9-geo-3.ünite

III. BÖLÜM
ÜÇGENLER
ÜÇGEN ‹LE ‹LG‹L‹ TEMEL KAVRAMLAR
Tan›m (Çokgen) : n > 2 olmak üzere, bir düzlemde A1, A2, A3,...,An gibi birbirinden farkl›,
herhangi üçü do¤rusal olmayan n nokta verilsin. Uç noktalar› d›fl›nda kesiflmeyen [A1A2], [A2A3],
[A3A4], ... , [AnA1] n›n birleflimine çokgen denir.
Verilen n noktaya çokgenin köfleleri, do¤ru parçalar›na çokgenin kenarlar›, kenarlar›n
oluflturdu¤u aç›lara da çokgenin aç›lar› denir.
Kenarlar d›fl›nda köfleleri birlefltiren do¤ru parçalar›na çokgenin köflegenleri denir.
A
A
A
A
E
A
B
D
C
D
D
B
C
B
E
D
B
C
C
Üçgen
B
Dörtgen
C
Beflgen
Tan›m : Konveks bölge oluflturan çokgenlere konveks (d›flbükey) çokgen denir.
Konveks çokgende, bütün kenarlar ve köfleler her bir kenar›n ayn› taraf›nda bulunur.
Tan›m
: Konkav bölge oluflturan çokgenlere konkav (içbükey) çokgen denir.
E
D
D
E
C
A
C
A
B
B
Konveks çokgen
Konkav çokgen
Tan›m : Üç kenarl› çokgene üçgen denir.
A, B ve C do¤rusal olmayan üç nokta olsun. [AB], [BC] ve [CA] n›n birleflimine ABC üçgeni denir.
A
B
A¿BC = [AB] ∪ [BC] ∪ [CA]
fiekildeki üçgen üç köfle yan yana yaz›larak
ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA gibi 6 de¤iflik flekilde
adland›r›labilir.
b
c
C
a
A, B ve C noktalar› üçgenin köfleleri, [AB], [BC] ve [CA] kenarlar›, |BC| = a, |AC| = b ve |AB| = c
kenar uzunluklar›, BéAC, AéBC ve BéCA aç›lar› üçgenin iç aç›lar›, iç aç›lar›n komflu bütünleri olan
aç›lar da d›fl aç›lar› olarak adland›r›l›r.
Üçgenin kenar uzunluklar› a, b ve c ile gösterildi¤i gibi kenarlar› da k›saca a, b ve c ile gösterilebilir.
E
A
BéAC, AéBC ve BéCA üçgenin iç aç›lar›d›r.
B
F
C
D
EéAB, FéBC ve DéCA üçgenin d›fl aç›lar›d›r.
63
ÜÇGEN ÇEfi‹TLER‹
1. Kenarlar›na Göre Üçgen Çeflitleri
a. Çeflitkenar üçgen: Kenar uzunluklar› farkl› olan üçgenlere çeflitkenar üçgen denir.
|AB| ≠ |BC| ≠ |AC| ise ABC üçgeni çeflitkenar üçgendir.
b. ‹kizkenar üçgen: ‹ki kenar› efl olan üçgenlere ikizkenar üçgen denir. Efl olan kenarlara
üçgenin yan (ikiz) kenarlar›, di¤er kenara taban, taban›n karfl›s›ndaki köfleye üçgenin tepesi,
köflesi tepe noktas› olan aç›ya tepe aç›s›, di¤er aç›lara da taban aç›lar› denir.
|AB| = |AC| ≠ |BC| ise ABC üçgeni ikizkenar üçgendir. [AB] ve [AC] yan kenarlar›, [BC] taban›, BéAC
tepe aç›s›, AéBC ve AéCB da taban aç›lar›d›r.
c. Eflkenar üçgen: Bütün kenarlar› efl olan üçgenlere eflkenar üçgen denir.
[AB] ≅ [BC] ≅ [AC] ise ABC üçgeni eflkenar üçgendir.
A A
B B
A A
A
B
C C
BC B
|AB| ≠ |BC| ≠ |AC|
Çeflitkenar üçgen
A A
A
B
C C
B B
C
|AB| = |AC| ≠ |BC|
‹kizkenar üçgen
A
B C C
C
|AB| = |BC| = |AC|
Eflkenar üçgen
2. Aç›lar›na Göre Üçgen Çeflitleri
a. Dar aç›l› üçgen: Bütün aç›lar› dar aç› olan üçgenlere dar aç›l› üçgen denir.
b. Dik üçgen: Bir aç›s› dik aç› olan üçgenlere dik üçgen denir. Dik aç›n›n karfl›s›ndaki kenara
hipotenüs, di¤er kenarlara da dik kenar ad› verilir.
m(ëA) = 90° ise ABC üçgeni dik üçgendir. [BC] kenar› üçgenin hipotenüsü, [AB] ve [AC] kenarlar› da
dik kenarlard›r. Üçgenin di¤er aç›lar› dar aç›d›r. Niçin?
m(ëA) < 90°, m(ëB) < 90° ve m(ëC) < 90° ise ABC üçgeni dar aç›l› üçgendir.
c. Genifl aç›l› üçgen: Bir aç›s› genifl aç› olan üçgenlere genifl aç›l› üçgen denir.
m(ëA) > 90° ise ABC üçgeni genifl aç›l› üçgendir. Üçgenin di¤er aç›lar› dar aç›d›r. Niçin?
C
A
C
A
B
B
C
C
A
A
C
B
C
B
A
A
Dar aç›l› üçgen
Dik üçgen
Genifl aç›l› üçgen
m(ëA) < 90°, m(ëB) < 90°
m(ëA) = 90°, m(ëB) < 90°
m(ëA) > 90°, m(ëB) < 90°
m(ëC) < 90°
m(ëC) < 90°
m(ëC) < 90°
B
B
ÜÇGEN‹N YARDIMCI ELEMANLARI
1. Kenarortay: Bir üçgenin bir köflesini karfl› kenar›n orta noktas›na birlefltiren do¤ru parças›na
o kenara ait kenarortay› denir.
A
A
F
G
B
D
C
B
D
E
C
|BD| = |DC| ⇔ [AD], [BC] kenar›na
[AD] ∩ [BE] ∩ [CF] = {G} ise
ait kenarortay
G, ABC üçgeninin a¤›rl›k merkezidir.
64
|BD| = |DC| ise |AD| = Va
|EC| = |EA| ise |BE| = Vb
|AF| = |FB| ise |CF| = Vc
ABC üçgeninin a, b ve c kenar›na ait kenarortaylar›n›n uzunluklar› s›ras›yla Va, Vb ve Vc ile gösterilir.
Bir üçgenin üç kenarortay› üçgenin içinde bir noktada kesiflirler. Bu noktaya üçgenin a¤›rl›k merkezi
denir.
2. Aç›ortay: Bir üçgenin bir aç›s›n›n aç›ortay›n›n karfl›s›ndaki kenar› kesti¤i nokta ile aç›n›n
köflesini birlefltiren do¤ru parças›na üçgenin o aç›s›na ait aç›ortay› denir.
Bir üçgenin iç aç›lar›n›n aç›ortaylar›na iç aç›ortay, d›fl aç›lar›n›n aç›ortaylar›na da d›fl aç›ortay denir.
