Dinamik Dersi Konular

Dinamik Dersi
Konular:
Bölüm I: Kinematik: Maddesel Noktanın Kinematiği:
1. Genel Giriş, Düzgün Doğrusal Hareket.
2. Verilen Bir Grafikten Diğer Bir Grafiğin Oluşturulması
3. Genel Eğrisel Hareket
4. Eğik Atış, n-t Koordinat Sistemi
5. Eğrisel Hareket: Silindirik / Polar Koordinat Sistemi
6. İki Maddesel Noktanın Birbirine Göre Bağıl Hareketi
BÖLÜM II: Kinetik Maddesel Noktanın Kinetiği
7. Kuvvet ve İvme, Hareket Denklemleri
8. n-t Koordinat Sistemi, Silindirik Koordinat Sistemi
BÖLÜM III: Maddesel Noktanın Kinetiği: İş ve Enerji
9. İş ve Enerji Prensibi
10. Güç ve Verim, Enerjinin Korunumu
BÖLÜM IV: Maddesel Noktanın Kinetiği: İmpuls ve Momentum
11. İmpuls ve Momentum, Lineer Momentumun Korunumu
12. Darbe (İmpact)
Dersin haftalık olarak düzenli çalışılması önerilir.
Mekanik: Cisimlerin kuvvetlere nasıl tepki gösterdiğini inceler
1) Maddesel nokta, Rijit Cisim
Statik
2) Deforme Cisim
Dinamik:
1. Kinematik – hız, ivme ve
yol analizi
2. Kinetik -kuvvetin etkisini
inceler
Mekanik: Cisimlerin kuvvetlere nasıl tepki gösterdiğini inceler
1) Maddesel nokta, Rijit Cisim
2) Deforme Cisim
-Elastisite ve cisimlerin
dayanımı
-Akışkanlar Mekaniği
1
Dinamiğin Uygulama Alanları: Maddesel Nokta
Roket, taşıt veya uçak gibi
büyük cisimlerin hareketleri
maddesel nokta olarak
incelenir.
Niçin?
Genel bir soru:
Şekildeki roketin hız ve
ivmesini zamanın bir
fonksiyonu olarak
bulabilirmiyiz?
UYGULAMA (devam)
Bir tren düz bir hat boyunca hareket ediyor.
Treni bir maddesel cisim olarak kabul
edebilirmiyiz?
Soru:
Eğer tren sabit bir ivmeyle hızlanıyorsa (belli bir
zaman sonra) trenin aldığı yolu ve hızını nasıl
bulabiliriz?
2
UYGULAMA (devam)
Aynı soruları bir futbol topu için sorabilirmiyiz?
Bunun için doğru model ne olmalı? Maddesel nokta, rijit
cisim veya deforme cisim
Duruma göre cevap değişir:
• Bir maddesel nokta modeli topun fırlatıldığı veya
durduğu andaki aldığı yol, ivme veya hızın
bulunmasında kullanılır.
•Bir rijit cisim modeli dönmenin etkisiyle hareketi
inceler.
• Bir deforme cisim modeli enerji transferini
tanımlamak için kullanılır.
Bu Dersin Amacı
• Gerçek hayattaki problemler için modelleme yeteneğinin
kazandırılması.
• Problem çözümlerinde kullanılacak mantıksal ve
matematiksel bilgilerin verilmesi
• Hareket oluşumundaki kuvvetin rolünü incelemek
3
Dinamik
Kinematik
BÖLÜM I
Maddesel Noktanın Kinematiği
Düzgün Doğrusal Hareket
Amaç:
Düz bir yolda ilerleyen maddasel nokta için konum, yol, hız ve
ivme analizi.
4
KONUM VE YOL ANALİZİ
Düz bir yolda ilerleyen maddesel nokta s
koordinatında yol alıyor.
r: vektör olarak P noktasının konumu
s: alınan yol (OP)
Yer değiştirme
Vektör olarak: Δ r = r’ - r
Mesafe: Δ s = s’ - s
HIZ
Hız birim zamanda alınan yoldur. Vektor olarak incelenir ( şiddeti ve
yönü vardır). Birimi m/s, km/saat veya ft/s.
birim zaman aralığındaki Δt Ortamama hız
vort = Δr/Δt
Zamana göre türevi
v = dr/dt
Hızın uzunluğu: v = ds/dt
Alınan yol boyunca ortalama hız: (vsp)avg = sT/ Δ t
5
İVME
İvme birim zamanda hızdaki değişim oranı olarak tanımlanabilir.
Bir vektördür. Birimi m/s2 or ft/s2.
