Lineer Optiğin Süper Pozisyonu (Üst

Lineer Optiğin Süper Pozisyonu
(Üst-Üste Binme) İlkesi
Uzayı belirli bir noktasında iki ışık kaynağı tarafından
oluşturulan alan vektörü 𝐸, bu kaynaklardan her birinin
ayrı ayrı o noktasındaki alan vektörlerinin toplamına
eşittir.
1.Kaynak
𝐸1
𝐸 = 𝐸1 + 𝐸2
2.Kaynak
𝐸2
 Süper pozisyon ilkesi, ışık dalgalarının bir cins lineer
denklemlerle (Maxwell denklemleri) ve lineer
maddesel denklemlerle ( 𝐷 = 𝜀𝐸, 𝐵 = 𝜇𝐻 ) tasvir
olunmasının sonucudur. Süper pozisyon lineer
optiğin temelidir.
 Genlikleri ve frekansları aynı fakat farklı dalga
vektörlü ve farklı fazlı iki dalga ele alalım. Bu
dalgalar:
𝐸1 = 𝐸0 𝑒 𝑖(𝑘1∙𝑟−𝜔𝑡+Ф1)
𝐸2 = 𝐸0 𝑒 𝑖(𝑘2∙𝑟−𝜔𝑡+Ф2)
𝑘1 ve 𝑘2 vektörleri şekildeki gibi paralel ve normal
birleşenlere ayrılabilir.
𝑘1
𝑘1𝑛
𝑘1 = 𝑘1𝑝 + 𝑘1𝑛
𝑘2 = 𝑘2𝑝 + 𝑘2𝑛
𝑘2𝑛
𝑘2
𝑘1𝑝 = 𝑘2𝑝 = 𝑘
𝑘1𝑛 = −𝑘2𝑛 = 𝑘 ′
𝐸 = 𝐸1 + 𝐸2
= 𝐸0 𝑒 𝑖(𝑘1𝑝 ∙𝑟+𝑘1𝑛 ∙𝑟−𝜔𝑡+Ф1 ) + 𝐸0 𝑒 𝑖(𝑘2𝑝∙𝑟+𝑘2𝑛∙𝑟−𝜔𝑡+Ф2 )
Ф1 = Ф+ ∆Ф
Ф2 = Ф - ∆Ф olsun.
𝐸 = 𝐸0 𝑒
𝑖(𝑘∙𝑟 +𝑘 ′ ∙𝑟−𝜔𝑡+Ф+∆Ф)
= 𝐸0 𝑒
𝑖(𝑘∙𝑟−𝜔𝑡+Ф)
[𝑒
+ 𝐸0 𝑒
𝑖(𝑘 ′ ∙𝑟+∆Ф)
𝑖(𝑘∙𝑟 +𝑘 ′ ∙𝑟−𝜔𝑡+Ф−∆Ф)
+𝑒
𝑖(𝑘 ′ ∙𝑟−∆Ф)
]
2cos(𝑘 ′ ∙𝑟 +∆Ф)
𝐸 = 2𝐸0 cos(𝑘 ′ ∙ 𝑟 + ∆Ф)𝑒 𝑖(𝑘∙𝑟−𝜔𝑡+Ф)
Genliğin konuma bağımlılığı.

𝑘′
𝜋
(2𝑛
2
∙ 𝑟 + ∆Ф =
+ 1)
𝑛 = 0, 1, 2, … .
Bileşke genlik minumum (Karanlık saçak)
 𝑘 ′ ∙ 𝑟 + ∆Ф = 𝑛𝜋
𝑛 = 0, 1, 2, … . Bileşke genlik
maksimum ( Aydınlık saçak)
 Girişim bölgesi nasıl görünür ?
 Bir ekran girişim bölgesine konursa, ekranda aydınlık ve karanlık
çizgiler oluşur.
Ekrandaki görüntü.
Girişim bölgesi olarak adlandırılan süper pozisyonun yer aldığı, bu bölge
sinosidal şeklindedir. Genlik zamandan bağımsızdır.
Girişim bölgesinde genlik fonksiyonu.
Işığın enerjisi: 𝑢𝐸 =
𝜀 2
𝐸
2
=
𝜀
𝑐𝑜𝑠 2 (𝑘 ′
2
∙ 𝑟 + ∆Ф)
Işık dalgalarında kararlı bir girişim gözleyebilmek için
şu koşullar sağlanmalıdır:
1. Kaynak uyumlu yani koherent (eş fazlı) olmalıdır.
Yani, Ф2 − Ф1 = 𝑠𝑎𝑏𝑖𝑡 olmalıdır.
2. Kaynak tek dalgaboylu olmalıdır.
3. Süper pozisyon ilkesi uygulanabilmelidir.
ENERJİ ve Momentum
Elektromanyetik dalgaların en önemli özelliklerinden
bir tanesi enerji taşımasıdır. Uzayın bir bölgesinde bir
elektromanyetik alan varsa birim hacimdeki ışıma
enerjisini veya enerji yoğunluğu (u) göz önüne
alınabilir.
