PDF ( 3 ) - İstatistikçiler Dergisi

Transkript

www.istatistikciler.org
statistikçiler Dergisi 3 (2010) 17-36
statistikçiler
Dergisi
Kredibilite kuram nda panel veri modelleri ve
trafik sigortas için bir uygulama
Cenap Erdemir
Asl han entürk
Hacettepe Üniversitesi
Fen Fakültesi Aktüerya Bilimleri Bölümü
06800-Beytepe, Ankara,Türkiye
[email protected]
Hacettepe Üniversitesi
Fen Fakültesi Aktüerya Bilimleri Bölümü
06800-Beytepe, Ankara,Türkiye
[email protected]
Özet
Bu çal mada, kredibilite kuram ve panel veri regresyon modelleri genel hatlar yla aç klanm , kredibilite
modelleri ile panel veri modelleri aras ndaki ba!lant ara t r lm t r. En fazla kesinlik kredibilite yakla m
alt nda verilen Bühlmann, Bühlmann-Straub ve Jewell’in hiyerar ik kredibilite modelleri, kar k do!rusal
modellerin özel durumlar olarak incelenmi tir. Trafik sigortas na ili kin veri kümesi kullan larak, bu
kredibilite modelleri alt nda, Türkiye’nin tüm illeri için kredibilite primleri hesaplanm t r.
Anahtar sözcükler : Kredibilite kuram ; Kredibilite modelleri; Kredibilite primi; Panel veri modelleri; Kar k
do!rusal modeller; En iyi do!rusal yans z önkestirici.
Abstract
Panel data models in credibility theory and an application for
the motor third party liability insurance
In this study, credibility theory and panel data regression models are explained in general terms, the link
between the credibility models and panel data models is investigated. Bühlmann, Bühlmann-Straub and
Jewell’s hierarchical credibility models that are given under greatest accuracy credibility approach, are
examined as special cases of mixed linear models. By using data set concerning the motor third party liability
insurance, the credibility premiums are calculated under these credibility models for all provinces of Turkey.
Keywords: Credibility theory; Credibility models; Credibility premium; Panel data models; Mixed linear
models; Best linear unbiased predictor.
1. Giri
Aktüerya bilimlerinde, kredibilite kelimesi ilk olarak, aktüerin fiyatland rma yaparken, bir k s m
sigortal n n deneyimine ne ölçüde güvenmesi gerekti!ini belirtmek üzere, güvenin ölçüsü olarak
kullan lm t r [15]. Kredibilite kuram , geçmi hasar bilgileri bilinen, benzer risk birimlerinden olu an bir
grupta, herhangi bir birimin gelecek dönemdeki beklenen hasar n n kestiriminde kullan lan yöntemleri
inceler [8].
Panel, zaman içinde aral ks z olarak gözlemlenen bireylerden olu an bir grup olarak tan mlanmaktad r.
Panel veri regresyon modelleri, bireyler aras ndaki heterojenlik kayna! na göre, sabit etkiler modeli ve
rassal etkiler modeli olarak iki temel model alt nda incelenmektedir. Kar k do!rusal modeller (mixed
linear models), sabit ve rassal etkileri ayn modelde bar nd ran esnek modellerdir.
A. entürk, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 3 (2010) 17-36
18
Bu çal mada, kredibilite kuram ile panel veri modelleri aras ndaki ba!lant incelenmi tir. Kredibilite
fiyatlar n n kestiriminde en iyi do!rusal yans z önkestiriciler kullan larak, Bühlmann, Bühlmann-Straub ve
Jewell’in hiyerar ik kredibilite modellerinin, kar k do!rusal modellerin özel durumlar olarak
gösterimine de!inilmi tir. Be inci bölümde, gerçek bir veri kümesi kullan larak, Bühlmann, BühlmannStraub ve Jewell’in hiyerar ik kredibilite modelleri alt nda, veri kümesindeki tüm birimler için kredibilite
primleri elde edilmi tir.
2. Kredibilite kuram
Bir poliçe sahibinin hasar deneyimi, uygulanan net prim için varsay landan daha iyi ise, bu poliçe
sahibinin, prim indirimi talebinde bulunma olas l ! her zaman vard r. Bir risk grubunda tüm risklerin
homojen oldu!u varsay larak risk grubunun beklenen hasar hesaplan r ve bu net prim olarak gruptaki her
bireye uygulan r. Oysa, risk birimleri aras nda farkl l klar n olmas do!ald r. Bu nedenle, baz poliçe
sahipleri, hasar deneyimlerinin varsay landan daha iyi olmas na ra!men, daha fazla prim ödediklerini
dü ünerek, prim indirimi talebinde bulunabilirler. Benzer biçimde, sigorta portföyünde, risk primi veya
net prim hesab nda varsay landan daha kötü hasar deneyimine sahip poliçe sahipleri de bulunmaktad r ve
adil olunmas için, bu poliçe sahiplerinin daha fazla prim ödemeleri istenmelidir. Bu durumda sigortac u
soruyla kar kar yad r: Poliçe sahibinin hasar deneyimi, fiyatland rma yap l rken ne kadar güvenilirdir,
ne kadar itibarl d r?
Baz yakla mlar alt nda, kredibilite kestiricisi (hasar say s , hasar miktar , risk primi v.b için) C,
C = Z R + (1 Z ) H
(1)
e itli!inden hesaplan r.
E itlik (1)’deki gibi kredibilite faktörü ile a! rl kland r lm biçimde hesaplanan primler, kredibilite primi
olarak adland r lmaktad r [13]. Burada, R güncel gözlemlerin ortalamas n , H ise önsel ortalamay gösterir.
Z kredibilte faktörü olarak tan mlan r. Z , güncel gözlemlere verilen a! rl ! , ( 1 Z ) ise geçmi
gözlemlere verilen a! rl ! gösterir [10]. Ba ka bir aç dan bak ld ! nda R, sigorta portföyündeki herhangi
sigortal n n geçmi hasar bilgisi ve H, portföye ili kin bilgiye göre hesaplanan ortalama olarak da ifade
edilir. Z = 1 olmas durumunda, bir sonraki döneme ili kin kestirim, tamamen sigortal n n hasar
deneyimine göre yap lm olur. Sigortal ya ili kin gözlem say s az ise Z de!eri 0’a yakla r ve bu
durumda, kredibilite kestirimi, tüm portföyün ortalamas na yak n olarak elde edilir. Portföy homojen ise,
ki ilere yüklenecek net prim, genel ortalama olarak belirlenebilir. Di!er yandan, sigortal lar n geçmi
hasar bilgisi yeterince geni ve portföy heterojen ise, sigortal n n bireysel ortalamas prim olarak
belirlenebilir [4].
2.1. Kredibilite yakla56mlar6
Kredibilite kuram nda kullan lan kredibilite yakla mlar üç temel ba l k alt nda s n fland r labilir,
1. S n rl Dalgalanmal Yakla m,
2. Bayesci Yakla m,
3. En Fazla Kesinlik Yakla m (Greatest Accuracy Approach) [10].
En fazla kesinlik yakla m nda kredibilite faktörleri, Bayesci bir modelde optimal katsay lar olarak elde
edilmektedir. Bu nedenle kredibilite kuram , s n rl dalgalanmal kredibilite kuram ve en fazla kesinlik
kredibilite kuram olarak iki yöntem alt nda incelenmektedir [13].
19
2.1.1. Bayesci yakla56m
risk parametresi ile tan mlans n fakat
Belli bir risk s n f ndaki her poliçe sahibinin risk seviyesi
de!eri her poliçe sahibine göre de!i sin.
parametresi var oldu!u fakat gözlenemedi!i için gerçek
de!erinin hiçbir zaman bilinmedi!i varsay l r.
parametresi poliçe sahibine göre de!i ti!i için, bir
olas l k da! l m vard r. 7’ n n olas l k fonksiyonu ( ) ile gösterilirse, 7 bir rastlant de!i keni olmak
( ) = P(
üzere da! l m fonksiyonu,
<
)
biçiminde gösterilir.
T = 1, 2,..., T , T + 1 dönemi için, Yt , bir poliçe sahibinin t zaman döneminde gözlenen hasar miktar veya
hasar say s olsun ve Yt ’ ler birbirinden ba! ms z olsun.
=
verilmi ken, Yt ’nin ko ullu olas l k
fonksiyonu fYt ( yt ) olarak gösterilsin. Yt ’ler ba! ms z olmalar na ra!men ayn da! l ma sahip olmak
zorunda de!ildir.
Amaç, poliçe sahibinin bir sonraki dönemdeki hasar n önkestirimi bulmakt r.
