mantığın matematiksel analizi ve elektrik

MANTIĞIN MATEMATĠKSEL ANALĠZĠ VE ELEKTRĠKELEKTRONĠK DEVRELERĠNDE KULLANIMI
(BOOLEAN MATEMATĠĞĠ)
Turgut ġEN 1
Özet
İnsanın yaşamında mantığın, önemli ve özel bir yeri olduğu bilinmektedir. Doğru düşünme
biçimi olarak mantık; nesne, olay veya (ya da) olayların yerini alan semboller arasında bağ
kurma etkinliği olarak tanımlanmaktadır. Mantığın temelini oluşturan doğru düşünme biçimi,
tüm bilim dallarında geçerliliğini korumaktadır. Bilim dalları arasında bulunan matematiğin,
ayrı bir yeri olduğunun ve mantıkla olan ilişkisinin bilim insanları tarafından çeşitli
makalelerle dile getirildiği bilinmektedir. Matematik birçok tanımının yanı sıra şöyle de
tanımlanmaktadır: “Sayılar ve kavramlar arasında mantıklı bir bağ kurabilmektir ”.
Matematiğin temelinde yatan mantık yasalarının aklı yöneten yasalar olduğu görüşünde
bulunan bilim insanları, mantığın ve matematiğin kesin çizgilerle ayırt edilemeyecek kadar
birbirine bağlı ayrılmaz iki bilim dalı olduğu görüşünde birleşmişlerdir. Tarih boyunca birçok
bilim insanı, bu iki bilim dalının ortak paydasını bulma konusunda çeşitli ve uzun süren
çalışmalar yapmışlardır. İngiliz matematikçisi Boole, Alman matematikçisi Leibniz’in
başladığı çalışmayı devam ettirmiş ve mantığın yapısını (tamamen) matematiksel temellere
oturtmuştur. Boole; klasik mantığın tümüyle dile bağımlı zayıf yanını ortadan kaldıran
simgesel mantığı yaratmış, simgeler arasında uygulanan matematiksel işlemleri kullanarak
akıl yürütme sürecini kolaylaştırmış ve birçok bilim dallarıyla birlikte elektrik-elektronik
devrelerinde kullanım alanlarını genişletmiştir.
Keywords: Mantık, doğru düşünme, matematik, klasik mantık, simgesel mantık, elektrikelektronik.
THE MATHEMATICAL ANALSIS OF LOGIC AND ITS USAGE IN
ELECTRIC-ELECTRONIC CIRCUITS (BOOLEAN MATHEMATICS)
Abstract
Logic in human life has an important and special place. The correct thinking way of logic is
define as activities to establish a link between the location of objects, events or symbols.
Correct thinking which is underlying the logic’s basics, remains in all disciplines. The
relationship between mathematics and logic have a special place and also they described in
articles by several scholars. Mathematics has many description and also describes like this:
To establish a logical connection between concepts and numbers. Scholar’s opinions in the
managing the minds of the logic laws basics in mathematics are inextricably linked to each
other. Throughout the history, many scholars were made various studies for a long time for
1
Öğr.Gör., Anadolu Üniversitesi, [email protected]
MANTIĞIN MATEMATĠKSEL ANALĠZĠ VE ELEKTRĠK-ELEKTRONĠK DEVRELERĠNDE KULLANIMI
(BOOLEAN MATEMATĠĞĠ)
finding common denominator. British mathematician Boole has continued the work by
German mathematician Leibniz who had start before was perform logic structure to basics of
mathematics. Boole has created a symbolic logic which is eliminate language dependent in
classical logic, using mathematical operations can be applied between the icons that simplify
the mind process and has extended the areas of electronic circuits with many disciplines.
Anahtar Kelimeler: Logic, correct thinking, mathematics, classic logic, symbolical logic,
electric-electronic.
Mantık
Geçtiğimiz aylarda İngiltere’de yapılan bir araştırmadan söz etmek istiyorum.
Araştırmanın amacı; mantık/felsefe biliminin insan beynine nasıl bir etki yaptığını
belirlemek. Bu çalışma, 8-10 yaşları arasındaki çocuklara yapılıyor. Çocukları iki gruba
ayırıp, birinci gruba mantığın temel ilkeleri ve grubun seviyesine göre gerekli bilgiler
veriliyor. İkinci gruba mantık konusunda herhangi bir bilgi verilmiyor. Bu çalışma düzeni 4-5
ay boyunca devam ediyor. Süre bitiminde her iki gruba çeşitli ders konularını içeren ve
çocukların seviyelerine uygun testleri çözmeleri isteniyor. Testler inceleniyor ve sonuçlar
açıklanıyor. Mantık bilgileri verilen grubun sonuçları diğer gruba göre Matematik – Fen
bilgisi ve Türkçe derslerinde %30 - %40 daha fazla başarılı oldukları gözleniyor.
Bu kısa bilgilerden sonra “mantık nedir?” sorusuna geçebiliriz. Mantık kelimesi
Yunanca “logike” ve Arapça “nutk(nutuk)” kelimelerinden gelmektedir. Yunanca “logos”
kelimesi, batı dillerindeki mantık kelimesi olan “logic” e kaynaklık etmektedir. “Logos” ve
“nutk” akıl, akıl yürütme, düzen, ilke ve düşünme anlamına gelmektedir. Bu bağlamda
mantık, hem düşünmeye hem de bu düşünmelerin dile yansıması yani doğru söze ya da
konuşmaya karşılık gelmesidir (Cüçen, 2015).
