MIMO channels with l..

MIMO Kanallarda Sınırlı Hızda Geribesleme ve RVQ
MIMO Channels with Limited Rate Feedback and RVQ
Yrd. Dç. Dr. Ali Özgür Yılmaz
Araş. Gör. Gökhan Muzaffer Güvensen
Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü
Orta Doğu Teknik Üniversitesi (ODTÜ), Ankara
[email protected]
[email protected]
Özetçe
Çoklu alıcı-vericili anten sistemi kablosuz haberleşmede
uzam çeşitlemesiyle birlikte getirdiği daha fazla serbestlik
derecesinin bir sonucu olarak kapasiteyi önemli ölçüde
arttırmaktadır. Fakat kapasitedeki bu artış çok-girişli çokçıkışlı (MIMO) sistemlerde kanal bilgisinin kusursuz biçimde
bulunması sonucunda olmaktadır. Biz bu makalede, ilk olarak
Kanal Durum Bilgisinin (CSI) alıcı tarafında kusursuz olarak
bulunduğunu, fakat verici tarafında ise sınırlı hızdaki geri
beslemenin bir sonucu olarak nicemlenmiş kanal bilgisinin
bulunduğunu kabul ederek MIMO kanal kapasitesini
hesapladık. İkinci durumda ise, alıcı tarafında kanal bilgisinin
kestiriminde belli bir hatanın oluştuğunu göz önüne alarak,
geri beslemeli MIMO kapasitesi üzerinde çalıştık. Genel
olarak yukarıdaki iki durum için, rasgele vektörel nicemleme
(RVQ) yöntemi ile birlikte indirgenmiş sayıda ön kodlayıcı
kullanılması sonucunda ortaya çıkan kapasite incelenmiş ve
kapasite kayıplarının ön kodlayıcı başına az sayıda bit
kullanılması sonucunda bile çok fazla olmadığı anlaşılmıştır.
Abstract
The capacity increases promised by multi-input multi-output
(MIMO) systems systems usually come with requirements in
regard to channel knowledge. We study the capacity of a
MIMO scheme with perfect channel state information (CSI) at
the receiver side where the transmitter has only a quantized
version of the CSI due to a limited rate feedback channel.
Random vector quantization is investigated along with a
reduced number of precoders. It is found out that capacity
losses are quite tolerable even in the case of small number of
bits per quantized precoder.
1. GİRİŞ
Çok-girişli çok-çıkışlı (MIMO) sistemlerin getirdiği
kapasite kazancının pratik sistemlerde elde edilebilmesi için
alıcı ve verici tarafında kusursuz bir kanal bilgisine (CSI)
ihtiyacımız vardır. CSI’nın doğru bir şekilde elde edilmesi
pilot simgelerinin miktarı, kanal kestirim metodu gibi bir çok
faktöre bağlıdır. Kanal bilgisini alıcı tarafından vericiye
aktarmak için sınırlı hızda geri besleme metodu kullanılabilir
ve bu da verici tarafında CSI’nın doğruluk derecesini belirler.
Kanal kestiriminin doğru bir şekilde yapılmadığı durumda,
MIMO kanalın girişim sınırlı olduğu gösterilmiştir [1]. Ayrıca
yine [1]’de anlık geri besleme tekniğinin hatalı olsa bile hem
düşük hem de yüksek işaret-gürültü oranı (SNR) durumunda
yüksek kapasite kazançları sağladığı gözlenmiştir. Benzer
biçimde, noktadan noktaya MIMO sistemleri ile MIMO yayın
sistemlerinin kanal kapasitesi, alıcı tarafında kusursuz, verici
tarafında ise nicemlenmiş kanal bilgisinin bulunduğu kabul
edilerek birçok araştırmacı tarafından incelenmiştir. [2]’de ise
MISO (çok-girişli tek-çıkışlı) kanal ile MIMO kanallarda
kullanılmak üzere nicemleme kuralları ile nicemleyici tasarım
ölçütleri önerilmiştir. Grassmanninan beamforming yöntemi
niceleme tekniği olarak kullanılmış ve bu durumda, kod
tablosunun büyüklüğü, kapasite-SNR kayıpları, kesinti
performansı gibi konular incelenmiştir [3], [4]. MIMO yayın
kanallarının sınırlı hızda geri besleme kullanılması sonucunda
girişim limitli olduğu ve kapasitenin, SNR ile birlikte doğrusal
artışı isteniyorsa, SNR arttıkça geri beslemede daha fazla
sayıda bit kullanılması gerektiği gösterilmiştir [5]. Rasgele
vektörel nicemleme
yönteminin MISO sistemlerde
kullanılması da [6]’da ele alınmıştır.
