1.derdecen denklemler

MATEMATİK’ĐM
YILLAR
2001
ÖSS-YGS
-
2002
1
2003
-
2004
-
2005 2006
ÇÖZÜM:
BİRİNCİ DERECEDEN BİR
BİLİNMEYENLİ
DENKLEMLER
3a-2+b-3 = 5x – 2x
3x
3a + b − 5
=
3
3
3a + b − 5
x=
olur.
3
ÖRNEK( 3)
x−3 x+2
−
= 2 denkleminin
2
3
çözüm kümesi nedir?
ÇÖZÜM:
Önce paydalar eşitlenir.
MATEMATİK’ĐM
a,b∈R ve a≠0 olmak üzere ax+b=0
şeklindeki denklemlere Birinci dereceden bir
bilinmeyenli denklemler denir. Bu denklemin
çözümünden elde edilen x(ler)’e denklemin
kök(leri) denir
Denklemin çözüm kümesi x tek başına
bırakılarak bulunur. temel kural ‘bilinenler bir
tarafa,
bilinmeyenler
diğer
tarafa’
şeklindedir.bilinmeyenler demek denklemin
bağlı olduğu değişkenin tek başına veya bir
çarpanla beraber olduğu terimler demektir.
Bilinenler ise bunun dışında kalan tüm terimler
demektir.
Bazen x’in sorulduğu sorularda farklı
değişkenlerde denklemde yer alabilir a,b,c gibi
bunlarda bilinen safında kabul edilir.
Terimler
soldansağa
veya
sağdansola
gönderildiğinde
işaretleri
değişir. + ise - , - ise + olurlar.
Birinci Dereceden Denklemler
2007 2008 2009 2010
1
-
ax+b = 0
ax = -b
b
x = − bulunur. yani çözüm
a
kümesi ÇK ={−b/a} dır.
x −3 x +2
3x − 9 2x + 4
−
=2⇒
−
=2
2
3
6
6
(3)
(2)
3x − 9 − 2x − 4
⇒
=2
6
⇒ x − 13 = 12
⇒ x = 12 + 13
⇒ x = 25 bulunur.
o halde ÇK={25} olur.
ÖRNEK( 4)
x
x+3
−1=
+ 3 denkleminin
2
4
çözüm kümesi nedir?
ÖRNEK( 1) 3x-15 = 2x-4 denklemini sağlayan
ÇÖZÜM:
x nedir?
x
x+3
x x +3
−1 =
+ 3⇒ −
= +3 + 1
2
4
2
4
(2) (1)
2x x + 3
⇒
−
=3
4
4
2x − x − 3
⇒
=3
4
⇒ x − 3 = 12
⇒ x = 15
çözüm kümesi ÇK={15} olur.
ÇÖZÜM:
3x – 15 = 2x – 4
3x – 2x = - 4 +15
x = +11 bulunur.
ÖRNEK( 2) 2x+3a -2 = 5x –b+3 denklemini
sağlayan x değeri nedir?
.
www.globalders.com
1
MATEMATİK’ĐM
ÖRNEK( 5) x 2 +
1
1
=4−
2−x
x−2
ÖRNEK( 7)
Birinci Dereceden Denklemler
3(3a − 2) 2(5a − 3)
1
=1
−
4
5
4
denkleminin çözüm kümesi nedir?
ise Ç=?
ÇÖZÜM:
1
1
=4−
2−x
x−2
1
1
x2 +
= 4+
2−x
2−x
2
x =4
ÇÖZÜM:
x2 +
x2 = 4
x =2
3(3a − 2) 2(5a − 3)
1
−
=1
4
5
4
( 5)
( 4)
15(3a − 2) 8(5a − 3) 5
−
=
20
20
4
(DİKKAT !!!)
x = 2 ve x = −2 bulunur.
O halde çözüm kümesi ÇK={-2} dir
ÖRNEK( 6)
5
MATEMATİK’ĐM
Bu tür rasyonel tipli denklemlerde dikkat
