jordan anlamında ölçülebilirlik

Doğuş Üniversitesi Dergisi, 2001 / 4
JORDAN ANLAMINDA ÖLÇÜLEBİLİRLİK
Ali DÖNMEZ
Doğuş Üniversitesi, Fen Bilimleri Bölümü
Halit ORHAN
Atatürk Üniversitesi, Matematik Bölümü
ÖZET: Doğuş Üniversitesi Dergisinin ikinci sayısındaki makalemizde, eğer A ve
B kümeleri Jordan anlamında ölçülebilirse, bu kümelerin kesişim, bileşim, fark ve
simetrik farklarının da Jordan anlamında ölçülebilir olduğunu ispatlamıştık. Bu ma­
kalede, eğer Aj, A2, A3,... kümeleri Jordan anlamında ölçülebilirse, bu kümelerin sa­
yılabilir sayıdasının bileşim, kesişim, ikişer ikişer fark ve simetrik fark işlemlerine
göre kapalı olduğunu ispatladık.
Anahtar sözcükler: Jordan ölçülebilirlik, ölçüm.
ABSTRACT: In our paper published in the second issue of the Doğuş University
Journal, we proved that if A and B are Jordan measurable sets, then the union,
intersection, difference and symmetric difference of these sets are again Jordan
measurable. In this paper, we have proved that if A A2, A3,... are Jordan measurable
sets, then countable number of these sets is also closed according to the operations
union, intersection, two by two difference and symmetric difference.
x,
Keywords: Jordan measurability, measure.
Riemann integralinin temeli, Jordan ölçümü ve Lebesgue integralinin temeli Lebesgue
ölçümüdür. Burada hemen akla şu soru gelir. Acaba bunların farkı nedir veya birisinin
diğerine göre üstün yanı nedir? Bu soruya cevap arayalım.
Kartezyen koordinatlar düzleminde sınırlı basit bir
0<
f
(x ) <
c
olacak şekilde
gözönüne alalım. M
değeridir.
[a,b]
M
kümesini ve her X 6
aralığında negatif olmayan bir /
[a, b ]
için
fonksiyonunu
kümesinin Jordan ölçümü, onun iç ve dış Jordan ölçümlerinin ortak
M kümesinin dış Jordan ölçümü, M kümesini örten sonlu bileşime sahip dikdörtgenlerin
kümesinin iç ölçümü ise, S de M nin tümleyeninin dış
alanlarının infımumudur. M
ölçümü ile yüksekliği
C
olan [ a , 6 ]
tabanlı
S
dikdörtgenlerinin
C(b —a)
alanı
arasındaki farktır.
Lebesgue S kümesinin bir alt kümesinin ölçümünün Jordan tanımında sonlu kelimesini
sayılabilir kelimesi ile değiştirdi. Yapılmış olan bu yöntem S kümesinin ölçülebilir alt
kümelerinin sayısmı büyük oranda artırdı. Bu integrasyon teorisinin Riemann’dan daha
genel ve matematiksel olarak daha geniş bir alana yayılmasına önderlik etti.
Ali Dönmez, Halit Orhan
40
i. T an ım : 91 boş olmayan bir kümeler ailesi olsun. Eğer
A £ 91 ve A G 91 olması A A B ve
A n B kümelerinin de 91 ailesinin öğeleri olmasını gerektiriyorsa 9 t ailesine bir halkadır denir
(2,s.31).
ii. T a m ın :
£
m
, Î?
h alkası ü z e rin d e ta n ım la n m ış bir ö lç ü m olsun. V e rile n bir
> 0 s a y ıs ı iç in ' J î
A'çz A
A"
olacak şek ild e
A
küm esi ve her
h a lk a sı iç inde
ve
A'
küm eleri
A" v e m(A"\A') < s
v a r s a A k ü m e s i n e .lordan a n l a m ı n d a
çr
ö l ç ü l e b i l i r d i r d e n i r (2,
s.2 8 1 ).
1.T e o r e m :
A , , A 2, A - ,
küm eleri
Jordan
anlam ında
ö l ç ü l e b i l i rs e ,
bu
küm elerin
sa y ı la b il i r s a y ı d a s ı b i l e ş i m , k e s işim , ik işer ik işer f a r k ve s i m e t r i k f a r k i şlem leri a l t ı n d a
k ap alıd ır.
İspat:
At, A2, A,,...
k üm eleri Jo rd a n an lam ın d a ölçülebilir old u ğ u n d an her
£ >0
sa yısı
iç in ,
A '| ç i , ç A'\ ve m ( A " ,\ A \ ) <
^ A ç: A"2 ve m(A"2\ A ’2) < ^ / 2
(i )
olacak şekilde 'Jt halkasınd a A \ ve A'\ küm eleri va rdır (i = 1 , 2 , 3 , ( 0 ifadesinden,
crj
co
IK
co
s ik
/=!