F
A
F
|AD| = nA
|BE| = nB
|CF| = nC
E
I
B
E
K
A
A
C
D
B
[AE] ⊥ [AD]
D
C
B
C
[AD] ∩ [BE] ∩ [CF] = { I }
[BK ∩ [CK ∩ [AK = {K}
m(BéAE) = m(CéAE) ise [AE], BAC aç›s›n›n iç aç›ortay›, m(CéAD) = m(DéAF) ise [AD], BAC aç›s›n›n
d›fl aç›ortay› olur. Üçgenin A, B ve C aç›lar›na ait iç aç›ortaylar›n›n uzunluklar› nA, nB ve nC ile
gösterilir. Bir üçgenin üç iç aç›ortay› üçgenin içinde bir noktada kesiflir. (Bu nokta üçgenin iç te¤et
çemberinin merkezidir.) Bir üçgende herhangi iki d›fl aç›ortay ile di¤er köfledeki iç aç›ortay da bir
noktada kesiflir.
3. Yükseklik: Bir üçgenin bir köflesinden, karfl› kenar do¤rusuna indirilen dikmenin, karfl›
kenar› kesti¤i nokta ile köfleyi birlefltiren do¤ru parças›na, üçgenin o kenar›na ait yüksekli¤i denir.
A
A
A
K
L
H
B
D
C
D
B
C
[AD] ⊥ [BC]
[AD] ⊥ [CB
m(ëB) < 90°, m(ëC) < 90°
m(ëB) > 90°
C
D
B
[AD] ∩ [BL] ∩ [CK] = {H}
|AD| = ha, |BL| = hb, |CK| = hc
Bir ABC üçgeninin a, b ve c kenarlar›na ait yüksekliklerinin uzunluklar› s›ras›yla ha, hb ve hc ile
gösterilir. Üçgende üç yükseklik bir noktada kesiflir. Bu noktaya üçgenin diklik merkezi ad› verilir.
ÜÇGENDE AÇILAR ARASINDAK‹ BA⁄INTILAR
Teorem : Bir üçgende, bir d›fl aç›n›n ölçüsü, kendisine komflu olmayan iki iç aç›n›n ölçüleri
A
toplam›na eflittir.
E
Hipotez : ABC bir üçgen ise
Hüküm : m(AéCD) = m(ëA) + m(ëB) dir.
‹spat
: [CE // [AB] çizelim.
B
1. m(DéCE) = m(ëB)
C
D
2. m(EéCA) = m(ëA)
3. m(DéCE) + m(EéCA) = m(ëB) + m(ëA)
4. m(AéCD)=m(ëA)+m(ëB)
Sonuç : Bir üçgende bir d›fl aç›n›n ölçüsü, kendisine komflu olmayan iç aç›lar›n her birinin
ölçüsünden daha büyüktür.
65
Teorem : Bir üçgenin iç aç›lar›n›n ölçüleri toplam› 180° dir.
Hipotez : ABC bir üçgen ise
A
Hüküm : m(ëA) + m(ëB) + m(ëC) = 180° dir.
‹spat
: [BC ›fl›n›n› çizelim.
1. m(AéCD) = m(ëA) + m(ëB)
B
C
D
2. m(AéCD) + m(ëC) = 180°
3. m(ëA) + m(ëB) + m(ëC) = 180°
Örnek
: ABC üçgeninde; m(AéBC) = x, m(EéAC) = y, m(DéCA) = z ve x + y + z = 256°
oldu¤una göre, x kaç derecedir?
Çözüm : ABC üçgeninde;
1. y + z + 180° − x = 360° (Üçgenin d›fl aç›lar›n›n ölçüleri
toplam›)
2. y + z = 180° + x
3. x + y + z = x + 180° + x = 256°
⇒ 2x = 76° ⇒ x = 38° bulunur.
Örnek
E
A
y
z
x
B
C
: Yandaki flekilde;
D
A
m(ëA) = a , m(ëB) = b
a
m(ëC) = c , m(ëD) = x ise
x = a + b + c oldu¤unu gösteriniz.
D
x
b
c
B
Çözüm : [AD n› çizelim.
C
1. m(BéDE) = m(ëB) + m(BéAD)
2. m(EéDC) = m(ëC) + m(CéAD)
A
3. m(BéDE) + m(EéDC) = m(ëB) + m(ëC) + m(CéAD) + m(BéAD)
a
4. m(BéAC) = m(CéAD) + m(BéAD)
D
5. m(BéDC) = m(ëB) + m(ëC) + m(ëA)
6. x = a + b + c olur.
x
b
c
B
C
E
Örnek
: Yandaki flekilde; A, B ve C noktalar› do¤rusal
E
[AE] // [CD], |AE| = |AB| ve |BC| = |CD| ise
D
m(EéBD) kaç derecedir?
Çözüm : B noktas›ndan [BF // [AE] çizelim.
A
1. m(EéBF) = m(AéEB) = α
C
B
2. m(FéBD) = m(BéDC) = β
E
3. m(AéEB) = m(AéBE) = α
α
F
D
β
4. m(BéDC) = m(DéBC) = β
α
5. 2α + 2β = 180°
A
6. m(EéBD) = α + β = 90° dir.
66
α
B
β
β
C
Örnek : fiekildeki ABC üçgeninde;
[BE] ve [CF] iç aç›ortay,
A
M
m(KéDC) = x, m(AéEL) = y
z
ve m(BéFM) = z ise
x + y + z = 270° oldu¤unu gösteriniz.
y
F
E
B
Çözüm : Bir üçgende iç aç›ortaylar ayn› noktada
kesiflti¤inden [AD], A köflesinden geçen iç
aç›ortayd›r. Bundan dolay›;
C
D x
K
m(BéAD) = m(CéAD) = a,
A
m(AéBE) = m(CéBE) = b ve
a a
M
m(BéCF) = m(AéCF) = c olsun.
ABC üçgeninde, 2a + 2b + 2c = 180°
⇒ a + b + c = 90° ve
z
b
DAC üçgeninde, m(KéDC) = x = 2c + a
L
y
F
I
L
E
c
c
b
B
C
D x
K
ABE üçgeninde, m(AéEL) = y = 2a + b
BCF üçgeninde, m(MéFB) = z = 2b + c olur.
x + y + z = 2c + a + 2a + b + 2b + c = 3(a + b + c) = 3.90 = 270° bulunur.
Teorem
Hipotez
Hüküm
‹spat
:
:
:
:
Bir ikizkenar üçgende tabana ait kenarortay, ayn› zamanda yükseklik ve aç›ortayd›r.
ABC ikizkenar üçgeninde; |AB| = |AC| ve [AD] kenarortay ise
[AD] hem yükseklik hem de aç›ortayd›r.
A
1. |AB| = |AC|
2. m(ëB) = m(ëC)
3. |BD| = |DC|
4. A¿BD ≅ A¿CD
B
5. m(BéAD) = m(CéAD) olur ve [AD] aç›ortayd›r.
D
C
6. m(BéDA) = m(CéDA) = 90° olur ve [AD] yüksekliktir.
Sonuç : Bir eflkenar üçgenin bütün kenarlar›na ait kenarortay, aç›ortay ve yüksekliklerinin
uzunluklar› eflittir.
Teorem : Bir üçgende herhangi bir kenara ait
kenarortay uzunlu¤u, ait oldu¤u kenar›n uzunlu¤unun
yar›s›na eflit ise bu üçgen dik üçgendir.
A
Hipotez : ABC üçgeninde; |AD| = |DB| = |DC| ise
Hüküm : m(ëA) = 90° dir.
‹spat
B
: |AG| = |GG'| olacak flekilde [AD] n› uzatal›m.
Bu durumda BG'CG paralelkenar olur.
67
D
C
b2
= 9p 2
4
c2
AFC üçgeninde
b 2 + = 9t 2
4
+_______________
c2 +
ABE üçgeninde
a2
= 9(p 2 + t 2 )
4
5a 2
olur.
p2 + t 2 =
36
CGG' üçgeninde kenarortay teoremine göre;
5.
