Örnek...1

DÖNÜŞÜMLER -1
ÖTELEME , DÖNME
ÖTELEME DÖNÜŞÜMÜ
Örnek...3 :
A ( - 3 , 2 ) n ok t a s ın ı n b i r ⃗
u doğrultusunda
ö t e l e nm e s i yl e B ( 1 , - 2 ) n o k t a s ı e l d e e d i l i yo r. ⃗
u
nü bulunuz.
(4,-4)
B i r ş ek l i n h i ç d e ğ i ş m e d e n ( b o yu t l a r ı
b o z u lm a d a n ) s a ğ , s o l , yu k a r ı v e a ş a ğ ı
( ek s e n l e r e p a r a l e l ) yö n l e r d e b i r v e k t ö r
d o ğ r u l t u s u n d a ye r d e ğ i ş t i r i lm e s i n e
ö t e l e m e d e n i r.
Örnek...4 :
Örnek...1 :
U ç n ok t a l a r ı A ( 3 , - 2 ) , B ( 5 , - 1 ) o l a n [ A B ] n ı
⃗
u =(−2,7 ) d o ğ r u l t u s u n d a ö t e l e yi n i z.
(1,5)*(3,6)
A ( 3 , 5 ) n o k t a s ı n ı 2 b r s a ğ a v e 5 b r yu k a r ı
ötelenmişini bulunuz?
(5,10)
⃗
⃗ =PQ
D ü zl e m d e u
o l a c ak ş e k i l d e
tanımlanan Q
n ok t a s ı n a , P
n ok t a s ı n ı n ⃗
u
doğrultusunda
ö t e l e nm i ş i d e n i r v e
Q=T ⃗u ( P)=P+ ⃗
u ş e k l i n d e g ö s t e r i l i r.
T ⃗u :R 2→R 2 f on k s i yo n u d ü zl e m i n n o k t a l a r ın ı
P→T ⃗u (P )
d ü zl em i n n o k t a l a r ı yl a e ş l e ye n b i r e b i r v e
ö r t e n f on k s i yo n o l d u ğ u n d a n d ü zl em i n b i r
d ö n ü ş üm ü a d ı n ı a l ı r
Örnek...6 :
T ⃗u :R 2→R 2 ( x , y )→ ( x+4,y−3 ) ö t e l e m e s i yl e T ( 6 , - 11 )
P→T ⃗u (P )
o l a n n o k t a yı b u l u n u z
(2,-8)
Örnek...7 :
Örnek...2 :
A ş a ğ ı d a v e r i l e n n ok t a l a r ı n v e r i l e n v ek t ö r l e r
d o ğ r u l t u s u n d a ö t e l e n m i ş i n i b u l u n u z.
A(3,5) , ⃗
u =( 1,4) ise T ⃗u ( A )
(4,9)
B(-9,4) ⃗
u =(−3,−5 ) ise
www.matbaz.com
Örnek...5 :
⃗
u =( −2,3 ) v e r i l i yo r. K ö ş e k o o r d i n a t l a r ı A ( 0 , 1 ) ,
B ( - 2 , 4 ) v e C ( 4 , 0 ) o l a n A B C ü ç g e n i n i −2. ⃗
u
d o ğ r u l t u s u n d a ö t e l e yi n i z.
(4,-5)*(2,-2)*(8,-6)
Ş ek i l d ek i A B C
üçgeninin 4 birim
sağa , 2 birim
aşağı ötelenmişini
bulunuz
T ⃗u ( B )
(-12,-1)
C(0,-1) ⃗
k=( 6,0) ise T ⃗k ( C )
(6,-1)
11.Sınıf Matematik Konu Anlatımı
1/6
DÖNÜŞÜMLER -1
ÖTELEME , DÖNME
Örnek...11 :
YANSIMA
A ( - 5 , 6 ) n ok t a s ın ı n o r i j i n e g ö r e s im e t r i ğ i B , B
n ok t a s ı n ı n C n o k t a s ın a g ö r e s im e t r i ğ i
K ( - 3 , - 8 ) i s e C n o k t a s ın ı n k o o r d i n a t l a r ı n ı
bulunuz.
(1,-7)
d
B i r ş ek l i n v e r i l e n b i r
n ok t a ya v e ya d o ğ r u ya g ö r e
s im e t r i ğ i n i n a l ı nm a s ı n a
ya n s ı m a d ö n ü ş ü m ü
h a r ek e t i d e n i r.
