12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar

12.Konu
Rasyonel sayılar
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Rasyonel sayılar
Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma
Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme
Tam rayonel sayılar
Rasyonel sayılar kümesinde sıralama
Rasyonel sayıların kuvvetleri
Alıştırmalar
1. Rasyonel sayılar
(
)
1.Tanım:
olduğuna göre K nin her bir
elemanına bir kesir denir ve a ya, (
) kesrinin payı, b ye (
) kesrinin
paydası, adı verilir.
) ve ( ) iki kesir olsun. Eğer
2.Tanım: (
ise (
) kesri, (
kesrine denktir, denir.
(
) ( )
1.Örnek: (
) (
)
) doğrudur. 1.6=2.3
)( )
1.Teorem: Kesirler kümesinde (
için
(
) ( )
biçiminde tanımlanan
bağıntısı bir denklik
bağıntısıdır.
K kümesinde tanımlanan
denklik bağıntısı K kümesini denklik sınıflarına
ayırır. (
) denklik sınıfı (̅̅̅̅̅̅̅̅) ile gösterilebilir.
(̅̅̅̅̅̅̅̅)
( )|(
)
( ) (
)
̅̅̅̅̅̅̅
(
)
(
̅̅̅̅̅̅̅
(
)
(
)(
̅̅̅̅̅̅̅
(
)
(
)(
)(
)(
)(
( )
)(
)( )(
(
)
)
(
)(
)
)(
)(
)
)
2.Tanım: Kesirlerin K kümesinde tanımlanan denklik bağıntısının K dan
ayırdığı her bir denklik sınıfına bir rasyonel sayı denir.
Rasyonel sayılar kümesi ile gösterilir.
(
) , ̅̅̅̅̅̅̅
(
) , (̅̅̅̅̅̅̅̅̅) denklik sınıflarının her biri rasyonel sayılardır.
Örnek: ̅̅̅̅̅̅̅
1
̅̅̅̅̅̅̅̅
(
) ̅̅̅̅̅̅̅
(
)
2.Teorem: (̅̅̅̅̅̅̅̅)
̅̅̅̅̅̅̅̅
(
) ̅̅̅̅̅̅̅
(
)
olsun.
(̅̅̅̅̅̅̅̅) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(
)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(
)
(
) (
)
( )
( )
( )
İspat: (̅̅̅̅̅̅̅̅)
1.Sonuç:
(
)
(
)=(̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)
olduğuna göre ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(̅̅̅̅̅̅̅̅)=(̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)
2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma
1.Tanım: Rasyonel sayılar kümesinde tanımlanan,
(
) ) (̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) işlemine toplama denir.
((̅̅̅̅̅̅̅̅) ̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅
(
)
(
) rasyonel sayılarının
rasyonel sayısına (̅̅̅̅̅̅̅̅)
toplamı denir.
̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅
(̅̅̅̅̅̅̅̅)
(
) biçiminde gösterilir. Yani, (̅̅̅̅̅̅̅̅)
(
) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(
)
Tanıma göre,
̅̅̅̅̅̅̅
(̅̅̅̅̅̅̅̅)
( ) (̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)
2.Tanım: Rasyonel sayılar kümesinde tanımlanan,
(
) ) (̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) işlemine çarpma denir. (̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) rasyonel
((̅̅̅̅̅̅̅̅) ̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅
(
) rasyonel sayılarının çarpımı denir.
sayısına (̅̅̅̅̅̅̅̅)
(̅̅̅̅̅̅̅̅) ̅̅̅̅̅̅̅
(
) biçiminde gösterilir. Yani, (̅̅̅̅̅̅̅̅) ̅̅̅̅̅̅̅
(
) (̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)
1.Teorem: (
) matematik yapısı bir cisimdir.
Ispat:
1.Rasyonel sayılar kümesinde toplama
dan ya bir fonksiyon
olduğundan kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.
