dönük tedarikte mal ve hammadde temininin
kolaylığı, dağıtım amaçlı depolamada pazara yakınlık gibi maliyet azaltıcı ve/veya
hizmet kalitesini arttırıcı hususlar gözönüne alınarak önce coğrafi olarak belirlenir.
Mikro düzeyde ise daha ayrıntılı analizlerle seçilen coğrafi bölge içinde kesin yer
saptamaları yapılır.
174
Makro yaklaşımla Edgar Hoover depo yeri seçimi için, pazar konumlu,
üretim konumlu, ara konumlu olmak üzere üç tip strateji önermektedir.98 Pazar
konumlu stratejide dağıtım depoları son tüketicilere yakın noktalarda konuşlandırılır.
Böylece, hem hizmet kalitesi arttırılır, hem de bu dağıtım depolarına büyük partiler
halinde sevkiyat yapılarak taşıma giderleri azaltılmış olur. Burada taşıma maliyetleri,
siparişlerin teslimat süreleri, miktarları, yerel taşıma olanakları gibi unsurlar yer
seçiminde etkilidir. Üretim konumlu stratejide depolar kullanılan hammadde ve
tedarik kaynaklarına yakın bölgelerde tesis edilir. Bu depolar toplama ve karışım
amaçlı depolardır. Üretim bölgesine yakın yer seçiminde ürün veya hammaddenin
bozulabilir olması, üretimde çok sayıda farklı parça kullanılması, müşteri
siparişlerinin çeşitliliği, birleştirme oranları gibi etkenler rol oynar. Ara konumlu
stratejide ise, depolar üretim tesisleri ile pazarın arasında bir orta noktada
konumlandırılır. İşletmenin ürün çeşidi fazla ancak aynı zamanda da hizmet kalitesi
yüksek tutulması gerekiyorsa depo yerleri bu şekilde seçilir. Bu durumda doğal
olarak hizmet seviyesi üretim konumlu stratejiden iyi, Pazar konumludan daha
kötüdür.
Benzer bir sınıflama, ürün yönelimli, pazar yönelimli ve genel amaçlı
depolama stratejisi şeklinde yapılabilir. Ürün yönelimli stratejide bir depoda bir tek
ürün veya ürün grubu stoklanır. Az çeşitli ancak çok yüksek hızda devreden ürünler
sözkonusu olduğunda, ürünlerin boyut, ağırlık gibi özellikleri dolayısıyla elleçleme
ile taşıma şartları ve maliyetlerinin farklı olduğu durumlarda tercih edilir. Pazar
yönelimli stratejide dağıtım depolarında işletmenin tüm ürün çeşitlerinden stok
tutulur. Böylece müşteriler tek bir noktadan tüm çeşitleri sipariş verebilirler; içecek,
gıda, kağıt ürünleri, cam, kimyasal ve mobilya sanayileri bu stratejiyi yeğlerler.99
Bunlardan başka, Von Thunen, Weber, Hoover, Greenhut vb. araştırmacılar
tarafından maliyet minimizasyonuna dayalı çeşitli coğrafi modeller geliştirilmiştir.
Depoların coğrafi konumları kabaca belirlendikten sonra, mikro düzeyde
daha noktasal yer seçimi yapılmalıdır. Mikro düzeyde gözönüne alınması gereken
98
Edgar Malone Hoover, La Localisation des Activités Economiques. Paris – France : Les
éditions ouvrières, 1955 s.11
99
Stock ve M. Lambert, Strategic Logistics Management, s.412-413
175
unsurlar, seçilen yerin hava, deniz, kara ulaşım yollarına yakınlığı, kalifiye işgücüne
imkanları, işçilik ücretleri, arsa ve arazi fiyatları, inşaat olanakları ve maliyetleri,
yerel yönetim birimlerinin tutumu, vergi ve teşvik şartları, genişleme olanakları,
kamu hizmetlerinin kalitesi, finansman maliyeti şeklinde sıralanabilir.
176
4
4.1
MODEL, YÖNTEM ve AMAÇ
Giriş
Günümüzün keskin rekabet şartlarında bir işletmenin dağıtım ağı, hizmet
kalitesi hedeflerini en düşük maliyetle gerçekleştirecek şekilde tasarlanmalıdır. Bu
amaçla tüm müşteri ve perakendecilerinin stok ikmalini gerçekleştirmek için
oluşturulan ideal bir dağıtım şebekesi, en uygun sayıda, boyutlarda ve yerlerde
dağıtım
depolarına
sahip
olmalı
ve
buralarda
uygun
miktarlarda
stok
bulundurmalıdır.
Gerek stok, gerek taşıma maliyeti problemleri üzerinde yapılan çalışmalar
çoğu durumda, daha önceden belirlenmiş bir dağıtım sistemi üzerinde yürütülür.
Oysa ki, dağıtım ağı tasarımı problemlerinde amaç dağıtım depolarının yerlerinin,
hangi perakendecilerin hangi depolardan ikmal edileceklerinin belirlenmesi ve bu
tahsislerin de tüm sistem için dağıtım maliyeti minimum olacak şekilde
tasarlanmasıdır. Dağıtım ağının yapısı sayısal olarak ifade edilemeyen bir çok
unsurdan da etkilenebilmektedir; ancak, bu problem ile ilgili çalışmalar genellikle
stok, taşıma ve depolama maliyetlerinin beraberce ele alınarak analizinden
oluşmaktadır. Karmaşık yapısından dolayı dağıtım ağı problemleri genellikle,
depolama yerlerinin seçimi ile ilgili unsurların iki tabanlı kesikli değişkenler,
malların akışı ile ilgili büyüklüklerin ise sürekli değişkenlerle temsil edildiği karma
tamsayılı programlama (KTP) modelleri olarak ortaya konur. Bu konudaki
araştırmalar literatüre ilk kez 1958’de doğrusal olmayan bir depo konumlama
modelinin işlemsel süreç ile çözülmesi şeklinde Baumol ile başlamıştır. 1998’de
Chan ve Simchi Levi tarafından oluşturulan stokastik talep modeli hariç tutulursa,
kullanılan modeller çoğunlukla sınırlı bir plan ufku dahilinde talep miktarlarının
belirli olduğu modellerdir. Bu konudaki son araştırmalardan önemli biri ise
Erlebacheer ve Meller’in toplam dağıtım maliyetini minimize eden
analitik
modelidir.
177
Bu çalışmada unlu ürünler (ekmek, tost ekmeği ve sandviç) üretimi ve
bunların dağıtımını yapan bir işletme ele alınacaktır. İşletmenin dağıtımını yaptığı
ürünlerin raf ömrü 5 – 7 gündür. İşletme mevcut durumu ile İstanbul’daki
fabrikasında ürettiği ekmek ve sandviç çeşitleri ile birlikte 80 civarında ürünü
yaklaşık 30 ildeki bölge teşkilatları aracılığıyla Doğu Anadolu ve Doğu Karadeniz
bölgeleri dışında 50 ilde 10.000 civarında perakende satış noktasına ve otel, lokanta,
büfe gibi son kullanıcılara günlük sevkiyatlar şeklinde ulaştırmaktadır. Bu çalışmada
bu işletme için bölgesel dağıtım merkezlerinin sayıları ile en uygun konumları ve
buralarda tutulması gereken stok miktarlarını belirlemek amacıyla sistem için bir
dağıtım maliyeti modeli oluşturulacaktır. İşletmenin satışlarının yaklaşık % 80 – 85’i
ekmek ve sandviç çeşitlerinden oluştuğundan modelde sadece bu ürünler dikkate
alınacaktır. Bu modelden hareketle stok, depolama ve nakliye giderlerini, diğer bir
deyişle toplam dağıtım maliyetini minimum yapmak için bölgesel dağıtım
merkezlerinin optimum sayısı ve yerleri belirlenecek, gerek dağıtım merkezlerine,
gerek perakendeci ve son kullanıcılara ne aralıklarla sevkiyat yapılması gerektiği ve
bu işlem için tutulması gerekli stok miktarları hesaplanacaktır. Bu problem kısaca
depolar–perakendeciler dağıtım ağı tasarımı (DPDT, WRND = warehouse–retailer
distribution network design problem) olarak adlandırılır.
178
4.2
Bir Depo Çok Perakendecili Dağıtım Problemi
Çok sayıda depo ve perakendeciden oluşan bir dağıtım sistemine geçmeden
önce bir depo çok perakendecili dağıtım probleminin incelenmesi yararlı olacaktır.
Bir depodan, doğrudan J tane perakendecinin ikmal edildiği, her perakendecinin
talebinin sabit olduğu, bu talebin sonsuz bir plan ufku dahilinde, oluştuğu anda
karşılandığı ve sipariş bakiyelerine izin verilmediği bir sistem göz önüne alınsın.
Ayrıca, perakendecilerin siparişlerinin depoda oluşturduğu talebin depo tarafından
harici bir tedarikçiden temin edildiği, depo ve perakendecilerin stokları için birim
zamanda, birim mal için bir elde bulundurma maliyeti ile her siparişte depo ve
perakendeciler için sabit bir sipariş maliyeti oluştuğu düşünülsün. Talep miktarları,
sipariş verme ve elde bulundurma maliyetlerinin her unsur için sabit olduğu ve
tedarik sürelerinin de olmadığı varsayılsın. Amaç tüm sistemdeki toplam dağıtım
maliyetinin minimum olacağı bir ikmal politikası oluşturulmasıdır. Bu problem bir
depo çok perakendecili (BDÇP veya OWMR = one warehouse multiretailer) dağıtım
problemi olarak adlandırılır. Bu problemin, sürekli zaman için veya kesikli polinom
zaman yaklaşımı ile sınırlı bir plan ufkunda bilinen bir çözüm yöntemi yoktur.100
1
0
j
Fabrika ana
deposu
J
Perakendeciler
Şekil 4-1. Bir depo çok perakendecili doğrudan dağıtım sistemi
100
179
Bilgisayar yardımıyla sayısal olarak çözülebilseler de optimum politikaların
belirlenmesi oldukça karmaşıktır; ayrıca optimum politikalar için sabit olmayan
sipariş miktarları ve periyotları söz konusu olabileceğinden kullanılmaları pratik de
değildir. Bu sebeplerden, optimum çözümlerin araştırılması yerine, daha basit ancak
yeteri kadar da etkili olduğu ispat edilebilen politikaların belirlenmesi yeğlenecektir.
Bölüm 3.4.4’de ele alınmış olan temel sipariş periyodu kullanarak veya kullanmadan
ikinin kuvvetleri politikaları sırasıyla en az % 94 ve % 98 yaklaşıklıkla istenen
amaca uygun politikalardır.
Şekil 4-1’de gösterilen bir ana depo ve bunun ikmal ettiği J tane
perakendeciden oluşan bir dağıtım sistemi düşünülsün. Ana depo 0 indisi ile
gösterilsin ve ana depo için sabit sipariş maliyeti k0 ve elde bulundurma maliyeti h0
olsun. Benzer şekilde, bir j perakendecisi (j = 1, 2, ... ,J) için sabit sipariş maliyeti kj,
yerel elde bulundurma maliyeti h’j, kademe elde bulundurma maliyeti hj ve talep
miktarı dj ile gösterilsin. Şart olmamakla birlikte sadece hesaplarda kolaylık
açısından hj = h’j – h0 > 0 olsun.101
u0 ana depo, uj de j perakendecisi için sipariş periyodu olmak üzere ve sipariş
periyodu tamsayı katları (integer–ratio) özelliği hatırlanarak, Roundy’nin % 98
yaklaşıklıkla çözümü sipariş periyotları açısından aşağıdaki şekilde iki önerme
şeklinde özetlenebilir :
1)
Önerme 1 :
J k
 k

