Hafta 8- Surekli Dagılımlar_1

___________________________________
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
___________________________________
___________________________________
___________________________________
İST 213 OLASILIK DERSİ
SÜREKLİ DAĞILIMLAR-1
DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL
___________________________________
2015
___________________________________
___________________________________
___________________________________
SÜREKLİ DÜZGÜN DAĞILIM
X rassal değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu;
___________________________________
___________________________________
f(x) =
___________________________________
şeklinde ise x’e düzgün dağılmış rassal değişken,
f(x) ‘ e sürekli düzgün dağılım denir.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
f(x) =
___________________________________
a <b ve b-a >0 olduğuna göre , f(x) >0 olur.
=1
(2)
(1) ve (2) özellik sağlanmaktadır.
(1)
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
1
___________________________________
___________________________________
F(x) =
=
___________________________________
___________________________________
F(x) =
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Ortalama:
µ=
Varyans:
=
___________________________________
=
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÖRNEK:
X rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu;
f(x) =
Dağılım fonksiyonu , ortalama ve varyansını
bulunuz.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
2
___________________________________
ÇÖZÜM:
___________________________________
___________________________________
F(x) =
µ =
___________________________________
= 20/2 = 10
=
=
= 33,3
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
GAMMA DAĞILIMI
X>0,
>0 ,
> 0 olmak üzere x sürekli rassal değişken olsun.
___________________________________
f(x) =
___________________________________
f(x) fonksiyonuna gamma dağılımı denir.
___________________________________
Burada ;
=
gamma
___________________________________
fonksiyonunu verir.
ve ’ ya göre farklılık gösterir.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÖZELLİKLERİ
___________________________________
1)
>1 iken
=(
).
2)
2 iken
=(
).
___________________________________
= (
=(
). (
).
=(
). (
)...
)! .
___________________________________
ise;
___________________________________
___________________________________
___________________________________
3
___________________________________
ÖZELLİKLERİ
___________________________________
3) =1 iken
1’dir.
=(
=
___________________________________
= 0! =
)! Olur.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
GAMMA DAĞILIMININ ARİTMETİK
ORTALAMASI
___________________________________
µ=
___________________________________
=
=
.
=
; t<
___________________________________
___________________________________
= 1 iken üstel dağılım olur.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
=
=
.
.
,x
,x
0
0 (üstel dağılım)
Üstel dağılım gamma fonksiyonunun özel bir
türüdür.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
4
___________________________________
ÖRNEK:
Bir geçici sistem şekilde görüldüğü gibi birbirine bağlanmıştır.
Başlangıçta 1. ünite çalışır konumda, diğer üniteler standby
konumundadır. 1. bozulduğunda 2. ünite, o da bozulursa 3.
ünite devreye girmektedir. Sistem x = + +
şeklinde
ifade edilmektedir. Sistemlerin birbirinden bağımsız çalışması
durumunda, her bir sistem ortalaması 100 saat olacak şekilde
çalışacaktır.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÖRNEK:
Buna göre;
a) Sistemin olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz.
b) Sistemin en az χ saat çalışması fonksiyonunu bulunuz.
c) Sistemin en az 300 saat çalışması olasılığını bulunuz.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÇÖZÜM:
a) Eğer sistemler birbirinden bağımsız çalışsalardı;
= 1 için;
µ = 100 saat
=
= 0,01
: j. ünitenin ortalama çalışma süresi
___________________________________
___________________________________
___________________________________
exp(0,01)
f(x) =
___________________________________
___________________________________
___________________________________
5
___________________________________
ÇÖZÜM:
a) Burada 3 sistem olduğuna göre;
___________________________________
= 3 için;
=
= 0,01
___________________________________
f(x) =
___________________________________
___________________________________
f(x) =
=(
)! =2
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÇÖZÜM:
b) Sistemin en az X saat çalışması durumu
P(X x) = 1- P(X< x) = 1- F(x) = R(x) (reliability function)
Belirli bir zaman aralığında k adet bağımsız sistemin çalışması;
Poisson Dağılımı:
___________________________________
___________________________________
R(x) =
=
. [1+(0,01x)+
___________________________________
]
c) Sistemin en az 300 saat çalışma olasılığı
P(X
300) =
. [1+(0,01.300)+
___________________________________
]
= 0,4232
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÜSTEL DAĞILIM
___________________________________
X rassal değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu
>0 olmak üzere;
___________________________________
f(x) =
___________________________________
f(x) ‘ e üstel dağılım denir.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
6
___________________________________
___________________________________
F(x) =
= 1-
F(x) =
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
µ = B[X] =
___________________________________
=
Değişim katsayısı (DK)=
=
,t<λ
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÖRNEK:
___________________________________
Parametresi λ = 2 olan üstel dağılmış x rassal
değişkenine ait aşağıdaki olasılıkları hesaplayınız.
