5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJE ADI

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJE ADI

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması
PROJE ADI
Düzensizlikten Düzene: Çeşitkenar Üçgen
Üzerinde Eşkenar Üçgen
Eslem Nur KELEŞOĞLU – Muhammet Enes ÖRCÜN
ÖZEL BAŞAKŞEHİR ÇINAR FEN LİSESİ
İSTANBUL, 2014
1. PROJE ADI:
Düzensizlikten Düzene: Çeşitkenar Üçgen Üzerinde Eşkenar Üçgen.
2. AMAÇ:
Bu projenin amacı, her bir köşesi, bir çeşitkenar üçgenin ayrı bir kenarı üzerinde yer
alan bir eşkenar üçgeni sentetik yolla (yalnız pergel ve ölçüsüz cetvel kullanarak) çizmektir.
3. GİRİŞ:
Düzlem geometrisi ile ilgili çeşitli kaynaklarda, yalnız pergel ve ölçüsüz cetvel kullanarak

Birbirine paralel üç doğru verildiğinde, köşeleri bu üç doğru üzerinde yer alan
eşkenar üçgeni (Şekil – 1) [1]
 Herhangi bir üçgen içerisine kare çizme (Şekil – 2) [2]
 Herhangi bir dörtgen içerisine kare çizme (Şekil – 3) [3]
yöntemleri verilmektedir.
Şekil – 1
Şekil – 2
2/9
Şekil – 3
Fakat, incelediğimiz hiçbir kaynakta, her bir köşesi, bir çeşitkenar üçgenin ayrı bir kenarı üzerinde yer alan bir eşkenar üçgenin (Şekil – 4’de ABC eşkenar üçgeni), yalnız pergel
ve ölçüsüz cetvel kullanarak nasıl çizilebileceği ile ilgili herhangi bir bilgiye rastlamadık.
Şekil – 4
Biz bu proje çalışması ile, her bir köşesi bir çeşitkenar üçgenin ayrı bir kenarı üzerinde
yer alan bir eşkenar üçgeni yalnız pergel ve ölçüsüz cetvel kullanarak çizme yöntemini ortaya
koyduk.
4. YÖNTEM:
Teorem – 1:
Bir doğrusu, bu doğru üzerinde birbirinden farklı ve noktaları ile bu doğru üzerinde
yer almayan bir noktası verilsin. Bir kenarı
ve üçüncü köşesi ile aynı tarafta yer
alan eşkenar üçgen ile bir kenarı
ve üçüncü köşesi yine A ile aynı tarafta yer alan bir
başka eşkenar üçgenin üçüncü köşelerinden ( ve noktaları) geçen doğru, doğrusu ile
60 derecelik açı yapar. (Şekil – 5)
3/9
Şekil – 5
İspat:
üçgeni eşkenar üçgen olduğundan
(1)
dir. Benzer şekilde,
üçgeni eşkenar üçgen olduğundan
(2)
dir. (1) ve (2) numaralı eşitliklerden
(3)
,
minden dolayı
olduğundan, K.A.K. eşlik teore-
ve
(4)
dir. (4) numaralı eşlikten dolayı
(5)
dır.
üçgeninde
(6)
ve
(7)
olduğundan;
(6) ve (7) den
(5) ten
elde edilir.
4/9
Teorem – 1’den elde edilen ve bu projede kullanılan bir başka sonuç da,
noktası
doğrusu üzerinde
noktasına doğru hareket ettiğinde,
noktası da
doğrusu
üzerinde
noktasından uzaklaşacak şekilde hareket eder.
Şimdi, Teorem – 1’den elde edilen ikinci sonucu kullanarak çeşitkenar
üçgeni ve üçgen üzerinde herhangi bir noktası verildiğinde (Şekil – 6), köşeleri PRS üçgeninin kenarları üzerinde yer alan eşkenar üçgeni (Şekil – 7’deki ABC üçgeni) elde edelim.
Şekil – 6
Şekil – 7
Bunun için, öncelikle
üçgeninin kenarlarından herhangi biri üzerinde bir A noktası, diğer iki kenardan herhangi birinin üzerinde de birbirinden farklı
ve
noktaları alınır. (Şekil – 8)
5/9
Şekil – 8




