Cebir Notları

www.mustafayagci.com, 2005
Cebir Notları
Mustafa YAĞCI, [email protected]
Hız Problemleri
Birim zamanda gidilen yol, hız diye tanımlanmış.
Yani;
1 saatte 60 kilometre gitmişsek hızımız 60 km/s
olur.
1 dakikada 3 kilometre gitmişsek, hızımız 3 km/dk
olur.
1 saniyede 2 metre gitmişsek hızımız 2 m/sn olur.
vermiyorsa da aklınızın bir köşesine yazın! Yani
satırda değil, hatırda kalsın yeter! Tüm hız problemlerini çözecek olan bu denkleme ne kadar iltifat etsek azdır. Bu eşitliği bilip de çözemeyeceğimiz hız problemi yoktur, inanmayan varsa sabretsin!.
Şimdi ufak ufak soru-çözümlere başlayabiliriz:
Hızı bulmak için ille de birim zamana göre aldığımız yolu hesaplamalıyız. Yani 3 saatte 90 kilometre gitmişsek, hızımız 90 km/s olmaz. Hız için
3 saatte değil, 1 saatte aldığımız yol önemlidir.
Zaten öyle olsaydı 90 kilometrelik yolu 3 saatte de
alsak, 7 saatte de alsak hızımızın 90 km/s olması
gerekirdi ki ne kadar saçma bir hareket olduğuna
artık siz karar verin.
Süre arttıkça gidecek yol artacağından (mantığımız öyle söylüyor), süre ile yol doğru orantılıdır.
Bu sebeple, 3 saatte 90 kilometre giden biri, 1 saatte 30 kilometre gidebileceğinden hızı 30
km/s’tir.
Şimdi bu işlemleri genelleyelim:
Soru. 6x metrelik bir yolu, 3t dakikada giden bir
hareketlinin hızını bulunuz.
Çözüm: Bulmamız gereken hıza V diyelim. Yol =
Hız × Zaman olduğundan 6x = V⋅3t olur. Denklemden V’yi çekersek;
6x 2x
=
m/dk
V=
3t
t
olarak bulunur.
Bir hareketli x birimlik bir yolu, t birimlik bir sürede almış olsun Biz de bu hareketlinin hızı olan
V’yi bulmaya çalışalım. Bize t birim sürede aldığı
yol değil, 1 birim sürede aldığı yol lazım.
O halde,
t birim sürede x birim yol gidiyorsa,
1 birim sürede V birim yol gider
diye bir orantı kurarsak, ki bu doğru orantıdır, hax
reketlinin hızının V = olduğu çıkar.
t
x
veya x = V⋅t gibi de ezV
berleyebilir ya da kullanabilir. Ben olsam, x = V⋅t
eşitliğini seçerdim, çünkü kesirli ifadeleri bilgisayarda yazması zor oluyor. ☺
x = V⋅t eşitliğini kocaman bir kağıda kocaman kocaman yazıp, odanızın duvarına asın! Anneniz izin
İsteyen denklemi t =
Hızın birimi çok önemlidir. Bu soruda uzaklık
metre, süre de dakika cinsinden verildiğinden hızın birimini m/dk olarak yazdık. Başka birimler
verseydi, hızın birimi de ona göre değişirdi. Bazen
hızın birimini özellikle soruda verilen birimler dışında sorarlar. Birimler arasındaki geçişleri yapmayı iyi bilmeliyiz. Hemen bunla ilgili bir soru
çözelim o zaman.
Soru. 5 saniyede 60 metre giden bir trenin hızı
kaç km/s’tir?
Çözüm: Dikkat ettiyseniz soruda verilen süre saniye, yol metre cinsinden ama trenin hızı kilometre ve saat cinsinden soruluyor. Saniyeyi saate,
metreyi kilometreye çevirmeyi bilen için çocuk
oyuncağı gibi bir şey. Bilmeyene öğretelim. Unutana da hatırlatalım: 1 saat = 60 dakika = 3600 saniye ve 1 kilometre = 1000 metre.
Trenimiz 5 saniyede 60 metre gidiyormuş. Bize 1
saatte yani 3600 saniyede gittiği yol lazım. Bir
orantı kurun, doğru olsun, cevap 43200 metre çıkacaktır. E, bu da 43,2 km demektir. O halde trenin hızı 43,2 km/s’tir.
Mustafa YAĞCI
Hız Problemleri
m/sn olur. 1 saniyede 12,5 metre gidiyorsa 60 saniyede yani 1 dakikada 750 metre gider. O halde
V = 750 m/dk’dır.
Bu tarz sorularda tren bazen tüneli değil de elektrik direğini filan geçer. Bu tip sorularda elektrik
direğini kalınlıksız düşüneceğiz. Yani öyle olmasa
da bunları ihmal edeceğiz.
Ekteki sorularda bunla ilgili bir soru da bulacaksınız.
Bir araç 100 km.lik mesafeyi sabit bir hızla 5
saatte almaktadır.
Bu aracın hızını m/dk cinsinden bulunuz.
Yanıt: 1000/3
1.
Bir araç 6x metrelik bir yolu, sabit bir hızla x dakikada gidiyor.
Bu aracın hızını km/s cinsinden yazınız.
A) 12/25
B) 11/25
C) 2/5
D) 9/25
E) 8/25
200 mt. uzunluğundaki bir tren, 300 mt. uzunluğundaki bir tüneli sabit bir hızla 50 saniyede
geçmiştir.
Bu trenin hızı kaç m/dk’dır?
Yanıt: 600
2.
Bir otobüs sabit bir hızla 12 dakikada 1 km. gitmektedir.
Bu aracın hızı kaç km/s.dir?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
1.
100 metre uzunluğundaki bir tren, 150 metre
uzunluğundaki bir tüneli sabit bir hızla 12 saniyede geçiyor.
Trenin hızı kaç km/s.dir?
E) 9
3.
Bir okul servisi, evden okula olan mesafeyi sabit
60 km/s bir hızla 8 dakikada katediyor.
Bu servis dakikada kaç metre ilerliyordur?
A) 6500 B) 7000
A) 75
C) 200
D) 150
D) 90
E) 95
350 metre uzunluğundaki bir düğün konvoyu 40
km/s.lik sabit bir hızla ilerlemektedir.
Bu konvoy, 150 metre uzunluğunda bir köprüyü kaç saniyede geçer?
Bir yüzücü 1 kilometrelik bir mesafeyi sabit bir
hızla 4 dakikada yüzebiliyor.
Yüzücünün hızı kaç m/dk.dır?
B) 250
C) 85
2.
C) 7500 D) 8000 E) 8500
4.
A) 300
B) 80
A) 40
E) 100
B) 45
C) 50
D) 55
E) 60
3.
Olimpiyatlarda bir atlet 100 metreyi 10 saniyede
koşmuştur.
Bu atletin hızı ortalama kaç km/s.tir?
Cepheye savaşa giden bir atlı birlik 30 km/s sabit
hızla 100 metrelik bir köprüyü 2 dakikada geçmiştir.
Bu birliğin uzunluğu kaç metredir?
A) 20
A) 910
5.
B) 25
C) 26
D) 35
E) 36
B) 900
C) 810
D) 800
E) 710
4.
