docthis PDF file - Sakarya University Journal of Education
download 
Şikayet Transkript
this PDF file - Sakarya University Journal of Education
Makale Gönderim Tarihi: 21-11-2014 Sakarya University Journal of Education, 5/1 (Nisan/April 2015) ss. 37-54. Makale Kabul Tarihi:16-02-2015 İntegral Hacim Problemleri Çözüm Süreçlerinin Bireysel İlişkiler Bağlamında İncelenmesi; Disk, Pul ve Kabuk Yöntemleri * Ali DELİCE** Özkan ERGENE*** Öz Problem çözme becerilerinin kazanılmasını sağlayan, bireyin dış dünya ile olan bağlantısını farklı gözle görmesine aracılık eden matematik eğitimi, eğitim-öğretim süreci boyunca üzerinde düşünülmesi gerekilen özel bir alandır. Dinamik bir şekilde ilerleme gösteren eğitim-öğretim sürecinde çalışmalar sonucunda uygulama topluluğu gibi kavramlar ortaya çıkmıştır. Ortak kaygı, ilgi, problemleri paylaşan ya da bir konu hakkında süreç boyunca bilgileri geliştiren ve bu alanlarda uzmanlaşma olanağı sağlayan bireylerin bulunduğu öğrenme ortamı olarak tanımlanan uygulama topluluğu kavramı birey, kurum ve karşılıklı ilişki boyutları üzerine temellendirilmiştir. Bu araştırmada üniversite öğrencilerinin integral hacim problemi çözüm sürecindeki disk, pul ve kabuk yöntemlerinin seçimleri uygulama topluluğu temelli bireysel ilişkiler bağlamında incelenmiştir. Araştırma sürecinde çalışma grubunu, İstanbul ilinin bir devlet üniversitesinde olasılıksız örneklem yöntemiyle mühendislik fakültesi, fen edebiyat fakültesi matematik bölümü ve eğitim fakültesi ilköğretim matematik eğitimi bölümünden seçilen 101 öğrenci oluşturmaktadır. Çalışma grubuna geçerliği ve güvenirliği test edilmiş 7 sorudan oluşan İntegral Hacim Testi uygulanmış, bununla birlikte her bir fakülteden rastgele seçilen ikişer öğrenci ile görüşmeler yapılmış ve ilgili derse ait ders defterleri ve ders içerikleri incelenmiştir. Nitel veriler kodlama yöntemiyle analiz edilmiş, betimsel olarak sunulmuştur. Araştırma bulguları üniversite öğrencilerinin performanslarının düşük olduğunu göstermiş olup, çözüm becerileri, sınavlar, kavram imgeleri, görsel beceriler çözüm sürecinde ilişkileri sıcak tutan faktörler olarak bulunmuştur. Ayrıca konu ve kavramdan kaynaklanan ve bireye göre değişme gösterebilen gerekçelerin kurum çerçevesinde farklılaşması, integral hacim problemi çözüm sürecindeki disk, pul ve kabuk yöntem tercihlerinin farklı olmasına neden olmuştur. Bu bağlamda gerek öğrenciden, gerekse dersi anlatan öğretim üyesi ve öğrenme ortamından kaynaklanan kurumsal farklılıkların problem çözüm sürecindeki bireysel ilişkileri etkilediği görülmüştür. Anahtar Kelimeler: Matematik Eğitimi, İntegral Hacim Problemi, Uygulama Topluluğu, Bireysel İlişki. ERPA International Congresses on Education 2014 (6-8 Haziran 2014/İstanbul-Türkiye) kongresinde sunulan bu çalışma Marmara Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri Birimi tarafından desteklenen EGT-C-YLP-280214-0054 projesinden elde edilmiştir. ** Marmara Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, Kadıköy /İstanbul/ Türkiye, [email protected] *** Marmara Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, Kadıköy /İstanbul/ Türkiye, [email protected] * 38 SAÜ Eğitim Bilimleri Enstitüsü Investigation of Solving Process in Integral Volume Problems within Personal Relationship; Disk, Washer and Shell Methods Abstract Mathematics education that enables individuals to obtain problem solving skills and to see the outer world from a different perspective is a special area that needs to be considered during education-instruction process. As a result of the studies in education and instruction that make progress vigorously, concepts such as communities of practices have emerged. The concept of communities of practices that are described as the learning environment where the individuals who share common concerns, interests and problem or who develop information on a subject in the process and who provide specializiation in these subjects stay on are based on the dimensions of individual, institution and mutual relationship. In this research, university students’ preferences of disk, washer and shell methods in the solution process of integral volume problems were scrutinized in terms of personal relationships based on communities of practices. The study group of the research consists of 101 students who are in a state university in İstanbul and chosen by using non-probability sampling method and who are from the faculty of engineering, mathematics department of faculty of science and letters, primary mathematics teaching department of faculty of education. Integral Volume Test, which consists of 7 questions whose reliability and validity were tested, was applied to the study group. Besides, two students chosen randomly from each faculty were interviewed and the course notebooks related to that course and their contents were scrutinized. The data were analyzed and interpreted through coding method and descriptive statistical techniques.As a result of the research, it was discovered that the performances of the university students are low and that factors such as solution skills, tests, concepts images and visualaziation skills affect solution process. The differentiation of the reasons that arise from subject and concept and that may be change according to the individual within the institution have caused different disk, washer and shell methods’ preferences in the solution process of integral volume problems. Within this context, it has been discovered that institutional differences emerged from learning environment and adacemic member and students have affected personal relationships in the solution process of the problem. Keywords: Mathematics Education, Integral Volume Problem, Communities of Practices, Personal Relationship. 1. GİRİŞ Öğrenmenin etkin bir şekilde gerçekleşmesi için yapılan çalışmalar ile teknoloji destekli eğitim (Ersoy, 2005; Hembree, & Desart, 1986), uygulama topluluğu (Goos & Bennison, 2008; Gomez & Rico, 2007; Secada & Adajian; 1997) gibi çeşitli kavramlar ortaya çıkmıştır. Kavramların ortaya çıkış sürecinde yaklaşımlar, ihtiyaçlar ve teoriler etkili olmuştur. Yapılandırmacı paradigma altında incelenen, öğrenmeyi farklı bir bakış açısı ile ilişkilendiren durumlu öğrenme teorisine göre bilgi durumludur ve içinde bulunduğu ortamın, kültürün, çevrenin, uygulamanın bir parçasıdır (Karaman, Özen & Yıldırım, 2007; Kılıç, 2004). Bilginin günlük hayatta işlevselliğini arttıran durumlu öğrenme, çoğu zaman öğrenmenin gerçekleşeceği aktiviteler ile bilginin topluluk içerisinde işbirlikli yapılanmasını sağlarken bazı durumlarda da tam olarak açık olmayan bilginin netleşmesini sağlar (Herrington & Oliver, 1995). Bilginin aktarıldığı öğrenme ortamı, bireysel öğrenmenin gelişmesini desteklemenin yanında gerçek bir uygulama topluluğudur ve süreç esnasındaki amaç öğrenme