(
) = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(
)= ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(
) ̅̅̅̅̅̅̅
(
) (̅̅̅̅̅̅̅̅)
2. (̅̅̅̅̅̅̅̅) ̅̅̅̅̅̅̅
olduğundan toplama işleminin değişme özelliği vardır.
(
) ̅̅̅̅̅̅̅
(
)) ̅̅̅̅̅̅̅
( )=
3. (̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(
)+(̅̅̅̅̅̅̅) (̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
)
)
̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(
) (
) ((
) ( )) olduğundan toplama
) (
işleminin birleşme özelliği vardır.
4.
için ̅̅̅̅̅̅̅
( )
. Öte yandan,
̅̅̅̅̅̅̅̅
(
) (̅̅̅̅̅̅̅) (̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)=(̅̅̅̅̅̅̅) olduğundan nun toplama işlemine göre
etkisiz elemanı vardır - ̅̅̅̅̅̅̅
( )
̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
)+ (
) (
) (̅̅̅̅̅̅̅̅̅) ̅̅̅̅̅̅̅
(
) olduğundan her
5. (
(̅̅̅̅̅̅̅̅) elemanın toplama işlemine göre tersi vardır ve (̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅).
2
6. Rasyonel sayılar kümesinde çarpma
dan ya bir fonksiyon
olduğundan kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır.
(
) = (̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)= (̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) ̅̅̅̅̅̅̅
(
) (̅̅̅̅̅̅̅̅) olduğundan çarpma
7. (̅̅̅̅̅̅̅̅) ̅̅̅̅̅̅̅
işleminin değişme özelliği vardır.
(
) ̅̅̅̅̅̅̅
(
)) ̅̅̅̅̅̅̅
( ) = (̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) ̅̅̅̅̅̅̅
( ) (̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)
8. (̅̅̅̅̅̅̅̅
(̅̅̅̅̅̅̅̅) (̅̅̅̅̅̅̅̅) (̅̅̅̅̅̅̅̅) ((̅̅̅̅̅̅̅) ̅̅̅̅̅̅̅
( )) olduğundan çarpma işleminin
birleşme özelliği vardır.
(
) ((̅̅̅̅̅̅̅)) ̅̅̅̅̅̅̅
( ) )=
9. (̅̅̅̅̅̅̅̅
(̅̅̅̅̅̅̅̅) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(
) (̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(
)
(̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) (̅̅̅̅̅̅̅̅) (̅̅̅̅̅̅̅̅) ̅̅̅̅̅̅̅
(
) (̅̅̅̅̅̅̅̅) ̅̅̅̅̅̅̅
( ) olduğundan çarpma
işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır. Şağdan dadağılma
benzer biçimde gösterilir.
(̅̅̅̅̅̅̅̅) ̅̅̅̅̅̅̅
(
) (̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) ̅̅̅̅̅̅̅
(
) olduğundan nun
10.
̅̅̅̅̅̅̅
çarpma işlemine göre etkisiz elemanı vardır - (
)
̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅
(
) ̅̅̅̅̅̅̅
(
)
( )
(̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)
( )
11.
(
) ( )
̅̅̅̅̅̅̅̅
(
)
(̅̅̅̅̅̅̅̅)
(̅̅̅̅̅̅̅) veya ̅̅̅̅̅̅̅
(
)
(
)
(̅̅̅̅̅̅̅̅)
(̅̅̅̅̅̅̅) veya ̅̅̅̅̅̅̅
(
)
(̅̅̅̅̅̅̅) olduğundan kümesinde sıfırın
bölenleri yoktur.
(̅̅̅̅̅̅̅̅) (̅̅̅̅̅̅̅̅) = (̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)= (̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)
12. .
olduğundan nun toplama işleminin etkisiz elemanından farklı her (̅̅̅̅̅̅̅̅)
elemanının çarpma işlemine göre ters elemanı vardır - (̅̅̅̅̅̅̅)
Böylece cisimdir.
cisim oduğundan onun elemanlarının katları ve kuvvetleri tanımlıdır.
