Gerilmeler ve Mohr dairesi Alıştırma çözümleri - guven

Transkript

İlk yayın : 7 Kasım 2014
www.guven-kutay.ch
YAPI STATİĞİ
Gerilmeler ve Mohr dairesi
Alıştırma çözümleri
44-04-4
M. Güven KUTAY, Muhammet ERDÖL
En son durum: 7 Kasım 2014
DİKKAT:
Bu çalışma iyi niyetle ve bugünün teknik imkanlarına göre yapılmıştır. Bu çalışmadaki bilgilerin yanlış
kullanılmasından doğacak her türlü maddi ve manevi zarar için sorumluluk kullanana aittir. Bu
çalışmadaki bilgileri kullananlara, kullandıkları yerdeki şartları iyi değerlendirip buradaki verilerin
yeterli olup olmadığına karar vermeleri ve gerekirse daha detaylı hesap yapmaları önerilir. Eğer herhangi
bir düzeltme, tamamlama veya bir arzunuz olursa, hiç çekinmeden bizimle temasa geçebilirsiniz.
44_04_4_Alistirma-Cözümleri.doc
www.guven-kutay.ch
İÇİNDEKİLER
1.
Eğik kaynaklı plakanın gerilme analizi ..................................................................................................................... 5
2.
Ölçülen değerlere göre gerilme analizi ..................................................................................................................... 7
2.1.
Grafik çözüm ................................................................................................................................................... 8
Kayma zorlanmasına göre gerilme analizi .............................................................................................................. 10
3.
3.1.
3.2.
Grafik çözüm ................................................................................................................................................. 10
Analitik çözüm .............................................................................................................................................. 10
Normal kuvvet zorlanmasına göre gerilme analizi.................................................................................................. 11
4.
4.1.
4.2.
Grafik çözüm ................................................................................................................................................. 11
Analitik çözüm .............................................................................................................................................. 11
Bileşik zorlanmaya göre gerilme analizi ................................................................................................................. 12
5.
5.1.
5.2.
Grafik çözüm ................................................................................................................................................. 12
Analitik çözüm .............................................................................................................................................. 12
Eğik kesitte gerilme analizi ..................................................................................................................................... 13
6.
6.1.
6.2.
7.
Grafik çözüm ................................................................................................................................................. 13
Analitik çözüm .............................................................................................................................................. 13
Parçada esneme ve kayma analizi ........................................................................................................................... 15
7.1.
 için genel esneme x, y ve kayma xz ......................................................................................................... 15
7.2.
 = 60 için esneme x, y ve kayma xz, ....................................................................................................... 15
7.3.
 = 60 için asal esnemeler 1, 2 ile yönleri 1 ve 2....................................................................................... 16
7.3.1. Analitik ..................................................................................................................................................... 16
7.3.2. Grafik çözüm ............................................................................................................................................ 16
Dik dörtgen kaval profilli çıkma kirişin analizi ...................................................................................................... 17
8.
8.1.
Kesit kuvvetleri.............................................................................................................................................. 17
8.2.
1. ve 2. noktalardaki gerilme durumları......................................................................................................... 18
8.2.1. 1. noktadaki toplam normal gerilme ......................................................................................................... 18
8.2.2. 1. noktadaki toplam kayma gerilmesi: ...................................................................................................... 18
8.2.3. 2. noktadaki toplam normal gerilme ......................................................................................................... 19
8.2.4. 2. noktadaki toplam kayma gerilmesi: ...................................................................................................... 19
8.3.
Asal gerilmeler .............................................................................................................................................. 20
8.3.1. Analitik çözüm.......................................................................................................................................... 20
8.3.2. Grafik çözüm ............................................................................................................................................ 21
Yatık U-profilin analizi ........................................................................................................................................... 22
9.
9.1.
9.2.
9.3.
9.4.
10.
Kesit değerleri................................................................................................................................................ 22
Kesitin çekirdeği............................................................................................................................................ 23
Verilmiş zorlamalar için nötr ekseni.............................................................................................................. 24
Verilmiş zorlamalar için max/min gerilmeler................................................................................................ 24
Yatık U-profilin analizi ...................................................................................................................................... 26
10.1.
Kesitteki kesme gerilmesi.............................................................................................................................. 26
10.1.1. Kesitte idealize edilmiş kesme gerilmelerinin dağılımı ............................................................................ 27
10.1.2. Kesme gerilmelerinin gerçek dağılımı ...................................................................................................... 28
10.2.
Torsiyon merkezi M ...................................................................................................................................... 29
11.
Yuvarlak kaval profilli çıkma kirişin analizi ...................................................................................................... 30
11.1.
Profilde kesit değerleri................................................................................................................................... 30
11.2.
1, 2 ve 3 numaralı noktalarda gerilmeler ....................................................................................................... 31
11.3.
Analitik ve grafik 1, 2 ve 3 numaralı noktalarda asal gerilmeler (Mohr dairesi)........................................... 33
11.3.1. Analitik ve grafik 1 numaralı noktada asal gerilmeler .............................................................................. 33
11.3.1.1. Analitik olarak 1 numaralı noktada asal gerilmeler ve yönleri........................................................ 33
11.3.1.2. Grafik olarak 1 numaralı noktada asal gerilmeler ve yönleri .......................................................... 33
www.guven-kutay.ch
12.
Kesiti asimetrik profil......................................................................................................................................... 36
12.1.
Ağırlık merkezi "S" ve torsiyon merkezi "M" nin koordinatları: .................................................................. 36
12.2.
Atalet momentleri J' ve J' ile deviasyon momenti C'' :.............................................................................. 36
12.3.
Ana ağırlık eksenleri y ve z vede atalet momentleri Jy ve Jz .......................................................................... 37
12.3.1. Analitik olarak .......................................................................................................................................... 37
12.3.2. Grafik olarak Mohr dairesiyle................................................................................................................... 38
12.4.
Kesitin çekirdeği:........................................................................................................................................... 38
12.5.
M' = 5 kNm için nötr ekseninin bulunması................................................................................................... 40
12.6.
M' = 5 kNm için A, B ve C deki x gerilmeler ............................................................................................. 40
12.7.
V' = 25 kN için D deki xy kayma gerilmesi ................................................................................................. 41
12.8.
Akma mukavemeti fy=235 MPa için moment M' nin maksimum değeri. .................................................... 41
13.
Mohr benzerliği, ortadan tek kuvvetle zorlanan klasik kirişte sehim ................................................................. 42
14.
Duvarın zorlanması ............................................................................................................................................ 43
14.1.
14.2.
15.
Kesit kuvvetleri.............................................................................................................................................. 43
Duvarın emniyetli en büyük yüksekliği......................................................................................................... 44
Asimetrik T-profili ............................................................................................................................................. 45
15.1.
1, 2 ve 3 numaralı noktalardaki gerilmeler .................................................................................................... 45
15.1.1. 1,2 ve 3 numaralı noktalardaki gerilmeler. ............................................................................................... 46
15.1.2. 1,2 ve 3 numaralı noktalardaki asal normal gerilmeler ve yönleri ............................................................ 47
15.2.
x ve xz , yx gerilmelerinin değerleri ile dağılım diyagramları .................................................................... 48
15.2.1. Normal gerilme x in değerleri ve dağılımı .............................................................................................. 48
15.2.2. xz , yx gerilmelerinin değerleri ve dağılımı ............................................................................................. 48
16.
Mohr benzerliği, çok yataklı sistem ................................................................................................................... 50
www.guven-kutay.ch
www.guven-kutay.ch
G e r i l m e l e r ve M o h r d a i r e s i
5
1. Eğik kaynaklı plakanın gerilme analizi
Şekil 1 ile görülen plaka şu şekilde zorlanmaktadır.
Bilinenler: x =  40 MPa
z =  120 MPa
xz = zx =  60 MPa
 = 38
X

a
Ka
a
x
işi
dik
ak
yn
t



zx
n
Arananlar: Grafik ve analitik olarak:
Z


1 X ve Z gerilmelerinin Mohr dairesinde gösterilmesi,

xz
z
2 Asal gerilmeler ve yönleri ile maksimum gerilmeler,
Şekil 1, Eğik kaynaklı plaka
3 Kaynak dikişindeki gerilmeler.
Çözüm:
Mohr dairesinin konstrüksiyonunun bitmiş hali Şekil 1-a ile görülmektedir. Kabul edilen apsisi ,
ordinatı  olan bir koordinat sistemi ele alınır.
Bilinen değerlerle X ve Z noktaları ölçekli koordinat sisteminde işaretlenir.
Burada X(x, xz) = X(40, 60) ve Z(z, zx) = Z(120, 60) değerindedir.

[MPa]
in
sen
-t ek
max
100
tn
80
/
e/
N (n, tn )
 
Kutup P
tn 
n
Z (z, xz )
x-eksenine //
60


1
xz
2. ek
sen
20
2(2, )
40
40
20
20
M=
n
se
ine
80

//
zx
nt
T (t , nt )
nt  t
X
1
xz
x zx
xz
2
x
1
z
120
ek

z
100
1
60
X
x
zx
80
2
40
(x, 
zx )
z
1(1, )  [MPa]
t
60
x + z
Z
n-
1 . ek
sen
z-eksenine //
n
2

40
x
2 
1
2
1
tn
t
n
nt
Şekil 1-a, Eğik kaynak dikişli plaka için Mohr dairesi
www.guven-kutay.ch
t
nt
t n
tn
n
Alıştırma Çözümleri
6
Mohr dairesi çizilir:
Mohr dairesinin
merkezi M
  z
M x
2
Mohr dairesinin
yarıçapı R
 x  y 
  2xy
R  

2


M
2
 40  120
 40
2
M (40 ; 0)
2
  40  120 
2
R 
  (60)
2


R  100,0 mm
Aranan değerler Şekil 1-a dan okunur
1  140 MPa
max  100 MPa
n  1 MPa
tn  92 MPa
2  60 MPa
1  109
t  78 MPa
nt  92 MPa
Bu değerler analitik olarakta hesaplanır.
Asal normal gerilmeler : 1 > 2
2
 x   y 
  z
  2zx
1, 2  x
 

2
2


1  140 MPa
2
 40  120
  40  120 
2
1, 2 
 
  (60)
2
2


 2  60 MPa
Asal gerilme yönü 1
tan 21 
2  xz
 x  z
tan 21 
2  (60)
 0,75 1 = 18,4 + 90
 40  120
1  108,4
Maksimum kayma gerilmesi max
2
 x   y 
  2xy
max  