ortamının bu topluluklara dönüştürülmesidir (Ergene, 2014, sf. 12). Bu bağlamda matematik sınıfı genel itibari ile matematik üzerine araştırmalar yapan matematikçiler grubu olarak uygulama topluluğu gibi düşünülebilir (Banks, 2001). Durumlu öğrenmenin uygulanması esnasında bir takım zorluklarla karşılaşıldığından alternatif yaklaşım sergileyen öğrenme teorileri ortaya atılmıştır. Bunlardan bir tanesi de sosyal öğrenme teorisidir. Sakarya University Journal of Education 39 Durumlu öğrenme teorisi ile kıyaslandığında ilişki boyutlarından temellendirilen uygulama öğrenmenin oluşumunu inceleyen, farklı bakış topluluğu, işte, evde, okulda, eğlencelerimizde açılarına sahip öğrenme teorilerinden olan karşımıza çıkabilir. Bununla birlikte uygulama sosyal öğrenme teorisi, katılımcıların aidiyet topluluğu zaman içerisinde kendi hatalarını duygusu ile bir grupta yer alarak kendi kimlik- düzelten dinamik bir süreç olarak oluşum lerini oluşturduğu, belli uygulamaların yapıl- şartlarına bağlı belli bir isimle belirtildiği gibi dığı, bunların sonucunda tecrübeleri bağla- isimsiz de olabilir. Uygulama topluluğunun mında çevresini anlamlandırmaya çalıştığı, gerek bilgi, gerek katılımcılar ve gerekse karşı- sosyal katılıma dayalı öğrenme sürecini vurgu- lıklı ilişki boyutları ile temellendirilmesinde, lamaktadır (Wenger, 2008). Bu teori bireysel içerisinde bulundurduğu öğretmen, öğrenci ve eylemleri sağlamlaştırmayı ve geçerli kılmayı öğrenme ortamı ile topluluğun oluşmasına amaçlayan katılım aracılığı ile bilinçaltı öğren- aracılık eden kurumlar çok önemli bir yere me sürecinin önemini belirtmektedir (Erkoç, sahiptir. 2012). temelli kurallara odaklanan teoriksel ilişki ve Uygulama topluluğu kavramının, öğrenmeye farklı bakış açıları ile yaklaşan sosyal öğrenme teoremi ya da durumlu öğrenme teoreminin iletişiminden çıktığına dair literatürde çeşitli görüşler yer almaktadır. Tight (2004), sosyal Kurumlar bağlamında uygulama onun kısıtlanan kuralları, bireylerin kurum içerisinde öğrendiği matematiksel kavramlar ve öğrenim sürecindeki bireyin bireysel ilişkileri ile gelişiminde önemli rol oynadığı ifade edilmektedir (Chevallard, 2002). öğrenme sisteminin temel taşı olan uygulama Matematiksel kavramların bireylere aktarılma- topluluğunun sosyal öğrenme teoremi içerisin- sında önemli rol oynayan matematik ve mate- de tartışmalardan türetildiğini ifade etmiştir. matik eğitimi dersleri öğretmen, öğrenci ve Wenger (2000), Lave ve Wenger (1991) ise bi- öğrenme ortamından kaynaklanan birçok et- reysel ya da sosyal kurum üzerine temellendiri- menin yanında çeşitli strateji, yöntem ve tek- len öğrenmeyi uygulama topluluğu kavramına nikler kullanılarak farklı şekiller ile bireylere dayandırarak açıklamakta ve bununla birlikte aktarılmaktadır. Yüksek öğretim kurumlarının durumlu öğrenme çalışmasında yer alan uygu- mühendislik fakültesi, eğitim fakültesi ve fen lama topluğu kavramını zaman içerisinde geli- edebiyat fakültesi bölümlerinin lisans, yüksek şen bireyler, alıştırmalar ve yeryüzü arasındaki lisans gibi çeşitli kademelerinde öğrencilerin ilişkiler sistemi olarak tanımlamaktadır. Wen- Kalkulus I-II, Genel Matematik I-II ya da Ana- ger (2008), daha sonrasında uygulama toplulu- liz I-II gibi isimlerde aldığı Analiz dersinin ğunu bir konu hakkında süreç boyunca bilgileri önemli bir kısmını limit, türev ve integral ko- geliştiren ve bu alanlarda uzmanlaşma olanağı nuları oluşturmaktadır (Ergene, 2014, sf. 26). sağlayan, ortak kaygı, ilgi ve problemleri pay- Analiz dersinin öğretimi ve öğrenimindeki laşan bireylerin bulunduğu ve öğrenme ortamı çeşitli zorlukların yaşanması (Sevimli & Delice, olarak tanımlamıştır. 2011; Calvo, 1997) dersin doğası gereği öğrenim Uygulama topluluğu her ne kadar eğitim dünyasında yeni bir terminoloji olarak karşımıza çıksa da aslında günlük hayatımızda, içerimizde kısacası gözlerimizin önünde var olan fakat belki de bu kadar anlamlandıramadığımız bir olgudur. Çünkü bilgi, katılımcılar ve karşılıklı ve öğretim sürecinde bireysel ilişkilerin önemli olacağını göstermektedir. Türev ve limit konuları ile yakından ilişkili olan integral kavramının anlaşılmasındaki güçlük, birçok araştırmacı tarafından ortaya çıkarılmıştır (Sevimli & Delice, 2011; Rasslan & Tall, 2002). Çözüm esnasında bireylerin cebirsel, uzamsal ve hem cebirsel 40 SAÜ Eğitim Bilimleri Enstitüsü hem uzamsal becerilerini kullandığı integral Bu araştırmanın odağı, üniversite öğrencileri- konusuna belirsiz ve belirli integral olarak iki nin integral hacim problemi çözüm sürecinde kısımda yaklaşılabilir. Belirli integralin uygu- kullandıkları disk, pul ve kabuk yöntemlerinin laması olarak da gösterilen ve yüksek öğretim üniversite öğrencilerinin problemle olan birey- kurumları analiz dersleri ders içerikler incelen- sel ilişkileri bağlamında incelenmesidir, ilgili diğinde farklı alt başlıklar altında yer alan alan yazın incelendiğinde uygulama topluluğu integralde hacim konusu dönel cisimler ile ilgili ve bireysel ilişki kavramlarının yer aldığı araş- hacim hesaplamalarını içerir. Bir doğru, ya da tırmaların az olduğu görüldüğünden bu çalış- eğrinin birleşmesi sonucu oluşan bölgenin manın literatüre katkıda bulunacağı düşünül- koordinat eksenleri ya da bir doğru etrafında mektedir, bu bağlamda aşağıda yer alan araş- döndürülmesi sonucu oluşan dönel cismin tırma sorularına cevap aranacaktır; hacminin hesaplanabilmesi için ‚disk‛, ‚pul‛ ve ‚kabuk‛ gibi yöntemlerin kullanılması ge- 1. problem çözüm performansları uygulama rekmektedir (Thomas, Weir, Hass & Giordano, topluluğu bağlamında nasıl etkilenmekte- 2009). Günlük hayatta karşımıza çıkan bir sorun, aşılması gereken engel olarak ifade edebileceğimiz problemi Lester (1983), birey ya da grup için hali hazırda ulaşılabilir bir çözüm yolu olmayan fakat bu çözümün bulunması için Üniversite öğrencilerinin integral hacim dir? 2. İntegral hacim problem çözüm sürecinde üniversite öğrencilerinin problemle olan bireysel ilişkilerinin, disk, pul ve kabuk yöntemlerine yansımaları nasıldır? ihtiyaç, istek ve çaba zorunluluğunun hissedil- 2. YÖNTEM diği bir durum olarak tanımlamaktadır. Prob- Bilimsel araştırma sürecinde çoğu zaman araş- lem çözme ise bu durumun oluşum sürecinde tırma yöntem ve tekniğinden önce belirlenmesi ortaya çıkmaktadır. Bununla birlikte Schoen- gerekliliği olan paradigma bir çok araştırmacı feld (1992) problem çözme teriminin yıllar tarafından göz ardı edilen, genel anlamıyla boyunca çok yönlü ve karşıt görüşlerde içeren kabul görmüş kurallar bütünüdür (Guba & bir anlama sahip olduğunu vurgulamıştır. Lincoln, 1994). Araştırma paradigmasının ön Problem çözme programlarda (NCTM, 2000), koşul gibi olduğunu düşünerek seçilecek araş- matematik kapsamında beceri olarak ifade tırma sürecine doğrudan etki eden ve araştır- edilirken, eğitimciler tarafından hem fen hem manın nasıl ilerleyeceği