Faydalı Formüller
Transkript
Faydalı Formüller
MUKAVEMET FORMÜLLER, TABLOLAR VE ŞEKĐLLER. 2008/09 1 2D Statik Denge Denklemleri: → + ∑ Fx = 0 ↑ + ∑ Fy = 0 ∑ M = 0 Eksenel Gerilme P σ = A Kayma gerilmesi ile Hooke Kanunu τ = Gγ ,τ – kayma gerilmesi G - rijidlik modülü γ sabitler arasındaki ilişki ; σ – Normal gerilme G= P – Kuvvet A – Kesit Alanı Ortalama Kayma Gerilmesi τ ort . V = A τ– , büyük gerilme ( standart deneylerle saptanır) σ ; dış yüklerin etkisinde elemanda oluşan gerilme (hesaplanan) (veya müsaade edilen tasarım gerilmesi =emniyetli gerilme) s = σ em. Genleme (strain) δ ε = L0 ε – genleme (birim şekil değiştirme) δ – uzunluktaki değişim L0 – ilk (original) uzunluk Kayma genlemesi (shear strain) π γ = γ −θ 2 2(1 + ν ) Eksenel Yükleme-Deformasyon δ =∫ – kayma genlemesi δ / L -küçük açılar için P(x ) L Kayma Gerilmesi Emniyetli Gerilme (Allowable Stress) – Emniyet Katsayısı (s) σs ; Sınır gerilme, malzemenin hasarlanmadan taşıyabileceği en σ≤ E 0 V – kesme kuvveti A - kesit alanı σs - kayma genlemesi A(x )E dx Uzunluktaki değişim (A=sabit ve E=sabit ise) δ= PL AE Değişik kısımlardan oluşan eksenel yükler etkisinde uzunluktaki değişim " Pi Li i =1 Ai E i δ =∑ δ P L A E N uzunluktaki değişim belirli bir kısımdaki yük belirli bir kısmın uzunluğu belirli bir kısmın kesit alanı belirli bir kısmın elastisite modülü belirli kısım sayısı Isıl genleme ve şekil değiştirmeler δ = α.∆T. L δ α ∆T L uzunluktaki değişim ısıl genleşme katsayısı sıcaklıktaki değişim belirli bir kısmın uzunluğu Sıcaklık nedeniyle iki şekilde genleme oluşabilir ; 1. Gerilme olmaksızın genleme 2. Gerilmeli genleme Hooke Kanunu Statikçe belirsiz eksenel yükler σ = Eε σ , – Normal gerilme 1. E – Elastisite modülü 2. Durum 1 : δ 1 = δ 2 Durum 2: geometric şartlar δ1 ε - genleme L1 Rezilyans Modülü 1 1 u r = σ pl ε pl = σ pl2 / E 2 2 Tokluk (Modulus of Toughness), ut gerilme-genleme eğrisi altında kalan toplam alan. 3. δ2 = L1 + L2 Durum 3: δAt + δBt − δboşluk = δA + δB Eksenel elemanların integrasyonu dF (x ) + q(x ) = 0 [1] dx Poisson oranı ε ν = − enine ε boyuna du F ( x ) = AE − α∆T ( x ) dx [ 2 ] (here, ε= du ) dx ∆V = − ∫ w( x )dx & ∆M = ∫ V ( x )dx Burulma (Torsion) Kayma Gerilmesi (Shear Stress) Slope on the moment diagram is the value of the shear diagram. 