2


2
  40  120 
2
max  
  (60)
2


max  100 MPa
Kaynak dikişi a-a daki gerilmeler:
x = 40 MPa
z = 120 MPa
Önce burada   90  
n için
xz = zx = 60 MPa
 = 52
 = 38
bulunur.
n   x  cos 2   z  sin 2   zx  2 sin  cos 
n  (40)  cos 2 52  120  sin 2 52  (120)  2  sin 52  cos 52
n  1,136 MPa
t için
 t   x  sin 2   z  cos2   zx  2 sin  cos 
 t  (40)  sin 2 52  120  cos2 52  (60)  2  sin 52  cos 52
 t  78,864 MPa
tn = nt için

 tn  nt   z   x   sin  cos   zx  cos 2   sin 2 


 tn  nt  120  40  sin 52  cos 52  (60)  cos 2 52  sin 2 52
 tn  nt  92,138 MPa
44_04_4_alistirma-cözümleri.doc
www.guven-kutay.ch

7
2. Ölçülen değerlere göre gerilme analizi
c
b
d
c
Şekil 2 ile görülen bir düzlemde a, b, c yönlerinde
ölçülen esnemelere göre gerilme analizi.
b
°
90
P
Bilinenler: a = 2,50 ‰
b =  0,40 ‰
c = 0,40 ‰
a a
60
90 °
°
a
0°
12
Arananlar:
c
b
d
Grafik ve analitik olarak ana esnemeler ve yönleri ile d
yönündeki esneme d .
Şekil 2, Ölçülen değerler
Çözüm:
Koordinatların transformasyonu ile (Mohr analojisine göre) burada;
n   n
;
x  x
y  y
;
ve
 xy   xy / 2 kabul edilir ve
n   x  cos 2    y  sin 2    xy  2 sin  cos 
denklemine analog olarak
 n   x  cos 2    y  sin 2    xy  sin  cos 
denklemi yazılır (teoriye bakınız.)
Problemi şüpheye düşmeden çözmek için önce bilinenler ve bildiklerimizi çizip görelim:
d
c
c
b
c = 0,4 % 0
bb
b =  0,4 % 0
°
90
P
a
30°
30°
dd
= 2,5 %0
a=x
60
°
90°
a
a
a = 2,50 ‰
a = 0
b =  0,40 ‰
b = 120
c = 0,40 ‰
c = 60
cos 2 a   1
sin 2 a   0
cos2 b   0,25
sin 2 b   0,75
cos 2 c   0,25
sin 2 c   0,75
sin a  cosa   0
0°
12
cc
b
y=d=
aa
sin b  cosb   0,433
c
d
Şekil 2a, Ölçülen değerler ve bilinenler
sin c  cosc   0,433
Koordinatların transformasyonu üç bilinmiyen için yazalım:
2
2
a  cos a  sin a  sin a  cosa    x 
  
   2
2
 b   cos b  sin b  sin b  cosb     y 
   cos 2   sin 2   sin   cos   
c
c
c
c   xy 
 c  
Buraya bildiklerimizi yerleştirip x, y ve xy değerlerini bulalım.
www.guven-kutay.ch
8
0
0   x 
 2,5   1

 
  
 0,40  0,25 0,75  0,433    y 
 0,40  0,25 0,75 0,433   

 
  xy 
 x  2,500 ‰
 y  0,833 ‰
Bu denklemle:
 xy  0,924 ‰
bulunur.
Burada deformasyon tensörü:

 x

  yx

 2
 xy 

2    2,500 0,462 
  0,462  0,833 
y  

2.1. Grafik çözüm
Ordinatı /2 [‰] ve apsisi  [‰] olan Mohr dairesinin koordinat sistemimizi çizelim ve X(x,yx/2)
ile Y(y,xy/2) noktalarını işaretleyelim. Bu noktaları birleştirince apsisi kestiği nokta Mohr
dairesinin merkezidir ve dairenin yarı çapı MX kadardır.
(% 0)
2
y,
bb
)
B (  b 
bb 
0,895
1
2,56
X (  x 
yx )
)
A (  a 
aa 
dd, a
1
0,833
1
Y (  y 
xy  )
)
D (  d 
dd 
1 1 30°
0,462
2
1 (  1  )
7,75°
x,
2
2 (  2  )
1
aa, d
2
3
 (% 0)
P
30°
Kutup
)
2 C (  c 
cc 
cc
Şekil 2b, Mohr dairesi
X ve Y noktalarından ordinat ve apsise çizilen paralellerin Mohr dairesi ile ortak kesiştikleri nokta
kutup noktası P dir.
Şekil 2b den okunanlar:
1  2,56 ‰ , 2  0,895 ‰ , 1  ,
d  0,833 ‰ , d-d/2  0,462 ‰
www.guven-kutay.ch
9
Analitik çözüm:
1 > 2
Ana esnemeler:
1,2 
x  y
2
2
  x   y    xy 
 

 
 

 2   2 
2
2
2,5  0,833
 2,5  0,833   0,924 
1,2 
 
 

2
2

  2 
2
1  2,563 ‰
2  0,896 ‰
Ana esneme yönü 1 : x ve 1 eksenleri arasında saat zönü + pozitif olarak.
tan 21 
 xy
x  y

0,924
 0,277
2,5  0,833
d-d yönünde esneme:

1  7,75
x ve d eksenleri arasındaki açı d = 90 dir.
d   x  cos 2 d   y  sin 2 d   xy  sin d  cos d   y
Burada kontrolü yaparsak:




  d  d   y   x  2  sin d  cos d   xy  cos 2 d  sin 2 d    xy
d  0,833 ‰

www.guven-kutay.ch

 d d  0,924 ‰
10
3. Kayma zorlanmasına göre gerilme analizi
x

Şekil 3 ile görülen cisim parçasının gerilme analizi.

xz

z
Bilinenler: zx = xz =  30 MPa

zx
Arananlar:
Grafik ve analitik olarak kutup noktası, asal gerilmeler
ve yönleri.
Şekil 3, Cisim parçasının zorlanması
x
()
1 =135°
2
z

1
SYT

xz


zx
Z Pol
30
// 1
2
2
() SY

//x
1 =135°
// 2

1
30
30
1

X
30
1 =135°
2
2
1 = 30
 2 = 30
1
1
1
1
//z
2
2

Şekil 3 a, Grafik çözüm, SY = saat yönü, SYT = saat yönünün tersine
3.2. Analitik çözüm
Bilinen değerler :
zx  xz  30MPa
x  z  0
2
Asal gerilmeler:
  z
   z 
2
1,2  x
  x
   zx
2
2


1  30 MPa
1, 2    zx  30
 2  30 MPa
Asal gerilme yönü 1 :
tan 21 
2   zx
2  (30)

x  z
0
2. 1 = 90°
1 = 45°
Analitik olarak asal gerilme yönü açısı 1 in değeri tam olarak hesaplanamaz. Hakiki açı büyüklüğü
buradada görüldüğü gibi grafik çözümde görülür.
www.guven-kutay.ch
11
4. Normal kuvvet zorlanmasına göre gerilme analizi
x
Z

z
z = x =  30 MPa
Bilinenler:
X

Arananlar:
ve yönleri.
x
Z


z
X

0
X 1Z
2 30

0
1 = 30
 2 = 30
1 = 0°
Şekil 4 a, Grafik çözüm
Bilinen değerler :  x   z  30 N / mm 2
 xz   zx  0
2
Asal gerilmeler: 1,2 
 x  z
   z 
2
  x
   zx
2
2


1, 2 
2
 30  30
  30  30 
 
 0
2
2


1  30 N/mm2
1,2  30
 2  30 N/mm2
tan 21 
2   zx
20

 x   z  30  30
2. 1 = 0°
1 = 0°
Burada tipik "hidrostatik durum" var.
Mohr dairesi burada bir nokta olarak görülür, daire diye bir şey yoktur. Cisim nasıl döndürülürse
döndürülsün gerilmeler değişmez sabit kalır.
www.guven-kutay.ch
12
5. Bileşik zorlanmaya göre gerilme analizi
Z
x



z =  20 Mpa
x =  20 Mpa
zx = xz = 10 MPa
Bilinenler:
xz
X

z

Arananlar:

zx
ve yönleri.
Z
x
1  13,28°
2


1
1

xz

X

2 z
1
2
1
//z

2
max
1
1
2
2
10
2
Z
//x
22,36
13,2
8°

X 1
1  13,28°
1


zx
22,36
Pol
1 = 22,36
 2 = 22,36
1
= 13,28°
Bilinen değerler:  x  20  MPa
;
z  20  MPa ;
2
  z
   z 
2
Asal gerilmeler: 1,2  x
  x
   zx
2
2


 xz   zx  10 MPa
2
20  20
 20  20 
2
1, 2 
 
  10
2
 2 
1  22,36 MPa
  500  22,36
 2  22,36 MPa
tan 21 
2   zx
2  10

 0,5
 x   z 20  20
1 = 13,283°
2.1 = 26,565°
2. 1 = arctan 0,5
www.guven-kutay.ch
13
6. Eğik kesitte gerilme analizi
 28°
300
a
b
N
N x
300
c
y

c
Şekil 6 ile görülen çekmeye zorlanan tahta kiriş b-b
kesitinde yapıştırılarak birleştirilecektir.
Bilinenler: z =  20 Mpa
x =  20 Mpa
zx = xz = 10 MPa
b
Arananlar: analitik ve grafik olarak:
1. a-a kesitinde gerilmelerin durumu,
2. b-b kesitinde gerilmelerin durumu,
3. Yapıştırıcının çekme mukavemeti EM = 1
MPa ise c-c kesitinin açısı  nın değeri.
a
z
Şekil 6, Çekmeye zorlanan tahta kiriş
 28°
y
n = 28°
u1
c
b

a
z
z u2
v1 t

m
/mm N/m
6 N ,237
1
3
6
,
=
=3
n
tn

B
3,316
C1
2,645
Z
// x
C1
h2= 2
h1= 1
C2
max
6,237


X = Pol

// b-b
=28°
h2= 2
C2
2
/mm
6N
1
3
,
2
=3
nt
/mm
N
7
,23
=6
t
//z



tn
2
2


N x
N
x
v2
300
a
b
// x
 min
300
c
 =0

zx
X=
 =0
xz
 =0
Z
2
8 N/mm
2
= 2,
C164=51N/mm 2
m 2
N/m
645 N/mm
,
2
=1
=
 
tn
C2
N/m 2
m
Bilinen değerler: N = 720 kN ve Şekil 6 ile verilmiş olan ölçüler.
a) a-a kesitinde gerilme durumu
A  300  300  90  10 3 mm 2
Gerilme:
 x  720  10 3 / 90  10 3  8
www.guven-kutay.ch
 x  8 N/mm 2
14
b) b-b kesitinde gerilme durumu
 açısı biliniyor ve değeri:
 = 28°
XBZ üçgeninden;
x  h1 tan(90  ) und  x  x h1 tan 
x
h1  nt   tn 
tan   tab(90   )
B
h1= 1