Zamana göre hızın türevi
Vektör olarak: a = dv/dt
Uzunluk olarak: a = dv/dt = d2s/dt2
İvme hızın artması veya azalmasına göre (+)
veya (-) olabilir.
Hız ve ivme deklemleri birleştirilirse
a ds = v dv
Hız ve ivme deklemlerinin bulunması
v = ds/dt ;
a = dv/dt veya
Hız:
v
t
Yol:
v
s
∫ dv = ∫ a dt ; ∫ v dv = ∫ a ds
vo
o
a = v dv/ds
vo
so
s
t
so
o
∫ ds = ∫ v dt
• so ve vo ilk yol ve hız t = 0 iken.
6
İvme sabit ise
3 denklem çıkarılabilir :
v
t
∫ dv = ∫ a c dt
vo
o
s
t
∫ ds = ∫ v dt
so
v
v = vo + act
Î
s = s o + v ot + (1/2) a ct 2
Î
v2 = (vo )2 + 2ac(s - so)
o
s
∫ v dv = ∫ a c ds
vo
Î
so
ÖRNEK
Soru: Bir motorsiklet sürücüsü düz bir yol boyunca 27 m/s
lik bir hızla seyahat ediyor. Sürücü frene bastığında
motorun hızı -6t m/s2 lik bir ivmeyle azalıyor.
İstenen:Motorun frene basıldıktan sonraki durma mesafesini
bulunuz.
Plan: Koordinat sistemini oluştur. Gidiş yönünü positif s
koordinat olarak al. İvme zamanın bir fonksiyonu
olduğundan hızı bulmak için integral al ve alınan yolu
bul. Soruyu çözerken başlangıç verilerini kullan.
7
ÖRNEK (devam)
Çözüm:
1) Hızın bulunması.
v
t
vo
o
a = dv / dt => dv = a dt => ∫ dv = ∫ (−6t )dt
=> v – vo = -3t2 => v = -3t2 + vo
2) Durma zamanını bulunması . v = 0, vo = 27 m/s kullan
(niye?).
0 = -3t2 + 27 => t = 3 s
3) Şimdi 3 saniyedeki durma mesafesini bul. so = 0 olarak al:
v = ds / dt => ds = v dt =>
=> s – so = -t3 + vot
s
t
so
o
∫ ds = ∫ (−3t 2 + vo)dt
=> s – 0 = -(3)3 + (27)(3) => s = 54 m
GRUP ÇALIŞMASI
Verilen:A topu 40 ft yükseklikten
aşağı doğru bırakılıyor. Aynı
zamanda B topu ise 5 ft
yükseklikten yukarı doğru
dikey olarak fırlatılıyor.
Toplar 20 ft yükseklikte
karşılaşıyor.
Bul: B topunun fırlatma hızını
bulunuz.
Plan: ???
8
GRUP ÇALIŞMASI
Verilen:A topu 40 ft yükseklikten
aşağı doğru bırakılıyor. Aynı
zamanda B topu ise 5 ft
yükseklikten yukarı doğru
dikey olarak fırlatılıyor.
Toplar 20 ft yükseklikte
karşılaşıyor.
Bul: B topunun fırlatma hızını
bulunuz.
Plan: Koordinat sistemini belirleyip sabit ivme formullerini
kullanınız. A topunun 20ft lik yolu alacağı zamanı bulunuz. Son
olarak B topunun aynı zamanda 20 ft lik yolu alacağı hızı
bulunuz.
ÖRNEK
Soru: Şekildeki başlangıçta duran araba, düz bir yolda
ilerlemeye başlıyor. Arabanın hızı aşağıda
verildiği gibi zamana bağlı bir fonksiyondur.
Arabanın 3 sn sonraki aldığı yolu ve ivmesini
hesaplayınız.
9
ÖRNEK (devam)
Arabanın hızı zamana bağlı bir fonksiyon
3 sn sonra
ÖRNEK (devam)
İvme
3 sn sonra
m/sn2
10
Dinamik
Kinematik
Verilen Bir Grafikten Diğer Bir Grafiğin Oluşturulması
Verilen s-t grafiğinden v-t grafiğinin çıkarılması
1
Verilen v-t grafiğinden a-t grafiğinin çıkarılması
ÖRNEK
Bir araba düz bir yolda ilerliyor. Arabanın
zamana bağlı olarak aldığı yol grafikte verildiği
gibidir. 0-30 sn zaman aralığında arabanın v-t ve
a-t grafiklerini çiziniz.