Biz bu çalışmada noktadan noktaya MIMO kanallarının
kapasitesini inceledik ve bunu yayın kanallarının kapasitesiyle
karşılaştırdık. MIMO kanal matrisine tekil değerli ayrışım
(SVD) yöntemi uygulayarak, kanalı paralel alt kanallara
ayrıştırabiliriz. Her bir paralel kanal için ön kodlayıcılar ile
güç seviyelerini verici tarafına göndererek, MIMO kanal
kapasitesine ulaşabiliriz. Kanal kapasitesi, yüksek SNR
seviyelerinde,
CSI’nın
verici
tarafında
bulunup
bulunmamasından çok etkilenmese bile, SVD tekniği düşük
SNR seviyelerinde ve de kapasiteye yakın çalışan uyarlanabilir
şekilde kiplenmiş MIMO sistemlerinin tasarımında önem
kazanmaktadır [8]. Bu makalede, ön kodlayıcıların verici
tarafına geri besleme ile gönderildiği durum üzerinde
yoğunlaşılmış ve kod tablosu RVQ yöntemi ile rasgele
biçimde oluşturulmuştur. Bazı ölçütler yönünden kod
tablosunda en yakın bulunan vektör verici tarafına
iletilmektedir. Bu durumda, geri besleme hızının azaltılması
için bütün ön kodlayıcılar kullanılmamış, onun yerine ön
kodlayıcıların belli bir bölümünün kullanılması sonucunda
ortaya çıkan kapasite hesaplanmıştır.
Çalışmamızda, ikinci bölümde kullanılan sistem modelini
açıkladık, üçüncü bölümde ise indirgenmiş ön kodlayıcı
yöntemini önerdik. Dördüncü ve beşinci bölümlerde ise kanal
kestiriminde hata oluşmadığı ve oluştuğu durumlar için
kapasite ifadeleri elde edilmiştir. Ayrıca, elde edilen kapasite
ifadeleri için analitik sınırlar bulunmuş ve yazı altıncı bölüm
ile sonlandırılmıştır.
2. SİSTEM MODELİ
Kalın küçük ve büyük harfler sırasıyla sütun vektörlerini
ve matrisleri temsil etmektedir. Sayıllar ise yalın küçük harfler
ile gösterilmişlerdir. Üst simge (.)* sayıllar için karmaşık
eşlenik, vektör ve matrisler için karmaşık devrik alma işlemine
karşılık gelmektedir. n x n birim matris ise In sembolü ile
gösterilmektedir. Matrisin izi ve mutlak değer işlemlerini
sırasıyla tr(.) ve |.| simgeleri temsil eder. Rasgele a vektörü
için özilinti matrisi R a = E aa*  ile gösterilmiştir ve E[]


beklenen değer operatörüdür.
Alıcı anten sayısı nr, verici anten sayısı nt olan noktadan
noktaya MIMO kanalın genel ifadesi aşağıda verilmiştir;
~
~
~
~
y = Hx + w
(1)
Burada;
: nr x nt kanal matrisini,
H
x : elemanları gönderilecek bilgiyi kanal sembolleri
olarak
taşıyan vektörü,
: sıfır ortalamalı uzamsal ve zamansal olarak simetrik
w
değeri 1’e düzgelenmiş varyansa sahip beyaz gauss
gürültüsünü (ZMCSCG) göstermektedir.
