m - Министерство за образование и наука

Transkript

YOVO STEFANOVSKİ
NAUM TSELAKOSKİ
VI. SINIFLAR İÇİN
DOKUZ YILLIK İLKOKUL EĞİTİMİ
Üsküp,2011
Sevgili öğrenci!
Artık altıncı sınıf öğrencisisin ve matematik dersin sırları içine girmiş bulunmaktasın.
Günlük hayatında sürekli olarak matematik ile karşılaşıyorsun: okulda, evde, oyunlarında bile.
Elindeki bu kitap sayesinde, sayılarla ilgili yeni ve ilginç içerikler öğreneceksin. Geometriden yeni bilgilere sahip olacaksın. Ölçme konusunda ise, ölçü birimlerini ve onlarla yapılabilecek işlemleri
öğreneceksin.
Kitap dört konuya ayrılmıştır. Her konu, konu içeriği ile başlamaktadır. Konu içindeki her ders
ünitesi ise, numaralarla gösterilmiştir.
Ders ünitelerinde işaretlenmiş renkli yerler var ve bu yerlerde verilen mesajlar, aktiviteler, sorumluluklar ve verilen öneriler yazılmıştır, o da:
Ders üniteleri bildiğin bazı bilgilerle başamaktadır. İstenilen ödevleri hatır-
Hatırlamaya çal! laman ve onları çözmen gerekiyor. Bu işlemlerle dersteki yenilikleri öğrenmen
kolaylaşacaktır.
A
,
B
...
1.
2.
3.
...
Bilmen gerekir
Kendini
yokla?
Ödevler
Alıştırmalar
Bu işaretler ile ders ünitesi, yeni kavramlara bağlı olan farklı bölümlere ayrılmıştır.
Bu işaretlerle etkinlikler, sorular ve bağımsız ya da öğretmeninin yardımıyla çözmen gereken ödevler işaretlenmiştir. Bu bölümde, dersteki yeni bilgileri
öğreniyorsun. Bundan dolayı dersi daha iyi anlaman ve öğrenmen için dikkatli
ve aktif olman gerekiyor. En önemli yerler sarı renkle işaretlenmiştir.
Dersin en önemli yerleri; soru, ödev veya önermelerle ayrılmıştır.
Onları aklında tutman ve ödev ile pratik örneklerde kullanman gerekiyor.
Bu bölümün içeriğinde, derste öğrendiklerini günlük hayatta kullanabilecek
kadar anlayıp anlayamadığını yoklayabileceğin soru ve ödevler bulunuyor.
Bu bölümdeki ödevleri aksatmadan ve kendi başına çözmen gerekiyor.
Böylece öğrendiklerini daha iyi anlayacaksın, ki bunun sana çok faydası
dokunacak.
Bu bölümdeki ödev ve problemleri çözmeye çalış. Bu sayede fazla bilgi
kazanacak, fikir zenginliğini artıracaksın.
Matematik dersini öğrenirken, öğrenme zorluğu çekebilirsin ama sakın vazgeçme, tekrar dene,
direncin ise iyi sonuç ve mutluluk verecek.
Bu kitap sayesinde matematik dersini sever ve daha yüksek başarı gösterebilirsen çok memnum
olacağız.
Yazarlardan
KONU 1.
1. Küme.
Yazılış Biçimleri
2. Küme Sayısı.
Kesin Kümeler
3. Denk Kümeler.
Eşit Kümeler.
Altkümeler
4. Kesişim, Birleşim
ve Küme Farkları
5. Sıralı Çift.
Kartezyen (Dekart) Çarpımı
6. Ardışık Doğal Sayılar
(Doğal Sayılar Dizisi)
7. Onluk Sayma Sistemi
8. Doğal Sayıların Okunması ve
Yuvarlanması
9. Veri Toplama Araçları
10. Toplama
11. Çıkarma
12. Bileşenlerdeki Değişimlere
Bağlı Olarak Toplamın ve Farkın
Değişmesi
13. Çarpma
14. Bölme
DOĞAL SAYILAR
4
7
9
12
15
17
20
23
26
27
29
31
34
37
3
15. Çarpımın ve Bölümün
Bileşenlerdeki Değişimlerle
Bağlantısı
40
16. Sayısal İfade. Denklemler
43
17. Aritmetik Ortalama
47
18. Doğal Sayılarda Bölünebilme
Toplama ve Çıkarmada
Bölünebilirlik
48
19. 2 ve 5 ile Bölünebilme
Kuralları
51
20. 3 ve 9 ile Bölünebilme
Kuralları
53
21. 4 ile Bölünebilme Kuralları
55
22. Asal (Basit) ve Bileşik (Karmaşık) Sayılar.
Sayıların, Asal Çarpanların
Çarpanı Olarak
Gösterilmesi
57
23. Ortak Bölen.
En Büyük Ortak Bölen
60
24. Ortak Kat
En Küçük Ortak Kat
63
25. Resimli Diyagram
Sütun Diyagramı
66
26. Doğal Sayıları Öğrendin.
Öğrendiklerini Kontrol Et.
68
1
4
KÜME. YAZILIŞ BİÇİMLERİ
Hatırlamaya çalış!
A
V
a
b
g
v
Resimde venn şeması (diyagramı) yöntemi
ile A ve B kümeleri gösterilmiştir.
A
D ile işaretlendirilmiş kümenin elemanları, haftanın günleri olsun.
1
D kümesinin tüm elemanlarını yaz.
A kümesinin elemanları çiçeklerdir.
Nisan ayı, D kümesinin elemanı mıdır?
B kümesinin elemanları nedir?
D kümesinde kaç eleman vardır?
2
A kümesini sözlü olarak ifade et ve elemanlarını yaz.
Senin A kümene eleman olmayan iki şeyi söyle.
Hatırlamam gerek! Bir kümeyi, onun tüm elemanları bilindiği zaman, küme
olarak adlandırabiliriz.
B
3
Resimde C kümesi venn şemasıyla gösterilmiştir.
C kümesinin elemanları hangi sayılardır?
C kümesi, tüm elemanlarının parantezler içerisinde yazılması ile
tüm elemanların birbirlerinden virgüller ile ayrılmasıyla, liste yöntemi ile (elemanların sıralanmasıyla) de gösterilebilir. Ör.
C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
4
1
7
2
6
3
R kümesinin elemanları: 10, 6, 2, 8ve 4 sayılarıdır.
R kümesini venn şeması yöntemiyle göster.
R kümesini, sayıları küçükten büyüğe doğru dizerek, liste yöntemi ile göster.
R kümesini, sayıları büyükten küçüğe doğru dizerek, liste yöntemi ile göster.
4
5
S
Kümeyi liste yöntemi ile gösterdiğimiz zaman küme elemanlarının
sıralaması önemli değildir.
5
Türkçe alfabenin tüm ünlü harflerini kapsayacak olan S kümesini göster.
5
Masa sözcüğündeki harflerden oluşan A kümesini liste yöntemi ile göster.
Hatırlamam lazım! A = {m, a,s, a} Kümesi doğru
şekilde {m, а, s} olarak yazılır. Kümedeki aynı
elemanlar sadece bir kere yazılırlar.
6
Aydınlı ailesi; baba Murat, anne Emine, erkek çocukları Mert ve kız
çocukları Handan’dan oluşur.
Aydınlı ailesinin tüm üyelerini kapsayacak küme, A harfi ile işaretli
olsun.
A kümesini liste yöntemi ile göster.
Eğer x harfi Aydınlı ailesinin üyelerinin ismi yerine kullanılırsa, A kümesi
şu şekilde de yazılabilir:
A={x | x Aydınlı ailesinin üyesidir}.
Bu şekilde yazılmış A kümesinin, ortak özellik yöntemi ile yazıldığını söyleriz.
Ѕ={x | x 2638 sayısının bir rakamı} kümesini şu yöntemlerle göster:
7
Venn şeması yöntemi ile;
Liste yöntemi ile.
Resimde P kümesi venn şeması yöntemi ile gösterilmiştir.
8
P kümesini liste yöntemi ile göster.
Aşağıdakilerden hangisinde P kümesi ortak özellik yöntemi ile gösterilmiştir?
a) {x | x >19}.
11
13
b) {x | x ikinci onluktan tek sayıdır}.
15
17
c) {x | x ikinci onluktan doğal sayıdır}.
C
9
R
19
Venn şeması ile gösterilmiş M kümesini incele.
M kümesinin elemanları rahle kelimesinin harfleridir.
Diyoruz:
„r harfi M kümesinin elemanıdır ya da r M
kümesine aittir"
„a harfi M kümesinin elemanıdır ya da a M
kümesine aittir"
„o harfi M kümesinin elemanı değidir ya da o M
kümesine ait değildir"
Yazıyoruz:
r∈M
a∈M
o∉M
r
M
a
h
e
l
M kümesi vea, I, h, l, charfleri için, ∈ veya ∉ işaretlerinden gerekeni kullan.
6
a
10 Resimde a doğru parçası ve A, В, С, N, L, К ve Ѕ noktaları gösterilmiştir.
11
Resimdeki noktalar ve a doğru parçası için, ∈ veya ∉ işaretlerinden
gerekeni kullan.
p doğrusunu çiz ve R, Р, Ѕ ve L noktalarını şu şekilde sırala:
R ∉ p; P ∈ p; S ∈ p i L ∉ p;
Bilmen gerekir
V
S
K
S
L
N
A
Kendini yokla!
Kümeler için örnekler vermelisin;
Bir küme ne zaman belirlidir?
Verilen kümeyi venn şeması yöntemi, liste yöntemi ve ortak özellik yöntemleri ile göstmelisin;
Elemanları 1, 3, 5, 7ve 9 sayıları olan, K kümesini göster:
Venn şeması yöntemi ile;
∈ ve ∉işaretlerini doğru kullanmalısın.
Liste yöntemi ile;
Ortak özellik yöntemi ile.
K kümesinin hangi elemanları ilk onluğun sayılarına aittir?
∈ ve ∉ işaretlerini kullanarak göster.
Ödevler
A kümesini liste yöntemi ile, B kümesini ortak
özellik yöntemi ile göster.
1. Resimde A ve B kümeleri verilmiştir.
A
∈ ve ∉ şaretlerini kullanarak m, e, ş, e
harflerinden hangilerinin, B kümesine ait
olduğunu göster.
V
e
e
a
ş
m
e
2.
Bir doğru parçası çizipa harfi ile işaret et.
М, N, С, D, Ѕ noktalarını göster, öyle ki:
M ∈ a, N ∉ a, C ∈ a, D ∈ a i S ∉ a.
Hangi harfler A kümesinin elemanıdır?
3
B kümesinde verilen harflerden bir
sözcük oluştur (odunun adı).
Venn şeması yöntemi ile A ve B kümelerini
göster, öyle ki:
1 ∈ A, 2 ∈ A, 2 ∈ B, 3 ∈ A, 4 ∈ A, 4 ∈ B,
5 ∈ A, 6 ∈ A, 6 ∈ B, 7 ∈ B, 8 ∈ A, 8 ∈ B
i 9 ∈ B.
2
7
KÜME SAYISI. KESİN KÜMELER
A kümesi venn şeması ile gösterilmiştir.
A
1
A, B ve C kümelerini incele ve sorulara
cevap ver.
A = {a, b, c};
A
B = {x | x haftanın bir günüdür};
c
a
b
C = {x | x den daha küçük doğal sayıdır}.
d
A kümesi hangi elemanlardan oluşmuştur?
A kümesinin elemanlarını say.
A kümesi elemanarının sayısı kaçtır?
Yukarıdaki kümeler hangi elemanlardan
oluşmuştur?
A, B, C kümelerinin her birinde kaçar eleman vardır?
Gözlemledim! A kümesinde 3, B
kümesinde 7 ve C kümesinde 99
eleman vardır.
Hatırla!
A kümesindeki eleman sayılarına A sayısı denir ve δA ile işaretlendirilir.
Sınıfındaki kız çocuklar kümesinde kaç eleman
vardır?
Sınıfındaki erkek çocuklar kümesinde toplam olarak
kaç öğrenci var?
Sınıfındaki tüm öğrencilerin sayısı kaçtır?
2
Gözlemle vehatırla!
Tüm kümelerin eleman sayılarını belirtin.
Tüm bu kümeler kesin kümeler olarak adlandırılırlar.
B
3
Makedonya Cumhuriyeti’ndeki en yüksek dağ Korab’dır.
Korab’ın tepesi 2 764 metre yüksekliğindedir.
Makedonya Cumhuriyeti’nde 3000 metrenin üzerinde
yüksekliğe sahip olan dağlar kümesinde kaç eleman
vardır?
4
A, B ve C kümelerinin eleman sayılarını belirle.
A = {Haziran, Temmuz, Ocak}
C = {x | x z harfi ile başlayan ay ismidir}.
V
Mayıs
8
Araştıma ve gördüklerinden anlıyorsun ki, ödev 3’teki dağlar kümesinde ve 4. ödevdeki C
kümesinde hiçbir eleman yoktur.
Hiçbir elemanı olmayan kümelere boş küme denir ve Ø işareti ile gösterilir. Boş küme de
kesin küme olarak sayılır.
M = {x | x Makedonya’da 3 000 metreden yüksek dağlardır} = ∅.
δ∅ = 0.
5
Boş küme örneği göster.
Bilmen gerekir
Küme sayısının ne olduğunu
bilmelisin;
Kesin ve boş kümeler için
örnekler verebilesin.
Kendini yokla!
Örnek ver:
δС = 3 olacak olan, kesin C kümesi;
δS = 0 olacak, S kümesi.
Ödevler
1. Kümelerdeki eleman sayılarını
belirle:
L = {2, 4, 6, 8, 10}
S = {x | x metreden yüksek V. sınıf
öğrencisidir}
K=∅
Mars gezegenine tatile gitmiş olan
arkadaşların.
2. Venn şeması yöntemi ile verilmiş olan A ve B
kümelerinden her birinin eleman sayısını belirle.
A
1
2
4
3
6
5
V
7
3. Verilen kümelerdeki eleman sayılarını belirle.
A = {2, 3, 4, ..., 99} ve
B = {x | x 8 < x< 25 arası doğal sayıdır}.
Alıştırma
Aşağıdakilerden hangisi kesin kümedir:
Pirlepe şehrinde yaşayan halkın sayısı;
Gökteki yıldızlar;
Bir çuval içindeki tahıl tanelerinin sayısı;
1 rakamı ile yazılabilen sayılar.
3
DENK KÜMELER.
EŞİT KÜMELER.ALTKÜMELER
A
S ve T kümelerindeki eleman sayılarını
belirle.
1
Kümelerdeki eleman sayılarını
belirle:
9
Y
A = {2, 4, 6, 8, 10}
B = {1, 3, 5, 7, 9}
T
C = {10, 20, 30, 40, 50}.
Ne fark ediyorsun?
<, =ya da> işaretlerinden hangisinin daire içerisinde
yazılması gerekiyor δТО
δЅ?
A = {x | x DEBRE kelimesinden bir harftir} ve В = {x | x ilk onluktan tek sayıdır} kümeleri liste yöntemi ile göster.
2
δA ve δB’yi göster ve karşılaştır.
δA ve δB ile eşit sayılarda elemanı olacak C kümesini göster.
Aynı sayının elemanı olan kümelere denk kümeler denir.
A ve B kümelerinin denk olduğu durumlarda, A ~ В diye gösterilir.
STERİYORSUN?
NİYE TEPKİ GÖ
TİR.
ER
KÜMEL EŞİT
Herbir kümenin sayısını belirle:
B = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {a, e, i, o, u}, D = {100},
E = {M, A, Y}, F = {Δ} ve G = {M, A, T, E, I, K}.
3
Denk olan kümeleri “~” işareti ile göster.
G kümesi ile denk olacak yeni bir küme oluştur.
B
4
Elemanları kitap kelimesinin harfleri olan A ve elemanları patik kelimesinin harfleri olan B
kümelerini liste yöntemi ile göster.
Gözlemle!
A ve B kümelerinin eleman sayısı aynıdır: δА =δВ.
Aynı zamanda A ve B kümeleri aynı elemanlardan oluşmuşlardır.
A ve B kümeleri aynı elemanlardan oluşmuşlarsa, onlara eşittirler denir.
Şu şekilde yazıyoruz: A = В
10
A={1, 3, 5, 7} ve В={1, 2, 5, 7}
kümeleri eşit kümeler midirler?
5
Eşit olmayan A ve B kümelerini şu şekilde yazıyoruz: А≠В.
fakat: {patik}={kitap}
Verilen kümelerden hangileri birbiri ile eşit kümelerdirler: A = {x | x > 5 ve x < 10},
B = {8, 7, 6, 9}, C = {5, 6, 7, 8, 9, 10}, D = {6, 7, 8, 9}?
6
C
7
Resmi incele! M kümesinin elemanları güllerdir, C
kümesinin elemanları ise kırmızı güllerdir.
M
C
C kümesinin her elemanı aynı zamanda M kümesinin
de elemanı mıdır?
C kümesi için M kümesinin altkümesidir deriz. Eğer C kümesindeki elemanların hepsi aynı zamanda M kümesinin de elemanları ise, onu şu şekilde gösteriyoruz: S ⊆ M.
Eğer C kümesi M kümesinin altkümesi ise ve M kümesinde C kümesine ait olmayan elemanlar
varsa, bu durumda C kümesine özalt küme denilir ve şu şekilde gösterilir: S ⊂ M.
8
S kümesi venn şeması yöntemiyle gösterilmiştir.
P kümesi S kümesinin altkümesi midir? Vereceğin
cevabı açıkla!
K kümesi S kümesinin özaltkümesi midir? Açıkla!
Aşağıda verilenlerden hangisi doğrudur:
P ⊂ S; S ⊆ S ve S ⊂ S?
Y
1
3
2
R
5
K
4
6
7
Gözlemle!
Her küme kendi kendisinin altkümesidir. A ⊆ A.
Örneğin: {a, b, c} ⊆ {a, b, c}, çünkü ilk kümedeki her eleman ikinci kümenin de elemanıdır.
Boş küme her kümenin altkümesidir. ∅ ⊆ A.
Bilmen gerekir
Kendini yokla!
Eşit, daha doğrusu denk kümeler için örnekler
veresin;
Denk kümeleri eşit kümelerden ayırt edesin;
Altküme ve özaltkümenin ne olduğunu bilеsin;
Verilen kümelerdeki altkümeleri fark edesin.
11
Р = {5, 10, 15, 20} kümesi verilmiştir.
P kümesi ile denk küme olacak K kümesini
göster.
P kümesi ile eşit küme olacak L kümesini
göster.
P kümesinin iki altkümesini göster.
Ödevler
1. Resimde D ve N kümelerini görüyorsun.
7
3
2
altıncı sınıfta okuyan öğrencilerden, K kümesi
ise senin sınıfındaki öğrencilerden oluşsun. ö
elemanı ise sensin sevgili öğrenci.
Venn şeması ile U, P, K kümelerini ve ö elemanını göster.
D
5
9
2. U kümesi okulundaki öğrencilerden, P kümesi
1
6
8
4
10
N
D kümesini liste yöntemi ile göster.
N kümesini ortak özellik yöntemi ile
göster.
D ve N kümeleri denk midir? Denk ise
nedendir?
3.
ö ∈ K ve K ⊆ P ise, o zaman ö ∈ P. Doğru
mudur? Neden?
4.
A = {a, b, с} kümesinin tüm altkümelerini yaz.
D ve N kümeleri için hangisi doğrudur: D
⊆ N ya da N ⊆ D? Neden?
Güldürmece
Bu da matematiktir!
Bir metal ürünler dükkânında satıcı ve müşteri arasında şu konuşma geçmektedir:
“Bir tanesi kaç para?” diye müşteri sorar.
“On denar” diye cevap verir satıcı.
“On iki tanesini kaç para için alabilirim?
”, diye tekrar sorar müşteri.
“Yirmi denar” – diye satıcı cevap verir.
“İyi o zaman, üç yüz on iki tane verin”, demiş müşteri.
“Toplam borcunuz otuz denar beyefendi”, diye cevap verir satıcı.
Müşteri ne satın almıştır?
4
12
KESİŞİM, BİRLEŞİM VE KÜME FARKLARI
A
S
A 1
Şu kümeler verilmiştir:
A={1, 2, 3, 4, 5} ve B={3, 4, 5, 6}.
V
A ve B kümelerini venn şeması ile
göster.
A ve B kümelerinin ortak elemanlarını C
kümesi olarak işaretle.
C kümesini liste yöntemi ile göster.
Resime göre A kümesi kırmızı şekillerden, B kümesi üçgenlerden, C kümesi
de kırmızı üçgenlerden oluşmuştur.
Sonucu incele.
C = {3, 4, 5}.
C
A
C kümesi neden A ve B kümelerinin
kesişimidir?
C kümesi, A ve B
kümelerinin
kesişimidir.
B
1
3
2
4
5
6
A ve B kümelerinin kesişimi C kümesidir ve o, A ve B kümesinin ortak elemanlarından
oluşmuştur.
Şöyle yazıyoruz: C = A ∩ V ve şöyle okuyoruz: “C, A ve B kesişimine eşittir”.
x ∈ A ∩ V, yani x ∈ A ve x ∈ V.
2
Şu kümeler verilmiştir: A = {1, 2, 3, 4}, В = {2, 4, 5, 7} ve С = {1, 4, 5}.
A ∩ B, A ∩ C ve B ∩ A kümelerini belirle.
A ∩ B ve B ∩ A kümeleri denk kümeler midirler? Farklı mıdırlar?
A, В ve С kümelerini venn şeması yöntemi ile, kesişimlerindeki elemanları belli olacak şekilde göster.
B
3
Resimde A, B ve D kümeleri verilmiştir.
A, В ve Dkümelerini liste yöntemi şeklinde yaz.
D kümesi, A ve B
kümelerinin birleşimidir.
D
A
V
1
3
2
6
5
7
4
10
9
8
A ve B kümelerinin birleşimini, iki kümenin tüm elemanlarından oluşan D kümesi oluşturur.
Şu şekilde yazıyoruz: D = A ∪ V ve şu şekilde okuyoruz: “D, A ve B kümelerinin birleşimine eşittir”.
x ∈ A ∪ V, yani x ∈ A ya da x ∈ V demektir.
4
Resimde A, B ve C kümelerini venn şeması yöntemi
ile gösterilmiştir.
Kümeleri liste yöntemi ile göster:
V
C
A
A, V ve C.
2
13
12
14
11
9
A ∪ ∅, B ∩ C, B ∩ A ve A ∩ C.
5
1
3
C ∪ B, C ∪ A ve B ∪ A.
C
13
A = {1, 2, 3, 4, 5} ve В = {2, 4, 6, 8} kümeleri verilmiştir.
A ⋂ В ve В ⋂ А kümelerini belirle.
А ⋂ В ve В ⋂ Аkümeleri farklı mıdırlar?
A ∪ В ve В ∪ А kümelerini belirle.
А ∪ В ve В ∪ А kümeleri eşit midirler?
Farkediyorsun ki:А ⋂ В = В ⋂ А ve А ∪ В = В ∪ А
İki kümenin kesişiminin değişken etkisi vardır.
İki kümenin birleşiminin değişken etkisi vardır.
6
Dördüncü ödevdeki B ve C kümelerinin kesişimi, daha doğrusu birleşiminde değişken etkinin var
olduğunu göster.
Onların birleşimin değişken etkisini incele.
7
Gözlemle!
A = {3, 6, 9} , B = {2, 4, 6, 8} ve C = {1, 3, 5, 9}.
А ∪ В ve (А ∪ В) ∪ С’yi belirle.
В ∪ С ve А ∪ (В ∪ С)’yi belirle.
(А ∪ В) ∪ С = А ∪ (В ∪ С) iddiası doğru mudur?
(А ⋂ В) ⋂ С = А ⋂ (В ⋂ С) iddiası doğru mudur?
Alıştırma
Üç kümenin birleşimin birleştirici
etkisi vardır.
Üç kümenin kesişimin birleştirici
etkisi vardır.
A, B ve C ile işaret edeceğin 3 küme seç ve şunları göster:
(A ∩ V) ∩ S = A ∩ (V ∩ S).
x ∈ A ∪ B olduğu bilinirse, x ∈ B’ye midir?
D
8
Resmi incele. Venn şeması yöntemi ile A ve B kümeleri
gösterilmiştir.
A
1
6
5 2
7
3
8 B
9
A ve B kümelerini liste yöntemi ile göster.
A kümesine ait olan, B kümesine ait olmayan elemanlardan oluşacak C kümesini liste
yöntemi ile göster.
С = {1, 2, 5, 6} kümesi, A ve B kümelerinin farkları ile elde edilmiştir, daha
doğrusu С = A \ В.
14
A kümesine ait, B kümesine ait olmayan elemanlardan oluşmuş C kümesine, A ve B kümelerin farkı
denir.
Şu şekilde yazıyoruz: С = A \ В ve şu şekilde okuyoruz: “С, A eksi B’ye eşittir ".
x ∈ A \ В yani: х ∈ А ve x ∉ В.
9
A = {1, 2, 3, 4}, В = {1, 2, 3, 5, 7, 9} ve С = {3, 5, 7, 9, 11}.
Kümeleri liste yöntemi ile yaz: А\ В, В \ A, В \ С ve А \ (В \ С).
А\ В = В \ А iddiası doğru mudur?
А\ (В \ С) =(А\ В) \ С doğru olduğunu kontrol et?
ARASINONLARIN CABA
A
K
R
DAKI FA
TIR?
NEYE EŞIT
Küme farklarının değişken veya birleştirici etkisi yoktur.
10 M = {x | x doğal sayıdır ve x < 7},
S = {5, 6, 7, 8, 9} ve P = {x | x ilk onluktan doğal sayıdır}.
Belirle:
M ∩ Y.
Y ∪ R.
M ∪ (R \ Y).
P \ M.
Bilmen gerekir!
Kendini yokla!
İki küme arasındaki kesişimi belirleyesin;
A = {a, b, f, g}, B = {b, c, e, f, 1, 2} ve
C = {b, c, e, 1} kümeleri verilmiştir.
İki küme arasındaki farkı belirleyesin;
İki kümenin birleşimini belirleyesin;
Şu kümeleri yaz:
Kesişimin, daha doğrusu birleşimin komutatif
ve birleştirici etkisisinin olduğunu bilesin.
A ∩ B.
Ödevler
1. Resimde Venn şeması yöntemi ile gösterilmiş a,
B \ C.
A ∪ B ∪ C.
δА ve δМ belirle.
Liste yöntemi ile göster: А∪ М, М ∩ А ve
М \ А.
δ (А∪ М), δ (А∩ М) ve δ (М \ А) belirle.
b ve c ile işaretlendirilmiş kümeler verilmiştir.
Renkli bölümlerde hangi işlemler gösterilmiştir?
3. Р kümesini ilk onluğun çift sayıları, S kümesini de
ilk onluğun tek sayıları oluştursun.
a)
b)
2. Aşağıda verilen kümelerde:
c)
A = {m, n, p, k} ve M = {s, p, t, k, r}
Belirle:
а) P ve S kümelerinin birleşimi; c) P ve S kümelerinin farkı;
b) P ve S kümelerinin kesişimi; d) S ve Р kümelerinin farkı?
a, b, c ve d şıklarında verdiğin cevapları açıkla.
5
SIRALI ÇİFT. KARTEZYEN (DEKART) ÇARPIMI
{2, 3} ve {3, 2} kümeleri verilmiştir. Onların
ikişer elemanı vardır, yani çift elemanlardan
oluşmaktadırlar.
{2, 3} = {3, 2} iddiası doğru mudur? Neden?
Ancak bazı durumlarda çift elemanlardaki
sıralamanın önemi vardır: Bir çift eldiven,
bir çift ayakkabı vb.
A 1
15
Resimde bir sinema salonu gösterilmiştir.
İkinci sıradaki üçüncü sandalye ve üçüncü
sıradaki ikinci sandalye boştur.
Sıra ve sandalye bir çifti
oluştururlar.
Çiftin birinci sayısı sırayı
(2), ikinci sayısı da sandalyeyi (3) göstersin.
Bu durumu (2,3) şeklinde yazıyoruz ve
sıralanmış çift olarak
adlandırıyoruz.
(2,3) ve (3,2) sıralanmış çiftleri, salonda aynı yerleri mi gösterirler?
Onlar salonda farklı yerleri
gösterirler.
(a, b) çiftinde, hangi elemanın kesin a, hangi elemanın kesin b olduğu bilinen durumlarda, bu çiftlere
sıralanmış çift ismi verilir. (a, b), sıralanmış çiftinde,
a birinci b ise ikinci bileşeni oluşturmaktadır.
A = {s, p, q} ve B = {1, 2} kümeleri verilmiştir.
2
Birinci bileşenleri A kümesinin elemanı, ikinci bileşenleri de B kümesinin elemanları olan tüm
sıralanmış çiftleri yaz.
Birinci bileşenleri B kümesinin elemanı,
ikinci bileşenleri de A kümesinin elemanları olan tüm sıralanmış çiftleri yaz.
Hatırlamam gerek! (a, b) sıralanmış
çifti (с, d) sıralanmış çifti ile eşittir.
Eğer a = с ve b = d ise, şu şekilde
yazarız: (a, b) = (с, d).
(ѕ, 1) sıralanmış çifti, (1, ѕ) sıralanmış çifti ile eşit midir?
B
3
A = {1, 2} ve В = {a, b, с} kümeleri verilmiştir. Elemanların sıralanmış çiftlerden, birinci
bileşenlerin A kümesinden, ikinci bileşenlerinin de B kümesinden oluşan kümeyi göster.
Elemanları; birinci bileşimin A kümesinden, ikinci bileşimin de B kümesinden oluşmuş sıralanmış
çiftler olan kümelere, A ve B kümelerin Kartezyen çarpımı denir. A х В ile işaretlenir. A çarpı B, diye
okunur.
A h V = {(x, y) | x ∈ A ve y ∈ B}.
4
Ѕ = {1, 2, 3} kümesi ve Ѕ х Р = {(1, a), (2, a), (3, a)} Kartezyen çarpımı verilmiştir.
P kümesini liste yöntemi ile yaz.
16
5
A = {a, b} kümesi verilmiştir. A x A Kartezyen çarpımını belirle.
Gözlemle ve hatırla!
A x A, A kümesinin Kartezyen çarpımıdır. A x A Kartezyen çarpımı Kartezyen karesi olarak
adlandırılır ve A2 olarak yazılır. “A karesi” olarak okunur.
6
M = {5, p} kümesinin Kartezyen çarpımını belirle.
Bilmen gerekir!
Kendini yokla!
Sıralanmış çift ve iki elemanlı küme arasındaki farkı bilesin;
A = {a, b}, B = {5, 55} ve C = {m, n} kümeleri verilmiştir.
Verilen iki kümenin tüm sıralanmış çiftlerini
belirleyesin;
Birinci bileşiminin A kümesi elemanı, ikinci
bileşiminin C kümesi elemanının olacağı tüm
sıralanmış çiftleri yaz.
Kartezyen çarpımının ne olduğunu bilesin;
Sıralanmış çiftin birinci ve ikinci bileşimini
belirleyesin;
A х В kümesini liste yöntemi ile göster.
В2 kümesini yaz.
Kartezyen karesi nedir.
Ödevler
1. Birinci bileşiminin A = {2, 5} kümesinden
ikinci bileşiminin V = {a, b, c} kümesinden
olacak olan sıralanmış çiftleri yaz.
4.
Y h R = {(0, m), (1, m), (2, m)} kümesi
verilmiştir.
Ѕ kümesini belirle.
Р kümesini belirle.
Ѕ kümesinin Kartezyen çarpımını belirle.
2. Sıralanmış çiftlerin eşit olabilmesi için
★işareti yerine hangi sayıların gelmeleri
gerekiyor.
a) (5, ) = (5, 2);
b) (, 6) = (8, 6);
c) (, 3) = (7, )?
3. A isimler kümesidir:
A = {Yavuz, Beren, Davut}.
В еylemler kümesidir:
В = {şarkı söylüyor, uyuyor, okuyor}.
A х В Kartezyen çarpımı belirle.
Sıralanmış çiftler basit cümleler
olacaktır. Örneğin: Yavuz şarkı
söylüyor.
6
17
ARDIŞIK DOĞAL SAYILAR (DOĞAL SAYILAR DİZİSİ)
Doğal sayılar!
1
2
3
4
5
...
Sınıfında kaç rahle var?
Sınıfındaki erkek öğrenci sayısını belirle.
Şu sayıları oku: 23, 1005, 207, 987 000.
A
1
Şu numaraları rakamlarla yaz:
Yüz elli altı;
813 265 sayısı hangi rakamlarla
yazılmıştır?
Sayıları yazmakta kaç rakam kullanılır?
Onlar hangileridir?
Doksan bir;
Bir milyon.
Bu sayılardan herbirine doğal sayı denir.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 99, 100, 101, 9 999, 10 000, ... verilensayıların tümüne doğal sayı denir.
Bu şekilde art arda gelen doğal sayılara ardışık doğal sayılar veya doğal sayılar dizisi denir.
Doğal sayılar kümesi N harfi ile gösterilir; N = {1, 2, 3, 4, ...}.
0 sayısı doğal sayı değildir. Bu yüzden 0 ∉N.
Tüm doğal sayılar kümesi ve 0 sayısı, N0 ile gösterilir;
N0 = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
B
2
Resimde cadde ve sayılarla işaretlenmiş iki sıra ev
farkediyorsun.
Caddenin bir tarafındaki evler hangi sayılarla
işaretlenmiştir?
Caddenin diğer tarafındaki evler hangi sayılarla
işaretlenmiştir?
1, 3, 5, 7, ... sayıları tek sayılardır. 2, 4, 6, 8, 10... sayıları da
çift sayılardır.
Şu sayılardan: 36, 13, 1 111, 100 000, 99 hangileri çift, hangileri tektir?
3
C
4
a
Sayısal doğruyu nasıl belirlersin?
O
A
0
1
O
A
S
0
1
2
a
İstekler doğrultusunda çalış ve resmi takip et.
a doğrusunu çiz.
a doğrusunda О ve А noktalarını belirle.
О noktasına 0 sayısını, A noktasına da 1 sayısını ekle.
a
18
OA bölümünü bireysel doğru parçası olarak ele alıyoruz ve OA = 1şeklinde işaret
ediyoruz.
OA yarım doğrusuna, А noktasının olduğu yerden, OA bireysel doğru parçasını aktar.
Bitiş noktasını da C ile işaretleyip, 2 numarası ile birleştir.
3 sayısına uyacak noktayı nasıl belirleyeceksin?
Bu şekilde üzerinde doğal sayıların gösterilebileceği bir doğru ortaya çıkar. Bu doğruya sayısal
doğru ismi verilir.
Resmi incele:
5
Hangi sayı 6 sayısından bir sayı için daha küçüktür?
0
Hangi sayı 6 sayısından bir sayı için daha büyüktür?
1
2
3
4
6
5 sayısı 6 sayısının önceli, 7 sayısı da ardılıdır.
6
100 sayısının öncelini ve ardılını belirle?
Bir sayının önceli ve ardılı nasıl elde edilir?
Çok büyük bir doğal sayı yaz.
7
Bu sayıyı 1 sayısı ile topla.
Elde ettiğin sayıdan daha büyük sayı var mı?
Herhangi bir sayıya
1 sayısını eklersem,
daha büyük bir sayı
elde edeceğim.
1 dışındaki doğal sayı dizisinde herhangi bir sayının önceline, 1 sayısının eklenmesiyle o sayı elde
edilir.
2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1; ...; 100 = 99 + 1; ...; 365 = 364 + 1; ...
Her doğal sayının ardılı vardır.
Doğal sayılar büyüklüğüne göre sıralanıştır: 1 < 2 < 3 < ... < 56 < 57 < ... < 1 008 < ...
En büyük doğal sayı yoktur.
Doğal sayılar sonsuzdur.
Doğal sayılardan oluşmuş N kümesi sonsuz kümedir.
Sonsuz küme örneği ver.
8
Doğal sayılar kümesi, birlik rakamları 1 sayısı olan sayılardan oluşsun. Ör. {1, 11, 21, 31, ...}.
Aşağıdaki kümelerden hangisi sonsuzdur?
Çift sayılar kümesi.
Tek sayılar kümesi.
Makedonya C. nüfus sayısı.
Bir plajdaki kum tanelerinin sayısı.
9
Beşinci yüzdeliğin üçüncü onluğundaki doğal sayıları sırasıyla yaz.
19
Bilmen gerekir!
BEN
ARDILIM!
BEN ÖNCELİM!
Rakam ve sayı arasındaki farkı bilеsin;
Verilen doğal sayının öncel ve ardıl sayılarını belirlеyesin;
Sayısal doğru üzerinde doğal sayıları gösteresin;
Sonsuz küme için örnekler veresin.
Kendini yokla!
7, 4 ve 0 sayıları verilmiştir.
Verilen rakamları kullanarak, tüm üç rakamlı doğal sayıları oluştur.
Oluşturduğun sayıları en yüksekten başlayarak sırala.
Oluşturduğun en yüksek sayının öncelini ve ardılını yaz.
Sonsuz küme için örnek ver.
Ödevler
1.
Resimde yırtık sayfalı kitap gösterilmiştir.
2.
0
Sayısal doğrudaki boş yerlere hangi sayılar
yazılmalıdır?
10 20 30 40 50 60
100
120
140
160
70
80
İşaretlenmiş sayıları harflerle yaz.
0
Kitapta eksik olan, çift sayılardan
oluşan sayfa sayılarından, A kümesini
oluştur.
20
30
40
50
60
3.
Sayısal doğru çiz ve üzerinde 0 ile 20 sayıların
arasındaki çift sayıları işaretle.
4.
S = {x | x tek doğal sayıdır}, kümesini liste yöntemi ile göster.
Yırtılmış sayfaların sayısını yaz.
Bu sayfaların sayıları hangi rakamlarla
yazılmıştır?
10
S kümesindeki en küçük eleman hangisidir?
S kümesinin en büyük elemanı var mıdır?
S kümesinin kaç elemanı vardır?
7
20
ONLUK SAYMA SİSTEMİ
012 34 56 7 8 9
100 sayısının kaç onluğu vardır?
3 865 sayısının kaç binliği vardır?
A
128 563 sayısının kaç birliği vardır?
1
Doğal sayıların yazıldığı tüm rakamlardan C kümesini oluştur.
Resimdeki abaküste gösterilmiş sayıyı
rakamlarla göster.
δC’yi belirle.
On rakam
vardır.
Tüm doğal sayıları on rakam ile gösteririz: 0,1,...9.
YB OB
2
BB
O
Y
B
Yazdığımız sayıları onluk sayma sisteminde
yazıyoruz.
7 143 528 sayısının yazılı olduğu tabelayı incele.Sayının her rakamı belli basamakta (yerde)
yazılmıştır. Sağdan sola doğru her üç grupluk rakamlar, ayrı bölükte yazılırlar.
2 rakamı hangi basamakta yazılıdır?
MİLYONLAR
BÖLÜĞÜ
YM
OM
BİNLER
BÖLÜĞÜ
BİRLER
BÖLÜĞÜ
BM
YB
OB
BB
Y
O
B
7
1
4
3
5
2
8
Milyonlar bölüğünün milyon birlikler basamağında 7 rakamı yazılmıştır. Bu sayının basamak değeri
nedir?
143 528 sayısındaki 4 rakamının
basamak değeri kırk bindir. 3 ve 8
rakamlarının basamak değerleri
nedir?
Hatırladım!
7 ⋅ 1 000 000 = 7 000 000.
Sayıların gösterilmesinde her rakam, bulunduğu basamak yerine bağlı olarak birlik, onluk, yüzlük
vb. değerini gösterir.
3
3 34 509 sayısının veri tabelasını incele.
21
Biz
aynıyız
34 509
Rakamın
basamak
değeri
Rakam
Bölük
Rakamın yazılı
olduğu basamak
3
Binlik
YB
30 000
4
Binlik
YB
4 000
5
Birlik
Y
500
0
Birlik
O
0
9
Birlik
B
9
Benim fazla
değerim var
2
20
2628 sayısı için tablo oluştur ve tabloya sayının her rakamı için veriler yaz.
4
Gözlemle! Birler basamağından başlayarak 3 rakamının değeri kaç defa artmaktadır?
BB
Y
O
B
3
3
3
3
1, 10, 100, 1 000 sayılarına ondalık birimleri denir.
⋅100 ⋅10
10 000 000 kadar tüm ondalık birimlerini yaz.
⋅1 000
B
5
B 5 1 rakamını barındıran sayıyı yaz, ardından da:
a)3 sıfır
b) 6 sıfır
c) 9 sıfır d) 12 sıfır
e) 18 sıfır, yazılı olan sayıları yaz.
a)’da ve b)’de yazılı sayılar nasıl okunur?
Hatırlatma!
а) ve b)’yi biliyorum.
Diğer sayılar acaba nasıl
okunuyorlar?
6
Yazılmış sayı:
1 000 000 000, milyar diye okunur;
1 000 000 000 000, bilyon diye okunur;
1 000 000 000 000 000 000, trilyon diye okunur.
“Beş milyar sekiz yüz milyon ve iki yüz bin” sayısını yaz.
50 800 200 000 sayısında 5; 8; 2rakamlarının basamak değeri nedir?
22
Bilmen gerekir!
Çok rakamlı sayılarda bölükleri belirleyesin;
Verilen sayıdaki her rakamın basamak değerini belirleyesin;
Rakamlar, sayıların yazılmasında kullanılan işaretlerdir.
Kendini yokla!
Çizimi incele!
Basamak hesaplayıcısında verilmiş sayıyı oku ve rakamlarla yaz.
Binlik basamağında onlukları hangi rakamda yazdın ve
onun basamak değeri nedir?
MB
BY
BO
BB
Y
O
B
Ödevler
3. “Sekiz bilyon üç yüz iki milyar altmış mily1. 5 203 478 sayısı verilmiştir. 5; 2; 7; 0
rakamlarından her biri için şunları belirle:
а) Hangi bölükte yer alıyor;
b) Hangi basamakta bulunuyor;
c) Basamak değeri nedir?
2. 7 405 906 sayısının rakamlarının bölük ve
on dört yüz bin beş yüz” sayısını rakamlarla göster.
4. Bir trilyondaki her ikinci sıfırı silersen
hangi sayıyı elde edeceksin?
5. 5 sayısı ve 5 rakamı nasıl okunur?
basamaklardan oluşan tabela hazırla.
6. Milyon tane milyonu olan sayıya ne denir?
Alıştırma
7 rakamlı sayı 7 rakamı ile başlıyor. O sayının rakamlarını nasıl
değiştirirsen değiştir, sayı değişmez. O sayı hangisidir?
8
23
DOĞAL SAYILARIN OKUNMASI VE YUVARLANMASI
A
1
Verilmiş sayıları okundukları şekilde yaz:
a) 157; b) 216 c) 350
16; 23; 45; 125; 50; 200 sayıları verilmiştir.
Yazdıklarını aşağıda verilenlerle karşılaştır:
а) Yüz elli yedi.
b) İki yüz on altı.
c) Üç yüz elli.
Sayıların okunuşunu yaz.
Çok haneli rakamların yazılışını gözlemle.
Türkçe’de birden fazla rakamı olan doğal
sayılar yazıda, her sayı; araya virgül, kesme
işareti veya herhangi bir işaret kullanılmadan
ayrı ayrı yazılır.
2
Verilmiş sayıları okundukları şekillerini yaz:
200 000;
B
15 - on beş
700 - yedi yüz
50 000 - elli bin
302 413 - üç yüz iki bin dört yüz on üç
5 020 340 - beş milyon yermi bin üç yüz kırk
300 200 - üç yüz bin iki yüz
8 302 100 - sekiz milyon üç yüz iki bin yüz
3
20 300 000;
70 112 500;
Bir basketbol maçında muhabir, maçı 2000 civarında izleyicinin izlediğini söylemiştir.
Muhabir izleyicilerin yaklaşık
sayısını söylemiştir.
Muhabir izleyicilerin tam sayısını
söylemiş midir?
4
9 326 540 217.
32, 35 ve 37 sayıları sayısal
doğruda gösterilmiştirler.
30
32
Verilen sayıların komşu onlukları hangileridir?
Her bir sayının komşu onluğuna kadar var olan farkını belirt.
Her bir sayı hangi komşu onluğa en yakındır?
35
37
40
24
Cevapları incele
Verilen sayıların daha küçük komşu onluğu 30 sayısı, daha büyük komşu onluğu ise 40 sayısıdır.
32 - 30 = 2;
40 - 32 = 8. 32 sayısı 30’a daha yakındır.
37 - 30 = 7;
40 - 37 = 3. 37 sayısı 40’a daha yakındır.
35 - 30 = 5;
40 - 35 = 5. 35 sayısı 30 ve 40 sayılarının tam ortasındadır.
Diyoruz ki
32 sayısı, 30 sayısına yaklaşık olarak eşittir. Şöyle yazıyoruz: 32 ≈ 30.
37 sayısı, 40 sayısına yaklaşık olarak eşittir. Şöyle yazıyoruz: 37 ≈ 40.
35 sayısı, 30 ve 40 sayılarının tam ortasındadır. Anlaşmayla şöyle yazıyoruz 35 ≈ 40
Bu yazılma şekline, onluk sayısına yuvarlama deriz.
5
Verilen sayıları onluklara yuvarla: 148, 243, 2 671, 3 585 ve 74 598.
6
3 435ve 3 468sayıları sayı doğrusunda gösterilmişlerdir.
3 400
3 435
3 468
3 500
Her sayının komşu yüzlüğünden farkını belirle.
Sayılardan herbiri hangi komşu yüzlüğe daha yakındır?
Her sayıyı yüzlüklere yuvarla.
3 435 sayısının 3 400 sayısına, 3 468 sayısının da 3 500 sayısına daha yakın olduğunu gördün.
Yüzlüğe yuvarlanmış sayılar şunlardır: 3 435 ≈ 3 400; 3 468 ≈ 3 500.
Bir sayının yüzlüğe yuvarlanması sırasında, hangi durumlarda yüzlük basamağındaki rakam aynı kalır,
hangi durumlarda 1 için artar?
Yüzlük basamağındaki sayı, onluk basamağındaki sayı 5’ten küçük ise aynı kalır, bu
rakamın 5 veya daha büyük olduğu durumlarda da 1 için artar.
7
Verilen sayıları yüzlüklere yuvarla: 1 372, 2 145, 1 653 ve 4 898.
8
Verilen sayıları binliklere yuvarla:
a) 21 363; 47 612; 43 577.
b) 4 803; 13 501; 177 982.
a) cevabındaki çözümü incele:
25
21 363 ≈ 21 000; 47 612 ≈ 48 000; 43 577 ≈ 44 000.
Farkettin ki bir sayıyı belli basamağa yuvarlamamız sırasında şunları uyguluyoruz:
Basamaktaki sayının yanındaki sayı 0, 1, 2, 3, veya 4 ise, rakam aynı kalır. Yanındaki sayı 5, 6, 7, 8
veya 9 ise 1 için artar.
O basamağın sağında ki tüm rakamları sıfırla değişir.
9
35 738 sayısını yuvarla:
а) onluk;
b) yüzlük;
c) binlik;
d) onbinlik.
Bilmen gerekir!
Kendini yokla!
Milyondan daha küçük ve daha büyük doğal
sayıları doğru okuyasın;
Verilen sayıları oku: 5 200; 45 678 350.
Doğal sayıları onluk, yüzlük ve binliklere
yuvarlayabilesin.
Verilen sayıları onluk, yüzlük ve binliklere yuvarla: а) 34 752; b) 224 750.
Ödevler
1. Verilen sayıları sözlerle yaz: 2 345; 250;
6 400 310.
7.
En büyük doğal sayı var mıdır?
En küçük doğal sayı hangisidir?
2. Verilen sayıları rakamlarla yaz: “Üç yüz mily-
Araba fiyatını sözlerle yaz.
on iki yüz beş bin sekiz yüz”
3. <, = veya > işaretlerinden hangileri yuvarlağın içine yazılmalıdır?
12 245
12 250;
12 245
12 245
12 200;
12 245
12 240;
12 300.
4. 24 632 sayısı hangisine daha yakındır?
а) 24 700’e mi yoksa 24 600’e mi;
b) 24 000’e mi yoksa 25 000’e mi?
5. 25 375 sayısını onluk, yüzlük ve binliklere
yuvarla.
6. 15 409 632 sayısını binliklere yuvarla.
1 216 358 den.
Çözmeye çalış!
Senin telefon numaranı yuvarlak sayı olarak
söylemenin anlamı olmaz.
Yuvarlamanın anlamsız olacağı başka örnekler
de bulmaya çalış.
V E R İ L E R L E
M E
T Ç A L I Ş M A
26
9
VERİ TOPLAMA ARAÇLARI
Veri toplama işlemi birçok yöntem ile yapılır: anket düzenleme, gözlemleme, ölçme, sayma, araştırma
vb.
Veri toplama araçları şunlardır: sorular kağıdı, anket kağıdı, yayınlanan yorumlar ve diğer istatistiki
veriler.
1
Sevgi ve Emre sınıflarındaki diğer öğrencilerin ders dışı etkinlikleri hakkında araştırma yapmışlar.
Onlar; her öğrenciye hangi toplulukta üye olduklarını sormuşlar. Verileri önce çizgilerle yazmışlar,
ardından da toparlayıp tabela oluşturmuşlar.
Topluluk
Faaliyet
Karşıyaka
(Basketbol)
Kültürpark
(Tenis)
Beşiktaş
(Jimnastik)
(Karate)
Seidokan
Numara
Topluluk
Faaliyet
Karşıyaka
(Basketbol)
Kültürpark
(Tenis)
Beşiktaş
(Jimnastik)
Seidokan
(Karate)
Numara
9
Tabelada veri sayıları gösterilmiştir.
Tabelaya frekans tabelası ismi verilir.
Sorulan soruya kaç öğrenci cevap
13
vermiştir?
15
Verileri sayının büyüklüğüne göre
3
dizerek (en büyükten başla) yeni
frekans tabelası oluştur.
Çizgili Tabela
2
Okan köyünde en sık rastladığı bisiklet renkleri hakkında araştırma yapmış. Okul bahçesindeki
bisikletli öğrencileri inceleyip veri toplamıştır ve çizgili veri listesi yapmıştır.
Renk
Mavi
Yeşil
Sarı
Siyah
Kırmızı
3
Frekans Tabelası
Numara
Frekans tabelası hazırla.
Verileri en küçüğünden başlayarak sırayla diz.
Okan kaç bisiklete rastlamıştır?
En çok karşılaştığın bisiklet rengi nedir?
Okan’ın gözlem yapma faaliyeti, veri toplama araçlarından biridir. Veri
toplama farklı şekillerde olabilir: telefonla sorma, posta ile soru kağıdı göndermek, kitaplardan yararlanmak vb.
Zehra, sınıf arkadaşlarının en sevdikleri mevsim sorusuna veri toplamıştır. Listeyi incele: İ –
İlkbahar; Y – Yaz; S – Sobahar; K – Kış.
İ İ Y K K S İ Y S K K İ Y S K K İ İ Y
Y Y S K İ S S K K İ İ İ Y S İ İ K Y S
Tabeladaki verileri frekans tabelası ile göster ve sıralamayı en sevilen mevsimden başlayarak yap.
10
27
TOPLAMA
A
Hesapla:
14
+ 35
353
+ 168
47
+ 803
98 796
+ 14 534
Merve ve Eren Koçana’da yaşıyorlar. Tatile Struga’ya giderken,
bir gün yol üzerinde bulunan
Manastır’da yaşayan ninelerinde
kalmışlar.
1
Koçana
90 km
Manastır
Struga
68 + 37 + 3 + 916 =
190 km
Merve ve Eren evlerinden babaannelerine kadar kaç kilometre geçmişlerdir?
Koçana’dan Struga’ya kadar kaç kilometre geçmişlerdir?
B 2
52 ve 34 sayılarının toplamını belirle.
N0 kümesinin toplanmasındaki özellikleri hatırla.
Toplananların (terimlerin) yeri değişirse, toplamın değeri
değişmez.
52 + 34 = 86
Toplananlar
veya
Toplam
Toplananların yer değiştirmesi ya da
toplamada değişme özelliği.
34 + 52 = 86
Toplananlar
a+b=b+a
Toplam
Toplananların gruplandırılması ya da
toplamada birleşme özelliği.
Üç toplanan iki şekilde gruplandırılabilir. Toplamın değeri
değişmez.
(71 + 114) + 16 =
veya 71 + (114 + 16) =
185
+ 16 = 201
71 +
130
= 201
Toplananlardan biri sıfır ise, toplam diğer toplanana eşittir.
a + (b + c) = (a + b) + c
Bu yüzden parantezler ihmal de edilebilir:
a + b + c.
Toplama sırasında sıfır.
583 + 0 = 583 veya 0 + 583 = 583
3
Hesapla:
17 + 36 + 13 + 44 =
12 + 81 + 9 + 38 + 27 =
161 + 234 + 439 =
a+0=0+a=a
Özellikler kullanıldığı zaman, toplama daha
kolaydır.
Örnek
27 + 59 + 3 = 27 + 3 + 59 = 30 + 59 = 89
28
4
Toplamları başka şekilde gruplandır ve toplamı hesapla.
45 + (45 + 56) =
C
5
( 1 207 + 101) + 269 =
Sayıların toplamını belirle: 74, 33, 26, 48 ve 57.
Sayıların toplamını belirle: 140, 310, 750, 360 ve 290.
124 ve 139 sayıların toplamını, 261, 55 ve 276 sayıların toplamı ile topla.
372, 126 ve 319 sayıları verilmiştir. Her birinin öncelini belirle ve öncellerin toplamını
hesapla.
Verilen sayıları yüzdelere yuvarla ve yuvarlama ile elde ettiğin sayıları topla:
a) 2 738 ve 2 465; b) 4 562 ve 5 378.
6
Yuvarlanmış sonuç ile rakamların kesin sonucu arasında ne kadar fark vardır?
Bilmen gerekir!
Kendini yokla!
İki veya fazla sayının
toplamını belirleyesin;
Tabelada bir okuldaki VI.
sınıf öğrencileri hakkında
veriler verilmiştir.
Toplama özelliklerini
basit örneklerde kullanabilesin;
Kızlar
VIa
VIb
17
14
14
17
VIc
9
22
VI-a ve VI-b sınıflarındaki toplam öğrenci sayısını belirle ve karşılaştır.
44 + 27 + 51 + 33 + 19 =
Ödevler
27
Erkekler
Okuldaki VI. sınıf öğrencilerinin toplam sayısını belirle.
Toplama sonucunu
değerlendiresin.
1. Hesapla.
Sınıf
171
+ 72
39
1 024 + 1 039 + 2 161 + 4 836 =
+ 16
4. 7 328ve 6 435 sayıların toplamını değer+ 93
+ 39
2. Bir gazetede şöyle yazıyor:
“Festival açılışında 1 300 ziyaretçi vardı.
Ertesi günkü temsili ise 726 ziyaretçi
izlemiştir”.
İki gün içerisinde festivali toplam kaç
kişi ziyaret etmiştir?
3. Toplananları gruplandır ve toplamı belirle:
64 + 33 + 36 + 48 + 57 =
lendir ve binlik, yüzlük ve onluk olarak
yuvarla.
Yuvarlanmış hesaplamalar, sayıların
toplamından ne kadar farklıdırlar?
Alıştırma!
2 sayısı yedi defa yazılmıştır.
2, 2, 2, 2, 2, 2, 2
Yedi kere iki sayısından ve iki artı işaretinden
elde edebileceğin en küçük toplam kaçtır?
11
29
ÇIKARMA
Hesapla:
475
- 232
-
2 685
518
1 852
- 800
-
A
9 840
189
İşlemin doğru olması için
boş yerde hangi sayının
durması gerekiyor?
47 -
= 19
28 +
= 47
1
2000 yılındaki Yaz Olimpiyat Oyunları Avustralya –
Sidney’de düzenlendi.
Olimpiyat komitesi, resmi açılış için 4 830 biletin rezervasyonuna izin vermiştir, ancak 3892 koltuk boş kalmıştır.
Kaç kişi biletsiz kalmıştır?
4 830 - 3 892 =
Eksilen
+ 19 = 47
Çıkan
Fark
Tabeladaki verileri soruları cevaplarken kullan.
2
1992 Olimpiyatları
Ekip
Puanlar
İtalya
15 760
Amerika
15 649
Polonya
16 018
Polonya ekibi, İtalyan ekibinden kaç puan daha fazla
kazanmıştır?
En yüksek ve en düşük puanlar arasındaki fark ne
kadardır?
N0 kümesindeki a ve b sayılarının farkını (a - b) hesaplayabilmemiz için a > b veya a = b olmalıdır.
B
3
Bir fırında günlük 5 000 ekmek pişmektedir. Tabelada bir
hafta içerisinde satılmış ekmek sayıları verilmiştir.
Gün
Ekmek sayısı
Pazartesi
1 260
Salı
4 205
Çarşamba
4 728
Fırın bir hafta içerisinde toplam ne kadar ekmek
üretiyor?
Perşembe
3 916
Cuma
Tabeladaki verilere bağlı olarak ne kadar satılmamış
ekmeğin kaldığını hesapla.
4 010
Cumartesi
4 857
Pazar
1 376
30
4
457 ve 165 sayılarının farkını onluklara ve yüzlüklere yuvarlayıp değerlendir.
Değerlendirmeni farkın kesin sonucu ile karşılaştır.
Bilmen gerekir!
Kendini yokla!
İki sayı arasındaki farkı bulasın;
Toplama ve çıkarma işlemlerinde,
parantezli veya parantezsiz sayısal
ifadelerin değerini hesaplayasın;
Çıkarma sırasındaki farkı değerlendiresin.
Hesapla:
(26 + 128) - 37 =
; 432 - (26 + 15) =
(439 - 195) + (270 - 36) =
;
.
2 376 ve1 289 sayıların farkını yüzlüklere yuvarlayıp
değerlendir.
Ödevler
836 sayısını, 299 ve 173 sayılarının farkı
ile topla.
En büyük dört rakamlı sayı ile en küçük
üç rakamlı sayının farkını 1 216 ile topla.
3.
Ayşe’nin 2 725 denarı var. Semra’nın
Ayşe’den 120 denar fazla parası var.
Havva’nın Ayşe ve Semra’nın paralarının
toplamından 385 denar daha az parası var.
Semra’nın kaç parası var?
Havva’nın kaç parası var?
2. Tren Manastır’dan Üsküp’e doğru 489 yolcu
4.
Hasan’ın 1 350 denarı varmış. Spor
ayakkabısı alabilmesi için 3 120 denara ihtiyiacı varmış. Hasan paralarını yüzlüklere
yuvarlamış.
Hasan’ın daha kaç yüzlüğe ihtiyacı vardır?
Hasan’ın tam olarak daha kaç paraya ihtiyacı
olduğunu hesapla.
1.
ile yol almıştır. Pirlepe’de 120 yolcu trenden
inmiş, 70 yolcu trene binmiştir. Köprülü’de 42
yolcu inmiş, 98 yolcu binmiştir.
Tren Üsküp’e kaç yolcu ile varmıştır?
Bunu da dene!
Üç doğal sayı düşünürsen, onların arasında her zaman toplamları çift sayı olacak olan iki sayı olacak mı?
12
BİLEŞENLERDEKİ DEĞİŞİMLERE BAĞLI OLARAK
TOPLAMIN VE FARKIN DEĞİŞMESİ
A
320 + 150 = 470 toplamı ve 250 - 120 =
130 farkı verilmiştir.
Hesaplamanın doğru olması için, kareye
hangi sayılar yazılmalıdır.
(320 + 30) + 150 = 470 +
;
(320 - 30) + 150 = 470 ;
(320 + 30) + (150 - 30) = 470 +
?
1
31
”Ağaç Günü” kampanyasının düzenlendiği günün sabahında, 2 600 yaprak
dökmeyen ve 3 100 yaprak döken ağaç
fidanı getirilmiştir.
а) O sabah her iki çeşit fidandan toplam
kaç adet getirilmiştir?
b) Öğleden sonra daha 400 yaprak dökmeyen fidan getirilmiştir. O gün getirilen fidanların sayısı ne kadar artacak?
