MATEMAT‹K

1 . B Ö L Ü M
MATEMAT‹K
Derginin bu say›s›nda Say›lar konusunda çözümlü sorular yer almaktad›r. Bu konuda, ÖSS’de ç›kan sorular›n
çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik yollar›, sorular›m›z›n çözümü içinde hat›rlatmay› amaçlad›k. ÖSS’de bu
konudan ortalama 8 soru ç›kmaktad›r. Derginin bundan sonraki say›s›nda da Say›lar konusu ele al›nacakt›r.
SORU
SORU
a, b, c birer tamsay› olmak üzere,
Ard›fl›k befl tek say›n›n toplam› üç basamakl› bir do¤al
say›ya eflit ise,
ab – 17
= c ise,
4
bu say›lardan en büyü¤ü, en çok kaç olabilir?
afla¤›dakilerden hangisi daima do¤rudur?
A) 199
A) c çift say›d›r.
B) c tek say›d›r.
C) a tek ve b çift say›d›r.
D) a ve b çift say›d›r.
E) a ve b tek say›d›r.
B) 201
C) 203
D) 205
E) 207
ÇÖZÜM
1. yol: n–4, n–2, n, n+2, n+4 ard›fl›k befl tek say›d›r.
Toplamlar›, 5n dir.
5n = 995 ⇒ n = 199 ⇒ n + 4 = 203 olur.
ÇÖZÜM
2. yol: Say›lar eflit olsa 5 tanesinin toplam› üç basamakl› en büyük ve 5 in kat› olan 995 say›s›na eflit olur.
995 i 5 ile bölersek, bölüm 199 olur. Yani ortadaki say› 199 olup bundan sonraki ard›fl›k tek say›lar 201 ve
203 tür. En büyü¤ü en çok 203 olur.
ab – 17 = 4c
ab = 4c + 17, 4c çift ve 17 tek oldu¤undan, 4c + 17
tek say› olur.
Dolay›s›yla a.b tektir. ‹ki say›n›n çarp›m› tek ise, say›lar›n ikisi de tektir. Bu nedenle a ve b tek say›d›r.
Yan›t : C
Yan›t : E
SORU
Befl farkl› sayma say›s›ndan ikisi 32 den büyüktür. Bu
say›lar›n toplam› 120 oldu¤una göre,
bu say›lardan en büyü¤ü en çok kaç olabilir?
SORU
A) 82
(2n–2) ve (3n+2) say›lar› ard›fl›k tamsay›lar ise,
B) – 6
C) – 5
D) 4
C) 64
D) 56
E) 52
ÇÖZÜM
n nin alabilece¤i de¤erler toplam› kaçt›r?
A) – 8
B) 81
Bu say›lardan ikisi 32 den büyük olaca¤›ndan biri 33,
di¤eri ise arad›¤›m›z x say›s›d›r. Di¤er üçü birbirinden
farkl› en küçük sayma say›lar› olmal›d›r.
1 + 2 + 3 + 33 + x = 120 eflitli¤inde, x = 81 olur.
E) 6
ÇÖZÜM
Yan›t : B
Ard›fl›k tamsay›lar aras›ndaki fark –1 veya 1 dir. Yani
farklar› mutlak de¤erce 1 dir.
| (2n – 2) – (3n + 2) | = 1
| –n – 4 |= 1 olur.
–n – 4 = 1 ⇒ n = –5 veya
–n – 4 = –1 ⇒ n = –3 olur.
–5–3 = –8 dir.
SORU
a, b, c pozitif tamsay›lar olmak üzere,
4a + 3b + 2c = 60 ise,
b + c toplam› en çok kaç olabilir?
Yan›t : A
1. SAYI
A) 19
4
B) 21
C) 23
D) 25
E) 27
ÇÖZÜM
SORU
(b + c) nin en büyük olmas› a n›n en küçük olmas›n›
gerektirir.
a = 1 için, 3b + 2c = 56 d›r.
3b + 2c = 56 ⇒ b + 2 (b + c) = 56 eflitli¤inde, b + c nin
en büyük de¤erini alabilmesi için b nin en küçük de¤erini almas› gerekir.
b + 2 (b + c) = 56 eflitli¤inde, b = 1 için b + c ∉ Z oldu¤undan, b = 2 için, b + c = 27 bulunur.
(ab), (ac), (ba) ve (bc) iki basamakl› say›lard›r.
(ab) + (ac) + (ba) + (bc) = 73
ise,
a + b + c toplam› kaçt›r?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
ÇÖZÜM
Yan›t : E
Çözümleme yap›l›rsa,
10a + b + 10a + c + 10b + a + 10b + c = 73
21a + 21b + 2c = 73
21 (a+b) + 2c = 73 olur. Buradaki a, b, c birer rakam oldu¤undan alabilece¤i de¤erler s›n›rl›d›r. Son eflitlik,
a + b = 3 ve c = 5 al›nd›¤›nda sa¤lan›r.
a + b + c = 8 olur.