Bir doğru bir şekli
birbirine simetrik iki şekle
a yı r ı yo r s a b u d o ğ r u ya
ş ek l i n s im e t r i e k s e n i d e n i r.
Örnek...12 :
L ( - 5 , 6 ) n o k t a s ın ı n B ( - 1 , - 2 ) n ok t a s ın a g ö r e
s im e t r i ğ i K i s e L v e K n ok t a l a r ı a r a s ı u za k l ık
k a ç b i r im d i r ?
8 √5
d
Örnek...8 :
Örnek...9 :
A ( - 5 , 9 ) n o k t a s ı n ı n x ek s e n i n e g ö r e
ya n s ı m a a l t ı n d a k i g ö r ü n t ü s ü n ü b u l u n u z ?
(-5,-9)
SİMETRİ
A v e B i l e a yn ı d o ğ r u l t u d a , B n ok t a s ı n a A
n ı n u za k l ı ğ ı k a d a r
u zak l ık t a b u l u n a n
A
B
A'
A' noktasına ,
A n ı n B ye g ö r e s i m e t r i ğ i o l a n n ok t a
d e n i r.
Ya n i B n o k t a s ı s im e t r ik ik i n ok t a n ı n o r t a
n ok t a s ı d ı r.
e
www.matbaz.com
Ş e k i l d e k ı rm ı z ı
dörtgenin d ve e
doğrularına göre
ya n s ı m a l a r ı v e r i lm i ş t i r
NOKTANIN DOĞRULARA GÖRE
SİMETRİKLERİ
1. NOKTANIN EKSENLERE GÖRE
SİMETRİKLERİ
A ( a , b ) n o k t a s ın ın x ek s e n i n e g ö r e
s i m e t r i ğ i A ı ( a , - b ) y ek s e n i n e g ö r e
simetriği Aıı (-a,b) olur
Örnek...13 :
A ( 3 , 8 ) n ok t a s ın ı n x e k s e n i n e g ö r e s i m e t r i ğ i
B , K ( - 3 , 5 ) n ok t a s ın ı n y e k s e n i n e g ö r e
s im e t r i ğ i G n ok t a s ı i s e ∣BG∣ k a ç b i r im d i r ?
13
Örnek...14 :
A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y 2 ) v e C ( x0 , y 0 ) n ok t a s ı A i l e
B n ok t a s ı n ı n o r t a n o k t a s ı i s e
x 1+x 2
y1 +y 2
o l u r.
x 0=
, y 0=
2
2
B i r K n ok t a s ı n ı n x e k s e n i n e g ö r e s im e t r i ğ i
L ( - 6 , 4 ) i s e K n o k t a s ın ı n y ek s e n i n e g ö r e
s im e t r i ğ i o l a n n o k t a n ın k o o r d i n a t l a r ı ç a r p ım ı
k a ç t ır ?
-24
Örnek...10 :
A(3,-5) noktasının K(1,4) noktasına göre
s i m e t r i ğ i o l a n n ok t a yı b u l u n u z .
(-1,13)
11.Sınıf Matematik Konu Anlatımı
2/6
DÖNÜŞÜMLER -1
ÖTELEME , DÖNME
2. NOKTANIN X=A VE Y=B DOĞRULARINA
GÖRE SİMETRİKLERİ
3. NOKTANIN DOĞRUYA GÖRE SİMETRİĞİ
A ( x1 , y1 ) n ok t a s ı n ı n a x + b y+ c = 0 d o ğ r u s u n a
g ö r e s im e t r i ğ i A ı (p , q ) n ok t a s ı b u l u n u r k e n
b
a) eğimi
o l a n v e A ( x1 , y1 ) n ok t a s ı n d a n
a
geçen doğrunun denklemi bulunur
b ) b u l u n a n v e v e r i l e n d o ğ r u l a r ın k e s im
noktası bulunur
c ) A ( x1 , y1 ) n ok t a s ı n ı n k es i m n o k t a s ın a
g ö r e s im e t r i ğ i A ı (p , q ) n ok t a s ı d ı r.
A ( x1 , y1 ) n o k t a s ı n ı n x= a d o ğ r u s u n a g ö r e
s im e t r i ğ i A ı (2 a −x 1 , y 1) n o k t a s ı d ı r.
A ( x1 , y1 ) n o k t a s ı n ı n y= b d o ğ r u s u n a g ö r e
s im e t r i ğ i A ıı ( x1 ,2b−y 1 ) n ok t a s ı d ı r.