Çözümünü aşağıda verilenlerle karşılaştır.
a) 2 600 + 3 100 = 5 700; o sabah 5 700 adet fidan getirilmiştir.
b) (2 600 + 400) + 3 100 = 3 000 + 3 100 = 6 100 = 5 700 + 400. Sabahleyin getirilen fidanların sayısı
400 adet için artmıştır.
2
a + b = 200 olduğu bilinmektedir. Toplananlardan biri 300 için artarsa, a + (b + 300) sonucunu
hesapla.
3
340 + 620 = 960 toplamı nasıl değişecek:
а) toplananlardan biri 60 için artarsa;
b) toplananlardan biri 60 için azalır, diğeri ise 60 için artarsa?
a) (340 - 60) + 620 = 280 + 620 =
= 900 = 960 - 60;
a) Toplam, toplananlardan birinin azaldığı
ile eşit azalmıştır.
Gördün ki:
b) (340 - 60) + (620 + 60) = 960; toplam değişmedi.
a + b = с toplamını gözlemle
Eğer bir toplanan bir sayı için artarsa, diğeri aynı kalırsa o zaman
toplam aynı sayı değerinde artacaktır.
(a + m) + b = c + m
Eğer bir toplanan bir sayı için azalırsa, diğeri aynı kalırsa o zaman
(a - m) + b = c - m
Eğer toplananlardan biri bir sayı için azalır, diğeri ise aynı sayı için
artarsa o zaman toplam değişmeyecektir.
(a - m) + (b + m) = c
toplam aynı sayı değeri kadar azalacaktır.
32
B
4
750 - 430 = 320 farkı verilmiştir. Hesapla ve eksilenin aşağıda verilmiş değişimlere uğramasıyla farkın nasıl değişeceğini gör:
а) eksilen 50 için artarsa;
b) eksilen 50 için azalırsa.
Gördün ki:
a) (750 + 50) - 430 = 800 - 430 =
= 370 = 320 + 50.
a) Fark 50 için arttı, daha doğrusu
eksilenin yükselme değeri kadar yükseldi.
b) Fark 50 için azalacak.
5
2 480 - 560 = 1 920 farkı verilmiştir. Eğer çıkan:
а) 30 için azalırsa;
b) 30 için artarsa?
Fark:
6
а) 30 için artacak;
b) 30 için azalacak.
6 354 - 2 314 örneği verilmiştir. Farkı hesapla. Eksilen ve çıkanda aşağıda verilmiş değişiklikler
yapıldığı durumlarda fark nasıl değişir?
а) 120 için artarsa;
b) 120 için azalırsa?
Görüyoruz ki; fark değişmiyor.
a - b = d farkını gözlemle
Eğer eksilen belli sayıda artar (veya azalırsa), çıkan ise aynı kalırsa,
fark aynı sayının değerinde artacak (veya azalacak).
Eğer çıkan belli sayıda artar, eksilen aynı kalırsa, fark o sayının
değeri kadar azalacaktır. Eğer eksilen belli sayıda azalırsa, çıkan da aynı
kalırsa, aralarındaki fark o sayının değerinde artacaktır.
Eksilen ve çıkan aynı sayı değerinde artar veya azalırsa, farkta
değişiklik olmayacaktır.
7
(a + m) - b = d + m
(a - m) - b = d - m
a - (b + m) = d - m
a - (b - m) = d + m
(a + m) - (b + m) = d
(a - m) - (b - m) = d
Eksilen 10 için artar, çıkan da 10 için azalırsa, farkta nasıl değişiklik olur?
Bilmen gerekir!
Toplananlardan birinde aşağıda verilmiş
değişiklikler sırasında toplamda nasıl değişikliklerin olacağını bilmelisin:
verilen sayı değerinde artarsa;
verilen sayı değerinde azalırsa;
verilen sayı değerinde çoğalırsa ve diğer
toplam aynı sayı değerinde azalırsa.
İki sayının farkı nasıl değişir:
Eğer eksilen verilmiş sayı değerinde artar
veya azalırsa;
Eğer çıkan verilmiş sayı değerinde artar veya
azalırsa;
Eğer hem eksilen hem çıkan verilmiş aynı sayı
değerinde azalır veya artarsa.
33
Kendini yokla!
İki sayının toplamı 3 540’tır. Toplananlardan biri 140 sayısı değerinde azalırsa, toplam ne kadar olacaktır?
İki sayının farkı 270’tir. Farkta nasıl değişiklik olacaktır:
а) çıkan 27 için azalırsa?
b) çıkan 27 için artarsa?
Hesapla 460 - 120.
Denklemde x’i belirle: (460 + x) - (120 + 58) = 340.
Ödevler
1.
Toplananlardan biri 234 için artarsa,
toplam nasıl değişecektir?
2.
Eğer 1 230 + 670 = 1 900 ise,(1 230 - 350)
+ 670 ne kadardır?
3.
Fark verilmiştir:
6 543 - 2 732 = 3 811.
Denklemin doğru olması için x’in
değerinin ne kadar olması gerekiyor?
6 543 - (2 732 - x) = 3 811 + 13.
4.
Eğer çıkan 25 için artarsa, farkın
değişmemesi için eksilende nasıl bir
değişikliğin yapılması gerekiyor?
5.
Eğer a - b = 100, ise, hesapla:
a) (a - 20) - (b - 20);
b) (a + 30) - (b + 30);
c) (a - 10) - (b + 10);
d) (a + 5) - (b - 5);
6.
Melda bir sabah babasından ve annesinden belli miktarda para almıştır. Annesinin
verdiği paralardan 100 denar harcamıştır.
Aynı akşam babası 200 denar daha vermiştir ve böylece Melda’nın toplam 700
denarı olmuştur. O sabah annesi ve babası
Melda’ya toplam kaç para vermişlerdir?
Alıştırma
Düşün ve sözlü hesaplamaya çalış. İlk yüz çift ve ilk yüz tek
sayının toplamı ne kadardır?
13
34
ÇARPMA
A
Hesapla:
35 ⋅ 5 =
480 ⋅ 3 =
1 260 ⋅ 38 =
Bir araba, geçtiği her 100
kilometre yolda 7 litre
mazot harcıyor.
4 004 ⋅ 20 =
145 ⋅ 23 =
2
1
O araç, geçeceği 400 kilometrelik yol için ne
kadar mazot harcayacaktır?
(3 ⋅ 5) ⋅ 200 =
Ercan 5 gün bisikleti ile yolculuk yapmıştır ve hergün 9’er kilometre yol geçmiştir.
Hakan 6 gün bisikleti ile yolculuk yapmıştır ve hergün 8’er kilometre yol geçmiştir.
Ercan Hakan’dan kaç kilometre fazla yol geçmiştir.
N0 kümesinin özelliklerini hatırla.
Çarpanların yerleri değişirse, çarpım aynı kalır.Çarpanların yerleri değişirse, çarpım aynı kalır.
4 ⋅ 6 = 24
çarpan
veya
çarpım
6 ⋅ 4 = 24
çarpan
Çarpımda yer değiştirme özelliği.
a⋅b=b⋅a
çarpım
Üç çarpan iki şekilde gruplanabilirler. Çarpım değişmez:
(2 ⋅ 5) ⋅ 3
10 ⋅
30
3
veya
=
=
2 ⋅ (5 ⋅ 3)
2 ⋅
15
30
Eğer çarpanlardan biri 1 ise, çarpım diğer çarpana eşittir.
Çarpımda 1 sayısına etkisiz eleman denir.
468 ⋅ 1 = 468
Eğer çarpanlardan biri 0 ise, çarpım 0’a eşittir.çarpımda 0 sayısına yutan eleman denir.
0 ⋅ 235 = 0
Çarpımın birleşme özelliği.
(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)
Bu yüzden parantezler ihmal da
edilebilirler: a⋅ b⋅ c.
1 sayısı ile çarpma
a⋅1= a
0 sayısı ile çarpma
0⋅a= 0
Özellikler kullanıldığı zaman çarpma işlemi
daha kolaydır.
Hesapla:
3
2 ⋅ (50 ⋅ 9) =
35
Örneğin:
(500 ⋅ 7) ⋅ 2 =
(7 ⋅ 25) ⋅ 4 = 7 ⋅ (25 ⋅ 4) = 7 ⋅ 100 = 700
50 ⋅ (4 ⋅ 8) =
Hesapla:
4
40 + (130 ⋅ 10) =
96 − 2 ⋅ (30 − 18) =
(280 + 32) ⋅ 8 =
Noktalar çizgilerden önce gelir
Hesapla:
5
Ancak en başta
parantezlerde!
40 ⋅ (25 + 5) =
i (40 ⋅ 25) + (40 ⋅ 5) =
İşlemlerin değeri nedir?
Doğru olduğunu kontrol et:
(68 - 10) ⋅ 5 = 68 ⋅ 5 - 10 ⋅ 5
Karşılaştırdığın ifadeler nasıl oluşmuşlardır?
Farkediyorsun ki: a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c;
a ⋅ (b − c) = (a ⋅ b) - (a ⋅ c);
(a + b) ⋅ c = (a ⋅ c) + (b ⋅ c);
(a − b) ⋅ c = a ⋅ c - b ⋅ c.
Bu denklemlerle:
Çarpmanın toplama açısından dağıtım özelliği gösterilmiştir
Çarpmanın çıkarma açısından dağıtım özelliği gösterilmiştir.
324 • 48 işlemini, çarpanları onluklara yuvarlayarak değerlendirme yap. Elde ettiğin yuvarlama hesabı, gerçek hesaptan ne kadar farklıdır?
6
320 ⋅ 50 = 16 000; 324 ⋅ 48 = 15 552; değerlendirme değeri gerçek değerden 448 için daha büyüktür.
B
7
Yalçın 4 hafta boyuna, haftanın 4 günü, günde 4’er kilometre yürüyüş yapmıştır.
Yalçın kaç kilometre yol geçmiştir?
Bakın!
4 • 4 • 4 işlemi kısaca 43 olarak yazılır ve dört üssü üç diye okunur.
43‘teki 4 sayısına derece temeli, 3 sayısına ise derece göstergesi denir.
Unutmamalıyım: Eşit çarpanların
kısa yazılışına derece denir.
36
Kısaltılmış yazılışı
Değer
4⋅4⋅4
3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3
43
64
6⋅6
8⋅8⋅8⋅8
4
3
DERECE
Çarpımı ve ürünü kısaca yaz.
Çarpım
DERECE
GÖSTERGESİ
DERECE
TEMELİ
Derece temeli neyi gösterir?
Derece göstergesi neyi gösterir?
108‘i çarpım şeklinde yaz.
14’ün değerini belirle.
Anlaşmalı: 51 = 5; a1 = a.
Bilmen gerekir!
Kendini yokla!
İki veya fazla sayının çarpımını
belirleyesin;
İlyas ve Yavuz, içlerinde 8’er şeker kutusu ve her
kutuda 8’er şeker bulunan 8 paket satın almışlardır.
Çarpım özelliklerini kullanasиn;
İki sayının çarpımını değerlendiresin;
İlyas ve Yavuz toplam olarak kaç paket satın
almışlardır?
Derece değerini belirleyesin.
İlyas ve Yavuz’un kaçar şeker kutusu varmış?
Yavuz’un kaç şekeri varmış?
İlyas’ın şeker sayısını derece şeklinde yaz.
Ödevler
1.
3.
Dünya’nın çapı 6 370 kilometredir. Dünya
ile Ay arasındaki mesafe, dünya çapından
60 defa daha büyüktür. Dünya ile Ay
arasındaki mesafeyi hesapla.
4.
127 • 268 sonucunu
a) onluklara; b) yüzlüklere
yuvarlayıp değerlendir.
Değerlendirilmiş sonuç ve gerçek sonuç
arasındaki farkı belirle.
Hesapla:
186 ⋅ 35 =
(427 ⋅ 5) ⋅ 24 =
(1 376 - 376) ⋅ 100 =
50 ⋅ (60 + 80) =
496 ⋅ 12 - 96 ⋅ 12 =
73 =
42 + 4 + 34 - 25 =
2.
Bir toplamda 245 sayısı toplam olarak 48
defa görülüyor. Bu toplamı hesapla.
439 ⋅ ∗7
5. Çarpma işleminin doğru
hesaplanmış olması için *
işaretli yerlere hangi
rakamların koyulması
gerekiyor?
3∗73
+
∗756
2∗633
14
37
BÖLME
Hesapla:
14 : 7 =
22 : 2 =
396 : 3 =
20 : 10 =
88 : 22 =
A 1
1 200 : 60 =
Elde ettiğin sonuçları kontrol et.
Öğrenciler top satın almak için 1
300 denar toplamışlardır. Her
topun fiyatı 325 denarmış.
Öğrenciler ellerindeki parayla kaç
top satın alabilmişler?
1 300
2
Okulda düzenlenecek olan voleybol turnuvasına 84
öğrenci kayıt yaptırmıştır. Takım koçları için de 6 öğretmen kayıt yaptırmıştır.
:
Bölünen
325
Bölen
=
Bölüm
Eğer her takım 12’şer öğrenciden oluşacaksa, öğretmenler sayısı yeterli midir?
N0 kümesinin bölünme özelliklerini hatırla.
Eğer bölen sayı 1 ise, o zaman bölüm bölünene eşittir.
1 sayısı ile bölme
a:1=a
23 765 : 1 = 23 765
Eğer bölünen bölene işe eşit sayı ise, bölüm 1’e eşittir.
762 : 762 = 1
Eğer bölünen 0 sayısı ise, bölüm de sıfıra eşittir.
0 : 16 = 0
0 sayısı bölen olamaz
3
Aynı sayıların bölünmesi.
a : a = 1, a ≠ 0
0 sayısının bölünmesi
0 : a = 0, a ≠ 0
2:0
Anlamı yok!
Hesapla:
(28 + 32) : 1 =
432 : 3 + 168 =
(40 + 7) ⋅ 12 - 225 : 5 =
108 : 18 + 3 485 : 85 =
Bölenin 72, bölümün 102 olduğu işlemde
bölüneni belirle.
Sayısının elde edilmesi için, 18 712 hangi sayı
ile bölünmelidir?
76 - 12 ⋅ 3 + 53 - 100 =
Ben her
zaman ilkim
an
Noktalar çizgilerden once gelir
38
B
4
Orhan, Sevim ve İnci posta pulları biriktiriyorlar. Onların 71 adet posta pulu varmış ve aralarında eşit olarak bölmek istiyorlarmış.
Her biri kaçar posta pulu almıştır?
Kaç posta pulu bölünmeden kalmıştır?
Aklında bulundur: 71 = 23 ⋅ 3 + 2.
Eğer a : b bölümünde q bölüm r ise
kalandır, o durumda:
71 : 3 bölme işleminde 23 bölüm,
2 de kalandır.
a=q⋅b+r
Eğer a = 77 ve b = 5 ise, a : b bölümünü ve r kalanını belirle.
a harfini şu şekilde yaz: a = b • q + r.
5
a : b bölünmesi işleminde q bölümünü ve r kalanını belirle ve şu şekilde yaz: a = b • q + r.
6
16 : 3;
50 : 15;
125 : 11.
Düşün ve cevap ver!
Bölenin 8 olduğu bölme işlemi sırasında, kalan: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sayıları olabilir.
Kalan neden 8 sayısı olamaz?
Bilmen gerekir!
İki numaranın bölümünü bulasиn;
Bölüm, bölen ve kalanın yardımıyla
bölüneni bulasиn.
Kendini yokla!
Bölümü hesapla:
1 584 : 9 =
17 472 : 84 =
Hesapla: 1 510 : 125 =
Bölüm, bölünen ve kalan sayılarından yararlanarak bölüneni bul.
Ödevler
:3
1.
İlk numara ile böl, elde ettiğin sonucu da
ikinci numara ile böl.
:6
:7
18
42
54
84
108
98
:2
2. Bölme işleminin doğru olması için, boş
karede hangi sayının yazılması gerekiyor?
72
:9
: 19
: 19
63
9
600
4
169
:
9
:
5.
Bir kırlangıç sürüsü göçleri
sırasında 10 000 kilometre yol
geçmişlerdir. Sürünün ulaştığı
en büyük uçma hızı saatte 40
kilometre imiş.
Sürü en az kaç saat uçmuştur?
39
50
:
13
Bir salyangoz 4 saatte 12 metre yol
almıştır. Salyangoz 1 dakikada kaç santimetre yol geçmiştir?
Hatırlıyorum:
:
:5
4 10
⋅5
2
= 10 : 2
3. Verilenler için işlem yap ve değerlerini
hesapla:
6. Bölünme işleminin doğru hesaplanabilmesi
için işaretli yerlere hangi sayıların yerleştirilmesi gerekiyor?
4 ile 15 sayılarının çarpımı ile 85 sayısının
toplamını belirle.
210 ve 30 sayıların bölümünü 700 sayısı
ile topla.
120 ve 6 sayılarının çarpımı ve bölümü
arasındaki fark ne kadardır?
1∗55 : ∗5 = 3∗
- 13∗
∗∗∗
- ∗∗∗
0
7. İki öğrenci aynı sayıyı bölüyorlar. Birincisi 16
4. Boş karede işlemin tamam olabilmesi için
ile, ikincisi 19 ile. Birincisi 22 bölüm ve 9
kalan elde etmiştir. İkinci öğrencisi ne kadar
bölüm elde etmiştir?
gerekli olan sayısı koy:
a) 3 020 = 125 ⋅ 24 +
b) 2 100 = 261 ⋅
;
+ 12.
8. İki sayının toplamı 660’tır. Eğer toplanan
sayılardan daha büyük değerde olanının sağ
taraftan bir sıfırı silinirse, toplanan iki sayı
eşit olacaktır. O sayılar hangileridir?
40
15
ÇARPIMIN VE BÖLÜMÜN BİLEŞENLERDEKİ
DEĞİŞİMLERLE BAĞLANTISI
A 1
Hangi özelliğe göre denklem doğrudur:
a) 10 ⋅ 4 = 4 ⋅ 10;
b) (10 ⋅ 4) ⋅ 5 = 10 ⋅ (4 ⋅ 5)?
80 • 5 = 400 işlemi verilmiştir. Denklemin
doğru olması için boş karede gerekli olan
sayıyı yaz.
a) (80 ⋅ 3) ⋅ 5 =
; b) 80 ⋅ (3 ⋅ 5) =
;
c) 80 ⋅ (5 ⋅ 3) =
; d) (80 ⋅ 5) ⋅ 3 =
.
BÖLÜNEN
BÖLEN
Çözümünü aşağıdakilerle karşılaştır:
15 ⋅ 6 = 90;
a) (15 ⋅ 2) ⋅ 6 = 30 ⋅ 6 = 180 = 90 ⋅ 2.
Verilmiş çarpım 2 defa
için çoğaltırılmıştır.
96 : 24 = 4
Çarpımı hesapla:15• 6. Ardından birinci çarpanı büyüt:
а) 2 defa; b) 3 defa; c) 7 defa
ve çarpımın ne kadar arttığını kontrol et. Ne farkediyorsun?
BÖLÜM
BILEŞENLER
a : b bölümünün b ≠ 0 ise, anlamı vardır.
Verilen çarpımın:
b) 3 defa; c) 7 defa,
büyüdüğünü gördün.
2
a ⋅ b = 50 işlemine bağlı olarak hesapla: a) (a ⋅ 3) ⋅ b; b) a ⋅ (b ⋅ 10).
3
40 • 9 işleminde çarpımı hesapla. Ardından birinci çarpanı örneklere bağlı olarak azalt:
а) 2 defa;
b) 4 defa;
c) 5 defa
ve elde ettiğin çarpımı verilen çarpım ile karşılaştır. Ne görüyorsun?
Senin elde ettiğin sonucu verilenle karşılaştır.
40 ⋅ 9 = 360;
a) (40 : 2) ⋅ 9 = 20 ⋅ 9 = 180 = 360 : 2.
Bir çarpan 2 defa için, verilmiş
çarpım da 2 defa için azalmıştır.
Çarpım b) 4 defa; c) 5 defa azalmıştır.
4
Eğer a ⋅ b = 120, ise, verilen örneklerin değerini hesapla:
a) (a : 3) ⋅ b;
5
15 • 16 = 240 işlemi verilmiştir.Çarpımları hesapla:
(15 ⋅ 2) ⋅ (16 : 2);
(15 : 5) ⋅ (16 ⋅ 5),
elde ettiğin sonuçları yukarıda verilen çarpım ile karşılaştır.
b) a ⋅ (b : 5).
Bir çarpan 2 defa ve 5 defa artmış, diğeri de 2 defa ve 5 defa azalmıştır. Böylece çarpım değerinde
değişiklik olmamıştır.
41
a • b = р çarpımı için genel
Eğer bir çarpan artırılır, diğeri ise aynı kalırsa, çarpım çarpanın
artırıldığı değerde artacaktır.
Eğer bir çarpan azalır, diğeri ise aynı kalırsa, çarpım çarpanın azaldığı
değerde azalacaktır.
Bir çarpanın belli değerde arttığı, diğerinin de aynı değerde azaldığı
durumlarda, çarpım değişmez.
B
6
72 : 12 = 6 işlemine bağlı olarak
hesapla:
a) (72 ⋅ 2) : 12 =
; (72 : 2) : 12 =
c) (72 : 4) : (12 : 4) =
;
b) 72 : (12 ⋅ 3) =
; (72 ⋅ 4) : (72 ⋅ 4) =
(a ⋅ m) ⋅ b = p ⋅ m
(a : m) ⋅ b = p : m
(a : m) ⋅ (b ⋅ m) = p
; 72 : (12 : 3) =
.
a) daki bölünenin, b) deki bölenin, ve c) deki bölen ve bölünenin ne kadar artmış veya azalmış
olduğunu söyle?
Elde ettiğin bölümü verilenle karşılaştır.
Ne görüyorsun?
Senin çözümünü aşağıdakilerle karşılaştır.
a) (72 ⋅ 2) : 12 = 144 : 12 = 12 = 6 ⋅ 2;
(72 : 2) : 12 = 36 : 12 = 3 = 6 : 2.
Bölünen 2 defa için artmış ve
azalmıştır. Bölüm de 2 defa için artmış ve azalmıştır.
Gördün ki b)’deki bölen 3 defa artmış (azalmış), bölüm de 3 defa için artmıştır (azalmıştır). c)’deki
bölüm değişmedi.
7
a : b = 30 verilmiştir.
Hesapla:
a) (a ⋅ 2) : b;
b) a : (b : 3);
c) (a : 5) : (b : 5).
a : b = q bölümü için genel
bölünen belli bir sayı değerinde artarsa (ya da azalırsa), bölen de
Eğer
aynı kalırsa, o zaman bölüm bölünenin arttığı (veya azaldığı) değerde
artacak (veya azalacak).
Eğer bölen belli bir sayı değerinde artarsa (ya da azalırsa), bölünen de
aynı kalırsa, o zaman bölüm bölünenin arttığı değerde azalacak.
Bölünen ve bölen aynı anda aynı değerde artar veya azalırsa, bölüm
değişmez.
(a ⋅ m) : b = q ⋅ m
(a : m) : b = q : m
a : (b ⋅ m) = q : m
a : (b : m) = q ⋅ m
(a ⋅ m) : (b ⋅ m) = q
(a : m) : (b : m) = q
;
42
Bilmen gerekir!
Kendini yokla!
Çarpanların değişimine bağlı olarak iki sayının
çarpımının nasıl değiştiğini;
Bilinmeyen p ve m, sayılarını belirle:
a) 50 ⋅ 23 = p, (50 ⋅ m) ⋅ 23 = p ⋅ 9;
b) 30 ⋅ 12 = p, 30 ⋅ (12 : m) = p : 6.
Bölünenin ya da bölenin değişmesine bağlı
olarak bölümde nasıl değişikliklerin olduğu.
600 : 30 = 20 verilmiştir. Hesapla:
a) (600 • 7) : 30;
b) 600 : (30 • 4);
c) 600 : (30 : 5);
d) (600 : 10) : (30 : 10).
Ödevler
1.
2.
3.
a ⋅ b = 60 çarpımı verilmiştir.
Hesapla:
a) (a ⋅ 3) ⋅ b;
b) a ⋅ (b ⋅ 7);
c) (a : 4) ⋅ b;
d) (a : 6) ⋅ (b ⋅ 6).
4.
Çikolata fabrikasında iki ekip, eşit kutulara
100 g’lık çikolatalar paketliyorlarmış.
İkinci ekip toplam 1 680 çikolata
paketlemiştir, ki o birinci ekibin paketlediğinden 3 defa daha az kutudur.
Birinci ekip kaç çikolata paketlemiştir?
5.
7 680 : 240 bölümünü hesapla, ancak önce
bölümün değişmez özelliğini kullanarak bir
rakamlı bölene dönüştür.
a : b = 90 bölümü verilmiştir.
Hesapla:
a) (a ⋅ 5) : b;
b) a : (b : 6);
c) (a ⋅ 7) : (b ⋅ 7)
d) (a : 12) : (b : 12).
a ⋅ (b ⋅ 5) = 80 işlemi verilmiştir. Hesapla:
a) a ⋅ b; b) a ⋅ (b : 4); c) (a ⋅ 8) ⋅ (b : 8).
Alıştırma!
Bir bayan pazara yumurta dolu sepet getirmiş. Birinci müşteriye
yumurtaların yarısını ve yarı yumurta satmıştır. İkinci müşteriye
geriye kalanın yarısını ve yarım yumurta, üçüncüye geriye
kalanın yarısını ve yarım yumurta, dördüncüsüne de geriye
kalanların yarısını ve yarı yumurta satmıştır. Beşinci müşteri
geriye kalanların yarısını ve yarım yumurta satın alınca, tüm
müşterilerin tam yumurtalar satın aldıkları ve bayanın tüm
yumurtalarını sattığı ortaya çıkmıştır. Bayan pazara kaç yumurta
getirmiştir?
16
SAYISAL İFADE. DENKLEMLER
A 1
Hesapla:
a) 26 - 4 ⋅ 5 - 3;
b) 14 + 6 ⋅ (9 - 24 : 3) - 23.
İki sayının toplamı 200’dür.
Toplananlardan biri 120 ise, diğer
toplanan kaçtır?
120
64
128
x
− 120
: 64
64 ⋅ x = 128
x = 128 : 64
x=2
120 + x = 200
x = 200 - 120
x = 80
Verilen verilerden ifade oluştur.
Elde ettiğin sonucu
verilmiş sonuç ile kıyasla
⋅ x
200
x
Cengiz’in 120 denarı var. Annesi, kızkardeşi ile
eşit ayırmaları için 300 denar daha vermiş.
Kırtasiyede 35 denarlık 4 defter ve 50 denarlık
pergel satın almış. Cengiz’in kaç parası
kalmıştır?
Elde ettiğin ifadeyi hesapla.
İki sayının çarpımı 128’dir. Bir
çarpan 64 ise, diğeri kaçtır?
+x
120 + 300 : 2 - 4 ⋅ 35 - 50 = 120 + 150 - 140 - 50 =
= 270 - 190 = 80.
Oluşturduğun ifadeye sayısal ifade denir.
Tüm işlemlerin tamamlanması ardından, elde edilen
değere sayısal ifade değeri denir.
Gözlemle ve hatırla
Şunlar ifadedir: 3, 5, 140; 13 + 17; 10 - 4 ⋅ 8; 5 + 18 : 6 - (4 ⋅ 25 + 25).
Şunlar ifade değildir: 2 + + 3; 5 -; : (8-2); 2 + ( ⋅ 8).
2
Sayısal ifadenin değerini belirle:
a) 85 + 15 -30;
43
b) 5 ⋅ 12 : 3 ⋅ 2;
c) 24 - (16 + 4 ⋅ 3) : 7.
İşlemleri hangi sıralamaya göre hesaplayacaksın?
Önce çarpma ve bölme işlemlerini gerçekleştireceğim, ardından da topmala ve
çıkarma. Ama herşeyden önce parantezlerin içindeki işlemleri tamamlayacağım.
Toplama ve çıkarma birinci sıra işlemleri, çarpma ve bölme de ikinci sıra işlemlerdir.
44
3
İşlemlerin hesaplanması için genel sıralanma
Aynı sıradaki işlemler sayısal ifadede yazıldıkları sıralamaya göre hesaplanırlar.
Önce ikinci sıradan işlemler, daha sonra da birinci sıradan işlemler hesaplanırlar.
Eğer sayısal ifadede parantezler varsa, hesaplamada parantez içindeki işlemlerin öncelikleri vardır.
Sayısal ifadelerin değerlerini hesapla:
a) 45 - 5 ⋅ 3 - 24 : 6;
B 4
b) 5 ⋅ 12 : 3 ⋅ 2;
c) 96 + 4 ⋅ (18 - 8 : 2) - (27 - 4 ⋅ 6) : 3.
Rıfat öyle bir doğal sayı düşünmüş ki, o sayıyı en büyük üç rakamlık sayıyla toplarsan 1 234
sayısını elde edersin. O sayı hangisidir?
İncele ve istenilenler doğrultusunda çöz
Önce aranan sayıyı bir harf ile işaretle, örneğin x.
x
+ 999 = 1 234
x sayısını en büyük üç rakamlı sayı ile topla – o da 999 sayısıdır. Böylece x + 999 toplamını elde
edeceksin.
Ödeve göre x + 999’ın toplamı 1 234’tür. Yani, x + 999 = 1 234.
Bu denklemdeki bilinmeyen toplananı nasıl bulacaksın?
Toplam 1 234’ten diğer toplanan 999’u çıkartırsak, bilinmeyen x toplananının
değerini bulabiliriz.
Demek ki, x = 1 234 - 999; x = 235.
Bilinmeyen numarayı elde ettiğin, x + 999 = 1 234işlemine denklem denir.
Bu işlemdeki x sayısına bilinmeyen denir.
Bilinmeyen sayının elde edilmesine denklemin çözülmesi denir.
5
Denklemi çöz:
a) (x + 1) + 300 = 702;
b) 1 432 + x = 3 200 + 17.
6
Şu denklemler verilmiştir:
a) x - 1 270 = 2 380;
b) 8 226 - x = 1 149.
45
Sorulara cevap ver ve denklemleri çöz.
a) Bilinmeyen x numarası nedir, bilinen 1 270 ve 2 380 numaraları nedir?
Fark ve çıkanın verilmiş olduğu denklemlerde bilinmeyen eksilen nasıl elde edilir?
Fark 2 380’i çıkan 1 279 ile toplayıp eksileni elde edeceğim.
Eksilen 8 226’nın ve fark 1 149’un verilmiş olduğu denklemde bilinmeyen x çıkanı nasıl belirleyeceksin?
Eksilen 8 226’dan fark 1 149’u çıkartarak çıkanın değerini elde edeceğim.
7
Denklemleri hesapla:
a) x - (1 300 + 78) = 2 630;
b) 5 273 - x = 3 700 - 37.
Bilinmeyen toplam, eksilen veya çıkan sayıların belirlendiği denklemler için genel bilgi
Bilinmeyen toplanan, toplam ve toplananın bilindiği durumlarda,
farktan bilinen toplananın eksilmesi ile elde edilir.
x + b = c; x = c - b
(b ve c bilinen numaralardır)
eksilen, çıkan ve farkın bilindiği durumlarda, fark ile
Bilinmeyen
çıkanın toplanması ile elde edilir.
(b ve d bilinen numaralardır)
Bilinmeyen çıkan, eksilen ve farkın bilindiği durumlarda, eksilenden
farkın çıkması ile elde edilir.
8
x - b = d;
a - x = d;
x=d+b
x=a-d
(a ve d bilinen numaralardır)
Bir şarap fabrikasında 1 392 şişenin kutulara paketlenmesi gerekiyor. Her kutuda 16 şişe dizilebilir.
Kaç kutuya ihtiyaç vardır?
İhtiyaç olan kutu sayılarını k ile işaret edersen, onlarda 16’şar şişe olacağını 16 • k olarak göstereceğiz. Yani
16 ⋅ k = 1 392.
1 392sayısı çarpan 16 ve bilinmeyen k çarpanının çarpımıdır.
k çarpamını nasıl elde edeceksin?
Çarpım 1 392’yi çarpan 16 ile bölersem k çarpımının değerini elde
edeceğim.
k = 1 392 : 16; k = 87. Şişeler 87 kutuda paketlenmiştirler.
9
Denklemleri çöz:
a) 17 ⋅ y = 595;
b) (10 + 3) ⋅ z = 178 + 4.
46
Verilen denklemi nasıl okursun:
10
x : 25 = 47,
Denklemdeki bilinen 25ve 47 nedir,bilinmeyen x nedir?
Ardından x = 47 • 25 sonucunu açıkla.
Sonuç kaçtır?
11
Verilen denklemi oku 1 120 : x = 35 ve sonucu açıkla x = 1 120 : 35.
12
Denklemleri çöz
a) x : 7 = 63;
b) (z + 4) : 10 = 8;
c) 1 080 : x = 24;
d) 50 : (x + 2) = 10.
Bilinmeyen çarpan, bölünen veya bölenin belirlendiği denklemler için genel bilgi.
Bilinmeyen çarpan, bilinen çarpım ve diğer çarpan durumunda,
çarpımın diğer çarpan bile bölünmesiyle elde edilir.
a ⋅ x = p; x = p : a
(a ve p bilinen sayılardır)
Bilinmeyen bölünen, bilinen bölen ve bölüm durumunda, bölüm
ve bölenin çarpımı ile elde edilir.
x : b = q; x = q ⋅ b
(b ve q bilinen sayılardır)
Бilinmeyen bölen, bilinen bölünen ve bölüm durumunda, bölü
nenin bölüm ile bölünmesi ile elde edilir.
a : x = q; x = a : q
(a ve q bilinen sayılardır)
Bilmen gerekir!
Kendini yokla!
Verilmiş sayısal ifadenin değerini belirleyesin;
Sayısal ifadenin değerini belirle:
17 + 3 ⋅ (56 - 4 ⋅ 13) - (62 - 18 : 3).
Sayısal ifadelerin çözülmesi sırasında hangi
işlemlerin önceliği olduğunu bilеsin;
Denklemleri çöz:
a) 235 + x = 250;
b) x - 37 = 63;
c) x : 15 = 10;
d) 645 : x = 15;
e) (x + 2) ⋅ 35 = 105.
Aritmetik işlemlerin özelliklerine bağlı olarak
denklemler çözesin.
Ödevler
1.
2.
3.
Bir şirkette 1 360 meyve kasasını elma ile
doldurmuşlar, onlardan 420’si delişes, 635’i
aydaret ve geri kalanları Kalkandelen
elmasıymış. Kalkandelen elmasından kaç
elma kasası dolmuştur?
4.
Elif’in 11 yaşı var. 3 yıl önce annesinin Elif’ten
4 kat fazla yaşı varmış. Elif’in annesi şimdi kaç
yaşındadır?
5.
Sibel ve Metin’in eşit sayıda cevizleri var.
Eğer Yana’nın 2 kat fazla, Metin’in da 5 kat
fazla cevizi olsaydı, beraber toplam 140
cevizlerinin olacağı biliniyor. Sibel ve
Metin’in kaçar cevizi var?
Sayısal ifadelerin değerini belirle:
a) 190 - (5 ⋅ 30 - 128 : 16);
b) 325 - (144 : 16 + 7 ⋅ 13).
Denklemleri çöz:
a) 115 + x = 225; b) 1 320 - x = 1 120;
c) 17 ⋅ x = 289;
d) x : 30 = 40;
e) 483 : x = 23;
f ) 50 : (x + 2) = 10.
V E R İ L E R L E
M E
T Ç A L I Ş M A
17
1
47
ARİTMETİK ORTALAMA
Osman, video kulüp sahibidir ve video kasetler kiralamaktadır. Kiraladığı kasetlerle ilgili verileri
tabelaya yazmıştır.
Gün
Osman hangi gün en çok kaset kiralamıştır?
Cuma günü Salı gününe oranla ne kadar
daha fazla kaset kiralanmıştır?
Toplam ne kadar kaset kiralanmıştır?
Kaset sayısı
Pazartesi
12
Salı
9
Çarşamba
15
Perşembe
6
Cuma
23
Osman günde ortalama olarak kaç kaset kiraladığını bilmek istiyormuş ve bunun için de
tabeladaki sayıların aritmetik ortalamasını bulması gerekiyormuş.
Gözlemle!
Toplam kiralanmış
kaset sayısı
Günlük ortalama kiralanmış
kaset sayısı
12 + 9 + 15 + 6 + 23 = 65
65 : 5 = 13
Osman haftanın beş çalışma günü
içerisinde günde ortalama 13’er
kaset kiralamıştır.
13 sayısı 12, 9, 15, 6ve 23 sayılarının
aritmetik ortalamasıdır.
Günler sayısı
Hatırlamam lazım: İki veya daha fazla sayının aritmetik ortalaması, o
sayıların toplamının toplananların sayısı ile bölünmesiyle elde edilir.
2
Aşağıda verilmiş sayıların aritmetik ortalamasını hesapla.
24, 36, 42;
3
657, 890, 1 240, 121, 3 522.
Sabri matematik dersi testlerinde şu sonuçları elde etmiştir: 1. teste 89 puan, 2. testte 91 puan, 3.
testte 100 puan, 4. testte de 80 puan almıştır.
Verileri tabela şeklinde göster.
Sabri matematik dersi testlerinde ortalama kaç puan almıştır?
18
48
DOĞAL SAYILARDA BÖLÜNEBİLİRLİK. TOPLAMA VE
ÇIKARMADA BÖLÜNEBİLİRLİK
A
Hesapla:
24 : 6 =
139 : 2 =
1
Оkul günü kutlamaları için VI. sınıf öğrencilerinden
on sekiz öğrenci hazırlık yapmaktadır. Onlar, eşit
sayıda öğrencilerin sıralar halinde dizilmesi ile sahneye çıkmak istiyorlar.
Öğrenciler kaç farklı şekilde dizilebilirler?
265 : 5 =
2 785 : 8 =
Öğrencilerin dizilişleriyle ilgili verilerle tabelayı tamamla.
Bölünmelerden hangisinde
kalan sayı 0’dır.
İki numaranın çarpımı olarak 18, kaç çarpım işlemiyle elde
edilebilir?
Kalan sayının 0 olması için 18 sayısı hangi sayılarla
bölünebilir?
Sıra
sayısı
Herbir sıradaki
öğrenci sayısı
Toplam
öğrenciler
1
18
1 ⋅ 18
2
9
2⋅9
3⋅6
3
3
9
1 ⋅ 18
2
Hatırlamam lazım:18 sayısı 1, 2, 3, 6,
9 ve 18 sayıları ile kalan kalmadan
bölünebilir
Deniliyor: 18sayısı 1, 2, 3, 6, 9 ve 18 sayıları ile
bölünebilir. O sayılara, 18 sayısının böleni deniliyor.
Şöyle yazılıyor: D18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}.
Bölme ile dene:
6 sayısı 24 sayısının böleni midir;
31 sayısı 5 sayısı ile bölünebilir mi;
42 sayısı 6 sayısı ile bölünenilir mi.
3
BEN
BÖLENİM
14 sayısının bölünebildiği tüm sayılardan oluşacak D14
esini belirle.
14 sayısının bölünebileceği sayıları bölmen için, sırasıyla 1,2,3, 7 ile bölmen gerekiyor.
4
4 sayısı 8 sayısının bölenidir. (4 -2 = 8 veya 8 : 4 = 2 ve kalan 0).
4 sayısı ile bölünebilen 5 sayı yaz.
4 sayısı ile bölünebilir tüm sayılara 4 sayısının paydaları denir.
49
4 sayısının tüm paydalarındanoluşan kümeyi S4ile işaretliyoruz;
S4 = {4, 8, 12, 16, ...}.
b doğal sayısı a doğal sayısının bölenidir, ya da a sayısı b sayısı ile bölünebilir. a ve b’nin bölün
mesi sonucunda kalan sayı 0’dır.
10 = 5 ⋅ 2
10 : 5 = 2
10 sayısının böleni
Yazılış şekli: 5 |10.Okunuş şekli: 5sayısı 10 sayısının bölenidir.
sayısı a doğal sayısının bölenidir. Eğer, a = b • k herhangi bir k doğal sayısı için. Yazıyoruz:
bb|doğal
a. Okuyoruz: b, a’nın bölenidir.
sayısı b doğal sayısının paydasıdır.
Eğer b, a’nın böleni ise, a doğal
35 sayısı 5 sayısının paydasıdır, çünkü 5 | 35
ve 1 sayısı ile bölünebilir.
Tüm doğal sayılar kendi kendileri ile
10 : 1 = 10 ve 10 : 10 = 1
a : 1 = a ve a : a = 1
B
5
Verilen sayıların 7 sayısı ile bölünebilirliklerini kontrol et:
28, 42 ve 28 + 42;
14, 18 ve 14 + 18.
9, 24 ve 24 - 9;
12, 15 ve 12 ⋅ 15;
15, 22 ve 22 - 15.
10, 15 ve 15 ⋅ 10.
Ödevde fark ettim!
İki toplanan 7 ile bölünebilirse, toplam da 7 sayısı ile bölünebilir.
Eksilen ve çıkan 3 sayısı ile bölünebilirse, fark da 3 sayısı ile bölünebilir.
Eğer çarpanlardan biri 4 ile bölünebilirse, çarpım da 4 ile bölünebilir.
Genel
Eğer a sayısı m sayısı ile ve b sayısı m sayısı ile bölünebilirse, o
durumda a + b toplamı m sayısı ile bölünebilir.
5 | 15 ve 5 | 35 5 | (15 + 35)
Eğer a sayısı m sayısı ile bölünülebilirse ve b sayısı da m sayısı ile
bölünebilirse, o zaman a - bfarkı da m sayısı ile bölünebilir.
3 | 21 ve 3 | 9
3 | (21 - 9)
Eğerm sayısı a veya b sayılarının bari bir tanesinin böleni ise, o
zaman m sayısı a • b çarpımını da bölebilir
2 | 8 ve 2 | 15
2 | (8 ⋅ 15)
Toplamın bölünebilmesi
m | a ve m | b
m | (a + b)
Farkın bölünebilmesi
m | a ve m | b
m | (a - b)
Çarpımın bölünebilmesi
m | a ya da m | b
m | (a ⋅ b)
50
6
6 15, 18, 25 ve 28sayılarından iki sayı seç ki:
Toplamları 5 ile bölünebilir olsun;
Farkları 3 ile bölünebilir olsun;
Çarpımları 7 ilse bölünebilir olsun ama aynı çarpım 5 ile bölünebilir olmasın.
712 + 8 toplamı ve 24 – 9 farkının 5 ile bölünebilir olup olmadığını söyle.
7
Gördün ki toplananlardan ve eksilen ile çıkandan hiçbiri 5 ile bölünebilir sayı değildir. Ancak toplam
ve fark 5 ile bölünebilir.
Kendini yokla!
Bilmen gerekir!
Bir doğal sayı ne zaman diğer doğal sayı ile
bölünebilir;
5, 8, 30ve 56 sayıları verilmiştir. Bu sayılardan
hangileri 6 ile bölünebilir?
Verilmiş doğal sayının böleni ve paydaları
bulasın;
30 sayısının tüm bölenlerini yaz.
Örneklerle doğal sayılarda toplam, fark ve
çarpımın bölünülebilirliğini gösteresin.
5 sayısı 58 sayısının böleni midir?
5 sayısının üç paydasını yaz.
Hesaplamadan doğruluğunu kontrol et:
4 | (8 + 36);
5 | (56 - 30);
5 | (30 - 5);
5 | (30 ⋅ 6).
Ödevler
1.
1, 2, 3, 5veya 7 sayılarından hangisi 70
sayısının bölenidir?
3.
64 sayısının tüm bölenlerini belirle.
Verilen örnekleri kontrol et: 4 | 12; 3 | 36;
10 | 1 000
3 sayısının 7 paydasınıyaz. 3 sayısının kaç
paydası var?
2.
4.
Aşağıdakilerin bölünebilirliklerini gösterebilmek için örnek yaz:
Toplam veya farkı hesaplamadan 5 ile
bölünebilirliğini belirle.
a) 40 + 25;
b) 27 + 20;
c) 50 - 15;
d) 35 - 29.
Çarpımlarını hesaplamadan aşağıdan hangilerinin 3 ile hangilerinin de 7 ile
bölünebildiğini belirle.
a) 9 ⋅ 5;
b) 4 ⋅ 14 ⋅ 2;
c) 5 ⋅ 12;
d) 8 ⋅ 21 ⋅ 5.
Sayı ile 4 doğal sayının toplamı;
Sayı ile 2 doğal sayının farkı;
Sayı ile 3 doğal sayının çarpımı.
5.
A = {6, 7, 13, 16, 24, 32, 43} verilmiştir.
В = {x | x ∈ А ve 4 | x} kümesini tabela şeklinde
yaz.
19
2 VE 5 İLE BÖLÜNEBİLMEKURALLARI
Bir sayının diğer bir sayı ile
bölünebilmesini öğrenebilmek için,
onların bölümünü elde etmemiz
yeterlidir.
Bölünebilme işlemi yapılmadan da
öğrenilebilir. Bunu, bölünebilme
kuralları adı verilen kriterler aracılığı
ile öğrenebiliriz.
A
Eğer bölünme sonucunda kalan sayı 0 ise
bir doğal sayının diğer doğal sayı ile
bölünebildiğini söyleyebiliriz.
Verilen sayılardan hangisi 2 ile bölünebilir:
37, 64ve 310?
Verilen sayılardan hangisi 5 ile bölünebilir:
65, 800ve 273?
İşlemi izle
10 = 2 ⋅ 5; 2 | (2 ⋅ 5), ya da 2 | 10.
70 = 7 ⋅ 10; 2 | (7 ⋅ 10), ya da 2 | 70.
290 = 29 ⋅ 10; 2 | (29 ⋅ 10), ya da 2 | 290.
1
51
Verilen sayılardan hangileri 2 ile bölünebilir:
10, 70 ve 270?
Farkettim ki!
Sıfır ile biten sayı, bir çarpanın
10 olduğu işleme çarpım olarak
yazılabilir. O çarpım 2 ile
bölünebilir.
Birlikler hanesinde 0 rakamı
olan her sayı 2 ile bölünebilir.
İşlemi izle
2
Verilen sayılardan
hangisi 2 ile bölünebilir:
132, 254 ve 365?
132 : 2 = (130 + 2) : 2;
254 : 2 = (250 + 4) : 2;
365 : 2 = (260 + 5) : 2;
2 | 132, çünkü 2 | 130 ve 2 | 2.
2 | 250, çünkü 2 | 250 ve 2 | 4.
2 | 365, çünkü 2 | 360 ve 2 | 5.
Farkettim ki! Bir sayının 2 ile bölünüp
bölünemediği, o sayının birliklerinde
bulunan rakamına bağlıdır.
Hatırlatma!
Bir sayı, eğer birlikler rakamı 0, 2, 4, 6 veya 8 ise 2 sayısı ile
bölünebilir.
Buna, 2 ile bölünebilme kuralları denir.
3
Verilen sayılardan hangisi 2 ile bölünebilir: 530, 738, 1 336, 1 112 ve 2 243?
52
B
4
Verilen sayılardan hangisi 5 ile
bölünebilir: 10,
70ve 360.
İşlemi izle
10 : 5 = (2 ⋅ 5) : 5; 5 | 10 çünkü 5 | 2 ve 5 | 5.
70 : 5 = (10 ⋅ 7) : 5; 5 | 70 çünkü 5 | 10 ve 5 | 7.
360 : 5 = (10 ⋅ 36) : 5; 5 | 360 çünkü 5 | 10 ve 5 | 36.
Fark ettim ki!
Birlikler rakamı sıfır olan doğal sayı, çarpanlarının biri 10 olan çarpım olarak yazılabilir.
O doğal sayı, 5 ile bölünebilir.
Birlikler rakamı 0 olan her doğal sayı, 5 ile bölünebilir.
İşlemi izle
5
Verilen sayılardan
hangisi 5 ile bölünebilir:
65, 105 ve 263?
65 : 5 = (60 + 5) : 5; 5 | 65, çünkü 5 | 60 ve 5 | 5.
105 : 5 = (100 + 5) : 5; 5 | 105, çünkü 5 | 100 ve 5 | 5.
263 : 5 = (260 + 3) : 5; 5 | 263, çünkü 5 | 260 ve 5 | 3.
Hatırlatma!
Anladım ki!
Birlikler rakamı 5 olan sayılar
5 ile bölünebilir.
Bir sayının birlikler rakamı 5 veya 0 ise, o
sayı 5 sayısı ile bölünebilir.
Buna, 5 ile bölünebilme kuralı denir.
6
Verilen sayılardan hangisi 5 ile bölünebilir: 180, 243, 525, 420 ve 1 275?
Bilmen gerekir!
Kendini yokla!
Bölme işlemini yapmadan hangi sayıların 5 ile
ve hangi sayıların 2 ile bölünebileceğini
belirleyesin;
Verilen sayılardan hangisi: 13, 24, 15, 57, 155,
850ve 1 000;
2 ile bölünebilir;
Ödevlerde 2 veya 5 sayıları ile bölünebilmekuralının kullanasın.
Ödevler
5 ile bölünebilir;
2 ve 5 ile bölünebilir?
4.
Esra’nın 60’tan fazla, 70’ten daha az şekeri varmış. Esra şekerlerini beş arkadaşına eşit olarak
bölmüştür.
1. Bölme işlemini yapmadan verilen sayıların 2
ile bölünebilmelerini belirle: 28, 70, 96, 797,
2 001ve 25 000.
2. 5 ile bölünebilme kuralını açıkla.
3. Verilen sayılardan hangileri 5 ile
bölünebilirler: 102, 275, 400, 876ve995?
Esra’nın kaç şekeri varmış?
20
3 VE 9 İLE BÖLÜNEBİLME KURALLARI
A 1
Verilmiş sayılardan hangilerinin 3 ile
bölünebildiğini belirle: 9, 66, 171 ve 231.
Verilmiş sayılardan hangileri 9 ile
bölünebilir: 18, 999, 1 062ve 11 000?
Rakamlarının toplamı 3 ile bölünebilir olan üç
sayı yaz.
2
Örnek olarak verdiğin sayıların 3 ile
bölünebilir olduğunu kontrol et.
Fark edebilirim ki! Bir sayı 3 ile
bölünebilirse, rakamlarının toplamı da
53
Verilmiş sayılardan hangileri 3 sayısı
ile bölünebilir: 72, 84, 297 ve 373?
Tüm verilmiş sayıların toplamını
belirle.
Sayıların hangisinin rakamlarının
toplamı 3 ile bölünebilir olduğunu
belirle.
Hangi sayıların 3 ile bölünebilir
olduğunu ve hangi sayılarda rakamların toplamı 3 ile bölünebilir
olduğunu belirle. Hangi sonuca
varıyorsun?
Hatırlatma!
Bir sayının rakamlarının toplamı 3 ile
bölünebilirse, o sayı da 3 ile
bölünebilir.
Verilen sayılardan hangisi 3 ile bölünebilir: 111, 292, 1 112 ve 1 236?
3
B
4
Verilen sayılardan hangisi 9 ile bölünebilir: 78, 117, 348, 486 ve 1 567?
Herbir sayının rakamlarının toplamını belirle.
Hangi sayıların rakamlarının toplamının 9 ile bölünebilir olduğunu belirle?
Fark edebilirim ki! Bir sayı 9 ile
bölünürse, onların rakamlarının
toplamı da 9 ile bölünebilir.
Hatırlatma!
Bir sayının rakamlarının toplamı 9 ile
bölünebilirse, o sayı da 9 ile
bölünebilir.
5
Bölme işlemini yapmadan verilmiş: 459, 774, 1 497, 5 640, 6 327 ve 7 235 sayıların verilenlerden
hangileri ile bölünebilir olduklarını söyle:
3 ile;
9 ile;
3 ve 9 ile.
Farkedebilirim ki! 459, 774 ve
6 327 sayıları hem 3 sayısı
hem de 9 sayısı ile bölünebilir.
54
Bilmen gerekir!
Hatırlatma!
9 ile bölünebilen her sayı 3 ile
de bölünebilir.
Kendini yokla!
3 ile bölünebilen doğal sayıların hangileri
olduğunu bilmelisin;
Verilmiş sayının 9 ile bölünebilirliğini belirleyesin;
9 ile bölünebilen her doğal sayının 3 ile de
bölünebildiğini bilmelisin.
75, 94, 258 ve 347 sayılarından hangisi 3 ile
bölünebilir?
9 sayısı ile bölünebilecek sayının elde edilmesi
için 5 6 * 3 sayıların arasında * işareti yerine
hangi rakamın gelmesi lazım?
3 ve 9 sayıları ile bölünebilir bir sayı yaz.
Ödevler
1. Verilen sayılardan hangisi 3 ile bölünebilir:
4.
348, 512, 1 245 ve 6 123?
Elde edilecek sayının 9 ile bölünebilir olması için *
işaretinin yerine hangi sayının yazılmsı gerekiyor?
3∗8;
6 ∗74;
1 8∗3;
35∗12.
2. Verilen sayılardan hangisi 9 ile bölünebilir:
4 279, 9 126 ve 540?
5.
3. Elde edilecek sayının 3 ile bölünebilir olması
27 55* sayısının 2 ve 3 sayıları ile bölünebilir
olması için * işareti yerine hangi rakamın
koyulması gerekiyor?
için, * işaretinin yerine hangi sayının yazılması gerekiyor?
1 3∗7;
6 53∗;
3 ∗25;
24 ∗62.
Daha fazla bilmek istersen!
Bir sayının rakamlarının toplamı 9 ise, o sayı neden 9 ile bölünebilir?
Verilen örneği dikkatle incele: 486 = 400 + 80 + 6 = 100 ⋅ 4 + 10 ⋅ 8 + 6 =
=(99 + 1) ⋅ 4 + (9 + 1) ⋅ 8 + 6 = (99 ⋅ 4) + 1 ⋅ 4 + 9 ⋅ 8 + 1 ⋅ 8 + 6 = (99 ⋅ 4 + 9 ⋅ 8) + (4 + 8 + 6);
Toplam ve çarpım bölünme kuralına göre, 99 • 4 + 9 • 8 ifadesi 9 ile bölünebilir.
4 + 8 + 6ifadesinin değerinden 486 sayısının 9 ile bölünüp bölünemeyeceği ortaya çıkar.
4 + 8 + 6 = 18; 9 | 486, çünkü 9 | 18.
Aynı şekilde 123 sayısının 3 sayısına bölünebilir olduğunu göster.
Sonuç almayı dene!
Melisa dükkândan bir dondurma ve üç çikolata almaya gitmiş. Dondurmanın 60 denar olduğunu biliyormuş. Satıcı 220 denar ödemesi gerektiğini söylemiş. Melisa hesabın doğru olmadığını söylemiş. Satıcı
tekrar hesap yapmış ve hatası için özür dilemiş. Melisa çikolatanın fiyatını bilmeden, toplam hesabın
doğru olmadığını nereden bilmiş?
21
4 İLE BÖLÜNEBİLME KURALI
A 1
Verilen sayılardan hangisi 4 ile
bölünebilir: 96, 200, 2 718 ve 3 008?
55
Verilen sayılar 4 ile bölünebilir mi: 100,
500 ve 1 300?
İşlemi izle
100 = 25 ⋅ 4; 4 | 100, çünkü 4 | (25 ⋅ 4).
500 = 100 ⋅ 5; 4 | 500, çünkü 4 | (100 ⋅ 5).
1 300 = 100 ⋅ 13; 4 | 1 300, çünkü 4 | (100 ⋅ 13).
Fark edebiliyorum!
Birlikler ve onluklar rakamlarında sıfır rakamı bulunan sayılar, çarpanlardan birinin
100 olduğu çarpma işleminde çarpım olarak gösterilebilir.
O çarpım 4 ile bölünebilir.
Birlikler ve onluklar rakamı 0 olan her sayı, 4 sayısı ile bölünebilir.
2
Verilen sayılardan
hangisi 4 ile
bölünebilir: 132, 916
ve 283?
İşlemi izle
132 : 4 = (100 + 32) : 4;
916
: 4 = (900 + 16) : 4;
283 : 4 = (200 + 83) : 4;
4 | 132, çünkü 4 | 100 ve 4 | 32.
4 | 916, çünkü 4 | 900 ve 4 | 16.
4 | 283, çünkü 4 | 200 ve 4 | 83.
Fark edebiliyorum!
Bir sayının 4 sayısı ile bölünüp bölünemeyeceği, aynı sayının birlikler ve onluklarında
yer alan rakamlarına bağlıdır.
Hatırlatma!
Eğer sayısın son iki rakamı 4 ile bölünebilirse, tüm sayı 4 ile bölünebilir.
56
3
Verilen sayılardan hangilerinin 4 ile bölünebildiğini söyle: 48, 108 , 135, 1 240,
7 732 ve 9 006.
Bilmen gerekir!
Kendini yokla!
Bölme işlemini gerçekleştirmeden, bir
sayının 4 ile bölünebildiğini belirleyesin.
9 996 sayısını 4 ile bölünebildiğini belirleyebileceğin toplam olarak göster.
4 ile bölünebilir olan iki sayı yaz.
Ödevler
1. 1, 2, 3 ve 4 rakamları ile, onları tekrarlamadan, 4 ile bölünebilen dört rakamlı
sayılar yaz.
2. Verilen sayıların 4 ile bölünebilir olması için *
işareti yerine hangi rakamın gelmesi gerekiyor?
362∗; 4 71∗;
3. 4 ve 5 rakamları ile bölünebilir olan üç doğal
sayı yaz.
4.
Dördüncü yüzlüğün ikinci onluğundan, 2, 3
ve 4 sayıları ile bölünebilir olan sayıyı yaz.
5 4∗2; 52∗0.
Bu da matematiktir!
Masada 50 fasülye tanesi bulunuyor. İki oyuncu eşit olarak birer, ikişer veya üçer fasülye alıyor. Son
alacak olan oyuncu kazanıyor.
İlk başlayan oyuncunun kesin kazanması için kaç fasülye alması gerekiyor?
İlk alan oyuncu için kazanma stratejisi belirle.
Masada 20 fasülye varsa, ikinci alacak olan oyuncu için kazanma stratejisi belirle.
Belirsiz sayıda fasülyeden, oyuncuların eşit olarak 1’den 4’e kadar veya 1’den 5’e kadar vb. fasülye
aldıkları oyun için kazanma staretjisi belirle.
Eğer bu ödev zor geldiyse, daha basit ödev çözmeye deneyeceğim. Önce 10
fasülye ile deneyeceğim, daha sonra 20... vb.
22
BASİT (ASAL) VE BİLEŞİK (KARMAŞIK) SAYILAR.
BİLEŞİK SAYILARIN ASAL SAYILARIN ÇARPANI
OLARAK GÖSTERİLMESİ
57
A 1
Her doğal sayı 1 ile bölünebilir.
Sadece iki böleni olan üç sayı yaz.
Her doğal sayı kendi kendi ile bölünebilir.
İki bölenden daha fazlası olan üç
sayı yaz.
Verilmiş sayıların tüm bölenlerini yaz:3, 17
ve 53.
Verilmiş sayıların tüm bölenlerini yaz:6, 12
ve 15.
2
Sayı
Sayının böleni
Tabelayı incele.
Hangi sayının sadece bir böleni var?
1
1
Tabeladaki sayılardan hangisinin iki böleni var?
2
1, 2
Tabeladaki hangi sayının ikiden fazla böleni var?
3
1, 3
4
1, 2, 4
5
1, 5
6
1, 2, 3, 6
Hatırlatma!
Sadece 2 böleni olan sayılara asal (basit) sayılar denir.
3 veya fazla böleni olan sayılara bileşik (karmaşık)
sayılar denir.
Ben
bileşiğim
Ya ben!?
1
4 7
3
B
Ben
asalım.
1 sayısı ne asal ne de bileşik sayıdır.
Tabeladaki 2, 3 ve 5 sayıları asaldır.
Tabeladaki 4 ve 6 sayıları bileşiktir.
Kümeleri liste yöntemi ile yaz:
A = {x | x ∈ N ve x < 20}; B = {x | x ∈ A ve x А ve x asal sayıdır}; C = {x | x ∈ A ve x ve x bileşik
sayıdır}.