Z
X
x
x
1  nt  3,31615 MPa
n , t 
x
x
nt
tan 
 t  6,23677 MPa
Şekil 6 b, Grafik çözüm
Eğiklik açısı:
  28 
Ana gerilme:
 t  6,24 MPa
Kayma gerilmesi:
nt  3,32 MPa
c) c-c kesitinde yapıştırma malzemesinin çekme mukavemet değerini (ft = 1 MPa) aşmayan 
açısının değeri
XC1Z üçgeninden;
C1
f t  h 2  tan  ve  x  f t  h 2  tan(90  )
h2= 2

Z

1
8
f
x
t
ft
x
X
  arctan
ft
1
 arctan
x  f t
7
1  69,295189  = min
Şekil 6 c, Grafik çözüm
Şekil 6 dan
 2  180  1
 2  110,704811 = max
Emniyetli " açısı iu değerlerin arasındadır:
max  f t  1 N/mm2
Maksimum ana gerilme:
Kayma gerilmesi:
( max ) 
1  69,3 <  <  2  110,7 
ft
1

tan(90  1 ) tan(90  69,295189)
www.guven-kutay.ch
( max )  2,645 N/mm2
15
7. Parçada esneme ve kayma analizi
a
x
Bilinenler:
Kare şekilli alanın kenarı "a" kadardır.
x-yönünde esneme büyüklüğü u = .cos  . (y/a) ,
y-yönünde esneme büyüklüğü v = .sin  . (y/a) dır.
a
dy
dx

v(y=a)
Şekil 7 ile görülen düzlem alanın esneme değerlerinin
analitik ve grafik bulunması.
y
u(y=a)
Şekil 7, Esneyen düzlem parçası
Arananlar: analitik ve grafik olarak:
1.  için genel esneme x, y ve kayma xz,
2.  = 60 için esneme x, y ve kayma xz,
3.  = 60 için asal esnemeler 1, 2 ile yönleri 1 ve 2.
Çözüm:
sin 60 
Genel olarak
3
 0,866
2
cos 60 
1
 0,5
2
değerindedir.
7.1.  için genel esneme x, y ve kayma xz
x 
u
x
u = .cos  . (y/a) olduğundan x-yönünde u = sabit değerdir ve
y 
v
y
v = .sin  . (y/a) dır.
 xy 
v u

x y
v
y
değeri
y 
  sin   y
ay
 xy  0  0,5 

a
y 

dır.

 sin 
a
dır.
v = .sin  . (y/a) olduğundan x-yönünde v = sabit değerdir
ve
u   cos   y

y
ay
x  0
v
0
y
dır.
u 
  cos 
y a

 xy 

dır.

 cos 
a
dır.
7.2.  = 60 için esneme x, y ve kayma xz,
 = 60 için x-yönünde esneme

x  0
 = 60 için y-yönünde esneme
 y  0,866 
 = 60 için kayma açısı
 xy  0,5 
www.guven-kutay.ch

a

a
16
7.3.  = 60 için asal esnemeler 1, 2 ile yönleri 1 ve 2.
7.3.1. Analitik
1,2 
2
2
2
 2xy 0  0,866   / a
 x  y 
 0  0,866   / a    


 
 
 

  4 
2
2

  4a 
 2 
x  y
2

a
1 
 32

a
4
1  0,933 
2 
 32

a
4
 2  0,067 
tan 21 
 xy
x  y

0,5   / a
0  0,866   / a
1x  15
tan 21  
1
3

a
 1  1
1x  a tan  

3 2

1  75
1  90  15
Bu durum grafik çözümde daha belirli gözükür.
7.3.2. Grafik çözüm
(% 0)
0,4
X (  x 
yx )
P
Kutup
0,2
1 = 75°
2 (  2  )
1 (  1  )
M
0,2
0,2
0,4
1-eksenine
 2 =0,0669
0,6
2-eksenine
Y (  y 
xy  )
0,4
Şekil 7-01,
Grafikten okunanlar (çizim programıyla):

a
;
1,0
 1 = 0,9329
0,2
1  0,9329 
0,8
 (% 0)
 2  0,0669 

a
;
1  75
www.guven-kutay.ch
17
8. Dik dörtgen kaval profilli çıkma kirişin analizi
B
b
t2
A
B
t1
1
y2
z1
1
2
y
h0
z2
x
y
h
2
Tt
H
Qx
x
A0
Qz
L1
D
z
C
z
b0
Şekil 8, Dik dörtgen kaval profilli kiriş
Şekil 8 ile şekli ve ölçüleri verilen dik dörtgen kaval profilin analizi.
Bilinenler:
Kesit değerleri:
B = 2000 mm
H = 2800 mm
z1 = 1200 mm
Q = 5 MN ; T = 20 MNm
;
b = 1600 mm
;
t2 = 200 mm
;
h = 2000 mm
;
t1 = 400 mm
;
z2 = 500 mm
;
y2 = 900 mm
Arananlar:
1. Kesit kuvvetleri
2. 1. ve 2. noktalardaki gerilme durumları,
3. Grafik ve analitik olarak 1. ve 2. noktalardaki asal gerilmeler ve yönleri.
Kabuller:
 Kesit ince cidarlı kabul edilecek,
 Burulma (Wölbtorsion) torsiyonu dikkate alınmayacak,
 Bredt formülü kullanılabilecek.
Çözüm:
8.1. Kesit kuvvetleri
T Ah= Q
MA= Q.L
Q
Bağlantı kesitinde gerilmeler
T
Av = Q
SCD
Q
N-Dağılımı
+
V-Dağılımı
+
T-Dağılımı
+
+
+
+

+
M-Dağılımı

Şekil 8 a, Kesitte dağılımlar
www.guven-kutay.ch
18
8.2. 1. ve 2. noktalardaki gerilme durumları
8.2.1. 1. noktadaki toplam normal gerilme
1. noktadaki çekme gerilmesi:
A P  Bp  H p  b p  h p
z1
t1
1
h
H
Kesitin alanı:
B
b
t2
 Nx1 
2
y
Nx
Ap
 Nx1  2,083 MPa
1. noktadaki eğilme gerilmesi:
x
Bağlantı kesitindeki eğilme momenti:
M y   N x  L1
Şekil 8 b, 1. noktadaki normal gerilme
Jy

z1  0,5  h p  t1
Jy 
Bağlantı kesitinin atalet momenti:
My
M y  20 MNm
1. noktanın ağırlık merkezine mesafesi:
z
My1 
A P  2400 mm2

z1  1,2 m
Bp  H3p  b p  h 3p
J y  2,592 m 4
12
My1  9,259 MPa
 z1
1. noktadaki toplam normal gerilme:
 x1  11,343 MPa
 x1   Nx1  My1
h
H
z1S
1
y
Sz1
x
z
Statik moment alanı ağırlık merkezinin z mesafesi:
z1S  0,5  h P  0,75  t1
z1S  1,3 m
Statik moment alanının Vz kuvvetine dik genişliği:
Şekil 8 c, 1. noktadaki kayma gerilmesi
h1S  0,5  t1
Syz1  z1S  A1S
h1S
t1
8.2.2. 1. noktadaki toplam kayma gerilmesi:
1. noktadaki kesme gerilmesi:
Vz  Syz1
B
 xz1 
b1S
b1S  J y
t2
b
y-eksenine göre statik moment:
h1S  0,2 m
b1S  Bp  t 2
b1S  1,8 m
A1S  b1S  h1S
A1S  0,36 m 2
Bu değerlerle y-eksenine göre statik moment: Syz1  1,3  0,36
Syz1  0,468 m3
5  103  0,468
 xz1 
1,8  2,592
xz1  0,502 MPa
Bredt kesit alanı:
www.guven-kutay.ch
19
A0  4,32 mm2
A 0  h 0  b0  2,4  1,8
 t1 
1. noktadaki torsiyon gerilmesi:
T
20  109

2  A0  t1 2  4,32 106  400
 t1  5,787 MPa
1. noktadaki toplam kayma gerilmesi:
1x  5,809 MPa
1x  2xz1  2t1
Kayma gerilmeleri birbirlerine dik. Hesaplar için torsiyon momenti "1 = t1" i kabul edelim.
1  5,787 MPa
8.2.3. 2. noktadaki toplam normal gerilme
t2
t1
z2
h
 Nx 2 
1
2
H
2. noktadaki çekme gerilmesi:
B
b
Nx
Ap
 Nx 2  2,083 MPa
2. noktadaki eğilme gerilmesi:
2. noktanın ağırlık merkezine mesafesi belli:
y2
z 2  500 mm
y
x
My 2 
My
My 2  3,858 MPa
 z2
Jy
2. noktadaki toplam normal gerilme:
 x 2  5,941 MPa
 x 2   Nx 2  My 2
z
Şekil 8 d, 2. noktadaki normal gerilme
8.2.4. 2. noktadaki toplam kayma gerilmesi:
2. noktadaki kesme gerilmesi:
Vz  Syz2
B
 xz 2 
b1S
bt 2  J y
t2
b
y
x
St m
Flm
z2S
h
H
t1
S yz2  z F1m  A F1  zStm  ASt
z
Şekil 8 e, 2. noktadaki kayma gerilmesi
z F1m  0,5  h P  t1 
z F1m  1,2 m
A F1  t1  B p
A F1  0,80 m 2

zStm  0,5  0,5  h p  z 2S


ASt  2  t 2  0,5  h p  z 2S
b t 2  2  t 2  2  0,2

zStm  0,750 m
ASt  0,20 m 2
b t 2  0,4 m
Bu değerlerle y-eksenine göre 2. nokta için statik moment:
Syz 2  1,110 m3
Syz 2  1,2  0,8  0,75  0,2
www.guven-kutay.ch
20
zy 2 
5  103  1,11
0,4  2,592
zy 2  0,502 MPa
t 2 
2. noktadaki torsiyon gerilmesi:
T
2  A0  t 2
 t 2  11,574 MPa
2. noktadaki toplam kayma gerilmesi:
2  16,927 MPa
2  2zy 2  2t 2
8.3. Asal gerilmeler
8.3.1. Analitik çözüm
Yukarıda hesaplanan değerlere göre 1. noktadaki asal gerilmeler ve yönü:
 y1  0 MPa
 x1  11,343 MPa
1 / 1,2 
 x1   y1
2
1  5,787 MPa
2
2
  x1   y1 
11,343  0
 11,343  0 
  12 
 

 5,787 2



2
2
2




11  13,774 MPa
1. noktadaki asal gerilmeler:
Asal gerilme yönü 11
:
2. 11 = 0,795
tan 211 
2  1
2  5,787

 x1   y1 13,774  2,431
12  2,431 MPa
2. 1 = arctan 1,020
11 = 22,789°
11 = 0,3977 rad
Yukarıda hesaplanan değerlere göre 2. noktadaki asal gerilmeler ve yönü:
 y 2  0 MPa
 x 2  5,941 MPa
2 / 1,2 
 x 2   y2
2
2
2
 x 2   y2 
5,941  0
 5,941  0 
2
  22 
 