Blok sönümleme modeli göz önüne alındığında,
gönderilen işaret üzerindeki ortalama güç kısıtını aşağıdaki
gibi yazabiliriz;
(2)
tr ( R x ) ≤ P
gerçekleştirmesi yapılmış ve kullanılan ortalama alt kanal
sayısı hesaplanmıştır. Kapasiteye erişmek için kullanılan
ortalama alt kanal sayısı SNR’nin artan bir fonksiyonudur. Bu
nedenle, belli bir SNR değerinde, kapasiteye erişmek için ön
kodlayıcı matrisin tamamını kullanmak gerekli değildir. Onun
yerine, en güçlü kanallara karşılık gelen ön kodlayıcı
vektörleri verici tarafına göndermek kapasiteye erişmek için
yeterlidir. Böylece, geri besleme hızı düşürülebilir ve
kullanılmayan diğer kanallar başka amaçlar için ayrılabilir.
SNR seviyesi yükseldikçe yeni alt kanallar kullanılmak ve geri
besleme hızı arttırılmak zorundadır.
Tekil değerli ayrışım metodu (SVD) ile, MIMO kanalı
min(nr,nt) tane alt paralel kanallara aşağıdaki gibi
ayrıştırabiliriz;
Öncelikle kanal matrisini SVD ile ayrıştırdığımızda:
~
H = UD V
*
(3)
Bu durumda;
~
~
~
y = UDV x + w
*
(4)
vektörü ön kodlayıcı matris, alt
D bir köşegen matristir ve x
kanallara güçlerin nasıl dağıtıldığını gösteren köşegen matris,
ve özilinti matrisi birim matris olan x vektörünün çarpımı
şeklinde yazılabilir:
x = Vf Λ f x
ve
R x = I min(n r ,n t )
Gerekli birimcil dönüşümleri uygularsak;
y = U y
*
.
ve
*
, (4)’deki ifadeyi aşağıdaki gibi yazabiliriz;
w=U w
(5)
y = DV V f Λ f x + w
*
Verici tarafında sınırlı hızda geri beslemeden dolayı kanal
bilgisi tam olarak bulunmamaktadır, bu da nicemlenmiş ön
kodlayıcı matris kullanılmasının sonucunda meydana
gelmiştir. Bu yüzden, geri besleme durumunda V*Vf ≠ I ve de
yeni ortalama güç kısıtı tr Λ 2f ≤ P olarak yazılabilir.
( )
3.
İNDİRGENMİŞ ÖN KODLAMA TEKNİĞİ
Toplanır beyaz gauss gürültülü kanalların kapasitesinin
düşük SNR değerinde güç sınırlı, yüksek SNR değerlerinde ise
band genişliğine bağlı olduğu bilinmektedir [10]. Bu bilgi,
birleşik güç kısıtlamasının olduğu çoklu kanallarda, düşük
SNR seviyelerinde kapasiteyi attırmak için bütün gücü sadece
belli bir grup alt kanallara, yüksek SNR seviyelerinde ise
bütün serbestlik derecelerini kullanmak için bütün kanallara
güç dağıtmamız gerektiğini gösterir. Bu sebeble, düşük SNR
değerlerinde, paralel alt kanalların sadece çok az bir kısmı
kullanılmalı, SNR seviyesi yükseldikçe, haberleşme hızını
arttırmak için daha fazla sayıda alt kanal kullanıma girmelidir.