Soru. 300 metre uzunluğundaki bir tren, 200 metre uzunluğundaki bir tüneli sabit bir hızla 40 saniyede geçmiştir. Bu trenin hızı kaç m/dk.dır?
Çözüm: Bir trenin ilk vagonu tünelin içine girdiği
anda, tren tünele girdi sayılır ama ilk vagon tünelden çıktığı anda tren tüneli geçti diyemeyiz. Allah
göstermesin, o an tünelin yıkıldığını düşünün bakalım, tren tüneli geçmiş olsa hiç altında kalır
mıydı? Demek ki tren hem kendi boyu kadar hem
de tünel boyu kadar ilerlemeli.
x = V⋅t olduğundan 300 + 200 = V⋅40 olur. Burada
uzunluk metre, süre saniye olduğundan V = 12,5
50 metre uzunluğundaki bir tren bir tüneli 80
km/s.lik sabit hızla 40 saniyede geçmiştir.
Tünelin boyu kaç metredir?
A) 842
B) 840
C) 7550/9 D) 755
E) 754/9
5.
240 metre uzunluğundaki bir tren, kalınlığı ihmal
edilebilecek bir direği 60 km/s hızla geçiyor.
Trenin direği geçmesi kaç saniye sürer?
A) 12,5
2
B) 13,4
C) 13,5
D) 14,4
E) 14,5
Mustafa YAĞCI
Hız Problemleri
Soru. Her gün 6 saatte aldığı yolu, hızını 10 km/s
arttırarak 5 saatte alan bir otobüsün eski hızı kaç
km/s’tir?
Ayrıca üşenmezseniz bu yolun uzunluğunu bulunuz.
Çözüm: Otobüsün erken varma sebebi yolun kısalması değil, hızın artması. Yani dünkü yol, bugün de aynı yol. O zaman hem eski hızına göre,
hem de yeni hızına göre x = Vt denklemlerimizi
kuralım.
Eski hızına V, yeni hızına V + 10 diyelim.
x = V⋅6 ve x = (V + 10)⋅5
denklemleri eşitlenirse 6V = 5(V + 10) çıkar ki,
buradan V = 50 bulunur. İlk sorunun cevabını bulmuş olduk. Şimdi bunu canımızın istediği eşitlikte
yerine yazalım:
x = 6⋅V = 6⋅50 = 300 km’dir.
2.
Belli bir yolu 5 saatte alabilen bir hareketli hızını
5 km/s azaltınca aynı yolu 7 saatte alıyor.
Bu yol kaç km.dir?
A) 87
A) 6
B) 16/3
C) 5
D) 14/3
E) 4
Hızını 5 km/s azaltırsa belli bir yolu 4 saatte alan
bir araç var.
Bu araç eski hızında 6 saat giderse kaç km. yol
kateder?
A) 6x
B) 30 + 3x
D) 30 + 2x
E)
C)
60 + 3 x
2
60 + x
2
5.
200 km.lik bir yolu 4 saatte alan bir araç var.
Eğer bu yol %50 daha uzun olur ve araç hızını
10 km/s azaltırsa, yeni yolu kaç saatte alır?
A) 9
B) 8,5
C) 8
D) 7,5
E) 7
Aksilikler olursa. Bazen arabanın durduk yere
arızalanacağı tutar. Veya adamın yolda mola veresi gelir. Veya hava koşullarından ötürü uçak rötar
yapar. Aksilik bu ya! Tam da gelir bizim sorumuzu bulur. Bu aksiliklerden doğan gecikmeler veya
gecikmemek için hız arttırmalar, hız problemlerine çokça malzeme olur. Bu aksilikler o kadar
önemli değil ama soruyu çözmenizde aksilik doğurursa o kötü! Mümkün olduğunca bol örnekle
açıklamaya gayret edeceğim.
Başlıyoruz:
Bir hareketli, belli bir yolu 5 saatte alabiliyor. Aynı yolu hızını 20 km/s arttırınca 4 saatte alabilmektedir.
Bu yol kaç km.dir?
D) 700
E) 89
4.
1.
C) 600
D) 88,5
Bir araç, bir yolu, hızını 10 km/s azaltınca 8 saatte,
10 km/s arttırınca 6 saatte alabiliyor.
Aynı hareketli hızını 20 km/s arttırırsa aynı yolu kaç saatte alır?
4 saatte aldığı yolu, 3 saatte almak için hızını 10
km/s arttırmak zorunda olan hareketli var.
Yolun uzunluğu kaç km.dir?
Yanıt: 120
B) 500
C) 88
3.
Soru. Her gün belli bir yolu belli bir sürede alan
hareketli, hızını 20 m/dk arttırınca bu yolu 2 dakika erken, 10 m/dk azaltınca 4 dakika geç kalıyorsa, bu yol kaç metredir?
Çözüm: Her günkü hızı V m/dk, her gün bu yolda
geçen süre de t dakika olsun. Hızını arttırsa da
azaltsa da yola bir şey olduğu yok. Yol ne azalır,
ne kısalır.
Hemen x = V⋅t eşitliğini kuralım:
x = Vt = (V + 20)⋅(t – 2) = (V – 10)(t + 4)
olur. Parantezler açılırsa
x = Vt
= Vt – 2V + 20t – 40
= Vt + 4V – 10t – 40
çıkar. –2V + 20t = 4V – 10t olduğundan 6V = 30t
yani V = 5t olur. Şimdi nerde V görürseniz gidin
yerine 5t yazın.
x = 5t.t = (5t + 20)(t – 2) = (5t – 10)(t + 4)
olur. Ben sizin yerinize t’yi buldum, t = 4 çıktı.
x = 5t2 = 5⋅16 = 80 metredir.
A) 400
B) 87,5
Soru. 900 kilometrelik İstanbul-Adana arasını
normal şartlarda 55 dakikada giden bir uçak hava
muhalefeti nedeniyle İstanbul’dan 5 dakika rötarlı
kalkmıştır. Uçağın (o sırada güllük gülistanlık
olan) Adana’ya planlanan sürede varabilmesi için
hızı kaç km/s olmalıdır?
E) 800
3
Mustafa YAĞCI
Hız Problemleri
Çözüm: Rötarı telafi etmek için, her zaman 55
dakikada aldığı mesafeyi, o gün 50 dakikada almak zorundadır. 50 dakikada 900 kilometre gidiyorsa 60 dakikada yani 1 saatte 1080 kilometre
gider. O halde uçağın hızı 1080 km/s olmalıdır.
A) 100
B) 150
C) 200
D) 250
E) 300
2.
A kentinden B kentine doğru 50 km/s hızla bir araç
harekete başlıyor. Bundan 2 saat sonra hızı 75
km/s olan bir araç hareket ediyor.
İkinci araç B’ye 1 saat erken vardığına göre
AB yolu kaç km.dir?
Soru. Saatteki hızı 60 km. olan bir kamyon A kentinden B kentine doğru harekete başladıktan 1 saat sonra, hızı 75 km/s olan bir otobüs, otobüsten 1
saat sonra da bir otomobil A’dan B’ye doğru harekete başlıyorlar. Üçü aynı anda B’ye vardığına
göre AB yolu kaç km.dir? Ayrıca otomobilin hızı
kaç km/s’tir?
