EI v M

ELASTİK EĞRİ
1- Yapı yönetmeliklerindeki deformasyon hükümleri
2- Eğilme Momenti ile Şekil değiştirme arasındaki ilişki
3- Elastik Eğri (EE) tanımı, Diferansiyel Denkleminin
çıkartılması ve sınır koşulları
4- Örnek problemler
–
–
–
–
–
Üçüncü mertebeden diferansiyel denklem yolu ile çözüm
Dördüncü mertebeden diferansiyel denklem yolu ile çözüm
İkinci mertebeden diferansiyel denklem yolu ile çözüm
Yük veya yük şiddetinde değişme olması hali ile ilgili problemler
Hiperstatik problemlerin çözümünde EE’nin kullanılması
Çalışma soruları
DALGALANAN KÖPRÜDE ASFALTTA SÖRF
6 KATLI BA BİNANIN DEPREM TESTİ
13 - BETONARME ELEMANLARDA KULLANILABİLİRLİK
1- YAPI
YÖNETMELİKLERİNDE
DEFORMASYONLA
İLGİLİ HÜKÜMLER
2- ŞEKİL DEĞİŞTİRME - MOMENT
y
N
P
q
B
A
C
N
y
+
x
M
a
--
+
Büküm noktası
C
x
y

B
a
A
EI
L
y
A

C
x
y
B

EI
a
x
B
B

L
M
M
A
L
S
+
M
L
S
x
A
L
3- ELASTİK EĞRİNİN İNTEGRASYON YOLU İLE BULUNMASI
tanθ=θ:Eğim
P
ρ
y,v
q
S
Θ
M
M
v:Sehim
Elastik Eğri
u=0
Amaç: y eksenine göre simetrik kesite sahip
kirişlerde yalnızca Momentten oluşan eğim
ve sehimin bulunması
EI  v  M
EI  v 
dM
 S
dx
d 2M
 dS 
EI  v  2      q  x 
dx
 dx 
x,u
dv
dx
1
v
1 M



v
,

3/ 2
2
 1  v 
 EI
d 2v M

,
2
dx
EI
dS
 q y
dx
EI v  M
dM
 S
dx
İkinci mertebeden diferansiyel denklem
Üçüncü mertebeden diferansiyel denklem
Dördüncü mertebeden diferansiyel
denklem
Sınır koşulları
V
v a  0
a
 a  0
x
Ankestre uçta çökme ve
dönme yoktur.
P
V
C
x
a
M a  C
S a  P
Serbest uçtaki moment ve
kesme kuvveti etkiyen yüke
eşit olmalıdır.
v a  0
V
a
x
M a  0
Mafsallı uçta çökme ve
moment yoktur.
Geometrik
Sınır
Koşulları
Dinamik
Sınır
Koşulları
ÖRNEK 1
Şekilde gösterilen konsol kirişin elastik eğri denklemini üçüncü mertebeden diferansiyel denklem
kullanarak bulunuz. B noktasındaki eğim ve sehimi hesaplayınız.
y
A
P
EI  v 
M S
N
x
x
B
L
S M
P
P
PL
L-x
MA=-PL
SA=-P
B
N
+
S=-P
dM
 S
dx
Sınır Koşulları
EI  v  P
EI  v  Px  C1
M ( x  0)   PL  C1   PL
Px 2
EI  v 
 C1 x  C2
2
Px3
x2
EI  v 
 C1  C2 x  C3
6
2
y
P
x
A
vB
B
L
B
v( x  0)  0  C2  0
v( x  0)  0  C3  0
 x2