edilmesi gereken önemli bir husus var. O da
bulunan değerlerin paydayı sıfır yapıp
yapmadığı. Çünkü paydayı sıfır yapan değerler
ifadeyi tanımsız yapacağından çözüme dahil
edilmezler. Tıpkı bu soruda olduğu gibi. X=2
sorudaki bir paydayı sıfır yaptığından çözüme
dahil edilmez yani çözüm sadece x=-2 olur.
45a − 30 − 40a + 24 5
=
20
4
5a − 6 5
=
20
4
3(2 x + 5) 7( x + 8) 4( x − 2)
=0
−
−
5
10
15
5a-6 = 25
31
5a = 31 ⇒ a =
5
31
O halde çözüm kümesi ÇK={
} olur.
5
ÖRNEK( 8)
5
2
1−
x−3
= 4 ise Ç=?
ise Ç=?
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
3(2x + 5) 7(x + 8) 4(x − 2)
−
−
=0
5
10
15
(6)
(3)
(2)
5
=4
2
1−
x−3
5
=4
x −3− 2
x −3
18(2x + 5) 21(x + 8) 8(x − 2)
−
−
=0
30
30
30
5(x − 3)
=4
x −5
5x-15 = 4x-20
5x-4x = -20+15
x = -5 bulunur.
o halde çözüm kümesi ÇK={-5} tir.
36x + 90 − 21x − 168 − 8x + 16
=0
30
7x -62 = 0
7x = 62
62
x=
7
62
o halde çözüm kümesi ÇK={ } olur.
7
.
www.globalders.com
2
MATEMATİK’ĐM
BİRİNCİ DERECEYE
DENKLEMLER
Birinci Dereceden Denklemler
DÖNÜŞEBİLEN
P(x).Q(x).R(x)=0 ise P8x)=0
veya R(x)=0 dır.
ÇÖZÜM:
x2−4x+4 = 0 (x-2)(x-2)=0
x
-2
x-2=0
x
-2
x=2
veya Q(x)=0
(DİKKAT !!)
o halde çözüm kümesi ÇK={2} olur.
(Burada iki tane (x-2) çarpanı ve bir tane kök
olduğuna dikkat edin. Böyle köklere çift kat
kök denir.)
P(x).Q(x)=P(x) denkleminde P(x)’ler sadeleşir
ancak P(x) denklemi bir kenarda sıfıra eşitlenir
(P(x)=0) ‘ler sadeleştiğinde sol tarafta sıfır
değil 1 kalır. Yani çözüm
ÖRNEK( 11) 3x2+5x = 0 ise Ç=?
P(x)=0 ve Q(x)=1 şeklindedir.
ÇÖZÜM:
(DİKKAT !!)
3x2+5x = 0 x(3x+5)=0
x=0
3x+5=0
3x = -5
x=−
MATEMATİK’ĐM
P(x).Q(x) P(x)
=
şeklindeki bir denklem
R(x)
R(x)
çözülürken P(x)’ler sadeleştirilir ve sıfıra
eşitlenir ancak R(X)’ler sadeleştirilir fakat
sıfıra eşitlenmez çünkü paydada yer alıyorlar.
Yani denklemin çözümü
P(x) .Q(x) P(x)
P(x).Q(x) P(x)
=
⇒
=
R(x)
R(x)
R(x)
R(x)
P(x) = 0 , Q(x) = 1 ve R(x) ≠ 0
Eğer R(x)’in kökü diğer denklemlerden de
bulunuyorsa bu kök çözüme dahil edilmez
5
3
5
çözüm kümesi ÇK={ − ,0} olur.
3
ÖRNEK( 12) (3x−
−4).(2x+1).(7x−
−3) = 0 ise
Ç=?
ÇÖZÜM:
(3x−4).(2x+1).(7x−3) = 0
ÇÖZÜM:
3x-4= 0
3x = 4
4
x=
3
x²(x-2) = 0 buradan x² = 0 ve x-2 = 0 bulunur.
