olasılık - Eodev.com

Transkript

OLASILIK
OLASILIK
OLASILIK
ÇÖZÜM:
Örnek Uzay: A= {1, 2, 3, 4, 5, 6}, s(E)= 6
Değişik renkteki topların bulunduğu bir kutudan
rastgele alınan bir topun hangi renkte olduğu, bir para
atıldığında yazı veya tura gelmesi ... v.b gibi sonucu
kesin olarak bilinmeyen olaylar olasılığın konusudur.
İstenilen Olay: A = { } , s(A) = 0
Zarın 8 gelme olasılığı:
s (A)
0
P(A) =
=
=0
6
s (E)
Bir paranın yazı veya tura gelebileceği, bir zar
atıldığında {1, 2, 3, 4, 5, 6} rakamlarının birisinin gelebileceği gibi sonucu belirlenebilen olaylara deney
denir.
Bir deneyin sonucunda elde edilebilecek bütün
sonuçları eleman kabul eden kümeye örnek uzay denir. E ile gösterilir.
ÖRNEK – 3
Atılan bir zarın 7 den küçük gelme olasılığı
kaçtır?
Örneğin, bir para atıldığında sonuçların oluşturduğu küme yani örnek uzay: E = {Yazı, Tura} olur.
Bir zar atıldığında örnek uzay: E= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
olur.
Cevap : A
A) 0
‹stenilen durum say›s›
Bir olayn olma
=
olasl€›
Örnek Uzayn eleman says
(Tüm Durumlarn says)
B)
1
6
C)
1
4
D)
1
2
E) 1
ÇÖZÜM:
ÖRNEK – 1
E = Örnek Uzay = {1, 2, 3, 4, 5, 6} , s(E) = 6
Atılan bir zarın 4 ten büyük gelme olasılığı
kaçtır?
A = İstenilen Durum = {1, 2, 3, 4, 5, 6} , s(A) = 6
P(A)=
A)
1
6
B)
1
5
C)
1
4
D)
1
3
E)
1
2
s (A)
s (E)
=
6
= 1 bulunur.
6
Cevap : E
ÇÖZÜM:
Örnek Uzay = E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} , s(E) = 6
ÖRNEK – 4
İstenilen olay : A = {5, 6} , s(A) = 2
Aşağıdakilerden hangisi bir olayın olma
olasılığı olamaz?
İstenilen olayın olma olasılığı:
P(A)=
s (A)
s (E)
=
2
1
=
bulunur.
6
3
A) 0
Cevap : D
B)
2
5
C)
3
4
D) 1
E)
6
5
ÇÖZÜM:
ÖRNEK – 2
Bir olayın olma olasılığı 0 ve 1 dahil olmak üzere
Atılan bir zarın 8 gelme olasılığı kaçtır?
A) 0
1
B) 6
1
C) 5
1
D) 4
0 ile 1 arasındaki değerleri alır.
O halde
1
E)
2
86
11. S›n›f Matematik Konu Anlat›mlı Soru Bankası
6
olamaz.
5
Cevap : E
OLASILIK
ÖRNEK – 5
ÖRNEK – 7
Bir torbada üzerinde 1 den 20 ye kadar
numaralandırılmış 20 tane kart vardır. Bu
torbadan rastgele çekilen bir kartın üzerindeki numaranın asal sayı olma olasılığı
kaçtır?
Bir torbada 3 beyaz, 5 siyah, 10 mavi bilye
vardır. Bu torbadan çekilen bir topun beyaz veya siyah olma olasılığı kaçtır?
A)
A)
1
6
B)
1
5
C)
2
5
D)
1
2
E)
B)
1
2
C)
2
3
D)
3
4
E)
5
6
3
4
ÇÖZÜM 1:
ÇÖZÜM:
3
18
5
Siyah olma olasılığı = s(S) =
18
3
5
8
4
+
=
=
s(B∪S) = s(B) + s(S) =
18 18 18 9
Beyaz olma olasılığı = s(B) =
Örnek Uzay = E = {1, 2, 3, ...., 19, 20}
İstenilen olay : A = {2, 3, 5, 7, 11 ,13 ,17, 19}
P(A)=
4
9
s (A)
s (E)
=
8
2
=
5
20
Cevap : C
ÇÖZÜM 2:
Beyaz veya siyah bilyelerin sayısı = 3 + 5 = 8
8
4
=
Beyaz veya siyah olma olasılığı =
18 9
ÖRNEK – 6
4 kırmızı, 6 beyaz, 5 siyah bilye bulunan
bir torbadan rastgele alınan bir bilyenin
beyaz olma olasılığı kaçtır?
A)
1
6
B)
2
5
C)
1
2
D)
2
3
E)
Cevap : A
4
5
❋ Aynı örnek uzayın ayrık olmayan iki olayı A ve B ise A veya B olayının olma olasılığı,
s(A∪B) = s(A) + s(B) – s(A∩B) dir.
ÇÖZÜM:
s(E) = 4 + 6 + 5 = 15
s(A) = 6
s (A)
s (E)
=
6
2
=
5
15
ÖRNEK – 8
Cevap : B
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarından rastgele alınan bir elemanın asal
veya çift olma olasılığı kaçtır?
❋ Aynı örnek uzayın ayrık iki olayı A ve B ise A veya B olayının olma olasılığı, A ile B olasılıkları-
nın toplamına eşittir.
A)
s(A∪B) = s(A) + s(B) dir.
87
1
3
B)
2
5
C)
1
2
D)
2
3
E)
7
9
OLASILIK
J
K Bu deneyde A, B ve C ayrık olayları dışında başka
K
KK olay olmadığından P(A) + P(B) + P(C) = 1 olur.
L
17
P (A ) + 1 =
12
5
P (A ) =
12
5
7
P ( A ›) = 1 – P ( A ) = 1 –
=
12 12
Cevap :
ÇÖZÜM 1:
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Asal sayılar = {2, 3, 5, 7}
Çift sayılar = {2, 4, 6, 8}
Asal ve çift sayılar = {2}
4
9
4
Çift olma olasılığı = P(Ç) =
9
1
Asal ve çift olma olasılığı = P(A∩Ç) =
9
Asal veya çift olma olasılığı =
Asal olma olasılığı = P(A) =
D
❋ A ve B bağımsız olaylar olmak üzere, A ve B olaylarının birlikte olma olasılığı:
P(A∪Ç) = P(A) + P(Ç) – P(A∩Ç)
=
N
O
O
OO
P
4 4 1 7
+ – =
9 9 9 9
P(A∩B) = P(A) . P(B) 'dir.
ÇÖZÜM 2:
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
ÖRNEK – 10
Asal veya çift sayılar = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
7
Asal veya çift olma olasılığı =
bulunur.
9
Cevap : E
Bir zar ile bir madeni para atılıyor.
a) Zarın 4 ten büyük ve paranın tura gelme olasılığı kaçtır?
b) Zarın 4 ten büyük veya paranın tura gel-
me olasılığı kaçtır?
ÖRNEK – 9
Bir deneyde A, B ve C ayrık olayları vardır. Bu
2
deneyde, A veya B'nin gerçekleşme olasılığı ,
3
3
A veya C'nin gerçekleşme olasılığı
olduğuna
4
göre, A olayının gerçekleşmeme olasılığı kaç-
ÇÖZÜM:
tır?
Paranın tura gelme olasılığı : P(B) =
A)
1
3
B)
3
8
C)
1
2
D)
7
12
E)
Zarın 4 ten büyük gelme olasılığı: P(A)=
2 1
=
6 3
1
2
1 1 1
$ =
a) P(A∩B)= P(A) . P(B) =
3 2 6
2
3
I. yol
b) P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
ÇÖZÜM:
A, B ve C ayrık olaylar olduğundan kesişimleri
boş kümedir. Yani,
II. yol:
2
P(A∪B) = P(A) + P(B) =
3
3
P(A∪C) = P(A) + P(C) =
4
+
A veya B olayının gerçekleşmesi, A ve B den
en az birisinin gerçekleşmesiyle mümkündür. A
ve B nin her ikisinin gerçekleşmemesi durumu
dışında kalan bütün olasılıklar A veya B nin gerçekleşmesini sağlar. İkisinin gerçekleşmeme olasılığını bulalım.
17
P (A) + P (A) + P (B) + P (C) =
1 4 4 44 2 4 4 44 3 12
1
88
1 1 1 1 4 2
+ – $ = =
3 2 3 2 6 3
OLASILIK
ÖRNEK – 12
A nın gerçekleşmeme olasılığı:
1 2
P(Aı) = 1 – P(A) = 1 – =
3 3
B nin gerçekleşmeme olasılığı:
1 1
P(Bı)= 1 – P(B) = 1 – =
2 2
2 1
1
$ =
A ve B nin gerçekleşmeme olasılığı =
3 2
3
A ve B nin gerçekleşmeme olasılığı dışında kalan
bütün olasılıklar A veya B nin gerçekleşmesini
sağlar.
1
2
O halde 1– =
bulunur.
3
3
Bir toplulukta 4 kız, 6 erkek vardır. Bu topluluktan rastgele seçilen üç kişinin;
a) Üçününde kız olma olasılığı kaçtır?
b) İkisinin erkek birisinin kız olma olasılığı kaçtır?
c) En az birinin kız olma olasılığı kaçtır?
ÇÖZÜM:
4 kız + 6 erkek = 10 kişi
a) Çözüm 1:
Kişileri birer birer seçecek olursak üç kişide
sırasıyla kız olacaktır.
3
, Fırat'ın
5
1
kazanma olasılığı
olduğuna göre, bu
8
sınavı
10 kişiden 4 ü kız olduğundan 1. seçilen kişinin
4
kız olma olasılığı
, 9 kişi ve 3 kız kaldığından
10
3
ikinci seçilen kişinin kız olma olasılığı , 8 kişi ve
9
2 kız kaldığından üçüncü seçilen kişinin kız olma
2
olasılığı
dir.
8
a) Fırat ve İbrahim'in kazanma olasılığı kaçtır?
ÖRNEK – 11
İbrahim ile Fırat'ın gireceği bir sınavı
İbrahim'in kazanma olasılığı
4
10
b) Fırat veya İbrahim'in kazanma olasılığı kaçtır?
a) P(F∩İ) = P(F) . P(İ) =
$
3
9
K
↓
$
2
8
=
1
30
Çözüm 2:
10 kişiden 3 kişi seçeceğimizden tüm durum10
ların sayısı f p olur. 4 kızdan 3 kız seçileceğin3
4
den istenilen durumların sayısı f p olur.
3
3
1 3
$ =
8 5 40
b) Çözüm 1:
K
↓
ÇÖZÜM:
K
↓
P(F∪İ) = P(F) + P(İ) – P(F∩İ)
=
‹stenilen durumlar›n say›s›
1 3 1 3 26 13
+ – $ =
=
8 5 8 5 40 20
Tüm durumlar›n say›s›
Çözüm 2:
Fırat ve İbrahim'in ikisinin de sınavı kazanamama olasılığını bulalım.
2
7
P(Fı) =
, P(İı) =
5
8
7
2
7
$ =
P(Fı∩İı) =
8 5 20
10
f p
3
=
4
1
=
120
30
b) Çözüm 1:
Kişileri birer birer seçecek olursak
1. seçilen erkek, 2. seçilen erkek, 3. seçilen kız olabilir.
1. seçilen erkek, 2. seçilen kız, 3. seçilen erkek olabilir.
1. seçilen kız, 2. seçilen erkek, 3. seçilen erkek olabilir.
En az birinin sınavı kazanma olasılığı
13
7
1–
=
20
20
Yani 2 erkek, 1 kız seçimi için 3 farklı durum vardır. Bu 3 farklı durumu daha pratik olarak tekrarlı
permütasyondanda bulabiliriz.
89
=
4
f p
3
OLASILIK
3!
= 3 farklı şekilde
2!
yer değiştirebilir. Biz bu üç durumunda olasılığını
bulup bu olasılıkları toplayalım.