< = lk ’
/=l
/=l
ve
-/j
Ü
CO
(A\ \A"l+i )
/-I
co
ç [ J W
\
A +t) <= U «
/-I
U '/+ı )
/=!
k apsam larını y a z m a k kolaydır. Buradan,
CO
rfl
\A',+I ) \ ( A \ \ A ",+ I ) ç I J {(A", \ A ' , ) u (A",+l \ A ' l + l )}
/-I
M
k a p s a m ı e l d e ed ilir. B u k a p s a m ı n h e r iki y a n ı n ı n ö l ç ü m ü n d e n ,
m i l J i A - ' U 1, ) j <
\ A \ ) u (A”M \A ’,+l )]| < £ ^
eş its izliği gelir. (2 ) e ş i ts i z l i ğ i n d e k i o r t a d a k i t e r i m a ç ı k ya z ılır sa ,
CO
m ( A " , \ A ' l ) + m ( A " 2\ A ' 2 ) + . . . < ^ + £ / 2 + ... = £ e 2 " '
olur.
(2)
41
Jordan Anlamında Ölçülebilirlik
2> r '
se risi g e o m e t r i k se ri o l u p
< 1 old u ğ u n d an yakınsak ve toplam ı da
ortak çarpan
£
S ay ısın a eşittir. S o n u ç o l a r a k ,
e ş its iz liğ i b u l u n u r . B u d a i s te n e n s o n u ç t u r.
Ö te yan d an yine ( I ) ifadesinden,
f/=1V , s fi=I]4 e f/=!K /
ve
CO
00
f ] ( A ", W
U [(A", \ A ' , ) u
,) £
/-İ
(A",+l \ A ', + I ) ]
(3)
/=!
k a p s a m l a r ı y a z ılır . (3 ) if a d e s i n i n h e r iki y a n ı n ı n ö l ç ü m ü n d e n ,
m |Q
(A", \ A \
)} < m | Û
[{A", U ' , ) u (A",+l \ A ’l+l ) ] |
eT'
< £
(4)
e l d e ed ilir. (4 ) i f a d e s i n d e o r t a d a k i t e r i m a ç ı k y a z ılır sa ,
m({( A ' \ \ A\ ) u ( A " 2\ A '2 ) u ( A " 2\ A ’2 ) u (A ", U ' 3 ) u ...}
= m( { ( A", \ A\ ) u (¿ " 2\ A '2) u (^"3 U '3) u ...}
00
m ( A ' \ \ A\ ) + /77(/l"2\ A ' 2 ) + m ( A " 3\ A ’3 ) + ...< s / 2 +
+. . . = = 1
ol ur. B u d a i s te n e n so n u ç t u r .
Ü ç ü n c ü o l a r a k y i n e ay n ı d ü ş ü n c e ile ( 1 ) i f a d e s i n d e n v e
0 ( A \ \ A ",+|) ç Ü ( 4 '
/-I
)e Ü
/-I
)
/=!
kapsam ından,
CO
CO
U (A",. W
,+ l ) ç=
U
\A\ )
u ( J " , +1 U ' , + l )]
y azılır. (5) i f a d e s i n i n h e r İlci y a n ı n ı n ö l ç ü m ü n d e n
m
e l d e edilir.
1 ) \ < m { A ! \ \ A \ ) + m{A"2\A'1 ) + . . . < Y j ^ ~ ' = *
(5)
Ali Dönmez, Halit Orhan
42
Son olarak yine ( I ) ifadesinden,
co
co
00
U (A', \A" m ) £ U ( 4 \ A m ) Ç=U (A", \A\+I)
/-I
/-!
CO
CO
(6)
/=I
ve
cû
1 J ( ^ , +IU " , ) ç l j ( 4 +l \ 4 ) e U ^ ’’ +lu ' )
M
™
/-I
/=1
k a p s a m ı y azılır. B u r a d a n ,
0 {(A 1, \A",+I) u (A ' m \A" , )} ç Q 1(4 \ A ,+]) u (A m \A ,)j
M
/=!
(g)
CO
ç ı [ j { { A " l \A'M ) y j { A " l+M ' i )}
M
.
'
y azılır. (8 ) i f a d e s i n d e o r t a d a k i t e r i m i a ç ı k y a z a r s a k ,
0 { ( 4 \ A m ) u (A,+l \A ,)} = (A, \ A 2) U ( A 2 \A ,)L I (A 2 \A 3) u (A, \ A 2) U ...
/=!
ifadesi k ü m e l e r i n ik işer ik işer s i m e t r i k f a r k l a r ı n ı n b i l e ş i m i o l d u ğ u g ö r ü l ü r . B ö y l e c e ,
CO
U {(A-, u A " i+t) \ (A 1,u A \+l)} ç U { (A ') \ A ',)U ( A ”l+I \A'M )}
,= l
(9)
M
k a p s a m ı y azılır. ( 9 ) if a d e s i n i n h e r iki y a n ı n ı n ö l ç ü m ü n d e n ,
<m
m
0 { ( ^ , U ' , ) u ( J ”,+1U ' , + l )} < 5 > 2 - ' = .
e l d e ed ilir. B u d a g ö s t e r i l m e k i s t e n e n s o n u ç t u r.
KAYNAKLAR
DÖNMEZ, A. ve H. ORHAN (2000). "Düzgün Ölçüm", Doğuş Üniversitesi
Dergisi Sayı 2, s. 84-99.
,
,
GOLMOGOROV, A.N. and S.V. FOMIN (1970). Introduction and Real Analysis
Revised English Edition, Translated and Edited by Silverman, R. A., New York,
p.31, 255-283.
,
SHENITZER, A. (1994). "The evolution of integration", The Amarican Math vol,
101., Number 1, p.66-72.