Çeşitli kaynaklarda “mantık” sözcüğünün ne anlama geldiğini iki farklı örnekle
açıklandığını görmekteyiz. Mantık denince ortaöğretim kurumlarında okutulan matematik,
fizik ve psikoloji gibi bilgi alanlarını içeren dersler aklımıza gelir (Yıldırım, 1999). İkinci
anlamda ise mantık; akıl yürütme, usa vurma veya yargılama adını verdiğimiz bir tür
düşünme yolu aklımıza gelmektedir. “Fen programına mantık kondu mu?” sorusu ders
niteliği taşıdığından birinci anlamda kullanılmıştır. “Söylediklerinde ne akıl var ne de mantık
var” cümlesi ikinci anlamda kullanılmış ve belli bir düşünme biçimini dile getirdiğinden
mantığın gerçek tanımına uyan bir düşünce biçimi ortaya çıkmıştır. Bizlere gerekli olan
mantığın birinci anlamından ziyade ikinci anlamı olan usa vurma, doğru düşünme yeteneğini
kazanmadır. Mantığın ikinci anlamını taşıyan bir örnekle çalışmamıza devam edelim.
“Köyün birinde bir berber varmış. Bu berberin dükkanının kapısının önünde bir levha
asılıymış. Levhada “Sadece kendini tıraş edemeyen erkekler tıraş edilir” ifadesi yazılıymış.
Yani bu berber, o köyde kendini tıraş etmeyen herkesi tıraş edermiş, kendini tıraş edenleriyse
tıraş etmezmiş. Kulağa gayet mantıklı geliyor. Elbette kendi kendine tıraş olabilen erkekler
bir berbere ihtiyaç duymazlar. Bu durumda berberin diğerlerini tıraş etmesi gayet doğaldır.
Şimdi asıl sorumuza gelelim. Peki berberi kim tıraş eder? Bu berber kendini tıraş eder mi
etmez mi? Berber kendini tıraş ediyorsa, o zaman levhaya göre berberin tıraş etmediği grupta
olması gerekir. Öte yandan kendini tıraş etmiyorsa o zaman da yine levhaya göre berberin
tıraş ettiği grupta olması gerekir. O halde berber kendini tıraş ediyor mudur etmiyor mudur?”
İster inanın ister inanmayın çok daha önemsiz sorular bile tarihte çok ciddi aile içi
düşmanlıklara ve ülkelerarası anlaşmazlıklara neden olmuştur. 20. yy. ın önemli mantıkçı ve
filozoflarından Bertrand Russell (1872-1970) bu paradoksu sırf insanın mantıksal
95
EJOIR – ARALIK 2015 IWCEA ÖZEL SAYISI CİLT 3
MANTIĞIN MATEMATĠKSEL ANALĠZĠ VE ELEKTRĠK-ELEKTRONĠK DEVRELERĠNDE KULLANIMI
(BOOLEAN MATEMATĠĞĠ)
çıkarımlarının hatalı olabileceğini göstermek için ortaya atmıştır. Paradokslar ya da çelişkiler
makul gibi görünen cümlelerin kabul edilemez sonuçları olduğu durumları tanımlar. Örnekte
köy berberi kendini hem tıraş etmekte hem de etmemektedir. Bu mümkün müdür? Bu
paradoks çözülebilir mi? Bu cümleyi çelişkiden kurtarabilecek tek olası çözüm vardır. Berber
kadındır. Diğer taraftan, berberin erkek olduğunu önceden biliyorsak o zaman yukarıdaki
cümleyi doğru kabul etmek bizi saçma bir sonuca götürür. Yani başka bir deyişle öyle bir
berber olmaz (Livio, 2015).
Hikayeyi okuduğumuz zaman berberin konumu zihnimizi karıştırmaya başladı. Bu
berber hikayenin kahramanı olarak nerede duruyor? Bu sorunun yanıtını bulabilmek için
doğru düşünme (mantık) yollarını aramamız gerekir.
Bu hikayenin mantıkla ilişkisini şöyle açıklayabiliriz: Doğru düşünmeyi bir çok farklı
fikirlerin bileşeni olarak tanımlayalım. Farklı düşüncelerin içerisinde yanlış, doğruya yakın
ve doğru fikirlerin olması zihnimizin veya mantığımızın daha yoğun faaliyet göstermesine
neden olur. Berberin kim olduğu sorusu ise zihnimizde doğru – yanlış birçok düşüncenin
oluşmasına zemin hazırlamıştır. Ama doğru yanıtı bulmamıza yardımcı olmamıştır.
Bir bilgi alanı olarak mantığın konusu mantıksal düşünmedir. Bu nedenledir ki mantığı
“doğru düşünme kurallarının bilgisi” diye tanımlamak yanlış olmaz. Mantığı başka terimlerle
de nitelemek mümkündür. Çeşitli kaynaklarda, “akıl yürütme bilimi”, “kanıtlama veya kanıt
tartma bilgisi”, “sonuç ispatlama bilimi” gibi tanımlarla da karşılaşmaktayız. Önemli olan şu
ya da bu tanımı doğru kabul edip benimsemekten çok mantığa konu olan düşünce biçimini
açıklığa kavuşturmaktır ve mantıksal yaklaşımın özeliklerini belirtmektir (Yıldırım, 1999).
