İnce Antenler Hertz Dipolü

İnce Antenler
Çapları boylarına göre küçük olan antenlere ince antenler
denir. Alanların hesabında antenlerin sonsuz ince kabul
edilmesi kolaylık sağlar. Ancak anten empedansı bulunmak
istendiğinde kalınlığın işe katılması gerekir.
Hertz Dipolü
Boyu dalga boyuna göre çok küçük ( l<< ) olan, üzerindeki
akım dağılımı (sabit) noktadan noktaya değişmeyen antendir.
Uygulamada bu tanımlamaya uyan anten yoktur ancak diğer
ince antenlerin alanlarının bulunmasında kolaylık sağlar.
z
Hertz dipolü, çok küçük ve ince olduğu için üzerindeki akım sabit kabul
edilir.
θ

e  jkR
d
A( x , y , z ) 
I e ( x, y , z  ).

4 C
R
r
l/2
y
l/2
I ( z  )  ı̂ z .I 0
I 0 : Sabit

x
I e ( x  , y  , z  )  ı̂ z . I 0
x   y   z   0 ( sonsuz
R  ( x  x  )2  ( y  y  )2  ( z  z  )2 
d  dz
A ( x , y , z )  ı̂ z
A ( x , y , z )  ı̂ z
 . I 0  jkr
e
4 . .r

2


 . I 0 .  jkr
e
4 . .r

2
d z   ı̂ z
küçük dipol )
x 2  y 2  z 2  r  sabit
 . I 0 .  jkr
e
4 . .r
İkinci adım
İkinci adım alanların hesabıdır. Öncelikle küresel koordinatlara
geçilmelidir.
 Ar   sin  cos 
  
 A   cos  cos 
 A    sin 
 
sin  sin 
cos  sin 
cos 
cos    Ax 
 sin    Ay 
0   Az 
Bu problem için Ax=Ay=0 ‘dır
 .I 0 ..e  jkr
Ar  Az . cos  
cos 
4. .r  jkr
 .I 0 ..e
A   Az . sin   
. sin 
4. .r
A  0
 1
H   A

Denkleminden faydalanarak;

Ar 
1 
H  ı̂
.( r .A ) 


 r  r
 
H r  H  0
k .I 0 .. sin 
H  j.
4. .r
yazılır

1   jkr
1 
e
 jkr 

E  E A   jwA  j
ve


1
1
.( .A ) 
.  H
w. .
j .w.
denklemlerinden faydalanarak elektrik alan bileşenleri aşağıdaki gibi bulunur.
 .I 0 ..cos 
Er 
2
2. .r

1   jkr
1 
e
 jkr 
k .I 0 .. sin  
1
1   jkr

E  j . .
e
1 
2 
4. .r
 jkr ( kr ) 
E  0
Güç Yoğunluğu ve Işıma Direnci
Kayıpsız bir antenin giriş direncini bulmada Poynting vektöründen faydalanılır. Kapalı yüzey boyunca Poynting
vektörünün integrali alınarak kaynaktan ışınan toplam güç hesaplanabilir.
Hertz dipolü için kompleks Poynting vektörü aşağıdaki gibi yazılabilir:
 1  *
1
W  ( E  H )  ( ı̂r E r  ı̂ E )  ( ı̂ H * )
2
2
1
 ( ı̂r E H *  ı̂ E r H * )
2
2

I
1 
 0 sin  
Wr 
1  j
2
3 
8 
r
( kr ) 

2
k I 0  cos  sin  
1 
W  j
1 
2 3
2 
16  r
 ( kr ) 
2 

P   W .ds    ( ı̂rWr  ı̂ W )ı̂r r 2 sin dd
S
2 
0 0
2
1 
 I0 
P    Wr r sin dd  
1  j
3 
3

(
kr
)
0 0


2
   I0
Prad    
3 
2
 2  
Rr   

 3 
2
1
2
 I 0 Rr
2
Hertz dipolünün ışıma direnci
Radyal yönde ilerleyen güç yarıçapı r
olan küre yüzeyi boyunca integral
alınarak bulunur. Görüldüğü gibi
integral içine sanal olduğu için Wθ
bileşeni alınmadı. ( sanal olduğu için
reel ışıma gücü içermez)

