Soyut Matematik

forever@you t@k
SOYUT MATEMATİK
Tanım 1 (Eşit güçlü): A ve B iki cümle f:A→B bir fonksiyon olsun. f fonksiyonu birebir ve
örten ise bu fonksiyona birebir eşleme denir. A dan B ye en az bir birebir eşleme varsa A ve B
cümlelerine eşit güçlü cümleler denir. A ve B eşit güçlü cümleler ise A ~B ile gösterilir.
Tanım 2 (Sonsuz cümle): En az bir özalt cümleye eşit olan cümleye sonsuz cümle denir.
Teorem 1: Boş cümle sonlu cümledir.
Teorem 2: Doğal sayılar cümlesi sonsuz bir cümledir.
Tanım 3 (Sayılabilir cümle): Doğal sayılar cümlesinin bir alt cümlesine eşit güçlü olan
cümleye sayılabilir cümle denir.
Teorem 3: Doğal sayılar cümlesi kendisine eşit güçlü olduğundan sayılabilir ve sonsuz bir
cümledir.
Tanım 4 (Sayma sayıları): IN-{0} cümlesine sayma sayılar cümlesi denir ve S ile gösterilir.
Tanım 5 (Asal ve bileşik sayı): Birden büyük bir t tam sayısının 1 den ve t den başka pozitif
böleni yoksa bu sayıya asal sayı denir. Birden büyük ve asal olmayan bir sayıya bileşik sayı
denir.
Teorem 4 (Aritmetiğin temel teoremi): Birden büyük her tamsayı ya asaldır yada bu tam
sayı asal sayıların çarpımı olarak “çarpanların sırası önemli olmamak üzere “ tek biçimde
yazılabilir.
Tanım 6 (Yetkin sayı): a ∈ Z olsun. a nın pozitif bölenlerinin toplamı bu sayının mutlak
değerinin iki katına eşit ise a ya yetkin sayı denir. Örneğin; 28 yetkin sayıdır.
Teorem 5: Herhangi iki rasyonel sayı arasında en az bir irrasyonel sayı vardır.
Tanım 7 (Aralarında asal sayılar): En az biri sıfırdan farklı olan a ve b tam sayılarının ortak
bölenlerinin en büyüğü 1 ise bu iki tam sayıya aralarında asal sayılar denir.
Tanım 8 (Önerme): Doğru yada yanlıştan biri ve yalnız biri ile nitelenebilen bildiri
cümlesine önerme denir.
Tanım 9 (Cümle): Herhangi cins ve çeşitten nesnelerin oluşturduğu topluluğa cümle denir.
Tanım 10 (Evrensel ve varlıksal niceleyici): ∀ simgesine evrensel niceleyici ve ∃
simgesine ise varlıksal niceleyici denir. ∀ her anlamında ve ∃ ise en az bir yada bazı
anlamındadır.
Tanım 11 (Öz alt cümle): A cümlesi B cümlesinin bir alt cümlesi ve A≠B ise A cümlesine B
cümlesinin öz alt cümlesi denir.
Tanım 12 (Evrensel cümle): Belirli bir tartışma yada incelemede sözü geçen tüm cümleleri
alt cümle olarak alan belirli bir cümleye evrensel cümle denir.
Tanım 13 (İndis): Herhangi bir I cümlesi verilmiş olsun.I nın her bir elemanı için bir Ai
cümlesi varsa I cümlesine indisleyen cümle , bu cümlenin her bir i elemanına indis denir.
Tanım 14 (Cümleler ailesi): I indisler cümlesi olmak üzere , her bir i için bir Ai cümlesi var
ise {Ai│i∈I} cümlesine cümleler ailesi denir.
Tanım 15 (Kuvvet cümlesi): Herhangi bir A cümlesinin bütün alt cümlelerinin ailesine A nın
kuvvet cümlesi denir.
Tanım 16 (Parçalanış): Boş olmayan bir A cümlesinin alt cümlelerinden oluşmuş bir A
ailesi aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa bu aileye A cümlesinin bir parçalanışı denir.