 Bir elektrik alan için enerji yoğunluğu (bir
kondansör levha):
𝑢𝐸 =
𝜀0 2
𝐸
2
 Bir manyetik alan için enerji yoğunluğu (toroid):
𝑢𝐵 =
1
𝐵2
2𝜇0
 𝑢𝐸 ile 𝑢𝐵 arasındaki ilişkiye bakalım.
 𝐸 = 𝑐𝐵
2
2
𝐸 =𝑐 𝐵
ve
2
→
1
𝜇0𝜀0
𝑐=
2𝑢𝐸
𝜀0
=
1
2𝜇0 𝑢𝐵
𝜇0 𝜀 0
↔ 𝑢𝐵 = 𝑢𝐸
Bir elektromanyetik dalga biçiminde uzayda akan
enerji, elektrik ve manyetik alan bileşenleri arasında
bölüşür.
𝑢 = 𝑢𝐸 + 𝑢𝐵 = 𝜀0 𝐸 2
veya
u=
1 2
𝐵
𝜇0
olur.
 Elektromanyetik enerji iletimini ifade edebilmek
için birim yüzeyden birim zamanda iletilen
enerjiyi simgeleyen S niceliği kullanılır.
SI: S
W/m2
A yüzeyinden c hızıyla geçen bir elektromanyetik dalgayı
göz önüne alalım.
|
c ∆t
|
A
∆t zaman aralığında silindirin hacminde bulunan enerji A
yüzeyinden geçecektir: u(c ∆tA)
O zaman,
𝑢𝑐∆𝑡𝐴
𝑐 2
1
𝑆=
= 𝑢𝑐 = 𝐵 = 𝐸𝐵 𝑒𝑙𝑑𝑒 𝑒𝑑𝑖𝑙𝑖𝑟.
𝐴∆𝑡
𝜇0
𝜇0
Enerjinin izotropik (eş doğrusal) ortamlarda dalganın
yayılma doğrultusunda aktığı varsayımı ile S ‘ye karşılık
gelen 𝑆 vektörü:
𝑆=
1
𝐸
𝜇0
× 𝐵 = 𝑐 2 𝜀0 𝐸 × 𝐵
𝑆 : Poynting vektörü
Poynting vektörü boş uzayda 𝑘 doğrultusunda ilerleyen
doğrusal bir düzlem dalgaya uygulandığında,
𝐸 = 𝐸0 cos(𝑘 ∙ 𝑟 − 𝜔𝑡)
𝐵 = 𝐵0 cos(𝑘 ∙ 𝑟 − 𝜔𝑡)
𝑆 = 𝑐 2 𝜀0 𝐸0 × 𝐵0 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑘 ∙ 𝑟 − 𝜔𝑡)
Optiksel frekanslarda, 𝑆 zamanla son derece hızlı değişen
fonksiyondur. Isık algılayıcılar (dedektörler), ışıgın
frekansı çok yüksek olduğu için (f =1015 Hz) bu hıza
ayak uyduramazlar. Gerçekte dedektörlerin algıladığı,
ışığın zaman ortalamasıdır. Bunun için ortalama işlemli bir
yöntemin kullanılması gerekir. Poynting vektörünün
büyüklüğü zamana göre ortalama değeri, <S> ile gösterilen
ve ışıma şiddeti (veya parlaklık) denilen önemli bir niceliktir.
1
2
< 𝑐𝑜𝑠 𝑘 ∙ 𝑟 − 𝜔𝑡 =
2
𝑐 2 𝜀0
< 𝑆 >=
|𝐸0 × 𝐵0 |, 𝐸0 = 𝑐𝐵0
2
veya
I≡<𝑆 >=
𝑐 2 𝜀0 2
𝐸0
2
Buna göre ışıma şiddeti, elektrik alanın genliğinin karesi ile
orantılıdır. Işıma şiddeti iki şekilde belirtilir:
I=
ve
𝑐
𝜇0
< 𝐵2 >
I = 𝜀0 𝑐 < 𝐸 2 >
Doğrusal, homojen ve eş doğrultusal bir dielektrikteki
ışıma şiddeti:
I = 𝜀𝑣 < 𝐸 2 >
Yükler üzerine kuvvet uygulamada ve iş yapmada 𝐸, 𝐵
den daha etkin olduğundan optik alan olarak 𝐸 alınır ve
hemen her zaman
I = 𝜀0 𝑐 < 𝐸 2 > bağıntısı kullanılır.
Işıma enerji akısının zamanla değişim hızı güç veya
ışıma akısıdır. Eğer ışıma akısı, girdiği veya çıktığı
yüzeyin yüzölçümüne bölünürse, ışıma akı yoğunluğu
bulunur.
