İskenderiyeli Diyofantus, ``Bilemeyiz``in Kanıtı, Dik Üçgenler ve 1

İskenderiyeli Diyofantus, ``Bilemeyiz``in Kanıtı, Dik Üçgenler ve 1

İskenderiyeli Diyofantus, ‘‘Bilemeyiz’’in Kanıtı, Dik Üçgenler
ve
1 Milyon Dolar Üzerine
“Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften und die Zahlentheorie is die
Königin der Mathematik.” (Matematik bilimin kraliçesi, Sayılar Teorisi de
Matematik’in kraliçesidir.) Bu söz Alman Matematikçi Carl Friedrich Gauss’a ait.
Antikçağ sonrası en büyük matematikçi olarak kabul edilir Gauss.
Bir matematik problemine, hem de dik üçgenlerle alakalı olan bir probleme tam
1 milyon dolar paha biçildiğini biliyor muydunuz? “Bir dakika yahu”
diyeceksiniz, “Dik üçgenlerle alakalı her şeyi Antik Yunan’dan beri bilmiyor
muyuz ki?” Lise geometri derslerinin süper yıldızı Öklid dik üçgenlerle alakalı
her soruya yanıt bulmamış mıydı ki?
Matematikçilerin defalarca muhatap kaldığı bu sorunuzun benzer bir halinden
bahsederek başlayalım o zaman; askerliğimden bir anekdotla. Burdur’da dövizli
askerlik kapsamında yaptım askerliğimi. Her işle meşgul insanlarla beraber,
dünyanın dört bir yanından… O gün Paris’te çalışmakta olan bir güruhla denk
geldim. Ben de o vakit Paris’teki dünyaca ünlü IHES Matematik Enstitüsü’nde
bulunuyordum; bizim çağımızın Öklidler’inden matematik öğrenebilmek için.
Bana “Ne iş yaparsın?” diye sordular, “Matematikçiyim” diye cevap verdim, ama
konunun burada kapanmasının imkânsız olacağının farkındaydım. ”Öğretmensin
yani?!” diye sordu biri. Doğru, normal koşullarda bir işimiz de “matematik
öğretmek”, ama aksilik o ya ben o sene ders vermiyordum ve o gün köyün
doğrucusu olmaya kararlıydım.
- Aslında bu sene ders vermiyorum.
- Peki o zaman ne yapıyorsun ki?
- Araştırma. Hem de dik üçgenler üzerine.
Kısa bir sessizlik sonrası o küçük Parisli Türk çetesinin reisi görünümlü olanı
diğerlerine dönüp “Bak işte bizim vergiler nereye gidiyor?” diyerek noktaladı
sohbetimizi.
Dönelim dik üçgenlere… Matematikçi ne iş yapar sorusuna bir cevap burada gizli
zira. Matematikçilik, bir dik üçgene bakarak Ay’a gitmeyi, atomu parçalamayı
başarmış insanoğlunun entelektine meydan okuyan bir problem ortaya atıp
usanmadan asırlarca onun peşinden koşmaktır. Binlerce yıllık problemleri
çözmek ve çelimsiz görünüşlerine (enine boyuna nihayetinde dik üçgen işte!)
zıtlıkla yüzlerce yıllık uğraşıyı gerektirecek derinlikte bilgilere ulaşmak hevesiyle
değil, bu süreçte yepyeni dünyalar keşfetmenin tutku ve keyfiyle beslenen kişidir
matematikçi.
Peki, bırakalım da matematik anlatsın bizlere matematikçilerin derdi neymiş,
neden -Gauss’un demesiyle- kendisi bilimin kraliçesiymiş?
Saymak, Ölçmek-Biçmek Derken: Keops-Thales-Pisagor-Plato
Nil’in taşkınlarının çetelesini tutmak istedi eski Mısırlılar, zira bu taşkınları
felaket olmaktan çıkartıp bir nimet olarak ancak bu şekilde kullanabilirlerdi:
Yılın belli gün sayısından ibaret bir döngü olduğunu hesap etmişler, daha sonra
bu döngünün üç mevsime (“akhet” yani sel mevsimi; “peret”, yani ekinlerin
büyüme mevsimi; “shemu”, yani hasat mevsimi) bölerek hayatlarını ona göre
düzenlemişler.