ÖRNEK – 13
E E K harfleri kendi arasında
Bir torbada 2 siyah, 4 beyaz, 5 mavi bilye vardır. Bu torbadan rastgele alınan üç
bilyenin üçününde farklı renkte olma olasılığı kaçtır?
4 kız, 6 erkek arasından,
E E K + E K E + K E E
↓ ↓
↓
8
33
1
3
5
13
1
2
5
9
6 5 4
6 4 5
6 5 4 1
4 6 5
$ $ +
$ $ +
$ $ =3$
$ $ =
10 9 8 10 9 8 10 9 8
10 9 8 2
A)
Çözüm 2:
ÇÖZÜM 1:
10 kişiden 3 kişi seçeceğimizden tüm durumların
10
4
sayısı f p olur. 4 kızdan 1 kız f p, 6 erkekten 2
3
1
Bilyeleri birer birer seçecek olursak üç bilye farklı
renkte olacağından,
ÇÖZÜM 2:
11
Tüm durumda 11 bilyeden 3 bilye f p farklı şe3
kilde seçilir. İstenilen durumda herbirinden birer
2 4 5
tane f p $ f p $ f p farklı şekilde seçilir.
1 1 1
Seçilecek olan 3 kişinin en az birisinin kız olması demek, üçünün erkek olması haricindeki bütün olasılıklar demektir. O halde üçününde erkek
olma olasılığını bulalım.
6
10
2 4 5
f p$ f p$ f p
1 1 1
11
f p
3
E
↓
5
4
$
9
8
1 5
1– =
bulunur.
6 6
$
=
1
6
Çözüm 2:
3 kişininde erkek olma olasılığı
6
f p
3
10
f p
3
1–
20
1
=
120 6
Cevap : A
7
30
B)
1
3
C)
2
5
D)
1
2
E)
5
6
ÇÖZÜM :
1 5
=
bulunur.
6 6
Birinci seçilen erkek ikinci seçilen kız olacaktır.
90
8
33
Bir toplulukta 3 kız, 7 erkek vardır. Bu topluluktan rastgele seçilen iki kişinin birincisinin erkek, ikincisinin kız olma olasılığı
kaçtır?
A)
=
=
ÖRNEK – 14
E)
8
2
4 5
$
$ $6 =
11 10 9
33
c) Çözüm 1:
E
↓
D)
S B M+SMB+MBS+MSB+BSM+BMS
↓ ↓ ↓
4 6
durumların sayısı f p $ f p olur.
1 2
4 6
f p$ f p
1 2
4 . 15 1
bulunur.
=
=
120
2
10
f p
3
E
↓
C)
SBM , SMB , MBS , MSB , BSM , BMS
1 4444444444 2 4444444444 3
3! = 6
6
erkek f p farklı şekilde seçileceğinden istenilen
2
B)
E
↓
7
10
$
K
↓
3
=
9
7
30
Cevap : A
OLASILIK
ÖRNEK – 15
ÖRNEK – 17
Bir torbada 3 sarı, 5 yeşil bilye vardır. Torbadan alınan bilye torbaya tekrar atılması koşuluyla alınan bilyelerin farklı renkte
olma olasılığı kaçtır?
A)
1
3
B)
2
5
C)
15
32
D)
1
2
E)
5 madeni para atılıyor.
a) Üçünün yazı ikisinin tura gelme olasılığı kaçtır?
b) En az birinin yazı gelme olasılığı kaçtır?
3
5
ÇÖZÜM :
ÇÖZÜM :
S
↓
3
$
8
a) Tüm durumların sayısı = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . = 32 dir.
Y + Y S
↓
5
15
$2 =
8
32
İstenilen durumların sayısı
YYYTT , YYTTY, .... , TTYYY
1 4444444 2 4444444 3
5!
Cevap : C
3! . 2!
= 10
10
5
=
bulunur.
32 16
ÖRNEK – 16
b) Tüm durumların sayısı = 32
3 madeni para atılıyor.
a) Üçününde aynı gelme olasılığı kaçtır?
b) İkisinin yazı birinin tura gelme olasılığı
TTTTT haricindeki diğer 31 tane durumda en
31
az bir yazı olacaktır.
bulunur.
32
kaçtır?
c) En az birinin tura gelme olasılığı kaçtır?
ÖRNEK – 18
ÇÖZÜM :
Bir çift zar atılıyor. Üst yüze gelen sayıların
Her para atılışında yazı ve tura yani 2 farklı durum oluşacağından 3 para atıldığında 2 . 2 . 2 = 8
farklı durum oluşur. Bunları yazalım.
a) Aynı olma olasılığı kaçtır?
b) Farklı olma olasılığı kaçtır?
c) Toplamının 10 olma olasılığı kaçtır?
TTT , YYY , TTY , TYT , YTT , TYY , YTY , YYT
1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 44 3
8 farkl› durum vard›r.
a) Bunlardan TTT, YYY 2 tanesi istenilen durumdur
2 1
=
bulunur.
8 4
ÇÖZÜM :
Tüm durumların sayısı = 6 . 6 = 36 dır.
a) (1, 1) (2, 2) (3, 3) (4, 4) (5, 5) (6, 6)
1 44444444 2 44444444 3
6 tan e
b) Bunlardan
YYT , YTY, TYY 3 tanesi istenilen durumdur.
1 4 4 44 2 4 4 4
43
3!
2!
=3
b) 36 – 6 = 30 durum vardır.
3
bulunur.
8
30 5
=
bulunur.
36 6
c) (6,4), (4,6), (5,5)
1 4444 2 4444 3
c) Bunlardan YYY haricindeki 7 tanesi istenilen
durumdur.
7
bulunur.
8
3 tan e
91
6
1
=
bulunur.
36 6
3
1
=
bulunur.
36
12
OLASILIK
ÖRNEK – 19
ÖRNEK – 21
Bir zar atılıyor. Üst yüze gelen sayının tek olduğu bilindiğine göre asal olma olasılığı kaçtır?
A
E
F
B
D
C
G
A)
H
Şekilde çember üzerinde A, B, C, D, E ve doğru üzerinde F, G, H noktalarından rastgele seçilen dört noktanın üçünün çember, birisinin
doğru üzerinde olma olasılığı kaçtır?
3
B) 7
1
A) 3
1
C) 2
2
D) 3
1
6
B)
1
5
C)
1
4
D)
1
3
E)
2
3
ÇÖZÜM :
Üst yüze gelen sayının tek olduğu bilindiğinden,
Tüm durum = {1, 3, 5} olur.
İstenen durum = {3, 5}
5
E)
6
2
bulunur.
3
Cevap : E
ÇÖZÜM :
Tüm durumların sayısı 8 noktadan 4 nokta seçile8
rek f p farklı şekilde olur.
4
İstenen durumların sayısı çember üzerinde 5
5
noktadan 3 ü f p ve doğru üzerindeki 3 noktadan
3
3
5 3
1 i f p seçilerek f p $ f p olur. Bu durumda,
1
3 1
5 3
f p$ f p
3 1
8
f p
4
30 3
bulunur.
=
70 7
=
ÖRNEK – 22
Bir zarın 4 yüzü beyaza, 2 yüzü siyaha boyanıp atılıyor. Zarın gözükebilecek yüzündeki
renklerin 3 tanesinin beyaz iki tanesinin siyah
Cevap : B
ÖRNEK – 20
{1, 2, 3, 4, 5} kümesinin tüm alt kümeleri arasından rastgele seçilen bir alt kümenin iki
elemanlı olma olasılığı kaçtır?
5
16
A)
B)
3
8
C)
1
2
D)
5
8
E)
A)
3
4
5
İki elemanlı alt küme sayısı f p
2
2
=
10
5
=
bulunur.
32 16
Cevap : A
92
1
4
C)
1
3
D)
1
2
E)
2
3
Bir zar atıldığından taban kısmına gelen bir yüzü
haricinde diğer beş yüzü gözükebilir. 4 yüz beyaza
boyandığından ve gözükebilecek 3 yüzün beyaz
renkte olduğu bilindiğinden dolayı taban kısmına
beyaz renk gelmiştir. O halde soruyu şu şekilde
düşünelim. 4 yüzü beyaza 2 yüzü siyaha boyanıp
atılan bir zarın taban kısmına beyaz rengin gelme
olasılığı kaçtır. 6 yüzünden 4 tanesi beyaza bo4
2
=
yandığından dolayı
bulunur.
6
3
Cevap : E
Tüm alt küme sayısı = 25
5
B)
ÇÖZÜM :
ÇÖZÜM :
5
f p
2
1
6
TEST
OLASILIK ÇÖZÜMLÜ TEST
1. Bir s›n›fta 10 k›z, 14 erkek ö€renci vard›r.
Rastgele seçilen bir ö€rencinin k›z olma
olas›l›€› kaçt›r?
A)
2
5
B)
5
12
C)
7
12
D)
8
9
E)
5. Onluk tabandaki tek rakamlar içerisinden
rastgele seçilen bir rakamın asal olma olasılığı kaçtır?
11
15
A)
2. 3 Mavi, 4 kırmızı, 5 yeşil renkli bilye arasından rastgele alınan bir bilyenin kırmızı renkte
A)
1
6
B)
1
4
C)
1
3
D)
5
12
E)
1
10
1
2
1
10
C)
3
5
D)
9
10
E)
1
3
A) 12
2
7
B)
1
7
C)
1
6
D)
1
3
E)
1
2
A)
93
1
5
D)
2
5
E)
3
5
B) 30
C) 36
D) 40
E) 42
B) 16
C) 20
D) 26
E) 32
8. İki basamaklı doğal sayılar içerisinden rastgele bir sayı seçildiğinde bu sayının 84 ten büyük olma olasılığı kaçtır?
4. TİMUÇİN kelimesindeki harflerden oluşan bir
kümenin elemanlarından rastgele seçilen bir
elemanın İ harfi olma olasılığı kaçtır?
A)
C)
7. Bir sınıftaki erkeklerin sayısı kızların sayısının yarısından 2 fazladır. Bu sınıftan rastgele
5
seçilen bir öğrencinin erkek olma ihtimali
13
olduğuna göre sınıf mevcudu kaçtır?
Çekilişte Cemal'in kazanamama olasılığı kaçtır?
B)
3
10
kaçtır?
3. Bir çekiliş için, Cemal 3 tane, Celal 6 tane, Ümit
9 tane, Emrah 12 tane bilet almıştır.
1
30
B)
6. Bir sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin kız
2
olma olasılığı
tir. Sınıftaki erkeklerin sayısı
5
kızlardan 8 fazla olduğuna göre sınıf mevcudu
A) 24
A)
1
7
45
B)
2
15
C)
1
5
D)
1
6
E)
1
9
TEST
9. {3, 4, 5, 6, 7, 8} kümesinden rastgele alınan
iki elemanın ortak katlarının en küçüğünün 12
A)
1
15
B)
2
15
C)
1
5
D)
1
3
E)
13. 4 erkek, 6 k›z ö€renci aras›ndan rastgele seçilen iki ö€renciden birinin k›z di€erinin erkek
ö€renci olmas› olas›l›€› kaçt›r?
2
5
A)
10. A = {1, 2, 3, ............... , 20 } kümesinden rastgele seçilen bir eleman›n 2 ve 3 ile bölünebilme
A)
1
20
B)
3
20
C)
1
10
D)
3
10
E)
1
C)
24
1
D) 6
1
2
A)
A)
2
E)
5
B)
2
9
C)
4
15
D)
1
2
E)
3
5
A)
94
4
15
C)
3
5
D)
1
4
E)
3
20
1
6
B)
5
9
C)
1
2
D)
3
4
E)
5
6
5
8
B)
9
12
C)
12
49
D)
15
49
E)
2
7
16. 3 beyaz, 2 mavi, 5 k›rm›z› bilye aras›ndan rastgele al›nan üç bilyenin ikisinin beyaz birinin
k›rm›z› olma olas›l›€› kaçt›r?
yan bir kız öğrenci olma olasılığı kaçtır?