‘in da! l m ile ilgilenilir.
bilinseydi fYt ( yt ) kullan labilirdi.
=
ko ulu alt nda
YT +1
bilinmedi!inde, ayn poliçe sahibi
ko ulu yerine y ko ulu getirilir ve Y=y verilmi ken
için geçmi hasar bilgisi, y bilinir. Bu nedenle,
YT +1 ’in ko ullu da! l m elde edilir.
kesikli da! l yor ise hesaplamalar integraller yerine toplamlar ile
yap l r. Yt ’ler = ko ulunda birbirinden ba! ms z oldu!u için,
T
( y, ) = f ( y1 , y2 ,..., yT ) ( ) =
fY ,
t =1
fYt
(y ) ( )
t
(2)
yaz l r.
Y ‘nin bile ik da! l m ,
fY ( y ) =
T
t =1
fYt
( y ) ( )d
(3)
t
biçiminde elde edilir.
E itlik (3)’te, T yerine T+1 yaz l rsa Y1 , Y2 ,..., YT +1 ’in bile ik da! l m elde edilir. Y=y verilmi ken,
Y1, Y2, ..., YT , ’ nin bile ik da! l m ndan yararlanarak, ’ n n sonsal yo!unlu!u a a! daki biçimde elde
edilir,
T
Y
(
y) =
fY , ( y , )
fY (Y )
=
t =1
fYt
( yt
)
( )
fY (Y )
(4)
E itlik (4) kullan larak, YT +1 ’in ko ullu yo!unlu!u,
fYT +1 Y ( yT +1 y ) =
=
fYT +1 ( yT +1 )
Y
(
y ) fY ( y ) d
fY ( y )
fYT +1 ( yT +1 )
Y
(
(5)
y) d
20
biçiminde elde edilmektedir.
Y=y gözlem de!erleri üzerinden YT +1 ‘in beklenen de!eri kestirilebilir. E!er
biliniyorsa fYT +1 ( yT +1
)
fonksiyonundan yararlan larak, hipotetik (varsay msal) ortalama veya bireysel prim,
µT +1 ( ) = ( YT +1
= ) = yT +1 fYT +1 ( yT +1
) dyT +1
(6)
E itlik (6)’ da
yerine
yerle tirilirse hipotetik ortalaman n beklenen de!eri,
µ = µT +1 = ( YT +1 ) =
= ) =
( YT +1
[ µT +1 ( )]
(7)
biçiminde gösterilir.
E itlik (7)’den görüldü!ü gibi, net prim (pure premium) veya genel prim (collective premium) hipotetik
ortalamalar n beklenen de!eri olarak hesaplan r. Bu yöntem, birey hakk nda bir bilgi olmad ! nda, risk
parametresi veya y bilinmedi!inde kullan lmaktad r.
de!erinin bilinmemesi durumunda, YT +1 ‘in veya beklenen de!erinin kestiriminde izlenecek en iyi yol,
Y=y gözlem verilerinden yararlanmakt r. Bu durumda, sigortal n n, T+1 zaman ndaki Bayesci primi,
( YT +1 Y = y ) = yT +1 fYT +1 Y ( yT +1 y ) dyT +1
(8)
( YT +1 Y = y ) = µT +1 ( )
(9)
veya
Y
(
y)d
biçiminde elde edilir [14].
2.1.2. En fazla kesinlik yakla56m6
Bühlmann, µT +1 (
) = E (YT +1
=
)
olmak üzere, E µT +1 (
) Y1 , Y2 ,..., YT
‘nin kestiriminde, geçmi
hasar bilgisini kullanarak, hata kareler ortalamas en küçük olacak biçimde bir yakla m kullanm t r.
Bayesci yakla mda verilen varsay mlar alt nda, t {1, 2,3,..., T } olmak üzere, Yt , herhangi bir poliçe
sahibinin, t zaman döneminde olu an hasar miktar olsun.
olsun.
T
0 +
Bu yakla mda,
ko ulu alt nda, Yt ’ler birbirinden ba! ms z
t
do!rusal fonksiyonu kullan larak
Yt
0,
1 ,...,
T
‘lerin kestiricileri
t =1
bulunmaktad r.
de!erleri, a a! daki karesel hata kay p (squared error loss) fonksiyonunun beklenen
de!erini en küçük yapacak de!erler almal d r,
Q=E
!
µT +1 (
)
2
T
(10)
t Yt
0
t =1
"
E itlik (10)’daki fonksiyonun en küçük de!er almas n sa!layan
gösterilsin. Bu kestiricilerin elde edilmesiyle birlikte olu turulan
0
+
21
de!erleri
T
tE
t =1
(Yt )
0,
1 ,...,
T
olarak
fonksiyonu, kredibilite
primi olarak adland r l r. Bu nedenle, kredibilite primleri, E (YT +1 Y ) Bayesci primi, YT +1 ve E (YT +1
)
için en iyi do!rusal yans z kestiricileridir. Q’ nun en küçük de!er almas için
‘lara göre türevi al n r ve
s f ra e itlenir. Bir dizi i lemlerden sonra T say da e itlik elde edilir ve 0 , 1 ,..., T için çözümlenir.
E (Yt ) = µ Var (Yt ) = # 2 ve ? korelasyon katsay s olmak üzere iGj için Cov (Yt , Ys ) = $# 2 varsay ls n. Bu
varsay mlar alt nda,
0
=
t
=
0
ve
t
a a! daki e itliklerden elde edilir,
(1
$)µ
1 $ +T$
$
0
µ (1 $ )
(11)
=
$
1 $ +T$
(12)
Sonuç olarak bireyin kredibilite primi,
0
+
T
t Yt
t =1
=
(1
$)µ
+
1 $ +T$
T
t =1
$Yt
1 $ +T$
(13)
= (1 Z ) µ + Z Y
E itlik (13)’te Y = T
1
T
Yt biçiminde ve kredibilite faktörü, Z = T?/(1-?+ T?) biçiminde hesaplan r. Bu
t =1
ko ulu alt nda Yt ’nin ortalama, varyans ve Cov (Ys , Yt ) ’nin
yakla mda kredibilite primi,
varsay mlar na ba!l olarak Bühlmann modeli ve Bühlmann-Straub kredibilite modeli ile
hesaplanmaktad r [14].
3. Panel veri analizi
Panel verinin tan m , bireylerin gözlemlenmesinden gelmektedir. Panel, zaman içinde aral ks z olarak
gözlemlenen bireylerden olu an bir gruptur. Panel veri kümesi, zaman serileri ve yatay kesitlerin (cross
section) birle mesinden olu an veri kümesidir [9]. Yatay kesitsel regresyon veri kümesi gibi panel veri
kümeleri de bireylerin bir yatay kesitinden olu ur ancak bu bireyler zaman üzerinde gözlemlenir. Zaman
serileri verisinden farkl olarak, panel veri kümelerinde birçok birey incelenir. Bu tip veri kümeleri
kullan larak, de!i kenler aras ndaki istatistiksel ili kilerin kestirilmesi yöntemine, panel veri analizi denir.
Panel veri analizi ve panel veri modelleri için yeterince kaynak mevcuttur [11][1][7].
yit , t zaman döneminde i. birey için ba! ml de!i keni göstersin. Bir panel veri kümesi, her bir i = 1, 2,..., n
ve t = 1, 2,..., Ti de!erleri için i. bireyin t zaman dönemlerinde olu an gözlem de!erlerinden olu ur. Ti , i.
birey için gözlem say s n göstermektedir. Ti bireyden bireye de!i iyorsa, bu tip veri kümesine, dengeli
olmayan (unbalanced) veri kümesi denir. Her bireyin gözlem say s n n e it oldu!u veri kümesine ise,
dengeli (balanced) veri kümesi denir [7].
22
3.1. Panel veri regresyon modelleri
Bireyler, zaman üzerinde izlenirse bireysel davran lar modellenebilir. Birçok veri kümesinde
bireyler birbirinden farkl d r bir di!er deyi le heterojendir. Bu heterojenli!in, modele dahil edilme
biçimine göre modeller tan mlanmaktad r. Yatay kesitsel regresyon analizinde,
yit = + xit' % + & it ,
t = 1, 2,..., Ti ,
i = 1, 2,..., n
(14)
modelin sabit terimini, & it hata terimini ve xit aç klay c
modelleri kullan lmaktad r. Burada,
de!i kenleri temsil eder. Bu modellerde, bireyler aras ndaki farklar hata terimi ile aç klanmaktad r. Panel
veri, bu farkl l ! n modellenmesi imkan n vermektedir. Bireyler aras ndaki bu heterojenli!i içeren temel
panel veri modeli a a! daki gibi gösterilir,
yit =
i
+ xit' % + & it ,
t = 1, 2,..., Ti ,
i = 1, 2,..., n
(15)
Yatay kesitsel çal malarda, Ti = 1 için bu modelin parametreleri kestirilemezken, panel veri kümesinde,
1 , 2 ,..., n ve D parametrelerinin kestiriminin yap lmas için yeterince gözlem bulunmaktad r. Modelde,
i gibi bireysel (subject-specific) parametreler ile bireyler aras ndaki heterojenli!in kontrol edilmesi
sa!lan r.