İlkel toplumlara ilişkin bazı bulgular, insanlığın mantıkla doğmadığını, mantığa uzun
ve zahmetli bir süreç sonunda ulaşıldığını gösteriyor (Koray, 1995).
Mantık, insan düşüncesinden bağımsız olarak var olan gerçeğin, insan düşüncesine
dayattığı ve bütün ilişkilere egemen olan bir kurallar bütünüdür (Koray, 1995). Bilindiği gibi
düşünme, üstü örtük bir davranıştır. Küçük yaşlardan beri edinmiş olduğumuz tecrübelerin
sonucunda kişiliğimize bağlı bir etkinliktir. Mantığın oluşumu ve konusu olan akıl yürütme,
algılama, hayal kuma, tasarlama, hatırlama ve problem çözme gibi çoğu kez mantıksal
kurallara bağlı soyut düşünme biçimlerini oluşturur.
Doğruluğu ve geçerliliği belli kurallara göre değerlendirilemeyen tüm düşünce
sistemleri mantığın ilgi ve inceleme alanı dışındadır. Bu gibi konular psikolojinin sınırları
içindedir. Çünkü psikoloji hiçbir ayrım yapmaksızın tüm zihinsel etkinlikleri ve mantığa
konu olan akıl yürütmeyi de kapsamaktadır (Yıldırım, 1995).
Oysa mantık, düşünmenin yalnız bir türü olan akıl yürütmeyle ilgilidir. Akıl yürütmeyi
bir olgu olarak ne betimleme ne de açıklama yoluna gider. Sadece akıl yürütme biçimlerini
tanımlama ve bunların hangilerinin geçerli hangilerinin geçersiz olduğunu kesinlikle ayırt
etmeye yarayan ölçüt ve kurallar belirler (Yıldırım, 1999).
Akıl yürütmek ya da çıkarım yapmak en az iki önerme arasında olmaktadır. İlişki
sonucu birinden diğerini çıkarma, yani bir veya birkaç önermeden yeni bir önerme
çıkarmaktır (Çüçen, 2015).
Akıl yürütmek bir düşünme türü olarak zihinsel bir olgudur. Sadece zihinden geçmekle
kalır. Şöyle bir örnek verilebilir. Pencereden baktığımızda ağaçların yapraklarının
96
EJOIR – ARALIK 2015 IWCEA ÖZEL SAYISI CİLT 3
MANTIĞIN MATEMATĠKSEL ANALĠZĠ VE ELEKTRĠK-ELEKTRONĠK DEVRELERĠNDE KULLANIMI
(BOOLEAN MATEMATĠĞĠ)
sallandığını görüyoruz. Bundan havanın rüzgarlı olduğu sonucunu çıkartırız. Bu olay bir akıl
yürütmedir. Zihnimizden geçen bu düşünceleri dile getirmedikçe mantıksal eleştiriye konu
yapmak olanaksızdır (Yıldırım, 1999).
Akıl yürütmenin mantıksal geçerliliğini belirlemek için, dil aracılığıyla dışa vurulmuş
olması gerekir. Yani bir argüman biçimini kazanması gerekir. Çeşitli kaynaklarda; zihinsel
olgu, argüman, doğru tümel öncüller ve akıl yürütme aynı anlamda kullanılmış sözcükler
olarak karşımıza çıkmaktadır.
Başka bir deyişle; mantığı doğru öncüllerden doğru sonuç çıkarma formlarını inceleyen
bir bilim dalı olarak da adlandırırız. Mantık, geçerli akıl yürütme yollarını çeşitli açılardan
inceler. Genel anlamda iki akıl yürütme çeşidi vardır: Tümdengelim ve tümevarım. Şimdi
fazla ayrıntıya girmeden bu iki akıl yürütme çeşidi için örnek verelim: Tümdengelim akıl
yürütme, genelden genele ya da genelden özele doğru giden bir düşünme biçimidir. Örneğin;
tüm insanlar ölümlüdür. Sokrates bir insandır. O halde Sokrates ölümlüdür. Tümdengelim
akıl yürütmeleri zorunlu olarak geçerli çıkarımlardır. Tümdengelim çıkarımlar geçerli ise
sonuçları yanlış olmaz. Öncüller mantıksal olarak sonucu içermekte ve kapsamaktadır.
Dolayısıyla sonuç önermesi bir tür akıl yürütme ile elde edilir (Çüçen, 2015).
Tümevarım akıl yürütmede ise, özel (tekil) önermelerden genel (tümel) önermelere
doğru yapılan akıl yürütme şeklidir. Bu tür akıl yürütmeler zorunlu olarak geçerli değildir.
Tümevarım çıkarımları olası doğruluğu veya geçerliliği içerirler (Çüçen, 2015). Örneğimizi
düzgün argümanlar (öncüller) biçiminde koyduğumuzda bu özellik daha da belirginleşir.
Aşağıdaki örneği inceleyerek konuyu pekiştirelim:





Gözlediğim birinci kuğu beyazdı.
Gözlediğim ikinci kuğu beyazdı.
Gözlediğim üçüncü kuğu beyazdı.
Gözlediğim dördüncü kuğu beyazdı.
Sonuç olarak; o halde bütün kuğular beyazdı.