4
Asal sayıların çarpımını belirle: 2, 3 ve 7; 2, 3 ve 5; 2, 2, 3 ve 3.
58
42, 50 ve 75 sayılarının her birini çarpım olarak göster.
5
Elde ettiğin sonucu verilenlerle
karşılaştır.
42 = 21 ⋅ 2 = 7 ⋅ 3 ⋅ 2
Fark edebilirim ki!
Asal sayıların çarpımı olarak bileşik
sayıları gösterebilirim.
50 = 25 ⋅ 2 = 5 ⋅ 5 ⋅ 2 = 2 ⋅ 52
75 = 15 ⋅ 5 = 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 3 ⋅ 52
Hatırla!
Her bileşik doğal sayı asal sayıların çarpımı olarak gösterilebilir, yani asal çarpanlara ayrılabilir.
6
36 sayısını asal sayılar çarpımı olarak göster.
7
120 sayısını basit çarpanlara ayır.
Verilmiş asal çarpanların ayırma işlemini gözlemle.
120
60
30
15
5
1
2
2
2
3
5
Önce 120 sayısının yanına dikey bir çizgi çiziyoruz. Dikey çizgiyi bölme
işareti olarak görüyoruz, bölüm sayılarını ise bölünenin altına yazıyoruz.
Bölme işlemine verilen sayının en küçük asal böleni ile başlıyoruz ve
mümkün olduğu sürece o bölen ile devam ediyoruz (örnekte 2 sayısı)
İşlemimize, bölüm sayısı olarak 1 sayısını elde etmemize kadar tüm bölüm
sayıları ile aynı şekilde devam ediyoruz.
120 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 23 ⋅ 3 ⋅ 5
Aynı prosedürü kullanıp 36, 140, 600 ve 10 000 sayılarını asal çarpanlara ayır.
1 164 ayrılmasını gözlemle:
1 164
582
291
97
1
2
2
3
97
1164 = 22 ⋅ 3 ⋅ 97
Son bölüm sayısı olan 97 ne 3 ne de 5 ile bölünebilir değildir.
Sırada ki asal sayı 11’i kontrol etmemize gerek yok çünkü 112 > 97.
Devamdaki asal sayısı olan 7 sayısı ile de bölünebilir olmadığını kontrol
ediyor ve tasdıklıyoruz.
Demek ki 97 sayısı asal sayıdır.
Kendini yokla!
Bilmen gerekir!
Hangi doğal sayılar asal, hangileri ise
bileşiktir;
Verilen sayıları asal çarpanlara ayırabilesin.
59
91 ve 97 sayılarından hangisi bileşik sayıdır?
Açıkla!
152 sayısını asal çarpanlara ayır.
Ödevler
1. 15, 42, 38, 75 ve 11 115 sayılarını asal
çarpanlara ayır.
3. Bir ailenin tek sayı çocukları, asal sayı evcil
hayvanları, çift sayı arabaları ve bileşik sayı
yatak odaları var. Tüm sayıların toplamı 10’dur.
O sayılar hangileridir?
2. Erol’un yaşının sayısı 30’dan küçük ve
20’den büyük bileşik sayıdır. O sayı üç eşit
asal çarpanın çarpımı ile elde edilir. Erol’un
kaç yaşı var?
4.
İki asal sayının toplamı olarak, 2 sayısından daha büyük çift sayılar yazmaya çalış.
Örnek:
8 = 3 + 5, 12 = 5 + 7, 48 = 37 + 11.
Verilen numaraları asal sayılar toplamı
olarak göster: 14; 52.
Kendin araştır!
Bir otelde 100 lamba varmış. Bir tabela üzerinde tüm ışıkların prizleri bulunuyormuş ve 1’den
100’e kadar işaretliymişler. Eğer priz bir defa bastırılırsa, ışık yanıyor, ikinci defa basılırsa, kapanıyormuş. Tüm ışıklar kapalıymış. Hademe birinci gün tüm prizleri bastırmış, yani tüm ışıkları yakmış.
Elektrik tasarrufu amacı ile ikinci gün her ikinci prizi bastırmış, üçüncü gün her üçüncüsünü ve
böylece yüzüncü gün sadece 100 numaralı prizi bastırmış. Yüzüncü günün ardından hangi ışıklar
yanıyormuş.
Alıştırmayı düşünüp kendim çözebilirim. Önce aynı alıştırmayı 10 ışık ile, sonra 20 ışık ile... çözmeye çalışacağım.
Böylece 100 ışıklı alıştırmaya ulaşacağım.
23
60
ORTAK BÖLEN.
EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN
Bölenler kümesini tabela şeklinde yaz ve
D18ile işaretle.
Bölenler kümesini tabela şeklinde yaz ve
D24ile işaretle.
A
1
Beyza 28 denara şeker satın almıştır. İvan
ise aynı şekerlerden 42 denarlık satın
almıştır.
Bir şekerin fiyatı ne kadar olabilir?
18 ve 24 sayılarının ortak bölenlerini belirle,
daha doğrusu D18 ∩ D24‘i belirle.
Bir şekerin en yüksek fiyatı ne kadar
olabilir?
İşlemi gözlemle ve
sonuca var!
28 sayısının tüm bölenleri
42 sayısının tüm bölenleri
28 ve 42 sayılarının ortak böleni nedir?
D28 = {1, 2, 4, 7, 14, 28}
D42 = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}
D28 ∩ D42 = {1, 2, 7, 14}
Gördüm ki: Eğer D28, 28 sayısının bölenleri ise ve D24 kümesi 24 sayısının bölenleri ise, bu durumda D28 ∩ D24 28 ve 24 sayılarının ortak bölenleri kümesidir.
Gözlemle!
Bir şekerin fiyatı: ya 1, ya 2, ya 7 ya da 14 denardır.
En yüksek fiyat 14 denardır.
14 sayısı 28 ve 42 sayılarının en büyük ortak bölenidir.
Hatırla!
m ve n ortak bölenlerinden en büyük sayıya, en büyük ortak bölen denir. EBOB (m, n) ile
işaretlenir.
2
30 ve 45 ortak bölenleri kümesini belirle. Yine EBOB (30, 45).
61
Verilen sayıların en büyük ortak bölenini belirle
а) 24 ve 30; b) 9 ve 14.
3
Gözlemle!
9 ve 14 sayılarının ortak böleni 1 sayısıdır, aynı
zamanda bu sayı onların en büyük ortak böleni de
olma özelliğini taşır. Daha doğrusu EBOB (9,14) = 1
Hatırla!
Eğer EBOB (a, b) = 1, ise, bu durumda a ve b sayılarına ortak asal sayıları deriz.
B
EBOB’i belirle (168, 180).
4
İşlemi incele ve istenilenler doğrultusunda
çalış
168 ve 180 sayılarını asal çarpımlara ayır
168 ve 180 sayılarını asal sayılar çarpımı olarak
göster.
168
84
42
21
7
1
2
2
2
3
7
180
90
45
15
5
1
2
2
3
3
5
168 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7
180 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5
Gözlemle!
168 ve 180 sayılarının ortak asal bölenlerinin çarpımı onların en büyük ortak bölenidir, yani EBOB
(168,180) = 2 • 2 • 3 = 12.
5
Belirle: EBOB (120, 150) ve EBOB (42, 63, 84).
6
EBOB’i belirlemede kullanılmış kısaltılmış işlemi incele.
iki sayının böleni olan en küçük asal sayıyı belirle.
elde edilen iki bölenin en küçük asal sayıyı belirle.
işlemi elde ettiğin bölüm sayılarıının ortak asal sayı olmasına kadar devam
ettiriyorsun.
ortak asal bölenlerin çarpımı en büyük ortak bölendir, daha doğrusu
EBOB (120, 150) = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 30 ve EBOB (42, 63, 84) = 3 ⋅ 7 = 21.
Belirle:
а) EBOB (72, 90);
b) EBOB (150, 180, 240)
120, 150
60, 75
20, 25
4,
5
2
3
5
42, 63, 84
14, 21, 28
2, 3, 4
3
7
62
Kendini yokla!
Bilmen gerekir!
İki sayının ortak bölenlerini belirleyesin;
Ortak asal sayılar hangileridir;
İki veya fazla sayının en büyük ortak
bölenini kısa yolla belirleyesin.
36 ve 60 sayılarını asal çarpımlara ayır ve ardından
onların EBOB’unu belirle.
8 m ve 12 m uzunluğunda iki tel verilmiştir. İki telin
eşit parçalara ayrılabileceği en büyük uzunluk
hangisidir?
Ödevler
1. 30 ve 36 sayılarının ortak bölenler kümesini
Hesaplamaya çalış!
belirle.
6. 48 çikolata, 72 sakız ve 120 şekerden, her
2. Belirle:
а) EBOB (12, 18);
b) EBOB (48, 72);
3. Belirle:
a) EBOB (16, 25)
pakette aynı üründen aynı ürün sayısı olabilecek şekilde ayırırsak kaç eşit paket elde
ederiz?
c) EBOB (60, 90, 120);
d)EBOB (240, 300, 600).
b) EBOB (36, 72).
Verilen ağları kullanarak sayıların bölenlerini belirleyen noktaları belirle ve yaz:
7.
а) 36 ve 54;
Ağlara bağlı olarak belirle:
EBOB (36, 54) ve EBOB (28, 42, 98).
4. Toplam 48 beyaz ve 72 kırmızı karanfilden her
demette aynı renkten, aynı sayıda karanfilin
olacağı şekilde bölersek en çok kaç eşit
demet yapabiliriz?
28 42 98
36
5. İki tel verilmiştir. Biri 96 m diğeri de 180 m
OB
EB
2
uzunluğundadır. Iki telin birleşimi ile
ölçülebilecek en büyük uzunluk kaç
metredir?
b) 28, 42 ve 98.
54
2
1
3
3
1
OB
EB
7
24
ORTAK KAT.
EN KÜÇÜK ORTAK KAT.
A
3 sayısının katlar kümesini liste yöntemi
ile yaz ve S3 ile işaretle.
1
63
İki arkadaş kütüphanede karşılaşmışlar;
biri her 4 günde bir, diğeri de her 6
günde bir kütüphaneye gidiyor. Kaç gün
sonra tekrar kütüphanede karşılaşacaklardır?
4 sayısının katlar kümesini liste yöntemi
ile göster ve S4 ile işaretle.
3 ve 4 sayılarının ortak kat sayılar kümesini yaz, daha doğrusu S3 ∩ S4 göster.
İşlemi gözlemle ve sonuca var!
4 sayısının kat kümesi.
S4 = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...}
6 sayısının kat kümesi.
S6 = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...}
28 ve 42 sayılarının ortak kat kümesi
S4 ∩ S6 = { 12, 24, 36, ...}
Gözlemle!
İki arkadaş kütüphanede 12 gün, 24 gün, 36 gün vb. içerisinde karşılaşacaklar.
İlk defa 12 gün sonra karşılaşacaklardır.
12 sayısı 4 ve 6 sayısının en küçük ortak katıdır.
Hatırlatma!
a ve b doğal sayılarının kat sayısı olan en küçük doğal sayı n, a ve b sayılarının en küçük ortak
katı olarak adlandırılır. EKOK (a, b) = n olarak işaretlenir.
2
B
3 ve 5 sayılarının ortak kat kümesini belirle. EKOK’u belirle (3, 5).
3
EKOK’u belirle (12, 45).
EKOK belirleme işlemini incele.
12 ve 45 sayılarını asal çarpanlara ayır.
12
6
3
1
2
2
3
45
15
5
1
3
3
5
64
12 sayısı asal çarpanlara ayrılırsa, çarpım 22 ⋅ 3.
Onların çarpımı en küçük ortak kattır.
EKOK (12, 45) = 22 ⋅ 32 ⋅ 5 = 180.
45 sayısı asal çarpanlara ayrılırsa çarpım 32 ⋅ 5.
12 veya 45 sayılarının tüm asal çarpanları 2,3 ve 5 sayılarıdır. Onlar en yüksek derece ile
şu şekile gösterilebilirler: 22, 32 ve 5.
4
m = 22 ⋅ 33 ⋅ 5; n = 23 ⋅ 32 ⋅ 7 bilindiği durumda EKOK (m, n) belirle.
5
EKOK (60, 72, 90) belirle.
Dikey çizgi ile EKOK’u belirleyen kısaltılmış işlemi incele.
Bir veya fazla verilmiş sayıda en küçüğünden başlayarak asal böleni belirle.
İşlemi asal böleni olmayan elde etmiş olduğun bölüm sayıları ve geriye kalan
yazılmış sayılarla devam et.
Elde edilmiş asal bölenlerin çarpımı, verilmiş sayıların en küçük ortak katıdır.
EKOK (60, 72, 90) = 23 ⋅ 32 ⋅ 5 = 8 ⋅ 9 ⋅ 5 = 360.
60, 72, 90
30, 36, 45
15, 18, 45
15,
9, 45
5,
3, 15
5,
1,
5
1,
1,
1
Şu sayıların EKOK’unu belirle: а)14 ve 15; b) 20 ve 40; c) 60, 90 ve 120.
6
Gözlemle!
Eğer iki sayı ortak asal iseler onların EKOK’u onların çarpımına eşittir, yani
EKOK(14, 15) = 14 • 15 = 210
İki sayıdan biri diğerinin katı ise, bu durumda bu sayıların EKOK’u daha büyük olan saydır, yani
EKOK (20,40) =40
Bilmen gerekir!
Kendini yokla!
İki sayının ortak katı kümesini belirleyesin;
9 ve 12 sayılarından her birini asal sayılar çarpımı olarak göster,
ardından onların en küçük ortak katını belirle.
İki veya fazla sayının kısa yol
ile en küçük ortak katını
belirleyesin.
Okul eğlencesinde şu şekilde hediyeler dağıtılmıştır:
Her 10’uncu ziyaretçi rozet kazanmıstır;
Her 15’inci ziyaretçi meyve suyu kazanmıştır;
Her 20’nci ziyaretçi şapka kazanmıştır.
Her 3 hediyeyi alan ilk ziyaretçi kimmiş?
2
2
2
3
3
5
65
Ödevler
1. 10 ve 15 sayılarının kat sayıları kümesini belirle, ardından da EKOK (10, 15) belirle.
5. Can’ın 30 dan daha az lego oyuncağı varmış.
Eğer bir sırada 3’er tane dizerse bir tanesi
elinde kalıyor. 4’er tane dizerse yine bir tanesi
elinde kalıyor, ancak 5’er tane dizer ise elinde
hiçbir lego oyuncak kalmıyor. Can’ın toplam
kaç legosu varmış?
2. Belirle:
a) EKOK(8, 10);
c) EKOK(80, 120);
b) EKOK(6, 12, 18); d) EKOK(120, 180, 240).
3. Aynı otobüs durağından aynı anda 3 otobüs
yol almıştır. Birincisi durağa her 50 dakikada,
ikincisi her 60 dakikada, üçüncüsü de her 75
dakikada geri dönüyor. 3 otobüs en az kaç
dakikada tekrar otobüs durağında bir araya
gelecekler?
6. Farklı renklerdeki üç ışık aynı anda yakılmıştır.
Kırmızı ışık her 5 saniyede, mavi ışık her 4
saniyede, sarı ışık da her 6 saniyede sönüyormuş. Kaç saniye sonra üç ışık aynı anda
sönecektir?
4. Bir limandan iki vapur aynı anda yol alıyor.
Birincisi limana her 20 günde bir ikincisi de
her 24 günde bir geri dönüyor. En az kaç gün
sonra vapurlar aynı limanda karşılaşacaklardır?
Kendin araştır!
12 ve 16 sayıları neye göre benzer, neye göre farklıdırlar?
Hesaplamaya çalış!
Bilinmeyen bir sayının ve 12’nin en küçük ortak katı 24’tür. Bilinmeyen sayıyı
belirt.
Alıştırma!
İki kardeş eğlence parkı için bilet satın almak istiyorlarmış. Ceplerindeki paraları hesaplamışlar ve
onlardan birinde bilet almak için 20 denar, ikincisinde de iki bilet almak için 1 denar eksikmiş.
Ardından her ikisinin paraları toplamının da iki bilet için az olduğunu fark etmişler. Eğlence parkında
bir bilet parası ne kadarmış ve kardeşlerin her birinde ne kadar para varmış?
V E R İ L E R L E
M E
T Ç A L I Ş M A
66
25
RESİMLİ DİYAGRAM. SÜTUN DİYAGRAMI
Tişört satışı
Verilerin resim ve semboller kullanılarak
gösterilmesine resimli diyagram denir.
Hafta 1
Hafta 2
Hafta 3
1
Bir dükkânda 6 haftalık tişört satışları yazılmıştır. Veriler
resimli diyagram şeklinde gösterilmiştir. Diyagramı
incele.
Hafta 4
Hafta 5
Hafta 6
İşareti 10 tişörtü
Verileri tabelada göster.
işareti ise 5 tişörtü belli eder.
En çok tişört hangi haftada satılmıştır?
İkinci haftada birinci haftaya göre ne kadar fazla tişört satılmıştır?
6 haftada toplam olarak ne kadar tişört satılmıştır?
2
VI. sınıf öğrencileri insanların en çok ne zaman müzik dinlemeyi sevdiklerine dair veriler
toplamışlardır. Elde edilen veriler tabelada gösterilmiştir.
Ne
zaman
Gezi
Ev
Ders
Çalışma
Spor Yapma
İş yerinde
Diğer
Sayı
30
50
20
25
15
40
Verileri tabelada
eşittir.
(kulaklık işareti) kullanarak göster. Bir kulaklık işareti
10 cevaba
İnsanlar en sık nerede müzik dinliyorlar?
Sorulan soruya toplam kaç kişi cevap vermiştir?
3
Şehir kütüphanesinden kiralanmış kitapların sayısı tabelasını
incele.
Gün
Kitap sayısı
Pazartesi
Verileri resimli diyagramda göster ve bir kitap sembolü 50
kitabı göstersin.
350
Salı
400
Çarşamba
150
Verilerle ilgili 3 soru sor ve cevapla.
Perşembe
Cuma
100
50
4
67
Güneş sisteminde 9 gezegen vardır. Gezegenlerin yedisinin kendi uyduları vardır.
Tabelada 1992 yılında keşfedilmiş gezegen uydularının sayıları verilmiştir.
Gezegen
Uydu sayısı
Dünya
1
Mars
2
Jüpiter
16
Satürn
18
Uranüs
15
Neptün
8
Plüton
1
Verilerin sütun diyagramında gösterilmesi için şunlar gereklidir:
Yatay çizgi çizilir ve verilerdeki isimler yazılır.
Sütunlar çizilecek.
Dikey çizgi çizilir ve ölçü birimleri yazılır.
Ölçek basamağının ölçü birimi hakkında karar verilecek ve tüm veriler gösterilip ölçek basamağı oluşturalacak.
Sütun diyagramının başlığı yazılacak.
18
16
14
12
10
8
6
4
2
D
M
J
S
U
N
P
Gezegenler
Basamak seçimini gözlemle. Bu örnekte 5 veya 10 ölçü
birimli basamağın kullanılması neden uygun değildir?
20
15
10
5
0
Uydular sayısı
0
Neden veriler tabelada gösterilmektense, sütun diyagramında gösterilmesi daha iyidir?
Sütunların yatay olarak gösterileceği sütun diyagramında verileri gösterin.
Uydular sayısı
Uydular sayısı
Gezegenlerin uyduları
20
10
0
68
26
DOĞAL SAYILARI ÖĞRENDİN.
ÖĞRENDİKLERİNİ KONTROL ET
A ={x \ x ikinci onluktan tek sayıdır},
В ={x | x ikinci onluktan asal sayıdır} ve
C={x | x ∈ N ve 15 < x < 19} kümeleri verilmiştir.
а) A, В ve С kümelerini liste yöntemi ile göster.
b) B ve C kümelerini venn şeması yöntemi ile
göster ve B ∩ C’yi tabela şeklinde yaz.
c) A, В, С, В ∩ C ve В\С kümelerinden hangilerinin
eşdeğer olduğunu söyle.
1.
9.
Bir at ve bir eşek ağırlık taşıyorlar.
Eşeğin taşıdığı ağırlıktan 9 kg azaltırsan, 19 kg
ağırlığı kalacak.
Atın taşıdığı ağırlığı üç defa azaltırsan, 13 kg ağırlığı kalacak.
At ve eşek beraber ne kadar ağırlık taşıyorlar?
A = {a, b, c} ve В = {1, 5} kümeleri verilmiştir. A x B kartezyen çarpımını ve B2
kartezyen derecesini belirle.
2.
9, 1ve 0 rakamları verilmiştir.
а) Verilen üç rakamı kullanarak yazabileceğin tüm üç rakamlı sayıları yaz.
b) Elde ettiğin sayıları, en küçüğünden başlayarak
büyüklüklerine göre diz.
c) Elde ettiğin en küçük sayının öncel ve ardılını
yaz.
3.
10. 427, 586, 386 ve 485 sayılarının aritmetik
ortalamalarını bul.
11. 105, 372, 801, 930 ve 254 sayılarından aşağıda verilmiş sayılarla hangisi bölünebilir:
a) 2; b) 5; c) 3; d) 9 ?
12. Sayının 4 ile bölünebilir olabilmesi için
“Yirmi milyar üç yüz elli milyon beş bin yetmiş” sayısını rakamlarla yaz. Bu sayıda 3
rakamı hangi basamak ve hangi bölükte yer alıyor? 3 sayısının basamak değeri nedir?
4.
6 485 ve 2539 sayılarını yüzlüklere yuvarla
ve yuvarlanmış sayıların toplamını hesapla.
Elde ettiğin toпlam gerçek toplamdan ne kadar
için fark göstermektedir?
5.
6.
35 648 – 18 719’un çıkanı 300 için azalır,
eksilen ise aynı kalırsa, fark nasıl değişir?
İki su borusundan havuz suyu akıyor. Bir
borudan bir saniye içinde 9 litre su,
diğerinden ise yine bir saniyede 6 litre su akmaktadır. 15 dakika içerisinde, iki borudan havuza ne
kadar su akacaktır?
7.
Ayşe ve Baran aynı sayıyı bölüyorlarmış?
Ayşe sayıyı 14 ile bölerken, Baran 18 ile
bölüyormuş. Ayşe 23 bölüm ve 2 kalan elde
etmiş. Baran’ın elde ettiği bölüm kaçtır?
8.
yıldız işaretinin yerine hangi rakamın yazılması gerekiyor: a) 573*; b)74*2?
13. 315 sayısını azal çarpanlara ayır.
14. D68 kümesini belirle, yani 68 sayısının tüm
bölenlerini kapsayacak kümeyi göster.
15. 18 ve 24 sayılarının EBOB ve EKOK’unu
belirle.
16. 12 kız ve 20 erkek öğrenciden ençok, kaç
eşit sayılır ekip kurulabilir? Her ekipte aynı
sayıda kız ve aynı sayıda erkek öğrenci bulunmalıdır.
17. Bir telefon hattının direkleri 30 metre aralık
ile dikilmiştir. Direklerin 50 metre aralığa
ayrılmaları gerekiyor. Telefon hattının hangi direkleri aynı yerde kalacaktır?
KONU 2.
DÜZLEM ÜZERİNDE
GEOMETRİK ŞEKİLLER
1. Nokta ve Doğru. Doğruların
Genel Özellikleri
2. İki Doğrunun Karşılıklı Pozisyonları
3. İki Nokta Arasındaki Mesafe
4. Yarı Doğru. Doğru Parçası.
Doğru Parçasının Uzunluğu
5. Doğru Parçalarının Taşınması
6. Kırık Çizgi
7. Temel ve Türetilmiş Kavramlar
8. Çember ve Daire
9. Çember ve Noktanın Karşılıklı
Pozisyonları Çember ve Noktanın
Karşılıklı Pozisyonları
10. İki Çemberin Karşılıklı Pozisyonları
11. Yarıdüzlem. Açı
12. Açıları Karşılaştırma
Açı Çeşitleri
13. Komşu, Bütünler ve Tümler
Açıları
14. Merkezi Açı. Açının
Yapısı
70
73 15. Açılarda Grafiksel Toplama
ve Çıkarma
75
16. Açıların Ölçülmesi. İletki
77 17. Аçılarla Aritmetik İşlemler
80 18. Karşılıklı Doğrular. Nokta ile
Doğru Arasındaki Mesafe
83
87 19. Doğru Parça Simetrisi. Açı
Simetrisi
89
20. Tümler ve Bütünler
Açılar
92 21. Çokgen
94 22. Çokgen Çeşitleri
97 23. Çokgenin Çevresi
24. Düzlen Üzerindeki Geometrik
Şekilleri Öğrendin.
100
Öğrendiklerini Kontrol Et
103
69
105
108
110
113
116
118
120
122
125
127
130
1
70
NOKTA VE DOĞRU.
DOĞRULARIN GENEL ÖZELLİKLERİ
G
B
a
F
D
A
C
H
Resimde a doğrusu ve birkaç nokta gösterilmiştir:
A, D ve F noktaları a doğrusuna aittir.
B, C, H ve G noktaları a doğrusuna ait
değildir.
A
1
Resimi incele ve gösterileni hatırla.
p
M
N
b doğrusu çiz ve üzerinde birkaç nokta işaretle. b doğrusuna ait olmayacak noktaları da
işaretle.
Doğrunun noktalar kümesi olduğunu söyleyebiliriz.
Resimde gösterilmiş olan M noktası için, p
Doğrunu ne şekilde düşünüyorsun?
doğrusuna aittir, veya p doğrusu M noktasının
üzerinde yatıyor deriz ve kısaca M ∈ p diye
yazıyoruz.
N noktası ise, p doğrusuna ait değildir veya N noktası p doğrusu dışında yer alıyor denilir ve N ∉ B
diye yazılır.
Hatırlamam gerekiyor! Nokta, doğrunun üzerinde yatıyor veya yatmıyor.
2
Bir doğru çizip m harfi ile işaretle. Ardından doğruda A, B, C, M ve N noktalarını işaretle, öyle ki: A ∈ m, B ∉ m, C ∉ m, M ∈ m ve N ∈ m.
A ∈ m ve B ∉ m ifadelerini sözlü açıkla.
3
Gözlemle!
Resimde d doğrusu ve A ∈ d, B ∉ d, C ∉ d, D ∈ d, E ∈ d, F ∈
d ve G ∉ d noktaları gösterilmiştir.
Bir doğrunun üzerinde
Verilenler dışında, daha hangi noktaların d doğrusuna ait olduğunu
sınırsız nokta yatmaktadır,
gösterebilir misin? d doğrusuna ait olan daha kaç nokta var?
ancak doğrunun üzerinde
Verilenler dışında, daha hangi noktaların d doğrusuna ait olmadığını
yatmayan noktalar da vardır.
gösterebilir misin? d doğrusuna ait olmayan daha kaç nokta var?
d
Bunu, doğrunun ilk ve genel özelliği olarak hatırla.
C
F
E
D
A
G
B
Resimde verilmiş noktalardan hangilerinin
aynı doğru üzerinde yer aldıklarını incele.
4
B
a
D
b
C
E
A
Resime verilen noktaların kolinear (aynı çizgi
üzerinde yatan) olup olmadıklarını belirle:
a) A, P ve B;
d) M, S ve B;
b) M, S ve N;
e) A ve B;
c) A, P ve N;
f ) N, P, S, M.
5
Resimdeki A ve B harfleri aynı noktayı gösterirler.
p
A
6
q
B
Bu durumu şöyle yazıyoruz: A≡B, ve diyoruz
ki: “A ve B noktaları çakışmaktadır”
Resimdeki p ve q harfleri aynı doğruyu gösteriyorlar. p = q diye yazılıyor ve “p ile q doğruları
çakışmaktadır” denilir.
B
7
Resimdeki M ve N noktaları
üzerinden p doğrusu geçmektedir.
M ve N noktalarından geçecek başka
doğru çizebilir misin?
N
M
8
p
71
İncele ve hatırla!
Aynı doğrunun üzerinde yatan noktaların
kolinear oldukları söylenir.
Resimde A, C ve D noktaları kolineardır. B, C
ve E noktaları da kolineardır.
A, B ve D noktaları aynı doğru üzerinde yatmazlar ve bu durumda onlara, kolinear
değildirler denilir.
M
m
B
S
P
A
n
N
“İki nokta işaretle” veya “İki doğru verilmiştir”
dediğimiz zaman, o iki nokta ya da iki doğrunun f a r k l ı olduğunu anlarız.
Onları f a r k l ı harflerle gösteririz.
M ve N noktalarından sadece bir doğru geçebilir.
Bunu, doğrunun ikinci temel özelliği olarak
hatırla.
Hatırlamam gerekiyor! İkinci temel
özellikten, iki noktanın tek bir doğruyu
oluşturduklarını öğreniyoruz. Bu yüzden doğru, onun iki noktası ile
işaretlenebilir ve, “p doğrusu” denilecek yerde “MN doğrusu” olarak da
adlandırılabilir.
A ve B noktalarını göster ve o noktalar
ile oluşturulmuş p doğrusunu çiz.
Ardından p doğrusunun üzerinde yatmayan C noktasını da göster. O üç nokta ile kaç doğru oluşturulmuştur? O doğruları noktaların yardımı ile göster.
72
Resimleri incele ve istekler doğrultusunda düşün ve sonuç al.
9
a
b
A
N
M
c
Bir nokta üzerinden sonsuz doğrular geçebilir.
Görüyorsun ki M noktasından geçen üç, N noktasından geçen beş doğru çizilmiştir.
Çizimdeki A noktası gibi noktalara,
üzerinden geçen doğruların ortak noktası
denir.
M noktasından geçecek başka doğrular da çizebilir misin? Kaç tane olabilirler? Peki ya N noktasından?
10 P noktasını belirle. a, b ve с ile işaretlenmiş üç doğru çiz. P noktası bu üç doğrunun ortak noktası
olsun.
Bilmen gerekir!
Kendini yokla!
Nokta ve doğrunun karşılıklı ilişkisini
belirleyesin;
Doğrunun birinci ve ikinci genel özelliklerini
bilesin ve açıklayasın;
Üç veya fazla noktanın kolinear olup olmadıklarını ayırt edesin.
a ile işaretleyeceğin bir doğru çiz ve a doğrusu
üzerinde yatacak olan A, B, M ve P noktaları ile
a doğrusu üzerinde yatmayacak olan C, D, F ve
N noktalarını belirle.
A, B ve C ile işaretlendirilmiş, üç kolinear nokta
belirle.
M noktasını belirle ve o noktadan geçecek olan
a, b, с ve d doğrularını çiz. M noktasından geçebilecek kaç doğru çizebileceksin?
Ödevler
1.
a ve b doğrularını çiz ve her ikisinin üstünde
üçer nokta belirle.
2.
A, B ve C noktaları ile; a doğrusunun A ve B
noktalarından, b doğrusunun B ve C noktalarından ve с doğrusunun A ve C noktalarından geçeceği a, b ve с doğrularını çiz. a ve с
doğrularının ortak noktası hangisidir?
3.
Resimdeki noktalardan hangileri:
a) kolineardır b) kolinear değildir?
A
b
E
D
B
a
C
4.
p doğrusunda M, N ve P noktaları gösterilmiştir. p doğrusu daha nasıl adlandırılabilir?
5.
A, B, C ve D noktaları, aralarında kolinear
olan üç noktanın olmaması şeklinde
dizilmişlerdir. Bu noktalar kaç doğru oluşturabilirler? Bunu çizimle göster.
2
A
a
P
b
Resimdeki a ve b doğrularının ortak noktaları P’dir.
İki doğrunun birden fazla ortak noktası
olabilir mi? Neden?
1
73
İKİ DOĞRUNUN KARŞILIKLI POZİSYONLARI
Kısaca yaz:
а) a ve b doğruları M noktasında kesişiyorlar.
b) с ve d doğrularının kesişim noktası L noktasıdır.
c) m ve n doğrularının ortak noktaları S noktasıdır.
2
İki doğrunun en çok bir ortak noktası
olabilir.
Ortak noktası olan doğrular için, o noktada kesişiyorlar denir. Ortak noktalarına ise, o doğruların kesişme noktaları
denir.
Resimde a ve b noktaları kesişmektedirler ve kesişim noktaları P’dir.
Bunu kısaca şöyle yazıyoruz: a ∩ b= {Р}
Resime bağlı olarak doğru olanı belirle.
a) a ∩ b = {A}.
c) b ∩ c = {B}.
b) a ∩ c = {B}.
d) a ∩ c = {C}.
c C
a
b
A
B 3
İki doğrunun ortak noktaları olmayabilir de. Böyle doğrular resimdeki a ve b doğrularıdırlar.
a
b
Pratik olarak bu: “İstediğin kadar uzat, onlar
kesişmezler” demektir.
4
B
Ortak noktası olmayan iki doğruya
paralel doğrular denir. Resimdeki a ve
b doğruları paraleldir.
Bu, kısaca a‖b diye yazılır.
Resimdeki a, b ve с doğrularının karşılıklı
pozisyonları şunlardır:
a ve b paraleldir, yani a || b.
a ve c kesişiyorlar, yani a || c.
b ve c kesişiyorlar, yani b || c.
c
b
a
74
İki doğru
Ya kesişirler;
Ya da birbirine paraleldirler.
Tüm noktalarının ortak olduğu a ve b doğruları için, çakışıyorlar deriz.
a
b
İki doğru çakışınca, bu durum paralellikte özel durum olarak görülür ve bu yüzden her doğru
kendi kendine paraleldir denilir. Yani, a || a.
Bilmen gerekir!
Hangi iki doğru için kesişiyorlar
deriz;
Hangi iki doğru için birbirlerine paraleldir deriz;
Çakışan doğrulara birbirine paraleldir
denilir.
Kendini yokla!
a doğrusunu çiz ve P ∉ a noktasını göster. P noktası
üzerinden, a doğrusunu da kesen b doğrusunu geçir.
a, b ve с doğrularını çiz, onların ortak noktası olmasın.
Doğruları çizdiğin şekillerine/pozisyonlarına göre
işaretlerle göster.
a, b ve с doğrularını öyle çiz ki, a || b ve b ∩ с = {М} olsun.
Ödevler
1.
a, b ve c olarak işaretlendireceğin üç doğru
çiz ve onların bir ortak noktası olmasını
sağla.
4.
a || b olacak şekilde, a ve b doğrularını çiz.
5.
m doğrusunu çiz. Ardından n ve p doğrularını öyle çiz ki, n || m ve p || m olsun. n ve p
doğruları ne tür karşılıklı pozisyondadırlar?
2. Üç doğru АВ, ВС ve BD’nin ortak noktaları
var mı? O nokta hangisidir? Çizerek
göster.
3.
A, В ve С noktaları verilmiştir. Bu noktalar
kaç doğru belirlerler? Noktaların pozisyonuna bağlı olarak tüm mümkün durumları
incele.
3
75
İKİ NOKTA ARASINDAKİ MESAFE (UZAKLIK)
Resimi incele ve verilen
bilgileri dikkatle gözlemle.
A
Şimdiye kadar birçok defa; bir yerden başka
bir yere, bir cisimden başka bir cisime, bir
noktadan başka bir noktaya kadar olan uzaklıkları belirledin. Bu uzaklıkları santimetre
(cm), metre (m), kilometre (km) gibi birimlerle göstermiştin.
B
A
Örneğin, A ve B noktaları arasındaki mesafe
5 cm’dir, bu da kısaca AB = 5 cm diye yazılır.
Diğer bir örnek: Üsküp ile Köprülü şehirleri
arasındaki mesafe 55 cm’dir… vb.
Verilmiş C ve D noktaları arasındaki mesafeyi
milimetre ölçü birimi ile ölç ve kısaca nasıl
yazıldığını göster.
D
C
a
D
C
B
A
Bellirlenmiş bir A noktasının, B noktasına olan
mesafesi sıfırdan büyük veya sıfıra eşittir ve o
mesafeyi AV,ile işaretleriz. Demek ki,
AV ≥ 0.
AV sayısı, noktalar farklı olunca sıfırdan büyüktür. Noktaların çakıştıkları durumda ise, sıfıra
eşittir.
Resime göre:
AB = 4 cm; AB > 0;
BD = 3 cm; BD > 0;
BC = 0 cm, çünkü B ve C noktaları çakışmaktadırlar.
1
2
B
A
B
D
Herhangi iki nokta A ve B’de, A’nin B’ye olan
mesafesi B’nin A’ya olan mesafesine eşittir.
Yani, AB = BA.
N
Eğer CD = 28 cm, o zaman DC mesafesi ne kadardır?
4
d
Gözlemle!
MN ve NM mesafelerini belirle. Ardından da
onları karşılaştrıp, sembollerle göster.
M
3
C
Resime bağlı olarak, AB, BC ve CD
mesafelerini belirle.
C
Resimde kolinear olan A, B ve C noktaları verilmiştir. АВ,
AC ve СВ mesafelerini ölç. Sonra karşılaştır.
АВ’yi AC + СВ ile;
A
ВС’yi ВА + AC ile;
AC’yi АВ + ВС ile.
Şu sonuçlara vardım: AB < AC + CB;
BC < BA + AC ve AC < AB + BC.
Ne fark ettin?
B
76
5
Resimdeki M, N ve P noktaları kolineardir.
MP, MN, NP ve MP mesafelerini ölç ve
MN + NP ile karşılaştır.
M
N
P
Fark ettim ki:
Ne fark ettin?
MP = MN + NP.
Herhangi bir A, B ve C noktaları için A’dan C’ye olan
mesafe, A’dan B’ye ve B’den C’ye olan mesafelerin
toplamından daha küçük veya eşittir.Yani, AC ≤ AB + BC.
A ve B iki noktası arasındaki mesafe, şu özelliklere sahip AB sayısıdır:
1) AB ≥ 0; 2) AB = BA; 3) herhangi bir C noktası için geçerlidir: AC ≤ AB + BC.
Eğer üç nokta, M, N ve P için MP = MN + NP denklemi geçerli ise, o üç nokta aynı doğru üzerinde
yatmaktadır. Bu durumda, N noktası, M ve P noktaları arasında yatar denilir.
6
Aşağıda verilmiş durumlara bağlı olarak A, B ve C noktalarının aynı doğru üzerinde yatıp yatmadıklarına karar ver:
AC = 8 cm; AB = 5 cm; BC = 4 cm;
Bilmen gerekir!
İki nokta farklıysa, aralarındaki mesafe sıfırdan
büyüktür. Çakıştıkları durumlarda ise mesafe
sıfıra eşittir;
Herhangi bir А ve В noktalarında, AB = ВА
olduğunu;
Herhangi üç nokta A, В ve С için,
AC ≤ AB + BC olduğunu.
AC = 8 cm; AB = 25 mm; BC = 55 mm.
Kendini yokla!
Eğer; AC = 56 mm, AB = 3 cm ve BC = 26 mm
ise, A, B ve C noktaları aynı doğrunun üzerinde
mi yatıyorlar? Neden?
M, N ve P noktaları kolinear değildirler ve
MN = 3 cm ile NP = 5 cm’dir. MP 95 mm olabilir
mi?
Ödevler
1. A, B ve C noktaları kolineardir ve B, A ile C
noktalarının arasında yer alıyor. AC = 7 cm ve
BC = 42 mm olan bu durumda, A ile B noktaları arasındaki mesafeyi ölç.
4. A, B ve C noktaları aynı doğru üzerinde yatıyorlar. AB = 35 mm ve BC = 48 mm’dir. AC ne
kadardır?
2. KL = 3 cm, LM = 52 mm ve KM = 82 mm olan
durumda K, L ve M noktaları kolinear olabilirler mi?
3. m doğrusunu çiz ve üzerinde M, N, P ve S
doğrularını işaretle. İşaret ederken dikkat
etmen gerekenler; N noktası M ve P noktalarının arasında, M noktası ise N ve S noktalarının arasında yatmalıdır.
5. p doğrusundaki P noktası, M ve S noktalarının arasında yatıyor. MP, PS’den üç defa
daha küçüktür. MS ise 12 cm’dir. MP ve PS’yi
belirle.
4
77
YARI DOĞRU. DOĞRU PARÇASI. DOĞRU PARÇASININ UZUNLUĞU
a
A
O
Resimde a doğrusu ve onun üstünde
yatan O noktası verilmiştir.
Doğru, O noktası ile kaç bölüme
ayrılmıştır?
a
A B
O
C
D
Verilmiş noktalardan hangileri O noktasi
ile aynı tarafta yatar?
a doğrusuna, O noktasının aralarında yatacağı, iki nokta işaretle.
Çizimi incele, gözlemle
ve hatırla
p
O
V
A
p doğrusu O noktası ile ikiye bölünmüştür.
Bölümlerden hiçbiri O noktasını içermiyor.
O noktası için, iki bölümden herbirinin sınır
noktasıdır denir.
Doğrunun herbir bölümüi sınır noktası ile
beraber yarı doğru olarak adlandırılır.
Sınır noktasına, doğru parçasının başlangıç noktası denir.
Resimde yarı doğru çizilidir. Eğer O noktası başlangıç noktası, M ise
doğrudaki herhangi bir nokta ise, kısaca OM yarı doğrusu deriz.
M
N
O
1
а doğrusunu çizip üzerinde A ve B noktalarını göster. Bu şekilde kaç yarı doğru işaretlenir? Bu yarı
doğruların kısaltılmış yazılışını yaz.
2
Resimdeki M ve N noktalarının yardımı ile, m doğrusunun O
noktası ile bölünmüş olduğu yarı doğruları kısaltılmış olarak
yaz.
m
M
O
N
Gözlemle!
OM ile ON yarı doğruları bir doğru oluştururlar. Bu yarı doğrulara oluşturucu yarı doğrular
denilir.
3
M ve N noktalarını göster. Ardından M noktasının başlangıç noktası, N noktasının da üzerinde yatacağı bir yarı doğru çiz.
4
Resimde O noktasının başlangıç noktası olduğu kaç yarı doğru var? Onlardan hangileri oluşturucu
yarı doğrulardır?
m A
O
B
C
B
Doğru ve yarı doğru nokta kümeleridirler. Her noktalar kümesi, geometrik şekil olarak
adlandırılır.
78
a
p
6
M
P
P noktası hangi noktalar arasıda yatar?
p doğrusunda, M ve N noktaları arasında
yatan başka nokta var mıdır?
a) ve b) оlаrак resimlerindeki doğru parçaları
adlandır.
V
a)
A
b)
8
B
O
D
A
N
Resimde p doğrusu ve üzerinde M, P ve N
noktalarını görmekteyiz.
7
C
Resimdeki geometrik şekilleri adlandır.
5
S
M
X
M
M ve N noktaları ile onların arasında yatan tüm
noktaları kapsayan geometrik şekile doğru
parçası denir.
M ve N noktalarına ise MN doğru parçasının uç
noktaları denir.
b) resmindeki X noktası ve M ile N noktaları
arasında yatan diğer tüm noktalara, MN doğru
parçasının iç noktaları denir.
N
Resimdeki A ve B noktalarının arasındaki
mesafeyi ölç ve sonucu sembollerle göster.
M
A
N
B
Hatırlamam lazım! Bir doğru
parçası küçük harfle de
işaretlenebilir. Aynı harfle o
doğru parçasının uzunluğu da
gösterilir. Resimdeki MN doğru
parçası m ile gösterilmiştir ve
m = 5 cm.
m
N
MN doğru parçasının uç noktaları olan M ile N
noktaları arasındaki mesafeye, o doğru
parçasının uzunluğu denir ve MN ile işaretlenir.
MN = 5 cm
9
Resimde AB soğru parçası ve üzerinde yatan
D noktası verilmiştir.
Resimde AD = DB. Demek ki D noktası, uç
noktaları A ve B’den eşit uzaklıktadır. Bu nok-
A ve D ile D ve B noktaları arasındaki
mesafeyi ölç. Ne farkediyorsun?
taya, doğru parçasının orta noktası veya
ortası denir.
A
10
D
B
PS doğru parçasını çiz ve onun orta noktası O’yu belirle.
11
AB, CD, EF ve GH doğru parçalarının uzunluklarını ölç ve karşılaştır.
Verilen doğru parçalarından hangilerinin
uzunlukları eşittir?
A
79
Resimdeki doğru parçalarını karşılaştırmamızdan, şunlar ortaya çıkmıştır:
AB = EF ve CD = GH
B
C
Aynı uzunlukta olan iki doğru parçasına, eşit
veya uyumlu doğru parçaları denir.
D
F
E
G
H
12
Resimdeki AB doğru parçası ile eşit olacak
CD doğru parçasını çiz.
A
B
Bilmen gerekir!
Kendini yokla!
Yarı doğru çizesin ve işaretleyesin;
Yarı doğrunun ne olduğunu bilesin;
Doğru parçasının ne olduğunu açıklayasın;
Doğru parçası uzunluğun ne olduğunu
bilesin;
Hangi doğru parçalarına eşit veya
uyumludurlar denildiğini bilesin.
Resimde verilmiş noktalardan hangileri AB doğru
parçasına aittirler?
D
A
C
F
B
G
E
Önce AB doğru parçasını, ardından AB’ye eşit olacak CD doğrusunu çiz.
Ödevler
1. Yarı doğru nedir?
2. Kolinear olmayan üç nokta; O, A ve B noktalarını işaretle. Ardından da OA ve OB yarı
doğrularını çiz. OB yarı doğrunun oluşturucu
yarı doğrusu olacak OC yarı doğrusunu çiz.
3. p doğrusunu çiz ve M ile N noktalarını işaretle.
p doğrusunda, MN doğru parçasına ait olacak
P ve S ile aynı doğru parçasına ait olmayan K
ile L noktalarını göster.
4. AB doğru parçasının uzunluğu nedir?
5. Hangi iki doğru parçasına, uyumlu doğru
parçalarıdır deriz?
6. Kolinear olmayacak A, B ve C noktalarını
işaretle. Bu noktalardan kaç doğru parçası
belirdi? O doğru parçalarını adlandır.
7. Kolinear olacak E, F ve G noktalarını işaretle.
Bu noktalardan kaç doğru parçası belirdi? O
doğru parçalarını adlandır.
8. AB ve CD doğru parçaları uyumludurlar. Eğer
AB= 4 cm ise, CD doğru parçasının uzunluğu
ne kadardır?
5
80
DOĞRU PARÇALARININ TAŞINMASI
A
O
A
1 İstekler doğrultusunda ilerle ve verilen
bilgileri incele.
OM yarı doğrusunu çiz ve onun
üzerinde OA = 1 cm ve OB = 3 cm olacak şekilde A ve B noktalarını belirle.
1
M
Resimde OM yarı doğrusu verilmiş ve A
noktası işaretlenmiştir.
O ve A noktaları arasındaki mesafeyi ölç.
A dışında, OA1 = 1 cm olacak şekilde diğer A1
noktası var mıdır?
Eğer nsıfırdan büyük ise, OM yarıdoğrusunda
OM yarı doğrusunda, O noktasından A
noktası olduğu kadar uzak olan başka bir
nokta belirleyebilir misin?
O noktasından n uzaklığındabulunan tek A
noktası yatmaktadır. Yani, ОА = n.
Bunu yarı doğru noktalarının bir özelliği olarak
incele.
Yarı doğru noktalarının bu özelliği, cetvel ve pergel yardımıyla eşit doğru parçalarının çizilmesine
yardım eder.
Sadece cetvel veya pergel yardımıyla yapılan resime konstruksiyon (yapı) denir.
2
AB doğru parçasına eşit olan doğru
parçası yapılandır.
Çözüm:
A
B
O
M
S
Verilmiş çözümü incele ve verilmiş kılavuz
ve resimlere bağlı olarak çalış.
OS yarı doğrusunu çiz. (resim а).
O
Pergeli, açılımı AB doğru parçasına eşit olacak şekilde aç, yani
AB doğru parçasını “al”. (resim b)
Y
a)
Pergeli OS yarı doğrusunun başlangıcına bastır ve pergelin aynı
açılımı ile M noktasını belirle. (resim c).
AB ve OM doğru parçaları eşittir.
Bu işleme, verilmiş yarı doğruda doğru parçasının
grafiksel taşınması denir.
c)
b)
A
V
O
M
Y
3
MN doğru parçası ve OP yarı doğrusunu çiz. MN doğru parçasını, OP yarı doğrusuna taşı.
4
m(ya da KL) ve n (ya da MN) doğru parçaları OT
yarı doğrusuna taşınmıştır (sağdaki resimde gösterilmiştir) ve böylece: OP = KL ve PS = MN.
OS doğru parçasının uzunluğu ne kadardır?
m
n
K
L
5
OT yarı doğrusunu çiz (Resim a).
a doğru parçasını OT yarı doğrusuna taşı (Resim b).
a)
T
b
A
B
C
O
D
T
a
b)
O
P
a
c)
6
S
a
b doğru parçasını OT yarı doğrusuna taşı.
Başlangıç noktası S, bitiş noktası S olsun (Resim c).
OS doğru parçası, a ve b doğru parçalarının
grafik toplamını temsil eder ve a + b (Resim d)
olarak işaretlenir.
N
n
P
Resimdeki a ve b doğru parçalarının toplamını
grafik olarak belirle.
Verilen bilgiler doğrultusunda
çalış ve resimleri takip et
M
m
O
B
81
T
b
O
P
S
T
S
T
a+b
d)
Resimde KL ve MN doğru parçaları ile OT yarı
doğrusu verilmiştir. KL ve MN doğru parçaları OT
yarı doğrusundan taşınmışlardır.
Bu şekilde OT yarı doğrusunda OS doğru parçası
elde edilmiştir.OS doğru parçasının uzunluğu ne
kadardır?
O
m
K
L
n
M
N
m
7
m = KL ve n = MN doğru parçalarının farklarını
grafik şeklinde göster.
O
S
n
P
T
İstenilen işlemler doğrultusunda çalış
OT yarı doğrusunu çiz.
OT yarı doğrusun, ОР = n olacak şekilde KL = m doğru parçasını taşı.
MN = n doğru parçasını OT yarı doğrusuna taşı. Başlangıç noktası P, bitiş noktası O olsun. Bu şekilde
PS doğru parçasını elde edeceksin, ki PS = n olacaktır.
OS doğru parçası KL ve MN doğru parçalarının farkını gösterir. Yani, OS = m - n.
82
a = 62 mm ve b = 3 cm olacak doğru parçalarını çiz ve ardından, doğru parçalarını
a + b ve a - b olarak yapılandır.
8
Bilmen gerekir!
Kendini yokla!
Sıfırdan büyük her n sayısı için, OS yarı
doğrusunda O noktasından n mesafede olan
sadece bir nokta, A noktası yatar. Yani, ОА = n;
АВ = 48 mmdoğru parçası ve OS yarı doğrusunu
çiz. AB doğru parçasını OS yarı doğrusuna taşı.
Doğru parçasının yarı doğru üzerine nasıl
taşındığını bilesin;
a = 3 cm ve b = 2 cm olduğu durumda,
ОМ = a + 2b ve ON = 2a - b doğru parçalarını
yapılandır.
İki doğru parçasının toplam ve farkının grafik
olarak nasıl gösterildiğini bilesin.
Ödevler
1. OS yarı doğrusunu çizip A ve B noktalarını
göster. Çizdiğin yarı doğruda OA = 4 cm ve
AB = 2 cm olsun.
4. Doğru parçalarını yapılandır: 2a + b ve
a + 2b, eğer a= 25 mm ve b= 22 mm.
2. Hangi çizim için, konstrüksiyon (yapılandır-
5. Doğru parçalarını yapılandır: a - b ve
3. Doğru parçalarını yapılandır: ОМ = 2a ve
6. Doğru parçasını yapılandır: a + b - с, eğer
ma) deriz?
ON = Зa, eğer a = 3 cm.
a -2b, eğer a = 12 mm ve b = 2 cm.
a = 5 cm, b = 3 cm ve с = 4 cm.
Gözlemleme yoluyla becerini dene.
Saymakla dene.
1. a) resmindeki şekilde kaç kare vardır?
2. b) resmindeki şekilde kaç dikdörtgen vardır?
3. c) resmindeki şekilde kaç eşkenar üçgen vardır?
a)
b)
c)
6
83
KIRIK ÇİZGİ
A
Sadece uç noktaları ortak olan iki
doğru parçasına komşu doğru
parçaları denir.
A
B
A ve B noktaları AB doğru parçasının uç
noktalarıdır.
P
M
Resimdeki AB ve BC doğru parçalararının
ortak özellikleri nedir?
C
A
Resimden, AB ve BC
doğru parçalarının aynı
doğrunun üstünde yatB
madıklarını farkediyorsun.
N
Resimdeki MN ve NP doğru parçaları komşu doğru
parçalarıdırlar.
İstenilenleri cevapla.
Aşağıdaki resimlerde a) – e); farklı şekillerde birbirine bağlı olan AB, BC, CD ve DE doğru
parçaları verilmiştir.
a)
Resimlerden hangisinde, iki komşu doğru parçası
aynı doğru üzerinde yatarlar?
Resimlerden hangisinde, aynı doğru üzerinde
yatan komşu doğru parçaları yoktur?
A
B
C
D
E
C
b)
B
A
C
c)
C
E
d)
A
B
D
A
E
e)
C
B
D
D
B
A
E
Hatırlatma!
D
Eğer doğru parçalarının bağlanması sırasında, iki komşu doğru parçası aynı doğru üzerinde yatmıyorlarsa, elde edilecek geometrik şekile kırık çizgi denir.
Geometrik şekillerden b), d) ve e) kırık çizgidir, a) ve c) değildir. Neden?
1
Resimdeki şekillerden hangileri kırık çizgilerdir?
H
M
G
T
N
E
A
B
L
C
F
a)
b)
K
I
c)
P
R
S
d)
Resimde bir kırık çizgi verilmiştir. AB, BC ve CD doğru parçalarına,
kırık çizginin tarafları, onların uç noktalarına ise köşeler denir.
84
D
S
AB doğru parçası hangi, BD doğru parçası da hangi doğru
parçası ile komşudur?
Kırık çizginin komşu doğru parçalarına komşu taraflar denir.
Örneğin, resimdeki AB ve BC ile BC ve CD tarafları komşudur.
A
V
Resimdeki kırık çizgiye hangi taraflar komşu değildir?
D
Resimde kırık bir çizgi verilmiştir.
2
BC’nin komşu tarafları hangileridir?
CD’nin komşu olmayan tarafları hangileridir?
A
B
Resimi incele ve istenilenler
doğrultusunda çalış
D
a)
b)
S
E
V
D
Uç noktalarının çakıştığı kırık çizgiye
kapalıdır deriz.
S
E
A
V
S
A≡E
B
а) Resminden ABCDE kırık çizgisinin uç noktaları A ve E’nin çakışmadığını görebilirsin.
b) Resmindeki uç noktaları A ve E’nin A noktasında çakıştıklarını görebilirsin.
3
Üçgenin
kenarları,
kapalı kırık
çizgiyi oluştuV rurlar.
S
A
Resimdeki kırık çizgilerden hangilerinin kesişen komşu olmayan tarafları var?
Kırık çizgilerden hangileri kapalıdır ve hangilerinin kesişen komşu olmayan tarafları var?
a)
b)
c)
d)
e)
f)
85
Gözlemle!
a), b) ve c) kırık çizgilerin onları kesen komşu tarafları yoktur. Bu çizgilere basit kırık çizgi denir.
b) ve f ) kırık çizgileri kapalıdır ve onları kesen komşu olmayan tarafları yoktur.
Hatırlatma!
ABCD dörtgeninin tarafları poligonal hat ortaya çıkarırlar.
C
D
Kapalı, basit kırık çizgiye poligonal hattı denir.
A
C
4
Resimdeki kırık çizginin tarafların
uzunlukların toplamını hesapla.
Kırık çizginin tarafların uzunluklarının toplamına, kırık çizginin çevresi (perimetresi) denir ve
bu toplam L harfi ile işaretlenir.
45 m
m
2c
m
D
B
C
Resimdeki kırık çizginin çevresinin toplamı:
L = AB + BC + CD + DE
4
cm
E
A
32 mm
B
L = 32 + 40 + 45 + 20, Yani,
L= 137 mm.
5
Eğer KL = 8 cm, LM = 6 cm, MN = 5 cm, NP = 7 cm ve РК = 6 cm ise; KLMNP kırık çizgisinin çevre
toplamını hesapla.
Bilmen gerekir!
Kendini yokla!
Kapalı kırık çizginin ne olduğunu açıklayasın;
ABCDE kapalı kırık çizgisini çiz.
Kapalı basit kırık çizgi ya da poligonal hattının
ne olduğunu açıklayasın;
АВ = 5 cm, BC = 8 cm, CD = 6 cm, DE = 4 cmve
Kırık çizginin çevresinin ne olduğunu bilesin.
çevresini hesapla.
EA = 7 cm olan kapalı kırık çizgi ABCDE’nin
86
Ödevler
1. Dört nokta A, B, C ve D’yi öyle göster ki, aynı
doğru üzerinde yatan üç nokta olmasın.
A, В, С ve D köşeleri ile basit kapalı kırık
çizgi çiz.
2. Resimdeki kırık çizginin kaç köşesi ve kaç
4. Kırık çizginin çevresi nedir?
5. ABCD ile işaretlenecek olan bahçenin tel
örgüsünün çevresi L = 21m’dir. BC = 5 m,
CD = 720 cm ve DA = 630 cm ise, AB
tarafının uzunluğunu hesapla.
tarafı var. Köşe ve tarafları adlandır.
6. Resimde verilmiş kırık çizginin çevresini
D
hesapla.
C
E
D
35 mm
28 mm
E
C
A
B
25 mm
3 cm
3. Yedi köşeli basit kapalı kırık çizgi çiz.
A
4 cm
Bunu dene!
1. Kalem ucunu kağıttan kaldırmayarak a) kırık çizgi şeklini çiz.
2. Tek hamle ile, kalemi kağıttan kaldırmayarak ve çizilmiş çizginin üstünden tekrar
geçmeyerek b) şeklini (kapalı, kırık çizgi) çiz. Aynı şekilde c) şekli de çizilebilir mi?
a)
b)
c)
B
7
TEMEL VE TÜRETİLMİŞ KAVRAMLAR
Matematik dersini öğrenmekle şimdiye
kadar; sayı, iki sayının toplamı, doğru
parçası, daire, dikdörtgen alanı vb.
kavramlar hakkında bilgi kazandın.
Öğrendiğin başka kavramları da say.
1
A
87
Hatırlatma!
Sayı, iki sayının toplamı, doğru parçası, daire,
kırık çizgi vb. kavramlara matematiksel
kavramlar denir.
Aşağıda verilmiş ve daha önce öğrenmiş olduğun matematiksel kavramları incele ve hatırla.
nokta;
mesafe;
yarı doğru;
bölüm ortası;
doğru;
düzlem
doğru parçası;
kırık çizgi.
Kavramları hatırlamaya çalış!
а) A ve B ile onların aralarında yatan tüm noktaları içeren geometrik şekile doğru parçası denir.
b) Doğru parçasının uç noktalarından eşit şekilde uzaklıkta yer alan noktaya, doğru parçasının ortası
denir.
c) Birbirine bağlı doğru parçalarından ve iki komşu doğru parçasının aynı doğru üzerinde yatmadığı
geometrik şekile, kırık çizgi denir.
a) - c) tümcelerinde ne ifade edilmiştir?
a) tümcesi ile doğru parçasının ne olduğu belirtilmiş, daha doğrusu “Doğru parçası nedir?” sorusuna
cevap verilmiştir.
a) tümcesi için, doğru parçası kavramının tanımı olduğunu söyleriz.
b) tümcesi için, orta nokta kavramının tanımı olduğunu söyleriz.
c) tümcesi için, orta kırık çizgi tanımı olduğunu söyleriz.
2
Kolinear noktalar tanımı nasıldır?
Gözlemle!
Kırık çizgi tanımında komşu doğru parçaları ve doğru kavramları kullanılmıştır.
Doğru parçasının ortası tanımında nokta ve doğru kavramları kullanılmıştır.
Nokta ve doğru kavramlarını başka kavramlarla açıklamıyoruz. Onları açıklıyoruz.
88
Bazı kavramlar başlangıç olarak alınırlar ve onlar genel kavramlar olarak
adlandırılırlar.
Genel kavramlar için tanımlar yoktur.
