Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı

Transkript

Kontrol Sistemleri Tasarımı
Prof. Dr. Bülent E. Platin
Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı
31 Ağustos – 02 Eylül 2016
Kontrol Sistemlerinde Tasarım İsterleri – Zaman Yanıtı
Özellik
Kapalı Çevrim Sistemin
Zaman Yanıtı Özellikleri
AÇTF / KÇTF İsterler
Kararlılık
Zamanla durağanlaşan
basamak yanıtı
KÇK’ların tümü s–düzleminin
solunda
Kalıcı Rejim
Sıfır ya da küçük kalıcı hata
Yanıtı
Kısa yerleşme zamanı
Geçici rejim
Yanıtı
Yüksek tip numarası ve/veya büyük
değerli hata katsayısı
Baskın KÇK’lar sanal eksenden
uzakta
Baskın KÇK’lar gerçek eksenden
Hızlı ilk yanıt, kısa yükselme
uzakta ve/veya KÇS’ler sanal
ve aşma zamanı
eksene yakın
Salınımsız yanıt
KÇK’ların tümü gerçek eksenin
üzerinde
Küçük aşma
Baskın KÇK’lar küçük eğimli
sönümleme doğrusu üzerinde
Kontrol Sistemleri Tasarımı 1/45
Kontrol Sistemlerinde Tasarım İsterleri – Zaman Yanıtı
Baskın kapalı çevrim kutupları:
Sanal eksene diğer kutuplardan en az 4–5 kez yakın olan ve yakınında kapalı çevrim
sıfırı bulunmayan KÇK’lar.
Ana Sonuç:
Kalıcı rejim başarımı dışındaki zaman yanıtı özelliklerini baskın kapalı çevrim
kutuplarının s–düzlemindeki konumları belirlemektedir.
Dolayısıyla,
– AÇTF’in tip numarası kalıcı rejim isterlerini sağlamalıdır.
– KYE’nin baskın kolları s–düzleminin arzulanan bölgelerinden geçmelidir.
– Bu bölgedeki baskın kol üzerindeki AÇ kazanç değerleri kalıcı rejim isterlerini
sağlamalıdır.
Eğer bu 3 koşulun hepsi sağlanıyorsa, çözüm uygun kazançlı bir P-kontrolcüdür.
Bu koşullardan bir ya da bir kaçı sağlanmıyorsa ne yapılmalıdır?
KÖK YER EĞRİSİNİN BASKIN KOLLARI KUTUP VE SIFIR EKLENEREK
DEĞİŞTİRİLMELİDİR
Kök Yer Eğrilerini Yeniden Şekillendirme
Kutup Eklemenin Etkisi
Kutup Eklemenin Etkileri:
• Kol ve asimtot sayısı artar.
• Kutup-sıfır kütle merkezi eklenen kutuba doğru kayar.
• Kollar sağa doğru bükülürler.
• Göreceli kararlılık azalır.
• Hatta sistem kararsız bile olabilir.
Sıfır Eklemenin Etkisi
Sıfır Eklemenin Etkileri:
• Asimtot sayısı azalır.
• Kutup-sıfır kütle merkezi eklenen sıfırın aksi yönüne doğru kayar.
• Kollar sola doğru bükülür.
• Göreceli kararlılık iyileşebilir.
• Kararsız bir sistem kararlı hale getirilebilir.
PD (Oransal + Türevsel) Kontrolcü Tasarımı
PD-Kontrolcü:
Gc (s) = K p + K ds = K p (Tds + 1) = K d (s − z)
Burada
Kp: Oransal kazanç
Im
s1
Kd: Türevsel kazanç
Td: Türev zamanı
z : PD-kontrolcünün sıfırı
θs
Re
Td = Kd / Kp
–Kp/Kd
0
z = – 1 / Td = – Kp / Kd
PD-kontrolcü ile eklenen sıfırın açısal katkısı (θs) pozitiftir.
KÇ sistemin arzulanan s1 kutup konumunda, bu pozitif θz açısal katkı, kompanse
edilmemiş sistemin AÇTF’nin s1 noktasındaki G(s1)H(s1) açısını açı koşulunu
sağlayacak şekilde dengelemelidir.
arg[Gc(s1)G(s1)H(s1)] = ±(2k+1)180°
;
k = 0, 1, 2, .....
Böylece, kompanse edilmiş sistemin AÇTF’i olan Gc(s)G(s)H(s) kullanılarak
oluşturulan yeni kök yer eğrisinin baskın kolu sola kayarak s1′den geçebilecektir.
PD kontrolcü, kalıcı rejim açısından, tip numarasında herhangi bir değişiklik
oluşturmaz.
Ancak, PD-kontrolcü aracılığıyla sola kaydırılan kök yer eğrisinin baskın kolundaki
tasarım noktası orijinden daha uzakta olduğu için n > m olan OLTF’ler için daha
yüksek kazanç değerleri kullanılmasına izin verecektir. Bu da kalıcı rejimde daha
büyük hata katsayıları yaratarak kalıcı hatanın azalmasını sağlamaktır.