Nil taşkınlarının zamanını hesap etmek için su seviyesinin çetelesini tutmaları
gerekmiş, buna uygun hesap sistemleri geliştirmişler. İster inanın ister
inanmayın, Mısır’ı diğer medeniyetlerin bu derece önüne geçiren temel başarı,
Mısırlıların doğa ile mücadelelerinde kullanmak üzere keşfettikleri matematiksel
sistemlerdir.
Sayılarla ilişkimiz çok kabaca işte buna benzer bir hikâyeyle başlamış: günleri ya
da başka nicelikleri sayarak. O nedenle {1, 2, 3, ....} kümesine sayma sayıları
kümesi deriz. İnsanlık hayatta kalma mücadelesinde tarım devrimi sayesinde
kısmen galebe çalmasının ardından gözünü sonsuzluğa çevirmiş, sonsuzluğu
aramıştır. Neticede kendilerinin yeryüzündeki izleri olarak ebediyete kadar
yaşayacak abideler inşa etmeye koyulmuşlar. Bu süreçte daha kapsamlı hesaplar
gerekmiş, insan saymaktan bir adım öteye geçip geometri ile ilgilenmeye
başlamışlar. Başlangıçta matematik temel ihtiyaçlara cevap aramak için bir
araçken, matematiksel yapılarla insanoğlu entelektüel birikimini bir düzene
koyabileceğini, hatta matematik vasıtasıyla estetik tatmin bulabileceğini fark
etmiş. Keops piramidinin taban çevresinin yüksekliğine oranının, birim çemberin
çevresi olan 2π sayısına binde iki yakınlıkta olması (ki böyle devasa bir yapı için,
5000 yıl öncesinin koşulları göz önüne alınırsa korkunç bir yakınlıktır bu) böyle
bir kaygının neticesi olabilir mi dersiniz?
Ünlü Macar matematikçi Paul Erdös, "Sayıların cazibesi nereden gelir? Bu,
‘Beethoven’ın 9. Senfonisi neden güzeldir?’ diye sormaya benzer. Nedenini
kendin göremiyorsan, sana kimse anlatamaz da bunu. Ben sayıların güzelliğini
biliyorum. Sayılar güzel değilse, hiçbir şey değildir." diyerek bu hisleri dile
getiriyor.
Geometri demiştik tam da, şu satırların sahibi muhatabınız geveze matematikçi
bendeniz matematiğin güzelliğini ballandıra ballandıra anlatmaya başlamadan!
Hani ondan bahisle okulunun kapısına ”Geometri bilmeyen giremez!“ yazmış
Plato (Eflatun); işte o geometri. Antik Yunan döneminde matematik, Plato’dan
çok evvel toprakdaşlarımız Thales ve Pisagor tarafından deneme-yanılma
yöntemlerinden çok mantıksal/aksiyomatik çıkarımsal metodların hükmettiği
bir alana evrimleştirilmeye başlanmıştır esasında. Plato’ya ise, geometriyi
mühendisliğin üstünkörülüğünden arındırıp soyutsal temellerine oturtan kişi
demek hata olmaz herhalde. Plato, cetvel ve açı ölçer kullanmaya tenezzül
edenlerin yalnızca hamal olacaklarını, gerçek bilgelerin yalnızca pergel ve
çizgelik (Cetvelden farklı olarak üzerinde hiçbir ölçüm birimi bulunmayan,
sadece iki nokta arasında bir doğru çizmekte kullanılan alet) ile problemlere
cevap arayacağını ifade etmiştir. Bu mütalaa, cetvel ve pergel kullanılarak hangi
geometrik şekiller çizilebilir problemine götürmüştür insanoğlunu; kendilerine
19. yüzyılda, insanın 2200 senelik tecrübe ve çabaları üzerine inşa edilen derin
yöntemlerle yanıt bulabilen Antik Yunan’ın üç temel “imkânsızlık” problemine:
Sadece cetvel ve pergel kullanarak, bazı açıları üç eşit parçaya bölmek de, hacmi
verilen bir küpün hacminin iki katı olan bir başka küpü inşa etmek de, alanı
verilen bir dairenin alanına eşit olan bir kareyi çizmek de İMKÂNSIZDIR! Evet,
bunu sizin de, sizin torunlarınızın da başaramayacağını kanıtlayabiliyoruz; yani
zahmete dahi girmeyin! Ne yazık ki, bunu bir-iki sayfada lise düzeyinde anlatmak
mümkün değil, ciddi bir lisans eğitimi gerekli bunun için…
Matematikçiler bu kadar derine indi diye burada pes etmeyeceğiz elbette. En
azından hani şu 1 milyon dolarlık problemin hikâyesi bahsetmeye ve belki de
azıcık baş döndürücü teknik güçlüğe göğüs germeye değebilir. O vakit sıkı durun:
Yazımızın masal evresinden birazcık daha ciddi kısmına geçiyoruz!
