PDF ( 1 )
Transkript
PDF ( 1 )
Ankastre Mesnetli Çok Kademeli Kiri lerin Serbest Titre imleri C.B.Ü. Fen Bilimleri Dergisi 3.2 (2007) 143 152 ISSN 1305-1385 C.B.U. Journal of Science 3.2 (2007) 143 152 ANKASTRE MESNETL ÇOK KADEMEL K R LER N L NEER EN NE T TRE MLER Ayla TEK N1, Erdo an ÖZKAYA2* 1 2 Celal Bayar Üniversitesi, Soma Meslek Yüksekokulu, Makine Bölümü 45100, Soma, Manisa, TÜRK YE Celal Bayar Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Makine Mühendisli i Bölümü 45140, Manisa, TÜRK YE Özet:Bu çal mada keyfi noktalarda n tane kademeye sahip de i ken kesitli üç farkl kiri sistemi için serbest titre im analizi yap lm t r. Kiri lerin her iki ucundan ankastre olarak mesnetlendi i kabul edilmi tir. Hamilton prensibi kullan larak hareket denklemleri ve s n r artlar üç farkl kiri için elde edilmi tir. Denklemler boyutsuzla t r larak geometrik yap ya ve malzemeye olan ba ml l k ortadan kald r lm t r. Elde edilen k smi diferansiyel denklemler çözülerek tabii frekans denklemleri elde edilmi tir. De i ik kademe ve kesitler için tabii frekanslar hesaplanm t r. Ayr ca kademe konumunun, oran n n ve kesidinin titre imlere olan etkiside incelenmi ve kar la t rmalar yap lm t r. Anahtar kelimeler: Çok kademeli kiri , Hamilton prensibi, tabii frekans LINEAR TRANSVERSE VIBRATIONS OF A CLAMPED MULTI STEPPED Abstract:In this study, free vibrations of stepped beams having n different sections are investigated. Beams were assumed to biclamped. The equations of motions and boundary conditions for three types of beam were obtained using Hamilton s Principle. Then the equations were made non dimensional. So, the dependence of solution on the material and the geometric shape of the system were eliminated. Solving the differential equations, natural frequency equations were obtained. Natural frequencies were calculated for different step and cross-section. The effects of the position, proportion and cross-section of the step on the vibrations were determined and compared with each other. Key words: Multi-stepped beam, Hamilton's Principle, natural frequency ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------* Sorumlu Yazar [email protected] C.B.Ü. Fen Bil. Dergisi (2007)143 152, 2007 /Ayla TEK N / Erdo an ÖZKAYA GR Gerçek ya amda birçok mühendislik problemi kademeli kiri olarak modellenebilir. Demir yollar , köprüler, otomotiv endüstrisi ve makine elemanlar gibi pek çok uygulama alan vard r. Bu nedenle çok kademeli kiri lerin titre im analizi önemli mühendislik problemlerinden biridir. Titre im analizinin en önemli k sm sistemlerin tabii frekanslar n n hesaplanmas d r. E er sistemlere tabii frekansa yak n frekansta zorlama uygulan rsa sistem rezonansa gelir ve genlikler tehlikeli bir ekilde büyür. Kademeli kiri titre imleri ile ilgili yap lan çal malardan ilki Taleb ve Suppiger [1] a aittir. Yap lan çal mada tek kademeli basit mesnetlenmi kiri in