Matematik - İhtiyaç Akademi

ORTAÖĞRETİM MATEMATİK
ORTAÖĞRETİM MATEMATİK
ORTAÖĞRETİM MATEMATİK
ORTAÖĞRETİM MATEMATİK
LİMİT
Ortalama Değer Teoremi: (Lagrange O.D.T.)
L’hospital Kuralı
f : [a, b] " R fonksiyonu sürekli ve 6x0 d (a, b) noktasında türevli olsun. Bu
durumda (a, b) aralığında
f ve g, [a, b] üzerinde sürekli ve x0 d (a, b) için
f ( x)
0
3
=
belirsizlikleri varsa
lim
veya
x " x 0 g (x)
3
0
lim
x " x0
f l ( x)
g l (x)
f l (x 0) =
İNTEGRAL
f (b ) - f ( a)
b-a
ii)
olacak şekilde en az bir x0 noktası vardır.
iii)
Cauchy Genelleştirilmiş Ortalama Değer Teoremi
= L dir.
f ve g fonksiyonlarının [a, b] aralığında sürekli, (a, b) açık aralığında türevli
ve ayrıca (a, b) boyunca g′(x) ! 0 olduğunu varsayalım. Bu durumda (a, b)
aralığında;
TÜREV
Türevin Geometrik Anlamı
f l (c )
f fonksiyonu x0 noktasında türevlenebilir olsun. f l (x 0) türevi, y = f(x) eğrisine
(x0, f(x0)) noktasından çizilen teğetin eğimine eşittir.
g l ( c)
Teğetin Denklemi: y – f(x0) = f l (x0) : (x – x0) olur.
=
f (b ) - f (a )
g (b ) - g (a )
Artan ve Azalan Fonksiyonlar
f, [a, b] aralığında sürekli ve (a, b) açık aralığında türevli olsun.
Eğer integrand bir üstelle, bir sinüsle ya da kosinüsle veya hemen integre edilebilen bir başka fonksiyonla çarpılmış bir polinom içeriyorsa
u yu polinoma ve kalan ifadeyi dv ye eşitleriz.
Eğer integrand bir logaritma, bir ters trigonometrik fonksiyon ya da hemen integre edilemeyen fakat türevi çabuk hesaplanabilen bir başka
fonksiyon içeriyorsa o fonksiyon için u ve kalanı için dv alınır.
Yukarıda verilen bilgileri kısaca LAPTÜ şeklinde özetleyebiliriz. Bunun anlamı u tercihinde öncelik sıralaması logaritma, arc, polinom,
trigonometrik ifade ve üssel ifade şeklindedir.
iv) Elbette, bu kuralların hiçbir garantisi yoktur. Kalan kısım uygun biçimde değilse, yardımcı olmakta başarısız olabilirler. Herhangi bir standart teknikle ters diferansiyeli alınamayabilen çok fonksiyon vardır, en
TAYLOR VE MACLAURİN SERİLERİ
Bu yöntem döndürülen eksen integrasyon değişkenini temsil eden eksene
dik ise kullanılır.
f fonksiyonu, bir a noktasını içeren bir aralıkta her mertebeden türevlenebilir
bir fonksiyon olsun. Bu durumda f tarafından x = a noktasında üretilen Taylor
Serisi aşağıdaki gibi tanımlanır;
y = F(x), y = f(x) eğrileri ile x = a, x = b doğrularıyla sınırlı bir bölgenin x = x0
doğrusu etrafında döndürülmesiyle meydana gelen dönel cismin hacmi:
b
V x = x 0 = 2r :
# | x0 - x | : [F (x) - f (x)] dx
Dönme ekseni döndürülen bölgenin sağında ise
Eğer 6x0 d (a, b) için f ′′(x) > 0 ise f, [a, b] üzerinde konveks (dışbükey)dir.
y = f(x), y = g(x) eğrileri ile x = a ve y = b doğruları arasında kalan bölgenin alanı
–
+
i)
Eğer
#
ii)
a
#
g (x) dx yakınsak ise
Eğer
f (x) dx de yakınsaktır.
#
3
f (x) dx ıraksak ise
a
#
Fermat Teoremi
Eğer 6x0 d (a, b) için f ′′(x0) < 0 ise f [a, b] üzerinde konkav (içbükey)dir.