Şekil-1’de uzamsal waterfilling yöntemiyle 4 x 4 MIMO
kanalda, kapasiteye erişmek için kullanılan paralel alt kanal
sayısı gözükmektedir. Bu şekilde, her bir SNR değeri için
(gürültü seviyesi 1 olarak alınmıştır) 20,000 kanal
Şekil-1. 4x4 kanal kapasitesine erişmek için kullanılan ortalama alt
kanal sayısı
4. RVQ ile KAPASİTE HESABI
Analitik kolaylığından ötürü sınırlı hızda geri beslemenin
noktadan noktaya MIMO kanal kapasitesi üzerindeki etkisini
RVQ yöntemini kullanarak inceleyeceğiz. 2Nf tane nicemleyici
{q , q ,..., q } vektörleri,
1
2
2 Nf
nicemleyici kod tablosunu
yaratmak için RVQ tekniği ile rasgele olarak
oluşturulmaktadırlar. Burada, Nf ön kodlayıcı vektör başına
karşılık gelen bit sayısını göstermektedir. Nicemleyici
vektörler, nt-boyutlu birim çember üzerindeki yön bağımsız
dağılım üzerinden bağımsız olarak çekilen nt boyunda
karmaşık vektörlerden oluşur [5], [6]. RVQ yöntemini,
indirgenmiş ön kodlama ile birlikte kullanabiliriz. Bu
durumda, analitik kolaylık ve pratik sistemlerdeki
uygulanabilirliğinden ötürü, yalnızca iki alt kanalı
kullanacağız. Gerekli değişkenleri yeni durumda tekrar
tanımlarsak;
 v* 
y 
d 0 
y =  1  , D =  1  , V* =  * 1  ,
 y2 
 0 d2 
v 2 
λ 0 
x 
Vf = [ v 1f v 2f ] , Λ f =  1  , x =  1  ,
 0 λ2 
x2 
(6)
ifade (5)’i kullanarak aşağıdaki eşitliği elde edebiliriz.
*
 y1   d1 v 1 v1f
=

y 
 2  d 2 v* 2 v1f
d1 v*1 v 2f   λ1 x1   w1 

+ 
d 2 v* 2 v 2f   λ 2 x 2   w 2 
(7)
Bu denklemi dikkatli bir şekilde incelediğimizde, her bir
alt kanalda işaret terimi, beyaz gürültü terimi ve diğer alt
kanaldan kaynaklanan girişim terimi olduğu görülür.
Demodülasyonda, diğer kanaldan gelen girişim dikkate
alınmasz ise, uyumlu filtreleme işlemi alınan işaret üzerinde
tıpkı yayın kanallarındaki gibi uygulanabilir. Bu durumda, iki
alt kanalın işaret-girişim-oranı (SIR) aşağıdaki gibi verilebilir;
d12λ12 | v*1v1f |2
SIR1 = 2 2 *
,
d1 λ2 | v 1v2f |2 +1
(13)
2 2
*
2
2 2
2 2f
2 2
*
2
2 1
2 1f
d λ |v v |
SIR2 =
,
d λ | v v | +1
| v*1 v 2f |2
Benzer biçimde,
(8)
Uyumlu filtreleme (match filtering) sonucunda elde edilen
kapasite ise Cmf = log 2 (1 + SIR1 ) + log 2 (1 + SIR 2 )
(9)
Böylece kanal matrisi H ve nicemlenmiş ön kodlayıcı
vektörler verildiğinde (9)’da verilen eşitliği kullanarak Cmf’yi
hesaplayabiliriz. Nicemleme işlemi aşağıda verilen kural
doğrultusunda yapılmaktadır;
v if = arg m ax N | v *i q j |2
j = 1, 2 ,..., 2
  x nt −2

1−1−  ,0 ≤ x ≤1−a
  1−a 



*
2
F
(x| | v 1v1f | =a) =
0
,x <0

|v*2v1f |2


1 ,x >1−a




(10)
f
’nin
| v* 2 v 2f |2
koşulu
altındaki dağılımı da (13)’de verilen dağılıma sahiptir. Basit
gösterim açısından,
değişken
Vij = v*i v jf
tanımladık.