2.Teorem: (
) cisminde toplama işleminin sadeleştirme özelliği
vardır. Çarpma işleminin, cismin sıfırdan farklı elemanları ile sadeleştirme
özelliği vardır.
3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme
(
)
(
)] rasyonel sayısına
3.Tanım: (̅̅̅̅̅̅̅̅) ̅̅̅̅̅̅̅
olsun. (̅̅̅̅̅̅̅̅) [ ̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅
(̅̅̅̅̅̅̅̅)
(
) nin farkı denir. (̅̅̅̅̅̅̅̅) ̅̅̅̅̅̅̅
(
)
̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅
(
) [(
)] rasyonel sayısına (
)
(
) nin bölümü
̅̅̅̅̅̅̅
(
)
denir. (̅̅̅̅̅̅̅̅)
(̅̅̅̅̅̅̅̅)
(̅̅̅̅̅̅̅̅)
̅̅̅̅̅̅̅
(
)
̅̅̅̅̅̅̅
(
)
(̅̅̅̅̅̅̅̅)
[ (̅̅̅̅̅̅̅)]
(̅̅̅̅̅̅̅̅) [̅̅̅̅̅̅̅
(
)]
(̅̅̅̅̅̅̅̅)
(̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)
(̅̅̅̅̅̅̅̅)
(
) ̅̅̅̅̅̅̅
(
) =(̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)
Örnek: ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) ̅̅̅̅̅̅̅
(
) =(̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) (̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(
)
̅̅̅̅̅̅̅
(
)=(̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)
(̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)
3
4.Tam rasyonel sayılar
3.Teorem:
{(̅̅̅̅̅̅̅)
} olduğuna göre, (
(
) matematik yapısına izomorftur.
Ispat:
(
) matematik yapısı halkadır.
) matematik yapısı,
(̅̅̅̅̅̅̅)
fonkiyonuna bakalım.
̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅
(
)( )
için
( ) ̅̅̅̅̅̅̅
( )] ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(
)
( ))
((̅̅̅̅̅̅̅))
[̅̅̅̅̅̅̅
(̅̅̅̅̅̅̅
( ) ̅̅̅̅̅̅̅
( )] ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(
)
( )) ((̅̅̅̅̅̅̅)) olduğundan bir
ve [̅̅̅̅̅̅̅
(̅̅̅̅̅̅̅
homomorfizmdir. Bu fonksiyon birebir ve örtendir. Buna göre, fonksiyonu
(
) matematik yapısından (
) matematik yapısına bir izomorfmizmdir.
4.Tanım:
denir. Kısaca
olduğuna göre, (̅̅̅̅̅̅̅) rasyonel sayısına tam rasyonel sayı
biçimde gösterilir.
Bu tamıma göre
.
̅̅̅̅̅̅̅̅
) elemanını biçiminde gösterelim.
herhangi bir (
ve | ise
4.Teorem:
(̅̅̅̅̅̅̅) (̅̅̅̅̅̅̅)
Ispat:
5.Tanım:
5.Teorem:
ve
dır.
(̅̅̅̅̅̅̅) ̅̅̅̅̅̅̅
( )
(̅̅̅̅̅̅̅)
olsun.
ve
ve
olsun.
a)
b)
c)
d)
ise
6.Teorem:
olsun. a nın b ye bölünmesinden elde edilen bölümün q,
kalanın r olması için,
ve r<b olması gerekir ve yeter.
Örnek: 25=4.6+1
5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama
4
(̅̅̅̅̅̅̅) =(̅̅̅̅̅̅̅) olsun.
7. Teorem:
ise cd>0.
( )( ) ( )( )
Ispat: (̅̅̅̅̅̅̅) =(̅̅̅̅̅̅̅)
( ) =(ab)(cd)
(̅̅̅̅̅̅̅) olsun.
