UTM ve Gauss-Krüger Projeksiyonu ( ) ( ) ( )ϕ

UTM ve Gauss-Krüger Projeksiyonu
İ.Öztuğ BİLDİRİCİ
Ülkemizde büyük ve küçük ölçekli harita üretimlerinde kullanılan UTM (1:25000 ve küçük
ölçeklerde) ve Gauss-Krüger (1:5000 ve büyük ölçeklerde) projeksiyonları ile çalışmalarda
karşılaşılan hesaplamalar burada ele alınmaktadır. Daha önce formül özeti olarak hazırladığım
bir dokümanı gözden geçerek kartograf köşesi için yeniden düzenledim.
Meridyen Yay Uzunluğu
Referans elipsoidinin a ve b eksenleri ya da a ekseni ve basıklık (f) verilmesi durumunda
birinci ve ikinci eksantrisite parametreleri hesaplanır.
Basıklık eksen ilişkisi:
a−b
f =
a
Birinci Eksantrisite:
a2 − b2
a2
İkinci Eksantrisite:
e=
a 2 − b2
b2
a,b ve e' parametrelerine göre (ikinci eksantrisite kullanılarak) meridyen yay uzunluğu hesabı
için ilk olarak aşağıdaki katsayılar hesaplanır.
e′ =
α=
a 2  3 2 45 4 175 6 11025 8 
e′ +
e′ 
1 − e′ + e′ −
b  4
64
256
16384 
β =−
a 2  3 2 15 4 525 6 2205 8 
e′ −
e′ 
 e′ − e′ +
2b  4
16
512
2048 
a 2  15 4 105 6 2205 8 
e′ +
e′ 
 e′ −
4b  64
256
4096 
a 2  35 6 215 8 
δ= 
e′ −
e′ 
6b  512
2048 
γ=
Meridyen yay uzunluğu hesaplanan katsayılarla aşağıdaki gibi bulunur:
B = αϕ + β sin (2ϕ ) + γ sin (4ϕ ) + δ sin (6ϕ )
Yukarıdaki ifadede ϕ radyan biriminde olmalıdır.
Coğrafi Koordinatlardan Gauss-Krüger Koordinatlarının Hesabı
Gauss-Krüger koordinatları,
η
2
= e ′ 2 cos
2
ϕ
N=
a2
b 1+η2
∆λ = λ − λ 0
olmak üzere aşağıdaki gibi hesaplanır. λ 0 dilim orta meridyenini göstermektedir.
N
N
cos 2 ϕ tan ϕ∆λ2 + cos 4 ϕ tan ϕ 5 − tan 2 ϕ + 9η 2 ∆λ4
2
24
N
N
y g = N cos ϕ∆λ + cos 3 ϕ 1 − tan 2 ϕ + η 2 ∆λ3 +
cos 5 ϕ 5 − 18 tan 2 ϕ + tan 4 ϕ ∆λ5
6
120
Üç derecelik dilimde koordinatlar:
(
xg = B +
(
)
)
(
)
Y3drc = y g + 500000m
X 3drc = x g
Altı derecelik dilimde koordinatlar (UTM koordinatları):
X 6 drc = x g * m 0
Y6 drc = y g * m 0 + 500000m
Burada m 0 küçültme faktörü olup, 0.9996 olarak alınır.
Yaygın Kullanılan Bazı Referans Elipsoitlerinin Boyutları
Elipsoit
a
b
f
Hayford 1924 (ED50)
6378388
6356911.9461
1/297.0
WGS84
6378137
6356752.314
1/298.257223563
GRS80
6378137
6356752.298
1/298.257
Bessel 1841
6377397.1550
6356078.9632
1/299.1528
Clarke 1880
3678249.145
6356514.990
1/293.466
Gauss-Krüger Koordinatlarından Coğrafi Koordinatların Bulunması
3 ya da 6 derecelik dilim sistemine göre verilen koordinatlardan x g , y g koordinatlarına
geçilir.
y g = Y3drc − 500000m
x g = X 3drc
x g = X 6 drc / m 0
y g = (Y6 drc − 500000m) / m 0
ilk olarak x koordinatına karşılık gelen enlem (ϕ f ) bulunur.
x g = αϕ f + β sin (2ϕ f ) + γ sin (4ϕ f ) + δ sin (6ϕ f
)
f (ϕ f ) = αϕ f + β sin (2ϕ f ) + γ sin (4ϕ f ) + δ sin (6ϕ f ) − x g = 0
f ′(ϕ f ) = α + 2 β cos(2ϕ f ) + 4γ cos(4ϕ f ) + 6δ cos(6ϕ f
)
olmak üzere iterasyon yapılmalıdır.
f ϕ fi
ϕ f i +1 = ϕ f i −
f ′ ϕ fi
( )
( )
iterasyona başlangıç değeri ,
ϕf =
0
xg
α
alınır, iterasyona
( )
( )
f ϕ fi
değeri yeterince küçük oluncaya kadar devam edilir.
f ′ ϕ fi
ϕ =ϕf −
∆λ =
tan ϕ f
2N
2
f
(1 + η 2f ) y g2 +
tan ϕ f
24 N
4
f
(5 + 3 tan
2
ϕ f + 6η 2f − 6η 2f tan 2 ϕ f )y g4
1 + 2 tan 2 ϕ f + η 2f 3
1
yg −
yg
6 N 3f cos ϕ f
N f cos ϕ f
Buradan elde edilen açılar radyan biriminde olacaktır.
Meridyen Yaklaşma Açısı
Herhangi bir noktada meridyen yaklaşma açısı aşağıdaki ifadeden bulunur.
∆λ3
γ = ∆λ sin ϕ +
sin ϕ cos 2 ϕ 1 + η 2
3
Burada da yine açı birimi radyandır.
(
)
Dilim Orta Meridyeninin Bulunması
Herhangi bir boylam değerine karşılık gelen dilim orta meridyeni altı derecelik dilim
sisteminde aşağıdaki gibi bulunabilir (açı birimi derecedir):
λ
λ0 = 6 int   + 3
6
UTM dilim numarası ise:
λ 
DN = int   + 31
6
Üç derecelik sistemde dilim orta meridyeni:
 λ + 1 .5 

 3 
λ0 = 3 int 
Dilimler ve Sistemler Arasındaki İlişki
UTM ve Gauss-Krüger sistemlerinde aynı noktanın projeksiyon düzlemlerindeki koordinatları
farklı olacaktır. Burada dikkat edilmesi gereken konular:
• Eğer nokta aynı dilimde ise koordinatlar arasında ölçek farkından kaynaklanan bir
farklılık vardır. Sağa değerlerin itibari sağa değer (500000m) ile toplanmamış hali
burada dikkate alınmalıdır.
• Farklı dilimlerde farklı projeksiyon düzlemi koordinat sistemleri söz konusudur. Bu
durumda coğrafi koordinatlar üzerinden sistemler arasında geçiş yapılmalıdır.
Bazı meslektaşlarımızdaki bir yanılgı da coğrafi koordinatların mutlak koordinatlar gibi
algılanmasıdır. Coğrafi koordinatlar kullanılan referans elipsoidine göre tanımlıdır. Bu
nedenle aynı noktanın coğrafi koordinatları farklı datumlarda farklı değerler alır. Pafta
bölümlemesi de coğrafi koordinatlar temel alınarak oluşturulduğundan bir paftanın
yeryüzünde karşılık geldiğin alan da referans elipsoidine bağlı olarak farklılık gösterir.