Slayt 1 - Indico

Doğrusal Demet Işıksallığı – 2
Fatma Çağla Öztürk
İçerik
• Demet Yönlendirici Mıknatıslar
• Geleneksel Demir Baskın Mıknatıslar
23.07.2012
HPFBU Toplantı, OZTURK F. C.
2
Demet Yönlendirici Mıknatıslar
• Durgun mıknatıssal alan hesaplamalarının temeli, Maxwell
denklemlerine dayanmaktadır.
– j akım yoğunluğu olmak üzere;
 H  j
 H  0
Akım kaynaklarının
yokluğunda j = 0 olmaktadır.
• H mıknatıssal alan ifadesini, skaler potansiyel ϕ cinsinden
yazarsak;
H  
23.07.2012
  H       0
HPFBU Toplantı, OZTURK F. C.
3
Demet Yönlendirici Mıknatıslar
• Basitlik açısından, alanın sadece enine bileşenlerinin olduğunu
düşüneceğiz.
• Ayrıca, alanın demet ekseni (s – ekseni) boyunca
değişmediğini varsayıyoruz.
• Bu varsayımlar yardımıyla, üç boyutlu alan integrallerini x – z
düzleminde iki boyutta diferansiyel denklemler şeklinde
çözebiliyoruz.
• ϕ (x,z) oluşturabilmek için eş potansiyellerin şekillerini
sabitlemek gerekir  ϕ (x,z) = sabit.
• Bu ancak manyetik geçirgenliği fazla olan malzemelerle
mümkün olabilmektedir.
• Özellikle göreceli mıknatıssal geçirgenliği, μr > 1000 olan demir
tercih edilmektedir.
23.07.2012
HPFBU Toplantı, OZTURK F. C.
4
Demet Yönlendirici Mıknatıslar
• Mıknatıssal geçirgen malzeme
dışında kalan bir A noktasından,
mıknatıssal geçirgen malzeme
içerisindeki bir B noktasına keyfi
bir yol göz önüne alırsak, toplam
mıknatıssal potansiyel;
X
B
 H .ds   H .ds   H
0
A
X
Fe
Y
A
B
Y
.ds   H Fe .ds   H 0 .ds  0
• Burada, H0 vakum ortamındaki alan ve HFe ise demir içerisindeki
alandır.
• Bu iki alan bileşeni arasındaki ilişki, yüzeyde; H Fe  1 H 0
r
23.07.2012
HPFBU Toplantı, OZTURK F. C.
5
Demet Yönlendirici Mıknatıslar
• μr demir içerisinde çok büyük olduğundan, manyetik alanın
HFe bileşenini ihmal edebiliriz.
X
Y
 H .ds   H .ds
0
A
0
A
• Dolayısıyla, X ve Y noktaları eş potansiyel yüzeyleri üzerinde
bulunmaktadır ve bu yüzeyler üzerindeki her nokta aynı
potansiyele sahiptir.
23.07.2012
HPFBU Toplantı, OZTURK F. C.
6
Demet Yönlendirici Mıknatıslar
• Mıknatıssal alan (H) yerine mıknatıssal akı yoğunluğu (B =
μrμ0H) kullanmak daha kullanışlı olmaktadır. Dolayısıyla
potansiyel ifadesi,
 x, z   r 0 x, z 
B  
Manyetik akı yoğunluğu
hesaplanırsa…
2
• Dolayısıyla, B  0 ise Laplace Denklemi     0 olur.
• Yukarıdaki iki denklem, demir mıknatıs kutbu tasarımının
temelini oluşturmaktadır.
23.07.2012
HPFBU Toplantı, OZTURK F. C.
7
Demet Yönlendirici Mıknatıslar
• Demet yönlendirmesi için gerekli enine alanın şeklinin
sabitlenmesine bakalım…
• Belirli bir eksen boyunca sadece bir alan bileşenini
belirleyerek başlayalım…
x- ekseni boyuncaki düşey
bileşen Gz (x) (z ≡ 0)
Bx, z   Gz x   f z 
Alanın düşey z koordinatına
bağlı bilinmeyen bir
fonksiyon
23.07.2012
HPFBU Toplantı, OZTURK F. C.
8
Demet Yönlendirici Mıknatıslar
• Dolayısıyla, potansiyel;
x, z    Bz dz  Gz x z   f z dz
• Bilinmeyen f(z) fonksiyonu ancak Laplace denklemi aracılığıyla
hesaplanabilinir.
 2   2  d 2Gz  x 
df z 
  2  2 
z
0
2
x
z
dx
dz
d 2Gz  z 
1 d 2Gz  x  2
f z    
zdz  
z
2
2
dx
2 dx
2
23.07.2012
HPFBU Toplantı, OZTURK F. C.