2
ÖRNEK (devam)
ÖRNEK (devam)
v-t Grafiği
v-t grafiği için v bu formülden bulunur
3
ÖRNEK (devam)
v-t Grafiği
ÖRNEK (devam)
a-t Grafiği
a-t grafiği için a bu formülden bulunur
4
ÖRNEK (devam)
a-t Grafiği
Verilen v-t grafiğinden s-t
grafiğinin çıkarılması
5
Verilen a-t grafiğinden v-t
grafiğinin çıkarılması
ÖRNEK
Duran bir roketli araba düz bir yolda harekete
başlıyor. İlk 10 sn de araç sabit şekilde
ivmeleniyor, arkasından frene basıldığında yine
sabit bir ivme ile hızı azalıyor. Verilen a-t
grafiğinden faydalanarak v-t ve s-t grafiklerini
çiziniz. Arabanın durma zamanını ve toplam
aldığı yolu hesaplayınız.
6
ÖRNEK (devam)
ÖRNEK (devam)
v-t grafiği
Başlangıçta v = 0 ve t = 0 olduğundan
Son hız v=0 ise
7
ÖRNEK (devam)
ÖRNEK (devam)
s-t grafiği
ise
8
ÖRNEK (devam)
s-t grafiği
Verilen a-s grafiğinden v-s
grafiğinin çıkarılması
9
Verilen v-s grafiğinden a-s grafiğinin çıkarılması
a = v(dv/ds)
GRUP ÇALIŞMASI
Soru: Bir motorsikletin hız
yol ilişkisi (v-s
grafiği) şekilde
verildiği gibidir.
Buna göre a-s
grafiğini
oluşturunuz.
Motorun 400 ft lik
mesafeyi nekadar
zamanda alacağını
bulunuz.
10
GENEL EĞRİSEL HAREKET
Her bir uçağın x, y, z eksenlerinde
hareketi vardır ve zamana göre
değişmektedir.
Problem:
Uçakların herhangibir pozisyonunda
hız ve ivmelerini nasıl
hesaplayabiliriz?
Herbir uçağın hızı aynımıdır?
UYGULAMA
Bir lunaparkta şekildeki araba
dönerek aşağı doğru sabit bir
hızla kaymaktadır.
Problem:
Arabanın pozisyonunu ve
ivmesini nasıl hesaplarız?
Böyle bir eğlence aracında hız ve ivme neden
hesaplanmalıdır?
1
KONUM VE YERDEĞİŞTİRME ANALİZİ
Genel eğrisel harekette pozisyon analizi:
Maddesel cismin pozisyonu
vektör olarak r = r(t).
r nin hem şiddeti hem de
doğrultusu zamana göre değişir.
Yerdeğiştirme analizi:
vector çıkarma: Δ r =
r’ - r
HIZ ANALİZİ
Hız birim zamanda alınan yol veya cismin pozisyonundaki
zamana bağlı yerdeğişimidir.
Δt zaman aralığında cismin Ortalama
hızı
vavg = Δr/Δt .
v = dr/dt .
Hız, v, daima eğrisel yola teğettir.
Δr zaman sıfıra giderken (t→0) limit alınırsa
2
İVME ANALİZİ
İvme cismin hızındaki hız değişim oranıdır.
aavg = Δv/Δt = (v – v’)/Δt
a = dv/dt = d2r/dt2
İvmenin normal ve teğetsel bileşenleri
vardır.
EĞRİSEL HAREKETİN KARTEZYEN KOORDİNAT
SİSTEMİNDE İNCELENMESİ
Pozisyon analizi:
Yön vektörü
r=xi+yj+zk .
x, y, z bileşenleri zamanına bağlı
fonksiyondur
x = x(t), y = y(t), and z = z(t)
Yön vektörünün uzunluğu: r = (x2 + y2 + z2)1/2
Birim vektör: ur = (1/r)r
3
Hız Analizi
İvme Analizi
4
ÖRNEK
Şekildeki uçurtma x ve y eksenlerinde x=(30t) ft ve y=(9t2) ft ile yol almaktadır.
2 sn sonraki
(a) Uçurtmanın aldığı yolu
(b) Hızı ve yönünü
(c) İvmeyi ve yönünü bulunuz
ÖRNEK (devam)
Uçurtma ipinin aldığı şeklin foknsiyonun çıkarmak için her iki yöndeki
Denklemlerden t elimine edilir. t=x/30 Î y=9(x/30)2 Î
y = x2 /100
2 sn sonra Î
x=30(2)=60ft
y=9(2)2 =36 ft
Hız Analizi
5
ÖRNEK (devam)
İvme Analizi
Grup Çalışması
Verilen: İki maddesel noktanın (A ve B roketleri) hareketi
aşağıda verildiği gibidir.
rA = [3t i + 9t(2 – t) j] m
rB = [3(t2 –2t +2) i + 3(t – 2) j] m
Bul:
İki cisim çarpışma noktasını ve çarpışma hızlarını
bulunuz.