Çözüm: Kamyon, otobüse göre 1 saat, otomobile
göre 2 saat fazla seyahat etmiştir. Yani, otomobil t
saatte B’ye vardıysa, otobüs (t + 1), kamyon ise (t
+ 2) saatte varmıştır. Hepsinin aldığı yolun aynı
olduğunu yine unutmuyoruz.
Otomobilin hızına V km/s diyelim.
x = 60⋅(t + 2) = 75⋅(t + 1) = V⋅t
denklemlerini çözersek t = 3 saat buluruz. Bu
yüzden x = 300 km. çıkar. Yine bu yüzden de V =
100 km/s çıkar.
A) 450
B) 400
C) 350
D) 300
E) 250
3.
A kentinden B kentine doğru hızları 50 km/s, 75
km/s ve V km/s olan üç araç birer saat arayla sırasıyla harekete başlıyorlar.
Üç araç B’ye aynı anda vardığına göre V kaçtır?
A) 100
B) 150
C) 200
D) 250
E) 300
4.
A kentinden B kentine doğru hızları 60 km/s, 75
km/s ve V km/s olan üç araç birer saat arayla sırasıyla harekete başlıyorlar.
Üçüncü araç B’ye vardıktan 1 saat sonra ilk iki
araç aynı anda B’ye vardığına göre V kaçtır?
Soru. A kentinden B kentine doğru saatte 40
km.lik hız yapan bir araç harekete başlıyor. Bu araçtan 1 saat sonra aynı yerden aynı yönde doğru
bir başka araç daha hareket ediyor. İkinci araç 1
saat geç çıkmasına rağmen B’ye ilk araçtan 1 saat
erken varıyor. AB yolu 480 km. ise ikinci aracın
saatteki hızı kaç km/s’tir?
Çözüm: Demek ki ikinci araç bu yolu birinci
araçtan 2 saat daha az zamanda alabiliyor. 480
km.lik yolu ilk araç hızı 40 km/s olduğundan 1 saatte alır, o halde ikinci aracın bu yolu bitirmesi
için gereken süre 10 saattir.
Sonuç olarak, ikinci aracın hızı 480/10 = 48 km/s
olur.
A) 50
B) 75
C) 100
D) 105
E) 110
5.
Hızları V km/s, V + 15 km/s, V + 40 km/s olan üç
araç A’dan B’ye birer saat arayla sırasıyla harekete
başlıyorlar ve üçü aynı anda B’ye varıyorlar.
Buna göre AB yolu kaç km.dir?
A) 500
B) 400
C) 300
D) 200
E) 100
Soru. Saatteki hızı V km. olan bir araç belli bir
yolu hep 10 saatte alıyor. Eğer yolun 1/3’ünü 2V
hızla giderse, gelenek bozulmasın diye yolun kalanını hangi hızla gitmelidir?
Çözüm: Yola, üçe kolay bölünsün diye 3x diyelim. 3x = V⋅10 olduğunu unutmayın. 3x’in x’ini 2V
hızla t saatte almışsa x = 2V⋅t olur. O halde 3x =
6Vt, diğer yandan 3x = V⋅10 idi. Buradan t = 5/3
bulunur.
Gelenek bozulmasın diye kalan 2x’lik yolu 10 –
5/3 = 25/3 saatte almalıdır. Buradaki hızına da V2
diyelim. 2x = V2⋅25/3 olur. x yerine 10V/3 yazılırsa V2 = 4V/5 olarak bulunur.
A kentinden B kentine doğru 60 km/s hızla bir
araç harekete başlıyor. Bundan 1 saat sonra hızı
75 km/s olan bir araç hareket ediyor.
İki araç B’ye aynı anda vardığına göre AB
yolu kaç km.dir?
Yanıt: 300
1.
A kentinden B kentine doğru 50 km/s hızla bir araç
harekete başlıyor. Bundan 2 saat sonra hızı 75
km/s olan bir araç hareket ediyor.
İki araç B’ye aynı anda vardığına göre AB yolu
kaç km.dir?
4
Mustafa YAĞCI
Hız Problemleri
ikincinin 3t saatte aldığı yol B ise üçüncünün t saatte aldığı yol A ve B cinsinden nedir?
Çözüm: Üç hareketlinin de hızları da, bitirme süreleri de, yolları da farklı. O zaman her biri için
ayrı ayrı denklem yazalım. Sorulana X diyelim.
A = V1⋅4t = 4V1t
B = (V1 + V2)⋅3t = 3V1t +3V2t
X = (V1 – V2)⋅t = V1t – V2t
olduğundan ilk denklemden V1t’yi A cinsinden
çeker, onu ikinci denklemde yerine yazarak V2t’yi
de B cinsinden buluruz, böylelikle soru çözülmüş
olur.
A 4B − 3 A 3A − 2B
X = V1 t – V2 t = −
=
.
4
12
6
300 kilometrelik bir yolu, arabasıyla 6 saatte
almayı planlayan bir adam, seyahate herhangi
bir sebeple 1 saat geç başlamıştır.
Planlanan sürede gitmek istediği yere varabilmesi için hızını yüzde kaç arttırmalıdır?
Yanıt: 20
1.
Belli bir yolu hep 5 saatte alan biri, yolun yarısına
3 saatte gelmiştir.
Yolun kalan yarısında, ilk yarıdaki hızını %
kaç arttırmalı ki her zaman vardığı sürede varabilsin?
A) % 50
B) % 55 C) % 60 D) % 65 E) %70
2.
A
Soru. Eşkenar olan ABC üçgeni şeklindeki bir pistin A köV2
şesinden V1 hızlı ve V2 hızlı iki
hareketli aynı anda harekete
başlıyor. V2 hızlı olan AH yükB
H
C sekliğinden gidip A’ya dönene
kadar V1 hızlı hareketli çevreyi dolaşıp A’ya dönüyor. Buna göre V1/V2 oranı kaçtır?
Çözüm: Eşkenar üçgenin bir kenarı 2 birim olsun.
Çevreyi dolaşan V1 hızlı hareketli 6 birim giderken, yükseklikten gidip gelen V2 hızlı hareketli
2 3 birim yol alır. Bu yolları alırken geçirdikleri
süre aynı olduğundan hızları oranı aldıkları yollar
oranıdır.
O halde V1/V2 = 6/(2 3 ) = 3 ’tür.
V1
Bir hareketli gideceği yolun 3/5’ini 6 saatte, kalan
yolu 8 saatte gitmiştir.
Bu hareketlinin yolun ilk kısmındaki hızı, ikinci kısmındaki hızının kaç katıdır?
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
3.
Bir hareketli 10 saatte almayı planladığı yolun
3/5’ini 9 saatte almıştır.
Yolun kalan kısmında hızını % kaç arttırmalı
ki planladığı sürede varabilsin?
A) 100
B) 200
C) 400
D) 500
E) 600
4.
Karşılaşma Problemleri. İki hareketli aynı yolda
birbirlerine doğru hareket ederlerse elbet bir zaman sonra karşılaşacaklardır. Genel olarak 4 veri
böyle sorulara yeter. Bunlar: Birinci hareketlinin
hızı, ikinci hareketlinin hızı, başlangıçta aralarındaki uzaklık ve karşılaşmaları için geçmesi gereken süre. Bu 4 veriden 3’ünü vererek dördüncü
veriyi sorarlar. Konunun ilk bölümündeki x = Vt
eşitliğini iyi anlamış biri için bu tarz sorular da bir
oyuncak olacaktır. Önce bir karşılaşma sorusu çözelim, ardından çözümü genelleyebilirsek genelleyeceğiz.
