Yüzey Alanı 1

ANALİZ II
Yüzey Alanı
Mahmut KOÇAK
Dönel Cismin . . .
x-ekseni . . .
y-ekseni . . .
Dairesel Dik . . .
Kesik . . .
c 2008 [email protected]
Hazırlama Tarihi: Nisan 10, 2008
Osmangazi Üniversitesi
Sunum Tarihi: 14 Nisan 2008
µ
´
°
°
[°
2/8
Dönel Cismin Yüzey Alanı
?
Yan yüksekliği h ve taban yarı çapı r olan bir silindiri göz önüne alalım. Silindir ŞekilP
da görüldüğü gibi açıldığında yükskliği h ve
taban uzunluğu 2πr olan bir dikdörtgen olur. Bu dikdörtgenin alanı 2πr h olduğundan silindirin yüzey alanı 2πr h olur.
?
ŞekilP
de görüldüğü gibi yan kenar uzunluğu h ve yarı çapı r olan dairesel bir koniyi göz önüne alalım. Koni açılırsa yarı çapı h
ve yay uzunluğu s = 2πr olan bir daire dilimi elde edilir. Bu daire diliminin alanı A = 12 s h = πr h olduğundan koninin yüzey alanı
A koni = πr h olur.
?
da görünen kesik koni parçasının yüzey alanını bulalım. Benzer üçgenlerden dolayı
ŞekilP
r1 − r2
r1
=
h1
h
olduğundan
A
=
=
Dönel Cismin . . .
x-ekseni . . .
y-ekseni . . .
Dairesel Dik . . .
Kesik . . .
A 1 − A 2 = πr1 h 1 − πr2 h 2 = πr1 h 1 + πr 2 (h − h 1 ) = πr1 h 1 + πr2 h − πr2 h 1 = πh 1 (r 1 − r 2 ) + πr2 h
r1 h
) + πr2 h = πr1 h + πr2 h = π(r1 + r 2 )h
πh 1 (
h1
olur.
µ
´
°
°
[°
Dönel Cismin Yüzey Alanı
3/8
x-ekseni Etrafında Döndürülen Dönel Cismin Yüzey Alanı
f : [a ,b ] → sürekli fonksiyonu verilsin. f nin grafiği, x = a ve x = b doğrularıyla sınırlı bölgenin x -ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen C
cisminin A yüzey alanını bulmaya çalışalım.
P = {a = x 0 , x 1 , x 2 , · · · , x i −1 , x i , · · · , x n−1 , x n = b }, [a ,b ] aralığınının bir bölüntüsü olsun. f nin grafiğinin x = x i −1 ve x = x i doğruları arasındaki
parçasının yay uzunluğu l i ve f nin grafiğinin, x = x i −1 ve x = x i doğruları arasındaki yay parçasının x -ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan
C i cisminin yüzey alanı A i (x i ) olsun. Bu parçanın yüzey alanı ile t ∈ [x i −1 , x i ] olmak üzere yarı çapı f (t ) ve yüksekliği x i olan silindirin yüzey
alanı yaklaşık olarak eşittir. Yarıçapı f (t ) ve yüksekliği x i olan bir silindirin yüzey alanı 2π f (t )x i ve l i ∼
= x i olduğundan
A i (x i ) ∼
= 2π f (t )l i
= 2π f (t )x i ∼
olur. Diğer yandan
l i
∼
=
s i =
(Δx i )2 + ( f (x i ) − f (x i −1))2 =
=
Δx i
1+
f (x i ) − f (x i −1)
Δx i
Ortalama değer teoremi gereğince her i = 1, 2, · · · , n için l i ∼
= Δx i
?
?
2
P
P
2π f (t i )Δx i 1 + ( f (t i )) olur. Şekil Şekil ve Şekil e bakınız.
°
µ
2 olur.