hakkında yol gösteren de matematik için ortak beceri olarak ifade araştırma yöntemi, araştırma odağı doğrultu- edilmektedir. (Kıray & İlik, 2011; Kilpatrick, sunda belirlenen araştırma sorularına nereden 2010; Venville, Wallace, Rennie & Malone, bakılması gerektiğini ifade eder. Bu nedenle, 2002). Problem çözme en genel haliyle verilen- üniversite öğrencilerinin integral hacim prob- lerin ve istenenlerin olduğu bir yapı olarak lemi çözüm sürecinde kullandıkları disk, pul ve düşünülmektedir. Fakat bu noktada önemli kabuk yöntemlerinin üniversite öğrencilerinin olan verilen ve istenenler arasında farklı yön- problemle olan bireysel ilişkileri bağlamında temlerin olduğu, farklı durumlar ile döngüsel incelenmesini odağına koyan bu araştırmanın sürecin karşılıklı devam ettiğidir. Bireylerden pozitivist olmayan yorumlayıcı paradigma asıl beklenen verilenler ve istenenleri yorum- (Cohen, Monion & Marrison, 2000) ile yürütü- laması ve bireysel paradigmaları ışığında prob- leceği ifade edilebilir. Araştırmanın paradig- lemi anlamaları ve işlemler yapmasıdır. ması doğrultusunda, çoklu durum çalışması Sakarya University Journal of Education 41 araştırma deseni olarak belirlenmiştir. Bu de- liz dersleri ders içerikleri incelendiğinde integ- sen, araştırmacının zaman içerisinde sınırlandı- ralde hacim konusunu işlemişlerdir. rılmış bir veya birkaç durumu çoklu kaynakları içeren veri toplama araçları (gözlemler, görüş- 2.2 Veri Toplama Araçları meler, görsel-işitseller, dokümanlar, raporlar) Üniversite öğrencilerinin problem çözüm yön- ile derinlemesine incelediği, durumların ve temlerine etki eden kişiler arası bireysel ilişkile- duruma bağlı temaların tanımlandığı nitel bir rin belirlenmesi için araştırmacı tarafından araştırma yaklaşımıdır (Creswell, 2007; Yin, hazırlanmış İntegral Hacim Testi (İHT) kulla- 1994). Araştırmada verilerin detaylı analizinin nılmıştır. Test hazırlama süreci esnasında yük- yapılabilmesi için, yazılanlar, çizilenler ya da sek öğrenim kurumlarının Analiz dersi ders gösterilenlerin arka planının belirlenmesi ama- içerikleri ve integralde hacim konusunu içeren cıyla bilgi toplama çeşitlemesine gidilmiştir. Bu kaynaklar incelenerek integralde hacim konusu çalışmada da üniversite öğrencilerinin integral kapsamında yer alan bireylerin problem çözme hacim problemleri çözüm sürecindeki yöntem sürecinde problemle olan ilişkilerini açığa çı- tercihleri ve performanslarının uygulama top- kartmak amacıyla 25 tane problem oluşturul- luluğu bağlamında nasıl etkilediği bütüncül bir muştur. Oluşturulan İHT taslak formu, integral yaklaşımla derinlemesine incelenmek isten- konusu hakkında çeşitli çalışmalar yapmış 3 mektedir. farklı uzmana araştırma amacı, odağı ve problemlerinin detaylı olarak anlatılarak incelenme- 2.1 Çalışma Grubu si sağlanmıştır. Uzman görüşleri sonrasında Nitel araştırmalarda incelenen ya da araştırılan belirtilen hedefleri sağlamadığı gerekçesiyle 14 konu bağlamında birey ve bireyin özellikleri problem testten çıkartılmış ve analiz dersi in- önem kazanmaktadır. Bu çalışmada araştırma tegralde hacim konusunu gören 9 kişilik gruba odağı doğrultusunda çoklu durum çalışması- pilot uygulama yapılmıştır. Uygulama sonrası nın doğasına uygun olarak bireyler ya da olay- problem çözüm süreçlerinin analizleri yapıldık- ların olduğu gibi alındığı olasılıksız örneklem tan sonra 4 problem testten çıkartılmış ve 7 seçiminin amaçlı örnekleme tekniği (Patton, problemlik İHT tekrardan uzmanlara gösteril- 1990) kullanılarak, İstanbul ilinin bir devlet miştir. Uzmanların tamamı tarafından görüş üniversitesinde Analiz derslerini alan üç farklı birliğine varılan İHT uygulama esnasında kul- fakültesinden seçilen 101 öğrenci ile yürütül- lanılmıştır. Araştırma kapsamında kullanılan müştür. Ayrıca üniversite öğrencilerinin prob- İHT, matematik eğitimi alanında yüksek lisans lem çözüm süreçlerindeki yöntem tercihleri yapmış 3, doktora yapmış 2 uzman tarafından gibi durumların arkasında yatan nedenleri değerlendirilmiş ve görünüş geçerliğini sağla- incelemek amacıyla her bir fakülteden rastgele dığı ifade edilmiştir. Ayrıca test hazırlama seçilen ikişer öğrenci ile görüşmeler yapılmış- sürecinde üniversitelerin ders içeriklerinde yer tır. Mühendislik fakültesi (MF) öğrencileri, alan integralde hacim konusuna ait alt başlıklar (servis dersini alan çevre mühendisliği, inşaat incelenmesi ve matematik eğitimi alanında mühendisliği, makine mühendisliği bölümleri uzman 3 kişi tarafından kontrol edilmesi testin öğrencilerinden edebiyat kapsam geçerliğini sağladığını gösteren kanıt- fakültesi matematik bölümü (MB) öğrencileri lardır. Testte yer alan sorular kolay, orta ve zor ve eğitim fakültesi ilköğretim matematik eğiti- olarak zorluk düzeyleri, ders içi etkinlikler, mi (İME) öğrencilerinin tamamı gerek ders adı ödev ya da sınavda sorma amaçlı kullanılma gerekse konu adı farklı olmasına rağmen Ana- tercihleri ve çözüm yöntemi özellikleri bakı- oluşmuştur), fen 42 SAÜ Eğitim Bilimleri Enstitüsü mından 5 farklı uzman tarafından değerlendi- Uygulama sonrasında İHT’ne verilen cevaplar rilmiştir. Uzman görüşleri sonrasında %85 öncelikle araştırmacı tarafından hazırlanmış bir tutarlılık göstermesi testin problem özellikleri- tablo ile Doğru Cevap (DC), Yanlış Cevap (YC), ne göre kodlayıcı güvenirliğini sağladığını Kısmi Cevap (KC) ve Boş Cevap (BC) olarak göstermiştir. değerlendirilmiştir. Problemlerin değerlendi- Araştırma sürecinde elde edilen verilerin detaylı bir şekilde analiz edilebilmesi için öğrencilerin testlere verdikleri cevapların ders içerisindeki yaşanmışlıklarının etkisi olup olmadığı ve ders sürecinde öğretim üyesinin problem çözüm sürecinin etkisini incelemek amacıyla her bir fakülteden rastgele seçilmiş 2 farklı öğrenci ile yarı yapılandırılmış görüşme yapıl- rilmesi için kullanılan tablonun doğrultusunda güvenirliği sağlamak için araştırmacı tarafından rastgele seçilen 25 kağıt, üç farklı uzmana verilmiş ve değerlendirilmesi istenmiştir. Değerlendirme sonrasında araştırmacılar da dâhil olmak üzere verilen cevaplar incelendiğinde %95 oranında örtüşme olduğu gözlemlenmiştir. mıştır. Yarı yapılandırılmış görüşme için hazır- Üniversite öğrencilerinin problem çözümünde lanan görüşme formu 3 farklı uzmana araştır- kullandıkları çözüm yöntemlerinin incelenmesi ma odağı ve araştırma problemleri hakkında için İHT’ne verilen cevaplar, problem çözüm bilgi verildikten sonra verilmiş ve uzmanlar sürecindeki seçilen yöntemler ve problem çöz- tarafından görüş birliğine varılmıştır. Ayrıca me performansı bağlamında bölüm bazında ders esnasındaki anlatılan konu ve çözülen analiz edilmiştir. Problem çözüm süreçlerinde problemlere ait inceleme yapmak, öğrencilerin karşılaşılan çözüm yöntemleri disk, pul, kabuk uygulama sonrası problem çözüm süreçleri ve ile diğer/boş (geometrik ve çözüm yapılmama yapılan görüşmelerin analizinde