9
Demet Yönlendirici Mıknatıslar
• Bilinmeyen fonksiyon için elde edilen bu eşitliği Φ
denkleminde yerine yazarsak;
1 d 2 Gz  x  3
x, z   Gz x z 
z
2
6 dx
• Böylece, son mıknatıssal alan dağılımını,
 dx, z  


Bx, z    dx 
 dx, z  


 dz 
• şeklinde elde ederiz.
23.07.2012
HPFBU Toplantı, OZTURK F. C.
10
Geleneksel Demir Baskın Mıknatıslar
• Kutupları demirden yapılmış ve sarımlardan geçen akımın
oluşturduğu mıknatıssal alana sahip olan, şimdiye kadar
çıkarmış olduğumuz denklemlerin kullanımını gösteren
mıknatıs tiplerinin en önemlilerini inceleyelim.
• Parçacıkları dairesel bir yörünge etrafında eğmek için, iki
kutuplu mıknatıslar kullanılır. Bu mıknatıslar, x-ekseni boyunca
sabit bir alana sahiptirler,
d 2Gz  x 
0
2
dx
Gz x   B0  sabit
• Potansiyel,
23.07.2012
x, z   B0 z
HPFBU Toplantı, OZTURK F. C.
11
Geleneksel Demir Baskın Mıknatıslar
• Eş potansiyel çizgisi Φ(x,z) = Φ0 = sabit olduğundan çizgiler, x –
eksenine z mesafe uzaklıktan paralel olarak gösterilebilmektedir.
Demir kısım
(yoke ?)
Sarım (=bobin)
Paralel demir
kutupları
h  2z
23.07.2012
HPFBU Toplantı, OZTURK F. C.
12
Geleneksel Demir Baskın Mıknatıslar
• I akımı ile B mıknatıssal alanı
arasındaki ilişki en basit
Maxwell denklemi aracılığı
ile hesaplanır,
 H .ds  I
toplam
• n sarım sayısına sahip
mıknatıs için,
nI   H .ds  H Fe lFe  H 0 h  H 0 h
• μr = 1 ise,
nI
B0  0
h
23.07.2012
İki kutupluluk gücü
e nI
1 e
 B0  0
R p
p h
HPFBU Toplantı, OZTURK F. C.
13
Geleneksel Demir Baskın Mıknatıslar
Kullanışlı alan bölgesi
Kullanışlı alan bölgesi
Plaka (=shim)
Sınır alanı  ΔB/B = 2x10-4 oranı ile azalmaktadır!
23.07.2012
HPFBU Toplantı, OZTURK F. C.
• Gerçek mıknatıslarda elde
edilen mıknatıssal alan ideal
olmamaktadır.
• Homojen (her yerinde aynı
özelliğe sahip olan) bir
mıknatıssal alan ancak
sonsuz uzunluğa sahip bir
mıknatıs kutbu ile elde
edilebilmektedir.
• Bunun yerine (şekilden de
görüldüğü üzere), merkez
eksenden belirli bir yatay
mesafeden sonra
mıknatıssal alanın azaldığı
gözlenir.
14
Geleneksel Demir Baskın Mıknatıslar
akım
23.07.2012
• Demir baskın mıknatısların başka
bir sorunu da şekilde gösterilen
uyarılma eğrisinden de görüldüğü
gibi satürasyondur (=doyum,
doygunluk).
• 1 T üzerindeki mıknatıssal alan
değerlerinde doygunluk
gözlenirken, geleneksel
mıknatıslarda ulaşılabilecek en
büyük mıknatıssal alan değeri 2 T
civarındadır.
HPFBU Toplantı, OZTURK F. C.
15
Geleneksel Demir Baskın Mıknatıslar
• Parçacık demetinin odaklanması için, dört kutuplu mıknatıssal
alanlar kullanılmaktadır.
Bz
g
x
Gz x   gx
Demir
kısımlar
Hiperbolik
kutup yüzleri
23.07.2012
Bobinler
Hiperbolik kutup yüzleri
şekilde görülen bir dört
kutuplu mıknatısın alan
şekli g ifadesi ile
verilmektedir.
Potansiyel ifadesi de,
x, z   g.x.z
HPFBU Toplantı, OZTURK F. C.
16
Geleneksel Demir Baskın Mıknatıslar
• I akımı ile g alan gradiyenti
arasındaki ilişkiyi açıklamak için
uygun integrasyon yolu üzerinden
(bobin üzerindeki iletken
etrafındaki yol - şekil) Maxwell
denkleminin çözümüne bakmak
gerekmektedir.