Bir araç gideceği yolun 1/6’sını 1 saatte, kalan yolu ise 2,5 saatte almıştır.
Bu aracın yolun ilk kısmındaki hızı, ikinci kısmındaki hızının kaç katıdır?
A) 3
B) 3/2
C) 1
D) 1/2
E) 1/3
5.
Adana-Ankara arası 500 km., Ankara-İstanbul arası ise 400 km.dir. Adana’dan İstanbul’a 8 saatte
giden bir aracın Ankara’da hızını %50 arttırdığı
biliniyor.
Aracın Ankara’dan İstanbul’a kadar harcadığı
süre kaç dakikadır?
Soru.
20 km/s
A
A) B) C) D) E)
30 km/s
400 km
B
A ile B kentleri arası 400 km. olup A’dan saatteki
hızı 20 km, B’den saatteki hızı 30 km. olan bir
araç aynı anda birbirlerine doğru harekete başlıyorlar. Kaç saat sonra karşılaşırlar?
Soru. Hızları saatte V1, V1 + V2 ve V1 – V2 olan
üç hareketliden birincinin 4t saatte aldığı yol A,
5
Mustafa YAĞCI
Hız Problemleri
Çözüm: Tüm problem soruları gibi hemen sorulana adlandıralım. t saat sonra karşılaşsınlar. t saatte yavaş olan 20t, hızlı olan 30t km yol alır. Karşılaştıklarına göre aldıkları yolların toplamı tam
400 km olmalı. 50t = 400 olduğundan t = 8 çıkar.
aynı anda da Adana’dan acayip bir sinek saatte
200 km.lik bir hızla İstanbul’a doğru uçmaya başlıyor. Sinek, otobüsün camına değdiği anda durmadan aynı hızla geri dönüyor, bu sefer kamyon
ile karşılaşıyor ve onun camına değdiği anda yine
aynı hızla durmadan geri dönüyor ve bu böyle devam ediyor. Kamyon ile otobüs sonunda çarpışıyor ve sineğimiz vefat ediyor. Allah rahmet etsin
ama sinek ölmeden önce kaç km. yol katetmiştir?
Çözüm: Hiç gülme, süper bir karşılaşma sorusudur!
Sineğin hızı belli değil mi? Belli. O halde kaç saat
uçtuğunu bulursak, soruyu çözmüş olacağız. Kaç
saat uçtu? Bu iki aracın harekete başlamalarından
çarpışana kadar geçen süre kadar. E, 900 km.lik
bir mesafede hızları 40 ve 35 km/s olan iki araç
900/(40 + 35) = 12 saat sonra karşılaşırlar... Demek ki rahmetlik 12 saat uçtu.
Bundan dolayı 200⋅12 = 2400 km. yol katetmiştir.
Şimdi aynı mantıkla karşılaşma problemlerinin
formülünü çıkartalım:
V2 km/s
V1 km/s
A
B
x km
Yine karşılaşmaları için geçmesi gereken süreye t
saat diyelim. A’dan kalkan t saatte V1t, B’den kalkan t saatte V2t km. yol alır. Karşılaşmaları için
katettikleri toplam yol x km. olmalıdır.
x = V1t + V2t = (V1 + V2)t
Demek ki karşılaşma problemlerini hızlı çözebilmek için; iki aracın toplamına denk sadece tek
bir araç varmış gibi düşüneceğiz. Yol ve süre değişmez ama yeni aracımızın hızı V1 + V2 olacak.
Soru. Toprakta 20 km/s, asfaltta 40 km/s hızla
gitmeye ayarlanmış iki farklı araç aralarındaki
uzaklığın 800 km. olduğu A ve B kentlerinden birbirlerine doğru harekete başlıyorlar. Yolun yarısı
asfalt yarısı toprak ise bu iki araç kaç saat sonra
karşılaşırlar?
Çözüm: Bu soruyu normal karşılaşma problemi
gibi düşünemeyiz. Çünkü asfaltta hareket eden daha hızlı olduğundan yolun ortasına daha önce gelir
ve burada hızı değişmek zorundadır. Dolayısıyla
hızı değişene kadar ne kadar süre geçtiğini önce
bir bulalım bakalım.
A
20 km/s
400 km
toprak
C
40 km/s
400 km
asfalt
20 km/s
A
10 km/s
B
240 km
A ile B kentleri arası 240 km. olup A’dan saatteki hızı 20 km, B’den saatteki hızı 10 km. olan
bir araç aynı anda birbirlerine doğru harekete
başlıyorlar.
Kaç saat sonra karşılaşırlar?
Yanıt: 8
1.
Aralarındaki uzaklık 120 km. olan iki şehirden aynı anda birbirlerine doğru iki araç sırasıyla 15 ve
25 km/s.lik hızlarla harekete başlıyorlar.
Kaç saat sonra bu araçlar karşılaşırlar?
B
A) 6
Üst şekildeki gibi, yolun ortası C, AC yolu toprak,
CB yolu da asfalt olsun. Asfaltta hareket edenin
hızı 40 km/s ve asfalt 400 km. olduğundan 10 saatte hızlı olan yolun ortasına varır. Bu 10 saatlik sürede de A’dan kalkan 200 km. ilerlemiş ve AC’nin
ortasına gelmiştir. Karşılaşmaları için toplam 200
km. gitmeleri lazım yani. Artık B’den kalkanın da
hızının 20 km/s olduğunu unutmayın. x = (V1 +
V2)t olduğundan 200 = (20 + 20)t olur ki t = 5 bulunur. Önceden de 10 saat geçmişti, o halde karşılaşma ilk ana göre 15 saat sonra olur.
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
2.
Aralarındaki uzaklık 120 km. olan iki şehirden aynı anda birbirlerine doğru iki araç sırasıyla 15 ve
V km/s’lik hızlarla harekete başlıyorlar.
Bu araçlar 6 saat sonra karşılaştıklarına göre V
kaçtır?
A) 6
B) 6,5
C) 5
D) 5,5
E) 4
3.
Aralarındaki uzaklık 120 km. olan iki şehirden aynı anda birbirlerine doğru iki araç sırasıyla 15 ve
V km/s.lik hızlarla harekete başlıyorlar.
Soru. Adana-İstanbul arası hala 900 kilometre.
Adana’dan hızı 40 km/s olan bir kamyon ile İstanbul’dan hızı 35 km/s olan bir otobüs aynı anda
birbirlerine doğru harekete başlıyorlar. Bunlarla
6
Mustafa YAĞCI
Hız Problemleri
İkinci yol. Karşılaştıkları anda ikisinin aldıkları
yolun toplamı 400 km. olmaz mı? E, hızları toplamı da 50 km/s, o zaman doğal olarak t = 8 çıkar.
Bu araçlar 6 saat sonra karşılaştıklarına göre
karşılaşma yerinin B’ye olan uzaklığı kaç
km.dir?
A) 30
B) 60
C) 90
D) 100
E) 110
4.
A
Aralarındaki uzaklık 320 km. olan iki şehirden aynı anda birbirlerine doğru iki araç sırasıyla 15 ve
25 km/s’lik hızlarla harekete başlıyorlar.