ders içi etkile- durumunu içeren) olmak üzere dört kategori ri belirlemek üzere üç farklı bölümün ilgili ders altında toplanmıştır. Yöntem seçimlerinin ve defterleri ve öğretim üyesi tarafından önerilen problem çözüm süreçlerinin arkasında yatan kaynak kitap incelenerek doküman analizi nedenleri ve bu seçimlere etki eden durumların yapılmıştır. belirlenmesi için yapılan görüşmeler araştırma 2.3 Verilerin Analizi problemleri doğrultusunda detaylı olarak analiz edilmiştir. Ayrıca problem çözüm yöntemle- Nitel veri analizinde uygulanan stratejiler, rine ve süreçlerine dersi anlatan öğretim üyesi- teknik ve süreçler düşünüldüğünde alan ya- nin etkisini belirlemek amacıyla ders defterleri zında ortak bir dilin geliştiğinden söz edebil- ve kaynak kitaplar incelenmiştir. mek mümkün değildir (Özdemir, 2011; Bogdan & Biklen, 1998). Nitel araştırmalarda farklı 3. BULGULAR ortamlara ve gruplara uygulanabilen önceden İHT’ne ait bulgular, soru kâğıtlarına verilen belirlenmiş kesin kurallar ve standart yaklaşım- cevaplar ve cevapların arka planında yer alan lar olmadığı için, her araştırma problemi ken- doğrudan gözlemlenemeyen durumların belir- dine özgü bir araştırma deseni ve veri analiz lenmesi için yapılan görüşme ve doküman stratejisini gerektirdiği düşünülmelidir (Yıldı- analizine ait sonuçlar üç alt başlık halinde su- rım & Şimşek 2013). Bu araştırmada üniversite nulacaktır. Öncelikle İHT’ne verilen cevaplar öğrencilerinin İHT’ne verdiği cevaplar araştır- neticesinde birey performanslarına ait bulgular ma problemlerine cevap bulabilmek amacıyla verilecek, sonrasında integral hacim problemi betimsel istatistik kullanılarak analiz edilmiştir çözüm sürecindeki disk, pul ve kabuk yöntem- (Robson, 1993, sf. 385-390). lerinin kullanılması ve bu yöntemlere ilişkin Sakarya University Journal of Education 43 hatalara ait bulgular verilecek en sonunda ise cevap veremediği gözlemlenmiştir (Tablo 1). ders defterleri ve ders içeriklerinin incelenme- Verilen cevaplar bölüm bazlı incelendiğinde, sine ait bulgular verilecektir. MB öğrencilerin çok büyük çoğunluğunun sorulara cevap veremediği bunun yanında 3. 1 İntegral Hacim Testi Birey Performansları sorulara en fazla doğru cevabı verenlerin MF Üniversite öğrencilerin İHT’ne verdikleri ce- öğrencilerinin olduğu tespit edilmiştir. Testte vapların DC, YC, KC ve BC olarak değerlendi- yer alan sorulara verilen cevaplar incelendiğin- rilmesi sonucu genel ve bölüm bazlı oluşan de, birinci, ikinci ve üçüncü sorulara verilen performansların yüzdeleri Tablo 1’de verilmiş- doğru cevapların sayısının fazla olduğu fakat tir. Üniversite öğrencilerinin tamamının İHT’ne beşinci ve yedinci soruya adayların büyük verdiği DC ve KC’ların çok düşük olduğu ayrı- çoğunluğunun doğru cevap veremediği göz- ca öğrencilerin neredeyse yarısının sorulara lemlenmiştir. Tablo 1. Üniversite Öğrencilerinin İntegral Hacim Testi Performansları Yüzdelik Tablosu Bölüm MF MB İME Genel DC 19,5 7,6 13,8 13,6 YC 27,1 16,8 25,8 23,2 KC 13,8 12,4 14,2 13,5 BC 39,6 63,2 46,2 49,7 3.2 İntegralde Hacim Problemleri Çözüm Matematikten faydalanırım. Formüller kullanılıyor, Sürecinde Kullanılan Yöntemler formüllerden yararlanırım. Yöntemler kullanılıyor. Disk yöntemi, pul yöntemi, kabuk yöntemi, onlar- Üniversite öğrencilerinin integral hacim prob- dan faydalanırım. lemleri çözüm süreçlerindeki disk, pul ve kabuk yöntemleri kullanma ve bu yöntemlerin Kullanılan disk, pul ve kabuk yöntemlerinin haricinde geometrik yöntemlerin kullanılması kullanım sıklıklarının bireylerin ait oldukları ve karşılaşılan durumlar iki alt başlık halinde bölümlere göre farklılık gösterdiği ve farklı verilmiştir. çözüm yöntemlerinin kullanıldığı gözlemlenmiştir (Tablo 2). Üniversite öğrencilerinin İHT Disk, pul ve kabuk yöntemleri: İntegral hacim problemleri çözüm yöntemleri incelendiğinde, problemlerinin çözümünde dik, pul ve kabuk disk yönteminin kabuk yönteminden daha yöntemlerinin yanı sıra geometrik yöntemlerin fazla tercih edildiği ve çözüm sürecinde en ve yöntemlere ilişkin formül ve işlemsel yapıla- fazla kullanılan yöntemin pul yöntemi olduğu rın kullanıldığı görülmüştür. görülmüştür. Tablo 2. Üniversite Öğrencilerinin İntegral Hacim Testi Çözüm Yöntemleri Yüzdelik Tablosu Bölüm MF MB İME Genel Disk 17,5 2 8,2 9,2 İntegral hacim problemleri çözüm sürecinde kabuk yönteminin genellikle MB öğrencileri Pul 33,6 13,3 39,8 28,9 Kabuk 1,9 17,4 0 6,4 Diğer/Boş 47 67,3 52 55,4 44 SAÜ Eğitim Bilimleri Enstitüsü tarafından kullanıldığı gözlemlenirken, İME öğrencilerinden farklı olarak İME öğrencileri- bölümünde okuyan öğrencilerin kabuk yönte- nin disk, pul ve kabuk yöntemleri haricinde mini hiç kullanmadığı gözlemlenmiştir. Tablo 2’de %52 olarak gösterilen bölümün Geometrik çözüm yöntemleri ve yöntem çözümlerinde karşılaşılan durumlar: MF ve MB neredeyse yarıya yakın kısmının katı cisimlerin hacim formüllerini içeren geometrik yöntemleri kullandıkları tespit edilmiştir (Şekil 1). Şekil 1. İntegral Hacim Problemi Çözümünde Geometrik Yöntemin Kullanılmasına Ait Çözüm Örneği İHT’ni çözen üniversite öğrencilerinin problem Üniversite öğrencilerinin formülleri karıştırma çözüm sürecinde kullandıkları disk, pul ve ya da hatırlamama durumları ile karşılaşılmış, kabuk yöntemlerine ilişkin seçilen yöntemin formül üzerinde düşünmelerini sağlayarak gerektirdiği formül ve formül içerisinde yer hatalarının farkına varmalarını sağlanmıştır. alan bazı ifadelerin kullanılmamasına ait bazı hatalara sahip oldukları belirlenmiştir. ∫ ) )) , ilk başta çıkartıp ka- resini alacağız. Pul yöntemi… Aaa, ben yan- İHT’ni çözen üniversite öğrencilerinin problem lış yapıyor muşum. Sizin testte de tüm soru- çözüm sürecinde kullandıkları disk, pul ve ları yanlış çözdüm. Tabi ya. kabuk yöntemlerine ilişkin seçilen yöntemin gerektirdiği formül ve formül içerisinde yer alan bazı ifadelerin kullanılmamasına ait bazı hatalara sahip oldukları belirlenmiştir. Üniversite öğrencileri, yöntem seçimlerinden sonra yönteme ait bilgilerde çeşitli sorunlar yaşamaktadır. Öğrencilerin problem çözüm sürecinde seçtikleri pul yöntemi ile ilgili plan Üç tane yöntem kullanılıyor, disk, pul ve ka- tasarlama aşamasında %84,8’i yöntemin gerek- buk. tirdiği çözümü; ∫ ∫ ∫ Bunlara iyi )) çalıştım. ∫ ) . Formülleri, ) )) [ ) rirken, geri kalanının ise ∫ )] gerçekleşti[ ) )) ] şeklinde gösterilen hatayı yaptıkları (Şekil 2) görülmüştür. Şekil 2. Pul Yöntemi Kullanılarak Yapılmış Hatalı Çözüm Örneği Sakarya University Journal of Education 45 Verilen cevaplar incelendiğinde, İME öğrenci- (Şekil 3) buna karşın diğer iki bölümde okuyan lerinin büyük çoğunluğunun integral hacim öğrencilerde bu duruma çok fazla rastlanmadı- problemleri çözüm yöntemlerinde bulunan pi ğı gözlemlenmiştir. katsayısını çözüm sürecine yansıtmadıkları Şekil 3. Pi Katsayısının Kullanılmadan Cevabın Bulunmasına Ait Çözüm Örneği 3.3 Doküman