Online Available

Transkript

Online Available

T.C.
SELÇUK ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
Jeodezide Zaman Dizilerinin
Dalgacık (Wavelet) Analizi
R. Alpay ABBAK
DOKTORA Semineri
Jeodezi ve Fotogrametri Mühendisliği
Anabilim Dalı
KONYA, 2007
İÇİNDEKİLER
İçindekiler
i
Şekil Listesi
iii
Simge Listesi
iv
1 GİRİŞ
1
2 TANIMLAR VE KAVRAMLAR
4
2.1 Zaman Dizileri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2 Periodiklik, Peryot ve Frekans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.3 Frekans Bilgisine Neden İhtiyaç Duyulur? . . . . . . . . . . . . . .
6
3 WAVELET (DALGACIK) ANALİZİ
3.1 Fourier Analizine ve Dalgacık Teorisine Giriş . . . . . . . . . . . .
7
8
3.1.1
Dalgacık . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.1.2
Ölçek ve Zaman Fikri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.1.3
Kısa Zaman Fourier Analizi . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3.2 Dalgacık Analizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3.3 Dalgacığın Matematiksel Temelleri . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.3.1
Sürekli Dalgacık Dönüşümü . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.3.2
Ayrık Dalgacık Dönüşümü . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.4 Dalgacık Ölçeği ile Fourier Frekansı Arasındaki İlişki . . . . . . .
17
4 SAYISAL UYGULAMA
18
i
4.1 Monte-Carlo Yöntemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
4.2 Gerçek Verilerle Uygulama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
5 SONUÇ VE ÖNERİLER
25
5.1 Sonuçlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
5.2 Öneriler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
Kaynaklar
26
ii
ŞEKİL LİSTESİ
3.1 Sinüs dalgası ve bir dalgacık örneği . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.2 Sinüsoid ve dalgacıkta ölçek faktörü . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.3 Zaman içerisindeki frekans değişimi . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3.4 Kısa zaman Fourier analizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3.5 Dalgacık Analizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3.6 Haar dalgacığı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.7 PDF’in birinci türevinden oluşan dalgacık . . . . . . . . . . . . .
15
3.8 Meksika şapkası . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.9 Fourier dönüşümü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
4.1 Test zaman dizisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
4.2 Fourier spektrumu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
4.3 Dalgacık spekturumu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
4.4 Test zaman dizisi (durağan olmayan) . . . . . . . . . . . . . . . .
21
4.5 Fourier spektrumu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
4.6 Durağan olmayan dizinin dalgacık spekturumu . . . . . . . . . . .
22
4.7 Antalya mareograf istasyonu 1990 yılı ocak ayı saatlik gözlemleri .
22
4.8 Deneysel gözlemlerin dalgacık spekturumu . . . . . . . . . . . . .
23
4.9 Deneysel gözlemlerin dalgacık Spekturumu . . . . . . . . . . . . .
24
iii
SİMGE LİSTESİ
dt
zaman artışı
e
doğal sayı
f
frekans
f
gözlem vektörü, ayrıca zaman dizisi
j
kompleks sayı
n
veri sayısı
s
ölçek değeri
σ
standart sapma
ω
açısal frekans
ψ
ana dalgacık
t
zaman
τ
dalgacığın konumu
T
peryot
W
pencere fonksiyonu
iv
1. GİRİŞ
Jeodezi zamanın bir fonksiyonu olarak yeryüzünün şeklini ve çekim alanını
belirlenmesiyle uğraşan bir bilim dalıdır.
Söz konusu şekil ve çekim alanı
problemini çözebilmek için bazı jeodezik gözlemler yapılır. Açı, kenar, doğrultu,
yükseklik farkı, gravite ve yeni nesil uydu teknikleriyle yapılan ölçmeler bu
gözlemlere birer örnektir.
Söz konusu gözlemlerin hemen hepsi doğada var olan fiziksel kuvvetlerin etkisi
altındadır. Bu nedenle ölçülerin içerisinde fiziksel kuvvetlerin etkisi bulunmaktadır. Araştırmacı ve bilim adamları modellemeye çalıştıkları fiziksel gerçeklere
ilişkin ölçüleri etkileyen doğa olaylarını ve etkilerini belirlemek ister. Dolayısıyla
ölçülerin, bu etkileri çıkaracak biçimde tasarlanmaları gerekir.
Bu kapsamda değerlendirilen ölçü gruplarına ilk örnek zaman dizileridir. Zaman
dizileri bir rasgele sürecin sonucunda oluşan ardışık gözlemler topluluğudur.
Zaman dizilerinde iki çeşit değişken vardır. Bunlar, bağımlı (istenen fiziksel
büyüklük) ve bağımsız yani çoğu kez zaman ya da konum olarak gerçekleşen
değişkenlerdir.
Zaman dizilerinin oluşturulmasındaki temel hedef; gözlenen
fiziksel büyüklüğün zaman/konum içerisindeki davranışına bakarak büyüklüğün
doğasının anlamak ve elde edilen bulgulardan geleceğe ilişkin kestirimlerde
bulunmaktır.
