modüler aritmetik

Transkript

modüler aritmetik

A)1
B)3
C)8
MODÜLER ARİTMETİK
TANIM
Z tam sayılar kümesinde tanımlı
 ={(x,y): x ile y nin farkı n ile tam
bölünür}
+
= {(x,y): n|x-y , n  N }
bağıntısı bir denklik bağıntısıdır.
(x,y)  
ise
x  y (mod n)
dir.
Z/n ={ 0,1, 2,..., n  1 } kümesine
n’in kalan sınıflarının kümesi denir.
Yukarıdaki
tanımları
bir
şekillendirelim;
Z tamsayılar kümesinde tanımlı
örnekle
D)11
E)13
ÇÖZÜM
Tanım gereği;
2008-x = 5.k ( k∈Z+ ) olmalıdır.
x=3 ve x=8 eşitliği sağlayan en küçük
iki pozitif tamsayıdır.
Toplamları: 3+8=11 olur.
Doğru Seçenek D dir.
GENETİK KOPYA-1
2008 ≡ x (mod 10)
Denkliğini sağlayan en küçük pozitif iki
tam sayının toplamı kaçtır?
A)8
B)13
C)18
D)23
E)26
 = {(x,y): 5|x-y }
= {…,(-3,7),(-8,-3),(-2,-2),(1,16),…}
bağıntısını incelediğimizde bir denklik
bağıntısı olduğu görülür.
Bağıntıyı oluşturan ikililerin elemanları
denktir.
(-3,7)∈ 𝛽 olduğundan -3≡7 (mod 5) dir.
Yukarıdaki bağıntı; farkları 5 ile
bölünebilen tamsayıların (mod 5) e göre
denk olduklarını gösterir.
Bu aynı zamanda; 5 ile bölündüklerinde
aynı kalanı veren tamsayıların (mod 5) e
göre denk olduklarını da göstermektedir.
DNA-1
2008 ≡ x (mod 5)
Denkliğini sağlayan en küçük pozitif iki
DNA-2
2009 ≡ x ( mod 5 )
Denkliğini sağlayan en büyük negatif iki
A)-1
B)-6
C)-7
D)-8
E)-9
ÇÖZÜM
2009-x = 5.k
( k∈Z+ ) olmalıdır.
x=-1
ve
x=-6
eşitliği sağlayan en
büyük iki negatif tamsayıdır.
Toplamları: -1+(-6)=-1-6=-7 olur.
Doğru Seçenek C dir.
GENETİK KOPYA-2
2009 ≡ x ( mod 10 )
Denkliğini sağlayan en büyük negatif iki
A)-22
B)-21
C)-19
D)-12
E)-11
DNA-3
x+5≡4 (mod 6) olduğuna göre,
x in alabileceği pozitif en küçük iki
değerin toplamı kaçtır?
A)5
B)9
C)13
D)16
E)18
ÇÖZÜM
x+5-4 = 6.k ( k∈Z ) olacağından,
x+1 = 6.k
x=5 ve x=11 eşitliği sağlayan en küçük
pozitif iki tamsayıdır.
Toplamları: 5+11=16 dır.
GENETİK KOPYA-3
x+3≡1 (mod 7) olduğuna göre,
x in alabileceği pozitif en küçük iki
değerin toplamı kaçtır?
A)5
B)9
C)12
D)16
B)78
C)102
x-3=35 ⟹ x=38
x-3=70 ⟹ x=73
İstenen değerlerin toplamı:
38+73=111 dir.
GENETİK KOPYA-4
x iki basamaklı bir doğal sayı,
x≡2 (mod 4) ve x≡2 (mod 5)
olduğuna göre, x in en küçük ve en büyük
değerlerinin toplamı kaçtır?
A)82
B)94
C)104
D)110
D)111
IŞIK-1
x,y,z,v  Z için:
x  y (mod n) ve z  v (mod n) ise
x+z  y+v (mod n) ve
x.z  y.v (mod n) dir.
E)123
ÇÖZÜM
x≡3 (mod 5) denkliği;
x sayısının 5 e bölümünden kalanın
3 olduğunu,
IŞIK-2