1
9
B)
15. Bir torbada 3 beyaz, 4 mavi top vard›r. Torbadan art arda iki top çekiliyor. Çekilen iki topun
da mavi olma olasılığı kaçtır?
12. Bir sınıftaki öğrencilerin %40'ı erkektir. Bu
5
sınıftaki kızların
u çalışkan olduğuna göre
9
rastgele seçilen bir öğrencinin çalışkan olma-
A)
8
15
14. Bir torbada bulunan 9 bilyeden 4 tanesi beyaz,
5 tanesi mavidir. Rastgele seçilen iki bilyeden
birinin beyaz, di€erinin mavi olma olas›l›€›
kaçt›r?
11. E, E, L, Y, M harfleri kartlara birer kez yazılıp
bir torbaya atılıyor. Daha sonra torbadan rastgele birer birer kart çekilip çekilen kartlar sırasıyla soldan sağa diziliyor. Oluşan kelimenin
EYLEM olma olasılığı kaçtır?
1
1
A)
B)
120
60
1
1
2
B)
1
4
C)
1
6
D)
1
8
E)
1
16
OLASILIK TEST - 1 ÇÖZÜMLERİ
1. 24 tane öğrencinin 10 tanesi kız olduğundan
10
5
=
24
12
Cevap : B
6.
K›z say›s›
S›n›f mevcudu
=
Kız = 2x
2x
5x
3x – 2x = 8
Erkek = 3x
x=8
Mevcut = 5x
5x = 40
Cevap : D
2. 12 bilyenin 4 ü kırmızı olduğundan;
4
1
=
12
3
Cevap : C
7. Kız = 2x
Erkek = x + 2
Mevcut = 3x + 2
5
x+2
=
3x + 2 13
13x + 26 = 15 x + 10
16 = 2x
x=8
3x + 2 = 3 . 8 + 2 = 26
3. 30 biletin 27 tanesi Cemal'in olmadığından kaybetmesi olasılığı;
9
27
=
30
10
Cevap : D
Cevap : D
8. İki basamaklı 90 tane doğal sayı vardır. 84 ten
büyük 15 tane doğal sayı vardır.
15 1
=
90 6
Cevap : D
4. {T, İ, M, U, Ç, N}
6 elemandan 1 tanesi İ harfi olduğundan
1
6
Cevap : C
9. (3, 4) ve (4, 6) sayılarının okekleri 12 dir.
6
6 elemandan 2 tanesi f p = 15 farklı şekilde se2
çilir.
2
15
Cevap : B
5. {1, 3, 5, 7, 9} rakamlarından {3, 5, 7} üç tanesi
3
asal olduğundan
5
Cevap : E
95
10. 2 ve 3 ile bölünen sayılar OKEK (2, 3) = 6 ile bölünebilen sayılar demektir.
{6, 12, 18} ⇒ 3 tane
3
20
14. I. yol
B M + MB
↓ ↓
5
4 5
$ $2 =
9 8
9
Cevap : B
II. yol
4 5
f p$ f p
1 1
9
f p
2
=
5
9
Cevap : B
5!
= 60
2!
farklı şekilde yer değiştirir. Bu 60 tane kelimeden
1
bir tanesi EYLEM olduğundan
60
Cevap : B
11. E, E, L, Y, M harfleri kendi aralarında
15. I. yol
M M
↓ ↓
2
4 3
$ =
7
7 6
12. Sınıf mevcudu 60 olsun.
40
= 24
100
Kız öğrenci sayısı = 60 – 24 = 36
5
Çalışkan kızların sayısı 36 $ = 20
9
Çalışkan olmayan kızların sayısı 36 – 20 = 16
Erkek öğrenci sayısı = 60 $
Çal›kan olmayan k›zlar›n say›s›
S›n›f mevcudu
=
II. yol
4
f p
2
7
f p
2
=
2
7
Cevap : E
16
4
=
60 15
Cevap : C
16. I. yol
13. I. yol:
B B K + B K B +K B B
↓ ↓ ↓
Öğrencileri birer birer seçersek seçilen öğrencilerden birincisi erkek ikincisi kız olabilir veya birincisi kız ikincisi erkek olabilir.
3 2 5
1
$ $ $3 =
10 9 8
8
E K + K E
↓ ↓
↓ ↓
II. yol
6 4
8
4 6
4 6
$
+
$
= 2$
$ =
10 9
9 10
10 9 15
3 5
f p$ f p
2 1
II. yol
4 6
f pf p
1 1
10
f p
2
=
10
f p
3
8
15
1
8
Cevap : D
Cevap : A
96
=
TEST
1. Bir kutudaki mavi toplar›n say›s›, beyaz
toplar›n say›s›n›n üç kat›d›r. Kutudan rastgele
seçilen iki topun farkl› renkte olmas› olas›l›€›
9
olduğuna göre kutuda bafllang›çta kaç
22
beyaz top vard›r?
A) 2
B) 3
C) 5
D) 6
2
5. A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümesinden rastgele alınan üç tane elemanın ardışık olma olasılığı
kaçtır?
A)
3
28
B)
1
7
C)
1
28
D)
3
56
E)
1
14
E) 8
6. A = {1, 2, 3, 4}
B ={3, 4, 5}
2. 6 kiflilik bir aile yuvarlak masa etraf›nda
oturacakt›r. Anne ile baban›n yanyana oturmama olas›l›€› kaçt›r?
A)
1
5
B)
2
5
C)
3
5
D)
4
5
E)
kümeleri veriliyor.
Buna göre A x B kümesinden seçilen herhangi bir (x, y) ikilisinde x ve y'nin farklı rakamlardan oluşma olasılığı kaçtır?
3
10
A)
2
7
B)
1
5
C)
3
14
D)
9
56
E)
11
56
A)
1
3
B)
3
35
C)
1
7
D)
2
7
E)
C)
1
3
D)
2
3
E)
5
6
1
24
B)
1
15
C)
1
12
D)
1
6
E)
1
5
Torbadan rastgele seçilen bir kağıttaki kümenin iki elemanlı olma olasılığı kaçtır?
1
5
A)
97
1
6
8. A={1, 2, 3, 4, 5} kümesinin en fazla 3 elemanlı
alt kümelerinin tamamı birer kez kartlara yazılıp
torbaya atılıyor.
4. A={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin 4 elemanlı alt
kümelerinden rastgele birisi seçildiğinde 2
elemanın olup, 3 elemanının olmama olasılığı
kaçtır?
A)
B)
7. A={1, 2, 3, 5, 7} kümesinin elemanlarıyla dört
basamaklı rakamları farklı yazılabilecek bütün
doğal sayılar içerisinden rastgele seçilen bir
sayının 4 ile tam olarak bölünebilme olasılığı
kaçtır?
3. A = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4 } kümesinin üç elemanl› alt kümelerinden rastgele seçilen bir
alt kümenin elemanlar›nın çarp›m›n›n pozitif
olma olas›l›€› kaçt›r?
A)
1
12
1
26
B)
3
26
C)
5
13
D)
3
13
E)
1
5
TEST
9. 4 kişinin katıldığı bir sınavda en az 2 kişinin
başarılı olma olasılığı kaçtır?
A)
3
4
B)
11
16
C)
5
8
D)
9
15
E)
13. İki basamaklı doğal sayılar arasından rastgele
seçilen bir sayının 4 ile tam olarak bölündüğü
bilindiğine göre, 6 ile tam olarak bölünen bir
sayı olmama olasılığı kaçtır?
1
4
A)
10. A={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanlarından seçilen iki elemanın farkının çift sayı olma
olasılığı kaçtır?
A)
1
7
B)
2
7
C)
3
7
D)
2
21
E)
5
21
A)
Buna göre bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin her iki derstende geçmiş olma olasılığı kaçtır?
B)
1
5
C)
2
5
D)
3
5
E)
B)
4
45
C)
7
22
D)
7
11
E)
4
11
1
7
B)
1
6
C)
6
7
D)
1
49
E)
1
2
15. Birbirlerinden farklı 4 sarı, 5 kırmızı, 2 beyaz
bilye arasından restgele seçilen 3 bilyenin
üçününde aynı renkte olma olasılığı kaçtır?
1
ü matematikten kal3
mıştır. Matematikten geçen öğrencilerin %40'ı
coğrafyadan kalmıştır.
1
10
7
45
14. Aynı hafta içinde doğan iki kişinin doğum gününün farklı günlerde olma olasılığı kaçtır?
11. Bir sınıftaki öğrencilerin
A)
2
A)
14
1
B) 165
8
C)
1
7
D)
3
22
E)
2
15
1
3
12. 30 kişilik bir sınıfta 18 tane kız öğrenci vardır. Erkeklerin 3 tanesi, sınıfın ise %40'ı çalışkandır.
Buna göre sınıftan rastgele seçilen üç kişinin,
üçününde çalışkan olduğu bilindiğine göre
sadece birinin kız olma olasılığı kaçtır?
A)
13
27
B)
220
10
C)
7
55
D)
3
10
E)
16. 3 arkadaşın doğduğu ayların farklı olma olasılığı kaçtır?
1
5
A)
98
55
72
B)
1
36
C)
5
72
D)
1
18
E)
5
18
1. Mavi = 3x
5. {1, 2, 3}, {2, 3, 4}, {3, 4, 5}, {4, 5, 6}, {5, 6, 7}
1 44444444444 2 44444444444 3
5 tane
Beyaz = x
I. yol:
M
↓
B + B M
↓
5
7
f p
3
=
5
1
=
7
35
Cevap : B
3x
9
x
$
$2 =
4x 4x–1
22
x = 3 olur.
II. yol
3x x
f pf p
1 1
4x
f p
2
=
(1, 3) (1, 4) (1, 5) (2, 3) (2, 4) (2, 5)
6. A x B = *
4
(3, 3) (3, 4) (3, 5) (4, 3) (4, 4) (4, 5)
9
⇒x=3
22
12 tane elemandan (3, 3) ve (4, 4) hariç 10 tanesi
farklı rakamlardan oluşmuştur.
10
5
=
12
6
Cevap : E
Cevap : B
2. 6 kişi yuvarlak masa etrafında 5! = 120 farklı şekilde oturabilir.
Anne ile baba yanyana 2! . 4! farklı şekilde oturabilir.
Yanyana olmayacak şekilde 5! – 2! . 4! = 72 farklı
şekilde oturabilirler.
3
72
=
5
120
Cevap : C
7. 4 ile bölünebilen dört basamaklı sayıların birler
basamağı 2 olmalıdır.
4 3 2 1
= 24 tane
(2)
3. Üç elemandan birisi pozitif ikisi negatif veya üçü
pozitif olmalıdır.
Bütün dört basamaklı sayılar
{–1, –2, –3} {1, 2, 3, 4}
5 4 3 2
3 4
4
f p $ f p + f p = 16
2 1
3
24
1
=
5
120
8
Bütün 3 elemanlı alt küme sayısı = f p = 56
3
16
2
=
7
56
Cevap : A
4. {2, – – – –}
= 120 tane
Cevap : E
0, 1, 2 , 3, 4, 5, 6
2 ve 3 elemanları dışında {0, 1, 4, 5, 6} elemanlarından
5
f p = 10 farklı şekilde kalan üç tane eleman
3
8. En fazla 3 elemanlı alt küme sayısı
5
5
5
5
f p + f p + f p + f p = 26
0
1
2
3
seçilebilir.
A kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı
7
f p = 35 tanedir.
4
5
f p = 10
2
10
2
=
7
35
10
5
=
26
13
Cevap : D
99
Cevap : C
13.
(2 baar›l›) + (3 baar›l›) + (4 baar›l›)
9.