I.
II.
{ i}
‘ler için iki temel model kullan lmaktad r:
{ i } ‘lerin sabit bilinmeyen parametre olarak varsay ld ! sabit etkiler (fixed effects) modeli,
{ i } ‘lerin bilinmeyen bir kitleden geldi!i ve rassal oldu!unun varsay ld ! rassal etkiler (random
effects) modeli [7].
3.1.1. Kar656k doErusal modeller
Kar k do!rusal modeller, hem rastgele etki hem de sabit etkiyi ayn modelde bar nd ran esnek
modellerdir. Panel veri modeli,
yit = xit % + zit
i
+ & it
(16)
biçiminde verilsin.
i = 1, 2,..., n ve Ti ( T (maksimum zaman dönemi say s ) olmak üzere i bireyi Ti zamanda gözlensin.
xit = ( xit ,1 , xit ,2 ,..., xit , K )
1xK
boyutlu
gözlenen
aç klay c
de!i kenlerin
sat r
vektörü
ve
% = ( %1 , % 2 ,..., % K )' bunlara kar l k gelen bireysel olmayan parametrelerdir. zit = ( zit ,1 , zit ,2 ,..., zit , q ) , 1xq
boyutlu di!er aç klay c de!i kenler, bir di!er ad yla göstermelik de!i kenlerin sat r vektörü ve
'
i =
i1, i2 , ... , iq , bunlara kar l k gelen bireysel parametrelerdir. & it , modelin hata terimidir.
(
)
Bireyler aras nda ba! ml de!i kenler birbirinden ba! ms zd r fakat aralar nda özili ki de olabilir. i. birey
için hata terimlerinin ortalamas , E ( & i ) = 01xTi biçiminde ve varyans kovaryans matrisi, Var ( & i ) = Ri
biçiminde gösterilsin. Bireysel etki, { i } ‘ler birbirlerinden ba! ms zd r ve 0 ortalama, Dqxq ile gösterilen
pozitif tan ml varyans kovaryans matrisi ile ayn da! l r. Bireysel etkiler ile hata terimleri aras nda ili ki
olmad ! varsay l r :{tüm i, j, r ve t de!erleri için Cov jr , & it = 0 }. Bu varsay mlar alt nda i. bireyin
(
)
varyans kovaryans matrisi a a! daki gibi elde edilir,
Var ( yi ) = Z i D Z i' + Ri = Vi
(17)
23
Vi matrisinin tüm i de!erleri için tersi al nabilir oldu!u varsay l r. Bu matris, varyans bile enleri olarak
adland r lan ) parametreler vektörüne ba!l oldu!u için Vi () ) gösterimi kullan l r. Varyans bile enlerinin
bilindi!i varsay m alt nda, D’n n genelle tirilmi en küçük kareler (GEKK) kestiricisi,
bGEKK
*
=,
.
n
X i'Vi
1
i =1
+
Xi /
1
n
X i'Vi 1 yi
(18)
i =1
e itli!i ile verilir [7].
Önkestirim
Bir rastlant de!i keninin alaca! de!erin kestirimine, önkestirim denilmektedir. Sabit etkili do!rusal
modellerde varyans kovaryans matrisinin bilindi!i varsay m alt nda genelle tirilmi en küçük kareler
(GEKK) yöntemi kullan lmaktad r. Ancak, kar k do!rusal modellerde rastgele etkiler bulunmaktad r ve
bu etkilerin kestirimi, genelle tirilmi en küçük kareler yöntemi ile elde edilememektedir. Bu sorun, en iyi
do!rusal yans z önkestirici (EDYÖ) ile çözülebilmektedir.
E(
)=0
ve 0 ' bilinen bir matris olarak tan mlans n. 0 '% kestirilebilir bir fonksiyon olmak üzere % ve
’y birlikte içeren bir rastlant vektörü, w = 0 ' % + biçiminde tan mlans n. w rastlant de!i keni de
hem rastgele etkiyi hem sabit etkiyi içerdi!i için w için yap lan kestirime, önkestirim denir. ŵ , w ’nun en
iyi do!rusal yans z önkestiricisi ise a a! daki özellikleri sa!lamal d r:
En Qyi: ŵ , E ( wˆ w )' ( wˆ w ) hata kareler ortalamas n en küçük yapan de!er olmal d r.
Do!rusal: ŵ , y’nin do!rusal bir fonksiyonu olmal d r.
Yans z: ŵ , E ( wˆ w ) = 0 ’ sa!layan bir de!er olmal d r [16].
E itlik (16)’deki kar k do!rusal modelde,
i
bireysel etkilerinin önkestirimi yap lmak istenirse,
w = c' i ’nin do!rusal kombinasyonlar dü ünülmelidir. Bu durumda, E ( w ) = 0 oldu!u için 0 = 0 olur.
Çe itli varsay mlar alt nda ve genel do!rusal önkestirimden yola ç k larak, w rastlant de!i keninin en iyi
do!rusal yans z önkestiricisi a a! daki e itlikten elde edilir,
wEDYÖ = c'D Z i'Vi
1
( yi
X i bGEKK )
Yukar daki e itlik tüm c' sabit vektörleri için geçerli oldu!undan,
edilir [5],
i , EDYÖ
= D Z i'Vi
1
( yi
X i bGEKK )
(19)
i
‘nin EDYÖ’sü a a! daki gibi elde
(20)
Varyans bile5enlerinin kestirimi
Kar k do!rusal modellerde parametrelerin önkestiriminde en iyi do!rusal yans z önkestirici e itli!inden
yararlan lmaktad r. Ancak bu e itli!in kullan lmas için her bireyin varyans kovaryans matrisinin (Vi)
bilinmesi gerekmektedir. Vi bilinmiyor ise Vi = Z i D Z i' + Ri e itli!indeki D ve Ri ‘nin kestirilmesi gerekir.
Bu iki matrisinin kestirimine varyans bile enlerinin kestirimi denir. Varyans bile enlerinin kestiriminde
bir tak m yöntemler uygulanmaktad r. Bu yöntemlerden bir k sm normallik varsay m n gerektirirken, bir
k sm gerektirmez. Normallik varsay m gerektirmeyen yöntemler, varyans analizi yöntemi (analysis of
variance, ANOVA), en küçük normlu karesel yans z kestirim yöntemi (minimum norm quadratic unbiased
estimation, MINQUE) ve Henderson’n n yöntemleridir. Normallik varsay m gerektiren yöntemler ise, en
çok olabilirlik yöntemi (maximum likelihood, ML) ve s n rland r lm en çok olabilirlik (restricted
24
maximum likelihood, REML) yöntemidir. Her iki yöntemde de bir olabilirlik fonksiyonu maksimize
edilmekte ve bu yöntemler, hem dengeli hem dengeli olmayan veri kümeleri için kullan lmaktad r.
ANOVA yöntemi ise dengeli veri kümeleri için s kl kla kullan l rken, dengeli olmayan veri kümeleri için
tercih edilen bir yöntem de!ildir. Çünkü, ANOVA yöntemi, dengeli veri kümesi için yans z ve en küçük
varyansl kestirimler verirken, dengeli olmayan veri kümeleri için ayn sonuçlar veremeyebilir [16].
4. Bühlmann, Bühlmann-Straub ve Jewell’in hiyerar ik kredibilite modellerinin panel veri
modelleri ile yorumlanmas
Kredibilite kuram nda ilgilenilen, geçmi gözlem de!erlerinden yararlan larak, gözlenemeyen risk
de!i keninin, L ko ulunda bir sonraki dönemdeki beklenen hasar n n, µT +1 ( ) = E (YT +1 = )
kestirilmesiydi. Dannenburg [4], kredibilite modellerinin, aç klamas zor olan risk parametresi L
ko ulunda olu turulmas durumunda, gruplar veya bireyler aras nda birden fazla risk parametresi olmas
nedeniyle analizin zorla aca! n , bunun yerine risk de!i kenlerinin birbirinden ba! ms z varyans
bile enlerine ayr lmas n n kolayl k sa!layaca! n belirtmi tir.
