3. Karşılaştırmalı Statik Analiz

Karşılaştırmalı Durağan Analiz ve
Türev kavramı
6. Bölüm :Alpha Chiang,Matematiksel İktisadın Temel
Yöntemleri
1
Karşılaştırmalı durağan analiz
6. Karşılaştırmalı Durağanlıklar ve
Türev Kavramı

6.1 Karşılaştırmalı durağan analizin
doğası
 6.2 Değişim oranı ve türev
 6.3 Türev ve bir eğrinin eğimi
 6.4 Limit Kavramı
 6.5 Eşitsizlikler ve Mutlak Değer
 6.6 Limit Teoremleri
 6.7 Süreklilik ve bir fonksiyonun
türevinin alınabilirliği

2
6 Karşılaştırmalı Durağan Analiz

Parametreleri ya da dışsal değişkenleri değiştirdiğimizde
içsel değişkenlerin değerinde ne kadar değişme olduğu.
Örnekler
◦ Tek mallı piyasa modeli (P0,Q0) (shock) (P1,Q1)
◦ Milli gelir modeli (Y0, C0) (shock) (Y1, C1)
E1
P1
E0
P0
Talep2
Talep1
Q0
Q1
3
Örnek
Varsayalım ki Starbucks firması için filtre
kahve talep ve arz eğrileri için denklemleri
şu şekilde olsun:
 QD= 1000-2P+0.5Y0
Talep Eğrisi
 QS=100+3P
Arz Eğrisi
P:Kahvenin Fiyatı
Y:Tüketicilerin Gelirleri.
Q:Miktar
 Varsayalım ki tüketicilerin ortalama geliri
1000 TL olsun.
 QD= 1000-2P+0.5(1000)= 1500-2P

4
Çözüm
Talep
Arz
Denge
QT  1000  2P  0,5Y0
QS  100  3P QD  QS
QD=QS
1000-2P+0,5Y0=100+3P
P*(=280)’i Talep ya da Arz
denkleminde yerine
koyarsak
900-0,5 Y0 =5P
QS=100+3P*
180+0,1 Y0
P*=280 olur.
ve Y0 =1000 ise QS=100+3(280)
QS=QD=940
5
GRAFĠK ÇALIŞMASI
QD  1000  2P  0,5Y0  Y0  1000  QD  1500  2P
P:FĠYAT
FiyatP
750
Q=0 ĠÇĠN P=? : 0=1500-2P
P=750
P=0 ĠÇĠN Q=? Q=603(0)Q=1500
Q: Miktar
1500
6
GRAFĠK ÇALIŞMASI
FĠYAT P
ARZ
QS  100  3P
ARZ EĞRĠSĠ
MĠKTAR Q
100
-33
P=0 ĠÇĠN Q=100
Q=0 ĠÇĠN
P=-33
7
GRAFĠK ÇALIŞMASI
FĠYAT P
ARZ EĞRĠSĠ
280
TALEP EĞRĠSĠ
100
940
MĠKTAR Q
8
Örnek
Yukarıdaki örnekte tüketicilerin ortalama gelirleri
1000TL olduğu söylenmişti. Ceteris-paribus
(tüketicilerin gelirleri sabitken) denge düzeyi
bulunmuştu. Eğer tüketicilerin gelirleri artar ve 1200 TL
olursa durum ne olur?
Talep Eğrisi
Arz Eğrisi
QD= 1000-2P+0.5Y0
QS=100+3P
Tüketici Geliri 1000 TL
iken:
QD= 1000-2P+0.5(1000)
Tüketici Geliri 1200 TL
iken:
QD= 1000-2P+0.5(1200)
QD= 1500-2P
QD =1600-2P
9
Çözüm
QD=QS=
1000-2P+0,5Y0=100+3P
P=180+0,1Y0 VE Y0 =1200
P=180+0,1(1200)
P* değeri talep (ya da
arz) denkleminde
yerine konulursa:
Q=100+3(300)
Q*=1000 olur.
P*=300
10
GRAFĠK ÇALIŞMASI
Fiyat P
TALEP-2
TALEP-1
Arz Eğrisi
300
280
Miktar
940
1000
1500
1600
11
GRAFĠK ÇALIŞMASI
Fiyat P
B
300
A
280
940
1000
Q
Miktar
12
Örnek
IS-LM modeli:Milli gelir modeli:
Örneğin Milli gelir denge düzeyini bulduk.
Dışsal değişkenlerden bir tanesinin değeri
değişirse, denge milli gelir düzeyi nasıl
değişir?
 Denge Milli Gelir düzeyinin hesaplanması
ile ilgili olarak Bkz, Cramer yöntemi.

