PowerPoint Sunusu

Mukavemet-II
PROF. DR. MURAT DEMİR AYDIN
KAYNAK KİTAPLAR
Cisimlerin Mukavemeti
Mukavemet-2
F.P. BEER, E.R. JOHNSTON
Prof.Dr. Onur SAYMAN,
Prof.Dr. Ramazan Karakuzu
Mukavemet
Mehmet H. OMURTAG
1
SİMETRİK OLMAYAN (EĞİK) EĞİLME
Kirişe etki eden kuvvetlerin veya kuvvet çiftlerinin, kiriş simetri eksenlerinden birisiyle veya asal atalet
eksenlerinden biriyle çakışması durumuna ’Simetrik (basit) eğilme’ denilmektedir.
Eğer kuvvet veya kuvvet çiftleri, kirişin simetri eksenleri veya asal atalet eksenlerinden herhangi biriyle
çakışmıyorsa ’Simetrik olmayan (eğik) eğilme’ denilmektedir.
Atalet Momentleri
Bir kesitin eksenlerine göre atalet momentleri;
Asal Atalet Eksenleri
Paralel eksen teoremi
Çarpım atalet momentinin sıfır olduğu birbirine dik öyle iki eksen vardır ki, bu eksenlerde atalet
momentleri maksimum ve minimum değerlerini alır. Bu eksenlere asal atalet eksenleri adı verilir.
Örnek : Aşağıda verilen kesitte; a) ağırlık merkezinin koordinatlarını, b) ağırlık merkezinden geçen eksenlere
göre atalet momentlerini, c) asal atalet momentlerini ve eksenlerini bulunuz.
Eşlenik Eksenler
Simetrik Olmayan Eğilme
Keyfi şekilli yanda görülen bir kesitin
tarafsız ekseninin hangi koşullar altında bu
kesite etkiyen kuvvet çiftinin (M) ekseniyle
çakıştığını belirlemek istersek;
Bunun için yandaki kesitte kuvvet ve kuvvet
çiftleri için aşağıdaki eşitlikleri yazabiliriz.
Buradan kesitin tarafsız ekseni ancak ve ancak M kuvvet çifti kesitin asal atalet eksenlerinden biri boyunca
yönlenmişse çarpım atalet momenti sıfır olur sonucunu ortaya çıkarır.
Kirişe etki eden kuvvetlerin veya kuvvet çiftlerinin, kiriş simetri eksenlerinden birisiyle veya asal atalet
eksenlerinden biriyle çakışması durumun da ’Simetrik (basit) eğilme’ oluştuğu daha evvel bahsedilmişti.
Böyle bir durumda gerilme dağılımları;
Aşağıdaki şekilden görüleceği gibi bir kesitin düşey
düzlemiyle q açısı yapan düzlem içinde etkiyen kuvvet
çiftinin (M) simetrik olmayan eğilme durumu
oluşturacağı açıktır. Çünkü bu moment vektörü ne
simetri ekseninde nede asal eksenlerden biri
doğrultusunda etki etmemektedir.
Bununla birlikte bu M momentinin y ve z eksenlerine
göre oluşturacağı My ve Mz momentleri simetri
ekseninde veya asal atalet eksenlerinde etkiyeceği
aşikardır. Bu durumda bu iki bileşenin ayrı ayrı
oluşturacağı gerilmeler süperpozisyon ilkesi ile bir
araya getirilebilir.
A
A
=
Yukarıdaki T kesitin A noktasındaki gerilmeyi yazarsak;
+
Yukarıda elde edilen denklem y ve z asal eksenleri belirledikten sonra simetrik olmayan kesitlerdeki
gerilmeleri belirlemekte de kullanılabilir. Bu denklem ayrıca simetrik olmayan eğilmenin neden olduğu
gerilme dağılımlarının lineer olduğunu gösterir. Kesitin tarafsız ekseni, genellikle eğilme çiftinin ekseniyle
çakışmaz.
Normal gerilme tarafsız eksenin her noktasında sıfır olduğundan, bu ekseni tanımlayan
denklem aşağıdaki şekilde elde edilir.
Iy ve Iz asal atalet momentlerinin ikisi de pozitif olduğundan, q ve f ‘nin işaretleri aynıdır. Ayrıca,
iken,
ve
iken
dir. Buna göre tarafsız eksen daima M momenti ile
minimum eylemsizlik momentine karşılık gelen asal eksen arasında yer alır.
Örnek : 180 N.m’lik bir kuvvet çifti, düşeyle 30o ‘lik bir açı yapan bir düzlemde dikdörtgen kesitli bir ahşap
kirişe uygulanmaktadır. a) Kirişteki maksimum gerilmeyi, b) tarafsız yüzeyin yatay düzlemle yaptığı açıyı
bulunuz.
Mz= 180.cos 30o = 155,9 N.m
My= 180.sin 30o = 90 N.m
Iy= (1/12).0,09.0,043 = 0,48x10-6 m4
Iz= (1/12).0,04.0,093 = 2,43x10-6 m4
En büyük gerilme A noktasında oluşacaktır.
Tarafsız düzlem;
Örnek : Kesiti aşağıda gösterilen kirişe, düşeyle b = 20o ‘lik bir açı yapan bir düzlemde M = 1 kN.m ‘lik bir
kuvvet çifti etki etmektedir. a) A, B ve D noktalarındaki gerilmeyi, b) tarafsız yüzeyin yatay düzlemle yaptığı
açıyı bulunuz.
Dış Merkezli Eksenel Yüklemenin Genel Hali
Tarafsız düzlem;
Örnek : Kısa bir W150x24 çekme çelik elemana şekilde görüldüğü gibi 50 kN büyüklüğünde P kuvveti etki
etmektedir. Maksimum basınç gerilmesinin 90 MPa aşmayacak şekilde en büyük a mesafesini belirleyiniz.
Iz= 13,4x106 mm4,
Iy= 1,83x106 mm4 , A= 3060 mm2
Örnek. Düşey bir düzlemde etkiyen, büyüklüğü Mo=1,5 kN.m olan bir kuvvet çifti gösterilen Z şekilli kesite
sahip bir kirişe uygulanmaktadır. a) A noktasındaki gerilmeyi, b) Tarafsız eksenin yatay eksenle yaptığı
açıyı belirleyiniz.