Kaç saat sonra aralarındaki uzaklık ilk kez 40
km. olur?
A) 8
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4
C) 7
D) 6
B
1.
Aralarındaki uzaklık 320 km. olan iki şehirden aynı anda birbirlerine doğru iki araç sırasıyla 15 ve
25 km/s’lik hızlarla harekete başlıyorlar.
Kaç saat sonra aralarındaki uzaklık ikinci kez
40 km. olur?
B) 8
20 km/s
C
300 km
A kentinden saatteki hızları 20 km/s ve 10 km/s
olan iki araç aynı anda 300 km. ötedeki B kentine doğru sabit hızlarla harekete başlıyorlar.
Hızlı olan B’ye vardığında durmadan geri dönüyor.
Buna göre bu iki araç ilk hareketlerinden
kaç saat sonra karşılaşırlar?
Yanıt: 20
5.
A) 9
10 km/s
A kentinden saatteki hızları 25 km/s ve 15 km/s
olan iki araç aynı anda 200 km. ötedeki B kentine
doğru sabit hızlarla harekete başlıyorlar. Hızlı
olan B’ye vardığında durmadan geri dönüyor.
Buna göre bu iki araç ilk hareketlerinden kaç
saat sonra karşılaşırlar?
E) 5
2.
A kentinden saatteki hızları 25 km/s ve 15 km/s
olan iki araç aynı anda 200 km. ötedeki B kentine
doğru sabit hızlarla harekete başlıyorlar. Hızlı
olan B’ye vardığında durmadan geri dönüyor.
Karşılaşma yerinin B’ye olan uzaklığı kaç
km.dir?
Peki, aynı anda aynı yerden aynı yöne doğru harekete başlayan iki araç karşılaşabilir mi? Karşılaşamaz değil mi? Siz öyle zannedin!
Soru. A ve B kentleri arası 200 km. olup, A’dan
aynı anda iki araç aynı yöne doğru birlikte harekete başlıyorlar. Birinin hızı 20 km/s, diğerinin ise
30 km/s olsun. Hızlı olan B’ye vardığında durmadan geri dönüyorsa, bu iki araç ilk hareketten kaç
saat sonra karşılaşırlar? Ayrıca karşılaşma yerinin A’ya olan uzaklığı kaç km.dir?
Çözüm: Gördünüz değil mi, karşılaşabilirlermiş!☺. Şimdi bu soruya iki farklı çözüm sunacağız.
Birinci yol.
A
20 km/s
30 km/s
3.
A kentinden saatteki hızları 25 km/s ve 15 km/s
olan iki araç aynı anda B kentine doğru sabit hızlarla harekete başlıyorlar. Hızlı olan B’ye vardığında durmadan geri dönüyor.
Bu iki araç 4,5 saat sonra karşılaştıklarına göre
AB yolu kaç km.dir?
4.
C
200 km
A kentinden saatteki hızları V1 km/s ve V2 km/s
olan iki araç aynı anda B kentine doğru sabit hızlarla harekete başlıyorlar. V1 > V2 olup, hızlı olan
B’ye vardığında durmadan geri dönüyor.
Bu iki araç AB yolunun ortasında karşılaştıklarına göre V1/V2 oranı kaçtır?
B
Hızlı olan B’den döndükten sonra AB arasındaki
bir C noktasında karşılaştıklarını farzedelim. |BC|
= x ise |AC| = 200 – x olur. Yollar belli, hızlar belli, süreler de aynı, e ne duruyoruz?
200 – x = 20.t
200 + x = 30.t
olduğundan 400 = 50⋅t olur ki buradan t = 8 çıkar.
O halde A’dan kalkan 8 saatte 20⋅8 = 160 km. yol
almıştır.
5.
A kentinden saatteki hızı 25 km/s olan bir araç
272,5 km. ötedeki B kentine doğru sabit hızla harekete başlıyor. 1 saat sonra da 15 km/s hızla aynı
7
Mustafa YAĞCI
Hız Problemleri
yerden aynı yöne bir başka araç kalkıyor. Hızlı
olan B’ye vardığında durmadan geri dönüyor.
Karşılaşma yerinin B’ye olan uzaklığı kaç
km.dir?
t saat sonra yetişeceğini, hem de B’den kaç km.
ilerde yakalayacağını yani y’yi bulalım. Nasıl mı
bulalım? İkinci yol daha güzel ama biz, eski tas
eski tarak, ilk yoldan gidelim. Gidelim ki, ‘’Hala
ben x = V⋅t denklemini kuramıyorum!’’ diyen
kalmasın…
Arkadan kovalayan için: x + y = V1.t
Önde kaçan için:
y = V2.t
Bu iki denklemden (çıkarma yapılırsa);
x = (V1 – V2).t
x.V2
y=
(V1 − V2 )
bulunur ki, bunlar da yetişme problemlerinin formülüdür.
Yetişme Problemleri. Tavşan-kaplumbağa hikayesini bilirsiniz. Tavşan, kaplumbağaya hep ‘’Sen
önden başla!’’ der. Niye? Kendi çok hızlı ya, nasıl
olsa ona yetişirim diye… Tabi, bu sigara içmeyen
bir tavşan! Kazın ayağı hep öyle olmasa da genelde doğrudur. Hızlı olan yavaştan daha geride yarışa başlasa bile eğer yeterli mesafe ve nefes veya
benzin varsa hızlı yavaşa yetişir.
Şimdi böyle problemlere örnekler vereceğiz. Eğer
yine becerebilirsek, yetişme problemlerinin de
formülünü çıkartacağız.
30 km/s
A
Soru. Hızı 30 km/s olan bir hareketli, hızı 20 km/s
olan başka bir hareketliden 50 metre önde harekete başlarsa, arkadaki öndekine kaç saat sonra yetişir? Ayrıca hazır bunları bulmuşken nerede yakalayacağını da bulunuz.
Çözüm: Yine iki türlü çözüm yapacağız. Tabii
inat eden 10 farklı çözüm de bulabilir.
Birinci yol.
30 km/s
A
50 km
A
x km
A ve B kentleri arası 100 km.dir. A’dan 30 km/s,
B’den 25 km/s sabit hızla iki araç aynı anda aynı
yönde harekete başlıyorlar.
Arkadaki araç öndekini Y’de yakalıyorsa BY
yolu kaç km.dir?
Y
2.
A ve B kentleri arası 100 km.dir. A’dan 30 km/s,
B’den V km/s sabit hızla iki araç aynı anda aynı
yönde harekete başlıyorlar.
Arkadaki araç öndekini 5 saat sonra yakalıyorsa V kaçtır?
3.
A ve B kentleri arası 120 km.dir. A’dan 3V km/s,
B’den V km/s sabit hızla iki araç aynı anda aynı
yönde harekete başlıyorlar.
Arkadaki araç öndekini 5 sonra Y’de yakalıyorsa BY yolu kaç km.dir?
4.
A’dan 30 km/s, B’den 25 km/s sabit hızla iki araç
aynı anda aynı yönde harekete başlıyorlar.
A’dan kalkan B’den kalkanı B’den 100 km.
ötede bulunan Y’de yakalıyorsa AB yolu kaç
km.dir?
V2 km/s
B
y km
Y
1.