Hatırlatma!
Geometrideki genel kavramlar olarak şu kavramlar alınır: nokta, doğru, düzlem ve mesafe.
Diğer tüm kavramlar için tanım yapılır ve onlara gerçekleşmiş - türetilmiş kavramlar denilir.
Örneğin, öğrendiğin geometrik kavramlardan türetilmiş kavramlar olan şunlardır: doğru parçası, orta
nokta, kırık çizgi, basit kırık çizgi, kırık çizgi çevresi vb.
3
Yarı doğrunun tanımını söyle.
Yarı doğru kavramının tanımını yaparken hangi genel kavramlar kullanılmaktadır?
Bilmen gerekir!
Kendini yokla!
Geometrideki genel kavramlar nokta, doğru ve
düzlemdir;
Kapalı kırık çizginin tanımını yaparken
hangi genel ve gerçekleşmiş kavramları
kullanmaktayız?
Genel kavramlar için tanım yapılmaz;
Gerçekleşmiş kavramlar için tanım yapılır;
Yarı doğru, doğru parçası, doğru parçasının ortası,
kırık çizgi gibi kavramlar gerçekleşmiş kavramlardır.
Ödevler
1. Geometrideki genel kavramları say.
3. Tanımlarını yap:
а) Doğru parçası uzunluğu;
b) Kırık çizgi çevresi.
2. Verilen kavramlardan hangileri gerçekleşmiş
kavramlardır: Nokta, doğru, doğru parçası,
yarı doğru, geometrik şekil ve mesafe?
4. Geometrik şekil kavramının tanımını yaparken
hangi kavramları kullanırız?
8
89
ÇEMBER VE DAİRE
Şimdiye kadar pergel yardımıyla birçok
defa çember çizmişsindir.
Çember çizmek için, pergel
iğnesini nereye batırman
gerektiğini ve pergeli ne kadar
açman gerektiğini bilmen
gerekir.
Gözlemledim! Çember, O noktasından eşit uzaklıkta olan tüm
noktaların kümesidir.
A
1
Resimdek çemberi verilmiş, çemberde A, В, С,
D, Е ve F noktaları gösterilmiştir. Resimi incele
ve istenilenleri yap.
Çemberde daha ne kadar
nokta işaretleyebilirsin?
E
D
F
C
Çemberdeki noktalar, O
noktasından ne uzaklıktadır?
A
O
B
Düzlemde seçilmiş bir noktadan eşit uzaklıkta olan diğer tüm noktaların kümesine çember
denir.
Seçilmiş noktaya çemberin merkezi denir ve en çok O ile işaretlenir.
2
O merkezli ve 25 mm’lik pergel açılımı ile bir çember çiz. Çemberde A, B ve C noktalarını göster ve
hepsini O merkezi ile birleştir.
C
Resimi incele ve soruları cevapla:
r
B
OA, OB ve ОС doğru parçalarının uç noktaları nerede yatıyorlar?
O
Bu doğru parçaların uzunluklarına göre kendi araları nasıllar?
A
OA, OB ve ОС doğru parçaları çemberin merkezini noktalar ile bağlıyor ve
aralarında eşittirler.
Merkezi çemberin herhangi bir noktası ile bağlayan her doğru parçasına çemberin yarıçapı denir.
Onun uzunluğuna da çemberin yarıçapı denir.
Yarıçap, r harfi ile işaretlenir.
D
3
Resimde k çemberi ve OA, OB, ОС ve OD doğru parçaları verilmiştir.
A
Verilen doğru parçalarından hangisi çemberin yarıçapıdır?
OC doğru parçası, neden çemberin yarıçapı değildir?
C
O
B
k
90
4
O merkezli ve r = 2 cm yarıçaplı çember çiz.
O merkezli ve 2 cm yarıçaplı kaç çember çizebilirsin?
Verilmiş merkez ve verilmiş yarıçap ile sadece bir çember çizebilirsin.
Bir çember, merkezi ve çember yarıçapı verilmiş olduğu zaman, tamamen bellidir.
O merkezli ve r yarıçaplı çemberkile işaretlenir. (О; r).
k çemberini çiz. (О; 2 cm).
5
B 6
D
k
Resimdek çemberi (О; r) ve A, В, С ve D noktaları verilmiştir.
A
O
C
B
Resmi incele ve soruları cevapla.
k çemberinin düzlemi kaç bölüme bölünmüştür?
В ve D noktaları k çemberinin dışında olduklarını söyleyebiliriz. A ve C noktaları düzlemin hangi
bölümüne aittirler?
k çemberi düzlemi iki bölüme ayırır – iç (iç bölüm) ve dış (dış bölüm).
Bir çember ve onun iç kısmından oluşan geometrik şekile daire denir.
k çemberinin merkezi ve yarıçapına, dairenin merkez ve yarıçapı denilir. O merkezli ve r yarıçaplı
daireyi К(О; r) ile işaretleriz.
К dairesini çiz (О; 22 mm).
7
C
8
D
Resimde k çemberi verilmiş, üzerinde A, B, C ve D noktaları ve AB ile CD doğru parçaları işaretlenmiştir.
Resmi incele ve sorulan soruları cevapla.
AB ve CD doğru parçalarının uç noktaları nerede yatar?
Veirlen doğru parçalarından hangileri O merkezinden geçer?
AB doğru parçası kaç yarıçapa eşittir?
C
A
d
B
O
k
Uç noktaları çembere dahil olan doğru parçalarına, çemberin kirişi denir. AB doğru parçası, merkezden geçen kiriştir.
Merkezden geçen kirişe, çemberin çapı denir. Çember çapı genellikle, d ile işaretlenir ve d = 2r.
9
91
k çemberini çiz (О; 25 cm). Çemberin çapını hesapla.
10 k çemberini çiz (О; r) ve üzerinde A ve B noktalrını
A
işaretle.
A ve B noktaları ile çember kaç bölüme ayrılmıştır?
B
O
k
C
Hatırlatma!
A ve B noktaları ile çember iki bölüme ayrılmıştır. O bölümlerden herbiri A ve B noktaları ile birlikte
daire arkı olarak adlandırılır ve eğer o daha küçüğü ise, AB işe işaretlenir.
Daha büyüğü ise üç harfle gösterilir, yani АСВ.
Çemberin kirişi çember çapını temsil etsin. Elde ettiğin her daire arkı, daire çapını temsil eder. Elde
edilen her daire arkına, yarım daire denir.
11 k çemberini çiz (О; r), kirişini АВ ve çapını CD ile işaretle.
A, B, C ve D noktalarından hangileri yarım daire oluştururlar?
Bilmen gerekir!
Kendini yokla!
Çemberin ne olduğunu açıklayasın;
Daire arkının ne olduğunu ve nasıl
işaretlendiğini bilesin;
Çember merkezi ve çember
yarıçapının ne olduğunu;
Çemberin ne ile gösterildiğini;
Çember kirişinin ne olduğunu ve
hangi kirişlerin çap olduğunu açıklayasın;
Resimde verilmiş noktalardan hangisi:
а) k çemberine dahildirler?
b) K dairesine dahildirler?
c) Çember yarıçapının uç noktaları hangileridir?
E
B
d = 32 mm çaplı çemberin
yarıçapı ne kadardır?
D
k
A
O
Hangi geometrik şeklin daire olarak
adlandırılır.
C
Ödevler
4.
k (0; 25 mm)çemberini çiz ve üzerinde AB
daire arkı işaretle. Kirişi АВ = 3 cm olsun.
1.
k çemberini çiz (О; 2 cm).O merkezi, çember noktası mıdır?
2.
Çember yarıçapı nedir?
5.
r = 28 mm yarıçaplı çemberin çapını hesapla.
3.
d= 4 cm çaplık çemberini çiz, kirişi
АВ = 3 cm olsun.
6.
d = 5 cm çaplı çemberinin yarıçapını belirle.
92
9
ÇEMBER VE NOKTANIN KARŞILIKLI POZİSYONLARI.
ÇEMBER VE DOĞRUNUN KARŞILIKLI POZİSYONLARI
A
B
k
A
F
B
r
O
E
C
D
a
E
H
A
D
O
C
G
G
k çemberinde birkaç nokta işaretlenmiştir,
bunun yanında çemberde yatmayan noktalar
da işaretlenmiştir.
İşaretlenmiş noktalardan hangileri k çemberinde yatmaktadırlar?
İşaretlenmiş noktalardan hangileri k çemberinin iç bölgesinde yatmaktadırlar?
İşaretlenmiş noktalardan hangileri k çemberinin dış bölgesinde yatmaktadırlar?
k çemberinin ve a doğrusunun ortak noktaları hangileridir?
F
1
Resimdek çemberi (О; r) ve A, В, С, D, Е, F
ve G noktaları verilmiştir.
Ölçme ve karşılaştırma ile verilen iddiaların doğru olduklarını belirle:
a) OA = r ve OD = r;
b) OB = r ve OE = r;
c) OC = r ve OF = r.
Gözlemle!
A ve D noktaları çemberde yatmaktadır.
Onların O merkezine mesafeleri, r ‘ye eşittir.
B ve E noktaları k çemberinin iç bölgesinde yatmaktadır. Onlara iç nokta adı verilmektedir. Onların O
merkezine mesafesi r’den daha küçüktür.
C, F ve G noktaları k çemberinin dış bölgesinde yatmaktadırlar. Onlara dış nokta ismi verilmektedir.
Onların O merkezine mesafesi, r’den daha büyüktür.
2
Eğer; AO = 3 cm, BO = 35 mm, CO = 4 cm, DO = 3 cm 5 mm, EO = 2 cm 8 mm ise, A, B, C, D ve E
noktalarından hangisi k (О, 35 mm) çemberinde yatmaktadır?
3
Eğer; ОК = 30 mm, OL = 28 mm, ОМ = 3 cm 2 mm, ON = 38 mm, OP = 2 cm 6 mm ise, K, L, M, N ve P
noktalarından hangisi k (О, 3 cm) çemberinin iç ve hangisi dış noktalarıdır?
B 4
b
Resimde k çemberi ve a, b ve с noktaları verilmiştir.
S
a doğrusu ile k çemberi arasında kaç ortak nokta vardır?
k
Doğrulardan hangisinin k çemberi ile sadece bir ortak
noktası vardır?
Doğrulardan hangisinin k çemberi ile ortak noktası yoktur?
O
a
c
V
A
93
a doğrusu ve k çemberinin iki ortak noktası vardır. a doğrusuna, k çemberinin geçişidir deriz.
b doğrusu ve k çemberinin sadece bir ortak noktası vardır. b doğrusuna, k çemberinin değmesidir
deriz.
с doğrusu ve k çemberinin hiçbir ortak noktası yoktur.
5
k çemberini çiz ve üzerinde P noktasını işaretle. k çemberine P noktasından değen t doğrusunu çiz.
Bilmen gerekir!
Kendini yokla!
Bir çemberde veya dışında yatan noktaları
belirleyesin;
Verilmiş çemberdeki bir nokta, ne zaman geçiş
noktasıdır;
Verilmiş çemberdeki bir nokta, ne zaman
değme noktasıdır.
Eğer OA = r ise, A noktası ve k çemberi ne tür
karşılıklı pozisyonundadırlar?
Eğer m noktası çemberin merkezinden geçiyorsa, m doğrusu ve k (O, r) çemberi ne tür
karşılıklı pozisyonundadırlar?
Ödevler
1.
2.
Eğer OA = 25 mm, OB = 30 mm, OC = 4 cm
ve OD = 2 cm ise, A, B, C ve D noktalarından
hangileri k çemberinin(О; 3 cm) iç noktalarıdır?
5.
Doğru ve çember ne tür karşılıklı pozisyonlarda olabilirler?
6.
Resimdeki doğrulardan hangisi k çemberinin değen noktasıdır.
a
Nokta ve çember ne tür karşılıklı pozisyonlarda olabilirler?
b
c
O
3.
k çemberini(О; 8 mm)ve çemberi kesen a
noktasını çiz.
7.
4.
Çember değmesi nedir?
k çemberini çiz ve A noktasını göster. Çembere A noktasından değecek olana, t
değmesini çiz.
10
94
İKİ ÇEMBERİN KARŞILIKLI POZİSYONLARI
A
C
A
D
r1
r
k
1
O
k1
Resimde k1(O1; r1) ve k2(O2; r2) çemberleri verilmiştir.
Resimi incele ve sorulara cevap ver.
k1ve k2 çemberlerinin ortak noktaları
var mı?
O1
B
Resimde k (0; r) ve k1(O1; r1) çemberleri verilmiştir.
k1
k1 çemberinin merkez ve yarıçapını
adlandır.
Verilmiş noktalardan hangileri k ve
k1çemberlerine aittir?
r1
O2
O1
O noktası k (0; r) çemberinin merkezidir, OD
doğru çapı ise o çemberin yarı çapıdır.
k2
r2
Gözlemle!
k1ve k2 çemberlerinin ortak noktaları yoktur.
Bir çember, diğer çemberin dış bölgesinde yer alıyor.
Hatırlatma!
k1ve k2 çemberlerinin, O1 ve O2 merkezleri arasındaki O1O2 mesafesi merkezi mesafe olarak
adlandırılır ve с ile işaretlenir; с = O1O2.
2
k1ve k2 çemberlerini incele ve soruları cevapla.
k1ve k2 çemberlerinin ortak noktaları var mı?
k2 çemberi k1 çemberinin hangi bölgesinde yatıyor?
k1
k2
r1
r2
O1
Gözlemle!
k1 ve k2 çemberlerinin ortak noktaları yoktur.
Bir çember diğer çemberin iç bölgesindedir.
3
Resimde k1(O1; r1) ve k2(O2; r2) çemberleri verilmiştir. Resmi inceleyip soruları
cevapla.
k1 ve k2 çemberlerinin ortak özellikleri nedir?
k1 ve k2 çemberlerinin ortak noktaları var mı?
k1
r1
k2
r2
O1
O2
95
k1ve k2 çemberlerinin ortak merkezi var, ancak ortak noktaları yoktur. Onları
eşmerkezli çemberler diye adlandırırız.
4
Yarıçapları k1 = 3 cm ve k2 = 2 cm olan, iki eşmerkezli çember k1ve k2‘yi çiz.
B
5
Resimde, k1(O1; r1)ve k2(O2; r2) çemberleri verilmiştir.
r1
Çizimi incele ve soruları cevapla:
r2
M
O1
O2
k1 ve k2 çemberlerinin ortak özellikleri nedir
k1 ve k2 çemberlerinin sadece bir ortak noktası vardır.
k1 ve k2 çemberleri dışardan birbirine değinirler deriz.
Dışardan birbirine değen, k1(O1; r1) ve k1(O2; r2) çemberlerini çiz.
6
Resimdeki k1(O1; r1) ve k1(O2; r2) çemberlerini incele ve
soruları cevapla.
7
r1
k1
c
k1 ve k2 çemberlerini ortak özellikleri nedir?
O1
r2
O2
k2
k1 ve k2 çemberlerinin sadece bir ortak noktası vardır. k1 ve k2 çemberlerini içten değdikleri söylenir.
C
8
Resimi incele ve işlem doğrultusunda çalış.
O1O2 = 4 cm doğru parçasını çiz.
k1(O1; 25 mm) ve k2(O1; 22 mm) çemberlerini çiz.
k1ve k2çemberlerinin ortak noktalarını A ve B ile işaretle.
r1 = O1А ve r2= O2А yarıçaplarını çiz.
A
O1
O2
V
R
Gözlemle ve incele!
96
k1 ve k2 çemberlerinin iki ortak noktası A ve B var, daha doğrusu çemberler kesişiyorlar.
9
Kesişen k1 ve k2 çemberlerini çiz.
Kendini yokla!
Bilmen gerekir!
İki çember, ne tür karşılıklı pozisyonlarda
bulunabilirler;
Resimde tanıyasın:
İki çemberin ortak noktaları olmayınca;
İki çemberin hangi durumda birbirine
değdiklerini belirleyesin.
İki çemberin hangi durumlarda birbirini
kestiklerini belirleyesin.
İki çember hem eşmerkezli olup, hem kesişebilirler mi?
r1 ve r2 yarıçaplı iki çember dışardan birbirine
değiyorlar. Onların merkezi mesafesi neye
eşittir?
Ödevler
1.
k1(O1, 18 mm) ve k2 (O2; 22 mm) olmak
üzere, ortak noktaları olmayan iki çember
çiz. Mümkün müdür?
2.
3.
4.
Eşmerkezli iki çember, k1(O1, 2 cm) ve k2(O2;
15 mm) çiz.
Dışarıdan birbirine değecek olan k1(O1, r1)
ve k2 (O2; r2) olmak üzere iki çember çiz.
5.
İçeriden birbirine değecek olan k1(O1,25
mm) ve k1(O2; 15 mm) olmak üzere iki çember çiz.
O1ve O2 birbirineuyarsa, k1(O1,3 cm) ve k2
(O2;2 mm) olan iki çemberin ne tür karşılıklı
pozisyonları vardır?
6.
k1(O1, 3 cm) ve k1(O2; 18 mm) çemberleri
içeriden birbirine değiyor. Onların merkezleri arasındaki mesafeyi hesapla.
11
97
YARI DÜZLEM. AÇI
A
Resimde p doğrusu ve üstünde yatmayan A, B, C, D, E ve F noktaları verilmiştir.
1
Aşağıda verilmiş resimde hangi noktalar p
doğrusu üzerinde yatar, hangileri yatmaz?
M
p
T
Q
A
p
N
p doğrusu ve MN doğru parçasının karşılıklı
durumları nasıldır?
Q noktası, p doğrusu ve MN doğru parçası
için neyi ifade eder?
F
B
C
E
D
AB doğru parçasının p doğrusuyla ortak noktaları var mıdır?
p doğrusu ve EF doğru parçasının karşılıklı
durumları nasıldır?
AB doğru parçasının p doğrusu ile ortak noktalarının olmadığını ve EF doğru parçasının p doğrusunu
kestiğini gözlemle.
A ve B noktalarının p noktası ile aynı tarafta yattıklarını, E ve F noktalarının ise p noktası ile farklıtaraflarda yattıklarını söyleriz.
C ve D noktalarının neden p doğrusuyla aynı tarafta, B ve D noktaları ise p doğrusu ile farklı taraflarda
yattıklarını açıkla.
p doğrusu ile aynı ya da farklı tarafta yatan başka noktalar var mı?
Fark edebiliyorum ki, p doğrusunun aynı tarafında sonsuz sayıda noktaları vardır.
Hatırlatma!
Verilmiş p doğrusu ile aynı tarafta olan düzlem noktalarının kümesi ve o doğrunun
tüm noktaları, yarıdüzlem olarak adlandırılır. p doğrusunun yarı doğrunun kenarı ya
da sınır doğrusu denir.
p
Resimdeki p doğrusundan biri renklendirilmiş olan iki yarı doğru oluşturulmuştur.
2 Resimde gösterilmiş noktalardan S noktası ile aynı yarı
düzlem üzerinde bulunur?
M
p
S
K
P
N
T
L
98
B
Y
3
Resimdeki gibi OX ve OY yarı doğrularını
çiz.
II
I
OX ve OY yarı doğrularının ortak noktaları nelerdir?
Düzlem, yarı doğrular ile kaç bölüme ayrılıyor?
O
X
Ortak başlangıcı olan iki yarıdoğru, düzlemi iki bölüme ayırırlar.
Başlangıç noktaları ortak olan, iki yarı doğrunun oluşturduğu geometrik şekile açı
denir.
Y
Y
Resimde OX ve OY yarı doğrularından oluşmuş iki açı verilmiştir.
Bu açılardan her biri yarı doğrulardan ve doğrunun renklendirilmiş kısımlarından oluşur.
X
O
X
O
OX ve OY yarı doğrularına açı kenarları, O’ya ise açı köşesi denir.
si
lge
ö
iç b
ş
Y
X
O
Y
di
Düzlemin açı kenarları dışında açıya ait olan kısmına açının iç bölgesi
denir.
Açının iç bölgesi, dairesel yay ile işaretlenir.
Açının iç bölgesinde yer alan noktalara iç noktalar ismi verilir.
X
O
Gözlemle!
Açılar şu şekillerde gösterilebilir:
4
B
Açı köşesi bölgesinde büyük Latin harfinin önüne ∢ sembolü yazılır;
örneğin ∢O; СЛИКА
α
A
O
Açı alanı küçük Yunan harfi ile gösterilir;
α dışında: β (beta), γ (gama), δ (delta) vb. Yunan harfleri kullanılır;
Açı köşesini harfi ortada olmak üzere, Latin alfabesinden üç büyük harf ile de gösterilir; örneğin
∢AOB.
Resimde α açısı ve O, A, B, C, D, E noktaları verilmiştir.
Bu noktalardan hangileri α açısına aittir?
Bu noktalardan hangileri α açısının iç noktalarıdır?
5
bölgesi
D
E
C
α
O
B
A
S açı köşesine ve SP ile SR açı kenarlarına sahip olacak bir açı çiz ve dairesel yay ile işaretle. Çizdiğin
açıyı sembollerle nasıl gösterebilirsin?
6
S
Verilmiş açıların herbirini adlandır:
β
P
C
M
R
Resimde ∢MON açısı ve onun bölge noktaları A, B,
C, D ile ∢SQT ve onun bölge noktaları E, F, G, H verilmiştir.
7
99
2
N
D
C
A
AB doğru parçasının tüm noktaları ∢MON açısının alanında bulunur. BC, BD, AC nerede bulunur?
B
G F
Q
S
H E
M
O
T
EF doğru parçasının ∢SQT alanına ait olan ve ait olmayan noktaları vardır. EG, FH, HE doğru
parçalarının noktaları nereye aittir?
Bir açının bölgesindeki herhangi bir A ve B noktaları için AB doğru parçasının tüm noktaları o bölgeye dahilse, o açıya dışbükey açı deriz.
Resimdeki MON açısı dışbükeydir. SQT açısı ise değildir.
8
Dışbükey olan α ve dışbükey olmayan β olmak üzere, iki açı çiz.
Bilmen gerekir!
Kendini yokla!
Açı nedir;
Resimdeki şekillerden hangileri açıdır?
Resimdeki şekillerden hangileri dışbükey açıdır?
Açının iç bölgesi nedir;
V
Yarı doğru nedir;
Ödevler
S
O
1. Resimdeki noktalardan hangileri A nok-
A
C
B
A
R
R
M
L
3. Açı köşesi M ve açı kenarları MP ile MN olan
tasıyla aynı yarı düzlem üzerinde bulunur?
bir açı çiz. Açıyı adlandır.
4. Dışbükey olan α ve dışbükey olmayan β
olarak iki açı çiz.
H
a
K
T
Hangi açı dışbükeydir.
E
D F
2. Resimdeki açının, açı köşesi- C
ni ve açı kenarlarını adlandır.
Noktalardan hangileri açıya,
hangileri ise çevresine aittir?
5.
G
V
D
Resimdeki OA, OB ve OC yarıdoğruları ile
dairesel yaylarla kaç açı oluşturulmuştur?
Açıları adlandır.
E
O
A
V
S
O
A
12
100
AÇILARI KARŞILAŞTIRMA. AÇI ÇEŞİTLERİ
Açılar da doğrular gibi birbiriyle
karşılaştırılabilirler.
A
Resimde bir açı verilmiştir.
N
P
İstenilenlere bağlı olarak çalış, incele, hatırla
ve cevapla.
1
Şeffaf bir kağıda resimdeki gibi iki açı çiz
α = ∢AOB ve β = ∢CSD ve ardından onları
tara.
D
B
M
Açıyı adlandır.
Açının açı kenarlarını ve açı köşesini
adlandır.
β
α
O
S
A
C
Resimdeki gibi, taranmış açıyı diğer açının üzerine getir, örneğin α açısı β
açısının üzerine gelsin, ancak O köşesi S köşesiyle, OA açı kenarı da SC açı
kenarı ile eşleşsin.
D
α
O≡S
OB kenarı hangi alanda bulunur?
OB kenarı (α açısının) β açısının bölgesinde yatıyor.
B
β
A C
Gözlemle!
α ve β birbiri üzerine yerleştirildiğinde, α = ∢AOB ile β = ∢CSD açısındaki OB açı kenarının pozisyonu için üç olasılık vardır:
1) OB kenarı OD kenarı ile
çakışırsa,
- bu durumda α ve β açıları
birbirlerine eşittir.
2) OB kenarı β açısının iç bölgesinde bulunuyorsa,
- bu durumda α açısı, β
açısından daha küçüktür.
D
D
3) OB kenarı β bölgesinde
bulunuyorsa
- bu durumda α açısı, β
açısından daha büyüktür.
B
B
D
B
α
O≡S
B
2
β
A C
α
O≡S
β
β
O≡S
A C
α
A C
Resimdeki AOB açısını incele, düşün ve yanıtla.
A
AOB açısının açı kenarları neyi gösteriyor?
O
B
101
Kenarları bir doğru şeklinde olan açıya, doğru açı denir.
Herhangi iki doğru açı, birbirine eşittir.
3
MON doğru açısını çiz, yay ile işaretle ve çevresinde A,B,C,D noktalarını belirle.
AB, AC, BC ve BD doğru parçalarından hangisi tamamen∢MON çevresinde yatar?
∢MON dış bükey açımıdır?
4
C
İstenilenler doğrultusunda çalış, gözlemle, hatırla ve cevapla.
Şeffaf bir kağıda AOB doğru açısını çiz.
Açı köşesi O’nun bulunduğu yerden kağıdı öyle ikiye katla ki, OA
ve OB açı köşeleri birbirleriyle eşleşsin. Ondan sonra kağıdı aç.
A
O
B
Katlanan çizginin doğru açıyı iki eşit parçaya ayırdığını fark edeceksin. O bölümlerden her biri
dik açıdır.
Doğru açıyı ortadan ikiye ayıran açıya, dik açı denir.
Resimdeki AOC açısı dik açıdır. Diğer dik açıyı yaz.
Üçgen cetvelindeki dik açıları incele.
5
Resmi incele ve istenilenler doğrultusunda hareket et.
V
OA yarı doğrusunu çiz.
Dik açının açı köşesini O noktasına öyle yerleştirki, dik açılı
cetvelin açı kenarlarından biri OA yarı doğrusu ile eşleşsin.
Üçgen cetvelin dik açısının, açı köşesinden OB yarı doğrusunu
çiz.
O
A
Bu şekilde AOB dik açısını çizdin.
6
7
γ
β
Dik açılı üçgen cetvelinin yardımı ile resimdeki hangi açının dik
açılı olduğunu ölç.
α
V
Resimde ki AOB ve MPN açılarını incele ve dik açı ile karşılaştır.
Verilen açılardan hangisi dik açıdan daha küçük ve hangisi daha
büyüktür?
α
O
A
N
102
Dik açıdan daha küçük olan açıya, dar açı denir.
β
Dik açıdan daha büyük olan, doğru açıdan ise daha
küçük olan açıya geniş açı denir.
8
Resimde hangi açının dar
hangisinin ise geniş açı olduğunu
belirle.Ondan sonra cetvelin dik
açısı ile verdiğin cevapların doğru
olup olmadığını kontrol et.
C
9
α
Resimdeki gibi B noktası OA yarı
doğrusuna ait ise, OA ve OB yarı
doğrularının karşılıklı pozisyonları
nasıldır?
A
O
V
β
M
γ
δ
Eşleşen yarı doğruların, iki açı oluşturması
kabul edilir.
Bir açı (eşleşen) yarı doğrulardan ve doğrunun kalan kısmı tam açı dan oluşmaktadır;
Diğer açı (eşleşen) yarı doğrulardan oluşur,
onun çevresi boş kümedir ve buna sıfır açı
denir.
OA ve OB yarı doğruları doğruyu iki bölüme
ayırıyor mu?
10
R
A
Resimde AOB tam açısı ve NPM sıfır açısı verilmiştir.
O
Tam açı dış bükey midir? Açıkla.
Bilmen gerekir!
V
N
P
M
Kendini yokla!
Açılardan hangileri:
Doğru açı?
Dik açı?
Dar açı?
Geniş açı?
Tam açı?
Sıfır açıdır?
Resimde hangi açıları tanıyabiliyorsun?
O açıları adlandır.
En küçükten başlayarak α, β, γ ve δ
açılarını büyüklüklerine göre sırala. Eğer
α doğru açı ise, β dik açı, γ dar açı ve δ
geniş açıdır.
B
C
O
Ödevler
1. Hangi açı doğru açıdır?
2. Dik açının yarısı hangi açıdır?
3. Saat ibreleri aşağıdaki durumlarda hangi
açıları oluştururlar?
a) saat 14;
b) saat 15;
c) saat 17;
d) saat 18 ise?
A
6. MON geniş açısını ve NOP dar
4. AOB dar açısını ve MPN geniş açısını çiz.
103
açısını çiz, öyle ki∢MOP doğru açı
olsun.
5. OA, OB ve OC yarı doğrularını öyle çiz ki,
∢AOB dik açı ve ∢BOC dar açı olsun. ∢AOC
ne tür açıdır?
13
KOMŞU, BÜTÜNLER VE TÜMLER AÇILAR
C
“Hatırlamaya çalış” bölümündeki resimde α ve
β açılarının ortak O köşesi ve ortak OB açı kenarı
vardır.
A
B
β
Köşeleri ve birer kenarı ortak olan iki açıdan her
birine komşu açılar denir.
α
O
A
Resimde α ve β açıları verilmiştir.
α ve β açılarının açı kenarlarını ve
köşelerini adlandır.
α ve β açılarının neleri ortaktır?
Resimdeki açılardan hangileri komşu açıdır? Açıkla.
1
H
B
D
A
O
C
a)
B
2
M
G
S
N
P
b)
F
E
c)
Resimdeki AC doğrusunda O noktası seçilmiş ve OB yarı doğrusu gösterilmiştir.
∢АОВ ve ∢ВОС açılarının neleri ortaktır?
V
Bu çift açılar nasıl adlandırılır?
OA ve OC kenarları hangi açıyı oluştururlar?
A
O
S
AOB ve BOC açılarının komşu açı olduklarını ve doğru açı oluşturduklarını farkedebilirsin.
Hatırlatma!
Doğru açı oluşturan iki komşu açıya bütünler açılar denir.
3
Önce MPN dar açısını, ardından da MPN açısıyla birlikte bütünler açı oluşturacak NPS açısını çiz?
NPS açısı ne tür açıdır?
4
α dik açısını çiz. Ardından da α açısıyla birlikte bütünler açı oluşturacak β açısını çiz. β açısı ne tür
açıdır?
104
C
Resimde AB ve BD doğruları O noktasında kesişiyor.
Bu şekilde α, β, γ ve δ açılarıoluşmuştur. OC ve OD
kenarları, α açısının OA ve OB kenarlarının devamıdır.
Bu şekildeki açılara tümler açılarıdenir.
B
C
γ
β
α
δ
A
O
D
Resimde β ve δ
açıları da tümler
açıdır.
AOB dar açısını ve MON açısını çiz. İki açının tümler açısı oluşturmasına dikkat et.
5
D
6
İki açının eğer açı köşeleri ortak, ikisinden birinin kenarı da
diğerinin açı köşesi üzerinden geçen kenarların devamı
ise, bu açılara tümler açılar denir.
Resimdeki gibi bir kağıdın üzerine tümler açıları çiz. Onları
dikkatle kes ve birbiri üzerine yerleştir. Bu açıları birbiri üzerine yerleştirdiğinde birbirlerine uygun olduklarını farkedeceksin. Bu yüzden tümler açıların birbirlerine uygun olduklarını söyleyebiliriz.
Resimde ∢AOD = ∢ВОС ve ∢АОВ = ∢COD
C
D
O
B
A
MPN dik açısını ve ona tümler açı olacak şekilde, SPR açısını çiz. MPS ve NPS açıları ne tür açılardır?
Bilmen gerekir!
Kendini yokla!
Komşu açıları tanıyabilme, onların ne
olduğunu açıklayasın;
Bütünler açıları tanıyabilme, onların
ne olduğunu açıklayasın;
Tümler açıları tanıyabilme, onların ne
olduğunu açıklayasın.
AOB ve BCD açıları, komşu açı olabilirler mi?
AOB ve BOC açıları, tümler açılardır. Eğer ∢АОВ dik açı
ise, ∢ВОС ne tür açıdır?
MPN açısı geniş açıdır. ∢MPN tümler açısı hangi türdendir?
Ödevler
1.
Resimdeki komşu açıları
adlandır.
2.
Resimdeki açılardan hangisi
α açısının bütünler açısıdır?
Hangi diğer iki açı bütünler
açılarıdır?
D
α geniş açısını çizdikten sonra onun bütünler
açısı olan β açısını çiz. β açısı ne tür açıdır?
4.
Hangi iki açının tümler açı olduğunu söyleriz?
5.
Resimdeki tümler
açılarını belire.
B
C
Dikkat et! Dört çift
komşu açı vardır!
3.
O
β α
γ δ
A
1
4
5
8
7
6
3
2
14
A 1
Resimde merkezi O ve A ve B
kenarlarıyla k dairesi verilmiştir.
k
A ve B noktaları olan k çemberi kaç bölüme ayrılmıştır?
C
A
O
β
α
γ O
V
β
α
O
A
α açısının köşesi nerede bulunuyor?
Açı köşesi, verilen dairenin merkezinde bulunan açıya merkezi açı denilir.
AB doğru parçasını nasıl adlandırırz?
3
D
k
Daire arklarının küçüğü nasıl işaretlenir?
Resimdeki α, β ve γ
açılarından hangileri
merkezi açıdır? Neden γ
açısı, merkezi açı değildir?
Resimde merkezi O ve α; β açılarıyla k
dairesi verilmiştir.
V
Bölümlerin her birine ne denir?
2
105
MERKEZİ AÇI. AÇININ YAPISI.
Resimde α açısının kenarları k dairesini ve A ve B noktalarında
kesiyor.
α açısının kenarlarını belirleyen ve o
açıda bulunan daireselarkı yaz .
α açısının kenarlarını belirleyen ve o
açıda bulunmayan daireselarkı yaz .
α
C
Hatırlatma!
Verilen herbİr dairenin merkez açısı o açının üzerinde olan dairesel arkı belirler.
Açı ve ark için birbirlerine uygun olduklarını söyleriz.
4
Resimde merkezi O ve iki merkezi açısı birbirine uygun olan k dairesi verilmiştir.
α açısının O noktasının etrafında, β açısını tamamen örtene kadar saat
yönünde döndüğünü düşün.
A ve B noktaları nerede olacak?
AB arkı hangi arkla uygun olabilir?
V
k
AB arkının, CD arkı ile
uygun olduğunu farkedebiliyorum.
O
A
106
Eşit yarı çaplı, aynı veya farklı dairede bulunan uyumlu merkez açılar, dairesel yaylarla
eşleşirler.
Aynı şekilde bunun tersinin de geçerli olduğunu farkedebilirsin.
Eşit yarı çaplı, aynı veya farklı dairede bulunan uyumlu dairesel yaylar, uyumlu merkez açılarıyla
eşleşirler.
5
Resimde ki α ve β merkez açıları birbiriyle uyumludur.
AB ve CD eşlenmiş yaylar nasıldır?
АВ kirişi α açısına aittir, CD kirişi ise β açısına aittir.
Kirişlerin uygun (eşit) olduklarının sonucuna nasıl varabiliriz?
α açısının O noktasının etrafında hareket ederse β açısı ile eşleceğini düşünüyorum. AB
ve CD kirişleri uyumludur, yani eşittirler.
Genel olarak geçerli!
Eşit yarı çaplı, aynı veya farklı dairede bulunan uyumlu merkez açılar uyumlu kirişlerle eşleşirler.
6
k1 ve k2 dairesinde bulunan ve eşit yarı çapları olan AB ve CD kirişleri, eşittirler.
α merkez açısı, β merkez açısı ile uyumlu mudur?
α açısının doğru açıdan daha küçük, β açısının ise daha
büyük olduğunu farket.
Gözlemle
Kirişlerderden ikisi veya hiçbiri uyumlu açılara ait değilerse; eşit yarı çaplı, aynı veya farklı dairede
bulunan uyumlu kirişler, uyumlu merkez açılarıyla eşleşirler.
7
Resimde eşit yarı çaplı k1 ve k2 dairleri verilmiştir.
Her dairede kirişler işaret edilmiştir:
АВ = 2 cm, CD = 24 mm, KL = 24 mmve
MN = 2 cm. Verilen açılardan hangileri birbirine eşittir? Neden?
B
k1
A
C
L
k2
α
δ
β
M
γ
D
K
N
Dairede bulunan eşit yarı çaplı, uyumlu merkez açılarının eşit dairesel yaylarla (daha
doğrusu kirişlerle) uyumlu olduğunu biliyorsun. Onu, verilen açıya pergel ve cetvel
kullanarak eşit açı oluşturmak için kullanabilirsin. Nasıl yapılır? Sıradaki ödeve bak.
B
8
α = ∢KOL açısı verilmiştir. (res. a)
α açısına eşit açı çiz.
107
L
a)
α
Yöntemi adım adım takip et
K
O
PT yarı doğrusunu çiz (res. b)
b)
Pergelin c) resmindeki aynı açılımı ile P merkezi noktalı çember
bölümünü çiz. (res. d)
Pergeli aç ve c) resmindeki AB mesafesini al.
P
Çember açılımı ile, a) örneğinde verilmiş açıya, O noktası ile OK ve OL
kenarlarınıkesecek olan çember bölümünü çiz. Böylece ∢АОВ’ye eşit
olacak AB kirişini eldeedeceksin. (res. c)
L
B
c)
α
O
A
K
M
T
N
Pergel iğnesini M noktasına batır, diğer tarafı ile res. d’de daha önce
çizilmiş olan arkı kes. Böylece N noktasını elde edeceksin.
d)
N noktasından geçen PS yarıdoğrusunu çizdikten sonra (res. e)
P
∢ТРЅ = α elde edeceksin.
9
T
S
N
α geniş açısını çizdikten sonra, ona eşit olacak β açısını
oluştur.
e)
Bilmen gerekir!
Hangi açının, merkezi açı olduğunu açıklayasın;
Eşit merkezi açılar ve uyumlu dairesel yaylar
arasındaki ilişkiyi anlayasın;
Eşit merkezli açıların eşit kirişlerle uyduklarını
bilesin.
P
M
T
Kendini yokla!
N
A
Resimde ki k dairesinde
AB = MN ve AB > CD.
Verilen açılardan hangileri
birbirine eşittir?
O
M
B
C
D
Ödevler
1. Hangi açıya merkezi açı deriz?
2. k (O; 3 cm) dairesini çiz ve onun kirişlerinden
biri АВ = 35 mm olsun. AB kirişinin üzerinde
bulunduğu α merkezi açısını çiz.
3. α dar açısını çizdikten sonra, ona eşit olacak
β açısını oluştur.
4. AOB dik açısını çizdikten sonra, ona eşit olacak MPN açısını çiz.
15
108
AÇILARDA GRAFİKSEL TOPLAMA VE ÇIKARMA
A 1
Verilen α açısına eşit β açısını nasıl yapılandırırsın?
α ve β açıları verilmiştir. Onların grafiksel toplamını belirle.
Resimde α açısı ve OA yarı doğrusu verilmiştir.
α
O
α
β
Resmi incele ve istenilenler doğrultusunda çalış.
C
B
A
α açısına eşit olacak AOB açısını oluştur.
β
O
OA yarı doğrusunu ve α ve β açılarını çiz.
Pergelin aynı açılımı ile α ve β açılarına ve OA
yarı doğrusuna dairesel yay çiz.
α açısına eşit olacak, AOB açısını oluştur.
β açısına eşit olacak, BOC açısını oluştur.
α ve β açıları ile hangi işlemi gerçekleştirdiniz?
АОС açısı neye eşittir? Onu işaret ile göster.
2
B
α
A
Bundan önceki aktivitelerden açıların nasıl toplandığını öğrenmiştin.
Yazılı yöntem ile α ve β açılarına eşit olan AOC
açısını elde ediyoruz, yani ∢АОС = α + β.
Bu yönteme açıların grafiksel toplamı ya da
açıları toplama işlemi denir.
α dar açısını ve β dik açısını çizdikten sonra, onların grafiksel toplamını belirle.
3
α ve β açıları verilmiştir. Onların grafiksel farklarını belirle.
Resmi incele ve yönteme göre çalış.
R
N
α
β
O
M
Geniş açı α, dar açı β ve OM yarı doğrusunu çiz.
Pergelin aynı açılımı ile α ve β açılarına ile OM yarı doğrusuna dairesel ark çiz.
α açısına eşit olacak MON açısını oluştur.
β açısına eşit olacak NOP açısını öyle oluştur ki, açı kenarı OP, MON açısının alanında olsun.
Bu şekilde MOP açısını elde ettin.
109
MOP açısı, α ve β açıları için nedir?
α ve β açıları için hangi işlemi gerçekleştirdin?
Yazılı yöntem ile ∢МОР = α – β’ yı elde ettik. Bu şekilde α ve β açılarının grafiksel çıkarma yöntemi,
yani açıları çıkarma işlemi gerçekleşti.
4
α dik açısını ve β dar açısını çizdikten sonra onların grafiksel farkını belirle.
Kendini yokla!
Bilmen gerekir!
İki açının:
Resimleri incele ve işaret ile yaz:
B
C
toplamını;
ve farkını belirleyesin.
AOC açısı, AOB ve BOC açıları için
ne ifade eder?
O
A
AOB açısı, AOС ve COB açıları için ne ifade eder?
Ödevler
1. α ve β dar açılarını çiz ve onların toplamını
4. α geniş açısını ve β dar açısını çizdikten sonra,
2. α açısını çiz ve 2α(2 α = α + α) açısını oluş-
5. α geniş açısını ve β düz açısını çizdikten sonra,
3. α , β ve γ açılarını çizdikten sonra α + β + γ
6. β açısı α açısından daha küçük olacak şekilde,
onların farkını oluştur.
oluştur.
onların farkını oluştur.
tur.
α ve β dar açılarını çiz, ondan sonra 2α – β
açısını oluştur.
açısını oluştur.
Dene!
Resimde kaç açı vardır?
C
Hangi açılar komşu açılardır?
B
О noktası AE doğrsunun üzerinde
bulunur.
Hangi çiftler bütünler açıdır?
D
A
O
E
110
16
AÇILARIN ÖLÇÜLMESİ. İLETKİ
A
Doğru parçasının uzunluğu hangi ölçek aleti
ile ölçülür?
A
1
V
Açılar da karşılaştırılabilir ve ölçülebilirler.
Resimdeki AB, BC ve CD
yayları birbirine uyumludur.
α, β ve γ açıları arasındaki
ilişki nasıldır?
Üç tane uzunluk ölçü birimi say.
2
β açısı ve α açısından daha büyük olacak β
açısını çiz.
AOD açısı aralarında uyumlu olan α, β ve γ
açılarının toplamıdır. AOD açısı α açısını kaç kez
içerir?
Uyumlu yayları birbirine eşit olan iki merkezi
açının arasındaki ilişki nasıldır?
Şöyle de denilenilir: AOD açısının α açısı 3’tür.
Resimdeki AB, BC, CD, DE ve EF yayları uyumludur. a) AOF; b) AOC açılarının, α açısı açısından ölçü sayısı kaçtır?
3
Resimdeki AOB doğru açısını ve yarı daireyi uyumlu yayı gözlemle.
Yarı dairenin 180 bölüme ayrılmış olduğunu fark et.
Yarı dairedeki 180 bölümün birine uygun olan doğru açının, hangi bölümü merkez açısına uygundur?
Doğru açının 180-ci bölümü olan açı, açı ölçümünde temel birim olarak kullanılır.
Onun büyüklüğüne açı derecesi ya da kısaca sadece derece denir. 1° ile işaretlenir; “bir derece”
olarak okunur.
Doğru açıyı 180 bölüme ayırırsak
1°’lik açı elde edildiğini farkettim.
4
Doğru açı kaç derecedir?
Dik açı kaç derecedir??
B
Açıları ölçtüğümüz alete iletki deriz.
111
Resimde iletki gösterilmiştir.
İletki ince metal, karton veya plastikten yapılabilir.
0
Onun 180 kısıma ayrılmış yarı dairesel şekli vardır ve her
bölüm bir dereceyi gösterir.
O çizelgede 0’dan 180’e kadar sayılar gösterilmiştir, yarı dairenin merkezi O ile gösterilir.
5
S
BAC açısının ölçülmesi gösterilmiş olan resimi incele ve
cevapla:
İletkinin O noktası nereye yerleştirilmiştir?
BAC açısının AB kenarı nerde yatıyor?
A
∢ВАС’nin kaç derece olduğunu iletkide oku.
6
0
V
Resimdeki her açının kaç derecesi vardır?
K
S
A
V
N
M
0
0
a)
7
b)
İletki ile ∢MPN = 105° açısını çiz.
R
M
noktası P olan PM yarı
Başlangıç
doğrusunu çiz.
O noktasını PM yarı
İletkinin
doğrusunun başlanıç noktası P ile
N
eşleştir.
P
İletkide 105°’i gösteren noktayı N
ile işaret et.
PN doğrusunu çiz.
M
0
R
Bu şekilde iletki yardımı ile ∢MPN = 105° çizdin.
M
112
C
8
İletkinin yardımıyla şu açıları çiz:
a) 48o;
b) 115o;
Açıyı ölçmekte kullanılan dereceden daha küçük ölçü birimine açı dakikası ya da kısaca
dakika (1’ ile işaret edilir) ve açı saniyesi ya da kısaca saniye denir(1" ile işaret edilir). Bir
derecede altmış dakika, bir dakikada ise altmış saniye vardır.
1o = 60’; 1’ = 60’’; 1o = 60 ⋅ 60’’ = 3 600’’.
Eğer verilen α açısı 25 derece, 38 dakika ve 42 saniye iseşu şekilde yazılır:
α = 25o 28’ 42’’.
Dakikaya dönüştür:
9
a) 5°;
b) 12° 45';
c) 45° 15'.
a) 5o = 5 ⋅ 60’ = 300’.
10
Saniyeye çevir: a) 4°;
b) 10° 15 ';
c) 20° 20' 20".
Bilmen gerekir!
Kendini yokla!
Açı büyüklüğünü ölçen temel ölçü biriminin ne olduğunu;
Dereceden küçük olan ölçü birimlerinin
hangileri olduğunu;
Açı derecesinin ne olduğunu;
1°de kaç dakika var olduğunu;
1' da kaç saniyenin var olduğunu.
90° olan açı hangi türdendir?
124° olan açı hangi türdendir?
Dakikaya dönüştür: 35° 17'.
Saniyeye dönüştür: 15° 2' 13".
Ödevler
1.
Resimdeki ВОС, BOD, COD, BOM ve MON
açıların her biri kaç derecedir?
2.
Resimdeki α ve β açılarını ölç.
M
D
C
B
N
O
α
β
3.
а) 47°; b)126° açı çiz.
4.
Dakikaya dönüştür:
a) 25o;
b) 30o 15’.
5.
En küçüğünden başlayarak açıları büyüklüğüne göre sırala: α = 71o 35’;
β = 62o 58’ 30’’; γ = 96o 45’;
δ = 84o 35’ 40’’.
17
113
AÇILARLA CEBİRSEL (ARiTMETİK) İŞLEMLER
A 1
Açıları ölçmekte kullanılan ana ölçü birimi,
derecedir.
Açıların toplamını hesapla:
α = 85o 36’ 25’’ ve β = 32o 12’ 20’’.
Hesaplama şeklini gözlemle:
Dereceden daha küçük ölçü birimleri dakika
ve saniyedir.
1. Saniyeleri topla: 25’’ + 20’’ = 45’’
2. Dakikaları topla: 36’ + 12’ = 48’
1o = 60’; 1’ = 60’’; 1o = 3 600’’.
Dereceye dönüştür:
a) 120';
b) 180';
Derece ve dakikaya dönüştür:
a) 86';
b) 145'.
3. Dereceleri topla: 85o + 32o = 117o
85o
36’ 25’’
32o
12’ 20’’
117o
48’ 45’’
+
2
Açıların toplamını hesapla: α = 48o 32’ 15’’ ve β = 60o 8’ 20’’.
3
Açıların farkını hesapla: α = 78o 38’ 42’’ ve β = 26o 15’ 18’’.
α + β = 117o 48’ 45’’.
Hesaplama şeklini incele:
1. Saniyeleri çıkar: 42’’ - 18’’ = 24’’
78o
38’ 42’’
2. Dakikaları çıkar: 38’ - 15’ = 23’
26o
15’ 18’’
52o
23’ 24’’
-
3. Dereceleri çıkar: 78o - 26o = 52o
4
5
α - β = 52o 23’ 24’’.
Hesaplama şeklini gözlemle:
1. 30’’ + 50’’ = 80’’ = 1’ + 20’’
84o
36’ 30’’
2. 36’ + 42’ + 1’ = 79’ = 1o + 19’
35o
42’ 50’’
120o
19’ 20’’
3. 84o + 35o + 1o = 120o
6
+
α + β = 120o 19’ 20’’.
114
B
7
Hesaplama işlemini incele:
1. 18’’ < 35’’. Od 25’ ten 1' i çıkartıyoruz; 1’ = 60’’; 18’’ + 60’’ = 78’’; 78’’ - 35’’ = 43’’
2. 24’ < 36’. Od 90o den1° i çıkartıyoruz; 1o = 60’; 24’ + 60’ = 84’; 84’ - 36’ = 48’
3. 89o - 28o = 61o
-
90o
25’ 18’’
28o
36’ 35’’
61o
48’ 43’’
α - β = 61o 48’ 43’’.
8
9
Açıların farkını hesapla: α = 88o 24’ ve β = 25o 38’ 40’’.
Hesaplama işlemini incele:
1. 1’ = 60’’; 60’’ − 40’’ = 20’’
88o
24’
2. 1o =60’; 83’ − 38’ = 45’
25o
38’ 40’’
62o
45’ 20’’
3. 87o - 25o = 62o
10
Farkları hesapla:
a) 90o - 35o 42’;
-
α - β = 62o 45’ 20’’.
b) 180o - 65o 25’ 35’’.
DAHA FAZLA BİLMEK İSTEYENLER İÇİN
1
Eğer α = 28° 32' 24” ise, 4α’yı hesapla.
Hesaplama işlemini incele.
1. 4 ⋅ 24’’ = 96’’ = 1’ + 36’’
2. 4 ⋅ 32’ + 1’ = 128’ + 1’ = 129’ = 2o + 9’
3. 4 ⋅ 28o + 2o = 112o + 2o = 114o
2
Eğer α = 20° 18' 28” ise, 5α’yı hesapla.
4 ⋅ 28o 32’ 24’’ = 114o
4α = 114o 9’ 36’’.
9’
36’’
3
Eğer α= 76° 32' 42" ise, α : 6’yı hesapla.
115
Hesaplama işlemini incele.
76o 32’ 42’’ : 6 = 12o 45’ 27’’
- 72o
4o 32’ = 272’
- 270’
2’ 42’’ = 162’’
- 162’’
0
4
4o 32’ = 4 ⋅ 60’ + 32’ = 272’
2’ 42’’ = 2 ⋅ 60’’ + 42’’ = 162’’
Hangi açı α = 75° 34' 20" açısından 4 defa daha küçüktür?
Bilmen gerekir!
Kendini yokla!
Açıların toplamını hesaplarken; önce saniyeleri, ardından
dakikaları ve dereceleri hesaplarız;
Saniyelerin, daha doğrusu dakikaların toplamı 60’dan daha
büyük ise açıları toplayasın;
Eğer α = 68° 45' 22" ve
β = 30° 25' 48" ise, α +β ve
α – β hesapla.
Açıların farkını hesaplarken; önce saniyeleri, ardından dakikaları ve
dereceleri hesaplarız.
Dakika veya saniyelerde eksilen çıkandan daha küçük olunca
açıların farkını hesaplayasın.
Ödevler
1. Eğer α= 88° 26'32" ve β = 25° 10'20" ise,
α + β ve α – β hesapla.
2. Eğer α = 76° 32' 42" ve β = 40° 38' 50" ise,
α + β ve α – β hesapla.
3. α açısı ile toplamı 90° olan β açısını hesapla,
eğer α:
а) α = 36° 40'; b) α = 42° 42' 42"
4. α açısı ile toplamı 180° olan β açısını hesapla,
eğer α:
а) α = 78° 30'; b) α = 65° 35' 25"
Dene!
Resimde 19° ‘lik açı verilmiştir.
19o
İletki kullanmadan, sadece cetvel ve pergel kullanarak 1°‘lik açı nasıl çizilir?
18
116
KARŞILIKLI DOĞRULAR.
NOKTA İLE DOĞRU ARASINDAKİ MESAFE
a
b
A
1
Resimde m ve n dik açıları verilmiştir.
Resimi incele ve soruları cevapla:
n
R
β α
Resimdeki a ve b doğrular kesişiyor.
Onların bir ortak noktası vardır. O nokta
hangisidir?
m
m ve n doğrularının karşılıklı pozisyonu nasıldır?
α ve β açıları ne tür açı oluştururlar?
Hatırlatma!
Kesişen ve doğru açılar oluşturan iki doğru için
karşılıklı doğrular denir. Sembolik olarak: m ⊥ n
olarak işaret edilir.
Eğer α dik açı ise, β açısı hangi türdendir?
Hatırlamalıyım! m ve n doğruları kesişiyor ve doğru açı
oluşturuyor. Onlar karşılıklı
doğrulardır.
p doğrusu çiz ve onun üzerinde olmayan A noktasını işaretle. A noktasından geçen ve p
doğrusuna dik olan ѕ noktasını çiz.
2
B
3
M
Resimde M noktasından p doğrusuna kadar en kısa
mesafeyi belirle.
Resmi incele ve arananları yap.
MA, MB, МС, MD ve ME doğrularının
mesafelerini ölç ve onları karşılaştır.
Verilen mesafelerden en küçüğü
hangisidir?
p ve MC doğrularının karşılıklı
pozisyonları nasıldır?
p
A
B
C
D
Hatırlamalıyım! En küçük mesafenin
MC olduğunu, onun p doğrusuna
normal olan doğru parçasının uzunluğunu olduğunun sonucuna varabiliyorum.
Hatırlatma!
M noktasından p doğrusuna kadar olan mesafe en kısa mesafe olarak biliniyor.
M noktasından doğruya kadar olan mesafeyi,M noktasından p doğrusuna doğru çizilmiş birbirine
açıile ölçüyoruz.
Birbirine dik olan ve p doğrusunu kesen S noktası olduğunda, M noktasından p doğrusuna olan
mesafe MC doğru parçasının uzunluğudur.
E
4
5
A
Resimde A noktasından a doğrusuna kadar olan mesafeyi belirle resmi
incele ve arananları yap.
Dik açılı üçgen cetvelini kullanarak: A noktasından geçen ve a
doğrusuna dik olan b doğrusunu çiz.
117
a
A
b
a ve b doğrularından B kesişme noktasını belirle.
AB doğru parçasının uzunluğu A noktasından a doğrusuna
kadardır. Bu durumda AB = 27 mm.
a)
a
V
R
Resimdeki doğru parçalarından hangisi P noktası ile a
doğrusu arasında mesafedir?
P noktasından a doğrusuna kadar olan mesafeyi ölç.
a
A
6
B
C
D
a doğrusunu çiz ve ona 3 cm mesafede olan A noktasını belirle.
Bilmen gerekir!
Kendini yokla!
Hangi iki doğrunun birbirlerine dik olduğu
söylenir;
Nokta ve doğru arasındaki mesafeyi
belirleyesin.
Bir köyden uzak yerde nehir akıyor. Köye en yakın olacak şekilde nehire
köprü kurulmalı.
Şu ana kadar öğrendiklerini göz önünde bulundurarak, nehirdeki
köprünün yerini belirle.
Ödevler
1. Nokta ve doğru arasındaki mesafe nedir?
4. p doğrusunu çizdikten sonra ona 2 cm
mesafede olan P noktasını belirle.
2. m doğrusunu çizdikten sonra M noktasını
göster.
M noktasından m doğrusuna olan mesafeyi
belirle.
3. Resimde A noktasından с doğrusuna kadar
olan mesafeyi belirle.
A
S
c
V
D
5. p doğrusunu çizdikten sonra aynı doğru
üzerinde M noktasını işaret et. M noktasından p doğrusuyla dik açılı olacak şekilde q
doğrusunu çiz.
19
118
DOĞRU PARÇA SİMETRİSİ. AÇI SİMETRİSİ
A
M
A
V
M noktası AB = 3 cm doğrusunun merkez
noktasıdır.
1
AB doğru parçası verilmiştir. Onun
merkez noktası O’dan AB doğru
parçasına dik olacak şekilde ѕ
doğrusunu çiz.
s
AM ve MB’yi belirle.
Resimdeki a ve b doğruları
birbirine diktir.
a açısı ne tür açıdır?
b
a
A
α
O
V
AB doğru parçasını çiz.
doğru parçasının merkez noktası
AB
O’yu belirle.
O noktasından AB doğru parçasına dik olacak şekilde ѕ
doğrusunu çiz.
ѕ doğrusu, AB doğru parçası hangi parçalara ayırır?
ѕ doğrusu ve AB doğru parçasının karşılıklı pozisyonları nasıldır?
AB doğru parçasını yarıdan ikiye ayıran ve ona dik olan ѕ
doğrusuna AB doğru parçasının simetrisi denir.
m
2
Resimdeki doğruların hangisi MN doğru parçasının simetrisidir?
R
M
3
B
n s
N
CD doğrusunu çizdikten sonra ona simetrik olan ѕ doğrusunu çiz.
4
B
Resimde ∢АОВ = 68° ve onun alanında OC yarı doğrusu
çizilmiştir, öyle ki ∢АОС = 34°.
C
Resimi incele ve soruları cevapla .
∢COB kaç derecedir ?
OC yarı doğrusu AOB açısını nasıl parçalara ayırıyor?
Şu sonuca vardım!OC yarı doğrusu AOB
açısını iki eşit parçaya ayırır.
∢AOB = 68o,
∢AOC = 34o dhe ∢COB = 34o.
O
Hatırlatma!
Bir açıyı, iki eşit açıya ayıran yarı doğruya
açının simetrisi denir.
A
5
B
Resimdeki OM, ON ve OP yarı doğrularından hangisinin
AOB açısının simetrisi olduğunu kontorl et.
119
P
N
6
M
56° olan açıyı çiz ve iletki yardımı ile onun
simetrisini belirle.
Bilmen gerekir!
O
A
Kendini yokla!
Doğru parçası ve açı simetrisinin ne olduğunu
açıklayasın;
Verilen doğru parçasına ve açıya simetri
çizesin.
Tam simetral!
Resimdeki gibi EF = 48 mm doğru parçasını
çizdikten sonra onun simetrisini çiz.
∢АОВ = 100°çizdikten sonra onun simetrisni
çiz.
Kaç simetri çizilebilir, verilen: doğru parçasına
ve
verilen doğru parçası
verilen açıya?
F
E
Ödevler
1. ѕ simetrisi AB = 5 cm doğru parçasını M
noktasında keser. AM’yi hesapla.
5. OP yarı doğrusu ∢MON = 84° simetrisidir.
∢МОР kaç derecedir?
2. ѕ simetrisi MN doğru parçasını P noktasında
keser, öyle ki MP = 35 mm, MN doğru
parçasının uzunluğunu hesapla.
6. OC yarı doğrusu ∢АОВ’nin simetrisidir.
∢АОС = 35° ise ∢АОВ’yi hesapla.
3. AB = 5 cm olan doğru parçasını çizdikten
sonra onun simetrisini çiz.
7. α = 76° çiz ve onun simetrisini çiz.
4
İki doğru parçasından AB ve BC kırık çizgisini
çiz. AB ve BC doğru parçalarının simetrilerini
çiz.
20
120
TÜMLER VE BÜTÜNLER AÇILAR
A 1
Resimde α = 40° ve β = 50° açıların
toplamı yapılandırılmıştır.
α = 40o
Hatırlatma!
β
α
β=
Toplamları 90° olan iki açıya tümler açılar denir.
50o
α ve β açılarının toplamı ne kadardır?
Dik açı kaç derecedir?
α + β kaç derecedir?
3
B
1 Çift açılardan hangisinin toplamı 90°’dir?