PL2
 2  Lx    B   2 EI


P  x3 Lx 2 
PL3
v  
 vB  
EI  6
2 
3EI
P
v 
EI
ÖRNEK 2
Şekilde gösterilen konsol kirişin elastik eğri denklemini dördüncücü mertebeden diferansiyel
denklem kullanarak bulunuz. B noktasındaki eğim ve sehimi hesaplayınız.
y
S M
qL²/2
N
q
x
A
N
EI  v  q
+
B
L
qL
M S
MA=-qL²/2
SA=-qL
Sınır Koşulları
EI  v  q
EI  v  qx  C1
S ( x  0)  qL
x2
EI  v  q  C1 x  C2
2
x3
x2
EI  v  q  C1  C2 x  C3
6
2
x4
x3
x2
EI  v  q  C1  C2  C3 x  C4
24
6
2
 C1  qL
L2
L2
M ( x  0)  q
 C2  q
2
2
v( x  0)  0  C3  0
v( x  0)  0
 C4  0
y
x
A
vB
B
L
B
q 3 qL 2 qL2
qL3
EI  v   x  x 
x  B  
6
2
2
6 EI
q 4 qL 3 qL2 2
qL4
EI  v   x  x 
x  vB  
24
6
4
8EI
7
Şekilde gösterilen basit kirişin elastik eğri denklemini ikinci mertebeden diferansiyel denklem
kullanarak bulunuz. En büyük sehimin yerini ve değerini hesaplayınız.
ÖRNEK 3
y
y
2
q
q
A
qL
2
qx
qL
M ( x)  

x
2
2
B
L
x
qL
2
x
A
qL
2
S ( x)  qx 
x
qL
2
EI  v  M
qx 2 qL
EI  v  
 x
2
2
qx3 qL 2
EI  v  
 x  C1
6
4
4
qx qL 3
EI  v  
 x  C1 x  C2
24 12
qx3 qL 2 qL3
EI  v  

x 
6
4
24
q 4 qL 3 qL3
EI  v   x 
x 
x
24
12
24
Sınır Koşulları
y
v( x  L)  0  C1  
q
3
qL
24
A
A
v( x  0)  0  C2  0
v0
B
B
L
Eğimin sıfır olduğu yerde sehim en büyük değerine ulaşır.
v( )  0,
L
2
5 qL4
v( )  
384 EI
L
2
x
ÖRNEK 4
y
Şekilde gösterilen
basit kirişin elastik
eğri denklemini bulunuz. C noktasındaki
sehimi hesaplayınız.
y
P
A
B
x
C
B
b
L
Pa
L
c
0 < x < a bölgesi
a < x < L bölgesi
P b
EI  v1 
x
L
P b 2
EI  v1 
x  c1
2 L
P b
 x
EI  v2 
x  P  x  a   P  a 1  
L
 L
2

x 
EI  v2  P  a  x 
  c3
 2 L 
P b 3
EI  v1 
x  c1 x  c2
6 L
 x 2 x3 
EI  v2  P  a  
  c3 x  c4
2
6

L


v1  x  0  0 
c2  0
y
C
A
B
x
Sınır Koşulları
v2
PaL2 PaL2
v2  x  L   0 

 c3 L  c4  0
2
6
v1  x  a   v2  x  a  
Pa3b
Pa3 Pa 4
 c1a 

 c3a  c4
6L
2
6L
v1  x  a   v2  x  a  
Pa 2b
Pa3
 c1  Pa 2 
 c3
2L
2L
vc
v1
x
Vc
a
P b
L
A
9
y
P
A
B
x
C
Pb
c1    L2  b2  ,
6L
c2  0,
Pa 2 2
pa3
c3    2 L  a  , c4 
6L
6
Pb
v1  
x  L2  b2  x 2 
6 LEI
Pb 2 2
v1  
L  b  3x 2 

6 LEI
a
P b
L
b
L
Pb 2 2 2 P  x  a 
v2  
 L  b  x   6EI
6 LEI
P  x  a
Pb 2 2
v2  
L  b  3x 2  

6 LEI
2 EI
Pa
L
3
2
C noktasındaki eğim ve sehim (x=a)
Pb 2
c  
L  3a 2  b 2 

6 EIL
Pba 2 2 2
vc  
L  a b 
6 EIL
v1  0 ya da v2  0 dan  x
Özel durum: a=b=L/2
P
C  0
vmaks
PL3

48EI
en büyük çokme hesaplanabilir.
10
ÖRNEK 5
Şekilde görülen konsollu kirişin elastik eğri denklemini;
a)
İkinci mertebeden diferansiyel denklem kullanarak,
b)
Üçüncü mertebeden diferansiyel denklem kullanarak çıkartınız.
y
P
x
A
C
EI  v  M
0 x L
EI  v1  

