doğrusal olmayan kontrol sistemleri - TOK2013

Transkript

Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya
DOĞRUSAL OLMAYAN
KONTROL SİSTEMLERİ
331
Birinci ve İkinci Dereceden Kayan Kipli Güdüm Yöntemi ile
Havadan Havaya Füze Güdümü Uygulaması
Muharrem Ulu1,2, Kemal Leblebicioğlu2
1
Türkiye Bilimsel ve Teknolojik Araştırma Kurumu, Savunma Sanayii Araştırma ve
Geliştirme Enstitüsü (TÜBİTAK-SAGE), ANKARA
[email protected]
2
Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü
Orta Doğu Teknik Üniversitesi, ANKARA
[email protected]
olabileceği gibi sistemi kontrol edecek eyleyici üzerinde
tahribata yol açabilmektedir [7]. Bu istenmeyen durumu
azaltabilmek için yüksek dereceden KKK yöntemi önerilmiştir
[7][8][9][10]. Yüksek dereceden KKK yöntemlerinde amaç,
eğer yöntem r. dereceden ise kayma yüzeyinin (r-1). türevine
kadar tüm türevlerinin ve kayma yüzeyinin sıfıra eşit olmasını
sağlamaktır.
Özetçe
Bu çalışmada, doğrusal olmayan kontrol yöntemlerinden olan
kayan kipli kontrol (KKK) yönteminin, birinci ve ikinci
dereceden KKK yöntemleri uygulanarak bir havadan havaya
füze için güdüm kuralı türetilmiş ve iki yöntemin örnek füzehedef çarpışma senaryoları ile karşılaştırması yapılmıştır.
Havadan havaya füzeler görevleri gereği öncelikli olarak
yüksek manevra kabiliyetine sahip hava platformları olan
savaş uçaklarını hedef aldığı için çarpışma başarımını
sağlayabilmek adına hedeften çok daha çevik olmalıdır.
Yöntemlerin başarımını değerlendirmek üzere yeterli çevikliğe
sahip bir havadan havaya füze altı serbestlik dereceli olarak
modellenmiştir. Modellenen füze için üç eksende dönü ve iki
eksende ivme otopilotları tasarlanmış ve uygulanacak güdüm
yöntemleri için doğrusal olmayan bir benzetim ortamı
hazırlanmıştır.
s  s  s  ...  s
( r 1)
0
Bu çalışmada yüksek dereceden kayan kipli kontrol
yöntemlerinden ikinci dereceden bir yöntem olan “üstün
burulma” (super twisting) algoritması kullanılacaktır. Birçok
farklı alanda uygulanabilen bu yöntem dizel motor kontrolü
[10], araç yol takibi [11] ve pnömatik yapay kas kontrolü [12]
gibi farklı çalışmalarda uygulanmıştır.
Bu bildiride öncelikle oransal-integral kayma yüzeyi
kullanılarak birinci dereceden KKK yöntemi ile güdüm kuralı
tanımlanacaktır.
Ardından
ikinci
dereceden
KKK
yöntemlerinden üstün burulma algoritması kullanılarak bir
güdüm kuralı elde edilecek ve bazı füze-hedef çarpışma
senaryoları yardımıyla bu iki yöntem birbirleriyle
karşılaştırılacaktır.
1. Giriş
KKK yöntemi “Değişken Yapılı Kontrol” (Variable Structure
Control (VSC)) olarak bilinen kontrolcü yapısının, kontrol
işlemi sırasında değiştirilmesine dayanan kontrol teorisi
içerisinde incelenmekte olup, sistemdeki bozucu ve
belirsizliklere karşı gürbüz bir kontrol yöntemi olarak öne
çıkmaktadır [1]. KKK yönteminde amaç, geri besleme
üzerindeki kazancın sistemin durum veya durumlarına
bağlanmış bir kurala göre farklı iki değer arasında değişerek
sistemin ilgili durumlarının yörüngesinin, belirlenmiş olan
kayma yüzeyine ulaşması ve bu yüzey üzerinde seyretmesini
sağlamaktır [2]. Manevra yapan hedeflere karşı füzelerin
güdümü için KKK yöntemi kullanılarak birçok çalışma
yapılmıştır. Daha çok birinci dereceden KKK yönteminin
kullanıldığı bu çalışmalarda kayma yüzeyi olarak “görüş hattı
açısının” (line of sight (LOS) angle) zamana göre birinci türevi
kullanılmıştır [3][4][5]. Füze güdümünde görüş hattı açısal
hızını sıfırlamak hedefi vurmayı sağlamaktadır [6].
Dolayısıyla kayma yüzeyi olarak tercih edilmesi oldukça
makul ve anlaşılırdır.
Birinci dereceden KKK her ne kadar gürbüz olsa da
kayma hareketi boyunca görülen ve yüksek frekanslı kontrol
sinyali değişiminin sebep olduğu “çatırtı” (chattering) etkisi
sebebiyle pratik anlamda
istenmeyen
bir durum
doğurmaktadır. Bu yüksek frekanslı kontrol sinyali, sistemin
yüksek frekans kiplerini tetikleyip kararsızlığa sebep
2. Angajman Geometrisi
Y
VT

R
VM

 X T , YT , ZT 
T
aT
M

 X M , YM , Z M  aM
X
Şekil 1: Füze-hedef angajman geometrisi.
Şekil 1’de belirtilen angajman geometrisinde yer alan
değişkenlerin tanımları aşağıda belirtildiği gibidir.
332
3.2. Yüksek Frekanslı Kontrol
VM : füze hızı [m/s]
Toplam kontrol işaretinin, tanımlanan sistem durumunun
kayma yüzeyine yakınsamasını sağlayacak olan bileşeni
yüksek frekanslı kontrol kısmıdır. Yakınsamanın garanti
edilebilmesi için belirlenecek bir Lyapunov fonksiyonu ile
yakınsama koşulunu sağlayacak yüksek frekanslı bileşenin
bulunması gerekmektedir. Belirlenen Lyapunov fonksiyonu
VT : hedef hızı [m/s]
aM : füze ivmesi [m/s2]
aT : hedef ivmesi [m/s2]
M
: füze hız vektörünün X ekseni ile yaptığı açı [rd]
T

: hedef hız vektörünün X ekseni ile yaptığı açı [rd]
: hedef görüş hattı açısı [rd]
R
: füze ile hedef arasındaki mesafe [m]
V 
 (t ) 
1
 YT

 XT
2
olup s  0 için pozitif tanımlı bir fonksiyondur.
Yakınsamanın sağlanabilmesi için fonksiyonun zamana göre
türevinin negatif olması gerekir [2]. Yüksek frekanslı kontrol
bileşeni için kullanılan yapı (10) ile gösterilmiştir.
 YM
 XM



aM ,YF
(1)

kYF sgn( s )
(10)
cos( M )
V  ss  0
VY X  VX Y
V  s (t )  k P  (t )  k I  (t ) 
(2)
2
R (t )
 (t ) 
s
2
İleriki hesaplamalarda kullanılacak olan bazı açıların
tanımlarına dair eşitlikler (1), (2), (3), (4) ve (5) ile
gösterilmiştir.
 (t )  tan
1
aT (t ) cos   T ( t )   a M (t ) cos   M ( t )   2 R ( t )  ( t )


 aT cos( T )  ( aM , ES

 s  kI   kP 
(3)
 aM ,YF ) cos( M )  2 R
R



R (t )
 M (t )   M (t )   (t )
(4)
 T (t )   T (t )   (t )
(5)

sk P
R (t )
 k
T , MAX
edilmiştir. Bu değer yaklaşık olarak 98 m s
(6)
 kYF
(11)
2
olduğu için
kYF  100 alınmıştır. Sonuç olarak güdüm komutu
s ( t )  k P  (t )  k I  (t )
(7)
s ( t )  k P  (t )  k I  (t )
(8)
a M (t ) 
3.1. Eşdeğer Kontrol
Kayma yüzeyinin belirlenmesiyle beraber sonraki aşamada
kontrol kuralı bulunacak olup öncelikle kayma yüzeyinin
zamana göre türevi olan (8) denklemi sıfıra eşitlenerek sistemi
kayma yüzeyinde tutacak olan “eşdeğer kontrol” (equivalent
control) bileşeni bulunur. Hedef ivmesinin bulunduğu terim
eşdeğer kontrol hesaplanırken belirsizlik olarak kabul edilip
dikkate alınmayacaktır. Yüksek frekanslı kontrol bileşeni
bulunurken hesaba dahil edilerek belirsiz hedef ivmesine karşı
güdümün gürbüzlüğü sağlanacaktır. (3) denklemi (8)’de yerine
konulup, füze ivme komutu eşitliğin solunda bırakıldığında
eşdeğer kontrol (9) olarak elde edilir.

0
0a
hedef ivmesi değerinden büyük olduğu müddetçe kayma
yüzeyine yakınsama sağlanacaktır. Senaryolar belirlenirken
hedefin en fazla 10 “g” ivme ile manevra yapabildiği kabul
0

k P , R, aT , MAX  0
(11) denkleminde görüldüğü üzere kYF , belirlenen azami
t
ueq (t )  aM , ES   k I  (t )  k P
  0,
s  0    kYF  aT , MAX
Kayan kipli kontrolcü tasarlanırken ilk aşama kayma
yüzeyinin belirlenmesidir. Bu uygulamada oransal-integral
kayma yüzeyi (6) ile tanımlanmış ve kayma yüzeyinin kendisi
ve zamana göre birinci türevi (7) ve (8) denklemleri ile
verilmiştir.
  ( )d
sgn( s )  aT , MAX
s  0   kYF  aT , MAX
3. Birinci Dereceden Kayan Kipli Güdüm
s ( t )  k P  (t )  k I
YF
2 R(t ) (t ) 
R(t )
R(t )
 k cos  (t )
 M 
 P




k I  (t )  k P
2 R (t )  (t )
R

R
kP
 kYF sgn( s )



cos   M (t ) 
olarak elde edilir.
4. İkinci Dereceden Kayan Kipli Güdüm
KKK yönteminde derece, bir anlamda, kayma yüzeyinin
zamana göre kaçıncı türevinde kontrol komutunun
göründüğünü ifade etmektedir. İlk bakışta bu yöntemin
belirtildiği gibi sadece bağıl derece farkının iki olduğu
sistemlerde kullanılabileceği anlaşılsa da, derece farkının bir
olduğu sistemlerde çatırtı etkisini azaltmak için geliştirilen
üstün burulma algoritması ikinci dereceden bir kontrol
yöntemi olarak öne çıkmaktadır [10]. Bağıl derecesi 1 olan bir
sistem düşünülsün. Bu sistem için
(9)
333
s
u
parametreler için (15) ile bulunan katsayılar ile başarılı bir
güdüm yapılamamış ve füze için belirlenmiş asgari ve azami
ivme değerleri arasında sürekli olarak değişen bir ivme
komutu elde edilmiştir. [7] ile belirtildiği gibi önceden
yapılmış analizlerle biriktirilen  ve  değerlerinin
kullanılmasıyla belirlenen katsayıların çok büyük çıkabileceği
görülmüştür. Dolayısıyla tek bir benzetim boyunca (15)
koşullarını sağlayacak şekilde her zaman adımında değişen
katsayılar bulmanın daha makul olacağı yaklaşımı ile yola
çıkılarak benzetimler yapılmıştır. Fakat bu sefer de benzer
şekilde güdüm için kabul edilebilir sonuçlar elde
edilememiştir.
0
olmak üzere
y1  s (t , x )
y1  y2
(12)
y2   (.)   (t , x )u (t )
sistemi kontrol edilmek isteniyor. Sistemin belirsiz
parametreleri (13) eşitsizlikleri ile sabit pozitif sayılarla
limitlenmiş olsun.
Bu yaklaşımların dışına çıkılarak a , K ve  katsayılarının
eniyileme ile bulunması değerlendirilmiştir. Bu parametreleri
belirlemek için zorlayıcı bir senaryo ve kullanılan eniyileme
yöntemi olarak genetik algoritma tercih edilmiştir.
 (.)  
(13)
0   m   (t , x )   M
5. Genetik Algoritma ile Eniyileme
Bu durumda (12) ile tanımlanmış sistemde sonlu zamanda
ikinci dereceden kayan kipli kontrolü sağlayacak ( s  s  0 )
kontrol kuralı (14) ile tanımlanır [10].
u (t )   K y1

sign ( y1 )  u1
Genetik algoritma, genetik biliminin doğal seleksiyon,
çaprazlama gibi seçime ve çeşitliliğe dayalı özelliklerinin
örnek alınarak modellendiği ve yeni bireyler ya da yöntemdeki
karşılığı ile optimal çözüm adayları oluşturarak en iyi çözüme
ulaşılmaya çalışılan bir eniyileme yöntemidir. Bu yöntemde
olası çözümler (bireyler) arasında çözüme daha yakın olanlar
seçilerek (seleksiyon) bir sonraki çözüm adayı grubu (nesil)
oluşturulur ve nesilden nesile daha iyi sonuca ulaşılmaya
çalışılır.
(14)
u1   a.sign( y1 )
Belirtilen katsayıların tanımları ise (15) ile açıklanmıştır.
a

K 
2
Çözüm aramak için gerekli olan maliyet fonksiyonu M ( x, t )
(18) eşitliğiyle tanımlanmıştır.
m
4 M  a   
m
3
M ( x, t )  w1k1m1 ( x, t )  w2 k 2 m2 ( x, t )  w3 k3 m3 ( x, t )  w4 k 4 m4 ( x , t )
(15)
a  

0    0.5
B.F .
Güdüm problemi için (12) sistemi (16) ile tanımlanmıştır.
Burada,
y1   (t , x )   (t )
m1 , m2 , m3 , m4 : maliyet fonksiyonu parçaları
y1  y2   (t )
(16)
w1 , w2 , w3 , w4 : maliyet ağırlıklandırma sabitleri
y2   (t )   (.)   (t , x )u (t )
(3) eşitliğinin zamana göre türevi alındığında (17) elde edilir.
2 R
 (t ) 
6R 
2

R
R
2
aM sin( M ) M
R

3R  aM cos( M )  aT cos( T ) 
R

(18)
aT sin( T ) T

2
B.F .
: bariyer fonksiyonu
füze-hedef çarpışma zamanı, m3 füze ivmesinin zaman göre
integrali ve m4 kayma yüzeyi türevinin zaman göre integrali
R
olarak tanımlanmıştır. k n kazançları ile bu maliyet parçaları
 (.)
+
: maliyet ölçekleme sabitleri
m1 kayma yüzeyi fonksiyonunun zamana göre integrali, m2

aT cos( T )
R
k1 , k2 , k3 , k4
(17)
tek bir değere ölçeklenmiş ve sonrasında wn ağırlıklandırma
  cos( M )  a

