2+1 Boyutlu Eğri Hiperyüzeylerde Dirac Denklemi

2+1 Boyutlu Eğri Hiperyüzeylerde Dirac Denklemi

Problem
Çözüm
Schrödinger Denklemine Uygulama
Dirac Denklemi Uygulaması
2+1 Boyutlu Eğri Hiperyüzeyde Dirac Denklemi
Mehmet Ali Olpak
Fizik Bölümü
Orta Doğu Teknik Üniversitesi
Ankara, Aralık 2011
Problem
Çözüm
Schrödinger Denklemine Uygulama
Dirac Denklemi Uygulaması
Outline
1
Problem
2
Çözüm
3
Schrödinger Denklemine Uygulama
Geometri
Denklemin Parçalanması
4
Dirac Denklemi Uygulaması
Problem
Çözüm
Schrödinger Denklemine Uygulama
Dirac Denklemi Uygulaması
Genel Durum
N boyutlu bir uzayın, daha düşük boyutlu bir alt kümesine
kısıtlanmış bir sistemi ele alalım. İlgili QM hareket
denklemleri nelerdir?
Motivasyon: "bükülebilir" QM sistemler (karbon nanotüler
gibi) [2]; efektif olarak Dirac denklemine uyan sistemler
(graphene gibi) [1], vs.
Problem
Çözüm
Schrödinger Denklemine Uygulama
Dirac Denklemi Uygulaması
İncelenen Durum
Dirac denk. uyan bir parçacık (3+1 D).
Elektrostatik alan (klasik)
Parçacığın kısıtlandığıyüzey
Problem
Çözüm
Schrödinger Denklemine Uygulama
Dirac Denklemi Uygulaması
Basamaklar
Koordinat transformasyonu: bir koordinat (q 3 ) yüzey
boyunca sabit kalsın.
Bu koordinat yüzeye dik olsun.
Nesneleri q 3 = 0 etrafında açalım.
q 3 = 0’da denklemi teğet ve normal parçalara ayıralım.
Problem
Çözüm
Schrödinger Denklemine Uygulama
Dirac Denklemi Uygulaması
Geometri
Denklemin Parçalanması
Outline
1
Problem
2
Çözüm
3
Schrödinger Denklemine Uygulama
Geometri
Denklemin Parçalanması
4
Dirac Denklemi Uygulaması
Problem
Çözüm
Schrödinger Denklemine Uygulama
Dirac Denklemi Uygulaması
Geometri
Denklemin Parçalanması
Ele alınan durum:
Figure: Ref: [3]
Problem
Çözüm
Schrödinger Denklemine Uygulama
Dirac Denklemi Uygulaması
Geometri
Denklemin Parçalanması
Geometri
P’nin Q’ya S üzerinde en yakın nokta olduğunu ve q 3 ’ün diğer
uzunluklara kıyasla küçük olduğnu varsayalım. Q’nun konum
vektörü:
R(q 1 , q 2 , q 3 ) = r(q 1 , q 2 ) + q 3 N(q 1 , q 2 )
(1)
q 3 : normal koordinat, N: yüzeyin birim normal vektörü.
∂R
Gµν =
∂q µ
∂r
Gij =
∂q i
Gi3 = 0,
·
∂R
∂q ν
∂N
∂r
3 ∂N
·
+
q