Kazançtaki bu iyileşmeyi genlik koşulunu kullanarak görmek mümkündür:
Kp = 1 / |Tds1+1||G(s1)H(s1)|
Örnek:
Transfer fonksiyonu yanda verilen birim
geri beslemeli H(s) ≡ 1 bir sistemi düşünelim.
1
G(s) =
s(s + 2)
Birincil önceliğimiz en fazla 0.5π saniyelik tepe zamanı olsun. İkincil isterler ise 2
saniyelik %2’lik yerleşme zamanı ve ζ = 0.707’lik sönümleme oranı olsun.
a) P-kontrolcü ile birincil isterlerin
s1
j2 Im(s)
ζ
sağlanabildiğini ama ikincil isterlerin
=
s2 do 0.70
sağlanamadığını gösterin.
K=5
ğr
7
us
b) İsterlerin üçünü de sağlayan uygun
u
bir kontrolcü tasarlayın.
ts = 2
π
π π
→
=
→ ωd = 2
ωd
2 ωd
4
4
b) t s =
→ 2=
→ ζ ωn = 2
ζ ωn
ζ ωn
a) t p =
doğrusu
Çözüm:
ωd = 2
X
–2
X
–1
ζωn = 2
0
Re(s)
s–düzlemi
Örnek:
b) Arzulanan KÇ kutup yeri: –2+j2
Kompanse edilmiş sistemin yök yer
eğrisinin s2’den geçebilmesi için
+45°’lik bir katkıya gerek vardır. Bu
da sıfırı z = –4 olan bit PD-kontrolcü
ile sağlanabilir. → Kp / Kd = 4 →
ωd = 2
ts = 2
Kompanse edilmemiş sistemin s2’deki
toplam açısal katkısı –225°’dir.
j2 Im(s)
0
s2 do .70
ğr 7
us
u
doğrusu
Dolayısıyla, kök yer eğrisinin üst kolu
arzulanan KÇ kutup noktasından
geçecek şekilde sola bükülmelidir.
ζ=
X
–2
X
0
–1
Re(s)
s–düzlemi
Kp = 4 Kd
Ek olarak, genlik koşulu kullanılırsa:
Kd|s2 + 4| = |s2||s2 +2|
Gc(s) = 8 + 2s
→
Kd(2 2 ) = (2 2)(2)
→
Kd = 2
→
Kp = 8
← Daha büyük orantısal kazanç kullanımına dikkat!
P- ve PD-kontrolcü
ile Denetlendiğinde
Sistemin Systems
Basamak yanıtları
Step Responses
of P- and PD-Controlled
1.4
P-kontrolcü
1.2
Genlik
Amplitude
1
0.8
PD kontrolcü
0.6
0.4
Ek getiriler:
Aşma azaldı
Yükselme zamanı kısaldı
0.2
0
0
1
2
3
4
Time (sec)
Zaman
(saniye)
5
6
PD-kontrolcü uygulamasındaki 3 büyük sorun:
1. Türev alma işlemi anlamına gelen s-terimi içermesi nedeniyle PD-kontrolcülerin
fiziksel olarak gerçekleştirilmesinde sorun vardır. Bu sorunu çözmenin 2 yolu
bulunmaktadır:
a) Türev alma işlemini yaklaşık gerçekleştirmek.
b) Çıktının kendisinin yanında türevini de ölçerek geri besleme bilgisine dahil
etmek. – Ek algılama elemanlarının kullanımını gerektirir. Örneğin, mekanik
sistemlerde konum ve hız geri beslemenin birlikte kullanımı.
2. Referans girdisinde basamak değişimler olması durumunda PD-kontrolcüler sterimi nedeniyle darbeli komutlar üretirler. Bu sorunu çözmenin 3 yolu
bulunmaktadır:
a) Referans girdideki basamak değişiklerini dar rampalar şeklinde vermek.
b) P-kontrolcünün çıkışında genlik limiti kullanmak.
c) 1b
3. PD-kontrolcünün s-terimi algılayıcı gürültüsünü daha da abartılı hale getirir. Bu
sorunu çözmenin 2 yolu vardır:
a) Algılayıcının ürettiği gürültülü ölçme sinyalini temizlemek için alçak geçirgen
süzgeç kullanmak.
b) Gürültü düzeyi daha az daha iyi bir algılayıcı kullanmak.
PI (Oransal + İntegral) Kontrolcü Tasarımı
PI-Kontrolcü:
K i K i (Tis + 1) K p (s − z)
Gc (s) = K p + =
=
s
s
s
Burada
Kp: Orantısal kazanç
Ki: İntegral kazanç
Im
s1
Ti: İntegral zamanı
z : PI-kontrolcünün sıfırı
θs
θk
Re
Td = Kp / Ki
-Ki/Kp
z = – 1 / Ti = – Ki / Kp
0
PI-kontrolcü ile eklenen sıfırın ve kutubun net açısal katkısı (θs – θk) negatiftir.