  16,927

2
2
2




2. noktadaki asal gerilmeler:
Asal gerilme yönü 21:
2. 21 = 1,397
2  16,927 MPa
tan 221 
21  20,156 MPa
2  2
2  16,927

 x 2   y 2 20,156  14,215
2. 21 = arctan 5,698
21 = 40,023°
21 = 0,699 rad
22  14,215 MPa
www.guven-kutay.ch
21
8.3.2. Grafik çözüm
1. noktadaki asal gerilmeler ve yönü:
// z
1
2

max
x
1
 x1  11,343 MPa
x1
zx
 y1  0 MPa
X(x1, 1 )
1 = 6,289
z
1  5,787 MPa
// 2
// 1
2
1
 2 = 2,797
1
1
1
// z-Achse
2

Bu değerlerle Mohr dairesi
çizilir ve şu değerler okunur:
x1= 11,343  1 = 14,139
10
1

M=5,6715
1
 1 = 23,977°
xz
// x-Achse
// x
11  11,777 MPa
1
P Kutup
1
Z
12  2,431 MPa
2
1
x
2
1
1
11  22,789
1
z
2
Şekil 8 f, 1. nokta için Mohr dairesi
2. noktadaki asal gerilmeler ve yönü:
// z
1
2
 x 2  5,941 MPa
x2

x
 y 2  0 MPa
zx


 2 = 16,927 max
1
z
X(x2, 2 )
2  16,927 MPa
10
2
Bu değerlerle Mohr dairesi
çizilir ve şu değerler okunur:
// 2
1
// 1
2
 2 = 14,215
2
2
1 = 40,03°
xz
// x
x2= 5,94
20
2 M = 2,97
// z-Achse
10
2
22  14,215 MPa
2

1
1
Z
// x-Achse
21  20,156 MPa
1 
 1 = 20,156
21  40,03
x
P Kutup
2
z
1
2
1
1
Şekil 8 g, 2. nokta için Mohr dairesi
Grafik çözüm elektronik beyinle çizildiğinden sonuçlar analitik sonuçlar kadar doğrudur.
www.guven-kutay.ch
22
9. Yatık U-profilin analizi
Şekil 9 ile ölçüleri verilen yatık U-profilin analizi.
2000
1800
200
Bilinenler:
400
y
2000
2800
Kesit değerleri:
Nx = 8 MN ; My =  MNm ; Mz =  MNm
Arananlar:
400
1. Kesit değerleri: Kesit alanı A,
Ağırlık merkezi O,
Ana atalet momentleri Iy ve Iz ,
2. Kesitin çekirdeği,
3. Nötr çizgisi (Nötr ekseni)
4. Nx ; My ; Mz ye göre max ve min gerilmeler.
Şekil 9, Yatık U-profil
Çözüm:
9.1. Kesit değerleri
Kesit alanı A:
2000
y'
A  2  A1  A 2  2  2000  400  2000  200
200
S1
x'
A1
400
1800
A  2  106 mm2
S2
S x
y
a2
z'S 
A2
A1
y'S
a1
z
 z'i Ai
 Ai
Burada parça simetrik olduğundan;
z'S  1400 mm
400
S1
2000
2800
Ağırlık merkezi "S":
y'S 
z'
 y'i Ai  2  1000  2000  400  100  2000  200
 Ai
2  106
y'S  820 mm
Şekil 9-01, Kesit değerleri
Ağırlık merkezinin koordinatları S (y'S , z'S) = S (820 , 1400)
Atalet momentleri "Jy ve Jz":
Jy 
B  H3 b  h 3 2000  28003 1800  20003



12
12
12
12
Steiner' e göre:

J z   J zi0  a i2  Ai

 400  20003
 2000  2003
Jz  2  
 1802  2000  400  
 7202  2000  200


12
12


J y  2,459 1012 mm4
www.guven-kutay.ch
J z  0,794 1012 mm4
23
9.2. Kesitin çekirdeği
z
1  2A  z 
iy
Ana koordinat eksenlerine için nötr ekseni  x  0
Ana atalet radyusları:
i 2y 
Jy
A

2,459 1012
2,0  10
yA
i 2z
y0
i 2y  1,229 106 mm2
6
J z 0,794 1012


A
2,0  106
Ana eksenlere paralel nötr eksenleri:
i z2  0,397 106 mm2
i 2z
4
3
1
1
z'A(2)
A2
A3
y
z'A(1)
A4
A1
2
2
y'A(3)
y'A(4)
z
4
3
Şekil 9-02, Kesit çekirdeği
y-eksenine paralel nötr ekseni
y-ekseni ile
kesişme noktası:
z-ekseni ile
kesişme noktası:
P (yP =  , 0)
Q (0 , zQ)
z-eksenine paralel nötr ekseni
i2
yA   z  0
yP
zA  
P (yP , 0)
i 2y
Q (0 , zQ = )
zQ
i2
yA   z
yP
zA  
i 2y
zQ
0
Nötr eksenlerinin noktalarının koordinatları:
1-1 kenarı için:

P (yP , 0) = ( , 0)
Q (0 , zQ) = (0 , -1400)
2-2 kenarı için:
P (yP , 0) = ( , 0)
Q (0 , zQ) = (0 , 1400)



yA (1)
i 2z
0,397 106


0
yP

i 2y
z A (1)
1,229  106


 878mm
zQ
 1400
yA(2)
i 2z
0,397 106


0
yP

z A ( 2)
www.guven-kutay.ch
i 2y
1,229  106


  878mm
zQ
1400
24
3-3 kenarı için:
P (yP , 0) = (-820 , 0)
Q (0 , zQ) = (0 , )
4-4 kenarı için:
P (yP , 0) = (1180 , 0)
Q (0 , zQ) = (0 , )

i2
0,397 106
y A ( 3)   z  
 484mm
yP
 820

z A ( 3)  

i2
0,397 106
yA(4)   z  
  336mm
yP
1180

z A ( 4)  
i 2y
zQ
i 2y
zQ


1,229 106
0

1,229  106
0

Eğer Nx (1) de etkiliyse, nötr ekseni (sıfır çizgisi) üst kesit kenarı 1-1 de dir, v.b..
9.3. Verilmiş zorlamalar için nötr ekseni
Verilmiş zorlamalar Nx = 8 MN ; My =  MNm ; Mz =  MNm için nötr ekseni (sıfır çizgisi);
x 
Nx My
M

 z  z  y  0 formülünü ele alıp değerleri yerleştirelim:
A
Jy
Jz
12 109
 2 109


z

y 0
2 106
2,459 1012
0,794  1012
buradan nötr ekseni (sıfır çizgisi) nin formülü bulunur.
x 
 8 106
 4  4,880 103  z  2,519 103  y  0
Burada:
y = 0 olursa

z = 820 mm,
z = 0 olursa

y = 1588 mm
olur.
9.4. Verilmiş zorlamalar için max/min gerilmeler
Burada önce normal kuvvet "Nx" in koordinatlarını bulalım
M y  N x  z Nx
250
1588
MP
a


min= 
12,
9
Nx
x
820
M y+
My

12 109
N x  8 106
z Nx  1500 mm
M z   N x  yAger
y Nx  
1400
S ıf
ı
nöt r çizg
r ek isi
sen
i

Mz


n
y
1500
1400
Pü
z Nx 
+
Pa
eşitliğinden
eşitliğinden
Mz
 2 109

Nx
 8 106
y Nx  250 mm
bulunur.
n

=
820
ma 5,
x 8M
Pa
z
1180
Şekil 9-03, Nötr ekseni ve gerilmeler
Verilmiş zorlamaları, nötr ekseni (sıfır çizgisi)
ni ve Nx i çizelim, Şekil 9-03.
Nötr eksenine en uzak noktaların koordinatları:
Pa (1180 , 1400) ve Pü (820 , 1400)
www.guven-kutay.ch
25
Bu noktalardaki normal gerilmeler:
 x ( Pa ) 
Nx M y
M

 z Pa  z  y Pa  4  4,880 103 1400  2,519 103 1180
A
Jy
Jz
 x ( Pa )  5,8 MPa
 x ( Pü ) 
Nx M y
M

 z Pü  z  yPü  4  4,880 103 1400  2,519 103  820
A
Jy
Jz
 x ( Pü )  12,9 MPa
www.guven-kutay.ch
26
Yatık U-profilin analizi
10.
2000
1800
Şekil 10 ile ölçüleri verilen tahtadan yatık U-profilin
analizi.
200
900
400
y
1
Bilinenler:
2000
2800
Kesit değerleri:
Vz = 0,3 MN
Arananlar:
400
Vz nin zorlamasından oluşan:
1
2
3
4
z
Şekil 10, Yatık U-profil
Kesitteki kesme gerilmesi,
1 numaralı noktada oluşan kesme gerilmesi,
Sıfır çizgisi (Nötr ekseni)
Nx ; My ; Mz ye göre max ve min gerilmeleri.
Çözüm:
10.1. Kesitteki kesme gerilmesi

Kesitteki kesme gerilmesi
Vz  SyPi
t Ku  J y
Burada y-eksenine göre atalet momenti:
Jy 
B  H3 b  h 3 2000  28003 1800  20003



