Hazırlayan: Muhammet Nasıf KURU (Mak. Müh.)

Transkript

Silindir Üzerinde Inviscid Akışta Hız Profilinin ANSYS ile Analizi :
Problem Tanımı :
= 1.0
Yarıçapı a = 0.25m olan silindir üzerinden hızı
olan hava geçirilmektedir. Akışın
sıkıştırılamaz (incompressible), kararlı (steady), girdapsız (irrotational) ve Vizkozitesiz (Inviscid)
olduğunu varsayarak orta kısımdaki hız profilini Fluent’de çizdiriniz ve Analitik çözümle karşılaştırınız.
Şekil 1 : Problemin Tanımı
1. Problemin Analitik Çözümü :
Analitik (kesin) çözümler, genel olarak, faydalıdır ve bazı spesifik sistemlerin davranışının
anlaşılmasında mükemmel rol oynarlar. Ancak, sınırlı sayıda problem için çözüm sunabilirler. Genel
olarak, doğrusal olarak ele alınabilecek, ya da basit bir geometri ile tanımlanabilecek, ya da “düşük
boyutlu” problemler için uygundurlar. Fakat, günlük hayat problemleri karmaşık, doğrusal olmayan ve
“yüksek boyutlu” geometri ve davranışa sahiptirler. Burada, silindir üzerindeki akış için analitik
bağıntılar çıkarılacaktır.
Silindirik koordinat sisteminde kütlenin korunumu yazılırsa,
+
dır. Akım daimi (steady) ise
1 ( )
+
1 ( )
+
( )
= 0(1)
= 0 dır ve (1) denklemi
1 ( )
+
1 ( Hazırlayan: Muhammet Nasıf KURU (Mak. Müh.)
)
+
( )
= 0(2)
www.teknikbelgeler.com
halini alır.
Hareketi takiben bir akışkan partikülünün özgül kütlesi değişmiyorsa bu akışkana sıkıştırılamayan
(incompressible) akışkan denir ve =
‘dir. (2) denkleminden,
1 ( )
+
1 (
)
( )
+
= 0(3)
dir. Düzlemsel hareket konumunda = ( , ) şeklinde bir akım fonksiyonu (stream function)
tanımlamak mümkündür. Bu şartlarda (3) denklemi,
1 ( )
1 (
)
= 0(4)
= ( , ) akım fonksiyonuna bağlı olarak:
olur. (4) denklemini sağlayan hız alanı,
+
=
1
, =−
(5)
şeklinde tanımlanır.
Bir akışkan akımında düzlemdeki girdap vektörünü
ile gösterecek olursak:
e
e
= = = = r
(6)
−r
şeklinde tanımlanır. Silindir üzerindeki akışta, hareketin girdapsız olması halinde
= 0 olur.
Burada
işlemi, bir vektör alanındaki bir nokta etrafındaki dönme meylini ölçer.
1
+ =
+
1
= 0(7)
Amacımız Denklem (7)’yi çözmektir, daha sonra hız alanı bulunacaktır. Denklem (7)’nin ayrılabilir
çözümünü bulabiliriz. Bunun için
( , ) = ( ) ( )(8)
formunda olduğu kabul edilirse, Denklem (7),
1
+ "
"
1
+ "
1
+ +
1
+
"
"
=0
=0
"
= −
(9)
halini alır.
Denklem (9)’un sol tarafı r’nin fonksiyonu ve sağ tarafı ’nın fonksiyonudur. Bunların birbirine eşit
olabilmesi için iki tarafında sabit olması gerekir. Bu sabiti denklem (9)’da
şeklinde belirtecek
olursak,
"
(
"
1
+ ) = −
=
(10)
elde edilir. Denklem(10)’u iki ayrı denklem şeklinde yazacak olursak,
"
1
+ "
−
+
= 0(11)
= 0(12)
Denklem (11) ve (12)’nin (birinci mertebeden diferansiyel denklemlerin) ≠ 0 için çözümleri,
( )= ( )=
( , )’a, ’da süreklidir.
=
+ cos
(13)
+ sin
(14)
olmak üzere,
( , ) = ( , +2
)(15)
Denklem (7)’nin genel 2 periodic çözümü,
( , )=
(
+
)(
cos
+
sin
) (16)
dir. Silindir üzerindeki akış için iki adet sınır koşulumuz vardır.
(1) r = ∞’da akış yataydır. Bu durumda, Kartezyen koordinat sisteminde
=
( , )
−
( , )
= U + 0
şeklinde ifade edilir. Buradan,
= = sin (17)
dır.
(2) Silindir yüzeyinden akışkan geçemez. Bu aşağıdaki biçimde ifade edilir:
= 0(18)
Bizim amacımız Denklem (16)’yı, sınır koşullarına bağlı olarak (Denklem 17-18) çözmektir. Denklem
(16) n=1 için açılırsa,
