Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları

Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları
Projenin Amacı: Metalik Oranların elde edildiği ikinci dereceden denklemin diskriminantını
ele alarak karmaşık sayılarla uygulama yapmak ve elde edilen sonuçları formülize etmek
GİRİŞ : Bildiğimiz kadarıyla Altın Oran’a ilişkin matematik bilgisi M.Ö. 3 yüzyılda Öklit’in
‘Elementler’ adlı yapıtında ‘aşıt ve ortalama oran’ adıyla kayda geçirilmiştir. ‘Büyük parçanın
küçük parçaya oranı, bütünün büyük parçaya oranına eşittir ‘ kaidesi geçerlidir.
Bir AB doğru parçası alalım ve bunu C noktasından iki bölüme ayıralım. C noktasının
AB doğru parçasını lABl / lACl = lACl / lCBl orantısını verecek şekilde bölmesi halinde, C
ye AB doğru parçasının ‘altın bölümü’, bu orantıyı oluşturan lABl / lACl ve lACl / lCBl
oranına Altın Oran denmiştir. Bu oranı bulmak için lACl= x ve lBCl = 1 olsun. (Şekil-1)
x
1
Şekil-1
Böylece söz konusu lABl / lACl = lACl / lCBl oranı:
=
biçiminde yazıldığında:
ikinci dereceden denklemi elde edilir.
denklemin diskriminantı
, kökleri ise:
bağıntısı kullanılarak bulunduğundan,
=
(pozitif kök)
=
(negatif kök)
elde ederiz. Burada elde edilen
=Φ
değerleri yerleştirilerek:
değeri Φ değeri yani altın orandır.
denkleminde kökler çarpımı yani
,
biçimindeki ikinci dereceden bir
olduğundan,
= - 1/Φ
olur.
denkleminde, x in katsayısı değiştirildiğinde farklı oranlar elde edilir.
Buradaki x in katsayısının yerine, reel sayı olan m sayısı alınarak genelleştirirsek;
denklemi elde edilir ki bu denklem Genelleştirilmiş Fibonacci-m denklemi olarak ifade
edilir. Bu denklemin diskriminantı;
kökleri ise;
=
elde edilir. Denklemin pozitif kökü;
=
= Φm
olarak ifade edilir ve Metalik Oran olarak isimlendirilir. Negatif kök ise kökler çarpımı yine
-1 olduğundan;
=
= -1/Φm
biçiminde yazılır. Elde edilen denklemde alınan farklı m değerleri için, en çok bilinen Metalik
Oranları bulalım:
m=1 için
denklemi elde edilir. Pozitif kök,
=
(Altın Oran)
m=2 için
denklemi elde edilir. Pozitif kök,
=
(Gümüş Oran)
m=3 için
denklemi elde edilir. Pozitif kök,
=
(Bronz Oran)
olur.
Genelleştirilmiş Fibonacci-m denklemi ve Tekrarlı Bağıntılar
Her bir terimi kendisinden önceki iki terimin toplamına eşit olan sayıların dizisine, Fibonacci
sayı dizisi denir. Fibonacci dizisinin her elemanı, birer Fibonacci sayısıdır,
{0,1,1,2,3,5,8,13,21,34…}
Fibonacci sayı dizisinin n. elemanı, F(n) ile gösterilir. Başlangıç şartları ile birlikte, Fibonacci
sayı dizisi n  Z için,
tekrarlı bağıntısı şeklinde ifade edilebilir. Genelleştirilmiş Fibonacci–m sayıları içinde
başlangıç şartları aynı olmak üzere tekrarlı bağıntı elde edilebilir. Bu tekrarlı bağıntı her terim
kendisinden önceki terimin m katıyla, bir önceki terimin toplamı olarak yazılabilir. Yani;
tekrarlı bağıntısı elde edilir. Elde edilen bu tekrarlı bağıntıdan genelleştirilmiş altın oran,
elde edilebilir. Bunun için tekrarlı bağıntının her iki tarafı
+
=
sadeleştirmelerden sonra,
=
+
ve en son ikinci kısımdaki pay paydaya atıldığında;
= +
e bölünür:
olur. n→∞ için:
=
=
alınabilir. Buradan x değeri yerine koyulursa,
bulunur ve paydalar eşitlenerek toparlandığında;
Genelleştirilmiş Fibonacci-m denklemi elde edilir. Yine bu denklemin pozitif kökü
değerini yani Metalik Oranı verecektir. Şu noktaya değinmek gerekir ki, n→∞ için:
=
= =
yazılabilir.