a,b  Z / n için:
a b  a b
ve
a  b  a.b dir.
x≡3 (mod 7) denkliği;
x sayısının 7 ye bölümünden kalanın
3 olduğunu verir.
x=5m+3 ⟹ x-3=5m
x=7n+3 ⟹ x-3=7n
E)116
E)17
DNA-4
x iki basamaklı bir doğal sayı,
x≡3 (mod 5) ve x≡3 (mod 7)
olduğuna göre, x in en küçük ve en büyük
değerlerinin toplamı kaçtır?
A)73
eşitliklerinden;
x-3=35k
(k∈Z) bulunur.
(m∈Z)
(n∈Z)
IŞIK-3
m asal sayı iken;
(m-1)!+1  0 (mod m) dir.
DNA-5
345 in (mod 7) ye göre denk olduğu bir
sayı aşağıdakilerden hangisidir?
DNA-6
1+9+92+93+…+92001
basamağı kaçtır?
A)0
A)0
B)1
C)2
D)4
E)6
ÇÖZÜM
345≡x (mod 7)
Denkliğindeki x sayısı aranmaktadır.
3 ≡ 3 (mod 7)
B)1
C)2
D)7
E)9
ÇÖZÜM
Sayının
birler
basamağı,
Taraf tarafa çarptığımızda;
3.32 ≡ 3.2 (mod 7)
33 ≡ 6 ≡ -1 (mod 7)
Her iki tarafın 15. Kuvvetini aldığımızda;
(33)15 ≡ (-1)15
345 ≡ -1 ≡ 6 (mod 7) bulunur.
Bir başka deyim ile;
345 sayısının 7 ye bölümünden kalan
6 dır.
Doğru Seçenek E dir.
UYARI
Denkliğin sağ tarafında 1 (veya -1)
bulunduğunda; her iki tarafın kuvveti
alınarak sonuca gidilir.
mod
10
a
göre
9 
92 
93 
94 
………
9
1
9
1
GENETİK KOPYA-5
999 sayısının 7 ile bölümünden kalan
kaçtır?
C)3
D)4
denk
(mod 10)
(mod 10)
(mod 10)
(mod 10)
92n  1 ve
92n+1  9 olduğu görülüyor.
9 un çift kuvvetleri 1 kalanını,
9 un tek kuvvetleri 9
vermektedir.
E)5
kalanını
Toplamda 9 un çift ve tek kuvvetleri eşit
sayıda olduğundan;
9+1  10  0 (mod 10) olur.
Doğru Seçenek A dır.
GENETİK KOPYA-6
9
9 9 
B)2
a
olduğu sayı isteniyor.
Her iki tarafın karesini aldığımızda;
32 ≡ 9 ≡ 2 (mod 7)
A)1
10
bölündüğünde bulunan kalandır.
Toplamın
Her sayı kendisine denktir.
toplamının birler
hesaplandığında bulunan sayının
birler basamağı kaç olur?
A)0
B)1
C)2
D)7
E)9
DNA-7
4
23
hesaplandığında bulunan sayının
birler basamağı kaç olur?
DNA-8
3444+4333
toplamının
bölümünden kalan kaçtır?
A)0
A)0
B)2
C)4
D)6
E)8
ÇÖZÜM
2  2 (mod 10)
22  4 (mod 10)
23  8 (mod 10)
24  6 (mod 10)
25  2 (mod 10)
…………
2 nin kuvvetleri alındığında, sağ taraf
2,4,8,6,2,4,8,6,2,4,
….
Olarak
devretmektedir.
2 nin kuvveti, 4 ün katından 1 fazla ise,
sayı 2 ye denk olmaktadır.
4k+1
2
 2 (mod 10) dir.
GENETİK KOPYA-7
(2001+2001)2001+2001
sayısının birler basamağı kaçtır?
C)4
D)3
E)4
ÇÖZÜM
Terimleri tek tek incelediğimizde;
3  3 (mod 5)
32  9  4 (mod 5)
33  3.4  12  2 (mod 5)
34  3.2  6  1 (mod 5)
(34)111  3444  34k  1 (mod 5)
Diğer taraftan;
4  4 (mod 5)
42  16  1 (mod 5)
(42)166  4332  1 (mod 5)
4.4332  4333 =42k+1  4 (mod 5)