Herhangi bir bağımsız (zaman ya da konum) değişkene bağlı olarak gerçekleşen
ve zaman dizileri olarak adlandırdığımız ardışık (tekrarlı) gözlemlerin analizi
bu çalışmanın konusunu oluşturmaktadır. Konu istatistiğin önemli alanlarından
biri olduğundan yerbilimleri, mühendislik ve ekonomi gibi birbirinden çok farklı
disiplinlerde uygulama görmektedir.
Gözlenmiş (deneysel) zaman dizileri, sinyal (signal) ve gürültü (noise) olarak
adlandırılan iki unsurdan oluşur. Gürültü kısmı düzenli (sistematik) ve düzenli
olmayan olmak üzere iki kısımda incelenir. Sistematik gürültünün genel formu
1
(yapısı/davranışı) bilinir ama büyüklüğü her zaman dizisi için ayrı ayrı hesaplanır.
Örneğin zaman dizisinde datum kayıklığının varlığı zaman dizisinin çizilmesiyle
farkedilebilir; buna karşın kayıklık miktarı, analiz işlemiyle ortaya çıkarılır.
Düzenli olmayan (rasgele) gürültü ise hesapla belirlenemez, ortalama ve varyans
değeri sıfıra eşittir. Bu nedenle rasgele gürültü zaman dizisinin bütününde diziye
ait momentleri (ortalama değer ve varyans) etkilemez. Analistler bahsedilen
gürültü bileşenlerini belirler ve sinyal adı verilen kısmı ortaya çıkarmaya çalışılır.
Bir zaman dizisinden sinyali çıkarma işlemi gizli periyodiklik problemi olarak
adlandırılır; bunu belirleme işine spektral analiz adı verilir.
Zaman dizilerinin analizi söz konusu olduğunda ortalama değerlerin bulunmasına
dayanan basit modellerden, değişik frekanslardaki sinyallerin kestirilmesine kadar
dayanan geniş bir yelpazeye rastlamak mümkündür. Harmonik, Fourier, Wavelet
(dalgacık) analizi ve diğer sayısal filtreler (hareketli ortalama, alçak geçiş ve
kalman filtreleri gibi) bunlardan bazılarıdır.
Yukarıda sözü geçen her analiz yönteminin avantajları ve dezavantajları vardır.
Sinyalde aranan unsurun veya sinyalin karakteristik özelliğine göre analiz yöntemi
seçilir.
Son yıllarda geliştirilen dalgacık analiz yöntemi araştırmacı ve bilim
adamlarınca en etkin yöntem olduğu ifade edilmektedir.
Bu çalışmada za-
man dizilerinin analizinde kullanılan dalgacık analizi hakkında temel teori ve
kavramlar açıklanmaya çalışılacaktır. Teoriyi güçlendirmek ve konunun daha iyi
anlaşılmasını sağlamak amacıyla jeodezi alanından sayısal uygulama örnekleri
verilecektir. Literatürde konuyla ilişkili jeodezi alanında yapılmış birçok eser
bulunmaktadır. Örneğin kısa ve anlaması basit bir çalışma olarak Baykut vd.
(2006)’nin çalışması gösterilir. Çalışmada sürekli (continous) GPS verilerinin
analizinde dalgacık metodu uygulanmıştır. Jeofizik alanında yapılmış bir diğer
örnek çalışma Torrence ve Compo (1998)’dir. Çalışmada 3 aylık periyotlarla
gözlenmiş deniz düzeyi sıcaklıkları analiz edilmiştir. Jeodinamik alanından bir
çalışma da Keller (2004)’dir. Yeryuvarının nutasyon hareketinin analizi yapılmış,
kutp salınım hareketinin belli zaman aralıklarıyla oluştuğu belirlenmiştir.
Bu çalışmada dalgacık analizi yöntemi deniz düzeyi gözlemlerine uygulanmıştır.
2
Bu amaçla Antalya mareograf istasyonuna ait 1990 yılı saatlik verileri kullanılmıştır. Söz konusu veriler aylık gruplar halinde ayrı ayrı analizi gerçekleştirilmiştir.
Elde edilen bulgular geleneksel yöntemle karşılaştırılmıştır.
Ay’ın
ve Güneşin çekim etkisiyle deniz düzeyi gözlemlerinin günlük ve yarı günlük
periyodiklikler sergilemesi olağandır.
Buna karşın bu yöntemle söz konusu
periyodikliklerin yerelleştirilmesi yapılarak yarı günlük hareketlerin bir hafta
arayla oluştuğu ortaya çıkarılmıştır.
3
2. TANIMLAR VE KAVRAMLAR
Bu çalışmanın esasını zaman dizilerinin dalgacık analizi teşkil etmektedir. Bu
bağlamda zaman dizileri nedir? ne işe yarar? özellikleri nelerdir? sorularına
cevap verildiği kısım bu bölümde ele alınacaktır.
2.1
Zaman Dizileri
Bir fiziksel büyüklüğün bir veya birden çok bağımsız değişkene göre durumunu
veren gözlemler topluluğuna zaman dizisi denir. Burada dikkat edilmesi gereken
husus gözlemlerin toplanma zamanlarına göre sıralanmasıdır.
Bağımsız değişken ne olabilir? Genellikle; zaman bağımsız değişken olarak alınır
ve bu yüzden zaman dizileri olarak adlandırılmışlardır. Buna karşın jeodezide
konumun bağımsız bir değişken olarak alındığı da sıklıkla görülür. Örneğin gravite
(çekim alanı) gözlemleri konuma bağlı olarak elde edilir.
Zaman dizilerinin meydana gelişi; Fiziksel olayın takibi için etkilediği büyüklüğün
bağımsız değişkene durumunu belirten ardışık gözlemlerle incelenir. Bu gözlemler
bir çizime aktarıldığında olayın davranışı hakkında kabaca bir fikir elde edilebilir.
Dizideki gözlemler zamana bağlı olarak sürekli (kesintisiz) şekilde gözleniyorsa
sürekli (continous) diziler (örn.
sismograf verileri), sürekli değil de belli
zaman aralıklarında gözleniyorsa ayrık (discrete) diziler adı verilir.
Örneğin