12
12
12
12
J y  2,459 1012 mm4
Hesapları kolaylaştırmak için kesiti ince cidarlı kabul edelim.
zP
SyPi   z  b Pi  dz
zO
Alt kuşakta kesme gerilmesi:
zO = 0 ise y-eksenine göre statik momentin
maksimum olduğunu her zaman hatırlayalım:
2000
Sy,max  Sy( z O 0)
Şekil 10-01 ile alt kuşakta kesme gerilmesinin
statik momentinin nasıl hesaplanacağı görülür.
O x
A (y)
P
z
t Ku
Statik moment y değeri ile orantılıdır ve y nin
maksimum değeri dikmenin ortasına kadardır.
zO= 1200
y
Sy  A ( y)  zO  t Ku  y  zO
P1
y
Smax  t Ku  y max  zO
ymax=1900
Şekil 10-01, Alt kuşakta kesme gerilmesi
Burada b ve zS sabit olduğundan ve z lineer
arttığı için yx de lineer olarak dağılır.
www.guven-kutay.ch
zO  1200 mm
t Ku  400 mm
;
;
27
y max  1900 mm
SP1 max  400  1900  1200  0,912  109 mm3
V S
P1 max  z P1 max
t Ku  J y
P1 max 
0,3  106  0,912  109
400  2,459  1012
SP1 min  400  0 1200  0
 0,278 MPa
V S
P1 min  z P1 min
t Ku  J y
P1 min  0
Burada tKu ve zO sabit olduğundan kesme gerilmesi doğrusal olarak büyür.bkz Şekil 10-04.
Üst kuşaktada dağılım simetriden dolayı aynıdır.
10.1.1. Kesitte idealize edilmiş kesme gerilmelerinin dağılımı
P2 noktasında kesme gerilmesi, P2 noktası dikmede kabul edilirse:
bU
SP 2  A P 2  z P 2  t Ku  b Ku  z P 2
z P 2  1200 mm
;
t Ku  400 mm
t z  200 mm
y
O x
A P2
SP 2  400 1900 1200  0,912 109 mm3
tz
V S
  z P2
tz  Jy
z P2
z
t Ku
P2
bKu
P 2  zx min 
Şekil 10-02, P2 noktasında kesme gerilmesi
0,3  106  0,912  109
200  2,459  1012
 0,556 MPa
P3 noktasında kesme gerilmesi:
bU
SP3  A1  z1  A 2  z 2  t Ku  b U  z1  t z  h 2  z 2
SP1  400  2000  1200  200 1000  500
SP1  1,060  109 mm3
P3
h2
A1
tz
z
A2
V S
  z P3
tz  Jy
z1
O x
z2
y
t Ku
P3  zx max 
bU
www.guven-kutay.ch
0,3 106  1,060  109
200  2,459  1012
 0,647 MPa
28
0,278 MPa
0,278 MPa


yx
yx
0,556 MPa
0,059 MPa
0,586 MPa
0,631 MPa
y
O x
zx
0,631 MPa

O x zx
y
zx max
0,647 MPa
+

zx max
0,647 MPa
+
z
z
yx
0,586 MPa
yx
0,556 MPa
0,059 MPa
+
+
0,278 MPa
0,278 MPa
a) İdealize edilmiş kesme gerilmesinin dağılımı
b) Kesme gerilmelerinin gerçek dağılımı
Şekil 10-04, Kesitte kesme gerilmelerinin dağılımı
Kesme gerilmesi  pozitif, eğer düzlem dikmesi ve  eksenin pozitif yönünde ise.
10.1.2. Kesme gerilmelerinin gerçek dağılımı
bU
SP 4  A P 4  z P 4  t Ku  b U  z P 4
z P 4  1400 mm
y
t Ku  0 mm
t z  2000 mm
O x
A P4
SP 4  0  2000 1200  0 mm3
z P4
z
V S
P 4  zx  z P 4
tz  Jy
t Ku
P4
bU
;
P 4  zx  0 MPa
P5 noktasında kesme gerilmesi, P5 noktası dikmede kabul edilirse:
SP5  A P5  z P5  t Ku  b U  z P5
bU
z P5  1200 mm
;
t Ku  400 mm
t z  200 mm
O x
SP5  400  2000  1200  0,960  109 mm3
tz
A P5
z P5
y
z
V S
  z P5
tz  Jy
P5
t Ku
bU
P 4  zx 
www.guven-kutay.ch
0,3 106  0,960  109
200  2,459 1012
 0,586 MPa
29
P6 noktasında kesme gerilmesi, P6 noktası kuşakta kabul edilirse:
SP 6  A P 6  z P6  t Ku  b U  z P 6
bU
z P6  1200 mm
;
t Ku  400 mm
t z  b U  2000 mm
O x
y
SP 6  400  2000  1200  0,960  109 mm3
z P6
A P6
z
V S
  z P6
bU  J y
P6
t Ku
b U= t z
P6  zx 
0,3  106  0,960  109
2000  2,459  1012
 0,0586 MPa
SP 7  A1  z1  A 2  z 2  t Ku  b U  z1  t z  h 7  z 2
z1  1200 mm
t Ku  400 mm
;
bU
t Ku
A1
O x
y
b U  2000 mm
z 7 h7
z2
z1
A2
;
t z  200 mm
z 2  750 mm
;
SP 7  400  2000  1200  200  500  750
h 7  500 mm
P7
tz
SP 7  1,035  109 mm3
V S
  z P7
tz  Jy
z
P7  zx 
0,3  106  1,035  109
200  2,459  1012
 0,631 MPa
10.2. Torsiyon merkezi M
Torsiyon merkezi M den geçen RM kuvveti, RK ve RD
kuvvetlerinin toplamına eşit karşı koyma kuvvetidir.
Kuşaktaki kesme gerilmesi için topla kuvvet:
R K  0,5   yx max  b Ku  t Ku
bU
h = 2400
RK
RM
O x
y
z
RD
M
RK
720
m
Şekil 10-09, Torsiyon merkezi M
m
0,1057 106  2400
0,3 10
6
3
R K  0,5  0,278 1900  400  105,7 10 N
yx in doğrusal büyümesine göre.
Dikmedeki kuvveti, dikme alanının integrasyonunu
yapmadan, doğrudan profili etkiliyen çapraz kuvvet olarak
kabul ederiz. M noktasında momentlerin toplamı sıfır
olmalıdır.
R h
 M(M)  0  R D  m  R K  h  0  m  K
RD
m  846 mm
bulunur. Torsiyon merkezi M(y,z)=M(-1566,0)
Torsiyon merkezinin yeri yorlayan kuvvetlerle değil, profilin ölçüleriyle bağıntılıdır.
www.guven-kutay.ch
30
11.
Yuvarlak kaval profilli çıkma kirişin analizi
1
3
T
2
y
x
x
y
Q
t
z
z
L
D
Şekil 11, Yuvarlak kaval profilli çıkma kiriş
Şekil 11 ile görülen yuvarlak borunun analizi.
Bilinenler:
Yuvarlak boru:
Kesit değerleri:
Boru boyu:
Uçta zorlamalar:
219,1/6,3 (D=219,1; t=6,3) Çelik S235 (Akma mukavemeti Re=235 MPa)
Iy= 23,86.106 mm4 A = 4,21.103 mm2 Smax = 142,6.103 mm3
L=2m
Q = 20 kN
T = 20 kNm
Arananlar:
1. Profilde kesit değerleri (kendi ağırlığı dikkate alınmayacak),
2. 1, 2 ve 3 numaralı noktalarda gerilmeler,
3. Analitik ve grafik 1, 2 ve 3 numaralı noktalarda asal gerilmeler (Mohr dairesi)
Çözüm:
11.1. Profilde kesit değerleri
MA= Q.L
T
SCD
T
Q
Av = Q

+
+
M-Dağılımı
V-Dağılımı
T-Dağılımı
Şekil 1101, Kesitte dağılımlar
www.guven-kutay.ch
31
11.2. 1, 2 ve 3 numaralı noktalarda gerilmeler
Bağlantı kesitinde normal gerilme:
Şekil 1101 ile görülen kesitte dağılımlara bakınca Nx, Mz, Vy değerlerinin sıfır olduğu ve bağlantı
kesitinde Q dan ötürü eğilme gerilmesinin oluşacağı bilinir. x-yönünde normal gerilme formülü:
x 
eg1
1

2, 3
1 numaralı noktada:
Nx ve Mz sıfır ve z = 219,1/2 olduğundan:
 x1 
x
y
Nx My
M

z  z y
A
Jy
Jz

My
Jy
z 
 40  106  219,1 


2 
23,86  106 
 x1  183,7 MPa
 eg
2 ve 3 numaralı noktada, z = 0 olduğundan:
z
x 2  0
 x 3  0 olur
ve
Şekil 1102, Eğilme gerilmesi
Bağlantı kesitinde kayma gerilmesi:
1
1
.t
 xz, max
zP
Q
3
zP
2
x
za
2, 3
y
x
za
y
x
t
z
z
z
Şekil 1103, Kesme gerilmesi
Bisquit formülü ile kesitteki kesme gerilmesini buluruz.
V  Szs 
 xz zs   z
bzs   J y
Ödevin bilinenleri:
Çapraz kuvvet:
Maksimum statik moment
z = 219,1/2 olduğundan
 xz 2 
2  6,3  23,86 106
xz  0
S1 =0 olur ve
2 ve 3 numaralı noktadalarda
20 103  142,6 103
zS = 0
Smax = 142,6 . 103 mm3
z = 0 olduğundan
 9,5 MPa
ve
Vz = 20.103 N
Smax = 142,6 . 103 mm3
 xz 3 
20  103  142,6  103
2  6,3  23,86 106
www.guven-kutay.ch
 9,5 MPa
olur ve:
olur.
32
Bağlantı kesitinde torsiyon gerilmesi:
Bilinenler ve kabuller:
 St.Venant-dönme torsiyonu,
 t/D küçük ince cidarlı kaval profil,
 T den oluşan cidar ortasında ve cidara eşit yayılmış,
 Normal gerilme x yok,
 Kayma gerilmesi akım .t sabit,
 Bredt formülü geçerli.
1
1
.t
2
x
y
3
x
x
za
2, 3
A0
T
y
zP
T
y
t
z
z
z
Şekil 1104, Torsiyon gerilmesi
St.Venant-dönme torsiyonu: T 
T
Wt
Bredt e göre Wt  2  A0  t
2
Bredt alanı:
T 
T
2  A0  t
2
Dt
 219,1  6,3 
3
2
A0    
  
  35,566  10 mm
2
2




T1 
T 2 
y
20  106
3
2  35,566  10  6,3
20  106
2  35,566  103  6,3
 44,6 MPa
T1
 44,6 MPa
x
T2
x
T3
x
z
T 3  
20  106
2  35,566  103  6,3
  44,6 MPa
z
www.guven-kutay.ch
33
11.3. Analitik ve grafik 1, 2 ve 3 numaralı noktalarda asal gerilmeler (Mohr dairesi)
11.3.1. Analitik ve grafik 1 numaralı noktada asal gerilmeler
1 numaralı noktada değerler ve elemanda gösterilmesi:
xy = 44,6 MPa
x
x1 = 183,7 MPa
x = 183,7 MPa
yx = 44,6 MPa
x = 183,7 MPa
y
y1 = 0
yx = xy = T = 44,6 MPa
yx = 44,6 MPa
xy = 44,6 MPa
Şekil 1105, 1 numaralı noktada değerler
11.3.1.1.Analitik olarak 1 numaralı noktada asal gerilmeler ve yönleri
1, 2 
x  y
2
2
2
 x   y 
183,7
 183,7 
2
2


 
  xy 
 
  44,6

2
2
 2 


1  194,0 MPa
2  10,3 MPa
2  xy
tan 21 
x  y

2  44,6
 0,486
183,7
1  12,95
11.3.1.2.Grafik olarak 1 numaralı noktada asal gerilmeler ve yönleri
y-eksenine //

[MPa]
x
yx
100
1
2. eksene //
X (183,7;44,6)
2

xy
x-eksenine //
1
R=
1
02,
1(1, )
M = 91,9
40
1
 [MPa]
1  194 MPa
Y(0;44,6)
2  10 MPa
P Kutup
2
1
1  12,95
x
1
2