Denk Sayı Problemi
Birazdan sizlere takdim edeceğim matematik problemi 2000 yıllık değil, yalnızca
(!) 1000 yaşında; lakin hâlâ dimdik ayakta! Bu soruyu ilk soranlar 10. yüzyılda
altın çağını yaşamakta olan Arap medeniyetinin matematikçileri. İlk kez ortaya
atılmasından sekiz yüzyıl sonra, 18. yüzyılda Alman Kralı Friedrich İtalyan
matematikçi Fibonacci’yi payitahtına davet ederek bu problemi çözmesini ister:
Hangi n pozitif tamsayıları, tüm kenar uzunlukları rasyonel sayılar olan bir dik
üçgenin alanı olabilir?
Böyle bir dik üçgen bulunabiliyorsa n tamsayısına bir denk sayı diyeceğiz.
Cebirsel olarak bu problemi şu şekilde de ifade edebiliriz:
Şayet
(*)
a2+b2=c2
ve
ab/2=n
olacak şekilde a, b, c rasyonel sayıları var ise, n tamsayısına bir denk sayı
diyeceğiz.
Aslen bir hukukçu olan Pierre Fermat, n=1 sayısının denk olmadığını, yani alanı 1
olup da tüm kenarları rasyonel sayılar olan bir dik üçgenin olmadığını
kanıtlamıştır. Fermat’nın ispatı oldukça estetik ve matematiğe azıcık dahi ilgi
duyan her lise öğrencisinin anlayabileceği düzeydedir. Teoremin kanıtındaki en
mühim adım sonsuz inişler yöntemi olarak adlandırılır: Fermat kanıtlar ki, eğer
alanı 1 olan bir dik üçgen varsa, ki bunun hipotenüsü c=m/n rasyonel sayısı olsun
(burada m ve n iki pozitif tamsayıdır), o zaman hipotenüsünün payı c’nin payı
m’den daha küçük olan bir dik üçgen vardır. Bu ise imkânsızdır zira bize üstü
kapalı olarak, verilen her hangi bir pozitif tamsayıdan daha küçük bir başka
pozitif tamsayı bulabileceğimizi söylemektedir. Bu çelişki gösterir ki, ilk
önkabulümüz, yani alanı 1 olan bir dik üçgenin varlığı kabulü hatalı olmalıdır.
Peki genel durumda ne yapabiliriz?
Dik Üçgenler ve Diyofant Denklemleri
Denk sayılarla ilgili basit bir gözlemle başlıyoruz. İlk bakışta son derece beyhude
bir adım gibi gözükse de, matematikçiler bu kadarcık bir adımı alıp nereye
taşımışlar göreceksiniz!
Gözlem 1: Şu iki küme arasında birebir örtüşen bir eşleme vardır:
Bir başka deyişle, bir n pozitif tamsayısının denk sayı olması için gerek ve yeter
koşul, En: y2=x3-n2x Diyofant Denklemi’nin (0,0), (0,n) ve (0,-n)’den başka bir
çözümünü bulunabilmesidir.
Diyofant Denklemi de ne ola ki? Bunlar, İskenderiyeli matematikçi Diyofantus’un
üzerinde çalıştığı denklem türleridir. En kaba ifade ile, F(x1,..., xn) katsayıları
rasyonel sayılar olan bir (n-değişkenli) polinom olmak üzere, F(x1,..., xn)=0
denkleminin x1,..., xn rasyonel değerler alırken çözümü var mıdır yok mudur,
varsa çözüm kümesini betimlemek mümkün müdür sorularına yanıt arar
Diyofantus. Bu masum görünümlü (yoksa değil mi?) problemin ardında
muazzam bir canavar yatmaktadır, hadi onu açığa çıkartalım!