KÇ sistemin arzulanan s1 kutup konumunda, bu negatif θs – θk açısal katkı,
kompanse edilmemiş sistemin AÇTF’nin s1 noktasındaki G(s1)H(s1) açısını açı
koşulunu sağlayacak şekilde dengelemelidir.
arg[Gc(s1)G(s1)H(s1)] = ±(2k+1)180°
;
k = 0, 1, 2, .....
Böylece, kompanse edilmiş sistemin AÇTF’i olan Gc(s)G(s)H(s) kullanılarak
oluşturulan yeni kök yer eğrisinin baskın kolu sağa kayarak s1′den geçecektir.
Baskın koldaki bu sağa yönelim istenen bir gelişme değildir.
Ama, PI-kontrolcünün orijindeki kutubu aracılığıyla sistemin tip numarası artacak
ve kapalı çevrim sistemin kalıcı rejim başarımı düzelecektir.
Dolayısıyla, PI-kontrolcüler, kapalı çevrim sistem yanıtının geçici rejimindeki
olumsuz değişikliklerin kabul edilebilir düzeyde küçük tutulması kaydıyla kalıcı
rejim başarımının geliştirilmesi amacıyla kullanılabilir.
Geçici rejimdeki bu olumsuz etkileri en az düzeyde tutabilmek için PI-kontrolcünün
açısal katkısının küçük olması gerekmektedir. Bu da eklenen sıfırın orijine eklenen
kutuba yakın konumlandırılmasıyla elde edilebilir.
Örnek:
1
Transfer fonksiyonu yanda verilen birim
G(s) =
s(s + 10)
geri beslemeli H(s) ≡ 1 bir sistemi düşünelim.
Kapalı çevrim sistemin rampa girdileri sıfır kalıcı rejim hatası ile izlemesi
istenmektedir. → Tip 2 AÇTF gerekmekte → PI-kontrolcü kullanılmalı!
İkincil ister, arzulanan kapalı çevrim kutupların –5 ± j5 olarak konumlandırılmasıdır.
Eğer bu mümkün değilse, o zaman
ζ = 0.707 sönümleme
i) yerleşme zamanının % 5
doğrusu
uzamasına izin verilebilir
Im
İstenen kapalı
(kapalı çevrim kutuplar sanal
PI-kontrolcüyle
çevrim kutup
j5
eksene yaklaşabilir) ama
kapalı çevrim
konumu
kutubun yeni
ii) sönümleme oranı (ζ = 0.707)
s1 = –5+j5
konumu
olarak sabit kalmalıdır (kapalı
(K = 50)
s2 = –4.75+j4.75
çevrim kutuplar ζ = 0.707
x
x
sönümleme doğrusu üzerinde
0
Re
–10
–5
orijine doğru kaydırılmalıdır).
s-düzlemi
(0.05)(5)=0.25
Örnek:
Bu tür probleminin çözümünde
İstenen kapalı
ilk adım PI-kontrolcünün
çevrim kutup
sıfırının (z = –Ki/Kp) konumunu
konumu
bulmaktır.
s1 = –5+j5
Bu işlem, arzulanan kapalı
(K = 50)
çevrim kutubun yeni konumu
x
olan s2’de açı koşulunu
–10
uygulayarak gerçekleştirilir:
θs
θk
–5
Im
PI-kontrolcüyle
j5 kapalı çevrim
kutubun yeni
konumu
s2 = –4.75+j4.75
xx
z 0
Re
s-düzlemi
arg(s2 − z) − arg(s2 + 10) − 2arg(s2 ) = 180°
14243 142
4 43
4
1
424
3
θs
θk
135 °
θ s − θk = 90°
Son ifade, p = –10 ve z’den s2‘ye doğru çizilen doğruların birbirine dik olduğunu
işaret etmektedir. Bu genelleştirilecek bir kural olmayıp, yalnızca geri kalan kutup
ve sıfırlardan s2’ye çizilecek doğruların gerçek eksenle yaptığı açıların
toplamlarının 180°’den 90° kadar farklı olması durumunda geçerlidir.
Örnek:
θk açısının bulunuşu:
 4.75 
θk = tan-1

 10 − 4.75 
 4.75 
θk = tan-1

5.25


İstenen kapalı
çevrim kutup
konumu
s1 = –5+j5
(K = 50)
x
–10
θk = tan-1(0.90476)
Im
PI-kontrolcüyle
j5 kapalı çevrim
kutubun yeni
konumu
s2 = –4.75+j4.75
θs
θk
–5
θk = 42.14° < 45° beklendiği gibi
xx
z 0
Re
s-düzlemi
Dolayısıyla, θs açısı θs – θk = 90° den 132.14° olarak bulunur.
z’nin değeri, z’den s2’ye çizilen vektörün açısı kullanılarak bulunur:
tanθ s =
4.75
− 4.75 − z
→ z=−
Ki
4.75
4.75
= −4.75 −
= −4.75 +
= −0.45
Kp
tan(132.14 °)
1.105
144244
3
= −1.105
Örnek:
Kp’nin değeri genlik koşulu
kullanılarak bulunur:
2
s2 ⋅ s2 + 10
Kp =
s2 − z
θz
Kp =
xx
z 0
İstenen kapalı
çevrim kutup
konumu
s1 = –5+j5
(K = 50)
(6.72)2
6447448 64447.08
74448
θp
2
x
− 4.75 + j4.75 ⋅ − 4.75 + j4.75 + 10
–10
− 4.75 + j4.75 + 0.45
1444
424444
3
Im
–5
PI-kontrolcüyle
j5 kapalı çevrim
kutubun yeni
konumu
s2 = –4.75+j4.75
Re
s-plane
6.41
K p = 49.9 ≅ 50
Buradan, Ki‘nin değeri Ki = (0.45)(50) = 22.5 olarak bulunur.