Bir hasar, E ( yit
i
) = zit
i
+ xit % biçiminde rastgele bile enler ve sabit parametrelerin do!rusal
kombinasyonu olarak ifade ediliyorsa, kredibilite kestiricileri, en iyi do!rusal yans z önkestiricilere e ittir
[6]. Çal man n bu bölümünde, en fazla kesinlik kredibilite yakla m alt nda incelenen Bühlmann,
Bühlmann-Straub ve Jewell’in hiyerar ik kredibilite modellerinin, kar k do!rusal modellerin özel
durumlar olarak gösterimine de!inilecek ve bu modellerde, w = E yi ,Ti +1 i = xi ,Ti +1 % + zi ,Ti +1 i için en
(
)
iyi do!rusal yans z önkestiricinin elde edilmesi aç klanacakt r.
Bu k s mda kredibilite modelleri E itlik (16)’daki kar k do!rusal modeller türünden ifade edilmi tir.
i=1,2,..,n olmak üzere i. birey Ti zaman üzerinde gözlensin. Kredibilite kuram nda, i. bireyin Ti+1.
dönemde beklenen hasar n n kestirimi ile ilgilenilir. Panel veri ba!lam nda ise,
w = E yi ,Ti +1 i = xi ,Ti +1 % + zi ,Ti +1 i ’nin kestirimi ile ilgilenilmektedir. Bu durumda, 0 ' = xi ,Ti +1 olur ve
(
)
w’nin en iyi do!rusal yans z önkestiricisi, wEDYÖ = xi ,Ti +1 bGEKK + zi ,Ti +1
k s mda ilgilenilen modellerde
xit = zit = 1
oldu!u için
i , EDYÖ
biçiminde elde edilir [5]. Bu
wEDYÖ = bGEKK +
i , EDYÖ
biçiminde elde
edilmektedir.
4.1. Bülmann kredibilite modeli
yit ’ler t zaman döneminde i. bireyin ortalama hasar miktar , hasar oran veya poliçe ba na dü en ortalama
hasar miktar n göstersin. E itlik (16)’daki kar k do!rusal modelde, K=q=1, xit = zit = 1 ve %1 = µ
de!erlerini ald ! nda a a! daki model elde edilir,
yit = µ +
i
+ & it ,
i = 1, 2,..., n ve t = 1, 2,..., Ti
(21)
E itlik (21)’de, . µ , portföydeki herhangi bir poliçe sahibinin ortalama hasar bir di!er deyi le genel
ortalamad r. i , i. birey için ortalamadan sapma miktar olarak bireyler aras ndaki fark gösterir. & it ’ler, t
zaman dönemi için ortalamadan sapmay gösterir. E (
boyutlu birim matris olmak üzere, Ri = Var ( & i ) = # 2 ITi
Dannenburg [4],
yit = µ +
i
+ & it ,
dalgalanmalar n içeren yi ,Ti +1 = µ +
) = E (& it ) = 0 ’d r. Varyans bile enleri, IT ,
ve D = Var ( i ) = # 2 biçiminde gösterilir.
i
i = 1, 2,..., n ve t = 1, 2,..., Ti
i
i
Ti xTi
modelinde, i. birey için, & i ,Ti +1
+ & i ,T +1 ’nin önkestiriminin yap lmas yerine, ayn sonucu verecek
(
biçimde risk primi olarak adland r lan ko ullu ortalama, E yi ,Ti +1
i
25
)=µ+
i
’nin kestirimi ile
ilgilenmi tir.
E itlik (21)’deki model, sabit etkiler modeli ise genel ortalama N, aç k biçimde yaz lmay p i ’nin
içerisinde modele girer. Bu nedenle, i. bireyin ortalamas i dir. i ’nin en iyi do!rusal yans z kestiricisi
yi ’ dir. Model, rassal etkiler modeli ise y , µ’nün, yi y ise i ‘nin istenen özellikleri sa!layan
kestiricileridir. Bu durumda, yi , µ + i ’nin yans z kestiricisi olmas na ra!men etkin bir kestirici de!ildir.
Bu kestirici, hata kareler ortalamas n en küçük yapan kestirici olmad ! için, daha küçük hatay veren
kestirici, yi ve y ’nin do!rusal kombinasyonu olarak, c1 yi + c2 y biçiminde dü ünülebilir. Burada, c1 ve
c2 sabit de!erlerdir ve yans zl ! n sa!lanmas için c2 = 1 c1 varsay l r. Hata kareler ortalamas n en küçük
yapan c1,
c1 =
Ti # 2
# 2 + Ti# 2
(22)
E itlik (22)’de # 2 ve # 2 s ras yla i ve & it ’nin varyans d r. µ +
önkestiricisi c1 = zi kredibilite faktörü olmak üzere,
( µ + i ) EDYÖ = zi yi + (1
i ’nin
en iyi do!rusal yans z
zi ) y
(23)
biçiminde elde edilir [7]. Bu e itlik, risk priminin Bühlmann kredibilite kestiricisini vermektedir. E!er,
bireylerin gözlem say s de!i iklik gösteriyorsa, E itlik (23)’te y ’nin yerine, µ ’nün GEKK kestiricisi,
n
µˆGEKK =
zi yi
i =1
n
yerle tirilir.
zi
i =1
4.2. Bülmann-Straub kredibilite modeli
Bülmann&Straub [3], riske maruz kalan birim say lar n n bireylere göre farkl l k göstermesi durumunu
dikkate alarak, Bühlmann kredibilite modelini geni letmi tir. Bühlmann modelinde oldu!u gibi, E itlik
(16)’da verilen kar k do!rusal modelde K=q=1, xit = zit = 1 ve %1 = µ olsun. Bu varsay mlar alt nda, i.
bireyin t zaman dönemindeki hasar deneyimi a a! daki gibi gösterilsin,
yit = µ +
i
+ & it ,
i = 1, 2,..., n
t = 1,2,.., Ti
(24)
Bu modelde, yit ’ler, ortalama hasar miktar , hasar oran veya poliçe ba na dü en ortalama hasar miktar
olarak tan mlanabilir. yit , wit say da rastgele de!i kenin ortalamas olarak tan mlan r. Hata terimlerinin
ortalamas , E ( & i ) = 01xTi
(
ve varyans kovaryans matrisi, Ri = Var ( & i ) = # 2 kö5egen 1 / wi1 ,...,1 / wiTi
biçiminde gösterilsin. Bireysel etki {
varyans ile ayn da! l ma sahiptir.
i
i
} ‘ler birbirlerinden ba! ms zd r ve 0 ortalama, D = Var (
i
) =#
)
2
ve & it ‘lerin birbirlerinden ba! ms z olduklar varsay l r. µ, # 2 ve
# 2 parametreleri, portföyün risk yap s n karakterize etmeleri nedeniyle yap sal parametrelerdir [5].
26
Bühlmann-Straub modelinde, simgesel olarak kolayl k sa!lanmas aç s ndan bireyler için zaman
dönemlerinin e it oldu!u ve en yüksek de!erin T oldu!u varsay ls n. Kullan lacak olan kredibilite faktörü
ve a! rl kl ortalamalara ili kin notasyonlar a a! da verilmektedir [4]:
wi1 =
T
t =1
zi =
T
t =1
(25)
wi1
i =1
# 2 wi1
,
# 2 + # 2 wi1
yiw =
n
w11 =
wit ,
wit
yit ,
wi1
z1 =
n
(26)
zi
i =1
yww =
n
i =1
wi1
yiw ,
w11
y zw =
n
i =1
zi
yiw
z1
(27)
E itlik (27)’de, yiw ’ ler a! rl kl bireysel ortalamalard r. Bu notasyonlar kullan larak, i. birey için
Bühlmann Straub kredibilite kestiricisi,
zi yiw + (1 zi ) µˆ
(28)
µˆ = y zw , µ’nün GEKK kestiricisidir. Bu kestirici kullan larak, i ’nin EDYÖ’sü zi ( yiw y zw ) olarak elde
edilir. Böylece, Bühlmann-Straub modelinde µ + i risk priminin kredibilite kestiricisi a a! daki biçmde
elde edilir [5],
µˆ GEKK +
i , EDYÖ
= zi yiw + (1 zi ) y zw
(29)
4.3. Jewell’in hiyerar5ik kredibilite modeli
Jewell [12], kredibilite kuram nda iki a amal hiyerar ik model ile çal m t r. Bir portföyün, i indisi ile
gösterilen n sektöre ayr ld ! varsay ls n. Her sektörde de, j indisi ile gösterilen toplam J i hücre olsun.
( i, j )
hücresinde t indisi ile gösterilen Tij gözlem olsun. i. sektörde, j. bireyin t zaman döneminde
gözlenen riski,
yi jt = % + µi + 2 i j + & i j t ,
i = 1, 2,..., n, j = 1, 2,..., J i , t = 1, 2,..., Ti j
(30)
biçiminde gösterilsin.