Arkadaki öncekini t saat sonra Y’de yakalıyor olsun. Aynı üst resimde çizdiğimiz gibi. BY yoluna
y diyelim. Yavaş hareketli y km, hızlı ise 50 + y
km. yol almıştır. Her biri için denklemlerimizi kuralım:
y = 20⋅t
50 + y = 30⋅t
eşitliklerinden ilkini ikincisinde yerine yazarsak t
= 5 çıkar, ayrıca y = 100 çıktığında hızlı araç, yavaşı B’den 100 km. ilerde yakalarmış.
İkinci yol. Yavaş saatte 20 km, hızlı ise 30 km. yol
alıyor. Demek ki hızlı olan her 1 saatte 10 km. yavaşa yaklaşıyor. Yetişmesi için 50 km. yaklaşmalı.
1 saatte
10 km. gidiyorsa
? saatte
50 km. gider?
doğru orantısını kurarsak, t = 5 bulunur. Gerisi
aynı ilk yolu çözdüğümüz gibi.
Şimdi bu yaptıklarımızı genellemeye çalışalım.
Bakalım ne çıkacak?
V1 km/s
25 km/s
A ve B kentleri arası 100 km.dir. A’dan 30 km/s,
B’den 25 km/s sabit hızla iki araç aynı anda aynı yönde harekete başlıyorlar.
Arkadaki araç öndekini kaç saat sonra yakalar?
Yanıt: 20
20 km/s
B
100 km B
Y
Geriden başlayanın hızı V1 km/s, önde başlayanın
hızı V2 km/s, aradaki fark da x km. olsun. Hem kaç
8
Mustafa YAĞCI
Hız Problemleri
İkinci yol. Hızların 12 ve 16 m/dk olması bize yavaşın her 3 birim yol aldığında, hızlının 4 birim
yol alması gerektiğini anlatır. O halde yavaş 3
çeyrek çember yayı giderse, hızlı 4 çeyrek çember
yayı gider ki bu da A’da yakalaması demek olur.
5.
A ve B kentleri arası 100 km.dir. A’dan 30 km/s
sabit hızla bir araç B’ye doğru harekete başladıktan 1 saat 20 dakika sonra B’den 15 km/s sabit hızla bir başka araç aynı yönde harekete başlıyor.
A’dan kalkan araç harekete ilk başladığı andan
kaç dakika sonra B’den kalkan araca yetişir?
O merkezli dairesel pistin çevresi 96 metredir.
O
B
A
AB çapının uç noktalarından şekildeki gibi sa- 8 m/d
12 m/d
atteki hızları 8 ve 12 m/d
olan iki bisikletli aynı anda birbirlerine doğru
harekete başlıyorlar.
İlk kez kaç dakika sonra karşılaşırlar?
Yanıt: 1,2
Biraz da gidilen yolun dairesel olduğu durumla-ra
bakalım. Genel itibariyle öğrenciler, dairesel pist
kelimesini veya şeklini gördüler mi, soruyu yapamıyorlar. Ben de bunu bir türlü anlayamıyorum.
Sanki hayatta her gün yürüdükleri yollar cetvelle
çizilmiş! Dairesel pist sorularında çember bilgisi
gerektiğini zannediyorlar herhalde. Öyle olsa gerek. Evet, bazen gerekir ama ilkokul 4 veya 5’te
öğretilen ‘’Yarıçapı r olan bir çemberin çevresi
2πr’dir’’ bilgisi yeter. Bir de ‘’Bir daire diliminin
merkez veya yay açısının ölçüsü 360’ın kaçta kaçıysa daire dilimi veya yay uzunluğu da dairenin o
kadarda o kadarıdır.’’ bilgisi kullanılır. Buna rağmen ‘’Ben gördüm hocam, başka bilgi-lerin de bilinmesi gereken dairesel pist soruları var!’’ diyorsan hala, ne diyeyim, git ‘’çember ve daire’’ konusunu çalış o zaman! Hem hangi matematik konusunda bir başka konuya ait bilgiler kullanılmıyor ki?
1.
O merkezli dairesel pistin
O
B
A
çevresi 56 metredir. AB
çapının uç noktalarından 8 m/d
6 m/d
şekildeki gibi saatteki hızları 8 ve 6 m/d olan iki bisikletli aynı anda birbirlerine doğru harekete başlıyorlar.
İlk kez kaç dakika sonra karşılaşırlar?
2.
O merkezli dairesel pistin
O
B
A
çevresi 84 metredir. AB
çapının uç noktalarından 8 m/d
6 m/d
şekildeki gibi saatteki hızları 8 ve 6 m/d olan iki bisikletli aynı anda birbirlerine doğru harekete başlıyorlar.
Beşinci kez kaç dakika sonra karşılaşırlar?
Soru. O merkezli dairesel bir pistin A ve B noktalarından şekilde görüldüğü üzere iki hareketli aynı anda aynı yöne doğru
12 m/dk harekete başlıyorlar. Yavaşın hızı 12 m/dk hızlının hızı
O
B
16 m/dk olduğuna göre, hızlı yavaşa ilk kez nerde yetişir? Ayrıca (bulunabilirse
16 m/dk
A
eğer) AB yolunun boyunu
bulunuz.
Çözüm: Yine iki yoldan çözelim.
Birinci yol. AB uzunluğuna x diyelim. Formülümüz gereği x = (16 – 12)⋅t = 4t olur. Bu da x’i
bulmak için t’nin bilinmesi gerektiğini anlatır.
Demek ki x bulunamaz. Yani AB yolu bu verilerle
bulunamaz.
Nerde yakalar sorusuna cevap arayalım. Yani y’yi
bulalım.
Yine formülümüze başvuralım:
x.V2
x.12
=
= 3x
y=
(V1 − V2 ) (16 − 12)
olduğundan hızlı yavaşı B’den 3x metre sonra yani
A’da yakalar.
3.
O merkezli dairesel pistin çevresi 240 metredir. AB çapının
O
B
uç noktalarından şekildeki gibi
5 m/d
saatteki hızları 5 ve 10 m/d
10
m/d
olan iki bisikletli aynı anda birA
birlerine doğru harekete başlıyorlar.
İkinci kez kaç dakika sonra karşılaşırlar?
4.
5 m/d
O merkezli dairesel pistin çevO
resi 120 metredir. AB çapının
B
uç noktalarından şekildeki gibi
10 m/d
saatteki hızları 5 ve 10 m/d
A
olan iki bisikletli aynı anda aynı yöne doğru harekete başlıyorlar.
A’dan kalkan B’den kalkana ilk kez kaç dakika sonra yetişir?
9
Mustafa YAĞCI
Hız Problemleri
5.
Ortalama hız, her zaman en fazla süre ayrılan hıza
diğerlerine göre daha yakındır. Eğer bir yerden bir
yere iki değişik hızla gidilmiş ve her ikisine de
eşit süre ayrılmışsa, ortalama hız bu iki hızın toplamının yarısı yani aritmetik ortalamasıdır. Eğer
bu iki hızdan birisiyle daha çok seyahat etmişsen
ortalama hızın kesinlikle bu iki hızın aritmetik ortasından daha çok süre gidilen hıza yakındır. Örneklerle daha iyi anlayacaksın.
5 m/d
AB çapının uç noktalarından
O
şekildeki gibi saatteki hızları 5
B
ve 10 m/d olan iki bisikletli ay10 m/d
nı anda aynı yöne doğru hareA
kete başlıyorlar.