Genelleştirilmiş Fibonacci-m denkleminde Δ değeri üzerine uygulamalar
Yöntem:
denkleminin diskriminantı yani
için özel değerler
seçilip uygulama yapılması ve reel sayı olarak tanımlanan m değerinin karmaşık sayı
değerleri alması sağlanarak farklı sonuçlar elde edilmeye çalışılması
1-) Δ=0 için elde edilen sonuçlar
seçildiğinde;
buluruz.
a-) m= 2i için Genelleştirilmiş Fibonacci-m denklemi ve n. sayı için genel formül
m=2i için Genelleştirilmiş Fibonacci-m denklemi:
olacaktır. Denklemin kökleri ise;
=
=
elde edilir. m=2i için başlangıç şartlarıyla birlikte Fibonacci tekrarlı bağıntısı olan
düzenlenirse;
bulunur. Bu bağıntıyı kullanarak m=2i şartına bağlı dizi hakkında fikir sahibi olabilmek için,
ilk yedi terimini hesaplayalım;
n=2 için
n=3 için
n=4 için
n=5 için
n=6 için
n=7 için
Elde edilen sayılar sıralanırsa:
n
1
2
3
1
2i -3
4
5
6
7
-4i
5
6i
-7
(Tablo 1)
Bu sayıları ardışık pozitif tamsayı çarpanlarını önlerine alarak yazalım;
n 1
2
3
4
5
6
7
(Tablo 2)
1)
i sayısının pozitif tamsayı kuvvetlerine bakarsak;
0
1
2
3
4
5
6
(Tablo 3)
olduğu görülür. Tablo 2 ve Tablo 3 deki değerler arasında paralellik gözlemlenebilir. Bu
durumda Tablo 2 deki değerleri Tablo 3 deki i kuvvetlerine göre yazabiliriz.
n 1
2
3
4
5
6
7
(Tablo 4)
Dikkat edilirse, i lerin katsayılarının, i nin kuvvetlerinin her zaman 1 eksiği olduğu görülür.
Buna dayanarak tekrarlı bağıntıdan elde edilen sayılar için genel bir formül oluşturabiliriz.
m=2i ye göre genelleştirilmiş n. fibonacci sayısını bulmak için genel formül,
biçiminde yazılabilir.
Örnek: m=2i ye göre genelleştirilmiş 100. fibonacci sayısını bulunuz.
Çözüm: n=100 için
olduğundan,
n→∞ için,
olur.
ifadesinin, m=2i ye göre altın oranı
vermesi gerektiğini
biliyoruz. m=2i için elde ettiğimiz genel formülü bu ifadede deneyebiliriz.
=
=
=
=
işleme devam edilirse;
)
(
elde edilir. Burada n→∞ için, 1 in sonsuza bölümü 0 olacağından,
=
alınır. Bu durumda
(
)=
elde edilmiş hem de genel formülün sağlamasını yapmış oluruz.