 M
R


kazançları ile maliyet parçalarının ana maliyet fonksiyonu
üzerindeki baskınlıkları belirlenmiştir. Maliyet ağırlıklandırma
katsayıları belirlenirken kayma yüzeyi türevinin zamana göre
integral değerinin düşük olması öncelikli olduğu için diğer
maliyet parçalarına göre daha çok ağırlıklandırılmıştır. Diğer
değişkenlerin öncelik sıralaması ise kayma yüzeyinin zamana
göre integrali, füze ivmesinin zamana göre integrali ve füzehedef çarpışma zamanıdır. Bu sıralama ve ağırlıklandırmalar
 (t , x )
 ve  terimleri füze-hedef çarpışma senaryolarına göre
değişen terimlerdir. (13) ve (15) uyarınca farklı birçok senaryo
için bu değerler kaydedilmiş belirsizliklerin azami değerleri
için belirtilen sabit parametreler bulunmuştur. Fakat bu sabit
334
a : 30.5 , K : 292.66 ,  : 0.146
yapılan birçok benzetimin ve en iyileme süreçlerinin
sonuçlarının detaylı irdelenmesi ile belirlenmiştir.
İkinci aşamada eniyileme sürecinde çalıştırılacak ve aday
çözümlerin manevra kabiliyetini test etmek için kullanılacak
referans iki füze-hedef çarpışma senaryosu belirlenmiştir. Bu
senaryo iki boyutlu uzayda ve yatay düzlemde tanımlanmış
olup sonuçta elde edilecek parametrelerin dikey düzlemde de
kullanılması
amaçlanmıştır.
Tanımlanan
senaryoların
angajman geometrisi Şekil 2 ve Şekil 3’de görüldüğü gibidir.
olarak bulunmuştur. Bulunan bu parametre setleri her iki
yöntem için de iki ve üç boyutta farklı angajman senaryoları
için denenmiş ve hedefin başarıyla vurulduğu görülmüştür.
6. Birinci ve İkinci Dereceden Kayan Kipli
Güdüm Yöntemlerinin Karşılaştırılması
Bu kısımda Bölüm 3 ve 4’te anlatılan birinci ve ikinci
dereceden kayan kipli güdüm yöntemlerinin bazı angajman
senaryoları için başarımları incelenmiştir. Belirlenen
senaryolar, daha çok yatay düzlemde manevra gerektirdikleri
için benzetim sonucunda elde edilen füze yatay ivme komutu,
yatay eksen kayma yüzeyi değeri ve kayma yüzeyinin zamana
göre birinci türevinin değeri grafiklendirilmiştir. “PI” kayma
yüzeyli birinci dereceden, üstün burulma algoritmalı “ÜB”
ikinci dereceden kayan kipli güdüm sonuçları ve füze güdümü
uygulamalarında genellikle kullanılan klasik “oransal
navigasyon güdümü”, “ONG” (proportional navigation
guidance) ile elde edilmiş sonuçları tek figürde çizilerek
karşılaştırılmıştır.
6.1. Senaryo – 1
Şekil 2. Eniyileme süreci için belirlenmiş ilk senaryo
İlk senaryoda yaklaşık 20000ft irtifada, füze yaklaşık 22.3 km
mesafede 1.4 Mach hız ile hareket eden bir hedefe kuzeye
göre 45o baş açısıyla ve 1 Mach hız ile atılıyor. Atış anında
hedef füzeyi farkedip 8 g ivme ile dönerek sakınma manevrası
yapmaya başlıyor ve bir yandan da dönüş manevrası sırasında
hız kaybetmemek için baş aşağı vererek manevrasını
sürdürüyor. Benzetim boyunca hedef hızının degişmediği
kabul edilmiştir.
Tablo 1. İlk senaryo için benzetim koşulları
Senaryo(t0)
X [km]
Y [km]
İrtifa [km]
Hız [Mach]
Baş Açısı [der]
Hedef Manevra [g]
Şekil 3. Eniyileme süreci için belirlenmiş ikinci
senaryo
Füze
0
0
6
1
45
Hedef
20
10
6
1.4
180
8
Eniyileme algoritması çalışırken karşılaşılan hedefin
ıskalanması veya hedefin füze arayıcı başlığının görüş
alanından çıkması durumunda aktif olacak şekilde ve ana
maliyet fonksiyonunun değerini kayda değer şekilde arttırarak
algoritmanın istenmeyen arama bölgelerinden uzak durmasını
sağlayacak bir bariyer fonksiyonu tanımlanmıştır. Yukarıda
belirtilen sabitlerin değerlerinin belirlenmesi ve bariyer
fonksiyonun da tanımlanmasıyla ana maliyet fonksiyonu
oluşturulmuş ve eniyileme süreci hem Bölüm 3’te anlatılan
birinci dereceden yöntemin k P ve k I katsayılarının hem de
Bölüm 4’te anlatılan ikinci dereceden güdüm yönteminin a ,
K ve  katsayılarının belirlenmesi için başlatılmıştır.
Sürecin sonunda elde edilen parametre değerleri,
k P = 13.2
Şekil 4. İlk senaryo için çarpışma yörüngesi
, k I = 0.01
ve
335
Bu senaryo sonucunda ilk 2 saniye içerisinde kayma yüzeyi
değeri ‘0’ civarına getirilmiş olup PI kayma yüzeyi
sonuçlarında çatırtı etkisi net olarak görülmektedir. Şekil 8 ve
9’da kayma yüzeyi değeri ve zamana göre birinci türevine
yakından bakıldığında üstün burulma algoritması ile çatırtı
etkisinin azaltılabildiği ve daha iyi bir kayan kipli kontrolün
elde edildiği görülmektedir.
Ayrıca klasik ONG güdüm sonucu ile kıyaslandığında, her iki
kayan kipli güdüm yönteminin vuruş zamanı anlamında kısa
bir süre de olsa kazanç sağladığı görülmektedir.
Şekil 5. Füze yatay ivme komutu değişimi
6.2. Senaryo – 2
Bu senaryoda da yaklaşık 20000ft irtifada, füze yaklaşık 11.2
km mesafede 1 Mach hız ile hareket eden bir hedefe kuzeye
göre 45o baş açısıyla ve 1 Mach hız ile atılıyor. Füze atış
sırasında hedef kuzeye göre 250o baş açısıyla hareket etmekte
olup Şekil 10’da görüldüğü üzere “yüksek nişan hattı sapma
açısıyla” (high off-boresight angle) atılıyor.
Tablo 2. İkinci senaryo için benzetim koşulları
Senaryo(t0)
X [km]
Y [km]
İrtifa [km]
Hız [Mach]
Baş Açısı [der]
Hedef Manevra [g]
Şekil 6. Yatay kanal kayma yüzeyi değerinin değişimi
Füze
0
0
6
1
45
Hedef
10
5
6
1
250
3
Şekil 7. Yatay kanal kayma yüzeyi türevinin değişimi
Şekil 8. Yakından yatay kanal kayma yüzeyi değişimi
Şekil 10. İkinci senaryo için çarpışma yörüngesi
Şekil 11. Füze yatay ivme komutu değişimi
Şekil 9. Yakından yatay kanal kayma yüzeyi türevinin
değişimi
336
tutularak
başarılı
bir
çarpışmanın
sağlanabileceği
görülmektedir.
Farklı füze-hedef senaryoları için belirlenen statik parametre
kümesi ile güdüm problemini çözmek mümkün olsa da
başarısını sınırlayabilmektedir. Bunun yerine, önerilen çözüm,
farklı füze-hedef geometrileri için geçerli olan çok sayıda
parametre kümesi arasında gerçek zamanlı interpolasyon
yapılarak senaryo boyunca değişen parametre değerleri ile
daha başarılı sonuçların elde edileceği değerlendirilmektedir.
Teşekkür
Şekil 12. Yatay kanal kayma yüzeyi değeri değişimi
Sağladığı katkı ve kaynak desteği için TÜBİTAK SAGE’ye
teşekkür ederiz.
Kaynakça
[1] C. Edwards, E.F. Colet ve L. Fridman, Advances in
Variable Structure and Sliding Mode Control, Springer,
2006.
[2] R.A. DeCarlo, S.H. Zak ve S.V. Drakunov, The Control
Handbook, CRC Press, Cilt: 1, Bölüm: 11, s: 941-951
1999.
[3] M. Innocenti, F. Pellegrini, F. Nasuti, “A VSS Guidance
Law for Agile Missiles,” Proc. of the AIAA Guidance,
Navigation, and Control Conference, New Orleans,
Louisiana, U.S.A., Cilt: AIAA-1997-3473, s:179-188,
1997.
[4] K. R. Babu, I.G. Sarma ve K.N. Swamy, “Switched Bias
Proportional Navigation for Homing Guidance Against
Highly Maneuvering Targets,” AIAA Journal of
Guidance, Control, and Dynamics, Cilt: 17, No: 6,
s:1357-1363,1994.
[5] D. Zhou, C. Mu, Q. Ling ve W. Xu, “Optimal SlidingMode Guidance of a Homing-Missile,” Proc. of the 38th
Conference on Decision and Control, Phoenix, Arizona,
U.S.A., s:5131-5136, 1999.
[6] N.F. Palumbo, R.A. Blauwkamp ve J.M. Lloyd, “Basic
Principles of Homing Guidance,” Johns Hopkins APL
Technical Digest, Cilt: 29, No: 1, 2010.
[7] A. Levant, A. Pridor, R. Gitizadeth, I. Yaesh ve J.Z. Ben,
“Aircraft Pitch Control Via Second Technique,” AIAA
Journal of Guidance, Control, and Dynamics, Cilt: 23,
No: 4, s:586-594, 2000.
[8] A. Levant, “Sliding Order and Sliding Accuracy in
Sliding Mode Control,” International Journal of Control,
Cilt: 58, s: 1247-1263, 1993.
[9] G. Bartolini, A. Ferrara, A. Levant ve E. Usai, “On
Second Order Sliding Mode Controllers,” Variable
Structure Systems, Sliding Mode and Nonlinear Control,
Lecture Notes in Control and Information Sciences,
Springer-Verlag, Cilt: 247, s: 329-350,1999.
[10] M.K. Khan, K.B. Goh, S.K. Spurgeon, “Second Order
Sliding Mode Control of a Diesel Engine,” Asian Journal
of Control, Cilt: 5, No: 4, s:614-619, 2003.
[11] H. Imine ve T. Madani, “Sliding Mode Control for
Automated Lane Guidance of Heavy Vehicle,”
International Journal of Robust and Nonlinear Control,
Cilt: 23, s: 67-76, 2013.
[12] M. Chettouh, R. Toumi ve M. Hamerlain, “High-Order
Sliding Modes for a Robot Driven by Pneumatic
Artificial Rubber Muscles,” Advanced Robotics, Cilt: 22,
No: 6-7, s:689-704, 2008.
Şekil 13. Yatay kanal kayma yüzeyi türevinin değişimi
Şekil 14.Yakından yatay kanal kayma yüzeyi değişimi
Şekil 15. Yakından yatay kanal kayma yüzeyi türevi
değişimi
Bu senaryo sonucunda da üstün burulma algoritması ile çatırtı
etkisinin azaltılabildiği görülmüştür. Buna ek olarak ONG
yöntemi ile vurulamayabilecek bir hedefin tasarlanan her iki
kayan kipli güdüm yöntemi ile vurulabildiği görülmektedir.
7. Sonuçlar ve Gelecek Çalışmalar
Çalışma kapsamında tasarlanan kayan kipli güdüm yöntemleri
kullanılarak yapılan bilgisayar benzetimleri sonucunda, üstün
burulma algoritmasının KKK yöntemlerinde görülen
istenmeyen çatırtı etkisini oldukça azalttığı görülmektedir.
Ayrıca tasarlanan birinci ve ikinci dereceden yöntem ile klasik
oransal navigasyon güdümüne göre ilk senaryoda çarpışma
zamanının azaltılabilmesinin yanısıra ikinci senaryoda bu
yöntemle ıskalanabilecek hedeflerin füze görüş alanı içinde
337
GENELLEŞTİRİLMİŞ BİRBİRİNE BAĞLI BENZER
SİSTEMLER: DAĞITILMIŞ ÇIKIŞ TAKİP KONTROLÜ
Georgi Dimirovski1&2, Dilek Tüke11
1
Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği Bölümü
Doğuş Üniversitesi, İstanbul
[email protected]
2
Inst. Of ASE, Inst. of ASE, Faculty of Electrical Eng. & Information Technologies,
SS Cyril &Methodius University, MK-1000 Skopje, Rep. of Macedonia
[email protected]
Eğer öngördüğümüz sınırlar, gerçektekinden çok daha büyük
olursa, kararlılığı garantilerken bu defada yüksek kontrol
kazançlarından dolayı, denetleyicimiz ekonomik olmayacaktır.
Büyük ölçekli sistemlere, boyutu bilinmeyen belirsizlikler [10]
de ayrıntılı olarak incelenmiş, Ricatti yöntemiyle tasarlanan
doğrusal olmayan denetleyici ile doğrusal zamanla değişen
belirsiz geniş ölçekli sistemde kararlılık sağlanırken giriş
kazancında ki belirsizlikler hesaba katılmamıştır.
Çalışmamızda,
benzerlikler taşıyan genelleştirilmiş
bağlantılı sistemlerin dağıtılmış takip kontrolü, benzerlik ve
doğrusal olmayan belirsizlik içeren tanımlayıcı modeller
yardımıyla incelenmiştir. Her alt sistem, kendi içinde yapısal
belirsizlikler
içerebilmektedir.
Dağıtılmış
kontroller
tasarlanmış ve yeni bir teori ispatlanmıştır. Bunu yaparken
genelleştirilmiş tanımlayıcılar için Dai’nin [5] çalışması,
dayanıklı takip için [15] ve bağlantılı sistemlerin benzerliği
için [1] ve [4] çalışmaları referans olarak alınmıştır.
Dayanıklı çıkış takip kontrolörleri, darbe etkilerinden
etkilenmeden, referans sinyalini asimptotik olarak takip
edebilmek üzerine tasarlanır. Bu denetleyiciler, benzerlik
ihtiva ettiği için gerçeklemesi ve yok edilmiş denetleyiciler
içinse tekrar üretilebilmesi oldukça kolay olmaktadır.
Doğrusal olmayan sistemler için takip kontrol analizi ve
tasarımı ve analizine de katkıda bulunmaktadır.
Özetçe
Bu çalışmada yapısında benzerlikler taşıyan genelleştirilmiş
birbiriyle bağlantılı sistemlerin dağıtılmış takip kontrolü,
doğrusal tanımlayıcı modeller yardımıyla incelenmiş ve
çözülmüştür. Bağlantıların ve alt sistemlerin doğrusal
olmadığı ve yapısal belirsizliklere sahip olduğu kabul
edilmiştir. Tasarlanan dayanıklı kontrolörlerle, birbirine bağlı
alt sistemlerden oluşan bu sistem referansı asimptotik olarak
izler, ayrıca kontrol edilen sistemde darbe etkisi görülmez.
Takip kontrolörlerin yapıları birbirlerine benzerlik gösterirler,
bu sayede gerçeklemesi, yok edilmesi ve tekrar üretilmesi
oldukça kolaydır. Bu çalışmanın sonucu, genelleştirilmiş
sistemlerin benzerliği varsayımı üzerine kurulmuştur.
1. Giriş
Genelleştirilmiş birbirine bağlı sistemler, belirsizlikler de
içerebilen doğrusal veya doğrusal olmayan alt sistemlerden
oluşmuştur. Bunu, geniş ölçekli sistemlerin özel bir durumu
olarak kabul edebiliriz. Genelleştirilmiş bağlı sistemlerin
benzerliği konusunda referans olabilecek çok fazla çalışma
yoktur. Buna karşılık doğrusal olmayan ve simetrik sistemler
ilgili çalışmalara
[1], [2], [3] ve [4]
referanslarını
gösterebiliriz. Uygulama alanları ile ilgili [5], [6], [7] ve [8]
referansları mevcuttur. Geniş ölçekli sistemler ve tasarım
yöntemleri ile ilgili de ayrıntılı çalışmalar [6] vardır. Bu tip
sistemlerin birçoğunda simetri ve tekrar mevcuttur.
Birbirine bağlı benzer sistemler, dünyamızda doğal olarak
meydana gelir ([6], [7], [8] ve [9]). Gerçek karmaşık
sistemleri ve özelliklerini anlamak [1] açıklandığı gibi bize en
iyi denetleyici tasarımında ve uygulamasında yol
gösterecektir. Dağıtılmış denetleyici tasarımı hakkında birçok
çalışmada belirsizlik içeren büyük ölçekli sistemlerin,
modellerdeki belirsizliklerin [10], [11], [12], [13] ve [14]
çalışmalarında belirtildiği gibi, sınırlı olduğu kabul edilmiştir.
Denetleyicinin tasarımı, bu sınırlar üzerine inşa edilmiştir.
Gerçek sistemlerde, belirsizliğin sınırlarını tahmin etmek
oldukça zordur. Aynı şekilde geniş ölçekli sistemlerde alt
sistemler arasında ki ilişki hakkında da ki bilgide sınırlıdır.
Eğer, belirsizlik sınırları öngördüğümüz sınırları aşarsa,
tasarladığımız kontrolörlün kararlılığını garanti edemeyiz.
2. Problemin Tanımı ve Formülasyonu
Doğrusal olmayan bağlantılı sistemin modeli, bir başka ifade
tarzı ile benzer yapılı genelleştirilmiş sistem betimleyicisini
aşağıda ki gibi yazabiliriz.
 Ex&i = Axi + Bui + ∆Fi ( xi , t ) + ∆H i ( xi , t )