Vij
şeklinde yeni bir rasgele
ilerleyen
kısımlarda
sıklıkla
kullanılacaktır.
Elde ettiğimiz olasılık dağılımlarını kullanarak uyumlu
filtreleme sucunda bulunan kanal kapasitesini hesaplayabiliriz.
İki farklı yol kullanarak, ergodik kapasite Monte Carlo
benzetim yöntemi ile hesaplanmış ve yukarıda bulunan olasılık
dağılım fonksiyonlarının geçerliliği Şekil-2’de gösterilmiştir.
v1 ve v2 vektörleri verildiğinde, ön kodlayıcı matrisler (10)’da
verilen yöntemi kullanarak birbirlerinden bağımsız olacak
biçimde oluşturulabilirler. RVQ yöntemi, nicemleyici kod
defterlerinin sonsuz sayıda oluşturulup, bunların ortalama
performanslarının incelendiği rasgele kodlama yaklaşımıdır.
Bu durumda,
| v*1 v1f |2
ve
| v*2 v 2f |2
‘nin bağımsız
özdeşçe dağılmış rasgele değişkenler olduğu görülmektedir.
Bu değişkenlerin olasılık dağılım işlevleri [3] ve [4]’de
aşağıdaki gibi verilmiştir;
f


n t −1 2
−
−
1
1
x
, 0 ≤ x ≤ 1
(
)



F * 2 (x) = 
0
,x < 0

| v 1 v1f |


1
,x >1




(
)
N
(11)
(9)’da verilen kapasiteyi hesaplaya bilmemiz için kalan 2 tane
daha değişkenin olasılık dağılımını bilmek zorundayız.
v*i v jf
, v1 vektörünün v2 üzerine iz düşümüne karşılık
gelmektedir. Bu durumda, v1 ve v2’nin dikliklerini kullanarak
aşağıda verilen ifadeyi oluşturabiliriz;
v*2 v1f = v*2 ( v1f − ( v1* v1f ) v1 ),
v1f'
(12)
v1f' = v1f − ( v1* v1f ) v1 ,bu
vektörünü tanımlayarak,
vektörün, v1 vektörüne dik bir uzayda yer aldığı gözükür. Bu
durumda,
v1f'
vektörü
( v1f' )* v1f' = 1− | v1* v1f |2
vektörleri verildiğinde,
v1f
(nt-1)
boyutlu,
büyüklüğü
olan bir vektördür. v1 ve v2
ve
v 2f
vektörleri birbirlerinden
bağımsızdırlar. v2 vektörünün yön bağımsız dağılıma sahip
v
'
1f
üzerine izdüşümü düşünüldüğünde,
aşağıdaki
edilir;
koşullu
olasılık
*
| v 2 v1f |
dağılımı
2
için
elde
Şekil-2. Uyumlu filtreleme sonucunda elde edilen, 4 x 4 MIMO kanal
için ergodik kapasite. Çizgiler, olasılık dağılım fonksiyonları ile
işaretler ise rasgele oluşturulan kod defterleri kullanılarak elde
edilmiştir.
Şekil-2’den çıkarılabilecek bir diğer sonuç ise kanal
kapasitesinin SNR ile doğrusal olarak yükselmediğidir. Bu
durumda kapasiteyi attırmak için Nf arttırılmalıdır, fakat
yinede kapasitenin girişim limitli olduğu gözlenmektedir. İdeal
ön kodlayıcılarınkine çok yakın bir performans için çok fazla
sayıda bit (Nf) kullanılması gerekmektedir. Bu durumda, kod
tablosu çok fazla büyüyecek ve ideal ön kodlayıcıya daha
yakın bir tablo bulma olasılığımız artacaktır.