4. Tr τ= dV dM = −w (x ) & = V (x ) dx dx J τ r T J kayma gerilmesi dış yarıçap Burulma momenti (TORK, torque (F-L)) polar atalet momenti π J= 2 π J= 2 r4 Değişik yükler için SĐNGÜLARĐTE FONKSĐYONLARI. ici dolu mil [r 4 o − ri 4 ] içi boş mil Kuvvet Moment < x–a> Tekil kuvvet < x–a> Yayılı yük < x–a> Üçgen yayılı yük < x–a> Kuvvet Moment GÜÇ T ≅ 9550 N = Tω = Τ 2 π f, N T ω f Function -2 " ( kW ) = ..... "m n ( d / dak .) -1 0 -w < x – a> 1 Üçgen yayılı yük 1 M(x) 0 -M < x – a> 1 -F < x – a> -1 0 -F< x–a> 1 -w < x – a > Yayılı yük 0 -(w/L) < x – a> V(x) -M < x – a > Tekil kuvvet güç (kuvvet-uzunluk/zaman) Tork (Burulma Momenti) açısal hız rad/s frekans Hz. F(x) -2 -M < x – a> -1 -F < x – a> -(w/2) < x – a> -(w/2L)< x – a > 2 2 -(w/6L) < x – a> 3 Atalet Momenti Atalet momenti ve ağırlık merkezi bulmak için tablo Burulma Açısı θ =∫ L 0 niAi T (x ) J ( x )G niAiyi niIi di2niAi di dx Sabit kesit için θ= yi TL Ai yi Ii Kesit alanı Belirli bir bölgenin ağırlık merkezi atalet momenti Prizmatik kesitler için , I = 1 bh 3 JG 12 π 4 Içi dolu dairesel kesit, I = Değişik kesitlerden oluşan elemanlar için r 4 " θ =∑ i =1 θ T L J G N Içi boş dairesel kesit, I = π r 4 − r 4 o i [ Ti Li J iGi burulma açısı (radians) belirli bir kısımdaki tork belirli bir kısımdaki belirli bir kısmın polar atalet momenti belirli bir kısmın rijitlik modülü belirli bölüm sayısı 4 di ağırlık merkezinden olan uzaklık ni Elastisite modulleri oranı Ei ] ( yi − y ) E j Ağırlık Merkezi—(T.E. nin yeri ) Statikçe belirsiz Tork " i Uygunluk şartları 1. Case 1 : θ1 + θ2 = 0 & Τ1 + Τ = Τ2 2. Case 2: θ1 = θ2 & Τ1 + Τ2 =Τ Kesme kuvveti (KK) ve Eğilme Momenti (EM) Diy. 1. 2. 3. mesnet tepki kuvvetlerini bulun Find V(x) Find M(x) , which is the area under the shear diagram ∑n A y y= i i i =1 " ∑n A i i i =1 Atalet Momenti ; " " i =1 i =1 I = ∑ ni I i + ∑ ni Ai d i2 3 Elastik Eğilme gerilmesi (Flexural Stress) σ =− My n I σ eğilme gerilmesi eğilme momenti atalet momenti T.E. den uzaklık elastisite modulleri oranı M I y n Basınçlı kaplar 1. küresel kaplar σ t = σ ek . = 2. silindirik kaplar σ ek . = σek. σt P r t Pr 2t Pr Pr &σ t = 2t t eksenel (boyuna ) gerilme teğetsel gerilme iç basınç iç yarıçap cıdar kalınlığı Kesit modülü – Section Modulus I S zz = zz y max Izz ymax z eksenine gore atalet momenti T.E. den uzaklık Bileşik yükleme 1. σ = P τ= Tr Eksenel Yükleme A 2. Burulma 3. Eğilme Gerilmesi J σ =− My τ = VQ I Kayma (kesme) gerilmesi 4. VQ τ= Ib V I b Q 5. KK diy. dan alınan kesme kuvveti moment of inertia kesilen kesit kalınlığı birinci moment " " Q = ∑ Ai d i = ∑ Ai ( y i − y ) i =1 Q= 2 Kesme gerilmesi, σ ek . Đç Basınç Ib Pr Pr = &σ t = 2t t Süperpozisyon prensibi 1. 