i = 1,2,..., n
 yi = Cxi
(1)
Denklem (1) de ki değişkenler:
xi ∈ R n , ui ∈ R m , yi ∈ R k : i-ıncı durum, kontrol giriş ve çıkışı
E , A ∈ R nxn , B ∈ R nxm , C ∈ R kxn :matrisleri sabit ve
rank(E) < n
∆Fi ( xi , t ) :i- ıncı alt-sistemin yapısal belirsizliği
x i = col ( x1 , x2 , L xi −1 , xi , L xn ) ,
338
∆H i ( xi , t ) : doğrusal olmayan bağlantılardaki belirsizliktir.
Bu denkliğin anlamı alt-sistemler(1) ve referans modeller
arasında belirli bir bağlantı olduğudur. Bu varsayımın ayrıntısı
takip denetim tasarımı sırasında anlatılacaktır.
Fiziksel nedenlerle ve genelleştirilmiş alt sistemin düzenli
olduğunu kabul edersek, aşağıdaki bağıntıyı yazabiliriz.
∆Fi (0, t ) = 0, ∆H i (0, t ) = 0, i = 1, 2, L , n
Varsayım 3: Doğrusal olmayan belirsizlikler, her alt sistemi
giriş geçiş yolları ile etkiler.
Bu varsayımımız, alt-sistem seviyesinde çözümün varlığını ve
tekliğini anlamına gelmektedir.
∆Fi ( xi , t ) = B∆f i ( xi , t ) , ∆H i ( xi , t ) = B∆hi ( xi , t ) .
Tanım 1: Genelleştirilmiş sistem betimleyici
Varsayım 4: Aşağıdaki eşitsizlikleri gerçekleyen
fonksiyonlar ρ i ( xi , ~
xi ) , η i ( xi , ~
xi ) ve devamlı fonksiyonların
C(.), D(.) var olduğu.
Ex&i = Axi + Bui

i = 1,2, L , n
 yi = Cxi
(2)
Yukardaki denklem, denklem (1) ki i-ıncı alt-sistemin
nominal(itibari) gösterimidir. (E,A,B,C) matrisleri ise
uygulamalarda gerçeklenen halidir.
Bu bildiride, denklem (1) de ki bağlantılı genelleştirilmiş
sistem, alt-sistemlerinin hepsi aynı lineer gösterime
(E,A,B,C,D) sahip olduğundan, benzer yapılara sahip
olacaktır. Bu yapı [1] ve [4] de önerilen benzerlik yapısının
uzantısıdır. Benzerlik mimarisinin özellikleri kullanılarak n
dayanıklı denetleyici bir araya getirilerek sentezi yapılacaktır.
Bu kontrol yapısı çözümü, darbe etkisine (bu etki sistemleri
kararsız yapabilir) sahip herhangi bir kontrol sistemi
olmadığını garanti etmektir, ve n çıkış asimptotik olarak
referans sinyali wi(t) takip etmektedir.
Çalışmamızda, standart izleme problemlerinde bilinen
~
xi (0) başlangıç durumu için n boyutlu sistemin model
gösterimi, çözüm için genelleştirilmiş bağlantılı benzer sistem
denetleyici tasarım problemimize uyarlanmıştır.
~
 ~
x&i = A~
xi
(3)

~~
wi = C xi
~ ~
A, C Sabit matrisler, wi referans sinyali, xi durum
vektörüdür.
C ( 0) = 0
∆f i ( xi , t ) ≤ ρ i ( xi , ~
xi ) ≤ C[ E ( xi − G~
xi )]
(4)
D(0) = 0
∆hi ( xi , t ) ≤ ηi ( xi , ~
xi ) ≤ D[ E ( xi − G~
xi )]
(5)
C(.) ve D(.) devamlı fonksiyonlarının varlığı varsayımı izleme
denetimi için biraz daha özel bir karmaşıklığı gösterir. Bu
varsayım, bu türde ki genelleştirilmiş sistemlerinin yanı sıra
geniş ölçekli sistemlerinin analizi ve tasarımında da kullanılır.
Varsayım 5: (E,A,B,C) kararlı ve darbe denetlenebilir sistem
oluşturur. Darbe denetlenebilirlik, sistemin(1) asimptotik
izleme kararlığı için gerekli koşuldur.
V5 sayesinde, mxn K matrisi ve nxn tekil olmayan T, S
matrisinin varlığının öngörebiliz.
0 
A
 I 0

, T ( A + BK ) S =  1
TES =  r
 0 0
 0 In−r 
(6)
R=rank(E) ve A1 kararlıdır. Böylece Lyapunov denklemini
kesin artı tanımlı r boyutlu her hangi bir Q matrisi için
yazabiliriz.
3. Çıkış İzleme Denetleyicisi
A1T P + PA1 = −Q
Ele alınan bağlantılı sistem sınıfı için (1) ve referans model
(3) için beş varsayım da bulunabiliriz.
(7)
P, kesin artı tanımlı çözümdür. Ayrıca, T ve S matrislerini T1,
S1 rxn alt matrislerine ayırabiliriz.
Varsayım 1: Referans durum uzay modelinin (3) bütün
durum değişkenleri için sınırlıdır. ( ~
xi ≤ M bir başka deyişle
kesin artı sayı M in var olduğu )
T 
T =  1 
 T2 
Bu kararlı bir izleme denetimi olabilmesi için gerekli
koşuldur.
Teorem 1: Varsayım 1-Varsayım 4 göre, aşağıdaki dayanıklı
kontrol çözümü vardır.
Varsayım 2: Aşağıda ki denklemi sağlayacak G, L matrisinin
varlığı.
ui = u1i + ui2 + ui3 i = 1,2,L, N
,
~
 A B  G   EGA 

  =  ~ 


 C 0  H   C 
339
S 
S −1 =  1 
 S2 
(8)
(9)
 Ir

0
u1i = Kxi + ( H − KG ) ~
xi
 B T T1T PS1 ( x i − G~
xi )
ρ i ( xi , ~xi ) if
−
u =  B T T1T PS1 ( x i − G~
xi )

0
if

2
i
B T T1T PS1 ( xi − G~
xi ) = 0
 A1

0
0 

I n − r 
 zi (1) 


 zi ( 2 ) 


Düzenlersek:
z&i (1) = A1zi (1) + T1B[(ui2 + ∆f i ( xi , t )) + (ui3 + ∆hi ( xi , t ))]
(15)
BT T1T PS1( xi − G~
xi ) ≠ 0
0 = zi ( 2) + T2 B[(ui2 + ∆f i ( xi , t )) + (ui3 + ∆hi ( xi , t ))]
(16)
BT T1T PS1 ( xi − G~
xi ) = 0
Sistemde (13) ve referans sinyal sisteminin de (3) darbe etkisi
yoktur. Buna göre xi = z i + G~
xi de darbe etkisi yoktur. (15)
için kesin artı bir fonksiyon tanımlarsak
(11)
K,T1,S1,P1 denklem(6),(8) ve (7) de ki gibidir.
a)
 z&i (1) 


 z&i ( 2)  =


+ TB[(ui2 + ∆f i ( xi , t )) + (ui3 + ∆hi ( xi , t ))]
B T T1T PS1 ( x i − G~
xi ) ≠ 0
(10)
 BT T T PS ( x − G~
xi )
1 i
1
−
ηi ( xi , ~xi ) if

ui3 =  BT T1T PS1( xi − G~
xi )


0
if
0

0 
V ( zi (1) ) = ziT(1) Pzi (1)
Kapalı çevrim sistemin u1 ve genelleştirilmiş
sistemin (1) darbe etkisi yoktur.
b)
yi(t) çıkışı referans sinyali wi(t) asimptotik olarak
izlemektedir.
c)
Kapalı çevrim sisteminin durum değişkenleri ve
geneleştirilmiş sistem(1) her zaman sınırlıdır.
(7), (9), (10) ve (14) kullanarak aşağıda ki denklemleri elde
ederiz.
V& ( zi (1) ) = ziT(1) ( A1T P + PA1 ) zi (1) + 2 ziT(1) PT1B[(ui2 + ∆f i ( xi , t )) +
(ui3 + ∆hi ( xi , t ))]
= − ziT(1) Qzi (1) + 2 ziT(1) PT1B[(ui2 + ∆f i ( xi , t )) + (ui3 + ∆hi ( xi , t ))]
İspat:
~
= − ziT(1) Qzi (1) + 2( xi − G x i )T S1T PT1B[(ui2 + ∆f i ( xi , t ))
Varsayım (3) göre, kapalı çevrim sistem (1) ve ui aşağıdaki
gibi yazabiliriz.
xi ) = 0 ise,
Eğer BT T1T PS1( xi − G~
T T
~
( xi − Gxi ) S1 PT1B[ui2 + ∆f i ( xi , t )] = 0 ;
Ex&i = Axi + B[u1i + ui2 + ∆f i ( xi , t ) + ui3 + ∆hi ( xi , t )]
xi +
= ( A + BK ) xi + B[(H − KG ) ~
(ui2 + ∆f i ( xi , t )) + (ui3 + ∆hi ( xi , t ))]
(12)
değilse
xi ) ≠ 0
n yeni değişkeni aşağıda ki gibi tanımlarsak
z = x − G~
x , i = 1,2, L , n ,
i
i
(17)
+ (ui3 + ∆hi ( xi , t ))]
Denklem (10) kullanarak
i
( xi − G~
xi )T S1T PT1B[ui2 + ∆f i ( xi , t )]
ve Varsayım (2) ve (3) kullanarak aşağıdaki hata dinamiğini
gösteren denklem setini türetebiliriz.
Ez&i = ( A + BK ) zi + B[(ui2 + ∆f i ( xi , t )) + (ui3 + ∆hi ( xi , t ))] ,
i = 1,2, L , n .
xi )
= ( xi − G~
xi )T S1T PT1B[ −
ρ i ( xi , ~xi ) + ∆f i ( xi , t )]
T T
~
B T1 PS1 ( xi − Gxi )
(13)
Denklem (8) kullanılarak, aşağıdaki dönüşümü yazılabilir.
 zi (1) (t ) 
 Si 
−1


 
 z i ( 2 ) (t )  = S z i =  S  z i ,
 2


= − BT T1T PS1 ( xi − G~
xi ) ρ i ( xi , ~
xi ) + ( xi − G~
xi )T S1T PT1B∆f i ( xi , t )
(14)
≤ − BT T1T PS1 ( xi − G~
xi ) ρ i ( xi , ~
xi ) + BT T1T PS1 ( xi − G~
xi ) ⋅ ∆f i ( xi , t )
Bu denklemi tekil olmayan aşağıda ki T matrisi ile soldan
çarptığımızda
≤ − BT T1T PS1 ( xi − G~
xi ) ρ i ( xi , ~
xi ) + BT T1T PS1 ( xi − G~
xi ) ρ i ( xi , ~
xi )
=0
340
Ve sonunda aşağıda ki eşitsizliği yazabiliriz.
2( xi − G~
xi )T S1T PT1B[ui2 + ∆f i ( xi , t )] ≤ 0 .
 zi (1) (t ) 
=0
lim zi (t ) = lim S 
t → +∞  zi ( 2 ) (t ) 
ve
(18)
t → +∞
Denklem (11) kullanarak ve aynı sırayı izlersek de aşağıdaki
eşitsizliğe (19) ulaşırız.
2( xi − G~
xi )T S1T PT1B[ui3 + ∆hi ( xi , t )] ≤ 0 .
~
lim [ yi (t ) − wi (t )] = lim [Cxi (t ) − C~
xi (t )]
t → +∞
(19)
Varsayım A1 ve Denklem (23), ~
x ve zi sınırları olduğu için
~
z = x − Gx , i = 1,2, L , n , x sınırlı olduğu kolayca
i
(20)
E ( xi − Gx%i ) = T
−1
u1i = Kxi + ( H − KG ) ~
xi
0   zi (1) 
−1  zi (1) 
 =T 

.
0   zi (2) 
 0 
basit doğrusal denetleyicidir.
Zaman sonsuza giderken ki limitini aşağıda ki şekilde
yazabiliriz.
 z (t ) 
lim E ( xi − G~
xi ) = lim T −1  i (1) 
t → +∞
t → +∞
 0 
(21)
lim zi (1) (t ) 
−1  t →

= T  +∞
=0
0


İkinci bileşen
 BT T T PS ( x − G~x )
T T
1
1 i
i ρ (x , ~
~
−
i i xi ) B T1 PS1 ( xi − Gxi ) ≠ 0
2 
T
T
~
ui =  B T PS ( x − Gx )
1
1 i
i


0
xi ) = 0

ve üçüncü bileşeni de aşağıda ki gibi formüle edebiliriz.
 BT T1T PS1 ( xi − G~xi )
T T
ηi ( xi , ~xi )
B T1 PS1 ( xi − G~
xi ) ≠ 0
−
3 
ui =  BT T1T PS1 ( xi − G~
xi )

T T

0
B T1 PS1 ( xi − G~
xi ) = 0
Denklem (16) yı tekrar yazarsak
zi ( 2) (t ) = −T2 B[(ui2 + ∆f i ( xi , t )) + (ui3 + ∆hi ( xi , t ))] ,
Varsayım 4 kullanırsak:
Görüldüğü gibi doğrusal olmayan denetleyicimiz mantık
tabanlı
anahtarlama
içermektedir.
Denetleyicimi
sentezlediğimizde kontrol yapısına bu yapı taşınacaktır.
zi ( 2) (t ) = − T2 B[(ui2 + ∆f i ( xi , t )) + (ui3 + ∆hi ( xi , t ))]
≤ T2 B ⋅  ui2 + ∆f i ( xi , t ) + ui3 + ∆hi ( xi , t ) 