( , ) = ( +
+
)(
(
cos +
+
)(
sin )
cos
+
sin
) (19)
Sınır koşulu (17), Denklem(19)’a uygulanırsa,
=
=0
=
= 0, ≥ 2
Böylece Denklem (19),
( , ) = ( +
( , )=
)
sin +
( , ) = sin +
( , )=
sin sin sin 1
sin (20)
+
halini alır. Sınır koşulu (18), Denklem(20)’ye uygulanırsa,
=
+
1
cos =
+
1
cos
= 0
=−
Böylece Denklem(16)’ı çözülür ve Denklem (21),
( , )=
−
sin (21)
halini alır. Bu düzlemsel polar koordinatdaki Denklem (21) ifadesi, kartezyen koordinatda ifade
edilecek olursa:
( , )= 1−
+
(22)
Buna bağlı olarak kartezyen koordinatda hız alanı aşağıdaki biçimde elde edilir.
=
∂ ( , )
=
∂y
= −
1−
∂ ( , )
=
∂x
cos 2θ (23)
sin 2θ(24)
Şekil 2: Silindir üzerindeki akışta,θ = 90 için hız profili ve θ = 0 için durma (stagnation) noktaları
2. Problemin Ansys Fluent’de Analizi:
Ansys Workbench programı çalıştırılır, Fluid Flow (FLUENT) analiz sistemi, proje şemasına sürüklenir
bırakılır. Analiz adı olarak "Silindir Üzerinden Inviscid Akış" girilir.
1- Geometri’nin oluşturulması :
Analiz tipi olarak 2 boyutta çalışacağımız için, 2D seçilir ve Geometry sekmesine çift tıklanır. Gelen
pencerede “Meter” ölçü birimi seçilir ve OK’a tıklanır.
Tree Outline sekmesinde “XY Plane” seçilir, yine aynı pencerede “Sketching” sekmesi seçilir.
Grafik ekranında ise +Z yönü tıklanarak, XY Plane’e ön taraftan bakılır.
Orijinde (P harfinin görünmesi gerekir.)
çember çizilir.
Daha sonra merkezdeki çemberi içine alacak biçimde
dikdörtgen çizilir.
Sketching Toolboxes’dan Dimensions sekmesi seçilir.
Ve aşağıdaki gibi ölçülendirme yapılır. Eksenler arası mesafe için Horizontal ve Vertical kullanılır.
kullanılarak X ekseninde çemberi ve dikdörtgeni kapsayacak biçimde yatay çizgi çizilir.
Sketching Toolboxes’dan Modify sekmesi seçilir ve
kullanılarak aşağıdaki şekil elde edilir.
Fluent’te problemin çözümünde simetri özelliği kullanılacaktır böylece eleman sayımız azaltılmıştır.
Sketch1’den yüzey oluşturmak için, üst menüden Concept -> Surfaces from Sketches tıklanır.
Sketch1, Base object (temel nesne) olarak seçilir ve Apply’a basılır.
Generate’e (Menü’de) tıklanarak yüzey oluşturulur.
Menu’den Save tuşuna basılır ve Design Geometry penceresi kapatılır.
3- Meshin Oluşturulması :
Proje Şemasından, Mesh’e çift tıklanır.
Mesh’e sağ tıklanır ve Insert -> Method seçilir. Geometry olarak tüm yüzey seçilir ve Apply’a basılır.
Method olarak “Triangles” seçilir.
Menü’den Update’e basılarak ve Outline’daki “Mesh”e tıklanarak oluşturulan Mesh görüntülenir.
Oluşturduğumuz Mesh’imize iyileştirme ekliyeceğiz, böylece daha sık bir mesh yapısını elde edeceğiz.
Mesh -> Insert -> Refinement tıklanır.
“Details of Refinement” penceresinde Geometry olarak tüm yüzey seçilir ve Apply’a basılır.
Refinement değeri “1” olacak biçimde Menu’den Update’e basılır. Oluşan Mesh yapısı aşağıdaki
gibidir.
Details of “Mesh” penceresinden, Relevance Center olarak “Fine” seçilir ve Smoothing olarak “High”
seçilir.
Menu’den Update’e basılır. Oluşan Mesh yapısı aşağıdaki gibidir.
Mesh yapımız ile ilgili bilgilere Details of “Mesh” penceresi altındaki Statistics sekmesini genişleterek
ulaşabiliriz.
Not: Yukarıdaki resimde de görüldüğü gibi Eleman sayımız 15492’dir. Eleman sayısı, geometrinin
farklı şekilde oluşturulmasına göre değişebilmektedir.
Problemimizin çözümünde kullanacağımız sınır koşullarının belirtilebilmesi için, kenarların