2
 a  (2k)2
(2t) + (2p) = 2.  +
2
2
2
2
A
a 2 4k 2
4.(t 2 + p 2 ) = 2. +
4
2
5a 2 a 2
2
4.
=
+ 2k
36
2
5a 2 a 2
−
= 2k 2
9
2
10a 2 − 9a 2
= 2k 2
18
a 2 = 36k 2
b
2
c
2
F
2k
t
E
b
2
p
G
2t
c
2
2p
C
k
a
2
D
a
2
B
a = 6k
a
= 3k olur.
2
2p
k
2t
G′
Yani, |AD| = |DB| = |DC| bulunur.
Teorem : Bir dar aç›s›n›n ölçüsü 30° olan dik üçgende bu aç› karfl›s›ndaki dik kenar›n
uzunlu¤u hipotenüsün uzunlu¤unun yar›s›na eflittir.
A
Hipotez : ABC dik üçgeninde;
m(ëA) = 90° ve m(ëB) = 30° ise
AC =
Hüküm :
BC
30°
dir.
2
: [AD] kenarortay›n› çizelim. |AD| = |DB| = |DC| ve
‹spat
D
B
m(ëC) = 60° oldu¤undan ACD eflkenar üçgendir. Buradan, AC = CD =
uzunlu¤u, di¤er dik kenar uzunlu¤unun ñ3 kat›d›r. Niçin? Siz bulunuz.
Örnek : Yandaki ABC üçgeninde, [AB] ⊥ [AC],
m(AéBC) = 30°, |BC| = 4 cm ise
|AC| ve |AB| nu bulunuz.
Çözüm : ABC dik üçgeninde;
2
BC
bulunur.
2
: Bir dik üçgende dar aç›lardan birisi 60° ise bu aç›n›n karfl›s›ndaki dik kenar
Sonuç
AC =
C
BC
2
=
2
A
30°
B
4
4
= 2 cm olur. Bu üçgende Pisagor teoreminden de
2
BC = AB + AC
2
2
2
⇒ 4 2 = AB + 22 ⇒ AB = 16 − 4 = 12 ⇒ AB = 2 3 cm bulunur.
|AB| = |AC| . ñ3 oldu¤una dikkat ettiniz mi?
68
C
UYGULAMALAR
Örnek : Yandaki flekilde; |AB| = |AC|
|CE| = |CD|, |BD| = |BC|
A
D
ve m(AéBD) = 25° ise
E
m(DéCE) kaç derecedir?
25°
B
C
Çözüm : m(DéBC) = x olsun.
m(AéBC) = m(AéCB) = x + 25°
(|AB| = |AC|)
m(BéDC) = m(BéCD) = m(DéEC)= 90° –
A
x
2
D
E
m(DéCE) = x
x
25°
x
x
m(BéCD) = 90° – = x + 25° + x
2
25°+x
B
C
⇒ x = 26° dir.
Örnek
A
: fiekildeki ABC üçgeninde;
m(AéBC) = 45° ve m(AéCB) = 15° ise
AC
BC
45°
B
oran›n› bulunuz.
15°
C
Çözüm : [CH] yüksekli¤ini çizelim.
H
x
m(HéAC) = 45°+15° = 60° ve m(AéCH) = 30° olur.
A
AHC dik üçgeninde, |AC| = 2x ise |HC| = ñ3x ve
BHC ikizkenar dik üçgeninde de
BC
=
2x
6x
=
2
6
=
2x
30°
45°
|BC| = ñ2.|HC| = ñ6x dir.
AC
ñ3x
60°
15°
ñ6x
B
C
6
bulunur.
3
A
Örnek : Yandaki flekilde;
[AD] ⊥ [BC], |BD| = |EA| = |EC| ve
E
m(EéBC) = 26° ise
DAC aç›s›n›n ölçüsünü bulunuz.
F
26°
Çözüm : [DE] n› çizelim.
|DE| = |EA| = |EC|
|BD| = |DE| ve
B
D
C
A
BDE üçgeninde; m(EéBD) = m(DéEB) = 26°
m(AéDE) = 90° − (26° + 26°) = 38° olup
E
F
ADE ikizkenar üçgeninde, m(DéAE) = m(AéDE) = 38° bulunur.
26°
26°
B
69
D
C
Örnek
ve BE =
: Yandaki flekilde; [AB] ⊥ [BC], |AD| = |DC|
AE
=
A
DE
ise
3
2
AED aç›s›n›n ölçüsünü bulunuz.
D
E
C
B
Çözüm : [DF] ⊥ [AB] çizelim. |BE| = x olsun.
|AE| = 3x, |DE| = 2x ve |AB| = 4x dir.
AF = FB =
A
2x
AB
= 2x
2
EFD dik üçgeninde |DE| = 2.|EF| oldu¤undan
D
F
x
E
x
m(EéDF) = 30° ve m(FéED) = 60° bulunur.
2x
C
B
Örnek : Yandaki flekilde;
[AB] ⊥ [AC], |BD| < |DC|,
A
15°
|BC| = 2.|AD| ve m(BéAD) = 15° ise
ACB aç›s›n›n ölçüsünü bulunuz.
B
C
D
Çözüm : ABC dik üçgeninin [AE] kenarortay›n› çizelim.
EC = AE =
BC
2
= AD d›r.
A
α
15°
AEC ikizkenar üçgeninde, m(AéCE) = m(EéAC) = α
90°–α
|AD| = |AE| ve m(AéDE) = m(AéED) = 2α ve
2α 2α
ABC dik üçgeninde, m(AéBC) = 90° − α olur.
ABD üçgeninde;
B
D
α
C
E
m(AéDE) = m(BéAD) + m(AéBC) ⇒ 2α = 15° + 90° − α ⇒ 3α = 105° ⇒ α = 35° bulunur.
Örnek : Yandaki ABC üçgeninde;
|BD| = |DC|, |AB| = |EC|,
[ED] ⊥ [BC] ve
A
125°
m(AéED) = 125° ise
ABC aç›s›n›n ölçüsünü bulunuz.
B
E
C
D
Çözüm : [BE] n› çizelim.
|BD| = |DC|, [ED] ⊥ [BC] verildi¤inden
|EB| = |EC| = |AB| olup
BEC ve BAE ikizkenar üçgenlerdir.
A
2α
2α
E
90°–α
m(EéBC) = m(EéCB) = α
m(BéED) = 90° − α ve m(BéAE) = m(BéEA) = 2α ve
B
m(AéED) = 2α + 90° − α = 90° + α = 125° ⇒ α = 35° olur.
ABC üçgeninde, m(AéBC) = 180° − 3α = 180° − 3.35° = 75° bulunur.
70
α
α
D
C
Örnek : Yandaki flekilde; m(CéAB) = 60°
[DC] ⊥ [AC], [DB] ⊥ [AB], |DB| = 7 cm
ve |DC| = 4 cm ise |AB| nu bulunuz.
C
4
D
7
60°
A
B
Çözüm : [BD ve [AC ›fl›nlar› E noktas›nda kesiflsin.
E
ECD ve EBA üçgenlerinde m(ëE) = 30° olur.
|ED| = 2.|CD| = 2.4 = 8 cm ve
AB =
EB
3
=
15
3
8
30°
C
4
= 5 3 cm bulunur.
D
7
60°
A
B
C
A
Örnek : Yandaki flekilde, P noktas›n›n
[OA ve [OB ›fl›nlar›na göre simetrikleri
P
s›ras›yla C ve D noktalar› ve m(CéPD) = 150°
ise OCD üçgeninin eflkenar oldu¤unu gösteriniz.
150°
O
B
D
Çözüm : [OP] n› çizelim.