Plan: 1) Maddesel cisimlerin her ikisinin konumu aynı
olduğunda çarpışma gerçekleşir. (Aynı noktaya
geldiklerinde çarpışırlar) rA = rB .
2) Hızları pozisyon vektörlerinden bulunur.
6
EĞİK ATIŞ
EĞİK ATIŞIN UYGULANMASI
Fırlatılan nesne x-y koordinat sisteminde 2 aşamada incelenir.
• yatay yönde sıfır ivme
• dikey yönde sabit ivme (örneğin, yerçekimi ivmesi).
Kırmızı top durgun pozisyondan düşmeye
başlıyor.
Sarı top ise yatay yönde bir hızla ilerliyor.
1
YATAY YÖNDEKİ KİNEMATİK DENKLEMLER
ax = 0 olduğunda yatay yöndeki hız sabittir (vx = vox)
Öyleyse x yönündeki hareket:
x = xo + (vox)(t)
Neden ax =0 (cismin havadaki hareketini düşünün)?
DİKEY YÖNDEKİ KİNEMATİK DENKLEMLER
Pozitif y yukaru yönde ise, ay = -g :
• vy = voy – g t
• y = yo + (voy) t – ½ gt2
• vy2 = voy2 – 2g(y – yo)
2
ÖRNEK 1
Şekildeki bilya bir tüpün içinde hızlanıp yatay yönde 12 m/sn lik hızla dışarı
fırlıyor. Borunun yerden yüksekliği 6 m ise topun yatayda alacağı yolu
bulunuz (R=?).
ÖRNEK 1 (devam)
Dikey
Yatay
3
ÖRNEK 2
Şekildeki gibi bir top 5 ft yükseklikten eğik yönde 40 ft yüksekliğindeki bir
binanın üzerine doğru fırlatılıyor. Fırlatma hızı 70 ft/sn ve fırlatma açısı 60
derece ise R mesafesini bulunuz.
ÖRNEK 2 (devam)
Yatay
Dikey
4
ÖRNEK 3
Şekildeki bilgiler ışığında topun duvarın hemen üzerinden geçmesi için gerekli
ilk hız ve açısını bulunuz. Top duvarın üstünde maksimum yüksekliğe ulaşıyor.
Not: Topun çapını dikkate almayınız.
ÖRNEK 3 (devam)
Yatay
Dikey
5
GRUP ÇALIŞMASI
Verilen:Kayakcı rampadan
θA = 25o lik bir açıyla
fırlıyor.
Bul: Kayakcının ilk hızını
bulunuz (vA).
Plan: ???
GRUP ÇALIŞMASI
Verilen:Kayakcı rampadan
θA = 25o lik bir açıyla
fırlıyor.
Bul: Kayakcının ilk hızını
bulunuz (vA).
Plan: A noktasına x,y kordinat sistemini kurunuz (çözümde
0 noktası A noktası olacak). x ve y deki Kinematik
denklemleri kullanarak çözünüz..
6
EĞRİSEL HAREKET:
NORMAL VE TEĞETSEL KOORDİNAT SİSTEMİ
n-t KOORDİNAT SİSTEMİNDE HIZ
Hız vektörü herzaman
teğetseldir.
v = vut
Î
v = ds/dt
ut birim vektör.
7
n-t KOORDİNAT SİSTEMİNDE İVME
.
n-t KOORDİNAT SİSTEMİNDE İVME
.
.
8
n-t KOORDİNAT SİSTEMİNDE İVME
.
.
Problem Çözümünde İzlenecek Yol
Koordinat sisteminin belirlenmesi
Hız analizi Î
İvme analizi Î
Teğetsel ivme
s = so + vot + (1/2)(at)ct2
v = vo + (at)ct
v2 = (vo)2 + 2(at)c(s – so)
Normal ivme
9
ÖRNEK 1
Şekildeki yarış arabası durgun pozisyonda iken 7 ft/sn2 lik sabit ivmeyle hızını
artırmaya başlıyor. 8 ft/sn2 lik ivmeye ne kadar zamanda ulaşır ve hızı ne olur.
ÖRNEK 1 (devam)
10
ÖRNEK 2
Duran bir araba A noktasından harekete başlıyor. Hareket boyunca ivmesi
at=(0.2t) m/sn2 ise aracın B noktasındaki ivmesini bulunuz.
ÖRNEK 2 (devam)
11
Grup Çalışması
Verilen: Başlangıçta duran bir
motorbot yarıçapı ρ = 50 m
olan eğrisel harekete başlıyor.
Bu hareket sırasında hız
v = (0.2 t2) m/s dir.