Örnek 1: Az evvel karşımıza çıkan y2-(x3-n2x)=0 denklemi bir Diyofant
Denklemi’dir mesela.
Örnek 2: x3+y3+z3=29 denkleminin tamsayılar kümesinde bir çözümünü hızlıca
keşfetmek çok zor olmasa gerek: (3,1,1). Hatta biraz daha dikkatle bakıldığında
(4,-3,-2) üçlüsünün de bir çözüm olduğunu görebilirsiniz.
Örnek 3: x3+y3+z3=30 denklemine göz atalım bir de. Bu denklemin bilinen en
küçük tamsayı çözümleri (2220422932, -2218888517, -283059965) üçlüsüdür
ve bu üçlü ancak 1970’lerde ilk hesap makineleri yardımıyla keşfedilmiştir!
Burada canavar dişini göstermeye başladı sanki, haksız mıyım?
Örnek 4: Hazır başlamışken
x3+y3+z3=31
ve
x3+y3+z3=32
denklemlerini de bir düşünelim. Bu denklemlerin çözümü yok ve kanıtı için lise
düzeyinde matematik bilgisi yeterli. Zira, her hangi bir tamsayının küpünü 9’a
böldüğümüzde, kalan 0,1 yahut 8 olabilir. Bu bilgi ve azıcık modüler aritmetiğe el
yatkınlığı bu problemin hakkından gelmek için kâfi. Canavar mı demiştiniz?
Örnek 5: Peki son olarak x3+y3+z3=33 denklemini düşünelim. Sıkı durun: Bu
denklemin tamsayılar kümesinde çözümü var mı yok mu kimse ama kimse
bilmiyor!
Evet, kimse ne bu denklemin çözümü olamayacağını kanıtlayabiliyor ne de bir
tek çözüm bulabiliyor. Ay’ı fethetmiş insanoğlu için utandırıcı gerçekten! Bu
durum bizi şu soruya sürüklüyor: Madem insanın kabiliyetlerinden çok daha
ötede hesap kitap yapabilen bilgisayarlarımız var, neden bir algoritma yazıp bu
denklem mümkün mü değil mi hesap ettirmiyoruz?
İşte bu problem Hilbert’in 10. Problemi olarak bilinen, 20. yüzyılın en önemli
matematikçilerinden David Hilbert’in 1900 yılında Uluslararası Matematik
Kongresi’nde yaptığı konuşmada, “Yeni yüzyılda çözülmesi öncelikli olmalıdır”
dediği 23 problemlik listesindeki problemlerden biridir.
Hilbert’in 10. Problemi: Öyle bir algoritma var mıdır ki, girdi olarak rasyonel
katsayılı bir Diyofant Denklemi’ni alsın, çıktı olarak bize ya
bu denklemin rasyonel sayı çözümü VARDIR,
ya da
bu denklemin rasyonel sayı çözümü YOKTUR
desin.
Hilbert’in kendisi bu soruya pozitif bir cevap tahmin etmiş olacak ki ‘”In der
Mathematik giebt es Ignorabimus” (Matematikte bilemeyiz olmaz!) demiştir.
Fakat Hilbert’in tahmininde
hatalı olduğu 1970 yılında
kanıtlandı:
Matiyasevich: “Diyofant
denklemlerinin çözülebilirliği
HÜKÜMSÜZDÜR. Bir başka
deyişle, rastgele bir Diyofant
denkleminin çözümünün olup
olmadığı hükmüne varabilecek
bir algoritma BULUNAMAZ!”
bilip dik üçgenlere geri dönelim iyisi mi!
Yani bilemeyeceğimizi kanıtlıyor
Matiyesevich! Herhalde bir
canavarla karşılaştığımızı kabul
edersiniz, kaçma vakti, haddimizi
Dik üçgenler ve Eliptik Eğriler
Nerede kalmıştık hatırlayalım: Alanı n pozitif tamsayısı ve kenar uzunlukları
rasyonel sayılar olan dik üçgenler ile En: y2=x3-n2x denkleminin belirlediği
eğrinin üzerinde (0,0), (0,n) ve (0,-n)’den
başka rasyonel koordinatlı bir nokta
bulunmasıdır.