Tüm Durum
4
4
4
f p+ f p+ f p
2
3
4
24
=
14
11
16
6 ile
4 ile
8
4 ile bölünenler = {12, 16, 20, ... 96}
son terim – ilk terim
Terim say›s› =
+1
art› miktar›
Cevap : B
=
96 – 12
+ 1 = 22
4
4 ve 6 ile bölünenler = 12 ile bölünenler demektir.
{12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96}
1 4444444
4 2 4444444
43
10. İstenilen Durum = Her ikisi çift veya her ikisi tek
olmalıdır.
{0, 2, 4, 6} ,
4
3
f p+ f p
2
2
7
f p
2
=
8 tane
22 – 8 = 14 tane
14
7
=
22
11
{1, 3, 5}
Cevap : D
9
3
=
7
21
Cevap : C
14. 1. kişi
↓
7
.
7
2
11. Matematikten geçenler sınıfın
ü, matematik ve
3
coğrafyanın her ikisinden geçenlerin oranı
2
2 60
2 3
2
$
= $ =
ün %60'ı =
5
3
3 100
3 5
Cevap : C
2. kişi
↓
6
6
=
7
7
Cevap : C
15. İstenilen ⇒ (3 sarı) veya ( 3 kırmızı)
4
5
+
f p
f p
3
3
11
Tüm durumlar ⇒ f p
3
‹stenilen durum
=
Tüm durum
12.
Çalışkan
Çalışkan olmayan
Kız
9
9
Erkek
3
9
Çalışkan öğrenci sayısı 30 $
9 3
f p$ f p
1 2
40
= 12 dir.
100
12
f p
3
9.3
27
=
220
220
14
165
Cevap : A
Cevap : A
100
=
16. 1. si
2. si
3. sü
↓
↓
↓
12 ayda
Kalan 11
Kalan 10
f
p f
p f
p
do€abilir
ay
ay
↓
↓
↓
10
55
12
11
=
$
$
=
12
12
12
72
Erkek = 3
=
11
f p
3
Cevap : A
Çalışkan 12 öğrenci vardır.
Kız = 9 4
5
f p+ f p
3
3
TEST
1. Bir çift zar at›l›yor. Zarlardan en az birinin 3
gelme olas›l›€› kaçt›r?
A)
1
6
B)
1
12
C)
11
36
D)
1
3
E)
5. Bir çift zar at›l›yor. Üst yüze gelen say›lar›n
farkl› olma olas›l›€› kaçt›r?
23
36
A)
1
4
B)
5
8
C)
1
2
D)
3
8
E)
1
6
B)
1
3
C)
7
36
C)
7
12
E)
5
6
6. Bir çift zar atıldığında her iki zarın da üst yüzüne birer tek sayı geldiği bilindiğine göre,
gelen sayıların farklı olma olasılığı kaçtır?
2. 3 madeni para at›l›yor. ‹kisinin yaz› birinin tura
A)
3
1
8
A)
1
9
B)
2
9
C)
1
3
D)
1
2
E)
2
3
7. 3 erkek ile 4 kız düz bir sıraya rastgele oturuyorlar. Hiçbir erkeğin yanyana gelmeme olasılığı kaçtır?
3. Bir madeni para art arda 3 kez at›l›yor. Birincinin yaz›, ikincinin yaz›, üçüncünün tura gelme
A)
1
8
B)
1
4
C)
3
8
C)
1
2
E)
A)
2
7
B)
1
4
C)
1
6
D)
1
10
E)
1
12
3
4
8. 8 soruluk bir sınavda her sorunun 5 tane seçeneği bulunmaktadır. Sınava girecek bir öğrenciye
hocası 4 tane sorunun cevabının A, 2 tanesinin B
ve diğerlerinin C ve D şıkları olduğunu söylüyor.
Buna göre, bu öğrencinin cevap seçeneklerini
rastgele hocanın dediği sayıdaki gibi işaretlerse tüm soruları doğru işaretleme olasılığı
kaçtır?
4. 4 madeni para at›l›yor. En az birinin yaz› gelme olas›l›€› kaçt›r?
A)
1
16
B)
1
8
C)
3
8
C)
3
4
E)
15
16
A)
101
1
1
1
1
1
B)
C)
D)
E)
840
720
400
210
180
TEST
9.
10
10
10
20
20
20
13. Bir sınıftaki öğrencilerin %40'ı Fizikten, %45'i
Matematikten geçmiştir. %30'u her iki derstende kaldığına göre, bu sınıftan rastgele seçilen
bir öğrencinin Matematikten kalmış olduğu
bilindiğine göre Fizikten geçmiş olma olasılığı
kaçtır?
30 30 30 30
Bir kumbarada, üç tane 10, üç tane 20, dört
tane 30 liralık madeni paralar vardır. Rastgele
alınan iki paranın toplamının 40 lira olma olasılığı kaçtır?
A)
1
6
B)
1
4
C)
1
3
D)
1
2
E)
3
A)
5
11
B)
6
11
C)
1
4
D)
3
10
E)
11
20
2
3
14. A={1, 3, 5, 7, 8}
A kümesinden rastgele bir eleman seçilip, bir
zar atılıyor. A kümesinden seçilen elemanla,
zarın üst yüzüne gelen sayının aynı olma olasılığı kaçtır?
10. Bir sınavı Mehmet'in kazanma olasılığı %40.
1
Erhan'ın kazanma olasılığı
dir. Bu sınavı
2
Mehmet veya Erhan'ın kazanma olasılığı kaçtır?
A)
1
2
B)
3
10
C)
1
3
D)
7
10
E)
A)
A)
B)
1
5
C)
7
15
D)
8
15
E)
1
B)
12
1
C)
24
1
18
D)
1
12
E)
1
10
1
6
B)
1
3
C)
1
2
D)
2
3
E)
5
6
16. A ve B örnek uzay›n iki olay›d›r.
3
19
2
P (A) =
, P (B ›) =
, P (A , B) =
ise
5
10
20
P(A∩B) kaçtır?
1
1
D)
E)
60
120
A)
102
C)
3
5
12. Bir askıya 4 kişi ceketini bırakmışlardır. Bu
kişiler ceketleri rastgele aldığında herkesin
kendi ceketini almış olma olasılığı kaçtır?
1
A) 6
1
24
15. Bir zar ile bir madeni para birlikte havaya
at›l›yor. Zar›n 4 ten büyük veya paran›n yaz›
1
, diğerle3
rinin gelme olasılıkları eşittir. Zar rastgele
atıldığında gelen sayının 4 ten büyük gelme
1
3
B)
1
5
11. Hileli bir zarda 6 gelme olasılığı
A)
1
30
1
20
B)
1
10
C)
3
20
D)
1
5
E)
1
4
1. Her zar atışında 6 farklı sayı gelebilir. İki zar atılışında 6 . 6 = 36 farklı durum çıkar.
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
5. 62 = 36 farklı durumdan;
(1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6,6) hariç diğer 30 tane1 4444444
4 2 4444444
43
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
6 tane
si rakamları farklı ikililerden oluşur.
30
5
=
36
6
Cevap : E
36 durum vardır.
En az birisi 3 olanlar,
(3,1) (1,3)
(3,2) (2,3)
(3,3) (3,3)
(3,4) (4,3)
(3,5) (5,3)
(3,6) (6,3)
11 durum vardır.
11
36
N
6. J
K 1, 1 3, 1 5, 1 O
K 1, 3 3, 3 5, 3 O
K
O
K 1, 5 3, 5 5, 5 O
L
P
9 tanesinden 6 tanesi farklıdır.
6
2
=
9
3
Cevap : E
Cevap : C
2. Her para atılışında 2 durum vardır. 3 tane para
atılışında 2 . 2 . 2 = 8 durum oluşur.
_
TTTb
YYYb
b
_
TTYb
YYTb
b
b
TYT
` 8 tane YTY` 3 tane
3
YTTb
b
TYYb
8
YYTb
a
YTYb
b
TYYb
a
Cevap : D
7. . K . K . K . K .
Erkekler kızlar arasındaki 5 boşluktan herhangi 3
tanesine oturacaklardır.
5
f p = 10 farklı durum oluşur.
3
E K E K E K K örneğinde erkekler kendi arasında
3!, kızlar kendi arasında 4! farklı şekilde yer değiştirebilirler. Bu durumda
5
f p . 3! . 4! olur.
3
Tüm durumların sayısı 7!
3. 23 = 8 farklı durum oluşur. Bunlardan sadece 1
1
tanesi bu şartı sağladığından
olur.
8
Cevap : A
10 . 3! . 4!
10 . 6
2
=
=
7.6.5 7
7!
Cevap : A
4. 24 = 16 farklı durum oluşur.
TTTT
YYYY
TYYY
.
.
.
16 tane
(TTTT) hariç diğerlerinin hepsinde
yazı vardır.
15 tanesinde en az bir yazı vardır.
15
16
8. AAAABBCD harflerinin yer değişim sayısı
8!
8.7.6.5
=
= 840 tır.
2
4! . 2!
1
olur.
840
Cevap : E
103
Cevap : A
13.
9. İstenilen Durumlar : (20, 20) , (10, 30)
1 4 4 44 2 4 4 44 3
%40
Fiz.
2 tane
Tüm durumlar :
%25 %15 %30
(10, 10), (10, 20) (10, 30), (20, 20) (20, 30) (30, 30)
1 4 4 4 4 4 4 44 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 44 3
6 tane
2
1
=
6
3
%30
Matematikten kalanlar = %25 + %30 = %55
Cevap : C
Matematikten kalıp Fizikten geçenler = %25
25
5
=
55
11
Cevap : A
10. Mehmet'in başarısız olma olasılığı = %60
60
3
=
5
100
1
Erhan'ın başarısız olma olasılığı =
2
Her ikisinin başarısız olma olasılığı
3 1
3
$ =
5 2
10
Her ikisinin başarısız olması durumu haricindeki
durumlar Mehmet veya Erhan'ın başarılı olması
durumudur.
3
7
1–
=
olur.
10
10
Cevap : D
11. 6 gelme olasılığı ⇒
14. (1, 1) (3, 3) (5, 5) olabilir.
1 1 1 1 1 1
1
$ + $ + $ =
5 6 5 6 5 6
10
Zarın 4 ten büyük gelme olasılığı
2
1
=
P(A)=
6
3
Paranın yazı gelmesi olasılığı
1
P(B)=
2
1
3
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
1 1 1 1
2
= + – $ =
3 2 3 2
3
II. yol
2
1
P ( A ›) =
, P ( B ›) =
3
2
olur.
4 ten büyük ⇒ 5 veya 6 demektir.
↓
↓
2
15
+
1
7
=
3
15
P (A › + B ›) =
Cevap : C
1–
12. 1. 2. 3. 4.
↓
↓
↓
↓
1
1
1
1
1
$
$
$
=
4
3
2
1
24
2 1 1
$ =
3 2 3
1
2
=
3
3
Cevap : D
16. P(B) + P(Bı) = 1
3
=1
P(B) +
10
7
P(B) =
10
"1. gelen kişinin, ceketini doğru alması olasılığı 4
1
ceketten 1 tanesi kendisinin olduğundan
tür.
4
2. gelen kişi için kalan 3 ceketten birisi kendisinin
1
olduğundan
tür. Bu şekilde çözümü devam et3
tirebiliriz."
Cevap : C
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
19 2
7
= +
– P (A + B)
20 5 10
3
P(A∩B) =
20
104
Cevap : E
15. I. yol
2
Geriye tüm olasılığın
ü kaldı. 5 e bölelim.
3
2
3
2
2
olur. Diğerlerinin gelme olasılıkları
=
5
15
15
%45
Mat.
Cevap : C
TEST
1. Bir avcının hedefi vurma olasılığı 0,99 dur.
iki atış sonunda hedefin vurulmama olasılığı
kaçtır?
A) 10–1 B) 10–2
C) 10–3
D) 10–4
5. 30 kiflilik bir s›n›fta 18 k›z ve 3 tane gözlüklü erkek ö€renci vard›r. Rastgele seçilen bir
ö€rencinin erkek oldu€u bilindi€ine göre gözlüksüz olma olas›l›€› kaçt›r?