Bu modelde, µi ve 2 ij ’lerin birbirinden ba! ms z oldu!u varsay l r. µi , i. sektördeki bireyler için, % ’dan
sapma miktar n , 2 ij , i. sektördeki j. bireyin, ko ullu beklenen hasardan sapma miktar n ve & i j t , yi jt
gözlem de!erinin % + µi + 2 i j ’den sapma miktar n gösterir. Jewell’in hiyerar ik kredibilite modelinin
E itlik (16)’da verilen kar k do!rusal model cinsinden gösterimine geçildi!inde, sektörlerdeki birey
say s n n en fazla q = max ( J1 , J 2 ,..., J n ) oldu!u dü ünülsün. i. sektör için toplam zaman dönemi say s
Ti =
Ji
Ti j dir. Yeni bir de!i ken,
j =1
ij
= µi + 2 i j
tan mlans n ve
i
=
(
i1 ,
i 2 ,...,
iq
)'
biçiminde
gösterilsin. Bu modelde aç klay c de!i ken olmad ! için X i = 1 , Ti x1 boyutlu bir (1) say s ndan olu an
vektör olur. ek, k. eleman 1 olup, di!er elemanlar s f r (0) say s ndan olu an sütun vektörü ve 1rxs, r x s
27
(
boyutlu 1 say lar ndan olu an matris olmak üzere, Z i1 = e1 11xTi1 , e2 11xTi 2 ,..., eJi 11xTiJ
i
)'
biçimimde
tan mlans n. Bu tan ma göre, Z i = ( Z i1 0 ) olur. Burada 0, Ti x ( q J i ) boyutlu 0 say s ndan olu an
(
Ri = Var ( & i ) = # 2 kö5egen 1 / wi jt
matristir.
tan mland ! nda, D = Var (
i
)
) = # µ2 1qxq + # 22 I q
‘dir.
Var ( µi ) = # µ2
ve
( )
Var 2 ij = # 22
olarak
biçiminde elde edilir [5].
Bühlmann-Straub modeline benzer olarak a! rl klar a a! daki gibi elde edilir,
wi j1 =
Tij
wi11 =
wi j t ,
t =1
Ji
w111 =
wi j1 ,
j =1
n
wi 11
(31)
i =1
(i,j) hücresi ve i. sektör seviyesinde kredibilite faktörleri s ras yla a a! daki gibi elde edilir ([4];[5]),
zi j =
zi =
# 22 wi j1
(32)
# 22 wi j1 + # 2
# µ2 zi1
(33)
# µ2 zi1 + # 22
Poliçeler veya bireyler için a! rl kl ortalama ve kredibilite faktörü ile a! l kland r lm sektör ortalamas
a a! daki biçimde hesaplan r,
Ti j
yi j w =
yi z w =
wi j t
t =1
wi j1
Ji
zi j
j =1
zi1
(34)
yi j t
(35)
yi j w
Bu gösterimler kullan larak D parametresinin GEKK kestiricisi,
n
%ˆGEKK = y z zw =
i =1
zi
yi z w
z1
(36)
Yukar da verilen notasyon ve kestiriciler kullan larak, µi ve 2 i j ’nin en iyi do!rusal yans z önkestiricileri,
µi , EDYÖ = zi ( yizw
2 i j , EDYÖ = zi j ( yi jw
y zzw )
zi yizw
(37)
(1
zi ) y z zw
)
(38)
biçimlerinde elde edilir. E itlik (37) ve (38) kullan larak, i. sektör ve (i,j) hücresi için risk priminin
kredibilite kestiricileri s ras yla a a! daki gibi elde edilmektedir [5],
%GEKK + µi , EDYÖ = zi yi zw + (1 zi ) y z z w
(39)
%GEKK + µi , EDYÖ + 2 i j , EDYÖ = zi j yi jw + (1 zi j ) zi yizw + (1 zi ) y z zw
(40)
28
5. Uygulama
Çal mada kullan lan veri kümesi, Trafik Sigortalar Bilgi Merkezinden (TRAMER) al nan, Karayollar
Motorlu Araçlar Zorunlu Mali Sorumluluk Sigortas alt nda otomobil araç grubuna ili kin veri kümesidir.
Yap lan hesaplamalarda, 2006, 2007, 2008 ve 2009 y llar nda, Türkiye’nin 81 ilinde ödenen hasar miktar ,
muallak hasar miktar ve yürürlükteki (meri) poliçe say lar ndan yararlan lm t r.
yit = µ + i + & it , i = 1, 2,..., n ve t = 1, 2,..., Ti modeli dü ünüldü!ünde, i indisi ile gösterilen
birimler/bireyler, illeri temsil etmektedir. Qller otomobil plaka kodlar na göre s ralanm t r. i. ilin t
y l ndaki gözlem de!eri olan yit’ler, t y l nda ödenen hasar miktar ile muallak hasar miktar toplam n n,
aylara göre verilen yürürlükteki poliçe say lar n n ortalamas na bölünmesiyle elde edilmi tir. Hesaplanan
ortalama poliçe say lar , o y lda riske maruz kalan birim say lar olarak varsay lm t r. Bu poliçe say lar ,
Bühlmann-Straub ve Jewell’in hiyerar ik kredibilite modellerinde a! rl klar olu turmaktad r. Böylece,
veri kümesi, otomobil araç grubu için, 2006, 2007, 2008 ve 2009 y llar nda, 81 ilin y ll k poliçe ba na
dü en ortalama hasar miktar ve a! rl klar temsil eden ortalama poliçe say lar ndan olu mu tur. Veri
kümesinde, tüm illere ili kin bilgiler, dört y ll k zaman dönemi için elde edilmi tir. Tüm iller için zaman
dönemi e it oldu!undan, veri kümesi dengeli bir veri kümesidir.
Bireylerin ortalamalar ayn ise; genel ortalaman n kestirimi tüm bireylere prim olarak yüklenir. Bu
nedenle, bireylerin grup ortalamalar n n ( µi = µ + i ) birbirine e it olup olmad ! test edilmelidir. Tek
yönlü varyans analizi, iki veya ikiden fazla say da ba! ms z gruba ili kin ortalamalar n birbirine e it olup
olmad ! n n test edilmesinde kullan lan bir yöntemdir. Verilen normal da! ld ! varsay m alt nda bu testte
hipotezler öyledir [4]:
H 0 = µ1 = µ2 = ... = µ n
H1 = En az bir µi farkl6.
Bu test için gruplar aras kareler toplam (GAKT) ve grup içi kareler toplam (GQKT) hesaplan r. Bu
kareler toplam , serbestlik derecelerine bölündü!ünde gruplar aras ve grup içi ortalama elde edilmi olur.
H0 hipotezinin test edilmesi için F istatisti!i a a! daki gibi hesaplan r,
n
1
F=
GAO
=
GQO
( n 1) i =1
1
n (T 1)
n
T ( yi
T
i =1 t =1
( yit
y)
2
yi )
2
F istatisti!i, (n-1) ve n(T-1) serbestlik derecesi ile F da! l m na sahiptir. Bu veri kümesinde n=81 ve T=4
tür. Yap lan test sonucunda F istatisti!i 4,743 bulunmu tur. %95 güven düzeyinde kritik de!er 1,333 tür.
Hesaplanan F de!eri, F-tablo de!erinden büyük oldu!u için, H0 hipotezi, %5 yan lma düzeyinde
reddedilir. Sonuç olarak, tüm illerin grup ortalamas birbirine e it de!ildir, denilebilir. Bu durumda, illerin
etkisinin rassal oldu!u varsay larak, modelde bireysel etkiler ( i ) göz önüne al nabilir.