+
–
HACİM HESABI
g (x) dx de ıraksaktır.
i) f ′′(c) > 0 ise c de yerel minimum vardır.
ii) f ′′(c) < 0 ise c de yerel maksimum vardır.
Rolle Teoremi
y = f(x) eğrisi y = y0, x = a ve x = b doğrularıyla sınırlı bir bölgenin y = y0 doğrusu etrafında döndürülmesinden meydana gelen dönel cismin hacmi;
b
Bir fonksiyonun grafiğinin teğet doğrusuna sahip olduğu ve konkavlığının değiştiği noktaya büküm noktası denir.
Vy = y 0 = r :
# [y0 - f (x)] 2 dx
an + 1
oraOran testinde bir serinin ne kadar hızla büyüdüğünü (veya küçüldüğünü)
an
nına bakarak anlamaya çalışırız.
/a
n
an + 1
= P olduğunu varsayalım. Eğer
n " 3 an
y = g (x) ve y = f (x) eğrileri ile x = a ve x = b doğrularıyla sınırlı bölgenin y = y0
f ve g, [a, b] üzerinde sürekli ve x0 d (a, b) için
doğrusu etrafında döndürülmesiyle meydana gelen dönel cismin hacmi
f ( x)
=
x k = f (0 ) + f l (0 ) x +
f ll (0)
2!
x 2 + ... +
f l ( x)
0
3
= L dir.
belirsizlikleri varsa lim
veya
x " x 0 g l (x)
3
0
Vy = y 0 = r :
# 9_y0 - g (x)i2 - _y0 - f (x)i2C dx
a
Eğer
x n + ...
(1)
I(x, y) = e ' g (x) dx
n
2M 2N
1
:f
p = h (y)
2y
2x
M
denklemi sadece y nin bir fonksiyonu ise o zaman
KÖK TESTİ
/a
1 2M 2N
:f
p = g ( x)
2y
2x
N
sadece x in bir fonksiyonu ise o zaman
serisi n ≥ N için an ≥ 0 ile verilmiş olsun ve lim
n"3
yalım. Eğer
n
I(x, y) = e - ' h (y) dy
a n = P olduğunu varsa-
Eğer M = y:f(x, y) ve N = x:g(x, y) ise o zaman
a) P < 1 ise seri yakınsaktır.
I(x, y) =
c) P = 1 ise test sonuç vermez.
1
xM - yN
olur.
-2-
n!
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0
b) P > 1 ise seri ıraksaktır.
f(a) = f(b) ise f l (c) = 0 olmak üzere en az bir c d (a, b) vardır.
-1-
f (n) (0)
denklemi genel olarak tam değildir. Bu denklem basit bir çarpma ile tam diferansiyel denkleme dönüştürülür. Bir I(x, y) fonksiyonu eğer
Eğer
Pul Yöntemi
g (x)
(x - a) n + ......
İNTEGRAL ÇARPANLARI
pozitif terimli bir seri olsun ve lim
c) p = 1 ise test sonuç vermez.
L’hospital Kuralı
lim
( x - a) 2 +
DİFERANSİYEL DENKLEMLER
b) p > 1 ise seri ıraksaktır.
(x0, f(x0)) büküm noktasında ya f ll (x0) = 0 dır ya da f ll (x0) mevcut değildir.
x " x0
k!
a) p < 1 ise seri yakınsaktır.
a
b
f : [a, b] " R fonksiyonu [a, b] kapalı aralığı üzerinde sürekli, (a, b) açık aralığı
üzerinde türevli ve
n!
2!
I(x, y):[M(x, y):dx+N(x, y):dy] = 0
D’ALEMBERT ORAN TESTİ
Disk Yöntemi
Dönüm (Büküm) Noktası
f, (a, b) de türevli, f l (c) = 0 ve f ll (c) var ve sıfırdan farklı ise
f n ( a)
f ll (a)
(2)
denklemi tamsa (1) nolu denklem için bir integral çarpanıdır. (1) nolu denklemin çözümü (2) ile tanımlanan tam diferansiyel denklem çözülerek elde edilir.
f : [a, b] " R fonksiyonunun bir c d (a, b) noktasında yerel ekstremumu varsa
ve f, c noktasında türevli ise f l (c) = 0 dır.