Ф=
𝐼
𝐴
,
Ф: Işıma akı yoğunluğu
Fotoçoğaltıcı gibi foton sayıcı olarak görev yapan,
dedektörler vadır. E=hf . f frekanslı tek renkli düzgün
bir demet için I/hf niceliği, demete dik birim zamanda
birim yüzeyden geçen ortalama foton sayısıdır, yani
foton akı yoğunluğudur. A yüzölçümlü bir sayaca böyle
bir demet girdiğinde AI/hf gelen foton akısı, yani sayaca
birim zamanda ulaşan ortalama foton sayısıdır.
Işıma Basıncı ve Momentum
Dalgaların gerçekte basınç uyguladığını teorik olarak
1873 de ortaya koyarak yeniden canlandıran Maxwell
olmuştur. Maxwell ‘ dalgaların yayıldığı bir ortamda,
dalgalara dik doğrultuda ve sayısal olarak birim
hacimdeki enerjiye eşit olan bir basınç vardır’ diye
yazmıştır. Bir elektromanyetik dalga bir maddesel
yüzeye çarptığında yüklerle etkileşir. Dalga ister kısmen
soğrulsun, isterse yansısın, bu yükler üzerine bir kuvvet
uygular.
Örneğin, iyi bir iletkende dalganın elektrik alanı
akımlar oluşturur ve manyetik alanı da bu akımlar
üzerinde kuvvetler meydana getirir. Ortaya çıkan
𝑑𝑝
teorinin Newton’un ikinci yasasına göre (𝐹 = )
𝑑𝑡
dalganın kendisi momentum taşır. Boş uzayda;
P = 𝑢 = 𝑢𝐸 + 𝑢𝐵 =
𝜀0 2 1 2
𝐸 + 𝐵
2
𝜇0
S = uc kullanarak basınç Poyting vektörünün
büyüklüğü cinsinden;
𝑃=
𝑆
𝑐
𝐸 ve 𝐵 alanları hızlı değiştiğinden S de hızlı olarak
değişir. Bu nedenle,
< 𝑃 >=
<𝑆>
𝑐
=
𝐼
𝑐
SI birim sisteminde < 𝑃 > → N/m2
olur.
p momentumlu bir ışık demetinin soğurucu yüzeye
uyguladığı kuvvet:
𝐹=
∆𝑝
∆𝑡
𝐴
|
∆𝑝
∆𝑡
c∆t
|
𝐴𝑃=
𝑝 = 𝑝𝑣 (𝑐∆𝑡𝐴)
𝑝𝑣 : Işınımın birim hacimdeki momentumu
∆p kadar bir momentum her ∆t süresinde A ‘ya
aktarılır.
AP =
𝑝𝑣 (𝑐∆𝑡𝐴)
∆𝑡
Böylece, hacimsel
yoğunluğu;
𝑝𝑣 =
=
𝑆
𝐴
𝑐
elektromanyetik
momentum
𝑆
𝑐2
Aydınlatılan yüzey tamamen yansıtıcı olduğunda +c
hızıyla gelen demet –c hızıyla geri döner. Bu
soğurmadaki momentum değişimini iki katına karşılık
gelir. Böylece yansıtıcı bir yüzeyde;
<𝑃 >=
<𝑆>
2
𝑐
=
2𝐼
𝑐
olur.
Örneğin, güneşten dünya atmosferinin yüzeyine dik
çarpan elektromanyetik enerjinin ortalama akı yoğınluğu
(I) 1,4 kW/m2 dir. Buna karşılık gelen bir tamamen
soğurucu yüzeydeki ortalama basınç;
𝐼
𝑐
<𝑃 >= =
1400
3×108
= 4,7 × 10−6 Pa
Yansıtıcı bir yüzeydeki ortalama basınç;
<𝑃 >=
2𝐼
𝑐
=
2×1400
3×108
= 9,4 × 10−6 Pa
Bunlar çok küçük basınç olmalarına rağman (̴ 10-10 atm)
hassas cihazlarla ölçülebilir. 1 atm ≈ 105 Pa
 Dünya güneş ışınım basıncı çok küçük olmakla
birlikte yeryüzünün tümüne etkiyen 10 tonluk bir
kuvvete neden olur. Güneş yüzeyinin çok yakınında
bile ışınım basıncı oldukça küçüktür.
 Işıma basıncı parlak büyük bir yıldızın akkor
gövdesinde önemli olup kütlesel çekime karşı yıldızın
çöküşünü önlemede önemli rol oynar. Güneş akı
yoğunluğu normal süre etkilediğinde sonuçlar
meydana getirir.
 Günümüzde lazerin kullanılmasıyla ışık, yaklaşık bir
dalgaboyu yarıçaplı
teorik
sınıra yaklaşan
büyüklükteki bir noktaya kadar odaklanabilmektedir.
Ortaya çıkan ışıma şiddeti ve basınç birkaç wattlık bir
lazerle bile oldukça fazladır. Bu nedenle izotopları
ayırma, parçacıkları hızlandırma ve hatta optiksel olarak
küçük cisimleri kaldırma gibi çok çeşitli uygulamalar
için ışıma basıncından yararlanılmaktadır.