her 5 dakika aralıklarla bir sıcaklık değerlerinin kaydedilmesi gibi.
Sürekli
diziler sayısal analize uygun olmadığından ayrık dizileri haline getirilmesi gerekir
(sayısallaştırma).
Bu temel bilgilerin yanısıra, zaman dizilerinin kullanıcıya sağladığı 4 çeşit fonksiyonel özelliği vardır. Bunlar; tanımlama, açıklama, tahmin ve kontroldur. Kısaca
zaman dizileriyle fiziksel büyüklüğün davranışı tanımlanır, diğer değişkenlerle
ilişkisi açıklanır, gelecekteki alacağı değerinin tahmini yapılır ve son olarak
beklentilerin üzerinde değer alacağında kontrol işleminde kullanılır.
4
Zaman dizisi bir çizime aktarıldığında fiziksel büyüklüğün davranışı hakkında
kabaca fikir elde edilir demiştik. Böylece analiz esnasında zaman dizisinin hangi
unsurlardan oluştuğu ne gibi bileşenler içerdiği hakkında öngörüde bulunabilir.
Bu varsayımdan hareketle uygun bir analiz yöntemi seçilir. Bu seçim aranan
bileşenin özelliğine göre de değişir. Örneğin dizideki trendin doğrusal olduğu ve
bunun değeri belirlenmek isteniyorsa y = ax + b şeklinde bir matematiksel model
öngörülür ve buradaki a ve b bilinmeyenleri istenen incelikte belirlenir. Trendin
doğrusal değil de eğri şeklinde olduğu öngörülürse uygun bir polinomla verilere
yaklaşılmaya çalışılır. Benzer şekilde, dizinin içindeki görültüleri ayrıştırmak ve
temel bileşenleri daha iyi fark etmek için hareketli ortalama (moving average)
tekniği kullanılabilir. Böylece veriler yumuşatılır. Bir başka yöntem; eğer dizileri
oluşturan bileşenler periyodik ise spektral analiz yöntemiyle söz konusu bileşenler
belirlenir.
2.2
Periodiklik, Peryot ve Frekans
Önceki başlıkta periyodik bileşenler diye bir kavramdan bahsedildi. Kavramı
biraz daha açmak gerekirse, öncelikle periyodiklik ifadesini ele alalım. Belli zaman
aralıklarında tekrar eden sürece periyodiklik, bu tür fonksiyonlara periyodik
fonksiyonlar denir.
Sinüs ve kosinüs gibi trigonometrik fonksiyonlar birer
periyodik fonksiyonlardır. Örneğin sinüs fonksiyonu kendini 2π de bir tekrar
eder. Bu tekrarlama süresine ”periyot” adı verilir ve genellikle ”T ” ile gösterilir.
Fonksiyonun her tekrarında bir dalga oluşur. Teorik olarak her dalganın birbirine
eş değer olması beklenir. Ama uygulamada hatalar nedeniyle bir önceki dalga ile
bir sonraki dalga birbirine benzemez. Dalganın iki üst geçişi arasındaki zaman
aralığına periyot demiştik. Peryodun tersi ”salınım hızı” olarak da bilinen frekansı
verir. Bu geçen dalga sayısıdır ve ”f ” ile sembolize edilir.
5
2.3
Frekans Bilgisine Neden İhtiyaç Duyulur?
Frekans kavramı araştırmacılar için çok önemlidir. Çünkü çoğu araştırmacı bir
dizinin veya fonksiyonun içinde birden fazla görülen periyodik bileşenleri ayrı ayrı
öğrenmek ister. Bir fonksiyonun frekans bilgisi ne işimize yarar? Bunu güncel
hayattan bir örnekle açıklamaya çalışalım.
Bir insanın kalp grafiğini (EKG: Elektro Kardiyo-Grafik) gözönünde bulunduralım.
Bu grafik kalp atışlarının zamana bağlı değişimini gösterir.
Bir
kardiyolog sağlıklı bir insanda olması gereken grafiğin şeklini iyi bilir. Önemli
sayılabilecek bir sapma olduğunda hastada bir sağlık problemi bulunduğu ortaya
çıkar.
Zaman dizisine bakarak sağlık problemini bir çırpıda açıkça görülmesi mümkün
değildir. Bu nedenle zaman alanındaki grafiğin kardiyologlar tarafından frekans
alanına dönüştürülmesi onun daha iyi anlaşılabilmesi açısından önemlidir. Çünkü
frekans alanı dizinin içerdiği sinyaller veya başka bir deyişlegözlenen doğa olayının
davranışı ve bu davranışa neden olan fiziksel kuvvetler hakkında daha kolay bilgi
edinmemize yardımcı olur.
Frekans alanının, önemi nedeniyle zaman alanını söz konusu alana dönüştüren
matematiksel araçlara ihtiyaç duyulmaktadır. Bu işlemi geçekleştirecek birçok
analiz yöntemi vardır. Wigner dağılımı, Fourier, Hilbert ve Radon dönüşümü
bunlardan sadece birkaçıdır (Qiao, 2005). Başta Fourier dönüşümü en bilinen ve
sık kullanılan yöntemdir. Son zamanlarda (son 20 yıl içerisinde) popüleritesini
arttıran yeni yöntem ise dalgacık (wavelet) analizidir.
Bir sonraki bölümde
dalgacık analizi hakkında tanımlamalar ve açıklamalar yapılacaktır.
6
3. WAVELET (DALGACIK) ANALİZİ
Dalgacık analizi kullanım olarak oldukça yeni olmasına karşın, temelleri 1805
yılında Joseph Baptiste Fourier tarafından atılmıştır. Fourier’in çalışmasının
temelini oluşturan frekans analizi konusunun sonraları hem önemli hem de etkili
bir yöntem olduğu ispatlanmıştır.
Uygulamada günümüzde sıkça karşımıza
çıkmaktadır.
Sadece frekans analizinin yeterli olmadığı kanaatine varılarak, frekans analizinden
ölçek analizine geçiş yapılmıştır. Çünkü ölçülen ortalama dalgalanmaların farklı
ölçeklerdeki analizleri gürültüye daha az duyarlı olduğu açıkça görülmüştür.