а) α= 35° ve β = 55°;
b) α= 26° ve β = 46°;
c) α= 48° ve β = 52°.
2
α ve β, aşağıdaki örneklere göre tümler açılar
mıdır?
а) α = 25° ve β = 65°;
b) α = 23° ve β = 77°;
c) α = 44° ve β = 46°?
Eğer α = 32° ise, onun tümler açısı olan β kaç derecedir?
4
α ve β açılarını ölç ve toplamlarını hesapla?
α
α ve β açılarının toplamı ne tür açıdır?
Düz açı kaç derecedir?
α ve β açılarının toplamı olan ∢АОВ kaç derecedir?
Farkettim ki! α ve β açılarının toplamı 180°’dir, yani onların toplamı düz açıdır.
β
S
β
A
α
O
V
Hatırlatma!
121
Toplamı 180°derece olan iki açıya bütünler açılar denir.
5
α ve β açılarından hangisi bütünler açıdır:
α = 65o ve β = 115o;
6
α = 108o ve β = 72o;
α = 125o ve β = 65o?
α = 75° ise, onun bütünler açısı olan β kaç derecedir?
Bilmen gerekir!
Kendini yokla!
Hangi iki açı, tümler açıdır?
Hangi iki açı, bütünler açıdır?
∢АОВ = 62° ise; α= 38°, β= 1180, γ = 28°
açılarından hangisi:
АОВ açısına tümler açıdır;
АОВ açısına bütünler açıdır?
Ödevler
1. Aşağıdaki durumlarda, α ve β açılarının tümler olup olmadığını kontrol et:
а) α = 48° ve β = 52°;
b) α = 32° ve β = 58°;
c) α = 66° ve β = 24°.
4. Aşağıdaki durumlarda, α ve β açılarının tümler
olup olmadığını kontrol et:
а) α = 105° ve β = 65°;
b) α = 128° ve β = 52°;
c) α = 46° ve β = 134°.
2. α = 39° açısının, tümler açısını hesapla.
5. α = 76° açısının bütünler açısını hesapla.
3. Dik açı çizdikten sonra onun tümler açısını
6. Geniş açı çizdikten sonra, onun bütünler
çiz.
açısını çiz.
21
122
ÇOKGEN
A
1
Resimde üç kırık çizgi verilmiştir.
Resimde KLMNP ve ABCDE kapalı kırık çizgileri verilmiştir. Resmi incele ve sorulara
cevap ver.
P
D
M
E
a)
b)
c)
C
L
K
a) daki kırık çizgi açık, b) ve c)’dekiler de
kapalıdırlar.
A
B
N
ABCDE kırık çizgisinin AB ve BC tarafları
komşudur. Onların ortak B köşeleri vardır.
KLMNP kırık çizgisinin kenarlarından hangisi KL
kenarını keser?
KL’yi kesen kenar onun komşu kenarı mıdır?
D
E
ABCDE kırık çizgisinde birbiriyle kesişen komşu
olmayan kenarlar var mıdır?
C
A
B
ABCDE kırık çizgisinin hangi tarafları AB
tarafı ile komşu değildirler?
Gerçekten ABCDE kırık çizgisinde birbirini
kesen komşu kenarlar yoktur.
Komşu tarafları olan basit kapalı kırık
çizgiye poligonal çizgidenir.
2
DEFGH poligonal çizgisini çiz.
D
B
3
E
Resimde ki ABCDEF poligonal çizgisini incele.
Poligonal çizgi düzlemi kaç parçaya ayırır?
C
F
Renklendilrilmiş bölgeye poligonal çizginin iç bölgesi ya da iç kısmı denir.
B
Poligonal çizgi ve onun iç kısmı bir
geometrik şekli oluştururlar.
A
Hatırlatma!
123
Bir poligonal çizgiden ve onun iç böglesinden oluşan geometrik şekile çokgen denir.
4
Resimdeki şekillerden hangisi çokgendir?
a)
5
b)
c)
Resimde ABCDE çokgen verilmiştir.
D
A, В,С, D ve Е noktaları çokgenin köşelerdir.
A ve B köşeleri aynı tarafta oldukları için komşu köşelerdir.
E
C
D köşesi ile hangi köşeler komşudur?
C köşesine hangi köşeler komşu değildir?
A
АВ, ВС, CD, DE ve ЕА doğru parçaları çokgenin kenarlarıdır.
B
ABCDE çokgeninin hangi kenarları için B ortak köşedir?
AB ve BC kenarlarının B ortak köşeleridir. Onlara komşu
kenarlar denir.
N
6
KLMNP çokgeninde MN kenarının komşuları hangi
kenarlardır?
P
M
7
8
KLMNP çokgeninde KL kenarına hangi kenarlar komşu
değildir?
KLMNP çokgenini gözlemle.
KLM açısı hangi yarı doğrulardan oluşmuştur?
KLMNP çokgeninin iç kısmında olan yarı doğrular, kaç açı oluşturuyor?
K
L
124
KLM, LMN, MNP, NPK ve PKL açıları çokgen açılarıdır.
9
ABCD çokgenini çiz ve onun açılarını α, β, γ ve δ ile göster.
Bilmen gerekir!
Kendini yokla!
Poligonal çizgi nedir;
Hangi geometrik şekline çokgen denilir;
Çokgenin açı, köşe ve kenarlarının ne
olduğunu;
Çokgenin hangi köşelerinin komşu hangilerin ise komşu olmadığını;
Çokgenin hangi kenarlarının komşu hangilerinin ise komşu olmadığını.
Resimdeki kırık çizgi
neden poligonal çizgi
değildir?
C
E
ABCDE kırık çizgisinde
hangi kenarlar CD’ye
komşu değildir?
B
A
D
Ödevler
1.
4. ABCDE çokgeninin
Kırık çizgilerden hangileri poligonal
çizgidir?
hangi köşeleri E
köşesine komşu
değildir?
D
E
C
A
B
5. KLMNP çokgeninin
a)
b)
hangi kenarları, MN
kenarına komşudur?
2. Resimdeki geometrik şekillerden
N
P
M
K
hangisi çokgendir?
L
Bahçıvana yardım et!
a)
b)
3. ABCD çokgenini çiz.
c)
Bir bahçıvan; 6 sırada, her sırada 4’er fidan
olmak üzere, toplam 12 fidan dikme görevi
almıştır.
Bahçıvan verilmiş görevini yerini getirebilecek
mi?
22
125
ÇOKGEN ÇEŞİTLERİ
A
1
Bir poligonal çizgiden ve onun iç böglesinden oluşan geometrik şekilene denir?
D, E ve G noktaları ABCD
çokgeninde yatar.
a) ve b) örneklerinde, iki çokgen ve
uç noktaları çokgene ait olan birkaç
doğru parçası verilmiştir.
Resimleri incele ve soruları cevapla.
Y
D
H
E
A
R
G
C
F
S
H
M
V
T
X
G
T
O
F
a)
B
ABCD çokgeninde belirtilmiş başka hangi
noktalar yatar?
ABCD çokgeninde hangi belirtilmiş noktalar yatmaz?
U
b)
FG, НТ ve XY doğru parçaların noktaları nerede
bulunur?
OR, ST ve UV doğru parçaların tüm noktaları
çokgenlerin üzerlerinde bulunur mu?
Gözlemle!
a) örneğindeki çokgende, uç noktaları çokgen üzerinde yatan doğru parçalarının tüm noktaları, çokgene ait noktalardır. Bu çokgenlere, dış bükey çokgenler denir.
b) örneğindeki çokgende, uç noktaları çokgen üzerinde yatan doğru parçalarının bazı noktaları çokgene ait değildirler. Bu çokgenlere dış bükey olmayan çokgen denir.
2
3
Resimdeki çokgenlerden
hangileri dış bükeydir?
a)
c)
d)
b)
Dış bükey olan ve dış bükey olmayan iki çokgen çiz.
D
Hatırlatma!
Resimdeki ABCDE çokgenini incele.
A, В,С, D ve Е noktaları çokgenin köşeleri, AB, BC, CD, DE
ve EA doğru parçaları da çokgenin kenarlardır.
ABC, BCD, CDE, DEA ve EAB açıları, çokgenin açılarıdır.
E
C
A
B
126
B
4
N
C
Resimdeki çokgenleri incele
ve soruları cevapla.
G
H
P
Çokgenlerin kaç açısı, köşesi ve kenarı vardır?
M
F
ABC çokgenine ne deriz?
A
B
K
E
L
Hatırlatma!
Evet, onun üç açısı vardır ve
ona üçgen denir.
Açılarının (köşelerin ya da kenarların) sayısına göre
çokgen:
üçgen – üç açılı (köşe ya da kenarlı) çokgen;
dörtgen – dört açılı (köşe ya da kenarlı) çokgen;
beşgen –beş açılı (köşe ya da kenarlı) çokgen.
5
Hangi çokgene altıgen denir?
b)
a)
6
Yedi kenarlı çokgen çiz. Bu tür çokgene ne
denir?
7
Resimdeki çokgenlerin türlerini belirle.
c)
İleride, çokgen dediğimizde iç bükey çokgen diye anlayacağız.
Bilmen gerekir!
D
Kendini yokla!
Hangi çokgenin dış bükey olduğunu;
Hangi çokgenin dış bükey olmadığını;
Resimdeki ABCD çokgeni
neden dış bükey değildir?
Çokgenlerin açı (köşe ya da kenar)
sayılarına göre nasıl ayrılıyor?
8 kenarı olan çokgene ne
denir?
C
A
B
Ödevler
1.
Hangi çokgene dış bükey çokgen denir?
2.
ABCDE beşgenini çiz.
B köşesine hangi köşeler komşudur?
BC kenarına hangi kenarlar komşu değildir.
3. Resimde verilmiş noktalardan
4. A, B, C, D ve E beş nokta belirledikten sonra
hangileri ABCD çokgenine aittir?
D
E
D
C
C
N
A
E
H
G
F
M
127
dış bükey olmayan ABCDE çokgeni çiz.
A
B
23
B
ÇOKGENİN ÇEVRESİ
Hatırlatma!
A
C
A 1
Resimdeki ABCD çokgeninin incele.
Çokgeni oluşturan poligonal çizgilerin
uzunluğu verilmiştir.
V
ABC üçgeninin çevresini hesapla.
Kenarı a = 5 cm olan karenin çevresini
hesapla.
C
4 cm
D
3 cm
2 cm
4 cm
A
B
ABCD poligonal çizginin çevresini hesapla.
Çokgeni oluşturan poligonal çizginin çevresine çokgenin çevresi denir ve L harfi ile işaret edilir.
Gözlemle!
Resimdeki ABCDE çokgenin çevresi: L = AB + BC + CD + DA;
L = 4 + 3 + 4 + 2 = 13 cm, yani. L = 13 cm’dir.
2
S
Eğer, АВ = 4 cm, ВС = 25 mm, CD = 3 cm, DE = 35 mm ve EA = 3 cm
ise, ABCDE çokgenin çevresini hesapla.
B
3
b
a
Eğer a = 28 mm, b = 32 mm ve с = 40 mm ise resimdeki
ABC üçgenin alanını hesapla.
A
c
V
128
4
Hatırla!
L = AB + BC + CA, yani L = a + b + c.
ABC üçgenin a kenarını hesapla, eğer:
a) L = 22 cm, b = 9 cm ve c = 6 cm;
b) L = 30 cm, b = 12 cm ve c = 8 cm;
Çözümü izle:
a) L = a + b + c; 22 = a + 9 + 6; 22 = a + 15,
a = 22 - 15; a = 7 cm.
Hangi üçgene ikizkenar üçgen
denir?
b) şıkkındaki ödevi çöz.
5
Tabanı AB = a = 4 cm ve kenarları AC = BC = b = 3 olan ikizkenar üçgenin alanını hesapla.
Çözümü gözlemle:
C
L = AB + BC + AC, P = a + b + c;
L = a + b + b, yani.
b
L = a + 2 ⋅ b; L = 4 + 2 ⋅ 3 = 4 + 6 = 10 cm, yani L = 10 cm.
6
Tabanı a = 8 cm ve kenarı b = 6 cm olan, ikizkenar üçgenin
alanını hesapla.
7
İkizkenar üçgenin tabanını hesapla, eğer:
а) çevresi L = 23 cm ve kenarı b= 7 cm;
b) çevresi L = 30 cm ve kenarı b= 9 cm ise.
a
A
B
c
а) şıkkının çözümünü incele!
L = a + b + b,
L=a+2⋅b
Hatırla
23 = a + 2 ⋅ 7; 23 = a + 14; a = 23 - 14; a = 9 cm;
F
8
ΔАВС eşkenar üçgeninin kenarı a = 5 cm`dir.
a
a
ΔABC üçgeninin çevresini hesapla.
D
a
E
Çözümü gözlemle:
129
Hatırla
L = AB + BC + CA, L = a + a + a,
L=3⋅a
L = 3 ⋅ 5; L = 15 cm.
Kenarı a = 8 cm olan eşkenar üçgenin çevresini hesapla.
9
Eşkenar üçgenin kenarını hesapla,
eğer:
a) L = 18;
b) L = 36cm.
Bilmen gerekir!
Çözümü izle:
L = 3 ⋅ a; 18 = 3 ⋅ a; a = 18 : 3; a = 6 cm.
Kendini yokla!
Çokgenin çevresinin ne olduğunu bilesin;
Çokgenin çevresini hesaplayasın;
Tabanı a = 4 cm ve kenarı b = 5 cm olan
ikizkenar üçgenin alanını hesapla.
Üçgenin çevresini hesaplayasın;
Çokgenin diğer kenarları ve çevresi verilmiş ise,
onun bir kenarını hesaplayasın.
Eğer L = 24 cm, b = 7cm ve с = 9 cm ise
ΔABC üçgeninin a kenarını hesapla.
Ödevler
1.
2.
3.
4.
Eğer: АВ = 3 cm, ВС = 34 mm, CD = 46 mm
ve DA = 5 cm ise, ABCD çokgeninin alanını
hesapla.
6. Eğer, a = 12 cm ve L = 32 cm ise. İkizkenar
Tabanı a = 12 cm ve çevresi L = 32 cm olan,
ΔABC üçgenin kenarını hesapla.
7. Kenarı a = 18 cm olan eşkenar üçgenin alanını
Eğer, L = 42 cm, b = 12 cm ve с = 9 cm ise,
ΔABC üçgeninin a kenarını hesapla.
8. Çevresi L = 27 cm olan eşkenar üçgenin
üçgenin kenarını hesapla.
hesapla.
kenarlarını hesapla.
Tabanı a = 8 cm ve kenarı b = 11 cm olan
ikizkenar üçgenin tabanını hesapla.
9. Bir beşgenin dört kenarının uzunlukları: 32
5. Bir ikizkenar üçgenin çevresi 34 cm’dir. Eğer
kenarı b = 12 cm ise, atabanını hesapla.
mm, 25 mm, 28 mm ve 35 mm, çevresi ise
L = 150 mm’dir. Beşinci kenarının uzunluğunu
hesapla.
24
130
DÜZLEM ÜZERİNDEKİ GEOMETRİK ŞEKİLLERİ ÖĞRENDİN.
ÖĞRENDİKLERİNİ KONTROL ET
p ve q doğrularını çiz ve p doğrusunda yatacak olan A, B ve C ile q doğrusunda yatacak olan C, D ve E noktalarını göster. ∈ ve ∉ işaretleri ile, o noktalardan hangilerinin p veya q doğrularına ait olup olmadıklarını göster.
1.
2.
АВ = 4 cm, BC = 76 mm ve СА= 36 mmolan
durumlarda, A, B ve C noktaları kolinear
Resimde ark ile
işaretlendirilmiş tüm
açıları adlandır. Aralarında
hangi açı çeşitlerine rastladın?
9.
10. Resimdeki gibi α = ∢АОВ
açısını çiz. Ardından AOB
açısı ile bütünler açısı olan β açısını
çiz.
midir?
3.
Doğru parçası nedir?
4.
Resimde gibi a ve b ile işaretlendireceğin
iki doğru parçası çiz.
a
11. α geniş açısını çiz, ardından da α açısı ile
eşit β açısını yapılandır.
b
12. Dar açı α ve dik açı β’yi çiz. Ardından α + β
Ardından da doğru parçasını yapılandır:
a) a + b;
b) a - b.
ve α + β açılarını yapılandır.
Resimdeki kırık çizgilerden hangilerinin
poligonal olduklarını belirle. Geriye kalanların da neden poligonal olmadıklarını açıkla.
5.
13. 90° 35' olan açının türü nedir? 90° 35'’i
dakikalara dönüştür.
14. α = 45°35' 45’’ açısı ile 90° toplam verecek
olan β açısını hesapla.
1
6.
2
3
4
5
k(О; 27 mm) çemberini çiz ve üzerinde kirişinin AB = 35 mm olacağı AB dairesel arkı
işaretle. Çemberin yarıçapı ne kadardır?
15. p doğrusunu çiz ve doğrudan 3 cm uzaklıkta M noktasını işaretle.
16. Doğru parçasının simetrisi nedir?
17. α = 105° 45' ve β = 75° 15' açılarının bütün-
Önce k1(O2, 30mm) çemberini, ardından da
k1 çemberine içerden değecek, merkezi
mesafelerinin de 10 mm olacağı, k2(O2, r2) çemberini çiz.
7.
8.
a) Açı nedir?
b) Açının iç bölgesi nedir?
ler olup olmadığını kontrol et.
18. Bir dörtgenin çevresi 64 m’dir. Onun üç
tarafının uzunlukları: 24 m, 13 m ve 14
m’dir. Dördüncü tarafın uzunluğu ne kadardır?
KONU 3.
KESİRLER. ONDALIK SAYILAR
9. Diyagram Türleri. Diyagram
1. Kesir. Kesirlerin Okunuşu ve
Yazılışı
2. Kesir Türleri
132
135
3. Kesirlerin Sayı Doğrusunda
Gösterilmesi. Kesirlerin Eşitliği
140
4. Ortak Paydalı Kesirlerde Toplama
ve Çıkarma
131
143
5. Kesirlerin Genişletilmesi ve
Seçimi
157
10. Ondalık Sayılarda Toplama
160
11. Ondalık Sayılarda Çıkarma
163
12. Ondalık Sayılarda Çarpma
166
13. Ondalık Sayılarda Bölme
170
14. Kesrin Ondalık Sayıya
Dönüştürülmesi
175
146
15. Ondalık Sayının Yuvarlanması
178
6. Ondalık Kesir. Ondalık Sayı
149
16. Örnek Seçimi. Analiz ve Sonuç
180
7. Ondalık Sayıların Özellikleri
153
17. Kesirleri, Ondalık Sayıları
Sadeleştirilmesi
8. Ondalık Sayıların Sayı
Okudun. Bildiklerini Yokla.
Doğrusunda Gösterilmesi. Ondalık
Sayıların Karşılaştırılması
155
182
1
132
KESİR. KESİRLERİN OKUNUŞU VE YAZILIŞI
Hatırla!
A 1
Resimde şekiller eşit alanlı bölümlere göre
ayrılmıştır.
2
Bir dükkânda sadece tam ekmekler
vardır. Eğeryarım ekmek almak
istersen satıcı nasıl davranacaktır?
Bir bütünde kaç tane yarım vardır?
Bir bütünde kaç tane üçte bir vardır?
3
Şekillerden her biri kaç eşit parçaya bölünmüştür?
Bir börekçide bir tam börek vardır. Eğer
çeyrek börek almak istersen satıcı nasıl
davranacaktır?
Satıcı böreği dört eşit parçaya
ayıracak.
Şekillerden her birinin bir bölümünü
adlandır.
Her şeklin boyanmış kısmını göster ve yaz.
Bir tam dört eşit parçaya ayrılmıştır yani,
1:4
ne kadar olduğu belirlenmiştir.
Farketmeye çalış!
Bölüm 1 : 4 doğal sayı değildir, çünkü 4’le çarpılan hiçbir doğal sayı 1 vermez.
Yine de bu bölümün dörte birine eşit olduğunu ve dörte birin de bir sayı olduğunu söylememiz
1
1 , yazdırdık yani, 1 : 4 = __
mantıklıdır. __
.
4
4
4
Üç çocuk iki çikolatayı eşit olarak nasıl böleceklerdir? Resmi incele.
Her çikolata kaç bölüme ayrılmıştır?
Her çocuk bir çikolatanın hangi bölümünü alacaktır?
Her çocuk kaç bölüm alacaktır?
Gözlemle
133
2
2
2 : 3 = __ ; __ okunuşu: iki bölü üç ya da üçte iki.
3
3
2
__
‘ün kesir olarak yazılmış sayı olduğunu söyleyebiliriz, ama doğal sayı değil.
3
5
1:2; 4 : 5 ve 11 : 15 bölümlerini kesir şeklinde yaz ve oku.
6
Aşağıdaki bölümlerden hangisi doğal sayı değildir?
a) 6 : 3; b) 1 : 3; c) 5 : 6; d) 8:4?
Hangi bölümde bölünen bölenle bölünebilirdir?
1 : 3 ve 5 : 6 bölümleri doğal sayılar değildir.
m : n bölümü doğal sayı değildir, eğer m’nin böleni n değilse.
m
m : n bölümü __ şeklinde yazıyoruz.
n
Böylece, doğal sayıların yansıra kesirler olarak adlandırılan başka sayılar da öğreneceksin.
Kesir iki doğal sayının bölümüdür.
B
7
Bütün, kaç bölüme ayrılmıştır?
Bütünün boyanmış kısmını kesir olarak yaz.
Kesrin yazılmış olduğu sayılara ne denir?
Kesrin yazılmış olduğu sayılar neyi gösteriyor?
Genel!
m
__
kesri m ve n doğal sayılarının bölümüdür. Okunuşu: m bölü n.
n
yazılmış olduğu sayılar şöyle adlandırılır: m - pay ve n - payda. Onlar, kesir çizgisi olarak
Kesrin
adlandırılan bir çizgiyle ayrılmışlardır. Bu çizgi bölme işaretinin yerine geçiyor.
m
__
n
Pay
kesir çizgisi
payda
n bütünün kaç eşit parçaya ayrılmış olduğunu gösteriyor. Pay m bu bölümlerin sayısını yani,
Payda
bütünden kaç tane öyle bölümün alındığını gösteriyor.
134
9
8
5 kesrinde pay neyi gösteriyor, payda neyi gösteriyot?
__
6
Bir bütünün sekiz 15. parçaları gösteren kesri yaz ve oku.
Bilmen gerekir!
Kendini yokla!
Bir kesrin ne ifade ettiğini göstermek;
Kesirleri okumak ve yazmak;
Bir kesirde payın ve paydanın ne ifade
ettiğini açıklamak.
5
Kare çiz ve karenin __ bölümünü karala.
8
5
__
kesrinde pay ve payda neyi gösteriyor ?
8
1m’nin hangi bölümü 1 cm’dir?
7 dl’yi l olarak yaz.
Ödevler
1. Bölümleri kesir şeklinde yaz ve oku.
7 : 9;
12 : 23;
4 : 121.
a
2. Üç kesir yaz ve oku __ , nerde ki,
a, b ∈ {7, 9, 28, 105}. b
3.
Aşağıdaki kesirlerin payı ve paydası neyi
gösteriyor?
5 12
38
__
; __ ; __ .
8 19 125
4
Kare çiz ve __ bölümünü karala.
9
4. Hangi kısımdır:
а) 1 m’nin 1 dm’si
b) 1 l’nin 1cl’si
5. Yazdır:
а) 3 cm’yi dm olarak;
b) 28 cm’yi m olarak;
c) 9 dl’yi l olarak;
d)15 g’ı kg olarak.
6. Yazdır:
1
3
a) __ m’yi cm olarak; b) __ m’yi dm olarak;
4
5
2
8
c) __ l’yi dl olarak;
d) __ kg’ı g olarak.
5
25
7. Bir sınıftaki 36 öğrenciden 21 tanesi pek
iyidir. Sınıftaki pek iyi öğrencilerin kısmını
kesir olarak göster.
8. Eşit 8 poşetin içinde toplam 5 kg şeker var.
Her poşette kaç kilogram şeker var?
c) 1 kg’ın 1 g’ı
d) 1 m2’ nin 1dm2’si
2
135
KESİR TÜRLERİ
A 1
Bir bütün yaz:
yarımlarda;
üçte birlerde;
yedide birlerde.
Gözlemle!
2
7
3
__
= 1, __ = 1, __ = 1.
2
7
3
n
Genelde, __
n kesir için eşit pay ve paydanın ve
n’nin doğal sayı olduğunda şu durum geçerlidir:
Bir bütünde kaç yarım vardır?
Bir bütünde kaç üçte bir vardır?
Kaç yarım var: iki bütünde, beş bütünde?
n
__
= n : n = 1, yani,
n
2
3
1 sayısını kesir olarak yaz:
payda 8;
pay 12 olsun!
2 : 1; 9 : 1 ve n : 1 bölümlerini hesapla (n doğal sayıdır) ve
kesir olarak göster.
Yaz:
n
__
= 1.
n
Eşit
2
9
n
__
= 2 : 1 = 2; __ = 9 : 1= 9; __ = n : 1 = n.
1
1
1
Her doğal sayı n, payı n ve paydası 1 olan kesirolarak gösterilebilir.
4
5
8 sayısını payı 8 olan kesir olarak yaz.
15 sayısını paydası 1 olan kesir olarak yaz.
Paydası üç olan iki tane bütün olarak yaz.
3
3
6
6 söyleyebilirlz.
Dikkatli oku: 2 = 1 + 1 = __ + __ = __ . kesrin 2 doğal sayısına eşit olduğunu __
3
3
3
3
Verilmiş paydayla doğal sayıların kesir olarak yazılma yöntemi daha büyük sayılar için pratik değildir.
Bir sonra daha kısa yöntemi gözlemle.
5 sayısını paydası 4 olan kesir olarak nasıl yazabilirsin?
5 tamda kaç tane çeyrek var?
5 tamda 4 • 5 çeyrek var, yani,
4⋅5
__ .
5 = ____ = 20
4
4
Herhangi bir doğal sayı m, paydası doğal sayı n olan kesir olarak yazılabilir.
136
m⋅n
m = ____
n
8 sayısını payda 5 ve 12 sayısını payda 7 ile ifade et.
6
Aşağıdakikesirlerden hangisinde payda payın bölenidir?
3
4
3 15 18 5 21
Bunlardan hangisi doğal sayıdır: __ ; __ ; __ ; __ ; __ ; __ ; __ ?
5
2
6
3
9 10 7
Hatırlatma!
a
Eğer ba’nın böleniyse , o zaman __ kesri doğal sayı oluşturur.
b
Doğal sayının gösterildiği kesire bayağı kesir denir.
Kesirlerden hangileri bayağı kesirdir:
1 ; __
4 ; __
6 ; __
5 ; __
3 ; 14
__
__; 25
__ ; 22
__ ; 31
__ ?
2 2 1 6
4 7
4 2
8
7
Her doğal sayı kesir olarak değerlendirilebilir.
Doğal sayı oluşturmayan kesirler de vardır.
Buna göre, doğal sayılar kümesi kesirler kümesinin alt kümesidir.
B
8
1 ‘ni oluşturan, eşit parçalardan oluşan şekiller verilmiştir.
Resimde bir çemberin __
4
I
a)
b)
c)
II
d)
e)
f)
g)
Birinci sıradaki her şekilde kaç tane çeyrek var?
İkinci sıradaki her şekilde kaç tane çeyrek var?
Şekillerden hangileri bir bütünden daha az, hangileri de bir bütünden daha çok oluşturuyorlar?
Birinci sıradaki şekilleri kesirlerle ifade et. Payları onların ilgili paydalarıyla karşılaştır. Hangi sonuca
vardın?
İkinci sıradaki şekilleri kesirlerle ifade et. Payları onların ilgili paydalarıyla karşılaştır.
Hangi sonuca vardın?
137
Gözlemle!
1
2
3
Birinci sıradaki şekiller şu kesirlerle ifade ediliyor: a) __ , b) __ ve c) __ .
4
4
4
Bu kesirlerin her birinde pay paydadan daha küçüktür yani, bunlar bir bütünde olduğundan daha az
parça içeriyorlar. Bu kesirler 1’den daha küçüktürler.
2
7
9 28
Böyle kesirler şunlardır: __ ; __ ; __ ; __ vb. Bu kesirlere basit kesirler denir.
5
9 11 31
Basit kesirlerle ilgili hatırlatma:
a
a
__
__
Herhangi bir kesir
(a, b ∈ N), de, eğer a < b, o zaman
< 1.
b
b
5
6
7
9 .
İkinci sıradaki şekiller şu kesirlerle ifade ediliyor: d) __ , e) __ , f ) __ , ve g) __
4
4
4
4
Bu kesirlerin herbirinde pay paydadan daha büyüktür yani, bir bütünde olduğundan daha çok parça
içeriyorlar. Bu kesirler 1’den daha büyüktür.
9 11 25 38
Bu tür kesirler şunlardır: __ , __ , __ , __ vb. Bu kesirlere bileşik kesirler denir.
4
3 13 19
Bileşik kesirlerle ilgili hatırlatma:
a
a
Herhangi bir kesir __ (a, b ∈ N), de, eğer a > b, o zaman __ > 1.
b
b
1’den daha küçük kesirlere basit kesirler, 1’den daha büyük kesirlere bileşik kesirler denir.
9
1
5
5
7 5 14
M = { __ , __ , __ , __, __ , __ } kümesi verilmiştir.
2
3
8
7 11 9
A = {x | x ∈ M ve x < 1} ve B = {x | x ∈ M ve x > 1}
kümelerini liste yönteminde yaz.
10
3
__
kesri hangi türdendir?
2
3
__
kesrini iki toplananı olan yarımların toplamı olarak yaz.
2
3
__
kesrini üç toplananı olan yarımların toplamı olarak yaz.
2
Çözümü takip et!
138
3
__
kesri 1’den daha büyüktür ve yarımların toplamı olarak gösterilebilir.
2
1
1
1
1
1
1
3
Yani, __ = __ + __ + __ = 1 + __ . 1 + __ toplamı kısaca 1 __ olarak yazılır.
2
2
2
2
2
2
2
3
1
__
= 1 __ de yazabiliriz.
2
2
Karma sayı tam ve kesir
içerir (tam sayılı kesir).
Okuyoruz: üç yarım, bir bütün ve bir yarıma eşittir.
1’den daha büyük olan, tamsayı ve basit kesirle yazılan kesirlere karma sayılar (tam sayılı kesir) denir.
C
11
Neden 1’den büyük olan her kesir tam sayılı kesir olarak yazılabilir?
32
__ kesrini tam sayılı olarak yazalım.
5
Çözümü takip et:
Eğer payı paydayla bölersen, o zaman elde edilen bölüm şudur:
karma sayının tüm bölümü. Neden?
32 : 5 = 6;
-30
2
Elde edilen kalan1’den daha küçük olan
kesrin payıdır, payda ise aynı kalıyor.
12
Kesri tam sayılı kesir olarak yaz:
32
2
2 ;
= 32 : 5 = 6 +
= 6
5
5
5
32
2
=6
5
5
6
8
15
48
80
132
a) __ , b) __ , c) __ , d) __ , e) __ , f ) ___ .
5
3
4
11
13
17
Karma sayı kesir olarak yazılabilir.
3
2 __ karma sayısını kesir olarak yazalım.
4
Çözümü takip et
3
2 __ karma sayısının kaç tane çeyrek içerdiğini
4
belirleyelim.
İki bütünde kaç çeyrek vardır?
1’den küçük olan kesir 3 çeyrek daha içeriyor.
2⋅4+3
11
3
_______
= __
2 __ =
4
4
4
2 ⋅ 4 çeyrek
2 ⋅ 4 + 3 çeyrek
Karma sayı kesir olarak gösterilir (tam sayılı kesir bileşik ya da basit kesire
dönüştürülebilir) öyle ki, payda tamla çarpılıyor ve bu sayı paya ekleniyor. Bu sayı pay
olarak yazılıyor, payda ise aynı kalıyor.
13
2
3 __ ,
5
139
5
9
4 __ , 8 __ karma sayılarını kesir şeklinde yaz.
7
11
Bilmen gerekir!
Kendini yokla!
Kesir türlerini tanıyasın:
1’den küçük kesirler (basit kesirler), 1’den
büyük kesirler ( bileşik kesirler), bayağı kesirler ve tam sayılı kesirler/karma sayılar.
Aşağıdaki kesirlerden hangisi 1’den küçük, 1’den
büyük ve bayağıdır?
9
9
2
3
6
9
__
, __ , __ , __ , __ , __ .
3 10
3
2
3
8
Doğal sayıyı, paydası belli olan kesir şeklinde
yazmak.
13
__ kesrinde kaç tam vardır? Karma sayı olarak yaz.
3
1’den büyük olan kesri karma sayıda ve tersine göstermek.
4
3 __ kesrinde kaç tane beşte bir vardır? Karma
5
sayıyı kesir şeklinde yaz.
Ödevler
1. 2, 5, 7, 8 ve 11doğal sayılarından her
birini şu paydayla kesir şeklinde yaz:
a) 1;
b) 3;
4.
Payı 12 olan 1’den büyük iki kesir yaz.
c) 7.
2. Paydası 5, payı doğal sayı olan 1’den
küçük kaç tane kesir yazabilirsin?
3. Paydası 7 olan 1’den küçük iki tane kesir
yaz.
5.
28
__ , 17
__ , 21
__ , 29
__ , 125
__ kesirleri,tam sayılı
3
4
8
5
9
kesirlere dönüştür.
1
8
3
3
6. 8 __ , 3 __, 1 __, 15 __ tam sayılı kesirleri,
4
9
10
4
kesirlere dönüştür.
Güldürmece!
Bir araziyi su basmış ve hergün bir önceki günden iki kat daha
fazla su basıyormuş. Altıncı günde tüm arazi sular altında
kalmış. Hangi günün sonunda arazinin yarısını su basmış?
3
140
SAYI DOĞRUSUNDA KESİRLERİN GÖSTERİLMESİ
KESİRLERDE EŞİTLİK
A
1
Çizimde p doğrusu verilmiştir ve doğrunun
üzerinde iki nokta A ve B’yi belirle.
A
B
0
1
Birim doğru parçası 2 cm olan
sayı doğrusu çiz.
3 sayısına C noktası eşlik etsin.
p
Hangi sayı A noktasına, hangisi ise B noktasına eşlik ediyor/denk geliyor?
Çizimde AB = 1 birim doğru parçası olan,
sayı doğrusu belirlenmiştir.
5 sayısına D noktası, 7 sayısına ise E noktası
eşlik etsin.
CE doğru parçasının uzunluğunu belirle.
14 sayısına nokta belirlemek için birim doğru
parçasını kaç defa aktarmalısın?
Her doğal sayı, sayı doğrusunda (ekseninde) gösterilebilir.
2
Uzunluğu 6 cm olan AB doğru parçasını çiz. AB doğru parçasında C noktasını belirle öyle ki,
2
AC = __ AB. AC doğru parçasının uzunluğunu belirle.
3
Çizimi incele!
AB doğru parçası 3 bölüme ayrılmıştır. Her parçanın 2 cm
A
C
B
uzunluğu vardır, AC doğru parçasının ise öyle ki iki tane
parçası vardır. AC = 4 cm.
1
__
AD = 3 AB. olduğunda, D noktasını nasıl belirleyeceksin? AD doğru parçasının uzunluğunu belirle!
Kesirler de doğal sayılar gibi, sayı doğrusunda gösterilebilir.
3
1
__
kesrini p sayı doğrusunda göster.
4
1
__
kesrinin 1’den daha küçük olduğunu gözlemle.
4
1
__
kesri, p sayı doğrusunun neresinde bulunuyor?
4
AB birim doğru parçasını 0’dan 1’e kadar 4 eşit parçaya
ayırman gerekiyor. Birinci parçanın sonunda M noktası var
1
ve ona __ kesri eşlik ediyor.
4
1
3
__
ve __ kesirlerini sayı doğrusunda göster.
2
4
p A
B
C
0
1
2
p A M
B
C
1
0 __
4
1
2
1
__
kesri AB doğru4
parçasında bulunuyor.
10
__
3 kesrini 3 cm birim doğru parçasıyla sayı doğrusunda göster.
4
141
İşlemde istenenlere cevap ver.
Sayı doğrusu çiz ve üzerinde 1’den 6’ya kadar sayı noktalarını belirle.
10
10
__ kesri hangi sayılar arasında olacaktır?
__ kesrini tam sayılı kesir olarak yaz.
3
3
10
Hangi sayılar arasında doğru parçasını 3 parçaya ayıracaksın? __ kesrine nokta belirlemek için kaç
3
4 kesirlerini göster.
__ ve __
parça ayıracaksın?
Aynı sayı doğrusunda 11
3
3
B
5
2
1 ‘ini, Ayşe ise aynı büyüklükteki bir böreğin __
Militsa bir böreğin __
‘ ni satın almış.
8
4
Bunlardan hangisi böreğin daha büyük parçasını almış? İstenenler doğrultusunda hareket et.
Her iki böreği eşit yarıçaplı iki çemberle göster (çizimde olduğu gibi).
Bir çemberi 4 parçaya, diğerini ise 8 parçaya ayır.
1
Birinci çemberin __ ‘ni karala (boya), ikinci çemberin ise
4
2
__
‘ni karala. Boyanmış bölümleri kıyasla.
8
Ahmet
Fatma üç eşit şeridin, Ahmet ise üç karenin bölümlerini boyamış.
Fatma
6
Şu sonucu tespit ede1
2
bilirim! __ = __
4
8
Şeritlerden her biri kaç bölüme ayrılmıştır?
Karelerden her biri kaç bölüme ayrılmıştır?
Her şeridin yani, her karenin hangi bölümü boyanmıştır?
Şeritlerin yani, karelerin boyanan bölümlerini karşılaştır.
4 kesirleri de eşittir.
1 , __
2 , ve __
Şeritlerin boyanan bölümleri eşittir, __
8
2 4
1
2
1
4
2
4
__
Buna göre şunu yazabiliriz:
= __ ; __ = __ ; __ = __ .
2
4
2
8
4
8
1
__
4
2
__
8
142
Karelerin boyanan bölümleri eşittir.
6
4
2
Buna göre: __
= __ = __ .
9
6
3
Eşit kesirlerde geçerli olan kuralı gözlemle.
1
2
__
= __ , geçerli: 1 ⋅ 4 = 2 ⋅ 2
2
4
2
4
__
= __ , geçerli: 2 ⋅ 8 = 4 ⋅ 4;
4
8
2
4
__
= __ , geçerli: 2 ⋅ 6 = 3 ⋅ 4;
3
6
Hatırlayayım! Eşit kesirlerde geçerli olan
şudur: çapraz olarak çarparsan eşit çarpanlarelde edersin.
4
6
__
= __ . Kontrol et ve yaz.
6
9
a
c
a
c
Kural, herhangi eşit kesir için __ ve __ , yani __ = __ , geçerlidir eğer, a ⋅ d = b ⋅ c.
b
d
b
d
7
2
11
6
3
6
44
80
90
a) __ ve __ ; b) __ ve __ ; c) __ ve __ ; d) __ ve __?
5
10
15
7
14
40
81
91
Verilen kesirlerden hangileri eşittir:
Bilmen gerekir!
Kendini yokla!
Verilmiş birim doğru parçasıyla
sayı doğrusu çizesin;
Sayı doğrusundaki hangi kesirler A, В ve С noktalarına uyar?
Kesirleri sayı doğrusunda
gösteresin;
A
B
C
Kesirlerin eşitliği kuralı yardımıyla iki kesrin eşit olup olmadığını
tespit edesin.
0
1
2
3
7
Birim doğru parçası 1 cm olan sayı doğrusu çiz ve üzerinde __
3
kesrine uyan A noktası belirle.
Ödevler
2
6
__
= __ kesirlerin eşit olması için kutunun içine hangi sayı
3
yazılmalıdır?
1. Aşağıda verilen sayı doğrusundaki hangi
kesirler А, В ve С noktalarına uyuyor?
A
B
C
0
1
2
3
4. Aşağıdaki kesirlerden hangileri eşittir?
1
7
27
5 1
28 9
9 , __
__
ve __ , __ ve __
ve __ ; __ ve __ ?
6
37
30 2
40 11
19 10
4
2. Birim doğru parçası 2 cm olan sayı doğrusu
çiz ve üzerinde şu sayıları göster: a) 5; b) 7;
1
3 ; d) 6 __
c) 4 __
.
2
4
3. Birim doğru parçası 4 cm olan sayı doğrusu
3 , __
9 ,
çiz ve üzerinde şu kesirleri göster: __
4 8
9 , __
7 .
__
4
2
5. Kesirlerin eşit olması için eşitlik kuralını kullanarak x’i belirle!
2 x
7 35
2
x
10 100
a) __ = __ ; b) __ = __ ; c) __ = __ ; d) __ = __ .
3 12
x
9 27 11
x
40
3 ve 1 sayıları göster6. Sayı doğrusunda __
4
ilmiştir. Şu sayıları göster:
5 ; 3 __
1 ve 17
__
__ .
4
2
4
3
__
4
1
4
AYNI PAYDALI KESİRLERDE TOPLAMA VE ÇIKARMA
A
Aynur ve Adem bir çemberi 4 eşit parçaya
1 ‘ni, Adem ise
ayırmışlar. Aynur çemberin __
4
2
aynı çemberin __ ‘ni boyamış. Çemberin
4
hangi bölümünü Aynur ve Adem birlikte
1
143
3
4
__
ve __ kesirlerin toplamını bul!
5
5
Eşit paydalı kesirlerle toplamayı, bölmenin toplamaya ilişkin dağıtım özelliği yardımıyla nasıl açıklayacağımızı gözlemle.
boyamışlar.
Aşağıdaki aşamalara göre çalış ve sonucu
karşılaştır.
Çember çiz ve boyanmış
bölümleri yaz.
2
1 __
__
+
hesapla!
4
4
(3 + 4) : 5 =
dağıtım özelliğini uygula
Adem’in ne kadar daha fazla boyadığını
2
1
hesapla yani, __ - __ .
4
4
(12 + 9) : 3 =
bölmenin toplamaya göre
dağıtma özelliğini uygula .
2
ifadesinin
(3 + 4) : 5 = 3 : 5 + 4 : 5
Elde edilen denklemin
taraflarını değiştir.
3 : 5 + 4 : 5 = (3 + 4) : 5
Bölümleri kesir şeklinde
yaz.
3
3+4
4
__
+ __ = _____
5
5
5
Toplamı hesapla ve tam
sayılı kesir olarak göster.
3
__
+
5
7
__
=
5
3+4
4
__
= _____ =
5
5
2
1__ .
5
3 + __
4 toplamın sayı doğrusunda nasıl gösterildiğini açıkla!
Çizimi incele ve __
5 5
3 __
4
2
__
+
= 1__
5
5
5
0
3
__
5
1 4
__
5
a __
b _____
a+b ,
Hatırlamam gerek: aynı paydalı kesirler şöyle toplanır: __
+
=
c
c
c
a, b, c ∈ N, yani, payların toplamı paya yazılıyor, payda ise aynı kalıyor.
3
3
1
2__ + __ toplamını belirle!
5
5
2
Toplamın iki yöntemle hesaplanabileceğini gözlemle.
I. Yöntem
144
3 tam sayılı kesri, 1’den daha büyük kesire dönüştür.
2 __
5
13
1
__ + __
toplamını belirle.
5
5
14
__ toplamını tam sayılı kesir olarak yaz.
5
II. Yöntem
3
2 __ tam sayılı kesrini,tam sayıların ve 1’den küçük olan kesrin toplamı olarak yaz.
5
3
1
2 + __ + __ ifadesinde1’den küçük olan kesirlerin toplamını belirle.
5
5
4
__
2+
toplamını tam sayılı kesir olarak yaz.
5
4
2
4
3 __ + 1 __ toplamını iki şekilde belirle.
7
7
Aşağıdaki kesirlerin toplamını belirle!
7
5
4
5
3
1
a) __+ __ ;
b) __ + __ ; c) 2 __+ __ .
9
9
7
4
7
4
5
8
11
Bir traktör kullanıcısı bir saat içinde bir tarlanın __ ‘ini, ikinci saatte ise tarlanın __ ‘ini sürmüş.
20
20
6
Traktörcü iki saat için tarlanın hangi bölümünü sürmüş?
Tarlanın hangi bölümü sürülmeden kalmış?
B
7
7
5
__
= __ + x geçerli olması için x’in yerine hangi kesrin yazılması gerekiyor?
9
9
Gözlemle!
2
5
7
__
kesrin elde edilmesi için, __ kesrine __ kesri eklenmelidir.
9
9
9
7- 5
7 __
5
2
5 kesirlerinin farkıdır; şöyle yazıyoruz:__
2 kesri, __
7 ve __
__
=____ =__ .
9
9
9
9
9
9
9
Hatırlayayım: Eşit paydalı kesirlerde çıkarma şöyle olur:
a __
c ____
a- c
__
=
, a > c,
b
b
b
Yani, payların farkı paya yazılır, payda ise aynı kalır.
8
9
11 7
a) __ - __ ;
12 12
Farkı hesapla:
16 11
b) __ - __ ;
25 25
3
5
c) 3 __ - 1 __ .
8
8
145
3 cm’dir, komşu kenarın
Bir dikdörtgenin bir kenarının uzunluğu 5 __
5
2
uzunluğu ise 1 __ cm için daha küçüktür.
5
Komşu kenarın uzunluğunu belirle.
Dikdörtgenin çevresini belirle.
Bilmen gerekir!
Kendini yokla!
Eşit paydalı kesirlerin toplamını
belirle;
Eşit paydalı kesirlerde farkı hesapla.
Hesapla:
5
4
1
a) __ + __ + --.
9
9
9
c) 3
3 __
7
__
+ .
8
8
7
11
+4
12
12
4. 3 5 ve 2 1 sayıların toplamını 5 5 için
b)
1
2
1 __ + 2 __.
3
3
d)
4
7
2
+3
+1
15
15
15
7 3
9 9
d) 3 -1
3
5
7
küçült.
7
7
5. Bir öğrenci ilk gün kitabın 3 ‘nü, ikinci gün
10
5
ise aynı kitabın
‘ni okumuş.
10
2. Hesapla:
a)
3
1
2 __ + 1 __.
4
4
4 için, 3 __
2 sayısından daha küçüktür?
Hangi sayı 2 __
9
9
Ödevler
1.
Toplamı belirle, ondan sonra karma sayı olarak yaz.
b)
17 15
19 19
e) 3
3
1
c) 5 - 2
4
4
4
2
5
-2
+
11
11 11
Kitabın hangi bölümünü iki gün için okumuş?
Kitabın hangi bölümü ikinci günden sonra
okunmadan kalmış?
3. Bir havuz üç su borusuyla doluyor. Bir saat
1
5
için bir boru havuzun ‘ni, ikinci boru
12
12
4
‘ni ve üçüncü boru
‘ni dolduruyor.
12
Boruların üçü bir saat için havuzun hangi
bölümünü dolduracaktır?
Havuzun hangi bölümü doldurulmadan
kalacaktır?
3
7
6. Adem’in 10 , Ayla’nın ise 15 12 yaşı var.
12
Adem’in 3
Ayla 3
5
yıl sonra kaç yaşı olacak?
12
5
yıl sonra Adem’den kaç yaş için
12
daha büyük olacak?
146
5
KESİRLERİN SADELEŞTİRİLMESİ VE GENİŞLETİLMESİ
A 1
12 : 5 = (12 ⋅ 3) : (5 ⋅
).
6
dir.
8
ise
denklemin doğru olması için kutunun içine
hangi sayı yazılmalıdır?
Eşitkenarlı karelere dikkatli bak. Bir
karenin renkli bölümü 3 , diğerinin
4
Renkli
bölümleri
karşılaştır.
Bölmenin hangi özelliği uygulanmıştır?
Kesirlerin eşit olup omadığını kontrol et:
5.3
4
8
5
;
;
ve
ve
6.3
5
10
6
Renkli bölümlerin eşit olduğunu gözlemle yani,
6
3
3 6
= . Aynen öyle = çünkü, 3 • 8 = 4 • 6.
8
4
4 8
3⋅2
6
6 3⋅2
3
=
olduğunu da farkedebilirsin. Bundan ve
= ‘den 3 =
olduğu elde dilir.
8
8 4⋅2
4
4 4⋅2
3 kesrin payı ve paydası 2 ile çarpılmıştır, kesrin değeri ise değişmedi.
4
5 kesrin payını ve paydasını 2,3 ve 4 ile çarp. Elde edilen kesirlerin 5 kesri ile eşit olup
6
6
olmadığını kontrol et.
2
5 5 ⋅ 2 10
=
=
olduğunu gözlemle. Bu denklem geçerlidir çünkü, 5 ⋅ 12 = 6 ⋅ 10;
6 6 ⋅ 2 12
5 5 ⋅ 3 15
=
=
. Bu denklem geçerlidir çünkü, 5 ⋅ 18 = 6 ⋅ 15.
6 6 ⋅ 3 18
Kesirlerin görülen özelliğini bölme özelliğinden harekt ederek açıklayabilirsin
a a⋅n
a : b = (a ⋅ n) : (b ⋅ n). Buna göre:
=
; a, b, n ∈ N.
b b⋅n
Genel olarak geçerlidir!
Eğer kesrin payı ve paydası, 0’dan farklı aynı sayıyla çarpılırsa, verilen kesire denk bir kesir elde
ediliyor.
3
Bu işleme kesirlerin genişletilmesi denir.
Şu kesirleri genişlet: a)
5
ile 3;
6
b)
7
ile 4;
8
c)
3
ile 10.
10
B
4
147
4
__
kesrin payını ve paydasını 2 ile böl.
6
4
Elde edilen kesrin __ kesri ile eşit olup olmadığını kontrol et.
6
2
4:2
4 2
=
olduğunu hesapla yani,
= . Bu denklem 4 • 3 = 6 • 2 olduğu için geçerlidir.
3
6:2
6 3
4
kesrin payı ve paydası aynı sayıyla bölünmüştür, kesrin değeri ise değişmedi.
6
15
__ kesrin payını ve paydasını ortak bölenleriyle böl.
20
Verilen ve elde edilen kesirlerin eşitliğini kontrol et.
5
Kesirlerin ele alınan özelliğini, bölümün değişmezliği için bölme özelliği ile açıklayabilirsin yani,
a : b = (a : n) : (b : n) Öyle ki, a, b, n doğal sayılardır
a a:n
ve n, a ve b’nin bölenidir. Buna göre:
=
.
b b:n
Genel olarak geçerlidir!
Eğer bir kesrin payı ve paydası ortak bölenleriyle (birden daha büyük) bölünürse, o zaman verilen
kesire eşit olan kesir elde ediliyor.
6
Bu işleme kesirlerin sadeleştirilmesi denir.
36
__ kesrini pay ve paydaların ortak bölenleriyle kademeli olarak sadeleştir.
60
Kendi çözümünü verilen çözümle karşılaştır.
36 36 : 2 18 : 2 9 : 3 3
=
=
=
= .
60 60 : 2 30 : 2 15 : 3 5
36
kesrin pay ve paydası için en büyük ortak böleni belirle.
60
Kesri EKOB (36, 60) ile sadeleştir.
EKOB (36, 60) = 12 olduğunu hesapla.
36 36 : 12 3
=
= .
60 60 : 12 5
3
kesri sadeleştirilemez çünkü, kesrin payı ve paydası karşılıklı asal sayılardır. Böyle kesire
5
sadeleştirilemez kesir denir.
Görmelisin ki, bir kesri pay ve paydasının ortak
böleniyle kademeli olarak sadeleştirilemez kesre
kadar kısaltabilirsin ya da payı ve paydayı EKOB
ile bölebilirsin.
Hatırlamalıyım! Kesirlerin
sadeleştirilmesi,
sadeleştirilemez kesire kadar
yapılıyor.
148
7
Kesirleri sadeleştir: a)
12
___
;
16
b)
25
___
;
50
c)
72
___
;
90
d)
27
___
.
999
Kendini yokla!
Bilmen gerekir!
Kesirleri genişletesin;
Kesirleri sadeleştiresin;
Hangi kesir sadeleştirilemez.
4
1
__
ve __ kesirlerini a) onlar basamağında ve b)
2
5
yüzler basamağında yaz.
12 __
x
__
=
denkleminde kesirlerin sadeleştirilmesi
18 3
yardımıyla x’i belirle.
Kesrin sadeleştirilemez ve 1’den küçük olması için
x
__
ifadesinde x’i belirle.
3
Ödevler
1. Kesileri 2 ve 5 ile genişlet:
2
3
11
15
__
__
__
__
a)
; b)
; c)
; d)
.
5
7
12
17
6
2. __
kesrine eşit olan iki kesir yaz!
9
7. Kesirlerin genişletilme ve sadeleştirilme
özelliğini kullanarak x’i belirle!
x
20
7
x
8 24
11 33
__
__
__
a) __ = __ ; b) __ = __; c) __
x = 33 ; d) 17 = x .
7 28
9 54
3
5
8. __ ve __ kesirlerini genişlet öyle ki, aynı
4
6
paydaları olsun!
4 __
3 17
24 9
3. __
;
; __ ; __ ; __ kesirlerin her
5 10 20 25 50
birinde kaç tane yüzde bir var?
3 __
2 17
21 29 111
4. __
;
; __ ; __ ; __ ; ___ kesirlerinden
6
5 25 27 36 999
hangileri sadeleştirilemez?
5
8 36 54 100
5. __ ; __ ; __ ; ___ ; ___ kesirlerini
15 12 54
sadeleştir!
144 120
90
6. ___ kesrini a) kademeli olarak ve
126
b) EKOB(90, 126) ile sadeleştir!
Alıştırma!
Bir kovanın içinde su, diğerinde de şarap
varmış. Şarap kovasından bir bardak şarap
doldurulup su kovasına dökülmüştür. Sonra
aynı bardak su şarap karışımı kovasından
doldurulmuş ve şarap kovasına dökülmüştür.
Daha çok olan nedir, şarap kovasında su ya da
su kovasında şarap?
Ayten ve Murat’ın toplam 909 denarı varmış.
3
Ayten parasının __ ‘nü, Murat da parasının
4
4
__
‘nü harcadığında, her ikisinde de aynı
5
tutarda para kalmış. Her ikisinin başlangıçta
kaçar denarı varmış?
6
149
ONDALIK KESİR. ONDALIK SAYI
A
1, 10, 100, 1 000, ... sayılarına ne denir?
1
Verilen daha küçük ölçü birimlerini
daha büyüklerin bölümü olarak yaz:
1 cm’yi dm olarak; 5 dm’yi m olarak;
Hangi ölçü birimleriyle uzunluk, hangileriyle de
kütle ölçümü yapıyoruz?
Büyük ölçü birimlerini daha küçük ölçü
birimleriyle yaz:
1 dm’yi cm olarak; 5 m’yi dm olarak;
8 dag’ı g olarak; 1 m’yi cm olarak;
7 m’yi cm olarak; 1 kg’ı g olarak; 9 km’yi m olarak.
8 g’ı dag olarak;
1 cm’yim olarak;
7 cm’yim olarak;
1 g ‘ıkg olarak;
9 m’yikm olarak.
Kendi çözümünü aşağıda verilen çözümle karşılaştır:
5
1
8
__
__
__
dm;
5 dm =
m;
8g=
dag;
10
10
10
1
9
_____
_____
1g=
kg; 9 m =
km.
1 000
1 000
1 cm =
1 cm =
1
___
m;
100
7 cm =
7
___
m;
100
Algıla ve hatırla!
Daha küçük ölçü birimlerin daha büyük ölçü birimleri olarak gösterildiği sayılar kesirdir.
Bu kesirlerin paydaları ondalık birimleridir: 10, 100, 1 000, ...
1 5 8
1
7
1
Paydaları 10 10 10 100 100 1 000 1 000 ondalık sayı olan __ , __, __ , ___ , ___, _____,
10 10 10 100 100 1 000
9
_____
, ... kesirlerine ondalık kesirler denir.
1 000
Ondalık kesirler daha kısa biçimde ondalık ifade ya da ondalık sayı şeklinde paydasız olarak
yazılabilir.
Örnekleri
incele!
Ondalık kesir
1
__
10
5
__
10
1
___
100
3
1 __
10
Ondalık sayı şeklinde
yazılır
Ondalık sayının okunuşu
0,1
Sıfır tam ve 1 onda bir
0,5
Sıfır tam ve 5 onda bir
0,01
Sıfır tam ve 1 yüzde bir
1,3
Bir tam ve 3 onda bir
150
Birkaç örnek daha:
30 + 5
30
5
3
5
35
______
___
___
__
___
___
=
=
+
=
+
100
100 100
10 100
100
35
___
kesri 3 onda bir ve 5 yüzde bir içeriyor yani, 35 yüzde bir.
100
35
___
şöyle yazılır 0, 35 ve sıfır tam ve 35 yüzde bir diye okunur.
100
20
9
2
9
29
20 + 9
_____
_____
___
_____
_____
______
=
=
+
=
+
1 000
1 000
100
1 000
1 000
1 000
29
_____
kesri 2 yüzde bir ve 9 binde bir ya da 29 binde bir içeriyor.
1 000
29
_____
kesri 0,029 olarak yazılıyor ve sıfır tam ve 29 binde bir diye okunuyor.
1 000
324
24
____
____
=3
kesri 3,24 olarak yazılıyor ve3 tam ve 24 yüzde bir diye okunuyor.
100
100
7
2 ____ kesri 2,07 olarak yazılıyor ve 2 tam 7 yüzde bir diye okunuyor.
100
Ondalık kesrin ondalık sayı şeklinde yazılma
yöntemini izle ve hatırla.
9
17
2 ____ ve 3 _____ ondalık kesirlerini ondalık sayı olarak yazalım.
1 000
100
İşlem Aşamaları
17
2 ____
100
3
9
_____
1 000
Önce tam sayılar yazılıyor.
2
3
Ondalık virgülü olarak adlandırılan virgül yazılıyor.
2,
3,
2,17
3,009
Ondalık kesrin payı yazılıyor eğer, paydada sıfırlar olduğu kadar onun da
rakamları varsa.
İkinci kesirde paydan once iki sıfır yazıyoruz. Paydada ne kadar sıfır varsa
pay da o kadar rakam olmalı.
17
2 ___ = 2,17;
100
9
3 _____ = 3,009.
1 000
Hatırlamalıyım! Her
Aşağıdaki ondalık kesirleri ondalık sayılar
olarak yaz:
3 ___
25 ___
9
79
3
__
;
;
; 3 _____ ; 15 _____ .
10 100 100
1 000
1 000
2
151
ondalık kesri ondalık sayı
olarak yazabilirim.
onda birler
yüzde birler
Ondalık virgül ondalık sayıyı ikiye ayırıyor.
3,14 ondalık sayısında 3 tam ve iki ondalık var.
3
Virgülden önceki bölümde tam sayılardır.
tam
sayılar
Virgül bölümüne ondalık bölüm denir.
Ondalık bölümdeki rakamların yerlerine ondalık yeri,
rakamlara ise ondalıklar denir.
,
14
ondalıklar
O
B
1
2
TAM BÖLÜM
B 3
,
17,005 : onyedi tam ve beş binde bir.
3,25 ondalık sayısını ondalık kesir olarak yaz.
İşlemi izle:
3,25 sayısını oku ve sözlerle yaz.
ON BİN
7
Şu ondalık sayıları oku: 0,5 ; 3,14 ; 2,03 ; 17, 005.
3,14 : üç tam ve 14 yüzde bir;
1
ONDALIK
VİRGÜL
0,5 : sıfır tam ve 5 onda bir;
4
0
ONDALIK
BÖLÜM
MİLYONDA BİR
Y
YÜZ BİN
Bb
BİNDE YEDİ
Ob
YÜZDE BİR
Yb
BİRLER
BASAMAĞI
BİNLER
BASAMAĞI
ONDA BİR
Ondalık sayıların yazılışı aşağıdaki örneğin tabelasında gösterilmiştir.
17
12 _____ = 12,017.
1 000
Şunu elde etmelisin: üç tam ve 25
yüzde bir.
Elde edilen metni ondalık kesir
olarak yaz.