1 J
1 J
Min.  0 + ∑ j + ⋅ ∑ h ' j ⋅ d j ⋅ u j + ⋅ ∑ d j ⋅ h0 ⋅ max.( u0 , u j ) − u j  
2 j =1
 u0 j =1 u j 2 j =1

(4.1)
içbükey optimizasyon probleminin temel sipariş periyodu kullanmadan ikinin katları
politikası ile elde edilen çözümü, tüm yapılabilir politikaların maliyetlerinin bir alt
sınırıdır ve olası en düşük toplam maliyetten en kötü durumda % 2 fazladır.102
101
102
Chung-Piaw Teo ve Shu Jia. “Warehouse-Retailer Network Design Problem”.
Operations Research. Vol. 52, No.3, May-June 2004, s.396-408
180
2)
Önerme 2 :
Optimizasyon probleminin çözümleri doğrultusunda perakendeciler sipariş
periyotlarına göre G, L ve E olarak üç gruba ayrılabilirler. Buna göre, sabit olan k0/u0
terimi hariç tutulursa amaç fonksiyonunun kısmi türevleri alınarak sipariş periyotları
aşağıdaki şekilde bulunabilir :103
•
G grubu : uj > u0
2⋅ kj
uj =
•
h'j⋅ d j
(h
0
+ hj ) ⋅ d j
> u0
L grubu : uj < u0
2⋅ kj
uj =
(h' − h ) ⋅ d
j
•
2⋅kj
=
0
=
j
2⋅kj
hj ⋅ d j
< u0
E grubu : uj = u0
2⋅
uj =
∑
k 0 + ∑ j∈ E k j
j∈ E
d j ⋅ h ' j + ∑ j∈L d j ⋅ h0
= u0
veya,
2⋅ kj
(h
0
103
+ hj ) ⋅ d j
≤ u0
≤
2⋅kj
hj ⋅ d j
Lim, Wei-Shi, Ou, Jihong ve Teo, Chung-Piaw. “Inventory Cost Effect of Consolidating
Several One-Warehouse Multiretailer Systems.”, Operations Research, Vol. 51, No.4, July-August
2003, s.669
181
4.3
Model
Ele alınacak sistem, anılan işletmenin ana deposundan bölgesel dağıtım
merkezlerine, buralardan da perakendecilere ve/veya son kullanıcılara doğrudan
sevkiyat yapılan bir dağıtım sistemidir. (Şekil 4-2)
1
2
1
j
Aw
0
w
altkümesi
Fabrika ana
deposu
W
J
Bölgesel dağıtım
Son tüketiciler /
merkezleri
Perakendeciler
Şekil 4-2. Bölgesel dağıtım merkezlerinden son tüketicilere (veya perakendecilere) dağıtım
182
4.3.1 Varsayımlar
Bu çalışmada KTDP yöntemi kullanılarak bir aylık bir plan ufkunda optimum
dağıtım ağı oluşturulmaya çalışılacaktır. Yapılacak varsayımlar aşağıdaki şekilde
özetlenebilir :
1)
Fabrika ana deposu kısaca ana depo olarak adlandırılacak ve 0 indisi ile
gösterilecektir. Ana depoda stok tutulmamakta ve ana depodan bölgesel
dağıtım depolarına doğrudan sevkiyat yapılmaktadır. Ayrıca ana depo hem
gerçek anlamda bir ana depo olarak, hem de bir dağıtım deposu olarak
işlev görecektir.
2)
Bölgesel dağıtım depolarından da perakendeci ve/veya son kullanıcılara
doğrudan sevkiyat yapılmakta ve her perakendeci ve/veya son kullanıcı,
tüm ürün gruplarını tek bir dağıtım deposundan temin etmektedir.
3)
Olası dağıtım depoları w indeksi ile ve bunların kümesi ile
gösterilecektir. = { w | w = 1, 2, ..... , W }
4)
Perakendeci ve/veya son kullanıcılar j indeksi ile ve bunların kümesi ile
gösterilecektir ( = { j | j = 1, 2, ..... , J } ). Ancak problemin çözümünü
kolaylaştırmak
ve
hesaplama
sürelerini
kısaltmak
amacıyla,
perakendecilerin / son kullanıcıların bulundukları her il bir talep merkezi
olarak kabul edilecek ve perakendecilerin sayısı bunların bulundukları
illerin sayısı olarak ele alınacaktır. Her kamyonun bir il içindeki yol
güzergahı baştan belirlenmiştir. Bu şekilde her il içindeki perakendecilere
/ son kullanıcılara ürün dağıtımının maliyeti belirli olduğundan, bu maliyet
dağıtım depolarının sayısı ve konumlarından etkilenmeyecek, dolayısıyla
bu yaklaşım bölgesel dağıtım depolarının yerlerinin belirlenmesinde
hataya sebep olmayacaktır.104
5)
Her
ilin
çeşitli
ürünler
için
aylık
talep
miktarları
bilindiği
varsayılmaktadır. Ancak, araştırmaya konu işletmeden bu bilgiler elde
104
Alfred A. Kuehn ve Michael J. Hamburger. “A Heuristic Program for Locating
Warehouses.”, Management Science, 9, 1963, s. 652
183
edilemediğinden, illerin aylık talep miktarları bunların nüfusları ve yıllık
ortalama gelirler esas alınarak, tahmin edilmiştir.
6)
Her w dağıtım deposu için, ana depoya verdiği sipariş başına kww kadar bir
sabit sipariş maliyeti oluşmaktadır. Bu değer sevkedilen mal miktarından
bağımsızdır. w deposunda, birim mal başına aylık hw’w kadar da bir elde
bulundurma maliyeti söz konusudur. Ayrıca her w dağıtım deposu için ana
depodan w deposuna sevkiyatta bir taşıma maliyeti ortaya çıkmaktadır.
b0,w (Para birimi / Birim mal değeri.km) ana depo ile dağıtım deposu
arasında birim taşıma maliyeti ve nw ana deponun w dağıtım deposuna
uzaklığı olmak üzere, birim mal için taşıma maliyeti b0, w ⋅ nw olacaktır.
Ana depodan bölgesel dağıtım depolarına sevkiyat TIR’larla yapılmakta
ve araç hızı ortalama 70 km/saat alınmaktadır.
7)
Benzer şekilde her j perakendeci ve/veya son kullanıcı için, dağıtım
deposuna verdiği sipariş başına sevkedilen mal miktarından bağımsız krj
kadar bir sabit sipariş maliyeti oluşmaktadır. j perakendecisinde, birim mal
başına aylık hr’i kadar bir elde bulundurma maliyeti söz konusudur. Yine
her j perakendeci ve/veya son kullanıcısı için, w deposundan j
perakendecisine sevkiyatta bir taşıma maliyeti ortaya çıkmaktadır. bw,j
(Para birimi / Birim mal değeri.km), w dağıtım deposu ile j perakendecisi
arasında birim taşıma maliyeti ve nw,j dağıtım deposunun j perakendecisine
uzaklığı olmak üzere, birim mal için taşıma maliyeti bw, j ⋅ nw, j olacaktır.
Bölgesel dağıtım depolarından perakendecilere sevkiyat tek dingil
kamyonlarla yapılmakta ve araç hızı ortalama 70 km/saat alınmaktadır.
8)
Gerek bölgesel dağıtım depolarına, gerek perakendecilere ürünleri
sevkeden araçlar teslimatı yaptıktan sonra boş olarak dönecekleri
varsayıldığından uzaklıklar gerçek taşıma uzaklıklarının iki katı olarak
alınacaktır.
9)
Ürün sayısının çok fazla olması sebebiyle taşıma maliyeti hesabında,
satışlar içinde % 78 – 89 arasında paya sahip olan ekmek, hamburger ve
sandviç ürün grupları esas alınmıştır. Bu anlamda, kamyon ve TIR’lar %
70 dolu olarak sevkiyat yapıldığı varsayılacaktır. Kalan % 15–20’lik kısım
184
diğer ürünler, % 10–15 ’lik kısım ise sevkiyatta esneklik amacıyla
öngörülmektedir.
10) Her w deposu için aylık depo işletme maliyeti Fw dir. Bu maliyet işyeri
kirası ve işgücü maliyetinden oluşmaktadır. İşyeri kirası için öncelikle
deponun bulunduğu yerdeki m2 kira bedellerinin bilinmesi gerekir. Ancak
bu bilgi ile işçilik maliyetlerinin kesin değerleri elde edilememiştir. Bu
sebeple bir w deposu aylık işletme maliyetinin, sabit bir maliyet ile o
depodan sevkedilen mal miktarının karekökü ile orantılı değişken bir
maliyetten oluştuğu varsayılmıştır. Fw = F 'w + f w ⋅
Dw
Öncelikle bu son kabule bir açıklık getirmek gereklidir. 1958’de
yayınladıkları bir makalede, Baumol ve Wolfe dağıtım depoları konumlarının
belirlenmesi ile ilgili örnek bir problem çözümünde, depo işletme maliyetinin tam
olarak belirlenemediği durumlarda bu maliyetin depoda elleçlenen ürün miktarının
kare kökü ile orantılı olacağı yaklaşımını ortaya koymuşlardır.105
Konu ile ilgili literatürde genellikle iki tip depolama maliyet fonksiyonu
önerilir (Şekil 4-3) . Bunlardan birincisi Balinski ve Mills’in önerdiği
106
modele
benzer parçalı doğrusal bir fonksiyondur. Diğeri ise, Baumol ve Wolfe’un
yaklaşımına paralel olarak dışbükey bir fonksiyon yaklaşımıdır. Bu varsayım
ilerleyen bölümlerde yine irdelenecektir.
105
William J. Baumol ve Philip Wolfe. “A Warehouse Location Problem”, Operations
Research, Vol. 6, March -April 1958, s.260
106
Balinski M.L. ve Mills H. “A Warehouse Location Problem”, Veterans Administration
Mathematica, Princeton, New Jersey, April 1960
185
Maliyet
Maliyet
Elleçlenen
Ürün Miktarı
Elleçlenen
Ürün Miktarı
Şekil 4-3. Depo işletme maliyeti fonksiyonları
Problem, optimum dağıtım deposu sayısı, perakendecilerin bu depolara
atanmaları ile depolar ve perakendeciler için optimum ikmal politikasının nasıl
olması gerektiğinin belirlenmesidir. Bu doğrultuda, amaç tüm sistem için stok,
taşıma ve depolama maliyetlerini minimum yapan çözümü bulmaktır.
4.3.2 Kullanılan Semboller
Modelde kullanılacak simgelem (notasyon) aşağıdaki gibidir :
Aw
w dağıtım deposunun ikmal ettiği perakendecilerin alt kümesi
b0,w
Ana depo dağıtım deposu arasında birim taşıma maliyeti
bw,j
Dağıtım deposu perakendeci arasında birim taşıma maliyeti
C w,Aw w dağıtım deposunun Aw alt kümesindeki perakendecileri ikmal
etmesi durumunda oluşacak toplam maliyet
dj
j perakendecisinin aylık talebi
DMAX Depolar ile bağlı iller arasındaki azami uzaklık (km)
Dw
w dağıtım deposundan sevkedilen aylık mal miktarı ( Dw =
∑d
j
)
j∈ Aw
fw
w deposu için aylık depo değişken işletme maliyeti katsayısı
186
Fw
w deposu için aylık toplam depo işletme maliyeti
F’w
w deposu için aylık sabit işletme maliyeti
hr’j
j perakendecisi için birim mal başına aylık elde bulundurma maliyeti
hw’w
w dağıtım deposu için birim mal başına aylık elde bulundurma
maliyeti
h’0
Ana depo için birim mal başına aylık elde bulundurma maliyeti
I(w,Aw) w dağıtım deposunun Aw alt kümesindeki perakendecileri ikmal
etmesi durumunda oluşacak ikmal maliyeti
IL%
Dağıtım yapılan il sayısı
j
Perakendeciler indeksi (j = 1, 2, ..... , J)
krj
j perakendecisi için sabit sipariş maliyeti
kww
w dağıtım deposu için sabit sipariş maliyeti
k0
Ana depo için sabit sipariş maliyeti
nw
Ana deponun w dağıtım deposuna uzaklığı
nw,,j
w dağıtım deposunun j perakendecisine uzaklığı
urj
j perakendecisi için sipariş periyodu
uww
w dağıtım deposu için sipariş periyodu
u0
Ana depo için sipariş periyodu
w
Dağıtım deposu indeksi (w = 1, 2, ..... , W)
θw,j
Ana depodan w deposu yoluyla j perakendecisine gönderilen ürünler
için aylık taşıma maliyeti
νw,j
Depoların ikmal ettiği perakendecilerle ilgili ikili değişken
ωw
w deposu ile ilgili ikili değişken
187
4.3.3 Amaç Fonksiyonu
Dağıtım ağı tasarım problemi, maliyet fonksiyonunun oldukça karmaşık
olduğu bir atama problemi olarak ele alınabilir. Burada amaç yukarıda da belirtildiği
gibi en düşük dağıtım maliyeti ile perakendecileri dağıtım depolarına atamaktır.
Belirli bir atama oluşturulduktan sonra, ikmal maliyeti ve politikası bir dizi BDÇP
probleminin çözümü sonucunda elde edilebilir.
w bir dağıtım deposu ve Aw, perakendeciler kümesinin bir alt kümesi olsun.
1,
w deposu j perakendecisini ikmal ediyorsa ( j ∈ Aw )
0,
w deposu j perakendecisini ikmal etmiyorsa ( j ∉ Aw )
νw,j =
olacak şekilde bir νw,j ikili değişkeni tanımlansın.
durumunda oluşacak toplam maliyet Cw,Aw ile gösterilsin. Bu maliyet aşağıdaki 3
unsurun toplamından oluşacaktır :
•
durumunda oluşacak aylık ikmal maliyeti I(w,Aw) :
kr 1
kww
1
+ ∑ j∈A j + ⋅ ∑ j∈A d j ⋅ hr ' j ⋅ urj + ⋅ ∑ j∈A d j ⋅ hww ⋅ max.( uww, urj ) − urj 
w
w
w
uww
urj 2
2
•
Aylık toplam taşıma maliyeti :
Burada
∑
j ∈ Aw
∑
j∈ Aw
d j ⋅ b0, w ⋅ 2nw
∑
j ∈ Aw
d j ⋅ b0, w ⋅ 2nw + ∑ j∈ A d j ⋅ bw, j ⋅ 2nw, j
w
terimi ana depodan w dağıtım deposuna,
d j ⋅ bw, j ⋅ 2nw, j terimi ise w dağıtım deposundan j perakendecisine aylık taşıma
maliyetleridir. θ w, j = 2 ⋅ d j ⋅ ( b0, w ⋅ nw + bw, j ⋅ nw, j ) olarak gösterilirse, ana depodan w
deposu yoluyla j ∈ Aw perakendecilerine gönderilen ürünler için aylık toplam taşıma
maliyeti
•
∑
j ∈ Aw
θ w, j olur.
w deposu için aylık depo işletme maliyeti Fw .
Özetle, w dağıtım deposunun Aw alt kümesindeki perakendecileri ikmal
etmesi durumunda toplam maliyet Cw, Aw = I ( w, Aw ) + ∑ j∈ A θ w, j + Fw dir.
w
188
Buna göre, depolar–perakendeciler dağıtım ağı tasarımı (DPDT) problemi,
( w1,…, w )
dağıtım
depoları
ile
buralardan
ikmal
edilen
( A1,…, A )
perakendecilerini, aşağıdaki şekilde minimum maliyetli bölüntüleme (partitionning)
KTP probleminden ibaret olacaktır :107
W
Min.  ∑
 w =1
∑