Yani zaman dizilerinin geneline ilişkin kararlar vermek yerine bölgesel ölçekte
oluşan küçük dalgalanmaların önemli olabileceği gündeme gelmiştir. Dolayısıyla
kullanıcılar için dalgacık analizi seçenek olmuştur.
Şimdiki kullanımıyla ”dalgacık” sözü ilk kez Alfred Haar’ın (1909) doktora tezinin
ekler kısmında kullanılmıştır.
Paul Levy, Brownian hareketini (parçacıkların raslantısal hareketini) modelleyerek dalgacık teorisine katkı sağlamıştır (1930–1950).
Levy, parçaçıkların
raslantısal hareketini Haar’ın ölçek değişkenli temel fonsiyonlarının (Haar dalgacığı) Fourier temel fonksiyonlarına oranla daha iyi modellediğini ispat etmiştir.
Dalgacık teorisinin esasları hakkındaki ayrıntılar ilk defa Jean Morlet ve Alex
Grossmann yönetimindeki Marsilya Teorik Fizik Merkezi çalışma grubu tarafından
1985 yılında ortaya atılmıştır.
Dalgacık analizi yöntemleri Yves Meyer ve meslaktaşları tarafından geliştirildi.
Ana algoritma Mallat (1988)’ın çalışmasına dayanmaktadır.
Bundan sonra
dalgacık analizi konusunun uluslararası bir yön kazandığı görülür.
Özellikle
Daubechies, Coifman ve Wickherhouser adlı araştırmacılar önemli çalışmalarıyla
konuya ivme kazandırmışlar.
Bu aşamadan sonra dünya literatüründe sıkça
duyulmaya başlandı (1988–1989).
7
3.1
Fourier Analizine ve Dalgacık Teorisine Giriş
Zaman dizilerinin analizinde en iyi bilinen ve en çok kullanılan Fourier Tekniğidir.
Fourier analizi, bir sinyalin farklı frekanslarını hesaplar. Diğer bir bakış açısıyla;
bir sinyali zaman tabanlıdan frekans tabanlı hale dönüştürür.
Fourier analiziyle bir zaman dizisini meydana getiren frekans bileşenlerinin belirlenmesine karşın dezavantajlara da sahiptir. Frekans alanına dönüşüm sırasında
zaman bilgisi yok olur. Yani bir sinyalin Fourier dönüşümüne baktığımızda özel
bir olayın nerede gerçekleştiğine dair bir şey söylemek mümkün olmaz.
Eğer sinyalin karakteristik özelliği zaman boyunca değişmez ise (yani sinyal
durağan ise) bu dezavantaj önemli değildir. Buna karşın çoğu sinyal önemli
sayılabilecek durağansızlıklar veya geçici özellikler (eğim, ansızın değişim, kırılma
ve olayların başlangıç ve bitişlerini) içerir. Bu beklenmedik özellikler belki de
sinyalin en can alıcı kısımlarını oluşturmaktadır. Fourier analiz bunları belirlemeye elverişli değildir. Bu nedenle söz konusu kullanılacak analiz yönteminin
zaman dizisindeki durağansızlıklara duyarlı olması gerekir. Dalgacık yöntemi bu
konuda Fourier tekniğine seçenek olabilir.
...
...
Şekil 3.1: Sinüs dalgası ve bir dalgacık örneği
3.1.1
Dalgacık
Kelime anlamıdan yola çıkılarak kabaca tanımlamak gerekirse dalgacık; dalganın
küçüğü anlamına gelmektedir. Bir dalgacık, sınırlı zamanda etkili dalga biçimidir.
8
Örneğin Fourier analizinin temelini oluşturan sinüs dalgasını düşünelim. Sinisoidlerin belli bir sınırı yoktur. −∞’dan +∞’a kadar uzanan aralıkta sürekli olarak
kendini tekrar eder durur. Ayrıca sinisoidlerin hem yumuşak geçişleri vardır hem
de predikte edilebilirler. Buna karşın dalgacıklar düzensiz ve asimetrik özellik
eğilimindedir (Şekil 3.1).
Fourier analizde sinyal, sinüs fonksiyonunun farklı frekansları cinsinden ifade
edilebilirken, dalgacık analizinde ise durum biraz farklıdır. Sinyal, ana dalgacığın
belirli bir ölçekte ve zamanda bir miktar kaydırılmasıyla elde edilebilir.
3.1.2
Ölçek ve Zaman Fikri
Dalgacık analizi bir sinyale zaman ve ölçek perspektifinden bakmayı sağlar.
Ölçek, yerel düzenlilik hakkında fikir sunarken, zaman dalgacığın oluşum anını
ifade eder.
1
f (t) = sin(t) → s = 1
0
−1
f (t) = ψ(t) → s = 1
π
2
π
3π
2
2π
1
f (t) = sin(2t) → s =
0
−1
f (t) = ψ(2t) → s =
π
2
π
3π
2
1
2
2π
1
f (t) = sin(4t) → s =
0
−1
f (t) = ψ(4t) → s =
π
2
π
3π
2
1
2
1
4
1
4
2π
Şekil 3.2: Sinüsoid ve dalgacıkta ölçek faktörü
Ölçekleme işlemi, bir fonksiyonu yatay eksen boyunca belli bir oranda sündürmek
9
ya da büzmektir. Ölçek faktörü s ile sembolize edilir. Şekil 3.2 de sinüs ve
dalgacık fonksiyonunda ölçek faktörünün etkisi yer almaktadır. Kısaca, ölçek
faktörü küçüldükçe dalgacık aynı oranda sıkıştırılır.
Dalgacık analizinde önemli bir unsur ise meydana gelen ani değişimlerin belirleyen
zamandır.
Kırılma anı, kenar tespiti ve kısa zaman oluşumlarının izlenmesi
dalgacık analizinin amaçlarındandır.
2
1
0
−1
−2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Şekil 3.3: Zaman içerisindeki frekans değişimi
Şekil 3.3 de görüldüğü üzere zaman, ilerledikçe sinyalin frekansında değişimler
olabilir. Yani sinyal belli zamanlarda farklı frekanslar içermektedir. Bu durumda
sinyalin yapısının durağan olmadığı ortaya çıkar. Bu tip sinyallerin analizinde
frekans değişimlerinin yerinin de tespit edilmesi gerekir.
Klasik analiz yöntemlerinde genellikle sinyalin içinde bulundurduğu frekans