A’dan kalkan B’den kalkana ikinci kez 20 dakika sonra yetiştiğine göre pistin uzunluğu kaç
metredir?
Soru. A kentinden B kentine 20 km/s hızla gidip,
geriye 30 km/s hızla dönen bir aracın bu seyahatteki ortalama hızı kaç km/s’tir?
Çözüm: Gidişte ve dönüşte yol değişmediğin-den
geçen süre hızlarla ters orantılıdır. Yani gidişdönüş hızlarının oranı 2/3 olduğundan gidiş-dönüş
sürelerinin oranı 3/2’dir. Bundan dolayı giderken
2t saat süre geçmişse, dönerken 3t saat süre geçer
diyebiliriz. Ortalama hız neye eşitti? Toplam yolun, toplam zamana oranına. Yolumuz 20⋅3t veya
30⋅2t çarpımlarından 60t olur. Toplam yol o zaman, gidip dönüldüğü için 120⋅t yapar, toplam
zaman da 5⋅t olduğundan Vort = 120t/5t = 24
km/s’tir.
Dikkat ettiyseniz yolun uzunluğunu bilmemize
rağmen cevap 24 çıktı, bu da ortalama hızın yoldan bağımsız olduğuna kanıttır.
Soruyu bir de harmonik ortalama formülü ile çözelim:
2V1V2
2.20.30 1200
=
=
= 24 km/s.
Vort =
V1 + V2 20 + 30
50
Ortalama Hız. 100 kilometrelik bir yolu bir araçla 2 saatte gittiğinizi düşün. Sizce bu seyahatteki
aracın hızı kaç km/s idi? 50 km/s diyorsun değil
mi? Şimdi bu 50 sayısı üstüne biraz düşünelim
bakalım. Ne demek bu 50? Birileri bir aracı hep
50 km/s hızla gitmeye ayarlamış, sen de bu araca,
önünden geçerken, kapısını açıp içine atlamışsın,
100 kilometre ilerde de aşağı atlamışsın! Bu mu
yani? Elbet bu değil! Araç bazen durmuş, bazen
hızlanmış, bazen yavaşlamış, sonuçta 100 kilometreyi bitirdiğinde tam 2 saatin geçtiğini görmüşsün. Onun için de diyorsun ki elliyle geldik.
Anlayacağınız, bu aracın hangi an, hangi yerde,
hangi hızı yaptığını bulmak mümkün olmadığından, ‘’bu aracın hızı 50 km/s’tir’’ dediğimizde
kullandığımız hız kelimesi ortalama hız manasındadır. Değilse de böyle olmalıdır.
Toplam yolu, toplam zamana bölersek bulacağımız şey ortalama hızdır. Yani, bir otobüs Adana’dan İstanbul’a 10 saatte gitmişse ortalama 90
km/s hızla gitmiştir diye düşünmeliyiz. ‘’Adana İstanbul arasının kaç kilometre olduğunu vermemişsin ki!’’ diyorsan, ben de sana notları neden en
başından itibaren okumadığını sorarım.
Ortalama hız, yoldan bağımsızdır. Yani, buradan
İstanbul’a da 20 km/s hızla gidip geriye 30 km/s
hızla dönsen, arka mahalleye de 20 km/s hızla gidip, geriye 30 km/s hızla dönsen ortalama hızın
aynı ve 24 km/s çıkar. Bunu ilerde ilk örnekte kanıtlayacağız.
Ortalama hızı bulmanın bir başka yolu da, yine
kanıtını ilk örneğe bakarak siz yapınız, gidilen ve
dönülen hızların harmonik ortalamasını bulmaktır.
V1 km/s
A
Soru. Bir araç gideceği yolun 1/3’ünü 20 km/s
hızla, kalanını da 50 km/s hızla gitmiştir. Bu aracın bu seyahatteki ortalama hızını bulunuz.
Çözüm: Madem ortalama hız yoldan bağımsız,
yani yol kaç birim olursa olsun bir şey değişmiyor, en küçük yola hem 20’ye hem de 50’ye bölünebilen bir sayı verelim.
20 km/s
A
100 km K
50 km/s
200 km
B
Hızını değiştirdiği yer K olsun. |AK| = 100 km. ve
|KB| = 200 km. olsun. |AK|’yı o halde 5 saatte,
|KB|’yi 4 saatte alır. Toplam yolu toplam zamana
bölelim. Vort = 300/9 = 100/3 km/s olur.
V2 km/s
B
Yani, A’dan B’ye V1 km/s hızla gidip, B’ den A’ya
V2 km/s hızla dönen bir aracın bu seyahatteki ortalama hızı,
2V1V2
Vort =
V1 + V2
formülüyle bulunabilir.
A kentinden B kentine 10 km/s sabit hızla gidip,
15 km/s sabit hızla dönen bir aracın bu seyahatteki ortalama hızı kaç km/s’dir?
Yanıt: 12
10
Mustafa YAĞCI
Hız Problemleri
Hız problemleri hakkında artık az çok bilgi edindiniz sayılır. Birkaç örnek daha çözüp, sizi o çok
sevdiğiniz alıştırma soruları ile baş başa bırakacağım, sabırsızlanmayın!
1.
A kentinden B kentine 3V/4 sabit hızla giden araç,
B’den A’ya 4V/3 sabit hızla dönmüştür.
Bu aracın bu seyahatteki ortalama hızı kaç
V’dir?
Soru.
2.
3x
A
Gideceği yolun 1/4'ünü 30 km/s sabit hızla giden
bir araç, yolun kalan kısmını 40 km/s sabit hızla
gitmiştir.
Bu aracın bu seyahatteki ortalama hızı kaç
km/s’tir?
Bir otobüs belli bir yolun üçte birini 10 km/s sabit
hızla, kalanını ise 15 km/s sabit hızla gitmiştir.
Yolun tamamını 20 km/s sabit hızla döndüğüne
göre, bu otobüsün bu seyahatteki ortalama hızı
kaç km/s’dir?
4.
A kentinden B kentine 40 km/s sabit hızla gitmiş
olan bir kamyon, A’ya sabit bir hızla geri dönüyor.
Döndüğünde bu gidiş-dönüşteki ortalama hızının
48 km/s olduğunu hesaplıyor.
B’den A’ya dönerken kamyonun hızı kaç km/s
idi?
5.
121,37 metrelik bir yolun 3/5’ini 2V sabit hızla
giden bir araç, kalan yolu kaç V sabit hızla gitmeli ki ortalama hızı 3V olsun?
x km
V2 km/s
B
y km
B
Y
Soru. Bir araç, beli bir yolu V km/s hızla hep t saatte almaktadır. Eğer hızını %50 arttırır, bu yolu
da %40 azaltırsak, şimdi kaç t saatte alır?
Çözüm: Bence süredeki değişmeyi kolay gözlemlemek için ilk süre 100 saat olacak şekilde bir
ayarlama yapalım. Yol 200 km. olsun, hızı da 2
km/s. Hız %50 artarsa 3 km/s, yol %40 azalırsa
120 km. olur. 120 = 3⋅ty eşitlğinden ty = 40 olur. O
halde, 100 iken 40’a düşen, t iken (2/5)t’ye düşer.