Yerel Ekstremum Değerleri
k=0
a
6x d (a, b) için f l (x) > 0 ise f, [a, b] de artandır.
) < 0 ise f, [a, b] de azalandır.
f (k) (0)
a
3
# [f (x) - g (x)] dx
3
/
3
a
b
A=
( x - a ) k = f (a ) + f l ( a ) ( x - a ) +
olarak tanımlanır, yani x = 0 daki Taylor Serisi’dir. Genelde f tarafından üretilen Macluarin serisi, f in Taylor Serisi olarak tanımlanır.
3
ALAN HESABI
k=0
k!
f tarafından üretilen Maclaurin serisi
|x0 – x| = x0 – x ve solunda ise |x0 – x| = x – x0 alınır.
f ve g fonksiyonları [a, 3) aralığında sürekli ve her x ≥ a için 0 ≤ f(x) ≤ g(x)
olsun. Bu durumda,
İNTEGRAL UYGULAMALARI
f (k) (a)
......... +
Doğrudan Karşılaştırma Testi
Konkav ve Konvekslik
3
/
a
DİZİLER – SERİLER
olacak şekilde bir c d (a, b) sayısı vardır.
ORTAÖĞRETİM MATEMATİK
Kabuk Yöntemi
2
yaygın örneği ex dir.
Sürekli f : [a, b] " R fonksiyonunun (a, b) üzerinde
ikinci mertebeden türevi var olsun.
TÜREVLE İLGİLİ TEOREMLER
i)
ORTAÖĞRETİM MATEMATİK
-3-
-4-
-5-
ORTAÖĞRETİM MATEMATİK
LİNEER (DOĞRUSAL) DİFERANSİYEL DENKLEMLER
y l + P_xiy = Q_xi denklemine de lineer homojen olmayan (ikinci taraflı) denklem denir.
⇒ 1. mertebeden lineer diferansiyel denklemde P ve Q, x in sürekli fonksiyonlarıdır.
⇒ P(x) = 0 veya Q(x) = 0 durumlarında, değişkenlerine ayrılabilir denklem
olur.
⇒ Eğer Q(x) = 0 ise
ORTAÖĞRETİM MATEMATİK
YERİNE KOYMA (BERNOULLİ) YÖNTEMİ
2) Sıfırdan farklı bir vektör v olsun. Bu durumda
kv = 0, v ! 0 ise k = 0
olduğundan, tek başına v nin kendisi lineer bağımsızdır.
y = u(x):v(x)
şeklinde iki bilinmeyen fonksiyonun çarpımı şeklinde ararsak:
y l = ul v + v l : u
y ve y l ifadelerini
y l + P _ x i y = Q _ x i denkleminde yerine yazarsak
u l v + v l u + P _ x i : uv = Q _ x i
y l + P_xiy = 0
denklemine birinci mertebeden homojen diferansiyel denklem denir.
u:
dv
du
+ v :d
+ p_xi : u n = Q_xi dx
dx
v(x) in katsayısı sıfır olacak şekilde v belirtilirse;
du
+ Pu = 0
dx
SABİTLERİN DEĞİŞTİRİLMESİ (LAGRANGE KURALI)
du
du
= - Pu &
= - P _ x i : dx
u
dx
y′ + P(x)y = Q(x)
Q(x) = 0 durumu düşünülürse
ln u = -
y′ + P(x) y = 0
dy
dx
+ P_xiy = 0 &
dy
dx
= - P_xiy &
#
dy
=y
ln y = ln
y = k:e
- # P_ x idx
y
k
=-
# P_xidx
# P_xidx + ln k
# P_xidx
# P_xidx
v 1 - kv 2 + 0v 3 + ... + 0 : v m = 0
4) İki v1 ve v2 vektörünün lineer bağımlı olması için gerek ve yeter şart birisinin diğerinin bir katı olmasıdır.
5) Eğer
{v1, v2, ..., vm}
kümesi lineer bağımsız ise bu vektörlerin herhangi bir
{v i 1, v i 2, ..., v i m} sıralaması da lineer bağımsızdır.
e
dv
= Q_xi
dx
- # P_ x idx
y _ x i = e - # P_ x idx : (
# Q_xi : e # P x dx : dx + c 2 bulunur.
_ i
H, G nin ikili işlemine kapalıdır.
ii. G nin e birim elemanı H dedir.