2
y
Şekil 1106, 1 numaralı nokta için Mohr dairesi
Şekil 1106 dan
okunanlar:
200
5°
2(2, )
100
12,9
1. eks
ene //
40
www.guven-kutay.ch
1
1
34
xz = 54,1 MPa
x
x2 = 0
z
y2 = 0
zx = 54,1 MPa
zx = 54,1 MPa
zx = xz = xz(V) + T
= 9,5 + 44,6 = 54,1 MPa
xz = 54,1 MPa
1,2 
x  y
2
2
 x   y 
  2xy  0  0  54,12
 

2


1  54,1 MPa
2  54,1 MPa
tan 21 
2   xy
x  y

2  54,1

0
1  45

[MPa]
1
2
60
1.
s
ek
2. eksene //
e
en
40
//
 [MPa]
2(2, )
xz
1
Şekil 1106 dan
okunanlar:
1(1, )
1  54,1 MPa
40
60
x-eksenine //
z-eksenine //
Z (0;54,1) P
Kutup
2  54,1 MPa
1

zx
2
x
2
1
2
z
Şekil 1108, 2 numaralı nokta için Mohr dairesi
www.guven-kutay.ch
1
1
1  45
35
xz = 35,1 MPa
x
x3 = 0
zx = 35,1 MPa
z
y3 = 0
zx = 35,1 MPa
zx = xz = xz(V) + T
= 9,5  44,6 = 35,1 MPa
xz = 35,1 MPa
1,2 
x  y
2
2
 x  y 
  2xy  0  0   35,12
 

2


1  35,1 MPa
2  35,1 MPa
tan 21 
2   xy
x   y

2   35,1

0
1  45

60
(0;,1)
Z
P Kutup
1
40
20
2
x-eksenine //
(2, )
40
1(1, )
20
xz
20
40
Şekil 1106 dan
okunanlar:

20
2

40
//
ne
se
ek
1.
z-eksenine //
X
1  35,1 MPa
(0;,1)
zx
2  35,1 MPa
2. eksene //
1
2
1
1

1  45
1
x
2

z 1

Şekil 110, 3 numaralı nokta için Mohr dairesi
www.guven-kutay.ch
2
36
12.
Kesiti asimetrik profil
B
Şekil 12 ile ölçüleri verilen kesiti asimetrik profilin
analizi.
A
Arananlar:

130
8
1.  ve  eksenlerine göre ağırlık merkezi "S" ve
torsiyon merkezi "M" nin yerleri,
2.  ve  eksenlerine paralel ' ve ' eksenlerine göre
J' ve J' atalet momentleri ile deviasyon momenti
C'' ,
3. Analitik ve grafik olarak ana ağırlık eksenleri y ve z
ile bunlara göre atalet momentleri Jy ve Jz nin hesabı
(atalet momentleri Mohr dairesi ile),
4. Kesitin çekirdeği,
5. M' = 5 kNm için nötr ekseninin bulunması,
6. M' = 5 kNm için A, B ve C deki x gerilmeler,
7. V' = 25 kN için D deki xy kayma gerilmesi,
8. Akma mukavemeti fy=235 MPa için moment M' nin
maksimum değeri.
32,5
D
C
8
65

Şekil 12, Kesiti asimetrik profil
Çözüm:
12.1. Ağırlık merkezi "S" ve torsiyon merkezi "M" nin koordinatları:
Ağırlık merkezi "S" nin koordinatları:
A
B

'
8
46,8
M
Kesit alanı:
83,6
130
S
A  8  130  57   1496 mm2
32,5
D
C
S 
8  130   4  8  57   36,5
1496
S  13,9 mm
S 
8  130  65  8  57  4
1496
S  46,4 mm
8
13,9

Ağırlık merkezi "S" nin koordinatları:
'
Böylece ağırlık merkezi "S" nin koordinatları:
51,1
65
S ( ;  )  S (13,9 ; 46,4)
Şekil 12-01, Asimetrik profil
olarak bulunur Şekil 12-01.
Torsiyon merkezi "M" nin koordinatları:
L-profillerinde torsiyon merkezi kenar eksenlerinin kesiştiği noktadır, Şekil 12-01.
M ( ;  )  M (4 ; 4)
12.2. Atalet momentleri J' ve J' ile deviasyon momenti C'' :
Atalet momentleri için gereken değerler, Şekil 12-02.
A1  57  8  456 mm2
J1 
;
'1  65  13,9  28,5  22,6
b  h 3 57  83

 2432 mm4
12
12
A 2  130  8  1040 mm2 ;
J1 
;
 '1  46,4  4  42,4
h  b3 8  573

 123462 mm4
12
12
'2  13,9  4  9,9
www.guven-kutay.ch
;
'2  65  46,4  18,6
J 2 
b  h 3 8 1303

 1464667 mm4
12
12
130
J '   '12 A1  J1   '22 A 2  J 2
8
J '    '2 dA
J '  42,42  456  2432  18,62  1040  1464667
'2 = 18,6
A2
'1 = 42,4
'1 = 22,6
S
h  b3 130  83

 5547 mm4
12
12
Steiner'e göre:
57
A1
'
J 2 
J '  2,647 106 mm4
J  '   '2 dA
J  '  '12 A1  J1  '22 A 2  J 2
8
'2 = 9,9
J  '  22,6 2  456  123462  9,9 2  1040  5547
'
J  '  0,464  10 6 mm 4
Şekil 12-02, Gerekli değerler
Deviasyon momenti C'' :
C' '   ' 'dA
C' '  '1 '1A1  '2  '2 A 2
C' '  22,6  42,4  456  9,9  18,6  1040
C' '  0,628 106 mm4
12.3. Ana ağırlık eksenleri y ve z vede atalet momentleri Jy ve Jz
12.3.1. Analitik olarak
J y, z 
J '  J  '
2
2
 J '  J  ' 
  C2''
 
2



6  2,647  0,464
J y,z  10  


Buradan
tan 2 
tan 2 
2
burada değerleri yerleştirelim.

2
 2,647  0,464 
2
6
6
 
  0,628   1,555  10  1,259  10
2




J y  1,555 106  1,259  106
J y  2,815 106 mm4
J z  1,555  106  1,259 106
J z  0,296  106 mm4
- 2  C ''
J '  J  '
burada değerleri yerleştirelim.
- 2  0,628
 0,5758
2,647  0,464
37
buradanda
www.guven-kutay.ch
  14,97  15
38
12.3.2. Grafik olarak Mohr dairesiyle
Arananları çizimle bulmak için koordinat eksenleri; x-ekseni olarak atalet momenti J ve y-ekseni
olarak deviasyon momenti C olan koordinatlar sistemini 100 mm = 1.106 mm4 ölçekli olarak
çizelim, Şekil 12-03.
Buraya ' ve ' noktalarını taşıyalım. Bu noktalardan geçen Mohr dairesini çizelim.
C [106 mm4 ]
1,0
264,67
46,4
' (J' ; C '')
Kutup
II '
62,8
15°

0,5
Y ( J y; 0)
Z ( J z; 0)
1,0
1,5
2,0
2,5
J [106 mm4 ]
II y
62,8
0,5
0,5
IIz
29,62
'(J ' ; C '')
y
281,45
1,0

'
II '
S
z
'
Şekil 12-03, Mohr dairesiyle atalet momentleri
' ve ' noktalarındanj J ve C eksenlerine paraleller çizersek bu paralellerin Mohr dairesini kestiği
nokta bize kutup noktasını verir. Mohr dairesinin J eksenini kestiği noktalar bize y ve z eksenlerine
göre ataler momentlerini verir, Y (Jy ; 0) ve Z (Jz ; 0). Kutup noktasını Y ve Z noktalarıyla
birleştirirsek y ve z eksenlerini buluruz. Burada aradığımız değerleri ölçerek bulabiliriz.
Atalet momenti
 açısı
Jy  2,815 . 106 mm4
Jz  0,296 . 106 mm4
  15
12.4. Kesitin çekirdeği:
Çekirdek noktalarını hesaplayan formülleri hatırlayalım:
a) n-n nötr ekseni ' eksenine paralel ise:
'A  
P ('P =  , 0) ve Q (0 , ’Q) için
C' '
 'Q A
;
 'A  
;
'A  
J '
 'Q A
b) n-n nötr ekseni ' eksenine paralel ise:
P ('P , 0) ve Q (0, ’Q=) için
'A  
J '
'P A
C' '
'P A
Burada şunu tekrar hatırlayalım: 'A ve 'A çekirdek kenar noktaları, ' ve ' nötrekseni noktalarıdır.
www.guven-kutay.ch
39
Nötr ekseni üst kenar P ('P , 0) = ( , 0)
boyunca, eksen 1-1
Q (0 , ’Q) = (0 , 46,4)
C' '
0,628  106
'A1  
'A1  
 'Q A
 46,4 1496
'A1  
Nötr ekseni alt kenar
boyunca, eksen 2-2
J '
'Q A
'A1  
'A1  9,1 mm
2,647  106
 46,4 1496
 'A1  38,1 mm
P ('P , 0) = ( , 0)
Q (0 , ’Q) = (0 , 83,6)
C' '
0,628  106
'A 2  
'A 2  
 'Q A
83,6  1496
J '
 'A 2  
 'Q A
 'A 2  
'A 2  5,0 mm
2,647  106
83,6  1496
'A 2  21,2 mm
Nötr ekseni sol kenar P ('P , 0) = (13,9 , 0)
boyunca, eksen 3-3
Q (0 , ’Q) = (0 , )
J'
0,464  106
'A3  
'A3  
'P A
13,9  1496
 'A3  
Nötr ekseni sağ
kenar boyunca,
eksen 4-4
C' '
'P A
 'A3  
'A3  22,3 mm
0,628  106
13,9  1496
'A3  30,2 mm
P ('P , 0) = (51,1 , 0)
Q (0 , ’Q) = (0 , )
J '
0,464  106
'A 4  
'A 4  
'P A
 51,1 1496
C' '
 'A 4  
'P A
 'A 4  
'A 4  6,1 mm
0,628  106
 51,1 1496
 'A 4  8,2 mm
Nötr ekseni C ve E noktalarını birleştiren doğru, eksen 5-5
C (5,9 ; 83,6) ve E (51,1 ; 38,4)
Nötr ekseninin denklemi, eksen 5-5:
P : ('P , 0) = (33,14 ; 0)
ve
 '  2,1404  '70,9405
Q (0 , ’Q) = (0 ; 70,94)
Nötr ekseninin genel formülü:
'A J '   'A C' '  
 'A J  '  'A C' '  
J '  J  '  C2 ' '
'P A
J '  J  '  C2 ' '
 'Q A
'A5 2,647   'A5 0,628  
 'A50,464  'A5 0,628  
2,647  0,464  0,6282 103
 33,14 1,496
2,647  0,464  0,6282 103
70,94  1,496
Buradan:
2,647  'A5 0,628   'A5  16,7934
 0,628  'A5 0,464   'A5  7,8461
denklemleri bulunur. Değerleri hesaplarsak:
'A5  3,4 mm
 'A5  12,3 mm
ve
bulunur.
www.guven-kutay.ch
40
y
n
A
B
1