frekans denklemi elde edilmi ve denklemin çözümü ile tabii frekanslar bulunmu tur. Balasubramanian ve Subramanian [2,3] yapt klar çal malarda orta noktas ndan tek kademeli kiri titre imlerini incelemi tir. Jang ve Bert [4] ilk çal mas nda de i ik s n r artlar nda tek kademeli kiri için frekans denklemlerini elde etmi ve dairesel kesitli kiri için en küçük tabii frekanslar hesaplam t r. Elde edilen sonuçlar sonlu elemanlar metodu ile elde edilen sonuçlarla kar la t rm lard r. Jang ve Bert [5] di er çal malar nda ise referans [4] de elde edilen frekans denklemlerinden yararlanarak yüksek mod yap lar için tabii frekanslar elde etmi lerdir. Sato [6] her iki ucu ankastre ve basit olarak mesnetlenmi bir kademeli dikdörtgen kesitli kiri için nonlineer titre im analizi yapm çözüm için matris metodunu kullanm t r. Sonuçlar Galerkin metodu kullan larak elde edilen lineer mod yap lar ile kar la t r lm t r. Sar gül ve Aksu [7,8] iki ucu da ankastre kiri ve millerin serbest titre imlerini incelemek için sonlu farklar tekni ini kullanm ve geli tirilen tekni i üniform ve üniform olmayan kademeli kiri ve aftlar n dinamik analizi için uygulam t r. Enerji fonksiyoneli, yer de i tirme elemanlar na göre minumum duruma getirilip tabii frekanslar ve mod ekilleri hesaplam t r. 144 Naguleswaran [9] yapt çal mada s n r artlar n n tüm durumlar için tek kademeli üç farkl Euler-Bernoulli kiri inin (dairesel, dikdörtgen kesitli) hareket denklemlerini elde etmi ve hareket denkleminden yararlanarak ilk üç tabii frekans hesaplam t r. Dong, Meng, Li, Ye [10] taraf ndan yap lan çal mada farkl malzemeden yap lm tek kademeli Timoshenko kiri inin serbest titre imleri üzerinde durulmu tur. Özkaya, Tekin, Ekici [11] yapm olduklar çal mada bir ucu ankastre di er ucu serbest kademeli kiri lerin Rayleigh ve Rayleigh-Ritz metodu kullanarak tabii frekanslar n hesaplam lard r. Elde ettikleri sonuçlar gerçek de erlerle kar la t rm lard r. Bu çal mada, mühendislik uygulamalar nda yayg n olarak kullan lan üç farkl prizmatik kesitli kiri sistemi ele al nm t r. Birinci kiri sabit yükseklik de i en geni lik, ikinci kiri de i en yükseklik sabit geni lik, üçüncü kiri de i en yükseklik ve geni likteki dikdörtgen kesitli kiri tir. Her iki ucundan ankastre olarak mesnetlendi i kabul edilen kiri için titre im analizi yap lm t r. Çözüm için Hamilton prensibi kullan larak en genel hal hareket denklemleri elde edilmi tir. Bu denklemlerin çözümü ile üç farkl kesite sahip tek kademeli kiri için tam sonuç veren frekans denklemleri elde edilmi tir. Bir, iki ve üç kademeli kiri için elde edilen tabii frekans de erleri tablo halinde verilmi tir. Tek kademeli üç farkl kiri tipi içinde mod yap lar n veren grafikler çizilmi tir. 2.HAREKET DENKLEMLER nceledi imiz sistem n kademeli, ankastre ankastre olarak mesnetlenmi dikdörtgen kesitli kiri sistemidir. Kullan lan kiri lerden I. tip sabit yükseklik de i en geni li