+e
– # P_ x idx
: kl
denklemde yerine yazılırsa,
y _ x i = e – # P_ x idx : (
# e # P x dx : Q_xi : dx + c 2 _ i
LİNEER CEBİR
1) 0 vektörünün v1, v2, ..., vm vektörlerinden biri olduğunu kabul edelim. Örneğin v1 = 0 olsun. Bu durumda v1 vektörünün katsayısı sıfırdan farklı
olmak üzere aşağıdaki lineer birleşime sahip olduğundan dolayı vektörler
lineer bağımlı olmak zorundadırlar:
Sonlu bir grubun bir elemanın mertebesi grubun mertebesini böler.
Her devirli grup Abelyen’dir. Bu teoremin tersi doğru değildir. Mesela;
(Q, +), (Q*, :), (R, +), (R*, :), (C, +), (C*, :) grupları devirli olmayan abelyen
gruplardır.
Sonlu bir grupta her elemanın mertebesi, grubun mertebesini böler.
Sonlu parçalanamaz abelyen gruplar tam olarak asal üslü mertebeli olan devirli gruplardır.
bağıntısı bir denklik bağıntısıdır ve H nin bütün sol kalan sınıfları aynı sayıda
elemana sahiptir. Örneğin,
Sonuç – 14:
(Z, +) grubu ve bu grubun 3Z alt grubu verilsin. 3Z nin sol kalan sınıfları:
(R, +, :) bir halka ve S 1 R olsun. S nin R nin alt halkası olması için gerek
ve yeter koşul
ii.
Sonuç – 3:
n pozitif tam sayı olsun. Eğer a bir tam sayı ve ebob(a, n) = 1 ise
a z (n) / 1 (mod n)
Her a, b d S için a – b d S
iii. Her a, b d S için ab d S olmasıdır.
/ 1 (mod P) dir.
Buna göre yukarıdaki teoremi tek bir koşul ile ifade etmek istersek;
Sonuç – 7:
“ H 1 G, 6a, b d H için a : b -1 ! H ise H # G dir”
Mertebesi sonsuz olan devirli bir G grubu (Z, +) grubuna izomorftur.
Sonuç – 8:
G ve GI iki grup olsun. G den GI ye bire-bir, örten ve 6x, y d G için
5. Bir cismin kendisinden başka hiçbir alt cismi yoksa bu cisme bir asal cisim
denir.
6. Herhangi bir n tam sayısı için Zn halkasında sıfırın bölenleri, n ile aralarında
asal olmayan sayılardan oluşur.
EK BİLGİLER
Örneğin, Z12 de sıfırın bölenleri 2, 3, 4, 6, 8, 9 ve 10 dur.
Yani x d Z12 sıfırın bir böleni ise ebob(12, x) ≠ 1 dir.
(G, 5) ve (H, 9) iki grup olsun
f: G " H bir fonksiyon ve f grup işlemlerini koruyorsa yani f (a) 9 f (b)
6a, b d G için f (a 5 b) = f (a) 9 f (b) oluyorsa f ye G den H ye bir grup homomorfizması veya kısaca homomorfizma denir.
Eğer f : G " H tanımlanan grup homomorfizması bire-bir ise f ye monomorfizma denir.
Eğer f : G " H tanımlanan bire-bir grup homomorfizması örten de oluyorsa G
ile H gruplarına izomorfiktirler veya eş yapılıdırlar denir ve G , H ile gösterilir.
G den G ye izomorfizmaya G nin bir otomorfizması denir.
z (xy) = z (x) : z (y)
n bir asal sayı ise Zn halkasında hiçbir sıfır bölen yoktur, yani Zn sıfır bölensizdir.
7. H, birimli ve değişmeli bir halka olsun. Eğer H halkası sıfır - bölensiz ise H
ye bir tamlık bölgesi adı verilir. P bir asal sayı ise Zp bir tamlık bölgesidir.
Bu durumda Z2, Z3, Z5, .... tamlık bölgesi örnekleri oluşturur.
8. Her V cismi bir tamlık bölgesidir.
9. (Z, 5 , 9) ; birleşmeli, birimli ve sıfır bölensiz bir halka olduğundan bir tamlık
bölgesidir.
10. Her sonlu tamlık bölgesi bir cisimdir.
koşulunu sağlayan z : G " G dönüşümüne bir grup izomorfizması adı verilir.