,
∂q i
∂q j
∂q j
G33 = 1.
+ q3
i, j = 1, 2
(2)
Problem
Çözüm
Schrödinger Denklemine Uygulama
Dirac Denklemi Uygulaması
Geometri
Denklemin Parçalanması
Outline
1
Problem
2
Çözüm
3
Schrödinger Denklemine Uygulama
Geometri
Denklemin Parçalanması
4
Dirac Denklemi Uygulaması
Problem
Çözüm
Schrödinger Denklemine Uygulama
Dirac Denklemi Uygulaması
Geometri
Denklemin Parçalanması
Genel Denklem
Parçacığın EM alanla [2]’deki gibi etkileştiğni varsayalım. Bu
durumda genel denklem [2]:
"
√
√
1
~2
iQ~
i~D0 Ψ =
− √ ∂µ ( GGµν ∂ν Ψ) + √ ∂µ ( GGµν Aν )Ψ
2m
G
G
#
+ 2iQ~Gµν Aν ∂µ Ψ + Q 2 Gµν Aµ Aν Ψ .
(3)
iQ
olur; Q: parçacığın yükü, D0 ≡ ∂t + Φ, A: vektör potansiyel,
~
Φ: skalar potansiyel.
Problem
Çözüm
Schrödinger Denklemine Uygulama
Dirac Denklemi Uygulaması
Geometri
Denklemin Parçalanması
Dalga Fonksiyonu
Normalizasyon integrali [2]:
Z
Z
√
3
∗
d xΨ (x)Ψ(x) = d 3 q GΨ∗ (q)Ψ(q)
Z
√ = d 3 q g 1 + q 3 Tr (α) + (q 3 )2 det(α) Ψ∗ (q)Ψ(q) = 1. (4)
Burada
∂N(q)
∂r(q)
≡ αi j
.
i
∂q
∂q j
Tanım: χ(q) ≡ (1 + q 3 Tr (α) + (q 3 )2 det(α))1/2 ψ(q). Bu
durumda:
Z
Z
√
3
∗
d xΨ (x)Ψ(x) = d 2 qdq 3 gχ∗ (q)χ(q)
(5)
(6)
Problem
Çözüm
Schrödinger Denklemine Uygulama
Dirac Denklemi Uygulaması
Geometri
Denklemin Parçalanması
Elde Edilen Schrödinger Denk.
Elde edilen denklemler:
~2
(∂3 )2 χn + Vλ (q 3 )χn
2m
"
√
1
~2
iQ~ √
i~D0 χs =
− √ ∂i ( gg ij ∂j χs ) + √ ( gg ij Aj )χs
2m
g
g
#
i~D0 χn = −
(7)
+ 2iQ~g ij Ai ∂j χs + Q 2 g ij Ai Aj χs + Vs χs
(8)
Önemli: yüzey üzerinde ölçülebilir nicelikleri hesaplarken "dış
dünya"ya referans gerekmiyor. !
2
1
−~2
Tr (α) − det(α) : geometrik potansiyel [2].
Vs ≡
2m
2
Problem
Çözüm
Schrödinger Denklemine Uygulama
Dirac Denklemi Uygulaması
Dirac Denklemi Uygulaması
Eğri uzayzamanda Dirac denklemi [4]:
(iγ a Ea µ Dµ − m)ψ(q) = 0.
M 4 ’te genel bir koordinat sistemi
q 3 ’ün kuvvetleri cinsinden açılım (O(q 3 )’e kadar)
Latin harfleri: düz koordinatlar, Yunan harfleri: genel
koordinatlar
Bu konu daha önce Burgess ve Jensen tarafından [4]’te ele
alındı.
(9)
Problem
Çözüm
Schrödinger Denklemine Uygulama
Dirac Denklemi Uygulaması
Dirac Denklemi Uygulaması
Metrik: [4, 5]