Mantığın tanımına ve değişmez kurallarına benzerlik sağlayan başka bir bilim dalı da
matematiktir. Birbirleriyle kolayca ilişkilendirilebilen bu iki disiplin, tüm tarihsel süreç
boyunca özellikle karşılaştıkları güçlüklerle baş etmekte zorlandıkları kimi sıkıntılı
dönemlerde birbirlerinin yardımına koşmuş, birbirlerini desteklemiş olabileceklerini
düşünmek hiç zor olmasa gerek (Kutlusoy, 2013). Şimdi bu bilgiler ışığında mantık ile
sınırları karışmış olan matematik hakkında kısa bilgiler verelim.
Matematik
Matematik nedir? sorusu zor bir sorudur. Matematiği matematiksel bir kavram gibi
tanımlamak yanıltıcı olur. Bu nedenle günümüzde matematiğin ne olduğunu betimlemeye
geçmeden önce başka bilim dallarıyla ilişkilendirmek yerinde olur. Bilim ve sanat, insanlığın
pratik etkinliklerinin düşünsel ve duygusal yönlerinden türemiştir. Her iki türeyişten
soyutlama ve sistemleştirmenin yanı sıra bilim oluşmuştur. Bilim kategorisini çeşitli
sınıflarda toplayabiliriz. Bu sınıflamalar; fen bilimleri, sosyal bilimler ve doğa bilimleridir.
Doğa bilimlerinin içeriğini doğa yasalarını belirlemiştir. Var olan doğrular pratikte ve zaman
içerisinde sınanmış (deneyler ve gözlemler gibi) toplumca kabul görmüş bilgileri
içermektedir. Sosyal bilimler ise benzer bir işi toplumsal değişim yasalarına uygun olarak
yapmaktır. Sosyal bilimlerde eşit koşullar altında herkes tarafından tekrarlanabilir dolaysız
deneylerin yapılmasına pek olanak yoktur. Ama benzer bir durum, doğa tarihine ilişkin
97
EJOIR – ARALIK 2015 IWCEA ÖZEL SAYISI CİLT 3
MANTIĞIN MATEMATĠKSEL ANALĠZĠ VE ELEKTRĠK-ELEKTRONĠK DEVRELERĠNDE KULLANIMI
(BOOLEAN MATEMATĠĞĠ)
konular açısından söz konusudur. Örnek olarak aynı şekilde tekrar eden fırtına, deprem, sel
felaketi v.b. gibi doğa olayları meydana geldiği söylenemez. Ancak doğa olaylarının
sonuçlarının benzerliğinden söz edebiliriz.
Sosyal bilimlerde araştırıcı özne ile araştırılan nesne arasında kısmi bir çakışma
olduğundan ideolojik tutumlar ortaya çıkmaktadır. Bu ifadenin pratiğini doğruluğun ölçütü
olarak aldığımızda, hangi yaklaşımları bilimsel, hangilerinin ise bilim dışı olarak
niteleyeceğimiz ile ilgili bir sorundur. Üstelik doğa bilimlerinin bulgularına karşı ideolojik
tutumlardan söz edilemez. Doğa bilimleri ile sosyal bilimler arasında inceledikleri konuların
özgüllükleri dışında genel planda temel bir fark bulunmamaktadır (Koray, 1995).
Oysa fen bilimlerinin temelini oluşturan ve ayrıca kendi adına bilim yelpazesinde yer
alan matematiğin, kendine özgü konularıyla ve farklı düşünme sistemiyle özel bir konuma
sahip olduğu ortadadır. Matematikte bir teoremin doğruluğu deney ya da gözlemlerle
belirlenemez. Teorem uygun kuralar çerçevesinde ve sistematik düşünceler sonunda
kanıtlanır (ispatlanır). Örneğin; tek sayılara ilişkin şu özelliği ele alalım. “1’den başlayarak n
sayıdaki tek sayıların toplamı n2’ye eşittir.” Matematikçi bu genellemenin doğruluğunu,
gözlemlediği ilişkiyi daha fazla tek sayılar üzerinde yoklayarak değil, ispatlayarak yani
genellemeyi doğru sayılan bir takım öncüllerden çıkarsayarak saptamaya çalışır (Yıldırım,
2014).
Teoremleri deneylerle ve gözlemlerle ispatlamamız olası gözükmüyor. Her iki durumda
da olayların ele tutulurluğundan ve gözlenebilirliğinden söz edemeyiz.
Teoremlerdeki hipotezlerin doğrulukları mantık kuralları çerçevesinde çözümleri
yapılarak ispat edilir.
Doğa bilimlerinde deneylerin tekrarlanabilir olması öngörülür. Deneylerin eşit koşullar
altında tekrarlanması, aynı aşamalardan geçmesi ve aynı sonuçları vermesi beklenir. Bu
tümevarım yaklaşımıdır. Bu şekilde bir doğa yasasına ulaştıktan sonra mantık kuralları
aracılığıyla buradan çıkarsanabilecek sonuçlar da doğrudur.. Buna da tümdengelim yaklaşım
adı verilir.
Matematik açısından ele aldığımızda; tümevarım aşamasının, deneylerle ve gözlemlerle
ispatı mümkün olmamaktadır. Tümevarım aşaması mantığa ulaşıldığında son bulur.