bu denklemler çözülürse
çözüm kümesi
ÖRNEK( 9)
x3−2x2 =0 ise Ç=?
x²= 0 ise x=0 ve x-2= 0 ise x = 2 olur. Yani
çözüm kümesi
ÇK={0,2} bulunur.
2x+1= 0
2x = -1
1
x=−
2
7x-3 = 0
7x = 3
3
x=
7
1 3 4
ÇK={ − , , } olur.
2 7 3
ÖRNEK( 13) x2−5 = 0 ise Ç=?
ÇÖZÜM:
ÖRNEK( 10) x2−4x+4 = 0 ise Ç=?
x2−5 = 0 x² = 5 x = m 5
O halde ÇK:{-5,+5} olur.
.
www.globalders.com
3
MATEMATİK’ĐM
ÖRNEK( 14) x2+7 = 0 ise Ç=?
Birinci Dereceden Denklemler
RASYONEL DENKLEMLER
ÇÖZÜM:
P( x )
= 0 ⇒ P(x) = 0 ve Q(x) ≠ 0 olmalı
Q( x )
2
x +7 = 0 ise x² = -7 çıkar. Bir reel sayının
karesi negatif olamayacağından Ç= φ olur.
ÖRNEK( 17)
ÖRNEK( 15) (2x−
−3)2−4 = 0 ise Ç=?
1
2
3 13
+ =
+
x+m x+2 x 6
denkleminin bir kökü x=2 ise m=?
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
(2x−3)2−4 = 0 ise (2x−3)2 = 4
( 2x − 3)
2
Denklemin bir kökü 2 ise x yerine 2
yazıldığında denklemi sağlamalı. O halde
= 4
2x − 3 = 2
2x-3=2 ve 2x-3 = -2 bulunur. buradan
2x-3=2 2x = 2+3 x = 5/2
2x-3 = -2 2x = -2+3 x = ½
ÖRNEK( 16) (3x−
−2)2−(4x+3)2 = 0 ise Ç=?
ÇÖZÜM:
MATEMATİK’ĐM
1 5
o halde ÇK={ , }
2 2
X=2 için
Bu soruyu diğerlerinden farklı olarak iki kare
farkı ile çözelim(maksat değişiklik olsun ☺ )
1
2
3 13
+
+ =
x+m x+2 x 6
1
2
3 13
+
+ =
2+m 2+2 2 6
1
13 3 1
= − −
2+m 6 2 2
(3) (3)
1
13-9-3
=
2+m
6
1
1
=
2+m 6
m+2 = 6
m = 4 bulunur.
(3x−2)2−(4x+3)2 = 0
[(3x-2)+(4x+3)]. [(3x-2)-(4x+3)] = 0
(7x+1)(-x-5) =0
7x+1 = 0
7x = -1
x = -1/7
ve
1
1
2x − 1
+
= 2
ÖRNEK( 18) x - 2 x − 3 x − 5x + 6
-x-5 = 0
-x = 5
x = -5
ise Ç=?
o halde ÇK={−
−5,−
−1/7} olur.
ÇÖZÜM:
Önce payda eşitleyelim
1
1
2x − 1
+
= 2
x-2 x − 3 x − 5x + 6
(x − 3) (x − 2)
x −3+ x − 2
2x − 1
= 2
2
x − 5x + 6 x − 5x + 6
.
www.globalders.com
4
MATEMATİK’ĐM
paydalar eşit olduğundan payları eşitleyelim
Birinci Dereceden Denklemler
2x-5 = 2x-1
2x-2x = 5-1
0 = 4 böyle bir eşitlik
olamayacağına göre bu denklemi sağlayan bir x
yoktur. Yani çözüm kümesi φ olur.
ÖRNEK( 19)
ifadesini
tanımsız yapan x’lerin toplamı kaçtır?
x +1 x + 3
4
=
−
ise Ç=?
x −1 x +1 x +1
ÇÖZÜM:
Bir rasyonel ifadeyi tanımsız yapan değerler
rasyonel ifadedeki her bir paydayı sıfır yapan
değerlerdir. Bu yüzden her bir paydayı ayrı ayrı
sıfıra eşitleriz.