SORU
Yan›t : A
a ve b pozitif tamsay›lar olmak üzere,
ab + a + 3b = 19 koflulunu sa¤layan kaç farkl› a de¤eri vard›r?
SORU
A)1
(abc) ve (cba) üç basamakl› iki say›d›r.
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
(abc) – (cba) = 297 oldu¤una göre,
ÇÖZÜM
bu koflulu sa¤layan kaç tane üç basamakl› (abc)
say›s› yaz›labilir?
ab + a + 3b = 19
b (a+ 3) = 19 – a
b=
19 – a –a –3 + 22
=
= –1 + 22 olur.
a+3
a+3
a+3
A) 64
Bu eflitlikte a ve b nin tamsay› olabilmesi için, a + 3 say›s›, 22 nin böleni olmal›d›r.
a + 3 = {–2, –1, –11, –22, 1, 2, 11, 22}
Ancak, a ve b nin pozitif tamsay› olmas› istendi¤inden,
a + 3 = 11 için koflul gerçekleflir.
Sadece, a = 8 için a, b ∈ Z+ olur.
B) 60
C) 48
D) 45
E) 30
ÇÖZÜM
Çözümleme yap›l›rsa,
100a + 10b + c – (100c + 10b + a) = 297
99 (a – c) = 297
a – c = 3 bulunur.
a = 9, c = 6 iken b, 10 farkl› de¤er al›r.
a = 8, c = 5 iken b, 10 farkl› de¤er al›r.
a = 7, c = 4 iken b, 10 farkl› de¤er al›r.
a = 6, c = 3 iken b, 10 farkl› de¤er al›r.
a = 5, b = 2 iken b, 10 farkl› de¤er al›r.
a = 4, b = 1 iken b, 10 farkl› de¤er al›r.
Toplam 60 farkl› abc say›s› yaz›labilir.
Yan›t : A
SORU
Yan›t : B
Birbirinden farkl› dört pozitif tamsay›n›n toplam› 162 dir.
Bu koflulu sa¤layan say›lardan en büyü¤ü en az
kaçt›r?
A) 41
B) 42
C) 43
D) 44
SORU
E) 45
(abc) üç basamakl› say›s› bir do¤al say›n›n karesine
eflittir.
Bu say›n›n yüzler basama¤›ndaki rakam 1 art›r›l›rsa,
elde edilen üç basamakl› say› baflka bir do¤al say›n›n
karesine eflit olmaktad›r.
ÇÖZÜM
Dördü de eflit olsa herbiri, 40 olur ve 2 artar.
Bu durumda say›lar; 39, 40, 41, 42 olur.
En büyü¤ü en az, 42 olur.
(abc) say›s›n›n rakamlar› toplam› kaçt›r?
Yan›t : B
1. SAYI
A) 16
5
B) 17
C) 18
D) 19
E) 20
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
abc = x2
abc + 100 = y2 (Bir say›n›n yüzler basama¤›ndaki rakam 1 art›r›l›rsa, say› de¤eri 100 artar.)
Bu iki ba¤›nt›dan,
y2 – x2 = 100
(y + x) (y – x) = 100 eflitli¤inde x ve y nin do¤al say›
ç›kmas› için y + x = 50
y – x = 2 al›nmal›d›r.
Buradan, y = 26 ve x = 24 bulunur.
abc = x2 = 242 = 576 d›r.
Rakamlar› toplam›, 5 + 7 + 6 = 18 olur.
(162a)7 = 73+ 6 . 72 + 2 . 7 + a toplam›nda, 73 tek ve
6 . 72 ile 2 . 7 çift olup bu say›lar›n toplam› tek say›d›r.
Tek say› ile a n›n toplam›n›n çift olmas› için a, 7 den
küçük (a, 7 taban›nda rakam oldu¤undan) tek rakamlar
olmal›d›r. Yani a; 1, 3 ve 5 de¤erlerini almal›d›r.
1 + 3 + 5 = 9 olur.
Yan›t : B
Yan›t : C
SORU
SORU
3.56 + 7.53 + 2 toplam›n›n 5 taban›ndaki yaz›l›fl›
afla¤›dakilerden hangisidir?
y ve 6 say› taban› olmak üzere,
A) 301202
x kaçt›r?
B) 302101
D) 3012002
(x42)y = (xxy)6 ise,
C) 3001202
E) 3021002
A) 1
ÇÖZÜM
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
ÇÖZÜM
3 . 56 + (5 + 2) . 53 + 2 = 3 . 56 + 54 + 2 . 53 + 2 dir.