Matematikte kullanılan teoremleri ele aldığımızda ve mantık kurallarını uyguladığımızda elde
edeceğimiz çıkarsamalar doğrudur (Nesin, 1995). Kısaca ifade etmemiz gerekirse,
matematiksel ispat yöntemiyle ulaşılan önermelerin doğruluğu söz götürmez, yanlışlaması
kabul edilmezdir (Nesin, 1995).
Dolayısıyla matematikte hiçbir düşünce alanında
erişilmeyen bir açıklık ve kesinlik gözlemlemekteyiz.
Matematik, gerçekliğe ilişkin bilgi edinme etkinliğinin yani bilimin bir parçası olmakla
beraber, her biri belli değişim biçimlerini konu olan doğa bilimleri ve sosyal bilimlerden ayrı,
daha temel, daha net ve daha evrensel bir bilim dalıdır.
Günümüzde doğa bilimlerinin temeli matematik olarak bilinmektedir. Doğada var olan
bulguları bütünleştirip, sistemleşmesi ve uygulama alanlarına çıkması matematik aracılığıyla
gerçekleşir. Kullandığımız kavramlar olmasaydı, matematiksel kavramların doğada var olup
olmadıklarını anlayamazdık. Bu var olan kavramlar yoktan mı var olmuştur? Yoktan hiç bir
şeyin var olmayacağını hepimiz biliyoruz. En soyut düşünceler bile somuttan kaynaklanır.
Matematiksel kavramlarda yoktan var edilmemiştir. Doğada gizli olarak bulunan bu
98
EJOIR – ARALIK 2015 IWCEA ÖZEL SAYISI CİLT 3
MANTIĞIN MATEMATĠKSEL ANALĠZĠ VE ELEKTRĠK-ELEKTRONĠK DEVRELERĠNDE KULLANIMI
(BOOLEAN MATEMATĠĞĠ)
kavramlar, matematik sayesinde uygulama alanlarına çıkmış ve insanlığın hizmetine
sunulmuştur. Örneğin çemberde bulunan π (pi) sayısını ele alalım. Doğada çember ve benzeri
birçok cisim bulunmaktadır. Çemberin ölçümlerini incelerken π sayısını göz ardı etmemiz
mümkün değildir. Doğada çember ve çembere bağımlı olan π sayısı vardır. Pi sayısının
ortaya çıkması ve kullanılması matematik bilimi sayesinde olmuştur.
Matematik doğa bilimlerinde olsun sosyal bilimlerde olsun farklı bilim dallarında farklı
ölçülerde kullanılmaktadır. Nicelik ölçümlerinin ve nicelikler arası ilişkilerin esas olduğu
fizik gibi bilim dallarının teoremlerinin temeli tümüyle matematikseldir. Matematikte sayı
sistemleri önemli bir konuma sahip olmakla birlikte bugün matematik “nicelikler arası
ilişkileri inceleyen bir bilim dalı” olmanın çok ötesine geçmiştir (Koray, 1995).
Matematik ile ilgili bölümün başında, matematiğin tanımının yapılmasının zor
olduğunu dile getirmiştik. Zor olmasının nedenlerinden birisi, “matematiğin, herkesin kendi
zihninde oluşan bir olgu olmasıdır (Şen, 1990). “Matematik sayılar ve kavramlar arasında
mantıklı bir bağ kurabilmektir” diyerek ilgili bölüme son verelim.
Mantığı ve matematiği çok geniş olmayan zeminde inceledikten sonra bu iki bilim
dalının arasındaki ortak noktalara göz atalım.
Mantık ile Matematik
Matematiğe sağlam bir temel oluşturma yolunda en göz alıcı felsefi girişimin
mantıkçılık olduğu söylenebilir (Yıldırım, 2014). Mantık ve matematik tümdengelimin
düşünme türünü kullanımları bakımından birbirlerine benzerler. Bilindiği gibi tümdengelim
kesin ve zorunlu doğru çıkarımlara ulaşmanın akıl yürütme yolu veya düşünsel etkinlik
olduğu söylenebilir (Çüçen, 2015). Bu iki disiplin tüm tarihsel süreç boyunca bilim
insanlarınca ilişkilendirilmiş ve bu konuda birçok kalıcı eserler yazılmıştır. Bu eserlerden en
önemlisi olan B. Russell ve A.N. Whitehead’in birlikte yazmış oldukları sembolik mantığın
klasiği olarak değerlendirilen ve mantık – matematik etkileşimini konu olan “Principia
Mathematica” eseridir (Kutlusoy, 2013.).
“Nokta, sayı, küme ve fonksiyon türünden soyut nesnelere özgü özellikleri ortaya
çıkarma, belirleme ve mantıksal olarak ispatlama bilimi” olarak tanımlanan matematik,
olgusal olmayan kavramsal içeriğiyle, yöntem ve sonuçları açısından deneysel bilimlere değil
soyut kavramsal ilişkileri ve zorunlu çıkarımları konu alan mantıkla özdeşleşmiştir (Yıldırım,
2014).
Mantık ve matematik ilişkisini Russell şöyle ilişkilendiriyor: “Matematik ve mantık,
tarihin penceresinden baktığımızda, birbirinden ayrı disiplinler olmuştur. Matematik bilimle,
mantık ise Yunanca ile bağdaştırılmıştır. Ama son zamanlarda her ikisi de gelişmiştir; mantık
daha matematikselleştirilmiş ve matematik ise daha mantıksal bir hal almıştır. Sonuçta, ikisi
arasında bir çizgi çekmek artık tamamen imkansız hale gelmiştir, hatta ikisi bir olmuştur.”