Rr  80  

2
2
ÖRNEK-1
Uzunluğu dalga boyunun 50’de biri olan dipol antenin ışıma direncini bulunuz.
2
2

2 1 
Rr  80    80    0.316 
 50 

2
Yakın-alan Bölgesi (kr<<1)
 .I 0 ..cos 
2. .r 2

1   jkr

1
e

 jkr 
k .I .. sin  
1
1   jkr


1
e
E  j . . 0

2 
4. .r
 jkr ( kr ) 
k .I 0 . sin  
1   jkr
H  j
1 
e
4r
 jkr 
Er 
Yukarıdaki denklemler daha önce bulunmuştu. kr<<1 koşulu altında denklemleri tekrar yazalım
I 0 ..e  jkr
E r   j
cos 
3
2. .k .r jkr
I 0 ..e
E   j . .
sin 
3
 .k .r
4 .jkr
I 0 ..e
H 
sin 
2
4. .r
Ara-alan Bölgesi (kr>1)
 .I 0 ..cos 
Er 
2. .r 2

1   jkr
1 
e
 jkr 
k .I 0 .. sin  
1
1   jkr

E  j . .
e
1 
2 
4. .r
 jkr ( kr ) 
k .I 0 . sin  
1   jkr
H  j
1 
e
4r
 jkr 
 jkr
I 0 ..e
Er  
cos 
2
2. .r  jkr
k .I 0 ..e
sin 
E  j . .
4. .rjkr
k .I 0 ..e
H  j.
sin 
4. .r
Uzak-alan Bölgesi (kr>>1)
Er bileşeni, 1/r2 ile orantılı olduğundan genliği Eθ’ya göre çok küçüktür, ihmal edilebilir.
k .I 0 ..e  jkr
E  j
sin 
4. .r
E r  E  H r  H   0
 jkr
k .I 0 ..e
H  j
sin 
4. .r
Zw : Dalga empedansı
E
Zw 

H
Uzak-alan Bölgesi
Uzak alan bölgesinde E- ve H- alan bileşenleri
yayılma doğrultusuna diktir.
Yakın bölge alan çizgileri elektrik yüklerinde
sonlanırken uzak bölge alan çizgileri kendi üzerlerine
kapanırlar.
Yakın bölgede alanların kaynağı elektrik yükleri ve
akımdır. Uzak bölgede alanların kaynakla ilişkisi
kesilmiştir. E- ‘nin kaynağı zamanla değişen Hbileşeni; H-’ın kaynağı ise zamanla değişen Ebileşenidir.
Hertz dipolünün yönelticiliği (Directivity)
Ortalama güç yoğunluğu, uzak alan bileşenleri ifadelerinden faydalanılarak aşağıdaki
gibi yazılabilir.

 *
1
1
Wav  Re( E  H )  ı̂r
E
2
2
2
2
 k .I 0 . sin 2 
 ı̂r
2 4
r2
2
Işıma şiddeti
Maksimum etkin yüzey
2

k
.
I
.

r
2


2
2
0
U  r .Wav  
E ( r , , )
 . sin  
2  4 
2
2
  k .I 0 . 
U max  

2  4 
2

I
.

 
Prad     0
3 
U max 3

Yönelticilik D0  4 .
2
Prad
 2 
3 2
 D0 
Aem  

4

8


Küçük Dipol
Hertz dipolünün uzunluğu çok küçük olduğu için üzerindeki akımın sabit olduğu
kabul ediliyordu. Ancak boyları /50≤l≤ /10 olan kısa dipollerde akımın anten
boyunca doğrusal olarak değiştiği kabul edilir.
z
θ
dz’
l/2
P(r,θ,)
θ’
Akım Dağılımı
R
r
z’
z
y
l/2
x

l/2
l/2
I0
y
Anten üzerindeki akım dağılımı;
  2 
ı̂ z I 0 1  z'  ,
I e ( x' , y' , z' )     
2
ı̂ z I 0 1  z'  ,
   
0  z'   / 2
  / 2  z'  0
Bu akım dağılımının uzak bölgedeki bir P noktasında yarattığı vektör
potansiyel;
 jkR
 jkR
/2


