Trigonmetri 3

TRİGONOMETRİ − 3
PERİ
PERİYOT VE GRAFİKLER
PERİYOT
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN
PERİYOTLARI
M e v s im l e r, h af t a n ı n g ü n l e r i , d ü n ya n ı n
g ü n e ş i n e t r a f ı n d a k i h a r ek e t l e r i
t ek r a r l a n ı r. B u t ü r o l a yl a r ı n p e r i yo d i k
o l a r ak m e yd a n a g e l d i ğ i n i s ö yl e ye b i l i r i z .
k b i r t a m s a yı v e x t a n ım k üm e l e r i n i n
h e r h a n g i b i r e l em a n ı o l m a k ü ze r e ,
M a t em a t i k t e d e b a zı f o nk s i yo n l a r ı n
g r af ik l e r i b e l l i a r a l ık l a r d a k e n d i l e r i n i
yi n e l e r l e r. B u t ü r f on k s i yo n l a r p e r i yo d ik
f o nk s i yo n o l a r a k a d l a n d ı r ı l ı r.
sin(x+k .2 π)=sinx
cos(x+k .2 π)=cosx
tan(x+k . π)=tanx
cot (x+k . π)=cotx
o l d u ğ u n d a n t r i g o n o m e t r i k f o nk s i yo n l a r
p e r i yo d i k t i r.
PERİYODİK FONKSİYONUN TANIMI
GENELLEMELER
f : A→B f on k s i yo n u n d a A k ü m e s i n i n h e r
x→y=f (x)
1 . s i n x v e c o s x f o nk s i yo n l a r ın ı n p e r i yo d u
k .2 π ,
t a n x v e c o t x f o nk s i yo n l a r ı n ı n p e r i yo d u
k . π d i r.
B i r f o nk s i yo n b i r d e n f a zl a p e r i yo d a s a h i p
o l a b i l i r. P e r i yo d u n b i r d e n f a zl a o lm a s ı
d u r um u n d a p o zi t i f e n k ü ç ük o l a n ı n a e s a s
p e r i yo t d e n i r.
Örnek...1 :
Ş e k i l d e g r af i ğ i
v e r i l e n y= f ( x )
f on k s i yo n u n
p e r yo d u k a ç t ı r ?
y=f(x)
y
www.matbaz.com
x e l em a n ı i ç i n f(x + T)= f(x ) o l a c a k
ş ek i l d e s ıf ı r d a n f ar k l ı e n a z b i r T r e e l
s a yı s ı v a r s a , f f on k s i yo n u n a p e r i yo d i k
f o nk s i yo n , T s a yı s ı n a f f on k s i yo n u n u n
p e r i yo d u d e n i r.
s i n x v e c o s x f o nk s i yo n l a r ın ı n e s a s
p e r i yo d u (k = 1 i ç i n ) 2 π ; t a n x v e c o t x
f on k s i yo n l a r ın ın e s a s p e r i yo d u π d i r.
m
2 . f( x)=a+b . sin m(px +q) f on k s i yo n l a r ın ın
f( x )=a+b . cos (px+q)
{
e s a s p e r yo d u T i s e T=
2π
|p|
π
|p|
; m tekse
; m çiftse
m
3 . f( x )=a+b . tanm (px+q) f on k s i yo n l a r ın ın
f (x )=a +b . cot (px+q)
p e r yo d u T i s e T= π
|p|
x
Örnek...3 :
3
Örnek...2 :
f ( x )= s i n 5 ( 1 0 x − 2 ) f on k s i yo n u n u n p e r i yo d u n u
bulunuz.
π
5
Örnek...4 :
f (x ) = s i n x f o n k s i yo n u n p e r i yo d u n u
a r a ş t ı r ı n ı z.
Fonksiyon
2π
(
3x
5cos2(4x) 2−tan3(3x) 3+2sin7(1−5x) cot15 π −
2 5
Periyot
π , π , 2π , 5π
5
3
4 3
11.
11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı
1/4
)
TRİGONOMETRİ − 3
PERİ
PERİYOT VE GRAFİKLER
Örnek...7 :
f ( x )= g ( x ) ± h ( x ) f o n k s i yo n l a r ı n ı n e s a s
p e r i yo d u , g ( x ) v e h ( x ) f o nk s i yo n l a r ı n ı n
e s a s p e r i yo t l a r ı n ı n e n k ü ç ük o r t ak k a t ın a
( e . k . o . k . u n a ) e ş i t t i r. E ğ e r, f ( x )= h ( x ) . g ( x )
i n e s a s p e r i yo d u b u l u n a c a k s a , f (x ) i
f o nk s i yo n l a r ı n t o p l a m ı b i ç im i n d e ya za r ı z .
S o n r a d a t o p l a n a n f o nk s i yo n l a r ı n e s a s
p e r i yo t l a r ı n ı n e n k ü ç ük o r t ak k a t ı a l ı n ı r.
f : ℝ→[−1,1] f o nk s i yo n u n g r a f i ğ i ç i zi l m i ş t i r,
x→ y=sinx
i n c e l e yi n i z .
S i n ü s f o n k s i yo n u n u n e s a s p e r i yo d u 2 π d i r.
B u n e d e n l e g r a f i ğ i [0, 2 π] a r a l ığ ın d a
i n c e l e ye r ek ç i ze c e ğ i z .
a c EKOK(a , c)
EKOK( , )=
b d EBOB(b, d)
Örnek...5 :
y
f ( x )= 2 . s i n ( 9 x + 3 ) − 3 . t a n ( 6 x − 7 ) + 5
f on k s i yo n u n p e r i yo d u k aç t ı r ?