1 0

Gµν = 0 Gij
0 0

0
0
−1
(10)
"Vierbein"lar:
ea µ Ea
ν
= δ ν µ , ea µ Eb
µ
= δa b ,
ea µ eb ν ηab = Gµν , Ea µ Eb ν η ab = Gµν .
(11)
Problem
Çözüm
Schrödinger Denklemine Uygulama
Dirac Denklemi Uygulaması
Dirac Denklemi Uygulaması
Dirac matrislerinin cebiri:
[γ a , γ b ]+ = 2η ab
(12)
Christoffel katsayıları:
1
ωabµ [γ a , γ b ],
8
ω a bµ ≡ −Eb ν ∇µ ea ν .
ωµ =
(13)
(14)
Bu şekilde:
γ c Ec µ ωabµ [γ a , γ b ] = 2γ a (∇µ Ea µ ).
(15)
Problem
Çözüm
Schrödinger Denklemine Uygulama
Dirac Denklemi Uygulaması
Dirac Denklemi Uygulaması
Yeniden tanımlanmış spinör [5]:
√
χ ≡ ψ F,
F ≡ 1 + q 3 Tr α.
(16)
Seçilen "Vierbein"lar:
ea i = ∂i x a + q 3 ∂i na = ∂i x a + q 3 αi k ∂k x a ,
e0
0
= 1, ea
3
= N a , a = 1, 2, 3, diğerleri = 0,
(17)
ve (tilda: "yüzeyde")
Ea i = Ẽa i − q 3 αk i Ẽa k , E0
a = 1, 2, 3, diğerleri = 0.
0
= 1, Ea
3
= Na ,
(18)
Problem
Çözüm
Schrödinger Denklemine Uygulama
Dirac Denklemi Uygulaması
Dirac Denklemi Uygulaması
EM (klasik) alanda [5]:
!
1 A
1 A ˜
i
A
i γ ∂0 + γ ẼA ∂i + γ (∇i ẼA ) − γ ÑA Tr (α) + γ ÑA ∂3 χ
4
4
+ eγ 0 A0 (q 3 ) − m χ = 0, A = 1, 2, 3; i = 1, 2.
(19)
0
A
i
Ekstra terim:
1
Vgeo. = − γ A ÑA Tr (α).
4
(20)
Problem
Çözüm
Schrödinger Denklemine Uygulama
Dirac Denklemi Uygulaması
Soru: Vgeo. ’i nasıl yorumlayabiliriz?
Yanıt: (arXiv: 1010.2370v3 [hep-th])
(γ 0 eλq 3 − iγ A ÑA ∂3 )χ = K χ.
(21)
Çözüm:
χ ≡ exp[−a(q 3 )2 + bq 3 ]
4
X
hr (t, q i )Vr (q i ),
(22)
r =1
a > 0, b = 0 ve
iγ A ÑA Vr (q i ) ≡ cr Vr (q i ).
(23)
Problem
Çözüm
Schrödinger Denklemine Uygulama
Dirac Denklemi Uygulaması
Burgess ve Jensen’in çalışması[4] ile farklar:
Elde edilen denk.:
"
4
X
1
˜ i ẼA i )
i γ 0 ∂0 + γ A ẼA i ∂i + γ A (∇
4
r =1
#
cr
− Tr (α) − m hr (t, q i )Vr (q i ) = 0.
4
(24)
[4]’te içsel eğriliği sıfır olan yüzeyler, burada genel durum
inceleniyor.
Problem
Çözüm
Schrödinger Denklemine Uygulama
Dirac Denklemi Uygulaması
Burgess ve Jensen’in çalışması [4] ile farklar:
1
Geometrik terim Vgeo. : [4]’te, Vgeo. = − γ A ÑA Tr (α);
2
Christoffel kat.’dan gelen katkı yok.
[4]’te b 6= 0, ancak "büyük olasılıkla" parçacık "yüzey"
üzerinde, dolayısıyla b = 0 (prob. conservation).
Problem
Çözüm
Schrödinger Denklemine Uygulama
Dirac Denklemi Uygulaması
Açık noktalar:
cr
Tr (α) + m efektif kütle terimleri gibi görünmekte; tam
4
çözüme göre yorunlanmalı.
Yaklaşımın geometrik ve deneysel geçerlilik koşulları([4]’te
ele alınmış).
γ’ların 3+1 D rep. 4x4. Denklem hangi koşullarda
diagonalize edilebilir (2x2 olarak) ([4]’te ele alınmış)?
Appendix
Ek okuma
Ek okuma I
R. Jackiw, S. Y. Pi.
Chiral Gauge Theory for Graphene
arXiv:cond-mat/0701760v2 [cond-mat.str-el].
G. Ferrari, G. Cuoghi.
Schrödinger equation for a particle on a curved surface in
an electric and magnetic field.
Phys. Rev. Lett, 100(23):230403, 2008.
R. da Costa.
Quantum Mechanics of a Cosntrained Particle.
Phys. Rev. A, 23(4):1982–1987, 1981.
Appendix
Ek okuma
Ek okuma II
M. Burgess, B. Jensen
Fermions Near Two Dimensional Surfaces
Phys. Rev. A, 48(3):1861–1868, 1981.
M. A. Olpak
Dirac Equation on a 2+1 Dimensional Hypersurface
arXiv:1010.2370 [hep-th], to be published in Mod. Phys.
Lett. A.
Appendix
Ek okuma
TEŞKKÜR EDERİM