  0
 2 e
 2 e
1
1
A( x , y , z ) 
ı̂
I
z
'
dz
'
ı̂
I
z
'
dz
'





 z  0

z 
0
4    / 2    R

R


0

Anten boyu çok küçük olduğundan, bütün z’ değerleri için Rr alınabilir. Bu
durumda vektör potansiyel aşağıdaki biçimde yazılabilir.
 jkr



1  .I 0 ..e
A  ı̂ z Az  ı̂ z 

2  4. .r 
Görüldüğü gibi bulunan vektör potansiyel ifadesi Hertz dipolü için
bulunanın yarısına eşit. Öyle ise, alan da yarı değerde olacaktır. Buna göre,
uzak-alan bölgesi için aşağıdaki bağıntılar yazılabilir.
 jkr
k .I 0 ..e
E  j
sin 
8. .r
E r  E  H r  H   0
 jkr
k .I 0 ..e
H  j
sin 
8. .r
Alan değeri yarıya indiğine göre, ışıma direnci Hertz dipolününkinin dörtte
birine eşit olur.
2


Rr  20    200  


2
2
Sonlu Boydaki Dipol Anten
Ortasından beslenen dipol anten üzerindeki akım dağılımı şekilde gösterilmiştir
z
θ
dz’
l/2
P(r,θ,)
θ’
R
r
z’
y
l/2
x


 2 
ı̂z I 0 sin1  z'  ,
  
I e ( x' , y' , z' )  
2
ı̂z I 0 sin1  z'  ,

  
0  z'   / 2
  / 2  z'  0
Sonlu uzunluklu dipolün ışıma alanı
Işıma alanı vektör potansiyelden yararlanarak bulunabilir. Daha kolay bir
yol ise dz’ uzunluklu parçayı bir elemanter dipol (Hertz dipolü) gibi
düşünmektir. Bu durumda dz’ uzunluklu dipolün bir P noktasında yarattığı
alanlar;
k .I e ( x' , y' , z' ).e  jkr
dE  j
sin  .dz'
4. .R
dE r  dE  dH r  dH   0
k .I e ( x' , y' , z' ).e  jkr
dH   j
sin  .dz'
4. .R
Uzak alan bölgesinde aşağıdaki
gibi yazılabilir.
R  r  z' cos  ,
Rr
k .I e ( x' , y' , z' ).e  jkr
dE  j
sin  .e  jkz' cos  dz'
4. .r




 jkr
ke
 2

E   dE  j
sin    I e ( x' , y' , z' )e jkz' cos dz' 
4r




 2

2


2
Akım dağılımı ifadeleri integralde yerine konulursa;
 / 2
 0
 
 
kI 0 e  jkr
  jkz' cos  
  jkz' cos 
E  j
sin    sin k   z'  e
dz'   sin k   z'  e
dz' 
4r


  / 2   2

0
 2
x
e
x
e
 sin( x   )dx   2   2  sin( x   )   cos( x   )
  jk cos 
  k
  k / 2
Eθ ifadesindeki integralleri yukarıdaki çözümden faydalanarak çözüp
düzenlersek aşağıdaki ifadeyi elde ederiz.
  k

 k  
cos    cos  
 jkr  cos
I0e

 2 
 2
E  j
sin 
2r 





Dipol antenin ışıma alan ifadeleri
  k

 k  
cos    cos  
 jkr  cos
I0e
2
2






E  j
2r 
sin 





  k
 k  

cos    cos  
 jkr  cos
E
I0e
2
2 




H 
 j
2r 

sin 





Dipol için ortalam poynting vektörü ve ışıma şiddeti aşağıdaki gibi
yazılabilir


*

 * 1


E
1
1
*

Wav  Re E  H  Re ı̂ E  ı̂ H   Re ı̂ E  ı̂

2
2
2 
 
2
  k

 k  
cos    cos  
2  cos

I
1
2
2 
2
0




Wav  ı̂rWav  ı̂r
E  
2
sin 

8 2 r 2 




2
  k

 k  
cos    cos  
2  cos
I0

 2 
2
 2
U  r Wav  
sin 

8 2 




(Işıma şiddeti)