GENETİK KOPYA-8
22008-2
sayısının
birler basamağı kaçtır?
A) 0
B)2
C)2
3444+4333  1  4  0 (mod 5)
34=81
81=4.20+1
281 =24.20+1  2 (mod 2) bulunur.
Doğru Seçenek B dir.
A)0
B)1
5 ile
D)6
E)8
B) 2
C) 4
D) 6
E) 8
DNA-9
22225555+55552222 sayısının
7 ile bölümünden kalan kaçtır?
DNA-10
97100+96100+95100
Toplamının birler basamağı kaçtır?
A)0
A) 0
B)1
C)2
D)3
E)4
ÇÖZÜM
2222  3 (mod 7)
22222  2 (mod 7)
22223  6 (mod 7)
22224  4 (mod 7)
22225  5 (mod 7)
22226  1 (mod 7)
……….
5555=6.925+5
B) 1
C) 2
D) 3
E) 7
ÇÖZÜM
97≡7 (mod 10)
972 ≡ 9 ≡ -1 (mod 10)
(972)50 ≡ 97100 ≡ 1 (mod 10)
22225555  22226k 5  22225  5 (mod 7)
96 ≡ 6 (mod 10)
962 ≡ 6 (mod 10)
……….
96100≡ 6 (mod 10)
95 ≡ 5 (mod 10)
952≡ 5 (mod 10)
……….
95100≡ 5 (mod 10)
5555  4 (mod 7) ,
55552  2 (mod 7)
55553  1 (mod 7)
97100+96100+95100≡1+6+5≡2 (mod 10)
2222=3.740+2
55552222  55553k 2  55552  2 (mod 7)
22225555+55552222  5  2  0 (mod 7)
A) 0
GENETİK KOPYA-9
2
10
1010  10 10   ...  10 10  sayısının
7 ile bölümünden kalan kaçtır?
A)1
B)2
C)3
GENETİK KOPYA-10
4410+5510+6610
Toplamının birler basamağı kaçtır?
D)4
E)5
B) 1
C) 2
D) 3
E) 7
DNA-11
2x≡3 (mod 11 )
Denkliğini sağlayan en küçük pozitif
tamsayı kaçtır?
GENETİK KOPYA-12
3x+1  0 (mod 5) ise
x’in en büyük negatif tamsayı değeri
kaçtır?
A)2
A)-5
B)4
ÇÖZÜM
2x-3 = 11.k
2x = 3+11.k
x=
C)6
D)7
E)9
x=
3+11.1
2
=7
dir.
GENETİK KOPYA-11
3x+4≡5 (mod 7)
tamsayı kaçtır?
B)2
C)3
D)4
E)5
DNA-12
3x-6  0 (mod 9) ise
x’in alabileceği en küçük üç pozitif
tamsayının toplamı kaçtır?
A)13
B)15
D)-2
E)-1
DNA-13
n doğal sayı olmak üzere;
44n+5 sayılarının 5 ile bölümünden kalan
kaç olur?
A)0
A)1
C)-3
(𝑘 ∈ Z )
3+11.k
2
k = 1 için ;
B)-4
C)19
D)21
B)1
C)2
D)3
E)4
ÇÖZÜM
44n+5≡x (mod 5)
4≡4 (mod 5)
42≡1 (mod 5)
44n+5 ≡ 44n.45 ≡ (42)2n.(42)2.4 (mod 5)
44n+5 ≡1.1.4 (mod 5)
44n+5 ≡4 (mod 5)
YADA !!!
n=0 için;
44n+5≡x (mod 5)
45≡x (mod 5)
45≡4 (mod 5)
E)23
ÇÖZÜM
3x  6 (mod 9)
3, 6 ve 9 sayılarının OBEB’i 3 olduğundan
Tüm sayıları 3’e böldüğümüzde;
x  2 (mod 3) olur.
Denkliği doğrulayan sayılar;
x  2,5,8 dir.
GENETİK KOPYA-13
Her n doğal sayısı için:
25n+1 + 5n+2  x (mod 27) ise
x’in
alabileceği
değerlerden
aşağıdakilerden hangisidir?
A)0
B)3
C)13
D)18
E)21
biri
DNA-14
A iki basamaklı bir doğal sayı,
A  5 (mod 6) ve
A  8 (mod 9) ise
A nın en küçük ve en büyük değerlerinin
toplamı kaçtır?
A)89
B)95
C)106
D)110
E)114
ÇÖZÜM
A  5 (mod 6) ise A=6x+5
A  8 (mod 9) ise A=9y+8 dir.
A+1=6(x+1)=9(y+1)