B
P/2
M1  
L
EI  v2  Px 
P 2
x  c1
4
P
EI  v1   x3  c1 x  c2
12
EI  v2 
EI  v1  
v1  x  L   0 
L/2
3
Lx L
2
P
x
2
P
x
2
v1  x  0  0 
3P/2

 3 L 
M 2  P 
 x
 2

3PL
2
P 2 3PL
x 
x  c3
2
2
EI  v2 
P 3 3PL 2
x 
x  c3 x  c4
6
4
c2  0
P
 L3  c1L  0
12
PL2
 c1 
12
11
v1  x  L   v2  x  L 

P 2 P  L2 P  L2 3  P  L2
L 


 c3
4
12
2
2
c3 
5  P  L2
6
y
P
x
A
v2  x  L   0 
PL3 3PL3 5PL2


 c4  0
6
4
6
c4 
PL
4
C
3
B
P/2
L
3P/2
L/2
Elastik eğri denklemleri
Px 2 2
v1 
L  x 
12 EI
0 x L
S1 
P
v2 
3L2  10 L2 x  9 Lx 2  2 x3 

12 EI
P
2
P
2
P
EI  v1   x  c1
2
EIv1  
EI  v1  
P 2
x  c1 x  c2
4
EI  v1  
P 3
x2
x  c1  c2 x  c3
12
2
EI  v 
dM
 S
dx
Konsol
Ucundaki
Çökme
PL3
 3L 
v2    
8EI
 2 
3
Lx L
2
S2   P
EI  v2  P
EI  v2  Px  c4
EI  v2 
EI  v2 
P 2
x  c4 x  c5
2
P 3
x2
x  c4  c5 x  c6
6
2
12
Şekilde gösterilen konsollu kirişin reaksiyon kuvvetlerini çift katlı integrasyon yolu ile hesaplayınız.
ÖRNEK 6
y
q
x
A
C
B
L
L/3
q
MA
A
C
Düşey yükler etkisindeki
kirişlerde
yatay
doğrultuda
reaksiyon
oluşmayacağından
yazılabilecek iki adet
denge
denklemi
mevcuttur.
Bu
iki
denklemde bilinmeyen üç
reaksiyon kuvveti bulunur.
Çözüm
için
gereken
üçüncü denklemi elastik
eğri bağıntısı sağlar.
B
RA
RB
L/3
L
F
y
 0,
M  0
4
RA  RB  q  L
3
I
 4 L  4 L L  4
RA L  M A  q      qL2
 3  6 3  9
II
1
 24
1
qL
3
2
R
L

M
L


0
 A
 * 2
A
2
24
L
6

4
4 RA L  12M A  qL2 
16 2
7 2

2
4 2   8M A   qL  qL   qL
9
9
RA L  M A  qL 
9

q
MA
RA
M
x
x2
qx 2
M  M A  q  RA x  0,
M  RA x  M A 
2
2
2
qx
EIv  RA x  M A 
2
1
qx3
2

EIv  RA x  M A x 
 c1
2
6
1
1
qx 4
3
2
EIv  RA x  M A x 
 c1 x  c2
6
2
24
 v  0   0  c2  0 


Sınır koşulları:

v
0

0

c

0


1


4
1
1
qx
EIv  RA x3  M A x 2 
6
2
24
v1  L   0
1
1
qL4
3
2
RA L  M A L 
0
6
2
24
MA 
7 2
13
qL , RA  qL,
72
24
III
RB 
19
qL 13
24
ÖRNEK 7
y
Şekilde gösterilen ankastre kirişin B mesnedi kiriş
eksenine dik yönde Δ kadar yer değiştirmektedir.
Çubuk uç kuvvetlerini elastik eğri denklemi
yardımıyla
hesaplayınız.
Eğim
ve
sehim
fonksiyonlarını yazınız. Δ=1 olması durumundaki
çubuk ucu kuvvetlerini bir şekil üzerinde gösteriniz.
A
MA
EI
MB
L
MA  MB
L
B
y

EI
x
L
x
EI
B
y
B
A
A
MA  MB
L
x
L
EI  v  M
MA  MB
x MA
L
M A  M B x2
EI  v  
 M A x  C1
L
2
M A  M B x3
x2
EI  v  
 M A  C1 x  C2
L
6
2
EI  v  