Dolayısıyla, tasarlanan kontrolcünün transfer fonksiyonu aşağıdaki gibi olacaktır.
22.5 50(s + 0.45) 22.5(2.22s + 1)
Gc (s) = 50 +
=
=
s
s
s
–0.497’deki 3. KÇ kutubun sistem
üzerindeki etkisi –0.45’teki KÇ
sıfırı nedeniyle ihmal edilebilir.
P- ve PI-kontrolcü
ile Denetlendiğinde
Sistemin
Rampa yanıtları
Ramp Responses
of P- and PI- Controlled
Systems
4
Input
Girdi
3
P
Genlik
Amplitude
PI
2
1
0
0
1
2
Time (sec)
Zaman
(saniye)
3
4
İntegral Birikim/Kurma (Windup):
PI-Kontrolcü uygulamasındaki başlıca sorundur.
Özellikle referans değerlerindeki ani değişimler sonucu kontrolcü girişindeki hata
bilgisindeki artış, bu hatanın integralinin alınması ile kontrolcü çıktısının çok büyük
değerlere erişmesine ve bu çıktının kumanda bilgisi olarak kullanıldığı eyleyicileri
ve bunların sürücülerinin doyma değerlerine erişmesine ve sistemin doğrusal
olmayan davranışlar (genellikle aşırı aşmalar) sergilemesine neden olur.
İki integral birikim önleyici (anti-windup) düzenleme örneği:
PID (Oransal + İntegral + Türevsel) Kontrolcü Tasarımı
PID-Kontrolcü:
K ds 2 + K p s + K i K d (s − z1 )(s − z 2 )
Ki
Gc (s) = K p + + K ds =
=
s
s
s
Burada,
Im
Kp: Oransal kazanç
Kd: Türevsel Kazanç
Ki: İntegral Kazanç
o
z1
o
z2
x
0
Re
s-düzlemi
z1,z2: PID-kontrolcünün sıfırları
Im
o z1
x
o z2
0
Re
s-düzlemi
PID (Oransal + İntegral + Türevsel) Kontrolcü Tasarımı
PID-Kontrolcü:
Bu kontrolcü, sistemin hem sürekli rejim hem de geçici rejim davranışını
iyileştirmek için kullanılır.
Kp, Ki, ve Kd, parametreleri bu kontrolcünün tasarımında 3 farklı başarım isterinin
sağlanması için gerekli serbestlik derecesini sağlar.
Orijindeki kutup ve sıfırlardan biri kontrolcünün PI kısmını, diğer sıfır ise PD
kısmını oluşturur.
Kontrolcünün PI etkisiyle ilgili sıfır, kök yer eğrilerinin baskın kolunu sağa çok fazla
kaydırmamak için orijine yakın seçilir.
Kontrolcünün ikinci sıfırı ise, kök yer eğrisinin baskın kolunu PD etkisiyle yeterince
sola bükmek amacıyla o kolun solunda bir konuma yerleştirilir.
PID kontrolcünün bir başka amaçlı kullanımı, sanal eksene istenmedik şekilde
yakın karmaşık kutupları olan sistemlerde, bu kutupların sistem üzerindeki
etkilerini bastırmak içindir. Bu amaçla, PID-kontrolcünün sıfırları bu kutuplara
olabildiğince yakın yerleştirilir. Böylece, aralarında kısa ama baskın olmayan bir
kök yer eğrisi kolu oluşturulur.
PID Kontrolcülerin Analitik Tasarımı
Buradaki amaç, PID-kontrolcünün Kp, Ki ve Kd parametrelerini ayarlayarak AÇTF’si
G(s)H(s) olan kompanse edilmemiş bir sistemin kapalı çevrim baskın kutuplarının
istenen bir konuma s1 yerleştirilmesidir.
Aşağıdaki tanımları kullanarak,
Gp (s1 )H(s1 ) = Gp (s1 )H(s1 ) e jψ
s1 = s1 e jβ
ve
tasarım denklemleri aşağıdaki şekilde yazılabilir:
Kp =
− sin(β + ψ)
2K icosβ
−
s1
Gp (s1 )H(s1 ) sinβ
Kd =
sinψ
K
+ i2
s1 Gp (s1 )H(s1 ) sinβ s1
Bu denklemler, uygun kazançları
sıfırlayarak PI ve PD-kontrolcülerin
tasarımında da kullanılabilir:
PD-kontrolcü için Kd = 0
PI-kontrolcü için Ki = 0
Bu denklemler, PID ile kontrol edilmiş bir sistemin dominant KÇ kutubunun
arzulanan s1 noktasından geçmesi için gerekli koşullar kullanılarak türetilmiştir.