E_n’yi belirleyen türde denklemlerin çözüm
kümeleri olan eğrilere eliptik eğri diyoruz. Son
derece özel bir türde denklemle ilgileniyoruz,
kimin umurunda deyip hafife almayın!
Matematiğn belki de en mühim
problemlerinden biri olan ve Clay Matematik
Enstitüsü’nün
çözümüne 1
milyon dolar
değer biçtiği Birch ve Swinnerton-Syer sanısı bu
objelerin aritmetik özelliklerini anlamaya yönelik
bir problemdir. Bu noktaya zaten geri döneceğiz.
Bunun ötesinde, İngiliz matematikçi Sir Andrew
Wiles’ın, Fermat’nın Son Teoremi olarak bilinen ve
350 yıl kadar kanıt beklemiş tahminine verdiği
ispatın merkezinde de eliptik eğrilerin temel
özelliklerini anlamak yatmaktadır. Hâlâ ikna
olmadıysanız: Eliptik eğriler açık anahtarlı
şifreleme sistemleri dizaynında kullanılırlar. Banka
hesaplarımızın güvenliği matematik dünyasının bu
masum öğeleri üzerine kurulmuştur!
Hesaplarımızı güvene almakla yetinmeyeceğiz elbette. Denk sayı problemini
çözmek istiyorsak yapmamız gereken o halde En kümesini betimlemek.
Problem: En eğrisinin üzerindeki rasyonel koordinatlı noktalar kümesi
Kümesini betimleyin.
En(Q)={(x,y) ∈QxQ: y2=x3-n2 x}
Bir defa daha En(Q) kümesinin adi elemanları alt kümesi {(0,0), (0,n), (0,-n)}
hatırlayalım.
Artık lise ve hatta lisans matematiği seviyesini aşacağımız vakit geldi! Böyle
dediğime bakmayın, birazdan ifade edeceğim teoremi lise öğrencisi dahi
anlayabilir; lakin kanıtı oldukça ciddi matematik birikimi gerektiriyor:
Teorem (Mordell, 1922): Eğer En(Q) kümesinin adi olmayan tek bir elemanı dahi
var ise, o halde En(Q) kümesi sonsuz elemanlıdır.
Bu kanıtın ana girdisi bir nevi matematiksel simya. Elbette böyle bir ucube
yöntem yok; temel fikir eliptik eğrilerin noktaları alıp üzerinde toplama çıkarma
işlemi yapabileceğimiz bir objeye dönüştürmek. Biz üzerinde böyle bir işlem
tanımlanmış objelere “gurup” ismini veriyoruz. Örneğin, tam sayılar kümesi ve
bilindik toplama işlemimiz bize bir gurup verirler. Yahut 0’dan farklı rasyonel
sayılar kümesi üzerindeki çarpma işlemi de. Bir eliptik eğrinin üzerinde
tanımlanan toplama işlemini yandaki şemamızda betimliyoruz.
Mordell’in asıl genel teoremi der ki,
bu özel toplama işlemi altında En(Q)
gurubu yapısal olarak, kabaca
tamsayılar kümesine benzer. Bu
teoremi temel lisans cebiri almış
okuyucular için matematiksel dilde
yeniden ifade ediyorum:
Üstteki şemada betimlenen işlem
altında En(Q) sonlu türeteçli bir
abelyen gruptur. Bu grubun sonlu
mertebeli elemanları sadece ve
yalnızca adi elemanlarıdır.
Peki, Mordell’in teoremi sayesinde
ciddi bir adım atmış olduk: n sayısının
denk sayı olması için gerek ve yeter
koşul En(Q) kümesinin sonsuz sayıda
elemanı bulunabilmesidir. Dolayısıyla
denk sayı problemimiz şuna dönüştü:
Hangi n pozitif tamsayıları için En: y2=x3-n2 x eliptik eğrisinin üzerinde sonsuz
sayıda rasyonel koordinatlı nokta bulunabilir?