Analizi lere ait ders içeriklerinde net olarak görülmedi- Bireylerin problem çözüm sürecinde bölüm bazlı benzerlik ve farklılıkları tespit edebilmek için integralde hacim konusuna ait olan ders içerikleri incelenmiştir (Ergene, 2014). İntegralde hacim konusunun sadece MB ders içeriğinde açıkça belirtildiği buna karşın diğer bölüm- ği tespit edilmiştir. Bununla birlikte ders içeriklerinde yer alan belirli integral, belirli integral ve uygulamaları ve integralin uygulamaları konularının işlenmesinin ön görüldüğü haftalarda önerilen kaynak kitap bölümlerinde integralde hacim konusunun olduğu tespit edilmiştir. Tablo 3. Bölümlerin Ders İçeriği Kapsamında Önerdiği Kaynak Kitaplar Bölüm Kitabın Adı Analiz 1<<<<<<<<<<... Matematik analiz 1<<.................. Introduction to Real Analysis<<. Çözümlü Matematik Problemleri< Kitabın Yazar(lar)ı M. Ali Sarıgöl, Sadulla Jafarov Mustafa Balcı Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, John Wiley & Sons Inc Ekrem Savaş İME Temel Matematik<<<<<<< Genel Matematik 1<<<<<<. Mustafa Balcı Mustafa Balcı MB Complete Calculus<<<<<<.. Robert A.Adams MF Ders içeriklerinde net olarak belirtilmemesine kitaplara yer verilmiştir. Toplam yedi kaynak rağmen ilgili ders için kullanılması önerilen kitap arasında (Tablo 3) Türkçe ve İngilizce temel kitaplar dillerinde olmak üzere bazı ortak kitaplar incelendiğinde integralde hacim konusunun ve yardımcı kaynak olduğu ve integralde hacim konusunun kita- kitaplarda yer alan belirli integral ve integralin pların neredeyse tamamında bulunduğu ve uygulamaları bulunduğu çözüm yöntemlerinin detaylı olarak yer aldığı, gözlemlenmiştir. Ayrıca integralde hacim ko- başlıkları altında her bir kitapta ortalama 20-25 tane çözümlü- nusu için yaklaşık eşit ders saatlerinin ayrıldığı çözümsüz örnek olduğu tespit edilmiştir. ders içeriklerinde ders için önerilen kaynak 46 SAÜ Eğitim Bilimleri Enstitüsü Tablo 4. Bölümlerin Ders Defterlerinin Örnek Sayısı, Ders Saati ve Sayfa Sayısı Bağlamından İncelenmesi Fakülte MF MB İME Örnek Sayısı 12 6 11 Ders Saati* 3+3 3+3 3+2 Sayfa Sayısı Açıklamalar 8 Disk ve pul yöntemleri detaylı olarak verilip ilgili yöntemlere ait örnek çözülmüş buna karşın kabuk yöntemine ait sadece bir örnek vardır. 5 Kabuk ve pul yöntemi üzerinde durulmuş bunun yanında disk yöntemi teorik olarak verilip örnek çözülmeden pul yöntemine geçilmiştir. Ayrıca şekil içeren sorular çok fazla çözülmemiştir. 7 Disk ve pul yöntemine ait bilgiler teorik olarak verilmiş aynı zamanda örnekler çözülmüş, kabuk yöntemi başlık olarak ifade edilmeden örnek çözülmüştür. * Birinci kısım teorik ders saatini, ikinci kısım uygulamalı ders saatini göstermektedir. Bireylerin problem çözüm sürecinde tercihleri- yanı sıra ait oldukları bölüm odaklı özellikleri ni doğrudan etkileyen ders esnasında anlatılan- ile birleştirip ardından performanslara bakıl- lar ve yaşanmışlıkların göstergesi olarak ifade ması gerektiği kâğıt üzerinde yapılanlar ve edilebilen ders defterlerinin incelenmesi sonra- görüşmelerde sında, konu anlatım esnasında yöntemler ve İntegral hacim problemlerinde üniversite öğ- onlara ait formüllerin net olarak gösterilmesine rencilerinin performanslarının düşük olması rağmen örnek çözümlerde formül ifadelerin net süreçte gösterdikleri bilgi, becerilerin ve fakülte olarak belirtilmemesi, pi katsayısının yer al- bazlı özelliklerin performanslarına yansıması maması gibi bazı eksiklikleri içeren bölümsel olarak ifade edilebilir. farklılıkların olduğu gözlemlenmiştir (Tablo 4). Ayrıca fakültelerin her birinde integral hacim yöntemleri, disk, pul ve kabuk yöntemi olarak aynı sırada verilmiş fakat süreç esnasında yöntemlere ait örnek sayısı ve konuya ayrılan ders saati düşünüldüğünde farklılıklar oluştuğu gözlemlenmiştir. 4. Tartışma Problemlerin, kendileri, çözüm süreçleri ve sonuçları bir bütün olarak düşünüldüğünde anlam arz ettikleri söylenebilir (Ergene, 2014). Bu bütünü oluşturan her bir öğeyi problemi söylenenlerden çıkarılmıştır. Üniversite öğrencileri, çözüm stratejilerinde kullanılabilecek disk, pul ve kabuk yöntemlerine ilişkin yanlış hatırlama ya da karıştırma ya da kullanamama gibi çeşitli zorluklar yaşamışlardır. Bu durum doğası gereği integralde hacim konusunun ve integral alma işleminin zorluğundan (Sevimli, 2009) kaynaklanabileceği gibi (Şekil 4), ders içerisinde öğretim üyesinin pedagojik yaklaşımları ve bunları kendi üzerine yansıtan üniversite öğrencilerinin çözüm süreci boyunca sergiledikleri davranışların yansıması sonucunda da kaynaklanabilir. çözen üniversite öğrencilerinin sahip oldukları Çok fazla formülleri hatırlamadım ondan zihinsel, duygusal ve psikomotor becerilerin olabilir, bu konu da çok kasıntılı. Birde bazı Sakarya University Journal of Education sorularda çok uzun işlemler vardı integral 47 yordu. Onları yapamadım. içerisinde, dönüşüm falan yapmak gereki- Şekil 4. İntegral Hacim Problemi Çözüm Örneği 1 Performans ve çözüm sürecindeki farklılıkların, larda ise problemleri (ve süreçlerini) karşısında fakültelerin amaçlarının (öğretim program- duran ve birey rolü yüklediği tek bir nesne larının) yanı sıra problem çözücülerinin ve olarak algılayabilir. Başarısız olduğunu düşün- dersi anlatan öğretim üyesinin algıları, yak- düğü problemleri birey olarak algılayan üni- laşım ve davranışlarının öğrenme ve öğretme versite öğrencisi, çözme süreçlerine bireyin süreci üzerindeki etkisinden kaynaklandığı davranışları muamelesi yaparak benzer süreçli düşünülmektedir (Bingölbali & Monaghan, problemlerle karşılaştığında bu davranışa sahip 2004). problem bireylerle (yani başarısız olduğu çözüm süreci- çözme sürecinde gerçekleştirdiği hatırlayama- ne götürecek problemlerle) karşılaşmak iste- ma, uygulayamama ya da yanlış uygulama gibi meyebilir, hatta bu tür davranışlara nasıl karşı- zihinsel aktiviteleri ve psikomotor becerileri lık vereceğini bilememe karmaşası yaşayabilir. probleme olan bakışlarını etkilemektedir. Prob- Problemle olan bireysel ilişkiler problem çö- lemler birey olarak algılanıp ilişkiler ku- züm sürecinde değişkenlik göstererek hem rulurken, problem çözüm sürecinin de kurulan süreci hem de problem çözücüleri etkilemekte- bu ilişkilerin yönünü belirlediği gözlenmekte- dir (Gonz{lez-Martín, 2013). Başka bir ifadeyle dir, öyle ki bu durum üniversite öğrencilerinin problem çözücüler problemleri birey ve prob- kullanması gereken yöntemleri ve yönteme ait lem çözüm süreçlerini de bireyin davranışları formülleri kabul ederek bireyselleştirebilir bu da onların Üniversite çözüm öğrencilerinin sürecinde pratiğe dök- mesinde etkili olabilmektedir. İsimlerini hatırlamıyorum. Bir tanesinde iki fonksiyonun karesi alınıp çıkartılıyordu, diğerinde ise yarıçap bulunuyordu. Tam olarak hatırlamıyorum. Bu yüzdende hiç sevmedim bu konuyu.... problemlerle olan ilişkisini etkileyebilir. Buradan genellikle üniversite öğrencilerinin