b-) m= -2i için Genelleştirilmiş Fibonacci-m denklemi ve n. sayı için genel formül
m= -2i için Genelleştirilmiş Fibonacci-m denklemi:
olacaktır. Denklemin kökleri ise;
=
=
elde edilir. m= -2i için başlangıç şartlarıyla birlikte Fibonacci tekrarlı bağıntısı olan
düzenlenirse;
bulunur. Bu bağıntıyı kullanarak m= -2i şartına bağlı dizi hakkında fikir sahibi olabilmek için,
ilk yedi terimini hesaplayalım;
n=2 için
n=3 için
n=4 için
n=5 için
n=6 için
n=7 için
Elde edilen sayılar sıralanırsa:
n
1
2
3
4
5
6
7
1
-2i -3
4i
5
-6i
-7
(Tablo 5)
Bu sayıları ardışık doğal sayı çarpanlarını ayırarak yazalım;
n 1
2
3
4
5
6
7
(Tablo 6)
1)
i sayısının pozitif tamsayı kuvvetlerine bakarsak;
0
1
2
3
4
5
6
(Tablo 7)
olduğu görülür. Tablo 6 ve Tablo 7 deki değerler arasında paralellik gözlemlenebilir. Bu
durumda Tablo 6 deki değerleri Tablo 7 deki (-i) nin kuvvetlerine göre yazabiliriz.
n 1
2
3
4
5
6
7
(Tablo 8)
Dikkat edilirse, katsayıların, (-i) nin kuvvetlerinin her zaman 1 eksiği olduğu görülür. Buna
dayanarak tekrarlı bağıntıdan elde edilen sayılar için genel bir formül oluşturabiliriz. m=-2i ye
göre genelleştirilmiş n. fibonacci sayısını bulmak için genel formül,
biçiminde yazılabilir.
Örnek: m=-2i ye göre genelleştirilmiş 115. fibonacci sayısını bulunuz.
Çözüm: n=115 için
olduğundan,
n→∞ için,
olur.
ifadesinin, m=-2i ye göre altın oranı
gerektiğini biliyoruz. Genel formülü bu ifadede deneyebiliriz.
=
=
=
=
işleme devam edilirse;
)
(
elde edilir. Burada n→∞ için, 1 in sonsuza bölümü 0 olacağından,
=
alınır. Bu durumda
(
)
=
elde edilmiş hem de genel formülün sağlamasını yapmış oluruz.
vermesi
2-) Δ= -1 için elde edilen sonuçlar
seçildiğinde;
için Genelleştirilmiş Fibonacci-m denklemi ve n. sayı için genel formül
a-) m=
için Genelleştirilmiş Fibonacci-m denklemi:
m=
olacaktır. Denklemin kökleri ise;
=
Altın oran
=
=
=
olduğunu biliyoruz. Elde edilen köklere, altın oran
ve -1/ =
değerlerini yerleştirdiğimizde:
=
=
=
bulunur. m=
=
.(-1/
)=
için başlangıç şartlarıyla birlikte Fibonacci tekrarlı bağıntısı olan
düzenlenirse;
bulunur. Bu bağıntıyı kullanarak m=
için, ilk on terimini hesaplayalım;
n=2 için
n=3 için
n=4 için
şartına bağlı dizi hakkında fikir sahibi olabilmek
n=5 için
n=6 için
n=7 için
n=8 için
n=9 için
n=10 için
Elde edilen sayılar sıralanırsa:
n
1
2
3
4
5
1
6
7
8
9
11
10
(Tablo 9)
76
nin katları olduğu için, n nin çift değerlerini ayrı bir tabloda inceleyelim;
n
2
4
Tablo 9 daki değerlerdeki
n
6
8
10
(Tablo 10)
nin katsayıları alınırsa,
2
1
4
6
8
10
(Tablo 11)
Klasik Fibonacci sayıları için aynı tablo düzenlenirse;
n
2
F(n) F(2)=1
4
6
F(4)=
F(6)=
8
F(8)=21
10
(Tablo 12)
F(10)=
olarak yazabiliriz.
Tablo 11 ve Tablo 12 deki değerler birleştirildiğinde;
n
2
F(2)
4
-F(4)
6
F(6)
8
-F(8)
10
F(10)
(Tablo 13)
Tablo 10 ve Tablo 13 deki değerler birleştirildiğinde;
n
2
4
6
F(2).
-F(4)
F(6).
8
10
- F(8).
(Tablo 14)
F(10).