isimlendirilmesi gerekir. Giriş kısmının isimlendirilmesi için, sol dik kenar “kenar seçici” kullanılarak
sağ tıklanır, “Create Named Selection” seçilir ve “inlet” değeri girilir.
Diğer kenarlar ise aşağıdaki biçimde isimlendirilir. Burada önemli olan “C” ile gösterilen ve
“symmetry” olarak isimlendirilen kenarların Ctrl ile iki tanesi seçildikten sonra “Create Named
Selection”ın tıklanmasıdır.
Menü’den Update’e basılarak Mesh penceresinden çıkılır.
4- Setup :
Proje Şemasından, Setup’a çift tıklanır.
“Problem Setup” -> “Models” seçilir ve Viscous-Laminar çift tıklanarak, “Inviscid” seçilir.
Not : Inviscid akış, ideal akışkanın akışıdır, vizkozitesi yok kabul edilir. Inviscid akış kabulü yapılarak,
akışkanlar mekaniğinde bazı problemler kolayca çözülebilir.
Boundary Conditions -> Inlet, Edit tıklanarak Velocity Magnitude olarak 1 m/s hız değeri girilir.
Problemimize Solution Methods kısmında, Momentum denkleminin 2.mertebeden olacağını
gireceğiz.
Problemimize başlangıç değerlerinin atanması için, Solution Initialization sekmesinde inlet seçilerek X
= 1 m/s olarak girilir. Initialize butonuna basılarak, problemimize başlangıç değerleri girilir.
Run Calculation sekmesinden, Number of Iterations değeri olarak 1000 girilir ve Calculate’e tıklanır.
87 tekrarlamada (iteration) çözüme ulaşılır.
5-Sonuçlar :
Amacımız orta kısımdaki hız profilini çizdirmektir.
Üst menüden “Surface” seçilir ve Line/Rake tıklanır.
Gelen pencereye aşağıdaki gibi bilgi girişi yapılır.
Oluşturduğumuz “mid-line” çizgisini görüntülemek için General sekmesinden Display’e tıklanır ve
Surfaces’dan aşağıdaki biçimde seçim yapılarak Display’e tıklanır.
Results sekmesinden Plots seçilir ve XY Plot tıklanarak gelen pencerede aşağıdaki gibi giriş yapılır ve
Plot’a tıklanır.
Elde edilen grafik aşağıdaki gibidir :
3. Problemin Analitik Çözümünün ve Ansys Fluent’de Analizinin Karşılaştırılması:
Yukarıdaki “Solution XY Plot” penceresi kapatılmadan, Analitik çözümle karşılaştırma yapabilmek için,
“Load File” tıklanır ve “analytic.xy” seçilir.
Plot düğmesine basılarak analitik çözümle Fluent’de yapılan çözüm karşılaştırılabilir.
Not : Analitik ve Fluent’de yapılan çözümün neredeyse çakışık olduğu görüldüğünden, Mesh’de
iyileştirme yapılmamıştır.
Kaynaklar :
http://www.istanbul.edu.tr/muh/insaat/akademik/ssargin/Numerik_Yontemler_dersnotu2_.pdf
Analytic.xy
(title "Velocity Magnitude")
(labels "Analytical Velocity Magnitude" "Position")
((xy/key/label "Analytical Solution")
2
0.25
1.694444444
0.3
1.510204082
0.35
1.390625
0.4
1.308641975
0.45
1.25
0.5
1.20661157
0.55
1.173611111
0.6
1.147928994
0.65
1.12755102
0.7
1.111111111
0.75
1.09765625
0.8
1.08650519
0.85
1.077160494
0.9
1.069252078
0.95
1.0625
1
1.056689342
1.05
1.051652893
1.1
1.047258979
1.15
1.043402778
1.2
1.04
1.25
1.036982249
1.3
1.034293553
1.35
1.031887755
1.4
1.029726516
1.45
1.027777778
1.5
1.026014568
1.55
1.024414063
1.6
1.022956841
1.65
1.021626298
1.7
1.020408163
1.75
1.019290123
1.8
1.018261505
1.85
1.017313019
1.9
1.016436555
1.95
1.015625
2
)

Hazırlayan: Muhammet Nasıf KURU (Mak. Müh.)

Transkript

Benzer belgeler

POTASYUMDAN KISITLI BESLENME DİYET UZMANI

0 226-227-OCA-SUB-2015_161-AG

Copyright - LY Firmengruppe Kuru buz bizde her zaman taze S1v1