,
A+1  OKEK(6,9)  18
 36  54  72  90  ...
A nın en küçük değeri 17,
en büyüğü 89 dur.
Toplamı; 17+89=106 dır.
GENETİK KOPYA-14
A iki basamaklı bir doğal sayı,
A  3 (mod 4) ve
A  5 (mod 6) ise
A nın en küçük ve en büyük değerlerinin
toplamı kaçtır?
A)95
B)101
C)106
D)109
E)111
ÇÖZÜM
Saatin akrebi her 12 saatlik
dolduğunda 12 yi göstereceğinden,
2009  x (mod 12) aranmaktadır.
2009 un, 12 ye bölümünden kalan 5 dir.
2009 = 12.167+5
2009  5 (mod 12) olduğundan
Saatin akrebi 5 i gösterir.
Doğru Seçenek B dir.
GENETİK KOPYA-15
Bu gün Pazar ise 100 gün sonra hangi gün
olur?
A)Pazar
B)Pazartesi
C)Salı
D)Çarşamba
E)Cumartesi
DNA-16
x  2 (mod 3)
x  3 (mod 5)
x  2 (mod 7)
denkliklerini sağlayan en küçük pozitif
x tamsayısı kaçtır?
A)16
DNA-15
Saat tam 12 yi gösteriyorken çalıştırılan
bir saatin akrebi 2009 sattlik süre
dolduğunda kaçı gösterir?
A)4
B)5
C)6
D)7
E)8
süre
B)18
C)20
D)23
E)25
ÇÖZÜM
x  2 (mod 3) ⟹ x=2+3a (a∈Z)
2+3a  3 (mod 5) ⟹ 3a  1 (mod 5)
⟹ a  2 (mod 5) ⟹ a =2+5b (b∈Z)
a’nın bu değeri yerine yazıldığında;
x = 2+3(2+5b) =8+15b bulunur.
x’in bu değeri üçüncü denklikte yerine
yazıldığında;
x  8+15b  2 (mod 7) ve b=1 için
x=23 bulunur.
GENETİK KOPYA-16
x ≡ 1 (mod3)
x ≡ 2 (mod5)
x ≡ 3 (mod7)
denkliklerini sağlayan en küçük pozitif
x tamsayısı kaçtır?
A)25
B)32
C)45
D)47
E)52
HALKA
(A,o,#) sistemi aşağıdaki aksiyomları
sağlıyorsa bir halkadır.
(A,o) sistemi değişmeli gruptur.
A, # işlemine göre kapalıdır.
A da # işleminin birleşme özeliği vardır.
# işleminin, o işlemi üzerine sağdan ve
soldan dağılma özeliği vardır.
CİSİM
(A,o,#) sistemi aşağıdaki aksiyomları
sağlıyorsa bir cisimdir.
Doğrudan soru olarak çıkmamasına karşın
sorular içinde kullanıldığında sıkıntı
yaratan bir konuyu ek bilgi olarak
vermeden geçemeyeceğiz.
(A,o) sistemi değişmeli gruptur.
(A-{0},#) sistemi değişmeli gruptur.
# işleminin, o işlemi üzerine dağılma
özeliği vardır.
MATEMATİK SİSTEMLER
Bir küme ile bu küme üzerinde
tanımlanmış bir veya daha çok işlem bir
matematik sistem oluşturur.
DNA-17
Z/7 de;
5x+2=1
denkleminin
GRUP
(A,o) sistemi aşağıdaki
sağlıyorsa bir gruptur.
A)0
aksiyomları
A, o işlemine göre kapalıdır.
A da o işleminin birleşme özeliği vardır.
A da o işleminin birim elemanı vardır.
A da her elemanın o işlemine göre tersi
vardır.
Grupta işlemin değişme özeliği de varsa
gruba değişmeli grup denir.
B)1
C)2
D)3
kökü
E)4
ÇÖZÜM
Z/7 de, 2 nin + işlemine göre tersi 5 tir.