e sahip, II. tip de i en yükseklik sabit geni li e sahip, III. tip de i en yükseklik ve geni li e sahip dikdörtgen kesitli kiri sistemidir. ekil-1'de çok kademeli ankastre olarak mesnetlenmi kiri sistemi ve üç farkl kiri tipi için kesitler görülmektedir. Ankastre Mesnetli Çok Kademeli Kiri lerin Serbest Titre imleri X2 X1 Xn I. tip kiri II. tip kiri III. tip kiri ekil 1: Çok kademeli ankastre mesnetli kiri sistemi ve kesitleri Sistemin Lagrangian xm n 1 £= 2m 1 Am 1 wm 0 u ekilde yaz labilir: 2 1 xm xm 1 EI m 1 wm2 1 dx dx Burada x 0 0 ve x n 1 L Denklemde n kademe say s n , her bir parças n n yer de i tirmesini, E Young modülünü, I m 1 kademeli kiri in asal eksene göre kesit atalet momentini, (.)zamana göre türevi, ( ) x e göre türevi gösterir. dir. kiri in yo unlu unu, Am alan n , wm kiri in kademelerle bölünmü 1 (2.1) xm kademeli kiri in kesit 1 Hamilton prensibine göre t2 £dt=0 (2.2) t1 Lagrangian ifadesi yerine denklem (2.1) yaz l p gerekli matematiksel i lemler yap l rsa ve boyuna yer de i tirmeler elimine edilirse üç Am 1 wm 1 EI m 1 wmv 1 0 farkl kiri için a a daki diferansiyel denklem elde edilir. m=0,1,2, Denklem (2.3) te n+1 tane birbirine ba l denklem tak m elde edilir. Bu denklemlerin wP ( x P , t ) wP 1 ( x P , t ), wP ( x P , t ) EI P wP ( x P , t ) EI P 1 wP 1 ( x P , t ) 0; EI P wP ( x P , t ) EI P 1 wP 1 ( x P , t ) A a daki tan mlar boyutsuzla t r labilir. x* yap larak x / L, w p * w p / L, bp p 1 ve b1 Denklem (2.7)'de p .,n (2.3) çözümü için süreklilik yaz labilir. artlar u wP 1 ( x P , t ) 0 ekilde (2.4) (2.5) p 1,2,.......n denklemler x p / L, t * ( EI 1 / A1 L4 )1 / 2 t hp p boyutsuz parametresi kademeli kesit geni liklerinin birinci kesit (2.6) 1 (2.7) h1 geni li ine oran n ve p boyutsuz paremetresi ise kademeli kesit yüksekliklerinin 145 C.B.Ü. Fen Bil. Dergisi (2007)143 152, 2007 /Ayla TEK N / Erdo an ÖZKAYA birinci kesit yüksekli ine oran n ifade etmektedir. Boyutsuzla t rma sonucu a a daki wm* I.tip kiri için II. ve III. tip kiri için wm* 1 wm* 2 m 1 iv 0, 1 iv wm* denklemler elde edilir. (2.8) 0 1 m=0,1,2, n (2.9) Süreklilik artlar u ekilde yaz labilir. w*p ( I. tip kiri için w p* ( p ,t p ,t * * w*p 1 ( ) p ) p ,t * w p* ( ), w p* 1 ( p ,t * * p, t ), w p * ( w p* 1 ( ) p, t * p ) p 1 w *p ( II. tip kiri için III. tip kiri için p ,t * w p* ( * p ,t ) w *p ( p ,t w p* ( * ) 3 p 3 p 1 p ,t * ), w p* ( w p* 1 ( w *p 1 ( p,t p 3 p p 1 3 p 1 * p ,t ) w p *1 ( (2.11) p , t) p 1 w *p 1 ( ) (2.10) p , t) * p, t * w p* 1 ( ) * * p , t ), w p ( w p* ( ), w p* 1 ( p, t * p , t ), 3 p * p, t ) * ) 3 p 1 w p* 1 ( wp* ( (2.12) p , t) w p *1 ( (2.13) p , t) (2.14) p , t) * p, t ) p 3 p p 1 3 p 1 w p *1 ( p , t) (2.15) (2.15) de elde edilen süreklilik artlar için çözülecektir. Elde edilen genel formlar kullan larak tek kademeli üç farkl kiri için tabii frekans denklemleri ve , parametresinin baz de erleri için tabii frekanslar