___________________________________
a)P(X 2)
b)P(2 X 4)
c) P(X 4/ X>2)
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
7
___________________________________
ÇÖZÜM:
___________________________________
a)P(X 2) =
= F(2)- F(0)
= 1= 0,9817
b)P(2 X 4) = F(4)- F(2)
= 1- (1)
= 0,01798
___________________________________
___________________________________
c)P(X 4/ X>2) =
=
= 0,9825
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÖRNEK:
Bir süpermarkette kasada hizmet verme süresi
ortalaması 40 sn. olarak tespit edilmiştir.
a. Hizmet verme süresi 1 dk.’dan az olanların oranını
bulunuz.
b.Hizmet verme süresinin 1 dk.’dan fazla olduğu
bilindiğinde 2 dk’dan az olanların oranını bulunuz.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÇÖZÜM:
___________________________________
X: hizmet verme süresi (dk.)
µ = 40 sn. = 0,667 dk.
λ = = 1,5 dk.
___________________________________
P(X) = f(x) =
___________________________________
F(x) =
___________________________________
___________________________________
___________________________________
8
___________________________________
___________________________________
ÇÖZÜM: a) P(X 1) = F(1) –F(10)
= 1-
– (1-
) = 0,7768
b) P(X<2 / X>1) =
___________________________________
___________________________________
=
=
= 0,7769
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÖRNEK:
Bir elektriksel parçanın kullanım ömrünün
yani, hata olana kadar geçen sürenin ortalama
105 saat olmak üzere üstel dağıldığı
bilinmektedir. Bu tür elektriksel parçanın
ömründen önce bozulanların oranını bulunuz.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÇÖZÜM:
___________________________________
µ=
saat
λ= =
___________________________________
X üstel (
)
X: hata olana kadar geçen süre
f(x) =
P(X <
,x
) = F(x)=1-
Parçaların %63’ü
___________________________________
0
= 0,6312
saatten önce bozulabilir.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
9
___________________________________
POİSSON VE ÜSTEL DAĞILIM
ARASINDAKİ İLİŞKİ
X: belirli bir zaman aralığında ilgili olayın ortaya çıkma sayısı
iken;
X
___________________________________
___________________________________
Poisson(λ)
: Başlangıçtan t anına kadar geçen sürede ilgilenilen olayın
ortaya çıkma sayısı olarak tanımlanırsa;
___________________________________
Poisson (λt)
P(x) =
x=0,1,2,... şeklinde olur.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
T: poisson dağılmış bir rassal değişkenin biri diğerini izleyen iki
olay arasındaki süre olarak tanımlanırsa T’nin dağılım fonksiyonu:
P(T t) = F(t) olup
___________________________________
P(T> t) = 1- F(t) ‘dir.
___________________________________
P(T>t) : Biri diğerini izleyen iki olay arasında geçen sürenin (t) ‘den
büyük olması demek, bu arada ilgili olayın hiç ortaya çıkmaması ,
yani P(X=0) olması demektir.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
P(T>t) = P(X=0) =
F(t) = 1f(t) = λ.
olur.
=
= 1- F(t)
( üstel dağılımın dağılım fonksiyonu )
, t 0 üstel dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu
Görüldüğü gibi x, ortalaması λt olan bir poisson dağılmış rassal
değişken iken, “gelişlerarası süre” olarak tanımlanan T rassal
değişkenin dağılımı üstel dağılım olur.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
10
___________________________________
___________________________________
ÖRNEK:
Bir petrol istasyonuna her 15 dakikada
ortalama 3 müşteri gelmektedir. Bu petrol
istasyonuna gelen müşteriler arası geçen
sürenin dağılımı nedir?
