PARADOKSLAR

PARADOKSLAR
Nedir Şu Paradokslar ?
• Binlerce yıllık geçmişi olan paradokslar, insanların
kafasını devamlı meşgul etmiştir. Aslında doğru gibi
görülen bir önerme veya fikir, tamamen yanlış olarak
çıkar karşımıza. Tam tersi de mümkündür; yıllarca
yanlış zannettiğimiz olayların, fikirlerin,
hesaplamaların, doğru olduğunu görmek, bizi
şaşkınlığa ve hayrete düşürür. İleride bolca misal
vereceğimiz paradoksların, yapılmış birkaç tanımını
aktaralım:
'Çok mantıksız görünen, aslında çok mantıklı bir
değiş'
'İki doğrunun veya yanlışın çelişkisi'
'Soyut muhakemenin sona erdiği tezat'
'Kağıt-kalem veya mantık illüzyonu' (Galiba en
güzel tanım bu!)
Paradokslar ilginçtir, eğlencelidir, öğreticidir,
şaşırtıcıdır, zihni açar...
Tarihte bilinen ilk paradoks örneklerini Epimenides
vermiştir. Giritli olan Epimenides:
-'Bütün Giritliler yalancıdır!' diyerek bizi çelişkiye
götürür. Şöyle ki :
Eğer gerçekten Giritliler yalancı ise kendisi de Giritli
olduğuna göre o da yalancıdır. Yani söyledikleri
yalandır(mesela yukarıdaki cümlesi). Bu cümle yalan
olduğuna göre doğrusu şu olmalı:
-'Bütün Giritliler doğrucudur, doğru söyler.'
O halde söylediği doğrudur. Yani 'bütün Giritliler
yalancıdır......'
Eğer "tüm Giritliler yalancıdır" önermesini doğru kabul
edersek, kendisi de Giritli olan Epimenides'in yalancı
olması gerekir. Eğer Epimenides yalancıysa, tüm
söyledikleri gibi, "tüm Giritliler yalancıdır" önermesinin
de yanlış olması gerekir. Önermenin hem doğru hem
yanlış olduğu sonucu çıkar.
Eğer "tüm Giritliler yalancıdır" önermesi yanlış kabul
edersek, kendisi de Giritli olan Epimenides'in doğru
söylüyor olması gerekir. Şu halde, "tüm Giritliler
yalancıdır" önermesi doğru olmalıdır. Yine çelişkili bir
sonuç çıkar.
Bir önerme hem doğru hem yanlış olamaz.
Burada gözden kaçırılan ve yıllarca matematikçilere yanlış
hesaplamalar yaptıran küçük bir püf noktası vardır ve o da şudur:
1"Bütün Giritliler yalancıdır" önermesinin tersi
2“Bütün Giritliler doğrucudur" değildir. doğrusu
3"En az bir Giritli vardır ki, doğrucudur" olması gerekmektedir
HER kelimesinin tersinin EN AZ BİR cümlesi olduğunun keşfinden
sonra matematikteki bu tıkanıklık aşılmış, ve aslında epimenides
paradoksunun aslında bir paradoks olmadığı ortaya çıkmıştır.
Bu bilgi ışığında değerlendirdiğimizde, "Bütün Giritliler yalancıdır"
önermesi yanlışsa, "En az bir Giritli doğru söyler" önermesi doğrudur.
Bunlardan birinin Epimenides olması mümkün olduğundan, paradoks
ortadan kalkar.
Doğru Parçası Paradoksu:
Önce doğru parçasının tarifini yapalım:
Doğru Parçası: Başlangıcı ve sonu olan ve sonsuz
adet noktadan oluşan doğru. Pekiyi nokta nedir?