E) 10–6
A)
15
28
B)
3
25
C)
3
56
D)
1
4
E)
1
12
B)
1
4
C)
3
4
D)
1
2
E)
1
6
6. 3 farkl› kitap 5 ö€renciye da€›t›lacakt›r. Herbir kitabın farkl› ö€renciye dağıtılmış olma
2. ‹STANBUL kelimesindeki harflerin herbiri
kartlara yaz›l›p bir torbaya at›l›yor. Torbadan
rastgele üç tane kart seçiliyor. Kartlardaki
harflerin sadece bir tanesinin ünlü (sesli) harf
olmas› olas›l›€› kaçt›r?
A)
4
A)
12
25
B)
3
5
C)
4
5
D)
3
27
E)
125
125
1
3
7. Bir futbolcunun herhangi bir maçta gol atma
1
olas›l›€›
tür. Buna göre bu futbolcunun
4
oynad›€› 3 maç›n sadece ikisinde gol atma
3. 30 kiflilik bir s›n›fta 10 tane k›z ö€renci vard›r.
K›zlar›n üç tanesi, erkeklerin befl tanesi
çal›flkand›r. Rastgele seçilen bir ö€rencinin
erkek veya çal›flkan olma olas›l›€› kaçt›r?
A)
23
30
B)
2
3
C)
1
2
D)
11
15
E)
1
3
A)
7
10
B)
3
5
C)
1
2
D)
2
5
E)
1
10
A)
105
B)
3
64
C)
9
64
D)
3
16
E)
9
16
8. 5 elemanl› bir kümenin tüm alt kümeleri küçük
kartlara yaz›larak torbaya at›l›yor. Torbadan
rastgele bir kart çekildi€inde karttaki kümenin
3 elemanl› olma olas›l›€› kaçt›r?
4. 10 ile 30 aras›ndaki do€al say›lardan rastgele seçilen birisinin tek say› oldu€u bilindi€ine
göre asal olma olas›l›€› kaçt›r?
A)
1
64
3
32
B)
9
32
C)
3
16
D)
5
16
E)
3
4
TEST
9. İki basamakl› do€al say›lardan rastgele seçilen
bir say›n›n 4 veya 6 ile tam olarak bölünebilme
A)
1
3
B)
29
90
10.
A
B
C
D
C)
23
90
D)
7
30
E)
13. 5 evli çiftin bulunduğu bir topluluktan rastgele seçilen dört kişinin hiçbirisinin birbirinin
eşi olmama olasılığı kaçtır?
4
45
A)
3
5
B)
F
C)
18
35
D)
5
7
E)
A)
3
14
B)
17
28
1
21
B)
4
45
C)
1
7
D)
1
5
E)
2
3
C)
5
28
D)
2
7
E)
C)
7
15
D)
3
10
E)
A)
B)
1
5
C)
1
4
D)
1
3
E)
1
2
1
50
B)
1
49
C)
1
25
D)
1
1
E)
100
98
1
3
16. Bir zar›n üç yüzü beyaza, iki yüzü sar›ya, bir
yüzü maviye boyan›p at›l›yor. Zar›n gözükebilecek yüzlerindeki renklerin üç tanesinin
beyaz, birinin sar›, birinin mavi olma olas›l›€›
kaçt›r?
1
5
A)
106
1
10
15. 1 den 50 ye kadar olan do€al say›lardan
rastgele seçilen iki do€al say›dan birisinin
di€erinin yar›s› olma olas›l›€› kaçt›r?
12. 5 evli çiftin bulundu€u bir topluluktan rastgele seçilen dört kiflinin iki çift oluflturmalar›
A)
8
21
20
21
11. A= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } kümesinden farkl›
iki eleman seçiliyor. Seçilen elemanlar›n
çarp›m›n›n tek say› olma olas›l›€› kaçt›r?
A)
B)
14. Rastgele seçilen bir tamsay›n›n karesinin birler basama€›ndaki rakam›n 9 olma olas›l›€›
kaçt›r?
E
H
3
7
1
3
d
7 tane noktadan rastgele seçilen üç tane
noktan›n yaln›zca iki tanesinin d do€rusu üzerinde olma olas›l›€› kaçt›r?
A)
4
1
6
B)
1
5
C)
1
4
D)
1
3
E)
1
2
1. Vuramama olasılığı = 1 – 0,99 = 0,01 =
İkisinde de vuramama olasılığı
1
1
1
$
=
= 10 –4
100 100
10000
5.
1
100
Gözlüklü
Gözlüksüz
3
9
Erkek
Kız
Cevap : D
Erkekler 12 kişi
9
3
=
12
4
2. {İ, A, U} {S, T, N, B, L}
↓
↓
1 tane 2 tane
3 5
f pf p
1 2
8
f p
3
=
Cevap : C
6. 1. kitap
↓
5
.
30
15
=
56
28
2. kitap 3. kitap
↓
↓
5
.
5 = 125
farklı şekilde dağıtılabilir.
1. kitap
↓
Cevap : A
5
2. kitap ↓
.
4
3. kitap
↓
.
3 = 60 farklı
60
12
=
125
25
Cevap : A
3.
Çalışkan
Çalışkan olmayan
Kız
3
7
Erkek
5
15
3
1
7. Gol atma olasılığı
ise atamama olasılığı
4
4
tür.
Erkek veya çalışkan öğrenciler = 3 + 5 + 15 = 23
öğrenci vardır. 7 tane çalışkan olmayan kız öğrenci haricindeki kalan 23 tane öğrenci erkek veya
23
çalışkandır.
30
Cevap : A
G
↓
1
4
G G 3 durum vardır.
$
9
1
=
4
64
8. 25 = 32 tane alt küme vardır.
5
f p = 10 tane 3 elemanlı alt küme vardır.
3
asal saylar
10
5
=
32
16
Cevap : B
107
G + G G G + G
↓
3 1 3 1 3 1
$ + $ $ + $
4 4 4 4 4 4
Cevap : C
4. {11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29}
1444444444 2444444444 3
tek saylar
{11, 13, 17, 19, 23, 29}
1 4 4 4 44 2 44 4 44 3
6
3
=
5
10
G
↓
1
$
4
Cevap : D
9. 4 ile bölünebilen sayılar = {12, 16, ...., 96}
13. αα , αα , αα , αα , αα
5
5 çiftten herhangi 4 ü f p farklı şekilde seçilir. Bu
4
2 2 2 2
çiftlerin herbirisinden ise f p f p f p f p farklı şe1 1 1 1
Terim sayısı= Son terim – ‹lk terim + 1 = 96–12 + 1 = 22
4
Art miktar
6 ile bölünebilen sayılar = {12, 18, ..., 96}
96 – 12
+ = 15
6
kilde birer kişi seçilebilir.
Tüm durum sayısı ise 10 kişiden 4 kişi seçilerek
bulunur.
4 ve 6 ile bölünebilenler = 12 ile
= {12, 24, 36, 48, 60, 72, 86, 96}
14444444
424444444 3
8 tane
4 ile
8
14
5 2 2 2 2 2
f pf pf pf pf pf p
4 1 1 1 1 1
6 ile
4 veya 6 ile tam bölünebilen
29 sayı vardır. İki basamaklı
29
90 sayı vardır.
90
7
10
f p
4
=
8
21
Cevap : B
Cevap : B
10. Dört noktadan
ikisi seçilecek
d
4 3
f p$ f p
2 1
7
f p
3
=
14. 02 = 0
12 = 1
22 = 4
3 2 = 9 42 = 6
18
35
10 taneden 2 tanesinin birler basamağı 9 olur.
2
1
=
10 5
Cevap : B
Cevap : C
Üç noktadan
birisi seçilecek
11. Seçilen her iki sayınında tek olması gerekiyor.
4
{1, 3, 5, 6} 4 taneden 2 tanesi f p farklı şekilde
2
seçilir.
15.
4
f p
2
6
3
=
=
28
14
8
f p
2
Cevap : A
12. αα , αα , αα , αα , αα
5
5 çiftten 2 çift f p farklı şekilde, 10 kişiden 4 kişi
2
10
f p farklı şekilde seçilir.
4
5
f p
2
10
f p
4
_
(1, 2) b
(2, 4) b
b
(3, 6) b
. `25 tane
. b
b
. b
(25, 50)b
a
B ,B ,B ,S , S ,M
1 4444 2 4444 3
1
21
50
f p
2
=
1
49
Cevap : B
B,B,B, S ,M
1 444 2 444 3
gözükenler
Tabana sarı gelmiştir. Zarı attığımızda tabana ge2
1
=
len yüzün sarı gelme olasılığı
tür.
6
3
Cevap : A
Cevap : D
108
25
16. Bir zar atıldığında gözükebilecek 5 yüz, tabana
gelen gözükmeyen 1 yüz olur. Biz tabana gelen
yüzü tespit edelim.
6 yüz
=
52 = 5
62 = 6
72 = 9
82 = 4
92 = 1
TEST
1. Örnek uzay›n ayr›k üç olay›
1
'tür.
3
Avc›n›n üç at›fl› sonunda hedefin vurulma
5. Bir avc›n›n hedefi vurma ihtimali
A, B ve C dir.
1
2
2
P(B) + P(C) = 3
olduğuna göre P(B') kaça eflittir?
P(A) + P(B) =
A)
1
6
B)
2
5
C)
1
3
D)
A)
2
3
E)
1
10
B)
1
6
C)
1
5
D)
1
4
E)
3
32
B)
1
32
C)
5
64
D)
7
64
E)
A)
1
3
3
35
B)
1
7
C)
8
35
D)
2
7
E)
1
16
A)
C)
1
3
D)
5
18
E)
13
27
1
7
B)
1
14
C)
13
28
D)
2
7
E)
1
4
7
10
B)
11
20
C)
1
4
D)
1
3
E)
1
2
8. A = { a, b, c, d } kümesinin öz alt kümeleri içerisinden rastgele seçilen bir kümenin
eleman›n›n olmamas› olas›l›€› kaçt›r?
22
35
A)
109
2
3
7. Bir s›n›ftaki ö€rencilerin %55'i A gazetesi,
%70'i B gazetesini okuyor. Bu s›n›ftan rastgele seçilen bir ö€rencinin her iki gazeteyi okuyor olma olas›l›€› en fazla kaçt›r?
4. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin üç elemanl›
alt kümelerinden rastgele birisi seçiliyor. Seçilen bu kümenin içinde 2 eleman›n bulunup,
3 eleman›n›n bulunmama olas›l›€› kaçt›r?
A)
B)
6. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } kümesinden rastgele seçilen iki eleman›n çarp›m›n›n 3 ile tam olarak
bölünebilme olas›l›€› kaçt›r?
3. 6 kişinin girdiği bir sınavda en az beş kişinin
baflar›l› olmas› olas›l›€› kaçt›r?
A)
19
27
5
6
2. 5 anahtardan sadece birisi kap›y› açmaktad›r.
Kap›y› açmas› için rastgele seçilecek anahtarlardan üçüncünün kap›y› açma olas›l›€›
kaçt›r?
A)
5
1
16
B)
1
8
C)
1
15
D)
2
15
E)
1
2
TEST
9. 3 farkl› bilye 5 çocu€a da€›t›lacakt›r. Bilyelerin
herbirinin farkl› çocuklara gitme olas›l›€›
kaçt›r?
A)
1
5
B)
1
25
C)
4
5
D)
12
25
E)
13. 1 den 7 ye kadar numaraland›r›lm›fl 7 tane
karttan rastgele iki tanesi seçiliyor. Seçilen
kartlardaki numaralar›n toplam›n›n 5 ten büyük olma olas›l›€› kaçt›r?
3
125
A)
7
15
B)
7
30
C)
3
40
D)
11
1
E)
120
40
A)
11. 6 çocuklu bir ailenin çocuklar›n›n üçünün k›z,
üçünün erkek olma olas›l›€› kaçt›r?