A merkezli ve
K merkezli ve
A merkezli ve
L merkezli ve
yarıçaplı,
yarıçaplı,
yarıçaplı,
yarıçaplı
çemberler çizilir. (Şekil – 9)
Şekil – 9


yarıçaplı çemberlerin kesiştiği noktalardan doğruya göre A noktası ile
aynı tarafta yer alanına noktası
yarıçaplı çemberlerin kesiştiği noktalardan A noktası ile aynı tarafta yer
alanına noktası
6/9

ve N noktalarından geçen doğru ile üzerinde nokta alınmayan
nun kesiştiği noktaya C noktası
doğrusu-
diyelim. (Şekil – 10)
Şekil – 10
,
ve
noktaları doğrusaldır.
noktası,
ve
noktaları arasında yer aldığına göre, Teorem – 1’den çıkarılan sonuç gereği, bir kenarı
olan eşkenar üçgenin
üçüncü köşesi de
ve
noktaları arasında yer almalıdır. (Şekil – 11)
Şekil – 11
Böylece ABC eşkenar üçgeni elde edilmiş olur. (Şekil – 12)
7/9
Şekil – 12
5. SONUÇLAR VE TARTIŞMA

Düzlem geometrisi ile ilgili kaynaklarda, birbirine paralel üç doğru verildiğinde, köşeleri bu üç doğru üzerinde yer alan eşkenar üçgeni yalnız pergel ve ölçüsüz cetvel kullanarak çizme yöntemleri yer almaktadır. Fakat, incelediğimiz
hiçbir kaynakta, her bir köşesi, bir çeşitkenar üçgenin ayrı bir kenarı üzerinde
yer alan eşkenar üçgenin, yalnız pergel ve ölçüsüz cetvel kullanarak nasıl çizilebileceği ile ilgili herhangi bir bilgiye rastlamadık. Bu proje çalışması ile her
bir köşesi, bir çeşitkenar üçgenin ayrı bir kenarı üzerinde yer alan eşkenar üçgeni yalnız pergel ve ölçüsüz cetvel kullanarak çizme yöntemini ortaya koyduk.

Çeşitkenar üçgen verildiğinde köşeleri bu üçgenin kenarları üzerinde yer alan
eşkenar üçgen yegane değildir. Yani,
doğrusu üzerinde alınan bir noktasının konumuna göre, diğer köşeleri
ve
doğruları üzerinde yer alan farklı eşkenar üçgenler elde edilebilir. (Şekil – x ve Şekil – x)
Şekil – x
Şekil – x
Bu projede örnek olarak, PS üzerinde bir A noktası alarak, bir köşesi aldığımız
A noktası olan, diğer köşeleri de
ve
doğruları üzerinde yer alan eşkenar
üçgeni elde ettik.
8/9

Bu projede anlatılan yöntem ile, çeşitkenar üçgen verildiğinde köşeleri bu üçgenin kenarlarını taşıyan doğrular üzerinde yer alan eşkenar üçgeni elde etmek
de mümkündür.
6. KAYNAKLAR:
[1] http://math.stackexchange.com/questions/379554/fit-a-equilateral-triangle-onthree-arbitrary-parallel-lines-with-an-edge-and-co
[2] http://www.gogeometry.com/problem/p069_square_inscribed_triangle.htm
[3] Hebbert, C. M., (1914 - 1915), The Inscribed and Circumscribed Squares of a
Quadrilateral and Their Significance in Kinematic Geometry, Annals of Mathematics,
Vol. 16, No. 1/4, sayfa 38-42.
9/9