Matematik ve Sanat1,2

Matematik ve Sanat
109
1
Matematikçiler Derneði, Matematik Etkinlikleri, Çaðrýlý Kouþma,
Milli Kütüphane, Ankara, Haziran 2000.
Matematik ve Sanat1,2
Zarafetle yapýlmýþ bir kanýtlama, yazýldýðý biçim dýþýnda her
açýdan bir þiirdir.
Morris Kline
Felsefe derslerinde dört klasik sorunun yanýtý aranýr:
Hakikat (truth) nedir?
Gerçeklik nedir?
Adalet nedir?
Güzellik nedir?
Bu dört soru, genellikle,
110
T.Karaçay, Bilime Yabancý Sanat
Kavramsal,
Metafiziksel,
Etik,
Estetik
olarak nitelendirilir ve öyle incelenir.
Hakikat, gerçeklik ve adalet ile ilgili sorular, klasik
felsefede önemlidirler; dolayýsýyla birinci sýnýf konulardan sayýlýr.
Bu nedenle, düþünce tarihi boyunca filozoflarca incelenegelmiþtir.
Ama estetik, klasik felsefede ikinci sýnýf bir konu olarak kalmýþtýr.
Bunun nedenlerini sorgulayan düþünürler de olmuþtur. Genel kaný
þudur:
“Sanat analiz için deðil, zevk alýnmak için vardýr. Analiz
sonunda ortaya çýkacak estetik kuramý, açýklamayý amaçladýðý
sanatla ilgisini keser, kavramsal biçime dönüþür. Ayrýca, estetik
–her ne ise- yalnýzca meraklýlarýný ilgilendirir.”
“Güzellik ve sanat, titizlikle tanýmlansalar bile, göreceli
olarak ayrýntý sayýlacak yüzeysel kavramlardýr; ciddiyetle ele
alýnmaya deðmezler.”
Düþünce dünyasýndan, bu görüþü destekleyen ilginç sözler
seçebiliriz:
“Estetiði bilime dönüþtürme giriþimlerine karþýn o hala
spekülatif felsefenin bir koludur. Felsefenin bütün kollarý içinde
belki de en az etkili ve en az hareketli olaný odur.”
Thomas Munro, Toward Science in Aesthetics
“Estetik, bir konunun var olmadýðý yerde bir konu yaratma
çabasýdýr.”
Arthur Berger (D.W.Prall’ýn Aesthetic Analysis’ in önsözü)
“Estetiðin sevimsizliði” –Makale baþlýðýJ.A.Passmore
Matematik ve Sanat
111
“Estetiin sevimsizliði, birçoðumuzun gizliden paylaþtýðý bir
tavýrdýr.”
Arthur Berger
“Estetik, felsefenin ana akýntýlarýnýn kenarýnda kalan durgun
sulardýr.”
Nicholas Wolterstorff
Biz, burada, estetiðin ciddiye alýnmasý gerektiðini
söylemekle yetinmeyecek, onun matematikte ve fiziksel bilimlerde
çok ciddiye alýndýðýný örneklerle göstermeye çalýþacaðýz.
Estetik, kimin hangi sanattan zevk aldýðý ya da neden zevk
aldýðý gibi göreceli olarak basit sayýlacak bir konu olmayý çok
aþar. Bir sanat eleþtirmeninin bir sanat yapýtýný yorumlarken
dayandýðý gerekçelerin –ki çoðunlukla nesnel deðildir - de önem
taþýmadýðý savunulabilir. Her yýl konuyla ilgili 25 bin araþtýrma
makalesi yayýmlandýðý söylenir. Bu yazýlarýn neden okunduðunu
bir kenara býrakabilir miyiz?
Ýnsanlarý, güzellik için ve yalnýzca güzellik için zor iþler
yapmaya iten nedenleri araþtýrmalýyýz. Bunu yapabilmek için,
estetiðin ne olduðunu ortaya koymaya çabalamalýyýz.
Tabii, felsefenin yapmasý gereken bu zor iþi, burada
yapmaya kalkýþacak deðiliz. Bunun yerine, matematik ile sanatýn
benzerliklerini ya da farklýlýklarýný ele almaya çalýþacaðýz.
TDK Sözlüðünden bazý tanýmlarý alalým:
Sanat (ad) 1.Bir duygunun, tasarýnýn ya da güzelliðin
anlatýmýnda kullanýlan yöntemlerin tümü ya da bu anlatým
sonucunda ortaya çýkan üstün yaratýcýlýk: Selimiye Camii yüksek
bir sanat yapýtýdýr. 2. Belli bir uygarlýðýn anlayýþ ve beðeni
ölçülerine uygun olarak yaratýlmýþ anlatým: Türk sanatý. Yunan
sanatý.
112
T.Karaçay, Bilime Yabancý Sanat
Güzellik (ad) 1. Estetik bir beðeni, coþku, hoþlanma duygusu
uyandýran nitelik, hüsun. 2. Ahlaksal ve düþünsel nitelikleriyle
hayranlýk uyandýran þey.
Estetik (ad) Sanatsal yaratýnýn genel yasalarýyla, sanatta
ve yaþamda güzelliðin kuramsal bilimi, güzelduyu, bediiyat. 2.
Güzelliði ve güzelliðin insan belleðindeki ve duygularýndaki
etkilerini konu olarak ele alan felsefe kolu, güzelduyu.