152
Şunu elde etmelisin: 3
Hatırlamam gerek: Ondalık sayı
ondalık kesri doğru okumaya göre
yazılır.
25
___
.
100
Görüyorsun ki: Ondalık sayı ondalık kesir şeklinde şu biçimde yazılıyor:
Ondalık sayının bütünleri, kesrin bütünü olarak yazılıyor.
Ondalık sayı, ondalık kesrin payı olarak yazılıyor.
Payda olarak ondalık birim, ne kadar ondalık varsa o kadar sıfırla yazılıyor.
Çözümlü örnekler:
0,5 =
32
5
17
___
____
__
; 1,32 = 1
; 12,017 = 12
;
10
100
1 000
Kendini yokla!
Bilmen gerekir!
Ondalık sayı ondalık kesrin farklı bir ifadesidir;
23 tamı ve ondalık bölümde 105 olan ondalık
sayı yaz ve oku.
Ondalık sayıyı ondalık kesire ve tersine
yazasın;
3
Ondalık sayıda 7 ___ yaz ve ondalık kesirde
100
0,012 yaz.
Ondalık sayıları düzgün okuyasın.
Ödevler
1. Aşağıdaki kesirlerden hangileri ondalıktır?
a)
3
7
131
12
6
__
___
____
___
____
; b)
; c)
; d)
; e)
?
10
200
1 001
200
1 000
2. Paydası 13 olan, payları ise farklı olan üç
ondalık kesir yaz!
3. Aşağıdaki ondalık sayılarda kaç tane tam ve
kaç tane ondalık vardır?
a) 36,08; b) 3,0031; c)138,05?
4. Aşağıda verilen ondalık kesirleri ondalık sayı
şeklinde yaz!
a)
6
9
___
___
; b) 2
;
100
100
c) 11
29
3
_____
____
; d) 14
.
1 000
1 000
5. Ondalık sayıları oku:
a) 2,03; b) 12,015; c) 0,0035.
6. Aşağıdaki ondalık sayıları ondalık kesirler
şeklinde yaz!
a) 0,2; b) 1,05; c) 4,003; d) 1,0017.
7
153
ONDALIK SAYILARIN ÖZELLİKLERİ
A
2
__
kesrini 10 ile, ondan sonra 100 ile
10
genişlet.
30
___
kesrini 10 ile sadeleştir.
100
1
3
__
kesrini 10, 100 ve 1 000 ile
10
genişlet.
Şu çözümü elde etmen gerekiyor:
30
3
3 ⋅ 10
__
______
___
=
=
;
10 10 ⋅ 10 100
3
3 ⋅ 100 _____
300
__
______
=
=
;
10 10 ⋅ 100 1 000
Ondalık kesirleri ondalık sayılar olarak yaz.
Şöyle yazabilirsin:
3
30
300
3 000
__
___
_____
______
=
=
=
, yani, 0,3 = 0,30 = 0,300 = 0,3000.
10 100 1 000
10 000
Gözlemle!
Ondalık sayılar aynı olup, sağ tarflarında bir ya da daha fazla sıfır olmasına bağlı olarak farkedilirler.
Bu ondalık sayıların bir özelliğidir.
Sağ tarafında yazılabildiği kadar sıfırın yazılmasıyla ondalık
sayılar değişmez.
2
Aşağıdaki ondalık sayıları aynı sayıda ondalıkları olacak şekilde
yaz.
a) 0,8 ; 4,25 ; 28,05 ; 6,028;
b) 2,3 ; 0,03 ; 23,012 ; 5,4207.
5 sayısını paydası 1 olan kesir olarak yaz.
3
Bu kesri 10, 100ve 1 000 ile genişlet.
Elde edilen kesirleri ondalık sayılar olarak yaz.
Görüyorsun ki:
5=
5
__
.
1
5 ⋅ 10
50
_____
= ___ = 5,0;
1 ⋅ 10
10
5 ⋅ 100
500
5 ⋅ 1 000
5 000
______
= ___ = 5,00; ________ = _____ = 5,000.
1 ⋅ 100
100
1 ⋅ 1 000
1 000
5 sayısı için gördüğün durum herhangi bir doğal sayı için geçerlidir.
Her doğal sayı, virgülle ayrılarak ve ondalıklar olarak sıfırlar eklenerek ondalık sayı olarak
yazılabilir.
154
B
4
6, 12 ve 135 doğal sayılarını:
a) bir ondalıklı;
5
b) iki ondalıklı, ondalık sayı olarak yaz.
80
___
ondalık kesrini 10 ile sadeleştir.
100
Verilen ve sadeleştirilen kesri ondalık sayı olarak yaz.
3 200
_____
1 000
Şu sonucu elde etmişsin:
80
80 : 10
8
___
= _______
.
= ___; 0,80 = 0,8.
100 : 10
10
100
kesriyle ilgili aynı işlemi izle.
3 200
3 200 : 100
32
_____
= __________
.
= ___ ; 3,200 = 3,2.
1 000
1 000 : 100
10
Sağ tarafında sıfırları olan ondalık sayı değişmez, eğer
onlar atılırsa.
6
Aşağıdaki ondalık sayıların değeri değişmeyecek şekilde
sıfırları at.
a) 2,90 ; b) 0,03500 ; c) 1,0030 ; d) 28,102000; e)7,0.
Bilmen gerekir!
Sağ tarafında bir ya da birkaç sıfır eklersen ya
da atarsan, ondalık sayı değişecek mi;
Doğal sayıyı ondalık sayı olarak yazasın.
Kendini yokla!
1,2 ; 15ve 0,40 sayılarını üç ondalıkla yaz.
Aşağıda verilen sayılardan sıfırları at, fakat
onların değeri değişmesin.
а) 3,0250; b)12,00; c) 0,10200.
Ödevler
1. 1,300; 0,5; 23; 1 000 sayılarını iki ondalıkla yaz!
2. Eğer, sıfır atılır ve yerine 1,5 yazılırsa, 1,05
sayısı değişecek mi?
3. 0,5000; 0,5020; 1,2020300 ondalık
sayılarından tüm sıfırları at, fakat değerleri
değişmesin!
4. 8; 1,2; 3,25 sayılarını üçer tane ondalıkları
olacak şekilde yaz!
Alıştırma!
Bir erkek ve kızkardeşin aynı sayıda cevizi var.
Erkek kardeş kızkardeşine dört tane ceviz
vermiş. Kızkardeşin erkek kardeşten kaç tane
cevizi daha fazla var?
8
ONDALIK SAYILARIN SAYI DOĞRUSUNDA
GÖSTERİLMЕSİ.
ONDALIK SAYILARIN KARŞILAŞTIRILMASI
A
2
2 __ sayısını sayı doğrusunda göster.
4
1
4
30
8
__
, 1 ___ ve 2 ___ ondalık
100
100
10
kesirlerini sayı doğrusunda göster.
Doğal sayılar nasıl karşılaştırılır?
a) farklı rakamlarla;
b) aynı rakamlarla
Çözümü incele!
8
__
10
0
Gözlemle!
155
0,8 1
1
4
__
10
2
1,4
2
30
___
100
2,3
3
Ondalık sayıları sayı doğrusunda kesirlerle aynı şekilde gösteriyoruz.
8
__
0,8 ondalık sayısını ondalık kesir olarak yazıyoruz yani, 0,8 = 10 .
0’dan 1’e kadar olan mesafeyi 10 eşit bölüme ayırıyoruz ve 0,8 ondalık sayısını sekizinci bölümü
gösteren noktada belirtiyoruz.
4
1__ ondalık sayısını göstermek için hangi mesafeyi 10 eşit bölüme ayırıyoruz? Ona uyan noktayı nasıl
10
belirleyeceğiz?
30
30
30
3
___
kesiri 10 ile sadeleştirilebilir, yani ___ = __. Sayı doğrusunda 2 ___ sayısına uygun olan noktayı
100
100 10
100
nasıl belirleyeceğiz?
2
Sayı doğrusunda 0,2; 1,9 ve 3,00 ondalık
sayılarının eşlik ettiği noktaları (А,В ve С)
belirle.
3
Sayı doğrusunda A, B, C ve D noktaları
verilmiştir. Noktaların her birine eşlik edebilecek
sayıyı belirle.
B 4
Şunu tespit edebilirim! Her
ondalık sayı, sayı doğrusunda
gösterilebilir.
A
0
B C
1
2
D
3
4
1
1
1
___
__
ondalık kesrini 10 ile genişlet. Ondan sonra
kesrini 10 ile genişlet ve _____
100
10
1 000
kesrini 10 ile genişlet.
Genişlemeden elde ettiğin kesirleri ondalık sayılar şeklinde yaz.
156
Çözümü incele ve varılan sonucu idrak et.
1 ___
10
1
10
1
10
__
___
_____
____
______
=
;
=
;
=
, yani, 0,1 = 0,10; 0,01 = 0,010; 0,001 = 0,0010.
10 100 100 1 000 1 000 10 000
Bir onda birde 10 yüzde bir var; bir yüzde birde 10 binde bir var vb.
Genel
Ondalık bölümdeki her rakamın konum değeri, ardındaki rakamın konum değerinden 10 defa daha
büyüktür.
Vardığın sonucu ondalık sayıları karşılaştırmak için kullan.
Verilen ondalık sayıları karşılaştır: а) 7,2 ve 9,3; b) 12,8 ve 12,4; c) 15,369 ve 15,38.
5
İki ondalık sayının karşılaştırılması sırasında, öncelikle bütünler karşılaştırılır.
7,2 ve 9,3 sayılarının farklı bütünleri vardır yani, 9 > 7,buna göre 9,3 > 7,2.
Aynı bütünü olan sayılarda ondalık bölüm karşılaştırılıyor.
12,8 ve 12,4sayıların aynı bütünü vardır, fakat farklı ondalık bölümü yani, 8 > 4. Buna göre
12,8 > 12,4.
15,38 sayısının 15,369 sayısından daha büyük ondalık bölümü vardır, çünkü 38 yüzde bir 380 binde
birdir, dolayısıyla 380 > 369. Buna göre 15,38 > 15,369.
6
Verilen ondalık sayıları karşılaştır: а) 18,43 ve19,15; b) 35,6 ve 35,49; c) 4,1001 ve 4,101.
Bilmen gerekir!
Kendini yokla!
Sayı doğrusunda ondalık sayıları gösteresin;
Farklı bütünleri olan ondalık sayılardan, daha çok bütünü
olan sayı daha büyüktür;
Eğer karşılaştırılan ondalık sayıların aynı bütünleri varsa, daha
büyük ondalık bölümü olan sayı daha büyüktür;
Eğer iki ondalık sayının aynı bütünleri ve eşit ondalık
bölümleri varsa, o zaman bunlar eşittir.
0,5 ve 1,400 ondalık sayılarını
sayı doğrusunda göster.
Aşağıdaki ondalık sayıları
karşılaştır.
a) 25,9 ve 26,3
b) 17,2002 ve 17, 202;
c) 14,101 ve 14,1010.
Ödevler
1. Şu sayıları sayı doğrusunda göster:
40 .
0,6; 1,7; 3 ___
100
2. 2,01 ve 1,86; 6,29 ve 6,172; 9,121 ve 9,101;
0,1031ve 0,1028 sayılarını karşılaştır.
3. Verilen sayıları büyüklük
4. Sayı doğrusunda, A noktasında 131,102 sayısı
bakımından (en küçüğünden
başlayarak) sırala:
vardır, B noktasında ise 131,120 sayısı vardır.
Bu noktalardan hangisi 100 sayısının uyduğu
(bulunduğu) noktayadaha yakındır?
5
0,05; 0,050; 5; _____ .
1 000
157
Alıştırma!
2’den büyük 3’ten küçük sayı elde etmek için, 2 ve 3 sayıları arasında hangi işaret koyulmalıdır?
V E R İ L E R L E
M E
T Ç A L I Ş M A
9
1
DİYAGRAM TÜRLERİ. DİYAGRAM SEÇİMİ
Ayşe ve Fatma’nın eşit büyüklükte olan sebze bahçeleri vardır. Her ikisi de bahçelerinde domates,
biber ve lahana ekmişler.
Aşağıdaki tabelada bahçelerin farklı sebzelerle ekilen bölümü ile ilgili veriler verilmiştir.
Sebze
Sebze Bahçeleri
Ayşe’nin
Fatma’nın
bahçesi
bahçesi
Domates
2
__
5
1
__
6
Biber
1
__
10
1
__
3
Lahana
1
__
5
4
__
12
Ayşe’nin bahçesinde ne kadar bir bölüm
sebzeyle ekilmiştir?
Fatma’nın bahçesinde ne kadar bir bölüm
sebzeyle ekilmiştir?
Her iki bahçenin ne kadar bölümü ekilmeden
kalmış?
Kimin bahçesinde ekilmeyen bölüm daha
büyüktür?
Öncelikle sütun diyagramın verilerini göster.
Diyagramın basamakları şöyle olsun: 10 eşit parçaya ayrılan bir bütün ve 12 eşit parçaya ayrılan bir
bütün;
2
4
Sütunları oluştur, ama dikkatli ol: __ = __ ...
5
2
10
Aşağıdaki tabelada 5 günde, günde üç defa ölçülen derecelerle ilgili veriler verilmiştir.
158
3
Pazartesi günün ortalama derece ne
kadardır?
Hangi gün ve saat kaçte en yüksek derece
vardır?
Beş günün öğle saatlerinde derece ne
kadardır?
Hangi günün en yüksek derece farkı
vardır?
Günler
Saat 7
Saat 12 Saat 19
Pazartesi
18 oS
24 oS
23 oS
Salı
23 oS
29 oS
23 oS
Perşembe
15 oS
17 oS
22 oS
Cuma
17 oS
22 oS
20 oS
Pazar
22 oS
28 oS
25 oS
Bir okuldaki VI2 sınıfında 32 öğrenci vardır. Sevilen besinlerle ilgili soruların cevapları tabelada
verilmiştir.
Sevilen Besin
Öğrenci
Bütünün
Besin türü
sayısı
bölümü
1
__
Sebze
16
2
1
__
Meyve
8
4
1
__
Et
8
4
Tüm öğrenciler bir bütün oluşturuyorlar. (Çizimdeki gibi
daireyle göster.)
Daireyi iki yarıma böl.
Bir yarımı yeşile boya, diğerini ise iki eşit bölüme ayır
(çeyrek).
Çeyrekleri boya.
Sebze seven öğrencilerle ilgili bölüm hangi renge
boyanmıştır?
Çizimde gösterilen diyagram dairesel diyagram
olarak adlandırılır. Dairesel diyagram bütünün
bölümleriarasındaki ilişkiyi gösteriyor.
4
5 günün dereceleri
1
__
2
Sebze
1
__
4
Meyve
1
__
4
Et
32 öğrencinin sevdiği
besinler
Dairesel diyagram yardımıyla verileri göster:
Bir sınıfta 28 öğrenci vardır. Öğrencilerin
3
1
__
‘ü limon suyu, __‘i ise şeftali suyu
4
4
istiyor.
2
1
Bir gezi sırasında öğrencilerin __‘i körebe, __ ‘si
6
6
1
futbol oynamışlar, __ ‘i ormanda koşuşturmuşlar,
6
diğerleri ise orman mahsülleri toplamışlar.
Diyagramlar yardımıyla veriler farklı biçimlerde gösterilebilir.
Diyagramları okumak ve anlamak için kolaydırlar. Çok farklı
diyagram türleri vardır: sütun şeklinde, resimli, dairesel ve
hepsinin olumlu ve olumsuz yanları vardır. Gözlemle!
Bu ilginçtir! Eğer
daha fazla bilmek
istersen.
Öğrenci sayısı
Sevilen spor
Sütun Diyagram
☺ Avantajlar:
35
30
25
20
15
10
5
0
159
Veriler kolay okunuyor;
Büyüklükler kolay karşılaştırılıyor.
Dezavantajlar:
F
B
H
Eğer sütunlar yakın büyüklükte ise veriler zor
okunur;
J
Spor
F- Futbol; B - Basketbol;
H - Handbol; J - Jimnastik
Basamağa bağlı olarak büyük farklarla ilgili yanlış
izlenim elde edilebilir.
Resim Diyagram
☺ Avantajlar:
Sevilen Spor
F
B
H
J
Veriler kolay okunuyor;
Kolay karşılaştırılıyorlar.
Dezavantajlar:
Bir
r
ya
si a
lg
Bi
O
Spor
Doğru sayının gösterilebilmesi için
sembol ve işaret bölümlerinin
mutlaka kullanılması gerekiyor;
işareti 2 öğrenciyi belirtiyor
m
ku
ak
Film
Müzik
Doğru sayı tespit etmek için mutlaka
hesaplama yapılması gerekiyor.
Dairesel Diyagram
☺ Avantajlar:
Bütün ve bütünün bölümleri çok iyi karşılaştırılıyor.
Dezavantajlar:
Bütünün bölümleri küçük olduğunda kullanmak zordur.
5
Tabelada, Ahmet’in bir gün içerisinde (24 saat) zamanını nasıl geçirdiği ile ilgili bilgiler verilmiştir.
Ahmet’in Bir Günü
6
Verileri sütun diyagramıyla göster.
Günler
Saat olarak zaman
Okul
6
işareti 2 saati ifade etsin.
Okumak
3
Verileri sektörel diyagramda göstermeyi
Uyumak
9
dene.
Yemek
2
Oynamak
4
Verileri resim diyagramıyla göster,öyle ki
Ahmet’in zamanını nasıl geçirdiği ile ilgili verilerin gösterildiği tüm yöntemlerin avantaj ve
dezavantajlarını yaz.
160
10
ONDALIK SAYILARDA TOPLAMA
A
Aşağıdaki kesirleri ondalık sayılar
şeklinde göster.
3
156
3
____
, ___ ve 6 ___
100
10
1 000
2047,0138sayısını tabelada yaz.
1
Mimoza yılbaşı hediyelerini paketlemek için
2,37 mkırmızı şerit ve 1, 52 mmavi şerit satın
almış. Mimoza toplam kaç metre şerit satın
almış?
Hesaplaman gerekiyor:
2,37 m
+ 1,52 m
Aşağıdaki talimatlara göre çalış ve sonucu izle.
BB YB OB B
, O
Y
B
OB YB
2 m‘de kaç santimetre var? 3 m’de
ne kadar var? Şunlarda ne kadar
var:
a) 2,5 m? b) 2,6 m? c) 2,58 m?
sayılarını ondalık
Ölçü
sayılar şeklinde göster.
2,37 =
toplamlarını
Onların
belirle.
237
152
389
___
___
___
+
=
100
100
100
ondalık sayı
Toplamı
olarak göster.
389
___ = 3,89
100
2,37
+ 1,52
3,89
Görüyorsun ki:
237
152
___
___
; 1,52 =
.
100
100
Ödevin başka şekilde çözümünü izle.
Metreleri santimetrelere dönüştür
2,37 m = 237 cm; 1,52 m = 152 cm
237 cm
+ 152 cm
389 cm
uzunluklarının toplamını
Şeritlerin
belirle (santimetre olarak)
Toplamı metreye dönüştür
389 cm = 3,89 m
Pratik
Algıla ve hatırla!
Ondalık sayılar, doğal sayıların
toplandığı gibi toplanıyor. Bu
arada toplananlarda ve
toplamdaki ondalık virgüller
aynı dikey doğruda olmalıdır.
B
, O
Y
2 , 3 7
+
1 , 5 2
3 , 8 9
birler
Birler a
altınd
nlar
lar ozlükler
k
u
l
On da, yültında
altınüzler a
y
Pratik
161
Ondalık sayıların toplamını hesaplamak için bir biri
ardına yazman gerekiyor, şöyle ki:
bütün altına (birler birler altında, onlar onlar
Bütünler
altına vb.);
ondalık altında (onda birler onda birler
Ondalıklar
altında, yüzde birler yüzde birler altında vb.) ;
ve toplamın ondalık virgülleri aynı dikey
Toplananların
doğruda olsun;
Toplamın rakamlarını, doğal sayılar topladığın gibi aynı
şekilde belirle.
2
Daha pratik
42,6 ve 5,931 sayı
toplamlarının nasıl
hesaplandığını gözlemle.
Pratik şekilde hesapla:
134,62 + 0,691.
O
B
, O
Y
B
4 2 , 6
5 , 9 3 1
+
1
1
42,6
+ 5,931
48,531
15 3 1
4 8 , 5 3 1
3
Bir otobüs ilk saatte 62,3 km geçmiş, ikinci saatte ise ilk saatten
4,62 km daha fazla geçmiş. Otobüs iki saat için kaç kilometre
geçmiş?
Doğru olup olmadığını kontrol et:
362 + 8 = 8 + 362;
4 + 168 + 6 = 4 + 6 + 168;
174 + 0 = 0 + 174;
(72 + 56) + 44 = 72 + (56 + 44).
Doğal sayılarla toplamanın hangi
özelliklerini kullandın?
15 sayısını ondalık sayı olarak göster.
5
B
4
Doğru olup olmadığını kontrol et:
0,54 + 3,2 = 3,2 + 0,54
Toplamları hesapla:
0,54
3,2
+ 3,2 ve + 0,54
Toplananlar yerlerini değiştirdiğinde iki ondalık sayının
toplamı değişmez.
Bu ondalık sayılarla toplamanın değiştirilebilir
özelliğidir.
5 (3,4 + 12,9) + 4,2 ifadesinin
16,3 + 4,2 = 20,5 değeri vardır.
3,4 + (12,9 + 4,2) ifadesinin değerini hesapla.
Elde edilen değeri önceki ifadenin değeri olan 20,5 ile karşılaştır.
Ondalık sayılarla toplama için birleştirici özellik geçerlidir.
İfade et!
162
6
5,6 sayısını 2 için büyüt.
5,6 ve 2 sayılarının toplamlarını hesaplaman gerekiyor.
2 sayısını ondalık sayı olarak göster.
Toplananları alt alta yaz ve toplamı hesapla.
7 - doğal sayı
7,0
7,00
7
}
Hesapla:
ondalık
sayı
15,6 + 0
Ondalık sayı doğal sayıyla toplanıyor, öyle ki doğal sayı
ondalık sayıya dönüşecek ve ondan sonra her iki sayı
toplanacak.
Ondalık sayı ve
sıfırın toplamı
ondalık sayıya
eşittir.
0 + (2,6 + 4)
24,8
+
0,0
24,8
Kendini yokla!
Bilmen gerekir!
Sıra olarak ya da alt alta yazılmış olan ondalık
sayıların toplamını hesaplayasın;
Hesapla: 03,4 + 4,2; 56,37 + 2,8; 9,24 + 12.
Doğal sayıyı ondalık sayı olarak yazasın ve doğal sayı
ile ondalık sayının toplamını hesaplayasın;
Ondalık sayıların toplanması sırasında kolaylık
sağlamak için değiştirme ve birleştirme özelliklerini
kullanasın;
Ondalık sayının ve 0’ın toplamı ondalık sayıya eşittir.
6,7 + 2,4 = 2,4 + 6,7 denklemin doğru olup
olmadığını kontrol et. Ondalık sayılarda
toplamanın değiştirme özelliğini ifade et.
Hesapla: 6,4 + (12,8 + 3,6) ve (6,4 + 12,8) +
3,6. Elde edilen sonuçları karşılaştır.
Ondalık sayıları toplamanın birleştirme
özelliğini ifade et.
Ödevler
1. 100,075 sayısını aşağıda verilen şıklardaki
değerler için büyüt:
а) 63,3; b) 5;
c) 4,78ve 56,3 sayılarının toplamı;
2. Hesapla:
d) 0.
3. Aşağıdaki denklemleri çöz:
x - 156,6 = 1,54;
x - 4,0245 = 0,81.
4. Bir paraşütçü 4 sn kapalı paraşütle düşüyor.
İlk saniyede 4,9 m, her sonraki saniyede
ise9,8m daha fazla uçmuş. Söz konusu 4 sn
için kaç metre uçmuş?
5,6 + 25,8 =
0,142 + 6,71 =
4 + 4,48 + 4,886 =
362,003 + 54 + 0,72 =
5. Birinci sayının3,69 olduğu, ondan sonra
gelen her sayının bir öncekinden 3,69 için
daha büyük olduğu dört sayı yaz.
11
A
Hesapla:
163
ONDALIK SAYILARDA ÇIKARMA
24
3
1
___
+ 6 ___ + ___ .
100
100
100
7
70
__
= ___
Doğru oluğunu
10
100
kontrol et:
523
841
a) ___ - ___ ;
Hesapla:
100
100
b)
c)
612
___ - 549
___
;
10
10
263
___ - 0.
100
1
Hesapla:
2,78
- 0,24
Aşağıda arananlara göre hareket et
Ondalık sayıları ondalık kesirlere dönüştür:
278
24
2,78 = ___ ; 0,24 = ___ .
100
100
24
254
278
___
___ ___
=
.
100 100 100
Farklarını belirle:
Elde edilen farkı ondalık sayıya çevir:
254
___
= 2,54.
100
Demek ki: 2,78
- 0,24
2,54
2
Hatırlamalıyım:
Ondalık sayılarda
çıkarma doğal
sayılarda çıkarma
gibidir.
Alt alta yazma sırasında
eksilenin ve çıkanın ondalık
virgülleri aynı dikey hizada
olmalıdır.
„Gradinar” şirketi pazara 2,745 t patates götürmüş ve 1,423 t satmış. Kaç ton patates satılmadan
kalmış?
Satılan patates miktarı toplam patates miktarından çıkarılmalıdır.
Hangi sayıların çıkarılması gerekiyor
Patates tonlarını kilogramlara çevir.
Kilogramları gösteren ölçüm sayılarını çıkar.
Elde edilen kalanı tonlara çevir.
Ondalık sayıları alt alta yaz ve farkı hesapla.
2,745 t - 1,423 t, yani
-
2,745
1,423
2,745 t = 2745 kg; 1,423 t = 1423 kg.
2 745
- 1 423
1 322
Kalan şu kadardır: 1322 kg = 1,322 t.
-
2,745
1,423
1,322
164
Pratik:
27,48
- 0,36
27,12
onluklar onlar
altında, yüzler
yüzler altında
Bütünler
bütünler altında
İki ondalık sayının farkını hesaplayabilmek için, alta alta yazman
gerekiyor yani:
çıkarma
yönü
3
sayılar tam altında (birler birler altında, onlar onlar altında
tam
vb.);
ondalıklar ondalık altında ( onda birler onda birler altında, yüzde
birler yüzde birler altında vb.);
eksilenin, çıkanın ve farkın ondalık virgülleri aynı dikey hizada
olmalıdır.
fark rakamlarını doğal sayılarla çıkarmada olduğu gibi aynı
şekilde belirle.
Bir yayanın 12 km geçmesi gerekiyor. İlk saatte 4,28 km geçmiş. Geçmesi için daha kaç kilometresi
kalmış?
Yayanın kaç kilometre daha geçmesi gerektiğini hesaplaman için geçtiği yolu toplam yol
uzunluğundan çıkarman gerekiyor.
Şunu gerçekleştir:
12 eksilenini ondalık sayı olarak yaz (ondalık
sayıdan sonra iki sıfırla);
ondalık sayıları alt alta yaz ve çıkarma
işlemini gerçeklşetir.
4
29,563 sayısını 15 için küçült.
Hatırlamam gerekiyor: Doğal ve
ondalık sayılarda çıkarma
sırasında, doğal sayı ondalık
sayının ondalıkların sayısı kadar
sıfırlarlaondalıksayı olarak
yazılıyor.
Ondalık sayıdan doğal sayı çıkarman gerekiyor. Şu şekilde hareket et:
çıkan 15sayısını 3 sıfırlı (ondalıklar) ondalık sayı olarak yaz;
iki ondalık sayıyı alt alta yaz ve çıkarma işlemini gerçekleştir.
5
Hesapla: 6,84 - 0.
Aşağıdaki talimatlara göre hareket et.
Eksileni ondalık sayı olarak göster ve çıkarma
işlemini gerçekleştir.
Elde edilen farkı ondalık sayıya dönüştür.
Hatırlamam gerekiyor: Ondalık sayıdan
sıfırın çıkarılmasıyla, fark olarak aynı
ondalık sayı elde ediliyor.
-
5,2
0,0
5,2
Bilmen gerekir!
Kendini yokla!
Eksileni ve çıkanı alta alta düzgün yazasın ve çıkarma
işlemini gerçekleştiresin;
165
Hesapla:
a) 6,27 - 5,12; b) 43,7 - 5,849.
Eksilen ya da çıkan doğal sayı olduğunda, onu
ondalık sayının ondalıkları kadar sıfırlarla ondalık sayı
olarak göstermen gerekiyor;
7sayısını 0,7 için küçült.
Çıkarma işlemini sağdan sola gerçekleştiresin;
8 ve 8,8 sayılarının toplamını 0 için küçült.
6,5 saysını 5 için küçült.
Çıkan 0 olduğunda, fark eksilene eşittir.
Ödevler
1. Hesapla:
26,3 - 5,2
1042,07 - 148,396
5,68 - 2
4.
5,96 - 4,87
64 sayısını 6,4 ve 4,64 sayılarının farkı kadar
büyüt.
343 - 3,27
846,825 - 0
5.
2. Hesapla:
56,62 ne kadar için 46,31’den daha büyüktür?
100 ne kadar için 301,62’den daha küçüktür?
54 ne kadar için 25,64’ten daha büyüktür?
Eksilen 24,6, fark ise 2,6’dır. Çıkanı
belirle.
Çıkan 6,2, fark ise 2,6’dır. Eksileni
belirle.
Fark 64,3’dır. Bu fark 3 için çıkandan
daha büyüktür. Eksileni belirle.
3,8 ne kadar için 0’dan daha büyüktür?
3. 6 m uzunluğundaki bir su tesisatı borusu 3
parçaya ayrılmıştır. İki parçanın uzunlukları
şöyledir: 3,2 m ve 2,46m. Üçüncü parça kaç
metredir?
6. Sıvı yağın ve şişenin birlikte 1,23 kg’ı vardır.
Şişenin 462 g kütlesi vardır. Yağın kütlesi kaç
kilogramdır?
Alıştırmalar!
İki rakamlı bir doğal sayının ve bir ondalık sayının toplamı 26,3’tür. Ayşe, bu
sayıları toplarken ondalık sayının virgülünü yanlış koyup bir sola kaydırmış ve
13,43 toplam elde etmiş. Ayşe hangi sayıları toplamış?
12
166
ONDALIK SAYILARDA ÇARPMA
A 1
Hesapla:
10 ⋅ 526; 100 ⋅ 526; 1000 ⋅ 526.
Yukardaki çarpma işlemleri sırasında
çarpımdaki sıfırlarla ne olduğunu açıkla.
Bir yaya 1 saat içinde 3,635 km
geçiyor. Mola vermeden ve aynı hızla
hareket ederse, 10 saat içinde kaç
kilometre geçmiş olacak?
3,635 km • 10 hesaplaman gerekiyor.
Adımları ve çözümü gözlemle.
Bir yer için sağa doğru
kay!
Hatırlamam gerekiyor:
Ondalık sayı 10 ile
çarpıldığında, o sayının
ondalık virgülü bir yer
için sağa kayıyor.
2
Kilometreleri metreye
dönüştür.
3,635 km = 3635 m.
Çarpımı 10 ile hesapla
(metre olarak).
3635 m ⋅ 10 = 36350 m.
kilometrelere
Çarpımı
dönüştür.
36350 m = 36,35 km
Çarpımda ondalık virgülün
bir yer için sağa kaydığını
fark ediyorsun.
36,35 km ⋅ 10 = 363,5 km
1,438 sayısının 10, 100ve 1000 ile çarpımını hesapla.
Hesap makinesi kullanabilirsin (burada ondalık virgül yerine nokta, "•"işareti yerine ise "х" vardır).
Hesap makinesiyle şu elde edilyor:
1
0
x
1
.
4
3
8
=
1
0
0
x
1
.
4
3
8
=
1
0
0
0
x
1
.
4
3
8
14.38
143.8
=
1438.
Gözlemle!
Ondalık sayının 10, 100, 1000, ... ile çarpımı sırasında, onun virgülü uygun şekilde bir, iki, üç… yer
için sağa kayar, yani ondalık birimde var olan sıfırların sayısı kadar sağa kayar.
3
Sözlü hesapla:
1 ⋅ 0,06; 10 ⋅ 0,06; 100 ⋅ 0,06; 1 000 ⋅ 0,06; 10 000 ⋅ 0,006.
Hatırlamaya çalış
B 4
Hesapla:
2,3 + 2,3 + 2,3.
Bu toplamı kısaca (sadeleştirilmiş) nasıl
yazabilirsin?
Murat’ın adımında 0,74m
vardır. Murat 4 adım
attığında kaç metre
geçmiş oluyor?
167
Şunu hesaplamalısın: 4 • 0,74m.
Aşağıda verilenleri kontrol et!
0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3 = 2,1?
Hatırlatma!
Verilen talimatlara göre çalış ve gözlemle.
Metreleri santimetrelere dönüştür.
4 ile çarpım gerçekleştir (cm olarak).
Çarpımı metrelere dönüştür.
Çarpımın nasıl elde edildiğini gözlemle.
Ondalık sayı doğal sayıyla
çarpılıyor, doğal sayıların
0,74 m = 74 cm
4 ⋅ 74 cm = 296 cm
çarpıldığı gibi. Çarpımdaki
ondalıkların sayısı, ondalık
296 cm = 2,96 m
sayının basamaklarıyla
4 ⋅ 0,74 m = 2,96 m
eşittir.
9 sayısının çarpımını şu sayılarla hesapla:
5
2400,8;
C
6
5612,9;
428,27;
20,3;
0,9.
a = 4,6 cm ve b = 3,2 cm kenarları olan dikdörtgenin alanı P’yi hesapla.
Dikdörtgenin alan formülüne göre (Р = a • b), 4,6 ve 3,2 ölçüm sayılarının (ebatların)
çarpımını belirlemen ve santimetre karelerle yazman gerekiyor.
Talimatları ve çözme biçimini gözlemle:
Dikdörtgen kenarlarının uzunluklarını milimetrelere dönüştür.
Dikdörtgenin alanını hesapla (milimetre kare olarak).
Alanı santimetre kareye dönüştür.
Ebatların ölçülmüş ve ölçülmemiş çarpımlarını gör ve ondalık sayıların nasıl
4,6 cm = 46 mm
3,2 cm = 32 mm
46 ⋅ 32 = 1472
R = 1472 mm2
R = 14,72cm2
4,6 ⋅ 3,2 = 14,72
çarpıldığını açıkla.
İki ondalık sayı doğal sayıların çarpıldığı gibi çarpılıyor, çarpımda ise iki çarpanın toplam
ondalık sayısı kadar ondalık yerleri ayrılıyor.
Hesapla: 0,04 • 0,23. Çözümü takip et!
0,2 ⋅ 0,03 = 0,006
Neden 6 rakamının
önünde iki tane sıfır
var?
D
Hesapla:
4,56 ⋅ 3,7 = 16,879
Çarpımdaki ondalık
sayısı 3’tür. Oysa
sadece tek bir rakam
vardır (6 rakamı).
Bunun için her iki
ondalık yeri sıfırlarla
dolduruluyor.
0,6 . 6,1 =
8
Hesapla:
2 + 1
=
3
Çarpımda ondalık
sayısı
7
Çarpanlarda
ondalık sayısının
toplamı
168
7,04 ⋅ 20,6;
20,6 ⋅ 7,04
Gözlemle!
0,6 . 9,9 =
Eğer çarpanlar yer değiştirirse, iki ondalık sayının çarpımı
değişmez, yani herhangi iki ondalık sayı a ve b için:
0,6 . (6,1 + 9,9) =
Sonuçları kıyasla.
a ⋅ b = b ⋅ a (değiştirme özelliği) geçerlidir.
9
Hesapla ve çarpımları karşılaştır:
2,3 ⋅ (7,2 ⋅ 0,1) =
;
(2,3 ⋅ 7,2) ⋅ 0,1 =
.
Ondalık sayıların çarpımı çarpanları gruplandırma biçimine bağlı değildir, yani herhangi bir ondalık
sayı a, b ve c için:
a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c (birleştirme özelliği) geçerlidir.
10
Doğal sayılarda çarpma işleminin toplama işlemi üzerinde dağılma özelliğini göster.
Bu özelliğin 3,48; 1,01ve 5,2, ondalık sayıları için geçerli olup olmadığını kontrol et yani,
(3,48 + 1,01) ⋅ 5,2 = 3,48 ⋅ 5,2 + 1,01 ⋅ 5,2.
Gözlemle!
Herhangi bir ondalık sayı a, b ve c için: (a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c; c ⋅ (a + b) = c ⋅ a + c ⋅ b
(değiştirme özelliği) geçerlidir.
11
Hesapla:
a)
3,76 ⋅ 0;
(5,2 + 8,03) ⋅ 0;
5,6 - 0 ⋅ 0,3;
b)
9,8 ⋅ 1;
(7 - 0,4) ⋅ 1 ;
2,3 + 1 ⋅ (8,7 + 2)
Gözlemle!
169
Herhangi bir ondalık sayı a için şu doğrudur: a ⋅ 0 = 0 ⋅ a = 0;
Bilmen gerekir!
a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a.
Kendini yokla!
Ondalık sayı ve ondalık birimin çarpımını
hesaplayasın;
Hesapla:
a)
4,286 ⋅ 100 =
Ondalık ve doğal sayının çarpımını
hesaplayasın;
b)
3,7 ⋅ 7 =
c)
9,6 ⋅ 3,01 =
8000 ⋅ 0,03 =
;
6 ⋅ 2,005 =
;
;
;
;
0,004 ⋅ 6,03 =
.
Ondalık sayı ve ondalık sayı çarpımını
hesaplayasın;
Doğru olup olmadığını açıkla (hesaplama yapmadan):
Çarpım işlemi özelliklerini uygulayasın.
6,34 ⋅ 0,1 = 0,1 ⋅ 6,34;
(1,2 ⋅ 5,6) ⋅ 0,01 = (1,2 ⋅ 0,01) ⋅ 5,6 = 1,2 ⋅ (5,6 ⋅ 0,01);
(4,1 + 2,5 - 6) ⋅ 0,04 = 4,1 ⋅ 0,04 + 2,5 ⋅ 0,04 - 6 ⋅ 0,04.
Ödevler
5. Verilen ifadelerin değerlerini hesapla:
1. Hesapla:
0,748 ⋅ 10 =
3,6 ⋅ 100 =
10 ⋅ 9,4 =
;
;
100 ⋅ 10,006 =
;
0,2 ⋅ 1 000 =
;
2,4 ⋅ 12 + 6 ⋅ 5,412 - 16 =
;
0,004 ⋅ 25 + 6,1 ⋅ 10 + 5 =
.
.
6. 16,009 ve 9,0016 sayılarının toplamı ve
2.
3.
Sayılardan her birini 10 defa büyüt: 1,8;
0,0072; 1 000,01.
Sayılardan her birini 1 000 defa büyüt: 3,4;
0,007; 96,006.
Hangi sayı 2 000,2 sayısından 2 000 defa
daha büyüktür?
Hesapla:
6,405 ⋅ 7 =
0,0063 . 3 =
farkının çarpımını belirle.
7. Mimoza’nın 6000denarı varmış. Parasının
0,65’ini patenler için harcamış, 0,2’sini defter
ve okul malzemesi için harcamış. Kaç parası
kalmış?
8. İfadeleri karşılaştır:
315,002 ⋅ 12 =
;
;
4,65 ⋅ 0,524 ve 5,24 ⋅ 0,465.
.
4. Boyutları 6,8 m ve 9,4m olan ders sınıfın
taban alanını hesapla.
9. Birinci sayının 1,6, ondan sonra gelenlerin ise
bir öncekinden 1,5 defa daha büyük olduğu
dört tane sayı yaz.
170
13
ONDALIK SAYILARDA BÖLME
A
Hesapla:
1
Çarpımları belirle:
6,25 ⋅ 10 =
34,7 ⋅ 10 =
2,136 ⋅ 100 =
;
5,432 ⋅ 100 =
;
;
412 : 100 =
;
.
Şunu hesapladın ki
148 ⋅ 23 = 3 404 denklemin bölümünü belirle:
3 404 : 23 =
;
1,3458 ⋅ 1 000 =
Bölme sırasında bölümü ve kalanı belirle:
265 : 10 =
;
6,25 ⋅ 10 = 62,5;
.
5,432 ⋅ 100 = 543,2;
1,3458 ⋅ 1 000 = 1 345,8.
Ondalık birimlerde sıfırların sayısını ve ondalık virgülün çarpımdaki yer değiştirmesini gözle. Neyi fark
ettin?
Elde edilen denklemlerden bölümleri belirle:
62,5 : 10 =
;
543,2 : 100 =
;
1 345,8 : 1 000 =
.
Gözlemle!
62,5 : 10 = 6,25;
543,2 : 100 = 5,432;
1 345,8 : 1 000 = 1,3458.
Her bölümde virgül, bölünene ve ondalık
birime göre nasıl yer değiştirmiştir?
Farkettim ki: Ondalık
sayıyı 10 ile
böldüğümde, ondalık
virgülünü bir yer sola
kaydıracağım.
: 10
6,2 , 5
Hatırla!
Ondalık sayı ve ondalık birimin çarpımı (10, 100, 1 000...), virgülün ondalık sayıda ondalık birimdeki
sıfırların sayısı kadar sola doğru kaydırılmasıyla elde edilir.
2
Hesapla:
34,7 : 10 =
3
Hesapla:
;
257,1 : 100 =
6,3 : 10 =
ve 3,2 : 100 =
;
17 845,32 : 1 000 =
.
.
Gözle ve hatırla!
0,63 ⋅ 10 = 6,3;
0,032 ⋅ 100 = 3,2;
6,3 : 10 = 0,63
3,2 : 100 = 0,032
Eğer hesaplama sırasında ondalık virgülün
solunda yeteri kadar yer yoksa, o zaman gerekli
sayıya sıfır eklenir.
4
171
2 685,7; 3,78; 12 ve 0,06 sayılarının 10, 100 ve 1 000 ile bölümlerini belirle.
Aşağıdaki sayıların bölünmesinde
bölümü ve kalanı belirle.
а) 3728sayısı 16 ile;
b)6412 sayısı 24 ile.
B
5
7,23 m uzunluğundaki şeridi 3 eşit bölüme
ayır. Her bölümün uzunluğunu belirle.
Şunu hesaplamalısın:
7,23 : 3 =
.
Talimatlara göre çalış. Çözümü gözlemle.
7,23 m = 723 cm
Şeridin uzunluğunu santimetrelere çevir.
Bölümü santimetre olarak hesapla.
723 cm : 3 = 241 cm
12
3
Elde edilen bölümü metrelere çevir.
241 cm = 2,41 m
Farkediyorsun ki: 7,23 : 3 = 2,41, çünkü, 2,41. 3 = 7,23.
Metreler santimetrelere çevrilmeden 7,23 m : 3 nasıl hesaplanabilir?
sayısını ondalık virgüle önem
7,23
vermeden 3 ile böl.
Bölme işlemini bitirdikten sonra, bütünle
bölme işlemini bitirdiğin yerde bölüme
virgül koy.
7,23 : 3 = 2,41
453,6
-6
- 28
12
173
- 12
- 168
3
56
-3
Önce ilk ondalığı
0
indiriyoruz…
Hatırlatma!
: 28 = 16,
…ondan sonra
bölüme virgül
koyuyoruz.
Aşağıda arananlara göre çalış:
Ondalık sayıyı doğal sayıyla bölme sırasında doğal sayılar böler gibi işlem yap.
Onda birlerin ondalığını indirdiğinde, bölüme virgül koy.
6
292 : 16 sayısını kalansız hesapla.
Şunu yap:
Bölüneni ondalık sayı olarak göster.
Belirtilen bölme işlemini gerçekleştir fakat, şimdi ondalık sayının
doğal sayıyla bölünmesi gibi yap.
56,0 : 35 = 1,6
- 35
210
- 210
0
172
7
Hesapla:
2 728 : 4 =
;
Eğer bütün bölenden daha küçük ise, o
zaman bölümde 0 bütün yazılır.
Hesapla:
;
27,28 : 4 = . .
Örnek:
Hatırla!
8
272,8 : 4 =
10,626 : 23 =
0,9768 : 37 =
0,06723 : 9 =
4,752 : 6 = 0,792
- 0
47
- 42
55
- 54
12
- 12
0
Sıfır tam
3,45 : 5 =
Kalansız hesapla: 365,4 : 9; 27,0 : 4.
78ve 12 sayılarının bölümünü kalansız belirle. Bu
arada 78 sayısını ondalık sayı olarak göstermene
ihtiyaç var (78,0).
C
Eğer bölen ve bölünen aynı sayıyla çarpılırsa
bölümle ne olacak?
9
Bir dikdörtgenin alanı 1,38 dm2,
genişliği ise 0,6 dm’dir.
Dikdörtgenin uzunluğunu
belirle.
Şunu hesaplaman gerekiyor:
1,38 : 0,6 =
.
Verilen talimatlara göre çalış. Çözümü gözlemle.
kareleri santimetre karelere, desimetreleri de
Desimetre
santimetrelere çevir.
1,38 dm2 = 138 cm2; 0,6 dm = 6 cm
Dikdörtgenin uzunluğunu belirle (santimetre olarak).
138 cm : 6 = 23 cm
Dikdörtgenin uzunluğunu desimetrelere çevir.
23 cm = 2,3 dm
Gözlemle!
1,38 : 0.6 = 2,3.
Hesapladığımıza göre 1,38ve 0,6 sayılarının bölümü 2,3 sayısıdır yani, 2,3 • 0,6 = 1,38. 2,3 sayısı,
desimetreler santimetrelere çevrilmeden de elde edilebilir.
Talimatlara göre çalış
Böleni ve bölüneni 10 kat büyüt;
Şimdi bölen doğal sayı olduğu için, 13,8 ondalık sayısının
ve 6 doğal sayısının bölümünü belirle.
Örnek:
23,12 : 3,4 =
23,12 ⋅ 10 = 231,2; 3,4 ⋅ 10 = 34;
231,2 : 34 = 6,8
272
0
Hatırlamam gerekenler! Ondalık sayı ondalık sayıyla bölünüyor öyle
ki:bölenin doğal sayı olması için gerekli olduğu kadar ondalık virgülleri
bölenve bölünende sağa doğru kaydırılır.
Ondan sonra elde edilen sayılar bölünüyor (öyle ki, verilen sayı doğalsayıyla
bölünüyor).
10
Hesapla:
a) 3,4 : 0,017 =
b) 0,64 : 0,0032 =
;
173
.
Dikkat et! Bölünendeki ondalık sayısı bölendeki ondalık sayısından daha küçüktür. Onun için
düşün ve cevapla: Bölünende sağdan kaç tane sıfır eklenmelidir ki, ondan sonra ondalık
virgülleri kaydırılabilsin?
Bilmen gerekir!
Kendini yokla!
Ondalık sayı ve ondalık birimin
bölümünü hesaplayasın;
Hesapla:
34,6 : 10 =
6,485 : 1000 =
;
;
62,17 : 100 =
.
Ondalık sayı ve doğal sayı bölümünü
hesaplayasın;
257,52 : 12 hesapla ve çözümü kontrol et.
Bölenin ondalık sayı olduğu bölümü
hesaplayasın.
Aşağıda verilen işlemlerin hesaplanabilmesi için, ondalık
virgülün bölünende ve bölende kaç yer sağa
kaydırılması gerekiyor?
12,031 : 1,6 =
;
Ödevler
0,345 : 0,025 =
1. Hangi sayı 4,76 sayısından:
3,101 : 0,08 =
.
4. Hesapla:
а) 10 defa;
b) 100 defa;
c) 1 000 defa daha küçüktür?
6 : 0,2 =
;
48 : 0,12 =
2. Hesapla:
0,75 : 0,15 =
;
;
735 : 35 =
4:5=
;
27 : 1 125 =
;
;
4 onlukta;
341,3 : 12 =
2 onlukta.
;
0,044 : 0,25 =
;
.
;
1,95 : 15 =
23,45 : 37 =
;
1,836 : 0,204 =
3,417 : 0,85 =
0,6 : 3 =
;
5. 0,14 sayısı 0,7 ‘den kaç defa daha küçüktür?
6. Hesapla ve çözümü kontrol et:
34 : 0,085 =
;
12,4 : 0,031 =
3. 6 onlukta hesapla:
1:7=
;
4:7=
;
2:7=
;
5:7=
;
100 ⋅ x = 2,416;
3:7=
;
6:7=
;
156,12 : x = 10;
Bölümlerin ondalıkları için ne tespit ettin?
33 : 1,28 =
;
7. Denklemleri çöz:
0,018 = 18 ⋅ x;
0,0625 ⋅ x = 3,1275.
0,0108 : 1,6 =
;
.
174
8. Bir yolcu 5 saat için 14,730 km
10. VI3 sınıfında 34 öğrenci varmış. Yılın
geçmiş. Bir saat için ortalama olarak
kaç km geçiyormuş?
9. Verilen ifadelerin değerini belirle:
sonunda matematikten kaydedilen başarı
şöyleymiş: 15 öğrenci pek iyi, 9 öğrenci
çok iyi, 7 öğrenci iyi ve 3 öğrenci yeter.
Sınıfın matematikten ortalama başarısını 2
ondalıkla hesapla.
(6,72 : 0,6 + 1,125 ⋅ 0,8) : 1,21 + 8,375 =
2,5 + 0,39 : 0,5 + (2,31 + 0,058) : 3,2 =
DAHA ÇOK BİLMEK İSTEYENLER İÇİN
1. Aşağıda verilen denklemlerin doğru olup olmadığını kontrol et:
(5,6 + 4,4) ⋅ (5,6 - 4,4) = 5,62 - 4,42; (5,62 = 5,6 ⋅ 5,6; 4,42 = 4,4 ⋅ 4,4)
(2,4 - 1,8)2 = 2,42 - 2 ⋅ 2,4 ⋅ 1,8 + 1,82.
2. Hangi sayı sıfırdan farklı olan her ondalık sayıyla kalansız bölünebilir?
3. Eğer:
а)Bir toplananı 2,3 için diğerini ise 3,2 için artırırsak iki sayının toplamı nasıl değişecek?
b) Eksilen 5,8 için artarsa, fark ise 5,8 için azalırsa çıkan nasıl değişecek?
c) Bir sayıyı 8,75 ile, diğerini de 0,72 ile çarparsak iki sayının çarpımı nasıl değişecek?
d) Bölüneni 1,25 ile çarparsak, böleni ise 4 defa küçültürsek bölüm nasıl değişecek?
4. 1 kg undan 1,252 kgekmek elde edilir. 576 kg undan kaç ekmek elde edilir?
5. 9,2’den 3,5 defa daha büyük olan sayı elde etmek için, hangi sayıya 2,2 eklenmelidir?
6. Kenarı 15,34 m olan karenin alanı, kenarları 16,12 mve 12,03 m olan dikdörtgenin alanından ne
kadar için daha büyüktür?
7. Denklemleri çöz:
5,7x + 3,1x + 0,4 = 34,21;
x : 8,04 = 5,05;
3,48 : x = 1,45;
(x - 2,5) : 5,1 = 0,8.
14
KESRİN ONDALIK SAYIYA ÇEVRİLMESİ
A
Hangi işlem kesir çizgisini belirtiyor?
3
__
kesrinde, kesir çizgisini o işaretle değiştir ve
4
işlemi gerçekleştir.
3
___
kesrini oku ve ondalık sayı olarak yaz.
100
Açıkla: ondalık kesir ondalık sayıya nasıl
çevriliyor.
1
175
3
__
kesrini ondalık sayıya çevir.
4
Talimatlara göre işlem yap:
Kesri 25 ile genişlet.
Elde edilen ondalık kesri ondalık sayıya çevir.
3
Kesin olarak __ = 0,75 mi elde ettin!
4
Hesapla 3 : 4.
Elde edilen sonuçları karşılaştır.
2
Aşağıdaki kesirleri genişletme ya da sadeleştirmeyle ondalık kesirlere, ondan sonra ondalık
1
3
5
132
164
sayılara çevir: __ , __ , __ , ___ ve ___ .
2
5
8
300
400
Örnek:
5
__
8
Elde edilen ondalık kesri ondalık sayıya çevir.
Hesapla
3
5:8=
.
11
5
3 , __
1 , __
__
ve __ kesirlerden hangisi ondalık kesire çevrilemez?
20
5 4 6
5
__
Bunun
kesri olduğunu kesin olarak fark etmiş olmalısın.
6
Hatırlatma!
Sadece paydası 2 ya da 5 çarpanlarının çarpımına ayrılan sadeleştirilemez kesir, ondalık kesir
olarak gösterilebilir.
Ondalık kesir olarak ifade edilebilen her kesir sınırlı ondalık sayıdır.
4
5
23
7
__ , __
ya da __ kesirlerinden hangisi sınırlı ondalık sayı ifade ediyor?
12
40 15
Kesirlerden hangisinin paydası 1000 olan ondalık kesire kadar genişletilebildiğini tespit et; ya da
payı paydayla böl ve elde edilen bölümlerden hangisinin sınırlı ondalık sayı olduğunu tespit et.
176
B 5
11
15
1 __
__
,
ve __ kesirlerini ondalık sayılara çevir.
37
3 11
Talimatlara göre çalış:
Paydaların 2 ve 5 çarpanlara ayrılıp ayrılmadığını yani, ondalık sayıların sınırlı ondalık sayısı olacak mı
olmayacak mı, tespit et.
Kesirin payını paydayla böl.
Mutlaka şunu elde ettin:
11
1
15
__
= 0,333...; __ = 1,363636...; __ = 0,297297.....
13
3
11
Elde edilen ondalık sayıların sonsuz ondalıkları vardır.
Böyle sayılara sonsuz ondalık sayılar denir.
Gözlemle!
Sayıların hepsinde, ondalık virgülünden sonra aralıksız olarak, bir ya da daha çok rakam aynı sırayla
tekrarlanıyorlar.
Böyle ondalık sayılara basit devirli ondalık sayılar denir.
Tekrarlanan rakamların oluşturduğu sayıya devreden denir.
Birinci sayıda devreden 3’tür, ikincisinde 36, üçüncüsünde ise 297.
0,333.... = 0,(3). Şöyle okunur: sıfır tam ve 3 devreden;
1,3636... = 1,(36). Şöyle okunuyor: bir tam ve 36 devreden....
C
6
5 679
7
__
, ___ ve __ kesirleri ondalık sayıya çevir.
18 495
12
Talimatlara göre çalış:
Kesirlerin paydalarını incele ve ondalık sayının sınırlı ondalık sayı olup olmadığını tespit
et;
Payı paydayla böl ve ondalık sayının devirli olup olmadığını tespit et.
Hesap makinesi kullanarak şu elde edilir:
5
679
7
__
= 0,2777...; ___ = 1,3717171...; __ = 0,58333...
18
495
12
Gözlemle!
Elde edilen ondalık sayılar devirlidir fakat, devirden önce bir ya da iki rakam vardır. Böyle ondalık
sayılara bileşik devirli ondalık sayılar denir.
Okunuşu:
0,2777... = 0,2(7) –sıfır tam, 2 onda bir ve
devir 7.
1,37171... = 1,3(71) –bir tam, 3 onda bir ve
devir 71.
0,58333... = 0,58(3) –sıfır tam, 58 yüzde bir ve
devir 3.
Hatırla!
177
Eğer bir doğal sayının ya da sıfırın
ardında virgül yazılırsa ve ondan
sonra rakamlar ilave edilirse, ondalık
sayı olarak adlandırılan sayı ifadesi
elde edilir.
Örneklerdeki 2, 3 ve 58 rakamlarına
devretmeyen sayılar (devir öncesi) denir.
Bilmen gerekir!
Paydaya göre, kesrin sınırlı ondalık sayıya ya
da sonsuz ondalık sayıya mı (devirli)
dönüştüğünü tespit edesin;
Kendini yokla!
2
Payı paydayla bölmeden, __ kesirin sınırlı
20
ondalık sayı oluşturup oluşturmadığını tespit
Devreden ve devretmeyenin ne olduğunu
açıklayasın;
et.
4
7 12
3 __
__
,
, __ ve __ kesirlerini ondalık sayıya
9
5 8 7
çevir.
Basit devirli ondalık sayı nedir;
Şu ondalık sayılarda devredenleri ve
Bileşik devirli ondalık sayı nedir;
devretmeyenleri belirle:
Hangi sayı sınırlı ondalık sayıdır;
Kesir:
- ya sınırlı ondalık sayıya;
2,777..... ; 0,64786478... ; 1,527373... ;
126,120404...
- ya da devirli ondalık sayıya dönüşebilir;
Başka, devirli olmayan sonsuz ondalık sayılar
da vardır. Bunları VIII. sınıfta göreceksin.
Ödevler
1. Aşağıdaki kesirleri paydada 10, 100 ve 1000
ortaya çıkacak şekilde genişlet ya da
sadeleştir, ondan sonra ondalık sayıya çevir:
3. Verilen ondalık sayılarda devredeni ve
devretmeyeni belirle:
0,378787... ; 6,543023023... .
4. Verilen sayıları devirli ondalık sayı işaretine
göre yaz:
3 ___
18
24 37 229 23 11 83
__
,
, __ , __ , ___ , __ , __ , __ .
5 200 20 25 125 80 32 64
2. Aşağıdaki kesirleri ondalık sayıya çevir:
2 __
9 __
3 19
5 37
24 1
2
__
,
,
, __ , __, __ , __ , __ , ___ .
3 11
5 20 20 27 15 18 275
4,636363... ;
0,102102... ;
3,54034034... ;
4,27117117... .
5. Aşağıdaki sayıları sonsuz ondalık sayı olarak
yaz:
a) 3,6(54) ;
b) 0,77(2401) ;
c) 6,(53) ;
d) 0,06(5231).
178
15
ONDALIK SAYILARIN YUVARLANMASI
A
3 128 sayısının binler basamağına
yuvarlanması 3 000 eder yani, 3 128 ≈ 3 000.
" ≈ " , şöyle okunur: ...ile yaklaşık olarak eşittir.
3 128 sayısını yüzler basamağına yuvarlak
yap.
Doğal sayının yuvarlama işlemi nasıldır?
135 ≈ 130veya 135 ≈ 140 olması mı
gerekiyor? Açıkla!
1
123 m2’ lik bir parseli VIa sınıfı
öğrencileri düzenliyorlar. Sınıfta 32
öğrenci vardır. Her öğrenci ortalama
olarak kaç metre kareyi düzenliyor?
Şunu hesaplaman gerekiyor: 123 : 32.
Bölümü belirle;
Öğrenci başına elde edilen metre karelerin
pratik olarak anlamını değerlendir.
Mutlaka şunu elde etmiş olmalısın:
123 : 32 = 3,84375 yani, her öğrencinin
3,84375 m2’ yi düzenlemesi gerekiyor.
Sayı sadece ikinci ondalığa kadar (dm2 ile)pratik olarak anlam taşır yani, sayının iki ondalık sayıya
yuvarlanması.
3,84375 sayısına en yakın olan iki ondalıklı sayılar şunlardır: 3,84ve 3,85 yani,
3,84 < 3,84375 < 3,85
Demek ki: 3,84375 ≈ 3,84 (şöyle okuyoruz: 3,84375yaklaşık olarak 3,84 ile eşittir) ve 3,84375 ≈ 3,85.
2
1,37268 sayısına, bir ondalığı olan en yakın iki ondalık sayısını belirle.
1,37268 sayısının bir ondalığa yuvarlanması sırasında yapılan hatanın ne kadar olduğunu tespit
et.
aranan sayıların şunlar olduğunu tespit etmişsindir: 1,3ve 1,4 yani,
Mutlaka
1,3 < 1,37268 ve 1,37268 < 1,4.
≈1,3 ve 1,37268 ≈ 1,4 sayılarındaki yuvarlamaların hepsinde yapılan hataların ne kadar
1,37268
olduğunu, farkları karşılaştırırsan tespit edeceksin:
1,37268 - 1,3 = 0,07268 ve 1,4 - 1,37268 = 0,02732
1,3 ya da 1,4 sayılarının hangi noktasına 1,37268 sayısının
noktası daha yakındır?
0,07268
1,3
0,02732
1,37268
1,4
Hatırlatma!