bileşenleri belirlenir. Bu bileşenler sinyalin tümünde bulunduğu varsayılır. Bu
varsayım her zaman doğru değildir. Şekil 3.3’deki sinyal bunun en güzel örneğidir.
Öyle bir matematiksel araç olmalıdır ki; sinyalin her anında oluşan değişimleri
izleyebilsin.
3.1.3
Kısa Zaman Fourier Analizi
Fourier analizinin zamanlama eksikliğini gidermek için, Gabor (1946) sinyali
zaman alanında küçük bölümler (pencereleme) halinde analiz edebileceği fikrini
10
ortaya atmış ve başarıyla uygulamıştır.
Genlik
Genlik
Pencere
Zaman
Zaman
Şekil 3.4: Kısa zaman Fourier analizi
Kısa zaman Fourier Analizi bir sinyalin zaman ve frekans görünüşü arasında
uzlaşmasını sağlar. Yani sinyalin ne zaman ve hangi frekansla oluştuğu hakkında
bilgi verir.
Fakat bu bilgiler sınırlı doğrulukla elde edilir.
pencerenin boyutuyla ilgilidir (Şekil
3.4).
Çünkü doğruluk
Pencere boyutu büyükse frekans
çözünürlüğü iyi, pencere boyutu küçükse frekans çözünürülüğü düşük olur (Lee
vd., 1999).
Yöntem, zaman sinyali f (t) ve bir yaklaşık zaman penceresi w(t) ile çarpılmasıyla
klasik Fourier tekniğiden türetilir. Böylece sinyal kullanıcının tercihine bağlı
büyüklükteki zaman penceresiyle adım adım analiz edilmiş olur. Kayan pencerenin
yerleştirilmesi zaman boyutunun ekler ve zaman değişkenli frekans analizini
gerçekleştirir. Böylece standart Fourier analizinden farklı olarak aşağıdaki eşitlik
elde edilir.
F (τ, ω) =
Z
+∞
−∞
f (t) w(t − τ )e−jω t dt.
(3.1)
Yöntemin zaman ve frekans bilgileri arasında uzlaşı sağlaması faydalı iken,
dezavantajı seçtiğimiz özel pencere tüm frekanslar için aynı olmasıdır. Diğer
bir deyişle KZFD’de yüksek ve alçak frekans bileşenleri için pencere fonksiyonu
genişliğinin değiştirilmesi mümkün değildir. Sadece farklı pencere fonksiyonu
genişlikleri ile KZFD birkaç kez tekrarlanarak sinyalin birkaç zaman-frekans
gösterimi elde edilebilir.
Fakat bu tarz bir analiz hem zaman kaybı hem
de gereksiz işlemlere sebep olduğundan kullanışlı değildir.
11
Dolayısıyla çoğu
sinyal daha fazla esnek bir yaklaşım ister. Böylece pencerelerin boyutu daha
doğru zaman veya frekans bileşenini belirlemek için değişmelidir. Bu nedenle
yöntem ihtiyacı tam anlamıyla sağlayamamış ve başka bir yönteme gereksinim
duyulmuştur.
3.2
Dalgacık Analizi
Dalgacık analizi değişken boyutlu bölgelerde pencereleme tekniğidir. Ayrıca hem
uzun zaman aralığında alçak frekans bilgisini hem de kısa zaman aralığında yüksek
frekans bilgilerini belirlememize yardımcı olur. Yani bir bakışta hem ormanı hem
Ölçek
Genlik
de ağaçları görmektir (Graps, 2006).
Zaman
Zaman
Şekil 3.5: Dalgacık Analizi
Dalgacık analizi; kısa zaman Fourier analizinin aksine zaman-frekans alanını değil,
zaman-ölçek alanını kullanır (Şekil 3.5). Şekilde görüldüğü üzere analiz sonucu
tek boyutlu bir çizgi değil, alanlar oluşur.
Dalgacık analizi ne iş yapar? Dalgacık analizinin en önemli avantajı yerel analizi
yapabilmesidir. Yani büyük sinyali küçük alanda analiz edebilmesidir. Örneğin
küçük bir süreksizlik noktası olan bir sinüs sinyalini düşünelim. Böylesi bir sinyal
gerçek hayatta deneysel olarak kolayca bulmak mümkündür. Bu sinyalin Fourier
analizi sonucunda elde edilen spektral bileşenlerin çizimi ilginç birşey ifade etmez.
Çünkü karşımıza sinyali temsil eden düz bir spektrum (2 zirve) çıkar. Buna
karşın dalgacık analizi sonucunda elde edilen spektral bileşenlerin çizimi zaman
12
içerisindeki süreksizliğin kesin yerini gösterir.
İşte dalgacık analizi boşluklu, eğimli, kırılma noktalı, süreksizlik noktası bulunan
sinyallerin analizinde kullanılan uygun bir analiz yöntemidir.
Bunların yanı
sıra geleneksel yöntemlere göre karşılaştırıldığında dalgacık analizi yardımıyla
bir sinyali sıkıştırma (compression) veya arındırma (de-noising) işlemi sinyalin
orjinalini bozmadan kolayca yapılabilir (Misiti vd., 2004).
3.3
Dalgacığın Matematiksel Temelleri
Kısa zaman Fourier analizinde bir pencere fonksiyonu bulunurken, dalgacık
analizinde bir dalgacık (ψ(x)) fonksiyonu kullanılmaktadır.
Söz konusu dal-
gacık fonksiyonu ölçeklendirilip ve zaman alanında kaydırılarak analiz işlemi
gerçekleştirilir. Bu durumda, öncelikle dalgacığın matematiksel tanımını yapalım
ve çeşitleri hakkında bilgi edinelim.
Dalgacık nitelik yönünden ele alınacak olunursa, öncelikle aşağıdaki iki şartı
sağlayan bir gerçek değerli fonksiyon ψ(x) olması gerekir (Percival ve Walden,
2002):
• ψ’nin integrali sıfırdır:
Z
∞
ψ(x)dx = 0
(3.2a)
−∞
• ψ’nin karesinin integrali bire eşittir:
Z
∞
ψ 2 (x)dx = 1
(3.2b)
−∞
Yukarıdaki eşitlikleri sağlayan her ψ(x) fonksiyonu dalgacık olarak adlandırılır.
Örneğin en basit anlamda yukarıdaki eşitliği sağlayan en temel dalgacık fonsiyonu
13
Haar dalgacığı olarak bilinmektedir. Bu dalgacığın matematiksel gösterimi,