Bu iki denklem içinde 3 adet bilinmeyen (Kp,Ki,Kd kazançları) olduğu için bu
kazançlardan birisi ek bir tasarım koşulunu (kalıcı rejim başarımı gibi) sağlamak
üzere seçilebilir.
Eğer s1 noktası negatif gerçek eksen üzerinde seçilmişse, tasarım denklemleri
aşağıdaki genlik koşulunu ifade eden tek denkleme indirgenir:
K ds12 + K p s1 + K i =
s1
Gp (s1 )H(s1 )
Örnek:
AÇTF aşağıdaki gibi olan bir sistem için
1
G(s)H(s) =
(s + 1)(s + 2)
hedeflenen kapalı çevrim kutup konumu
s1,2 = –4 ± j 4
şeklinde tanımlanmıştır.
Bu istere ek olarak, basamak girişi için sıfır kalıcı hata ve rampa girişi için %10
dinamik hata oluşması istenmektedir.
Sıfır kalıcı hata için kompanse edilmiş sistemin tip numarası “1” olmalıdır.
Tüm bu koşulları sağlamak üzere uygun bir PID-kontrolcü kullanılmalıdır.
Örnek:
s1 = s1 e jβ = −4 + j4 = 4 2e j135 °
s1 = 4 2 and β = 135°
1
1
Gp (s1 )H(s1 ) = Gp (s1 )H(s1 ) e jψ =
=
e − j243.4°
( −3 + j4)( −2 + j4) 10 5
1
→
Gp (s1 )H(s1 ) =
= 0.0447 and ψ = −243.4°
10 5
Dolayısıyla, tasarım denklemleri aşağıdaki gibi yazılır.
− sin(135 ° − 243.4 °) 2K icos135 °
Kp =
−
= 30.01 + 0.25K i
(1/10 5 )sin135 °
4 2
sin( −243.4°)
Ki
Kd =
+
= 4.999 + 0.0313K i
2
4 2 (1/10 5)sin135° (4 2 )
→
% 10 dinamik hata koşulu kullanılırsa,
1
1
=
→ Ki = 20 → Kp = 35 and Kd = 5.63
K i /2 10
20 5.63s 2 + 35s + 20 5.63(s + 0.637)(s + 5.58)
Gc (s) = 35 + 5.63s +
=
=
s
s
s
Örnek:
20 5.63s 2 + 35s + 20 5.63(s + 0.637)(s + 5.58)
Gc (s) = 35 + 5.63s +
=
=
s
s
s
Bu PID kontrolcü sisteme aşağıdaki AÇ (ve KÇ) sıfırları ekler.
z1 = –0.637 PI etkisiyle ilgili sıfır
z2 = –5.58 PD etkisiyle ilgili sıfır
Bu sıfırlar kapalı çevrim transfer fonksiyonunun da sıfırları olur.
Kapalı çevrim kutupları p1,2 = –4 ± j4 ve p3 = –0.625 olarak elde edilir.
p3 = –0.625 kutubu ilk görünüşte rahatsızlık verici olabilir. Ama, bu kutubun sistem
yanıtındaki etkisi –0.637’deki sıfır nedeniyle çok önemli değildir.
Sistemin P-kontrolcüyle ve PID kontrolcüyle kontrol edilmiş durumlarına karşılık
gelen basamak yanıtları bir sonraki yansıda verilmiştir.
Basamak
YanitiYanıtı
Basamak
1.2
1
Çıktı
Çikti
0.8
PID
PID kontrolcüyle
Kontrolcü ilekompanse
denetim
Kompanse
edilmemis
sistem
P Kontrolcü
ile denetim
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
Zaman
Zaman(saniye)
(saniye)
5
6
İlerlemeli Kontrolcü Tasarımı
İlerlemeli Kontrolcü:
Gc (s) = K c
1+ Ts K c s − z
z
− 1/T
=
⋅
; 0<α= =
<1
1+ αTs α s − p
p − 1 / αT
Bu kontrolcünün sıfırı orijine kutubundan
daha yakındır.
Im
s1
Dolayısıyla, ilerlemeli kontrolcünün açısal
net katkısı (θs – θk) pozitiftir.
Bu nedenle, bu kontrolcünün etkisi PDkontrolcüye benzerdir. Sistemin geçici
rejim davranışını düzeltmek üzere baskın
kapalı çevrim kutuplarını sola doğru kaydırır.
θs
θk
p
z
0
Re
PD-kontrolcüde belirlenecek 2 katsayı varken, bu kontrolcüde belirlenecek 3
katsayı (Kc, T, α) vardır. Bu da daha fazla serbestlik derecenin olduğu anlamına
gelir.
İlerlemeli Kontrolcü Tasarım Adımları:
1. P-kontrolcü kullanılmış sistem için kök yer eğrisi çizilir.
2. Geçici rejim isterleri kullanılarak kapalı çevrim sistemin baskın kutubunun sdüzlemindeki istenen s1 konumu P-kontrolcü kullanılmış sistemin baskın
kolunun solunda olacak şekilde seçilir.