Bul: 3 sn sonraki motorbotun hız
ve ivmesini bulunuz.
Plan: bot başlangıçta duruyor (v = 0 when t = 0).
1) t = 3s sonraki hızı bul. v(t).
2) ivmenin normal ve teğetsel bileşenlerini bul. Sonra
da ivmenin uzunluğunu bul.
12
EĞRİSEL HAREKET: SİLİNDİRİK / POLAR KOORDİNAT
SİSTEMİ
UYGULAMA
Silindirik koordinatlar
genellikle helisel eğri
hareketlerde kullanılır.
Problem:
Çocuk helisel kaydıraktan
aşağı doğru 2 m/s lik sabit
hızla kayıyor. Kaydırağın
eğimini hesaplayınız.
POZİSYON (POLAR KOORDİNAT SİSTEMİ)
r = rur
1
HIZ (POLAR KOORDİNAT)
İVME (POLAR KOORDİNAT)
2
SİLİNDİRİK KOORDİNAT SİSTEMİ
PROBLEM ÇÖZÜMÜNDE İZLENECEK YOL
Koordinat sisteminin belirlenmesi
Gerekli türev ve integrallerin alınması
Hız analizi
İvme analizi
3
ÖRNEK
OA çubuğu yatay yönde θ=(t3) rad ile dönüyor. Aynı zamanda
B bileziği yukarı doğru kayıyor ve r=(100t2) mm. Bir sn sonra
Bilezikteki hız ve ivmeyi hesaplayınız.
ÖRNEK (devam)
Hız Î
4
ÖRNEK (devam)
İvme Î
GRUP ÇALIŞMASI
Verilen:
r = 5 cos(2θ) [m]
θι = w= 3t2 [rad/s]
θo = 0
Bul: θ = 30° iken hız ve ivme
. ..
Plan: r ve r değerlerini θ = 30° iken bul
Çözüm:
t
t
.
θ = ∫ θ dt = ∫ 3t2 dt = t3
to= 0
θ = 30° ise
θ=
0
π
= t3. Î t = 0.806 s.
6
.
θ = 3t2 = 3(0.806)2 = 1.95 rad/s
5
İKİ MADDESEL NOKTANIN BİRBİRİNE
GÖRE BAĞIL HAREKETİ
Î
İKİ MADDESEL NOKTANIN BİRBİRİNE
GÖRE BAĞIL HAREKETİ
Birinci yöntem
1
İKİ MADDESEL NOKTANIN BİRBİRİNE
GÖRE BAĞIL HAREKETİ
İkinci yöntem
Örnek 1
B bloğu yukarı doğru hareket
ediyorsa A bloğunun hızını
ve yönünnü bulunuz
2
Örnek 2
A bloğunun hızını
ve yönünnü bulunuz
BAĞIL HAREKET ANALİZİ
Konum analizi:
3
BAĞIL HAREKET ANALİZİ (devam)
Hız analizi:
İvme analizi:
Örnek 1
Bir tren 60 mil/saat lik sabit hızla şekilde görüldüğü gibi yol
alıyor. Eğer araba 45 mil/saat lik sabit hızla ilerliyor ise trenin
arabaya göre bağıl hızını bulunuz.
Sorulan:
vT/A =?
4
Örnek 1 (devam)
Birinci Yöntem:
Örnek 1 (devam)
İkinci Yöntem:
5
Örnek 2
İki uçak aynı yükseklikte uçuyor. A uçağı aynı doğrultuda
uçarken B uçağı bir daire çiziyor. A plotu tarafından B uçağının
hangi hız ve ivmede hissedildiğini bulunuz.
İstenen: ?
Örnek 2 (devam)
Hız:
İvme:
6
BÖLÜM II
Maddesel Noktanın Kinetiği:
Kuvvet ve İvme
Bir objedeki hareket ona etki eden kuvvetlere bağlıdır
UYGULAMA
Sistemdeki asansör ipe bağlanmış bir
motor sayesinde aşağı yukarı hareket
etmektedir.
Problem:
Asansörü kaldıran kablodaki çekme
kuvvetini nasıl bulabiliriz?
Kablodaki çekme kuvveti asansörün toplam
ağırlığından fazlamıdır?
1
NEWTONUN HAREKET KANUNLARI
Newton’un üç hareket denklemi:
1. kanun: Başlangıçta duran veya düz bir çizgi boyunca sabit
hızla ilerleyen bir cisime etkiyen kuvvetler sıfırsa aynı durumunu
korur.
2. kanun: Eğer etkiyen kuvvetler sıfıra eşit değilse, cisim etkiyen
kuvvetle aynı yönde ivmelenir. İvme etkiyen kuvvetle orantılıdır.