Kontrol u1i , i=1,2,..,n aynı doğrusal yapıya sahipken, ui2 ve
ui3 , aynı B, T1 , S1, G matrislerini ihtiva eder ve aynı benzerlik
≤ 2 T2 B ⋅ [ ρ i ( xi , ~
xi ) + ηi ( xi , ~
xi )]
yapısına sahiptirler. Buradan bütün kontrol sinyalleri ui aynı
benzerlikte olduğu sonucuna varabiliriz. Görüldüğü üzere,
kontrol altyapısı bu şekilde gerçekleştirerek, bir bilgisayar
kontrol
algoritması
şeklinde
yazabiliriz.
K , H , B , T1, S1, G kullanarak yok edilmiş kontrol sinyallerini
≤ 2 T2 B ⋅ {C[ E ( xi − G~
xi )] + D[ E ( xi − G~
xi )]} .
C(.) ve D(.) devamlı fonksiyonlarlar olduğunu hatırlayarak,
(21) denklemi kullanarak,
lim zi ( 2) (t ) ≤ 2 T2 B ⋅ lim {C[ E ( xi − G~
xi )] + D[ E ( xi − G~
xi )]}
t → +∞
t → +∞
t → +∞
= 2 T2 B ⋅ [C (0) + D(0)] = 0
lim zi ( 2) (t ) = 0 .
t → +∞
tekrar oluşturabiliriz. Bu özellik, önerilen merkezi olmayan
geri beslemeli kontrol yapısına dayanıklılık özelliği sağlayarak
algoritmayı iyileştirir. Ayrıca, ui2 ve ui3 ile gerçekleştirilen
mantık kontrollü anahtarlamalı[16],[17],[18],[19] kontrolle
kontrolörümüz daha iyi sonuçlar verecektir
= 2 T2 B ⋅ {C[ lim E ( xi − G~
xi )] + D[ lim E ( xi − G~
xi )]}
t → +∞
i
Birinci bileşen
I
⋅ TES ⋅ S zi = T  r
0
−1
i
Açıklama : (9) da sentezlenen bütün denetleyiciler üç analitik
bileşen çözümünden oluşmaktadır.
Denklem (6) yı kullanırsak
−1
i
anlaşılır. Bu noktada ispatımız tamamlanmıştır.
olduğu sonucuna varabiliriz.
lim zi (1) (t ) = 0
t → +∞
t → +∞
V& ( zi (1) ) negatif tanımlı bir fonksiyon
t → +∞
t → +∞
= lim [Cxi (t ) − CG~
xi (t )] = lim Czi (t ) = 0 .
Q kesin artı tanımlı olduğu için, denklem (17),(18) ve (19) ve
V& ( zi (1) ) ≤ 0 ,ve V& ( zi (1) ) = 0 olması için tek koşulun zi (1) = 0
olması gerektiğinden
(23)
(22)
(14), (20) ve (22) denklemler aşağıdaki sonuca ulaştırır.
341
[14] M. Ikeda, D. D. Silijak, “Overlapping decentralized
control with input, state and output inclusion.” Control
Theory & Advanced Technology, vol. 2, pp. 155-172,
1986.
[15] T. H. Hopp, W. E Schmitendorf., “Design of a linear
controller for robust tracking and model following,”
ASME J. of Dynamic Systems, Measurement & Control,
vol. 11, no. 2, pp. 552-558, 1990.
[16] D. Liberzon, Switching in Systems and Control.
Birkhauser, Boston, MA, 2003.
[17] L.-L. Li, J. Zhao, G.M. Dimirovski, “Robust H-inf
control for a class of switched nonlinear systems with
neutral uncertainties.” Trans. of the Institute of
Measurement & Control, special issue on Switched
Dynamical Systems, vol. 32, pp. 635-659, 2010.
[18] M. Wang, J. Zhao, G.M. Dimirovski, “Dynamics of
output feedback robust H-inf control of uncertain
switched nonlinear systems.” Intl. J. of Control,
Automation & Systems, vol. vol. 9, pp. 1-8, 2011.
[19] R. Wang, J. Zhao, G.M. Dimirovski, G.-P.Liu, “Output
feedback control for uncertain linear systems with faulty
actuators based on a switching method.” Intl. J. of Robust
& Nonlinear Control, vol. 19, pp. 1295-1312, 2009.
5. Sonuçlar
Doğrusal benzer yapılardan oluşan, genelleştirilmiş sistem
betimleyicisi modellenebilen, doğrusal olmayan bağlantılı
sistemler için merkezi olmayan çıkış takip denetleyicisinin
sentezi yapılarak, analitik çözümü elde edilmiştir. Elde edilen
sonuçlar, birbirine benzerlik gösteren ve bağlı alt sistemler
için olduğu halde, genelleştirilmiş bağlantılı sistemlere de
uygulanabilir. Bu bildiri,
genelleştirilmiş bağlantılı
sistemlerin, tasarlanan dayanıklı dağıtık denetleyicilerinin de
benzer yapılar içerdiğini göstermiştir. Genelleştirilmiş
bağlantılı sistemlerin takip kontrolünün gerçekleyebilecek
olan kontrolün yapısı ve sentezi oluşturularak, bağlantılardaki
belirsizlikler basitleştirilmiştir. Kompleks sistemler, benzerlik
ve simetri özellikleri ile incelenmiştir.
Kaynakça
[1] C. Bing, S. Zhang, “Decentralized robust stabilization via
estimated state feedback for a class of nonlinear
interconnected systems with similarity.” In: Preprints of
the IFAC Symposium on Large Scales Systems LSS1998,
Beijing, CN, July 4-6. The IFAC and Chinese
Association of Automation, Beijing, CN, 1998.
[2] J.W. Grizzle, S.I. Markus, “The structure of nonlinear
control systems possessing symmetries.” IEEE Trans. on
Automatic Control, vol. 29, pp. 248-256, 1984.
[3] S.-Y. Zhang, “Structures of symmetry and similarity in
complex systems.” Control Theory & Applications, vol.
11, no. 2, pp. 231-237, 1994.
[4] G.H. Yang, S.-Y. Zhang, “Stabilizing controllers for
uncertain symmetric composite systems.” Automatica,
vol. 31, pp. 337-340, 1995.
[5] L. Dai, Singular Control Systems, Springer-Verlag,
Heidelberg Berlin, 1989.
[6] D.D. Siljak, Decentralized Control of Complex Systems,
Academic Press, Cambridge, MA, 1991.
[7] D.D. Siljak, A.I. Zecevic, “Control of large-scale
systems: Beyond decentralized feedback.” Annual
Reviews in Control, vol. 29, pp. 169-179, 2005.
[8] M. Ilic, J. Zaborszky, Dynamics and Control of Large
Electric Power Systems. J. Wiley, New York, NY, 2000.
[9] A.I. Zecevic, D.D. Siljak, Control of Complex Systems:
Structural Constraints and Uncertainties. Springer, New
York Dordrecht Heidelberg London, 2010.
[10] Z. Gong, “Decentralized robust control of uncertain
interconnected system with prescribed degree of
exponential convergence”, IEEE Trans. on Automatic
Control, vol. 40, pp. 704-707, 1995.
[11] Z. Gong, C. Wen, D.P. Mital, “Decentralized robust
controller design for a class of interconnected uncertain
systems: with unknown bound of uncertainty.” IEEE
Trans. on Automatic Control, vol. 41, pp. 850-854, 1996.
[12] M Ikeda, D. D. Silijak, “Decentralized stabilization of
linear time-varying systems.” IEEE Trans. on Automatic
Control, vol. 25, pp. 106-107, 1980.
[13] M. Ikeda, D. D. Siljak, D.E. White, “An inclusion
principle for dynamic systems.” IEEE Trans. on
Automatic Control, vol. 29, pp. 244-249, 1984.
342
Çapraz Tip DA Çevirici için Geri Adımlı Denetim Tekniği Sonrası Kayan Kipli
Denetim Tasarımı
Murat Şeker1, Erkan Zergeroğlu1
1
Bilgisayar Mühendisliği Bölümü
Gebze Yüksek Teknoloji Enstitüsü, Gebze- Kocaeli
{mseker; ezerger}@bilmuh.gyte.edu.tr
anahtarlama operasyonları sebebiyle doğrusal olmayan
sistemlerdir. DGM anahtarlamalı çapraz tip çeviricilerin
denetleyici tasarımı için Oran-İntegral-Türev (ing: PIDProportion Integral Derivative) denetleyici tasarlamıştır [9];
Bu çalışmada yazarlar çıkış gerilimini ayarlamak için PID
denetleyici kullanmışlardır. DA çapraz tip çeviriciye kayan
kipli denetim (ing: Sliding Mode Controller) uygulaması [10]
da yapılmış, bu çalışmada çapraz tip çeviricinin transformatör
ikincil tarafının akım ve çıkış gerilim hatası kayma yüzeyi
seçilerek denetleyici tasarlanmıştır. Dolaylı geri adımlı (ing:
Indirect Backstepping) denetim yaklaşımı [11] önerilmiş,
yazarlar çapraz tip çevirici transformatörünün ikincil tarafının
referans değerine bağlı olarak, çeviricinin çıkış değerini
ayarlayan denetleyici tasarımı yapılmıştır.
Kayan kipli denetim bir doğrusal olmayan bir denetim
yöntemi olup en önemli avantajı parametrik ve yük
belirsizliklerine karşı kararlılığı büyük ölçüde garanti
etmesidir. Dahası, tasarımında oldukça esneklik sağlaması ve
diğer doğrusal olmayan denetim yöntemlerine göre
uygulanabilirliğinin daha kolay ve kısa zaman içinde etkin
sonuçlar alınabilmesidir. Bu avantajlarının aksine, endüstrinin
bu denetleyiciye gereken ilgiyi göstermemişdir. Anahtarlama
ile karakterize edilen DA çeviriciler doğal olarak değişken
yapılıdır, bundan dolayı; bu elektronik devrelerin denetiminde
kayan kipli denetim tekniğinin uygulanması çok uygundur.
Geri adımlamalı denetim yöntemi; doğrusal olmayan
sistemlerde
yinelemeli
ve
sistematik
denetim
yöntemlerindendir. Bu denetim yönteminde ki yaklaşım;
doğrusal olmayan sistemler için buna uygun geribeslemeli
kontrolör tasarımı için gerekli aşamaları sistematik temelli
olarak sunmasıdır.
Bu çalışmada; DA çapraz tip çevirici denetimindeki
yoğunlaşmamız çıkış gerilimi ile istenen çıkış gerilimi
arasındaki izleme hatasını sıfıra yaklaştırmak yani çapraz tip
çeviricinin çıkış gerilimini istediğimiz değere ulaşmasını
sağlamaktır. İzleme hatasının dinamiğinde yer alan yardımcı
( ) fonksiyonu; izleme hatasına bağlı bir Oran-İntegralTürev fonksiyonu kullanılarak elde edildi. Geri adımlamalı
kayan kipli denetleyici tasarlanarak yapılan bu çalışmada,
kayma yüzeyi = − biçiminde seçildi ve anahtarlama
fonksiyonu yardımıyla çıkış gerilimi denetimi sağlandı.
Uygulanan geri adımlamalı kayan kipli denetim, Matlab paket
programı kullanılarak benzetim çalışmaları yapılarak etkinliği
gösterildi. Lyapunov ikinci teorem kullanılarak tasarlanan
denetleyicinin
kararlılık
analizi
yapıldı.
Benzetim
sonuçlarından
önerdiğimiz
denetim
algoritmasının
dayanıklılığı gösterildi. DA çapraz tip çeviriciler için uygun
olduğu yapılan benzetim sonuçları ve Lyapunov kararlılık
analizleri sonuçlarında görülmektedir.
Özetçe
Bu çalışmada; DA (Doğru Akım-ing: DC-Direct Current)
Çapraz tip çeviricinin (ing: Flyback Type Converter) çıkış
geriliminin ayarlanma problemi incelenmiştir. Geri adımlama
tekniği (ing: Backstepping) sonrası kayan kipli denetim
prensibi uygulanarak, çapraz tip çeviricinin denetimi için
ifadeler elde edilmiştir. Tasarlanan denetim sisteminin
performans ve uygulanabilirliği, değişik çıkış gerilimleri için
yapılan benzetim çalışmaları ile desteklenmiştir. Benzetim
sonuçlarından; kayma hareketi sıfıra yönlendiğinde parametre
değişiklikleriyle başa çıkma konusunda yetenekliliği,
belirsizliklerle rahatlıkla başa çıkabileceği görülmüş bu
özellikler çapraz tip çeviricide geri adımlamalı kayan kipli
denetim algoritmasının kullanımını daha elverişli olduğunu
göstermiştir.
1. Giriş
Birçok elektronik devrede bir seviyedeki DA (Doğru Akıming: DC-Direct Current) gerilimden bir başka seviyedeki DA
gerilime gereksinim vardır. Çoğunlukla haberleşme ve
bilgisayar sistemlerinde yüksek güç yoğunluklu, yüksek
verimli ve sabit çalışma frekansı olan anahtarlamalı güç
kaynakları tercih edilmektedir [1]. Bu gereksinim doğrusal
DA çeviriciler kullanılarak giderilme yoluna gidilse de, ucuz
maliyetlerine karşın ısınma sorunları nedeniyle pek fazlasıyla
tercih edilmezler. Bu soruna en gerçekçi çözüm DA–DA
anahtarlamalı kipli çeviriciler kullanmaktır. DA çeviricileri;
basit yapıları ve ucuz maliyetlerinden dolayı güç
elektroniğinin en çok kullanılan devreleridir. DA çeviriciler
taşınabilir cihazlar da önemli yere sahiptir, en geniş uygulama
alanları, elektronik sistemlerin güç kaynaklarıdır. DA
çeviriciler son on yılda farklı modelleri ve bu modellere ait
farklı analiz yaklaşımları yayınlandı [2,3]. Çoğu araştırmacı
anahtarlamalı
DA
çeviricilerin
denetimi
üzerine
yoğunlaşmışlardır [4-8]. Bu araştırmacıların uyguladıkları
denetim metotları DGM (Darbe Genişlik Modülasyon-ing:
PWM-Pulse Width Modulation) temelli yüksek frekanslı ve
çalışma oranı denetimli olanlar en fazla tercih edilenlerdir.
Genel olarak DA çeviriciler; izoleli (Çapraz Tip-ing: Flyback
Type, Tam Köprü-ing: Full Bridge, vb.) ve izolesiz (Alçaltaning: Buck, Yükselten- ing: Boost, Alçaltan Yükselten-ing:
Buck-Boost vb.) olmak üzere iki sınıfa ayırabiliriz. Çapraz tip
DGM çeviriciler; çevirici kaynak gerilimi ile çıkış gerilimi bir
transformatör yardımıyla izole edilmiştir, çoğunlukla cep
telefonu şarj cihazları, bilgisayar güç kaynakları, xenon flash
lambaları, lazerler ve fotokopi makinaları için yüksek gerilim
üretimi vb. gibi alanlarda kullanılan doğrusal olmayan
çeviricilerdir. Bu çeviricinin içsel doğrusal olmayan
343
Bu çalışmanın ilerleyen bölümleri; çapraz tip çeviricinin
matematiksel modeli ve çalışma prensipleri bölüm 2 de,
denetleyici tasarımı bölüm 3 de, sistemin denetleyici ile
çalıştırılması ile elde edilen benzetim sonuçları bölüm 4 de ve
son olarak bu çalışmanın sonuçları bölüm 5 de sunulacaktır.
(1 − )
⎡0
⎤
0
−
− ⎥
⎢
(1 − ) ⎥
⎢
= ⎢0
0
⎥
−
⎢
⎥
(1 − )
1
⎢
⎥
0
−
⎣
⎦
̇
̇
2. Matematiksel Model ve Uygulama Prensipleri
̇
Çapraz tip çevirici, Buck- Boost tip çeviricinin transformatör
ile izole edilmiş bir durumudur. Çeviricinin yapısı Şekil 1’ de
verilmiştir. Burada da görüldüğü gibi Buck- Boost tip
çeviricideki endüktansın yerini transformatör almıştır. Bu
yapıda ‘E’ DA giriş kaynağı ile ‘S’ anahtarı transformatörün
birincil sargısına seri bağlanmıştır. ‘D’ diyotu ve ‘RC’ çıkış
devresi ‘S’ anahtarı kapalı konumda iken, anahtar açık
konuma gelene kadar, transformatörün birincil sargısındaki
akım doğrusal olarak artış gösterir. Anahtar açık konuma
geldikten sonra transformatörde depolanan enerji ikinci sargı
üzerinden, çevirme oranı kadar değişim göstererek, ‘D’
diyotunu iletime sokarak ‘RC’ devresine aktarılır. Burada
dikkat edilmesi gereken nokta, yük ile giriş geriliminin ters
kutuplanmış olduğudur. ‘R’ yük direnci enerjisini anahtar
kapalı konumda olduğu sürece enerjisini ‘C’ çıkış
kapasitesinden, anahtar açık olduğu konumda ise,
transformatörden alır[12].
⎡
⎢
+⎢
−
⎢
⎣
3. Geri Adımlı Kayan Kipli Denetleyici
Tasarımı
Bu bölümde, çapraz tip çevirici için geri adımlı kayan kipli
denetleyici ifadesi elde edilecektir. DA çeviricilerde, çıkış
gerilimi anahtarlama çalışma oranı ile orantılı olduğundan,