• Mıknatıssal alan katkı, denklemin sağ kısmındaki ifadelerden yalnızca
demet ekseninden kutba kadar olan kısmı temsil eden 0  1
integrasyonundan gelmektedir.
23.07.2012
HPFBU Toplantı, OZTURK F. C.
17
Geleneksel Demir Baskın Mıknatıslar
• Demir kısımlar içerisindeki mıknatıssal alan sıfırlanır çünkü
burada mıknatıssal geçirgenlik μr >> 1 dir. Dolayısıyla, HFe göz
ardı edilmektedir.
• x-ekseni boyunca etki eden mıknatıssal alan da göz ardı
edilmektedir. Çünkü, burada H mıknatıssal alanı s demet
eksenine dik olmaktadır.
• Dolayısıyla sadece demet ekseni ile mıknatıs kutbu arasındaki
mıknatıssal alan göz önüne alınmaktadır.
• Bu mıknatıssal alan ifadesi de önceden potansiyel için verilen
ifadeden elde edilmektedir (Bz = gz ve Bx = gx olmak üzere).
23.07.2012
HPFBU Toplantı, OZTURK F. C.
18
Geleneksel Demir Baskın Mıknatıslar
• Burada, x = z seçersek r, merkezden kutba olan çizgi integralini
belirtecektir. Dolayısıyla r = a için;
• Dolayısıyla, kutup açıklığının çok küçük olduğu durumlarda
dört kutupluluk gücü artmaktadır. Dolayısıyla I akımı ve
mıknatısın güç tüketimi de azalmaktadır.
23.07.2012
HPFBU Toplantı, OZTURK F. C.
19
Geleneksel Demir Baskın Mıknatıslar
• Aynı özellikleri, güçlü mıknatıssal odaklayıcı yapılarda, renklilik
karşılaması için kullanılan altı kutuplu mıknatıslar için
inceleyelim.
• x-ekseni boyunca bu mıknatısın mıknatıssal alan şekli;
• Altı kutuplu mıknatıslarda diğerlerinden farklı olarak Gz (x)
fonksiyonunun ikinci dereceden türevi bulunmaktadır.
Dolayısıyla bu tip mıknatıslarda düşey koordinata bağlılık söz
konusudur ve f(z) sıfırdan farklıdır!
23.07.2012
HPFBU Toplantı, OZTURK F. C.
20
Geleneksel Demir Baskın Mıknatıslar
• Altı kutuplu mıknatısta, yatay düzlemde parçacığın hareketi
düşey düzlemdeki hareketiyle çiftlenmektedir yada tersi
durumlarda söz konusudur.
• Aynı durum, tüm yüksek mertebeli mıknatıslar için geçerli
olmaktadır.
• İki kutuplu ve Dört kutuplu mıknatıslar bu çiftlenim özelliğini
göstermemektedirler. İşte bu sebepten ötürü, iki kutuplu ve
dört kutuplu mıknatısların söz konusu olduğu durumlarda
doğrusal demet ışıksallığı geçerli olmaktadır.
• Böylece, doğrusal demet ışıksallığı ile parçacık hareketini her
iki düzlemde birbirinden bağımsız olarak inceleyebilmekteyiz.
23.07.2012
HPFBU Toplantı, OZTURK F. C.
21
Geleneksel Demir Baskın Mıknatıslar
• Potansiyel eşitliğine altı kutuplu mıknatısın kuadratik alanını
uygularsak,
• Sabit bir Φ0 potansiyeli için, bu eşitliği x(z) için çözersek eş
potansiyelleri tespit etmiş oluruz. z nin sıfırdan farklı olduğu
durum için;
• Bu ifade ile altı kutuplu mıknatısın, birbirine 60o lik açılarla
duran ve kutupsallıklarını bizim belirlediğimiz altı kutbunun
şekli belirlenebilmektedir.
23.07.2012
HPFBU Toplantı, OZTURK F. C.
22
Geleneksel Demir Baskın Mıknatıslar
• Altı kutuplu mıknatısın basit şekli ve eş potansiyellerin
integrasyon yolu şekilde gösterilmektedir.
Kutup başına n sarım sayısına
sahip, mıknatıs açıklığı a olan
ve I akımına sahip altı
kutuplu mıknatısın demet
ekseni boyunca sahip olduğu
alan gücü, dört kutuplu
mıknatıs için izlenen
hesaplama yolu ile;
Demir
kısımlar
Bobinler
23.07.2012
HPFBU Toplantı, OZTURK F. C.
23
23.07.2012
HPFBU Toplantı, OZTURK F. C.
24