I
-8-
2 + 3Z = # .... - 4, - 1, 2, 5, 8,... -
Her cismin asal bir alt cismi vardır.
Homomorfizma
Sonuç – 5: (Fermat’ın Küçük Teoremi)
Eğer P asal, a bir tam sayı ve P, a yı bölüyor ise a
0 + 3Z = # .... - 9, - 6, - 3, 0, 3, 6,... -
1 + 3Z = # .... - 8, - 5, - 2, - 1, 1, 4, 7,... -
i. S ≠ {0R}
n
P-1
4. G bir grup ve H, G nin bir alt grubu olsun.
a / b (mod H) , a -1 b d H
m, sonlu bir abelyen grup G nin mertebesini bölerse o zaman G nin m mertebeli bir alt grubu vardır.
Sonuç – 1:
Bu durumda mertebesi n olan izomorf olmayan abelyen grup sayısı
P (a 1) : P (a 2) ...P (a m) dir.
Sonuç – 13:
iii. Her a d H için a d H dır.
1 : v 1 + 0 : v 2 + ... + 0 : v m = 1 : 0 + 0 + ... + 0 = 0
-7-
am
| G | = n = P 1a 1 : P 2a 2 : ... : P m
olsun.
Sonuç – 11:
Bir G grubu iki öz aşikar olmayan alt grubun bir direkt çarpımına izomorf ise
parçalanabilirdir. Aksi halde, G parçalanamazdır.
(G, :) devirli bir grup ise G = < a > = {a n : n d Z} dir.
Eğer G, n - inci mertebeden sonlu bir grup ise G, Sn simetrik grubunun bir alt
grubuna izomorftur.
G mertebesi n olan abelyen bir grup olsun ve
Sonuç – 12:
Her grup bir permütasyonlar grubuna izomorftur.
denklemi elde edilir. Genel çözüm bulunurken iki integral alınır.
-6-
Asal mertebeli her grup devirlidir.
Sonuç – 6: (Cayley Teoremi)
e d H dır.
–1
– # P_ x idx
Sonuç – 10:
Sonuç – 4: Euler Teoremi:
i. Her a, b d H için a : b d H
Her grup bir permütasyon grubuna izomorftur.
6 a, b d H için a : b -1 d H dır.
Asal mertebeden her grup devirlidir. Böylece her P asalı için P mertebeli tam
olarak bir tane alt grup vardır.
(G, :) bir grup ve H 1 G olsun. Bu durumda H # G olması için gerek ve
yeter koşul aşağıdaki üç durumun sağlanmasıdır.
Cayley Teoremi
H sonlu bir G grubunun bir alt grubu olsun. O zaman H nin mertebesi G nin
mertebesinin bir bölenidir. Bölmüyorsa alt grubu olamaz.
ii.
Grupların (Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +) dizisini alalım. Dizideki her grup, takip
eden diğer grupların alt grubudur.
ORTAÖĞRETİM MATEMATİK
Sonuç – 9: (Lagrange Teoremi)
H!Q
G sonlu grup ve O(G) = n ise her a d G için a = e dir.
i (x) karakteristik polinomunun bir köküdür.
ORTAÖĞRETİM MATEMATİK
i. ii) M = A – mΙ matrisi tekildir.
SOYUT CEBİR
_ i
(G, :) bir grup ve H 1 G olsun. Bu durumda H # G olması için gerek ve
yeterli koşul;
Sonuç – 2:
dv
:
= Q_xi
dx
# Q_xi : e # P x dx : dx + c
Sonuç:
i)Bir m skaları A nın bir öz değeridir.
iii) m skaları A nın
dv = Q _ x i : e # P_ x idx : dx
ORTAÖĞRETİM MATEMATİK
Toplam gösterimi ile G =< a > = {na : n d Z} dir.
A bir kare matris olsun. Bu durumda aşağıdaki ifadeler denktir.