2. Her bir yük için ayrı ayrı gerilme hesaplayın Sonra bulduğunuz gerilmeleri toplayın i =1 [r 3 o − ri 3 ] -- hollow cylinder at neutral axis Düzlem gerilme (2D) Dönüşüm Đfadeleri 3 Kayma akısı q= VQ I q V Q I kayma akısı (kuvvet/uzunluk ) kesme kuvveti birinci moment (can include n*A) moment of inertia Bağlantı elemanları arası mesafe s= s n F q n.F q Đşaret Kuralı Açı θ (+) SYT Kayma gerilmesi τxy (+) SYT (Düşey Dz. de) ( - ) SY (Dşy Dz. de) Normal gerilme σ (+) Çekme ( - ) SY ( - ) Basma Bağlantı elemanları arası mesafe bağlantı elemanı sayısı bir elemana gelen kuvvet kayma akısı 4 σ x +σ y σ ′x = 2 σ x +σ y σ ′y = 2 σ x −σ y + 2 cos(2θ ) + τ xy sin (2θ ) σ x −σ y − 2 cos(2θ ) − τ xy sin (2θ ) σ x −σ y 2 τ xy′ = − sin (2θ ) + τ xy cos(2θ ) En Büyük Kayma (EBK) Gerilmesi τ max −3 D = σ p max − σ p min ,σ ort . = 2 σ x +σ y 2 where, σ3 or σz =0 dır basınçlı kabın iç yüzeyi hariç, iç yüzeyde σ3= - p = iç basınç. Mohr Dairesinin Çizimi Asal Gerilmeler σ p1 , σ p 2 = σ p3 σx +σ y 2 = 0 or − P σ x −σ y ± 2 1. 2. 3. 4. 2 + τ xy 2 Genel Hooke Yasası Asal Düzlem ve EBK düzlemi Açıları 2τ σ −σ x y xy ( ) = − tan 2θ p = , tan 2 θ s σ −σ 2τ xy y x ( ) σp1,p2 σ x νσ y νσ z εx = + E εy = − σx Düsey dz. de x yönünde etki eden normal gerilme σy Yatay dz. de y yönünde etki eden normal τxy Düşey dz. de etki eden kayma gerilmesi σx’, σy’, τxy’ ; Dönüştürülmüş gerilmeler θp θs Dairenin merkezinin koordinatlarını (σort. ; 0) bulun Dairenin yarıçapını bulun (R= ……..) Daireyi çizin. Dairenin yarıçapı en büyük kayma gerilmesi, dairenin yatay ekseni kestiği noktalar asal gerilmelerdir. εz = − νσ x E + bu ifadelerde ; − E E σ y νσ z E − − E + E σz E , τ yz = G γ yz Asal gerilme dz. lerini elde etmek için döndürülmesi gereken açı max. Kayma gerilmesi. dz. lerini elde etmek için döndürülmesi gereken açı E νσ x νσ y τ xy = G γ xy (Note τxy’ is acting on the Düşey Dz.) − G= , τ zx = G γ zx E 2 (1 +ν ) Asal gerilmeler Birim Hacımdaki değişim Mohr Dairesi e= Grafik Yöntem. σ x −σ y yarıçap , R = 2 σ x +σ y merkez (σ ort . ) = 2 (σ x + σ y + σ z ) [ ] ∆V = εx +εy +εz = 1 − 2ν V0 E 2 + τ xy 2 σp1 = merkez (σort) + R σp2 = merkez (σort)- R σn = merkez (σort) + Rcos(θ’) τn = Rsin(θ’) τmax.