problemle olan bireysel ilişkisi, problem çözme sürecinde çözüm stratejisi, yöntem ve tekniklerini düşünmeksizin üniversite öğrencilerinin zihinsel etkinlikleri ile birlikte duygusal tepkilerinin, motivasyon, yaklaşım ve inançlarının Performansın yüksek olduğu durumlarda orta- problem çözümü esnasında birleşmesi olarak ya çıkabilen pozitif motivasyonun üniversite tanımlanabilir (Ergene & Delice, 2014). Bununla öğrencisinin kavramları, çözüm süreçlerini birlikte süreç esnasında problemle olan bireysel daha iyi yapılandırıp, pekiştirmesine sebep ilişkinin durumuna ve yönüne göre bazen olduğu söylenebilir. Bununla birlikte başarısız- zihinsel aktiviteler duygusal aktivitelere baskın lık ya da performansın düşük olduğu durum- olurken bazen de duygusal aktiviteler çözüm 48 SAÜ Eğitim Bilimleri Enstitüsü sürecinde daha fazla rol alarak zihinsel aktivi- performans farklılıklarının yanında ders içeri- telere baskın olabilir (Ergene, 2014). Birey ya- sinde yapılan uygulamalarda, formül ya da kıştırması yapılan problemle olan ilişki sosyal işlemin gerektirdiği bazı detayların verilmeme- (problem çözücü ile bireye benzetilen problem si, ders esnasında yeterince üzerinde durul- arasındaki muhtemel bağ), psikolojik (problem maması gibi durumların dersi anlatan öğretim çözücü) ve matematik (epistemolojik) yönü üyesi etkisi ve problem çözücülerinin sahip düşünüldüğünde kolay çağrışım yapması ve oldukları bireysel özellikler ile şekillendiği sosyal anlamda kullanılan bireylerden (insan- ifade edilebilir. Aynı zamanda ders içerikleri, lardan) farklılığını ortaya koyması açısından fakülte ya da fakülteye ait öğretim üyesi ya da sosyo-psiko-matematik ilişki olarak isimlendirile- öğrenme ortamı gibi kurumsal yansımaların bilir. bireysel farklılıklara neden olduğu göz önüne Eğitim öğretim süreci içerisinde üniversitelerce hazırlanan aynı derslere ait fakülte bazlı ders içeriklerinin kısmi değişiklikler haricinde benzerlik gösterdiği düşünüldüğünde fakülte bazlı alındığında kurumsal farklılıklar ve bireysel farklılıkların karşılıklı olarak birbirinden etkilendiği ve bu farklılıkların problemle olan bireysel ilişkileri etkilediği söylenebilir (Şekil 5). Şekil 5. İntegral Hacim Problemi Çözüm Örneği 2 Üniversite öğrencilerinin neredeyse yarısına tedir. Üniversite öğrencilerinin belirtilen hedef- yakınının problemleri cevaplayamaması ve lere ulaşmamasındaki bir diğer etken olarak da problem çözüm süreci sonrası performansları- konuların ya da aktarılan ifadelerin sınav odak- nın çok düşük olması problem çözücü başarısı, lı düşünülmesi ve gerçek hayatta kullanılma- ders öğretim üyesi başarısı, kurum başarısı ve ması gibi bireysel durumlar örnek olarak veri- sistem başarısını etkileyen önemli faktörler lebilir. olarak düşünülebilir. Ayrıca fakülteler arasında performans farklılıklarının olması öğrenme ortamlarını etkilediğinden (NCTM, 2000), süreç esnasında kurumsal etkilerin üzerinde durulması gerektiğini gösteren önemli bir durum Yani zaten sınavda çıkacak belki ama ben ileride bunları kullanmayacağım için çokta umursamadım açıkçası. Sınavda da diğer sorulara çok bakarım diye düşündüm. olarak ifade edilebilir. Bu bağlamda her bir Tartışmalar bu araştırma için bireysel ilişkilerin fakültenin özelliğinden kaynaklanan farklılık- performans, problem çözme süreci ve süreçte ların olmasının yanında üniversitelerin ders kullanılacak tekniklerin belirlenmesi, süreçte içeriğinde yer alan konulara ilişkin hedeflenen karşılaşılan her bilişsel yansıma, problem çözü- başarıların gerçekleşmemiş olduğu görülmek- cünün kendisi, arkadaşları, sınıfı, öğretmeni, Sakarya University Journal of Education 49 kurumu, ders kitabı ve defteri ile şekillendiğini düşünülerek ders hocaları tarafından tercih ve somuttan soyuta psikomotordan bilişsel edilmemiştir. Problem çözüm sürecinde kurum aktivitelere uzandığını göstermektedir. ilişkisinin üniversite öğrencilerine yansıması ile 5. Sonuç ve Öneriler öğrencilerde oluşan etkenler probleme karşı pekiştireç oluşturmakta bu da üniversite öğ- Günlük hayatın her bir noktasında olan uygu- rencilerinin problemle olan bireysel ilişkilerini lama topluluklarının eğitim öğretim süreci ortaya çıkarmaktadır (Ergene, 2014). Problem içerisinde bilgi, karşılıklı ilişki ve katılımcılar çözüm sürecindeki bireysel ilişkiler, problemin boyutunda olduğu gözlemlenmiştir (Wenger, çözümünü etkilemektedir ki bu bazen öğrenci- 2000). İntegral hacim problemleri çözüm süre- ye avantaj sağlamakta, hedefe ulaşılmasını cinde problem ve çözüme ait kavramlar, öğre- kolaylaştırmakta iken bazı durumlarda ise tim üyeleri tarafından anlatılanlar ve öğrencile- dezavantaj oluşturmaktadır. rin sahip olduğu bilgi ve beceriler ve yaşanmışlıkların etkileşimi ile oluşan uygulama topluluğu sürecin her bir aşamasında karşımıza çıkmaktadır. Kurum içerisindeki üç fakülteye ait problem çözüm performanslarının farklı olması ve çözümlere ilişkin yöntem, formül kullanımlarının farklı olması, her bir fakültenin benzerliklerinin yanında farklılıklar gösteren değerleri ve özellikleri olduğunu göstermektedir. Bu bağlamda performans ve çözüm sürecindeki farklılıklar problem çözücüden kaynaklandığı gibi kurumdan da kaynaklamaktadır. Öğrenme ortamlarına yeni bakış açısı kazandıran uygulama toplulukları kavramının, matematik eğitiminde her bir aşama da kullanabilecek bir kavram olduğu düşünülmektedir. Çünkü özellikle integral, türev gibi analiz dersi konularında ortaya çıkan düşük ya da yetersiz birey performansı dolayısıyla grup performansının artırılması için bu bakış açısıyla öğrenme ortamları düzenlenebilir. Ayrıca öğrenme ortamları için önemli bir kavram olarak ifade edilebilecek olan sosyo-psiko-matematik ilişki kavramını temel alan çalışmaların yapılması, Bir kurumda, bilginin aktarılması, değiştirilme- problem çözüm süreçlerinin irdelenmesinde, si ya da içselleştirilmesi esnasında oluşan fark- problem lılıkların öğrenmeye olan etkisinin varlığını farklılıkların açığa çıkartılmasında ve problem kabul etmekle birlikte, eğitim öğretim sürecini çözücünün sürece olan yaklaşımının belirlene- etkileyen kurumsal ilişkinin (Chevallard, 1998) rek performansa tesir edecek iyileştirmeler bilgi boyutu yanında problem çözücünün süreç yapılabilmesinde gerekli olduğu düşüncesiyle esnasında yaşadığı her türlü olguyu etkileyen önerilebilir. bir etmen olduğunun altı çizilmelidir. Yapılan farklı fakültelerdeki aynı derslere ait perfor- görüşmeler sonucunda üniversite öğrencileri mans, başarı durumları incelenmeli ortaya genellikle yöntemlerin isimlerini hatırlamamış, çıkan farklılıkların nedenleri tespit edilmeli ve problem içerisinde yer alan işlemsel ifadelerin istenilen başarı düzeyi için gerek ders anlatımı, gerektirdiği çözüm adımlarını gerçekleştire- gerek ders içeriği düzenlemesi, gerekse konu memiş ve yönteme ait formül yapıları net ola- bütünlüğü ve eğitim ortamı açısından eşit şart- rak ifade edememişlerdir. Ayrıca çözüm süre- lar düşünülmeli bununla birlikte kurumsal cinde kullanılmayan yöntemler ders esnasında farklılıkların etkisi de göz ardı edilmemelidir. detaylı olarak gösterilmemiş ya da sınav odaklı çözme performanslarında oluşan Bununla birlikte aynı kurumda 50 SAÜ Eğitim Bilimleri Enstitüsü Kaynakça Banks, B. (2001). Learning theory and learning objects Online Erişim. http://myweb.tiscali.co.uk/ adresinden erişilmiştir. Bingölbali, E. & Monaghan, J. (2004). Identity, knowledge and departmental practices: mathematics of engineers and mathematicians. 