Birbirinden ancak bir erkeğin gençliği ve yetişkinliği kadar farklıdır. Mantık,
matematiğin gençliği, matematik ise mantığın yetişkin halidir. Russell burada kısaca şöyle
demek istemiştir: “Matematiğin temelinde mantık vardır.” Başka bir ifadeyle Russell’a göre
matematiğin temel kavramları, hatta sayılar bile, aslında mantığın temel yasalarıyla
tanımlanabilir (Livio, 2015).
99
EJOIR – ARALIK 2015 IWCEA ÖZEL SAYISI CİLT 3
MANTIĞIN MATEMATĠKSEL ANALĠZĠ VE ELEKTRĠK-ELEKTRONĠK DEVRELERĠNDE KULLANIMI
(BOOLEAN MATEMATĠĞĠ)
Mantığın temel yasalarını tüm bilim dallarında uyguladığımız gibi diğer bilim
dallarında farklı olarak matematikte de uygularız. Her iki bilim dalı da tümüyle tanımsaldır
ve bir takım soyut kavramlarla veya kavramsal nesnelerle uğraşır. Bilimle ilişkileri biçimle
özün ilişkisinden ileriye geçmez. İkisi de verilen önermeleri başka önermelere dönüştürmeye
ya da verilen önermelerden mantıksal sonuçlar türetmeye yarayan deneysiz yönteme
dayanmakta, dönüştürme ve çıkarımların geçerlik denetimini sağlayıcı kurallara başvurmaktır
(Yıldırım, 1999).
Mantık ve matematikte sık kullanılan önermeler, her iki bilim dalının vazgeçilmez
elemanlarıdır. Bilindiği gibi doğru veya yanlış olan her ifadeye önerme denir. Önermeler ya
doğrudur ya da yanlıştır. Bir önerme hem doğru hem de yanlış olamaz. Russell tüm
matematiği “p doğru ise q doğrudur.” Biçimini alan önermeler (ya da önerme kalıpları)
arasındaki mantıksal ilişkiye bağlamıştır (Yıldırım, 2014).
Mantıkla matematik arasındaki etkileşimin net şekilde aydınlığı, matematiğin mantıksal
temellere dayandırılması girişimi olan bu çerçevede, iki disiplin arasındaki ilişki de
matematiğin kurulma aşamasındaki ilişkiye benzer bir ilişkidir. 19. yy. ın ikinci yarısında yüz
yüze kaldığı bunalımlardan kurtulmak için matematiğin mantıktan yardım aldığı bu ilişki, iki
disiplinin başlangıç dönemlerindeki etkileşimlerden daha ileriye taşınmıştır (Kutlusoy, 2013).
Bu iki disiplin farklı dönemlerde veya başka düşünsel etkinlik alanlarında sancılı
dönemler yaşamışlardır. Matematik tarihindeki ilk bunalım Pythagorasçıların bulduğu √
gibi irrasyonel sayılarla ortaya çıkan negatif ve sayıların neden olduğu bunalım olarak kabul
edilir. Özel bir öneme sahip olan bu ilk bunalım, mantığın daha açık bir söyleyişle deneysel
olmayan düşünme ve yaklaşım biçiminin, matematiğe yardıma koşması ile aşılırken,
matematiğin kuramsal olarak kurulması gerçekleşmiş, oluşum süreci içindeki matematiksel
düşünme yöntemi de belirgin şekilde açığa çıkmıştır (Yıldırım, 2014).
Yıldırım (1996, s.24) matematik tarihinin ilk sorunu olan √ gibi irrasyonel sayıların
ortaya çıkmasıyla başlayan bunalım giderilmesi yolundaki çalışmalar, mantıksal ispat
yönteminin belirginlik kazanmasında başlıca etkenlerden biri olmuştur. Dönemin ünlü bilgini
Eudoxus’un √ nin rasyonel bir sayı olmayacağına ilişkin verdiği ispattır ki; bunalıma son
vermiştir.
Pythagorasçıların asıl büyük katkıları, Thales’te ilk örneklerini gördüğümüz deneye
başvurmadan çıkarımlar yapan düşünceyi içeren ispat yöntemini ileri düzeyde kullanma
başarılarıdır (Yıldırım, 2014).
Mantık reformlarında ilk adımları ve son adımları da matematikçilerin attığını
söylemek yanlış olmaz. Mantık ve matematiği birleştirip tek bir “evrensel matematik” çatısı
altında toplamaya teşebbüs eden kişi, Alman matematikçi ve rasyonalist düşünür Gottfried
Willhelm Leibniz’dir (1646-1716) (Livio, 2015). Leibniz’in amacı, basit kavram ve fikirleri
sembollerle daha karmaşık olanlarını ise bu basit sembollerin uygun kombinasyonlarıyla
ifade etmekti. Mantıksal açıdan uygun bir kalkülüs (cebir) kullanarak felsefedeki tüm
tartışmaların hesap yöntemiyle çözülebileceğini söylüyordu. Fakat Leibniz mantık cebirini
geliştirmekte fazla bir yol alamadı. "Düşünmenin alfabesi” olarak nitelediği genel prensibe ek
olarak mantık alanına iki katkısı olmuştur. Birincisi; iki şeyin ne zaman birbirine eşit olarak
görülebileceği konusunda açık ve net bir tanım geliştirmiştir. İkincisi ise; hiçbir ifadenin aynı
anda hem doğru hem de yanlış olamayacağını söylemiştir. Leibniz’in bu çalışmalarından
yaklaşık bir asır sonra önce Augustus De Morgan (1806-1871), daha sonra George Boole
100
EJOIR – ARALIK 2015 IWCEA ÖZEL SAYISI CİLT 3
MANTIĞIN MATEMATĠKSEL ANALĠZĠ VE ELEKTRĠK-ELEKTRONĠK DEVRELERĠNDE KULLANIMI
(BOOLEAN MATEMATĠĞĠ)
(1815-1864), Gottlob Frege (1848-1925) ve Giuseppe Peano (1858-1932) gibi isimler önemli
çalışmalara imzaların atmışlardır.