Cw, Aw ⋅ν w, Aw 

Aw ⊆ ℑ
(4.2)
W
∑∑
Kısıtlar :
w =1
Aw ⊆ ℑ, j∈ Aw
ν w, A = 1 , ∀j ∈ w
ν w, A ∈ {0,1}
w
Gerek amaç fonksiyonu, gerek kısıtlar doğrusal fonksiyonlar olarak
görünmekle birlikte, çok sayıdaki değişken (W.2J ) olması, ayrıca Cw,Aw
değerlerindeki uj değişkeni ile taşıma maliyeti ifadesindeki uzaklıklar ve talep
miktarlarına bağımlılıktan kaynaklanan
doğrusallıktan sapmalar dolayısıyla, bu
modeli doğrudan standart bir KTDP şeklinde çözmek mümkün değildir. Bu problemi
ancak, sütun üretme–ayrıştırma yöntemi kullanılarak çözmek mümkündür. Bu ise
sütun üretme işleminin herhangi bir aşamasında hesaplanan bir dual çözümleri
kullanarak toplam maliyeti düşürecek yeni bir sütunun olup olmadığını araştırarak
mümkün olur.108 Bunun için, öncelikle fiyatlandırma tali problemi (pricing
subproblem) olarak adlandırılan bir problem tanımlanmalı ve öncelikle bu problem
çözülmelidir.
J = card ( ) ve sütun üretme sürecinin belirli bir evresinde elde edilen dual
problemin çözümü (y1, y2, ... , yj , ... , yJ) olsun. Dual problemin çözümü primal amaç
fonksiyonu için bir üst sınır oluşturur. Buna göre, her (w,A) sütunu için,
Cw, Aw − ∑ j∈ A y j = I ( w, Aw ) + Fw + ∑ j∈ A θ w, j − ∑ j∈ A y j
w
107
w
(4.3)
w
Operations Research. Vol. 52, No.3, May-June 2004, s.396-408
108
Marco E. Lübbecke ve Jacques Desrosiers Jacques, “Selected Topics in Column
Generation”, Operations Research, Vol. 53, No.6, November-December 2005, p.1009
189
indirgenmiş maliyetinin negatif olup olmadığının, diğer bir ifade ile de w sabit
Min .  I ( w, Aw ) + Fw + ∑ j∈ A θ w, j − ∑ j∈ A y j  < 0
w
w

Aw ⊆ ℑ 
tutulursa,
olmadığı
olup
araştırılmalıdır.
Tanım olarak, sonlu bir V kümesinde tanımlı f fonksiyonu, V’nin tüm alt
∀X , Y ⊆ V , f ( X ) + f (Y ) ≥ f ( X ∩ Y ) + f ( X ∪ Y )
kümelerinde
bağıntısını
sağlıyorsa f fonksiyonuna alt modüler (submodular) fonksiyon denir.109 Buna göre,
f ( Aw ) = I ( w, Aw ) + ∑ j∈ A θ w, j − ∑ j∈ A y j = I ( w, Aw ) − ∑ j∈ A ( y j − θ w, j )
w
w
olarak
w
tanımlanan f(Aw) fonksiyonu altmodüler bir fonksiyondur.110 Diğer bir ifadeyle,
fiyatlandırma tali problemi sütun üretme aşamasında bir altmodüler fonksiyon
minimizasyon problemidir. Altmodüler fonksiyonların minimizasyonu probleminin
çözümü için 1993’de Grotschel, Lovász ve Schrijver eliptik işlemsel süreçler yoluyla
polinom zamanda, daha sonra da Iwata ve Schrijver birbirlerinden bağımsız olarak
polinom
yapıda
birleştirmeci
işlemsel
süreçler
(combinatorial
algorithms)
geliştirmişlerdir. Burada da benzer şekilde bir çözüm üretilebilir.
Teorik
olarak,
bu
problem
yukarıda
açıklandığı
şekilde
doğrusal
programlama olarak çözülebilir. Bununla birlikte, pratikte çok sayıda depo ve
perakendecinin sözkonusu olduğu durumlarda, buraya kadar da tanımlandığı şekliyle
dağıtım ağı tasarım problemini, maliyet fonksiyonu oldukça karmaşık bir atama
problemi olması ile doğrusallıktan sapmalar nedenleriyle, doğrusal programlama
şeklinde çözmek çoğunlukla yapılabilir değildir. Modelin doğrudan çözümü yerine
burada iki aşamalı bir model oluşturulacaktır. Şöyle ki, önce dağıtım depolarının
sayısı ile yerleri belirlenerek en düşük dağıtım maliyeti oluşacak şekilde,
perakendecilerin bulundukları illerin bölgesel depolara atamaları yapılacak, daha
sonra hem dağıtım depoları hem de perakendeciler için optimum sipariş periyotları
belirlenecektir. Bu işlemlerden sonra ise atama aşamasında yapılan dolu kamyon
varsayımının geçerliliği, sipariş periyotları ile karşılaştırılarak kontrolu yapılacaktır.
109
Alexander Schrijver. “A Combinatorial Algorithm Minimizing Submodular Functions in
Strongly Polynomial Time”. Journal of Combinatorial Theory. Series B 80, 2000, s. 346-355
110
Operations Research. Vol. 52, No.3, May-June 2004, s.400
190
4.3.4 Depolar – Perakendeciler Atama Problemi
Daha önce bahis edildiği gibi perakendecilere ve/veya son kullanıcılara bir
tek noktadan sevkiyat yapmak yerine, bunlara göreceli olarak daha yakın konumlarda
tesis edilecek dağıtım depoları aracılığıyla sevkiyat yapmanın getirdiği avantajlar
vardır.
karşılık,
Buna
doğal
olarak bölgesel
bir deponun işletmesinden
kaynaklanacak bir takım masraflar sözkonusu olacaktır. Bu durumda karşılaşılan
problem, yeni bir bölgesel depo açılması sonucunda oluşacak marjinal giderler ile
dağıtım giderlerinde sağlanacak tasarruf ve daha kısa sürede teslimat olanağının
getireceği artı değer karşılaştırıldığında, kurulacak bölgesel depoların coğrafi
konumlarının, işletme için en karlı seçeneği oluşturacak şekilde belirlenmesi olarak
özetlenebilir. Bu analizi yapabilmek için öncelikle depo konumu probleminin bir
matematiksel modeli oluşturulmalıdır.
w bir dağıtım deposu ve Aw, perakendeciler kümesinin (bu çalışmada ele
alınacağı durumda daha doğru bir ifade ile bunların bulundukları illerin) bir alt
kümesi olsun.
1,
w deposu j ilindeki perakendecileri ikmal ediyorsa ( j ∈ Aw )
0,
w deposu j ilindeki perakendecileri ikmal etmiyorsa ( j ∉ Aw )
1,
w deposu mevcut ise
0,
w deposu mevcut değil ise
νw,j =
ve
ωw =
olacak şekilde νw,j ve ωw ikili değişkenleri tanımlansın.
w dağıtım deposu yoluyla j perakendecisine taşımanın aylık maliyeti, W adet
bölgesel depo ve J adet il için,
W
J
w =1
j =1
∑ ∑ν
w, j
⋅ d j ⋅ ( b0, w ⋅ 2nw + bw, j ⋅ 2nw, j ) ile depoların
W
işletme maliyeti
∑ω
w
⋅ Fw olmak üzere, toplam dağıtım maliyetinin minimum
w =1
olması istenmektedir. Bu 4.3.2 bölümünde belirtilen simgelem ile sıfır-bir doğrusal
programlama şeklinde ifade edilirse :
191
W
Min.  ∑
 w =1
J
W

j =1
w =1

∑ ν w, j ⋅ d j ⋅ ( b0, w ⋅ 2nw + bw, j ⋅ 2nw, j ) + ∑ ωw ⋅ Fw 
(4.4)
W
∑ν
Kısıtlar :
w, j
=1 ,
j ∈
w =1
ν w, j ≤ ω w ,
j ∈ ℑ , w ∈
ν w, j , ωw ∈ {0,1}
Burada,
•
Depo işletme maliyeti, Dw =
∑d
j
olmak üzere, Fw = F 'w + f w ⋅
Dw
j∈ Aw
şeklinde F’w gibi sabit bir maliyet ile o depodan sevkedilen mal miktarının
karekökü
ile
orantılı
değişken
bir
maliyet
unsurlarından
oluştuğu
varsayılmaktadır.
•
Birinci kısıt her ilin talebinin sadece bir bölgesel dağıtım deposundan
karşılanması şartını sağlar.
•
İkinci kısıt açılmamış olan bir depodan mal sevkiyatını engeller.
Eğer P tane farklı ürün veya ürün grubu sözkonusu ise, amaç fonksiyonu,
W
Min.  ∑
 w =1
J
P
∑∑
j =1 p =1
W