Dikkatle bakýnca, bu ifadelerden biri ötekini gerektiriyor;
kýsýr döngüye girilmiþtir. Baþka sözlüklerin ve ansiklopedilerin
sanat için verdikleri tanýmlar da bundan farklý deðildir. Öte
yandan, matematiksel varlýklarýn estetik olup olmadýklarýný
söyleyebilmek için, estetiðin tanýmýna uyup uymadýklarýna
bakmak gerekir. Ama, öyle görünüyor ki, ne felsefe ne de sanat,
estetiði iyi tanýmlamýþtýr. Burada iyi tanýmlý olmak, matematiksel
bir deyimdir ve çok önem taþýr. Bir kümenin iyi tanýmlý olmasý
demek, o kümenin bütün öðelerinin eksiksiz belirlenmesi ama o
kümeye hiç bir yabancý öðenin karýþamamasý demektir. Bunu
çok özlü anlatan bir Osmanlýca deyim vardýr. Ýyi taným, “efradýný
cami, ayarýný mani” olan tanýmdýr.
Bazý kavramlarýn iyi tanýmlarýný yapmak zordur. Bu
durumlarda, bilim adamlarý, taným yerine betimleme yapmayý
yeðlerler. Örneðin, fizikçiler gravitasyonu tanýmlamaya
çalýþmazlar, onu betimlemenin, onun ne yaptýðýný açýklamanýn
daha doðru olduðuna inanýrlar.
Biz de burada ele alacaðýmýz “matematik” ve “sanat”
kavramlarý için bu kolay yolu izleyeceðiz.
Matematikçi Gözüyle Bir Sanat Yapýtýnýn Nitelikleri
Bir sanat yapýtý aþaðýdakilerden birini ya da bir kaçýný
yapabilir. Bu nitelikler nesnel olabileceði gibi, kavramsal da
olabilir.
Matematik ve Sanat
113
1. Doðadaki bir varlýðý taklit eder ya da onun bazý niteliklerini
ifade eder.
2. Doðaya yeni bir þey ekler.
3. Doðada olan bir þeyi deðiþtirir.
4. Doðada olan bazý þeyleri ayrýþtýrýr ya da birleþtirir.
5. Doðada olan bir þeyle etkileþime girer.
Örneðin, bir portre, bir fotoðraf bir heykel doðanýn birer
taklididirler. Bir tablo doðadaki cisimleri, ýþýklarý ve renkleri
birleþtirir. Bir melodi, doðadaki sesleri ayrýþtýrýr ve yeniden baþka
türlü birleþtirir. Bir þiir, bir roman doðada (insanda) var olan
dili ayrýþtýrýr, birleþtirir ve doðadaki varlýkla (insanla) etkileþime
girer.
Peki bunlarý yapan her þey bir sanat mýdýr? Teknolojinin
son harikasý diye piyasaya sürülen bir otomobil, doðada bir þeyler
ayrýþtýrýlarak, birleþtirilerek yapýlmýþtýr. Üstelik insanla ve hatta
toplumla etkileþim içindedir. Ama, çoðu insan, hele hele sanatla
ilgisi olanlar, bir otomobili asla bir sanat yapýtý olarak görmezler.
Bunun yerine, bir parka konulmuþ bir kaðný tekeri bir sanat yapýtý
sayýlabilir. O halde, sanat yapýtýna yeni nitelikler eklemeliyiz:
6. Sanat yapýtý biriciktir; bir eþi daha yoktur.
Mýsýrdaki büyük piramit, çoðu kiþiye göre bir sanat
harikasýdýr. Ama Manhattan’daki gökdelenlerin hiç birisi sanat
yapýtý bile sayýlmaz. Büyük piramit de Empire State Building de
biriciktirler. Büyük piramit zor yapýlmýþtýr. O günün koþullarýnýn
yeniden oluþturulup Büyük Piramit’in bir benzerini yapmak
olanaksýzdýr. Ama, Empire State Building’ in aynýsý her zaman
ve kolayca yapýlabilir. Öyleyse, sanat yapýtýna þu niteliði de
114
T.Karaçay, Bilime Yabancý Sanat
ekleyebiliriz:
7. Sanat yapýtýnýn bir eþi yaratýlamaz.
Erciyes daðý biriciktir; doða onun aynýsýný bir daha
yaratamaz. Ama onun bir sanat yapýtý olduðunu söylemiyoruz.
O halde, listemiz biraz daha uzayacaktýr:
8. Sanat yapýtýný yaratan insandýr.
Bir baþka örneðe geçelim. Salvador Dali’nin
“S.Antonio’nun Baþtan Çýkmasý” adlý tablosunu herkes
yaratamaz. Bunu yaratmak için, yapýmcýsýnýn özel yetilerinin
olmasý gerekiyor. Acaba, Michelangelo “Davud” heykelini bir
daha yapabilir miydi? Mozart’ýn “Saraydan Kýz Kaçýrma”
operasýný bir baþkasý da besteleyebilir miydi? Yanýtýmýz hayýr
olduðuna göre, listemize bir nitelik daha ekleyelim:
9. Sanat eserini, özel yetisi olan yapýmcýsýndan baþkasý
yaratamaz. Yapýmcýsý da onu bir daha yaratamaz.
Eðitimli herhangi bir kiþi Dolmabahçe Sarayý’ný bir sanat
yapýtý sayarken, ayný þansý Ankara’daki Milli Kütüphane binasýna
vermez. Çünkü birincisi çevresiyle uyumlu bir güzellik
duyumsatýr, ama ikincisi bu duyguyu vermez. Demek ki, listemiz
daha bitmedi:
10.Sanat yapýtý estetiktir.
Listemize sonuncu olan ama belki de hepsinden önemli
olan bir nitelik daha ekleyeceðiz. Hemen hemen hiçbir sanatçýnýn
ilk yapýtlarý sanat dünyasýna hemen kabul edilmemiþtir. Ancak,
sanatçý sanat dünyasýna kabul edildikten sonra, o kabul görmeyen
ilk yapýtlarý da sonrakiler kadar sanat deðeri taþýmaya baþlar.