İşte tam bu noktada, yukarıda da bahsi geçen Clay Matematik Enstitüsü’nün
çözümüne 1 milyon dolar değer biçtiği Birch ve Swinnerton-Syer sanısı resme
girer. Bu sanı bizi bu problemin hesaplanabilir bir çözümüne götürür.
Birch ve Swinnerton-Dyer Sanısı (1964)
Her p asal sayısı için, Np ile y2=x3-n2 x mod p denkliğinin çözüm sayısını
gösterelim. Bu durumda, En(Q) kümesinin sonsuz sayıda elemanı olması için
gerek ve yeter koşul PROD_{p: asal} p/Np sonsuz çarpımının 0’a yakınsamasıdır.
Bu problemin çözümüyle uğraşan onca matematikçinin senelik maaşları toplamı
zaten milyon doları kat be kat geride bırakır; evet biz matematikçiler görece
ucuz işçiler konumunda olmamıza rağmen vaziyet böyle. Demek istediğim,
aslında bu problemin çözümüne konulmuş ödül tutarı, ederini yansıtmıyor; 1
milyon dolar yatırımla ulaşmak mümkün gözükmüyor bu sanının kanıtına.
1000 yıldır çözüm bekleyen denk sayı problemine son darbeyi indireceğimiz an
geldi ve çattı:
Teorem (Tunnell, 1982): Birch ve Swinnerton-Dyer sanısı doğru ise
olmak üzere,
(a) n bir tek tamsayı ise, n’nin denk sayı olması için gerek ve yeter koşul 2An=Bn
olmasıdır.
(b) n bir çift tamsayı ise, n’nin denk sayı olması için gerek ve yeter koşul
2C_n=D_n olmasıdır.
Bu ifade size karmaşık mı geldi? Hadi o zaman Tunnell’ın bu teoreminin gücünü
bir örnek üzerinde gözlemleyelim. Birch ve Swinnerton-Dyer sanısın
doğruluğunu kabul etmeye devam ediyoruz.
Örnek: n tamsayısı 8 ile
bölündüğünde 7 kalanını veriyorsa
bir denk sayıdır. Örneğin, alanı
81726749401007 olan ve
kenarları rasyonel sayılar olan bir
dik üçgen bulunabilir. Zira,
Tunnell’ın teoreminin ifadesinde
geçen An ve Bn sayılarının her
birinin, , n tamsayısı 8’e
bölündüğünde 7 kalanını veriyorsa
0 olduğunu bir lise öğrencisi
rahatlıkla görebilir. Dolayısıyla, bu
özel durumda gerçekten 0=2An = Bn = 0’dır ve Tunnell’ın teoremi sayesinde n
gerçekten bir denk sayı olmalıdır.
Hikâyenin geri kalanı kalburüstü üniversitelerin matematik bölümlerinin
doktora programlarında anlatılıyor. Ne yazık ki, biz burada bu hikâyeyi
sonlandırmak durumundayız. Devamını merak ederseniz, mesela sizden bu
yazıda gizlediğim 1 milyon dolar ödüllü problemin yarı sına Kazuya Kato’nun 10
yıl kadar önce verdiği kanıta dair bir şeyler öğrenmek isterseniz adresimiz belli,
zira asıl anlatmayı sevdiğim hikâye de tam burada başlıyor!
İngiliz filozof ve matematikçi Bertrand Russell’dan bir alıntı ile son noktayı
koyalım: ‘‘Matematiğe hakkını vererek bakabilirseniz matematiğin sadece
gerçekleri değil, aynı zamanda en yüce güzellikleri barındırdığını da göreceksiniz
- soğuk ve sade bir güzelliği, aynı bir heykel gibi, benliğimizdeki hiçbir zayıflığa
ihtiyaç duymayan, resim ve müzik sanatı gibi harikulade kapanları olmayan,
görkemli bir süssüzlükte bir güzellik, en muhteşem sanat yapıtlarının
aksettirebileceği mükemmelliyet hissini yansıtabilen bir güzellik. Şiirin
barındırdığı, yücelik ve mükemmeliğin mihenk taşı insandan fazlası olabilme
algısı matematikte de bulunabilir.’’
Kazım Büyükboduk
Doç. Dr., Koç Üniversitesi Matematik Bölümü
Çeviri: Canberk İrimağzı