Her iki durumda yapılan hata 0,1’den daha küçüktür.
Diyoruz ki: 1,37268sayısını 0,1’lik doğruluk payıyla yuvarlak yapmışız yani, bir ondalıksayının doğruluğu
ile.
Verilen sayının yaklaşık değerinden ne kadar için daha büyük ya da daha küçük olduğunu gösteren
farka yuvarlama hatası denir.
Yuvarlama sırasında mümkün olduğu kadar az hata yapmaya çalış.
Görüyorsun ki 1,37268 sayısının 1,4 sayısı ile yuvarlanması (değişmesi), 1,3 sayısı ile
yuvarlanmasına kıyasen daha az hatalıdır.
Ondalık sayıyı verilen bir basamakta yuvarlak yapmak için şu yuvarlama kuralını
uygulamaya çalış:
179
rakamın sayı değeri 5’ten küşük ise, o zaman verilen basamaktaki rakam aynen kalır ve
eğer
sağındaki basamaklar atılır;
eğer rakamın sayı değeri 5 veya 5’ten büyük ise, o zaman verilen basamağın sayı değeri 1 artırılır
ve sağındaki basamaklar atılır.
3
4,8162704 sayısını şıklarda verilen basamaklara göre yuvarla:
а) bir ondalıkta yani, 0,1’e kadar;
d) 0,0001’e kadar;
b) 0,01’e kadar;
e) 0,0001’e kadar.
c) 0,001’e kadar;
Bilmen gerekir!
Kendini yokla!
Bir sayının verilen basamağa göre
yuvarlanması, belli pratik ihtiyaçlardan dolayı,
ondan daha büyük ya da daha küçük olan bir
sayıyla değiştirilmesi anlamına geliyor;
0,315 sayısını iki ondalıkta yuvarla.
7
__
kesrini basamak sayısı 0,001olan ondalık
34
sayıya çevir.
Verilen bir sayıyı, rakamların sayıdan atılması
kuralına göre belli bir basamakta yuvarlak
yapmak;
Eğer 1,47 ≈ 1,47328 ise, yuvarlamanın hata
payını belirle.
Bir ondalık sayının belli bir basamakta nasıl
yuvarlandığını açıklamak.
Ödevler
1. Verilen sayıları üç ondalığa yuvarla:
4. Hesapla:
2
4,26 + __ - 1,00312 şu basamak değeri ile: 0,01.
7
2,7145; 3,03277; 0,01523.
7
2. __ kesrini 0,1; 0,01; 0,0001 basamak
34
değerleriyle ondalık sayıya dönüştür.
5. Tabela yap, içindeki sayıları verilen basamak
değeriyle yuvarla ve yuvarlama hatasını
belirle.
Sayı
3. 4,7125 ve 3,3914 sayıların toplamını
0,001 basamak değeriyle hesapla.
0,0374
0,5386
426,4235
6,0141
Basmak
değeri 0,01
Yuvarlama
hatası
Basmak
değeri 0,01
Yuvarlama
hatası
V E R İ L E R L E D D Ç A L I Ş M A
180
A
16
1
ÖRNEK SEÇİMİ. ANALİZ VE SONUÇ
Birkaç soruya cevap vermek için tabelayı kullan.
En süratli ve en yavaş koşunun en büyük hızlarının farkını 0,1 basamağıyla yuvarla.
2000 yılındaki koşunun galibi, 1998 yılındaki koşunun galibinden ne kadar daha ağır/yavaş
koşuyormuş?
En hızlı iki yarışın ortalama en büyük hızı hangisi olurdu?
Yıl
1996
1997
1998
1999
2000
Galip
Mihael
Schumacher
Mihael
Schumacher
Dejvid
Coulthard
Mika
Hakinen
Mihael
Schumacher
En büyük hız
(km/h)
Tüm beş yarışın en büyük ortalama hızı ( aritmetik ortalama)
hangisidir?
310,36
1912 yılındaki bir yarışta, 2000 yılındaki yarışın en büyük
hızından 4 kat daha düşük olan en büyük hız elde edilmiştir.
Söz konusu hız ne kadardır?
344,44
Bir yolcu uçağı, 1999 yılında elde edilen en büyük hızdan 33,5 defa daha büyük olan hız/sürat elde ediyor. Uçağın bir
ondalık basamağına kadar olan hızı hangi sınırlar içindedir?
326,78
294,06
Veri analizi. Hangi iki yıl arasında sürat farkı şöyledir:
312,56
а) en küçük; b) en büyük; c) 50 km/saat civarında?
Tabelada verilen bilgilere göre hızlarla ilgili sütun diyagramı
oluştur.
B 2
Mehmet’in okuduğu okulda 1 200 öğrenci var. Mehmet, okulun yeni spor sahasına sahip
olmasını isitiyormuş. Yeni spor sahası için kaç öğrencinin ilgi göstereceğini öğrenmeye
çalışmış.
Mehmet her öğrenciye sorma yerine, öğrencilerin bir kısmına sormaya karar vermiş.
Mehmet, tüm sınıflardan 100 öğrenciye sormaya karar vermiş yani, örnek/denek seçmiş.
100 sayısı örneğin büyüklüğünü ifade ediyor.
Eğer Mehmet 1 200
öğrenciye sorarsa:
Eğer Mehmet 12
Eğer Mehmet 100
Olumlu
☺ Tam olarak kaç öğrencinin
yeni saha istediğini bilecek
☺
Kısa bir süre içinde
cevapları alacak
☺
Harcanan zaman
optimumdur
☺
Doğru değerlendirme
yapabilmek için yeterli
sayıda cevap alıyor
Olumsuz
Daha fazla zaman gereklidir
Az sayda cevap alıyor ki, bu doğru
değerlendirme için yeterli değil
☺
Örnek seçiminde büyüklük dışında, kimlerin bu örneği oluşturacağı da önemlidir.
Aşağıdaki durumlarda olumlu ve olumsuz olan yanlarla ilgili kendi düşünceni yaz:
181
eğer Mehmet sadece I. ve IV. sınıftan öğrencilere sorarsa;
eğer mehmet sadece sporla ilgilenen öğrencilere sorarsa;
eğer Mehmet kendi okulundaki tüm sınıflardan tesadüfen seçilmiş öğrencilere
sorarsa.
3
Mehmet, yeni spor sahası ile ilgili cevapları tabelada göstermiş, analiz yapmış ve sonuç çıkarmış.
Yeni Spor Sahası/örn.
Gözlemle!
Düşünce
Sayı
Oran
EVET
60
60
___
= 0,6
100
HAYIR
23
Bilmiyorum
17
Mehmet, sorulanlardan 0,6’sının yeni spor sahası istediğini
tespit etmiş.
O şöyle hesaplamış:
1 200’den 0,6 bu kadardır: 0,6 • 1 200 = 720
Mehmet öngörmüş ki: eğer 1 200 öğrencinin tamamına sorarsa, bunların yaklaşık
olarak 720’si yeni spor sahası için ilgili olduklarını/istediklerini cevaplardı.
Diğer iki cevabın oranını belirle.
Öğrencilerin kaçının yeni spor sahası istemedikleri, kaçının ise kararsız oldukları yönünde cevap
vereceklerini hesapla.
4
Film kaseti kiralayan bir dükkanın sahibi, şehirde hangi filmlerin en popüler olduğunu tespit etmek
istemiş. Şehir nüfusu 20 000 imiş. Satıcı 400 üye için bilgiler kaydetmiş.
En popüler video kasetler
Film Türü
Sayı
Oran
Çocuk Filmleri
40
40:400=0,1
Bilimsel Filmler
36
Komedi
152
Eski Filmler
100
Müzik Filmleri
72
Tabelanın „oran" başlıklı kısmında hangi bilgiler
yazılmalıdır?
Hesaplanan oranlar yardımıyla, şehirde farklı film
türlerine karşı ilgi gösterebileceklerini söylemenin
mümkün olduğu nüfusun sayısını belirle.
Elde edilen veriler kaset dükkanı sahibinin ne işine
yarayabilir?
182
17
KESİRLERİ, ONDALIK SAYILARI OKUDUN.
BİLGİNİ YOKLA
АВ = 6 cm olan bir doğru parçası çiz.
а) АВ doğru parçasında C noktası belirle
2
öyle ki: AC = __ AB.
3
1.
b) Eğer AD = 2 cm ise, ozaman AD = АВ olması
için yerinde hangi sayı olmalı?
2.
Sekiz eşit kutuda toplam 12 kg şeker vardır.
Bir kutuda kaç kilogram şeker vardır?
5 sayısını
payı 5
paydası 5
olan bir kesir olarak göster.
3.
11. Eğer 3,24 olan eksilen 0,24 için artarsa ,
0,324 olan çıkan ise 0,24 için azalırsa, o
zaman fark2 • 0,24 için artacaktır. Kontrol et.
12. 59,216 - 11,11=48,106
çıkarma işleminin doğru gerçekleştirilip
gerçekleştirilmediğini toplama işlemiyle kontrol et.
13. 12 346 • 24 = 296 304 çarpma işleminin
doğru gerçekleştirilip gerçekleştirilmediğini
kontrol et. Ondan sonra hesaplama yapmadan
çarpımı belirle:
1,2346 ⋅ 24.
12,346 ⋅ 2,4.
0,12346 ⋅ 0,24.
4.
Payı 2 olan,
1’den daha büyük
14. Bölümü hesapla:
55,56 : 2,4.
1’den daha küçük kesir yaz.
5.
6.
7.
Aşağıdaki toplamı sayı doğrusunda göster:
3
2
1
4
__
__
+ __ ;
+ __ .
8
8
5
5
84
____ kesri sadeleştirilemez kesire kadar
210
sadeleştir.
8.
9.
7
__
8
Toplamı hesapla:
26,4 + 2,64 + 0,0264.
Toplama işlemini gerçekleştir ve doğru
olup olmadığını kontrol et:
0,628 + 12,91 < 5,496 + 8,048
Elde edilen toplamların farkını belirle.
10.
15. 5,32 • 20 ve 0,64 • 1,2 çarpımları
hesapla,ondan sonra hesaplama
yapmadan bölümü belirle:
106,4 : 5,32.
0,768 : 1,2.
16. Denklemi çöz:
2,5 ⋅ x = 6,42: 1,2.
Aşağıdaki kesirleri sadeleştir:
56
____
kesrini 7 ile;
126
45
____
kesrini EBOB (45,270) ile.
270
0,84375 : 0,27.
x : 0,5 = 13,5 : 0,25.
17. (9,12 - 0,6) : 1,2 + 29,5 • 0,5
ifadesinin sayı değerini hesapla.
18. Aşağıdaki kesirleri ondalık sayı olarak yaz:
126
____
.
15
629
____
.
495
19. 2,861254 sayısını yuvarladıktan sonra
2,8613 sayısı elde edilmiştir. Bu sayı hangi
basamak değeriyle yuvarlanmıştır?
73 kesrini ondalık sayıya çevir ve 0,01
___
8
basamak değeriyle yuvarla.
20.
KONU 4.
183
ÖLÇME
1. Uzunluk, Hacim ve Sıvı İçin
Ölçü Birimleri
2. Zaman ve Derece İçin Ölçü Birimleri
3. Adlı Sayı
4. Çok Adlı Sayının Tek Adlı Sayıya
Çevrilmesi
5. Tek Adlı Sayının Çok Adlı Sayıya
Çevrilmesi
Adlı Sayılarla İşlemler
Alan Ölçüleri
Hacim Ölçüleri
Dikdörtgenler Prizmanın ve
Küpün Hacmi
10. Ölçme İçin Okudun.
Bilgini Yokla
6.
184 7.
187 8.
189 9.
192
194
196
201
203
206
210
184
1
UZUNLUK, KÜTLE VE SIVI ÖLÇÜLERİ
A
Cetvelde 1 dm, 3 cm, 8 mm ve
4 cm 6 mm uzunluklarını göster.
1
Yolların uzunluğunu ve iki
yerleşim yeri arasındaki
mesafeyi ölçmek için hangi ölçü
kullanılıyor?
UZUNLUK ÖLÇÜLERİ
АВ ve CD doğru parçalarının ve PQRST kırık çizgisinin
uzunluklarını değerlendir, ondan sonra ölçüm yaparak
yaptığın değerlendirmenin doğrulunu tespit et.
S
Q
V
D
1 kg’da kaç dekagram vardır?
C
Maden ocağından çıkarılan bir
madenin kütlesini hesaplamak
için hangi ölçü kullanılır?
A
R
P
T
Hangi ölçü birimlerini kullandın?
1 l’de kaç dl vardır?
Uzunluk için bildiğin diğer ölçü birimlerini say.
Uzunluğun esas ölçü birimi metredir (m).
Aşağıdaki tabelada metreden daha büyük ve daha küçük ölçü birimleri verilmiştir.
Metreden daha büyük
ölçü birimleri şunlardır:
dekametre
(dam)
hektometre
(hm)
kilometre
(km)
⋅ 10
1 dam
1 hm
⋅ 100
1 km
⋅ 1000
: 10
1m
: 100
: 1000
Metreden daha küçük
(dm)
1 dm desimetre
1 cm santimetre
(cm)
(mm)
1 mm milimetre
Uzunluk ölçü birimleri arasındaki ilişkileri gözlemle ve hatırla!
1 km = 10 hm = 100 dam = 1000 m
1 hm = 10 dam = 100 m
1 dam = 10 m
Hatırlamalıyım! Her uzunluk ölçü
birimi, ondan doğrudan daha
büyük olan ölçü biriminden 10
1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm
1 dm = 10 cm = 100 mm
1 cm = 10 mm
2
defa daha küçüktür.
„∗ ” işareti yerinde hangi ölçü olmalıydı.
Orhan 1 sat içinde yaklaşık 4 ∗ yürüyerek geçebilirdi.
Mimoza defterine kenar uzunluğu 30 ∗ olan bir kare çizmiş.
3
Aşağıdaki değerlerde kaç dekametre
vardır?
a) 90 m? b) 300 m? c) 1700 m?
4
1 dm’de 0,1 m vardır. 1 cm’de kaç metre vardır?
B
185
KÜTLE ÖLÇÜ BİRİMLERİ
Kütle için bildiğin ölçüleri say.
5
Kütlenin esas ölçüsü hangisidir?
1 t’da kaç kilogram vardır?
hangisi daha büyüktür: 8 dag ya da 1 kg mı?
Aşağıdaki cümlelerde „*“ yerine hangi kütle ölçüsü durmalıdır:
6
Kamyonla 6 * kömür taşınmıştır.
Hasan’nın satın aldığı tavuğun 2 * kütlesi var.
Kütle için esas ölçü birimi kilogramdır (kg).
: 10
Kilogramdan daha büyük olan
ölçü birimi tondur (t).
1 t = 1 000 kg
Tabelada kilogramdan daha
küçük ölçü birimleri verilmiştir.
1 hg
: 100
Hektogram
1 dag Dekagram
1g
Gram
: 10 000
1 dg
Desigram
(dg)
: 100 000
1 cg
Sentigram
(cg)
1 kg = 10 hg = 100 dag = 1000 g 1 g = 10 dg = 100 cg = 1000 mg
1 hg = 10 dag = 100 g
1 dg = 10 cg = 100 mg
1 dag = 10 g
1 cg = 10 mg
1 kg = 10 hg = 100 dag = 1000 g = 10 000 dg = 100 000 cg = 1 000 000 mg
8
(g)
1 mg Miligram
Kütle ölçü birimleri arasındaki ilişkileri gözlemle ve hatırla!
Bir parça et ölçmek için, kasap tartının bir tasına 1 kg, 2 kgve
1 kg ağırlık koymuş,etin olduğu tasa ise 10g ağırlık koymuş.
Etin kütlesi ne kadardır?
C
(dag)
: 1 000
1 kg
: 1 000 000
7
(hg)
(mg)
Hatırlamalıyım!
Her kütle ölçü
birimi, ondan
doğrudan daha
büyük olan ölçü
biriminden 10
defa daha
küçüktür.
SIVI ÖLÇÜ BİRİMLERİ
Şimdiye kadar görmüş olduğun sıvı ölçü birimlerini say.
1 l’den daha büyük sıvı ölçü birimi gördün mü?
1 l’de kaç dl vardır?
Esas sıvı ölçme birimi litredir (/).
Tabelada daha büyük ve daha küçük sıvı ölçme birimleri verilmiştir.
Litreden daha büyük
ölçme birimleri şunlardır:
Dekalitre
(dal)
Hektolitre
(hl)
Kilolitre
(kl)
⋅ 10
1 dal
1 hl
⋅ 100
1 kl
⋅ 1000
: 100
1 dl
1 cl
: 1000
1 ml
: 10
1l
Litreden daha küçük
Desilitre
(dl)
Santilitre
(cl)
Mililitre
(ml)
Sıvı ölçü birimleri arasındaki ilişkileri gözlemle ve hatırla!
186
1 kl = 10 hl = 100 dal = 1 000 l
1 hl = 10 dal = 100 l
1 dal = 10 l
9
10
1 l = 10 dl = 100 cl = 1000 ml
1 dl = 10 cl = 100 ml
1 cl = 10 ml
1 l maden suyu 20 denardır. 2 dl (bir bardak) maden suyu
kaç paradır?
Hatırlamalıyım! Her
sıvı ölçü birimi,
ondan doğrudan
daha büyük olan
ölçü biriminden 10
defa daha küçüktür.
Sayıları büyüklüklerine göre sırala: 6 dal, 5 hl, 8 dl, 4 ml, 9 /, 3 cl.
Bilmen gerekir!
Kendini yokla!
Aşağıda verilenlerin esas ölçü birimi hangisidir?
uzunluk;
kütle;
Belirt: а) 1 m kaç defa 1 cm’den daha büyüktür?
b) 1 dm kaç defa 1 hm’den daha küçüktür?
sıvı;
Aşağıda verilenler için daha küçük ve daha
büyük ölçü birimlerini yaz.
uzunluk;
kütle;
Belirt: а) 1 kg kaç defa 1 g’dan daha büyüktür?
b) 1 dagkaç defa 1 hg’dan daha küçüktür ?
sıvı;
Belirt:
Aşağıda verilenlerin ortaklaşa ilişkisini açıkla.
uzunluk;
kütle;
sıvı;
а) 1 hl kaç defa 1 dal’dan daha büyüktür?
b) 1 mlkaç defa 1 dl’den daha küçüktür?
Ödevler
1.
2.
Verilen uzunluklarla, ölçüm yapmadan
doğru parçası çiz: 1 cm, 1 dm, 25 cm ve
75 cm.
Hesaplayarak yokla ve ne kadar için hata
yaptığını tespit et.
3. 9 dm, 2 m, 48 cm, 94 mm, 4 dm 7 cm
uzunluğundaki doğru parçalarını en
kısasından başlayarak sırala.
4.
Büyüklük bakımından sırala:
5 hg, 1 kg, 10 g, 12 mg, 8 dag;
5.
Büyüklük bakımından sırala:
5 dal, 2 hl, 6 dl, 8 ml, 1 l.
Kendi adımının uzunluğunu
santimetrelerle ölç.
İki bina arasındaki mesafeyi adımlarla ölç.
Bu mesafenin ne kadar olduğunu
değerlendir.
Yaptığın değerlendirmenin doğruluğunu
ölçüm yaparak kontrol et.
6. Bir meyve bahçesinde 4,5 t elma toplanmış
ve kilogram başına 17 denardan satılmışlar.
Kaç denar elde edilmiştir?
2
187
ZAMAN VE DERECE ÖLÇÜ BİRİMLERİ
A
ZAMAN ÖLÇÜ BİRİMLERİ
1 saatte kaç dakika var?
Saatten daha büyük olan iki zaman ölçüsü
belirt.
Resimdeki saat, saat,
dakika ve saniye olarak
hangi zamanı gösteriyor?
1
Günlük sıcaklık derecesini ölçmek için hangi
ölçü birimi kullanılıyor?
Aynı ölçü birimiyle bir hastanın da derecesi
gösterilebilir mi?
Bildiğin zaman ölçü birimlerini belirt.
Bildiğin en küçük zaman ölçü birimi hangisidir?
Hatırlatma!
Esas zaman ölçme birimi saniyedir (ѕn). Saniyeden daha büyük ölçü birimleri şunlardır:
dakika(dk), saat(sa), gün, hafta, ay, yıl, onyıl, yüzyıl (yy) ve binyıl. Saniyeden daha küçük ölçü
birimleri de vardır.
Zaman ölçü birimleri arasındaki ilişkileri gözlemle!
1 min = 60 ѕn;
1 sa = 60 dk = 3600 ѕn;
1 hafta = 7 gün = 168 sa = 10080 dk = 604800 ѕn.
2
Dönüştür:
5 günü saatlere;
1 gün = 24 sa = 1440 dk = 86400 sn;
1 ay = 30 gün; 1 yıl = 365 gün.
8 saati dakikalara;
Gözlemle!
1 günde 24 saat vardır; 5 günde 5 • 24 saat vardır = 120 saat.
1 saatte kaç dakika var?
3
1 dakikada kaç saniye var?
147 saati gün ve saatlere dönüştür.
147saat : 24 = 6 gün ve kalan 3 saat.
4
B
5
5 yıl 8 ay 13 günü günlere dönüştür.
DERECE ÖLÇÜ BİRİMLERİ
Termometrede gösterilmiş olan dereceyi oku.
Derece hangi ölçü birimleriyle gösteriliyor?
25 dakikayı saniyelere.
Esas derece ölçü birimi kelvindir(К).
188
Her günlük hayatta Celsius derece(°С-Santigrad olarak da adlandırılır) ölçü birimi
kullanılıyor. İsveçli fizikçi ve astronom Andres Celsius (1701-1744), suyun 0 °С’da donduğu
ve 100 °С’da kaynadığı bir ölçek oluşturmuştur. Ölçeğin yüzüncü derecesine Celsius derecesi denir.
Derecenin bir celsius derecesi için değişmesi bir Kelvin’e eşittir. Fakat derece ölçeğinde 0 °С’ye
273,16 К denktir.
Dolayısıyla, su 0 °С’de yani, 273,16 К’de donuyor, 100 °С’de yani, 373,16 К’de ise kaynıyor.
Daha geniş bilgi edinmen için
Kelvin olarak ifade edilen dereceye mutlak derece denir.
Mutlak derece ölçümünün başlangıcı sıfır kelvindir ya da -273,16 °С.
Bu mümkün olan en düşük dereceye mutlak sıfır denir.
Eğer bir cismin derecesi celsius dereceyle ifade edilmişse, o zaman T ile işaretlenen mutlak derece,
şu formüle göre hesaplanır:
T(K) = t (oC) + 273,16
6
Verilen tabela gibi bir tane daha yap ve
doldur (°С Celsius dereceler, K- Kelvinler).
oS
4
12,84
K 277,16 320,16
36,5
290
340,4
Bilmen gerekir!
Kendini yokla!
Zamanın esas ölçü birimi hangisidir;
Kelvin ile Celsius derece arasındaki bağ
hangisidir.
1 saniye : а) 1 dakikadan; b) 1saatten kaç defa
daha küçüktür?
1 günde kaç saat var?
Derece ölçeğinde 0 °С’ye kaç kelvin denktir?
Bir cismin 20 °С ısısı vardır. Bu cismin mutlak
derecesi ne kadardır?
Ödevler
3. Bir balıkçı gemisi 8 Eylül’de saat 6’da
Saniyeden daha büyük ölçü birimlerini ve
bunlar arasındaki ilişkileri belirtesin;
Derecenin esas ölçü birimi hangisidir;
1. Hareket saatleri programına göre tren 13 sa
55 dk’da yetişiyor. Eğer tren 1 sa 32 dk
gecikirse saat kaçta yetişecek?
2. Bir gösteri için 1 sa 20 dk’lık bir program
öngörülmüştür. Gösteri 120 dakika sürmüş.
Söz konusu gösteri planlanandan ne kadar
daha fazla sürmüş?
limandan hareket etmiş ve 17 Eylül’de (aynı
yıl) saat 18’de limana geri dönmüş. Geminin
hareketinden dönüşüne kadar geçen süreyi:
а) gün; b) saat;
c) hafta ve gün olarak ifade et.
4. 15 yıl 8 ay 9 günü, gün olarak hesapla.
5. Verilen derecelere sahip olan cismin mutlak
derecesi ne kadardır: a) 37°C ; b) -50 °C?
3
189
ADLANDIRILMIŞ SAYI
A 1
Numaralandırılan on resmin hepsinde
soru sorulmuştur.
Aşağıdakileri say ve yaz:
- sınıfındaki masaların sayısı;
Bir tabela yap ve içine her resim için uygun
numarayı yaz.
Resimlerdeki sorulara göre tabelaya cevapları yaz.
- sınıfındaki sandalyelerin sayısı.
Kaleminin uzunluğunu ölç. Yaptığın
ölçmenin sonucu olan ölçü sayısını ve
ölçü birimini yaz.
Aşağıdakilerin ölçü birimleri hangileridir?
а) uzunluk;
1
b) kütle
Gözlemle!
3 cm
Kaç
Şişeye ne
sığar?
Kaç armut
8 var?
4
Kaç koyun var?
Kaç kitap
9 var?
Derece ne kadar
10 gösteriyor?
Bir adsız sayıyla ve ölçü birimiyle yazılan sayıya tek adlı sayı da denir.
Aşağıdakileri gösteren tek adlı sayı yaz.
Sınıfındaki öğrencilerin sayısını;
Boyun ne kadar (santimetre olarak).
Şu sayılar verilmiştir:
4 armut
46o
38,5o S
1l
Saat 2
10 denar
Ölçü birimi
Adlı sayı, adsız sayıdan ve onun yanında yazılmış ölçü biriminden oluşmaktadır.
3
6 kitap
2 kg
Hatırlatma!
2
3 koyun
2 cm
un?
5 kaç?
α
7 kadar su
V
3 kilogram
Saat
Adlı Sayı
Doğru parçasında
kaç santimetre var?
A AB = ?
Her cevap ölçü sayısı ve ölçü birimi içeriyor.
Ölçü sayıları ve ölçü birimleri, saymakla ya da
ölçmekle belirlenmişlerdir.
(saymakla: 4 armut, 3 koyun, ...;
ölçmekle: 2 cm; 2 kg...).
Ölçü sayısı
α=?
Kaç denar?
2
Açı kaç
derecedir?
6
a) 5 kg, 3 kg, 126 kg;
a şıkkındaki sayılarda ortak olan nedir?
b şıkkındaki sayıların ölçü birimleri nasıldır?
Yaşının sayısını;
b) 3 m, 5 kg, 7 l, 15 bidon.
190
Hatırlatma!
Aynı ölçü birimlerinde yazılan adlı sayılar aynı adlı sayı olarak adlandırılırlar.
a) şıkkındaki sayılar aynı adlıdır, b) şıkkındaki sayılar ise aynı adlı değildir.
Ölçü birimi kavramının yanısıra, ölçme için birim ya da kısaca ölçü ifadeleri de kullanılmaktadır.
4
2m, 6 km, 46m, 23 kgsayılarından hangi ikisi aynı adlıdır ?
2*, 3*ve 17* ifadelerinin 5 km sayısıyla aynı adlıolmaları için * işaretin yerinde ne olmalıdır?
5
4 l, 6 ml, 9 hl, 116 cl sayıları verilmiştir.
Bu sayıların ölçüleriyle ne ölçülür?
Aynı ölçülerde 6 dal sayısı da gösterilmiş midir ? 8 cm sayısı da gösterilmiş midir?
Hatırlatma!
Aynı büyüklük ölçüsü birimleriyle gösterilen iki ya da daha fazla adlı sayılara aynı türden
adlısayılar denir.
4 l, 6 ml, 9 hlve 116 cl sayıları aynı türden adlı sayılardır.
Verilen ölçü birimlerinde ikişer tane aynı türden adlı sayı yaz: а) uzunluk;
6
b) kütle.
Bir ya da daha fazla aynı türden tek adlı sayıiçeren sayıya çok adlı sayı denir. Tek adlı sayılar çok adlı
sayıların birimleridir.
2 kg 3 cg 5 mg sayısı çok adlı sayıdır; 2 kg; 3 cgve 5 mg onun unsurlarıdır.
B
7
Bir mekânın uzunluğu 3 m 6 dm,genişliği ise 4 m 2 dm 5 cm’dir.
Mekânın boyutları ne tür sayılarla yazılmıştır?
8
Verilen ölçülerde birer çok adlı sayıyaz: а) uzunluk; b) kütle; c) zaman.
Hatırlatma!
Şöyle yazabilirsin:
4 m + 5 cm = 4 m 5 cm
3 kg + 2 dag + 5 g = 3 kg 2 dag 5 g
9
Hatırlamalıyım! Çok adlı sayı, bir ya da
daha fazla aynı türden tek adlı sayıların
toplamını ifade ediyor.
6 m2 3 dm2 2 cm2 çok adlı sayısını toplam olarak ifade et.
a) 6 kg + 4 dag + 2 g; b) 5 l + 4 dl + 3 cl toplamlarını çok adlı sayı olarak ifade et.
Bilmen gerekir!
191
Kendini yokla!
Adlı sayıyı adsız sayıdan ayırt edesin;
Hangi adlı sayılar aynı türdendir;
1
4 kitap, 6 cm, 4
, 7 çocuk ve 8 sayılarından
2
hangisi adlı, hangisi ise adsızdır?
Hangi sayınıntek adlı, hangisinin deçok
adlı olduğunu açıklayasın.
3 kg, 6 dm, 8 g, 5 mve 4 dm sayılarından hangisi: a)
aynı adlı b) aynı türdendir?
Aynı adlı sayıları tanıyasın;
Sıvı ölçü birimlerinde 3 unsurlu çok adlı sayı örneği
ver.
Ödevler
8. 5; 7 m; 12 kg 3 dag; 4 m 2 dm; 8 hl; 4 m;
1. İki adlı ve iki adsızsayı yaz.
29,6; 4 kg, 6 m 5 dm; 74; 3 kg; 9 hl; 7; 14 l;
8 m2; 5 l; 8; 12; 4; 15 m2.
sayıları verilmiştir. Tabela yap ve sayıları
talimatlara göre yaz:
2.
Raftaki kitapları say.
Bunu adlı sayı olarak yaz.
3. İki tane çok adlı sayı yaz:
adlandırılmamış;
tek adlı;
çok adlı;
aynı adlı.
Bu da matematiktir!
- biri zaman ölçülerinde;
- diğeri ise sıvı ölçülerinde.
İki arkadaş Adem ve Fuat karşılaşmışlar. Adem
4.
Saatin gösterdiği zamanı yaz
(saat, dakika ve saniye olarak).
Fuat’a sormuş: „Nerdesin arkadaşım, seni pek sık
görmüyorum?” Fuat cevap vermiş:
„Makedonya’nın güzelliklerini tanımak için sık sık
başka şehirlere gidiyorum.” Adem sormuş: „Hangi
şehirleri ziyaret ettin?" Fuat hemen cevap vermiş:
Nasıl bir sayı yazdın?
„Bir ayın ilk Cumartesi gününde Berova’daydım,
5.
5
2 1
den.
den.
aynı ayın ikinci Cumartesi gününde ilk cumadan
50
den. deni
Denarları ve denileri çok adlı sayı olarak
yaz.
6. İki tane aynı adlı sayı yaz.
7. Üç tane aynı türden çok adlı sayı yaz.
sonra Ustrumca’daydım. Bir sonraki ayın ilk
Cumartesi gününde Debre’deydim, aynı ayın
ikinci Cumartesi günü cumadan sonra ise
Ohri’deydim." „Hangi tarihte Ohri’deydin?" diye
Adem sormuş. Fuat bakmış ve cevap vermiş:
„Tarihini kendin belirleyebilirsin."
Fuat hangi tarihte Ohri’deymiş?
192
4
ÇOK ADLI SAYININ TEK ADLI
SAYIYADÖNÜŞTÜRÜLMESİ
A
1
1 m = 10 dm yani, 1 m 10 defa için 1 dm’den daha
büyüktür.
Belirle: а) 1 m kaç defa 1 cm’den daha büyüktür? b)
1 kg kaç defa 1g’dan daha büyüktür? c) 1 h kaç
defa 1 dakikadan daha büyüktür?
Sayıdaki en küçük ölçü birimini fark et.
büyük ölçü birimi olan unsurları en küçük ölçü
Daha
birimine dönüştür.
adlı sayıyı aynı adlı sayının toplamı şeklinde
Çok
ifade et (cm olarak).
Belirtilen toplama işlemini gerçekleştir.
4 m 2 dm 7 cm çok adlı sayısını tek
adlı sayıya dönüştür.
Talimatlara göre çalış ve çözümü
karşılaştır:
Bu sayı santimetredir (cm)
4 m = 400 cm
2 dm = 20 cm
400 cm + 20 cm + 7 cm
400 cm + 20 cm + 7 cm = 427 cm
Aşağıdaki teoremleri kullanarak çok adlı sayının tek adlı sayıya dönüştürülmesi için ikinci yöntemi
gözlemle.
Uzunluk, kütle ve sıvı ölçülerinde her ölçü birimi ondan doğrudan daha büyük olan ölçü
biriminden 10 defa daha küçüktür.
Ondalık sayı sisteminde her rakamın konumu, bir önceki rakamın konumundan 10 defa daha
büyüktür.
2
4 m
2 dm
4 2 7 cm
5 hg 3g = 5 hg 0 dag 3 g = 503 g nedenini açıkla.
Eğer uzunluk, kütle ya da sıvı ölçülerinde
çok adlı sayıda sırayla bir ölçü birimi eksik
ise, onun yerine 0 yazılır.
3
7 cm =
Hatırlamalıyım! Bu çok adlı sayıları
kolayca tek adlı sayı olarak yazıyoruz.
Daha büyük ölçü birimlerini
siliyorum, daha küçüğü ise kalıyor.
0 koymam gerekiyor mu ve nerede
koymam gerekiyor diye dikkat etmem
lazım.
4 dm 5 mm sayısını gösterilen her iki işlemi uygulayarak tek adlı sayıya dönüştür.
Aşağıda verilenleri en küçük birime tek adlı sayıya çevir:
а)5 yıl 3 ay 2 gün;
b)4 ay 2 hafat 3 gün 5 saat;
c)2 sa 34 dk 15 sn.
(1yıl = 365 gün,1 ay = 30 gün).
4
193
Farkına vardığın gibi, çok adlı sayıyı zaman ölçülerinde gösterilen ikinci yönteme göre tek adlı sayıya
çeviremezsin. Neden?
B
5
Şu sayıyı 5 m 3 dm 8 cm: а) desimetreye; c) meterye çevir.
İşlemleri gözlemle ve hatırla!
a) Desimetrelerde:
5 m = 5 ⋅ 10 dm = 50 dm
8 cm = (8 : 10) dm = 0,8 dm
5 m 3 dm 8 cm = 50 dm + 3 dm + 0,8 dm =
= 53,8 dm.
b) Santimetrelerde:
3 dm = (3 : 10) m = 0.3 m
8 cm = (8 : 100) m = 0,08 m
5 m 3 dm 8 cm = 5 m + 0,3 dm + 0,08 m =
= 5,38 m.
Çok adlı sayının tek adlı sayıya çevrilmesi için ikinci yöntemi gözlemle.
5 m 3 dm 8 cm = 53,8 dm.
5 m 3 dm 8 cm = 5,38 m.
Farkettin ki: ölçü birimlerini silebilirsin, çok adlı sayıyı çevirmen gereken ölçü sayısından sonra virgül
koyabilirsin ve sonunda o ölçü birimini yazabilirsin. Eğer söz konusu sırada bir ölçü birimi eksik ise,
onun yerine sıfır yazılır.
6
8l 7 dl 3 ml sayısını santilitreye çevir.
Hatırlamamgerekiyor! Eğer çok adlı sayıyı en küçük olmayan ölçü birimi tek adlı
sayıya dönüştürüyorsam, o zaman ölçü sayısı ondalıktır.
7
4 kg 6 dag 5 g sayısını kilograma çevir.
Bilmen gerekir!
Çok adlı sayıyı tek adlı sayıya herhangi bir ölçü
biriminde çeviresin ve
çevirmek için daha pratik yöntemler
kullanasın;
Çok adlı sayının tek adlı sayıya, çok adlının en
küçük ölçü biriminde çevrilmesi sırasında, ölçü
sayısı doğal sayıdır, diğer durumlarda ise
ondalık sayıdır.
Kendini yokla!
Aşağıdaki çok adlı sayıları tek adlılara çevir.
а) 3 m 2 dm 5 mm (mm olarak);
b) 9sa 26 dk 54 sn (saniye olarak; dakika
olarak).
6 kg 5g sayısını tek adlıya çevir: a)g; b) dag
olarak.
194
Ödevler
4. Çevir:
а) 8 m 3 dm 4 cm’yi dm’ye;
b) 8 km 9 dam 7 m’yi km’ye;
c) 5 t 8 kg 7 hg 5 g’ı kg’a;
d) 9 kg 7 dag 5 g 8 mg’I g’a;
e) 8 / 5 dl 6 ml’yi dl’ye.
1. Aşağıda verilen sayıları tek adlı sayıya çevir
(sayının en küçük ölçüsünde).
а) 5 km 2 dam 5 m; b) 7 hl 8 dal 4 ml;
c) 4 t 6 kg 5 dag;
d) 9gün 8 sa 7 dk.
2. Korab 2 km 7 hm 6 dam 4 m yüksektir.
Eğlenceli soru
Korab kaç metre yüksektir?
3. İki dolunay arasındaki süre 29gün 12 sa 44
dk 3sn.dir. Bu dönemin kaç saniyesi vardır?
5
Eğer saat 24’te yağmur yağıyorsa, 48 saat sonra
hava güneşli olabilir mi?
TEK ADLI SAYININ ÇOK ADLI SAYIYA DÖNÜŞTÜRÜLMESİ
A
428 sayısı geliştirilmiş biçimde şu şekilde yazılır:
428 = 400 + 20 + 8 = 4 ⋅ 100 + 2 ⋅ 10 + 8.
9
Tek adlı sayı olan 364 cm’yi
çok adlı sayıya çevir.
İşleme göre çalış ve çözümü
karşılaştır.
764 ve 8 053 sayılarını geliştirilmiş şekilde yaz.
Ölçü sayısını, adlı sayısnın aynı adlı sayılarının
toplamı olacak şekilde geliştirilmiş biçimde göster
(cm olarak).
Ölçü sayısının geliştirilmiş şekline göre
santimetreleri daha büyük ölçü birimlerine çevir ve
bunu çok adlı sayı olarak yaz.
3 ⋅ 1 m + 6 ⋅ 1 dm + 4 cm =
= 3 m 6 dm 4 cm
Daha pratik!
Gözlemle!
5 427 mm = 5
364 cm = 3 m 6 dm 4 cm
Tüm bunlar sadece
uzunluk, kütle ve sıvı
ölçümlerindeki
adlandırılmış sayılar
için geçerlidir.
364 cm = 3 ⋅ 100 cm + 6 ⋅ 10 cm + 4 cm
4
2
7
5 427 mm = 5 m 4 dm 2 cm 7 mm
Gözlemle!
Sayının rakamları arasında boş yerlerin bırakılması gerekiyor;
Birler basamağı konumundaki rakamın yanında en küçük
ölçünün yazılması gerekiyor (bu mm’dir);
onlar basamağı rakamının yanında 10 defa daha büyük olan
ölçü yazılmalıdır (bu cm’dir)vb.
2
Verilen sayıları çok adlı sayıya çevir : а) 5034g; b) 2014 dl; c) 60308 mm.
3
4837154 ѕn sayısını çok adlı sayıya çevir.
195
İşlemi gözlemle ve çözümü karşılaştır:
Eğer saniyelerin sayısını 60 ile bölersen, dakikalar
ve kalan olarak saniyeler elde edeceksin.
Eğer dakikaların sayısını 60 ile bölersen, saatler
ve kalan olarak dakikalar elde edeceksin.
Eğer saatleri 24 ile bölersen, o zaman bölüm
nedir, kalan nedir?
Gözlemle!
4837154 ѕn = 55 gün 23 sa 39 dk 14 ѕn.
4837154 ѕn : 60 = 80619 dk ve kalan
80619 dk : 60 = 1343 save kalan
1343 sa : 24 = 55gün
39 dk
ve kalan
23 sa
Farkettim ki: Aranan çok adlı sayının
birimleri şunlardır: son bölüm (55
gün)ve üç tane kalan (23sa, 39 dk ve 14
ѕn).
324 dk; 4526 gün; 6462 g ve 4142 / tek adlı sayılarını çok adlı sayılara çevir.
4
B
5
8,2 cm sayısını metreye çevir.
İşlemleri gözlemle ve çözümü karşılaştır.
I yöntem
8,2 cm = (8,2 : 100) m; 8,2 cm = 0,082 m.
km hm dam m dm cm mm
II yöntem
Sayıyı ölçü birimli tabelaya yerleştir.
0
ölçü birimine (m) virgülü getir. Yani,
Dönüştürdüğümüz
8,2 cm = 0,082m.
6
14ѕn
0
0
0
,
0
8
,
2
6,384 m sayısını çok adlı sayıya çevir.
Ölçü birimli tabela oluştur ve içine sayıyı yerleştir.
km hm dam m dm cm mm
0
0
0
6
,
3
8
4
mg
Tabeladan şu okunuyor: 6,384 m = 6m 3dm 8cm 4 mm.
7
Tabeladaki sayıyı:
a)çok adlı sayı; b) dg olarak; c) kg olarak göster.
kg
hg dag g
dg cg
0
9
3
7
5
0
2
196
Kendini yokla!
Bilmen gerekir!
Verilen sayıları çok adlı sayıya çevir:
Tek adlı sayıyı çok adlı sayıya çevirmek ve daha
pratik dönüştürme işlemleri kullanasın.
a) 6 475 mm; b) 3 604 ml; c) 24 300 s.
Ödevler
1. Tek adlı sayıyı çok adlı sayıya çevir:
a) 3 402 mm;
c) 47 063 dg;
e) 1 035 ml;
3. Tabela kullanmadan sayıyı çok adlı sayıya
çevir.
a) 22.20 m;
c) 43, 15 l;
b) 4 007 cm;
d) 47 632 mg;
f ) 35 006 dl.
2. Tek adlı sayıyı tabelaya yerleştir ve ondan
4. Ay dünyanın etrafında 2 551 443 saniye için
sonra çok adlısayı olarak yaz.
a) 387, 25 m;
b) 30, 02 dam;
c) 320, 05 g;
d) 401, 53 dl.
6
b) 5 302,67 g;
d) 0, 237 kg.
dönüyor. Bu sayıyı çok adlı sayıya çevir
(günlere, saatlere, dakikalara ve saniyelere).
ADLANDIRILMIŞ SAYILARLA İŞLEMLER
A
1
Uzunluk, kütle, sıvı, zaman ve derece ölçülerini say.
Bu ölçülerden her biri için esas ölçü birimi
hangisidir?
Yaz:
а) 8 m 4 dm 3 mm’yi milimetre olarak;
b) 7 kg 5 dag 4 g’I gram olarak;
c) 7 dal 7 / 5 dl’yi desilitre olarak;
d) 3 gün 2 sa 8 dk’yı dakika olarak.
Bir tahta parçasında 2 m 7
dm 4 cm, diğerinde ise 3 m 2
cm var.
Tahta parçalarının toplam
uzunluğu ne kadardır?
Her iki tahta parçasının
uzunluklarının toplamını
hesaplamamız gerekiyor. Bu
iki şekilde yapılabilir.
İşlemi gözlemle ve çözümü
karşılaştır
Verilen sayıyı çok adlı sayı olarak yaz:
а) 3 507g; b) 7 402 dl; c) 4 005m;
d) 5 032 dk.
I.
çok adlı sayıları, aynı adlı sayı birimleri art arda olacak şekilde yaz.
Her aynı adlı birim çiftinin toplamını hesapla.
2 m 7 dm 4 cm
3 m 0 dm 2 cm
2 m 7 dm 4 cm
+ 3 m 0 dm 2 cm
5 m 7 dm 6 cm
Gözlemle!
+
2 m 7 dm 4 cm +
3m
197
2 cm =
5 m 7 dm 6 cm
+
Çok adlı sayıların toplamını santimetreleri santimetrelerle, desimetreleri
desimetrelerle ve metreleri metrelerle toplayarak belirledim.
5 dm 9 cm ve 3 dm 4
cm sayılarının
toplamını gözlemle.
5 dm 9 cm
+ 3 dm 4 cm
8 dm 1 3 cm = 9 dm 3 cm
Eğer toplamdaki herhangi bir birim
daha büyük ölçü birimi içeriyorsa, bu
onun önündeki birime ekleniyor.
II. Talimatlara göre çalış ve başka bir çözüm yöntemini gözlemle:
adlı sayıları tek adlı sayılara en küçük ölçü biriminde çevir öyle
Çok
ki, onlar aynı adlı olsun.
Elde edilen tek adlısayıların toplamını belirle.
Elde edilen tek adlı sayıyı çok adlı sayıya çevir.
Dikkatlе izle
2
2 m 7 dm 4 cm = 274 cm
3 m 2 cm = 302 cm
274 cm +302 cm = 576 cm
576 cm = 5 m 7 dm 6 cm
2 m 7 dm 4 cm + 3 m 2 cm = 274 cm + 302 cm = 576 cm = 5 m 7 dm 6 cm
Hesapla: 4 m 5 dm 3 mm + 7 m 9 cm 8 mm - 3 m 3 dm 2 mm.
Aşağıdaki talimatlara göre çalış:
4 m 5 dm 3 mmve 7 m 9 cm 8 mm sayılarının toplamını hesapla.
Hesaplanan toplamdan 3 m 3 dm 2 mm sayısını çıkar.
6 dm
7 dm 4 cmve 2 dm 6 cm
sayılarının farkını gözle.
B
3
I.
10 cm
7 dm 4 cm
- 2 dm 6 cm
4 dm 8 cm
Farkettin ki:
4 cm sayısı 6 cm’den daha küçüktür;
7 dm’den 1 dm çıkardın;
1 dm = 10 cm;
10 cm + 4 cm = 14 cm;
14 cm - 6 cm = 8 cm;
6 dm - 2 dm = 4 dm.
2 m 4 cm 3 mm • 3 sayısını hesapla. İki yöntemle hesaplanabilir:
Çok adlı sayının her birimini 3 ile çarp.
Eğer çarpma işlemi sırasında daha büyük ölçü birimi ihtiva eden sayı elde edersen onu
ilgili uygun daha büyük ölçü birimine ilave et.
198
2 m 4 cm 3 mm ⋅ 3 = 6 m 12 cm 9 mm = 6 m 1 dm 2 cm 9 mm
Başka bir çözme yöntemini gözlemle.
II.
Çok adlı sayıyı tek adlı sayıya çevir (mm olarak);
Elde edilen tek adlı sayıyı 3 ile çarp;
Elde edilen çarpımı çok adlı sayıya çevir.
2 m 4 cm 3 mm ⋅ 3 = 2043 mm ⋅ 3 = 6129 mm = 6 m 1 dm 2 cm 9 mm.
Hesapla: 12 km 9 dam 6 m : 3.
İki türlü yöntemle hesaplanabilir:
4
I.
Çok adlı sayının her birimini 3 ile böl;
12 km 9 dam 6 m : 3 = 4 km 3 dam 2 m
Bu şekilde daha pratiktir:
II.
Çok adlı sayıyı tek adlı sayıya çevir;
Tek adlı sayının ve 3 sayısının bölümünü hesapla;
Elde edilen bölümü çok adlı sayıya çevir.
12 km 9 dam 6 m : 3 = 12096 m : 3 = 4032 m = 4 km 3 dam 2 m.
Hesapla: 4 m 5 dm 3 mm - 9 dm 6 cm : 3.
5
C
6
Hesapla: 5 kg 7 dag 8 g + 9 hg 8 dag 4 g.
Toplamı iki yönemle hesaplayabilirsin. Talimatlara göre işlem yap:
I. YÖNTEM
adlı sayıları alt alta gelecek şekilde
Çok
yazöyle ki, aynı adlı sayılar aynı dikey
düzlemde olsun.
Aynı adlı sayıların toplama işlemini
gerçekleştir.
Eğer toplamda daha büyük ölçü birimi varsa,
onunla ilgili uygun daha büyük ölçü birimine
ilave et.
II. YÖNTEM
adlı sayıları en küçük ölçü biriminde
Çok
(gramlara) tek adlı sayıya çevir.
Toplama işlemini gerçekleştir.
Hesaplanan toplamı çok adlı sayıya çevir.
Kütle ve sıvı ölçü birimlerinde çok adlı sayıların toplamı ya da farkı, uzunluk ölçü birimlerinde çok
adlı sayılarda belirlendiği gibi aynı şekilde belirleniyor. Adlandırılmış sayılı bu ölçülerin çok adlı sayısı
aynı şekilde çarpılıyor yani, bölünüyor.
199
Hesapla: 4 l 5 dl 5 ml + 6 dal 4 dl.
7
Kendi çözümünü verilen çözümle karşılaştır:
5 l 5 dl 5 ml + 6 dal 4 dl = 6 dal 5 l 9 dl 5 ml.
Gördün ki, ikiçok adlı sayıyı ikinci yönteme göre toplaman için her iki çok adlı sayıyı aynı ölçü birimli
tek adlı sayıya çevirmen gereklidir.
5 l 5 dl 5 ml + 6 dal 4 dl = 5 505 ml + 60 400 ml = 65 905 ml = 6 dal 5 l 9 dl 5 ml.
8
Verilen ifadenin değerini belirle: a) 24 kg - 6 dag 3 g + 9 kg 8 hg 5 dag;
b) 7 kl 5 dal 6 l 9 dl - 7 hl 8 l 5 dl + 6 kl 4 dal 4 dl.
9
5 t 642 kg 8 dag sayısını 4 defa büyüt.
5 t 642 kg 8 dag ⋅ 4 = 564 208 dag ⋅ 4.
Çarpma işlemini gerçekleştir ve elde edilen tek adlı sayıyı çok adlı sayı olarak yaz.
10 Hesapla: a) 2 kg 2 hg 5 dag 4 g : 49; b) 32 l 5 cl ⋅ 5 + 6 dal 2 l 6 dl 5 cl : 35.
D
11 Mimoza doğduğunda Barış’ın 6 yıl 3 ay 8 günü vardı. Şimdi Mimoza’nın 10 yıl 11 ay
24 günü var. Barış’ın kaç yaşı var?
Barış’ın yaşını belirlemen için şu biçimde işlem yapmalısın:
6 yıl 3 ay
+ 10 yıl 11 ay
Çok adlı sayıların toplamını belirle
16 yıl 14 ay
1 yıl 2 ay
Daha büyük ölçü birimlerini ilgili daha yüksek ölçü
birimlerine ilave et.
12
17 yıl 3 ay
8 gün
24 gün
32 gün
1 ay 2 gün
2 gün
Hesapla: 5yıl 6ay 12 gün • 3 - 3yıl 5ay 6gün : 9.
Talimatlara göre işlem yap:
Çok adlı sayıları tek adlıya çevir ( gün olarak).
5 yıl 6 ay 12 gün = 2017 gün
3 yıl 5 ay 6 gün = 1251 gün
Belirtilen işlemleri elde edilen tek adlı sayılarla 2017 gün ∙ 3 – 1251 gün : 9 =
= 6051 gün – 139 gün = 5912 gün
gerçekleştir.
Elde edilen sonucu çok adlı sayıya çevir.
5912 gün : 365 = 16 yıl ve kalan 72 gün
5912 gün = 16 yıl 2 ay 12 gün
13 Hasan, 8 yıl 7 ay yurt dışında kalmış, oğlu Mehmet ise 5 kat daha kısa zaman kalmış. Mehmet kaç
yıl yurt dışında kalmış?
200
Bilmen gerekir!
Kendini yokla!
Uzunluk, kütle, sıvı ve zaman ölçü birimlerinde
çok adlı sayıların toplamını ve farkını
hesaplayasın;
Hesapla:
7 m 2 cm 5 mm + 4 m 3 dm 2 cm - 6 dm 8 cm 7 mm;
Çok adlı sayılarda toplama ve çıkarma
işlemlerini iki şekilde yapasın: aynı adlı
birimlerde toplama yani, çıkarma işlemi
yapmak ya da çok adlı sayıları tek adlı sayılara
çevirmek;
7 t 5 kg 8 g + 435 kg 9 g - 2 t 125 kg;
7 hl 7 l 4 ml + 5 dal 3 l 6 cl;
13 yıl 6 ay 7 gün - 10 yıl 8 ay 20 gün.
Hesapla:
Çok adlı sayının adlandırılmamış sayıyla
çarpımını yani bölümünü iki şekilde
hesaplayasın: çok adlı sayının birimlerini adsız
sayının birimleriyle çarpmak yani, bölmek ya
da çok adlı sayının tek adlı sayıya çevrilmesi.
5 m 3 dm 2 cm ⋅ 7; 9 m 6 cm 3 mm : 3;
2 t 3 kg 4 dag : 9 + 654 kg 3 dag ⋅ 2;
4 l 3 cl 2 ml ⋅ 5 - 2 l 5 cl 2 ml : 9;
6 yıl 9 ay + 15 yıl 8 ay 9 gün : 9.
Ödevler
1. Hesapla:
6. Bir dükkâna 1l başına 45 denardan satılacak
olan 6 hl 3 dal 5 /meyve suyu ve 1 kg’ın 30
denardan satılacağı 145 kg elma getirilmiştir.
Meyve suyu ve elmanın toplam ederi ne
kadardır?
a) 2 m 8 dm + 6 dm 4 cm + 5 cm 9 mm;
b) 4 km 3 dam 5 m - 8 dam 6 m;
c) 9 m - 6 m 3 dm 5 cm + 4 dm 3 cm.
2. Hesapla:
a) M ⋅ 4, eğer M = 6 m 7 dm 3 mm ise;
7. Hesapla:
b) P : 2, eğer P = 8 dm 6 cm 4 mm ise;
12 kg 42 g : 9;
c) 9 m 7 cm 2 mm : 8;
12 t 632 kg : 8.
5 l 7 dl 4 cl : 7;
d) (246 cm - 2 dm 2 cm) : 8.
3. Hesapla: A + B - Ceğer:
8. Bir ev hanımı 6 gün içerisinde 13 kg 4 hg
4 dagun harcamış.
a) A = 3 t 3 kg; B = 305 dag
C = 205 kg 6 dag.
b) A = 3 / 2 cl; B = 2 dal 2 dl
C = 1/2 dl 3 ml.
Günlük ortalama olarak ne kadar un
harcıyormuş?
İlk 5 gün ne kadar un harcamış?
4. Eğer M = 6 / 3 cl ise: a) M • 4;
b) M - 2 ml; c) M : 9 ne kadardır?
5. Bir işletme 8 sandık mal kabul etmiş. Her
sandıkta 1 t 136 kg var. Sipariş edilen malın
kütlesini belirle.
9.
Hareket programına göre tren 18 sa 45 dk
da yetişiyor. Eğer 1 sa 42 dk gecikirse,saat
kaçta yetişmiş olacak?
7
201
ALAN ÖLÇÜLERİ
A 1
Resimdeki şeklin alanını belirle.
Şeklin alanını hangi ölçü biriminde
hesapladın?
Verilen boyutlara göre,
dikdörtgenin alanını belirle.
1 cm
2 cm
3 cm
2 cm
1 cm
5 cm
Dikdörtgenin alanını hangi ölçü
birimiyle gösterdin?
2
Ohri Gölü’nün alanı 349 km2‘dir.
Ohri Gölü’nün alanı hangi ölçü birimiyle
gösterilmiştir?
Başka alan ölçüleri de say.
Hatirla!
Alan için esas ölçme birimi metrekaredir (m2).
Metre kare kenarı 1 m olan karenin alanıdır.
Tabelada metre kareden daha büyük ve daha küçük ölçü birimleri verilmiştir.
Metre kareden daha
büyük ölçü birimleri
şunlardır:
Dekametrekare
(dam2)
Hektometrekare
(hm2)
Kilometerkare
(km2)
Metre kareden daha
küçük ölçü birimleri
(askatları) şunlardır:
1 dam2
⋅100
1 hm2
⋅10000
1 km2
⋅1000000
1 m2
:100
1 dm2
Desimetrekare
(dm2)
:10000
1 cm2
Santimetrekare
(cm2)
:1000000
1 mm2
Milimetrekare
(mm2)
hm2 ve dam2 ölçüleri için hektar (ha) ve ar (a) isimleri kullanılmaktadır yani,
1 ha = 1 hm2 ve 1 a = 1 dam2.
Metrekare ve diğer alan ölçü birimleri arasındaki ilişkileri
gözlemle ve hatırlamaya çalış.
1 km2 = 100 ha = 10 000 a = 1 000 000 m2
1 ha = 100 a = 10 000 m2
1 a = 100 m2
1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2 = 1 000 000 mm2
1 dm2 = 100 cm2 = 10 000 mm2
1 cm2 = 100 mm2
202
3
Desimetrekare oluştur, santimetrekarelere ayır ve
çizimdeki gibi renklendir.
1
2
1 dm2’de kaç cm2 vardır?
Alanlardan hangisi daha büyüktür: 1m2ya da 100 dm2?
4
3
4
1 m2 = * dm2 1 dm2 = * cm2 doğru olması için * işaretinin yerinde
hangi ölçü sayısı olmalıdır
1m2 = * cm2 1 dm2 = * mm2
1m2 = * mm2 1 cm2 = * mm2
5
6
Hatırlamam gerekiyor! Her alan ölçüsü ondan doğrudan daha
büyük olan ölçüden 100 defa daha küçüktür.
7
1 dm2
8
9
1 mm2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 cm2
Bilmen gerekir!
Alanın esas ölçü birimi hangisidir;
Metrekareden daha büyük ve daha küçük alan
ölçü birimlerini sayasın;
Alan ölçü birimleri arasında nasıl bir ilişki
vardır.
Kendini yokla!
5m2’de kaç: a) desimetrekare; b)
santimetrekare vardır?
3 km2’de kaç: а) hektometrekare (hm2);
b) dekametrekare (dam2);
c) metrekare (m2) vardır?
200 ha kaç km2 vardır?
Ödevler
1. 7 dm2‘de kaç: a) santimetrekare;
3. 2 ha alanlık bir tarla satılıyor. Tarla sahibi,
2. Dikdörtgen şeklindeki okul avlusunun
4. Bir dikdörtgen odanın uzunluğu 8
b) milimetrekare vardır?
uzunluğu 65 m ve genişliği 45 m’dir.
Bu avluda kaç: а) metrekare; b) ar var?
tarlayı her m2 başına 240 denar almak üzere
satmış. Tarla sahibi bu tarla için toplam kaç
para almış?
m,genişliği 6m’dir. Oda, 100 cm2‘lik karolarla
doldurulmalıdır. Odanın doldurumlası için
kaç tane karo gereklidir?
8
203
HACİM ÖLÇÜLERİ
A 1
Çizimde küp S ve dikdörtgenler
prizma T gösterilmiştir. Dikdörtgenler
prizma T, S küpüne eşit olan
küplerden oluşmuştur.
Çizimdeki kare K, dikdörtgen P’de tam 8 defa
yer alır.
K
P
T
Y
P dikdörtgenin K kareye ilişkin ölçü sayısı ne
kadardır?
Burada K kare „birim kare" olarak alınmıştır yani,
P dikdörtgenini ölçme ölçüsü olarak.
Dikdörtgenler prizmanın kaç tane
böyle küpten oluştuğunu sayarak
belirle (yani, T dikdörtgen prizmada
kaç defa küp S vardır).
Gözlemle!
Çizimdeki 8 tane K kare P dikdörtgen için ne
ifade ediyor?
Hangi alan ölçülerini biliyorsun?
T dikdörtgenler prizmada S küpüne eşit olan
tam 6 tane küp yer alıyor, bunun için diyoruz ki:
T dikdörtgenler prizmanın ölçü sayısı S küpüne
oranla 6’dır ya da: T dikdörtgenler prizmanın
hacmi S küpüne oranla 6’dır.
S küpü „birim küp" olarak alınmıştır yani, T dikdörtgenler prizmanın hacmini S küpün hacmi ile
kıyaslamak için ölçü olarak alınmıştır.