C
A
m(AéOB) = 180° − m(CéPD) = 180° − 150° = 30°
|OP| = |OC| = |OD|
m(DéOB) = m(BéOP) = α ve m(AéOC) = m(AéOP) = 30° − α olur.
P
α
α
O
150°
B
m(CéOD) = 2.m(BéOP) + 2.m(AéOP) = 2α + 2.(30° − α) = 60°
bulunur ve COD ikizkenar üçgeninin eflkenar oldu¤u görülür.
D
F
Örnek : Yandaki flekilde;
|AB| = |AC|, P ∈ [BC]
B, A, F do¤rusal,
P, E, F do¤rusal,
[PF] ⊥ [BC] ve [AH] ⊥ [BC] ise
|PE| + |PF| = 2.|AH| oldu¤unu gösteriniz.
A
E
B
H
C
P
Çözüm : m(ëB) = m(ëC) = α olsun.
BPF üçgeninde, m(ëF) = 90° − α
F
90°–α
A
EPC üçgeninde, m(PéEC) = 90° − α = m(AéEF)
m(ëF) = m(AéEF) ve |AE| = |AF| olur.
[AK] ⊥ [EF] çizelim.
|FK| = |KE| ve |AH| = |PK| d›r.
2.|AH| = 2.|PK| = 2.|PE| + 2.|EK| = |PE| + (|PE| + |EK| + |KF|)
2.|AH| = |PE| + |PF| bulunur.
71
K
90°–α
E
90°–α
α
B
α
H
P
C
ALIfiTIRMALAR
A
1. Yandaki flekilde; E, B ve C noktalar› ile
E, F ve D noktalar› do¤rusal,
y
D
m(ëA) = y, m(ëE) = x, m(ëB) = z ve m(ëD) = a
oldu¤una göre a = y + z − x oldu¤unu gösteriniz.
a
F
x
E
z
C
B
A
80°
2. Yandaki flekilde; [AB] // [CD],
D
35°
[AD] // [BC], m(ëD) = 80°, m(BéAE) = 35° ve
E
m(BéCE) = 25° oldu¤una göre m(AéEC)
kaç derecedir?
25°
B
c
C
C
3. Yandaki flekilde verilenlere göre
b + c + d − a = 360° oldu¤unu gösteriniz.
F
B
b
a
D
d
E
A
A
4. Yandaki flekilde; [BE], ABD aç›s›n›n
[CE], ACD aç›s›n›n aç›ortaylar›d›r.
z
E
x
D
m(ëA) = z, m(ëE) = x ve m(ëD) = y
oldu¤una göre 2x = y + z ba¤›nt›s›n›n
do¤rulu¤unu gösteriniz.
y
B
C
C
D
5. Yandaki flekilde; m(ëE) = 100°
m(ëA) = a, m(ëB) = b, m(ëC) = c
m(ëD) = d oldu¤una göre
a + b + c + d toplam› kaç derecedir?
100°
A
E
B
A
6. Yandaki ABC üçgeninde; [BD] ve [CE]
E
aç›ortaylar, m(AéEC) = 72° ve m(AéDB) = 60°
oldu¤una göre A aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir?
72°
60°
C
B
A
7. Yandaki ABC üçgeninde; [BD] ve [CD]
iç aç›ortaylard›r. A, D, E ve F noktalar› do¤rusal,
m(BéDE) = 80° ve m(EéDC) = 70° oldu¤una göre
BEF aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir?
D
80° 70°
B
72
D
E
C
F
A
8. Yandaki ABC üçgeninde; [BE ve [CI] iç aç›ortay,
[CE d›fl aç›ortayd›r.
E
25°
m(CéEB) = 25° oldu¤una göre m(BéIC) kaç
derecedir?
I
B
C
A
9. Yandaki ABC üçgeninde [AD] aç›ortay ve
|AB| > |AC| ise
 ) − m(B
)
m(C
m(AéDB) = 90° +
oldu¤unu gösteriniz.
2
B
C
D
A
10. Yandaki ABC üçgeninde; [BK ve [CK
d›fl aç›ortaylard›r.
x
B
m(BéKC) = 40° oldu¤una göre m(BéAK) = x
kaç derecedir?
C
K
A
11. Yandaki ABC üçgeninde;
[BD] ⊥ [AC] ve [CE] ⊥ [AB] dir.
[BF] ve [CF], HBC üçgeninin iç
70°
D
E
H
aç›ortaylar› ve m(BéAC) = 70° ise
BFC aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir?
F
B
C
A
12. Yandaki ABC üçgeninde; |AB| = |AC|,
F 40°
m(ëA) = 40° ve [DF] ⊥ [AB] oldu¤una göre
E
m(ëD) kaç derecedir?
B
D
C
B
13. Yandaki flekilde; A, C ve D noktalar› do¤rusald›r.
[DA ⊥ [DE], [CB ⊥ [CE] ve
x
m(ëE) = 44° ise m(AéCB) = x kaç derecedir?
D
C
A
44°
E
A
14. Yandaki ABC üçgeninde;
[AD] ⊥ [BC] ve [CE] ⊥ [AB]
E
F
ve m(BéCE) = 40° oldu¤una göre
m(BéAD) + m(AéFC) kaç derecedir?
B
73
40°
D
C
15. Bir ABC üçgeninin iç aç›lar›n›n ölçüleri 3, 4 ve 8 ile do¤ru orant›l›d›r. Bu üçgenin aç›lar›n›n
ölçülerini hesaplay›n›z.
A
16. Yandaki ABC üçgeninde; [AD] aç›ortay ve
m(ëB) − m(ëC) = 24° oldu¤una göre
m(AéDC) kaç derecedir?
B
D
C
D
17. Yandaki fleklin A, B, C, D ve E
köflelerindeki aç›lar›n ölçüleri toplam›n›n
180° oldu¤unu gösteriniz.
E
C
B
A
D
18. Yandaki flekilde; m(AéCD) = m(DéCE),
z
m(BéAC) = x, m(DéBE) = y, m(BéDC) = z
ve x − y = 80° oldu¤una göre z kaç derecedir?
A
x
y
B
C
E
A
E
19. Yandaki flekilde; [AE ⊥ [BE,
[BC ⊥ [AC, m(PéAE) = m(PéAC) ve
m(PéBE) = m(PéBC) oldu¤una göre
P
m(AéPB) kaç derecedir?
B
C
D
20. Yandaki flekilde; m(AéDF) = m(DéFE),
m(AéBE) = m(BéEF) ve m(DéAB) = 80°
E
C
oldu¤una göre, m(BéCD) kaç derecedir?
80°
F
B
A
21. Yandaki ABC üçgeninde; [AD] ve [CD] iç aç›ortaylar,
[AE ve [CE d›fl aç›ortaylard›r.
E
A
m(AéDC) = 3x + 50° ve m(AéEC) = x − 10° ise
m(AéEC) kaç derecedir?
D
B
74
C
A
22. ABC üçgeninde; [AD] ve [CF] iç aç›ortaylar,
F
E
85°
m(AéDC) = 100° ve m(AéEB) = 85° ise
CFB aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir?
100°
D
B
C
E
A
23. Yandaki ABC üçgeninde;
[AD] ve [BD] aç›ortaylar ve
D
m(AéCD) = 40° ise
ADB aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir?
40°
B
C
A
24. Yandaki ABC üçgeninde;
[AD] ve [BD] aç›ortaylar ve
D
m(AéDB) = 7.m(BéCD) ise
ADB aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir?
B
C
A
25. Yandaki ABC üçgeninde;
[BD] ve [CE] aç›ortaylar
[AK] ⊥ [BD] ve [AL] ⊥ [CE] dir.
α
D
E
K
L
m(KéAL) = α ise BAC aç›s›n›n
ölçüsünü α cinsinden bulunuz.