Örnek...15 :
Örnek...17 :
A ( 1 , 5 ) n o k t a s ı n ı n x= 4 n ok t a s ı n a g ö r e
s i m e t r i ğ i B , y= 2 d o ğ r u s u n a g ö r e s im e t r i ğ i C
n o k t a s ı i s e B v e C n ok t a l a r ı n d a n g e ç e n
d o ğ r u n u n e ğ im i k aç t ı r ?
1
A ( x1 , y1 ) n o k t a s ı n ı n y= x d o ğ r u s u n a g ö r e
s im e t r i ğ i A ı ( y 1 , x1 ) n o k t a s ı d ı r.
A ( x1 , y1 ) n o k t a s ı n ı n y= - x d o ğ r u s u n a g ö r e
s im e t r i ğ i A ıı (−y1 ,−x 1 ) n o k t a s ı d ı r.
www.matbaz.com
2. NOKTANIN Y=X VE Y=-X DOĞRULARINA
GÖRE SİMETRİKLERİ
A ( 1 , 2 ) n ok t a s ın ı n y= 2 x + 1 d o ğ r u s u n a g ö r e
s im e t r i ğ i o l a n n o k t a yı b u l u n u z
(1/5 , 12/5)
Örnek...18 :
A ( 0 , 4 ) n ok t a s ın ı n y+ x - 2 = 0 d o ğ r u s u n a g ö r e
s im e t r i ğ i o l a n n o k t a yı b u l u n u z
(-2,2)
Örnek...16 :
D i k k oo r d i n a t d ü zl e m i n d e K ( 4 , - 2 ) n o k t a s ın ın
y= x e g ö r e s i m e t r i ğ i o l a n n ok t a i l e L ( - 3 , 2 )
n o k t a s ı n ı n y= - x e g ö r e s im e t r i ğ i o l a n n o k t a
a r a s ı m e s af e k a ç b i r im d i r ?
1
Örnek...19 :
A ( 6 , 2 ) n ok t a s ın ı n 4 y- 3 x - 1 5= 0 d o ğ r u s u n a g ö r e
s im e t r i ğ i B i s e |AB| k a ç b i r im d i r ?
10
11.Sınıf Matematik Konu Anlatımı
3/6
DÖNÜŞÜMLER -1
ÖTELEME , DÖNME
DOĞRUNUN NOKTAYA GÖRE SİMETRİĞİ
2.DOĞRUNUN KESİŞTİĞİ DOĞRUYA GÖRE
SİMETRİĞİ
a x+ b y+ c = 0 d o ğ r u s u n u n A ( p , r ) d o ğ r u s u n a
g ö r e s i m e t r i ğ i a x + b y+ d = 0 d o ğ r u s u d u r.
B u r a d a d s a b i t i n i b u l m ak i ç i n v e r i l e n
d o ğ r u n u n ü ze r i n d e b i r n ok t a a l ı n ı r v e b u
n ok t a yl a o r t a n o k t a s ı A o l a c ak b i r B n ok t a
s ı e l d e e d i l i r. B n o k t a s ı a x + b y+ d = 0
d o ğ r u s u ü ze r i n d e d i r
Ve r i l e n b i r d d o ğ r u s u n u n e d o ğ r u s u n a
g ö r e s im e t r i ğ i k d o ğ r u s u i s e e d o ğ r u s u
b u d o ğ r u l a r ın a ç ı o r t a y d o ğ r u s u o l u r
D o ğ r u n u n k e s i ş t i ğ i d o ğ r u ya g ö r e s im e t r i ğ i
bulunurken
a ) k es i m n o k t a s ı b u l u n u r
b) eğimlerin eşitliği kullanılır
Örnek...20 :
2 x + 3 y+ 6 = 0 d o ğ r u s u n u n K ( - 3 , 2 ) n o k t a s ı n a
göre
s im e t r i ğ i o l a n d o ğ r u yu b u l u n u z
2 x+ 3 y- 6= 0
Örnek...23 :
x+ y= 4 d o ğ r u s u n u n x - 2 y- 7= 0 d o ğ r u s u n a g ö r e
s im e t r i ğ i n i b u l u n u z
y+ 7 x - 3 4 = 0
DOĞRUNUN DOĞRULARA GÖRE
SİMETRİKLERİ
www.matbaz.com
Örnek...21 :
x - 6 y+ 1 8 = 0 d o ğ r u s u n u n K ( 1 , 2 ) n ok t a s ı n a g ö r e
s i m e t r i ğ i o l a n d o ğ r u yu b u l u n u z
x - 6 y+ 4 = 0
Örnek...24 :
2 x+ y= 4 d o ğ r u s u n u n x+ 2 y+ 8 = 0 d o ğ r u s u n a
göre simetriğini bulunuz
2 x - 11 y= 8 9
1.DOĞRUNUN PARALEL DOĞRUYA GÖRE
SİMETRİĞİ
ax +by+c1=0 d o ğ r u s u n u n ax +by+c2=0
d o ğ r u s u n a g ö r e s im e t r i ğ i ax +by+c3=0 i s e
c1 +c 2
=c3 o l u r.