ÇÖZÜM:
5x − 3
2
3+
x
1−
x+4
MATEMATİK’ĐM
x +1 x + 3
4
−
=
x −1 x +1 x +1
x +1
4
x +3
=
+
x −1 x + 1 x + 1
x +1 x + 7
=
x −1 x + 1
(x+1)(x+1) = (x-1)(x+7)
x² + x + x + 1 = x² + 7x − x − 7
2x+1 = 6x-7
6x-2x = 1+7
4x = 8
x = 2 olur.
O halde ÇK={2} dır.
5x − 3
2
3+
x
1−
x+4
ÖRNEK( 21)
çerçeveye alınmış her ifade ayrı ayrı sıfıra
eşitlenirse;
i) x+4 = 0 x = -4
ii) 1 −
x
x
= 0 1=
x+4 = x 4
x+4
x+4
=0
bu eşitlik doğru olmadığından bu ifade sıfır
olmaz
x
x + 3 = 5 ise Ç=?
ÖRNEK( 20)
x
1−
x+3
1+
iii) 3 +
2
x
1−
x+4
=0
2
= −3
x +4−x
x+4
2(x + 4)
= −3
4
2x+8 = -12
2x = -12-8
2x =-20
x = -10
şimdi buluna değerleri toplayalım,
-4-10 = -14 bulunur.
ÇÖZÜM:
x + 3+ x
x
x +3
x +3 = 5 ⇒
=5
x
x +3− x
1−
x+3
x +3
2x + 3
=5
3
2x+3 = 15
2x = 15-3
2x = 12
x=6
Çözüm kümesi :{6} olur.
1+
.
www.globalders.com
5
MATEMATİK’ĐM
ÖRNEK( 22) 3x =
Birinci Dereceden Denklemler
3x + 2 y = 4
ÖRNEK( 24)
çözümü araştırın.
6 x + 4 y = 8
5x + y
ise y’nin x
2−y
cinsinden değeri nedir?
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
Katsayıları oranlayıp bakalım
3x + 2y = 4 
3 2 4
elde edilen tüm
 ise = =
6x + 4y = 8
6 4 8
1
kesirlerin
’ye eşit olduğu görülür. Bu
2
durumda tüm katsayılar oranı eşit olduğundan
sonsuz çözüm vardır.
5x + y
3x =
⇒ 6x − 3xy = 5x + y
2−y
⇒ 6x − 5x = 3xy + y
⇒ y(3x + 1) = x
x
⇒ y=
olur.
3x + 1
BİRİNCİ DERECEDEN İKİ
BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
a b c
= ≠ ⇒ d 1 // d 2 ve çözüm kümesi
d e f
φ dir
2)
a,b,c,d,e,f∈R
olmak
üzere
ax+by+c=0
şeklindeki denklemlere Birinci Dereceden İki
Bilinmeyenli Denklemler denir. Bu denklem
aynı zamanda Analitik Düzlemde bir doğru
belirtir
MATEMATİK’ĐM
d1....ax + by + c = 0 
 Denklem Sistemi denir
d 2 ....dx + ey + f = 0
ÖRNEK( 25)
ÇÖZÜM KÜMESİNİN BULUNMASI
a b c
= = ⇒ d1 ≡ d 2
Bu durumda
d e f
denklemin sonsuz çözümü vardır.(doğrular
çakışıktır)
1)
2 x − 4 y + 1 = 0
⇒Ç=?
x − 2y − 3 = 0 
ÇÖZÜM:
Katsayıları oranlarsak
2x − 4y + 1 = 0 
2 −4 1
≠
sabit terimin
⇒ =
x − 2y − 3 = 0 
1 −2 −3
katsayıları oranı eit olmadığından çözüm
boşkümedir
3)
a b
≠ ⇒ d 1 ∩ d 2 = P( x 0 , y 0 )
d e
ve Ç = {( x 0 , y 0 )} (Doğrular Kesişir)
ÖRNEK( 23)
3x − 2 y = 6  sonsuz çözüm için