Yayın kanallarından farklı olarak noktadan noktaya
MIMO kanallarda alıcı, hem gerçek kanalı hem de
nicemlenmiş ön kodlama vektörlerini bilmektedir. Bu
durumda, eş kanal matrisini tanımlarsak,
aşağıdaki gibi yeniden yazabiliriz;
H = DV* Vf , (5)’i
y = HΛ f x + w
(14)
2 adet ön kodlayıcı kullanan durumdaki kanal kapasitesi;
C 2pre = log 2 | I 2 + HΛ f2 H* |
(15)
ve bu kapasiteye en küçük ortalama kare hata kestirimi
(MMSE) ve ardışık girişim yok etme yöntemi ile erişilebilir
[15].
Kapasiteyi
hesaplarken
Waterfilling
yöntemi
uygulanmamış, onun yerine en iyi alt yaklaşımlardan biri
olarak, alt kanalların ikisine de eşit güç verilerek analiz
yapılmıştır, Λ
2
f
=
P
I 2 .Bu sayede, güç dağılımı için geri
2
besleme kullanılmasına gerek kalmamış, elde edilen sonuçlar
belli SNR değerlerine kadar gerçek kapasiteye çok yakın
kalmıştır.
Şekil-3’de 2 ön kodlayıcılı durumların 4x4 kanal
kapasitesi ile karşılaştırması yapılmıştır. Her bir nokta, 10,000
Monte Carlo benzetimi ile oluşturulmuş, RVQ ile bulunan
olasılık dağılımları kullanılarak elde edilmiştir. Şekilden de
görülebileceği gibi, nicemlemenin çok da ince olmadığı (4 ile
8 bit arası) 2 ön kodlayıcılı durumun, Nf değerine bağlı olarak
2-8dB arasına kadar tüm kanallara eşit güç dağıtıldığı duruma
göre 4x4 kanal kapasitesine daha yakın olduğu görülmektedir.
SNR seviyesi yükseldiğinde ise 2 ön kodlayıcılı durumun 4x4
kapasiteden uzaklaştığı görülmektedir çünkü bu durumda tüm
serbestlik dereceleri kullanılmamaktadır. Özetle, 2 ön
kodlayıcılı durumdaki haberleşme hızı, kanal kapasitesine,
geri beslemede az sayıda bit kullanılması durumunda bile
(düşük SNR değerleri için) yakın kalmakta ve 5dB’ye kadar
eşit güç dağılımına göre 1-2dB kazanç olduğu gözlenmektedir.
Şekil-3. 4x4 ergodik kanal kapasiteleri. Tüm kanalların kullanıldığı
durum (2 durum: Waterfilling ve eşit güç dağıtımı) ile 2-önkodlayıcılı durumdaki (3 durum: Waterfilling ve eşit güç dağıtımı, Nf
=∞ ile eşit güç dağıtımında sınırlı hızda geri besleme) kapasitelerin
karşılaştırılması
5. RVQ YÖNTEMİ İLE KAPASİTE SINIRI ve KANAL
KESTİRİM HATASININ KAPASİTEYE ETKİSİ
RVQ yöntemi ile oluşturulan 2-ön kodlayıcılı durumdaki kanal
kapasitesine bir üst sınır oluşturabiliriz. Fakat, bildirimizi 4
sayfayla sınırlı tutmak zorunda olduğumuz için burada uzun
sayılabilecek ispata yer veremiyoruz, sadece bu sınırın analitik
ifadesinini verebiliyoruz;
P
P
Elog2 | I + HH* |≤ log2 (1+ E[d12 ](E[| V11 |2 ] + E[| V12 |2 ])
2
2
P
+ E[d22 ](E[| V21 |2 ] + E[| V22 |2 ])
2
P2
+ E[d12d22 ]E[| V11 |2 ]E[| V22 |2 ]
4
P2
+ E[d12d22 ]E[| V12 |2 ]E[| V21 |2 ])
4
(16)
nt
),
(17)
nt −1
n −1
n
E[| V12 |2 ] = E[| V21 |2 ] = (1− B(1, t ))2Nf B(2Nf , t )
nt − 2
nt −1
Burada, B(x, y) beta fonksiyonudur [6].