elde edilecektir. ki ve üç kademeli durumlar için elde edilen tabii frekans de erleri tablo olarak verilmi tir. Yukar daki denklemlerde 1 ve 0 1 al nm t r. Bundan sonra yap lan 0 i lemlerde kolayl k olsun diye boyutsuz paremetrelerden (*) i areti kald r lacakt r. 3.ANAL T K ÇÖZÜM Bu bölümde denklem (2.8) ve (2.9) da elde edilen hareket denklemleri denklem (2.10)- wm 1 m=0,1,2, ( A sin t B cos t )Ym 1 ( x) .,n (3.1) Yukar da sistemin tabii frekans n gösterir. Denklem (3.1) denklem (2.8) ve (2.9) a yerle tirilirse a a daki denklemler elde edilir. I. kiri için Ymiv 1 II. ve III. kiri için Ymiv 1 2 Ym 1 2 2 (3.2) 0 1 Ym 1 (3.3) 0 m Ortak s n r artlar a a daki ekli al r. I.kiri için 146 Yp ( p) Yp 1( p ), Yp ( p) Yp 1( p) (3.4) Ankastre Mesnetli Çok Kademeli Kiri lerin Serbest Titre imleri Yp ( p p) Yp 1( p ), Yp ( p p) p 1 II.kiri için III.kiri için Yp ( p) Yp ( p) Yp ( p) Yp ( p) p=1,2,3 Yp 1) ( p ), 3 p 3 p 1 Yp 1( (3.5) p) p 1 Yp ( Yp 1( Yp 1( p ), p ), Yp ( p 3 p p 1 3 p 1 Y( p 1 ( p) Yp 1( Yp ( p) p ), 3 p p) 3 p 1 Yp 1( Yp ( (3.6) p) Yp 1( (3.7) p) (3.8) p) p) p 3 p p 1 3 p 1 Yp 1( p) (3.9) ,n Denklem (3.2-3.3) den n+1 tane diferansiyel denklem elde edilir. Bu denklemler için u ekilde bir çözüm önerilebilir. Ym 1 C m1 1 Sink m x C m2 1Cosk m x C m3 1 Sinhk m x C m4 1Coshk m x Denklem (3.10) da m=0,1,2, denklemde .n dir. Bu , I. tip kiri için k m II. ve III. tip kiri ler için ise k m 1/ 1 ve m dir. Tek kademeli, de i ik kesitli ve de i ik s n r artlar na sahip kiri ler için tabii frekans denklemleri Tablo-1 de verilmi tir. Denklem (3.10) (3.2-3.3) kullan larak istenilen kademe say s için tabii frekans denklemi bulunabilir. Kademe say s artt kça tabii frekans denklemini analitik olarak elde etmek zorla maktad r. Tablo 2, Tablo 3 ve Tablo4 de de i ik kademeler için ilk üç tabii frekans de erleri verilmi tir. edilen hareket denklemleri farkl durumlar içinde kullan labilir. 4. SONUÇLAR Bu çal mada ankastre mesnetli çok kademeli üç farkl kiri sistemi ele al nm t r. Sistemin en genel hal hareket denklemleri ç kart lm , denklemler boyutsuzla t r larak çözümün kullan lan malzemenin cinsine ve sistemin geometrik yap s na olan ba ml l ortadan kald r lm t r. Elde edilen k smi diferansiyel denklemler çözülerek tek kademeli durum için tam sonuç veren tabii frekans denklemi analitik olarak elde edilmi tir. Tek, iki ve üç kademeli üç farkl kiri için kademelerin yerleri ve oranlar de i tirilerek ilk üç tabii frekans hesaplanm t r. Kiri e uygulanan kademelerin konumlar de i tirildi inde lineer frekanslar farkl ekilde de i mektedir. Kademe say s n n artmas ile bütün modlar için tabii frekans n azald gözlenmi tir. Üç farkl kiri tipi için mod yap lar n veren grafik çizilmi tir. Elde 5.TE EKKÜR Bu çal ma 104M427 nolu proje kapsam nda TÜB TAK taraf ndan desteklenmektedir. 