Demek ki, bir yapýtýn sanat yapýtý olup olmadýðýna karar
Matematik ve Sanat
115
verilirken, o yapýtýn yukarýdaki on niteliðin çoðuna sahip olmasý
yetmez. Yapýtýn özünde olmayan bir nitelik daha gerekiyor.***
11.Sanat yapýtý ya da yaratýcýsý sanat dünyasýna tanýtýlmýþ
olmalýdýr.
Bir sanat yapýtýný betimlerken, yukarýda sýralananlara
yenileri eklenebilir ya da bazýlarýnýn birbirlerinden baðýmsýz
olmadýðý söylenerek liste azaltýlabilir. Peþinde olduðumuz amaca
ulaþmak için, bunlar çok önem taþýmýyor.
Gerçek olamayacak kadar harika hiç bir þey yoktur.
Michael Faraday
Matematiðin Nitelikleri
Sanat ile matematik arasýndaki iliþkiyi ortaya koyabilmek
için, sanat için açýkladýðýmýz niteliklerden hangilerinin
“matematik” için de geçerli olduðunu araþtýrmalýyýz.
Matematiðin sözlüklerde ve ansiklopedilerde deðiþik
tanýmlarýný bir araya getirirsek, onun iþlevlerini ortaya
çýkarabiliriz.
1. Matematik insanlýðýn biricik ortak dilidir,
2. Matematik bilimdir,
3. Matematik bilimin vazgeçilmez aracýdýr,
4. Matematik sanattýr.
Doðanýn Dili
116
T.Karaçay, Bilime Yabancý Sanat
Matematiðin, insanlýðýn ortak dili olduðu yadsýnamaz. Her
insan saymayý, mukayese yapmayý bilir. Biraz eðitimli olanlar
aritmetik iþlemleri yapabilir. Parayla alýþ-veriþ yapar, para üstünü
alabilir. Tren tarifesi gibi tablolarý okuyup anlayabilir. Bütün bu
iþlerin, her ülkede, her dilde yapýlýþý aynýdýr. Bu anlamda, günlük
yaþamda kullanýlan matematik, insanlýðýn ortak dilidir.
Gelmiþ geçmiþ bütün uygarlýklar matematiðe neredeyse
birincil önem vermiþtir. Hemen her ülkenin eðitim sisteminde
matematik öðretimi anadil öðretimi kadar önem taþýr. Bunun
nedeni, yalnýzca, matematiðin “günlük iþlere yarayan bir araç”
olmasý deðildir. Günlük yaþamýn gerektirdiði matematiði, sade
bir yurttaþa öðretmek için, bu kadar uzun ve zahmetli bir uðraþa
gerekseme olmadýðýný rahatlýkla savunabiliriz. Kuþkusuz,
matematik, günlük yaþamý kolaylaþtýrmanýn çok ötesine geçer;
insanlar onun farkýna varsa da varmasa da o kendi baþýna vardýr.
Bilim denilen þeyi, bütün görkemiyle özünde bulundurur.
Matematiði bilimin bir aracý olarak düþünüp;
“Doða’nýn kitabý matematik diliyle yazýlmýþtýr”
diyen fizikçilere de hak vermeliyiz. Bunu hekettiren pek çok örnek
vardýr:
Pergeli Apollonius Ý.Ö.200 yýllarýnda “Konikler” adlý sekiz
kitaptan oluþan ünlü yapýtýnda çember, elips, parabol ve
hiperbolleri incelemiþtir. Yaklaþýk 19 yüzyýl boyunca, bu deðerli
bilgiler fiziksel dünyadan uzak olarak kullanýlmadan bir köþede
durdu. 1600 yýllarýnda Johannes Kepler gezegenlerin
hareketlerini Apollonius’un konikleriyle açýklayýverdi. Solomon
Bochner der ki “Kepler, Apollonius’un doðrudan varisiydi, ama
Kepler olmasaydý Newton da olamazdý!”. Peki, Newton’un
yasalarýný fiziksel bilimlerden (dolayýsýyla teknolojiden) silince
geriye ne kalýr? Demek ki, bu günkü uygarlýðýmýz, Antalya
ilindeki o görkemli Perge kentinde yaþayan Apollonius’ a çok
Matematik ve Sanat
117
þey borçludur.
Öklid geometrisi 2000 yýl boyunca, evreni açýklamak için
kullanabileceðimiz en mükemmel araç olarak görülmüþtür. 19.yy
da Riemann, Gauss, Bolyai ve Lobachevski gibi pür
matematikçiler, Öklidyen olmayan yeni geometriler yarattýlar.
Hiç kimse, bunlarýn bir iþe yarayacaðýný düþünmüyordu. Ama,
Einstein’in “Görecelik Kuramý” Öklit Geometrisi içinde
açýklanamadý. Hiç bir iþe yaramaz sanýlan bu yeni geometriler
kullanýldý.
Geçen yüzyýlýn en önemli fizik problemlerinden birisi
Kuantum Mekaniði’dir. Iþýðýn nasýl yayýldýðýný açýklamak,
kuantum mekaniðinin önemli baþarýlarýndan birisidir. Ama bu
açýklama tümüyle matematiðin eseridir. Iþýðýn nasýl yayýldýðýný
insanoðlu çok uzun zamandan beri merak ediyordu. Geçen
yüzyýlýn ilk yarýsýnda, Dirac, ýþýðýn parçacýklar halinde
yayýldýðýný, Heisenberg ise dalga hareketiyle yayýldýðýný savundu.