Işıma şiddeti anten boyuna ve ışıma doğrultusuna bağlıdır. Anten boyu
büyüdükçe hüzme genişliği daralır, anten yönelticiliği artar. l> olduğu
zaman kulakçık sayısı artar
l<<
HPBW=900
l=/4
HPBW=870
l=/2
HPBW=780
l=3/4
HPBW=640
l=
HPBW=47.80
Dipol antenden ışınlanan toplam güç;
Prad
2 

  Wav .ds    ı̂rWav ı̂r r 2 sin dd
0 0
S

2 
2
W
r
  av sin dd
0 0
2
  k

 k 
cos cos    cos 
2


I0
2

 2 


d

sin 
4 0
Gerekli matematiksel işlemler yapılırsa, ışınlanan toplam güç aşağıdaki biçimde bulunur.
(Işıma direnci)
Bir antenin ışıma şiddeti aşağıdaki şekilde yazılabilir.
2
1 
2
U  B0 .F (  , ) 
E (  , )  E (  , ) 

2 
U max  B0 .F (  , ) max  B0 Fmax (  , )
Toplam ışınan güç
Prad   U (  , )d  B0

2 
  F (  , ) sin dd
0 0
Yönlendirilmiş kazanç ve yönelticilik aşağıdaki gibi yazılabilir
Dg (  , )  4
F (  , )
2 
  F (  , ) sin dd
0 0
D0  4
F (  , ) max
2 
  F (  , ) sin dd
0 0
O halde dipol anten için aşağıdaki ifadeler yazılabilir.
  k

 k  
 cos 2 cos    cos 2  






F (  , )  F (  ) 
sin 






2
I0
2.F (  ) max
U0  
D0  
2
8
 F (  ) sin d
0
2
Ödev
Hertz dipolünün ve aşağıdaki uzunluklar için dipol antenin normalize alan ışıma
diyagramlarını MATLAB’ta çizdiriniz.
a: /4
b: / 2
c: 
d : 3 / 2
e : 2
Dipol antenin giriş direnci
Işıma direnci anten üzerindeki akımın maksimum olduğu noktaya göre tanımlanmıştır. Herhangi bir boydaki antende
akımın maksimumu besleme noktasına denk gelmeyebilir. Örnek olarak aşağıda şekilde verilen akım dağılımını ele
alalım.
Ie
I0
Iin
l/2
l/2
Eğer anten kayıplarının sıfır olduğu (RL=0) kabul edilirse,
I in
2
2
veya
I0
Rin 
2
2
Rr
2
 I0 
Rin    Rr
 I in 
yazılabilir
Rin:besleme noktasındaki ışıma direnci
Rr :akımın maksimum olduğu noktadaki ışıma direnci
I0 :maksimum akım
Iin :besleme uçlarındaki akım
Ortasından beslenen l uzunluğundaki dipol anten için aşağıdaki ifade yazılabilir.
k
I in  I 0 sin( )
2
Rr
Rin 
2  k 
sin  
2 
Yarım dalga dipolü
Uygulamada sıkça kullanılan antenlerden biridir. Bu antenin ışıma direnci 73Ω
olduğu için karakteristik empedansı 75Ω olan iletim hattına kolaylıkla
uydurulabilir. Bu antenin ışıma alanı daha önce sonlu uzunluklu dipol anten
ışıma alan ifadelerinde l=/2 alınarak bulunabilir.
 

cos   
 jkr  cos
I0e
2



E  j
sin 
2r 





 

cos   
 jkr  cos
I0e
2




H  j
sin 
2r 







2
cos
cos



I0 
2



Wav  

sin 2 
8 2 r 2 






2
cos   
2  cos 
I0
2

2

U  r Wav  
2
2

sin 
8 





2
cos
cos

2


I0 
2

 d
Prad  

sin 
4 0
2
Yarım dalga dipol antenin ortalama
güç yoğunluğu ve ışıma şiddeti
yandaki gibi hesaplanabilir.
2
2
I0
 1  cos y 

dy  
Prad  
Cin ( 2 )

8 0 
y
8

Cin ( 2 )  2.435
U max
D0  4
 1.643
Prad
2P

Rr  rad2 
Cin( 2 )  73 
4
I0
I0
2