2π
3
f(x)=sin x
x
0
f ( x )= 2 . c o s 3 ( 4 x ) + 2 . c o t ( 5 x + 1 )
f on k s i yo n u n p e r i yo d u k aç t ı r ?
2π
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN
GRAFİKLERİ
Tr i g o n o m e t r ik f o n k s i yo n l a r ı n g r a f ik l e r i
ç i zi l i r k e n ,
1 ) F o nk s i yo n u n e s a s p e r i yo d u b u l u n u r.
2 ) B u l u n a n p e r i yo d a u yg u n b i r a r a l ık
s e ç i l i r.
3 ) S e ç i l e n a r a l ık t a f on k s i yo n u n d e ğ i ş im
t a b l o s u ya p ı l ı r. B u n u n i ç i n , f o nk s i yo n u n
b a z ı ö z e l r e e l s a yı l a r d a a l a c a ğ ı
d e ğ e r l e r i n t a b l o s u ya p ı l ı r. Ta b l o d a
f o nk s i yo n u n a l d ı ğ ı d e ğ e r b i r s o n r ak i
a l d ı ğ ı d e ğ e r d e n k ü ç ük i s e ( a l d ı ğ ı d e ğ e r
artmış ise) o aralığa
s em b o l ü n ü
ya za r ı z. E ğ e r, f on k s i yo n u n a l d ı ğ ı d e ğ e r
b i r s o n r ak i a l d ı ğ ı d e ğ e r d e n b ü yü k i s e
( a l d ı ğ ı d e ğ e r a za l m ı ş i s e ) o a r a l ı ğ a
s em b o l ü n ü ya z a r ı z .
4 . S e ç i l e n b i r p e r i yo t l uk a r a l ı k t a
f o nk s i yo n u n g r a f i ğ i ç i zi l i r. O l u ş a n g r af ik ,
f o nk s i yo n u n p e r i yo d u a r a l ı ğ ı n d a
t ek r a r l a n a c a ğ ı u n u t u l m am a l ı d ı r.
11.
11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı
www.matbaz.com
Örnek...6 :
B u r a d a d ik k a t e d i l i r s e y= f ( x )= s i n x
f on k s i yo n u
f : [− π , π ]→[−1,1]
1 . B i r e b i r d e ğ i l d i r. F ak a t
2 2
x→y=sinx
f on k s i yo n u b i r e b i r v e ö r t e n d i r.
2 . Tek f o nk s i yo n d u r.
Örnek...8 :
f : ℝ→ [−1,1]
x→ y=cosx
f o nk s i yo n u n g r a f i ğ i n i ç i zi n i z.
2/4
TRİGONOMETRİ − 3
PERİ
PERİYOT VE GRAFİKLER
Örnek...9 :
D i k k a t e d i l i r s e y= t a n x f o nk s i yo n u
1 . Tek f o nk s i yo n d u r a m a b i r e b i r d e ğ i l d i r.
f :(− π , π )→ℝ
2.
f on k s i yo n u b i r e b i r v e
2 2
x→y=tanx
ö r t e n d i r.
f (x ) = 3 . s i n x + 1 f o nk s i yo n u n g r a f i ğ i n i [ 0 , 4 π ]
a r a l ı ğ ı n d a ç i zi n i z.
Örnek...12 :
f :(−3 π ,+3 π)→ℝ
x→ y= tan(x+ π ) f o nk s i yo n u n g r a f i ğ i n i ç i zi n i z.
2
( Ta n ım l ı o l d u ğ u d e ğ e r l e r i ç i n )
Örnek...10 :
www.matbaz.com
f (x ) = 5 c o s 2 x − 3 f o nk s i yo n u n g r a f i ğ i n i [ 0 , 2 π ]
ç i zi n i z .
Örnek...13 :
f : ℝ−{k π}→ℝ f on k s i yo n u n g r af i ğ i n i ç i zi n i z .
x→ y=cotx
Örnek...11 :
f : ℝ−{k π+ π }→ℝ
f o nk s i yo n u n g r a f i ğ i ç i zi l m i ş t i r.
2
x→y=tanx
İ n c e l e yi n i z.
f(x)=tan x
x
11.
11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı
3/4
TRİGONOMETRİ − 3
PERİ
PERİYOT VE GRAFİKLER
4) f(x)=3.sinx −2 fonksiyonun grafiğini [0, 4 π ]
çiziniz.
Örnek...14 :
f :(0,3 π )→ℝ
x f o nk s i yo n u n g r a f i ğ i n i ç i zi n i z.
x→y=2 cot
2
5) f(x)= 3.cos4x +1 fonksiyonun grafiğini [0, π ]
çiziniz.
1) f(x)=7−4.sin3(5x+1) −3.cos2(3–4x) fonksiyonun
periyodu kaçtır?
2π
2) f(x)=7.sin4(5x+10) , g(x)=3.cot2(3mx–4x+9)
fonksiyonlarının periyodları eşitse m kaç
olabilir?
www.matbaz.com
DEĞERLENDİRME
6) f(x)= tan4x +1 fonksiyonun grafiğini [0, π ]
çiziniz.( tanımlı olduğu değerler için)
−1
veya 3
3
3) y=f(x)=a.sin(bx+c)+k türündeki fonksiyonların
grafiklerini katsayıları ile ilişkilendiriniz.
11.
11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı
4/4