4x + my = 8
m=?
Bu durumda çözüm bulma yollarına ihtiyaç
vardır.
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM YOLLARI
3x − 2y = 6 
3 −2 6
=
 ise =
4x + my = 8
4 m 8
3 −2
8
=
⇒ 3m = −8 ⇒ m = − olur.
4 m
3
a)Yok Etme Metodu:
ÖRNEK( 26)
2 x − 3y = 2
⇒Ç=?
x+y=6 
.
www.globalders.com
6
MATEMATİK’ĐM
ÇÖZÜM:
Birinci Dereceden Denklemler
1 1 9
1 1 9
+ =
⇒ + =
x y 20
x 4 20
1 9 1
⇒ =
−
x 20 4
(5)
4
}
1 9−5
⇒ =
x
20
4x = 20 x = 5
2x − 3y = 2
2x − 3y = 2
 ise
x+y=6 
−2 / x + y = 6
2x − 3y = 2
−2x − 2y = −12
-5y = -10
y=2
bu y değerini bir veya ikinci denklemden
hangisi kolayınıza gelirse onda yerine yazın.
Zaten sonuç ikisinde de aynı çıkmak
zorundadır.
denklem sistemini sağlayan (x,y) değerleri (5,4)
ve çözüm kümesi ÇK={(5,4)} olur.
b) Yerine Koyma Metodu:
x+y=6 denkleminde y=2 için x+2= 6 x = 4
bu
yöntemde;
seçilen
bir
değişken,
denklemlerin birinden çekilip diğer denklemde
yerine yazılır ve diğer değişken bulunur. daha
sonra bu değer herhangi bir denklemde yerine
yazılıp diğer değişken bulunur.
2 3 23 
+ =
x y 20 
ÖRNEK( 27)
⇒Ç=?
1 1 9
+ = 
x y 20 
MATEMATİK’ĐM
o halde denklem sistemini sağlayan (x,y) ikilisi
(4,2) olur. ÇK={(4,2)}
ÇÖZÜM:
ÖRNEK( 28)
2x + 4 y = 14
⇒ Ç =?
2 x = 3y 
ÇÖZÜM:
İkinci denklemde zaten yalnız bulunan 2x’i
birinci denklemde yazarsak;
2 3 23 
2 3 23
+ = 
+ =
x y 20 
x y 20
⇒
1 1 9
1 1 9
+ =
−2 / + =
x y 20 
x y 20
2 3 23
+ =
x y 20
2x = 3y ise 2x+4y = 14 3y+4y = 14
7y = 14
y = 2 bulunur. bu
değer ikinci denklemde yerine yazılırsa;
2x = 3y 2x = 3.2=6 x = 3 bulunur. o
halde çözüm kümesi ÇK={(3,2)} olur.
−2 2 −18
− =
x
y 20
ÖRNEK( 29)
3 2 23 18
− =
−
y y 20 20
1
5
=
y 20
5y = 20 y = 4 bu değer
ikinci denklemde yerine yazılırsa
x − ay = a 
 ⇒ Ç = ? (a ≠ 0)
x + ay = 3a 
ÇÖZÜM:
Birinci denlemden x çekilirse
x-ay = a x = ay+a ve bu değer birinci
denklemde yerine yazılırsa
.
www.globalders.com
7
MATEMATİK’ĐM
x+ay = 3a ay+a+ay = 3a
2ay = 2a
y=1 şimdi bu değeri
birinci denklemde yerine yazalım
x-ay = a x-a.1=a
x=2a
o halde denklemin çözüm kümesi {(2a,1)}
olarak bulunur.
Birinci Dereceden Denklemler
−5y−
−5)2 + (3x+10y−
−25)2 = 0
ÖRNEK( 31) (2x−
ise x+y=?
ÇÖZÜM:
İki sayının toplamı ne zaman sıfır olur? Bu
sorunun
cevabını
öğrenmeden
önce
düşünmenizi istiyorum(Tabi bu satırdan önce
aşağıya bakmadıysanız)
Evet düşündüyseniz düşüncenizi cevapla
karşılaştırın bakalım..
İki sayının toplamının sıfır olması için ya
mutlak değerce eşit zıt işaretli iki sayı(-5 ve +5
gibi), veya ikisi de sıfır olmalıdır.
Soruya bakıldığında üssü çift olan iki ifade
olduğunu ve bunların negatif olamayacağı için
ikisinin de sıfır olması gerektiği anlaşılır. O
halde ;
a b 1 
− =
x y 6 
⇒Ç=?
a
b
−
= 0