Bu say›n›n 5 taban›ndaki efliti yaz›l›rken bu tabandaki
basamak de¤erlerine bak›larak, 56 lar hanesindeki rakam 3 ve 55 ler hanesindeki rakam s›f›rd›r. Bu ilkeyi di¤er basamaklar için de kullan›rsak say› (3012002)5 olur.
Taban, say›daki rakamlardan büyük olmal›d›r. Bu nedenle, 4 < y < 6 olup y = 5 tir.
(x42)5 = (xx5)6 eflitli¤indeki say›lar› çözümlersek,
25x + 20 + 2 = 36x + 6x + 5
Yan›t : D
x = 1 bulunur.
Yan›t : A
SORU
a say› taban› olmak üzere,
(146)a say›s›n›n (a+2) taban›ndaki yaz›l›fl› afla¤›dakilerden hangisidir?
A) 204
B) 202
C) 130
D) 103
E) 102
SORU
ABCD
ABC
AB
A
+
4800
ÇÖZÜM
Yandaki toplama ifllemine göre,
(146)a say›s›n› çözümler ve a + 2 taban›na göre düzenlersek,
(146)a = a2 + 4a + 6 = a2 + 4a + 4 + 2
A.B.C.D çarp›m› kaçt›r?
= (a + 2)2 + 2
= (102)a+2 bulunur.
A) 16
Yan›t : E
ÇÖZÜM
SORU
A = 3 veya A = 4 olur (toplam›n binler basama¤›na bak›n›z).
7 say› taban› olmak üzere,
A = 3 olamaz, çünkü A + B = 18 olamaz (A ve B rakam
oldu¤undan).
(162a)7 say›s› çift say› oldu¤una göre,
B) 18
C) 20
A . B . C . D = 24 bulunur.
A) 8
Yan›t : D
1. SAYI
C) 12
D) 15
E) 28
A = 4 ise, B = 3 ve C = 2, D = 1 olaca¤›ndan,
a n›n alabilece¤i de¤erlerin toplam› kaçt›r?
B) 9
D) 24
E) 16
6
SORU
Yandaki çarpma iflleminde a, b, c, d
ve noktalar birer rakamd›r.
SORU
abc
x 3d
5 • •
+ 546
• • • •
Dört basamakl› (5x4y) say›s› 5 ile bölündü¤ünde 1 ve
9 ile bölündü¤ünde 3 kalan›n› vermektedir.
Bu koflulu sa¤layan en büyük (5x4y) say›s› için x.y
çarp›m› kaçt›r?
Buna göre, a+b+c+d toplam› kaçt›r?
A) 13
B) 14
C) 15
D) 16
A) 8
E) 17
B) 10
C) 18
D) 24
E) 36
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
Bir say›n›n 5 ile bölümünden kalan 1 ise, birler basama¤›ndaki rakam 1 veya 6 d›r. Say› 5x41 veya 5x46
d›r.
546 = 3 . (abc) ⇒ (abc) = 182 dir.
182 . d = 5 • • ⇒ d = 3 tür.
a + b + c + d = 1 + 8 + 2 + 3 = 14 olur.
Say›n›n 9 ile bölümünden kalan, rakamlar› toplam›n›n
9 ile bölümünden kalana eflittir.
Yan›t : B
5 + x + 4 + 1 = 9k + 3 veya 5 + x + 4 + 6 = 9k +3
k = 1 iken x = 2 dir veya k = 2 iken x = 6 d›r.
(5x4y) say›s› en çok (5646) olur. x = 6 ve y = 6 d›r.
x . y = 36 olur.
SORU
Yan›t : E
Yandaki bölme iflleminde a ve b pozitif
tamsay›lard›r.
12
a
–
b
2b–8
Buna göre, a n›n en büyük de¤eri kaçt›r?
A) 118
B) 116
C) 112
D) 108
SORU
x > y olmak üzere,
20 basamakl› (xyxyxy ... xy) say›s› 15 ile tam bölünebilmektedir.
E) 102
ÇÖZÜM
Buna göre, x in alabilece¤i de¤erlerin toplam› kaçt›r?
Bölme özdeflli¤inden, 2b – 8 < 12 ⇒ b < 10 ve
a = 12b + 2b – 8
A) 23
B) 24
C) 25
D) 26
E) 27
a = 14b – 8 dir.
b en çok 9 olur. Bu durumda, a = 14 .9 – 8 = 118 bulunur. a n›n en büyük de¤eri 118 olur.