Dört y ll k toplam poliçe say lar dikkate al nd ! nda, en yüksek say da poliçe kesilen ilk on ilin s ras yla;
Qstanbul (34), Ankara (6), Qzmir (35), Antalya (7), Bursa (16), Konya (42), Adana (1), Qçel (33), Kayseri
(38) ve Mu!la (48) oldu!u görülmü tür. Son on il ise sondan ba layarak; Tunceli (62), Ardahan (75),
Hakkari (30), rnak (73), Bayburt (69), I!d r (76), Bingöl (12), Kilis (79), Siirt (56) ve Gümü hane
(29)’dir.
yit = µ +
i
E yi ,Ti +1
i
(
+ & it ,
)=µ+
i = 1, 2,..., n ve t = 1, 2,..., Ti
i
modelinde,
risk
primi
olarak
adland r lan,
’nin kestirimi ile ilgilenilmektedir. Herhangi bir dönemdeki risk primi genel olarak;
29
o döneme ili kin hasar s kl k oran n n (toplam hasar say s / riske maruz kalan birim say s ), ortalama
hasar miktar (toplam hasar miktar / toplam hasar say s ) ile çarp lmas ndan elde edilmektedir. Bu
çal mada, 2006, 2007, 2008 ve 2009 y llar için her ilde olu an toplam hasar miktar , ortalama poliçe
say lar na bölünerek poliçe ba na dü en ortalama hasar miktar bulunmu tur. R 2.9.2 aç k yaz l m sistemi
kullan larak s ras yla, Bühlmann, Bühlmann-Straub ve Jewell’in hiyerar ik modellerinde, her il için, 2010
y l risk primi olarak varsay lan poliçe ba na dü en ortalama hasar miktar n n kredibilite kestirimleri
(kredibilite primi) elde edilmi tir.
5.1. Bühlmann kredibilite modelinde risk priminin kestirimi
yit = µ + i + & it ,
i = 1, 2,...,81,
t = 2006,..., 2009 modelinde yit ’ler, i. ilde t y l nda poliçe ba na
dü en ortalama hasar miktar n temsil ederler. 2006, 2007, 2008 ve 2009 y llar için poliçe ba na dü en
ortalama hasar miktar verilmi ken, risk priminin ( E ( yi ,T +1 i ) = µ + i ) kredibilite kestiricisi a a! daki
gibi elde edilmektedir,
( µ + i ) EDYÖ = z yi + (1
z) y
Çizelge 1’de, iller baz nda bireysel ortalama, kredibilite faktörü ve kredibilite primi verilmektedir.
Çizelge 1. Bühlmann kredibilite modelinde iller baz nda; bireysel ortalama, kredibilite faktörü ve
kredibilite primi.
Araç plaka koduna göre
iller
Bireysel ortalama
Kredibilite faktörü
Kredibilite primi (TL.)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
88,063
76,512
69,282
100,153
68,939
127,489
92,742
82,244
66,380
67,623
82,727
144,465
99,242
64,083
47,255
112,144
65,519
85,012
86,691
82,056
128,693
63,104
85,488
72,401
107,022
87,746
96,218
105,147
90,729
75,800
69,284
68,258
82,171
154,468
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
87,152
78,036
72,331
96,693
72,060
118,265
90,845
82,560
70,041
71,022
82,941
131,661
95,974
68,228
54,949
106,155
69,361
84,744
86,069
82,412
119,215
67,455
85,120
74,792
102,114
86,902
93,587
100,634
89,256
77,475
72,333
71,523
82,502
139,555
( yi )
( z)
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
108,887
68,925
53,121
90,880
49,621
71,429
121,058
76,250
57,910
88,426
61,925
75,778
88,757
71,503
106,903
61,110
69,671
106,351
95,159
99,674
100,688
128,293
62,327
83,301
79,127
69,972
98,221
60,674
82,028
71,164
100,031
84,505
76,957
71,721
71,413
53,681
79,543
119,060
96,900
53,389
65,134
97,441
93,549
70,641
35,862
60,223
98,811
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
0,78914
30
103,585
72,050
59,578
89,375
56,816
74,026
113,190
77,830
63,357
87,439
66,525
77,457
87,699
74,084
102,020
65,882
72,638
101,584
92,752
96,315
97,115
118,900
66,843
83,394
80,100
72,875
95,168
65,538
82,390
73,817
96,596
84,345
78,388
74,256
74,013
60,020
80,429
111,613
94,125
59,789
69,058
94,553
91,481
73,403
45,958
65,183
95,634
Bühlmann kredibilite modelinde genel ortalaman n kestirimi, y = 83.74 TL olarak elde edilmi tir. Veri
kümesi dengeli oldu!u için kredibilite faktörleri tüm iller için ayn d r. Çizelge 1’e bak ld ! nda, bireysel
ortalamas genel ortalaman n kestiriminden dü ük olan illerin kredibilite primleri, bireysel ortalamalar na
göre art göstermi ; bireysel ortalamas genel ortalaman n kestiriminden yüksek olan illerin kredibilite
primleri ise bireysel ortalamalar na göre azal göstermi tir. Bu durum, ne tam homojen ne de tam
heterojen olacak kadar geni hasar deneyimine sahip olmayan birimlerden olu an bir portföyde, kredibilite
primlerinin hesaplanmas na örnek te kil etmektedir.
Veri kümesine bak ld ! nda, baz illerin y ll k poliçe ba na dü en ortalama hasar miktarlar n n yüksek
olmas nedeniyle bireysel ortalamalar n n da yüksek oldu!u görülmektedir. Bu iller genellikle trafik
yo!unlu!unun ve poliçe say s n n yüksek oldu!u, büyük nüfusa sahip illerdir (Qstanbul (34), Ankara (6),
Qzmir (35) v.b). Bu illerin d nda, Batman (72), Bingöl (12), Siirt (56) gibi trafik yo!unlu!unun ve poliçe
31
say s n n dü ük oldu!u, az nüfusa sahip baz illerde y ll k poliçe ba na dü en ortalama hasar miktarlar n n
yüksek oldu!u ve dolay s yla kredibilite primlerinin de yüksek de!erlerde oldu!u görülmü tür. Bu durum
hakk nda, bu illerde poliçe say s n n dü ük olmas ve gerçekle en yüksek miktarlardaki hasarlar n az
say da poliçeye yay lmas yorumu yap labilir.
5.2. Bühlmann-Straub kredibilite modelinde risk priminin kestirimi
Bu modelde, gözlem de!erleri, yit ’lerin, wit say da rastlant de!i keninin ortalamas oldu!u varsay lmakta
olu turmaktad r.
ve
ortalama
poliçe
say lar ,
modelde
a! rl klar
(wit)
yit = µ + i + & it ,
i = 1, 2,...,81,
t = 2006,..., 2009 modelinde, yit , i. ilde t y l nda poliçe ba na
dü en ortalama hasar miktar d r. 2006, 2007, 2008 ve 2009 y llar için poliçe ba na dü en ortalama hasar
miktarlar ve a! rl klar verilmi ken, risk priminin ( E ( yi ,T +1 i ) = µ + i ) kredibilite kestiricisi a a! daki
gibi elde edilmektedir,
( µ + i ) EDYÖ = zi yiw + (1
zi ) y zw
Çizelgede 2’de iller baz nda; a! rl kl ortalama, toplam poliçe say s (a! rl k), kredibilite faktörü ve
kredibilite primi verilmektedir.
Çizelge 2. Bühlmann-Straub kredibilite modelinde iller baz nda; a! rl kl ortalama, a! rl k, kredibilite
faktörü ve kredibilite primi.