Her ikisi saðlam düþüncelere dayanýyor ve her ikisi de deneysel
sonuçlarla doðrulanýyordu. Sonunda, matematikçiler, Hilbert
Uzaylarý denilen yeni matematiksel varlýklarý yarattýlar. Dirac’ýn
parçacýk kuramýnýn l 2 ile gösterilen bir dizi uzayýnda
açýklandýðýný, Heisenberg’in dalga kuramýnýn ise L2 ile gösterilen
bir fonksiyon uzayýnda açýklandýðýný; ama bu iki uzayýn
matematiksel olarak eþyapýlý olduklarýný gösterdiler. L2 de alýnan
bir fonksiyonun Fourier katsayýlarý, l2 uzayýna aitti. Dolayýsýyla,
parçacýk ve dalga kuramlarý, birbirine denk ama farklý iki
matematiksel modelle temsil ediliyordu. Dolayýsyla, iki kuram,
özlerinde bir birlerine denk idiler, ama farklý dillerde (modellerde)
açýklanýyordu.
Matematiksel Varlýklar Keþfediliyor mu? Yaratýlýyor mu?
Matematiksel varlýklarýn, fiziksel varlýklar gibi, insan
düþüncesinden baðýmsýz olarak var olduklarý düþüncesi Platon’a
kadar gider. O görüþe göre, matematiksel varlýklar keþfedilirler.
118
T.Karaçay, Bilime Yabancý Sanat
Örneðin, sayýlar doðada zaten vardý ve keþfedilmeyi bekliyorlardý.
Birileri onlarý keþfedince, bilgi dünyamýza katýlmýþ oldular.
Bunun karþýtý olan görüþ ise, matematiksel varlýklarýn
düþünceyle yaratýldýðýný savunur. Matematiksel varlýklar, insan
düþüncesinden baðýmsýz varlýklar deðildir. Örneðin, 5 sayýsý
doðada var olan fiziksel bir nesne deðildir. 5 elmayý, 5 armutu, 5
sandalyeyi algýlamamýzý saðlayan soyut bir kavramdýr. Sayýlardan
kümeler oluþtururuz, kümeler üzerinde iþlemler ve giderek yapýlar
(uzaylar) kurarýz. Uzaylar arasýnda fonksiyonlar tanýmlarýz.
Birinden ötekine dönüþümler yaparýz. Bunlarýn fiziksel uzayda
karþýlýklarý yoktur; ya da , en azýndan, matematikçi bunlarý
yaparken fiziksel karþýlýðýnýn olup olmadýðý sorusuyla
ilgilenmez..
Ne biçim adamlardýr o þairler ki, Jüpiterden insan gibi bir
varlýkmýþçasýna söz edebilirler de, topaç gibi dönen dev bir metan
ve amonyak küresi olduðunu hiç söylemezler.
Richard Feynman, Nobel Fizik Ödüllü
Bu ve benzeri örnekleri göstererek, matematiksel varlýklarýn
zaten doðada var olduklarýný ve zamaný gelince keþfedildiklerini
söyleyenlere hak vermek mümkündür? Daha ileri giderek þunu
sorabiliriz: Baþka bir gezegende, dünyamýza benzer yaþam
koþullarý ve bize benzeyen canlýlar varsa, acaba onlarýn
matematiði de bizimki gibi midir? Bu tür sorulara yanýt aramak,
belki safsatayla uðraþmaktýr. “Safsata” deyimi çok yerinde
sayýlmýyorsa, o soruya bu gün felsefenin ya da bilimin yanýt
veremediðini söyleyebiliriz. Her iki görüþü destekleyen ya da
yadsýyan örnekler bulmak zor deðildir.
Matematiksel bir varlýðýn (matematiksel bir kavram, taným,
önerme), yukarýda sanat için sayýlan on bir özelikten bazýlarýný
saðladýðý apaçýktýr. Örneðin, üçgen’i doðada zaten var olan bir
varlýk olarak düþünenler olabileceði gibi, onu doðaya eklenen
yeni bir varlýk olarak da düþünenler olabilir. Hangisini kabul
Matematik ve Sanat
119
ederseniz edin, “Üçgenin iç açýlarý toplamý 180 derecedir” diyen
önermenin doðaya katýlan bir varlýk (kavram) olduðunu kabul
edeceksiniz.
1,2,3,4,5,... diye saydýðýmýz Doðal Sayýlar’ý ortaya koyan
bir kiþiden sözetmek (ki bunu ilk kez tanýmlayan Ýtalyan
matematikçisi Guiseppe Peano (1858-1932)’dur) olanaðý varsa,
o kiþi olmasaydý, bir baþkasýnýn doðal sayýlarý ortaya koyacaðý
tartýþmasýz kabul edilir. Kimilerine göre, Doðal Sayýlar, zaten
doðada var olan varlýklardý; insan onu sadece keþfetmiþtir, týpký
Amerika’nýn keþfedilmesi ya da röntgen ýþýnýnýn keþfedilmesi
gibi... Öyleyse, Peano olmasaydý, bir baþkasý onu zaten
keþfedecekti. Doðal Sayýlarýn yaratýldýðýný savunanlar da þunu
söylerler: O günkü bilgi (bilim) sýnýrý Doðal Sayýlar’ýn ortaya
çýkmasýný gerektiren bir yere ulaþmýþtý. Ýnsanlar böyle bir alete
þiddetle gerekseme duyuyurdu. Dolayýsýyla, Doðal Sayýlar’ýn
yaratýlmasý kaçýnýlmaz hale gelmiþti. Peano olmasaydý, Doðal
Sayýlar’ý zaten bir baþkasý yaratacaktý.**
Öte yandan, “Selimiye Camii’ni Mimar Sinan olmasaydý
bir baþkasý yaratabilir miydi?” sorusuna yukarýdaki gibi yanýt
veremeyiz. Büyük olasýlýkla, bir baþkasýnýn yaratacaðý cami,
Mimar Sinan’ýn yaptýðýna benzemeyecekti. Sayýlar’ý ister
yaratýlmýþ sayýn, ister keþfedilmiþ sayýn, sayýlarla yapýlan iþlemler
matematiðin doðaya kattýðý yeni varlýklar (kavramlar) dýr.