ÖRNEK( 30) 3x 2 y
ÇÖZÜM:
Birinci
denklemden
a
’i
x
çekip
ikinci
denklemde yerine yazalım
(2x − 5y − 5) 2 + (3x + 10y − 25) 2 = 0
14243
14
4244
3
0
bu
değeri
a
b
11 b  b
−
=0 ⇒  + −
=0
3x 2y
3  6 y  2y
1 b
b
⇒ +
−
=0
18 3y 2y
1
b
b
⇒ =
−
18 2y 3y
(3) (2)
1 3b − 2b
⇒ =
18
6y
⇒ 6y = 18b
⇒ y = 3b şimdi bu değeri birinci
denklemde yerine yazalım
a b 1
a
b
1
− = ⇒ −
=
x y 6
x 3b 6
a 1 1
⇒ = +
x 6 3
(1) (2)
a 1+ 2
⇒ =
x
6
⇒ 3x = 6a
⇒ x = 2a bulunur o halde
çözüm kümesi ÇK={(2a,3b)} olur.
MATEMATİK’ĐM
a b 1
a 1 b
− = ⇒ = +
şimdi
x y 6
x 6 y
ikinci denklemde yerine yazalım
2x − 5y − 5=0 
⇒
3x + 10y − 25=0 
0
2 / 2x − 5y=5
+ 3x + 10y=25
4x-10y = 10
3x+10y = 25
7x = 35
x=5
şimdi bu değer birinci denklemde yerine
yazılırsa
2x-5y = 5 2.5-5y = 5 10-5 = 5y
5y = 5 y=1 bulunur.
demek ki x+y = 5+1 = 6 dır.
UYARI: A,B∈R olmak üzere;
1) A2+B2 = 0 ise A=0 , B=0
2)
A + B = 0 ise A=0 , B=0
3)
A + − A ....... ise A=0
4) A +B =0 ise A=0 , B=0
ÖRNEK( 32) x − 3 + 2x − 5 + 3 − x
işleminin sonucu nedir?
.
www.globalders.com
8
MATEMATİK’ĐM
ÇÖZÜM:
Birinci Dereceden Denklemler
ÖRNEK( 35) (3a−
−2b+4)x + (2a+3b−
−2)y = 0
denklemi x ve y ‘nin tüm değerleri için
sağlandığına göre a/b=?
A + − A ....... ise A=0 bilgisi vardı
Kuralda
ÇÖZÜM:
3-x = -(x-3) olduğundan
Mademki her x,y için denklem doğru
oluyormuş, o zaman bizde işimize gelen
değerleri veririz.
x
− 3 + 2x − 5 + − (x − 3) ⇒ x − 3 = 0 ⇒ x = 3
{
123
0
0
2x − 5 = 2.3 − 5 = 1
Mesela önce x=0 ve y=1 verelim
o halde cevap 1 olur.
(3a−2b+4).0 + (2a+3b−2).1 = 0 2a+3b-2 = 0
şimdi de y=0 ve x=1 verelim
ÖRNEK( 33) x + y − 5 + x − y + 7 = 0 ise x
kaçtır?
(3a−2b+4).1 + (2a+3b−2).0 = 0 3a-2b+4 = 0
ÇÖZÜM:
bu aşamadan sonra iki yolla çözüme gidebiliriz.
Birincisi ortak çözüm yapıp a ve b yi bularak
istenen orana ulaşmak,
ikincisi de mademki a/b oranı isteniyor o
zaman sabit terim istenmiyor demektir. Bizde
sabit terimleri yok edip istenen orana ulaşırız.
Biz ikinci yolu izleyeceğiz.
Kuralımız A +B =0 ise A=0 , B=0 diyor. O
halde
x + y−5 + x − y+7 = 0
1
424
3 1
424
3
0
elde
0
edilen
denklemleri
alt
alta
2/2a + 3b = 2
2a + 3b − 2 = 0 
 ⇒ + 3a − 2b = -4
3a − 2b + 4 = 0 
4a + 6b = 4
+ 3a – 2b = -4
7a + 4b = 0
7a = -4b
a
4
= − olur.
b
7
görüldüğü gibi bu yöntem birinciye göre daha
pratik
yazıp
toplayalım
x+y-5= 0
+ x-y+7 = 0
2x +2 = 0 2x = -2 x = -1 olur.
ÖRNEK( 34)
a − 5 + b + 2 = 0 ise a.b
nedir?
ÇÖZÜM:
ÇOK
BİLİNMEYENLİ
SİSTEMLERİ
A + B = 0 ise A=0 , B=0 diyor.
Kuralımız
1) Bilinmeyen sayısı üç, denklem sayısı bir ise
Ç.K sonsuz elemanlıdır.
a{
− 5 + b{
+2 =0
0
DENKLEM
0
a-5 = 0 a = 5 ve b+2 = 0 b = -2
3x-4y+z = 0 ise Ç.K:{(1,1,0),(2,1,−2),(....}
sonuç a.b = 5.(-2) = -10 bulunur.
2) Bilinmeyen sayısı üç, denklem sayısı iki ise
Ç.K sonsuz elemanlıdır.
.
www.globalders.com
9
MATEMATİK’ĐM
a + b − c =1 
 alt alta toplarsak 3a-b=4
2a − 2b + c = 3
bulunur. burada tek denklem iki bilinmeyen
elde edildiğinden çözüm kümesi sonsuz
elemanlı olur.
o halde Ç.K:{(1,−1),(2,2),....}
Birinci Dereceden Denklemler
2 x − y + z = 4