3. kanun: İki cisim arasındaki etki ve tepki kuvvetleri eşit, zıt
yönlü ve aynı eksendedir.
2
NEWTONUN HAREKET KANUNLARI (devam)
F = ma
F partiküle veya maddesel cisme etki eden kuvvet.
a ivme
m cismin kütlesi
Kütle ve Ağırlık:
W = mg
Birimler:
F=ma için birim (Kütle uzunluk / zaman2)
Metrik (SI):
Uzunluk Zaman Kütle
metre
sn
kg
Metrik Yerçekimi:
metre
sn
İngiliz Sistemi:
foot
sn
lb
İngiliz yerçekimi:
foot
sn
slug
(lb/g)
metrik slug
(kg/g)
Kuvvet
N = kg·m/s2
kg
poundal
= lb·ft/s2
lb
3
NEWTONUN HAREKET KANUNLARI (devam)
BİR SİSTEMDEKİ HAREKET DENKLEMLERİ
4
HAREKET DENKLEMLERİ: Kartezyen koordinat sistemi
ÖRNEK 1
50 kg kütlesindeki kasaya 400N luk bir kuvet uygulanıyor.
Kinetik sürtünme katsayısı 0.3 ise kuvvet uygulanmaya
başladıktan 5 sn sonraki kasanın hızını bulunuz.
Serbest Cisim Diyagramı Î
5
ÖRNEK 1 (devam)
Sürtünme kuvvetiÎ
Hareket Denklemleri:
Î
Kinematik:
ÖRNEK 2
10 kg kütlesindeki bir top güllesi dikey yönde 50 m/sn lik
hızla ateşleniyor. Güllenin ulaşacağı maksimum yüksekliği
(a) Hava sürtünmesini dikkate almadan
(b) Fhava =(0.01v2) N luk hava sürtünmesi için hesaplayınız.
6
ÖRNEK 2 (devam)
(a) Serbest Cisim Diagramı:
Hareket Denklemi
Kinematik
ÖRNEK 2 (devam)
(b) Serbest Cisim Diagramı:
Hareket Denklemi
Kinematik
7
ÖRNEK 3
Şekildeki 100 kg kütlesindeki A bloğu serbest bırakılıyor.
Eğer makara ve ipin ağırlığı dikkate alınmazsa, 20 kg
kütlesindeki B bloğunun 2 sn sonraki hızını bulunuz.
ÖRNEK 3 (devam)
A ve B bloklarındaki hareketler ayrı ayrı incelenir.
Serbest Cisim Diagramları:
Hareket
denklemleri:
8
ÖRNEK 3 (devam)
Kinematik:
9
HAREKET DENKLEMLERİ:
NORMAL VE TEĞETSEL KOORDİNAT SİSTEMİ
Uygulama:
Yarış pistleri genellikle virajlarda
arabaların kaymaması için hafif
meyilli ve sürtünme katsayısını
artırmak için daha pürüzlü yapılır.
PROBLEM:
Arabanın virajda kaymadan
maksimum hız ve min sürtünmeyle
gitmesi için (θ) açısı ne olmalıdır?
NORMAL VE TEĞETSEL KOORDİNAT SİSTEMİ (devam)
1
n-t koordinat sisteminde problem çözümü
• n-t koordinatlarını, bir nesne bilinen bir eğrisel yolda
ilerliyorsa kullan.
• n-t koordinat sistemini oluştur.
• Serbest cisim diyagramını ve kinetik diyagramları çiz.
normal ivme (an) teğetsel ivme (at) leri çizerken dikkat et.
• hareket denklemini yaz ve çöz.
• kinematik denklemler:
at = dv/dt = v dv/ds
an = v2/ρ
ÖRNEK 1
Şekildeki araba eğimli bir virajda yol alıor. Tekerlek ile yol
Arasında sürtünme olmadığı durumda bile arabanın sağa veya
sola kaymadan yol alması için gerekli açıyı (θ) bulunuz.
Arabanın hızı sabit olup 100 ft/sn dir.
2
ÖRNEK 1 (devam)
Serbest Cisim Diyagramı Î
Hareket denklemleri:
ÖRNEK 2
Şekildeki blok 2kg kütlesinde olup 1 m/sn lik ilk hızla sürtünmenin
yok sayıldığı pürüzsüz bir yüzeyde aşağı doğru kayıyor. Bloğun
yüzeyden ayrıldığı açıyı bulunuz (θ=?).