3. P-kontrolcü kullanılmış sistemin s = s1’deki 180°’den olan açı farklılığı
Φ = 180° – arg[G(s1)H(s1)] > 0
olarak hesaplanır. Bu fark ilerlemeli kontrolcü tarafından sağlanacaktır.
4. İlerlemeli kontrolcünün kutup ve sıfırının konumları (ya da T ve α), s1’de bu açı
farkını kapatacak şekilde seçilir.
Eğer bu Φ açısı çok büyükse, birden fazla ilerlemeli kontrolcü kullanılabilir.
Verilen bir Φ açısını kapatmak üzere ilerlemeli kontrolcünün kutup ve sıfırının
konumları için bir çok seçenek vardır.
İlerlemeli Kontrolcü Tasarım Adımları:
Bu kontrolcünün kurup ve sıfırlarının konumları için bir çok seçenek arasında α
(dolayısıyla Kc) için en büyük (1’e en yakın) değer verenini bulmak üzere aşağıdaki
geometrik yapı kullanılır.
Im
Şekilde, PA gerçek eksene paralel
ve PB de PA ve PO arasındaki β
A
açısının açı ortayıdır.
P (s1)
Bu şekilde sinüs teoremi
kullanılarak aşağıdaki ifadeler elde
edilir:
1
sin[(β − φ)/2]
= OD = s1
T
sin[(β + φ)/2]
φ/2
C
B
β
φ/2
D
0
Re
1
sin[(β + φ)/2]
= OC = s1
αT
sin[(β − φ)/2]
Örnek:
İleri besleme yolundaki transfer fonksiyonu aşağıda verilen birim geri beslemeli,
H(s) ≡ 1, bir kontrol sistemini düşünelim.
1
G(s) =
s(s + 1)(s + 5)
Kapalı çevrim sistemin basamak yanıtında % 20 aşma (Mp) ve 4 saniye %2’lik
yerleşme zamanı (ts) hedeflenmektedir. Bu isterler kullanılarak,
1
1
ζ=
=
= 0.456 → β = 180 o − cos −1(0.456) = 117.1o
2
2
1 + (π/Mp )
1+ (π/0.2 )
4
4
1
ts =
= 4 → ζωn = = 1 → ωn =
= 2.193 = s1
ζωn
4
0.456
Dolayısıyla, baskın kapalı çevrim kutup konumları aşağıdaki gibi bulunur.
s1 = 2.193 ej117,1° = –1 + j1.952
180°’den olan açı farkı:
Φ = 180° – arg[Gp(s1)H(s1)] = 180° – 126.9° = 53.1°
Örnek:
Tasarım denklemleri aracılığıyla T ve α bulunur.
1
sin[(117.1° − 53.1°)/2]
= 2.193
= 1.166 →
T
sin[(117.1° + 53.1°)/2]
1
sin[(117.1° + 53.1°)/2]
= 2.193
= 4.123 →
αT
sin[(117.1° − 53.1°)/2]
Genlik koşulu yardımıyla Kc bulunur.
s s + 1 s1 + 5 s1 + 4.123
K c = 0.283 ⋅ 1 1
= 10.14
s1 + 1.166
T = 0.858
αT = 0.243
→
α = 0.283
Böylece ilerlemeli kontrolcünün transfer fonksiyonu aşağıdaki gibi yazılır.
Gc (s) = 10.14
1 + 0.858s
s + 1.166
= 35.83
1 + 0.243s
s + 4.123
Bu kontrolcüyle, kapalı çevrim kutuplar: p1,2 = –1 ± j1.952, p3 = –1.27, p4 = –6.86
Bu kontrolcüyle elde edilen kök yer eğrileri bir sonraki yansıda verilmiştir.
4
Root LocusDenetlenmiş
of Lead Compensated
İlerlemeli Kontrolcüyle
Sistemin YerSystem
Kök Eğrisi
0.78
0.66
0.52
0.36
0.18
3
X: -0.9998
Y: 1.952
Sanal
Eksen
Imag Axis
2
KÇ baskın kutuplar
1
7
6
0
5
4
3
2
X: -6.857
Y: 0
1
X: -1.266
Y: 0
-1
-2
X: -0.9998
Y: -1.952
-3
-4
-7
0.78
-6
-5
0.66
-4
0.52
-3
-2
Real Axis
Gerçek
Eksen
0.36
0.18
-1
0
1
Gecikmeli Kontrolcü Tasarımı
Gecikmeli Kontrolcü:
Gc (s) = K c
1+ Ts K c s − z
z
− 1/T
=
⋅
; α= =
>1
1+ αTs α s − p
p − 1 / αT
Bu kontrolcünün kutubu orijine sıfırından
daha yakındır.
Im
s1
Dolayısıyla, gecikmeli kontrolcünün
açısal net katkısı (θs – θk) negatiftir.