Araç plaka koduna
göre iller
A! rl kl
ortalama ( yiw )
A! rl k ( wit )
Kredibilite
faktörü ( zi )
Kredibilite primi
(TL)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
88,398
77,020
70,207
100,933
70,069
128,593
93,475
82,115
66,733
68,587
83,598
146,116
98,897
64,768
47,862
112,995
66,184
87,793
88,375
82,531
129,835
63,572
86,260
73,329
107,466
88,401
96,449
106,370
92,925
78,133
69,107
69,362
82,787
612.825
81.205
156.203
24.852
96.771
3.051.415
925.219
28.869
337.967
378.195
54.420
13.010
18.613
93.171
109.321
891.707
148.687
24.107
149.728
378.494
104.133
124.436
119.261
52.055
117.433
326.284
357.191
67.178
16.586
8.254
335.413
163.268
465.650
0,95251
0,72663
0,83641
0,44857
0,76005
0,99009
0,96804
0,48585
0,91710
0,92526
0,64046
0,29866
0,37860
0,75307
0,78158
0,96687
0,82955
0,44105
0,83053
0,92531
0,77317
0,80288
0,79607
0,63016
0,79355
0,91438
0,92121
0,68739
0,35187
0,21270
0,91652
0,84237
0,93843
88,223
79,128
72,583
91,998
73,587
128,158
93,195
83,459
68,225
69,793
84,005
103,063
90,094
69,697
55,914
112,058
69,345
86,081
87,757
82,695
119,603
67,743
85,948
77,546
102,772
88,086
95,526
99,605
87,614
83,327
70,411
71,785
82,907
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
155,088
109,471
69,554
54,150
92,012
50,326
72,080
122,657
77,065
58,421
89,171
62,372
77,062
89,024
71,858
106,898
61,693
70,342
107,167
96,091
100,768
101,566
128,396
63,294
84,421
80,187
70,115
98,868
62,811
81,879
71,857
100,592
87,094
77,434
72,844
72,060
55,017
81,849
122,058
96,463
54,498
67,730
97,643
95,183
71,063
36,215
61,205
100,463
6.256.944
1.647.497
23.158
110.818
451.183
101.091
63.637
373.496
642.993
209.143
158.132
375.387
196.584
41.558
388.174
17.978
82.721
68.576
130.614
56.236
233.852
311.250
14.878
52.506
144.686
188.481
138.797
169.282
5.253
192.409
119.488
73.197
82.250
201.593
96.800
11.486
68.610
51.834
33.813
11.023
52.435
6.155
12.773
48.041
84.733
14.664
120.574
82.894
0,99514
0,98179
0,43118
0,78389
0,93658
0,76792
0,67564
0,92439
0,95464
0,87254
0,83808
0,92474
0,86549
0,57632
0,92704
0,37046
0,73029
0,69180
0,81044
0,64798
0,88445
0,91062
0,32750
0,63217
0,82566
0,86052
0,81960
0,84712
0,14671
0,86298
0,79638
0,70553
0,72916
0,86840
0,76010
0,27323
0,69190
0,62917
0,52534
0,26515
0,63185
0,16769
0,29482
0,61127
0,73499
0,32431
0,79784
0,73070
32
154,747
109,020
78,186
60,759
91,550
58,310
76,183
119,790
77,413
61,774
88,452
64,055
78,094
87,204
72,798
92,942
67,907
74,777
102,914
92,092
98,914
100,061
99,031
71,179
84,475
80,820
72,752
96,706
81,514
82,270
74,478
95,921
86,454
78,394
75,696
81,268
64,172
82,917
104,340
87,841
65,628
81,879
88,537
91,119
74,685
68,996
65,961
96,226
Bühlmann-Straub kredibilite modelinde genel ortalaman n kestirimi, µˆGEKK = y zw =84,73 TL olarak elde
edilmi tir. Bu modelde illerin kredibilite primlerine bak ld ! nda yine poliçe ba na dü en ortalama hasar
miktar ve poliçe say s yüksek olan illerin kredibilite primlerinin di!er illere göre yüksek ç kt !
görülmektedir. Bühlmann modelinin sonuçlar ile kar la t r ld ! nda, trafik yo!unlu!u ve nüfusu az olup,
poliçe ba na dü en ortalama hasar miktar yüksek olan illerin kredibilite primlerinin bu modelde daha
makul seviyelere geriledi!i, genel ortalaman n kestirimine daha çok yakla t ! görülmü tür. Bu durum,
a! rl klar n modele etkisinin bir sonucu olarak yorumlanabilir.
33
5.3. Jewell’in hiyerar5ik kredibilite modelinde risk priminin kestirimi
Bu modelde iller, Türkiye’deki co!rafi bölgelere göre ayr lm t r. i. co!rafi bölgede, j. ilin t y l ndaki
a! rl ! n ( wijt ) ortalama poliçe say lar temsil etmektedir. yi jt , i. co!rafi bölgede, j. ilin t y l nda poliçe
ba na dü en ortalama hasar miktar n temsil etmektedir. Türkiye’de yedi adet co!rafi bölge oldu!u için
hiyerar ik model a a! daki gibi ifade edilir,
yi jt = % + µi + 2 i j + & i j t ,
i = 1, 2,...,7, j = 1, 2,..., J i , t = 2006,...,2009
i. co!rafi bölge ve i. co!rafi bölgedeki j. il için risk priminin kredibilite kestiricileri s ras yla,
( % + µi ) EDYÖ = zi yi zw + (1
(% + µ +2 )
i
i j EDYÖ
zi ) y z z w
(
= zi j yi jw + 1 zi j
)(% + µ )
i EDYÖ
(
= zi j yi jw + 1 zi j
)
zi yizw + (1 zi ) y z zw
biçiminde elde edilmektedir.
Co!rafi bölgeler, Çizelge 3’te gösterildi!i gibi numaraland r lm t r.
Çizelge 3. Türkiye’nin co!rafi bölgeleri ve numaralar .
Numara
Co!rafi Bölge
1
2
3
4
5
6
7
Marmara
Ege
Akdeniz
Qç Anadolu
Do!u Anadolu
Güneydo!u Anadolu
Karadeniz
Çizelge 4’te Jewell’in hiyerar ik kredibilite modelinde bölgeler baz nda elde edilen; a! rl kl ortalama,
kredibilite faktörü ve kredibilite primi verilmektedir.
Çizelge 4. Jewell’in hiyerar ik kredibilite modelinde bölgeler baz nda; a! rl kl ortalama, kredibilite
faktörü ve kredibilite primi.
Co!rafi Bölge
A! rl kl Ortalama ( yizw )
Kredibilite Faktörü ( zi )
Kredibilite Primi (TL)
3
6
2
5
7
4
1
95,145
75,293
75,620
84,700
93,296
96,338
82,732
0,02738
0,02245
0,02178
0,02795
0,01522
0,01361
0,03276
85,600
85,106
85,120
85,314
85,452
85,481
85,246
Bölgelerin kredibilite primlerinin birbirine yak n ç kmas n n nedeni olarak, farkl bölgeler aras ndaki
heterojenli!in ölçüsü olan varyans bile eninin ( #ˆ µ2 ) kestiriminin 1,6315 gibi küçük bir say olarak elde
edilmesi; bölgeler baz nda kredibilite faktörlerinin dü ük ç kmas ve kredibilite primlerinin kestiriminde,
büyük a! rl ! n genel ortalaman n kestirimine verilmesi gösterilebilir.
Çizelgede 5’te co!rafi bölgelere göre ayr lan iller baz nda; a! rl kl ortalama, a! rl k, kredibilite faktörü ve
kredibilite primi verilmektedir.
34
Çizelge 5. Jewell’in hiyerar ik kredibilite modelinde co!rafi bölgelere göre ayr lan iller baz nda; a! rl kl
ortalama, a! rl k, kredibilite faktörü ve kredibilite primi.
Co!rafi bölge
3
6
2
5
7
4
3
7
2
1
1
5
5
7
3
1
1
4
7
2
6
1
5
5
5
4
6
7
7
5
3
3
3
1
2
5
7
4
1
4
1
4
2
5
2
3
6
2
5
4
4
7
7
1
7
6
7
Araç plaka
koduna göre
iller
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
A! rl kl
(
ortalama yi jw
88,398
77,020
70,207
100,933
70,069
128,593
93,475
82,115
66,733
68,587
83,598
146,116
98,897
64,768
47,862
112,995
66,184
87,793
88,375
82,531
129,835
63,572
86,260
73,329
107,466
88,401
96,449
106,370
92,925
78,133
69,107
69,362
82,787
155,088
109,471
69,554
54,150
92,012
50,326
72,080
122,657
77,065
58,421
89,171
62,372
77,062
89,024
71,858
106,898
61,693
70,342
107,167
96,091
100,768
101,566
128,396
63,294
)
(
A! rl k wi jt
612.825
81.205
156.203
24.852
96.771
3.051.415
925.219
28.869
337.967
378.195
54.420
13.010
18.613
93.171
109.321
891.707
148.687
24.107
149.728
378.494
104.133
124.436
119.261
52.055
117.433
326.284
357.191
67.178
16.586
8.254
335.413
163.268
465.650
6.256.944
1.647.497
23.158
110.818
451.183
101.091
63.637
373.496
642.993
209.143
158.132
375.387
196.584
41.558
388.174
17.978
82.721
68.576
130.614
56.236
233.852
311.250
14.878
52.506
)
Kredibilite
( )
faktörü zi j
0,89264
0,52421
0,67942
0,25216
0,56766
0,97642
0,92622
0,28145
0,82096
0,83690
0,42475
0,15003
0,20162
0,55833
0,59730
0,92366
0,66858
0,24647
0,67013
0,83701
0,58555
0,62802
0,61805
0,41393
0,61439
0,81574
0,82895
0,47684
0,18370
0,10071
0,81985
0,68898
0,86335
0,98836
0,95718
0,23908
0,60057
0,85958
0,57834
0,46335
0,83519
0,89716
0,73942
0,68209
0,83588
0,72731
0,36055
0,84043
0,19609
0,52882
0,48198
0,63927
0,43278
0,76036
0,80854
0,16796
0,41602
Kredibilite primi
(TL)
88,046
81,046
74,984
89,356
76,631
127,572
92,859
84,365
70,022
71,362
84,750
94,554
88,163
73,813
62,865
110,903
72,619
85,925
87,343
82,951
111,452
71,766
85,952
80,434
98,977
87,832
94,573
95,319
86,657
84,715
71,992
74,263
83,106
154,279
108,428
81,651
66,571
91,071
65,200
79,182
116,550
77,914
65,374
87,989
66,103
79,259
86,758
73,972
89,658
72,823
78,098
99,259
89,940
97,133
98,441
92,689
76,113
4
1
7
7
5
6
2
5
4
7
4
7
4
4
6
6
7
5
5
1
7
6
3
7
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
84,421
80,187
70,115
98,868
62,811
81,879
71,857
100,592
87,094
77,434
72,844
72,060
55,017
81,849
122,058
96,463
54,498
67,730
97,643
95,183
71,063
36,215
61,205
100,463
144.686
188.481
138.797
169.282
5.253
192.409
119.488
73.197
82.250
201.593
96.800
11.486
68.610
51.834
33.813
11.023
52.435
6.155
12.773
48.041
84.733
14.664
120.574
82.894
0,66251
0,71889
0,65316
0,69667
0,06653
0,72304
0,61850
0,49827
0,52740
0,73228
0,56773
0,13483
0,48210
0,41289
0,31449
0,13010
0,41569
0,07708
0,14770
0,39461
0,53481
0,16594
0,62063
0,52934
35
84,722
81,708
75,363
94,736
83,946
82,877
76,912
92,996
86,253
79,526
78,234
83,468
70,708
83,883
96,984
86,910
72,464
84,086
87,253
89,381
77,661
77,306
70,278
93,301
Jewell’in hiyerar ik kredibilite modelinde genel ortalaman n kestirimi, %ˆGEKK = y z zw = 85,33 TL olarak
elde edilmi tir. Çizelge 5’ten, bölgelere göre ayr lm illerin kredibilite primlerine bak ld ! nda ayn
ekilde, toplam poliçe say s ve poliçe ba na dü en ortalama hasar miktar yüksek olan Qstanbul, Ankara
gibi büyük ehirlerin kredibilite primlerinin di!er illere oranla daha yüksek ç kt ! görülmektedir. Ayr ca,
daha önce de de!inilen poliçe ba na dü en ortalama hasar miktar yüksek olup, ortalama poliçe say s
dü ük olan Bingöl, Batman gibi illerin kredibilite primlerinin Bühlmann-Straub modeline k yasla daha da
geriledi!i, daha makul seviyelere dü tü!ü görülmektedir. Burada, illerin, co!rafi bölgelere göre
ayr lmas n n etkisi görülmü tür.