3
ÖRNEK 2 (devam)
Serbest Cisim Diyagramı Î
Hareket denklemleriÎ
ÖRNEK 2 (devam)
Kinematik analiz Î
4
GRUP ÇALIŞMASI
Soru: 200 kg lık snowmobil
yokuştan aşağı iniyor. A
noktasına geldiğinde 4 m/s lik
hıza ulaşıyor ve 2 m/s2 lik
ivmeyle hızlanmaya devam
ediyor.
Bul:
A noktasındaki oluşan normal kuvvet ve sürtünme
kuvvetini bulunuz.
Plan: 1) snowmobili maddesel cisim olarak kabul et. Serbest
cisim diyagramını ve kinetik diyagramı çiz.
2) n-t koordinat sisteminde hareket denklemlerini kullan.
3) A noktasındaki eğimi ve yarıçapı hesapla.
GRUP ÇALIŞMASI (devam)
Çözüm:
1) n-t koordinat sistemini kullanarak A noktasındaki serbest
cisim diyagramını çiz. Snowmobil ve sürücüyü maddesel
nokta olarak kabul et.:
W
θ
F
N
n
=
θ
t
man
n
mat
t
W = mg = snowmobil ve sürücünün ağırlığı
N = normal kuvvet (yerin tepkisi)
F = sürtünme kuvveti
5
HAREKET DENKLEMLERİ:
SİLİNDİRİK KOORDİNAT SİSTEMİ
r, θ , ve z koordinatları kullanılır :
SİLİNDİRİK KOORDİNAT SİSTEMİ
İVME
6
Teğetsel ve Normal Kuvvetler
ψ Açısının Hesaplanması
tan ψ =
r dθ
r
=
dr
dr d θ
ψ saat yönünün tersinde positif değer alır.
7
ÖRNEK
2 lb kütlesindeki maddesel cisim şekildeki gibi bir yolda ilerliyor.
İlerleme yönleri r=(10t2) ft ve θ=(0.5t) rad dır. 1 sn sonraki F
kuvvetini bulunuz.
Çözüm:
serbest cisim diagramı
ÖRNEK (devam)
Hareket Denklemi
Hareket Denklemi
8
BÖLÜM III
Maddesel Noktanın Kinetiği:
İş ve Enerji
Bir Kuvvetin Yaptığı İş:
İş: Kuvvet x Yol
1
Değişken Bir Kuvvetin Yaptığı İş:
Düzgün Doğrusal Hareket Yapan Bir Kuvvetin Yaptığı İş:
2
Bir Cismin Ağırlığının Yaptığı İş:
Yay Kuvvetinin Yaptığı İş:
3
Yay Kuvvetinin Yaptığı İş (devam):
Yaylar basmaya maruz kaldığında yapılan iş negatif olur.
(Bu genel bir kabuldür. Bazen iş koordinat sistemine göre de
değerlendirilir. – veya + iş.)
ÖRNEK
Yayın ucuna bağlı 10 kg kütlesindeki bir küp pürüzsüz bir
yüzeyde durgun vaziyette iken P=400N luk bir kuvvet
uygulanıyor. Küpün s=2m hareket etmesi durumunda
yapılan işi bulunuz.
4
ÖRNEK (devam)
Yatay Kuvvet Î
veya
Yay Kuvveti Î
Ağırlık Î
veya
Normal Kuvvet Î alınan yol olmadığı için iş sıfır.
Toplam iş Î
İŞ VE ENERJİ PRENSİBİ
5
BİR SİSTEM İÇİN İŞ VE ENERJİ PRENSİBİ
Sürtünme Kuvvetinin Etkisi
6
ÖRNEK
10 kg kütlesindeki bir cisim şekildeki gibi C noktasından
A noktasına kadar yay sıkıştırılarak itiliyor ve bu durumda
yay 0.2 m sıkışmış oluyor. Bu konumda iken cisim serbest
bırakıldığında D noktasına ulaştığındaki hızını bulunuz.
Cisim yaya bağlı değildir. Cisimile yüzey arasındaki kinetik
Sürtünme katsayısı 0.2 dir.
ÖRNEK (devam)
7
ÖRNEK
2 kg kütlesindeki bir blok v0 =1 m/sn lik ilk hızla pürüzsüz yarıçapı
0.5m olan bir silindirin yüzeyinden aşağı doğru kayıyor. Bloğun
silindirin yüzeyinden ayrılmaya başladığı andaki yaptığı açıyı
hesaplayınız.
ÖRNEK (devam)
8
GÜÇ VE VERİM
Güç: Birim zamanda yapılan iş.
Î
Güç birimleri:
Verim: Bir sistemin çıkış gücü ile giriş gücü arasındaki orandır
veya güç yerine enerji de kullanılabilir.
Başka bir tanımı ise alınan güç ile verilen güç arasındaki
orandır.