2+5=7≡0 (mod 7)
5x+2+5=1+5
5x=6
Z/7 de, 5 in . işlemine göre tersi 3 tür.
5.3=15≡1 (mod 7)
3.5x=3.6
x=18≡4 (mod 7)
GENETİK KOPYA-17
Z/5 de;
3x+4=1
denkleminin
A)0
B)1
C)2
D)3
kökü
E)4
DNA-18
Z/5 te karekökü olan elemanların kümesi
A){0,1,4}
B){1,2,3}
C){0,2,5}
D){0,1,2,3} E){2,3}
ÇÖZÜM
Z/5={0,1,2,3,4}
02=0.0≡0 (mod 5)
12=1.1≡1 (mod 5)
22=2.2≡ 4 (mod 5)
32=3.3=9≡4 (mod 5)
42=4.4=16≡1 (mod 5)
0=0
1 = 1 veya 4
4 = 2 veya 3
Karekökü bulunabilen elemanların kümesi
{0,1,4} olur.
GENETİK KOPYA-18
Z/7 de;
2 elemanının karekökleri olan elamanların
toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
A)0
B)1
C)2
D)3
E)4
KONU TESTİ
1. 2006 sayısının
n sayısına
bölümünden kalan 6 dır.
Koşulu sağlayan kaç tane n pozitif
tamsayısı vardır?
A) 8
B) 10
C) 12
D) 16
5. n  N+
için 2n sayısının 7 ile
bölümünden kaç farklı kalanı vardır?
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
E) 20
6. 2x≡4
(mod 6)
tamsayı kaçtır?
2. 72006 + 252007
sayısının 8 e
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
A)5
B)4
C)3
D)2
E)1
E) 4
7. 513 ≡x
(mod 17)
tamsayı kaçtır?
3.
A)2
0 ile 2007 arasındaki sayılar yukarıdaki
grafik ile verilmiştir.
2004 ile 2007 arasındaki sayılar
arasındaki grafik aşağıdakilerden
hangisidir?
B)3
C)5
D)7
E)9
8. 11532
sayısının 7 ye bölümünden
kalan kaçtır?
A)1
B)2
C)3
D)4
E)5
9. x≡5
(mod 7)
x≡6 (mod 9)
Denkliklerini sağlayan en küçük pozitif
tamsayı kaçtır?
4. 112003.72004.132005
basamağı kaçtır?
A) 1
B) 3
C) 5
sayısının birler
D) 7
E) 9
A)23
B)27
C)33
D)41
E)49
10.
3x≡3 (mod 6)
Denkliğini sağlayan en küçük iki
pozitif tamsayının toplamı kaçtır?
A)5
B)6
C)7
D)8
E)9
Z/7 de;
X+6=2
denkleminin
B)2
C)3
D)4
kökü
Z/7 de;
4X+1=6
denkleminin
B)2
C)3
D)4
C)11
D)12
E)13
14.
44.113
çarpımından elde edilen
sayının 12 ile bölümünden kalan kaç
olur?
A)2
B)4
C)6
D)8
C)2
D)3
E)4
( ((77)7)7…) sayısında 7. kuvvet
1000 defa alınmıştır.
Elde edilen sayının birler basamağı
kaçtır?
A)1
B)3
C)7
D)8
1.D
7.B
13.C
2.C
8.B
14.B
3.A
4.B
9.C
10.B
15.A 16.C
E)9
E)5
5X≡3 (mod 7)
Denkliğini sağlayan en küçük iki
pozitif tamsayının toplamı kaçtır?
B)10
B)1
kökü
13.
A)9
A)0
E)5
12.
A)1
39+59+99+119
toplamının 7 ile
16.
11.
A)1
15.
E)10
5.C
11.C
6.A
12.C

modüler aritmetik

Transkript

Benzer belgeler

8. Sınıf deneme sınavı

DENKLEMLER TESTİ -1 www.sosyalsayfam.com 1.Ahmet 12

Bireysel Yarışma Soruları ve Cevapları 2012

matematik ödevim - Kartanelerim.com

çıkarma işlemi problemler