Nokta: Kalemin kağıda bıraktığı en küçük iz veya
belirti. Malûmdur ki noktanın boyutu yoktur. O halde
dikkat. Paradoks başlıyor:
Noktanın boyutu olmadığına göre iki noktanın yan yana
gelmesi bir şey ifade etmez. 100 nokta veya 1 milyar
nokta da yan yana geldiğinde herhangi bir şekil
oluşturmaz.( Çünkü şekil oluşturması için gerekli olan
boyut özelliğini sağlamıyor) Bu şuna benzer ki; sıfır ile
sıfırın toplamı yine sıfırdır. Milyarlarca sıfırı toplasak
'yarım' dahi etmez. O halde doğrunun tanımında bir
hata var. Çünkü sonsuz adet noktanın yan yana
gelmesi bir şey ifade etmez! Noktanın çok çok az da
olsa boyutu olduğunu kabul etmemiz gerekir. Bu sefer
de noktanın tarifi hatalı olur.
Noktayı boyutlu kabul edelim. Karşımıza bir
paradoks daha çıkar; doğru parçasında sonsuz adet
nokta olduğuna göre doğru parçasının da uzunluğu
sonsuz olmalıdır. Çünkü çok az da olsa boyutu olan bir
şeyden sonsuz adedi yan yana gelirse sonsuz uzunluk
olur.
1 kg = 1 ton ¿?
1 kg = 1000 gr.............(1)
2 kg = 2000 gr.............(2)
(1) ve (2) çarpılırsa:
2 kg = 2.000.000 gr
2 kg = 2.000 kg.............(2.000.000 gr = 2.000 kg)
2 kg = 2 ton..................(2.000 kg = 2 ton).
Dolayısı ile,
1 kg = 1 ton
Hempel Paradoksu:
Carl Hempel'e göre
"Bütün kuzgunlar siyahtır!"
Bu önermeyi iki şekilde ispatlayabiliriz:
a) Çok sayıda kuzgun görüp, hepsinin de siyah olduğunu
tespit ederek,
b) Siyah olmayan şeylerin, aynı zamanda kuzgun da
olmadığını görerek.
Bilinen şu ki çok sayıda siyah kuzgun ve yine çok
sayıda siyah olmayan, aynı zamanda kuzgun da
olmayan cisim vardır. Siyah olmayan tüm cisimler
incelenmeden bu fikre varamayız. Kırmızı cisimler için
bu uygulama yapılmamışsa "bazı kuzgunlar kırmızı "
da olabilir. Bu sebeplerden Hempel paradoksu,
"Tümevarım" ın itibarını sarsmıştır.
Arnauld Paradoksu:
Herkes bilir ki;
(Büyük Sayı / Küçük Sayı)  (Küçük Sayı / Büyük Sayı) dır.
(5 / 2)  (2 / 5) gibi
Ancak negatif sayılar bu kuralı bozar:
(3 / -3) = (-3 / 3)
Ayrıca;
(Büyük Sayı / Küçük Sayı) > 1 dir.
(4 / 3) > 1 gibi
Yine negatif sayılar için kural ihlâl edilir:
(3 / -1) < 1
Bu durum, matematikçi Arnauld'a mantıksız geldiği için negatif
sayıların olmadığına hükmetti.
Galileo Paradoksu:
Sonsuzlukla ilgili bir paradoks:
Yukarıda ilk sırada pozitif tamsayılar, altında iki katları,
en altta da kareleri var. İlk seri sonsuz olduğuna göre
diğer seriler de sonsuz elemanlı. Ayrıca ilave olarak
sayıların küplerini, üç katlarını, on katlarını, yarılarını,
üçte birlerini de yazabiliriz. Hiçbir sonsuz da birbirine
eşit değil.
Euplides (Kum Yığını) Paradoksu:
Euplides, hiçbir zaman bir "kum yığını"
oluşturulamayacağını iddia etmiştir. Çünkü bir kum
tanesi, "yığın" değildir. Yanına bir tane daha koyarsak
yine yığın oluşmaz. "Kum yığını" olmayan bir şeyin
yanına (veya üzerine) kum tanesi koymakla yığın elde
edemeyeceğimize göre Hiçbir zaman "kum yığını"
oluşturamayız.