denetim sistemi de öyle tasarlanmalı ki bu sistemin çalışma
oranı değiştirilerek çıkış gerilimi istenen referans gerilimi
izlemesi sağlanmasıdır. Çıkış gerilimi için izleme hata
fonksiyonunu
Çeviricinin durum değişkenleri; transformatörünün birincil
sargısından akan giriş akım
, transformatörün ikincil
sargısından akan akım , kapasite uçlarındaki gerilimi
olmak üzere, devrenin S anahtarlama elemanı ‘ ’ anahtar
konum fonksiyonu ile ‘D’ diyot anahtarlama elemanı ise
modellemeyi sadeleştirmek amacı ile (1 − ) fonksiyonu
olarak modellenmiştir. Çapraz tip çeviricinin transformatör ve
kondansatör dirençleri ihmal edilerek dinamik denklemleri
[12];
(1 − )
̇ =−
+
−
−
(1 − )
(1)
̇ =
−
−
−
(1 − )
1
̇ =
−
̇=
< ≤
+
( )
+
( ) ≤ <
+
=
(4)
1
−
1
(5)
izleme hatası dinamik ifadesi elde edildi. (5) dinamik
ifadesinde
= (1 − )
biçimindedir. Denetimimize
yardımcı olacak ( ) fonksiyonuna bağlı ( ) geri adımlama
yardımcı fonksiyonu,
≜
1
−
( )
−
(6)
biçiminde tasarlayalım. (6) ifadesinde yer alan
> 0 ve
> 0 olmak üzere tasarım parametreleridir. Hata dinamiği
terimi eklenip çıkarılıp, daha sonra (4) ifadesi
(5) de
kullanarak izleme hatası dinamik ifadesi;
yazılabilir. Bu denklemlerdeki
ise transformatör sarımları
arasındaki ortak endüktansı ifade etmektedir. Sistemin ideal
modeli; anahtarlama elemanı S nin anahtar konum fonksiyonu
anahtarın bir peryodda ki çalışma oranı dönüşümü =
olarak
0,
−
olarak tanımlayalım. (4) ifadesinde ( ) ∈ ℝ ,
sabit bir
değerdir. Hata fonksiyonunun zamana göre türevi; ̇ = ̇ elde
edilir. (3) ifadesinden ̇ fonksiyonunun eşiti yazılarak,
Şekil 1: Çapraz tip çevirici yapısı[11].
1,
−
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
sürekli durum yaklaşık modeli elde edilir.
=
=
−
(3)
̇=
(2)
1
( − )−
1
−
−
( )
(7)
elde edilir. Bu aşamada denetleyicimize uygun bir kayan
yüzey seçerek denetleyicimizin istenen referans değerine
ulaşmasını sağlamak olacaktır. Bunun için kayma yüzey
fonksiyonumuzu = − biçiminde seçelim. Kayan kipli
denetimin amacı durum değişkenlerini ( ) = 0 kayma
ilişkisi kullanılarak ve → dönüşümler yapılıp (1) ifadesini
dönüşümleri yerlerine yazılarak düzenlenirse,
344
çapraz tip çeviriciye, Şekil 2’ de verilen denetim devresi
kullanılarak, benzetim çalışması Matlab/Simulink paket
programında gerçekleştirildi. Benzetim sonucunda elde edilen
yüzeyine zorlamak ve bu yüzeyde kalmasını sağlamaktır.
Kayma yüzeyi fonksiyonunun zamana bağlı türevi,
̇= ̇− ̇ =− ̇
+ (1 − ) ̇ +
̇+
(8)
̇≜
.
bu ifadeden faydalanarak denetim sinyalimiz;
1
(1 − )
−
−
(1 − )
−
̇+
+
+ +
(9)
( )
z3ref
biçiminde tasarlanır. Denetim sinyal ifadesi (9), (8) ifadesinde
kullanılarak, kayma yüzeyi dinamik ifadesini,
̇ =−
( ( )) −
z3
Şekil 2: Denetleyici uygulama devresi.
(10)
olarak elde ederiz. (9) ve (10) ifadelerinde yer pozitif
tanımlı denetim kazancı olup
( ( )) aşağıdaki gibi
tanımlanmış standart işaret fonksiyonudur;
+1ise ( ) > 0
( ) ≝ 0ise ( ) = 0
−1ise ( ) < 0
çıkış gerimi, izleme hatası ve denetim işareti Şekil 3, 4 ve 5 de
görülmektedir.
(11)
Cikis Gerilimi
6
Teorem 1: Kayan kipli denetleyici (9) ifadesinde önerildi.
Denetleyici = − olarak önerilen kayma yüzeyi civarında
sistemin kararlılığını sağlar.
Çıkış Gerilimi [V]
5
Kanıt 1: Önerilen yargıyı kanıtlamak için ilk önce aşağıda
verilen pozitif tanımlı fonksiyonumuzu tanımlayalım;
=
1
2
+
1
2
+
4
3
2
1
0
1
2
0
=
+
1.5
2
2.5
Zaman [s]
3
3.5
4
4.5
5
-3
x 10
= 5 ).
Cikis Gerilimi
1
0
+
− . .
( )
(13)
Çıkış Gerilimi Hatası [V]
bulunur.
1
1
Şekil 3: Çıkış gerilimi (
bu ifade de ( ) = ∫ ( )
eşitliği ile tanımlandı. (12)
ifadesinde ilk önce zamana göre türevini alıp, daha sonra (7)
ve (10) ifadelerinde ki dinamikleri kullanılarak;
̇ =−
0.5
(12)
olmak üzere (13) ifadesi
̇ =−
− | |
(14)
-1
-2
-3
-4
-5
haline dönüşür. (14) ifadesinden anlaşılacağı üzere asimptotik
kararlılık elde edilir.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Zaman [s]
Şekil 4: İzleme hatası (
4. Geri Adımlamalı Kayan Kipli Denetim
Benzetimi ve Sonuçlar
Yukarıda bulunan (9) eşitliğindeki eşdeğer denetim ifadesi,
Şekil 1’ de verilen devrede
= 480
,
= 20
,
= 100 , = 250 , anahtarlama frekansı 50 kHz,
giriş gerilimi E= 24V,
= 5 ve = 100Ω parametreli
345
= 5 ).
3
3.5
4
4.5
5
x 10
-3
Çıkış geriliminin
= 3.3 için denetleyici kazançları;
= 60,
= 5 ve = 2 değerlerine ayarlandı.
0.5
5. Sonuçlar
0
Bu çalışmada; DA çapraz tip çeviricinin geri adımlamalı
denetleyici tasarımı yapılmıştır. Tasarlanan denetleyicinin
başarısı
yukarıda
verilen
benzetim
sonuçlarında
görülmektedir. Çıkış gerilimlerinde ki farklılıklara karşı
sağladığı uyum, tasarlanan çeviricinin başarısıdır.
-0.5
-1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Zaman [s]
3
3.5
4
4.5
5
-3
x 10
Kaynakça
= 5 ).
Şekil 5: Denetim sinyali (
[1] Chung H., Hui S.Y.R., Wang W.H.,"An Isolated Fully
Soft-Switched Flyback Converter with Low Voltage
Stress", Power Electronics Specialists Conference, 1997.
PESC '97 Record., 28th Annual IEEE Volume 2, 22-27
June 1997 Page(s):1417–1423.
[2] K. T. Ngo, “Altemate forms of the PWM switch
models”,IEEE Trans on Aerospace and Electronic
systems,vol.3S,no.4,pp.1283-1292,O ct. 1999.
[3] Tymerski, V. Vorperian, Lee, and W. T-Baumann
“Nonlinear modeling of the PWM switch,” IEEE Trans.
an Paver Electronics, vol. 4, 110.2, 225-233, April 1989.
[4] J. Mahdavi, A. Emadi and H. A.Toliyat “Application of
state space averaging method to sliding mode control of
PWM DCDC converters:’ Conf Record of
the
lEEE,vol.2, pp.820 -827, 1997.
[5] F. H. Hsieh, N. Z. Yen and H. T. Juang, “An optimal
controller design of buck DC-DC converter by regarding
the uncertain load as stochastic noise,” Proc. of 2001
Chinese Automatic Control Conference,pp.605610,2001.
[6] A. J. Forsyth, and S. V. Mollov, “Modeling and control
of DC-DC converters,” Pro .of 1998 IEE Power
Engineering JournaI,pp229-236,0ct 1998.
[7] J. Mahdavi, A. Emaudi, M. D. Bellar and M. Ehsani,
“Analysis of power electronic converters using the
generalized state-space averaging approach,” IEEE
Trans. on Circuits and Systems, vo1.44. no.8, pp. 767770, Aug 1997.
[8] H. S. Ramirez, et al. “Adaptive input-output linearization
for PWM regulation of DC-DC power converters,” Proc.
of the American Control Conference, Washington, June
1995.
[9] Kang G., Lee J.W., Yang S.H., Lim Y.C., “The Study on
Flyback Converter Using Digital Controller” The
International Conference on Electrical Engineering, July
6-10, 2008, OKINAWA, JAPAN.
[10] Seker M., Zergeroglu E., “A New Sliding Mode
Controller for the DC to DC Flyback Converter”, 2011
IEEE Conference on Automation Science and
Engineering, pp. 720-724, August 24-27 2011, Trieste,
Italy.
Çıkış geriliminin
= 5 için denetleyici kazançları;
= 65,
= 5 ve = 2değerlerine ayarlandı. Şekil 1 deki
devre parametreleri aynı kalarak çıkış gerilimi referans değeri,
= 3.3 için benzetim sonucunda elde edilen çıkış
gerimi, izleme hatası ve denetim işareti Şekil 6, 7 ve 8 de
sunuldu.
Cikis Gerilimi
3.5
3
Çıkış Gerilimi [V]
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
Zaman [s]
= 3.3 ).
Şekil 6: Çıkış gerilimi (
Cikis Gerilimi
0.5
0
Çıkış Gerilm Hatası [V]
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
-3.5
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
Zaman [s]
= 3.3 ).
Şekil 7: İzleme hatası (
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
Zaman [s]
Şekil 8: Denetim sinyali (
= 3.3 ).
346
[11] Seker M., Zergeroglu E.,"Nonlinear Control of Flyback
type DC to DC Converters: An Indirect Backstepping
Approach", 2011 IEEE Multi-Conference on Systems
and Control, PP.65-69, September 28-30, 2011, Denver,
CO, USA.
[12] Yıldız H. A., Sümer L. G., Gürleyen F., “Çapraz Tip
DA-DA Çeviricinin Lagrangian Modellenmesi ve Kayma
Kipli Kontrolü”, TOK 2009, İstanbul.
347
Çift Rotorlu Model Helikopterin Kayan Kipli Denetleyici ile
Gerçek Zamanlı Denetimi
Gürkan Kavuran1, Celaleddin Yeroğlu2
1
Mekatronik Mühendisliği Bölümü
Fırat Üniversitesi, Elazığ
[email protected]
2
İnönü Üniversitesi, Malatya
[email protected]
gelmesi gerekmektedir. Doğrusal olmayan sistemlerin
denetiminde, değişken yapılı denetim sistemlerinin
kullanılması daha iyi sonuçlar doğurabilir. Değişken yapılı
denetim sistemlerinden biri olan kayan kipli denetleyicide
(KKD), bozuculara karşı sistemin dayanıklılığı artmakta ve
parametre değişimlerinin etkisine rağmen sistemin kararlılığı
devam etmektedir [6]. Bu nedenle kayan kipli denetleyici
yapısını içeren çalışmalar ilgi çeken konular arasına girmiştir.
Örneğin, Mondal ve Mahanta, çalışmalarında çift rotorlu
helikopter modeli için ikinci mertebeden kayan kipli
denetleyici tasarımı sunarken, Pratap yapay sinir ağ tabanlı
kayan kipli denetleyiciyi bu modele uygulamışlardır [7,8].
Allouani ve arkadaşları bulanık mantık tabanlı kayan kipli
denetleyici parametrelerini parçacık sürü optimizasyonu ile
belirleyerek sistem denetimini sağlamışlardır [9]. Ayrıca
kayan kipli denetleyicinin kullanıldığı diğer çalışmalar
referans [10] ve [11] ‘de verilmiştir.
Bu çalışmada ise iki serbestlik derecesine sahip çift rotorlu
helikopter modelinin kararlılık problemi için kayan kipli
denetleyici yapısı uygulanmış ve sistemin basamak cevabı
incelenmiştir. Sistemin matematiksel modeline göre
oluşturulmuş denetleyicinin referans girdiyi izleme ve bozucu
etkiyi bastırma konusunda yüksek başarım sağladığı
görülmüştür. Kullanılan anahtarlama fonksiyonu sayesinde
çatırtı oluşumu azaltılmıştır. Benzetim ve gerçek zamanlı
uygulama sonuçları birbirini destekler niteliktedir. Bu
çalışmada, yapılan literatür araştırmalarındaki gerçek zamanlı
uygulamalara göre daha iyi sonuçlar elde edilmiştir.
Çalışmanın 2. Bölümünde sistemin dinamik modeli
hakkında bilgi verilmiş, 3. Bölümde çalışmada kullanılan
kayan kipli denetleyici tasarımı sunulmuştur. 4. Bölümde
benzetim ve deneysel çalışmaları verilmiş, 5. Bölümde ise
sonuçlar irdelenmiştir.
Özetçe
Bu çalışmada, laboratuar ortamında kullanılan çift rotorlu çokgirişli çok-çıkışlı helikopter modeli için dayanıklı denetleyici
tiplerinden olan kayan kipli denetleyici tasarımı ele alınmıştır.
Sistemin yatay ve düşey eksendeki hareketi tasarlanan
denetleyici ile kontrol edilmiştir. Yapılan benzetim ve gerçek
zamanlı uygulama çalışmalarında, sistemin doğası gereği var
olan doğrusal olmayan belirsizliklerin ve sisteme etkiyen
harici bozucuların etkin olarak üstesinden gelindiği
görülmüştür.
1. Giriş
Günümüzde, teknolojinin ve ihtiyacın artması ile birlikte hava
araçlarıyla ilgili çalışmalar hız kazanmıştır. Özellikle dikey
olarak kalkış ve iniş yapabilen döner rotorlu hava araçları
popülerliğini korumaktadır. Bu tip araçların başında gelen
helikopterler; havada askıda kalabilme, düşük hızla uçabilme
ve yüksek manevra kabiliyeti gibi avantajlara sahiptirler.
Farklı denetim algoritmaları geliştirmek için laboratuar
ortamında kullanılan helikopter modelleri, dinamik olarak
gerçeklerini birebir yansıtmasa da benzer özellikler
taşımaktadır. Bu çalışmada, Feedback firması tarafından
üretilen çift rotorlu çok-girişli çok-çıkışlı (ÇGÇÇ) helikopter
modeli tercih edilmiştir [1]. İki serbestlik derecesine sahip
sistemde, eğim ve sapma açılarının denetimi önem arz
etmektedir.
Yapılan literatür çalışmalarında, bu sistem için farklı
denetleyici
tasarımlarının
oluşturulduğu
görülmüştür.
Ramalakshmi ve Manoharan, ÇGÇÇ helikopter modeli için
oransal-integral-türev (PID) denetleyici tasarımı yaparken
Juang ve arkadaşları ise bu denetleyiciye ek olarak genetik
algoritma yapısını katmışlardır [2,3]. Tao ve arkadaşları
optimal geribeslemeli denetleyici olan doğrusal kuadratik
regülatör (LQR) yapısını, Martinez ve arkadaşları ise
dayanıklı bir denetim sunan çok değişkenli doğrusal olmayan
H  denetleyici algoritmasını kullanmışlardır [4,5].
Helikopterin matematiksel modelinin ve davranışının doğrusal
olmaması, serbestlik dereceleri arasındaki birleşikliğin yüksek
olması ve sistem dinamiğinin hızlı olması nedeniyle
tasarlanacak denetleyicinin bütün bu sorunların üstesinden
2. Sistemin Dinamik Modeli
Bir helikopter, ana rotor ve kuyruk rotoru olmak üzere iki
rotora sahiptir. Ana rotor, uzunlamasına, yanlamasına ve dikey
gidiş için gerekli itkiyi sağlarken, kuyruk rotoru ise ana
rotorun oluşturduğu tork etkisini dengelemeyi ve sapma
hareketi yapmasını sağlar [12]. Sistemin yatay ve düşey
eksendeki hareketini modelleyebilmek için bu iki rotora bağlı
olan eğim ve sapma açılarından faydalanılmaktadır.
348
1
Denetleyicinin iyi bir şekilde tasarlanabilmesi için sistem
dinamiğinin iyi anlaşılması ve modellenmesi gerekmektedir.
Literatürde iki temel modelleme mevcuttur. Birincisi mekanik
ve aerodinamik yasalar kullanılarak gerçekleştirilen birincil
prensipler modellemesidir. Diğeri ise deneysel olarak
helikopter üzerinden veri toplayarak yapılan sistem tanılama
metodudur [13]. Birincil prensipler ile genelde doğrusal
olmayan helikopter modelleri oluşturulurken, sistem
tanılamada ise doğrusal ve düşük mertebeden modeller elde
edilir [12]. Eğim ve sapma hareketinin benzetimi Bölüm 2.1
ve 2.2 ‘de ayrıntılı bir şekilde açıklanacaktır. Çalışmada
kullanılan helikopter modeline ait mekanik yapı ise Şekil 1’de
gösterilmiştir [1].
 a1 2 M g