– # P_ x idx
y l = - k : P_xie
6) Eğer bir S vektör kümesi lineer bağımsız ise S nin herhangi bir alt kümesi
de lineer bağımsızdır. Eğer S nin lineer bağımlı bir alt kümesi varsa S
lineer bağımlıdır.
y_xi = u_xi : v_xi
denkleminin genel çözümünü bulmada k sabitini x in fonksiyonu gibi düşünürsek ve türev alırsak:
y = k:e
u:
V_xi =
y′ + P(x)y = Q(x)
3) v1, v2, ..., vm vektörlerinin herhangi ikisi eşit veya biri diğerinin bir skalar
katı olsun. Örneğin v 1 = k : v 2 olsun. Bu durumda v1 in katsayısı sıfırdan
farklı olmak üzere aşağıdaki lineer birleşime sahip olduğundan dolayı
vektörler lineer bağımlı olmak zorundadırlar:
u _ x i = e - # P_ x idx bulunur.
Burada,
ORTAÖĞRETİM MATEMATİK
-9-
11. P bir asal sayı ise Zp bir cisimdir.
- 10 -
- 11 -
ORTAÖĞRETİM MATEMATİK
ORTAÖĞRETİM MATEMATİK
İSTATİSTİK
Binom (İki Terimli) Dağılım
BEKLENEN DEĞER, VARYANS VE MOMENTLER
Rastgele deney aynı koşullar altında n kez tekrarlanmalıdır. Her deneyin başarı - başarısızlık gibi iki sonucu olmalıdır. Bir deneyde ilgilenilen sonucu
(başarı) elde etme olasılığı p, diğer sonucu (başarısız) elde etme olasılığı
1 – p = q, sabit olmalıdır. Ayrıca deneme sonuçları birbirinden bağımsız olmalıdır.
Beklenen Değer
Beklenen değer kavramı şans oyunlarından doğmuştur. En basit biçimi ile
beklenen değer, bir oyuncunun kazanabileceği miktar ile kazanma olasılığının
çarpımıdır.
Bir değişkenin beklenen değeri; değişkeni kesikli ise toplam, sürekli ise integral alınarak bulunur.
Değişkenlerinin gösterdikleri dağılımlar bir olasılık fonksiyonu ile temsil edildiğinden, bu fonksiyonun beklenen değeri dağılımın ortalaması olarak da ifade edilmektedir. Beklenen değer, dağılımlara ilişkin bir değişkendir. (parametredir)
X kesikli bir değişken ve P(x) de bunun olasılık fonksiyonu ise X in beklenen
değeri
E (X) =
/ x : P ( x)
biçiminde tanımlanır.
Bu şartları sağlayan n Bağımsız Bernoulli deneyinde X değişkeninin alacağı
değerler 0, 1, 2, ..., n olabilir. X in olasılık fonksiyonu:
Z
] n x (n - x)
; x = 0, 1, 2, ..., n
]d n p q
P (X; n, p) = [ x
]]
0 ; di€er durumlarda
\
Binom dağılımın ortalaması, varyansı ve moment çıkaran fonksiyonu aşağıdaki gibidir:
n = E(X) = np, Var(X) = v2 = npq,
Benzer biçimde X sürekli bir değişken ve f(x) de bunun olasılık yoğunluk
fonksiyonu ise X in beklenen değeri,
# x : f (x) dx
E (X) =
olarak tanımlanır.
Rx
X Değişkeninin Bir Fonksiyonunun Y = U(X), Beklenen Değeri
Y = U(X), X değişkeninin bir fonksiyonu olarak tanımlandığında Y de bir değişken olup Y nin beklenen değeri X değişkeninin kesikli ve sürekli olması
durumuna göre aşağıdaki gibi hesaplanır:
Z
]
u (x) : P (x), X kesikli de€iflken ise
] x
]
E (Y) = E _ U (X) i = [
]
u (x) : f (x) dx, X sürekli de€iflken ise
]]
R
\ x
/
#
Geometrik Dağılım
Art arda birbirinden bağımsız olarak ve aynı koşullarda tekrarlanan Bernoulli
deneylerinde istenen sonucun (başarının) ilk defa elde edilmesi için yapılan
deney sayısına X dersek buna geometrik dağılıma sahip değişken denir.
İlk (x – 1) denemede istenen sonuca ulaşılamaması (başarısızlık) ve x inci
denemede istenen sonuca ulaşılması (başarı) durumunda geometrik dağılımın olasılık fonksiyonu,
0, di€er de€erlerde
1
E (X) =
p
Bernoulli dağılımı bir deneyin iki sonucu (iyi - kötü, olumlu - olumsuz) olması
durumunda kullanılan bir dağılımdır.