(2D) = R Düzlem Gerilme (2D) Hali Gerilmeler yardımıyla genlemelerin bulunması 1 (σ x −νσ y ) ⇒ σ x = E 2 [ε x +νε y ] 1 −ν E 1 E [ε y +νε x ] ε y = (σ y −νσ x ) ⇒ σ y = 1 −ν 2 E ν (σ x + σ y ) ⇒σz = 0 εx = − E εx = γ xy = τ xy G ⇒ τ xy = Gγ xy 5 (b) Ve sınır değer çözümlerinden faydalanarak asıl problem çözülür. Elastik Eğri ve Eğim -Sehim Hesapları Sehimi bulmak için integre edilecek moment ifadesi 1 M κ = = ( eğğrilik ρ EI elastik eğri denklemi 2 d y (x ) = M (x ) EI dx 2 y(x) M (x) E I x’ deki yer değiştirme x’ deki moment Modulus of elasticity Moment of inertia = Pkr Le σkr y dy dx d2y E. Momenti ( M ) = EI 2 = EIy ′′ dx d3y K . Kuvveti (V ) = EI 3 = EIy ′′′ dx d4y = EI 4 = EIy ′′′′ Yük ( − q ) dx π 2 EI L2e = π 2 EA Le r π 2E Le r 2 Efektif uzunluk kritik burkulma gerilmesi kesit alanı Modulus of elasticity Atalet Momenti (Moment of inertia) atalet yarıçapı (radius of gyration) I A L/r ( EI sabit ) narinlik oranı Efektif uzunluklar Efektif uzunluk kolonun sınır şartlarına bağlıdır. ( EI sabit ) Bir ucu sabit, bir ucu serbest v(x) w (x) V (x) M (x) E I 2 ⇒ σ kr = kritik burkulma yükü r= = eğğim Pkr = A E I r Sınır şartları kullanılarak problem çözülür Using the slope or deflection. çokme ( sehim) Kirişlerin Burkulması Her iki ucu pimli Bir ucu sabit, bir ucu pimli Her iki ucu sabit Displacement at location x Force at location x Shear at location x Moment at location x Modulus of elasticity Moment of inertia Kirişin sehimini hesaplamak için süperpozisyon Kirişin herhangi bir noktasındaki eğimi ve sehimi hesaplamak için tablolar kullanılır. Fixed – Fixed translation Le=1.0L Statikçe belirsiz kirişler Đki yöntem var; 1. Moment ifadesinin integrasyomu (a) yayılı yük fonksiyonundan başlanabilir (b) Đntegrasyon sabitlerini bulmak için sınır değer şartları uyugulanır. 2. Superposition Yöntemi; (a) Problem static olarak belirli parçalara bölünür. 6 Standart Katsayılar Bazı malzemelerin fiziksel özellikleri: TEORĐK GERĐLME YIĞILMA FAKTÖRÜ (Kt) TABLOLARI ; SABĐT KALINLIKLI ÇEKMEYE ÇALIŞAN DELĐKLĐ LEVHA SABĐT KALINLIKLI EĞĐLMEYE ÇALIŞAN DELĐKLĐ LEVHA 7 SABĐT KALINLIKLI ÇEKMEYE ÇALIŞAN ÇENTĐKLĐ LEVHA SABĐT KALINLIKLI ÇEKMEYE ÇALIŞAN FATURALI LEVHA DAĐRESEL KESĐTLĐ ÇEKMEYE ÇALIŞAN FATURALI MĐL SABĐT KALINLIKLI EĞĐLMEYE ÇALIŞAN ÇENTĐKLĐ LEVHA SABĐT KALINLIKLI EĞĐLMEYE ÇALIŞAN FATURALI LEVHA DAĐRESEL KESĐTLĐ BURULMAYA ÇALIŞAN FATURALI MĐL 8 DAĐRESEL KESĐTLĐ EĞĐLMEYE ÇALIŞAN MĐL DAĐRESEL KESĐTLĐ ÇEKMEYE ÇALIŞAN MĐL PĐMLĐ BAĞLANTI PĐM DELĐK ETKĐSĐ DAĐRESEL KESĐTLĐ EĞĐLMEYE ÇALIŞAN MĐL 9 Kesme Kuvveti ve Eğilme Moment Diyagramlarının Grafik Yöntem ile çizimi için birkaç kural : 08/09 08/09 M M UKAV UKAVEM EM ET ET --II:: 8. 