I
B
C
A
26. Yandaki ABC üçgeninde;
[BD] aç›ortay,
D
m(BéAC) = 2.m(BéDC) ve
m(AéCD) = 50° ise
ACB aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir?
50°
B
C
A
27. Yandaki ABC üçgeninde;
m(AéBE) = m(CéBE), m(BéCF) = m(EéCF),
E
m(EéFC) = m(BéAC) ve m(CéDK) = 70° ise
AFB aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir?
F
B
D 70°
K
C
28. Bir ABC üçgeninin d›fl aç›lar›n›n ölçüleri 3, 4 ve 6 ile ters orant›l›d›r. Bu üçgenin en küçük iç
aç›s›n›n ölçüsünü bulunuz.
75
A
F
29. Yandaki ABC üçgeninde; |BF| = |BD|,
E
|EC| = |CD| ve m(FéDE) = 50° ise
A aç›s›n›n ölçüsünü bulunuz.
50°
D
B
C
A
30. Yandaki ABC üçgeninde; |AC| = |BC| ve
|AB| = |AD| = |DC| oldu¤una göre
m(ëC) kaç derecedir?
B
C
D
A
31. Yandaki ABC üçgeninde;
|AB| = |BC|, |AC| = |DC| ve
24°
m(BéAD) = 24° oldu¤una göre m(ëB) kaç derecedir?
D
B
C
A
32. Yandaki ABC üçgeninde; m(DéAE) = x,
|AD| = |DB| ve |AE| = |EC| oldu¤una göre
BAC aç›s›n›n ölçüsünü x cinsinden hesaplay›n›z.
x
B
D
E
C
A
33. Yandaki ABC eflkenar üçgeninde; [AH] ⊥ [EC],
|AD| = |DC| ve |AH| = |EB| oldu¤una göre
m(ëE) kaç derecedir?
D
E
B
C
H
B‹R ÜÇGEN‹N AÇILARI ‹LE KENARLARI ARASINDAK‹ BA⁄INTILAR
Teorem : Bir üçgenin iki kenar› efl de¤ilse, bunlar›n karfl›lar›ndaki aç›lar da efl de¤ildir ve
daha uzun olan kenar karfl›s›ndaki aç› daha büyüktür.
A
Hipotez : ABC üçgeninde; |AC| > |AB| ise
Hüküm : m(AéBC) > m(AéCB) dir.
‹spat
: [AC] do¤ru parças› üzerinde |AB| = |AD|
olacak flekilde bir D noktas› alal›m.
1. m(AéBD) = m(AéDB)
(ikizkenar üçgen özelli¤i)
D
B
2. m(AéBD) + m(DéBC) = m(AéBC)
3. m(AéBC) > m(AéBD)
4. m(AéDB) = m(ëC) + m(DéBC)
5. m(AéDB) > m(ëC)
6. m(AéBC) > m(AéBD) > m(ëC) olur.
Sonuç
: 1.Bir ABC üçgeninde; a < b <c ⇔ m(ëA) < m(ëB) < m(ëC) olur.
2. Bir ABC üçgeninde; A, B ve köflelerindeki d›fl aç›lar› A1, B1 ve C1 ise
a < b < c ⇔ m(ëA1) > m(ëB1) > m(ëC1) olur.
76
C
Örnek : ABC üçgeninde;
|AB| = 10 cm, |AC| = 12 cm ve
|BC| = 9 cm ise iç aç›lar›n›n ölçüleri
aras›ndaki s›ralamay› bulunuz.
A
9
12
Çözüm : 9< 10 < 12 ⇒ |BC| < |AB| < |AC| oldu¤undan yukar›daki
C
10
B
sonuç 1 gere¤ince; m(ëA) < m(ëC) < m(ëB) bulunur.
Örnek
: Yandaki ABC üçgeninde; m(BéAD) = m(EéAC) = 26°,
A
m(AéBD) = 36° ve m(AéCE) = 32° ise ADE üçgeninin
kenarlar›n›n uzunluklar› aras›ndaki s›ralamay› bulunuz.
26°
26°
Çözüm : m(AéDE) = m(AéBD) + m(BéAD) = 36° + 26° = 62°
m(AéED) = m(AéCE) + m(CéAE) = 32° + 26° = 58°
m(DéAE) = 180°−[m(AéDE)+m(AéED)] = 180°−(62° + 58°) = 60°
bulunur. O hâlde ADE üçgeninin kenar uzunluklar› aras›ndaki
s›ralama |AD| < |DE| < |AE| olur.
36°
32°
E
D
B
C
ÜÇGEN Efi‹TS‹ZL‹⁄‹
Teorem : Bir üçgenin herhangi iki kenar›n›n uzunluklar› toplam›, üçüncü kenar›n
uzunlu¤undan büyüktür.
D
Hipotez : ABC bir üçgen ise
Hüküm : |AC| + |AB| > |BC| olur.
A
: [CA] n›n uzant›s›nda |AD| = |AB|
olacak flekilde bir D noktas› alal›m.
‹spat
B
1. m(AéDB) = m(AéBD)
C
2. m(CéBD) = m(AéBD) + m(AéBC)
3. m(CéBD) > m(AéBD) = m(AéDB)
4. |DC| > |BC|
5. |DC| = |AD| + |AC|
6. |AD| + |AC| > |BC|
7. |AB| + |AC| > |BC| olur.
Kenar uzunluklar› a, b ve c olan ABC üçgeninde; Teorem den b < a + c ⇒ a > b − c ve
a < b + c ⇒ b > a − c veya c > a − b ba¤›nt›lar› yaz›labilir.
O hâlde bir ABC üçgeninin kenar uzunluklar› aras›nda;
A
b
c
B
a
C
1. |b − c| < a < b + c
2. |a − c| < b < a + c
3. |a − b| < c < a + b eflitsizlikleri vard›r.
Sonuç : Bir üçgende herhangi bir kenar›n uzunlu¤u, di¤er iki kenar›n uzunluklar›
toplam›ndan küçük, fark›n›n mutlak de¤erinden büyüktür. (üçgen eflitsizli¤i)
77
Örnek : Yandaki dörtgende;
|AB| = 12 cm, |BC| = 7 cm,
|CD| = 8 cm ve |DA| = 6 cm ise
|AC| nun alabilece¤i de¤erleri bulunuz.
Çözüm : ABC üçgeninde üçgen eflitsizli¤inden;
12 − 7 < |AC| < 12 + 7 ⇒ 5 < |AC| < 19 ve
DAC üçgeninde üçgen eflitsizli¤inden;
8 − 6 < |AC| < 8 + 6 ⇒ 2 < |AC| < 14 olur.
Buradan 5 < |AC| < 14 bulunur.
D
8
6
A
C
12
7
B
Örnek : Yandaki ABC üçgeninde; |BC| = 12 cm,
|AB| = 2x + 3 cm, |AC| = x + 6 cm oldu¤una göre,
x in alabilece¤i kaç tam say› de¤eri vard›r?
A
x+6
2x + 3
Çözüm : ABC üçgeninde üçgen eflitsizli¤inden;
B
2x + 3 − (x + 6) < 12 < 2x + 3 + (x + 6) ⇒ x − 3 < 12 < 3x + 9
⇒ x < 15 ∧ x > 1 ⇒ 1 < x < 15 olur.
O hâlde x in alabilece¤i 13 tam say› de¤eri vard›r.
12
C
ALIfiTIRMALAR
A
1. Yandaki flekildeki A¿BC nde;
|BD| = |AD|, |AE| = |EC|
m(AéBD) = 32° ve m(AéCE) = 30° ise A¿DE nin
kenarlar›n› küçükten büyü¤e do¤ru s›ralay›n›z.