d j , p ⋅ν w, j ⋅ ( b0, w ⋅ 2nw + bw, j ⋅ 2nw, j ) + ∑ ωw ⋅ Fw 
w =1

şeklinde
olacaktır. Burada dj,p , j perakendecisinin / son kullanıcısının p ürününe olan
dönemlik talebini göstermektedir. Ancak burada ele alınan durumda toplam talep
ürün gruplarına göre ağırlıklı olarak hesaplanarak modele katıldığından, model tek
bir kalem için çözülecektir.
Birden fazla noktadan çok sayıdaki noktaya taşıma ve aktarmalı taşıma
problemlerini çözmek için geliştirilmiş doğrusal programlama ile ilgili işlemsel
süreçleri, pratikte büyük hacimli dağıtım ağlarına ait genel problemlere uygulamak,
gerek değişkenlerin fazlalığı, gerek modellerdeki olası doğrusallıktan ayrılmalar
dolayısıyla her zaman mümkün ve yapılabilir değildir. Bu çalışmada sözkonusu
atama problemi için bir sezgisel yöntem geliştirilmeye çalışılmıştır.
192
4.3.5 Dağıtım Depolarının Konumlarının Sezgisel Yöntem ile Belirlenmesi
Sezgisel yöntemlerle ilgili olarak öteden beri, “problem çözmeye yardımcı
kurallar dizisi”, “bir problemin çözümünü kısaltmak için geliştirilmiş taslak”,
“hesaplama için sistematik bir yöntem” gibi bir çok tanım yapılagelmiştir. H.A.
Simon 1961’de Modelling Human Mental Processes adlı eserinde sezgisel yöntemler
(heuristics) ile işlemsel süreçler (algorithms) arasında bir ayrım ortaya koyarak,
sadece işlemsel süreçler ile istenen doğrulukta çözümler elde edilebileceğini iddia
etmiştir. Ancak bu yargı tam olarak doğru değildir : işlemsel süreç olarak anılan bazı
yöntemlerle istenen doğrulukta çözümler elde edilemediği gibi bazı sezgisel
yöntemler ile optimum çözümün alt ve üst sınırları daha tutarlı bir şekilde elde
edilebilmektedir. Sezgisel yöntem kısaca “optimum çözümü elde etmek yerine
optimum çözüme doğru bir yol izlemek” olarak tanımlanabilir.111
Burada kullanılacak sezgisel yöntemde aşağıdaki gibi iki adımdan
oluşacaktır:
1)
Başlangıçta dağıtım depolarının tesis edilmesi gerekli olan iller
belirlenecektir. Şöyle ki, fabrika ana deposundan başlamak üzere aylık
dağıtım maliyetindeki tasarruf en fazla olacak şekilde birer birer, aylık
taşıma maliyetinin depo aylık sabit işletme maliyetinden büyük olduğu
illerde dağıtım depoları kurulacak ve bu dağıtım depolarının DMAX km
çevresindeki uygun iller de bu depolara atanacaktır. Diğer bir deyişle, ilk
adımda fabrika ana deposunun DMAX km çevresindeki, dağıtım deposu
kurulması durumunda toplam dağıtım maliyetinin artacağı iller, fabrika
ana deposuna atanacaktır. Bu işlem tamamlandığında kalan iller içinden,
aylık dağıtım maliyetindeki tasarrufu en fazla yapacak il seçilerek ikinci
dağıtım deposu olarak belirlenecek ve bu deponun yine DMAX km
çevresindeki uygun nitelikteki iller bu depoya atanacaktır. Bu şekilde
devam edilerek açılması gereken tüm bölgesel dağıtım depoları ve
bunların ikmal edeceği iller belirlenmiş olacaktır.
111
Alfred A. Kuehn ve Michael J. Hamburger. “A Heuristic Program for Locating
Warehouses.”, Management Science, 9, 1963, s. 643-666
193
2)
Bu yöntemle ilk aşamada belirlenen depolara atanan illerden bazılarının
bir sonraki aşamada açılacak bir başka depodan ikmal edilmeleri
durumunda toplam dağıtım maliyetinin azalması sözkonusu olabilir. Bu
amaçla, bir sonraki aşamada programın ikinci adımı olarak, toplam
dağıtım maliyetini azaltacak şekilde, dağıtım ağındaki atamalarda
değişiklik yapmanın gerekli olup olmadığı kontrol edilerek, gerekli
görülen durumlarda atama değişiklikleri yapılacaktır. Bu işlem sırasında
kapanan depolar olabileceği gibi önce belirlenmiş depo konumları da
değiştirilebilecektir.
3)
Son aşamada, daha önceki aşamalarda bölgesel dağıtım deposu olarak
öngörülmüş, ancak sadece bulunduğu ile dağıtım yapılan depolar
belirlenir. Bu depoların kapatılarak, bunların bulunduğu illere uygun başka
depolardan sevkiyat yapılması durumunda dağıtım maliyetinin değişimi
hesaplanır. Eğer böyle bir yol izlenerek ağdaki toplam dağıtım maliyeti
azaltılabilecek ise, bu depolar kapatılarak bunlar en uygun diğer açık
depolara atanacaktır.
Buraya kadar açıklandığı şekilde bir yol izleyerek dağıtım depolarının konum
ve bunlara atanacak iller için bir bilgisayar programı oluşturulmuştur. Bu programın
akışı aşağıda belirtildiği şekilde olacaktır :
I) VERİLERİN OKUNMASI :
1)
Perakendecilerin bulundukları il sayılarını oku.
2)
DMAX değerini oku.
3)
Birim taşıma maliyetlerini oku.
4)
Depo aylık sabit işletme maliyeti ve değişken
işletme maliyeti katsayısını oku.
5)
İller arası uzaklıkları oku.
6)
İllerin talep miktarlarını oku.
194
II) OLASI DAĞITIM DEPOLARININ BELİRLENMESİ ve BUNLARA
UYGUN İLLERİN ATANMASI (Birinci Optimizasyon) :
1)
Fabrika ana deposunu birinci dağıtım deposu olarak belirle. ω(1) = 1
2)
Fabrika ana deposundan ikmal edilecek DMAX km içindeki uygun
illeri belirle.
3)
Aylık dağıtım maliyetindeki tasarrufu en fazla yapacak ili belirle.
4)
Bu ilin DMAX km çevresindeki uygun nitelikteki illeri bu depoya
ata.
5)
Üçüncü adıma dönerek tüm iller bitinceye kadar işlemi tekrarla.
6)
Bu plan için toplam dağıtım maliyetini belirle.
III) ATAMALARIN YENİLENMESİ (İkinci Optimizasyon) :
1)
j = 2’den başlayarak her ili açık olan bir başka bir depoya ata.
2)
Yeni durum için dağıtım maliyetini hesapla.
3)
Toplam dağıtım maliyeti azalıyorsa atamayı koru, birinci adıma dön.
4)
Toplam dağıtım maliyeti artıyorsa atamayı geri al, birinci adıma dön.
5)
Tüm iller tamamlandığında en uygun atama planını belirle.
6)
IV) DAĞITIM MALİYETİNİ ARTTIRAN DEPOLARIN KAPATILMASI
(Üçüncü Optimizasyon) :
1)
w = 2’den başlayarak card (Aw) = 1 olan depoyu bir başka depoya ata.
2)
Toplam dağıtım maliyeti azalıyorsa depoyu kapa, atamayı koruyarak
birinci adıma dön.
3)
Toplam dağıtım maliyeti artıyorsa atamayı geri al, birinci adıma dön.
4)
Tüm iller tamamlandığında en uygun atama planını belirle.
5)
Bu işlemler için kullanılacak programın akım çizelgesi ve depolara
perakendeci atama altprogramı aşağıda verilmiştir.
195
Olası dağıtım depolarının belirlenmesi ve ikmal edilecek illerin belirlenmesi :
Tüm ω(w) ve ν(w,j) katsayılarını sıfırla.
w = 1’den (IL%+1)’e kadar
w = (IL%+1)
Doğru
Yanlış
Doğru
ω(w)=DEPO%
Yanlış
w
AltPr1
CSMAX = 0
i = 1’den IL%’ye kadar
Doğru
ν(w,i) = 1
Yanlış
CSAVE = d i ⋅ 2nw,i ⋅ ( bw, j − b0, w )
CSAVE > CMAX
⇒ CMAX = CSAVE ∧ DEPO% = i
i
w
ω(DEPO%)=1
196
Atamaların Yenilenmesi (İkinci Optimizasyon) :
j = 1’den IL%’ye kadar
w = 1’den IL%’ye kadar
DEPO2% = w
Doğru
ν(w,j) = 0
wj = 1’den IL%’ye kadar
Doğru
ω(wj) = 0
ν ( DEPO 2%, j ) = 0 :ν ( wj, j ) = 1
AltPr2
Doğru
COST<COSTMIN
ν ( DEPO 2%, j ) = 1:ν ( wj, j ) = 0
COSTMIN=COST:DEPO2%=WJ
wj
w
j
197
Uygun Olmayan Depoların Kapatılması (Üçüncü Optimizasyon) :
w = 1’den IL%’ye kadar
Doğru
ω(w) = 0
card (Aw)
card (Aw)>1
wj = 1’den IL%’ye kadar
Doğru
ω(wj) = 0
ν ( w, w ) = 0 :ν ( wj, w ) = 1
AltPr2
Doğru
COST<COSTMIN
ν ( w, w ) = 1:ν ( wj, w ) = 0
COSTMIN=COST : ω(W)=0
AltPr2
COSTMIN=COST
wj
w
198
Dağıtım depolarına uygun nitelikteki illeri atayan alt program (AltPr1):
j = 1’den IL%’ye kadar
Doğru
ν(w,j) = 1
Yanlış
nw, j < DMAX % ∧ d j ⋅ 2nw, j ⋅ ( bw, j − b0, w ) < Fw
⇒ ν ( w, j ) = 1
j
Dağıtım maliyetini hesaplayan altprogram (AltPr2):
wa = 1’den IL%’ye
Doğru
ω(w) = 0
ja = 1’den IL%’ye
Doğru
ν(wa,ja) = 0
Taşıma Maliyeti Hesaplanması
COST = COST + d j ⋅ ( b0, w ⋅ 2nw + bw, j ⋅ 2nw, j )
ja
Toplam Dağıtım Maliyetinin Hesaplanması
COST = COST + F 'w + f w ⋅
Dw
wa
199
4.4
Sezgisel Yöntemin Modele Uygulanması
Bu bölümde yukarıda tanımlanan sezgisel yöntem, örnek olarak ele alınan
unlu ürünler imalat ve dağıtımı yapan işletme modeline uygulanacaktır ve elde edilen
sonuçlar irdelenecektir.
Bu örnek için dağıtım yapılan illerdeki gerçek satış miktarları sözkonusu
işletmeden tam olarak elde edilemediği için bu bilgiler adı geçen illerin, Türkiye
İstatistik
Kurumu
istatistiklerinden
verilerine
hareketle
dayanarak,
tahmin
nüfusları
edilmiştir.
Bu
ve
yıllık
değerler
brüt
kazanç
Tablo
4-2.‘de
gösterilmiştir. Burada Adana ilinin satışları Adana ile Osmaniye ve Konya ilinin
satışları Konya ile Karaman illerinin satışları birleştirilerek elde edilmiştir. Ayrıca,
dağıtım yapılan illerin, gerek fabrika ve ana deponun da bulunduğu İstanbul iline
gerek birbirlerine olan uzaklıkları T.C. Karayolları Genel Müdürlüğü’nün 1.1.2008
tarihli “İller Arası Mesafe Cetveli” esas alınarak belirlenmiştir.
Birim taşıma maliyeti bir aracın yılda ortalama 100.000 km yol yapması ve
bir TIR’ın 44.800,00 YTL, bir kamyonun 9.500,00 YTL değerinde ürün taşıması
varsayımıyla,
Amortisman (TL/yıl)
Sigorta (TL / yıl)
Bakım - onarım giderleri (TL/yıl)
Aylık Personel Gideri (TL-Maliyet)
Yakıt Tüketimi (lt/100km - 70km/h
ortalama hızda ve % 2 eğimli yolda)
Kamyonlar için
6.455,00
2.630,00
4.150,00
1.450,00
16,4
TIR’lar için
19.800,00
8.250,00
9.000,00
2.100,00
30,0
olmak üzere, amortisman, sigorta, bakım-onarım, personel ve yakıt giderleri dahil
olmak üzere TIR’lar için 1,575 YTL/km, kamyonlar için 0,795 YTL/km olarak
hesaplanmıştır. Buna koşut olarak taşıma maliyeti parametreleri İstanbul ana
deposundan bölgesel dağıtım depolarına TIR ile taşımada birim taşıma maliyeti
b0,w = 3,5.10–5 YTL/km.YTL ürün, dağıtım depolarından perakendecilerin bulunduğu
illere kamyon ile taşımada birim taşıma maliyeti bw,j = 8,4.10–5 YTL/km.YTL ürün
olarak hesaplanacaktır.
200
Bölgesel dağıtım depolarının bulundukları illerdeki işyeri m2 kira bedelleri ve
işçilik ücretleri tam olarak elde edilmemiştir. Bununla birlikte ürünlerin depolanması
ve elleçlenmesi için gerekli depo alanının tahmini kira bedeli, kira stopajı, elektrik,
su, ısınma vb. giderler, bekçi ve personel giderleri toplamı, farklı elleçlenen ürün
miktarlarına bağlı olarak aşağıdaki şekilde tahmin edilmiştir.
Tablo 4-1. Elleçlenen ürün miktarına bağlı olarak toplam depo işletme maliyetleri
Elleçlenen Ürün Miktarı
(YTL)
0,00
150.000,00
300.000,00
450.000,00
600.000,00
750.000,00
900.000,00
1050.000,00
1200.000,00
1350.000,00
1500.000,00
Toplam Aylık Depo İşletme
Gideri (YTL)
5.000,00
12.500,00
16.000,00
18.500,00
20.500,00
22.500,00
24.000,00
25.500,00
27.000,00
28.000,00
29.000,00
Bu beklendiği gibi kesikli doğrusal bir fonksiyondur ve bunun grafiği Şekil
4-4‘deki gibi olacaktır.
25000
20000
15000
10000
5000
0
0
100000 200000 300000 400000 500000 600000 700000 800000
Şekil 4-4. Depo işletme maliyetinin elleçlenen ürün miktarına bağlı olarak değişimi
201
Hesaplamalarda, w dağıtım deposu işletme maliyetinin sürekli bir fonksiyon
olarak ifade edilebilmesi amacıyla bu verilere SPSS 13 paket programı ile bir eğri
uydurulmaya (curve estimation) çalışılmıştır. Elde edilen en iyi sonuç y = a + b ⋅ x
şeklinde
bir
model
Fw = 5054 + 19,87 ⋅ Dw
olmaktadır.
Burada
∑ e = 362826
olmak
üzere
dışbükey fonksiyonu elde edilmiştir. Bu katsayılar
yuvarlanarak, modelin çözümünde, w deposunda elleçlenen aylık ürün tutarı Dw
(YTL) olmak üzere, toplam aylık depo işletme maliyeti, Fw = 5000 + 20 ⋅
Dw
olarak hesaplanacaktır.
Diğer taraftan, sözkonusu işletme için modelin çözümüne geçmeden önce 7
ve 10 ile dağıtım yapılan iki örnek durum için modelin önerilen sezgisel yöntem ve
0-1 doğrusal programlama ile çözümünden elde edilen dağıtım planları ve bunların
maliyetleri karşılaştırılmıştır. 0-1 doğrusal programlama ile çözüm Mathematica 5-1
paket programı yardımıyla elde edilmiştir. Bu karşılaştırma sonuçlarının özeti Tablo