13
Örnek
Y=C+I0+G0
C=a+b(Y-T)
T=T0+tY
(a>0, 0<b<1)
(0<t<1)
14
Örnek: Keynes Modeli
Y  C  I 0  G0
.....................(1)
 bY  C  bT  a
 tY  T  T0
................(2)
.........................(3)
1 1 0
Y
I 0  G0
A   b 1 b , X  C , ve d  a
t
0
1
T
T0
15
Çözüm
CRAMER KURALINI UYGULAYALIM:
I 0  G0  1 0
a
1 b

Y 
T0
0
A
I 0  G0  a  bT0
Y 
1  b  bt

1
1 I 0  G0 0
b
a
b

; C 
t
T0
1
A
a  b( I 0  G0 )(1  t )  bT0
C 
1  b  bt

16
Çözüm
1
T 
b
t
 1 I 0  G0
1
0
a
T0
A
T0 (1  b)  at  t ( I 0  G0 )
T 
1  b  bt

17
Çözüm
I 0  G0  a  bT0

Y 
1  b  bt
Y
?
I 0
a  b( I 0  G0 )(1  t )  bT0 C
C 

1  b  bt
T0

T0 (1  b)  at  t ( I 0  G0 ) T
T 

1  b  bt
b

1--DIŞSAL BİR DEĞİŞKEN
OLAN I0 DEĞİŞİRSE DENGE
MİLLİ GELİR DÜZEYİ NE
OLUR?
2-- T0 (Örneğin) artarsa bu
artış tüketim harcamalarını
nasıl etkiler?
3—Marjinal tüketim eğilimi
(örneğin) artarsa, bu artış
vergi gelirlerine nasıl etki
eder?
18
Karşılaştırmalı Statik Analiz
harcama
Y=E
B
E1
E0
A
45
0
gelir
Y0
Y1
19
6.1 Karşılaştırmalı durağan analizin doğası
İlk denge durumunu varsayarak başlar
ve yeni dengeyi eskisi ile karşılaştırırız
 Bu karşılaştırma nicel (değişimin
miktarı) olabileceği gibi nitel
(değişimin yönü) de olabilir
 Problemin özü değişim oranının
bulunmasıdır
 Türev kavramı

20
6.2





Değişim Oranı ve Türev
Durağan analizde elimizde bir fonksiyon vardır:
y = f(x)
Karşılaştırmalı durağan analizde ise aynı obje ya da
manzara iki ayrı durumda (ya da zamanda)
fotoğraflanmakta ve karşılaştırılmaktadır:
y1 - y0 = f(x1) - f(x0)
Bu obje ya da manzaraya Y=f(x) dersek, bu manzaranın
ya da objenin 0 durumu için elimizdeki resmi
y0 = f(x0)
Ve 1 durumu için elimizdeki resmi
y1 = f(x1) ‘dir.
İşte karşılaştırmalı durağan analizde amaç bu
değişimleri daha anlaşır yapmaktan başka bir şey
değildir.
21
6.2
Değişim Oranı ve Türev
Burada X ve Y’deki değişmeler:
y1- y0= f(x1)- f(x0) ……….…….……………….(4)
y1- y0=∆y
…………….………………….(5)
x1- x0=∆x
………………………………….(6)