28th International Conference for the Psychology of Mathematics Education (PME), (2),127-134. Bogdan, R. C. & Biklen, S. K. (1998). Qualitative research for education: Introduction and methods. Boston: (3rd ed.). Allyn and Bacon. Calvo, C. (1997). Bases para una propuesta dida´ctica sobre integrales. Tesis de Maestrı´a, Universitat Auto`noma de Barcelona. Chevallard, Y. (1998). Analyse des pratiques enseignantes et didactique des mathématiques: L’approche anthropologique. La Rochelle-France. Chevallard Y. (2002). Organiser l’étude. 1. Structures & fonctions, Actes de la XI eécoled’été de idactique des mathématiques. La Pensée Sauvage, Grenoble, 3-32. Cohen, L., Manion, L. & Morrisson, K. (2000). Research methods in education (5th Ed.). London: Routlenge Falmer. Creswell, J. W. (2007). Qualitative inquiry research design: Choosing among five approaches. (Second ed.) Thousand Oaks, California: Sage Publications. Delice, A. & Sevimli, E. (2011). İntegral kavramının öğretiminde konu sıralamasının kavram imgeleri bağlamında incelenmesi; belirli ve belirsiz integraller. Pamukkale Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi. 30(1), 51-62. Ergene, Ö. (2014). İntegral hacim problemleri çözüm sürecindeki bireysel ilişkilerin uygulama topluluğu bağlamında incelenmesi (Basılmamış Yüksek Lisans Tezi). Marmara Üniversitesi. Ergene, Ö. & Delice, A. (2014). İntegral hacim problemleri çözüm sürecinde kullanılan incelenmesi. Sözlü Bildiri. ERPA Congress, İstanbul, (6-8 Haziran). yöntemlerin Erkoç, S. (2012). Uygulama topluluğu olarak sınıflar: iletişim ağına sahip ortamda öğrenmeyi planlama ve kolaylaştırma. Sakarya University Journal of Education, 2(3). 116-135. Ersoy, Y. (2005). Matematik eğitimini yenileme yönünde ileri hareketler-I: Teknoloji desteklimatematik öğretimi TOJET: The Turkish On Line Journal of Educational Technology. 4-2/7. Go´mez, P. & Rico, L. (2007). Learning Within Communities of practice in preservice secondary school teachers education. PNA, 2(1), 17-28. Gonz{lez-Martín, A.S. (2013a). Students’ personal relationship with series of real numbers as a consequence of teaching practices. Proceedings of the 8th Congress of the European Society for Research in Mathematics Education(CERME8). Antalya (Türkiye). Goos, M. E. & Bennison J. A. (2008). Developing a communal identity as beginning teachers of mathematics: Emergence of an online community of practice. Math. Teacher Education, 11,41–60. Guba, E. G. & Lincoln, Y. S. (1994). Competing paradigms in qualitative research. In N.Denzin ve Y. Lincoln (Eds.), Handbook of qualitative research, Sag Publications. Hembree R. & D. Dessart. (1986). Effects of hand-held calculators in precollege mathematic education: A meta-analaysis. Journal for Research in Mathematics Education, 17, 83-89. Herrington, J. & Oliver, R. (1995). Critical characteristics of situated learning: Implications for the instructional design of multimedia. Ed: J. Pearce, A. Ellis. Learning with technology, 235-262. 51 Sakarya University Journal of Education Karaman, S., Özen, Ü. & Yıldırım, S. (2007). Öğrenme nesnelerinin pedagojik boyutu ve ortamlarına kaynaştırılması. Eğitim ve Bilim Dergisi, 32(145), 3-15. öğrenme Kılıç, E. (2004). Durumlu öğrenme kuramının eğitimdeki yeri ve önemi. GÜ, Gazi Eğitim Fakültesi Dergisi, 24(3),307-320. Kıray S.A. & İlik A. (2011). Polya’nın problem çözme yönteminin fen bilgisi öğretiminde kullanılmasına yönelik bir çalışma: Kanıt temelli uygulamaya doğru. Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, 31,183-202. Kilpatrick, J. (2010). Research on problem solving in mathematics. School Science and Mathematics. 78(3), 189-192. Lave, J. & Wenger, E. (1991). Situated learning: Legitimate peripheral participation. Cambridge: Cambridge University Press. Lester, F. K. (1983). Trends and issues in mathematical problem-solving research. In R. Lesh & M. Landau (Eds). Acquisition of mathematics concepts and processes. New York: Academic Press National Council Of Teachers Of Mathematics, (2000). Principles and standards for school mathematics (Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics). Özdemir, M. (2011). Nitel Veri Analizi: Sosyal Bilimlerde Yöntembilim Sorunsalı Üzerine Bir Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Sosyal Bilimler Dergisi, 11(1). Patton, M. Q. (1990). How to use qualitative methods in evaluation. London: Sagem Çalışma. Publications, 80-87. Rasslan, S. & Tall, D. (2002). Definitions and images for the definite integral concept. In Cockburn A., Nardi, E. (eds.) Proceedings of the 26th PME, 4, 89-96. Robson, C. (1993). Real world research: a resource for social scientists and practitioners researchers, tion). Oxford: Blackwell, 385-390. (1st edi- Schoenfeld, A. H. (1992). Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition, and sense making in mathematics. In D. Grows (Ed), Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 334-370). New York: MAcmillan. Secada, W. G. & Adajian, L. B. (1997). Mathematics teachers' change in the context of their professional communities. In L. Fennema & B. S. Nelson (Eds.), Mathematics teachers in transition (pp. 193-219). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Sevimli, E. (2009). Matematik öğretmen adaylarının belirli integral konusundaki temsil tercihlerinin yetenek ve akademik başarı bağlamında incelenmesi. Yüksek Lisans Tezi. İstanbul. uzamsal Tight, M. (2004). Research into higher education: an a-theoritical community of practice. Higher Education Research & Development. 