Tablo 14 e dikkat edilirse, 2 nin tek katlarında pozitif, çift katlarında negatif değer elde
edilmektedir. Bu eksi değerleri formüle uyarlamak için, (-1) in üssüne n nin 2 fazlasının
yarısını yazabiliriz. Tablo 15:
n
2
F(2).
Bu durumda m=
4
F(4)
6
F(6).
8
F(8).
10
F(10).
ye göre n nin çift değerleri için genel formül aşağıdaki gibi yazılabilir:
Araştırmalarımızda n. Fibonacci sayısını bulabilmek için Binet formülünün var olduğunu
gördük.
Binet formülünü en son elde ettiğimiz formülde yerine yazarsak;
Sadeleştirmeleri yaptığımızda;
ye bağlı bir formül elde etmiş oluruz.
Tablo 9 a bakıldığında n.nin tek değerleri için elde edilen değerleri alırsak;
n 1
1
3
5
11
7
9
(Tablo 16)
76
Tablo 16 yı incelerken yine Fibonacci sayılarıyla ilgili bir sonuç bulabileceğimizi sezinledik.
Toplamlar olarak düşündüğümüzde gördük ki;
.
n
1
F(0)+F(2)=1
3
5
7
9
- (F(2)+F(4))=
F(4)+F(6)= 11
-(F(6)+F(8))=
F(8)+F(10)=76
Negatiflik durumunu düzenlemek için (-1) in kuvvetlerine göre düzenleme yaparsak, n ye üç ekleyip 2
ye böldüğümüzde formüle uyarlamış oluruz..
ye göre n nin tek değerleri için genel formül aşağıdaki gibi yazılabilir:
Bu durumda m=
Binet formülünü burada da kullanabiliriz
ifadelerini Binet formülüne göre bulduktan sonra formülümüzde yerine yerleştirelim;
+
Toplam kısmında
)
parantezine aldığımızda;
ve
)
Ortak parantez almaya devam edersek;
)
olur.
olduğuna göre:
) ifadesinin değerini bulalım. =
)=(
)=
=
=
buluruz. Bulduğumuz değeri formülde yerine yazarsak;
)
Sadeleştirmeden sonra;
=
ye bağlı bir formül elde etmiş oluruz. Son olarak m=
değerleri için formülü toparlarsak;
ye göre n nin tek ve çift
=
parçalı genel formülünü yazabiliriz.
için Genelleştirilmiş Fibonacci-m denklemi ve n. sayı için genel formül
b-) m=
için Genelleştirilmiş Fibonacci-m denklemi:
m=
olacaktır. Denklemin kökleri ise;
=
Altın oran
=
=
ve -1/ =
=
olduğunu biliyoruz. Elde edilen köklere, altın oran
değerlerini yerleştirdiğimizde:
=
=
=
bulunur. m=
=
=
için başlangıç şartlarıyla birlikte Fibonacci tekrarlı bağıntısı olan
düzenlenirse;
bulunur. Bu bağıntıyı kullanarak m=
için, ilk on terimini hesaplayalım;
şartına bağlı dizi hakkında fikir sahibi olabilmek
n=2 için
n=3 için
n=4 için
n=5 için
n=6 için
n=7 için
n=8 için
n=9 için
n=10 için
Elde edilen sayılar sıralanırsa:
n
1
2
3
4
5
1
6
7
8
9
11
10
(Tablo 17)
76
nin katları olduğu için, n nin çift değerlerini ayrı bir tabloda inceleyelim;
n
2
4
Tablo 17 deki değerlerdeki
n
6
8
10
(Tablo 18)
nin katsayıları alınırsa,
2
1
4
6
8
10
(Tablo 19)
Klasik Fibonacci sayıları için aynı tablo düzenlenirse;
n
2
F(n) F(2)= 1
4
F(4)=
6
F(6)=
8
F(8)=21
10
F(10)=
(Tablo 20)
Tablo 19 ve Tablo 20 deki değerler birleştirildiğinde;
n
2
-F(2)
4
F(4)
6
-F(6)
8
F(8)
10
(Tablo 21)
-F(10)
Tablo 17 ve Tablo 21 deki değerler birleştirildiğinde;
n
2
-F(2).