30°
32°
B
D
E
C
A
60° 63°
a
B
d
D
e
m(BéCA) = 58° ve m(AéCD) = 59° ise a, b, c, d ve e
uzunluklar› aras›ndaki s›ralamay› yap›n›z.
c
b
2. Yandaki flekilde; m(BéAC) = 60°, m(CéAD) = 63°
58° 59°
C
A
3. Yandaki flekildeki A¿BC nde; m(ëA) < 90°
|AB| = 7 cm ve |AC| = 9 cm ise |BC| = a n›n
alaca¤› tam say› de¤erlerini bulunuz.
B
A
5
6
C
B
7
10
A
5. Yandaki flekildeki; |AB| = 4 cm, |AD| = 5 cm ve
|DC| = 6 cm ise |BD| nun alabilece¤i en küçük
tam say› de¤erini karfl›l›k |BC| = x in alabilece¤i
en büyük tam say› de¤eri nedir?
D
6
x
C
6. Yandaki A¿BC nde; |AB| = 3x cm, |AC| = 5x cm
ve |BC| = 14 cm ise x in alabilece¤i tam say›
de¤erlerini bulunuz.
5x
14
5
4
B
A
B
a
4. Yandaki flekildeki; m(ëA) >90°
|AB| = 5 cm, |AC| = 6 cm, |BD| = 7 cm ve
|DC| = 10 cm ise |BC| nun alabilece¤i tam say›
de¤erlerinin toplam›n› bulunuz.
D
3x
9
7
C
78
C
TEST
A
C
1. Yandaki flekilde; D, B ve C noktalar› do¤rusald›r.
18°
2|AD| = |BC|, m(BéAC) = 90° ve m(DéAB) = 18°
ise m(AéBC) = α kaç derecedir?
A) 45
B) 46
C) 56
D) 65
α
E) 66
D
B
D
A
80°
2. Yandaki flekilde; [BE ile [CE aç›ortaylar, |CE| = |CD| ve
E
m(BéAC) = 80° ise m(CéDE) kaç derecedir?
A) 50
B) 55
C) 60
D) 65
E) 70
B
C
A
E
3. Yandaki flekilde; |AB| = |BE|, [AC] aç›ortay
108°
m(AéBC) = 90° ve m(AéDB) = 108° ise
m(DéBC) kaç derecedir?
A) 46
B) 48
C) 50
D) 52
E) 54
D
B
C
A
4. Yandaki flekilde; |AB| = |AE|, |BD| = |DC|
ve m(EéBC) = 18° ise m(AéBD) = x
kaç derecedir?
A) 30
B) 32
C) 34
D) 36
D
E
x
E) 38
18°
B
C
A
5. Yandaki flekilde; [DF], BDE aç›s›n›n aç›ortay›
[DE] // [AB], |AB| = |BD| ve m(BéCA) = 34° ise
m(DéFE) = x kaç derecedir?
A) 66
B) 64
C) 62
D) 56
D
x
E) 54
F
B
34°
E
C
A
6. Yandaki flekildeki; m(BéED) = 80°, m(DéFC) = 50°
x y
F
m(EéBD) = m(BéAD) = x ve m(DéAC) = m(DéCF) = y ise
m(BéAC) kaç derecedir?
A) 50
B) 45
C) 40
D) 35
50°
E
E) 30
x
80°
y
D
B
C
F
7. Yandaki flekilde; |AB| = |AC|, [AH] ⊥ [BC]
[AH] // [FD], |ED| = 5 cm ve |EF| = 8 cm ise
|AH| kaç cm dir?
A) 10
B) 9
C) 8
D) 7
E) 6
A
8
E
5
B
79
H
D
C
A
6
8. fiekildeki ABC eflkenar üçgeninde; [DE] ⊥ [AC]
2|EC| = 3|BD| ve |AD| = 6 cm ise
ABC üçgeninin çevresi kaç cm dir?
A) 27
B) 30
C) 33
D) 36
E) 39
E
D
B
C
A
9. Yandaki flekilde; m(FéCA) = 60°, [DF] ⊥ [AC]
[AB] ⊥ [FC], |AE| = 3 cm ve |EF| = 5 cm
oldu¤una göre,
A)
CD
BF
y
3
D
E
oran› kaçt›r?
5
3 16
3184163
4 13
1318
4 13
416131816 18
3 4 133 16
18
B)
C)
D)
E)
2
2
3
15
3
15
15
13
2
2
3
15
15
13
315151315 13
2 3 15 15 13
60°
F
C
B
A
10. Yandaki flekilde; m(ëA) = 90°, m(ëC) = 30°
[NH] ⊥ [BC], [BN] aç›ortay ve |BC| = 18 cm
oldu¤una göre, |NH| = x kaç cm dir?
A) 3
B) 4
C) 3ñ3
D) 6
N
x
E) 4ñ3
30°
B
H
A
C
25°
11. fiekildeki ABC üçgeninde; |AB| = |AC|
E
|DB| = |DC|, [BE] ⊥ [AC] ve m(CéAD) = 25°
oldu¤una göre, m(BéDE) kaç derecedir?
A) 115 B) 120 C) 125 D) 130 E) 135
B
D
C
A
5
7
12. Yandaki flekilde; |AB| = 7 cm, |AD| = 5 cm ve
|BC| = 6 cm dir. |BD| nun en küçük tam say› de¤eri
için |CD| = x in alabilece¤i en büyük tam say› de¤eri
afla¤›dakilerden hangisidir?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
D
B
x
6
C
1-E
2-E
3-E
4-D
5-D
6-D
7-B
80
8-D
9-D
10-C
11-D
12-B
TEST
1. Yandaki flekilde; m(AéBL) = m(DéBL)
A
m(AéCK) = m(EéCK), [BL] ⊥ [AL]
80°
L
[CK] ⊥ [AK] ve m(BéAC) = 80° oldu¤una göre
LAK aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir?
A) 115 B) 120 C) 125 D) 130 E) 135
K
B
D
2. Yandaki flekilde; |FC| = |AC| − |AB|,
C
A
|BD| = |DC|, [ED] ⊥ [BC] ve m(AéBE) = 30° ise
FBC aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir?
A) 10
B) 15
C) 20
D) 25
E) 30
E
F
30°
B
C
D
3. Yandaki ABC dik üçgeninde; [AB] ⊥ [AC],
|BD| = |DC| ve |AB| = |AE| =
E
A
E
EC
oldu¤una göre
2
DEC aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir?
A) 30
B) 40
C) 45
D) 50
E) 60
B
D
C
A
4. fiekildeki ABC dik üçgeninde; [AB] ⊥ [BC]
m(BéAD) = m(DéAC) ve |DC| = |EC| ise
ADE aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir?
A) 25
B) 30
C) 40
D) 45
E) 60
E
D
B
C
E
5. fiekilde, C noktas›n›n [OA ve [OB
›fl›nlar›na göre dik simetrikleri s›ras›yla
D ve E dir.
B
m(EéCD) = 130° oldu¤una göre
OED aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir?
A) 20
B) 25
C) 30
D) 35
E) 40
C
130°
A
O
D
6. fiekildeki ABC ikizkenar üçgeninde;
[AD] ⊥ [AC], |AB| = |AC| ve
|BD| = |AD| ise
A) ñ2
B)2
3
2
AC
BD
A
oran› kaçt›r?
3C) ñ3
5
B
D) 2
C
D
E) ñ5
A
7. Yandaki flekilde; ABC eflkenar üçgen,
[DE] ⊥ [AB], |AE| = 7 cm ve |DC| = 3 cm
ise |AC| = x kaç cm dir?