8. Hafta Hafta dV = −w dx xD ∫ ∆V = VD − VC = − w dx xC UKAVEM M UKAV EM ET - I : M UKAVEM UKAV EM ET ET --I :: M M UKAVEM UKAV EM ET ET - II: dM =V dx ∫ V dx xC 11 © 2008 NM 8. 8. Hafta Hafta V – F – (V + ∆V) = 0 ∆V = – F F aşağı doğru etki ettiğinde ∆V negatiftir, bu nedenle KK diy. aşağı doğru şıçrar, F yukarı doğru ise KK diy. da yukarı sıçrar. M + ∆M – M0 – V ∆x – M = 0 ∆M = M0 xD ∆M = M D − M C = 08/09 08/09 M0, SY (saat yönünde) ise ∆M pozitiftir ve EM diy. yukarı doğru şıçrar, M0 SYT (saat yönünün tersi) ise EM diy. da aşağı doğru sıçrar. 27 27 © 2008 NM 1- Kirişin herhangi bir kesidindeki kesme kuvveti diy. eğimi o kesitteki yayılı yükün şiddetine eşittir (-w=dV/dx). Kesme kuvveti diy. değişim; tekil yükler nedeniyle sabit, düzgün yayılı yük nedeniyle lineer olur (eğimi yayılı yükün büyüklüğü ve işaretine bağlıdır)… 2- Kirişin herhangi bir kesidindeki eğilme momentinin x’ e göre değişimi o kesitteki kesme kuvvetinin değerine eşittir. (V=dM/dx).Moment diy. değişim; tekil yükler nedeniyle lineer, düzgün yayılı yük nedeniyle 2. dereceden eğri şeklinde (parabolic) olur. 3- Kesme kuvveti eğrisi kiriş üzerinde herhangi bir noktada tekil yük olmadığı müddetçe süreklidir. Eğer tekil yük varsa tekil yükün büyüklüğü kadar sıçrama olur. (+ yük yukarı doğru) 4- Eğilme momenti eğrisi kiriş üzerinde herhangi bir noktada tekil moment olmadığı müddetçe süreklidir. Eğer tekil moment varsa tekil momentin büyüklüğü kadar sıçrama olur. (+ (SDYT) moment negatif yönde ) 5- Kirişin uç noktalarında tekil yük yoksa bu noktalarda kesme kuvveti sıfırdır. 6- Kirişin uç noktalarında tekil moment yoksa bu noktalarda eğilme momenti sıfırdır. - Eğer kesme kuvveti pozitif ise moment diy. eğimi de pozitif, eğer kesme kuvveti negatif ise moment diy. eğimi de negatif eğime sahiptir.. - Kesme kuvveti diyagramının sıfır olduğu yerde moment diy. eğimi değişir. (yani negatif veya pozitif en büyük moment değerleri vardır) 10 11 12 S Tipi I-Kirişler (SI Units) (DAR BALIKLI I KİRİLER) Tip No S610 x 180 x 158 x 149 x 134 x 119 S510 x 143 x 128 x 112 x 98.2 S460 x 104 x 81.4 S380 x 74 x 64 S310 x 74 x 60.7 x 52 x 47 S250 x 52 x 38 S200 x 34 x 27 S180 x 30 x 22.8 S150 x 26 x 19 S130 x 22 x 15 