6.Tanım: :
,
ise ve yalnız böyle ise sayısına pozitif rayonel sayı denir ve
biçimde yazylyr. Pozitif rasyonel sayılar kümesi:
ise ve yalnız böyle ise sayısına negatif rayonel sayı denir ve
biçimde yazylyr. Negatif rasyonel sayılar kümesi:
7.Tanım:
| |
olsun.
{
biçiminde tanımlanan | | sayısına x in mutlak değeri denir.
8.Tanım: :
olsun.
olacak biçimde pozitif
varsa rasyonel sayısı b den küçük denir ve
yazılır.
yerine bazen
yazılır.
veya
ifadesi
yazılır.
8.Teorem:
9.Teorem:
10.Teorem:
a)
b) (
c)
d) (
e)
f)
g) (
h) (
i)
olsun.
ve
rasyonel sayı
biçimde
olsun.
olsun.
)
, (
)
)
,
)
)
9.Tanım: :
olsun.
ile z nin arasındadır, denir.
11.Teorem:
vardır.
ve
veya
ise
rasyonel sayısı
en az bir rasyonel sayı
5
12.Teorem (Arşimed özelliği):
tam sayı vardır.
olsun.
olacak biçimde bir
6. Rasyonel sayıların kuvvetleri
10.Tanım:
olsun.
a)
dir.
b)
dir.
c)
dir.
d)
(
)
ye x in n inci kuvveti denir ve “x üssü n” diye okunur. x e taban n ye üs
denir.
13.Teorem:
a) ( )
olsun.
( )
b)
c)
d)
e) (
ve
ise
)
14.Teorem:
olsun.
ise
veya
.
15.Teorem:
olsun. n çift tam sayı ise
olacak biçimde bir
rasyonel sayı yoktur.
11.Tanım:
olsun.
a) tek sayı olmak üzere,
olacak biçimde bir sayı varsa bu sayıya a
nın n. kuvvetten kökü denir.
b) çift sayı ve
olmak üzere,
olacak biçimde bir pozitif
sayı
varsa bu sayıya a nın n. kuvvetten pozitif kökü denir.
√
c)
çift sayı ve
olmak üzere,
olacak biçimde bir negatif
varsa bu sayıya a nın n. kuvvetten negatif kökü denir.
12.Tanım:
a)
b)
[ ]
16.Teorem:
( )
√ =
olsun.
olsun.
( )
c)
d)
e) (
sayı
)
6
7.Alıştırmalar
1. (
) kesrine denk olan öyle bir (x,y) kesri bulunuz ki x+y=21 olsun.
2. Aşağıdaki açık önermelerin daki doğruluk kümesini bulunuz.
a)
b)
c)
d)
̅̅̅̅̅̅̅
(
)
̅̅̅̅̅̅̅
(
)
̅̅̅̅̅̅̅
(
)
̅̅̅̅̅̅̅
(
)
̅̅̅̅̅̅̅
(
)
̅̅̅̅̅̅̅
(
)
̅̅̅̅̅̅̅
(
)
̅̅̅̅̅̅̅
(
)
3.
rasyonel sayısını en sade biçimde yazınız.
4.
(
)(
)
(
)
önermeyi
ispatlayınız.
5.
(
)(
önermeyi
)
ispatlayınız.
6. Aşağıdakileri hesaplayınız.
a) 3(̅̅̅̅̅̅̅)
b) ( )(̅̅̅̅̅̅̅)
c) 0(̅̅̅̅̅̅̅̅̅)
( )]
d) [̅̅̅̅̅̅̅
( )]
e) [̅̅̅̅̅̅̅
(
)]
f) [̅̅̅̅̅̅̅̅̅
olduğuna göre,
7.
8.
9.
10.
olduğuna göre,
ve
ve
olduğunu gösteriniz.
11.
ve
olduğunu gösteriniz.
olduğunu gösteriniz.
olduğuna göre
olduğunu gösteriniz.
olsun. (
)(
)(
)
olsun. (
)
(
)
olduğunu
gösteriniz.
7