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
7
x
E
B
81
D 3 C
A
8. Yandaki flekilde; ABC eflkenar üçgen,
15°
m(CéAD) = 15° ve |AD| = ñ6 cm ise
|BC| = x kaç cm dir?
B) ñ2
A) 1
C) ñ3
ñ6
E) ñ5
D) 2
B
x
D
C
A
9. Yandaki flekilde; ABC eflkenar üçgen,
[DH] ⊥ [AC], [EK] ⊥ [AC], |AE| = |EB| ve
|DB| = 2|DC| ise
A)
3
7
B)
3
5
K
E
AK
KH
oran› kaçt›r?
C)
H
1
3
D)
4
7
E)
B
5
7
C
D
A
10. Yandaki flekilde; [DE] ⊥ [BC]
[BD] ve [AD] aç›ortay,
|AB| = 9 cm, |BE| = 5 cm ve
|EC| = 8 cm ise |AC| = x kaç cm dir?
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
9
x
D
B
5
E
C
8
A
11. Yandaki flekilde; |AH| = |HB|
|AK| = |KC|, [DH] ⊥ [AB]
[KE] ⊥ [AC] ve |BC| = 10 cm ise
ADE üçgeninin çevresi kaç cm dir?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
K
H
E) 11
B
C
D E
E
12. Yandaki A¿BC nde; |DB| = |DF|,
A
|AF| = |AE| ve m(AéCB) = 48°, E, F ve D noktalar›
do¤rusal ise ABC aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir?
A) 36
B) 38
C) 40
D) 42
E) 44
F
48°
B
C
D
A
13. Yandaki A¿DC nde; |AB| = |AC|
|DA| = |BC| ve [AB] ⊥ [AC] ise
BAD aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir?
A) 10
B) 15
C) 18
D) 20
1-D
2-B
3-C
4-D
5-E
D
E) 24
6-C
7-B
82
8-D
9-A
C
B
10-B
11-D
12-E
13-B
D‹K ÜÇGENDE METR‹K BA⁄INTILAR
Teorem : Bir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik, üçgeni birbirine ve kendisine benzer iki
üçgene ay›r›r.
A
Hipotez : ABC üçgeninde m(ëA) = 90° ve
[AH] ⊥ [BC] ise
Hüküm : A¿BH ~ C¿AH ~ C¿BA dir.
‹spat
B
: 1. m(ëB) = m(ëB)
C
H
2. m(BéAC) = m(BéHA) = 90° (Hipotezden)
3. A¿BH ~ C¿BA olur. (1, 2. ve A.A. benzerlik teoreminden)
4. m(ëC) = m(ëC)
5. m(CéHA) = m(CéAB) = 90° (Hipotezden)
6. C¿AH ~ C¿BA (4, 5. ve A.A. benzerlik teoreminden)
7. A¿BH ~ C¿AH ~ C¿BA (3. ve 6. dan)
ÖKL‹D TEOREMLER‹
Teorem : Bir dik üçgende; hipotenüse ait yüksekli¤in uzunlu¤u, hipotenüsten ay›rd›¤› do¤ru
parçalar›n›n uzunluklar›n›n geometrik ortas›d›r.
A
Hipotez : ABC üçgeninde m(ëA) = 90° ve
[AH] ⊥ [BC] ise
h
2
Hüküm : |AH| = |BH|.|HC| dir.
‹spat
BH
=
: A¿BH ~ C¿AH
AH
B
p
H
C
k
2
⇒ AH = BH . HC bulunur.
AH CH
ABC üçgeninde |AH| = h, |BH| = p ve |HC| = k ile gösterilirse h2 = p.k yaz›l›r.
Teorem : Bir dik üçgende, bir dik kenar›n uzunlu¤u, hipotenüsün uzunlu¤u ile hipotenüse ait
yüksekli¤in hipotenüsten ay›rd›¤› parçalardan kendisi taraf›nda kalan parças›n›n uzunlu¤unun
geometrik ortas›d›r.
A
Hipotez : ABC üçgeninde m(ëA) = 90° ve [AH] ⊥ [BC] ise
2
c
2
Hüküm : |AB| = |BC|.|BH| ve |AC| = |BC|.|HC| dur.
‹spat
: Teoremden; A¿BH ~ C¿BA
BH
BA
=
AB
CB
B
2
p
H
⇒ AB = BC . BH ve
C¿AH~C¿BA ⇒
Sonuç
b
CA
=
CH
2
⇒ AC = BC . CH olur.
CB CA
: ABC üçgeninde; |BC| = a, |AC| = b, |AB| = c, |BH| = p ve |HC| = k ise
c2 = p.a ve b2 = k.a ⇒
b2 k
=
olur.
c2 p
83
k
C
Örnek : Yandaki flekilde;
ABC dik üçgen
[AB] ⊥ [AC], [AD] ⊥ [BC],
|BD| = 2 cm, |DC| = 6 cm oldu¤una göre,
[AB], [AD] ve [AC] n›n uzunluklar›n› bulunuz.
A
B
2
D
C
6
2
Çözüm : |AD| = ha ⇒ ha = |BD| . |DC|
2
ha = 2 . 6 = 12
ha =
2
12 = 2 3 cm bulunur.
2
|AB| = |BD| . |BC|
|AC| = b2 = 6.8
c2 = 2.8 = 16
b=
48
|AB| = c = 4 cm bulunur. |AC| = b = 4 3 cm bulunur.
A
Örnek
: Yandaki ABC dik üçgeninde;
m(ëA) = 90°, [AH] ⊥ [BC],
|AB| = 12 cm ve |HC| = 7 cm oldu¤una
göre, |BH|, |AC| ve |AH| uzunluklar›n› bulunuz.
b
12
B
h
p
H
C
7
Çözüm : ABC üçgeninde Öklid ba¤›nt›lar›ndan;
2
|AB| = |BC|.|BH| ⇒ 122 = p.(p+7) ⇒ p2 + 7p − 144 = 0 ⇒ p = 9 cm,
2
|AC| = |BC|.|CH| ⇒ b2 = 7.16 ⇒ b = 4ñ7 cm ve
2
|AH| = |BH|.|HC| ⇒ h2 = 9.7 ⇒ h = 3ñ7 cm bulunur.
Örnek : Bir dik üçgende;
1. Dik kenarlar›n uzunluklar› çarp›m›, hipotenüs uzunlu¤u ile hipotenüse ait yüksekli¤in
uzunlu¤u çarp›m›na eflit,
2. Hipotenüse ait yüksekli¤in uzunlu¤unun karesinin tersi, dik kenarlar›n uzunluklar›n›n
karelerinin tersleri toplam›na eflit oldu¤unu gösteriniz.
Çözüm : ABC dik üçgeninde (m(ëA) = 90°)
ve [AH] ⊥ [BC] ise
1. |AB|.|AC| = |BC|.|AH| veya b.c = a.h
2.
1
AH
2
=
1
AC
2
+
1
AB
2
veya
1
1 1
= 2+ 2
2
h
b c
A
c
B
p
b
h
H
7
oldu¤unu gösterelim.
C¿AH ~ C¿BA dir.
CA
1.
2.
CB
=
AH
BA
⇒ AB . AC = BC . AH veya b.c = a.h olur.
(Üçgenin benzerli¤inden)
1
1 k+p
a
1
1
1 1
olur. (Öklid ba¤›nt›lar›ndan)
+ =
+
=
=
=
=
b 2 c 2 p.a k.a k.p.a k.p.a k.p h2
84
C
Örnek : ABC üçgeninde;
[AB] ⊥ [BC], [BH] ⊥ [AC],
A
H
|AB| = 2ñ5 cm ve |BC| = 4ñ5 cm ise
|BH|, |AH| ve |HC| uzunluklar›n› bulunuz.