S100 x 14.1 x 11 S75 x 11 x8 Birim Ağ. kg/m Alan 2 mm Yük. mm Genişlik mm 180.0 157.8 148.7 134.4 119.1 143.3 128.9 111.4 98.4 104.7 81.6 74.6 63.9 74.4 60.6 52.2 47.4 52.3 37.8 34.3 27.5 29.9 22.9 25.7 18.6 21.9 14.8 14.2 11.4 11.2 8.4 22,900 20,100 18,900 17,100 15,200 18,300 16,400 14,200 12,500 13,300 10,400 9,500 8,150 9,470 7,730 6,650 6,040 6,660 4,820 4,370 3,500 3,800 2,910 3,270 2,370 2,790 1,890 1,800 1,450 1,430 1,070 622 622 610 610 610 516 516 508 508 457 457 381 381 305 305 305 305 254 254 203 203 178 178 152 152 127 127 102 102 76 76 204 200 184 181 178 183 179 162 159 159 152 143 140 139 133 129 127 126 118 106 102 98 93 91 85 83 76 71 68 64 59 kalınlık Web Flanş mm mm 20.3 27.7 15.7 27.7 18.9 22.1 15.9 22.1 12.7 22.1 20.3 23.4 16.8 23.4 16.1 20.2 12.8 20.2 18.1 17.6 11.7 17.6 14.0 15.8 10.4 15.8 17.4 16.7 11.7 16.7 10.9 13.8 8.9 13.8 15.1 12.5 7.9 12.5 11.2 10.8 6.9 10.8 11.4 10.0 6.4 10.0 11.8 9.1 5.9 9.1 12.5 8.3 5.4 8.3 8.3 7.4 4.8 7.4 8.9 6.6 4.3 6.6 x-x axis Ix Sx 6 4 3 3 10 mm 10 mm 1,310 4,220 1,220 3,940 996 3,270 939 3,080 879 2,880 702 2,720 660 2,560 532 2,090 497 1,960 387 1,690 335 1,470 203 1,060 187 980 127 833 113 744 95.8 629 91.1 597 61.6 485 51.4 405 27.0 266 24.0 237 17.8 200 15.4 173 10.9 144 9.19 121 6.33 99.6 5.12 80.6 2.85 55.8 2.55 50.1 1.22 32.0 1.04 27.4 rx mm 239 246 230 234 240 196 201 194 199 171 179 146 151 116 121 120 123 96.2 103 78.6 82.8 68.4 72.7 57.7 62.3 47.6 52.0 39.8 41.9 29.2 31.2 y-y axis Iy Sy 6 4 3 3 10 mm 10 mm 34.7 218 32.4 324 20.1 218 18.9 209 17.9 201 21.1 231 19.6 219 12.5 155 11.7 148 10.3 129 8.77 115 6.60 92.3 6.11 87.3 6.60 94.9 5.67 85.3 4.16 64.5 3.94 62.1 3.56 56.5 2.84 48.2 1.81 34.2 1.59 31.1 1.34 27.3 1.12 24.0 0.981 21.6 0.776 18.2 0.690 16.6 0.508 13.4 0.376 10.6 0.324 9.52 0.249 7.77 0.190 6.43 ry mm 38.9 40.1 32.6 33.2 34.3 34.0 34.6 29.7 30.6 27.8 29.0 26.4 27.4 26.4 27.1 25.0 25.5 23.1 24.3 20.4 21.3 18.8 19.6 17.3 18.1 15.7 16.4 14.5 14.9 13.2 13.3 13 C tipi Kirişler 14 Çok kullanılan bazı kesitlerin geometrik özellikleri 15 A>KASTRE (KO>SOL) KĐRĐŞLER KĐRĐŞ Beam CABTILEVER BEAMS EĞĐM Slope SEHĐM Deflection ELASTĐK EĞRĐ Elastic Curve 16 BASIT DESTEKLI KIRIŞLER SIMPLY SUPPORTED BEAMS KĐRĐŞ Beam EĞĐM Slope SEHĐM Deflection ELASTĐK EĞRĐ Elastic Curve 17 TEMEL YÜKLEME HALLERİ VE BUNLARA KARŞILIK KESME KUVVETİ, EĞİLME MOMENTİNİN SİNGÜLARİTE FONKSİYONLARI CİNSİNDEN İFADESİ ; nm-09 18