Bu kontrolcü PI-kontrolcünün daha esnek
bir sürümü olarak düşünülebilir; çünkü,
kontrolcü kutubu orijin gibi sabit bir nokta
yerine istenen bir yere yerleştirilebilmektedir.
θk
θs
z
p
0
Re
Gecikmeli kontrolcü, kapalı çevrim bir sistemin sürekli rejim performansını tip
numarasını yükseltmeden iyileştirmek istenen durumlarda kullanılmaktadır.
Gecikmeli Kontrolcü:
Gecikmeli kontrolcünün kök yer eğrisi üzerinde önemli değişikler yapmasını
önlemek için bu kontrolcünün açısal katkısının kısıtlı (en fazla 5°-6°) olması istenir.
Bunu sağlamak için bu kontrolcünün kutup ve sıfırı orijin civarında birbirine yakın
olarak yerleştirilir. Bu sayede, kapalı çevrim kutupları kendi özgün konumlarından
çok az yer değiştirirler. Böylece, kapalı çevrim sistemin geçici davranışı temel
olarak aynı kalır.
Bu şekilde yerleştirilmiş kutup ve sıfır olması durumunda, gecikmeli kontrolcünün
baskın kapalı çevrim kutup noktasındaki (s1) genliği aşağıdaki gibi yazılır.
K c s1 − z K c
Gc (s1 ) =
⋅
≅
α s1 − p
α
Bu ifade, Kc kazancının sistemin geçici rejim karakteristiğini değiştirmeden α (>1)
kat arttırılabileceği anlamına gelir.
Dolayısıyla, Kc kazancındaki her artış ilgili hata katsayısında benzer bir artış ve
sonunda kalıcı rejim hatasında benzer oranda bir azalış sağlayacaktır; yani, kalıcı
rejim davranışında bir iyileşme olacaktır.
Gecikmeli Kontrolcü Tasarım Adımları:
1. P-kontrolcü kullanılmış sistem için kök yer eğrisi çizilir.
2. Geçici rejim isterleri kullanılarak kapalı çevrim sistemin baskın kutubunun sdüzlemindeki s1 konumu kök yer eğrisinin baskın kolunun üstünde seçilir.
3. s = s1’deki genlik koşulunu kullanarak açık çevrim kazancı bulunur ve ilgili hata
katsayısı hesaplanır.
4. Kalıcı hata isteri kullanılarak bu hata katsayısında yapılması gerekli olan
arttırma saptanır ve α bu değer olarak alınır.
5. Gecikmeli kontrolcü sıfırının konumu sanal eksene s1’den en az 5 kat daha
yakın olacak şekilde seçilir.
6. Gecikmeli kontrolcü kutubunun konumu sanal eksene sıfırından α kat daha
yakın olacak şekilde seçilir.
7. Gecikmeli kontrolcü kullanılan sistemin kök yer eğrisi çizilir.
8. Hedeflenen baskın kapalı çevrim kutup bu yeni KYE eğrisi üzerinde bulunur.
9. Kc değeri bu yeni baskın kapalı çevrim kutupta genlik koşulu kullanılarak
bulunur.
10. Eğer bulunan Kc değeri yeterince büyük bir hata katsayısı vermiyorsa, 6
numaralı adıma daha büyük bir α değeriyle gidilir.
→ Birden çok iterasyon gerekebilir.
Örnek:
İleri besleme yolundaki transfer fonksiyonu aşağıda verilen birim geri beslemeli,
H(s) ≡ 1, bir kontrol sistemini düşünelim:
1
G(s) =
s(s + 1)(s + 5)
Geçici rejim isteri ζ = 0.45 şeklinde verilmiş olsun.
Buna karşı gelen baskın kapalı çevrim kutubu aşağıdaki gibi bulunur.
Bulunuşu basit bir işlem değil!
s1 = –0.4039+j0.8016 = 0.8976 ej116,74°
P-kontrolcü kullanıldığında, bu noktaya karşın gelen kazanç genlik koşulu
kullanılarak aşağıdaki gibi bulunur.
K = s1 s1 + 1 s1 + 5
K = − 0.4039 + j0.8016 − 0.4039 + j0.8016 + 1 − 0.4039 + j0.8016 + 5
K = 4.183
Kalıcı rejim isteri ilgili (hız) hata katsayısının 10 kat artırılmasını gerektiriyor olsun.
Bu ister, α = 10 olmasını gerektirmektedir.
P-kontrolcü ile Denetlenen Sistemin Yer Kök Eğrisi
ζ = 0.45
Sanal Eksen
j2.24 (K = 30)
63.26°
İstenen baskın
KÇ kutup konumu
–0.4039+j0.8016
(K = 4.183)
(K = 0.107)
Gerçek Eksen
Örnek:
Kontrolcü sıfırının konumunu seçelim:
z ≈ Re(s1 )/5 = −0.4039/5 ≅ −0.08
→
T = 12.5
Buradan kontrolcünün kutup konumunu bulalım:
p = z/α = –0.08/10 = –0.008
→
αT = 125
Dolayısıyla, gecikmeli kontrolcünün transfer fonksiyonu aşağıdaki gibi yazılır:
1 + 12.5s K c s + 0.08
Gc (s) = K c
=
⋅
1 + 125s 10 s + 0.008
Geçici rejim isteri olan ζ = 0.45’i sağlamak için baskın kapalı çevrim kutup konumu
ζ = 0.45 sönümleme doğrusu üzerinde ve yeni açık çevrim transfer fonksiyonu
Gc(s)G(s) için açı koşulunu sağlayan s2 = –0.371+j0.737 (ωn = 0.825 < 0.8976)
olarak, diğer iki kapalı çevrim kutupları ise –5.18 ve –0.0881 olarak bulunur.