4-3‘de verilmektedir. 7 perakendecili model için sırasıyla İstanbul, Eskişehir,
Ankara, Kocaeli, Sakarya, Bursa ve Kayseri, 10 perakendecili model için İstanbul,
Ankara, İzmir, Bursa, Muğla, Kütahya, Kastamonu, Konya, Sakarya, Eskişehir
illerinin verileri temel alınmıştır. Burada da görüleceği gibi her iki çözüm yöntemi ile
elde edilen optimum dağıtım planı dolayısıyla toplam dağıtım maliyetleri de
tamamen eşit olarak bulunmuştur.
202
Tablo 4-2. Dağıtım Yapılan İller Aylık Satış Payları
İl No. İl Adı
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
İstanbul
Tekirdağ
Kırklareli
Edirne
Kocaeli
Yalova
Bursa
Balıkesir
Çanakkale
Sakarya
Düzce
Zonguldak
Kastamonu
Karabük
Samsun
Ordu
Giresun
Trabzon
Kütahya
Manisa
İzmir
Uşak
Denizli
Aydın
Muğla
Aylık Satış
(YTL)
1.763.812,00
71.772,00
32.837,00
39.065,00
174.618,00
22.072,00
296.292,00
110.192,00
46.915,00
101.427,00
39.264,00
75.511,00
44.183,00
26.785,00
150.677,00
66.584,00
38.858,00
68.925,00
61.980,00
140.104,00
396.917,00
35.465,00
96.309,00
100.517,00
81.324,00
İl No. İl Adı
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
Burdur
Antalya
İçel
Adana&Osmaniye
Hatay
Bilecik
Bolu
Afyon
Isparta
Eskişehir
Ankara
Konya&Karaman
Kırıkkale
Nevşehir
Aksaray
Niğde
Kayseri
Sivas
Çorum
Yozgat
Amasya
Tokat
K.Maraş
Malatya
Gaziantep
Toplam
Aylık Satış
(YTL)
28.010,00
199.533,00
177.971,00
274.274,00
154.585,00
24.746,00
32.839,00
74.469,00
46.819,00
88.024,00
502.178,00
245.665,00
28.125,00
28.108,00
36.744,00
33.289,00
116.933,00
64.079,00
67.412,00
49.392,00
40.297,00
76.104,00
112.007,00
76.105,00
137.554,00
6.797.667,00
203
Tablo 4-3. Sezgisel Model ve 0-1 Doğrusal Programlama ile Elde Edilen Sonuçların
Karşılaştırılması
Perakendeci Sayısı : 7
Dağıtım Deposu
Sayısı
1. Depoya Atanan
Perakendeciler
2. Depoya Atanan
Perakendeciler
3. Depoya Atanan
Perakendeciler
Toplam Dağıtım
Maliyeti
Perakendeci Sayısı: 10
0-1 D.P.
S.M.
0-1 D.P.
S.M.
2
2
3
3
1-2-4-56
1-2-4-56
1-4-6-910
1-4-6-910
3-7
3-7
2-7-8
2-7-8
–
–
3-5
3-5
105.548,60
105.548,60
159.775,00
159.775,00
Önerilen sezgisel çözüm yönteminin tanımlanmasında da açıklandığı gibi
birinci aşamada bölgesel dağıtım depolarının belirlenmesi ve perakendecilerin
bunlara atanmasında depolar ile perakendeciler arasındaki azami uzaklık (DMAX)
esas alınmaktadır. Buna bağlı olarak, son aşamada farklılaşma daha az olmakla
birlikte, ilk aşamada elde edilen optimum depo sayıları çok farklı olabilmektedir.
Birinci aşamada elde edilen depo sayısı ve aylık dağıtım maliyetinin depolar ile
perakendeciler arasındaki maksimum uzaklık ile değişimi Tablo 4-4 ve Şekil 4-5‘de
gösterilmiştir. Buna göre, ilk aşamada minimum maliyetin elde edildiği DMAX
değeri 350 km dir. Bununla birlikte daha aşağıda irdeleneceği üzere DMAX = 400 km
almak toplam dağıtım maliyetinin düşürülmesi açısından daha uygun olacaktır.
Takip eden bölümde, Tablo 4-4 ‘den Tablo 4-10’a kadar sezgisel yöntemin
her üç aşaması için DMAX = 350 km ve DMAX = 400 km değerlerine karşılık gelen
dağıtım maliyetleri karşılaştırılmaktadır.
204
Tablo 4-4. Sezgisel Yöntem ile Birinci Aşamada Elde Edilen Aylık Dağıtım
Maliyetinin DMAX ile Değişimi
Depo – Perakendeci
Max. Uzaklık (km)
200
250
300
350
400
450
500
550
600
Depo Sayısı
19
13
11
7
6
5
5
5
5
1. Aşama Aylık Dağıtım
Maliyeti (YTL)
549.198,90
506.605,20
494.611,70
471.246,50
475.534,90
483.819,50
492.386,30
496.628.70
511.267,50
Dağıtım Maliyeti (YTL)
560.000
550.000
540.000
530.000
520.000
510.000
500.000
490.000
480.000
470.000
460.000
0
100
200
300
400
500
600
700
Max. Uzaklık (km)
Şekil 4-5. Sezgisel yöntem ile birinci aşamada elde edilen aylık dağıtım maliyetinin DMAX
ile değişimi.
205
Edilen Dağıtım Planı
(Toplam Dağıtım Maliyeti YTL 471.246,50)
Depo
No.
Deponun
Bulunduğu İl
1
İstanbul (1)
2
Adana (29)
3
İzmir (21)
4
5
6
7
Ankara (36)
Antalya (27)
Samsun (15)
Malatya (49)
İkmal Edilen
İl No.ları
1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 9 - 10 - 11 12 - 31 - 32 - 35
28 - 29 - 30 - 39 - 40 - 41 - 42 - 48 50
8 - 19 - 20 - 21 - 22 - 23 - 24 - 25 33
13 - 36 - 37 - 38 - 44 - 45 - 46
26 - 27 - 34
14 - 15 - 16 - 17 - 18 - 43 - 47
49
İl Sayısı
14
9
9
7
3
7
1
Depo
No.
Deponun
Bulunduğu İl
1
İstanbul (1)
2
Adana (29)
3
İzmir (21)
4
5
6
Ankara (36)
Antalya (27)
Samsun (15)
İkmal Edilen
İl No.ları
1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 11 - 12 - 14 - 19 - 31 - 32 - 35
28 - 29 - 30 - 37 - 39 - 40 - 41 - 42 48 - 49 - 50
20 - 21 - 22 - 23 - 24 - 25 - 26 - 33 34
13 - 36 - 38 - 44 - 45 - 46 - 47
27
15 - 16 - 17 - 18 - 43
İl Sayısı
17
11
9
7
1
5
206
Tablo 4-7. Sezgisel Yöntem ile DMAX = 350 km Alarak İkinci Aşamada Elde
Depo
No.
Deponun
Bulunduğu İl
1
İstanbul (1)
2
3
4
5
6
Samsun (15)
İzmir (21)
Antalya (27)
Adana (29)
Ankara (36)
7
Malatya (49)
İkmal Edilen
İl No.ları
1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 11 - 12 - 14 - 19 - 31 - 32 - 33 - 35
15 - 16 - 17 - 18 - 46 - 47
20 - 21 - 22 - 23 - 24 - 25
26 - 27 - 34
28 - 29 - 30 - 48 - 50
13 - 36 - 37 - 38 - 39 - 40 - 41 - 42 43 - 44 – 45
49
İl Sayısı
18
6
6
3
5
11
1
Tablo 4-8. Sezgisel Yöntem ile DMAX = 400 km Alarak İkinci Aşamada Elde
Depo
No.
Deponun
Bulunduğu İl
1
İstanbul (1)
2
3
4
5
6
Samsun (15)
İzmir (21)
Antalya (27)
Adana (29)
Ankara (36)
İkmal Edilen
İl No.ları
1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 11 - 12 - 14 - 19 - 31 - 32 - 33 - 35
15 - 16 - 17 - 18 - 46 - 47
20 - 21 - 22 - 23 - 24 - 25
26 - 27 - 34
28 - 29 - 30 - 48 - 49 - 50
13 - 36 - 37 - 38 - 39 - 40 - 41 - 42 43 - 44 – 45
İl Sayısı
18
6
6
3
6
11
207
Depo
No.
Deponun
Bulunduğu İl
1
İstanbul (1)
2
3
4
5
6
Samsun (15)
İzmir (21)
Antalya (27)
Adana (29)
Ankara (36)
İkmal Edilen
İl No.ları
1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 11 - 12 - 14 - 19 - 31 - 32 - 33 - 35
15 - 16 - 17 - 18 - 46 - 47
20 - 21 - 22 - 23 - 24 - 25
26 - 27 - 34
28 - 29 - 30 - 48 - 49 - 50
13 - 36 - 37 - 38 - 39 - 40 - 41 - 42 43 - 44 – 45
İl Sayısı
18
6
6
3
6
11
Depo
No.
Deponun
Bulunduğu İl
1
İstanbul (1)
2
3
4
5
6
Samsun (15)
İzmir (21)
Antalya (27)
Adana (29)
Ankara (36)
İkmal Edilen
İl No.ları
1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 11 - 12 - 14 - 19 - 31 - 32 - 33 - 35
15 - 16 - 17 - 18 - 46 - 47
20 - 21 - 22 - 23 - 24 - 25
26 - 27 - 34
28 - 29 - 30 - 48 - 49 - 50
13 - 36 - 37 - 38 - 39 - 40 - 41 - 42 43 - 44 - 45
İl Sayısı
18
6
6
3
6
11
208
Yukarıdaki karşılaştırmadan da görüleceği üzere sezgisel yöntemin ilk
aşamalarında farklılıklar olsa da son optimizasyonda her iki DMAX = 350 km ve
DMAX = 400 km değeri için toplam dağıtım maliyeti eşit bulunmaktadır. Aşağıdaki
Tablo 4-11 tablosunda çeşitli DMAX değerleri için hesaplanan optimum depo sayıları
ve dağıtım maliyetleri verilmektedir.
Tablo 4-11. Sezgisel Yöntem ile Elde Edilen Optimum Aylık Dağıtım Maliyetinin
DMAX ile Değişimi
Depo – Perakendeci
Max. Uzaklık (km)
200
250
300
350
400
450
500
550
600
Depo Sayısı
9
8
8
6
6
5
5
5
5
Toplam Dağıtım
Maliyeti (YTL)
471.781,60
464.863,30
464.863,30
452.119,80
452.119,80
460.307,10
460.307,10
460.307,10
460.307,10
Son olarak, buraya kadar yapılan hesaplamalarda
DMAX değeri sadece
sezgisel yöntemin birinci aşamasında (dağıtım depolarının konumlarının ilk
hesaplanmasında) karar değişkeni olarak kullanılmış, daha sonraki aşamalar
sırasındaki perakendeci atamalarında gözönüne alınmamıştır. Bu şekilde dağıtım
depolarına atanan perakendecilerin durumları incelendiğinde özellikle İstanbul –
Afyon (1 – 33) ve Ankara – Sivas (36 – 43) uzaklıkları sırasıyla 460 ve 442 km
olarak, eğer DMAX = 400 km kabul edilirse, öngörülenden fazla olacaktır. Bu
kısıtlama diğer optimizasyon aşamalarına yansıtılırsa Tablo 4-12. ve Tablo 4-13.‘den
görüleceği gibi toplam dağıtım maliyetini arttırmaktadır; buna karşılık olasıdır ki,
servis kalitesi iyileşecektir.
209
Uygulanarak Elde Edilen Optimum Dağıtım Planı
Depo
No.
Deponun
Bulunduğu İl
1
İstanbul (1)
2
3
4
5
6
Samsun (15)
İzmir (21)
Antalya (27)
Adana (29)
Ankara (36)
İkmal Edilen
İl No.ları
1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 9 - 10 - 11 12 - 31 - 32 - 35
14 - 15 - 16 - 17 - 18 - 43 - 46 - 47
8 - 20 - 21 - 22 - 23 - 24 - 25
26 - 27 - 34
28 - 29 - 30 - 48 - 49 - 50
13 - 19 - 33 - 36 - 37 - 38 - 39 - 40 41 - 42 - 44 - 45
İl Sayısı
14
8
7
3
6
12
Uygulanarak Elde Edilen Optimum Dağıtım Planı
Depo
No.
Deponun
Bulunduğu İl
1
İstanbul (1)
2
3
4
5
6
Samsun (15)
İzmir (21)
Antalya (27)
Adana (29)
Ankara (36)
İkmal Edilen
İl No.ları
1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 11 - 12 - 14 - 19 - 31 - 32 - 35
15 - 16 - 17 - 18 - 43 - 46 - 47
20 - 21 - 22 - 23 - 24 - 25
26 - 27 - 34
28 - 29 - 30 - 48 - 49 - 50
13 - 33 - 36 - 37 - 38 - 39 - 40 - 41 42 - 44 - 45
İl Sayısı
17
7
6
3
6
11
210
Kırklareli
Edirne
Zonguldak
Kastamonu
Istanbul
Samsun
Karabük
Tekirdağ
Çanakkale
Yalova
Kocaeli
Sakarya
Bursa
Bilecik
Balıkesir
Düzce
Bolu
Ordu
Çorum
Kırıkkale
Trabzon
Giresun
Amasya
Sivas
Eskişehir
Kütahya
Manisa
Nevşehir
Afyon
Kayseri
Malatya
İzmir
Aksaray
Konya
Isparta
Aydın
Niğde
Denizli
Burdur
Muğla
K.Maraş
Antalya
Gaziantep
İçel
Hatay
Şekil 4-6. 1. Aşama dağıtım planı (DMAX = 400 km, Toplam Dağıtım Maliyeti : 475.534,90 YTL)
211
Kırklareli
Zonguldak
Edirne
İstanbul
Tekirdağ
Karabük
Düzce
Bolu
Kocaeli
Sakarya
Yalova
Samsun
Kastamonu
Ordu
Çorum
Trabzon
Giresun
Amasya
Tokat
Çanakkale
Bursa
Bilecik
Kırıkkale
Balıkesir
Yozgat
Eskişehir
Sivas
Kütahya
Manisa
Nevşehir
Afyon
Uşak
Malatya
Kayseri
İzmir
Aksaray
Konya
Isparta
Aydın
Niğde
Denizli
K.Maraş
Burdur
Adana
Muğla
Antalya
Gaziantep
İçel
Hatay
Şekil 4-7. 2. ve 3. Aşamalar sonunda optimum dağıtım planı (DMAX = 400 km, Toplam Dağıtım Maliyeti : 452.693,20 YTL)
212
Yukarıdaki iki tablodan görüleceği gibi, dağıtım depoları ile perakendeciler
arasındaki uzaklık 350 km ile sınırlandığında toplam aylık dağıtım maliyetinde
3.592,20 YTL (‰ 8), 400 km ile sınırlandığında ise toplam aylık dağıtım
maliyetinde 573,40 YTL (‰ 1,3) tutarında bir artış öngörülmektedir. Bu değerler ise
sırasıyla yıllık 43.106,40 YTL ve 6.880,80 YTL fazla maliyet anlamına gelmektedir.
Bu değişikliklerden etkilenecek illlere aylık toplam satış tutarı sırasıyla 337.505,00
YTL ve 138.548,00 YTL olup, maliyet artışının toplam satışlara oranı da sırasıyla
%1,06 ve % 0,41 olacaktır.
Bir başka seçenek de hem İstanbul ana deposunun iş yükünü azaltmak, hem
de servis kalitesini daha iyileştirmek amacıyla Bursa’da bir bölgesel dağıtım deposu
daha açmaktır. (Şekil 4-8) Ancak bu durumda dağıtım maliyeti daha da artarak
456.740,70 YTL olmaktadır.
Burada işletme, servis kalitesinde elde edilecek iyileşmenin bu maliyet
artışına değip değmeyeceği kararını vermelidir.
213
Kırklareli
Zonguldak
Edirne
İstanbul
Samsun
Karabük
Tekirdağ
Yalova
Kastamonu
Düzce
Kocaeli
Çorum
Bolu
Giresun
Amasya
Sakarya
Çanakkale
Bilecik
Tokat
Trabzon
Ordu
Kırıkkale
Yozgat
Balıkesir
Eskişehir
Sivas
Kütahya
Manisa
Nevşehir
Uşak
İzmir
Afyon
Malatya
Kayseri
Aksaray
Isparta
Aydın
Konya
Niğde
K.Maraş
Denizli
Burdur
Adana
Muğla
Gaziantep
Antalya
İçel
Hatay
Şekil 4-8. Bursa’da bir bölgesel dağıtım deposunun daha açıldığı seçenek (DMAX = 400 km, Toplam Dağıtım Maliyeti : 456.740,70 YTL)
214
Bu çalışmada buradan sonra DMAX = 400 km olarak alınacaktır. Tüm bu
hesaplamalara göre dağıtım planı aşağıdaki şekilde olacaktır :
Depo 1 : İstanbul (1)
Sıra