A ={Ai│i∈I} olmak üzere :
1. Φ A nın elemanı değil
2. ∀k , t ∈I için : ( k≠t ise A k  A t = Φ )
3. A=  A i
i∈I
written by E. Yılmaz
t@k
Created with Print2PDF. To remove this line, buy a license at: http://www.software602.com/
forever@you t@k
Tanım 17 (Örtü): A ={Ai│i∈I} olmak üzere A ailesinin birleşimi bir A cümlesini kapsıyor
ise , yani A cümlesi A ailesinin birleşiminin alt cümlesi ise A ailesine A cümlesinin bir
örtüsü denir.
Tanım 18 (Kartezyen çarpımı): A ve B iki cümle olsun. O halde
:
{(x,y)│ x ∈A ve y ∈B } cümlesine A ile B cümlesinin kartezyen çarpımı denir.
Tanım 19 (Bağıntı): Boş olmayan iki cümle A ve B olduğuna göre AXB nin boş olmayan her
bir alt cümlesine A dan B ye bir bağıntı denir.
Tanım 20 (Ters simetri özelliği): A cümlesinde tanımlanan bir bağıntı β olsun. O halde :
∀(x , y) için { x≠y ve ( x, y) ∈β}⇒( y, x ) β } önermesi doğru ise β bağıntısına ters
simetriktir denir.
Tanım 21 (Denklik sınıfı): A cümlesinde tanımlı bir denklik bağıntısı β olsun. ( x, y) ∈β ise
y elemanına β bağıntısı ile x elemanına denk eleman denir. A cümlesinde x elemanına denk
olan tüm elemanların cümlesine x in denklik sınıfı denir ve x ile gösterilir.
Tanım 22 (Sıralama bağıntısı): Bir cümlede tanımlanan bir bağıntının yansıma , ters simetri
ve geçişme özellikleri var ise bu bağıntıya sırlama bağıntısı denir. Bir A cümlesinde bir
sıralama bağıntısı var ise bu cümleye sıralı cümle denir.
Tanım 23 (Tam sıralı cümle): A cümlesinde tanımlanan bir sıralamam bağıntısı ≤ olsun. A
cümlesinin her eleman çifti bu bağıntı ile birbirleri ile karşılaştırılabiliyor ise A cümlesine
tam sıralı cümle denir.
Tanım 24 (İyi sıralı cümle): A cümlesinde tanımlanan bir sıralamam bağıntısı ≤ olsun. A
cümlesinin boş olmayan her alt cümlesinin en küçük elemanı var ise A cümlesine bu
bağıntıya göre iyi sıralı cümle denir.
Tanım 25 (Bir bağıntının izdüşümleri): A cümlesinden B cümlesine tanımlanan bir bağıntı
β olsun. {x x ∈A ve ∃y ∈B için ( x, y) ∈β} cümlesine β bağıntısının A ya birinci
izdüşümü denir.
Tanım 26 (Fonksiyon): Boş olmayan A ve B cümleleri verilsin. A cümlesinden B cümlesine
bir f bağıntısı A nın her x elemanını B nin en az bir ve en çok bir elemanı ile eşliyor ise bu
bağıntıya tanım cümlesi A ve değer cümlesi B olan bir fonksiyon denir.
Tanım 27 (Örten fonksiyon): f:A→B bir fonksiyon olsun. B nin her elemanını en az bir ters
görüntüsü var ise f fonksiyonuna örten fonksiyon denir.
Tanım 28 (Mutlak değer fonksiyonu): A⊆IR olmak üzere f:A→IR fonksiyonu verilmiş
olsun. │f│:A→IR , │f│(x)= │f(x)│ fonksiyonuna f in mutlak değer fonksiyonu denir.
Tanım 29 (İşaret fonksiyonu): A⊆IR olmak üzere f:A→IR fonksiyonu verilmiş olsun. O
halde : Signf:A→IR , Sgnf(x)= { 1 , f(x)>0 ise : 0 , f(x)=0 ise : -1 , f(x)<0 ise } fonksiyonuna
fin işaret fonksiyonu denir.