6.KAYNAKLAR [1] N.J. TALEB and E.W. SUPPIGER 1961 Journal of Aerospace Engineering 28, 295-298. Vibrations of stepped beams. [2] S. BALASUBRAMANIAN and G. SUBRAMANIAN 1985 Journal of Sound and vibration 99, 563-567.On the performance of a four-degree-of-freedom per node element for stepped beam analysis and higher frequency estimation. [3] G. SUBRAMANIAN and T. S. BALASUBRAMANIAN 1987 Journal of Sound and vibration 118, 555-560. Beneficial efects of steps on the free vibration characteristics of beams. 147 C.B.Ü. Fen Bil. Dergisi (2007)143 152, 2007 /Ayla TEK N / Erdo an ÖZKAYA [4] S.K. JANG , C.W.BERT 1989 Journal of Sound and Vibration 130(2), 342-346, Free Vibration of stepped beams: Exact and Numerical Solutions. [5] S. K. JANG and C. W. BERT 1989 ,Journal of Sound and vibration 132, 164-168. Free vibrations of stepped beams: higher mode frequencies and efects of steps on frequency. [6] H. SATO 1980 Journal of Sound and Vibration 72, 415-422, Non-linear free vibrations of stepped thickness beams. [7] A.S. SARIGUL and G.AKSU 1986, Mechanism and Machine Theory 21,1-12, A finite difference method for the free vibration analysis of stepped Timoshenko beams and shafts. [8] A.S. AYDIN and G.AKSU 1981, Metu Journal of pure and applied sciences 14, 130-156. Free Geli Tarihi: 21/02/2007 148 vibration analysis of nonuniform and stepped thickness beams and shafts. [9] S. NAGULESWARAN 2002, Journal of Sound and Vibration 252, 751-767, Natural frequencies, sensitivity and mode shape details of an EulerBernoulli beam with one-step change in crosssection and with ends on classical supports. [10] X. DONG, G. MENG, H. LI, L. YE 2005, Mechanics Research Comminications 32, 572-581, Vibration analysis of a stepped laminated composite Timoshenko beam. [11] E. ÖZKAYA, A. TEK N, H. O. EK C 2004, Soma Meslek Yüksekokulu Teknik Bilimler Dergisi 2, 5-15, Kademeli millerin tabii frekanslar n n Rayleigh ve Rayleigh-Ritz Metodlar ile hesaplanmas . Kabul Tarihi: 30/04/2007 Ankastre Mesnetli Çok Kademeli Kiri lerin Serbest Titre imleri Tablo-1: Tek kademeli üç farkl kiri tipi için tabii frekans denklemleri I. tip kiri Kiri tipi Tabii frekans denklemleri 4 2 4 2 cos[ 2 II. tip kiri k 4 k k 6 4 6 2k 2 2k { 4 4k 4 3 2k 3 k 2 2 6 ) 3 2 6 6 cos[ (k ( 1 k4 2 6 cos[ (k 4 2 6 2k 3 2k 2k 3 ) cos[ (k sin[ (k ( 1 2 ) 6 ] cosh[ ] cosh[ 2 ] 2 ] cos[ ] cosh[ cos[ 2 2 ] ] cosh[ 2 cos[ 2 ] cosh[ 2 ] ] 3 cos[ (k ( 1 3 3 3 ) 6 ) cos[ k )] cosh[ (k sin[ (k ) )] cosh[ (k cos[ (k ] cos[ (k ( 1 ] cosh[ (k ( 1 k )] cosh[ (k ( 1 ) ] cosh[ )] 2k k )] 2k k )] 2k k )] cosh[ (k 3 ) 2 2 3 3 3 4 )] 2k )] cosh[ (k ( 1 cos[ (k ( 1 cos[ (k ) ) cos[ (k 3 sin[ (k ( 1 ) )] cosh[ (k k )] cosh[ (k 6 )] ) )] ) )] )] k )] k )] k )] cosh[ (k ) ) )] cosh[ (k ( 1 k )] cosh[ (k ( 1 cos[ (k ( 1 cos[ (k k )] k k )] sinh[ (k ( 1 )] 2k 3 ) ) k )] )] sinh[ (k k )] k )]} ) cos[k ( 1 ) )] cosh[ (k ( 1 )] cosh[ (k k )] sinh[ (k ( 1 )] sinh[ (k ] 2k 2 3 cos[ (k ( 1 )] cos[ (k )] cos[ (k ( 1 k )] cos[ (k k )] 2k ) )] 4( 1 k 4 )] cosh[k ( 1 ) ) k )] cosh[ (k ) 2 )] 4( 1 k 4 )] cos[ (k ( 1 )] 2k k )] cosh[ (k ( 1 ) cos[ ) cos[ ] k )] cos[ (k ) 2 4( 1 )] cos[ (k )] cosh[ (k ( 1 cos[ (k ( 1 sin[ (k 3 ) )] sinh[ (k 4( 1 k 4 2 ] 2k 2 ) ) )] cosh[ (k ) ] ] )] cosh[k ( 1 k )] sinh[ (k ( 1 cos[ (k ( 1 3 ) cos[k ( 1 3 2 2 2 ] cosh[ k )] 2k 4 k ] cosh[ ]} cosh[ k )] cosh[ (k sin[ (k ( 1 { 4 4k 4 2 cos[ )] cosh[ (k ( 1 ) cos[ (k sin[ (k 3 6 2 2 k )] cosh[ (k ( 1 cos[ (k ( 1 3 4 )] cosh[ (k ( 1 ) cos[ (k ) 2 cos[ ( 1 cos[ 4( 1 k 4 cos[ (k ( 1 2k k ] ] ] cos[ (k ( 1 6 4 ) cos[ ] cosh[ 3 2k 2 6 ] cosh[ 4 cos[ k III. tip kiri için {( 1 3 )] 2k 3 3 3 cos[ (k sin[ (k ) 2 6 ) cos[ ] cosh[ (k ( 1 k )] cosh[ (k ( 1 ) ] cosh[ )] 2k )] 2k k )] 2k 2 )] cosh[ (k k )] cosh[ (k ) ) k )] 2k k )] cosh[ (k k )] sinh[ (k ( 1 3 k )] k ) ] cos[ (k ( 1 2 3 3 2 )] 2k 3 cos[ (k ( 1 6 )] cosh[ (k ( 1 ) sin[ (k ( 1 )] cosh[ (k ( 1 k )] cosh[ (k ( 1 ) )] cosh[ (k k )] ) k )] cosh[ (k cos[ (k 3 ) cos[ (k ( 1 cos[ (k cos[ (k 4 3 )] )] k )] k )] cosh[ (k ) ) )] sinh[ (k k )] k )] k )]} 149 C.B.Ü. Fen Bil. Dergisi (2007)143 152, 2007 /Ayla TEK N / Erdo an ÖZKAYA Tablo-2: Tek kademeli üç farkl kiri tipi için de i ik frekans 1, 1 3 0.25 0.50 28.4417 19.9091 61.9813 66.3040 117.4907 114.6162 0.75 18.7477 54.5791 116.3613 0.25 0.50 24.5808 21.8505 62.4773 62.6000 120.3586 119.6126 0.75 20.7078 59.5429 119.6714 0.25 0.50 19.2428 20.4653 55.9780 65.1950 117.2328 116.0860 0.75 27.4270 62.2336 118.3210 1.0 1.00 22.3732 61.6728 120.9575 0.2 0.25 0.50 7.8140 11.5976 21.1566 20.4034 39.2076 49.3245 0.75 8.7563 37.4580 68.1375 0.25 0.50 15.9250 14.8373 37.9675 44.3571 68.9790 81.7582 0.75 17.1149 46.6647 100.3682 0.25 0.50 41.5279 47.5463 152.6078 100.2677 341.6976 237.6737 0.75 38.4205 101.8890 176.5982 1.0 1.00 22.3732 61.6728 120.9575 0.2 0.25 0.50 7.9216 13.2701 21.7692 49.3352 42.0785 85.9713 0.75 6.9159 38.2579 76.7182 0.25 0.50 17.4444 14.6697 40.7346 44.4759 67.4941 82.2323 0.75 15.1864 42.2375 103.1324 0.25 0.50 31.0673 53.0768 155.4323 93.3246 351.8107 243.8443 0.75 39.4229 107.5393 239.0644 1.00 22.3732 61.6728 120.9575 I. tip kiri 0.5 II. tip kiri 0.5 4.0 III. tip kiri de erlerine kar l k gelen ilk üç tabii 2 4.0 0.5 4.0 1.0 150 ve 1 0.2 1 , Ankastre Mesnetli Çok Kademeli Kiri lerin Serbest Titre imleri Tablo-3: ki kademeli üç farkl kiri tipi için de i ik , frekans 1, 1 2, 2 0.8 0.25 I. tip kiri 0.4 2.0 2.0 0.8 II. tip kiri 0.4 2.0 2.0 0.8 III. tip kiri 0.4 2.0 2.0 0.8 1.0 4.0 0.25 0.8 1.0 4.0 0.25 0.8 1.0 4.0 1 2 ve 1 de erlerine kar l k gelen ilk üç tabii 2 3 0.15 0.35 25.43216 61.46335 124.92923 0.25 0.55 21.14229 63.87679 119.51674 0.45 0.75 19.87135 57.43618 118.0184 0.15 0.25 0.35 0.55 23.53501 24.98344 65.18724 63.00526 126.06197 119.13035 0.45 0.75 23.93674 63.46405 119.1934 0.15 0.25 0.35 0.55 21.00059 19.70941 58.67115 59.90623 118.54021 119.19772 0.45 0.75 19.70941 59.90623 119.19772 