Hiç kuşku yok ki, yukarıda isimlerini saydığımız bilim insanları, sözel mantıktan
sembolik mantığa geçişte dönüm noktası olmuşlardır. Bu geçiş aşamasında, adlarını
saydığımız bilim insanlarından George Boole, Boolean matematiğini bilim dünyasının
hizmetine sundu. Aşağıda Boolean matematiği hakkında bilgiler verilmiştir.
Boolean Matematiği ve Elektronik-Elektrik
20. yy. ın en büyük filozofu olarak kabul edilen Bertrand Russell, hiçbir eğitim
almadan kendi kendini yetiştirmiş olan bu süper dehaya hayranlığını şöyle dile getirmişti:
“Kuramsal matematiği keşfeden kişi Boole’dur ve bunu “Düşüncenin Kanunları” adını
verdiği eseriyle yapmıştır. Yazdığı kitap aslında formel mantık hakkındaydı. Ki bu zaten
matematikle aynı şeydir.” Demiştir (Livio, 2015).
Boole’nun yazmış olduğu “Düşüncenin Kanunları” adlı kitap ikinci eseridir. Birinci
olarak, “Mantığın Matematiksel Analizi” adlı eseridir. Boole’un yazmış olduğu bu iki eser;
mantıkla aritmetik işlemleri arasındaki paralelliğe farklı bir boyut getiren ilk çalışmadır
(Livio, 2015).
Boole yaptığı bu çalışmalarla, mantığı tek kelimeyle cebir türüne dönüştürmüştür (ki
zaten Boole cebiri ya da Boolean Matematiği olarak bilinir). Boole, kendi cebirini iki şekilde
yorumlar; kümeler arası bağlantılar ve önermeler ve mantığı dahilindeki bağıntılar. Örneğin
A ve B birer kümedir. A=B gibi bir bağıntı, bu iki kümenin bire bir aynı elemanlara sahip
olduğu anlamına gelir. Bir örnek vermek gerekirse, bir sınıftaki her öğrencinin ağırlığı 30 kg.
fazladır. Bu sınıftaki tüm öğrenciler kümesine A, sınıftaki 30 kg. dan fazla öğrenciler
kümesine B dersek, A=B olur. Bu iki küme eşittir ve A=B şeklinde gösterilir.
Eğer A ve B kümeleri değil de önermeleri temsil ediyor olsaydı a=b olurdu. Bu iki
önermenin eşdeğer olduğu anlamı çıkardı (Yani a önermesi doğru ise b önermesi de
doğrudur. a önermesi yanlış ise b önermesi de yanlıştır).
Bir başka örnekle devam edelim;
a= Ayşe Ali’nin ablasıdır. b= Ali, Ayşe’nin oğlan kardeşidir. Bu iki önerme aynıdır ve eşittir
(a=b).
Günümüzde kümeler; büyük harfle (A,B,C… gibi) ve önermeler küçük harf (p, q, a,
b… gibi) ile gösterilmektedir.
Boole cebirinde (matematiğinde) “a.b” sembolü hem kümeler hem de önermeler için
kullanılabilir. Kümeler arasındaki bağlantıları ifade ederken a ve b olarak tanımlanan iki
kümenin ortak elemanlarından söz ediliyordu. Önermeler arasındaki bağlantıları ifade
ederken tıpkı “ve” bağlacı gibi işlev görüyordu (a ve b).
Çalışmamıza bir örnekle devam edelim: A kümesi köydeki bütün aptalları temsil
ediyorsa, A=Köydeki bütün aptallar, B kümesi siyah tüylü her şeyi temsil ediyorsa, B=Siyah
tüylü her şey. Bu durumda A.B nin ifadesi, köydeki siyah tüylü bütün aptallar olacaktı.
Bu örnekte kümeler değil, önermeler olsaydı, bu durumda “a.b” ifadesi her iki önerme
için de geçerli olacaktı. Örneğin, öğretmen “Hasan ve Sema buraya gelsin” diyorsa, bu her iki
101
EJOIR – ARALIK 2015 IWCEA ÖZEL SAYISI CİLT 3
MANTIĞIN MATEMATĠKSEL ANALĠZĠ VE ELEKTRĠK-ELEKTRONĠK DEVRELERĠNDE KULLANIMI
(BOOLEAN MATEMATĠĞĠ)
öğrencinin de gelmesi gerektiği anlamına gelirdi. Ortak elemanı olmayan iki küme varsa,
Boole “A+B” sembolünü kullanarak ifade ediyordu.