1
ÖRNEK
2 ton kütlesindeki spor arabanın motor verimi 0.63 dür. Araba
doğrusal hareket halinde iken havanın sürtünme kuvveti
Fhava =1.2v2 N dur. Eğer araba 50m/sn lik sabit hızla ilerliyorsa,
motorun maksimum gücünü bulunuz.
ÖRNEK (devam)
2
Potansiyel Enerji
Yerçeki ile oluşan potansiyen enerji
Potansiyel Enerji (devam)
Elastik potansiyen enerji
3
Toplam Potansiyel Enerji
Toplam Potansiyel Enerji (devam)
4
Enerjinin Korunumu
1. Durum
2. durum
3. Durum
ÖRNEK
100kg kütlesindeki R cismi 0.75m
yukarıdan yayların üzerine serbest
olarak bırakılıyor. Şekildeki iç içe
geçirilmiş iki yay için gerekli veriler
verilmiştir. Buna göre cismi
durdurmak için yayların ne kadar
küçüleceklerini bulunuz.
5
ÖRNEK (devam)
Potansiyel Enerji:
ÖRNEK (devam)
Enerjinin Korunumu:
6
BÖLÜM IV
Maddesel Noktanın Kinetiği:
İmpuls ve Momentum
Lineer İmpuls ve Momentum Prensibi
Hareket Denklemi:
Lineer İmpuls ve Momentum Prensibi:
1
Lineer İmpulsÎ
Lineer MomentumÎ
Lineer İmpuls ve Momentum PrensibiÎ
2
ÖRNEK 1
100 kg kütlesindeki kasaya durgun iken 200N luk bir kuvet
uygulanıyor. Kuvvet uygulanmaya başladıktan 10 sn sonraki
kasanın hızını ve etkiyen normal kuvveti bulunuz.
Serbest Cisim Diyagramı Î
ÖRNEK 1 (devam)
Lineer İmpuls ve Momentum PrensibiÎ
Yatay
Dikey
3
ÖRNEK 2
Eğer şekildeki sistem sebest bırakılırsa 6 sn sonra B bloğunun
hızını bulunuz.
ÖRNEK 2 (devam)
Serbest Cisim DiagramıÎ
A Bloğu:
B Bloğu:
Kinematik:
4
Bir Sistemdeki Lineer Momentumun Korunumu:
ÖRNEK 3
15 Ton kütlesindeki A vagonu sebest olarak 1.5 m/sn lik hızla
yol alıyor. 12 ton kütlesindeki diğer vagon ise ters yönde 0.75 m/sn
lik hızla A vagonuna doğru ileliyor. İki vagonun birleşme anındaki
hızlarını bulunuz. Birleşmeden 0.8 sn sonra ortalama tepki kuvvetini
hesaplayınız.
5
ÖRNEK 3 (devam)
Serbest Cisim DiagramıÎ
Lineer momentumun korunumu
Serbest Cisim Diagramı:
Lineer impuls ve momentum prensibi:
6
Darbe (İmpact)
Normalden daha büyük bir kuvvetle çok kısa bir süre için (anlık
olarak) iki cisim birbirine çarparsa darbe oluşur.
İki türlü darbe vardır. Bunlar: merkezsel darbe ve meyilli darbe
Merkezsel Darbe:
Eğer çarpışan iki cismin
ağırlık merkezlerinin hareket
yönü aynı ise buna çizgisel
darbe veya merkezsel denir.
1
2 pürüzsüz cisim aynı
ağırlık merkezinde hareket
etmekte ve A nın hızı B
den daha büyük olduğu için
çarpışma kaçınılmazdır.
Şekil (a)
2 cisim deformasyona uğruyor
2 cisimin hızlarının aynı olduğu an
maksimum deformasyon oluşur.
Cisimler elastik veya plastik
deformasyona uğrar. Enerji kaybı
oluşur.
Hemen ayrılma gerçekleştikten
sonra cisimler son
momentumlarına sahip olurlar.
2
Sistemdeki momentum
Herbir cisim için impuls ve momentum prensibini uygularsak
Şekil (c, d ve e) deki kayıp
Başlangıçtaki impuls ile deforme olmuş cisimdeki impuls
arasındaki oran kayıp oranı (e) na eşittir.
Aynı oran B cismi içinde geçerlidir.
2 denklemdeki (A ve B için) v elimine edilirse
3
Meyilli Darbe:
iki cisim farklı açılarla birbirine
çarparsa buna meyilli denir.
Şekildeki meyilli darbede 4 bilinmeyen vardır. Bunlar:
4
ÖRNEK
Serbest Cisim Diyagramı Î
5