0.15 0.25 0.35 0.55 19.49318 20.85101 58.24138 60.30625 119.19884 119.05665 0.45 0.75 23.92341 63.22323 119.93316 0.15 0.25 0.35 0.55 11.66172 11.38837 25.07756 29.05490 73.07287 57.30808 0.45 0.75 11.07848 36.14706 80.57156 0.15 0.25 0.35 0.55 17.73586 17.96991 47.26159 45.17302 96.70434 76.93207 0.45 0.75 17.82644 42.72606 86.82310 0.15 0.25 0.35 0.55 21.26245 22.47514 65.18045 69.04712 135.73194 135.33090 0.45 0.75 22.47541 69.04712 135.33090 0.15 0.25 0.35 0.55 49.85876 48.37355 161.33289 121.29444 296.13440 279.41354 0.45 0.75 45.40649 113.59916 192.28904 0.15 0.25 0.35 0.55 12.74339 13.02773 29.27688 28.35371 40.18606 61.07955 0.45 0.75 9.28386 36.75899 84.83832 0.15 0.25 0.35 0.55 16.46365 18.11491 47.20979 49.15587 106.40963 76.78723 0.45 0.75 18.58322 42.45848 90.52337 0.15 0.25 0.35 0.55 18.90516 18.16933 60.26108 62.40693 128.93962 128.05648 0.45 0.75 18.16933 62.40693 128.05648 0.15 0.25 0.35 0.55 42.18572 50.07037 162.26972 113.56197 276.17446 298.25007 0.45 0.75 52.92484 118.52904 200.17287 151 C.B.Ü. Fen Bil. Dergisi (2007)143 152, 2007 /Ayla TEK N / Erdo an ÖZKAYA Tablo-4: Üç kademeli üç farkl kiri tipi için de i ik frekans 2, 1, 1 I. tip kiri 0.8 0.65 2.0 II. tip kiri 0.8 4.0 0.8 6.0 0.65 2.0 0.25 1.2 2.0 0.8 4.0 0.8 6.0 0.65 2.0 0.25 1.2 2.0 3 0.25 1.2 2.0 III. tip kiri 3, 2 0.8 4.0 6.0 1 , de erlerine kar l k gelen ilk üç tabii ve 2 3 1 2 0.15 0.25 0.35 0.55 0.60 0.80 21.78023 20.61641 68.92574 58.68034 123.47458 116.83192 0.35 0.65 0.90 20.14623 57.66912 115.86803 0.15 0.25 0.35 0.55 0.60 0.80 20.29484 19.07655 58.93854 58.37731 118.41896 118.20379 0.35 0.65 0.90 19.11845 57.99471 120.87265 0.15 0.25 0.35 0.55 0.60 0.80 19.98489 22.45492 58.56833 61.61795 119.32659 119.60693 0.35 0.65 0.90 23.67760 62.91361 126.23689 0.15 0.25 0.35 0.55 0.60 0.80 10.80371 12.54548 31.97607 33.77504 53.19297 71.94161 0.35 0.65 0.90 14.24307 40.08662 79.138810 0.15 0.25 0.35 0.55 0.60 0.80 19.67366 22.26046 63.14789 66.91896 128.17729 133.09327 0.35 0.65 0.90 22.52071 63.46082 158.71831 0.15 0.25 0.35 0.55 0.60 0.80 64.54878 62.03908 185.01863 138.99625 336.70813 300.83137 0.35 0.65 0.90 54.45095 135.33903 248.81432 0.15 0.25 0.35 0.55 0.60 0.80 11.92547 10.97491 33.64719 32.85169 53.51806 73.68745 0.35 0.65 0.90 13.63640 35.84716 71.01432 0.15 0.25 0.35 0.55 0.60 0.80 16.98264 18.28503 60.63037 58.81616 120.53019 125.49170 0.35 0.65 0.90 18.06845 57.11278 162.45541 0.15 0.25 0.35 0.55 0.60 0.80 67.12871 69.33147 183.27529 144.94608 319.36474 317.65618 0.35 0.65 0.90 60.35233 150.53499 218.43598 3 3 3 2 2 2 1 1 1 0 0 0 -1 -1 -1 -2 -2 -2 -3 -3 -3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 I. tip kiri 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 II. tip kiri ekil-2:Tek kademeli üç farkl kiri tipi için ilk üç mod yap s n veren grafik ( 152 3 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 III. tip kiri 1 0.5 ve 1 0.25 ) 1