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
İl No.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
14
19
31
32
35
İl No.
15
16
17
18
43
46
47
Ana Depoya
Uzaklık (km)
0
132
211
230
111
176
243
390
320
148
217
331
396
360
250
262
330
Taşıma Maliyeti
(YTL)
0,00
1.591,62
1.164,01
1.509,47
3.256,28
652,62
12.095,82
7.219,78
2.522,15
2.521,88
1.431,41
4.199,02
1.781,95
3.748,55
1.039,33
1.445,44
4.880,05
İl Adı
İstanbul
Tekirdağ
Kırklareli
Edirne
Kocaeli
Yalova
Bursa
Balikesir
Çanakkale
Sakarya
Düzce
Zonguldak
Karabük
Kütahya
Bilecik
Bolu
Eskişehir
Talep (YTL)
1.763.812,00
71.772,00
32.837,00
39.065,00
174.618,00
22.072,00
296.292,00
110.192,00
46.915,00
101.427,00
39.264,00
75.511,00
26.785,00
61.980,00
24.746,00
32.839,00
88.024,00
Toplam
3.008.151,00
51.059,38
Depo İşlet. Maliyeti
39.688,04
Toplam Maliyet
90.747,42
Depo 2 : Samsun (15)
Sıra
1
2
3
4
5
6
7
Ana Depoya Uzaklık : 0 km
Ana Depoya
Uzaklık (km)
0
152
196
333
339
131
231
Taşıma Maliyeti
(YTL)
7.773,43
5.135,36
3.284,20
7.411,78
6.955,26
2.965,78
6.879,65
İl Adı
Samsun
Ordu
Giresun
Trabzon
Sivas
Amasya
Tokat
Talep (YTL)
150.677,00
66.584,00
38.858,00
68.925,00
64.079,00
40.297,00
76.104,00
Toplam
505.524,00
40.405,46
19.220,04
Toplam Maliyet
59.625,50
215
Depo 3 : İzmir (21)
Sıra
1
2
3
4
5
6
İl No.
20
21
22
23
24
25
İl No.
26
27
34
İl No.
28
29
30
48
49
50
Taşıma Maliyeti
(YTL)
6.349,23
15.586,93
2.649,87
7.406,35
6.142,59
6.322,29
Talep (YTL)
140.104,00
396.917,00
35.465,00
96.309,00
100.517,00
81.324,00
Toplam
850.636,00
44.457,26
23.445,99
Toplam Maliyet
67.903,25
Ana Depoya
Uzaklık (km)
122
0
130
Taşıma Maliyeti
(YTL)
1.993,64
10.112,33
3.395,31
İl Adı
Burdur
Antalya
Isparta
Talep (YTL)
28.010,00
199.533,00
46.819,00
Toplam
274.362,00
15.501,28
15.475,92
Toplam Maliyet
30.977,20
Depo 5 : Adana (29)
Sıra
1
2
3
4
5
6
Ana Depoya
Uzaklık (km)
36
0
211
224
130
229
İl Adı
Manisa
İzmir
Uşak
Denizli
Aydın
Muğla
Depo 4 : Antalya (27)
Sıra
1
2
3
İl Adı
İçel
Adana
Hatay
K.Maraş
Malatya
Gaziantep
Toplam
Talep (YTL)
177.971,00
274.274,00
154.585,00
112.007,00
76.105,00
137.554,00
Ana Depoya
Uzaklık (km)
69
0
191
186
389
206
Taşıma Maliyeti
(YTL)
13.761,07
18.028,03
15.121,20
10.862,21
9.976,00
13.801,89
932.496,00
81.550,40
24.312,68
Toplam Maliyet
105.863,08
216
Depo 6 : Ankara (36)
Sıra
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
İl No.
13
33
36
37
38
39
40
41
42
44
45
Ana Depoya
Uzaklık (km)
245
256
0
258
77
277
225
348
320
244
218
Taşıma Maliyeti
(YTL)
3.219,62
5.564,17
15.924,06
18.438,14
1.255,67
2.199,34
2.554,08
3.001,80
9.994,26
4.900,99
3.375,15
İl Adı
Kastamonu
Afyon
Ankara
Konya
Kırıkkale
Nevşehir
Aksaray
Niğde
Kayseri
Çorum
Yozgat
Talep (YTL)
44.183,00
74.469,00
502.178,00
245.665,00
28.125,00
28.108,00
36.744,00
33.289,00
116.933,00
67.412,00
49.392,00
Toplam
1.226.498,00
70.427,28
27.149,47
Toplam Maliyet
97.576,75
Bu plana göre iller dahilindeki dağıtım giderleri hariç, toplam dağıtım
maliyeti 452.693,20 YTL dir.
217
4.5
Stok Miktarları ve Sipariş Periyotları
Dağıtım depolarının sayısı ve konumları belirlendikten sonra sipariş
periyotlarının belirlenmesi çok daha yalın bir problem olarak ele alınabilir. Bunun
için öncelikle maliyet parametrelerinin belirlenmesi gereklidir. Bu konuda örnek
işletmeden her konuda ayrıntılı ve kesin veriler elde edilememiş olmakla birlikte
eldeki verilerden hareketle bir dizi değer tahmin edilmiştir.
Öncelikle depo sabit sipariş maliyetleri, İstanbul ana deposu için sipariş
başına 500 YTL, diğer depolar için 200 YTL değeri kullanılacaktır. Depolardaki
değişken sipariş maliyeti hesabında bu giderin depo aylık işletme maliyeti ve
finansman giderlerinden oluştuğu kabul edilmiştir. Finansman maliyetinin aylık % 2
olduğu varsayımıyla ve bir önceki bölüm sonunda belirlenmiş dağıtım planı
çerçevesinde bölgesel dağıtım depoları için elde bulundurma birim maliyetleri
YTL/Ay.YTL satış olarak İstanbul ana deposu için hw1 = 0,0332 ve sırasıyla
Samsun, İzmir, Antalya, Adana ve Ankara dağıtım depoları için, hw2 = 0,0580, hw3 =
0,0476, hw4 = 0,0764, hw5 = 0,0461 ve hw6 = 0,0421 olarak hesaplanmıştır.
Perakendecilerin bulunduğu iller için ise sabit sipariş maliyeti İstanbul için 250
YTL/sipariş, diğerleri için 50 YTL/sipariş ve değişken sipariş maliyeti hrj = 0,02
olarak alınmıştır.
Maliyet parametreleri belirlendikten sonra, problem daha önce 3.4 ve 3.5
bölümlerinde ayrıntıları açıklanan gevşek problem olarak ele alınmıştır. Yine bu
bölümlerde değinilen kademelendirme yaklaşımı kullanılarak sipariş periyotları, en
yakın tamsayı değerlere yuvarlatılmış olarak elde edilmiştir. Daha sonra bunlara
karşılık gelen maliyetler hesaplanmıştır. Burada temel periyot yaklaşımının
kullanılmamış olduğu özellikle vurgulanmalıdır.
Bu amaçla önce kademeleri belirlemek için her dağıtım deposu ve ikmal
ettiği
perakendeciler
π ( Nm ) =
için,
Microsoft
Excel
programından
yararlanarak,
k ( Nm )
değerleri hesaplanmış ve π ( N m ) ile π  N next ( m )  değerleri
g ( Nm )
karşılaştırılarak
kademeler
belirlenmiştir.
Burada
k ( Nm ) =
∑k
j
ve
j∈N m
218
∑d
g ( Nm ) =
j
⋅ h j dir. Hatırlanacağı gibi çözümün optimum olması için gerek şart
j∈ N m
π ( N m ) ≥ π  N next ( m )  olmasıdır. Bu gerçekleşmediği sürece dağıtım deposu ile
perakendecileri yeni bir küme (cluster) oluşturacaklardır. Bu şekilde elde edilen her
küme için optimum sipariş periyotu u = u ( m ) =
2 ⋅ π ( N m ) olarak hesaplanmış ve
elde edilen değer anlamlı olması amacıyla, gün bazında (Bir ay 30 gün olarak
alınmıştır)
en
yakın
tamsayıya
yuvarlanarak
optimum
sipariş
periyotları
belirlenmiştir.
Toplam stok ve dağıtım maliyeti de Cw, Aw = I ( w, Aw ) + ∑ j∈ A θ w, j + Fw
w
bağıntısı ile elde edilir. Burada, I(w,Aw) ‘nin ifadesi aşağıdaki gibidir :
kr 1
kww
1
+ ∑ j∈A j + ⋅ ∑ j∈A d j ⋅ hr ' j ⋅ urj + ⋅ ∑ j∈A d j ⋅ hww ⋅ max.( uww , urj ) − urj 
w
w
w
uww
urj 2
2
Diğer taraftan, maliyet bağıntısındaki Fw değeri hesaplamalarda depolama
maliyeti çarpanı şeklinde kullanıldığından maliyete ayrıca ilave edilememiştir.
Burada elde edilen minimum dağıtım ve stok maliyeti, sipariş periyotları ilk
hesaplandıkları şekilde pozitif gerçel sayılar olarak alındığında, 527.349,30 YTL
olarak elde edilmektedir. Ancak, gün ölçeğinin gerçel sayı olarak bir anlam ifade
etmeyeceği düşünülerek sipariş periyotları en yakın doğal sayılara yuvarlatılarak bir
sipariş planı belirlenmiştir. Elde edilen tüm sonuçlar aşağıda ayrıntılı tablolar
şeklinde aşağıda verilemektedir.
219
Tablo 4-14. Önerilen dağıtım planına göre toplam dağıtım ve stok maliyetleri.
Depo No. 1 : İstanbul (1)
Optimum Sipariş Periyodu : 3 gün
Sıra
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
İl No.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
14
19
31
32
35
kww/u = 5.000,00 YTL
S. Periyodu
(gün)
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
T. Maliyet
Cw,Aw (YTL)
30.462,59
3.229,45
2.184,59
2.628,78
6.524,58
1.502,54
17.293,09
9.466,71
3.765,91
4.629,86
2.553,88
5.896,13
2.706,59
5.231,15
1.931,64
2.466,05
6.775,53
İl Adı
İstanbul
Tekirdağ
Kırklareli
Edirne
Kocaeli
Yalova
Bursa
Balikesir
Çanakkale
Sakarya
Düzce
Zonguldak
Karabük
Kütahya
Bilecik
Bolu
Eskişehir
Talep (YTL)
1.763.812,00
71.772,00
32.837,00
39.065,00
174.618,00
22.072,00
296.292,00
110.192,00
46.915,00
101.427,00
39.264,00
75.511,00
26.785,00
61.980,00
24.746,00
32.839,00
88.024,00
Toplam
3.008.151,00
109.249,07
kww/u
5.000,00
Toplam Maliyet
114.249,07
220
Depo No. 2 : Samsun (15)
Sıra
1
2
3
4
5
6
7
İl No.
15
16
17
18
43
46
47
kww/u = 1.500,00 YTL
S. Periyodu
(gün)
3
3
3
3
3
3
3
T. Maliyet
Cw,Aw (YTL)
14.735,46
8.490,93
5.450,69
10.867,75
10.203,40
5.193,98
10.643,50
İl Adı
Samsun
Ordu
Giresun
Trabzon
Sivas
Amasya
Tokat
Talep (YTL)
150.677,00
66.584,00
38.858,00
68.925,00
64.079,00
40.297,00
76.104,00
Toplam
505.524,00
65.585,71
kww/u
1.500,00
Toplam Maliyet
67.085,71
Depo No. 3 : İzmir (21)
Sıra
1
2
3
4
5
6
İl No.
20
21
22
23
24
25
kww/u = 652,92 YTL
S. Periyodu
(gün)
3
3
3
3
3
3
T. Maliyet
Cw,Aw (YTL)
11.872,41
30.317,69
4.421,41
11.359,33
10.246,45
9.738,01
İl Adı
Manisa
İzmir
Uşak
Denizli
Aydın
Muğla
Talep (YTL)
140.104,00
396.917,00
35.465,00
96.309,00
100.517,00
81.324,00
Toplam
850.636,00
77.955,30
kww/u
652,92
Toplam Maliyet
78.608,22
221
Depo No. 4 : Antalya (15)
Sıra
1
2
3
İl No.
26
27
34
kww/u = 1.500,00 YTL
S. Periyodu
(gün)
4
4
4
T. Maliyet
Cw,Aw (YTL)
4.128,61
23.024,71
6.712,12
İl Adı
Burdur
Antalya
Isparta
Talep (YTL)
28.010,00
199.533,00
46.819,00
Toplam
274.362,00
33.865,44
kww/u
1.500,00
Toplam Maliyet
35.365,44
Depo No. 5 : Adana (29)
Sıra
1
2
3
4
5
6
İl No.
28
29
30
48
49
50
İl Adı
İçel
Adana
Hatay
K.Maraş
Malatya
Gaziantep
Toplam
kww/u = 2.000,00 YTL
Talep (YTL)
177.971,00
274.274,00
154.585,00
112.007,00
76.105,00
137.554,00
S. Periyodu
(gün)
3
3
3
3
3
3
T. Maliyet
Cw,Aw (YTL)
19.489,44
26.585,57
20.162,55
14.652,71
12.711,79
18.342,91
932.496,00
111.944.97
kww/u
2.000,00
Toplam Maliyet
113.944,97
222
Depo No. 6 : Ankara (36)
Sıra
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
İl No.
13
33
36
37
38
39
40
41
42
44
45
kww/u = 426,03 YTL
S. Periyodu
(gün)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
T. Maliyet
Cw,Aw (YTL)
5.413,71
8.748,14
33.087,43
27.217,54
2.924,92
3.868,03
4.505,04
4.839,83
14.566,14
7.854,31
5.739,50
İl Adı
Kastamonu
Afyon
Ankara
Konya
Kırıkkale
Nevşehir
Aksaray
Niğde
Kayseri
Çorum
Yozgat
Talep (YTL)
44.183,00
74.469,00
502.178,00
245.665,00
28.125,00
28.108,00
36.744,00
33.289,00
116.933,00
67.412,00
49.392,00
Toplam
1.226.498,00
118.764,59
kww/u
426,03
Toplam Maliyet
119.190,62
Bu plana göre il dahilindeki dağıtım giderleri hariç toplam dağıtım ve stok
bulundurma maliyeti aylık 528.444,03 YTL olarak hesaplanmaktadır.
Diğer taraftan, dağıtım deposu ve perakendecileri arasında sipariş periyotları
farklı olan depolar için periyotlar ikinin katları olarak düzenlenirse, yani bu plan için
Ankara ana deposunun sipariş periyodu 4 güne çıkarılırsa toplam maliyet % 0,74
artarak 532.377,58 olacaktır. Depo sipariş periyotları ile perakendecilerin sipariş
periyotları eşitlendiği durumda ise bu maliyet daha iyileşerek aylık 525.396,46
YTL’ye inecektir.
223
SONUÇ
Bu çalışmada İstanbul’da kurulu fabrikasında unlu gıda maddeleri üreten ve
bunların dağıtımını yapan bir işletme ele alınmıştır. Bu işletmenin, toplam dağıtım
maliyetini en düşük seviyede tutmak için, kaç adet ve hangi illerde bölgesel dağıtım
depoları açması gerektiği ile gerek ana depodan dağıtım depolarına, gerek bu
depolardan perakendeci ve son kullanıcıların bulundukları illere ne aralıklarla
sevkiyat yapılmasının uygun olduğunun, yani kısaca izlemesi gereken stok
politikalarının belirlenmesi amaçlanmıştır. Araştırma konusu işletme Doğu Anadolu
ve Doğu Karadeniz bölgeleri hariç Türkiye genelinde 50 ilde 10000 civarında
perakendeci ve son tüketiciye hizmet vermektedir.
Bu çalışmada işletmenin depoları arasında araç rotalama, sevkiyat ve stok
politikaları ile ilgili bir çözüm önerilmiş, iller dahilindeki dağıtım planı, depo düzeni,
kısmen de hizmet düzeyi gibi operasyonel konular çalışma kapsamı dışında
bırakılmıştır. Bunun sebebi ticari sır niteliği taşımasından dolayı perakendecilerin ve
otel, lokanta, büfe gibi son tüketicilerin ayrıntılı konumlarının ve satış paylarının elde