Matematiðin yarattýðý ya da keþfettiði her þey biriciktir.
Örneðin, dik üçgenlerin kenarlarý arasýndaki baðýntýyý veren ünlü
Pisagor Teoremi biriciktir. “Doðal Sayý” kavramý (varlýðý)
biriciktir. “Bir üçgenin iç açýlarý toplamý 180 derecedir”
önermesinin bir eþi daha yaratýlamaz. Çünkü bu özeliði ifade
eden her þey bu önermeyle özdeþ olur. “Doðal Sayý” kavramý
(varlýðý) bir daha yaratýlamaz; çünkü doðal sayýlarýn niteliklerini
taþýyan her varlýk da onunla özdeþ olur. Bu iþ, bir sanat yapýtýnýn
kopyalarý gibi yorumlanabilir mi? Peano’nun ne yaptýðýný bilen
birisi Doðal Sayýlar’ý yeniden keþfediyorsa, yaptýðý iþ bir kopyadýr.
120
T.Karaçay, Bilime Yabancý Sanat
Peano’yu bilmeden Doðal Sayýlarý yeniden yaratacak kiþi,
Amerigo Vespucci’yi (isterseniz Christoforo Columbus deyin)
bilmeden Amerikayý yeniden keþfedecek acemi bir gemiciye
benzer.
Bu ve benzeri örnekler gösterilerek, “Matematik doðanýn
esas dilidir.” tezi inançla savunulabilir:
“Matematiðin bilim için çok deðerli olmasýnýn nedeni, bilimsel
yasa ve teorilerin en güzel, belki de yegane tam ifadelerinin
matematiksel formüller biçiminde olmasýdýr. Bir bilimsel teorinin
matematiksel teori ile ifade edilmesindeki kesinlik ölçüsü, o bilimin
durumunun bir ölçüsüdür.”
L.T.Moore
Þimdi, konuya baþka bir açýdan bakalým. Bütün insanlara
doðanýn yasalarýný öðretmeyi amaçlamadýðýmýza göre, matematik
öðretiminin bu denli yaygýn oluþuna baþka gerekçeler aramalýyýz.
Bertrand Russell, insanýn neden matematik öðrenmesi
gerektiðini ciddi olarak incelemiþ ve
“... arzu edilen þeyin sadece yaþamak olgusu olmayýp, yüce
þeyler üzerinde düþünerek yaþamak sanatý olduðunun
hatýrlanmasýnda yarar vardýr.”
demiþtir. Eðitim ve kültür sistemlerimiz, insanlarýn resimden,
müzikten, þiirden, heykelden; kýsaca sanattan zevk almasýný
istiyor. Bu istek, Russell’in söylediði yüce þeyler kapsamýna girer.
Matematiði de bu kapsamda saymak gerektiði apaçýktýr.
Matematiðin, bütün insanlarýn biricik ortak dili olduðu, günlük
yaþam için yararlý olduðu, doða olaylarýný açýklayan bir dil olduðu
ve kendi kendisine yeten bir bilim olduðu yadsýnamaz. Ama bütün
bunlarýn ötesinde, Russell’in yüce þeyler’i arasýndadýr:
Matematik ve Sanat
121
“Matematik bir sanattýr.”
Çünkü, bir sanat dalýnda arayacaðýnýz her yüce þey matematikte
vardýr.
Estetiðin Ölçütü Var mý?
Sanatýn ve estetiðin iyi tanýmlanmadýðýný ve felsefede
ciddiye alýnmadýðýný söylemiþtik. Tanýmlarýn yokluðu bir yana,
analitik felsefe açýsýndan,
“Matematik içeren, gerçeðe uygun bir estetik teori var
olamaz.”
diyenler hemen hemen herkestir.. Hatta, daha ileri giderek,
“Kabul edilebilir bir estetik teori yoktur.”
diyen filozoflar da büyük çoðunluktadýr.
“Hakikat nesnellikle ilgilidir; iyilik kavramý ise hemen hemen
nesneldir. Bu kavramlara bakanýn ‘beðeni’sine baðýmlý olan
‘güzellik’ kavramý nesnel deðildir.”
Mortimer Adler : Six Great Ideas
Estetiðin bir ölçütü bir ölçütü henüz yoktur, ama buna bir
formül vermeye kalkýþan matematikçiler vardýr:
George Stiny-James Gips : Algorithmic Aesthetics
George David Birkhoff : Mathematics of Aesthetics
Birkhoff ilginç bir formül sunmaktadýr. Estetiði belirleyen
birbirinden baðýmsýz üç deðiþken olduðunu varsayarak, bu
deðiþkenler arsýndaki baðýntýyý þu formülle vermektedir:
122
T.Karaçay, Bilime Yabancý Sanat
Estetik = Uyum / Karmaþa
(1)
Buna göre, estetik ölçütü uyum ile doðru orantýlý iken,
karmaþa ile ters orantýlýdýr. Bu formülün, bir sanat yapýtýnýn
estetiklik ölçüsünü tam olarak belirleyemeyeceði elbette ve
kuvvetle savunulabilir. Ama içerdiði düþünce önemlidir. “Estetik
deðer ölçülemez” diyen felsefi görüþe kafa tutmaktadýr.