Önermeler penceresinden baktığımızda ise, “a+b” sembolü “ya a’yı ya da b’yi” ifade
ediyordu. Ama her ikisini birden kapsamıyordu. Örneğin; a önermesi “köşeli kalemler” ve b
önermesi “yuvarlak kalemler” diyorsa, bu durumda a+b “kalemler ya yuvarlaktır ya da
köşelidir” anlamını taşır. Benzer şekilde “A-B” sembolünü de kümeler için ele alırsak A’ya
ait olup B’ye ait olmayan elemanların kümesini ifade ediyordu. Önermeler için “a ama b
değil” anlamını taşımaktaydı.
George Boole, dolu kümeyi 1, boş kümeyi 0 olarak ifade etmiştir. Mantık kuralları
çerçevesinde kullanılan önermelerde, doğru önermeler için 1 (standart doğru), yanlış
önermeler için 0 (standart yanlış) matematiksel sembolleri kullanılır. Bu sembolleri
kullanarak önermelerin doğruluk tabloları Boolean Matematiği yardımıyla şöyle yapılabilir:
Boolean Matematiğinde, a birinci önerme ve b ikinci önerme giriş değişkenlerini göstersin.
“VE” bağlacı Boolean matematik ifadesi olarak “a.b” şeklinde yazılırken, “VEYA” bağlacı
için “a+b” ifadesi kullanılır. Boolean Matematiğinde ʌ (ve) bağlacı çarpma işlemiyle, v
(veya) bağlacı toplama işlemiyle bağdaştırılmıştır. Aşağıda çarpma (ʌ), toplama (v)
işlemleriyle ilgili örnek iki alıştırmanın doğruluk tabloları bulunmaktadır.
Tablo 1: Ve (ʌ) bağlaç işlemi.
a
b
a.b
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
a
b
a+b
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
Tablo 2: Veya (v) bağlaç işlemi.
Semboller ve bağlaçlar yardımıyla yapılan doğruluk tabloları, elektrik ve elektronik
devrelerinde akımın geçip geçmeyeceğini belirler. Devre matematiğinin temelini George
Boole, 1847’de “Mantığın Matematiksel Analizi” eserinde dile getirmiştir. Ancak bu düşünce
1938’den sonra Bell laboratuvarlarında yapılan röleli devrelerde telefon işletmelerinde
uygulama alanı bulabilmiştir. Daha sonra elektrik ve elektronik devrelerinin temelini
oluşturmuştur. Bunun yanı sıra Boole, mantık bağlaçlarını matematiksel olarak terbiye eden
bilim insanıydı. Ve, veya, eğer, öyleyse, değilse gibi bağlaçlara yepyeni anlam kazandırmıştı
(Bu çalışmada ve-veya bağlaçlarına yer verilmiştir). Ki bu sihirli kelimeler bugün bilgisayar
programcılığının ve birçok anahtar devresinin kalbidir. Boole, birçokları tarafından dijital
çağın peygamberi olarak nitelendirilir.
102
EJOIR – ARALIK 2015 IWCEA ÖZEL SAYISI CİLT 3
MANTIĞIN MATEMATĠKSEL ANALĠZĠ VE ELEKTRĠK-ELEKTRONĠK DEVRELERĠNDE KULLANIMI
(BOOLEAN MATEMATĠĞĠ)
Aşağıda p ʌ (q v r) bileşik önermesinin doğruluk tablosu ve elektrik-elektronik
devresini çizerek hangi durumlarda lambanın yanmayacağını inceleyelim.
Tablo 3: Şekil 1’de verilen elektrik devresine yönelik doğruluk tablosu.
p
q
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
r
1
0
1
0
1
0
1
0
qvr
1
1
1
0
1
1
1
0
p ʌ (q v r)
1
1
1
1
1
1
1
0
Şekil 1: Örnek elektrik devresi.
Doğruluk tablosunda sekizinci satırdaki durumda lamba yanmaz. Değer 0’dır. Doğruluk
tablosunda diğer satırlardaki durumlarda lamba yanar. Değer 1’dir.
Kaynakça
Cumhuriyet.com.tr, Yayın tarihi: 12.07.2015.
Çüçen, A. K. (2015). Mantık. ISBN : 9789758149049, Ankara: Sentez Yayıncılık.
Koray, S. (1995). Matematik Nedir? Bilim ve Ütopya, Temmuz, Sayı:13, 1-3.
Kutlusoy, Z. (2013). Mantık – Matematik İlişkisi Üzerine. Kaygı, Uludağ Üniversitesi, 20.
Livio, M. (2015). Tanrı Matematikçi mi? ISBN:9789752112001, Berna Gülpınar çevirisi,
İstanbul: Altın Kitaplar Yayınevi.
Nesin, A. (1995). Matematik ve Doğa. Bilim ve Ütopya, Temmuz, Sayı: 13, 9-11.
Şen, T. (1990). İşitme Engelli Çocuklara Programlı Öğretim Yöntemiyle Matematik
Öğretimi. Yüksek Lisans Tezi, Anadolu Üniversitesi, Eskişehir.
Yıldırım, C. (1999). Mantık – Doğru Düşünme Yöntemi. ISBN: 9754947767, Ankara: Bilgi
Yayınevi.
Yıldırım, C. (2014). Matematiksel Düşünme. ISBN: 9751400789, İstanbul: Remzi Kitabevi.
103
EJOIR – ARALIK 2015 IWCEA ÖZEL SAYISI CİLT 3