2ñ5
B
1
Çözüm : 1.
BH
2
1
=
AB
2
1
+
BC
2
1
⇒
BH
2
=
C
4ñ5
1
1
1
+
=
⇒ BH = 4 cm,
20 80 16
2. AB . BC = BH . AC ⇒ 2 5.4 5 = 4. AC ⇒ AC = 10 cm,
2
3. AB = AH . AC ⇒ 20 = AH .10 ⇒ AH = 2 cm,
2
4. BC = CH . AC ⇒ 80 = CH .10 ⇒ CH = 8 cm bulunur.
P‹SAGOR TEOREM‹
Teorem : Bir dik üçgende; hipotenüsün uzunlu¤unun karesi, dik kenarlar›n uzunluklar›n›n
kareleri toplam›na eflittir.
A
Hipotez : ABC üçgeninde; [AB] ⊥ [AC] ise
2
2
2
Hüküm : |BC| = |AC| + |AB| dir.
‹spat
: [AH] ⊥ [BC] çizelim.
2
1. |AC| = |CH|.|CB|
2
2. |AB| = |BH|.|BC|
2
2
2
2
B
C
H
(Öklid ba¤›nt›s›ndan)
(Öklid ba¤›nt›s›ndan)
3. |AC| + |AB| = |CH|.|CB| + |BH|.|BC|
(1. ve 2. den)
2
4. |AC| + |AB| = (|CH|+|BH|).|BC| = |BC|.|BC| = |BC| olur.
A
Örnek : fiekildeki ABC üçgeninde;
[AH] ⊥ [BC], |AB| = 10 cm,
|BH| = 6 cm ve |HC| = 15 cm ise |AC| uzunlu¤unu bulunuz.
Çözüm : ABH dik üçgeninde Pisagor teoreminden;
2
2
2
2
2
2
2
10
B
6
H
2
|AB| = |BH| + |AH| ⇒ 102 = 62 + |AH| ⇒ |AH| = 64 ⇒ |AH| = 8 cm dir.
AHC dik üçgeninde Pisagor teoreminden;
2
2
|AC| = |AH| + |HC| ⇒ |AC| = 82 + 152 ⇒ |AC| = 289 ⇒ |AC| = 17 cm bulunur.
85
15
C
F
B
Örnek
d1
: Yandaki flekilde; d1 // d2
m(FéBP) = m(AéBP), m(EéAP) = m(BéAP)
|AB| = 10 cm ve |AP| = 4ñ5 cm ise
d1 ve d2 do¤rular› aras›ndaki uzakl›k kaç cm dir?
10
P
4ñ5
E
A
Çözüm : P noktas›ndan [PH] ⊥ [AB]
[PD] ⊥ [AE] ve [PK] ⊥ [BF] dikmelerini çizelim.
[BP] ve [AP] aç›ortay oldu¤undan
d2
F
B
d1
H
|PH| = |PD| = |PK| ve m(BéPA) = 90° olur.
APB dik üçgeninde;
P
4ñ5
2
PB = 102 − (4 5)2 = 100 − 80 = 20 ⇒ PB = 2 5 cm
E
A
d2
ve AB . PH = PA . PB ⇒ 10. PH = 4 5.2 5 ⇒ PH = 4 cm bulunur.
d1 ve d2, do¤rular› aras›ndaki uzakl›k;
|KD| = |PD| + |PK| = 2.|PH| = 2.4 = 8 cm dir.
Örnek : Yandaki ABC üçgeninde; [AB] ⊥ [AC]
[DE] ⊥ [BC], |AD| = |DB|, |BE| = 5 cm
ve |EC| = 13 cm ise |AC| uzunlu¤u kaç cm dir?
A
D
Çözüm : DEB ve DEC üçgenlerinde Pisagor teoreminden;
2
2
2
2
|DE| = |BD| − |BE| = |DC| − |EC|
2
B 5E
13
C
2
2
⇒ |DC| − |BD| = 132 − 52 = 144 olur.
DAC dik üçgeninde Pisagor teoreminden de;
2
2
2
2
2
|AC| = |DC| − |DA| = |DC| − |BD| = 144 ⇒ |AC| = 12 cm dir.
ALIfiTIRMALAR
A
1. Yandaki flekilde; [AB] ⊥ [AC], [AH] ⊥ [BC]
3ò13
2ò13
|AB| = 2ò13 cm ve |AC| = 3ò13 cm
oldu¤una göre, |AH| uzunlu¤u kaç cm dir?
B
C
H
A
2. Yandaki ABC dik üçgeninde; [AD] kenarortayd›r.
[AH] ⊥ [BC] ve
AH
AD
=
AB
4
oldu¤una göre
kaçt›r?
AC
5
B
86
H
D
C
A
3. Yandaki ABC dik üçgeninde; m(ëA) = 90°,
2ñ5
[AH] ⊥ [BC], |AB| = 2ñ5 cm ve
|HC| = 8 cm oldu¤una göre |BH|, |AH| ve
|AC| nu bulunuz.
B
C
8
H
A
4. fiekildeki ABC üçgeninde; [AB] ⊥ [BC]
|AD| = |DC| = 5 cm, |BE| = 1 cm ve
|EA| = 7 cm ise BED aç›s›n›n ölçüsü
kaç derecedir?
5
7
D
5
E
1
C
B
TEST
A
1. Yandaki flekilde; [AD] ⊥ [BC]
|AB| = |DC|, |BD| = 1 cm ve |AC| = 7 cm ise
|AB| kaç cm dir?
A) 4
B)
9 11
C) 5
2 2
9 11
D)
2 2
7
E) 6
B
D
1
C
A
2. Yandaki flekilde; [EF] // [BC]
[BD] ve [CD] aç›ortay,
|AB| = 20 cm, |BC| = 16 cm ve
|AC| = 28 cm ise |EF| kaç cm dir?
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
28
20
E) 13
D
E
B
F
C
16
A
3. Yandaki flekilde; |AB| = |AC|
|BC| = |BD|, |AB| = 9 cm ve |AD| = 5 cm ise
BCD üçgeninin çevresi kaç cm dir?
A) 15
B) 16
C) 17
D) 18
E) 19
5
D
9
C
B
A
4. Yandaki flekilde; |AB| = |AC|
m(AéDB) = 60°, |AD| = 6 cm ve
|DC| = 7 cm ise |BD| = x kaç cm dir?
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
6
60°
B
87
x
D
7
C
A
5. Yandaki flekilde; [AB] ⊥ [AC]
m(AéDB) = 45°, |AD| = 6ñ2 cm
ve |CD| = 2 cm ise
|BC| = x kaç cm dir?
A) 15
B) 14
C) 13
D) 12
6ñ2
B
x
C
45°
2
D
E) 11
A
6. Yandaki flekilde; [AB] ⊥ [AC]
|AB| = |AD| = 15 cm ve
|BD| = 18 cm ise
|AC| = x kaç cm dir?
A) 20
B) 21
C) 22
D) 23
15
x
15
B
E) 24
18
C
D
A
7. Yandaki flekilde; m(AéBD) = m(AéDB)
|AC| = 9 cm ve |BD| = |DC| = 4 cm
ise |AB| = x kaç cm dir?
13 15
13 15
A) 6
B)
C) 7
D)
2 2
2 2
x
9
E) 8
B
4
D
4
C
A
8. Yandaki flekilde; |AB| = |AC|
m(AéDB) = 60°, |BD| = 8 cm ve
|AD| = 5 cm ise |DC| = x kaç cm dir?
5 7
5 7
A) 1
B) 2
C)
D) 3
E)
2 2
2 2
5
60°
B
1-C
2-D
3-B
4-E
5-C
88
8
6-A
D
x
7-C
C
8-E