Matematik Estetiktir
Öte yandan biz, estetiði matematiksel olarak
formülleþtirmek yerine, matematiðin kendisini bir sanat yapýtý
olarak incelemek istiyoruz. Öyleyse, þu soruya yanýt aramalýyýz:
Matematiksel güzellik nedir?
Estetikle uðraþanlarýn bu soruya hiç yanýt vermedikleri
açýktýr. Bunun ilk akla gelmesi gereken nedeni, matematikte sözü
edilecek bir güzellik olmadýðý görüþü olabilir. Ýkinci bir nedeni
de, estetikle uðraþanlarýn matematiði hiç bilmiyor oluþudur. Doðal
olarak, matematikten zevk alanlar ikinci nedeni seçeceklerdir.
Aþaðýdaki teoremler matematikte ve fizikte zarafetin ne
olduðunu gösteren bazý örneklerdir. Kiþinin matematik bilgi
düzeyi ne olursa olsun, biraz dikkatle düþününce hem teoremleri
anlayacak hem de onlarda olan zarafeti görecektir.
G.H.Hardy A Mathematician’s Apology adlý kitabýnda,
aþaðýdaki teoremlere zarafeti kazandýran özelikleri þöyle sýralýyor:
Ciddiyet, derinlik, genellik, beklenmedik olma,
kaçýnýlmazlýk ve ekonomi.
Teorem
:
√2 irrasyoneldir.
Matematik ve Sanat
123
Kanýt
:
Olmayana ergi yöntemini kullanalým.
√2 rasyonel olsaydý √2 = p/q olacak biçimde ortak çarpanlarý
olmayan p ile q tamsayýlarý var olurdu. Buradan bir çeliþkiye
varýrýz:
√2 q = p
⇒
2q2 = p2
⇒
p2 çifttir.
⇒
p
⇒
2q2 = (2c)2
⇒
q2 = 2c2
⇒
q2 çifttir.
⇒
q çifttir.
⇒
p ile q tamsayýlarý 2 ile bölünür
⇒
Çeliþki
çifttir.
Teorem (Öklit, Ý.Ö.300) : Sonsuz sayýda asal sayý vardýr.
Kanýt : Sonlu sayýda asal sayý olduðunu varsayalým ve
bunlara
p1 , p2 , p3 , ... , pn (1)
ile gösterelim.
124
T.Karaçay, Bilime Yabancý Sanat
x = p1 p2 p3 ... pn + 1
sayýsýný düþünelim. Kabulümüze göre bu x sayýsý asal olamaz ve
var saydýðýmýz bütün asal sayýlardan daha büyüktür. x tamsayý
olduðundan bir asal sayý tarafýndan bölünür: x = p.b olacak
biçimde bir p asal sayýsý vardýr. Ancak x sayýsý (1) asal
sayýlarýndan hiç birisiyle bölünemez. O halde, p asal sayýsý (1)
dekilerden baþka bir asal sayýdýr. Bu bir çeliþkidir; dolayýsýyla
kabulümüz yanlýþtýr.
Dayanýlmaz Cazibe
Ayný anda, ayný manzaranýn resmini yapan iki ressamdan
birinin tablosu bir sanat harikasý sayýlýrken, ötekisi acemi iþi bile
sayýlmayabilir. Bir tabloyu sanat yapýtý yapan þey doðadaki
nesneleri, ýþýklarý, gölgeleri ve renkleri uyumlu bir düzen içinde
sunuþudur. Genellikle, sanat yapýtý sayýlan bir tabloda, estetik
sahibi birisini rahatsýz edecek renk, ýþýk ve gölge eksikliði ya da
fazlalýðý olmaz. Bu olgu estetiðin minimal tamlýk ve maksimum
yarar ilkesidir.
Acaba matematikte bu olabilir mi? Evet, hem de ölçülebilir
biçimde minimal tamlýk ve maksimum yarar ilkesi uygulanabilir.
Aþaðýdaki teorem, karmaþýk sayýlarýn anlatýldýðý derslerin
baþlangýcýnda öðrencilere öðretilen basit bir eþitliktir.
Teorem (Euler, 1748) : eiq = cosq + i sinq .
Burada q = π alýnýrsa, bu eþitlik
eiπ = -1
(1)
eþitliðine döner. Jerry P.King’in deyiþiyle “Bu eþitliði gören her
matematikçi, denklemin iki yanýna +1 eklemek için dayanýlmaz
Matematik ve Sanat
125
bir istek duyar” ve þu denklemi elde eder:
eiπ +1 = 0
(2)
Bu iki denklem birbirine tamamen denktir. Ama, ikinci denklemin
matematik bilen herkes için dayanýlmaz bir cazibesi vardýr. Çünkü
o, matematiðin altý önemli nesnesini içerir: 0, 1, e, i , p, = .
Minimal tamlýk ilkesine uyar, çünkü içinde gereksiz hiçbir þey
yoktur. Maksimal yarar ilkesine uyar, çünkü bu basit baðýntý bir
çok yerde kullanýlabilir.
Matematiði bir dil olarak görürsek, hiç bir þair, bir dilin
altý sözcüðünü bu kadar yalýn, bu kadar anlamlý, bu kadar genel,
bu kadar yararlý biçimde bir araya getirememiþtir.
Ýþte matematiksel zarafet budur.