Sınır Koşulları
v( x  0)  0  C1  0
v( x  0)  0  C2  0
Ek Sınır Koşulları
M A  M B x2
EI  v  
 M Ax
L
2
M A  M B x3
x2
EI  v  
 MA
L
6
2
M A  M B L2
v( x  L)  0  
 M AL  0  M A  M B
L
2
v( x  L)    
2M A L3
L2
6 EI 
 M A  EI   M A  2
L 6
2
L

6 EI   x 2


x


L2  L

12 EI  x3 6 EI  x 2
6 EI   x 3 x 2 
EI  v  
 2

  
L3 6
L 2
L2  3L 2 
12 EI  x 2 6 EI 
EI  v  
 2 x
L3 2
L
y
B
6EI
L2
EI
6EI
L2
 1
A
x
L
12EI
L3
12EI
L3
ÖRNEK 8
Şekilde gösterilen ankastre kirişin B mesnedi MB momentinin
etkisiyle θ kadar dönmektedir. Çubuk uç kuvvetlerini elastik
eğri denklemi yardımıyla hesaplayınız. Eğim ve sehim
fonksiyonlarını yazınız. θ=1 olması durumundaki çubuk ucu
kuvvetlerini bir şekil üzerinde gösteriniz.
y
MB
A
MB

A
MA
A
x
EI
MA  MB
L

y
B
MA  MB
xMA
L
M A  M B x2
EI  v 
 M A x  C1
L
2
M A  M B x3
x2
EI  v 
 M A  C1 x  C2
L
6
2

EI
L
MA  MB
L
EI  v  M
EI  v 
x
L

y
B
EI
Sınır Koşulları
v( x  0)  0  C2  0
v( x  0)  0  C1  0
B
x
M A  M B x2
EI  v 
 M Ax
L
2
M A  M B x3
x2
EI  v 
MA
L
6
2
Ek Sınır Koşulları
M A  M B L3
M
L2
 MA  0  MA  B
L
6
2
2
v( x  L)  0 
v( x  L)  
M A  M B L2
4 EI

 M A L  EI  M B 
L
2
L
6 EI x 2 2 EI
EI  v  2

x
L 2
L

EI  3x 2


2
x


L  L

6 EI x3 2 EI x 2
EI  v  2

L 6
L 2
EI  x 3 2 

 x 
L L

 1
y
4EI
L
A
2EI
L
6EI
L2
B
x
EI
6EI
L2
ÖRNEK 10
ÖRNEK 9
Yükleme durumu şekilde verilen konsol kirişin
elastik eğri denklemini bulunuz.
Yükleme durumu şekilde verilen konsol
kirişin elastik eğri denklemini bulunuz.
A noktasındaki eğim ve sehimi hesaplayınız.
35 kN
y
A
B
x
10 kN
y
A
x
4
4m
M  35 x  144, EIv  35 x  144
1
v '  (17.5 x 2  144 x)
EI
1
v  (5.833 x3  72 x 2 )
EI
kNm
C
B
2m
1m
0  x 1 m
EIv1  0
1 x  3 m
EIv2  10  10 x
20
EI
1
v1  (20 x  46.667)
EI
v '2 
v '1 
1
(5 x 2  10 x  15)
EI
1
v2  ( 53 x3  5 x 2  15 x  45)
EI
18
Yükleme durumu ve boyutları şekilde gösterilen kirişlerin elastik eğri
denklemini çıkartınız. En büyük sehimin yerini ve değerini hesaplayınız.
y
a
y
q
A
B
x
b
q
B
A
x
C
L/2
L
L/2
y
y
c
A
L/2
M0
B
x
d
M0
B
A
x
C
D
L/3
L
2L/3
L
y
Yükleme durumu yanda verilen hiperstatik
kirişin B mesnedi, eksenine dik doğrultuda
Δ kadar yer değiştirmektedir. Mesnet
reaksiyonlarını elastik eğri denklemi
yardımıyla hesaplayınız. B mesnedindeki
eğimi belirleyiniz.
e
L/2
B

EI
x
A
L