A)
5
16
B)
21
64
C)
23
64
D)
7
32
E)
B)
17
21
C)
4
7
D)
13
21
E)
2
3
1
12
B)
1
6
C)
1
4
D)
1
3
E)
1
2
15. İçlerinde Celal ve Cemal'in de olduğu 5 kişi
düz bir sıraya oturacaklardır. Celal'in Cemal'in
solunda olma olasılığı kaçtır?
9
32
A)
12.
6
7
14. Bir kutuda 6 beyaz, 4 kırmızı, 2 sarı top vardır.
Kutudan rastgele çekilen 2 topun, yalnız bir
tanesinin beyaz olduğu bilindiğine göre diğerinin sarı olma olasılığı kaçtır?
10. Ahmet ve Mehmet'in de bulundu€u 10 kiflilik
bir gruptan 3 kifli seçiliyor. Bu grupta Ahmet'in
olup Mehmet'in olmama olas›l›€› kaçt›r?
A)
5
1
1
B)
120
60
C)
1
24
D)
1
20
E)
1
2
A
B
C
D
E
F
K
16. Kenarlar› 10 ve 12 br olan dikdörtgenin içine bir nokta konuyor. Konulan noktan›n
dikdörtgenin herhangi bir köşesine olan
uzaklığının 2 birim veya 2 birimden az olma
N
Yukar›daki 8 tane noktadan rastgele seçilen üç
tanesinin üçgen oluflturma olas›l›€› kaçt›r?
A)
1
2
B)
2
3
C)
3
4
D)
4
5
E)
5
6
A)
110
1
60
B)
π
π
C)
120
60
D)
π
30
E)
π
10
1
2
2
P(B) + P(C) =
3
+
1
2
ise vuramaması ihtimali
tür.
3
3
Üç atışta hedefin vurulmaması olasılığı
8
2 2 2
$ $ =
dir.
3 3 3
27
8
19
=
Hedefin vurulması ihtimali = 1 –
27
27
1. P(A) + P(B) =
5. Vurma ihtimali
7
P (A) + P (B) + P (C) + P (B) =
1 4 4 44 2 4 4 44 3
6
1
1
6
Cevap : A
P(B) + P(Bı) = 1
1
+ P ( B ›) = 1
6
5
P ( B ›) =
6
Cevap : E
P(B) =
6. {1, 2, 4, 5, 7, 8} elemanlarından herhangi ikisini seçersek çarpım 3 ile tam olarak bölünemez.
6
f p = 15 durum.
2
2. (Kapıyı açmayan 4 tane) (Açan 1 tane)
↓
↓
1. ↓
4
.
5
2. 3.
↓
3
1
1
.
=
5
4
3
↓
Bunun dışındaki seçimlerde 3 veya 6 dan herhangi birisi bulunacağından çarpım 3 ile tam olarak
bölünür.
8
6
f p– f p
2
2
Cevap : C
8
f p
2
=
13
28
Cevap : C
3. 6 kişinin başarı durumu 26 = 64 farklı durumdan
oluşur. En az beşinin başarılı olması durumu
6
6
f p + f p = 7 durumdan oluşur.
5
6
7
64
7.
Cevap : D
%55
–
%70
%55 %15
Sınıfın en fazla %55'i her iki
gazeteyi okuyabilir.
55
11
=
100
20
Cevap : B
4. {0, 1, 2 , 3 , 4, 5, 6}
{2 , – , – } kalan 5 elemandan 2 eleman
5
f p = 10 farklı şekilde seçilir.
2
7
7 elemandan 3 eleman f p = 35 farklı şekilde se3
çilir.
10
2
=
7
35
Cevap : D
8. 24 – 1 = 15 ane öz alt küme vardır.
Bunlardan 1 tanesi boş kümedir. elemanları yoktur.
1
15
Cevap : C
111
9.
13. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
5.4.3
12
=
5.5.5
25
%(1, 2) (1, 3) (1, 4) (2, 3)/ & dört tanesinin toplamı 5
veya 5 ten küçük
Cevap : D
7
f p– 4
2
7
f p
2
=
17
21
Cevap : B
14. Birisi beyaz olduğundan biz diğer topu seçelim. 2
sarı, 4 kırmızı toptan çekilen topun sarı gelmesi
2
1
=
olasılığı
tür.
6
3
10. Ahmet'in olup Mehmet'in olmadığı 3 kişi, seçilirken Ahmet ve Mehmet hariç kalan 8 kişiden
Ahmet'in yanına 2 kişi seçeriz.
8
f p
2
Cevap : D
28
7
=
=
120
30
10
f p
3
Cevap : B
15. Tüm Durumlar = 5! = 120
Celal ile Cemal'in yer değiştirmediği durumların
5!
= 60
sayısı =
2!
60 tanesinde Celal Cemal'in sağında, 60 tanesinde solundadır.
60
1
=
120
2
Cevap : E
11. 3 tane K harfi ile 3 tane E harfi,
KKKEEE
4
6!
farklı şekilde yer değiştirilebilir.
KKEEEK 3! . 3!
6!
3! . 3!
26
=
20
5
=
64
16
Cevap : A
16.
2
2
2
2
2
2
2
2
Dikdörtgenin alanı = 10 . 12 = 120 br2
Konulan nokta şekildeki gibi yarıçapı 2 br olan
çeyrek dairelerin içinde olması gerekir.
12.
8
5
4
f p– f p– f p
3
3
3
8
f p
3
=
4 tane çeyrek dairenin alanları toplamı
3
42
=
56
4
π . 22
$ 4 = 4π 4
Cevap : C
112
4π
π
=
120
30
Cevap : D
TEST
5. EKSTREM kelimesindeki harflerin yerleri
de€ifltirilerek oluflturulan yedi harfli kelimelerden rastgele bir tanesi seçiliyor. Seçilen
kelimenin E harfiyle bafllama olas›l›€› kaçt›r?
1
olas›l›€›
,
3
2
Fatma'n›n kazanma olas›l›€›
tir. ‹kisinin
5
girdi€i bir s›navda en az birisinin› sınavı ka-
1. Ayfle'nin
s›nav›
kazanma
zanma olas›l›€› kaçt›r?
A)
A)
1
5
B)
2
5
C)
3
10
D)
3
5
E)
7
10
A dan B ye tan›mlanan bütün fonksiyonlar birer kez kartlara yaz›l›p torbaya at›l›yor. Torbadan rastgele seçilen karttaki fonksiyonun bire
bir fonksiyon olma olas›l›€› kaçt›r?
A)
5
9
B)
5
1
C)
216
27
D)
1
18
E)
5
36
1
20
B)
3
20
C)
1
5
D)
1
3
E)
A)
3
21
B)
50
100
C)
3
5
D)
7
15
E)
C)
1
21
D)
3
11
E)
4
42
1
10
B)
1
5
C)
2
5
D)
3
5
E)
4
15
1
6
B)
1
4
C)
1
3
D)
1
2
E)
3
4
8. ‹ki tane torbadan birinci torbada 4 sar›, 6
k›rm›z› ve ikinci torbada 2 sar›, 5 k›rm›z› bilye
vard›r. Birinci torbadan bir bilye al›n›p ikinci
torbaya at›l›yor. Daha sonra ikinci torbadan
al›nan bilyenin sar› olma olas›l›€› kaçt›r?
8
9
A)
113
2
7
1
2
4. Bir tak›m›n oynad›€› maçta galip gelme
olas›l›€› ma€lup olma olas›l›€›n›n yar›s›, berabere kalma olas›l›€›n›n üç kat›d›r. Buna göre
bu tak›m›n oynad›€› iki maçtan sadece birini
kazanma olas›l›€› kaçt›r?
A)
B)
7. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } kümesinin elemanlar›ndan
rastgele ikisi seçiliyor. Seçilen iki say›n›n
toplam›nın 3 ile tam olarak bölünme olas›l›€›
kaçt›r?
3. Herhangi üçü bir do€ru üzerinde olmayan A,
B, C, D, E, F noktalar›ndan üç tanesi seçilerek
köfleleri bu noktalar üzerinde bulunan üçgenler oluflturuluyor. Bu üçgenlerden rastgele
seçilen üçgenin bir köflesinin A noktas› olma
A)
1
7
6. Rakamlar› toplam› en az 25 olan üç basamakl›
do€al say›lar içerisinden rastgele seçilen bir
say›n›n birler basama€›n›n asal say› olma
2. A = {1, 2, 3 } B = {a, b, c, d, e, f }
A)
6
3
10
B)
1
5
C)
7
20
D)
9
40
E)
1
4
TEST
9. 3 kişiden en az ikisinin aynı ayda doğmuş
olma olasılığı kaçır?
A)
1
11
B)
9
11
C)
10
11
D)
13. Bir torbada 1 den 6 ya kadar numaralandırılmış
6 tane kart vardır. Bu torbadan art arda üç kart
çekiliyor.
101
17
E)
110
72
Bu üç karttaki sayıların toplamının 12 veya 12
den küçük olma olasılığı kaçtır?
A)
10. Bir zar 3 kez atıldığında üst yüze gelen sayılardan en az ikisinin aynı olma olasılığı kaçtır?
A)
1
9
B)
2
9
C)
1
3
D)
4
9
E)
5
9
Zafer ile Semih'in arasında 1 kişinin olma olasılığı kaçtır?
1
C) 5
1
D) 3
A)
1
E)
2
5
13
B)
5
26
C)
1
4
D)
2
7
E)
C)
3
5
D)
4
5
E)
9
10
1
64
B)
1
32
C)
1
16
D)
1
8
E)
1
4
5
42
B)
1
24
C)
1
27
D)
1
8
E)
1
4
Buna göre garsonun siparişleri doğru şekilde
dağıtma olasılığı kaçtır?
2
9
A)
114
2
5
16. Bir pastaneye giden beş arkadaş 2 pasta, 2 baklava ve 1 tulumba siparişi veriyor. Siparişi hazırlayan garson kimin ne istediğini karıştırıyor. Siparişleri rastgele dağıtıyor.
12. 5 çocuklu bir ailede en az iki çocuk kız olduğuna göre, bu ailenin 3 tane çocuğunun erkek
A)
B)
15. A={1, 2, 3} kümesi üzerinde tanımlanan 5
elemanlı bütün bağnıtılar arasından rastgele seçilen bir bağıntının yansıyan bir bağıntı
11. Zafer ve Semih'in de olduğu 5 kişi yanyana sıralanacaktır.
3
B)
10
1
5
14. A= {1, 2, 3} kümesi üzerinde tanımlanan bütün bağıntılar içerisinden rastgele seçilen bir
bağıntının yansıyan bir bağıntı olma olasılığı
kaçtır?
A)
1
A)
20
6
1
5
B)
1
10
C)
1
15
D)
1
20
E)
1
30
5. 7 harften ikisi E harfi olduğundan
1. İkisinin de kazanamaması ihtimali
2 3
2
$ =
tir.
5
3 5
2
dir.
7
Cevap : B
En az birisinin başarılı olması ihtimali
1–
2.
2 3
tir.
=
5 5
A
B
1
2
3
a
b
c
d
e
f
6. {999, 998, 997, 989, 988, 979, 899, 898, 889, 799}
10 tane yazılabilecek sayıdan sadece 997 sayısının birler basamağı asaldır.
1
bulunur.
10
Cevap : A
Cevap : D
7. {3, 6, 9} sayılarından iki tane veya {1, 4, 7} sayılarından bir tane {2, 5, 8} sayılarından bir tane seçilirse seçilen iki sayının toplamı 3 ile tam olarak
bölünür.
Fonksiyon sayısı = 6 . 6 . 6
Birebir fonksiyon sayısı = 6 . 5 . 4
6.5.4
5
=
6. 6 . 6
9
{3, 6, 9}
{1, 4, 7} {2, 5, 8}
45
↓
2 tane birer tane
3
3 3
f p+ f p$ f p
2
1 1
Cevap : A
9
f p
2
6
3. Üçgen sayısı = f p = 20
3
Bir köşesi A olan üçgen sayısı bulunurken diğer
5
iki köşesi f p = 10 farklı şekilde seçeriz.