√



−1/ 2, −1 < x ≤ 0;



√
(H)
ψ (x) ≡ 1/ 2,
0 < x ≤ 1;





0,
aksi takdirde.
(3.3)
şeklindedir. Şekil 3.6 söz konusu dalgacığın grafiğini ifade etmektedir.
2
1
0
−1
−2
−3
−2
−1
0
1
2
3
Şekil 3.6: Haar dalgacığı
Başka bir dalgacık örneği vermek gerekirse, Gauss’un çan eğrisi olarak adlandırdığımız olasılık yoğunluk fonksiyonunu (PDF: Probability Density Function) düşünelim. Fonksiyon
2
2
e−x /2σ
φ(x) = √
2πσ 2
(3.4)
eşitliğiyle gösterilir. Bunun birinci türevi bir dalgacığı ifade eder. Yeni oluşan
fonksiyon,
ψ
(f dG)
(x) =
√
2
2xe−x /2σ
σ 3/2 π 1/4
2
(3.5)
halini alır. Bu ifadenin grafik gösterimi Şekil 3.7’de yer almaktadır.
Daha sonra elde edilen birinci türevin bir kez daha türevi alındığında oluşan
yeni fonksiyon Meksika şapkası (mexican hat) olarak da bilinen yeni bir dalgacığı
meydana getirir (Şekil 3.8).
ψ
(M H)
2(1 − x2 /σ 2 )e−x
√
(x) =
π 1/4 3σ
14
2 /2σ 2
(3.6)
2
1
0
−1
−2
−3
−2
−1
0
1
2
3
Şekil 3.7: PDF’in birinci türevinden oluşan dalgacık
2
1
0
−1
−2
−3
−2
−1
0
1
2
3
Şekil 3.8: Meksika şapkası
Yukarıdaki örneklerden de anlaşılacağı üzere birbirinden farklı dalgacık fonksiyonlarıyla karşılaşmak söz konusu olacaktır. Her bir dalgacık fonksiyonun değişik
kullanım alanları mevcuttur. Kullanım alanı analiz yapılacak dizinin karakteristik
özelliğine göre değişir.
3.3.1
Sürekli Dalgacık Dönüşümü
Matematiksel olarak Fourier analiz süreci Fourier dönüşümüyle gösterilir.
F (ω) =
Z
∞
f (t)e−jωt dt
(3.7)
−∞
(3.7) eşitliği f (t) sinyalinin bir kompleks üstel ile çarpılıp toplanmasıyla elde
edilir. Dönüşümün amacı işte bu Fourier katsayılarını hesaplamaktır. Böylece
bir sinyal, Fourier dönüşümü yardımıyla bileşenlerine ayrılır. Her bileşenin ayrı
15
genliği ve frekansı vardır. Bu işlemi Şekil 3.9’da grafik olarak gösterilmektedir.
Fourier
...
Transform
Şekil 3.9: Fourier dönüşümü
Benzer şekilde Sürekli Dalgacık Dönüşümü (SDD), dalgacık fonksiyonunun (ψ)
kaydırılıp bir ölçekle çarpıldıktan sonra zaman alanı boyunca toplanmasıdır.
Bunun matematiksel ifadesi,
1
SDD(τ, s) = p
|s|
Z
∞
f (t)ψ(
−∞
t−τ
)dt
s
(3.8)
biçindedir. Buradaki s ölçek ve τ konumu ifade etmektedir. SDD’nin sonucunda
ölçek ve konum fonksiyonu olan birçok dalgacık katsayıları C elde edilir.
SDD’nin algoritmasının açıklamak istersek, bu işlem 5 adımda tanımlanır.
Bunlar;
1. bir dalgacık al ve orijinal sinyalin başlangıç bölümüyle karşılaştır,
2. dalgacık ile sinyal arasındaki korelasyon katsayısı C’yi hesapla, katsayı ne
kadar büyükse benzerlik te o kadar fazla olacaktır,
3. dalgacığı bir miktar sağa kaydır, adım 1 ve 2’yi tüm sinyali kaplayana kadar
tekrarla,
4. dalgacığı ölçeklendir ve 1., 2. ve 3. adımları tekrarla,
5. tüm ölçekler için 1 ila 4 nolu adımları tekrarla.
16
Bu işlemleri yaptıktan sonra sinyalin farklı bölgelerinde farklı ölçeklerde katsayılar
elde edilir. Bu katsayılar orijinal sinyalin regresyon sonuçlarını gösterir.
Elde edilen katsayılar nasıl gösterilmeli ki; kolayca yorumlanabilsin. Bunun için;
x → zaman, y → ölçek ve xy → C’nin büyüklüğüne göre renklendirme yapılarak
grafiğe aktarılmalıdır.
3.3.2
Ayrık Dalgacık Dönüşümü
Eğer olası tüm ölçek aralığında dalgacık analizi yapılırsa çok büyük veri yığınları
oluşur. Bunlardan kaçınmak için analist belirli ölçek grupları tespit eder ve bu
aralıkta analizleri yapar. Çoğunlukla en pratik ve kullanışlı yol, ölçek ve konum
değerleri ikinin kuvveti olacak şekilde seçilmesidir. İşte söz konusu işleme Ayrık
Dalgacık Dönüşümü (ADD) adı verilir. Matematiksel kuram olarak SDD’den
hiç bir fark yoktur. Sadece hesap sınırı dizinin zaman alanına, ölçek ve konum
değerleri de analistin tercihine bağlıdır.
3.4
Dalgacık Ölçeği ile Fourier Frekansı Arasındaki İlişki
Fourier analizi, bir sinyali farklı frekanslardaki bileşenlerine ayırırken, dalgacık
analizi işlemi farklı ölçeklerde gerçekleştimektedir. Amaç sinyalin içerisindeki gizli
periyodikliğin belirlenmesi olduğundan, bu durumda ölçek ile frekans arasında bir
ilişki kurmak gerekir. Bu ilişki s =
1
f
dir. Frekansla ölçek arasında ters orantı
olmakla birlikte, Fourier periyodu dalgacık ölçeğine eşit değil, denktir. Yani ana
dalgacığın tipi değiştiğinde periyotla ölçek arasındaki oran da değişir. Örneğin
Morlet dalgacığının ölçeği Fourier periyoduna hemen hemen eşitken, Meksikalı
şapkasında ölçek Fourier periyodunun 1/4 katıdır (Torrence ve Compo, 1998).
Bu nedenle analiz işleminden önce ölçek-periyot ilişkisi iyi bilinmelidir.
17
4. SAYISAL UYGULAMA
Önceki bölümde anlatılan dalgacık teorisini daha iyi anlaşılması için sayısal uygulamaların yapılması daha faydalı olacaktır. Öncelikle analiz işlemi, bileşenleri
bilinen test dizisinde yapılarak metodun kullanılabilirliği test edilecektir.
4.1
Monte-Carlo Yöntemi
6
Genlik (m)
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
Zaman (sn)
7
8
9
10
Şekil 4.1: Test zaman dizisi
Matematiksel dönüşümler ham sinyallerde belirlenemeyen detaylı bilgileri elde
etmek için kullanılır.
Bu amaçla aşağıdaki uygulama Fourier ile dalgacık
yönteminin karşılaştırmaları yapılarak elde edilecektir.
Pratikte daha çok zaman alanında sinyaller bulunur. Yani zamanın bir fonksiyonu
olarak ölçülmüş bir sinyal söz konusudur. Böylesi bir gösterim çoğu kez sinyalin
içinde bulunan gizli periyodiklikleri göstermeye yetmez. Bu nedenle sinyal zaman
alanından frekans alanına dönüştürülmesi daha uygun olur.
18
Örneğin 8, 4, 2 ve 1 Hertz (saniyedeki devir sayısı) frekansları olan bir sinyali
düşünelim.
Bu sinyalin periyotları sırasıyla 0.125, 0.25, 0.5 ve 1 dir (f =
1/T ). Söz konusu sinyalin zaman alanındaki gösterimi Şekil 4.1’de verilmiştir.
Matematiksel ifadesi,
f (t) = cos(
2π
2π
2π
2π
t) + cos(
t) + cos( t) + cos( t)
0.125
0.25
0.5
1
şeklindedir.
Spektral yoğunluk (×105 )
Sinyalin Fourier dönüşümüyle elde edilen spekturumu Şekil 4.2 de verilmiştir.
40
20
0
0
0.125 0.250 0.375 0.500 0.625 0.750 0.875 1.000
Periyot
Şekil 4.2: Fourier spektrumu
Yine aynı sinyalin dalgacık dönüşümüyle elde edilen spektrumu Şekil 4.3’te
verilmiştir.
Şekil dikkatlice incelenirse, başlangıçta öngürülen periyotların
bulunduğu bölgeler koyu renkle çevrilmiş beyaz alanlar olarak karşımıza çıkar.
Bu demek oluyor ki; zaman dizisinin söz konusu kısımlarında periyodikler var ve
zaman alanı boyunca aynı yoğunlukta kalmaktadır.
Şimdi ise zaman dizisinin durağan olmadığını varsayalım. Yani zaman alanı
boyunca değişen frekanslar içerdiğini kabul edelim. Bu durumun matematiksel
gösterimi,
19
Test Datasinin Dalgacik Güç Spekturumu
0.03125
0.0625
Peryot
0.125
0.25
0.5
1
2
0
5
10
15
20
Zaman
25
30
35
40
Şekil 4.3: Dalgacık spekturumu
f (t) =