E[| V11 |2 ] = E11 = E22 =1− 2Nf B(2Nf ,
d12 , d 22 , d12 d 22 değişkenlerinin ortlama değerleri Monte Carlo
benzetimi kullanılarak hesaplanmıştır. Deneysel momentler,
100,000 gerçekleştirme yapılarak, bunlar üzerinden ortalama
alınarak bulunmuştur.
Şekil-4’de ise gerçek kapasite değerleri ile ona bulunan sınırın
birbirine çok yakın olduğu gözlenmektedir. Elde ettiğimiz üst
sınır ile gerçek ergodik kapasite arasındaki fark 0.2dB ile
0.4dB arasında değişmektedir.
Şekil-4. 2-ön-kodlayıcılı durumdaki haberleşme hızları için bulunan
üst sınırların Monte Carlo benzetim değerleriyle karşılaştırılması
Kanal kapasitesini hesaplarken, alıcı tarafında kusursuz
kanal durum bilgisinin bulunduğunu kabul etmiştik, ikinci
aşamada ise alıcı tarafında MMSE yötemiyla kanal kestirimi
yapıldığını ve bir kestirim hatası oluştuğunu kabul edersek,
ˆ
, burada Ĥ , kestirim sonucunda
yeni durumda; H=H+E
bulunan kanal matrisi ve E de kestirim hatasıdır. Ĥ ve
E arasındaki korelasyon sıfırdır ve E, ZMCSCG olasılık
dağılımına sahiptir, varyansı ise;
2 ) − E (H
ˆ 2 ) olarak belirtilir [17],
σ 2E = M M S E = E ( H
ij
ij
burada
σ 2E
göstermektedir.
kanal
kestirimindeki
doğruluk
derecesini
Bu yeni durumda ise 2-ön kodlayıcılı kanalın kapasitesi
aşağıdaki gibidir;
C 2pre (lower) = log 2 | I 2 +
P/2
HH* |
σ2E P + 1
Burada yine alt kanallara eşit güç dağıtılmıştır,
(18)
P
Λ2f = I 2 .
2
Sayfa limitlerini aşmamak adına, yukarıdaki ifadenin
çıkarımına bu bildiride yer veremiyoruz. Şekil-5’de farklı σ 2E
değerleri için 2 ön kodlayıcı kullanıldığı durumdaki
haberleşme hızlarının farklı SNR değerlerine göre değişimi
gösterilmektedir. σ 2E değerlerinin çokta küçük olmadığı
durumlarda (şekilde σ 2E =0.1), SNR seviyesi yükseldikçe,
σ 2E P
terimi çok büyümekte ve kapasite belli bir SNR
değerinden sonra sabit kalmaktadır.
Şekil-5. 2-ön kodlayıcılı sınırlı hızda geri beslemeli MIMO sistemde,
kanal kestirimindeki doğruluk derecesinin kapasiteye etkisi
6. SONUÇLAR
Bu bildiride, genel olarak noktadan-noktaya MIMO
kanalların sınırlı hızda geri besleme durumundaki
kapasitelerini inceledik. İlk olarak, kapasiteye erişmek için
kullanılan ön kodlayıcıların sayısının çok fazla bir performans
kaybına neden olmadan, kanalın ortalama SNR değerine bağlı
olarak azaltılabileceğini gördük. Daha sonra, RVQ yöntemi
ile
noktadan-noktaya MIMO kanalların, geri besleme
sırasında, yayın kanallarına nazaran çok daha az sayıda bit
kullanılması ile kapasiteye yakın çalıştıklarını gözlemledik.
Son olarak, ön kodlayıcılı durumlarda kanal kapasitesine,
pratik sistem tasarımında kullanılabilecek, üst sınır oluşturduk.