2
Örnek...22 :
2 x - 3 y+ 5 = 0 d o ğ r u s u n u n 6 y- 4 x+ 5 = 0 d o ğ r u s u n a
g ö r e s im e t r i ğ i o l a n d o ğ r u yu b u l u n u z.
3 y- 2 x + 1 0= 0
11.Sınıf Matematik Konu Anlatımı
4/6
DÖNÜŞÜMLER -1
ÖTELEME , DÖNME
3. DOĞRUNUN X EKSENİNE (Y=0 )
DOĞRUSUNA GÖRE SİMETRİĞİ
6. DOĞRUNUN X=K VE Y=K DOĞRUNA GÖRE
SİMETRİKLERİ
a x+ b y+ c = 0 d o ğ r u s u n u n x e k s e n i n e g ö r e
s im e t r i ğ i a x - b y+ c = 0 d o ğ r u s u d u r
a x + b y+ c = 0 d o ğ r u s u n u n x = k d o ğ r u s u n a
g ö r e s im e t r i ğ i a ( 2k - x )+ b y+ c = 0
doğrusudur
4. DOĞRUNUN Y EKSENİNE (X=0 )
DOĞRUSUNA GÖRE SİMETRİĞİ
a x + b y+ c = 0 d o ğ r u s u n u n y= k d o ğ r u s u n a
g ö r e s im e t r i ğ i x+ ( 2 k - y) b + c = 0
doğrusudur
a x+ b y+ c = 0 d o ğ r u s u n u n x e k s e n i n e g ö r e
s im e t r i ğ i - a x + b y+ c = 0 d o ğ r u s u d u r
Örnek...27 :
Örnek...25 :
5 x - 6 y+ 1 8 = 0 d o ğ r u s u n u n y= 3 v e x= - 4
d o ğ r u l a r ı n a g ö r e s im e t r ik l e r i o l a n d o ğ r u l a r ı
bulunuz
5 x+ 6 y+ 2 2 = 0 , 5 x + 6 y- 1 8= 0
3 x - 4 y+ 1 2 = 0 d o ğ r u s u n u n ek s e n l e r e g ö r e
simetrikleri olan doğruları bulunuz
5. DOĞRUNUN Y=X VE Y=-X DOĞRUNA GÖRE
SİMETRİKLERİ
a x+ b y+ c = 0 d o ğ r u s u n u n y= x d o ğ r u s u n a
g ö r e s i m e t r i ğ i a y+ b x + c = 0 d o ğ r u s u d u r
a x+ b y+ c = 0 d o ğ r u s u n u n y= - x d o ğ r u s u n a
g ö r e s i m e t r i ğ i - a y- b x + c = 0 d o ğ r u s u d u r
Örnek...26 :
www.matbaz.com
3 x + 4 y+ 1 2 = 0 , 3 x + 4 y- 1 2 = 0
Örnek...28 :
Ya n d a v e r i l e n
ABC üçgenin O
n ok t a s ı n a g ö r e
s im e t r i ğ i n i
( ya n s ım a s ı n ı )
ç i zi n i z
3 x - 4 y+ 1 2 = 0 d o ğ r u s u n u n y= x v e y= - x
doğrularına göre simetrikleri olan doğruları
bulunuz
3 y- 4 x + 1 2 = 0 , 4 x - 3 y+ 1 2 = 0
11.Sınıf Matematik Konu Anlatımı
5/6
DÖNÜŞÜMLER -1
ÖTELEME , DÖNME
DÖNME DÖNÜŞÜMÜ
D ü zl e m d e b i r P ( x , y)
n ok t a s ı n ı n O n o k t a s ı
e t r af ı n d a θ a ç ı s ı
k a d a r d ö n d ü r ü l m e s i yl e
elde edilen nokta
Örnek...31 :
A ( x , y) n ok t a s ı n ı n o r j i n e t r a f ın d a p o zi t i f yö n d e
9 0 o d ö n d ü r ü l d ü ğ ü n d e B ( 6 , - 4 ) n ok t a s ı e l d e
e d i l i yo r . B u n a g ö r e x . y k a ç t ır ?