2π

cos( 0.125
t), 0 < t ≤ 10;






cos( 2π t), 10 < t ≤ 20;
0.250

2π


t), 20 < t ≤ 30;
cos( 0.500





cos( 2π t), 30 < t ≤ 40;
1.000
şeklinde olacaktır. Elde edilen zaman dizisinin grafiği Şekil 4.4’te görülmektedir.
İkinci tip zaman dizisinin Fourier spekturum grafiği Şekil
4.5’de verilmiştir.
Önceki Fourier spektrumuyla benzer görüntü elde edilmiştir yine 4 tane zirve
(peak) ve zaman bilgisi yok! Buna karşın aynı dizinin dalgacık spekturumu Şekil
4.6 de gösterilmektedir.
20
Genlik
1
0
−1
−2
0
10
20
Zaman
30
40
Spektral yoğunluk (×105 )
Şekil 4.4: Test zaman dizisi (durağan olmayan)
40
20
0
0
0.125 0.250 0.375 0.500 0.625 0.750 0.875 1.000
Periyot
Şekil 4.5: Fourier spektrumu
4.2
Gerçek Verilerle Uygulama
Uygulama için Antalya mareograf istasyonunun 1990 yılına ait saatlik deniz
düzeyi gözlemleri seçilmiştir.
Bu gözlemler istasyonun analog kayıt ürettiği
döneme ait olduğundan, Harita Genel Komutanlığınca kaba hataları düzeltildikten
sonra sayısallaştırılarak analize uygun hale dönüştürülmüştür (HGK, 1991).
Örnek olarak ocak ayı saatlik gözlemleri Şekil 4.7’de görülmektedir.
Analiz işlemi için Matlab programlama dilinde yazılmış kodlardan faydanılmıştır
(bak.Torrence ve Compo (1998)).
Analiz işlemine başlamadan önce bazı
21
Test Datasinin Dalgacik Güç Spekturumu
0.03125
0.0625
Peryot
0.125
0.25
0.5
1
2
0
5
10
15
20
Zaman
25
30
35
40
Şekil 4.6: Durağan olmayan dizinin dalgacık spekturumu
Deniz düzeyi (m)
1.25
1.00
0.75
0
168
336
504
Zaman (saat)
672
Şekil 4.7: Antalya mareograf istasyonu 1990 yılı ocak ayı saatlik gözlemleri
parametrelerin programa girilmesi gerekir.
(mother wavelet) tipinin seçilmesidir.
22
Bunların başında ana dalgacığın
Literatürde sayısız dalgacık türüne
rastlanır.
Bunlardan en çok bilinen ve kullanılan Haar, Meksikalı şapkası,
Daubechies ve Morlet’tir.
Dalgacığın seçimi daha çok verinin karakteristik
özelliğine ve analistin tercihine bağlıdır.
Ocak Gözlemlerinin Dalgacik Güç Spekturumu
4
Peryot
8
16
32
64
128
256
0
100
200
300
400
Zaman (saat)
500
600
700
Şekil 4.8: Deneysel gözlemlerin dalgacık spekturumu
Morlet dalgacığı karmaşık sayıları içermesi nedeniyle hem genlik hem de faz
bileşenini aynı anda tespit edebilir (Lau ve Weng, 1995). Ayrıca bu dalgacık
ani değişimler yapmayan yumuşak geçişleri olan zaman dizilerinde daha iyi sonuç
verir. Uygulamada kullanılan zaman dizileri bu tipe uyan davranış gösterir.
Dolayısıyla bu çalışmada Morlet dalgacık tipi kullanılmıştır.
Diğer girilmesi gereken parametre ölçek değerinin artış miktarıdır. Bu değer
ne kadar küçük olursa olası periyotlar ayrıntılı bir şekilde incelenmiş olur.
Uygulamada 0.05 olarak alınmıştır.
Bu değerden küçük olması işlem hızını
düşürmekten başka bir işe yaramayacaktır. Ayrıca veri toplama aralığının belirtilmesi gerekmektedir. Burada saatlik veriler girilmiş, dolayısıyla 1 alınmıştır.
Antalya mareograf istasyonuna ait 1990 yılı saatlik gözlemleri aylık gruplara
23
bölünmesiyle analize başlanmıştır. Daha sonra her grup ayrı ayrı analiz edilmiştir.
Analiz sonucu elde edilen grafiklere örnek olarak Şekil 4.8 ve 4.9 verilebilir.
Subat Gözlemlerinin Dalgacik Güç Spekturumu
4
Peryot
8
16
32
64
128
256
0
100
200
300
400
Zaman (saat)
500
600
Şekil 4.9: Deneysel gözlemlerin dalgacık Spekturumu
Şekiller dikkatlice incelendiğinde, duşey eksende 12–13 düzeylerinde (siyah renkle
çevirili alan) periyodiklik olduğu açıkça görülmektedir. Deniz düzeyi gözlemleri
ayın ve güneşin çekim etkisiyle yarı günlük periyodiklikler göstermesi olağandır.
Diğer klasik yöntemle yapılmış çalışmalarda da benzer sonuçlar bulunmuştur
(Abbak, 2005). Ancak bu analizde ise ek olarak periyodikliğin yerelleştirilmesi
yapılmıştır.
Grafiğe yeniden göz atılırsa, birer hafta aralıklarla periyodiklik
oluşmaktadır. İşte bu çalışmayı diğerlerinden ayıran en önemli özellik budur.
24
5. SONUÇ VE ÖNERİLER
5.1
Sonuçlar
Bu çalışmada zaman dizilerinin analizinde kullanılan dalgacık yöntemi tartışılmıştır.
Dalgacık analizi hakkında temel teori ve kavramlar anlatılmıştır.
Teoriyi
daha da güçlendirmek için önce test verileriyle analiz yapılmış ve yöntemin
kullanılabilirliği hakkında bir uygulama gerçekleştirilmiştir. Daha sonra deneysel
bir zaman dizisi olarak deniz düzeyi gözlemleri seçilmiştir. Söz konusu verilerin analizi sonucunda dalgacıkların etkin bir analiz metodu olduğu kanaatine
varılmıştır. Şimdiye kadar ki yapılan çalışmaların aksine farklı bir perspektif
yakalanmıştır.
Analizle birlikte bu yöntemin geleneksel yönteminlere göre üstün yönlerinin
olduğu fark edilmiştir.
Bunlardan en önemlisi; durağan olmayan verilerin