0.0326
sin( ) 
sin(2 )( D ) 2 
 1 
I1
2 I1
 I1

f ( x)  

k
 gy cos( )(a  2  b  )( D )

1
1
1
1
 I


 1
(5)
2.2. Sapma Hareketinin Benzetimi
Bölüm 2.1 ‘de dikey hareket için yapılan çalışmalar yatay
eksendeki hareketi tanımlamak için de kullanılmaktadır. Buna
göre sapma hareketini ifade eden eşitlikler Denklem 6-8’de
verilmiştir [1,8].
d
 D
dt
(6)

B
a
b
1.75

D 2   2  2 2  2  2  1 ( D ) 
kc (a1 12  b1 1 ) 
I
I
I
I

2
2
2
 2

(7)
D 2  
T20
k
 2  2 u
T21
T21
(8)
Sapma Hareketi için durum-uzay formu Denklem 9’da,
belirsizlikleri ifade eden f ( x) fonksiyonu ise Denklem
10’da ifade edilmiştir.
Şekil 1: Çift rotorlu ÇGÇÇ helikopter modeli
1
   0



D     0  B1 I 2
 2  0
0
2.1. Eğim Hareketinin Benzetimi
Eğim hareketini ifade eden temel eşitlikler Denklem 1-3’de
verilmiştir. Bu eşitlikler dikey hareket için kullanılan açısal
momentumu oluşturan, yer çekimi, sürtünme kuvveti ve
jiroskobik momentumun toplamıyla elde edilir [1,8].
d
 D
dt
a 2 b

Mg
sin( )
 1 1  1 1 

I1
I1
 I1

 0.0326

2
2
D   
sin(2 )( D )

2 I1


 B

k
 1 ( D )  gy cos( )(a1 12  b1 1 )( D ) 
I1

 I1
D1  
T10
k
1  1 u
T11
T11
a

1.75

f ( x )   2  2 2 
kc (a1 12  b1 1 ) 
I
I
 2
2


(10)
(1)
Burada sırasıyla  ve  eğim ve sapma açısı ,
 ve 
açısal hız,  1 ve  2 ana ve kuyruk motorlarının moment ifadesi,
u ve u ise motorlara uygulanan gerilim değeri veya kontrol
işaretidir. Sisteme ait katsayılar Tablo 1’de verilmiştir [1].
(2)
B1
B1
I1
I2
*
b1
*
b2
*
a1
*
a2
(3)
Bu eşitlikler düzenlenip, durum-uzay formunda ifade edilirse,
1
0     0 
  0



D    0  B1 I1
b1 I1      0  u  f ( x)
0
T10 T11  1   k1 T11 
 1  0
    0 
b2 I 2       0  u  f ( x) (9)
T20 T21   2   k2 T21 
0
(4)
1
olur. Dikey hareket için sistemde oluşan belirsizlik veya
doğrusalsızlığı ifade eden f ( x) fonksiyonu Denklem 5 ‘de
verilmiştir.
349
2
Tablo 1: Sistem Parametreleri
Parametreler
Değerler
Dikey eksen sürtünme kats.
6x10-3 Nms/rad
Yatay eksen sürtünme kats.
1 x10-1Nms/rad
Dikey rotorun atalet momenti
6.8x10-2 kg.m2
Yatay rotorun atalet momenti
2x10-2 kg.m2
Statik karakteristik parametre
0.0924
0.09
0.0135
0.02
Ana motor torku
1 
k1
u
T11 s  T10
DS  c1  DX1  DX d   c2 DX 2  c3 DX 3
Tablo 1’in devamı
k2
u
T21 s  T20
2
Kuyruk motor torku
2 
*
Ana motor kazancı
1.1
*
Kuyruk motor kazancı
0.8
Ana motor payda değeri
1.2 s
Ana motor payda değeri
1.1 s
Kuyruk motoru payda değeri
1s
Kuyruk motoru payda değeri
1s
Jiroskobik moment katsayısı
0.05
Çapraz etki kazancı
-0.2
Yerçekimi momenti
0.32 N.m
k1
k2
T10
T11
T21
T20
*
k gy
*
kc
Mg
olarak bulunur. Eşitlik 11 ve 15 yardımıyla, Eşitlik 16 elde
edilir.
c1  X 2  DX d   c2 (1 X 2  2 X 3  f ( x)) 
DS  

 c3 (3 X 3  Bu )

u
3. Kayan Kipli Denetleyici Tasarımı
(11)
DX 3  3 X 3  Bu
, X 2   D
durum vektörleri, u  u
D 
T
B1


b
D  2  2  f ( x))
 c1D  c2 (

I2
I2
1 
 (20)
u 

c3 B 
T20

c


K
sgn
(
c
(
X

X
)

c
X

c
X
)
 3
2
d
1
1
d
2 2
3 3 
T
21


, X 3  1  2 
T
T
u  ise sistem giriş vektörlerini
temsil etmektedir.  Katsayıları eğim ve sapma hareketi için
B
B
b
T
sırasıyla, 1   1 ,  2  1 ,  3   10 ve 1   1 ,
I1
T11
I1
I2
olarak elde edilir. Bu çalışmada daha yumuşak bir anahtarlama
sağlamak için signum fonksiyonu yerine, doyum
fonksiyonunun
sürekli
zamanda
türevlenmiş
hali
kullanılmıştır. Kullanılan fonksiyon yapısı Eşitlik 21’de
verilmiştir.
b2
T
,  3   20 olarak alınmıştır. Sistem dinamiklerine
I2
T21
ait hata ifadesi Eşitlik 12’de verilmiştir.
 2 
e  X  Xd
S
S 
X2
Burada   0 olmak şartıyla küçük bir değerdir. Literatürde
kullanılan farklı anahtarlama fonksiyonları Şekil 2’de
görülmektedir.
X 3  durum değişkenlerini, X d ise
T
hedeflenen denge noktasını temsil etmektedir. Kayma yüzeyi
S aşağıdaki gibi tanımlanmıştır.
S  cT e
(13)
cT  c1 c2
eşitlikte
e  e1 e2
(21)
(12)
Burada X   X1
Bu
(18)
B1


b
D  1  1  f ( x))
 c1D  c2 (

I1
I1
1 
 (19)
u 

c3 B 
T10
 c3  1  K d sgn(c1 ( X 1  X d )  c2 X 2  c3 X 3 ) 
T
11


DX1  X 2
T
1  c1  X 2  DX d   c2 (1 X 2  2 X 3  f ( x)) 


c3 B  c33 X 3  K d sgn( S )

Eşitlik 18’den yola çıkılarak eğim ve sapma hareketi için
denetim sinyalleri sırasıyla,
Bölüm 2’de ele alınan sistem modelini basitleştirmek için
verilen ifadeler aşağıdaki şekilde yazılabilir.