ÇÖZÜM
Yan›t : A
15 ile tam bölünebilmesi için say›n›n 3 ve 5 ile bölünmesi gerekir. 5 ile bölünebilmesi için birler basama¤›ndaki rakam 0 veya 5 olmal›d›r. y = 0 veya y = 5 tir.
x0x0 ... x0
veya
x5 x5 ... x5
10x = 3k
veya
10(x + 5) = 3t
x = 3k
x + 5 = 3t
x>y
x>y
x=3
x = 7 olur.
x=6
x = 9 olur.
Buradan, x in alabilece¤i de¤erlerin toplam›,
3 + 6 + 9 + 7 = 25 olur.
SORU
(3x5xy) befl basamakl› say›s› 10 ile bölündü¤ünde kalan x tir. Bu say› 11 ile tam bölünebildi¤ine göre,
y kaçt›r?
A) 2
B) 4
C) 5
D) 6
E) 8
ÇÖZÜM
Yan›t : C
Bir say›n›n 10 ile bölümünden kalan birler basama¤›ndaki rakamd›r. Bu nedenle, x = y dir.
Say› (3y5yy) olur. 11 ile bölünebilmesi için,
SORU
(3 + 5 + y) – (y + y) = 11k olmal›d›r.
8 – y = 11k
a, b ∈ Z+ ve a3 = 450.b ise,
k = 0 iken, y = 8 olur.
a+b toplam› en az kaçt›r?
Yan›t : E
A) 60
1. SAYI
7
B) 90
C) 100
D) 120
E) 150
ÇÖZÜM
a=
3
Her say› OBEB in kat› olaca¤›ndan, x in bir çarpan› 6
d›r. OKEK te bulunan 5 çarpan› 24 veya 18 in çarpan›
olmad›¤›ndan, x in çarpan› olmak zorundad›r. O halde,
x in en küçük de¤eri, 6 . 5 = 30 olur.
2 . 3 2 . 52 . b eflitli¤inde a n›n pozitif tamsay› ol-
mas› için, 2 . 32 . 52 . b nin küpkökü al›nabilmelidir. Bu-
Yan›t : A
nun için b en az, 22 . 3 . 5 = 60 olmal›d›r.
a=
3
23 . 33 . 53 = 2 . 3 . 5 = 30 olur. Buradan,
a + b = 60 + 30 = 90 bulunur.
Yan›t : B
SORU
a ve b aralar›nda asal iki say›d›r.
OKEK (a, b) + OBEB(a, b) = 121 ise,
a+b toplam› en az kaçt›r?
SORU
A) 18
240 ve 300 say›lar›n›n ikisini de bölebilen kaç tane
pozitif tamsay› vard›r?
B) 22
C) 23
D) 26
E) 29
ÇÖZÜM
A) 8
B) 9
C) 10
D) 12
E) 15
Aralar›nda asal iki say›n›n OBEB i 1 e, OKEK i ise say›lar›n çarp›m›na eflittir.
OBEB (a, b) = 1 ve OKEK (a, b) = 120 olur.
a . b = 120 ve a ile b aralar›nda asal ve a + b nin en az
olmas› için a = 8 ve b = 15 al›nmal›d›r. a + b = 23 olur.
ÇÖZÜM
240 ve 300 say›lar›n›n ikisini de bölebilen say›lar, bu
say›lar›n OBEB inin bölenleri olur.
2
1
1
OBEB(240, 300) = 60 = 2 . 3 . 5 dir. 60 ›n pozitif bölenlerinin say›s›, 3 . 2 . 2 = 12 dir (asal çarpanlar›n üslerinin birer fazlas›n›n çarp›m›d›r).
Yan›t : C
Yan›t : D
SORU
Dairesel bir pisti; 1. atlet 36, 2. atlet 48, 3. atlet 54 saniyede koflmaktad›r.
SORU
Üçü birlikte ayn› anda, ayn› noktadan, ayn› yönde
koflmaya bafll›yor. Üçünün tekrar bafllang›ç noktas›nda ilk kez karfl›laflt›klar› anda 1. atlet kaç tur atm›flt›r?
OBEB (24, 18, x) = 6 ve
OKEK (24, 18, x) = 360 ise,
x do¤al say›s›n›n en küçük de¤eri kaçt›r?
A) 30
B) 36
C) 48
D) 60
A) 6
E) 90
D) 10
E) 12
OKEK (36, 48, 54) = 432 olur.
Say›lar›n ortak olan asal çarpanlar›ndan üssü en küçük olanlar›n çarp›m›na bu say›lar›n OBEB i, ortak
olan asal çarpanlardan üssü en büyük olanlarla ortak
olmayanlar›n çarp›m›na bu say›lar›n OKEK i denir.
1. SAYI
C) 9
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
24 = 23 . 3
18 = 21 . 32
B) 8
ve
1. atlet bir turu 36 saniyede kofltu¤undan, 432 saniyede, 432 = 12 tur atar.
36
360 = 23 . 32 . 5
Yan›t : E
8