Bir deneyin başarılı olması olasılığı P ile gösterilirse X değişkeninin olasılık
fonksiyonu
Px (X; p) = Px (x) =
*
biçiminde tanımlanır. Dağılımın parametresi p dir. Ortalaması, varyansı ve
moment çıkaran fonksiyonu aşağıda verildiği gibidir:
Bernoulli Dağılımı
Px (x; p) = Px (x) =
(1 - p) x - 1 : p, x = 1, 2, 3, ...
*
x
p : (1 - p )
1- x
, x = 0, 1
Var (X) = v =
M x (t) =
1- p
p
2
ve
E(X) = p = n,
Var(X) = v = p : (1 – p) = pq
2
- 12 -
lim d 1 -
n"3
m x
m n
n = 1 ve lim d 1 - n = e - m
n
n
n"3
mx : e- m
dir.
x!
olduğu için lim Px (x; n, p) =
n"3
m parametresi poisson dağılımının olasılık fonksiyonu
Px (x; m) = Px (x) =
mx : e- m ,
x = 0, 1, 2, 3, ...
x!
şeklindedir. E (x) = m, V (x) = m d›r.
x2
a2
+
y2
b2
Düzlemde ve Uzayda Vektörler
= 1 elipsine, y = mx + n doğrusunun teğet olma şartı:
olmasıdır.
Alan =
Merkezinin koordinatları (m, n) olan elipsin denklemi
(x - m) 2
+
a2
(y - m) 2
+
b2
(y - n) 2
m > 0 parametre olmak üzere X– sürekli rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu
Z
]] m : e - mx ; x ≥ 0
f_xi = [
]0
; di€er durumlarda
\
Bu dağılımın tek parametresi vardır. O da m dır. Birikimli üstel dağılmı fonksiyonunu bulursak
1
E_xi =
m
ANALİTİK GEOMETRİ
Odaklar x - ekseninde:
Merkezi Orijinde Bulunan Elipsin Standart Denklemleri
a
Merkez – odak uzaklığı: c =
m
p=
için Binom dağılımının olasılık fonksiyonu
n
n- x
n
m
m
P (x; n, p) = d n : d n : d 1 - n
n
n
x
şeklinde ifade edilir.
- 13 -
x2
y2
-
a2
b2
2
Merkez - odak uzaklığı: c =
=1
a +b
x2
a2
-
y2
b2
= 0 veya y = !
y
2
b
x
a
b
2
= 1 (a > b)
Yedek çember: Merkezi (0, 0) ve çapı |BlB| = 2b olan çember.
Asimptotları y = ±x
Odaklar y - ekseninde:
b
2
2
+
y
2
a
2
a -b
= 1 (a > b)
Alan (ABC) =
y2
a2
Odaklar: (0, ±c)
Asimptotlar:
Tepe noktaları: (0, ±a), (0, ±b)
Her iki durumda da a yarı büyük eksen ve b yarı küçük eksendir.
- 14 -
y
a2
-
x
b2
y1
1
y2
1
y3
1
u eşitliği ile verilir.
u1
u2
u3
Hacim = < u x v, w >= v 1
v2
v3
w1
w2
w3
-
x
b2
S = K-
=1
a2 + b2
< N , K >+ c
a
x
b
< N, N >
ax 1 + by 1 + c
_ a2 + b2 i
2
L2
u
i
< u, v >= u : v : cos i
cos i =
d=
d=
< u, v >
L1
u : v
A(x0 , y0 , z0) ve B(x1, y1, z1), u = (u 1 , u 2 , u 3) ve
< AB, u x v > = 0 eşitliğini determinant formunda yazalım.
< AB, u x v > = det (AB, u, v)
=
x1 - x0
y1 - y0
z1 - z0
u1
u2
u3
v1
v2
v3
= 0 d›r.
P(x0 , y0 , z0) noktasının Ax + By + Cz + D = 0 düzlemine uzaklığı;
,=
Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D
A2 + B2 + C2
| ax 1 + by 1 + c |
a2 + b2
İHTİYAÇ YAYINCILIK
|c |
a2 + b2
İkizkenar hiperbol: y2 – x2 = a2 ve asimptotlar y = ±x dir.
- 15 -
u
: (a, b) biçiminde elde edilir.