ÖRNEK( 37) x + y + z = 4  ⇒ ( x, y, z) = ?
3x + y + z = 9 
ÇÖZÜM:
Soruda x,y,z ayrı ayrı istendiği için denklemleri
ikişer ayırıp bir bilinmeyen yok edeceğiz. Daha
sonra
oluşan
denklemlerden
diğer
bilinmeyenler bulunacak
3) Bilinmeyen sayısı, denklem sayısına eşit ise
çözüm; tek elemanlı, boş küme veya sonsuz
elemanlı olabilir.
2x − y + z = 4
2x − y + z = 4
+ x+y+z = 4
+ 3x + y + z = 9
3x + 2z = 8
5x + 2z = 13
ÖRNEK( 36)
2 4 1 4
− + =
x y z 3 
1 3 2
xyz

− + − = 9 ⇒
=?
x y z
xy + xz + yz

6 4 4
7
+ + = − 
x y z
3
−
Bu tür sorular özel çözüm gerektiren sorular
yani bazen altalta toplama bazen çıkarma ile
istenen hedefe değişkenleri tek tek bulmadan
gidilir.
Her üç denklemi alt alta toplarsak
MATEMATİK’ĐM
ÇÖZÜM:
5x + 2z = 13
-/3x + 2z = 8
2x = 5
x = 5/2
bu değeri 5x + 2z = 13 denkleminde yazalım
2 4 1 4
− + =
x y z 3 

1 3 2
3 3 3
− + − = 9⇒ + + = 8
x y z
 x y z
6 4 4
7
+ + =− 
x y z
3
3 3 3
⇒
+ + =8
x y z
(yz) (xz) (xy)
−
5
+ 2z = 13
2
25
2z=132
1
2z =
2
1
z=
4
şimdi x ve z ‘yi 1. denklemde yazalım,
5.
2. 5
1
−y+ = 4
4
2
1
y = 5−4+
4
5
y=
4
5 5 1
istenen sıralı üçlü ( x, y, z ) =  , ,  şeklindedir.
2 4 4
2x − y + z = 4 ⇒
3(yz + xz + xy)
=8
xyz
xyz
3
⇒
= bulunur.
yz + xz + xy 8
⇒
.
www.globalders.com
10
MATEMATİK’ĐM
Birinci Dereceden Denklemler
m+n

= 5
2

ÖRNEK( 39) p + m = 8  ⇒ m + n + p = ?