analizine kolayca uygulanabilmesidir.
Zaten deneysel verilerin hemen hepsi
durağanlığı bozan bileşenler (trend, ani değişim, kırılma noktası vs.) içermektedir.
Klasik yöntemlerde ise zaman dizisi durağan olmasa da analiz esnasında durağanmış
gibi kabul edilir. Bu durum ise analizin objektifliği açısından doğru bir tutum
değildir.
Her yöntemde olduğu gibi hiç şüphesiz bu yöntemin de eksik kaldığı noktalar
vardır. Yöntemde verilerin arasında kısa boşlukların olması veya eşit aralıklı
olmaması durumunda enterpolasyonla ilgili kısımların doldurulması gerekir. Aksi
takdirde algoritma gereği doğru bir analiz yapılması mümkün değildir.
Hızlı Fourier analizinde olduğu gibi veri sayısı ikinin kuvveti kadar sayıda (N =
2n ) olması gerekir. Olmadığı takdirde analiz yapılması için veriler en yakın ikinin
kuvvetine kadar sıfır ile doldurulur. Bu suni bir müdahele anlamına gelmektedir.
Dalgacık analiz sonucunda elde edilen grafikler incelendiğinde, periyodiklikler
nicelik olarak belirlenir. Yani test dizisinin analizi sonucu Şekil 4.3’te görüldüğü
25
üzere ”1” frekansının olduğu bölgelerde periyodiklik bulunması gerekirken, bu
değer 0.9 ila 1.1 arasında olabilir.
Bu durum analistin istemeyeceği bir
belirsizliktir.
Benzer şekilde veriler farklı ölçü kaynaklarından elde edilebilir ve dolayısıyla farklı
ağırlıkta veriler oluşur. Bu durumda yöntemin yapabileceği hiç birşey yoktur.
Ağırlık unsurunu gözardı etmek zorunda kalınır.
5.2
Öneriler
Atmosferik ve jeolojik koşullar nedeniyle frekansında ani değişimler gösteren
deneysel zaman dizilerin analizinde bu yöntemin kullanılması sonuçların yorumlanmasını kolaylaştırmaktadır. Dolayısıyla yer bilimleriyle uğraşan araştırmacılara
bu yöntemi kullanması tavsiye edilebilir.
Analiz işlemi sırasında ölçek değişim miktarı olması gerektiği düzeyde belirlenmelidir. Çok küçük olması işlem hızının yavaşlatırken, çok büyük olması da
frekansın çözünürlüğünü düşürmektedir.
Bir boyutlu fonksiyonun (örn. zaman dizisi) dalgacık dönüşümü sonucunda iki
boyutlu fonksiyon, iki boyutlu fonksiyonun (örn. görüntü) dalgacık dönüşümü
sonucunda dört boyutlu fonksiyon ortaya çıkar(Valens, 1999). Günümüz teknolojisiyle dört boyutlu fonksiyonu elde eden analizi yapmak çok zor değildir. Bu
nedenle ileriki çalışmalarda gravite haritalarının analizide kullanılacak etkin bir
yöntem olarak karşımıza çıkacaktır.
26
KAYNAKLAR
Abbak, R. A. (2005). Deniz düzeyi gözlemlerinin en küçük karelerle spektral
analizi. Master’s thesis, Selçuk Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Konya.
Baykut, S., Akgül, T., ve Ergintav, S. (2006). Modeling and Analysis of Noise
Characteristics of GPS Data. In IEEE 14th Signal Processing and Applications
Conference, Antalya, Turkey, 17-19 April 2006.
Graps, A. (2006). Introduction to wavelets. World Wide Web, http://www.
amara.com.
HGK (1991). Erdek, Menteş İzmir, Bodrum ve Antalya Mareograf İstasyonları
1990 yılı Saatlik Deniz Seviyesi Değerleri. Harita Genel Komutanlığı, Ankara.
Keller, W. (2004). Wavelets in Geodesy and Geodynamics. Walter de Gruyter
GmbH & Co., 1st edition.
Lau, K. M. ve Weng, H. (1995). Climate Signal Dedection Using Wavelet
Transform: How to Make a Time Series Sing. Bulletin of the American
Meteorological Society, Volume: 76:pages:2391–2402.
Lee, J. J., Lee, S. M., Kim, I. Y., Min, H. K., ve Hong, H. S. (1999). Comparison
between Short Time Fourier and Wavelet Transform for Feature Extraction of
Heart Sound. IEEE TENCON, Volume: 102:18–55.
Misiti, M., Misiti, Y., Oppenheim, G., ve Poggi, J. M. (2004). User’s Guide on
Wavelet Toolbox 4 for MATLAB. Matworks Incoorperation.
Percival, D. B. ve Walden, A. T. (2002). Wavelet Methods for Time Series
Analysis. Cambridge University Press, second edition.
Qiao, F. (2005). Introduction to Wavelet: A Tutorial. In Workshop on Wavelet
Application in Transportation Engineering,January 09, 2005.
Torrence, C. ve Compo, G. P. (1998). A Pratical Guide to Wavelet Analysis.
Bulletin of the American Meteorological Society, Volume: 79:pages:61–79.
Valens, C. (1999). A Really Friendly User Guide to Wavelet. World Wide Web,
http://www.cs.unm.edu/~ williams/cs530/arfgtw.pdf.
27

Online Available

Transkript

Benzer belgeler

Bölüm 1 - Nesin Matematik Köyü

gama fonks˙ıyonu

VER˙IM E˘GR˙IS˙I ANAL˙IZ ARACI

Türkiye`de Deprem Tekrarlanma Zamanının Tahmini ve Neotektonik

gezegenler˙ın hareket˙ı

Ali Nesin 1956`da bla bla

G3-1 - bilişim teknolojileri enstitüsü

Sabit ve De˘gisken Zaman Gecikmeleri ile Bas Eden ˙Iki

LBP Yardımıyla Görüntüdeki Kişinin Yaşının Bulunması