14.1 Alan Statik Momenti ve Eylemsizlik Momenti

14.1
Alan Statik Momenti ve Eylemsizlik Momenti
 Örnek
14.2 Eylemsizlik Yarıçapı
14.3 Eksen Takımının Değiştirilmesi
14.4 Asal Eylemsizlik Momentleri
 Örnekler
PROBLEMLER
231
232
233
233
235
235
238
14.1 ALAN STATİK MOMENTİ VE EYLEMSİZLİK MOMENTİ
Alanın birinci ve ikinci dereceden statik momentlerinin fiziksel anlamları
vardır. Şimdi bunları sırayla görelim.
ALAN STATİK MOMENTİ: Şekil (14.1) deki A alanının x ve y eksenlerine
göre alanın birinci mertebe momenti olan alan statik momentleri,
S x = ò y dA
A
,
S y = ò x dA
(14.1)
A
işaretli büyüklüklerdir. Eğer eksen takımı kesitin ağırlık merkezinde ise,
S x = S y = 0 olur.
EYLEMSİZLİK MOMENTLERİ: Şekil (14.1) deki A alanının ikinci metrebe momentine eylemsizlik momenti denir ve tanım gereği,
I x = ò y 2 dA
A
I y = ò x 2 dA
(14.2)
A
I xy = ò yx dA
A
dır. Eylemsizlik momenti, aynı ağırlık merkezi gibi, kesit geometrisine
bağlı bir büyüklüktür. (14.2) de;
Ix :
x eksenine göre eylemsizlik momenti olup, I x > 0 dır.
Iy :
y eksenine göre eylemsizlik momenti olup, I y > 0 dır.
I xy :
çarpım eylemsizlik momenti olup, I xy
0 dır.
Eğer eksenlerden biri kesitin bir simetri ekseniyle çakışıyorsa, çarpım
eylemsizlik momenti sıfır olur. Bir başka ikinci mertebe alan momenti de
kutupsal eylemsizlik momenti,
I o = ò r 2 dA
A
(14.3)
dir. Şekil (14.1) de r 2 = x 2 + y 2 olduğundan, dairesel kesitlerde (14.3)
ile (14.2) in ilk iki denklemi birbirlerilebilir. Buna göre,
Io = I x + I y
(14.4)
elde edilir. Eylemsizlik momenti hesabındaki bazı önemli kolaylıklar
vardır. Şimdi bunları sıralayalım.
 Şekil (14.2) deki gibi bir bölgenin bir eksen takımına göre eylemsizlik
momenti, o bölgeyi oluşturan parçaların aynı eksen takımına göre
eylemsizlik momentlerinin toplamına eşittir. Buna göre:
235
14. EYLEMSİZLİK MOMENTLERİ
14.4
ASAL EYLEMSİZLİK MOMENTLERİ
Eğer bir eksen takımında çarpım eylemsizlik momenti sıfır ise, bu takıma
asal eksen takımı denir ve hesaplanacak eylemsizlik momentleri de asal
eylemsizlik momentleri adını alır. Eğer Şekil (14.10) daki ( X 1 , X 2 ) takımı
asalsa, bu takımda asal eylemsizlik momentleri I1 ve I 2 ile gösterilir.
Eğer ( x, y ) takımında I x , I y ve I xy belli ise, bunlar kullanılarak
( X 1 , X 2 ) ile ( x, y ) takımları arasındaki  o açısı hesaplanabilir. Bunun
için (14.13) ün üçüncü denkleminde de I = 0 yazılıp, ifade çift açılar
cinsinden düzenlenirse, asal doğrultu,
tan (2o ) = -
2 I xy
(14.14)
Ix - Iy
olur. Ayrıca asal eylemsizlik momentleri,
2
2
I1 = 12 ( I x + I y ) + éê 12 ( I x - I y )ùú + I xy
ë
û
(14.15)
2
2
I 2 = ( I x + I y ) - éê 12 ( I x - I y )ùú + I xy
ë
û
1
2
dir.
ÖRNEK 14.2: Boyutları b  h olan Şekil (P2.1) deki dikdörtgen alanın
eylemsizlik momentlerini,
a). Tabanındaki (  , y ) takımında hesaplayınız,
b). Keyfi bir ( ,  ) takımında bulunuz.
ÇÖZÜM: a). Şekil (P2.2) de görüldüğü gibi, kesit tabandan geçen (  , y )
takımına göre, eylemsizlik momentleri
h
I  = ò y 2 dA = ò y 2 (bdy ) = b éê 13 y 3 ùú
ë
û
0
A
Iy =
1
12
hb
h
0
= 13 bh3
3
I y = 0
olur. y ekseni düzlemsel alanın simetri eksenidir ve o nedenle çarpım
eylemsizlik momenti sıfırdır.
b). ( , ) eksen takımı başlangıcının, alanın ağırlık merkezine olan ( x, y )
takımı başlangıcına olan uzaklığı (a x , a y ) olarak verilmiştir. Örnek 14.1
de asal takımda eylemsizlik momentleri I x = 121 bh3 , I y = 121 hb3 ve