[°
(Δx i )2 1 +
f (x i ) − f (x i −1)
Δx i
2 1 + ( f (t i ))2 olacak şekilde t i ∈ (x i −1 , x i ) olduğundan A i (x i ) ∼
=
´
°
Dönel Cismin Yüzey Alanı
4/8
Böylece
A=
n
A i (x i ) ∼
=
i =1
n
2π f (t i )Δx i
1 + ( f (t i ))2 = 2π
i =1
2
n
f (t i ) 1 + ( f (t i ))2 Δx i
i =1
olur. Eşitliğin sağındaki ifade 2π f (x ) 1 + ( f (x )2
toplamıdır. Bu durumda 2π f (x ) 1 + f (x )
fonksiyonunun P bölüntüsünün {t i } nokta seçimine karşılık gelen Riemann
integrallenebilir olduğundan
P = max{|x i − x i −1 | : i : 1, 2, 3, · · · , n }
olmak üzere
lim R P, {t i }, 2π f (x ) 1 + f
P→0
(x ) 2
b
= 2π
2
f (x ) 1 + f (x ) dx
a
Dönel Cismin . . .
x-ekseni . . .
y-ekseni . . .
Dairesel Dik . . .
Kesik . . .
olduğundan
b
A = 2π
2
f (x ) 1 + f (x ) dx
a
olur.
µ
´
°
°
[°
5/8
y-ekseni Etrafında Döndürülen Dönel Cismin Yüzey Alanı
f : [a ,b ] → sürekli fonksiyonu verilsin. f nin grafiği, x = a ve x = b doğrularıyla sınırlı bölgenin y -ekseni etrafında döndürülmesiyle
elde edilen C cisminin A yüzey alanını bulmaya çalışalım.
P = {a = x 0 , x 1 , x 2 , · · · , x i −1 , x i , · · · , x n−1 , x n = b }, [a ,b ] aralığınının bir bölüntüsü olsun. f nin grafiğinin x = x i −1 ve x = x i doğruları
arasındaki parçasının uzunluğu l i ve f nin grafiğinin, x = x i −1 ve x = x i doğruları arasındaki parçasının y -ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan C i cisminin yüzey alanı A i (x i ) olsun. Bu durumda l i ∼
= s i olduğundan A i (x i ), yaklaşık olarak alt taban yarı
çapı x i −1 , üst taban yarı çapı x i ve kenar uzunluğu l i olan kesik koninin yüzey alanına eşittir. O halde
A i (x i )
∼
=
=
π(x i + x i −1 )l i = π(x i + x i −1 ) (x i )2 + ( f (x i ) − f (x i −1 ))2
f (x i ) − f (x i −1 ) 2 ∼
f (x i ) − f (x i −1 ) 2
2πx
π(x i + x i − x i )x i 1 +
1
+
x i
=
i
x i
x i
f (x i ) − f (x i −1 )
= f (t i ) olacak şekilde t i ∈ (x i −1 , x i ) ve t i ∼
= x i olduğundan
x i
f (x i ) − f (x i −1 ) 2
A i (x i ) ∼
x i ∼
= 2πt i 1 + ( f (t i ))2 x i
= 2πx i 1 +
x i
Dönel Cismin . . .
x-ekseni . . .
y-ekseni . . .
Dairesel Dik . . .
Kesik . . .
olur. Ortalama değer teoremi gereğince
olur.
µ
´
°
°
[°
y-ekseni Etrafında Döndürülen Dönel Cismin Yüzey Alanı
Bu durumda 2πx
1 + f (x )
2
6/8
integrallenebilir olduğundan P = max{|x i − x i −1 | : i : 1, 2, 3, · · · , n } olmak üzere
lim R(P, {t i }, 2πx
P→0
b
1 + (f
(x )2 ) = 2π
x
2
1 + f (x ) d x
a
olduğundan
b
A = 2π
a
olur.
x
2
1 + f (x ) dx
Dönel Cismin . . .
x-ekseni . . .
y-ekseni . . .
Dairesel Dik . . .
Kesik . . .
µ
´
°
°
[°
7/8
Dairesel Dik Koninin Yüzey Alanı
Taban yarıçapı R ve yükseklği h olan bir dik koninin yanal
alanını R ve h cinsinden bulalım.
y
f (x )
r
x
Dönel Cismin . . .
x-ekseni . . .
y-ekseni . . .
Dairesel Dik . . .
Kesik . . .
R
h
x
z
µ
´
°
°
[°
Dairesel Dik Koninin Yüzey Alanı
8/8
Kesik Kürenin Yüzey Alanı
x 2 + y 2 + z 2 = 16 küresinin x = −2 ve x = 3 düzlemleriyle kesildiğinde meydana gelen küresel
cismin yüzey alanını bulalım.
y
4
−4
−2
3
4 x
z
−4
[°
°
µ
´
°