Hatırlamam gerekiyor! Bir dikdörtgen prizmanın hacmini ölçmem içinbu dikdörtgenler
prizmada kaç tane birim küp birleştirebileceğimihesaplamam gerekiyor.
Hatırlatma!
Dikdörtgenler prizmayı ölçmek için seçtiğimiz küpe birim küp denir. Bu dikdörtgenler prizmanın
ölçü sayısının birim küpüne oranına dikdörtgenler prizmanın hacmi (ya daoylum)denir.
Hacim için esas ölçü birimi metreküptür.1m3diye yazıyoruz, bir metre küp diye okuyoruz.
Metreküp, kenarı 1 m olan bir küpün hacmine eşit hacim ölçüsüdür.
Metreküpten daha küçük birimler de kullanılıyor.Tabelayı gözle.
Metreküpten daha küçük
ölçü birimleri (askatlar):
1 m3
: 1 000
: 1000000
1 dm3
1 cm3
Desimetreküp ( dm3)
: 1000000000
1 mm3
Milimetreküp (mm3)
Santimetreküp (cm3)
204
Hatırlamalıyım! Bir hacim ölçüsü doğrudan daha küçük olan ölçüden 1 000
kat daha büyüktür.
Aşağıda hacim ölçü birimleri arasındaki oranlar verilmiştir.
1 m3 = 1 000 dm3
1 dm3 = 1 000 cm3
= 1 000 000 cm3
= 1 000 000 mm3
= 1 000 000 000 mm3
2
1 cm3 = 1 000 mm3
1 dm3‘te neden 1 000 cm3 olduğunu açıkla.
Çizimi gözlemle ve işleme göre çalış.
Hacmi 1 dm3 olan bir kübün ayrıtlarında, hacmi 1 cm3 olan kaç tane küp art arda dizebilirsin?
1 dm3 olan kübün tabanını örtmek için kaç tane böyle sıraya ihtiyacın vardır?
1 dm3 olan kübü doldurmak için kaç tane böyle katmana ihtiyacın var?
10
9
8
7
6
5
4
9
8
7
3
5
2
1
3
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
4
6
10
Gözlemle!
205
Ayrıtlarda hacmi 1 olan 10 tane küp dizebilirsin;
10 cm ’ten 10 tane sıraya ihtiyacın var yani, 100 cm ;
100 cm ’ten 10 tane katmana ihtiyacın var yani, 1000 cm .
cm3
3
3
3
3
3
Resimdeki şeklin (dikdörtgenler prizma) hacmi 1 cm3 olan kaç tane
küpten oluştuğunu sayarak belirle.
1 cm3 hacmi olan 12 tane küpten dikdörtgenler prizma oluştur. Bunu
gösterilenin dışında daha üç farklı şekilde yapabilirsin. Dene!
1c
m3
Kendini yokla!
Bilmen gerekir!
Hacim için esas ölçü birimi hangisidir;
Bir metreküpten daha büyük ve daha küçük
olan hacim ölçülerini sayasın;
Hacim ölçü birimleri arasındaki ilişki
hangisidir.
Ödevler
1 m3 ölçü birimi 1 cm3’ten kaç defa daha
büyüktür?
Hacim ölçü birimi doğrudan daha küçük olan
ölçü biriminden kaç kat daha büyüktür?
5 m3 ‘te kaç: a) dm3; b) cm3 vardır?
Alıştırma!
1. m3’ ten daha küçük olan ölçü birimlerini
say.
3 l ve 5 l’lik iki kabın var.
Bu kaplar yardımıyla 4 l su ölç.
2. 4m3’te kaç dm3 vardır?
3. Aşağıda verilenlerde kaç m3vardır?
а) 7 000 dm3;
c) 200 000 cm3?
b ) 500 dm3;
4. 27 650 mm3, cm3 olarak yaz.
3l
5l
206
9
DİKDÖRTGENLER PRİZMANIN VE KÜPÜN HACMİ
A 1
Dikdörtgenler prizmanın hacmini, onu
oluşturan küpleri sayarak belirle.
1
Çizimdeki dikdörtgenler prizmanın
kenarları 3 cm, 4 cm ve 2 cm ise
hacmini hesapla.
1 cm
2
1 cm
1 cm3
3
Dikdörtgenler prizma 1 hacimleri 1 cm3
olan 12 tane küpten oluşmuştur.
Buna göre dikdörtgenler prizma 1 ’in
V1 = 12 cm3 hacmi vardır.
Dikdörtgenler prizma 2 ve 3 ’ün
hacimlerini belirle.
1 cm
Üst yüzeyde „yeşil", „sarı" ve „mavi" çubukları
farket.
Her birinde kaç birim küp yani, kaç
santimetreküp vardır?
Alt yüzey alanında da (kırmızı) aynı sayıda
birim küp yani, santimetreküp olduğunu
gözlemle.
Dikdörtgenler prizmada toplam kaç tane birim
küp yani, santimetreküp vardır?
Dikdörtgenler prizmasında (3 • 4) • 2birim küp yani, (3 • 4) • 2santimetre küp vardır.
Dikdörtgenler prizmanın hacmi 24 birim küptür yani, 24 cm3.
Şöyle yazıyoruz: V = 24 cm3
ki, burada V hacim işaretidir, 24 ise hacmin ölçü sayısıdır. Farketmiş olmalısın ki bu, dikdörtgenler
prizması üç komşu kenarın ölçü sayılarının çarpımına eşittir. Bunlara dikdörtgenler prizmanın
uzunluğu, genişliği ve yüksekliği (ya da kısaca boyutları) denir.
2
Aşağıda verilen boyutları olan dikdörtgenler prizmanın hacmini belirle.
a) 5 cm, 6 cm ve 10 cm;
3
b) 16 cm, 2 dm ve 5 dm;
c) a cm, b cm ve c cm.
Sınıfın şekli, uzunluğu 11 m, genişliği 7 m ve yüksekliği 3 m olan dikdörtgenler prizmadır. Sınıfın
ne kadar metreküp alanı vardır?
Hatırlatma!
c
Ayrıtları a, b ve с olan dikdörtgenler prizmanın hacmi V şu formülle
hesaplanır: V = a ⋅ b ⋅ c.
207
b
a
Eğer boyutlarını çarparsam, dikdörtgenler prizmanın
hacminihesaplayabileceğimi anladım.
4
Bir dikdörtgenler prizmanın ayrıtları şöyledir: a = 6 dm, b = 8 dm ve с = 9 dm. Formül yardımıyla
dikdörtgenler prizmanın hacmini hesapla.
Çizimdeki şekil ayrıtı 1 cm
olan eşit küplerden
oluşturulmuştur.
Şeklin ayrıtlarına bak.
Aralarında nasıldırlar?
Bu şekil eşit boyutlu dikdörtgenler prizma
olarak adlandırılabilir mi?
Bu şeklin doğru ismi nasıldır?
Şeklin kaç küpten oluştuğunu sayarak
tespit et.
B 5
Ayrıtı 5 cm olan küpün hacmini
hesapla.
Küpün ayrıtları aralarında nasıldırlar?
Küpün eşit ayrıtlı a = b = с olan bir
dikdörtgenler prizma olduğunu fark et.
Dikdörtgenler prizmanın hacim formülünü
kullanarak küpün hacmini hesapla.
V = a ⋅ a ⋅ a aya da V = a3
a3 şöyle okunur: "a üssü üç" ya da"a küp".
Hatırlatma!
Ayrıt uzunluğu a olan küpün hacmi V, şu formülle hesaplanır: V = a3.
a
a
a
6
Aşağıda verilen ayrıtları olan küpün hacmini hesapla:
а) 6 cm; b) 30 cm dm3 olarak; c) 24 dmm3olarak.
1 dm3
İşlem : b) a = 30 cm = 3 dm; V =З3 dm3 yani,
V=27 dm3
7
Hangisinin daha büyük hacmi vardır-ayrıtı 14 cm olan küp mü yoksa, ayrıtları 13 cm, 14 cmve15 cm
olan dikdörtgenler prizma mı?
208
C
1l
1 dm3
Esas sıvı ölçü birimine ne denir?
Hatırlatma!
Ayrıtı 1 dm olan küp şeklindeki kutuya 1l
maden suyu sığar mı?
Esas sıvı ölçüsüne litre denir yani, litre
desimetre küpün diğer bir ismidir.
Eğer imkânın varsa bunu evde dene.
8
а) 12 l’de kaç desimetreküp vardır?
b) 60 dm3’te kaç litre vardır?
Bilmen gerekir!
Kendini yokla!
Dikdörtgenler prizmanın hacmi nasıl hesaplanır;
Eğer boyutları verilmişse dikdörtgenler prizmanın
hacmini hesaplayasın;
Ayrıtlar2m, 3mve 10m olan dikdörtgenler
prizmanın hacmi ne kadardır?
Küp, ayrıtları birbiriyle eşit olan dikdörtgen
prizmadır;
Ayrıtı 7 cm olan küpün hacmi ne kadardır?
Eğer bir ayrıtı verilmişse, küpün hacmini
hesaplayasın.
Ayrıtı 3 dm olan küp şeklindeki bir kutuya kaç
litre sığar?
Ödevler
1.
2.
Dikdörtgenler prizmanın bir ayrıtı 8 cm,diğer
ikisi ise eşit ve birincisinden 3 cm daha
küçüktür. Dikdörtgenler prizmanın hacmi ne
kadardır?
Bir ayakkabı kutusu bul, gerekli olan
ölçümleri yap ve kutunun hacmini hesapla!
4. Bir küpün 24 cm2 alanı vardır. Hacmi ne
kadardır?
5. Köknar ağacından bir tahta parçasının 7m
uzunluğu vardır. Köşelerinde 30 cm ayrıtlı kare şekli
vardır. Tahta parçasında kaç metrekare vardır?
6. Bir küpün8 dm3 hacmi vardır.Küpün alanını
hesapla!
3.
Dikdörtgenler prizma şeklindeki bir
mekanın hacmi 108m3’tür. Uzunluğu 9 m,
genişliği ise 3m’dir. Mekanın yüksekliği ne
kadardır?
7. Uzunluğu 70 cm ,genişliği40 cmve yüksekliği
35 cm olan bir akvaryum, 30 cm yüksekliğe
kadar su ile doldurulmuştur.
Akvaryumda kaç litre su vardır?
Kendin araştır!
1
209
Bir aile yılın ilk 9 ayındaki su harcamaları için denetleme yapmış. Tabelada her ay için m3 olarak su
tüketimi verilmiştir.
Ay
m3olarak su
tüketimi
Ocak Şubat Mart Nisan Mayıs Haziran Temmuz Ağustos
29
24
23
25
27
28
31
27
Eylül
27
Hesapla:
Aile 9 ay içinde kaç metreküp su harcamış?
Dokuz ay için harcanan suyun aritmetik ortalamasını bul. Aile, ortalama olarak, her ay kaç metreküp su
tüketiyor?
Ailenin her ay için harcadığı parasal varlıklarla ilgili bilgilerin olduğu bir tabela yap. Suyun fiyatı m3 için
29,5 denardır.
Ailenin her ay harcadığı parasal varlıkların aritmetik ortalamasını bul!
Dokuz ay boyunca yapılan su tüketimi için (m3 olarak) sütun diyagramı oluştur!
Yapacağın diyagramda aritmetik ortalamayı göster!
Diyagramdan, hangi aylarda tüketimin aritmetik ortalamadan daha yüksek olduğunu belirle.
2
Sınıfında matematik dersinden elde edilen başarının aritmetik ortalamasını (ortalama değer)
hesapla.
Eğitim yılı sonunda ortalama başarını hesapla.
210
17
Aşağıdaki eşitliğin doğru olması için *
işaretinin yerinde ne olmalıdır?
a) 6 m = 60 *;
b) * km = 1 200 cm;
c) * l = 3 000 ml;
d) 2 dl = 200 *.
1.
2.
ÖLÇMEYİ OKUDUN.
BİLGİLERİNİ YOKLA
9.
Çevir:
а) 1 m 5 dm 3 cm’yi santimetreye;
b) 3 / 3 cl’yi desilitreye;
c) 2 kg 3 hg 4 mg’ı dekagrama;
d) 6 saati günlere.
6 dal’yi dl’ye çevir.
10. Aşağıdaki sayıları çok adlı sayıya çevir:
Aşağıdaki eşitliğin doğru olması için *
işaretinin yerinde ne olmalıdır?
a) 4 kg = 400 *;
b) * s = 6 dk;
c) 2 sa = * dk;
d) 5 OC = ∗ K.
3.
a) 3 126 cm;
11.
b) 12 488 hg;
c) 231 dal
İşlemleri gerçekleştir:
a) 6 t 23 kg 2 dag + 247 kg - 7hg - 3 g;
4.
2 m 5 cm’yi desimetreye çevir.
b) 12 488 hg - 12 kg;
c) 12 km - 6 dam 9 cm;
Verilen sayıyla aynı türden olan ama
onunla aynı adlı olmayan adlandırılmış bir
sayı yaz:
a) 4 kg; b) 7 km; c) 36 dk.
d) 2 l + 6 dl - 8 cl 7 ml.
5.
Çok adlı sayıyı yazılan en küçük ölçü
biriminde tek adlı sayıya çevir.
a) 2 t 40 kg 14 dag;
b) 4 km 7 dam 14 dm;
c) 9 dal 8 l 5 dl;
d) 2 sa 17 dk 14 sn.
6.
12.
İşle:
а) 6 t 228 kg sayısını 9 kat küçült;
b) 2 km 8 dm sayısını 5 kat büyüt.
13. 1 cm2 ‘den daha büyük olan üç alan ölçüsü
yaz!
14. 2 m2 kaç defa 4 cm2’den daha büyüktür?
Cevabı açıkla!
Aşağıda istenen işlemleri yap:
а) 6 sa 12 sn’yi dakikaya çevir.
b) 7 dal 3 l 5 cl’yi desilitreye çevir.
c) 4 km 7 m 14 dm’yi dekametreye çevir.
d) 6 dag 12 g’ı gramlara çevir.
7.
15. 1m3‘ten daha küçük üç tane hacim ölçüsü
yaz!
16. Bir mekânın 4m; 5m; 3,5m boyutları vardır.
Mekanın hacmini belirle!
Kaç kat daha büyüktür:
а) 4 km 400 m’den;
b) 6 t 300 kg’dan;
c) 2 l 200 ml’den?
8.
17. Bir küpün 27 cm3 hacmi vardır. Küpün bir
tarafının alanını belirle!
Ödevlerin
211
CEVAPLARI VE ÇÖZÜMLERİ
KONU 1.
1
1. A: e, p; B: meşe; A = {e, p};
B = {x| x meşe kelimesininharfidir};
m, e, ş ∈ B; e ∉ B
M
2.
C
a
N
3.
D
3
5
2
6
7
3. A x B = {(Yavuz, şarkı söylüyor), (Yavuz, uyuyor),
(Yavuz, okuyor), (Beren, şarkı söylüyor),), (Beren,
uyuyor), (Beren, okuyor), (Davut, şarkı söylüyor),),
(Davut, uyuyor), (Davut, okuyor)}.
9
3. δA = 98; δB = 17.
4. S = { 0, 1, 2}; P = {m}; S2 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2),
(1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2)}.
6
Alıştırma: İlk üç sorunun kümeleri kesindir, dördüncü
sorudaki küme ise kesin değildir.
3
2.
1. D = {1, 3, 5, 7, 9}; N = {x | x 11’den küçük
çift sayıdır}; D ve N denktirler, çünkü aynı
sayıdadırlar:
δD = 5 ve δN = 5.
P
U
K
y
3. y ∈ P olduğu doğrudur, çünkü K kümesi P
kümesinin altkümesidir. Bu yüzden de K kümesinin
tüm elemanları P kümesinin de elemanlarıdır.
4. ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}.
Alıştırma: Müşteri 312 numaralı ev için; 1, 2 ve 3
sayılarını satın almıştır.
4
1. (2, a), (2, b), (2, c), (5, a), (5, b), (5, c).
2. a) 2; b) 8; c) 7 ve 3.
1. δL = 5; δS = 0; δK = 0; δM = 0
(M - Mars’a gitmiş arkadaşlarının kümesi).
2. δA = 5; δB = 4.
a) P ∪ S, ilk onluğun tüm sayılarının kümesidir;
b) P ∩ S boş kümedir; c) P \ S P kümesidir;
d) S \ P S kümesidir.
B
4
8
3.
5
S
A
1
2
DOĞAL SAYILAR
1. a) Birleşim b) Fark c) Kesişim
2. δA = 4, δM = 5; A ∪ M = { m, n, p, k, s, t, r},
M ∩ A = { p, k}, M \ A = { s, t, r};
δ(M ∪ A) = 7, δ(A ∩ M) = 2, δ(M \ A) = 3.
1. 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170,
171, 172, 173, 174; şu rakamlarla
yazılmıştır: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ve 0;
A = { 164, 166, 168, 170, 172, 174}.
2. 70, 80, 90, 110, 130, 150; işaretle 35 ve 59
sayıları gösterilmiştir.
3.
0 2 4 6 8 10
14 16
20
4. S = { 1, 3, 5, 7, ...}; 1, S kümesinin en küçük elemanıdır. S’nin sınırsız elemanları var.
7
1. a) 5 sayısı milyonlar bölüğünde, 2 binler
bölüğünde, 7 birlikler bölüğünde, 0 da binler
bölüğünde yer alıyor.
b) 5 Birlik milyonlar, 2 yüzlük binlikler, 7 onluklar, 0 ise
onluk birliklerde yer alıyor.
c) 5’in bölük değeri 5 000 000, 2’nin 200 000, 7’nin 70,
0’ın da 0 ×10 000 = 0.
2.
MİLYONLAR
BÖLÜĞÜ
YM
OM
BİNLER
BÖLÜĞÜ
BİRLER
BÖLÜĞÜ
BM
YB
OB
BB
Y
O
B
7
4
0
5
9
0
6
3. 8 302 060 400 500.
14
4. 1 000 000 000, bir milyar.
212
5.
5 sayısı “beş” olarak, 5 rakamı ise “beşli”
olarak okunuyor:
6. 1 000 000 ⋅ 1 000 000 = 1 000 000 000 000;
bilion.
Alıştırma: 7 777 777.
8
1. İki bin üç yüz kırk beş; İki yüz elli; Altı milyon
:3
:6
18 6
1
:7
:2
42 6
3
54
18
3
84
12
6
108 36
6
98
14
7
2. 8; 171; 76; 7; 12; 13. 3. 145; 707; 700.
4. 20; 8. 5. Sürü en az 250 saat uçmuştur.
Salyangoz bir dakika içinde 5 cm yol geçmiştir.
Çözüm: 4 saatte 12 m geçtiği için, saatte 3’er metre
geçiyormuş ya da 60 dakikada 300 cm. Bu da 1 dakika
için, 5 cm (= 300 : 60) demektir.
dört yüz bin üç yüz on.
2. 300 205 800.
1.
3. <; >; >; <.
4. Daha yakındır: a) 24 600’e; b) 25 000’e.
5. 25 380; 25 400; 25 000.
6. 15 410 000.
7. Yoktur: 1; (bir) milyon iki yüz on altı bin üç yüz elli
sekiz denir.
Çözmeye çalış. Örneğin:
1) En sevdiğin televizyon kanalının numarası
2) Pasaport numarası.
10
1.
187; 99; 171. 2.
9 060. 4.
2 026. 3.
238; 174;
2. 495. 3. 2 845; 5 185.
2. a) 450;
3. a) 16; b) 4; c) 16.
5. 32. Çözüm. 7 680 : 240 =
Alıştırma! 31 yumurta. Beşinci müşteri 1 yumurta,
dördüncü müşteri, 2 • 1 + 1 = 3 yumurta, üçüncü müşteri 2 • 3 + 1 = 7 yumurta… vb.
2. 1 550.
1. a) 48; b) 225.
2. a) x = 110; b) x = 200;
c) x = 17; d) x = 120; e) x = 21; f ) x = 3.
3. 305 meyve kasası. 4. 35 yaş.
18
Bunu da dene: Evet.
1. Toplam 234 için büyüyecek.
b) 15; c) 90; d) 90.
16
4. Yaklaşık, 16 yüzlük, kesin: 1 770 den.
12
1. a) 180; b) 420; c) 15; d) 60.
768 : 24 = (768 : 3) : (24 : 3) = 256 : 8 = 32.
13 000; 13 700; 13 770; 763; 63; 7;
1. 962; 11 115.
15
4. 5 040.
doğru toplam: 13 763.
Alıştırma: 22 + 22 + 222 = 266.
11
6. 1 755 : 45 = 39. 7. 19. 8. 600 i 60.
4. 20’şer ceviz.
1. 1, 2, 5 ve 7. 64’ün tüm bölenleri: 1, 2, 4, 8, 16,
32 ve 64. 4|12, 3|36 ve10|1 000 doğrudur. 3’ün paydaları
örneğin: 3, 6,9, 12, 15, 18, 21, ama onlar sonsuzdur.
3. x = 13 için. 4. Eksilenin 25 için artması
gerekiyor.
5. a) 100; b) 100; c) 80; d) 110.
6. 600 denar.
Alıştırma: 100. Çözüm:
(2 + 4 + 6 + ... + 200) - (1 + 3 + 5 ... + 199) =
(2 - 1) + (4 - 3) + (6 - 5) + ... + (200 - 199) = 100.
13
1.
6 510; 51 240; 100 000; 7 000; 4 800;
343; 69. 2. 11 760.
3. 382 200 km.
4. a) 30 000; b) 35 100; Doğru: 34 036; a)’nın değerlendirilmiş çarpımı, doğru çarpımdan 4 036 için
daha küçüktür, b) ise 1 064 için daha büyüktür.
5. ∗ işaretinin ortaya çıkma sırası ile: 4, 0, 1, 0;
439 • 47 = 20 633.
2. Örnek 1): 4 sayısı 8, 20, 28 ve 36 sayılarının bölenleridir; onların toplamı 92’dir, 92 : 4 = 23, daha doğrusu
92, 4 ile bölünebilir.
Demek ki, 4|(8 + 20 + 28 + 36).
Örnek 2): 12|(48 - 36), çünkü 12|48 ve 12|36.
Örnek 3): 7|21•5•6, çünkü 7|21.
3. a) ve c) evet; b) ve d) hayır. 4.
ve d) 7 ile.
19
a), c) ve d) 3 ile; b)
5. B = {16, 24, 32}.
1. 28, 70, 96 ve 25 000, 2 ile bölünebilir çünkü 0,
6 veya 8 rakamları ile biterler.
275,
400 ve 995.
3.
4. 65.
20
1. 348, 1 245 ve 6 123.
2. 9 126 ve 540.
3. 1, 4 veya 7; 1, 4 veya 7; 2, 5 veya 8; 1, 4 veya 7.
2
4. 7; 1; 6; 7. 5. 2 veya 8.
Sonuç almayı dene! 60 sayısı 3 sayısı ile bölünebilir ve 3
çikolatanın değeri, fiyatı ne kadar olursa olsun, 3 ile
bölünebilir. Buna gore, toplam fiyat da 3 ile bölünebilmelidir. Ancak buradaki toplam fiyat (220), 3 ile bölünemez.
21
6
1
36
18
3
9
213
OB
EB
54
28 42 98
OB
EB
21 49
14
27
4
6
2
3
7
1
1. 1 324, 1 432, 3 124, 3 412, 4 132 ve 4 312.
Dikkat et: 1, 2, 3 ve 4 rakamları ile 24 tane dört rakamlı
sayı oluşturulabilir. Onlardan sadece en üstteki altı sayı
2. 0, 4 veya 8; 2 veya 6; 1, 3, 5, 7 veya 9; 0, 2, 4, 6
veya 8.
3. Örneğin: 20; 160; 3 240. 4. 312.
Bu da matematiktir! İlk oynayan oyuncunun 2 fasülye
alması, ikinci oyuncuya da 48 fasülye bırakması gerekiyor, yani 4 ile bölünebilir sayıda. Ondan sonra, ikinci
oyuncu ne kadar alsa da, 4 ile bölünebilir sayıda bırakacaktır, yani birinci oyuncu 4 ile tamamlar (ikincisi 1, birincisi 3, veya ikincisi 2, birincisi 2, ya da birincisi 3, ikincisi 1) vb. 20 sayısı 4 ile bölünebilir, bu yüzden de ikinci
alan oyuncu her zaman kazanıyor. 1’den 4 taneye kadar
fasülye alınırsa, ya da 1’den 5’e kadar, o zaman 5 ile ya
da 6 ile bölünebilirliğe dikkat edilmelidir.
22
1. 15 = 3 ⋅ 5; 42 = 2 ⋅ 3 ⋅ 7; 38 = 2 ⋅ 19;
75 = 3 ⋅ 52; 11 115 = 32 ⋅ 5 ⋅ 13 ⋅ 19.
odası)
4. 14 = 11 + 3 = 7 + 7; 52 = 47 + 5 =
1. {30, 60, 90, ...}; EKOK (10, 15) = 30.
2. a) 40. b) 36. c) 240. d) 720.
3. 300. 4. 120.
5. 25. Yardım. 3, 4, 5 sayılarının paydalarını (30’a
kadar) yaz, ardından da 5’in paydalarından hangisinin
hem 3 hem de 4’ün paydasından 1 için daha büyük
olduğunu kontrol et.
6. 60 s.
Kendin araştır! 12 ve 16 sayılarının benzerlikleri: ikisi de
karmaşık, çift ve 4 ile bölünebilir sayılardır. Farkları: 16
sayısı bir sayının karesidir (16 = 4²), 12 ise değildir. 12’nin
çift sayıda (D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}), 16’nın ise tek sayıda
(D16 = {1, 2, 3, 4, 8, 16}) bölenleri var.
Hesaplamaya çalış! 8; 24 = EBOB (8, 12).
Alıştırma! Bir bilet 10 denar değerindeymiş. Onlardan
birinin parası yokmuş, diğerinin ise 19 denarı varmış.
Kendin araştır! 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.
Yönlendirme: Prizleri tek sayıda basılmış olan ışıkların
yanmaya devam edeceklerini farkettin. O da tek sayı
bölenleri olan ışıklardır. (Bu sayılar; 1², 2², 3², 4² vb.
sayılarının kareleridir)
1. {1, 2, 3, 6}. 2. a) 6. b) 24. c) 30. d) 60.
3. a) 1. b) 36. 4. 24 [= EBOB (48, 72)]
Test:
5. 12 m.
1.
a) A = {11, 13, 15, 17, 19};
B = {11, 13, 15, 17, 19}, C = {16, 17, 18, 19},
b)
41 + 11 = 29 + 23.
6. 24 [= EBOB (48, 72, 120)].
24
2. 27.
3. 1 (çocuk), 3 (evcil hayvan), 2 (araba) ve 4 (yatak
23
12
4
7.
B
C
11
13
17
19
16
c) B ~ C,
B ∩ C ~ B \ C.
18
B ∩ C = {17, 19}.
2.
A x B = {(a, 1), (a, 5), (b, 1), (b, 5), (c, 1),
(c, 5)}; B2 = {(1, 1), (1, 5), (5, 1), (5, 5)}.
3.
a) 910, 901, 190, 109;
b) 109 < 190 < 901 < 910; c) En küçük 109; öncel
108, ardıl 110.
4. 20 350 005 070; 3 rakamı milyonlar bölüğünde,
yüzlük milyon basamağında yer alır ve değeri 300 000
000’dir.
Yuvarlanmış sayıların toplamı 9
000’dir; bu sayı gerçek toplamdan 24
için daha küçüktür.
5.
214
12.
a) 2 veya 6; b) 1, 3, 5, 7 veya 9.
13. 315 = 32 ⋅ 5 ⋅ 7. 14. D68 = {1, 2, 4, 17, 34, 68}.
6.
Fark, 300 için artacaktır.
15. EBOB (18, 24) = 6; EKOK (18, 24) = 72.
7.
13 500 l.
16. 8’er öğrencilik 4 ekip, her ekipte 3 kız ve 5’er
67 kg; eşek 28 kg, at ise 39 kg taşı-
9.
maktadır.
18; Böldükleri sayı 324’tür.
8.
471.
10.
11. a) 372, 930 ve 254;
1
a
1.
2.
DÜZLEMDEKİ GEOMETRİK ŞEKİLLER
4.
b
B
A
C
c
N
M
B
a
A
P
A Noktası.
b
4.
a) A, B ve C; D, B ve E noktaları.
b) A, B ve E; A, D ve B; D, B ve C noktaları.
MN, MP ve NP doğruları.
A
5.
B
D
2
P
C
I. durum:
B
c
A
B
C
A
D
doğrusu.
B
II. durum:
4.
2.
3.
üç doğru.
a
C
5.
a || b.
b
3
AB, BC ve BD
doğrularının
ortak noktaları, B noktasıdır.
A
2.
a
b
3.
A, B, C ve D noktaları 6
doğru oluştururlar.
C
1.
N
A
C
3.
O
p
M P
K
B
S
N L
4. AB doğru parçasının uzunluğu, doğru parçasının
uç noktaları A ve B arasındaki mesafeye eşittir.
5. Eşit uzunluğu olan iki doğru parçasına, eşit veya
uyumlu doğru parçaları denir.
6.
V A, B ve C noktaları, üç doğru
parçası AB, AC ve BC’yi oluşturur.
A
S
7.
F
E
8.
CD = 4 cm.
5
1.
p E, F ve G noktaları, üç
doğru parçası EF, EG ve
G
FG’yi oluştururlar.
O
A
B S
2. Sadece cetvel ve pergel ile yapılan resime, yapılandırma denir.
3. OM = 6 cm; ON = 9 cm.
a
4.
b
OA = 2a + b
M
P
MR = 3 cm, RY = 9 cm.
5.
Kendi noktası ile sınırlandırılmış, doğrunun
bir parçası.
1.
a
O
K, L ve M noktaları kolineardir.
(30 mm + 52 mm = 82 mm).
m
M
m
p
n || p. n
1. AV = 70 - 42 = 28
yani AV = 28 mm.
S
4
AV = 83 mm.
2.
C
3.
17. EKOK (30, 50) = 150, 150 : 30 = 5. Aynı yerde; birinci, beşinci, onuncu vb. direkleri aynı yerde kalacaktır.
b) 105 ve 930; c) 105, 372, 801 ve 930; d) 801.
KONU 2.
erkek öğrenci; EBOB (12, 20) = 4.
a
a
b
b
A H
MN = a + 2b
b
N
R
a
5.
2. Çember yarıçapı, çember merkezi ile
çemberdeki herhangi bir noktayı
bağlayan doğru parçasının uzunluğudur.
b
OA = a - b
a-b
O
A
a - 2b
R
H
PM = a - 2b
b
M
b
b
Y
a
6.
b
c
OA = a + b - c
a+b-c
O
5. d = 2 ⋅ 28 = 56, yani
d = 56 mm.
9
2. Nokta çemberde yatsın (ait olsun) ve yatmasın (ait
olmasın).
2. 15 dikdörtgen;
6
3. 20 eşkenar üçgen.
C
1. D
2.
A
3.
F
E
G
C
A
6.
Kırık çizginin 5 köşesi:
A, B, C, D, F; ve 5 tarafı
var: AB, BC, CD, DE ve
EA.
B
D
B
k
3.
1. 14 kare.
4.
Kırık çizgi çevresi, o
çizginin taraflarının
toplamıdır.
r = 50 : 2 = 25, yani
r = 25 mm.
6.
1. A ve D noktaları, iç noktalardır.
A
Dene:
215
4. Çember ile sadece bir ortak
noktası olan doğru parçasına
değmesidir deriz.
O
a
5. Doğru prçası çemberi kesiyor – iki ortak noktaları
vardır; doğru parçası çembere değiyor – bir ortak
noktaları vardır; doğru parçası ve çemberin ortak
noktaları yoktur.
6. a doğrusu.
10
k1
I
1.
k
7.
O
k2
t
O2
A
O1
5. AB = 250 cm.
L = 40 + 25 + 28 + 35 + 30 = 158,
yani L = 158 mm.
II
2. k1
O2
O1
k2
k1
k2
O2
O1
Bunu dene!
1. Çözüm resimde verilmiştir:
2.Tek hamle ile c) şekli çizilebilir.
3. k1 ve k2 çemberlerinin ortak noktaları yoktur.
7
1. Nokta, doğru, düzlem ve mesafe.
2. Türetilmiş kavramlar şunlardır: doğru parçası, yarı
doğru ve geometri şekli.
3. a) Doğru parçasının uzunluğu, onun uç noktaları
arasındaki mesafedir.
b) Kırık çizgi çevresi, onun taraf uzunluklarının
toplamına eşittir.
4. Küme ve nokta.
8
k1
k2
4.
k1
O1 = O2
11
k2
6. O1O2 = 12 mm.
O2
O1
1. A noktası ile işaretlenmiş aynı yarı düzlem
üzerinde; B, E, C ve H noktaları yatmaktadır.
2. O köşesi ve OA ile OB kenarları; A, O, B, D ve E
açının noktalarıdır. D ve E ise bölge noktalarıdır.
k
O noktası daireye ait değildir.
1.
5.
P
NMP açısı.
3.
O
M
N
4.
α
β
5. OA, OB ve OC yarı doğruları 3 açı oluştururlar: ∢AOB, ∢BOC ve ∢AOC.
216
12
3. a) Dar açı;
b) Dik açı;
c) Geniş açı;
d) Doğru açı.
5. Geniş açı ya da
dar açı.
V
4.
P
A
β
α
5.
O
∢AOB = α - β
O
M
3.
2. V
4.
O
O
N
A
∢AOB = 2α - β
1. ∢BOC = 60o, ∢BOD = 95o, ∢COD = 35o,
∢BOM = 124o dhe ∢MON = 56o.
2. α = 50o dhe β = 125o. 4. a) 25o = 25 ⋅ 60’ = 1 500’;
b) 30o 15’ = 1 815’.
V
N
3.
5. β, α, δ, γ.
126o
47o
A
β
M
A
∢AOB = α + β
O
A
P
M
1. α + β = 113o 36’ 52’’; α - β = 63o 16’ 12’’.
2. α + β = 117o 11’ 32’’;
α - β = 35o 53’ 52’’.
3. a) 53o 20’;
b) 47o 17’ 18’’.
4. a) β = 101o 30’;
b) β = 114o 24’ 35’’.
Dene!
Merkezi açının köşesinde yer alacak olan çember çiz.
∢AOB = 19° olsun, çünkü 19 • 19 = 361, tam açı ise
360°dir. Eğer 19°’lik açıyı, O köşeli açıya 19 defa aktarırsan, 1°’lik fark elde edeceksin.
α
2.
B
B
O
17
P
A
16
N
M
O
Dene!
10 açısı vardır : ∢AOB, ∢AOC, ∢AOD, ∢AOE, ∢BOC,
∢BOD, ∢BOE, ∢COD, ∢COE, ∢DOE.
6 çift komşu açısı vardır: ∢AOB ve BOC; ∢AOB ve
∢BOD; ∢AOB ve ∢BOE; ∢BOC ve ∢COD; ∢BOC ve
∢COE; ∢COD ve ∢DOE.
3 çift bütünler açılar var: ∢AOB ve ∢BOE; ∢AOC ve
∢COE; ∢AOD ve ∢DOE.
β
O
B
β
α
B
α
A
6.
1. Açı köşesi, çemberin merkezinde yer alan
açıya, merkezi açı denir.
O
A
M
5. Tümler açılar şunlardır: 1 ve 3; 2 ve 4; 5 ve 7 ve 6
ve 8.
α
O
∢AOB = α - β
4. Aynı açı köşesine sahip ve birinin açı kenarları,
diğerinin açı kenarlarının devamı olan iki açıya,
tümler açılar denir.
1.
β
α
N
1. ∢AOV ve ∢VOS; ∢VOS ve ∢COD;
∢AOS ve ∢SOD; ∢AOV ve ∢BOD.
2. α açısının bütünler açısı, 3.
β açısıdır. γ ve δ açıları
β
α
da bütünlerdir.
β açısı, dar açıdır.
15
A
B
4.
N
6.
R
α
O
B
O
13
14
B
γ
∢AOB = α + β + γ
1. Kenarları bir doğru oluşturan açıya, doğru açı
denir.
2. Doğru açının yarısı olan açıya, dar açı denir.
β
α
3.
A
∢AOB = 2α
18
Bahçıvana yardım et!
Bahçıvan çiçekleri resimdeki gibi ekmelidir.
1. M noktası ile p doğrusu arasındaki mesafe,
MN doğru parçasının uzunluğudur. Burada N, p
doğrusunu kesen noktadır.
M
2.
P
4.
22
m
N
MN = 10 mm
3.
S
PS = 2 cm
AM = 25 mm.
1.
1. Uç noktaları çokgen üzerinde yatan doğru
parçalarının tüm noktaları, çokgene ait noktalar olduğu durumlarda, bu çokgenlere, dış
bükey çokgenler denir
D
m
AD = 16 mm
19
2.
A
MN = 7 cm.
s2
C
B
20
7. B
5.
∢MOP = 42o
6.
∢AOB = 70o O
23
C
α
A
1. b) ve c) açıları tümler açılardır.
2. β = 90o - 39o = 51o. 4. b) ve c) deki açılar
bütünler açılardır.
3.
5. β = 180o - 76o = 104o.
β
α
6.
α
β
α + β = 180o.
α + β = 90o.
21
1. b) deki kırık çizgi, poligonal çizgidir.
b) ve c) deki kırık çizgiler çokgendirler.
D
A
4. A ve B köşeleri D köşesi ile
komşu değillerdir.
B
MN tarafının komşu kenarları, ML ve NP’dir.
1. L = 160 mm = 16 cm. 2. L = 29 cm.
3. a = 15 cm.
4. L = 30 cm.
5. a = 10 cm.
6. b = 10 cm.
7. L = 54 cm.
8. a = 9 cm.
9. 30 mm.
Test:
5.
A, B, C, ∈ p; D, E ∉ p; C, D, E, ∈ q;
1.
A, B ∉ q.
2.
Evet; BC = CA + AB.
ve poligonaldır. ve poligonal
değildirler (kapalı değiller); (kesişen komşu olmayan
kenarları var).
9.
3. C
B
3. ABCD çokgeni üzerinde; A, M, B, C, D, F ve G noktaları yatmaktadır.
V
s1
A
C
A
M
4.
5.
E
2. B’nin komşu köşeleri: A ve
C. BC’nin komşu kenarları:
AE ve ED.
s
3.
2.
217
6.
∢AOB - dar; ∢AOC- geniş; ∢AOD - tam.
13. Këndi është i gjerë;
90o 35’ = 5 435’.
B
10.
β α
C
54 mm.
O
14. β = 44o 24’ 15’’.
A
∢AOC doğrudur.
17. Bütünler değildirler.
18. 13 m.
218
1
1.
KONU 3.
7
__
yedi dokuzda bir;
9
KESİRLER
12
__ ’te 12;
23
4
___
- 121’de dört. 2. Örneğin:
121
105
___ 28’de 105;
da bir;
28
4.
c) x = 6; d) x = 110;
5
__
6.
4
7
__
- yedi dokuz9
7
__
- yedi
7
0
12
__ kesrin paydası bütünün 19 eşit
19
yedide bir. 3
4
parçaya bölünüdüğünü, pay ise o bölümlerden 12
tanesinin alındığını gösteriyor.
4. a)
5.
a)
1
1
1
1
___
____
___
__
; c)
; d)
.
; b)
100
1000
100
10
15
28
9
3
____
___
__
__
kg.
m; c)
l; d)
dm; b)
1000
100
10
10
6. a) 25 cm; b) 6 dm; c) 4 dl; d) 320 g.
8.
5
__
kg.
8
2
1. a)
2
11
_ 5
_ 7
_ 8
;
;
; _ ; __ .
1 1 1 1 1
b)
6
21
_ 15
__
; __ ;
;
3
3
3
77
24
__ 35
__ 49
__ 56
__ . c) 14
__ ; 33
;
;
; __ ; __ .
7
7
7
7
3
7
3
13
1 6
__;
_
4. Ör.
3. Ör. _ ; .
12
7 7
1
1
5
4
8
_
_
_
_
_ .
5. 9 ; 4 ; 2 ; 5 ; 13
3
4
8
5
9
21
__ .
36
7.
2.
4.
36
__.
12
33 35 13 63
6. __ ; __ ; __ ; __ .
4
9 10 4
2
2
1
__
__
__
;1
;3
.
3
3
3
1. a)
3
4 __
4
2.
0
3.
0
1
3
__
4
4
9
__
8
1
1
6 __
2
5
7
9
__
4
2
3 1
__
4
2
3
3
1
__
2
17
__
4
4
5
6
13
10
4
__
__ b) 4; c) 8 __
; d) 4
. 2. a) __ ;
;
12
15
9
9
2
3
2
2
10
b) __ ; c) 3 _ ; d)1 _ ; e)1 __ . 3. __ dolu,
5
11
19
4
12
2
8
1
__
__
bölüm
dolmamış.
4. _ .
5.
12
10
7
8
2
6. 13 __ ;
okunmuş; __ bölüm okunmamış.
12
10
4
__
5
.
12
4 __
10
6 __
15
22 __
55
__
__
__
1. a)
,
; b)
,
; c)
,
;
10 25
14 35
24 60
2 12
30
__
__ 18
__
__ 75
__
,
,
.
d)
,
. 2. Örnek
3 18 27
34 85
2 __
17 __
29
__
,
,
.
3. 80, 30, 85, 96, 18 yüzde bir. 4.
5 25 36
1 __
2 __
2 __
3 __
5
5
__
__
;
,
,
,
. 6. b)
5.
.
3
3
3
8 6
7
1. a)
5
7. a) x = 5; b) x = 42; c) x = 11; d) x = 51.
3
9
5
10
__
__
__
__
=
;
=
.
8.
4
12
6
12
Alıştırma!
Eşit. Talimat: Şaraba dökülen su şarap
karışımı bardağında, su kovasında şarap kaldığı kadar
su var.
Güldürmece! Beşinci gün.
3
7
1
5 __
28
__
__
ve __. 5. a) x = 8; b) x = 8;
ve
;
6
30 10
40
7
__
2
3
4
Ayten - 404denar; Murat - 505denar.
1
İşlem: Ayten’in parasının __ ‘i Murat’ın parasının
4
1
__
‘ne eşit olduğu için şunu tespit edebiliriz: eğer bir
5
bütünü 9 bölüme ayırırsakve bu bölümlerden iki bütün
4
5
1
__
__
yaparsak
ve
, o zaman bir bölümün __ ‘ i
4
5
4
1
diğer bölümün __ ‘ne eşittir.
5
1
Buna göre 909 : 9 = 101Ayten’in parasının __ ‘i yani,
4
1
__
Murat’ın paralarının
‘i. Ayten’de 4 ∙ 101denar,
5
Murat’ta ise 5 ∙ 101 denar varmış.
6
13
13 ______
13
__ , ___
,
.
1. a) ve d) şıkkı 2. Ör. :
10 100 10 000
3. а) 36 bütün ve 2 ondalık. b) 3 bütün ve 4 ondalık.
c) 138 bütün ve 2 ondalık.
4. a) 0,06. b) 2,09. c) 11,029. d) 14,003.
5. а) iki bütün ve üç yüzde bir. b) ondokuz bütün ve
15 binde bir. c) sıfır bütün ve otuz beş on binde bir.
6.
7
2
a) __ ;
10
5
b) 1__ ;
10
3
c) 4 ____ ;
1 000
17
d) 1 _____ .
10 000
büyüktür yani, doğal sayı 108 : 9 = 12 dir.
Rakam rakam ardına belirleyerek ikinci bir
yöntemin farkına var.
12
1. 7,48; 94; 360; 1 000,6; 200.
2. 18; 0,072; 10 000,1; 3 400; 7; 96 006;
4 000 400.
3. 44,835; 3780,024; 0,0189. 4. 63,92 m2.
5. 45 272; 66,1.
6. 175,25927844. 7. 900 den.
8. 2,4366 sayısına eşittirler.
13
9. 1,6; 2,4; 3,6; 5,4.
1. a) 0,476. b) 0,0476. c) 0,00476.
2. 0,2; 0,8; 21; 0,13; 0,024; 0,6337; 28,44.
3. 1 : 7 = 0,142857; 2 : 7 = 0,285714;
3 : 7 = 0,428571; 4 : 7 = 0,571428;
5 : 7 = 0,714285; 6 : 7 = 0,857142. Tüm
bölümler aynı rakamlardan oluşmuştur.
4. 30; 5; 400; 9; 4,02; 0,176.
1. 1,30; 0,50; 23,00; 1 000,00.
2.
Evet.
219
5. 5.
6. 400; 25,78125; 400; 0,00675.
3. 0,5; 0,502; 1,20203. 4. 8,000; 1,200; 3,250.
7. 0,02416; 15,612; 0,001; 50,04. 8. 2,946 km.
Alıştırma: 8 ceviz.
9. 18,375; 4,02.
8
1.
0,6
1,7
3,4
0
1
2
3
2. 2,01 > 1,86; 6,29 > 6,172; 9,121 > 9,101;
0,1031 > 0,1028.
5
____
= 0,005 < 0,05 = 0,050 < 5.
1 000
Alıştırma: virgül.
4. 131,102 daha yakındır.
3.
10
1. a) 163,375. b) 105,075. c) 161,155.
d) 100,075.
2. 31,4; 6,852; 13,366; 416,723.
3. 158,14; 4,8345.
11
4. 78,4 m.
5. 3,69; 7,38;
11,07; 14,76.
1. 21,1; 893,674; 3,68;
2. 10,31; 201,62;
1,09; 339,73; 846,825.
28,36; 3,8;
14
10. 4,05.
1. 0,6; 0,09; 1,2; 1,48; 1,832; 0,2875;
0,34375; 1,296875.
2. 0,666...; 0,81818...; 0,6; 0,95; 1,2; 0,037037...;
0,1333...; 0,2777...; 0,1345454... .
3. Devretmeyen 3, devreden 78; devretmeyen 54,
devreden 302.
4. 4,(63); 0,(102); 3,5(403); 4,2(711).
5. a) 3,654545...; b) 0,77240124012...;
c) 0,06523152315... .
15
1. 2,715; 3,033; 0,015. 2. 0,2; 0,21;
0,2059.
3. 8,104. 4. 3,54.
5.
Sayı
0,01’lik
doğruluk payı
Yuvarlama
hatası
0,01’lik
doğruluk payı
Yuvarlama
hatası
6. 0,768 kg. Alıştırma: 12 ve 14,3.işlem: Eğer hatalı
0,0374
0,04
0,0026
0,037
0,0004
toplam 13,43’ü 10 ile çarparsak, 134,3 sayısını elde
ederiz ki, bu sayı doğru ondalık sayıyı ve doğal sayıdan
10 kat daha büyük sayıyı içeriyor.
Fark134,3 - 26,3 = 108 doğal sayıda dokuz kat daha
0,5386
0,54
0,0014
0,539
0,0004
426,4235
426,42
0,0035
426,424
0,0005
6,0141
6,01
0,0041
6,014
0,0001
3. 0,34 m. 4. 65,76. 5. 22; 8,8; 125,6.
220
Test:
a)
1.
C
A
1
2.
b) __.
3
2
__
. 5.
3
12
__ kg.
8
3
__
8
4.
2
__
;
1
2
__
8
+
5
__
8
0
1
4
__
+ __
5
5
9.
29,0664.
1
8
1
__
; __ .
18
6
7.
12. po
8.
10. Evet ; 0,006.
56
__ .
64
11. Doğru.
13. 29,6304; 29,6304; 0,0296304.
14. 23,15; 3,125. 15. 20; 0,64.
16. 2,14; 27.
17. 21,85.
19. 0,0001.
18. 8,4; 1,2(70).
20. 9,13.
1
0
KONU 4.
1
2
__
.
5
B
5
25
__
; __ .
1
5
3.
6.
3. 94 mm, 4 dm 7 cm, 48 cm, 9 dm, 2 m.
ÖLÇME
3. 2 551 443 s.
4. a) 83,4 dm; b) 8,097 km;
4. 12 mg, 10 g, 8 dag, 5 hg, 1 kg. 5. 8 ml,
c) 5 008,705 kg; d) 9 075,008 mg; e) 85,06 dl.
6 dl, 1 l, 5 dal, 2 hl. 6. 76 500 den.
Eğlenceli soru!
2
1. 15 sa 27 dk.
Gece yarısı olacak.
2. 40 dk.
3. a) 9,5 gün; b) 228 sa; c) 1hafta 2,5 gün.
4. 5724 gün. 5. a) 310,16 K; b) 223,16 K.
3
2. 12 kitap;
5. 18 denar 50 deni;
4. 1 sa 50 dk 45 ѕn;çok adlı olan
adlandırılmış sayı.
Tek adlı
Çok adlı
Aynı adlı
5; 29,6; 74; 7; 8; 12; 4
7 m; 8 hl; 4 m; 4 kg; 3 kg; 9 hl;
14 l; 8 m2; 5 l; 15 m2
12 kg 3 dag; 4 m 2 dm; 6 m 5 dm
7 m dhe 4 m; 8 hl dhe 9 hl; 4 kg dhe
3 kg; 14 l dhe 5 l; 8 m2 dhe 15 m2;
4m 2dm dhe 6 m 5 dm
Bu da matematiktir!
4
5
1. a) 3 m 4 dm 2 mm; b) 4 dam 7 cm;
c) 4 kg 7 hg 6 g 3 dg; d) 4 dag 7 g 6 dg 3 cg 2 mg;
e) 1 l 3 cl 5 ml; f ) 3 kl 5 hl 7 dl.
2. a)
Cevap: 8 Mart
1. a) 5 025 m; b) 780 004 ml;
c) 400 605 dag; d) 13 447 min.
2. 2 764 m.
km
0
6. Örnek: 6 kg, 138 kg.
7. 3 kg 2 hg 4 dag; 4 m 5 dm 6 cm;
12m2 3 dm2 9 cm2.
8.
Adlandırıl-mamış
Cevap: Güneş açamaz.
hm dam
3
8
m
dm
cm
mm
7
2
5
0
3 hm 8 dam 7 m 2 dm 5 cm.
b)
km
0
hm dam
3
0
m
dm
cm
mm
0
2
0
0
3 hm 2 dm.
c)
kg
hg
dag
g
dg
cg
mg
0
3
2
0
0
5
0
3 hg 2 dag 5 cg.
d)
kl
hl
dal
l
dl
cl
ml
4
0
1
5
3
0
0
4 kl 1 dal 5 l 3 dl.
3. a) 2 dam 2 m 5 cm; b) 5 kg 3 hg 2 g 6 dg 7 cg;
c) 4 dal, 3 l 1 dl 5 cl; d) 2 hg 3 dag 7 g.
9
4. 29gün 12 sa 44 dk 3 sn.
6
Test:
1.
2.
600 dl.
2. a) 2 dam 6 m 8 dm 1 cm 2 mm;
b) 4 dm 3 cm 2 mm; c) 1 m 1 dm 3 cm 4 mm;
d) 278,16.
3. a) 2 t 800 kg 9 hg 9 dag;
1 t 579 kg;
6.
5. 9 t 88 kg.
2 kg 2 hg 4 dag;
8 dl 2 cl. 8.
11 kg 2 hg. 9. 20 sa27 dk.
7
a) dm; b) 0,012; c) 3; g) ml.
a) dag; b) 360; c) 120;
3.
4.
20,5 dm.
a)Örnek: 5 t;
5.
a) 360,2 dk; b) 730,5 dl; c)
7.
400,84 dam; d) 72 g.
8.
а)10 kat; b)
20 kat; c)10 kat.
9.
a) 153 cm; b) 30,3 dl;
c) 230,0004 dag; d)0,25gün.
1. a) 700 cm2; b) 70 000 mm2.
10.
2. a) 2 925 m2, b) 29,25 a. 3. 4 800 000 den.
4. 4 800 karo.
8
7. 84 l.
a) 204 014 dag; b) 40 714 dm; c) 985 dl;
d) 8 234 s.
1 kg 3 hg 3 dag 8 g;
7.
221
b) Örnek: 2 m;c) Örnek: 15 sn.
b) 2 dal 2 l 1 cl 7 ml. 4. a) 2 dal 4 l 1 dl 2 cl;
6. 33 195 den.
2
5. 0,63 m . 6. 24 dm .
b) 3 km 9 hm 4 dam 9 m; c) 3 m 8 cm.
b) 6 l 2 cl 8 ml; c) 6 dl 7 cl.
3. 4 m. 4. 8 cm3.
3
1. a) 3 m 4 dm 9 cm 9 mm;
d) 2 dm 8 cm.
1. 200 cm3.
3
3
c) 0,2 m3.
c) 2 kl 3 hl 1 dal.
11.
a) 6 t 269 kg 3 hg 1 dag 7 g;
b) 1 t 236 kg 8 hg;
c) 11 km 9 hm 3 dam 9 m 9 dm 1 cm;
3
1. 1 dm , 1 cm ; 1 mm .
2. 4 000 dm3.
a) 3 dam 1 m 2 dm 6 cm; b) 1 t 248 kg 8 hg;
d) 2 l 5 dl 1 cl 3 ml.
3. a) 7 m3; b) 0,5 m3;
12. a) 692 kg; b) 10 km 4 m.
14. 5 000kat. Açıklama: 2 m2 = 20 000 cm2, 20 000 :
4. 27,65 cm3.
4 = 5 000.
16. 70 m3.
17. 9 cm2.
Alıştırma! Talimat:
3l
3
0
3
1
1
0
3
0
5l
0
3
3
5
0
1
1
4l
KAVRAMLAR
A
açı, ve 98
- tümler açılar, 120
- dış bükey, 99
- kenarlar, 98
- ölçülmesi, 110
- tümler, 104
- bütünler, 103
- dar, 102
- tam, 102
- dik, 101
- komşu, 103
- bütünler, 121
- geniş, 102
- açık köşesi, 98
- merkezi, 105
alan,
- iç, 90
- dış, 90
alt küme, 10
aritmetik ortalama, 47
B
bölünen, 37
bölme,
- kalanlı, 38
bölünme kuralları, 49
- toplamda, 49
- çarpımda, 49
- farkta, 49
- işaretler, 51
bölen,ve
- ortak, 60
- en büyük ortak, 60
D
değme noktası, 93
derece, 35
- temeli, 36
-göstergesi, 36
derece tabanı, 36
dış, 92
222
- başlangıç, 77
- orta (ortası), 78
diyagram,
- resim, 159
- sütun, 158
doğru, ve
- sınır (ayrıt), 97
- karşılıklı, 116
- kolinear, 71
doğru parçası, ve
- eşit (uyumlu), 79
- toplam, 81
- çevirme, 80
- fark, 81
- komşu, 83
- uzunluğu, 78
- toplamı, 81
Ç
çember, ve 89
- ortak merkezli , 95
- yarıçapı, 89
- kirişi, 90
- merkezi, 90
- çapı, 90
çember yayı, 91
çizgi
- kırık, 83
- kenarı, 84
- kapalı, 84
- poligonal, 85
- çevresi, 85
çokgen, 122
- dış bükey, 125
- iç bükey, 125
- çevresi, 127
- tepesi, 123
- komşu kenarları, 123
- komşu köşeleri, 123
- kenarları, 123
D
dakika, 189
G
geçişidir, 93
İ
iç, 92
K
Katsayı , 49
- ortak, 63
- en küçük ortak, 63
Kartezyen çarpımı, 15
Kartezyen karesi, 16
kesir çizgisi, 133
kesir,133
- payı, 133
- ondalık, 149
- sadeleştirilemez, 147
- bileşik 137
- bayağı, 136
- genişletilmesi, 146
- sadeleştirilmesi, 147
- basit 137
Kırık çizgi, 83
- kenarı, 84
- köşesi, 84
- kapalı, 84
- basit, 85
küme,
- sayısı, 7
- eşit, 10
- eş değerli, 9
- sınırlı, 7
- boş, 8
- kesişimi, 12
- farkı, 14
Kümeler bileşimi, 13
Kümenin yazılması,
- liste yöntemi, 4
- açıklamalı şekilde, 5
L
litre, 187
M
mesafe, 76
- merkezi, 94
- denklem, 44
metre,
- kare, 203
- küp, 205
mutlak hata, 178
N
nokta, ve, 54
O
ondalık, 151
ondalık virgül, 150
Ondalık sayı sistemi, 20
Ondalık birim, 21
Orta,
- doğru parçası, 78
- aritmetik, 47
Ö
ölçü,
- kütle için, 187
- uzunluk için, 186
- zaman için, 189
- sıvı için, 187
- derece için, 189
- alan için, 203
- hacim için, 205
ölçü birimi, 191
özellik,
- birleştirici , 13
- dağıtım, 168
- değiştirici, 13
S
sayı (lar)
- ondalık, 149
- bileşik devirli, 176
- devredeni, 176
- devretmeyeni, 177
- basit devirli, 176
- tek adlı, 191
- karşılıklı asal, 61
- adlandırılmış, 191
- aynı adlı, 192
- ölçü, 191
- adlandırılmamış, 191
- tek, 17
- çift, 17
- çok adlı, 192
- doğal, 17
- asal, 57
- bileşik, 57
Sayı doğrusu, 18
sınır, 77
Sıralı çift, 15
simetri
- açı, 118
- doğru parçası, 118
223
T
Tam sayılı kesir, 138
terim, 87
- türetilmiş, 88
- matematiksel, 87
- esas, 88
U
uc, 78
yarıçember, 91
yarıdüzlem, 97
Y
yarı doğru, ve 77
- oluşturucu, 77
İÇİNDEKİLER
KONU 1.
DOĞAL SAYILAR
KONU 2.
DÜZLEM ÜZERİNDEKİ GEOMETRİK ŞEKİLLER
KONU 3.
KESİRLER
131
KONU 4.
ÖLÇME
183
3
69
CEVAPLAR VE ÇÖZÜMLER
211
KAVRAMLAR
221
CIP - Каталогизација во публикација
Национална и универзитетска библиотека “Св.Климент Охридски” , Скопје
АВТОР: Стефановски, Јово - автор
ОДГОВОРНОСТ: Целакоски, Наум - автор
НАСЛОВ: Математика за шесто одделение : деветгодишно основно образование
ИМПРЕСУМ: Скопје : Министерство за образование и наука на Република Македонија, 2011
ФИЗИЧКИ ОПИС: 224 стр. : илустр. ; 25 см
ISBN: 978-608-226-273-4
УДК: 373.3.016:51(075.2)=163.3
ВИД ГРАЃА: монографска публикација, текстуална граѓа,печатена
ИЗДАВАЊЕТО СЕ ПРЕДВИДУВА: 07.11.2011
COBISS.MK-ID: 89052426
224
Yayıncı:
Makedonya Cumhuriyeti Eğitim ve Bilim Bakanlığı
VI. Sınıf İçin Matematik Kitabı
Dokuzyıllık İlkokul Eğitimi
Yazarlar:
Yovo Stefanovski ve Dr. Naum Tselakoski
Danışmanlar:
Dr. Yordanka Mitevska , FBF- Üsküp’te sıralı hoca
Zoritsa Natsevska, „Koço Ratsin" İ.Ö.O-Üsküp’te öğretim üyesi
Dobre Traykovski, „H. Т. Karpoş" İ.Ö.O –Komanova’da öğretim üyesi
Genel Yönetmen:
Yovo Stefanovski
Tercüme:
Filiz Nezir Emin
Leyla Arif
Redaksiyon:
Prof. Dr. Arif Ago
Lektör:
Dr. Aktan Ago
Bilgisayar İşleri:
Dragan Şoposki
Basimevi:
Grafiçki Centar Ltd., Üsküp
Tiraz:
800
Kitaplar Milli Komisyonu'nun 22.06.2011 Tarih ve 22-1110/1 Sayılı Dokuz Yıllık İlkokul Eğitimi
Kapsamındaki 6. Sınıflara Yönelik Matematik Dersinin Onaylanması Kararı.

m - Министерство за образование и наука

Transkript

Benzer belgeler

matematik ödevim - Kartanelerim.com

ARSİNDE MUHTEŞEM MANZARALI SATILIK

tamam metrik sistem not

Haberleşme Kodları

Blickpunkt Mathematik 1

EK - 4A - Ahi Evran Üniversitesi

Araç Veri Arayüzü - custom