p+n
= 2
3

ÖZEL DENKLEMLER
Bazı denklem sistemlerinde özel şartlar istenir.
3a − 2c = 6
 i) 2a + b − c = ?
ÖRNEK( 38) 2b − a = 3  ⇒
ii) a + b + c = ?
c − b = 4 
ÇÖZÜM:
m+n

= 5 ⇒ m + n = 10 
m + n = 10
2

p + m = 8 ⇒ p + m = 8  ise p + m = 8

p+n
+ p+n =6
= 2 ⇒ p+n =6 
3

2(m+n+p) = 24
m+n+p = 12 dir.
ÇÖZÜM:
Bu soruda istenenleri bulmak için denklemleri
uygun katsayılarla çarpacağız
3a − 2c = 6 
3a − 2c = 6

2b − a = 3  ise
2b − a = 3

c−b = 4 
+ c−b = 4
2a + b – c =13 bulunur.
b) bu şık için uygun katsayılar bulmalıyız.
MATEMATİK’ĐM
a) her üç denklem alt alta toplanırsa istenen
bulunur.
3a − 2c = 6 
3a − 2c = 6

2b − a = 3  ise 2 / 2b − a = 3
c − b = 4 
+ 3/ c−b = 4
3a − 2c = 6
4b − 2a = 6
+ 3c − 3b = 12
x x + 2y

−
=1 
4
ÖRNEK( 40) 3
 ⇒ Ç.K = ?
5x + y
− 3x +
= −1
2

ÇÖZÜM:
Önce denklemleri tek satır haline getirelim
x x + 2y
−
=1
3
4
(4) (3)
4x − 3x − 6y
=1
12
x − 6y
=1
12
−6x + 5x + y
= −1
2
−x + y
= −1
2
x-6y = 12
-x+y = -2
− 3x +
5x + y
= −1
2
a + b + c = 24 bulunur.
(bu tip sorularda ilkin istenenin alt alta toplama
veya çıkarmayla bulunup bulunmayacağına
bakılır. Eğer bulunmuyorsa denklemler için
uygun katsayılar aranır. Bu da zor ise o zaman
bir önceki soruda gösterilen teknikle
değişkenler tek tek bulunur ve istenen
denklemde yerine yazılır. Biliyorum bu son
anlattığım zor ama soruyu boş bırakmaktansa
hele de vakit varsa neden uygulanmasın..)
x-6y = 12
-x+y = -2
-5y = 10
y = -2
birinci denklemde yerine yazalım
x-6.(-2) = 12
x+12 = 12
x=0
O halde ÇK={(0,-2)} olur.
x-6y = 12
.
www.globalders.com
11
MATEMATİK’ĐM
Birinci Dereceden Denklemler
1
x = 3x − 1 ⇒ ÇK = ?
ÖRNEK( 41)
1
2
1+
x
x−
ÇÖZÜM:
x2 −1
1
x−
x = 3x − 1 ⇒ x = 3x − 1
x +1
1
2
2
1+
x
x
(x −1)( x +1 )
⇒ x = −1
ancak x=-1 değeri sorudaki paydalardan bir
1
tanesi olan 1 + ‘i sıfır yaptığından çözüme
x
dahil edilemez. O halde çözüm kümesi φ (boş
küme) dir.
NOT: Dikkat ettiyseniz güzel güzel soruyu
çözüp -1 bulduk. Burada işte soruyu çözmek
kadar matematik kaidelerini ve püf noktalarını
dikkate almak ta çok önemli. Eğer dikkatsiz ve
umarsız iseniz ve de şıklarda -1 varsa
yandınız!! Onun için bu tür kesirli sorularda
çözümden sonra mutlaka bulduğunuz değeri
kontrol ediniz.
MATEMATİK’ĐM
}
x2 −1
3x − 1
⇒
=
2
x +1
⇒ 2x − 2 = 3x − 1
⇒ −2 + 1 = 3x − 2x
YAZAN
İBRAHİM HALİL BABAOĞLU
Matematik Öğretmeni
www.globalders.com
e-mail:
[email protected]
.
www.globalders.com
12