edilememesidir. Bununla birlikte, herhangi bir ile mal ikmali nereden yapılırsa
yapılsın, bu durum il içindeki araç rotalamasını, dolayısıyla il sınırları içindeki talep
noktalarına dağıtım maliyetini etkilemeyeceğinden, depo sayı ve konumlarının
bulunmasında belirleyici olmayacaktır. Diğer taraftan, illerin teker teker talepleri de
elde mevcut olmadığından toplam satışlar, varsayımlar bölümünde de vurgulandığı
gibi illerin aylık talep miktarları, Türkiye İstatistik Kurumu’nun açıklamış olduğu,
illerin nüfusları ve yıllık ortalama gelirler esas alınarak, tahmin edilmiştir. Ayrıca,
kullanılan satış değerleri güncel değil geçmiş yıllara ait bilgilerdir. Araç fiyatları,
taşıma kapasiteleri, boyutları, birim yakıt tüketimleri gibi bilgiler ise ilgili üreticilerin
belirttiği araç teknik özelliklerine uygun olarak taşıma maliyeti hesaplarına dahil
edilmiştir.
Model oluşturulurken, önce problemin taşıma, depo işletme maliyetleri ve
stok maliyetlerini içeren toplam dağıtım maliyet formülü betimlenmiştir. Bu
224
problemin kuramsal olarak küme bölüntülemeli, tamsayılı doğrusal programlama
(set-partitioning integer-programming) modeli şeklinde, sütun üretme yöntemi ile
çözülebilmesi olasıdır. Burada karşılabilecek temel zorluklardan biri, küme
bölüntüleme yönteminde üretilecek sütunların perakendeci sayısı ile üstel olarak
artmasıdır. Ayrıca kullanılan maliyet fonksiyonlarında doğrusallıktan sapmalar da
sözkonusu olduğundan bu tür bir uygulama pratikte yapılabilir değildir. Bu
sebeplerle problem, dağıtım depolarının konumlarının bulunması ile izlenmesi
gereken stok politikasının belirlenmesi olarak tanımlanacak iki farklı tali problem
olarak ele alınmıştır. Diğer taraftan, problemin bu şekilde ele alınmasının çok önemli
bir avantajı da depo yerlerinin doğru seçiminin bir dağıtım sistemindeki önemidir.
Talebin zaman içinde değişken olması çok doğaldır. Bu değişkenliği karşılamak için
stok politikalarının değiştirilmesi, politikaların yeniden düzenlenmesinden ve
gerekiyorsa depo kapasitelerinin arttırılmasından ibaret kolay ve oldukça masrafsız
bir iştir. Oysa, yanlış yer seçimi veya eksik depo sayısı ileride yeni depolar açılması
veya mevcut olanların konumunun değiştirilmesi gibi katlanılması gereken önemli
maliyetler ortaya çıkaracaktır. Bu sebeple depo yer seçiminin izlenecek stok
politikasından çok fazla ve doğrudan etkilenmemesinde daima fayda vardır.
Tesis edilmesi gereken bölgesel dağıtım depolarının sayı ve konumlarının
belirlenmesi, klasik bir depolar–perakendeciler dağıtım ağı tasarım (DPDT)
problemidir. Tasarım aşamasında alınacak bu tip kararlar bir tedarik zincirinin tüm
yapısını ve verimliliğini derinden etkileyeceğinden, uzun zamandır bir çok
araştırmacı tarafından çeşitli şekillerde ele alınmıştır. Gomory bu problemi tamsayılı
bir doğrusal programlama yaklaşımı olarak ele almıştır. Ancak, problemin boyutu ve
doğrusallıktan sapmalar sebebiyle uygulamada çoğu zaman bu yolla çözüme ulaşmak
mümkün olmamaktadır. Baumol ve Wolfe probleme toplam taşıma maliyetini en aza
indirgeyecek çözümlerin araştırılması şeklinde bakmışlardır. Sevkiyatlardaki
gecikmelerden kaynaklanan başka maliyetlerin doğrudan maliyete eklenmesi
gerektiği açık olmakla beraber, bu etki Baumol-Wolfe’ün yaklaşımında probleme
herhangi bir şekilde dahil edilmemiştir. Diğer taraftan model, depo sabit işletme
giderlerini içermez, depo giderleri sadece depo elleçleme hacminin kare kökü ile
orantılı dışbükey bir fonksiyon şeklinde hesaplanır. Baumol – Wolfe modeli sabit bir
ürün karışımıyla ilgilenir ve modelde ürün çeşitlerini belirten bir üçüncü alt simge
225
kullanılmaz. Balinski ve Mills modelinde depo konumlama problemine yaklaşım da
Baumol – Wolfe modeline benzer, ancak bu modelde depo işletme maliyeti parçalı
doğrusal fonksiyonlar şeklinde modele dahil edilir. Ayrıca, Balinski ve Mills
algoritması tek bir fabrikadan (veya depodan) dağıtım ve tek bir ürün ile
sınırlandılmıştır. Shycon ve Maffei ise 1960’da depo konumlarını saptamak için bir
benzetim (simulasyon) tekniği önermişlerdir. Burada kısaca özetlenen klasik
yöntemlerin yanı sıra günümüze kadar daha birçok işlemsel süreçler, genetik
algoritma gibi modern sezgisel yöntemler ve benzetim teknikleri geliştirilmiştir. Bu
çalışmada, taşıma yapılacak iller arasındaki uzaklıkları kısıtlayan, dolayısıyla
sevkiyat sürelerinin bir ölçüde de olsa modele katıldığı ve bu şartlarla dağıtım
maliyetlerini en az yapacak şekilde, bir program yazılarak en uygun depo konumları
belirlenmeye çalışılmıştır.
Problemin ikinci aşaması veya diğer deyişle ikinci tali problem, depo
konumları belirlendikten sonra, maliyet en az olacak şekilde, ana depodan dağıtım
depolarına ve buralardan da perakendecilerin ve son tüketicilerin bulundukları illere
ne sıklıkla sevkiyat yapılması gerektiğinin hesaplanmasıdır. Bu konuda da çeşitli
çalışmalar yapılmış olmakla birlikte çıkış ve varış konumları bilindiğinde, problem
çok daha yalın olarak çözülebilmektedir. Burada kademeli stok kavramı temel
alınarak gevşek problem olarak anılan bir problem oluşturmak suretiyle çözümlere
varmak amaçlanmıştır. İlgili bölümlerde ayrıntılı olarak açıklandığı gibi temel
periyot kullanılmadığı zaman, buradan elde edilecek çözüme karşılık gelen maliyet,
olası en düşük maliyetten en fazla % 2 daha yüksek olacaktır.
Buraya kadar kısaca açıklanan yöntemle ulaşılan çözümler sonunda, söz
konusu işletme için önerilen dağıtım planını bir kez daha ayrıntılı olarak irdelemek
yerinde olacaktır. Modele göre depo konumlarının ilk belirlenmesi safhasında,
depolara atanan perakendecilerin bunlara olan uzaklıkları bir DMAX değeri ile
kısıtlanmıştır. Önceki aşamalarda yapılan analizler sonunda bu uzaklık dağıtım
maliyetinin optimum olduğu değer olarak hesaplanmıştır. Bu değer, araç ortalama
hızlarının 70 km/saat olarak alındığı hatırlanırsa, nakliye sürelerini 6 saatle
sınırlandırmak için de uygun düşmektedir. Bu kısıtlama kullanılan programdaki
parametreler yardımıyla bu ilk aşama ile sınırlı tutulabileceği gibi her aşama için de
kalıcı kılınabilir. DMAX değeri, sadece birinci aşamada (dağıtım depolarının
226
konumlarının ilk hesaplanmasında) karar değişkeni olarak kullanıldığında elde edilen
maliyet 452.119,80 YTL dir. Dağıtım depolarına bu şekilde atanan perakendecilerin
durumları incelendiğinde, İstanbul – Afyon (1 – 33) ve Ankara – Sivas (36 – 43)
uzaklıkları sırasıyla 460 ve 442 km olarak, eğer çıkış ve varış noktaları arasındaki
azami uzaklık önerilen plandaki gibi 400 km kabul edilirse, öngörülenden fazla
olacaktır. Eğer bu kısıtlama tüm aşamalara yansıtılırsa maliyet sadece ‰ 1,3 artışla
452.693,20 YTL’ye çıkacaktır. Buna karşılık DMAX = 400 km kısıtlaması korunmuş,
diğer bir deyişle hedeflenen azami ulaşım süresi garantiye alınmış olacaktır.
Bu durumda depolarda elleçlenecek ürün miktarları aşağıdaki tabloda
gösterildiği gibidir :
Önerilen Dağıtım Planında Depolarda Elleçlenecek Ürün Miktarları
Depo
No.
1
2
3
4
5
6
İl No.
İl Adı
1
15
21
27
29
36
İstanbul
Samsun
İzmir
Antalya
Adana
Ankara
Elleçlenecek Ürün
Miktarı (YTL)
3.008.151,00
505.524,00
850.636,00
274.362,00
932.496,00
1.226.498,00
%
44,25
7,44
12,51
4,04
13,72
18,04
Bu planda İstanbul ana deposunun iş yükü çok fazladır. Bu yükü biraz olsun
azlatmak için diğer bir olasılık, “Sezgisel yöntemin modele uygulanması” başlıklı
bölümünde önerilen Bursa ilinde bir dağıtım deposu açmaktır. Bu durumda
elleçlenen ürün miktarı aşağıdaki tabloda gösterildiği gibi olacaktır. Ancak toplam
dağıtım maliyeti 456.740,70 YTL’ye (‰ 8,94) yükselecektir.
Bursa’da Bir Depo Açıldığında Depolarda Elleçlenecek Ürün Miktarları
Depo
No.
1
3
3
4
5
6
7
İl No.
İl Adı
1
7
15
21
27
29
36
İstanbul
Bursa
Samsun
İzmir
Antalya
Adana
Ankara
Elleçlenecek Ürün
Miktarı (YTL)
2.426.917,00
691.168,00
505.524,00
815.171,00
274.362,00
932.496,00
1.152.029,00
%
35,70
10,16
7,44
12,00
4,04
13,72
16,94
227
Bursa’da yeni bir depo açılması kararı dağıtım maliyetinde göreceli olarak
önemli bir artışa sebep olduğundan bu karar işletme üst yönetimine bırakılmalıdır.
Ancak böyle davranılarak depo yükleri aşırı olan illerin yüklerinin bir ölçüde
dengelenebileceği gözardı edilmemelidir.
Diğer önemli bir konu da illerin talepleri değiştiğinde depo sayı ve
konumlarının bu durumdan etkilenip etkilenmeyeceğinin irdelenmesidir. Bu amaçla
işletmenin bir yıllık satışları ve optimum depo konumları incelendiğinde, önerilen 6
depolu plan için, gerek bölgesel depo konumlarının, gerek bu depolardan ikmal
edilen illerin bundan etkilenmediği görülmüştür. Bu inceleme sonunda elde edilen
dağıtım maliyetlerinin değişimi ile toplam satışa oranları aşağıdaki tabloda
verilmiştir.
İşletmenin Bir Yıllık Satış Değerleri ve Dağıtım Maliyetleri (YTL)
Aylar
Satış Tutarı (YTL)
Dağ. Maliyeti (YTL)
%
Ocak
Şubat
Mart
Nisan
Mayıs
Haziran
Temmuz
Ağustos
Eylül
Ekim
Kasım
Aralık
5.151.837,00
4.738.400,00
6.003.887,00
6.064.451,00
6.423.386,00
6.080.271,00
6.184.514,00
6.797.667,00
6.380.530,00
5.600.312,00
6.105.464,00
6.728.059,00
------------------
363.793,83
341.086,75
410.083,23
413.350,29
432.657,17
414.203,21
419.819,02
452.693,20
430.356,99
388.236,76
415.561,31
448.974,10
---------------
7,06
7,20
6,83
6,82
6,74
6,81
6,79
6,66
6,74
6,93
6,81
6,67
Toplam
72.258.778,00
4.930.815,86
6,82
Diğer taraftan, illerin talebi değiştikçe sipariş periyotlarının ne şekilde
etkileneceği de araştırılması gereken bir konudur. Önerilen depo planı esas alınarak
satışların bir yıl içindeki değişimi incelendiğinde sipariş periyotlarının değişimi ile
tekabül eden toplam dağıtım ve stok maliyetleri aşağıdaki tabloda özetlenmiştir.
228
Sipariş Periyotlarının Satış Değişikliklerinden Etkilenmesi (Önerilen Yıllık Plan)
İstanbul (1)
Aylar
Ocak
Şubat
Mart
Nisan
Mayıs
Haziran
Temmuz
Ağustos
Eylül
Ekim
Kasım
Aralık
Toplam
Notlar :
P
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
P’
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
Samsun (15)
P
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
P’
3
4
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
İzmir (21)
P
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
P’
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
Antalya (27)
P
4
5
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
P’
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
Adana (29)
P
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
Ankara (36)
P’
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
P
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
P’
3
3
3*
3*
2
3**
3**
2
2
3***
3**
2
Toplam Dağıtım ve
Stok Maliyeti (YTL)
429.011,77
403.393,18
479.718,31
483.296,02
506.510,62
484.459,83
490.578,73
528.444,03
504.000,82
455.662,97
485.922,63
524.382,36
5.775.381,27
● P ve P’ sırasıyla dağıtım deposu ve bağlı illerin gün olarak sipariş periyotlarıdır.
* Ankara içi ve Konya’ya 2 günde bir sevkiyat yapılacak.
** Ankara içi, Konya ve Kayseri’ye 2 günde bir sevkiyat yapılacak.
*** Ankara içine 2 günde bir sevkiyat yapılacak.
229
Bu tabloda verilen plana uygun bir dağıtım uygulandığında toplam dağıtım ve
stok maliyeti 5.775.381,27 YTL olmaktadır. Bu maliyet ise toplam satışların % 8’ini
oluşturmaktadır. Bu plandaki farklı sipariş periyotları olan depo ile bunlara bağlı
illerin sipariş periyotları eşitlendiğinde ise toplam yıllık dağıtım ve stok maliyeti ‰ 3