24
y
Q
P
0
x
Örnek...32 :
⃗
u =( 0,2) v e r i l i yo r. K ö ş e k o o r d i n a t l a r ı A ( - 2 , - 4 ) ,
B(1,2) ve C(-5,2) olan ABC üçgenini ⃗
u
d o ğ r u l t u s u n d a ö t e l e nm e s i s o n u c u e l d e e d i l e n
ü ç g e n o r j i n e t r a f ın d a p o zi t i f yö n d e 2 7 0 o
d ö n d ü r ü l ü yo r. E l d e e d i l e n ü ç g e n i n a ğ ır l ık
m e rk e zi n i b u l u n u z.
(2,2)
Q = Rθ ( P) = ( x . c o s θ - ys i n θ , x s i n θ + yc o s θ )
o l u r. ( x + i y s a yı s ı n ı c o s θ + i s i n θ i l e ç a r p t ık )
Burada
Rθ ya d ö n m e d ö n ü ş üm ü d e n i r.
D ü zl e m i n h e r P n ok t a s ı i ç i n Rθ ( P)
d ö nm e s i ya p ı l a b i l i r.
D ö nm e e s n a s ı n d a d e ğ i şm e ye n n o k t a ya
d ö nm e m er k e zi d e n i r
Örnek...29 :
Şekildeki üçgenin O
n o k t a s ı e t r af ı n d a
a ) p o zi t i f yö n d e 9 0 o
b ) n e g a t i f yö n d e 1 8 0 o
elde edilen
g ö r ü n t ü l e r i ç i zi n i z?
Örnek...30 :
A ş a ğ ı d a v e r i l e n n ok t a l a r ı o r j i n e t r a f ı n d a
v e r i l e n a ç ı l a r k a d a r p o z i t if yö n d e
d ö n d ü r ü l m e s i yl e e l d e e d i l e n n ok t a l a r ı
b u l u n u z.
M(6,0) θ=30o
(3 √ 3 ,3)
L(0, √ 2) θ =225o
11.Sınıf Matematik Konu Anlatımı
(1,-1)
www.matbaz.com
T ⃗u :R 2→R 2 f on k s i yo n u d ü zl e m i n n o k t a l a r ın ı
P→R θ (P )
d ü zl em i n n o k t a l a r ı yl a e ş l e ye n b i r e b i r v e
ö r t e n f on k s i yo n o l d u ğ u n d a n d ü zl em i n b i r
d ö n ü ş üm ü a d ı n ı a l ı r
D ü zl em d e ö t e l em e d ö nm e v e b u n l a r ın
b i l e ş k e d ö n ü ş üm l e r i , u zak l ık v e a ç ıl a r ı n
yö n l e r i n i k o r u ya n d ö n ü ş üm l e r d i r.
T ⃗u ve T ⃗v R 2 d e i k i ö t e l e m e f o nk s i yo n u i s e
( T⃗u o T ⃗v )=T ⃗u+ ⃗v ;
Rθ ve Rα ik i d ö nm e f on k s i yo n u i s e
Rθ o Rα =Rθ+α o l u r.
Örnek...33 :
K ( 6 , - 9 ) i ç i n [ R 230 o R−50 ] ( K ) n ok t a s ı n ı b u l u n u z?
(-6,9)
o
o
B i r ş e k i l m er k e zi e t r af ın d a 3 6 0 o d e n
k üç ü k b i r a ç ı i l e d ö n d ü r ü l d ü ğ ü n d e k e n d i s i
i l e ç a k ış o yo r s a d ö nm e s i m e t r i s i n e
s a h i p t i r d e n i r. Ş ek i l m e rk e zi e t r a f ın d a
d ö n d ü r ü l ü r k e n k en d i s i i l e ç a k ış a n e n
k üç ü k d ö n m e a ç ıs ın a e n k üç ü k d ö n m e
s i m e t r i a ç ıs ı d e n i r. ( D ö nm e s im e t r i s a yı s ı
3 6 0 ın e n k ü ç ük d ö nm e s i m e t r i a ç ıs ı n a
b ö l ü n m e s i yl e b u l u n u r )
Düzgün Çokgen
Eşkenar üçgen
Düzgün beşgen
En küçük dönme
simetri açısı
120
72
Dönme simetri
sayısı
3
5
Yansıma ekseni
sayısı
3
5
6/6