Daha açık bir deyişle:
Kabul edelim ki birer birer kum tanelerini bir araya
getirelim. Hangi merhaleden sonra kumlar "yığın"
oluşturur? Diyelim ki 'bir milyon' adet kum tanesi, bir yığın
oluştursun. Dokuz yüz doksan dokuz bin dokuz yüz
doksan dokuzu "kum yığını" kabul edilmeyecek mi?
Edersek "1" eksiği de yığın olmaz mı? Yani hangi aşama
bizim için "yığın" anlamına gelir?
Berber Paradoksu:
Klasik paradokslardan biri daha:
Bir berber, bulunduğu köydeki erkeklerden,
yalnızca kendi kendini traş edemeyen erkekleri traş
ediyor. Berberi kim traş edecek?
Kendi kendine traş olsa; kendisini traş edebildiği
için tanıma ters düşecek. Başkası traş etse; o kişi
kendi kendine de traş olabiliyor demektir. (bkz Russel
Paradoksu)
Russel Paradoksu:
1970 yılında 98 yaşında ölen Bertrand RUSSEL'ın çok
bilinen paradoksu:
"Bir odada papa ve ben varım. Odada kaç
kişiyiz?" Cevap:
"Bir kişiyiz. Çünkü ben, aynı zamanda papayım"
KRALIN DİLEMMASI
• Kral ülkenin yalancıları arasında bir yarışma açtı. "İşte bu yalan,"
diyebileceği bir yalan uydurana bir küp altın vadetti. Yalancılar
akın akın saraya gelip yalanlarını söylediler, fakat yalanlar ne
kadar akıl almaz olursa olsun kral hep, "olabilir, niye olmasın ..."
gibi cevaplar veriyordu. Böylece hem eğleniyor, hem de bir küp
altından olmuyordu.
Derken kahramanımız elinde boş bir küple huzura çıktı ve
konuştu:
"-Rahmetli dedeniz bir savaşa çıkacaktı, ancak o günlerde
hazinede yeterli para yoktu. Dedeniz dedemden bu küple bir küp
altın borç aldı ve 'bu borcumu torunum torununa ödeyecek,' diye
söz verdi. Şimdi, dedenizin borcunu bana ödemeniz için buraya
geldim."
Kral, "işte bu kuyruklu bir yalan!" deyince adam, "o halde
ödülümü alayım," dedi.
Kral, "ımm şeyy doğru da olabilir" deyince adam, "o halde
borcunuzu ödeyin" dedi
• Fatih Sultan Mehmet'ten:
Bilindiği gibi Fatih, genç yaşta padişah olmuştur.
Yaşı gençtir ama zekası ve inançları çok kuvvetlidir.
Yeni sultan olduğu yıllardır. Bir gün bir sefere
gidilecekken ordunun başında babasının olmasını
ister. Ancak babası bu teklifi kabul etmez. Fatih'in
maksadı babasının ilminden ve tecrübesinden
yararlanmaktır.
-"Eğer sen padişahsan geç ordunun başına. Yok
eğer ben padişahsam emrediyorum ordunun başına
geçeceksin!"
Babası Sultan Murat, başka çare bulamaz ve orduya
komutanlık yapar.
Timsahın dilemması
• Timsahın biri Nil kenarında çamaşır yıkmakta olan bir kadının
bir anlık gafletinden yararlanarak onun çocuğunu yakaladı.
Kadın çocuğunu geri vermesi için timsaha yalvardı. Timsah,
"çocuğuna ne yapacağımı doğru olarak tahmin edersen, onu
sana veririm, aksi halde onu yerim," dedi.
Kadın, "Ay! Yavrumu yiyeceksin," diye bir çığlık attı.
Timsah, "pekala," dedi, "artık onu sana veremem, çünkü böyle
yaparsam sen yanlış tahminde bulunmuş olursun. Halbuki
sana yanlış tahminde bulunursan onu yiyeceğimi
söylemiştim."
"Tam tersine," dedi kadın, "yavrumu yiyemezsin, çünkü onu
yersen doğru tahminde bulunmuş olurum ve doğru tahminde
bulunduğumda onu bana vereceğini söylemiştin."