Ayın Sorusu

Yorumlar

Transkript

Ayın Sorusu
Bilkent Üniversitesi
Matematik Bölümü
Ayın Sorusu
Temmuz-Ağustos 2013
Soru:
36 | p + q + r olmak üzere, p + q + r ve pq + qr + rp + 3 sayılarının tam kare olmasını
sağlayan tüm (p, q, r) asal sayı üçlülerini bulunuz. 3|p + q + r olacak biçimde, p + q + r ve
pq + qr + rp + 3 sayılarının tam kare olmasını sağlayan (p, q, r) asal sayı üçlüsü var mıdır?
Çözüm: p, q, r asal sayılarının en az birinin 2 olduğunu gösterelim. Eksi halde tüm
durumlar: (p, q, r) ≡ (1, 1, 1), (1, 1, 3), (1, 3, 3), (3, 3, 3) (mod 4). (1, 1, 1), (1, 3, 3) durumlarında x2 = p + q + r ≡ 3 (mod 4) olduğundan ve (1, 1, 3), (3, 3, 3) durumlarında
y 2 − 3 = pq + qr + rp ≡ 3 (mod 4) olduğundan çelişki elde ediyoruz. İspat tamamlandı.
Genelliği bozmadan p = 2 ve q ≤ r olsun. O zaman
q + r = x2 − 2,
qr = y 2 − 2x2 + 1
Şimdi 3 | y ise (q + 2)(r + 2) = y 2 + 1 ≡ 1 (mod 3). Demek ki q ≡ r ≡ 2 (mod 3)
veya q ≡ r ≡ 0 (mod 3). Fakat q ≡ r ≡ 0 (mod 3) durumunda çelişki elde ediyoruz:
x2 − 2 ≡ 0 (mod 3). q ≡ r ≡ 2 (mod 3) ise x2 − 2 ≡ 1 (mod 3) and 3 | x, fakat 336 | x
ve buradan 3 | y, çelişki. 33 6 |x olduğundan x2 ≡ y 2 ≡ 1 (mod 3) ve sonuç olarak
qr = y 2 − 2x2 + 1 ≡ 0 (mod 3) ve buradan q = 3. Şimdi r = x2 − 5 ve 3r = y 2 − 2x2 + 1
olduğundan 5r = y 2 − 9 = (y − 3)(y + 3). r = 2, 3, 5 durumlarında x tam sayı olmuyor. Demel ki r > 5. y − 3 = 1 olduğundan y − 3 = 5, r = y + 3 and r = 11.
x = 4, y = 8 ise (p, q, r) = (2, 3, 11). Sonuç olarak çözümler (p, q, r) = (2, 3, 11) ve bu
sayıların permütasyonlarıdır.
(p, q, r) = (2, 11, 23) üçlüsü koşulları sağlıyor.

Benzer belgeler

Cevap

Cevap Bilkent Üniversitesi Matematik Bölümü

Detaylı

Sayılar Teorisi

Sayılar Teorisi olacak şekilde q ve r tam sayıları tek türlü belirlenebilir. r sayısı a nın b ile bölümünden elde edilen kalandır. r = 0 durumunda b, a yı böler denir ve b|a ile gösterilir. Sıfırdan farklı...

Detaylı

Cevap

Cevap belirleyiniz.

Detaylı

Olasılık ve˙Istatistik

Olasılık ve˙Istatistik kuramının dışında yer alırlar. Bu açıklamalardan yola çıkılarak tek başına olasılık kavramından söz edildiğinde; rasgele olayları analiz eden bir matematik dalı, matematiksel anlamda bir olay...

Detaylı

Ali Nesin Okura Not: Henüz bitmemis ve gözden geçirilmemis kitap

Ali Nesin Okura Not: Henüz bitmemis ve gözden geçirilmemis kitap 13.5.1 Prüfer p-Grupları . . . . . . . . . . . . . . . 13.5.2 Bölünür Abel Gruplarının Sınıflandırılması 13.6 Abel Gruplarının Saf Altgrupları . . . . . . . . . .

Detaylı

Sayısal Analiz Ders Notları Arzu Erdem Kaynaklar

Sayısal Analiz Ders Notları Arzu Erdem Kaynaklar Fontana Tartaglia (1499–1557), Lodovico Ferrari (1522–1565) ve Girolamo Cardano (1501–1576) ”Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus” adlı makalelerinde 3.ve 4. dereceden polinomlar iç...

Detaylı