Newton’un Ýkinci Yasasý:
oraný yerçekimi ivmesine eþittir:
dv/dt = g
Hýzýn zamana göre deðiþme
(1)
Þimdi bunu biraz irdeleyelim.
a. Denklemde cismin kütlesi yer almýyor. Bu demektir ki,
cismin aðýrlýðý, hafifliði, hangi malzemeden yapýldýðý,
büyüklüðü, biçimi gibi özelikleri ivmeye etki etmiyor.
b. Denklem oldukça yalýndýr. Gereksiz hiçbir terim
içermiyor; baðýntý karmaþýk deðil. Demek ki minimal tamlýk
ilkesine uyuyor.
c. Denklem çok deðerli bilgiler sunmaktadýr. Bir çok
duruma uygulanabilir. Örneðin, atýlan bir topun ya da füzenin
hareketini bununla inceleyebiliriz. Topun ya da füzenin ne kadar
126
T.Karaçay, Bilime Yabancý Sanat
uzaða gidebileceðini buluruz. Hatta, herhangi bir anda topun ya
da füzenin havada nerede olduðunu hesaplayabiliriz. Demek ki,
bu yalýn baðýntý bize maksimum yarar saðlamaktadýr.
Hangi melodide böylesine ciddiyet, derinlik, genellik,
beklenmedik olma, kaçýnýlmazlýk ve ekonomi vardýr?
Bu bir doða olayýný zarafetle sunan matematiktir.
Kavramlar Zamanla Deðiþebilir
Dört Renk Problemi : Sýnýrlarý ortak olan iki ülke ayný
renkte olmamak koþuluyla, bir düzlem üzerine çizilen bir harita,
en çok dört renk ile boyanabilir mi?
Bu problemi bir lisansüstü öðrenci olan Francis Guthrie
1852 de erkek kardeþine sordu. O çözemedi, Augustus de
Morgan’a sordu. O da çözemedi, William Hamilton’a sordu.
Böylece matematiðin bu belalý problemi 124 yýl boyunca en
yetenekli matematikçileri uðraþtýrdý. 1976 yýlýnda Kenneth Appel
ve Wolfgang Haken bilgisayarla bir çözüm verdiler:
Belli bir türden olan bütün haritalar dört renkle
boyanabilirlerse, herhangi bir harita dört renk ile boyanabilir.
IBM 360 bilgisayarýnda 1000 saat süren bu ispat sonradan
tartýþmalara yol açtý. Bilgisayarýn yaptýðý bu hesaplarý, bir insanýn
ömrüne sýðdýrmak olanaksýzdýr. Öyleyse, bu ispat, doðruluðu
kontrol edilebilecek bir ispat deðildir. Bu nedenle, bazýlarýna göre,
Appel-Haken’in yaptýðý ispat, matematiðin kabul edebileceði bir
ispat deðildir. Bazýlarýna göre de bu ispatý kabul etmemek
þövenliktir.
Burda aklýmýza geliveren bir soru vardýr: Bilgisayarla bir
müzik parçasýný “icra” etmek mümkündür. Motzart’ýn
5.Senfonisini bilgisayarla icra etmek bir sanat olayý mýdýr?
Matematik ve Sanat
127
Daha da ileri giderek, bilgisayarla beste yapýlabildiði
bilinmektedir. Bilgisayarýn yaptýðý bir beste, bir sanat yapýtý sayýlýr
mý?
Bu soruya bu gün verilecek yanýt, büyük olasýlýkla, “hayýr”
olacaktýr. Ya yarýn?
Aristokrasi
Batý üniversitelerinde, farklý alanlarda çalýþan
akademisyenlerin karakteristik özeliklerini ortaya çýkarmak için
araþtýrmalar yapýlmaktadýr. Giyim, kuþam ve davranýþlarýn
zamanla deðiþtiði gözlenir. Bazý dönemler takým elbise ve kravat
modadýr. Bazý dönemler, kot pantolon ve piknik kýyafetleri gibi
rahat giysiler öne çýkar. Bazý dönemler, sýra dýþýlýk görüntüsü
verdiði sanýlan pahalý, eksantrik ve markalý giysiler öncelik alýr.
Ama, bütün bu genel davranýþýn içinde, matematikçileri diðer
akademisyenlerden ayýrt eden davranýþlar daima vardýr. Morris
Kleine “Profesör Neden Öðretemiyor? ” adlý kitabýnda
matematikçileri þöyle betimliyor:
“Matematikçiler her zaman kabileci ruhlu, seçkinlik yanlýsý,
kendini beðenmiþ, son derece bireyci bir toplumdur.”
Ýçimizde, acaba “Kleine ressamlarý mý betimliyor? “ diye
bir kuþku doðmak üzereyken, Alfred Adler buna izin vermiyor
ve diyor ki;
“Akademik dünyada matematikçiler çoðu kez
haketmedikleri ödüllerin tadýný çýkarýrlar. Dört yanlarý felsefe
ve sosyal bilimler bölümlerinden hayranlarla çevrilmiþtir.”
“Matematikçiler bürokrasiyle ilgili þeylerin her düzeyinde
diðer bilimlerden daha az etkin hale gelmiþlerdir; kendi bilimsel
önemlerinin ve iþlevsel yararlarýnýn hak ettiðinden çok daha az
etkindirler.”
128
T.Karaçay, Bilime Yabancý Sanat
Matematik Öðretemiyor muyuz?
Himayemizi bilim ve edebiyatýn geliþtirilmesinden daha fazla hak
eden hiç bir þey yoktur... Bilgi her ülke için halkýn mululuðunu
getiren en kesin araçtýr.
George Washington, ABD Baþkaný, Meclise hitap (8 Ocak 1790).
Entellektüel meraka neden prim verelim?
Ronald Reagan, ABD BAþkaný, Kampanya konuþmasý, 1980.