2
10
1
=
20
2
Cevap : E
8.
10
f p
2
=
II. torba
↓ ↓
2 sarı 5 kırmızı
I. torbadan Sar›
I. torbadan k›rm›z›
f
p+ f
p
II. torbadan sar›
II. torbadan sar›
↓ ↓
↓ ↓
3
6 2
3
4
24
$
+
$
=
=
10
8
10 8
80
10
B = 1, G = 3 , M = 6
9. Üçünün de farklı aylarda doğmuş olma olasılığını
bulalım.
1 tane
1. kişi 2. kişi 3. kişi
↓
↓
↓
10
55
12
11
$
$
=
12
12
12
72
Üçününde farklı aylarda doğmuş olma olasılığı
dışındaki durumlar sorudaki şartı sağlar.
3 7
10
f p $ f p Tüm durum = f p
1 1
2
3 7
f p$ f p
1 1
I. torba
↓ ↓
4 sarı 6 kırmızı
Cevap : C
Cevap : A
B = 1, M = 6
1 4 44 2 4 44 3
G = 3
↓
1 tane
12
1
=
36
3
2 durum vardır.
M
4. G =
= 3 .B
2
=
21
7
=
45
15
55 17
=
72 72
Cevap : E
Cevap : D
115
1–
10. I. yol
13. {1, 2, 3, 4, 5, 6} arasından,
6
f p = 20 farklı şekilde farklı 3 tane sayıdan olu3
şan grup oluşturulabilir.
İkisi 1, diğeri farklı gelen durumlar,
_
3!
1, 1, 2 "
= 3b
b
2!
b
3!
1, 1, 3 "
= 3b
b
2!
` 3 . 5 = 15
h
b
b
b
3!
1, 1, 6 "
= 3b
b
2!
a
İkisi 2, diğerleri farklı olan 15 tane
Bunlardan,
{6, 5, 4}, {6, 5, 3} , {6, 5, 2}, {6, 4, 3}
4 tanesinin toplamı 12 den büyüktür.
20 – 4 = 16 tanesi de toplamı 12 veya 12 den
küçüktür.
16
4
=
5
20
Cevap : D
15 . 6 = 90
Üçü de aynı olan = 6 durum vardır.
90 + 6 = 96
Tüm durumlar = 6 . 6 . 6 = 216
14. AxA={(1, 1)(1, 2)(1, 3)(2, 1)(2, 2)(2, 3)(3, 1)(3, 2)(3, 3)}
96
4
=
216 9
A'dan A'ya bağıntı sayısı 29
II. yol
Üçünün de farklı gelme olasılığı
6 5 4
5
$ $ =
6 6 6
9
En az ikisinin aynı gelme olasılığı
5 4
1– =
bulunur.
9 9
Yansıyan bağıntıda (1, 1), (2, 2) (3, 3) mutlaka
olacağından bu 3 tane elemanın olduğu 26 tane
bağıntı yazılabilir.
26
29
1
8
Cevap : D
Cevap : D
11. Tüm durumların sayısı= 5! = 120
15. AxA={(1, 1)(1, 2)(1, 3)(2, 1)(2, 2)(2, 3)(3, 1)(3, 2)(3, 3)}
9
5 elemanlı bağıntı sayısı = f p = 126
5
5 elemanlı yansıyan bağıntı sayısı =
İstenilen ⇒ ( Zafer, a, Semih , b, c2
↓
1 kişi gibi düşünülecek.
3
Zafer ile Semih arasındaki kişi f p = 3 farklı şe1
kilde seçilir.
{(1, 1), (2, 2), (3, 3), – , –}
Geriye kalan 6 elemandan 2 eleman seçmeliyiz.
6
f p = 15 tane
2
3
f p $ 3! $ 2! = 36
1
36
3
=
120 10
=
Cevap : B
15
5
=
126
42
Cevap : A
12. (KKEEE) (KKKEE) (KKKKE) (KKKKK)
5!
2! . 3!
+
5!
3! . 2!
+
5!
4! . 1!
+ 1
16. P, P, B, B, T harfleri kendi içinde
5!
= 30 farklı şekilde yer değiştirilebilir.
2! . 2! . 1!
10 + 10 + 5 + 1 = 26 farklı durum vardır.
İstenilen durum = KKEEE =
5!
= 10
2! . 3!
10
5
=
26 13
Cevap : A
116
1
30
Cevap : E
TEST
1. 8 özdeş hediye Timuçin, Yusuf ve Mehmet'e
rastgele dağıtılacaktır. Herbirinin en az birer
hediye alması koşuluyla bu hediyelerden 4 tanesini Timuçin'in alması olasılığı kaçtır?
A)
1
21
B)
2
21
C)
1
7
D)
4
21
E)
6.
B)
1
36
C)
1
21
D)
1
12
E)
6
G
E
H
2
7
D
C
Buna göre, ABCD dikdörtgensel bölgesi içine
rastgele işaretlenen bir noktanın EFGH dikdörtgensel bölgesi üzerinde olmaması olasılığı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
1
9
1
6
7.
B)
A
2
11
K
3. ‹ki tane torbadan birinci torbada 3 beyaz, 5
mavi, di€erinde 2 beyaz, 3 mavi bilye vard›r.
Rastgele al›nan bir bilyenin beyaz oldu€u
bilindi€ine göre birinci torbadan al›nm›fl olma
2
5
B)
3
25
C)
15
31
D)
3
10
E)
1
2
B)
1
5
C)
2
5
D)
7
15
E)
C)
17
120
D)
1
30
E)
B)
1
3
C)
1
4
D)
1
6
E)
1
8
2|OA| = 2|AB| = |BC|
C olduğuna göre, büyük çember içine
rastgele işaretlenen
bir noktanın taralı
bölge üzerinde olma
A B
3
10
1
12
B)
3
16
C)
9
16
D)
3
4
E)
13
16
9. 3 özdeş bilye, 5 torbaya rastgele konulacaktır.
Bu bilyelerin hapsinin aynı torbaya konulmuş
1
1
1
1
1
A) B) C) D)
E)
5
7
4
17
25
1
15
117
3
4
içinden seçilen bir
noktanın üçgenin
içinde olma olasılığı
kaçtır?
D
O
5. 5 ö€renciden iki tanesi ayn› boydad›r. Bu
ö€rencilerin soldan sa€a ve k›sadan uzuna
do€ru boy s›ras› oluflturma olas›l›€› kaçt›r?
1
1
B)
120
60
E)
O, üç tane çemberin
merkezidir.
A)
A)
2
3
7
15
4. (x+1)5 aç›l›m›ndaki terimlerden rastgele iki tanesi seçiliyor. Seçilen bu iki terimin katsay›lar›n›n
çarp›m›n›n tek olma olas›l›€› kaçt›r?
2
15
D)
Şekilde ABCDEF düzgün altıgen ve KED üçgendir.
8.
A)
1
2
C Buna göre altıgenin
E
A)
C)
B
F
A)
Yandaki
şekilde
ABCD dikdörtgensel bölgesi ile EFGH
dikdörtgensel bölgesi benzerdir.
3
A)
1
48
B
F
2. Bir kırtasiyecide kırmızı, sarı ve beyaz renklerde yeterli sayıda özdeş kalem vardır. 5 tane
kalem alacak olan bir öğrencinin beşini de
sarı alma olasılığı kaçtır?
A)
10
A
7
TEST
10. TÜREV kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek beş harften oluşan bütün farklı kelimeler kartlara yazılıp torbaya atılıyor.
7
14.
Torbadan rastgele alınan karttaki kelimenin
sessiz harflerinin alfabetik sırada olması olasılığı kaçtır?
A)
1
60
B)
1
20
11.
C)
1
10
D)
1
6
E)
1
4
A
1
6
B)
1
3
C)
1
2
D)
2
3
E)
D
E
Buna göre bu makineye bırakılan bir topun B
bölmesinden çıkma olasılığı kaçtır?
3
5
1
1
7
A) B) C) D)
E)
8
4
16
8
16
3
4
12.
15. Kenarları 3 br, 4 br ve 6 br olan bir dikdörtgenler
prizmasının bütün yüzleri boyanıyor. Sonra bu
prizma bir kenarı 1 br olan küplere ayrılıyor ve bu
küçük küpler bir torbaya konuluyor.
Yandaki şekil, 16 tane özdeş
kareden oluşan bir kare vardır.
Buna göre torbadan rastgele alınan bir küpün
sadece iki yüzünün boyalı olması olasılığı
kaçtır?
Yukarıdaki şekilde bulunan dikdörtgenlerden
rastgele seçilen birisinin alanının tek sayı
3
9
1
1
1
A)
B)
C)
D)
E)
5
50
40
25
25
13.
C
Yukarıdaki şekilde makineye atılan bir top engellere değerek aşağıya inip A, B, C, D veya E
bölmelerinden çıkmaktadır. Topun herhangi bir
engele geldikten sonra sağa ve sola gitme olasılıkları eşittir.
Şekilde dikdörtgen 20 tane
özdeş kareye arılmıştır. Şekildeki karelerden rastgele
seçilen bir karenin alanının
3 br2 den büyük olma olasılığı kaçtır?
A)
B
A)
1
12
B)
1
4
C)
7
18
D)
2
5
E)
3
5
A
C
B
16. 6 tane sar›, 6 tane k›rm›z› top farkl› iki kutuya
istenilen say›da yerlefltirilebilmektedir. Toplar
yerlefltirilip rastgele bir kutu ve bu kutudan da
rastgele bir top çekiliyor. Çekilen topun sar›
ç›kma olas›l›€› en fazla kaçt›r?
Şekildeki devrede A, B, C anahtarlarının kapalı
2
1 1
olma olasılıkları ,
ve
tir.
5
4 3
Buna göre lambanın yanma olasılığı kaçtır?
A)
1
6
B)
1
5
C)
1
4
D)
1
3
E)
1
2
A)
118
1
4
B)
1
3
C)
5
8
D)
8
11
E) 1
1.
T+ Y+M=8
  
Kalan hediye sayısı = H = 5 n = 3
6.
10
A
F
5
n+H–1
7
f
p = f p = 21
H
5
6
3
15 br2
E
G
45 br2
H
T+Y+M = 8
↓ ↓ ↓
_
4 1 3b
b
4 2 2` 3 tane
b
4 3 1b
a
3
1
=
7
21
B
D
C
İki dikdörtgen benzer
olduğundan |EF| = 5
br olabilir.
45
3
=
60
4
Cevap : E
7. Altıgenin bir kenarı 1 br olsun.
1
1
Cevap : C
30
1
120
2. K + S + B = 5
H = 5
n=3
1
30
n+H–1
7
f
p = f p = 21
H
5
3 beyaz
Cevap : C
5 mavi
2 beyaz
Altıgenin alanı =
12 . 3
3 3
$6 =
4
2
Üçgenin alanı =
1. 3
3
=
2
2
3
2
3 3
2
II. torba
I. torba
1
1
beşi sarı olan tek durum vardır.
1
21
3.
3
3
=
1
3
Cevap : B
3 mavi
8.
I. torbadan beyaz
I. torbadan beyaz + II. torbadan beyaz
1 1
3
3
1 3
$
16
16
3 80
15
2 8
=
=
=
$
=
31
16 31
31
3
1
1 3 1 2
$ + $
+
80
16 5
2 8 2 5
Cevap : C
2
π . 42 = 16π
π . 22 = 4π
π . 12 = π
12A
13A
13
=
16
16A
3A A
4. Katsayılar = {1, 5, 10, 10, 5, 1}
{1, 5, 5, 1}
↓
2 tane
4
f p
2
6
f p
2
=
Cevap : E
6
2
=
5
15
9. Tüm durum sayısı
Cevap : C
H = 3
n=5
5. Örneğin öğrencilerin boyları = 150 cm, 160 cm,
160 cm, 170 cm, 180 cm
İstenilen durum sayısı 5 tir. Çünkü bilyelerin tamamı 1., 2., 3., 4. veya 5. torbaya atılabilir.