6 Numaralı Denklemi yeniden yazacak olursak:
x1 = ∆x+ x0 …………………..………………….(7)


4 Numaralı denkleme 5 ve 7 numaralı denklemleri
entegre edersek:
y1- y0= f(x0+∆x )- f(x0)
………………..…….(8)
Olur.
22
6.2
Değişim Oranı ve Türev

8 Numaralı denklemin her iki tarafını X’e bölelim:

9 numaralı denklemin limitini alacak olursak:
X (sıfıra giderek daha çok yaklaşır , ama gerçekte hiçbir
zaman sıfır olmaz anlamında) sıfıra yaklaşırken f(x)
fonksiyonunun değerine biz türev diyoruz.
23
6.2
Değişim Oranı ve Türev
24
ÖRNEK
25
ÖRNEK
26
ÖRNEK
27
6.3. TÜREV: BİR EĞRİNİN EĞİMİ
 Türevle ilgili altı çizilmesi
gereken önemli bir nokta türev
bir fonksiyondur; gerçekten de
türev sözcüğü türetilmiş
fonksiyon anlamında
kullanılmaktadır.
28
6.3. TÜREV: BİR EĞRİNİN EĞİMİ

TÜREV AYRICA BĠR FONKSĠYONUN
BELĠRLĠ BĠR NOKTADAKĠ EĞĠMĠDĠR:
29
30
31
32
33
34
35
6.4. LİMİT KAVRAMI
Bir değişken , diyelim ki x değişkeni
belli bir değere yaklaşırken (0 gibi)
başka bir değişken y hangi değere
yaklaşır
 Bu sorunun anlamlı olabilmesi için y,
x’in bir fonksiyonu olmalı
 Bir fonksiyonun limiti her zaman var
olmayabilir.
 Limitin var olabilmesi için x değişkeni,
x0’a sağdan ya da soldan yaklaşırken
fonksiyonun aldığı değer aynı olmalı.

36
6.4. LİMİT KAVRAMI
lim  lim  L
x x0
x x0
37
6.6. LİMİT TEOREMELERİ

Tek fonksiyona ait Teoremler

İki fonksiyonlu Durumlara İlişkin
Teoremler

Çok Terimli (Polinomsal) Fonksiyonların
Limiteri
38
39
ÖRNEK
f ( x)  y  lim 2 x  6 x  3  ?
2
x2
lim f ( x)  2(2)  6.(2)  3  23
2
x 2
40
41
42
43
44
45
6.7. Bir Fonksiyonun Türevinin Alınabilme Koşulları
Bir fonksiyonun x noktasında türevinin alınabilmesi için o
noktada limitinin var olması gereklidir.

dy
f ( x  x)  f ( x)
f ( x) 
lim
dx x0
x

Eğer bir fonksiyonun x=a noktasında limiti varsa o
noktada türevi alınabilir. Bu da gereklidir.
f (a  x)  f (a)
f (a  x)  f (a)
lim
 lim
x0
x 0
x
x
46
SÜREKLİLİK


Süreklilik: y=f(x) gibi bir fonksiyonun x0
noktasında limiti varsa ve bu f(x0)’a eşit ise f(x)
fonksiyonu x0 noktasında süreklidir.
Bir fonksiyonun x0 noktasında sürekli olması için
aşağıdaki üç şartın yerine getirilmesi gerekir:
47
TÜREV ALINABİLME ŞARTLARI



Süreklilik türevlenebilirlik için gerekli şarttır
ama yeterli değildir.
Sürekli olup türevi alınamayan fonksiyonlarda
vardır
Bir fonksiyonun belirli bir noktada türevlenebilir
olması için aşağıdaki limitin olması gerekir. Yani
fonksiyon o noktada “smooth” geçişli olması
gerekir.
f ( x0  x)  f ( x0 )
f ( x)  lim
x 0
x
48
49