Orijine çok yakın olan –0.0881’deki kapalı çevrim kutubunun sistem davranışı
üzerindeki etkisi, gecikmeli kontrolcü tarafından –0.08 konumuna eklenen sıfır
nedeniyle, ihmal edilebilir düzeydedir.
Örnek:
Sanal Eksen
Sanal Eksen
Gecikmeli Kontrolcü ile Denetlenmiş Sistemin Kök Yer Eğrisi
Gerçek eksen
Gerçek eksen
Örnek:
Gecikmeli kontrolcünün kazanç Kc değeri genlik koşulu kullanılarak aşağıdaki
şekilde bulunur.
K c = 10 s 2 s 2 + 1 s 2 + 5 s 2 + 0.008 / s 2 + 0.08 = 38.85
Dolayısıyla, kazançtaki gerçek artma
Kc/K = 38.85/4.183 = 9.29
dır. Bu da istenen 10 kat’dan % 7.1 daha azdır.
Problemin α için 10’dan daha büyük (10.7 ?) bir değer seçerek yeniden çözümü
için itetratif bir sürecin ilk adımıdır. Çünkü böyle bir seçim, kazancın 10 kat
yükselmesini garanti etmeyecektir ve çözümün tekrarlanması gerekecektir.
Bu problemi, aşağıdaki tasarım isterleri için analitik tasarım denklemlerini
kullanarak çözelim.
• Hız hata katsayısındaki artma tamı-tamına 10 olsun. → Kc = 41.83
• Baskın kapalı çevrim kutup konumu s3 = –0.390+j0.774 olsun.
Bu konumda ζ = 0.45 sağlanmaktadır. Ayrıca, |s3| = ωn = 0.867 konumu s1
(ωn = 0.898) noktasına s2 (ωn = 0.825) noktasından daha yakın olduğundan
sağlanması daha zor bir isterdir.
Örnek:
Çözüm:
s3 = −0.390 + j0.774 = 0.867e
j116.75 o
⇒ s3 = 0.867 & β = 116.75 o
K c Gp (s3 )H(s3 ) = 41.83/s 3 (s3 + 1)(s3 + 5) = 10.48e − j178.03
→
K c Gp (s3 )H(s3 ) = 10.48
&
o
ψ = −178.03 o
Bu değerler analitik tasarım denklerinde kullanılırsa:
sinβ + K c Gp (s3 )H(s3 ) sin(β − ψ)
sin(116.75 o ) + 10.48sin(116.75 o + 178.03 o )
T=
=
= 27.6
o
(0.867)(10.48)sin( −178.03 )
s3 K c Gp (s3 )H(s3 ) sinψ
sin(β + ψ) + K c Gp (s3 )H(s3 ) sinβ sin(116.75 o − 178.03 o ) + 10.48sin(1 16.75 o )
αT =
=
= 284.6
o
− s3 sinψ
− 0.867sin( −178.03 )
α = 10.31
ve
Gc (s) = 41.83
1+ 27.6s
s + 0.0362
= 4.06
1 + 284.6s
s + 0.00351
İlerlemeli-Gecikmeli Kontrolcü Tasarımı
Eğer kapalı çevrim sistemin hem geçici rejim hem de kalıcı rejim yanıtında bazı
iyileştirmeler isteniyorsa, hem ilerlemeli hem de gecikmeli kontrolcü beraber
kullanılmalıdır.
Bu tür bir kontrolcünün transfer fonksiyonu aşağıdaki gibi yazılabilir.
1+ T1s 1+ T2s
Gc (s) = K c
⋅
, 0 < α <1 , β>1
1+ αT1s 1+ βT2 s
• α ve T1 parametreleri kontrolcünün ilerlemeli kısmıyla ilgilidir ve sistemin
istenen bir dominant kapalı çevrim kutup noktasında geçici rejim yanıtıyla
ilgili isterleri karşılamak üzere seçilir.
• β ve T2 parametreleri ise, kontrolcünün gecikmeli kısmıyla ilgilidir ve Kc ile
birlikte sistemin kalıcı rejim yanıtıyla ilgili isteri sağlamak üzere seçilir.
Sorularınız

Kök Yer Eğrisi ile Kontrolcü Tasarımı

Transkript

Benzer belgeler

Contents • Doğrusal sistemler için kontrol tasarım yaklaşımları • DC

PathFinder - bekab kablo

PathFinder PF

Ürün Broşürü - Prota Bilgisayar

1. PIC16F628 74HC595 LED Matris Kayan Yazı Devresi 2