Tanım 30 (Tam değer fonksiyonu): A⊆IR olmak üzere A nın her x elemanını x in tam
değerine eşleyen fonksiyona tam değer fonksiyonu denir.
Tanım 31 (Doğal sayı): Sonlu cümleler ailesinde tanımlanan eşit güçlü olma bağıntısına göre
elde edilen ve 0,1,2,3,4,….. ile gösterilen denklik sınıflarından her birine bir doğal sayı denir.
Doğal sayılar cümlesi IN ile gösterilir.
Tanım 32 (Eleman sayısı): Bir A cümlesi {1,2,3,…..,n} cümlesine eşit güçlü ise n sayısına A
cümlesinin eleman sayısı denir.
Teorem 6: Sayılabilir cümlenin her alt cümlesi sayılabilirdir.
Tanım 33 (Tam sayı): a , b ∈IN olmak üzere INXIN cümlesinde tanımlanan ~ denklik
bağıntısına göre (a,b) yi eleman olarak alan (a , b) denklik sınıfına bir tam sayı denir.
Tanım 34 (Ortak bölen): Sıfırdan farklı iki a ve b tam sayısının her ikisini tam bölen bir x
tam sayısına bu sayıların ortak böleni denir.
written by E. Yılmaz
t@k
Created with Print2PDF. To remove this line, buy a license at: http://www.software602.com/
forever@you t@k
Tanım 35 (OBEB): En az biri sıfırdan farklı iki tam sayı a ve b olsun. a ve b nin ortak
bölenlerinin cümlesinin en büyük elemanına a ve b nin ortak bölenlerinin en büyüğü denir.
Tanım 36 (Ortak kat): Her ikisi sıfırdan farklı olan a ve b tam sayılarından her ikisinin katı
olan bir tam sayıya bu sayıların ortak katı denir.
Tanım 37 (OKEK): Sıfırdan farklı a ve b tam sayılarının pozitif ortak katlarının en
küçüğüne a ve b nin ortak katlarının en küçüğü denir.
Tanım 38 (İkiz asal sayı): iki asal sayının farkı 2 ise bu asal sayılara ikiz asal sayılar denir.
Tanım 39 (Kompakt cümle): Komplex düzlemde sınırlı ve kapalı bir cümleye kompakt
cümle denir.
Tanım 40 (Doğal logaritma): z , sıfırdan farklı bir karmaşık sayı olduğuna göre : eW=z
denkleminin çözüm kümesine z nin doğal logaritması denir.
Tanım 41 (Euler formülü): eiy=cosy +isiny formülüne euler formülü denir.
Tanım 42 (İrrasyonel sayı): IR-Q cümlesinin her bir elemanına bir irrasyonel sayı denir.
Tanım 43 (Reel sayı): Terimleri rasyonel sayılar olan cauchy dizilerinin cümlesi T , sıfır
dizilerinin cümlesi S olsun. (an) , (bn)∈T [(an) β(bn)⇔(a n - b n ) ∈S ] biçiminde tanımlanan β
bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. Terimleri rasyonel sayılar olan temel dizilerin T cümlesinde
tanımlanan β bağıntısının T den ayırdığı denklik sınıflarının her birine reel sayı denir.
Tanım 44 (Kesir): K={(a,b):a∈Z ,b∈Z ve b≠0} olduğuna göre K nın her bir elemanına bir
kesir denir.
Tanım 45 (rasyonel sayı) Kesirlerin K cümlesinde (a,b),(c,d)∈K için : (a,b)~(c,d)⇔ad=bc
biçiminde tanımlanan ~ bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. Kesirlerin K cümlesinde
tanımlanan ~ denklik bağıntısının K dan ayırdığı her bir denklik sınıfına bir rasyonel sayı
denir.
written by E. Yılmaz
t@k
Created with Print2PDF. To remove this line, buy a license at: http://www.software602.com/