(17)
şeklinde ifade edilir. Burada K d pozitif tanımlı bir sayı, sgn
ise signum fonksiyonudur. Eşitlik 16 ve 17 kullanılarak,
denetim sinyali u aşağıdaki gibi bulunur.
* Boyutsuz büyüklükler.
Burada X1  
(16)
Gao erişim kuralına göre kayma yüzeyinin türevi,
DS  Kd sgn(S )
DX 2  1 X 2  2 X 2  f ( x)
(15)
c3 
ve
hata
vektörü
e3  olarak verilir. Buna göre kayma yüzeyi
T
yeniden düzenlenirse,
S  c1e1  c2e2  c3e3
Şekil 2: Anahtarlama fonksiyonları
(14)
Denetlenen sistemin blok şeması ise Şekil 3’te verilmiştir.
Burada d (t ) harici bozucu, denetim sinyalini (gerilim) ve DA
motor torkunu doğrudan etkilemektedir.
elde edilir. Burada e1  X1  X d , e2  X 2 , e3  X 3 ’tür. Kayma
yüzeyinin zamana göre türevi alınırsa,
350
3
Eğim Açısı Cevabı
0.7
Eğim Açısı (rad)
0.6
Şekil 3: Denetlenen sistemin blok şeması.
4. Benzetim ve Deneysel Çalışmalar
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
Bu bölümde, tasarlanan denetleyicinin başarımı, hem
benzetim hem de deneysel sonuçlar kıyaslanarak
incelenmiştir. Laboratuar ortamında kullanılan deney seti, iki
adet DA motoru, enkoder ve sürücü kartından oluşmaktadır.
Temel MATLAB Simulink modülleri, algılayıcı (enkoder)
bilgisinin okunması ve denetim sinyalinin gönderilmesinde
kullanılmıştır. Ayrıca benzetim çalışmasında da sistem modeli
ve denetleyici yapısı Simulink ortamında oluşturulmuştur.
Benzetimde ve uygulamada örnekleme frekansı 1KHz
olarak seçilmiş, sistemin durağan olduğu kabul edilmiştir.
Eğim
ve
sapma
açılarının
başlangıç
değerleri
 (0), (0)  0,0 , arzu edilen son değerleri ise
0
0
10
20
30
40
Zaman (s)
(sn)
(b)
Şekil 4: Bozucu etkinin olmadığı durum için eğim açısı cevabı
(a) Benzetim (b) Gerçek Zamanlı Uygulama
Şekil 5-a ve 5-b’ de sırasıyla, değişken basamak girdileri için
eğim açısı cevabının benzetim ve uygulama sonuçları
gösterilmiştir.
 d (t ),d (t )  0.5,0.5 radyan olarak alınmıştır.
Kayan kipli denetleyiciye ait parametreler eğim ve sapma
hareketi için sırasıyla  Kd , Kd    3,2 ,  ,    0.5,0.8
0.6
ve c T  5 0.5 0.01 , c T   4 0.1 0.2 olarak denemeyanılma yoluyla seçilmiştir. Ayrıca uygulamada algılayıcı
gürültüsünü bastırmak için geri besleme hattında alçak geçiren
süzgeç kullanılmıştır. Birinci mertebeden alçak geçiren
1
’dir.
süzgece ait transfer fonksiyonu H ( s) 
1  0.05s
Sayısal benzetimde ve uygulamada, yukarıdaki ölçütler
altında eğim ve sapma hareketi için üç durum incelenmiştir.
Bunlar, bozucunun dahil olmadığı durum için, değişken
basamak girdileri için ve bozucu etkili durum için açısal
konum cevabıdır. Şekil 4-a ve 4-b’ de sırasıyla, dikey
eksendeki konum değişiminin benzetim ve uygulama
sonuçları verilmiştir.
0.3
0.2
0
0
10
20
Zaman (s)
(sn)
30
40
30
40
(a)
0.7
0.6
0.6
0.5
0.4
0.1
0.4
0.3
0.2
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.1
0
0
0.5
10
20
Zaman (s)
(sn)
30
0
0
40
10
20
Zaman (s)
(sn)
(b)
(a)
Şekil 5: Değişken basamak girdileri için eğim açısı cevabı
351
4
Şekil 6-a ve 6-b’ de ise sırasıyla, bozucu etkinin olduğu durum
için eğim açısı cevabının benzetim ve uygulama sonuçları
verilmiştir.
0.6
Sapma Açısı (rad)
0.6
Sapma Açısı Cevabı
0.7
0.5
0.4
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.3
0
0
0.2
10
0.1
0
0
20
Zaman (s)
(sn)
30
40
(b)
10
20
Zaman (s)
(sn)
30
Şekil 7: Bozucu etkinin olmadığı durum için sapma açısı
cevabı (a) Benzetim (b) Gerçek Zamanlı Uygulama
40
(a)
Şekil 8-a ve 8-b’ de ise sırasıyla, değişken basamak girdileri
için sapma açısı cevabının benzetim ve uygulama sonuçları
verilmiştir.
0.7
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.6
0.2
0.1
0
0
10
20
Zaman (s)
(sn)
30
40
0.3
0.2
0.1
(b)
Şekil 6: Bozucu etkinin olduğu durum için eğim açısı cevabı
0
0
10
20
Zaman (s)
(sn)
30
40
30
40
(a)
Şekil 7-a ve 7-b’ de sırasıyla, bozucu etkinin olmadığı durum
verilmiştir.
0.4
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.3
0.2
0
0
0.1
0
0
0.5
10
20
Zaman (s)
(sn)
(b)
10
20
Zaman (s)
(sn)
30
40
Şekil 8: Değişken basamak girdileri için sapma açısı cevabı
(a)
352
5
Şekil 9-a ve 9-b’ de ise sırasıyla, bozucu etkinin olduğu durum
verilmiştir.
denetleyici başarımının, kesir dereceli diferansiyel ifadeler ve
farklı optimizasyon teknikleriyle iyileştirilmesi ileride
yapılması hedeflenen çalışmalar içerisindedir.
Kaynakça
0.6
[1] TRMS 33–949S User Manual, Feedback Instruments
Ltd., East Sussex, U.K., 2006.
[2] A.P.S. Ramalakshmi ve P.S. Manoharan, “Non-linear
modeling and PID control of twin rotor MIMO
system,” Advanced
Communication
Control and
Computing Technologies (ICACCCT), 2012 IEEE
International Conference on , s:366,369, 2012.
[3] J. G. Juang, M. T. Huang ve W. K. Liu, “PID control
using presearched genetic algorithms for a mimo
system,” IEEE Transactions on Systems, Man, and
Cybernetics-Part C: Applications and Reviews, Cilt: 38,
(5), s:716–727, 2008.
[4] C. W. Tao, J. S. Taur ve Y. C. Chen, “Design of a
parallel distributed fuzzy LQR controller for the twin
rotor multi-inputmulti-output system,” Fuzzy Sets and
Systems, Cilt:161, s:2081–2103, 2010.
[5] M. L. Martinez, C. Vivas ve M. G. Ortega, “A
multivariable nonlinear h infinity controller for a
laboratory helicopter,” in Proceedings of IEEE
Conference on European Control, s: 4065-4070, 2005.
[6] J.J.E. Slotine, W. Li, Applied Nonlinear Control,
Prentice-Hall , New York, 1991.
[7] S. Mondal ve C. Mahanta, “Second order sliding mode
controller for twin rotor MIMO system,” India
Conference (INDICON), 2011 Annual IEEE, s:1-5, 2011.
[8] B. Pratap, “Neuro sliding mode controller for twin rotor
control system,” Engineering and Systems (SCES), 2012
Students Conference on , s:1-5, 2012.
[9] F. Allouani, D. Boukhetala ve F. Boudjema, “Particle
swarm optimization based fuzzy sliding mode controller
for the Twin Rotor MIMO system,” Electrotechnical
Conference
(MELECON),
2012
16th
IEEE
Mediterranean , s:1063,1066, 2012.
[10] C. W. Tao, J. S. Taur, Y. H. Chang, and C. W. Chang, “A
novel fuzzysliding and fuzzy-integral-sliding controller
for the twin rotor multi-input multi- output system” IEEE
Transactions on Fuzzy Systems, Cilt: 18, (5), s:893–905,
2010.
[11] L. Huang, “An approach for robust control of a twin-rotor
multiple input multiple output system,” Robotics and
Automation (ICRA), 2011 IEEE International Conference
on , s:4423,4428, 2011.
[12] S. Franko, “İnsansız Helikopterin Model Öngörülü
Kontrolü”, Yüksek Lisans Tezi, İstanbul Teknik
Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, İstanbul, 2010.
[13] B. Metler, Identification modeling and characteristics of
miniature rotorcraft, Springer-Verlag, New York, 2003.
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
10
20
Zaman (s)
(sn)
30
40
30
40
(a)
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
10
20
Zaman (s)
(sn)
(b)
Şekil 9: Bozucu etkinin olduğu durum için sapma açısı cevabı
Şekil 6 ve 9’da verilen grafiklerde, bozucunun genliği,
sistemin giriş değerinin 4 katı olup t=20-22 saniyeleri arasında
uygulanmaya devam etmiştir.
5. Sonuçlar
Bu çalışmada laboratuar ortamında kullanılan çift rotorlu
sistemin yatay ve düşey eksendeki konum değişimleri için,
doğrusal olmayan kayan kipli denetleyici tasarımı ele
alınmıştır. Tasarlanan denetleyicinin başarımı sırasıyla,
bozucunun dahil olmadığı durum için, değişken basamak
girdileri için ve bozucu etkili durum için yapılan benzetim ve
uygulama çalışmaları kıyaslanarak test edilmiş, elde edilen
sonuçlar grafikler aracılığıyla sunulmuştur. Gerek benzetim
gerekse deneysel çalışma sonuçlarına bakıldığında, mevcut
denetleyicinin referans girdiyi izleme ve bozucu etkiyi
bastırma konusunda yüksek başarım sağladığı görülmüştür.
Sistem belirsizliklerine, doğrusalsızlıklarına ve bozucu
etkilere karşı dayanıklı bir denetim sağlayan kayan kipli
353
6
MĐNĐMUM FAZLI OLMAYAN SĐSTEMLER ĐÇĐN
DĐNAMĐK KAYMA KĐPLĐ KONTROL
Ömer Güvenç Karaoğlan1, Fuat Gürleyen2
1,2
Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği Bölümü
Đstanbul Teknik Üniversitesi
[email protected], [email protected]
filter) tespit açısının değişimini ve dolayısıyla da güdümleme
kuralını ideal şekilde hesaplamak mümkündür [6].
Klasik güdümleme ve kontrol prensibinde, zaman sabiti
büyük olan güdümleme kısmı dış döngüde yer alırken, güdüm
kısmında belirlenen referans ivme değeri, iç döngüde bulunan
kontrol döngüsü tarafından referans değer olarak kullanılır.
Klasik yaklaşımdaki güdüm ve kontrol kısımlarının ayrı
döngülerde hazırlanmasına nazaran entegre güdüm ve kontrol
yaklaşımı sistemi bütün olarak ele aldığından dolayı daha
etkindir [7-9].
Klasik oransal güdümleme (PNG-proportional navigation
guidance) hedefe ulaşmayı sağlamak için N sabit
katsayı, Vc füze ve hedef arasındaki bağıl hız, λ ise tespit açısı
Özetçe
Bu çalışmada minimum fazlı olmayan sistemler için dinamik
kayma yüzeyli kontrolörler ve bunların uçuş dinamiklerine
uygulanması incelenecektir. Minimum fazlı olmayan
sistemlerin kontrolü konusunda literatürde kararlı tersini alma
(stable inversion), kararlı sistem merkezi (stable system
center), çıkış regülatörü tasarımı, izlenecek referans işaretleri
sınırlamak, çıkışı tekrar tanımlayarak yaklaşık model
üzerinden kontrol gibi yöntemler kullanılmaktadır.
Bu çalışmada kullanılacak dinamik kayma kipli kontrolör,
sistem durum uzayı eşitlikleri üzerinden tekil olmayan
dönüşüm uygulamak ve bu sayede elde edilecek kararlı ve
kararsız sıfır dinamikleri (zero dynamics) ifade eden
kısımların ayrılarak bu model üzerinden istenilen sistem
dinamiklerine (özdeğer, özvektör) atama yapılacak şekilde
tasarım yapılması düşüncesine dayanmaktadır.
(LOS- line of sight) olmak üzere a L = NVc λ& kuralını
kullanarak λ& = 0 ’ı sağlamaya çalışır. Amaç, tespit açısının
zamana göre değişimini sıfır yaparak hedefe çarpmayı garanti
etmektir. Gerçek durumlar için çoğunlukla geçerli olmasa da
hedef ivmesi sıfırsa ve sistemde faz gecikmesi yoksa PNG
kuralı optimal sonucu garanti eder [6]. Hedef ivmesini göz
önüne alan geliştirilmiş PNG yapıları da mevcuttur. Ayrıca
ZEM (zero effort miss) değerini sıfırlamak, Şekil1’de
gösterildiği gibi bağıl hızın tespit açısına dik bileşeni
1. Giriş
Genel olarak söylemek gerekirse, nedensel minimum fazlı
olmayan sistemler (causal nonminimum phase systems) için
tam izleme (exact tracking) sağlamak bozucular ve
belirsizlikler olmasa dahi imkansız görünmektedir [1].
Kararlı sistem merkezi yaklaşımında amaç minimum fazlı
olmayan sistem için çıkış izleme (output tracking) hatasını
sıfırlayacak gürbüz (robust) bir kontrolör tasarlamaktır. Bu
yaklaşım temelde Gopalswamy ve Hedrick [2] tarafından
ortaya atılmış, Shtessel ve arkadaşları tarafından da
geliştirilerek boost ve buck-boost güç dönüştürücülerine
uygulanmıştır [3].
Güdümlü füzeler için güdümleme ve kontrolör tasarımları
yapılırken çoğunlukla füze ve hedefle ilgili tüm bilgilerin elde
olduğu kabul edilir, fakat gerçekte eldeki bilgiler sınırlıdır ve
çoğunlukla gürültülü ölçümlerden elde edilir. Bu işaretlerin
türevlerini almak ayrı bir problem oluşturacağı için farklı
yaklaşımlar kullanılmalıdır [4-6]. Radar kontrollü taktik
füzelerde füzenin aktif, yarı aktif veya pasif olmasına göre
yapısında küçük değişiklikler olmasına rağmen esas olarak
güdümlü füze üzerinde bulunan tarayıcı (seeker) sayesinde
hedeften yansıyan dalgaları toplar. Bu sayede hedefle olan
arasındaki mesafenin yatay eylemsizlik ekseniyle yaptığı açı
olan tespit açısını (LOS-line of sight angle), aralarındaki bağıl
mesafe bilgisini ve üzerinde bulunan Doppler radarıyla da
aralarındaki bağıl hızı hesaplayabilir. Üzerinde bulunan
oransal cayro (rate gyro) vasıtasıyla kendi açısal hızını ve
ivme-ölçerler vasıtasıyla da kendi ivmesini ölçer. Diğer
değerler ancak kestirilebilir. Gerçekte geçerli olmasa da
gerekli tüm değerlerin düzgün olarak ölçümü sağlandığında
üç-durumlu Kalman filtresi kullanarak (three-state Kalman
Vλ olmak üzere Vλ = 0 , Vλ − c0 R = 0 gibi algoritmaların
sonlu zamanda çarpmayı garanti edeceği değişik çalışmalarda
gösterilmiştir [7-11]. Kayma kipli kontrol entegre güdüm ve
kontrol yaklaşımını uygulamak için çok uygundur. Kayma
kipli kontrolde amaç s=0 kayma yüzeyine ulaşmak ve bu
yüzeyden ayrılmamak olduğu için, güdümleme için kullanılan
kriteri kayma yüzeylerinden biri olarak belirlemek güdümleme
kısmının başarımı için yeterli olacaktır. Çarpmanın sonlu
zamanda gerçekleşeceğinin garanti edilmesi temel kriteri
yanında çarpma zamanı ve hedefe dik bir açıyla temas etmenin
daha fazla etki göstereceği düşüncesiyle çarpma açısı da
kontrol edilebilir. Eylemsizlik ekseni uzayda sabit ve
Newton’un hareket kanunlarının geçerli olduğu referans eksen
sistemidir. Kısa menzilli taktik füzeler için, dünya merkezli
referans eksen sistemi eylemsizlik ekseni olarak kabul
edilebilecekken, uzun menzile sahip balistik füzeler için
dünyanın dönüşünden dolayı bu kabul yapılamaz [12]. Bu iki
eksen sistemine ek olarak füzenin kendi eksenleri üzerine
(body axis frame) ve bağıl rüzgara göre tanımlı (wind axis
frame) eksen takımları da füzenin hareketi ve konumunu ifade
etmek için sıkça kullanılır [13].
Minimum fazlı olmayan sistemlerin kontrolüyle ilgili
birçok çalışma yapılmış olmasına rağmen halen gelişmeye açık
bir alan olarak karşımıza çıkmaktadır. Sistemin minimum fazlı
olmaması lineerleştirici geribesleme (feedback linearization),
uygulanması çoğunlukla kayma kipli kontrol olan değişken
354
Kuyruk kontrollü füzelerde elde edilen model minimum
fazlı olmadığı için kuyruk kontrolü yerine kanatçık (canard)
kontrolü de kullanılmaktadır. Kanatçık kontrolünde oransal
güdümleme daha kolay uygulanabilirken, kuyruk kontrollü
tasarımın gerçeklenmesi mekanik açıdan daha kolaydır [23].
Kanatçık kontrolünde kontrol yüzeyinin hareketi kuyruk
kontrolündeki durumun aksine yüzey hareketiyle aynı yönde
olacağından füzenin ilk ivmelenmesi de istenen yönde oluşur,
bu şekilde oluşturulan model de minimum fazlıdır. Fakat
kanatçık kontrolünde hücum açısı yüksek değerlere
ulaştığında aerodinamik olarak kanatçık kontrolü doyuma
girecektir. Bu sebeple ancak kısa menzilli havadan havaya
füzelerde (örn AIM-9 sidewinder) kanatçık kontrolü tercih
edilmektedir. Kanatçık kontrolünün manevra kabiliyetinden
faydalanmak için kuyruk ve kanatçık kontrolü aynı füze
üzerinde uygulanabilir, bu durumda kanatçık kontrolü hızlı
manevra ve büyük ivme değişimlerine ihtiyaç duyulan füzehedef arası hareketin son aşamasında devreye girer. Söz
konusu kontrol prensibi iki farklı kontrol elemanı kullanıldığı
için ‘ikili-kontrol’ (dual-control) olarak isimlendirilir. Füze
ateşleme anından itibaren güdümleme kuralı gereğince hedefe
doğru yaklaşır, hedefle aralarındaki mesafe azaldıkça tespit
açısının (LOS) değişimi de büyük olacaktır. Özellikle son
aşama olan ‘end-game’ safhasında füze ile hedef birbirine çok
yakın olduğundan füzenin sağlaması gereken ivme çok büyük
olabilir. Füzenin hareketini sağlayan itki kuvvetinin bu
noktada yeterli ivmeyi sağlayamayacağı düşüncesinden
hareketle ana itki sisteminin yanında genellikle füzenin burun
kısmına yanal olarak itki sağlayacak yardımcı elemanlar
eklenir (Reaction jetler). Özellikle yüksek irtifalı hava
savunma füzeleri başta olmak üzere (Patriot, S-400, Arrow,
FD-2000 vb.) bazı füzelerde, hedefle temas hava
yoğunluğunun düşük olduğu yüksekliklerde gerçekleşeceği
için yeterli ivmeyi sağlayacak olan jet motorunun ihtiyaç
duyacağı hava, sıkıştırılmış halde füze üzerinde depolanmış
olabilir. Bu şekilde farklı iki itki sağlayıcı sisteme sahip olan
füzeler için de ‘ikili-kontrol’ ismi kullanılmaktadır.
Füzeler manevra tiplerine göre STT (skid to turn) ve BTT
(bank to turn) olmak üzere ikiye ayrılır. Bizim
inceleyeceğimiz STT füzeler, belirli bir yöne ilerlerken sadece
yunuslama (pitching) ve sapma (yawing) hareketlerini yapar,
dönme hareketi (rolling) kullanılmadığı için boylamsal ve
yanal düzlemler için ayrı ayrı analiz yapmak mümkündür.
BTT sistemlerde ise füze dönerek ilerler, bu yöntem füzenin
manevra kabiliyetini artırdığı için ek itkili (divert thrust)
tasarımlarda ve uçaklarda tercih edilmektedir. Yolcu
uçaklarında, dönme hareketi yapılırken yolcuların merkezkaç
kuvveti etkisinden etkilenmemeleri için sapma dümeni
(rudder) vasıtasıyla hareketin tersi yönde bir sapma
oluşturulur. Bu sayede uçak dönerken yolcular savrulmaz.
Füze dinamik denklemleri ifade edilirken hareketin sadece
dikey (x-z) ekseninde sınırlı olduğu kabulü yapılacaktır.
Elimizdeki modelin STT bir füzeye ait olduğunu kabul
edersek Şekil2’nin de yardımıyla (1-4)’teki denklemler elde
edilir.
yapılı kontrol (variable structure control) ve uyarlamalı geriadımlama (adaptive backstepping) gibi etkili kontrol
algoritmaların
uygulanmasına
büyük
kısıtlamalar
getirmektedir.
Vt
γt
λ
at
VR
Vλ
R
am
Vm
λ
γm
Eylemsizlik ekseni
Şekil 1: Güdümleme şeması
γ m , γ t → füze ve hedefin uçuş rotası açılarını (flight path
angle), Vm , a m ,Vt , at → füze ve hedefin hız ve ivmelerini
ve λ → tespit açısını (LOS-line of sight angle) ifade eder.
Çalışma [14] minimum fazlı olmayan sistemin çözümü için
izlenmesi sağlanacak referanslar için sınırlama getirmektedir.
Söz konusu çalışmada izleme problemi birinci dereceden
kısmi diferansiyel denkleme indirgenmiş ama bu diferansiyel
denklemin nasıl çözüleceğine yer verilmemiştir. [15]’te belirli
yörünge etrafında izleme yapılabilecek yavaş değişen sınırlı
sayıdaki referans tipleri konu edilmiştir. [16]’da nonlineer
dinamik tersini alma (NDI-nonlinear dynamic inversion)
kullanılarak tam izleme sağlanmıştır, fakat bu ve NDI yöntemi
kullanılan bazı çalışmalarda nedensel olmayan (non-causal)
referanslar kullanılmıştır. Nedensel olmamak şu anki
durumdan
gelecek
zamandaki
durumları
öngörme
zorunluluğunu doğurmaktadır. Bu nedenle referans giriş
işareti bir dış sistem (exosystem) tarafından oluşturulan
önceden belirli bir fonksiyon olarak düşünülmüştür. [1]’de
kararlı sistem merkezi metodu (stable system center), ters
dinamikler için ideal iç dinamikler (ideal internal dynamics)
olarak tanımlanan sınırlı iç dinamikler ve sınırlı kontrol
işaretler çözümünü elde etmek için kullanılmıştır, bu
yaklaşımda çıkış izleme problemi durum izleme problemine
dönüşmüştür. Kayma kipli kontrol ve ideal iç dinamikler
çalışma [2]’de konu edilmiştir. Minimum fazlı olmayan
sistemlerin bazılarında çıkış tekrar tanımlanmış ve elde edilen
minimum fazlı sistemlerin kontrolü küçük hatalarla
sağlanmıştır. Dikey iniş ve kalkış yapabilen uçaklar (VTOLvertical take-off and landing) (örn. Harrier jet) için bazı
kontrol yaklaşımları uygulanmıştır [17,18]. Ayrıca [19]’da
kararsız sistem sıfırı sağ yarı düzlemde orijinden çok ileride
olan kısmen minimum fazlı olmayan (slightly nonminimum
phase) modeller için kontrolör tasarımı yapılmıştır. [20-22]
çalışmalarında dual kontrol olarak adlandırılan füzede itkiyi
sağlayan ana kaynağın yanında özellikle uçuşun son
aşamalarında seri ivmelenme gereksinimine cevap verebilecek
yardımcı elemanların kullanımı incelenmiştir.
1
V& = [T cos(α ) − D] − g sin γ
m
1
g
γ& =
[ L + T sin(α )] − cos γ
mV
V
θ& = q
α& = θ& − γ&
2. Güdümlü Füze Dinamikleri
Güdümlü füze üzerinde etkiyen kuvvetler üç aerodinamik
kuvvet ve itki kuvvetinden oluşturur. Güdümlü füzeler
manevra yapabilmek için kaldırma (lift) ve yanal kuvvetleri
(side-force) kullanırlar.
355
(1)
(2)
(3)
(4)
L
kayma yüzeyi vardır ve kayma bu yüzeylerin kesişiminde
oluşur. Standart kayma kipli kontrolde, süreksiz kontrol işareti
T
ui+ ( x) si ( x) > 0
ui = 
ui− ( x) si ( x) < 0
θ
V
α
(7)
olarak verilir. s ( x ) = Cx kayma yüzeyidir. Kayma yüzeyi
γ
üzerinde s ( x) = 0 olur.
xI
r. dereceden kayma kipinde ise
mgcos(γ)
D
s = s& = &s& = .....s r −1 = 0 sağlanır.
Kayma kipli kontrolde eşleşme şartı sağlanıyorsa (bozucu
ve kontrol işaretinin aynı eşitlikte yer alması-matching
condition) kontrolör bozuculara karşı değişmezdir. Fakat
kayma kipli kontrolde kayma yüzeyine ulaşmanın garanti
edilmesi için bilinmeyen bozucuların üst sınırının bilinmesi
gerekir. Minimum fazlı olmayan sistemlerin iç dinamikleri
kararsız olduğu için klasik kayma kipli kontrol yaklaşımının
başarılı olamayacağı literatürde gösterilmiştir. Seçilen kontrol
işareti, giriş çıkış ilişkisinde sistemi kontrol ediyor görünse
dahi iç dinamikler kararsız olursa, başarılı bir kontrol
sağlanamaz.
Teorem :
mg
mgsin(γ)
Şekil 2: Kanatçık (canard) kontrollü füze modeli
Füzelerde ağırlık merkezinin yanında basınç merkezi
(center of pressure) olarak adlandırılan aerodinamik kuvvetin
etki ettiği nokta olarak kabul edilen sabit bir nokta vardır. Bu
yerin uçaklar için kanatlarda olacağı kabul edilebilir. Oluşan
aerodinamik kuvvetler sonucunda güdümlü füzenin denge
noktasının kararlılığının sağlanması kontrol açısından çok
önemlidir. Güdümlü füzede bir çalışma noktası (5)’teki gibi
ifade edilebilir.
α&   Zα 1  α   Z δ 
q&  =  M 0 q  +  M δ
   α    δ 
−1
(6)’da verilen sistem için eğer col ( D) ∈ R[ B(CB) C ]
col= sütun (column) , R=range
sağlanırsa kayma kipli kontrol bozuculara karşı değişmez
(invariant) olur [24].
Kayma kipli kontrolde süreksiz kontrol işareti uygulandığı
için çatırdama oluşur. Bu problemin önüne geçmek için
yüksek dereceden kayma kipli kontrol (high order sliding
mode control) yaklaşımının kullanımı gün geçtikçe
artmaktadır. Fakat çatırdamayı ortadan kaldırmasına rağmen
yüksek mertebeden kayma kipli kontrol uygulandığında
sistem, modellenmemiş hızlı değişen dinamiklere karşı duyarlı
hale gelecektir [7]. Bu sebepten ötürü bu çalışmada yüksek
mertebeden kayma kipli kontrol kullanılmayacak ve
süreksizliği önlemek için ‘signum’ fonksiyonu yerine yaygın
olarak tercih edilen sürekli ‘doyum’ (saturation) fonksiyonu
kullanılacaktır.
3.1 Kontrol edilebilirlik kanonik biçim (canonical
controllability form) [25]
(5)
Sistemin Hurwitz olması için özdeğerlerinin sol yarı düzlemde
olması gerekir. Zα katsayısı her zaman negatiftir. Z δ ve
M δ katsayıları ise kontrol yüzeyine bağlı olarak değişir
(kanatçık ve kuyruk kontrolü gibi), dolayısıyla kararlılık
şartının sağlanması için M α değerinin negatif olması gerekir.
Bu şart fiziksel olarak, kontrol yüzeyi hareketi sonucu
oluşacak kuvvetin moment etkisiyle aerodinamik kuvvetin
oluşturacağı momentin farklı yönlerde olmasına karşılık gelir.
Eğer ağırlık merkezi, basınç merkezi noktasının gerisinde
kalırsa sistem kararsız olur. Hava araçları mutlaka bu şartı
sağlayacak şekilde tasarlanır. Fakat yüksek manevra
kabiliyetini artırmak için savaş uçakları kararsız olarak
tasarlanabilir.
x& = Ax + Bu + F ( x, t )
x ∈ Rn , u ∈ Rm ,
y = Gx
3. Kayma Kipli Kontrol
(8)
F ( x, t ) = F1 ( x) + F2 (t )
Değişken yapılı kontrol konusunda modern olarak
adlandırılabilecek çalışmalar Emelyanov (1964), Utkin (1971)
ve Itkis (1976)’e dayanmaktadır. Kayma kipli kontrol
incelemesi için (6)’daki gibi bir sistemi ele alalım.
vektör değerli nonlineer fonksiyon
Durum uzayı eşitlikleri verilen minimum fazlı olmayan sistem
için blok kanonik bir dönüşüm yapılırsa.
 z1   M 1 
 =
x
 z 2  M 2 
(9)
x ∈ Rn , u ∈ Rm
z&1 = A11 z1 + A12 z 2 + f1 (t )
(10)
h ∈ R l bozuculara ve zamanla değişen parametrelere karşılık
z& 2 = A21 z1 + A22 z 2 + ∆A( z1 , z 2 ) + f 2 (t ) + b2 u
(11)
y = G1 z1 + G2 z 2
(12)
x& = f ( x , t ) + Bu (t ) + Dh ( x , t )
(6)
gelir.
Kayma kipli kontrol; kayma yüzeyinin seçilmesi, bu
yüzeye sonlu zamanda ulaşmayı sağlayacak kontrol kuralının
hesaplanması ve bu yüzey üzerinde kalınması esasına dayanır.
n durum ve m girişi olan bir sistemde (n-m). dereceden m tane
z1 ∈ R
356
n−1
, z 2 ∈ R , b2 ≠ 0 olur.
1
M 
M = 1
M 2 
alındığında sıfır dinamikler elde edilmiş olur. Sıfır dinamikleri
karasız olan sistemlere minimum fazlı olmayan (nonminimum
phase) sistem denir.
3.3 Dinamik kayma manifoldu tasarımı
(13)
tekil olmayan lineer dönüşüm matrisi
0 
A A 
MB =  , b2 ≠ 0, MAM −1 =  11 12 
b2 
 A21 A22 
(14)
 f (t )