A2
A5
'
Koordinatlar:
4 5
3
1
B (13,9 ; 46,4)
E
A3
4
S
A4
A (51,1 ; 46,4)
C (5,9 ; 83,6)
E (51,1 ; 38,4)
A1
n
2
A1 (9,1 ; 38,1)
C
z 5 3
A2 (5,0 ; 21,2)
2
A3 (22,3 ; 30,2)
'
A4 (,1 ; 8,2)
Şekil 12-04, Kesit çekirdeği
A5 (,4 ; 12,3)
12.5. M' = 5 kNm için nötr ekseninin bulunması
Genel gerilme formülünü yazalım.
'J '   'C' '
 'J  '  'C' '
x  M' 
 M ' 
J '  J  '  C2 ' '
J '  J  '  C2 ' '
burada sx = 0 ise formülümüz nötr ekseni
formülü olur. Diğer taraftan M' = 5 kNm ise, M' = 0 olur. Böylece nötr ekseni formülü şu şekli alır.
 'J  '  'C' '
 x  M ' 
 0 burada eşitlik  'J '  'C' '  0 olursa sağlanır. Bu düşünce ile
J '  J  '  C2 ' '
' 
C' '
J '
 ' değerleri 106 kısaltılmasıyla yerleştirirsek
' 
0,628
 '  '  1,355  ' bulunur.
0,464
12.6. M' = 5 kNm için A, B ve C deki x gerilmeler
Yukarıda bulduğumuz  x  M ' 
A (51,09 ; 46,41)
'J  '  'C' '
J '  J  '  C2 ' '
A  5  106 
formülünü ele alıp değerleri yerleştirelim:
0,464   46,4  0,628   51,1 106
2
2,647  0,464 106  0,628 106 
A  63,5 MPa
M' = 5 kNm momentin A noktasında oluşturduğu normal gerilme A  63,5 MPa dır.
B (13,91 ; 46,41)
B  5  106 
0,464   46,4  0,628  13,91 106
2
2,647  0,464 106  0,628 106 
B  181,8 MPa
M' = 5 kNm momentin B noktasında oluşturduğu normal gerilme B  181,8 MPa dır.
C (5,91 ; ,59)
B  5  106 
0,464  83,59  0,628  5,91 106
2
2,647  0,464 106  0,628 106 
C  210,5 MPa
M' = 5 kNm momentin C noktasında oluşturduğu normal gerilme C  210,5 MPa dır.
www.guven-kutay.ch
41
12.7. V' = 25 kN için D deki xy kayma gerilmesi
Kayma gerilmesinin genel formülünü ele alalım.

V ' J  '  S'  C' '  S '

t
J '  J  '  C2 ' '
Statik momentler S' ve S' :
S
'
S'   'AD A D
'AD
 'AD  83,6  16,25  67,35mm
A D  32,5  8  260mm
2
D
hD
S'   'AD A D  67,35  260  17,511 103 mm3
AD
S '  'AD A D
'
t
'AD  13,9  4  9,9mm
S '  'AD A D  9,9  260  2,574 103 mm3
D 
'AD
Şekil 12-05, D noktası şeması
V ' J  '  S'  C' '  S ' 25  103 0,464  106  17,511  103  0,628  106  2,574  103



2
t
8
J '  J  '  C2 ' '
2,647  106  0,464  106  0,628  106


D  24,393MPa
12.8. Akma mukavemeti fy=235 MPa için moment M' nin maksimum değeri.
Normal gerilmenin Navier'e göre genel formülünden M' değerini ele alalım.
 x  M ' 
J '   'C' '  '
J '  J  '  C2 ' '
 fy
n
A
B
Buradan;
M '  f y 
J '  J  '  C2 ' '
'A= 46,4 mm
'B= 13,9 mm
'B= 46,4 mm
'C=
'C= 83,6 mm
M 'A  f y 
M 'B  f y 
M 'C  f y 
n
C
'
Şekil 12-06, M' nın maksimum değeri
J '  J  '  C2 ' '
M 'A  18,554 kNm
J  '   'A C' '  'A
J '  J  '  C2 ' '
M 'B  6,476 kNm
J  '   'B C' '  'B
J '  J  '  C2 ' '
M 'C  5,585 kNm
J  '   'C C' '  'C
Burada C noktası bizim için alınacak değerdir.
S
J  '   'C' '  '
'A= 51,1 mm
5,9 mm
M '
'
www.guven-kutay.ch
42
13.
Mohr benzerliği, ortadan tek kuvvetle zorlanan klasik kirişte sehim
Verilenler:
Q
A
B
L/2
Şekil 13 ile verilen sistem.
L/2
Arananlar:
L
Şekil 13, Klasik kirişte sehim
Maksimum sehim formülü.
Çözüm:
+
wmax
Şekil 13-01, Q nun sehimi, kalitatif çizimi
Sistemde bilinen ve analog kiriş:
Q.L /4
Şekil 13-02, Q dan oluşan moment dağılımı
Q
Q
Q/2
w=0
w' =/ 0
Q/2
wm=/ 0
w'm = 0
w=0
w' =/ 0
M* = 0
V* =/ 0
Şekil 13-03, Bilinen kiriş
Analog kirişin momentle zorlanması:
M*m =/ 0
V*m = 0
M* = 0
V* =/ 0
Şekil 13-04, Analog kiriş
q*=M/EJ
AÜ
M = Q.L/4
M*m
FÜ
FA= q*.L/4
L/3
L/6
V*
m
L/2
Şekil 13-05, Analog kirişte zorlama
q* 
M
EJ
QL
q 
4EJ
*
M
QL
4
QL L
FA 

4E J 4
Şekil 13-06, Analog kirişte moment
A ü  Fü  FA  q* 
FA 
L 1

2 2
Q  L2
L L
w  M*  FA    
16  E  J
2 6
Fü  FA 
q*  L
4
w  FA 
L
3
Maksimum moment maksimum sehime eşittir:
w max 
Q  L2 L

16  E  J 3
w max 
www.guven-kutay.ch
Q  L3
48  E  J
43
Duvarın zorlanması
14.
Bilinenler:
Şekil 14 ile görülen duvarın boyu sonsuz uzun;
Hesaplarda duvar boyu LDu = 1 m,
Eni
bDu = 1 m,
Yoğunluğu
Du = 12 kN/m3 ,
Yer/duvar emniyetli basıncı bEM = 0,1 MPa
Yerin (toprağın) yoğunluğu Y = 20 kN/m3 dir.
h
Arananlar:
Yerin duvara emniyetli basıncı aşılmadan ve
duvarın yerden kalkmaması için duvarın en
büyük yüksekliği.
Kabuller:
b
 Çapraz kuvvet V dikkate alınmayacaktır.
 Duvar altındaki toprak basıncının dağılımı
1
eTo    Y  h kN / m 2 dir.
3

Şekil 14, Duvarın zorlanması

Çözüm:
14.1. Kesit kuvvetleri
Şekil 14 ile verilmiş olan duvarın şemasını ve serbest cisim diyagramını çizelim.
SCD:
h
 Du

Fh
MB

AV
B
b

MA
h/3
A
Fh
Rh

BV
e
Şekil 14 a, Duvarın zorlanması ve SCD

N -Dağılımı
Basma
Basma gerilmesi



M eğ -Dağılımı
Eğilme momenti
Şekil 14 b, Kesitte mukavemet dağılımları
www.guven-kutay.ch
eğ -Dağılımı
Eğilme gerilmesi
Çekme
44
14.2. Duvarın emniyetli en büyük yüksekliği
Bu hesap için şu iki denklemin sağlanması gerekir:
I
btop  eg   N  bEM
duvarın zemini çökertmemesi için.
II
çtop  eg   N  bEM
duvarın zeminden kalkmaması için
M eg
Eğilme gerilmesi
eğ 
Duvar tabanının karşı koyma momenti:
L  b2
Weg  Du Du
6
Duvarı etkileyen yatay kuvvet:
Fh 
Eğilme momenti
h
M eg  Fh  h Fh  Fh  Du
3
1
M eg    Y  L Du  h 3Du
18
Eğilme gerilmesi
eğ 
1
  Y  L Du  h 3Du
18  Weg
Normal gerilme
N 
G Du
A Du
Duvarın ağırlık kuvveti:
G Du  A Du  h Du   Du
Normal gerilme
N 
btop  eg   N  bEM
1
  Y  L Du  h 3Du
18  Weg
 h Du   Du
  bEM
1
  Y  L Du  h 3Du
18  Weg
 h Du   Du
 bEM
çtop  eg   N  bEM
+
Weg
1
  Y  h 2Du  L Du
6
A Du  h Du   Du
A Du
 N  h Du   Du
2
  Y  L Du  h 3Du  2  bEM
18  Weg
Bu formülden duvarın zemini çökertmemesi için gereken max. duvar yüksekliği "hDu" bulunur.
h Du  3
18  Weg  bEM
h Du  2,466 m
 Y  L Du
II. formülün eg   N  0 kısmından duvarın zeminden kalkmaması için gereken max. duvar
yüksekliği "hDu" bulunur.
h Du 
18  Weg  bEM
h Du  1,342 m
 Y  L Du
Böylece bütün şartları yerine getiren duvar yüksekliği h Du  1,342 m olarak bulunur.
www.guven-kutay.ch
15.
45
Asimetrik T-profili
Şekil 15 ile verilen kesiti asimetrik T-profili
Nx = -2000 kN,
Vz = 750 kN ve
My = 750 kNm
ile zorlanmaktadır.
B
t1
t3
My
y
3
hü
h = 550 mm ; ha = 301 mm ; hü = 189 mm
B = 400 mm ; b = 200 mm
t1 = t2 = 30 mm
;
t3 = 20 mm
x,N x
h
Arananlar:
1. Analitik olarak 1,2 ve 3 numaralı noktalardaki
gerilmeler ve asal gerilmelerin analitik olarak
hesabı,
Vz
ha
1
2
2. x ve xz , yx gerilmelerinin değerleri ile dağılım
diyagramları.
t2
z
Kolaylık için veriler:
b
y-eksenine göre ana atalet momenti:
Şekil 15, Asimetrik T-profili
Jy = 1327.106 mm4
dür.
Çözüm:
Kesitin toplam alanı:
A I Top  B  t1  b  t 2  (h a  h ü )  t 3
A DI Top  278 cm 2
A I Top  400  30  200  30  550  20
Kesitin ağırlık merkezi:
0,5  t 22  b  0,5  h  t 2   t 3  h  B  t1  h  0,5  t1 
hS 
A I  Top
z1 = hS-t2 = 331 – 30 = 301 mm
z1 = hS = 331 mm
h S  331 mm
z3 = 0
15.1. 1, 2 ve 3 numaralı noktalardaki gerilmeler