Ayrıca, kanal kestiriminde belli bir hatanın oluştuğunu kabul
ederek bunun ergodik kapasite üzerindeki etkisini inceledik.
Daha sonraki çalışmalarımıza kanalın değiştiği, fakat en son
yapılan kanal kestirindeki hatanın değerinin, alıcı tarafında
tespit edildiğini kabul ederek, bu senaryo için yine sınırlı hızda
geri besleme durumunda maksimum habeleşme hızlarını ve
analitik sınırları bulmaya çalışacağız. Buna ek olarak, daha
fazla sayıda ön kodlayıcının kullanılması durumunda oluşan
ergodik kapasiteyi hesaplamaya çalışacağız.
6. KAYNAKÇA
[1] T. Yoo, E. Yoon, and A. Goldsmith, “MIMO capacity with
channel uncertainty: Does feedback help?,” Proc. IEEE
Globecom, pp. 96–100, 2004.
[2] J.C. Roh and B.D. Rao, “Channel feedback quantization
methods for MISO and MIMO systems,” Proc. IEEE PMIRC,
vol. 2, pp. 805–809, Sept. 2004.
[3] D.J. Love, R.W. Heath Jr., and T. Strohmer,
“Grassmanninan beamforming for multiple-input multipleoutput wireless systems,” IEEE Trans. Inform. Theory, vol.
49, no. 10, pp. 2735–2747, Oct. 2003.
[4] K.K. Mukkavilli, A. Sabharwal, E. Erkip, and B. Aazhang,
“On beamforming with finite rate feedback in multipleantenna systems,” IEEE Trans. Inform. Theory, vol. 49, no.
10, pp. 2562–2579, Oct. 2003.
[5] N. Jindal, “MIMO broadcast channels with finite rate
feedback,” Proc. IEEE Globecom, 2005.
[6] C. Au-Yeung and D.J. Love, “On the performance of
random vector quantization limited feedback beamforming in
a MISO system,” preprint.
[7] I. E. Telatar, “Capacity of multi-antenna Gaussian
channels,” Europ. Trans. Telecommun., vol. 10, pp. 585–598,
Nov./Dec. 1999.
[8] Z. Zhou, B. Vucetic, M. Dohler, and Y. Li, “MIMO
systems with adaptive modulation,” IEEE Trans. Vehicular
Tech., vol. 54, no. 5, pp. 1828–1842, Sept. 2005.
[9] E.G. Larsson and P. Stoica, Space-Time Block Coding for
Wireless Communications, Cambridge University Press, 2003.
[10] A. Goldsmith, Wireless Communications, Camridge
University Press, 2005.
[11] L. Devroye, Non-Uniform Random Variate Generation,
New York: Springer-Verlag, 1986.
[12] G.D. Forney Jr, “Shannon meets Wiener II: On MMSE
estimation in successive decoding schemes,” Proc. 2004
Allerton Conf., 2004.
[13] P. Stoica, Y. Jiang, and J. Li, “On MIMO channel
capacity: An intuitive discussion,” IEEE Signal Processing
Mag., pp. 83–84, May 2005.
[14] T.M. Cover and J.A. Thomas, Elements of Information
Theory, Wiley & Sons, 1991.
[15] C. G. Khatri, “Distribution of the largest or the smallest
characteristic root under null hyperthesis concerning complex
multivariate normal populations,” Ann. Math. Stat., vol. 35,
pp. 1807–1810, Dec. 1964.
[16] M. Kang and M.-S. Alouni, “Largest eigenvalue of
complex Wishart matrices and performance analysis of MIMO
MRC systems,” IEEE J. Sel. Areas Comm., vol. 21, no. 3, pp.
418–426, April 2003.
[17] T. Yoo and A. Goldsmith, “Capacity of fading
MIMO channels with channel estimation error,”in Proc.
IEEE Int. Conf. Commun., vol. 2, June 2004, pp. 808813.