5
1
=
7
35
Sadece aynı boydakiler yer değiştirebilirler.
2
1
=
60
5!
Cevap : B
119
H+n –1
7
f
p = f p = 35
H
3
Cevap : C
10. I. yol
14. I. yol
TÜREV kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek 5!=120 farklı kelime oluşturulur.
1
Sessiz olan {R, T, V} harfleri yer değiştirmeecek
5!
şekilde beş harfli
= 20 tane farklı kelime ya3!
zılabilir.
20
1
=
olur.
120
6
1
1
1
1
2
3
4
1
3
6
1
4
1
4
4
1
=
=
1+4+6+4+1
16
4
II. yol
Daha pratik olarak {R, T, V} kendi arasında 3!=6
farklı şekilde yer değiştirir. Her 6 kelimeden sade1
ce birisinde {R, T, V} alfabetik sıradadır.
6
Cevap : D
II. yol
K
K dan B ye giderken
5, 5, 5, 4 yollarını kullanıyoruz.
A
B
C
D
E Bu dört karakterin yer
değişim sayısı tekrar4!
= 4 olur.
3!
Bütün yolların sayısı her aşağıya inişte 2 farklı
yoldan inebileceğinden
lı permütasyondan
11. Şekildeki kare sayısı,
5.4 + 4.3 + 3.2
↓
↓
↓
+
2 . 1 = 40
↓
2 . 2 . 2 . 2 = 24 = 16 olur.
4
1
=
16
4
1x1=1br2lik, 2x2=4 br2lik, 3x3=9 br2lik, 4x4=16 br2lik,
40 tane kareden 20 tanesinin alanı 3 br2 den fazladır.
20
1
=
40
2
Cevap : C
15.
5 5
12. Dikdörtgen sayısı = f p $ f p = 100
2 2
1. satırda alanı tek sayı olan dikdörtgen sayısını
bulalım.
2 yüzü boyalı küplerin sayısı= 4 . 4 + 4 . 1 + 4 . 2
1 br2 olan 4 tane, 3 br2 olan 2 tane toplam 6 tane,
1. sütunda da 6 tane alanı tek sayı olan dikdörtgen sayısı 62 = 36 tanedir.
36
9
=
100
25
Cevap : D
20 tanedir.
Toplam 3 . 4 . 6 = 72 tane küp vardır.
28
7
=
72
18
1 Sarı
5 Sarı
6 Kırmızı
16
8
1 1 1 5
$ + $
=
=
2 1 2 11
22
11
2 + 6 + 4 12 1
=
=
60
60 5
Cevap : D
Cevap : B
120
Cevap : C
16.
13. (A, B, C kapalı)+(A açık, B ve C kapalı)+(B açık, A ve C kapalı)
↓
↓
↓
3 1 2
1 1 2
2 1 2
$ $
+
$ $
+
$ $
4 3 5
4 3 5
3 4 5
Cevap : B
TEST
1. Bir sinema salonunda her sırada 8 koltuk olmak
üzere arka arkaya bulunan 12 sıra vardır.
4. A torbasında 8 beyaz, 5 siyah B torbasında 2 beyaz, 3 siyah top vardır. A torbasından x tane top
çekilip B torbasına atılıyor. Daha sonra B torbasından bir top çekiliyor.
1
Çekilen topun siyah olma olasılığı
oldu3
ğuna göre, x in alabileceği değerler toplamı
kaçtır?
Birbirinden habersiz bilet alan iki arkadaşın
koltuklarının yanyana denk düşmesi olasılığı
kaçtır?
A)
1
7
11
B)
C)
360
380
120
D)
7
60
E)
3
40
A) 11
2.
|BC| = 8 br
8
B)
D) 21
E) 24
Buna göre, torbadan rastgele alınan iki
bilyenin ikisinin de kırmızı renkte olma olasılığı kaçtır?
C
olmak üzere ABC üçgensel bölgesi üzerine
rastgele işaretlenen bir noktanın AB kenarına, BC kenarından daha yakın olma olasılığı
kaçtır?
1
10
C) 17
5. Bir torbada beyaz, siyah ve kırmızı renkte 8
tane top vardır. Torbadan rastgele alınan her üç
bilyeden en az biri kırmızı renkte olmaktadır.
|AB| = 6 br
6
A)
B) 15
ABC üçgen
A
B
8
1
5
C)
2
5
D)
1
2
E)
A)
1
3
B)
1
2
C)
15
28
D)
3
4
E)
4
5
2
3
6.
y
3. Aşağıdaki şekil 6x6 lık birim karelerden oluşmaktadır.
C
B
y=2
O
A
x
x=4
Yukarıda, x = 4 doğrusu, y = 2 doğrusu ve koordinat eksenleri ile sınırlı OABC dikdörtgeni içinden
veya üzerinden rastgele bir K noktası alınıyor.
Oluşan OKA açısının 90° veya 90° den daha
büyük olma olasılığı kaçtır?
Buna göre, rastgele seçilen iki tane birim karenin ortak noktasının olma olasılığı kaçtır?
A)
3
64
B)
5
32
C)
11
63
D)
3
16
E)
5
16
A)
121
1
4
B)
1
2
C)
π
8
D)
π
4
E)
π
2
TEST
7. Et, köpek ve kedinin bulunduğu bir yerde et ile
köpek arasındaki mesafe ile köpek ile kedi arasındaki mesafe 50 şer metredir.
Kedi ile köpeğin hızlarının eşit olduğu ve ikisinin de eti yemek için aynı anda harekete
geçtiği düşünüldüğünde ete kedinin köpekten
önce ulaşma olasılığı kaçtır?
A)
1
6
B)
1
4
C)
1
3
D)
8. Bir avcının hedefi vurma olasılığı
fi vurma olasılığının en az
1
2
E)
2
3
2
tür. Hede3
95
olabilmesi için
96
avcının en az kaç atış yapması gerekir?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 8
122
8
1.
3. I. durum
Toplam = 8 . 12 = 96
koltuk vardır.
Kenar koltuklar
İlk seçilecek kare şeklin köşelerindeki 4 tane siyah renkli karelerden birisi olduğunda,
diğer seçeceğimiz kare herhangi bir siyah karenin çevresindeki bulunan 3 farklı kareden birisi olur.
İki arkadaştan birisi kenar koltuklardan birine
72
oturmama olasılığı
96
dır. Kenarda olmayan koltuğun her iki yanında da
koltuk olacağından ikinci
arkadaşın diğerinin yanına
2
oturma olasılığı
olur.
95
Bu durumun olma olasılığı =
3
4
$
tir.
36 35
II. durum
İlk seçilecek kare şeklin kenarlarında bulunup köşelerinde bulunmayan 16 tane
siyah renkli karelerden birisi
olduğunda diğer seçeceğimiz
kare herhangi bir siyah renkli
karenin çevresinde bulunan
5 farklı kareden birisi olur.
16 5
$
tür.
72 2
$
olasılıkla kenarda olmayan
96 95
koltuklarda yanyana gelmiş olabilirler. İki arkaİki arkadaş
daştan birisi kenar koltuklardan birine oturma
24
olasılığı
dır. Kenarda olan koltuğun sadece
96
bir tarafında koltuk olacağından ikinci arkadaşın
1
diğerinin yanına oturma olasılığı
olur.
95
24 1
$
İki arkadaş,
olasılıkla kenarda olan kol96 95
tuklarda yanyana gelmiş olabilirler.
35 35
III. durum
İlk seçilecek kare şeklin kenarlarında bulunmayan 16
tane siyah renkli karelerden
birisi olduğunda diğer seçeceğimiz kare herhangi bir siyah renkli karenin çevresinde
bulunan 8 tane kareden birisi olur.
Bu durumda;
72 2
24 1
$
+
$
96 95 96 95
3 2
1 1
= $
+ $
4 95 4 95
7
=
bulunur.
380
=
16 8
$
36 35
Bu üç durumda ki bulunan olasılıklar toplandığında,
3
16 5
16 8
4
11
$
+
$
+
$
=
bulunur.
36 35 36 35 36 35
63
Cevap : B
Cevap : C
2.
A
4.
6
D
2A
3A
B
8
C
B köşesinden AC kenarına açıortay doğrusu çizelim. BD üzerinde alınan herhangi bir noktanın
AB ve BC kenarına olan uzaklıkları eşittir. ABD
üçgensel bölgesinin içinden alınan herhangi bir
noktanın AB kenarına olan uzaklığı BC kenarına
olan uzaklığından daha kısadır. Bu durumda,
&
A (ABD)
2
=
bulunur.
&
5
A (ABC)
Cevap : C
En son durumda B torbasından çekilen topun si8 Beyaz
2 Beyaz
1
yah olma olasılığının
5 siyah
3 siyah
3
olabilmesi için B torbasındaki beyaz topların sayısı siyah topların sayısının
2 katı olması gerekir. Bu durumda A torbasından
B torbasına 4 beyaz top atılabilir, veya 6 beyaz 1
siyah top atılabilir, 8 beyaz 2 siyah top atılabilir.
A
B
2 beyaz 3 siyah
↓
↓
4 beyaz + 0 siyah = 4
+
21 bulunur.
Cevap : D
123
5. Torbadan rastgele alınan her üç bilyeden en az
biri kırmızı renkte olduğundan bu torbada 6 kırmızı top olmalıdır.
K
K
.
.
8. İki atışta da hedefi vuramama olasılığı
1 1 1
$ =
dur.
3 3 9
İki atış sonunda hedefin vurulma olasılığı
2
1
1 – f p olur.
3
bulunur.
6
5 15
$
=
7 28
8
Cevap : C
Üç atış sonunda hedefin vurulma olasılığı
3
6.
1
1 – f p olur.
3
y
n atış sonunda hedefin vurulma olasılığı
n
K
C
B
y=2
1
1 – f p olur.
3
x
95
1
1– f p >
3
96
n
α
A
O
n
1
1
>f p
96
3
x=4
3n > 96
Şeklide çapı OA olan çember üzerinde bir K nok%
n en az 5 olur.
tası aldığımızda m (OKA) = 90° olur. Çember içe%
risinden aldığımızda m (OKA) > 90° olur. O halde
Cevap : C
OABC dikdörtgeni içerisi veya üzerinden alınan
herhangi bir nokta şekildeki gibi yarım çember
üzerinde veya içinde olursa OKA açısı 90° veya
90° den daha büyük olur.
Bu durumda olasılığın sonucu;
Yar›m dairenin alan› π . 2 2 π
=
=
bulunur.
4.2
2
Dikdörtgenin alan›
Cevap : E
7.
Köpek
Köpek
Et
Kedi
A
50 50
50 60°
60°
50
50
Köpek
50
II. çember
I. çember
Köpek
B
Kedi
Kedi
Köpek I. çember üzerinde herhangi bir noktada,
kedi II. çember üzerinde herhangi bir noktada bulunabilir. Kedinin köpekten daha önce ete ulaşabilmesi için kedi kırmızı renkte çizilen II. çemberin
üzerindeki çember yayında bulunmak zorundadır.
%
Kedinin II. çember üzerinde koyu renkteki AB
çember yayının üzerinde bulunma olasılığı,
120° 1
=
bulunur.
360° 3
Cevap : C
124

olasılık - Eodev.com

Transkript

Benzer belgeler

DENKLEMLER TESTİ -1 www.sosyalsayfam.com 1.Ahmet 12

OLASILIK ve İSTATİSTİK

Bireysel Yarışma Soruları ve Cevapları 2012

Test Sorusu Çözme Yöntemleri - Fiz-Mat

matematik ödevim - Kartanelerim.com

Hafta 9 - Anadolu Üniversitesi