My
y
3 x
Nx x
3

3
3
3

Vz
1
1
2
z
z
2

1
2
1
2
1
2
.
Şekil 15-01, Kesitte gerilmelerin dağılımı
Şekil 15-01 ile kesitte gerilmelerin dağılımı görülmektedir. Normal gerilmelerin genel formülü ile
x 
N My
M

z  z y
A Jy
Jz
www.guven-kutay.ch
46
Problemimizde Mz = 0 olduğundan formülümüz:
x 
N My

z
A Jy
olur.
Kayma gerilmesi için Bisquit formülünü ele alalım:
V  Szs 
 xz zs   z
bzs   J y
ve noktalardaki aranan gerilmeleri hesaplayalım.
15.1.1. 1,2 ve 3 numaralı noktalardaki gerilmeler.
1 numaralı noktalardaki gerilmeler:
Nx My
 2000 750  103
 x1 

 z1 

 301
AI
Jy
278
127  106
 x1  98,24 MPa
1 numaralı noktada statik moment:
S1  b  t 2  h a  0,5  t 2   200  30  301  0,5  30
S1  1,896 106 mm3
750  103 1,896 106
V S
 xz1  z 1 
t3  J y
20  1,327 109
xz1  53,58 MPa
x 2 
Nx M y
 2000 750  103

 z2 

 331
AI
Jy
278
127  106
 x 2  115,20 MPa
S2  0
750 103  0
Vz  S2
 xz 2 

t 2  J y 30  1,327  109
xz 2  0
x3 
Nx M y
 2000 750  103

 z3 

0
AI
Jy
278
127  106
 x 3  71,88 MPa
S3  b  t 2  h a  0,5  t 2   0,5  h a2  t 3  200  30  301  0,5  30  0,5  3012  20
S3  2,802  106 mm3
750  103  2,802  106
V S
 xz 3  z 3 
t3  J y
20  1,327  109
 xz3  79,183 MPa
www.guven-kutay.ch
47
15.1.2. 1,2 ve 3 numaralı noktalardaki asal normal gerilmeler ve yönleri
Asal normal gerilmeler:
 x -  y
x +  y
1,2 =
 
2
2

Asal normal gerilmelerin yönü:
tan 21 = 
2

 + 2


2   xy
x  y
1 numaralı noktadaki gerilmeler:
M y1  0 olduğundan
2
2
11 =
  
 x1
  x1  + 2xz1
2
 2 
12 =
98,24
  
 98,24 
 x1
2
  x1  + 2xz1 =
 
 + 53,58
2
2
 2 
 2 
=
98,24
 98,24 
2
 
 + 53,58
2
 2 
2
tan 211 = 
2  xz1
 x1
2
 2  53,58 
11  0,5  a tan 

 98,24 
11  121,8 MPa
12  23,6 MPa
11  23,743
M y 2  0 olduğundan
2
2
21 =
 

x 2
  x 2  + 2xz 2
2
 2 
22 =
115,2
 

 115,2 
x 2
  x 2  + 2xz 2 =
 
 +0
2
2
 2 
 2 
=
115,2
 115,2 
 
 +0
2
 2 
2
tan 221 = 
2
 20 
21  0,5  a tan 
0
 115,2 
2   xz 2
x 2
21  115,2 MPa
22  0
21  0
M y3  0 olduğundan
2
2
 71,88
  71,88 
2
 
 + 79,183
2
2


31 =
 

x3
  x 3  + 2xz
2
 2 
32 =
 71,88
 

  71,88 
x3
2
  x 3  + 2xz 3 =
 
 + 79,183
2
2
2
 2 


tan 231 = 
=
2
2  xz 3
x3
2
 2  79,183 
31  0,5  a tan 

  71,88 
31  90  32,794
www.guven-kutay.ch
31  51,0 MPa
32  122,9 MPa
31x  32,794
31  57,203
48
15.2. x ve xz , yx gerilmelerinin değerleri ile dağılım diyagramları
15.2.1. Normal gerilme x in değerleri ve dağılımı
-195,718 MPa
-187,240 MPa

z ü  219,0 mm
z üm  h ü  0,5  t1 
x
y
z ü  h ü  t1 
z üm  204,0 mm
 xü 
106,656 MPa

115,134 MPa
z
Şekil 15-02, Kesitte normal gerilmelerin dağılımı ve değerleri
Nx My

 zü
AI
Jy
 2000 750  103
 xü 

 219
278
127  106
 xü  195,718 MPa
Nx M y
 2000 750  103
 xüm 

 z üm 

  204 
AI
Jy
278
127  106
za  h a  t 2
 xüm  187,240 MPa
z am  h a  0,5  t 2
zam  316,0 mm
 xa 
Nx My
 2000 750  103

 za 

 331
AI
Jy
278
127  106
 xam 
z a  331,0 mm
 xa  115,134 MPa
Nx My
 2000 750  103

 zam 

 316
AI
Jy
278
127  106
 xam  106,656 MPa
15.2.2. xz , yx gerilmelerinin değerleri ve dağılımı
A noktasında statik moment:
B
1' A1'
AA
h A  h ü  0,5  t1  189  0,5  30  204mm
t1
A
hA
SA  0,5  B  t1  h A  0,5  400  30  204 =
SA  1,224 106 mm3
hü
x
y
B noktasında statik moment:
h
t3
hB
AB
ha
h B  h a  0,5  t 2  301  0,5  30  316mm
SB  0,5  b  t 2  h B  0,5  200  30  316 =
SB  0,948 106 mm3
B
z
t2
b
1' noktasında statik moment:
S1'  B  t1  h A  400  30  204 =
S1'  2,448 106 mm3
Şekil 15-03, Statik momentler
www.guven-kutay.ch
49
Bu değerler ve Bisquit formülüyle idealize edilmiş kayma gerilmesi dağılımını hesaplar ve
diyagramını Şekil 15-04 ile görüldüğü gibi çizebiliriz.
23,06 MPa
yx

A
zx

23,06 MPa
A 1'
İdealize
edilmiş
dağılım
69,179 MPa
1'. Nokta
V S
 yxA  z A
t1  J y
 yxA 
750  103  1,224  106
30  1,327  109
 yxA  23,060 MPa
3 x
y
3. Nokta

79,183 MPa
V S
 yxB  z B
t2  Jy
z
B 1
yx
17,86 MPa

B
1. Nokta
53,58 MPa

 yxB 
750  103  0,948  106
30  1,327  109
 yxB  17,860 MPa
17,86 MPa
Şekil 15-04, xz , yx gerilmelerinin değerleri ve dağılımı
750  103  2,448  106
V S
zx1'  z 1' 
t3  J y
20  1,327 109
zx1'  69,179 MPa
www.guven-kutay.ch
50
16.
Mohr benzerliği, çok yataklı sistem
Verilenler:
A
B
C
L
D
L
Q
E
L
Şekil 16 ile verilen sistem.
Arananlar:
L
A, B, C, D ve E noktalarında
değerleri ile sehim çizgisi.
Şekil 16, Çok yataklı sistem
Çözüm:
Q.L


Q.L

Q.L
Şekil 16-01, Sehimin kalitatif dağılımı

Şekil 16-02, Moment dağılımı
Sistemde bilinen ve analog kiriş:
A
C
B
L
D
L
wA =/ 0
w'A =/ 0
E
L
wB = 0
w'BL =
/ w'BR
Q
L
wC =/ 0
w'CL =
/ w'CR
wA = 0
w'DL =
/ w'DR
wE =/ 0
w'E =/ 0
Şekil 16-03, Sistemin bilinen kirişi
A
C
B
L
D
L
E
L
L
M*
=/ 0
A
M*B = 0
M*C =/ 0
M*D = 0
M*A =/ 0
V*
=/ 0
A
V*
= V*
BL
BR
V*
CL = V*
CR
V*
= V*
DL
DR
V*
=/ 0
A
Şekil 16-04, Sistemin analog kirişi
L/2
L/2
L/3
2L/3
2L/3
F*
3
q*
q*
A
L/3
2L/3
F*
4
D
B
C
q*
F*
2
F*
1
Şekil 16-05, Analog kirişte zorlama
L/3
www.guven-kutay.ch
E
51
Şekil 16-05 ile sehimi aranan noktalardaki moment hesaplanarak sehimleri bulunur.
M
EJ
M  QL
q* 
F1*  q*A  L
F2*  q*B 
2
* QL
F1 
Q  L2
*
F2 
EJ
q*A 
L
2
QL
EJ
F3*  q*D 
L
2
Q  L2
*
F3 
2E J
2EJ
q*B 
QL
EJ
F4*  q*D 
q*D 
QL
EJ
L
2
Q  L2
*
F4 
2EJ
Temel değerleri bulduktan sonra sehimleri kolayca hesaplarız:
M*B
w A  M*A
0
M*C  0
wC 
M*C
2
3L
 F1* 
2
2L
 F2* 
3
 M*A
0
Q  L3
wA 
2EJ
Q  L2 3L Q  L2 2L Q  L3
*
MC  




EJ
2
2E J
Q  L3  3 2 1 
   
EJ  2 3 2
wC  
2EJ
4  Q  L3
3 E  J
7L
8L
4L
2L
 F2* 
 F3* 
 F4* 
0
2
3
3
3
Q  L3 4  Q  L3 Q  L2 7L Q  L2 4L Q  L2 4L Q  L2 2L
M*E  









2  E  J 3 E  J
EJ 3
EJ 3 2EJ 3
EJ 3
Q  L3  1 4 7 4 4 2 
      
EJ  2 3 2 3 3 3
w:
3
M*A  M*CB  M*E  F1* 
M*E  0
wE 
Q  L2 L
wA 

EJ 2
L
 F1* 
2  Q  L3
wE  
EJ
3
Q.L
E.J
4/3
A
1/2
B
C
Şekil 16-06, Sehimin değerleriyle dağılımı
E
D
www.guven-kutay.ch
2

Gerilmeler ve Mohr dairesi Alıştırma çözümleri - guven

Transkript

Benzer belgeler

Örnek Proje - Prof.Dr Akgün Alsaran

CPT / SCPT

Cerabar T PMP131

PDF formatında indirin

Siemens Miyabi sistemini kullanarak hepatoselüler karsinomanın

Fizik-1 Uygulama-5

Alüminyum Üretim Bilgileri

çeşitli yöntemlerle kurutulmuş hünnaptan bisküvi ve kurabiyeler için