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÇÖZÜM:
___________________________________
X: 15 dk. içinde gelen müşteri sayısı
λ =3 müşteri/15 dk. = 0,2 müşteri/ dk.
___________________________________
X
___________________________________
P(x) =
µ= =
= 5 dk/müşteri
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÇÖZÜM:
T: müşteriler arası geçen süre iken T Üstel
___________________________________
Müşteriler arası geçen sürenin dağılımı;
f(t) = 0,2
,t
___________________________________
0 olur.
F(t) = 1 Müşteriler arası geçen sürenin 8 dk. veya daha fazla
çıkması olasılığı nedir?
P(T 8) = 1 – P(T<8) = 1- F(8) = 1- (1-
) = 0,20
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
11
___________________________________
___________________________________
ÖRNEK:
Bir hamburgerciye öğle saatlerinde her 5 dakikada ortalama 4
müşterinin kuyruğa girdiği bilinmektedir.
a-) Kuyruğa girenler arasında geçen sürenin olasılık yoğunluk
fonksiyonunu ve dağılım fonksiyonunu belirleyiniz.
b-) 5 dk. içerisinde hiç müşteri gelmeme olasılığını bulunuz.
c-) Birbirini izleyen 2 müşteri arasında en fazla 2 dk. geçme
olasılığını bulunuz.
d-) İki müşteri arasında geçen sürenin 3 dk. veya daha fazla olma
olasılığını bulunuz.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÇÖZÜM:
X: 1 dk. da geçen müşteri sayısı
___________________________________
λ= = 0,8 müşteri / dk.
P(X) =
; x: 0,1,2... iken
a) T: iki müşteri arasında geçen süre(dk.)
f(t) =
___________________________________
___________________________________
___________________________________
F(x) =
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÇÖZÜM:
___________________________________
b) X: 5 dk. içerisinde gelen müşteri
sayısı
λ= 4 müşteri/ 5 dk.
P(x) =
P(X=0)=
___________________________________
iken
= 0,0183
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
12
___________________________________
ÇÖZÜM:
c) T: iki müşteri arasında geçen süre (dk)
P(T
d) P(T
)=
= F(2)= 1= 0,7981
___________________________________
___________________________________
___________________________________
3) = 1 –P(T<3)
= 1- F(3)= 1-(1-
)
___________________________________
=0,0907
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÖRNEK:
___________________________________
Bir kafeteryada müşterilere hizmet verme
süresi ortalaması 4 dk. dır. Bu kişinin 6 gün
içinde en az 4 gününde 3 dk. dan az bir
sürede hizmet verme olasılığını bulunuz.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÇÖZÜM:
T: hizmet için geçen süre
___________________________________
µ=4 dk
λ=
___________________________________
f(t) =
P(T<3) = F(3 ) = 1-
= 0,47
___________________________________
___________________________________
___________________________________
13
___________________________________
ÇÖZÜM:
___________________________________
X: 6 gün içinde 3 dk.dan az bir sürede hizmet görülen gün sayısı
X
___________________________________
B(0,47;6)
p= 0,47 , n=6
P(X 4) = P(X=4)+ P(X=5)+ P(X=6)
=
+
___________________________________
+
= 0,40
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÖRNEK:
Belirli bir parça için hatalar arası geçen sürenin
ortalaması 5 yıldır. Eğer bu parçalardan 5 tanesi farklı
bir sisteme kurulmuş olsaydı, 8. Yılın sonunda en az 2
tanesinin hala çalışıyor olması olasılığını bulunuz.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÇÖZÜM:
___________________________________
T: hatalar arası süre
µ=4
___________________________________
λ=
f(t) =
___________________________________
Verilen bir parçanın 8 yıl sonunda hala çalışıyor olması
olasılığı
P(X>8) = 1- F(t)= 1-(1-
) = 0,2
___________________________________
___________________________________
___________________________________
14
___________________________________
ÇÖZÜM:
___________________________________
X: 8 yıl sonra da çalışan parça sayısı
X
B(0,2;5)
___________________________________
p= 0,2 , n=5
P(X 2) = 1- P(X=0)- P(X=1)
= 1= 0,263
___________________________________
-
___________________________________
___________________________________
___________________________________
15