Siz başka sayılarla yapsaydınız da aynı çıkardı.
Hatta hiç böyle sayı vererek değil de x = V⋅t üzerinde oynamalar yapsaydınız da!. Lütfen bir de
öyle çözünüz.
Soru.
A
K
x+10
A’da ve B’de duran iki araç eğer aynı anda birbirlerine doğru hareket ederlerse, K’da karşılaşıyorlar. Hızlarını değiştirmeden aynı anda aynı
yöne doğru hareket ederlerse, arkadaki öndekine
Y’de yetişiyor. |AB| = 3x, |BC| = 2x ve |BY| = x +
10 birim uzunluğunda ise x kaçtır?
Çözüm: Önce karşılaşma durumunu inceleyelim.
Aynı anda kalktılar, aynı anda K’ya vardılar. Yani
K’ya geliş süreleri eşit. Peki, biri niye diğerine göre daha çok yol aldı? Daha hızlı olduğundan. Peki,
ne kadar hızlı olduğunu nerden bulacağız? Gittikleri yol oranından. Demek ki, bu araçların hızları
oranı 2/3’müş. Hızlarını değiştirmeden aynı yöne
giderlerse, hızlı olan yavaşa Y’de yetişiyormuş.
Bu ne demek? B’den kalkan yani yavaş olan x +
10 birim yol alana dek, A’dan kalkan yani hızlı
olan 6x + 10 yol alıyormuş. Yine süre aynı olduğundan, hızlar oranı gittikleri yolların oranını verir. O halde;
x + 10 2
=
6 x + 10 3
orantısı çözülürse x = 10/9 olarak bulunur.
3.
V1 km/s
2x
Y
Yine geriden başlayanın hızı V1 km/s, önde başlayanın hızı V2 km/s, aradaki fark x km. ve bu şartlar altında, arkadaki öndekini B’den y km. ilerde
yakalıyor olsun. Eğer araçlar hızlarını 4 katına
çıkarırlarsa, arkadakinin öndekini yakaladığı yer,
B’den kaç y ilerde olur?
Çözüm: İnanmayacaksın ama değişmez!. Değişen
sadece yetişme süresi olur. Önceden t saat sonra
yakalıyorsa, şimdi hızı 4 katına çıktığından t/4 saat sonra yakalar. İki aracın arasındaki mesafe değişmediği ve hızları aynı oranda arttığı sürece bunu hep yapabiliriz. Siz yine de matematiksel kanıtını yapmaya çalışın. Dediğime geleceksiniz.
Soru. Bir adamın nefesi, durmadan yüzmeye en
çok 15 dakika yetmektedir. Kıyıdan denize doğru
açılmak isteyen adam kıyıya vuran dalgalara karşı dakikada 8 metre, dalgalarla birlikte dakikada
12 metre hızla yüzüyorsa, en çok kaç metre kıyıdan açılabilir?
11
Mustafa YAĞCI
Hız Problemleri
Çözüm: Kıyıdan açıldığı mesafe, giderken ve dönerken değişmeyeceğinden, gidiş ve dönüş sürelerinin oranını, gidiş ve dönüş hızlarının oranından bulabiliriz. Hız oranı 8/12 = 2/3 olduğundan
geçen süre oranı 3/2 olmalıdır. Yani, 3t dakika
açılmış, 2t dakikada kıyıya geri dönmüş bu şahsiyet. Soruda 3t + 2t = 15 dk. verilmiş, o halde t = 3
dk, dolayısıyla x = 8⋅3t veya x = 12⋅2t eşitliklerinden adamın en çok x = 72 metre açılabileceği bulunur.
A) 6
B) 12
C) 18
D) 24
E) 28
5.
Aralarında 480 km. uzaklık bulunan iki hareketlinin hızları V km/s ve 2V km/s’tir.
Bu hareketliler aynı anda ve aynı yönde hareket ettiklerinde arkadaki, öndekini 12 saat sonra yakalıyorsa V kaçtır?
A) 20
B) 40
C) 60
D) 80
E) 120
Farklı hızlardaki üç hareketli sabit bir yolda aynı
anda harekete başlıyorlar. En hızlı olan yarışı bitirdiğinde birine 80 km. diğerine 100 km. fark
atıyor. Geride kalanlardan öndeki yarışı bitirdiğinde ise en arkadakine 22 km. fark attığını görüyor.
Bu yol kaç km.dir?
Yanıt: 880
Bir atlet 120 mt.lik bir yokuşu V mt/dk hızla çıkıp,
2V mt/dk. hızla iniyor.
Çıkıp inmesi 30 dk. sürdüğüne göre V kaçtır?
1.
7.
6.
A) 6
Farklı hızlardaki üç hareketli sabit bir yolda aynı
anda harekete başlıyorlar. En hızlı olan yarışı bitirdiğinde birine 80 km. diğerine 90 km. fark atıyor. Geride kalanlardan öndeki yarışı bitirdiğinde
ise en arkadakine 15 km. fark attığını görüyor.
Bu yol kaç km.dir?
B) 12
B) 130
C) 132
D) 160
E) 60
C) 1040
D) 1010
E) 720
E) 240
8.
2.
B şehri A ve C şehirlerinin ortasındadır. B şehrinden bir hareketli 2V hızıyla ve C şehrinden diğer
bir hareketli 3V hızıyla A şehrine doğru; A şehrinden başka bir hareketli ise V hızıyla C şehrine
doğru aynı anda harekete başlıyorlar.
A’dan yola çıkan hareketli B’den yola çıkan ile
t saat sonra karşılaştıktan kaç saat sonra C’den
yola çıkan ile karşılaşır?
Bir araç 155 km.lik bir yolu her saatte hızını yarıya indirerek 5 saatte alıyor.
Araç yola çıktıktan 3 saat sonra kaç km.lik yol
almış olur?
A) 126
D) 30
A şehrinden B şehrine gitmek için aynı anda hareket eden iki otomobilden biri saatte 60 km., diğeri
saatte 85 km. yol alıyor.
Biri diğerinden 10 saat önce B şehrine vardığına göre A ile B arası kaç km. dir?
A) 2040 B) 1510
A) 122
C) 24
B) 130
C) 132
D) 135
E) 140
3.
|AB| = 240 km, |BC| = 180 km ve |AC| = 120 km
olan ABC üçgenin A ve B köşesinden iki araç saat
yönünün tersinde harekete başlıyorlar.
A’dan çıkan bir turu 10 saatte, B’den çıkan bir
turu 15 saatte tamamladığına göre, araçlar ilk
defa nerede karşılaşırlar?
A) [AB] arasında
C) [AC] arasında
A) 2t
B) t
C) 3t/2
D) t/3
E) t/2
9.
Bir yüzücü dalgalara karşı 1 dakikada 12 mt, dalgalar yönünde 1 dakikada 16 mt. ilerleyebilmektedir.
Yüzücü denizde ancak 42 dakika kalabildiğine
göre, başladığı yere geri dönmek kaydıyla kıyıdan en fazla kaç metre uzaklaşabilir?
B) [BC] arasında
D) A’da
E) B’de
4.
A) 144
Bir hareketli gideceği yolun 1/4’ünü 12 saatte gittikten sonra hızını 3 katına çıkarırsa, kalan yolu
kaç saatte tamamlar?
12
B) 288
C) 396
D) 422
E) 480