Bireyler, hangi meslekten ve hangi sosyal sýnýftan olursa
olsun, anlasalar da anlamasalar da sanat’tan korkmazlar. Hatta,
sanattan anladýklarý izlenimini vermeye çalýþýrlar. Þiir ve roman
okumasalar bile, zorunlu kalýnca tiyatroya, konsere ya da bir resim
sergisine bile giderler. En azýndan, biraz eðitimli kiþiler, böyle
davranýrlar. Baþka bir deyiþle, insanlar, liberal sanatlardan anlýyor
ve zevk alýyor görünmek zorunluðunu duyuyorlar.
Bütün batýlý toplumlarda entellektüel yaþamýn iki kutba, giderek
daha çok ayrýldýðýna inanýyorum... Bir kutupta yazýnsal
entellektüeller, ötekinde de bilimciler ve onlarý en iyi temsil eden
fizikçiler. Bu iki grup arasýnda, birbirlerini anlayamamaktan
kaynaklanan derin bir uçurum - bazen de (özellikle gençler
arasýnda) beðenmezlik ve karþýtlýk; her þeyden çok da anlayýþ
eksikliði.
C.P.Snow
Öte yandan, çoðu insan, hiç çekinmeden, “matematikten
hiç anlamadýðýný” övünce dönüþmüþ gizli bir öfkeyle söyler. Bu,
özellikle, eðitim görmüþ kiþilerde böyledir. Matematiði hiç
bilmediðini gururla söyleyen siyasetçi, sanatçý, sosyolog, psikolog,
tarihçi yanýnda pek çok ekonomist de görebilirsiniz.
Bu olgu, dünyadaki eðitim ve kültür sistemlerinde liberal
eðitimin baþarýsýnýn apaçýk göstergesi ve matematik eðitiminin
ise apaçýk baþarýsýzlýðýnýn delili midir?
Matematik ve Sanat
129
Büyük bir olasýlýkla, hemen her toplumda bu kaný yaygýndýr.
Oysa, bir karþýlaþtýrma olanaðý olsa, çoðu kiþinin bildiði
matematiðin, bildiði sanat’tan daha çok olduðu görülürdü.
Hemen herkes matematiðin temel kavramlarýný bilir: Saymayý
bilir. Mukayeseyi bilir. Toplamayý, çýkarmayý bilir. Biraz eðitimli
olanlar, çarpma ve bölmeyi bilir. Üçgen, dörtgen, çember, küp,
küre gibi baþlýca geometrik þekilleri bilir. Simgelerini görünce
fonksiyonu, türevi, integrali anýmsar. Ama, sanata özel ilgisi
olmayan kiþiler, inanýnýz, sanatýn temel kavramlarýný bilmezler.
Bu olgu, dünyanýn her yerinde böyledir.
Gene de, matematikçiler, matematik öðretiminde,
yüzyýllardýr bütün dünyada süregiden ciddi bir baþarýsýzlýk
olduðunu kabul ederler. Ýnsanlar, biricik ortak dillerini, ortak
kültürlerini; yani matematiði öðrenemiyorlar; ondan soðuyorlar,
ondan korkuyorlar, ondan nefret ediyorlar.
“Bu neden böyle olmuþtur?” sorusuna Timothy O’Mera
þu yanýtý veriyor:
“Matematikçiler kendi kendilerine yeterlidir; her
yaptýklarýnýn yerinde olduðunu önceden varsayarlar; bireylere
büyük hoþgörüleri vardýr; sosyal görünümü ve uyumu pek önemli
saymazlar; genç yaþta üstün bilgi düzeyine ulaþýrlar, ondan sonra
bir tür can sýkýntýsý baþlar; bu da onlarýn öðretmelerini engeller.”
Jerry P.King, bilgece çözüm öneriyor:
“Matematik öðretimine yavaþ yavaþ estetiði katma zamaný
gelmiþtir.”
dedikten sonra ekliyor:
“Soylu olsun olmasýn, ayný anda hem ayrýcalýklý hem de
sorumsuz olan hiçbir sýnýf uzun süre varlýðýný koruyamaz.
Matematikçiler kendilerini duvarlarýn içine kapatmýþlar,
130
T.Karaçay, Bilime Yabancý Sanat
matematiði altý kuþak boyu üniversite öðrencilerinden uzak
tutmuþlardýr. Bu böyle sürüp gidemez.”
“Shakespeare’i Oynamak” adlý kitabýnda John Borton,
aktörlere deðil, sanki matematikçilere sesleniyor. Tiyatro yerine
sýnýf, aktör yerine öðretmeni, sözcükler yerine matematiksel
varlýklarý koyunuz. Etkili matematik öðretiminin nasýl olacaðý
ortaya çýkar:
“Sözcükler, sizin aðzýnýzdan çýkarken yeni bulunmuþ, ya
da yeni þekillendirilmiþ, yeni dökülmüþ olmalýdýr; daha önce
yayýnlanmýþ bir metinde önceden varolduklarý akla gelmemelidir.
Tiyatrodaki aktör onlarý söylediði anda yaþama geçmiþ gibi
görünmelidirler.”
Sonuç
Matematikçilerin, çocuklara ve gençlere, evrensel bir dili,
bir sanatý öðretme borçlarý vardýr. Ýnsanlar, matematiði bir dil
olarak kullanmalý onu, üzerinde düþünülecek yüce þeylerden biri
olarak görmelidir. Ýþte o zaman, matematikçiler görevlerini
yapmýþ sayýlýrlar.
2
Bu yazýdaki bazý düþünceler, Jerry P. King’in “Matematik Sanatý” adlý
kitabýndan alýnmýþtýr. Matematikçilerin çoðunun paylaþtýðý bu düþünceleri farklý
bir yaklaþýmla anlatmayý denedim.