Doktora Yeterlilik 2005-2006 Güz Matematik Soruları

İTÜ Fen Bilimleri Enstitüsü
Disiplinlerarası Uçak ve Uzay Mühendisliği Programı
2005-2006 Güz Dönemi
Doktora Yeterlik
Matematik Sınavı
23 Kasım 2005
Soru 1
y ′ + 2 y = sin t
denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Soru 2
| z |= 1
C:
kompleks düzlemde birim çember olmak üzere
e −1 / z
∫C z dz
integralinin değerini
hesaplayınız.
Soru 3
− ∞ < x < ∞ , c( x,0) = x başlangıç değer problemini çözünüz.
ct + cc x = 0 ,
Soru 4
x 2 y ′′ − x y ′ + 4 y = Cos (log x) + x Sin (log x) diferansiyel denklemini çözünüz.
Soru 5
Green teoremi kapalı bir bölge ve onu
çevreleyen eğriler için
 ∂Q
y
∂P 
∫∫  ∂x − ∂y dxdy = ∫ ( Pdx + Qdy) ise
s
∫ {( x
c
2
2
c2
+ y )dx + ( x + 2 y )dy} ifadesi için Green
2
c
c3
teoremini yandaki bölge üzerinde gerçekleyiniz
y=0,
0≤x≤2
x2 + y2 = 4,
0≤x≤2
x = 0,
0 ≤ y≤ 2
x
0
2
Soru 6
Aşağıda verilen iki durum için A matrisinin öz değerlerini ve öz vektörlerini bulunuz:
a)
1 0 0 
A = 0 0 − 2
0 1 3 
c1
b)
0
0
A=
0

1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1

0
Soru 7
Aşağıda matris formunda verilen Ax = B şeklindeki lineer cebirsel denklemlerde,
 3 − 2 1
A = − 1 2 1 ,
 3
2 5
 x
x =  y  ,
 z 
 − 2
B =  2 
 2 
a) x için bir çözümün olup olmadığını belirleyiniz, varsa bir çözüm bulunuz.
b) Ax = λx probleminde gerçek öz değerleri belirleyiniz.
Soru 8
f ( x ) = ( x1 + 3 x 2 + x 3 ) 2 + 4 ( x1 − x 2 ) 2
fonksiyonun x = (-1,-1,-1) noktasında değişiminin bir yönü d = (1,3,1) olarak verilmiş olsun.
a) Optimum adım büyüklüğünü belirlemek için kullanılabilecek olan çizgi arama fonksiyonu f(α) ‘yı
çıkarınız.
(b) Verilen yönde
f ( x ) ‘i minimum edecek olan adım büyüklüğü α ‘yı hesaplayınız.