4
6
F(4)
-F(6).
8
10
(Tablo 22)
F(8).
-F(10).
Tablo 22 ye dikkat edilirse, 2 nin tek katlarında negatif, çift katlarında pozitif değer elde
edilmektedir. Bu eksi değerini formüle uyarlamak için, (-1) in üssüne n nin yarısını
yazabiliriz.
n
2
F(2).
Bu durumda m=
yazılabilir:
4
F(4)
6
F(6).
8
10
F(8).
F(10).
ye göre n nin çift değerleri için genel formül aşağıdaki gibi
n. Fibonacci sayısını bulabilmek için yine Binet formülünün kullanabiliriz.
Binet formülünü en son elde ettiğimiz formülde yerine yazarsak;
Sadeleştirmeleri yaptığımızda;
ye bağlı bir formül elde etmiş oluruz.
Tablo 17 ye bakıldığında n.nin tek değerleri için elde edilen değerleri alırsak;
n
1
1
3
5
11
7
9
76
(Tablo 23)
m=
ye göre tek sayılar için elde ettiğimiz değerler yani Tablo 23, m=
ye göre tek
sayılar için elde ettiğimiz değerlerle yani Tablo 16 ile aynı olduğu için formülümüz de aynı
olacaktır;
ye bağlı bir formül elde etmiş oluruz. Son olarak m=
değerleri için genel formülü toparlarsak;
ye göre n nin tek ve çift
=
genel formülünü yazabiliriz.
Sonuç ve tartışma
Projeye başladığımızda beklentimiz, karmaşık sayıları işlemlerin içine dahil etmekti. Ancak
zaman geçtikçe gördük ki, elde ettiğimiz sonuçlar beklentilerimizin üzerinde çözüm vermeye
başladı ve her basamak bizi çok heyecanlandırdı. İşlemleri toparlamakta ve formül çıkarmada
zorlanmamıza rağmen, sadeleştirmelerle veriler netleştikçe, sonuçlar bizim için sürpriz oldu.
Özellikle,
olma durumunda elde ettiğimiz sonuçlar klasik altın oran bağıntılarıyla
elde edilen sonuçlara, tek ve çift değerler için ayrı formüller elde etmemize rağmen çok
yaklaştı. Bu noktada, yakın sonuçlar elde etmemizde iki etken olduğunu düşünüyoruz.
Bunlardan birincisi ve bizce en önemlisi
sayısı. Çünkü altın oranının da özünü oluşturan
sayısı, yakın sonuçların çıkmasında önemli. Ancak tek başına önemli olup olmadığı
elbetteki tartışılabilir. Bir pozitif tamsayı dizisiyle karmaşık sayı dizisi bizce farklı yapılar ve
yakın sonuçlar elde edilmesi de matematiksel olarak ilginç ve de heyecan verici. Diğer bir
etkende i nin kuvvetleriyle ilgili diye düşünüyoruz. Çünkü sonuçta i nin kuvvetlerinde ve
birbirleri ile çarpımlarında tamsayı elde edebiliyoruz. Bu da elde edilen sonuçlarda kesişmeyi
sağlayabilir.
KAYNAKÇA:
1-) Bergil, M. S.,(1988) Doğada/Bilimde/Sanatta Altın Oran,İstanbul: Arkeoloji ve Sanat
Yayınları
2-) Spinadel, V. W. de,(2004) The Family of Metallic Means,
<http://vismath1.tripod.com/spinadel/>
3-) Stakhov, A., (2002) The Mathematics of Harmony
<http://www.peacefromharmony.org/docs/7-27_Stakhov_Math_of_Harmony_EN.pdf>
4-) Portal Groupkos,(2011) Fibonacci Sequence
<http://portal.groupkos.com/index.php?title=Fibonacci_Sequence>