23(4), 395-411. Thomas, Jr. G. B., Weir, M.D., Hass, J. & Giordano, F. R. (2009). Thomas’ calculus, 12th Edition. Pearson. Venville, G. J., Wallace, J., Rennie, L. J. & Malone, J. A. (2002). Curriculum integration: Eroding the high ground of science as a school subject? Studies in Science Education, 17, 43-84. Wenger, E. (2000). Communities of practice and social learning systems. Organization, 7, 225- 246. Wenger, E. (2008). Communities of practice: learning, meaning, and identity, Cambridge University Press, New York. 17. Yıldırım, A. & Şimsek, H. (2013). Sosyal bilimlerde nitel araştırma yöntemleri, (6. Baskı). Seçkin Yayıncılık. Ankara. Yin, R. (1994). Case study research: Design and methods, Second Thousand Oaks, CA: Sage. 52 SAÜ Eğitim Bilimleri Enstitüsü Extended Summary Mathematics education that enables individuals to obtain problem solving skills and to see the outer world from a different perspective is a special area that needs to be considered during educationinstruction process. The situated learning theory and the social learning theory which suggest different ideas on learning lead to the emergence of some concepts related to learning, such as community of practices. Communities of practices, which enhance information related to a topic during the process or share the common worries, interests and problem and offer the possibility of agreement, are based on the idea of individuals, institutions and their mutual relationship (Wenger, 2008, Ergene, 2014). Given the higher education instutions, Analysis which name is Analysis I-II, General Mathematics I-II or Calculus I-II, is formed big part of limit, derivative and integral (Ergene, 2014, pp. 26,). In this research, university students’ preferences of disk, washer and shell methods in the solution process of integral volume problems were scrutinized in terms of personal relationships based on communities of practices. Sub-questions are determined as follows. How is university students’ performance of integral volume problems solving processes effected by communities of practices? How is university students’ personal relationship with problem in problem solving processes reflected on solving methods (disk, washer and shell)? In accordance with focus and questions, this study uses a non-positivist paradigm (Cohen, Monion & Marrison, 2000). This study uses qualitative research in terms of data. Purposive sampling, a category of non-probabilistic sampling technique, was used for the selection of the individuals (Patton, 1990). İn this context, the participants this study is knew Volume of Integral, 101 students who registered in engineering faculty (EF), science faculty department of mathematics (MD), education faculty primariy education mathematics teaching (PMT) program offered by a public universtiy in İstanbul, Turkey. The data collection instruments were Integral Volume Test (IVT), semi structered interviews and document analysis, which were used according to the nature of the problem and to the expectations of the researchers. Using expert opinions, pilot scheme and results from the validity-reliability analyses, IVT was developed. The test consists of seven questions each of related with integral volume problems solving methods which are disk, washer and shell. Textbooks, course content, curriculum and relevant literature were taken into account to determine 25 questions which then were reduced to seven according to the predetermined objectives. The test was found to have face and content validity, intercoder and interrater reliability after the analyses based on the experts in the area and some applications related with nature of test (Also expert opinions are accepted sufficient for the validity and the reliability of the test). After administering the test, and semi-structured interviews were conducted with six respondents who selected two students each departments for deeper understanding of their solution processes and methods preferences. Document analyses have done for determining differences in practise and instutional choises. To analyze the data, first, in order to determine the levels of achieving the answers were assessed using the labels including correct answer (CA), partially answer (PA), incorrect answer (IA) and no attempt (NA). Second, problem solving process was examined within institutions in terms of integral volume Sakarya University Journal of Education 53 test solving methods which are disk, washer and shell. Findings of interwiew and document analyses were analyzed from the point of performance, method preferencess and instutional differences. Findings has seperated three parts which are IVT findings, interwiew findings and document analyses findings. Students have seen low solving performances during IVT and about half of them don’t answer questions (Table I). Considering CA performances, MD is the lowest and EF is the best. All of the departments’ IA performances more than CA performances and PA performances. Table I: Percentage Table of Integral Volume Test Performances Department CA IA PA NA EF 19,5 27,1 13,8 39,6 MD 7,6 16,8 12,4 63,2 PMT 13,8 25,8 14,2 46,2 Total 13,6 23,2 13,5 49,7 Seeing that Table II, washer method the most preferred and shell method is at least. Disk method is preferred EF the most. Contrary to not used by PMT students, shell method is used MD students the most. Table II: Integral Volume Test Solving Methods Percentage Table Department Disk Washer Shell Alternative/No Attempt EF 17,5 33,6 1,9 47 MD 2 13,3 17,4 67,3 PMT 8,2 39,8 0 52 Total 9,2 28,9 6,4 55,4 Beside disk, washer and shell method, some students used geometry formulas of solid like cone volume ( ⁄ ) (Figure I). Although students different choises about IVT solving methods, they encounter with same situations which are forgetting, unable to remember, lack of learning or misconception. Fıgure I: Alternative Solving Methods: Using Geometry Formula When interwiew and document analyses examined, method preferences and concept usages take shape with lesson experiences and exam anxiety etc. Findings from the analyses of books of lessons and lecture notes revealed that there were a lot of questions about IVT solving methods but some lecture solved 54 SAÜ Eğitim Bilimleri Enstitüsü problems about methods two or three maximum. This might be differences on performance and preferences. It has been concluded from the interview and papers that problems themselves, solution processes and their results should be thought as a whole and that performances should be taken into consideration after combining every element forming the whole with department focused features as well as cognitive, emotional and psycomotor skills that individuals solving problems have. As performance differences among faculties affect learning environments (NCTM, 2000), organizational effects can be described as an essential situation to be emphasized during the process. It has been observed that the communities of practices, which is a part of daily life, is in the dimensions of information, mutual relationship and particiants in the education and instruction process (Wegner, 2000). This approach which is based on communities of practices and which gives a new point of view should be used in order to increase low and insufficient performance and to increase group performance accordingly in every step of mathematics education, especially in the courses of analysis such as integral and derivative and it is thought that it is a concept that can be applied in the process.