(binde 3) azalarak YTL 5.757.954,82 olmaktadır.
Son olarak gözden geçirilmesi gereken bir unsur da sevkiyat yapan
kamyonların doluluk durumudur. Varsayımlar bölümünde vurgulandığı gibi, kamyon
ve TIR’lar için % 10 – 15 civarında bir emniyet payı ile daima dolu araçla sevkiyat
yapılacağı öngörülmektedir.
Bu amaçla önce TIR ile yapılan sevkiyatlar gözönüne alınırsa talebin en
düşük olduğu Şubat ayında Samsun ve Ankara için bir problem yoktur. Ancak, İzmir,
Antalya ve Adana için sırasıyla her siparişte 1,3 , 0,7 ve 1,45 TIR mal gönderilmesi
gerekir. Bu durumda İzmir için raf ömrü yüksek olan ve hesaplara dahil edilmemiş
olan ürünler her iki sevkiyatta bir gönderilerek veya bunlar ayrı araçlarla
sevkedilerek sorun çözülebilir. Diğer taraftan, Adana veya Antalya’ya gönderilen her
iki TIR’dan biri de doğrudan sevkiyat yerine, örneğin İstanbul – Antalya – Adana
güzergahını izleyerek her iki dağıtım deposuna birden hizmet vererek bu durumun
üstesinden gelinebilir. Talebin en yüksek olduğu Ağustos ayı için ise sadece Samsun
için her sevkiyatta 1,5 TIR mal gönderilmesi gerekir. Bu sorun ise Ankara’ya
sevkiyat yapan her üç TIR’dan birini (her araçta yaklaşık % 15 – 20 arası boş yer
vardır ve sipariş periyotları da düşünülürse) Samsun’dan geçirerek çözülebilir. Böyle
bir güzergah izlenerek katedilecek ek yol 703 km olup, bu İstanbul – Samsun
uzaklığı olan 737 km’ye çok yakın olup, modelle karşılaştırıldığında her sefer için 54
YTL cıvarında bir maliyet artışına sebep olacaktır.
Benzer durum kamyonlar için de ortaya çıkar. Örneğin, talebin düşük olması
sebebiyle, en kritik noktalardan biri olan Yalova’ya yapılan sevkiyatlarda ortaya
çıkan problem (her sevkiyat yaklaşık ¼ dolu araca karşılık gelir) Bursa’ya giden bir
araçla birleştirilerek aşılabilir. Ayrıca, örnek olarak Tekirdağ ve Kırklareli gibi
birbirlerine yakın olan illere olan sevkiyatlar sürekli olarak birleştirilerek yapılabilir.
Akla gelebilecek bir diğer çözüm yolu ise sorunlu noktalara yapılacak sevkiyatlarda
dışarıdan bir lojistik firmasını kullanmaktır; ancak, önerilen sistem ayrıntılı olarak
incelendiğinde buna gerek kalmayacağı görülebilir.
230
Diğer taraftan, her ne kadar önerilen dağıtım sistemi için böyle bir durum
öngörülmemekle birlikte, bazı illerdeki düşük talep nedeniyle, o iller dahilindeki
dağıtım maliyeti de eklendiğinde, toplam dağıtım maliyetinin sözkonusu ilde yapılan
satışlar içindeki payı çok fazla olabilir. Böyle bir durumda veya daha başka rekabet
şartlarından dolayı araştırma konusu işletme gelecekte bu ile veya illere satış
yapmaktan vazgeçebilir. Ancak, tüm bu ve benzer kararlar bu çalışmada ele alınan
temel konu dışında kalan hususlardır ve işletmenin genel satış ve pazarlama
politikaları kapsamında üst yönetimin alacağı kararlardır.
Bu çalışmada işletmenin mevcut durumu ve halen dağıtım yapmakta olduğu
iller gözönüne alınarak, en uygun dağıtım ağı ve yapılabilir bir stok politikası ortaya
konulmuştur. Böyle bir plan uygulandığında işletmenin dağıtım ve stok giderlerinin
toplam satışlar içindeki payının % 8 olması öngörülmektedir.
231
KAYNAKÇA
KİTAPLAR
Askin, Ronald G. ve Goldberg, Jeffrey B. Design and Analysis of a Lean
Production Systems, New York – USA, Wiley, 2002.
Axsäter, Sven. Inventory Control, Massachusetts – USA, Kluwer Academic
Publishers, 2000.
Daniel, W. Wayne ve Terrell, James C. Business Statistics, 5.b. Boston – USA,
Houghton Mifflin, 1989.
Hoover, Edgar Malone. La Localisation des Activités Economiques, Paris –
France, Les éditions ouvrières, 1955.
Kobu, Bülent. Üretim Yönetimi, Genişletilmiş ve güncelleştirilmiş 11. baskı.
İstanbul, Avcıol Basım Yayın, 2003.
Luenberger, David G. Linear and Nonlinear Programming, 2. b. Massachusetts –
USA, Kluwer Academic Publishers, 2003.
Orhubilge, Neyran. Uygulamalı Regresyon ve Korelasyon Analizi, Gözden
geçirilmiş 2. baskı. İstanbul, İ.Ü. Basım ve Yayınevi, 2002.
Orhubilge, Neyran. Zaman Serileri Analizi, Tahmin ve Fiyat İndeksleri, İstanbul,
Avcıol Basım Yayın, 1999.
Plossl, George W. Production and Inventory Control Principles and Techniques,
2.b. New Jersey – USA, Prentice – Hall, 1985.
Sherbrooke, Craig C. Optimal Inventory Modelling of Systems – Multi-Echelon
Techniques, USA, John Wiley & Sons, 1992.
Silver Edward A., Pyke David F. ve Peterson Rein. Inventory Management and
Production Planning and Scheduling, 3.b. New York – USA, John Wiley
& Sons, 1998.
Stock, James R. ve Douglas M. Lambert. Strategic Logistics Management, 4. b.
Singapore, Mc Graw-Hill, 2001.
232
Zipkin, Paul H. Foundations of Inventory Management, USA: Mc Graw-Hill,
2000.
233
MAKALELER
Axsäter, Sven. “A Framework for Decentralized Multi-Echelon Inventory Control.”
IIE Transactions, Vol.33, Iss.2, Feb. 2001, s.91-97.
Axsäter, Sven. “Scaling down Multi-echelon Inventory Problems.” International
Journal of Production Economics, 71 (2001), s.255-261.
Baumol William J. ve Wolfe Philip. “A Warehouse Location Problem”, Operations
Research, Vol. 6, March -April 1958, s.252-263
Chan, Lap Mui Ann ve David Simchi-Levi, “Probabilistic Analysis and Algorithms
for Three-level Distribution Systems”, Management Science, Vol.44 No.11,
Nov. 1998, s.1564.
Clark, Andrew J. ve Herbert Scarf. “Optimal Policies for a Multi-Echelon Inventory
Problem.” Management Science, Vol.50, No.12 Supplement, Dec. 2004,
s.1782-1790.
Iida, Tetsuo. “The Infinite Horizon Non-Stationary Stochastic Multi-Echelon
Inventory Problem and Near-Myopic Policies” European Journal of
Operational Research, 134 (2001) s.525-539.
Kuehn, Alfred A. ve Hamburger, Michael J. “A Heuristic Program for Locating
Warehouses.”, Management Science, 9, 1963, s. 643-666
Langenhoff, L.G.J. ve Zijm, W.H.M. “An Analytical Theory of Multi-Echelon
Production / Distribution Systems” Statistica Neerlandica, 44 (1990) Nr.3,
s.149-174.
Lau, Amy Hing Ling ve Hon-Shiang Lau. “Effects of a Demand Curve Shape on the
Optimal Solutions of a Multi-Echelon Inventory / Pricing Model.” European
Journal of Operational Research, 147 (2003) s. 530-548.
Lim, Wei-Shi, Ou, Jihong ve Teo, Chung-Piaw. “Inventory Cost Effect of
Consolidating Several One-Warehouse Multiretailer Systems.”, Operations
Research, Vol. 51, No.4, July-August 2003, s.668-672.
Lübbecke, Marco E. ve Desrosiers Jacques, “Selected Topics in Column
Generation”, Operations Research, Vol. 53, No.6, November-December
2005, s.1007-1023.
234
Mitra, Subrata ve A.K. Chatterjee. “Leveraging Information in Multi-Echelon
Inventory Systems.” European Journal of Operational Research, 152
(2004), s. 263-280.
Moinzadeh,
Kamran.
“Multi-Echelon
Inventory
System
with
Information
Exchange.” Management Science, Vol.48, No.3, March 2002, s.414-426.
Rau, Hsin ; Mei-Ying Wu ve Hui-Ming Wee. “Integrated Inventory Model for
Deteriorating Items Under a Multi-Echelon Supply Chain Environment.”
International Journal of Production Economics, 86 (2003) s. 155-168.
Roundy, Robin. “98% Effective Integer-Ratio Lot-Sizing for One Warehouse MultiRetailer Systems”, Management Science, 1985, Vol. 31 nr.11, s.1416-1430.
Scarf, Herbert. “Comments on ‘Optimal Policies for a Multi-Echelon Inventory
Problem’.” Management Science, Vol.50, No.12 Supplement, Dec. 2004,
s.1791-1793.
Seo Yongwon. “Controlling General Multi-Echelon Distribution Supply Chains with
Improved Reorder Decision Policy Utilizing Real-Time Shared Stock
Information”. Computer and Industrial Engineering, 51 (2006) s. 229-246.
Schrijver, Alexander. “A Combinatorial Algorithm Minimizing Submodular
Functions in Strongly Polynomial Time” Journal of Combinatorial Theory,
Series B 80, 2000, s. 346-355.
Tee, Yeu-San ve Manuel D. Rossetti. “A Robustness Study of a Multi-Echelon
Inventory Model via Simulation.” International Journal of Production
Economics, 80 (2002), s.265-277.
Teo, Chung-Piaw ve Jia, Shu. “Warehouse-Retailer Network Design Problem.”
Operations Research, Vol. 52, No.3, May-June 2004, p.396-408
Tsiakis P., Shah N. ve Pantelides C. “Design of Multi-echelon Supply Chain
Networks
under
Demand
Uncertainty”
Industrial
&
Engineering
Chemistry Research Journal, 40 (2001), 18/7/2001, s. 3585-3604.
Van der Heijden, Matthieu C. “Multi-Echelon Inventory Control in Divergent
Systems with Shipping Frequencies.” European Journal of Operational
Research, 116 (1999), s.331-351.
Wang, Fong-Fan ve Chao-Ton Su. “Performance Evaluation of Multi-Echelon
Production, Transportation and Distribution System: A Matrix Analytical
235
Approach.” European Journal of Operational Research, 176 (2007),
s.1066-1083.
Wortham, A.W. ve Mayyasi, A.M. “Learning Considerations with Economic Order
Quantity” AIIE Transactions, (1972) Vol.4 No.1, s.69-70.
Yu Gang, “Robust Economic Order Quantity Models”, European Journal of
Operational Reserch, 1997, s.482-493.
236
ELEKTRONİK KAYNAKLAR
Karayolları Genel Müdürlüğü, “İller Arası Mesafe Cetveli”, www.kgm.gov.tr\
Lee, Calvin B., “Multi-Echelon Inventory Optimization”, www.stanford.edu/group/
scforum/Welcome/White%20Papers/MultiEchelon%20Inventory%20Optimiz
a... / dtd. 2003.
Türk Dil Kurumu, “Sözlükler”.
http://www.tdk.gov.tr/TR/BelgeGoster.aspx?F6E10F8892433CFFAAF6AA8
49816B2EF07B4BDB15D6B60D5
Türkiye İstatistik Kurumu, www.tuik.gov.tr
Yıldız
Teknik
Üniversitesi,
“Bilim
ve
Mühendislik
Terimleri
Sözlüğü”,
http://sozluk.yildiz.edu.tr
237
ÖZGEÇMİŞ
A. Fahri Negüs 1956 yılında İstanbul’da doğmuştur. İlköğrenimini Kadıköy
Moda İlkokulu’nda, orta öğrenimini Kadıköy Saint Joseph Fransız Lisesi’nde
tamamladıktan sonra, 1975 yılında İ.T.Ü. Makina Fakültesi – Genel Makina
Mühendisliği bölümüne girmiştir. Stajlarını T.C. Denizcilik Bankası Haliç Tersanesi
ve Electricité de France kuruluşunun Grenoble bölge teşkilatında “Hidroelektrik
Santrallarda Termodinamik Metotla Verim Tayini” konusunda yaparak, buradan
1980 yılında iyi derece ile mezun olmuş ve aynı yıl İ.T.Ü. Fen Bilimleri
Enstitüsü’nde enerji konusunda yüksek lisans çalışmasına başlamıştır. “İçten
Yanmalı Motorlarda Hidrojen Kullanımı” isimli tezi de hazırlayarak 1981 yılında
pekiyi derece ile Yüksek Mühendis ünvanı almaya hak kazanmıştır.
1981-1983 yıllarında Türk Otomotiv Endüstrileri A.Ş.’de proses mühendisi,
1984-1987 yıllarında Gülüm Süt/Disütaş Damızlık İnek ve Süt Ürünleri Tic. A.Ş.’de
yardımcı tesisler daire başkanı, 1987-1988 arasında Minex Dış Ticaret Ltd.’de
demir-çelik ürünleri ithalat, ihracatı konusunda satış temsilcisi olarak görev
yapmıştır. Daha sonra profesyonel yaşamına 1988-1999 yıllarında Mast Dış Ticaret
Ltd. Şti.’de genel müdür yardımcısı olarak ve 2000-2003 yılları arasında Sanpaş
A.Ş.’de İstanbul Bölge Müdürü olarak devam etmiştir. Halen T.C. Galatasaray
Üniversitesi – İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi’nde öğretim görevlisi olarak analiz
ve istatistik dersleri vermektedir.
Evli ve bir erkek çocuk babası olan A. Fahri Negüs, çok iyi derecede
Fransızca ve iyi derecede İngilizce bilmektedir.
238

ÇOK KADEMEL STOK YÖNET M ve DAĞITIM OPT M ZASYONU

Transkript

Benzer belgeler

15 Versiyonu / 21.05.2015 güncellemesi

MICROSOFT AXAPTA İÇİN İNTEGRAL EK ÇÖZÜMLERİ

çalışma kapasitesi 400/500 kap/saat

soft-dock / soft-ball / hava koruması

Örnek Bir Tedarik Zincirinin Sistem Dinamikleri Yaklaşımı İle

79,95 TL

Benim Stilim Benim Stilim