6. Sonuç ve öneriler
Bu çal mada, kredibilite modelleri ile panel veri modelleri aras ndaki ba!lant incelenmi , kredibilite
modelleri, panel veri modelleri ba!lam nda yorumlanm t r.
En fazla kesinlik kredibilite yakla m alt nda verilen Bühlmann, Bühlmann-Straub ve Jewell’in hiyerar ik
kredibilite modelleri, kar k do!rusal modellerin özel durumlar olarak incelenmi tir.
Gerçek bir veri kümesi kullan larak yap lan uygulama ile, Bühlmann, Bühlmann-Straub ve Jewell’in
hiyerar ik kredibilite modelleri alt nda, veri kümesindeki her birim için 2010 y l kredibilite primleri elde
edilmi tir. Kullan lan veri kümesi, Karayollar Motorlu Araçlar Zorunlu Mali Sorumluluk Sigortas alt nda
otomobil araç grubuna ili kin veri kümesidir. Gözlem birimleri, Türkiye’deki 81 ildir. Qllerin, 2006, 2007,
2008 ve 2009 y llar nda poliçe ba na dü en ortalama hasar miktar ve ortalama poliçe say lar na ili kin
bilgilerden yararlan lm t r.
Öncelikle tüm illere ili kin grup ortalamalar n n birbirine e it olup olmad ! tek yönlü varyans analizi ile
test edilmi tir. Bu test sonucunda, tüm illerin grup ortalamalar n n birbirine e it oldu!una dair yokluk
hipotezi %5 yan lma düzeyinde reddedilmi tir. Qller baz nda, risk priminin kredibilite kestirimlerinin elde
edilmesi amac yla kullan lan modellerde illerin etkisinin rassal oldu!u varsay lm ve Bühlmann,
Bühlmann-Straub kredibilite modelleri alt nda, her il için kredibilite primi hesaplanm t r. Ayr ca,
Jewell’in hiyerar ik kredibilite modelinde, iller, co!rafi bölgelere ayr lm , hem bölgeler baz nda hem
bölgelere ayr lan iller baz nda kredibilite primleri elde edilmi tir.
36
Kestirim sonuçlar na göre, kredibilite primlerinin, poliçe ba na dü en ortalama hasar miktarlar n n yüksek
oldu!u illerde yüksek, poliçe ba na dü en ortalama hasar miktarlar n n dü ük oldu!u illerde ise daha
dü ük oldu!u görülmü tür. Qllerin kredibilite primlerinin beklendi!i gibi, bireysel ortalama veya a! rl kl
bireysel ortalamalar ile genel ortalaman n kestirimi aras nda bir de!er ald ! gözlenmi tir. Di!er iller ile
kar la t r ld ! nda ortalama poliçe say lar n n dü ük oldu!u baz illerde, y ll k poliçe ba na dü en
ortalama hasar miktar n n yüksek oldu!u ve dolay s yla kredibilite primlerinin yüksek ç kt ! görülmü tür.
Bu sorunun giderilmesi için, iller, co!rafi bölgeler yerine hasar s kl klar ve trafik yo!unluklar na göre
grupland r labilir ve bu gruplara göre prim fiyatland rmas yap labilir.
Uygulamada verilen modeller dü ünüldü!ünde, kullan lan veri kümesinde aç klay c de!i ken
bulunmamas nedeniyle sadece ba! ml de!i kenle ilgili bilgiden yararlan lm t r. Bu sebeple, sigorta
portföyüne ili kin aç klay c de!i kenlerin de bulundu!u bir panel veri kümesi kullan larak uygun modelin
olu turulmas ve kredibilite kestirimlerinin elde edilmesi için yeni bir çal man n yap lmas ara t rmac lara
önerilebilir [17].
Kaynaklar
[1] B. H. Baltagi, (2001) Econometric Analaysis of Panel Data, Second Edition, Wiley, New York.
[2] H. Bühlmann, (1967), Experience Rating and Credibility, ASTIN Bulletin, 4:199-207.
[3] H. Bühlmann, E. Straub, (1970), Glaubwürdigkeit für Schadensätze, Mitteilungen der Vereinigung,
Schweizerischer Versicherungsmathematiker, 70 (1):111-133.
[4] D. R. Dannenburg, R. Kaas, M. J. Goovaerts, (1996), Practical Actuarial Credibility Models, Institute of
Actuarial Science and Econometrics, University of Amsterdam, The Netherlands.
[5] E. W. Frees, V. R. Young, Y. Lou, (1999), A Longitudinal Data Analysis Interpretation of Credibility Models,
Insurance: Mathematics and Economics, 24: 229-247.
[6] E. W. Frees, V. R. Young, Y. Lou, (2001), Case Studies Using Panel Data Models, North American Actuarial
Journal.
[7] E. W. Fress, (2004), Longitudinal and Panel Data: Analysis and the Applications in the Social Sciences,
Cambridge University Press, U.K.
[8] E. W. Frees, P. Wang, (2005), Credibility Using Copulas, North American Actuarial Journal, 9 (2), pp.31–48.
[9] W. H.Greene, (2003), Econometric Analysis, New York University.
[10] T. L. Herzog, (1999), Introduction to Credibility Theory, third adition, ACTEX. Abington.
[11] C. Hsiao, (2002), Analysis of Panel Data, Second Edition, Cambridge University Press.
[12] W.S. Jewell, (1975), The Use of Collateral Data in Credibility Theory: a Hierarchical Model, Giornale
dell'Istituto Italiano degli Attuari, 38, 1-16.
[13] R. Kaas, M. Goovaerts, J. Dhaene, M. Denuit (2001), Modern Actuarial Risk Theory, Kluwer Academic
Publisher, Dordrecht, The Netherlands.
[14] S. Klugman, H. Panjer, G. Willmot, (2004), Loss Models from Data to Decisions. Willey, New York.
[15] L.H. Longley-Cook, (1962), An Introduction to Credibility Theory, Proceeding of the Casualty Actuarial
Society 49, 194-221.
[16] S.R. Searle, G. Casella, C. E. McCulloch, (1992), Variance Components, New York.
[17] A. entürk, (2010), Kredibilite Teorisinde Panel Veri Modelleri, Yüksek Lisans Tezi, Hacettepe Üniversitesi,
Ankara.

PDF ( 3 ) - İstatistikçiler Dergisi

Transkript

Benzer belgeler