O(0, 0) noktasının ax + by + c = 0 doğrusuna uzaklığı:
< u, u >
Uzayda L1 ve L2 doğruları arasındaki açı i
olsun. Bu doğrular arasındaki açı u ve v
vektörleri arasındaki açıdır.
N olur.
P(x1, y1) noktasının ax + by + c = 0 doğrusuna uzaklığını veren bağıntı:
= 0 veya y = ±
< AP , u >
v = (v 1 , v 2 , v 3) için
K(x1, y1) noktasının L doğrusu üzerindeki dik iz düşüm noktası S(x0 , y0) ise
AP -
d=
İki Doğru Arasındaki Açı
Doğru ve Düzlem Denklemleri
2
< u, u >
v
2
Odaklar: (0, ±c)
2
< AP , u >
Düzlemde P noktasının, X = A + t u doğrusuna uzaklığı
hacmi:
(x 0 , y 0) = (x 1 , y 1) -
Merkez - odak uzaklığı: c =
x1
1
: x2
2
x3
u = (u 1, u 2, u 3) , v = (v 1, v 2, v 3) , w = (w 1, w 2, w 3) olarak verilirse paralelyüzün
Tepe noktaları: (0, ±a), (±b, 0)
2
S = A+
= | u 1 : v 2 - v 1 : u 2 | şeklindedir.
Eğer doğru ax + by + c = 0 olarak verilirse dik vektör N = (a, b) olur ve üstteki
eşitlik
İkizkenar hiperbol: x2 – y2 = a2,
a - b2
x
v2
şeklindedir. Hacim pozitif olduğu için determinantın mutlak değeri alınır.
2
2
u2
2
Asal çember: Merkezi (0, 0) ve çapı |AlA| = 2a olan çember.
+
v1
Paralelkenarın alanı pozitif olduğu için | det ( u , v ) | dır.
Merkezi Orijinde Olan Hiperbolün Standart Denklemleri
Asimptotlar:
2
u1
Determinant negatif çıktığında, alan değeri negatif olamayacağı için çıkan sonucun mutlak değeri alınır.
Alanı = r:a:b
1
x2
determinantı ile hesaplanır.
Tepe noktaları: (±a, 0), (±b, 0)
Odakları y– ekseninde ise
Poisson Dağılımı
= 1, asal eksen Oy ekseni
a2
Odaklar: (±c, 0)
m2
Düzlemde P noktasının, X = A + t u doğrusu üstündeki dik iz düşüm noktası S ise
Düzlemde A(x1, y1), B(x2, y2) ve C(x3, y3) noktaları verilen üçgenin alanı:
(x - n ) 2
Tepe noktaları: (±a, 0), (±b, 0)
1 - qe t
= 1, asal eksen Ox ekseni
b2
ORTAÖĞRETİM MATEMATİK
u = (u 1, u 2) ve v = (v 1, v 2) biçiminde u ve v vektörleri iki boyutlu ise paralelkenarın
alanı
a2m2 + b2 = n2
Çevre Uzunluğu = 2r : a 2 + b 2
Var _ x i =
ORTAÖĞRETİM MATEMATİK
Asal eksen uzunluğu |AAl| = 2a ve yedek eksen uzunluğu |BBl| = 2b olan elipsin,
Odaklar: (±c, 0)
pe t
x
Mx(t) = pet + (1 – p) = pet + q (q = 1 – p)
Merkez – odak uzaklığı: c =
0 ; di€er durumlarda
biçiminde verilir. Bernoulli dağılımın parametresi P dir. Dağılımın ortalaması,
varyansı ve moment çıkaran fonksiyonu aşağıdaki gibidir:
n
m x
m n- x
mx : e- m
lim >d n : d n : d 1 - n H =
olur.
n
n
x!
x
Odaklar x– ekseninde ise
2
ORTAÖĞRETİM MATEMATİK
n"3
Üstel Dağılım
Mx(t) = [pet + q]n
6x
ORTAÖĞRETİM MATEMATİK
- 16 -
Kızılırmak Cad. No. 53 Kızılay/ANKARA
Tel: 0 312 434 34 00 (pbx) – Faks: 0 312 434 35 00
GSM: 0 530 500 86 74
Web: www.ihtiyacgrup.com – E-posta: [email protected]
- 17 -