−1
MF =  1
 , GM = [G1 G2 ] dir.
∆
(
,
)
(
)
A
z
z
+
f
t
1 2
2


(15)
x& = Ax + B(( I + ∆B2 ( x, t ))u + f 2 ( x, t )) + F . f1 ( x, t )
y = Cx
sistemini
[
CB ≠ 0 ve
, R n de bir basis ve B⊥ B ≡ [0]( n−m ) xm
CB = I mxm olmak
üzere
(22)’i
tekrar
ξ eşli alt-uzay, z 0 ∈ R n−2m eşli olmayan alt-uzayın kararlı
durum-vektörü manifoldu, z1 ∈ R de kararsız manifoldu
olmak üzere dönüşüm uygulanırsa, yeni sistem
m
z&0 = A00 z 0 + A01 z1 + A02ξ + f 01 (., t )
(23a)
z&1 = A11 z1 + A12ξ + f11 (., t )
(23b)
ξ& = A20 z0 + A21 z1 + A22ξ + f 2 (., t ) + ( I + ∆B2 (.))u (23c)
i = 0,1, 2, ....., r − 2
e y = −ξ + y R (t )
(17)
(23d)
şeklinde olur öyle ki sınırlı z1 , ξ girişleri ve Hurwitz olmayan
ise sistemin bağıl derecesi r’dir denir.
Tanım: Normal biçim (normal form)
A11 matrisi için z 0 BIBS (bounded input bounded state)
kararlıdır. Ayrıca det( A11 ) ≠ 0 ve A11 , A12 parçası tam
x& = f ( x) + g ( x)u u ∈ R , y ∈ R , x ∈ R
1
n
[ z0 , z1 , ξ ] = Mx şeklinde dönüştürelim.
Lie türevi (Lie derivative) göstermek üzere
1
T
öyle ki f1 ( x, t ) , B matrisine göre eşli olmayan (unmatched)
zamanın fonksiyonu belirsizlik olsun.
(22)’nin bağıl derecesi [1,1,….,1] olmak üzere (bağıl derece 1
olmadığı durumlar için ([2]))
(16)
Lg Lrf−1h( x) ≠ 0
]
space) B, B⊥ ≡ R
rank<n ise sütunların tamamı lineer bağımsız ve dolayısıyla da
sistem tam kontrol edilebilir değildir.
3.2 Sıfır Dinamikler (Zero Dynamics) Lineer sistemlerde
giriş-çıkış lineerleştirmesi yapıldığında sistem bağıl derecesi r
(çıkış ve girişin aynı eşitlikte elde edilmesi için çıkışın
türevinin alınma sayısı) sistem derecesi n’den küçük
olduğunda sistemin çıkıştan gözlenemeyen (n-r) durumu
olduğu bulunur. Bu tanım nonlineer sistemler için çıkış değeri
sıfır kabul edilerek yapılır ve sistemin sıfır dinamikleri olarak
adlandırılır.
Tanım: Bağıl derece
Lg Lif h( x) = 0
A ∈ R nxn ,B ∈ R nxm , C ∈ R mxn
alalım.
F = B⊥T olan herhangi bir matris öyle ki sütun- R (range
P = (b, Ab,.........An−1b) rank’ının n olması gerekir. Eğer
∂h
( x) f ( x)
∂x
ele
matrisler, ∆B2 ( x, t ), f 2 ( x, t ) eşli (matched) çarpım ve toplam
şeklinde giren bozucular.
(A,B) matris çifti kontrol edilebilir ise kayma kipi
denkleminde özdeğerleri belirlemek mümkündür.
Tam kontrol edilebilirlik için kontrol edilebilirlik matrisi
L f h( x ) =
(22a,b)
1
y = h (x )
kontrol edilebilir kabulü yapılarak e y → 0 sağlanır ve aynı
(18a,b)
zamanda z1 dinamikleri kararlı yapılır.
şeklinde tek giriş-tek çıkışlı sistemi ele alalım
Yukarıdaki gibi derecesi r olan bir sistem için z=T(x) şeklinde
bir difemorfik dönüşüm (diffeomorphism) sayesinde girişçıkış lineerleştirici dönüşüm her zaman vardır [26,27].
Teorem:
Minimum fazlı olmayan (23) sisteminde
i) det( A11 ) ≠ 0, ve A11 , A12 tam kontrol edilebilir.
η& = φ (η , ς )
(19)
ς& = A0ς + B0 β 0−1 (η , ς )[u − α 0 (η , ς )]
(20)
y = C0ς
A12 y r (t ) + f11 (., t ) teriminin davranışı θ
(21)
dış sistem tarafından modellenebileceği şartıyla (nedensel
olmayan ve bir dış sistem tarafından oluşturulan ve belirli
fonksiyonlarla ifade edilen referans işaretlerle ilgili [14])
iii) kayma kipi
z = [η ς ] , η ∈ R
n−r
ii)
, ξ ∈ R ve ( A0 , B0 , C0 ) kanonik
formda uygun matrisler (ayrıntı gösterim ve tasarım için [26])
T
T T
r
∂η
g ( x) = 0 olacak şekilde η seçilir [28].
∂x
e y → 0 oldukça,
∫
k
∫
belirli
sayı
(k )
olmak
üzere
= 0 şeklinde bir
∫
s = z1 + Pk e y + ( Pk −1e y + ( Pk − 2 e y + .. + ( P0 e y ) dτ ) dτ ) dτ = 0
(24)
dinamik yüzeyli kayma manifoldunda oluşur ve aşağıda
verilen şartlar sağlanır.
Z=T(x) şeklinde difemorfik dönüşüm sayesinde çıkıştan
gözlenemeyen (n-r) boyutlu iç dinamik ve çıkış tarafından
gözlenebilen r boyutlu dinamikler birbirinden ayrılır. Đç
dinamik eşitliklerinde
a)
η& = φ (η ,0)
e (yk + 1) + c k Ie (yk ) + ... + c1 Ie& y + c0 e y = 0
(25)
‘c’ katsayıları, izleme hatasını asimptotik kararlı hale getirecek
dinamik (özdeğer) ataması tasarımından bulunur.
357
b)
−1
P0 = −c0 A11
Pk
fırlatılması anında sorun yaratabilir. Referans giriş olarak ise
işareti ve değeri zamanla değişen sabit sayılar kullanılmıştır.
Tüm şartları sağlayan M matrisi
−2
−1
+ c1 A11
P1 = −[c0 A11
]Pk
..
.
0
 − 47.2 1

M =
47.2 1
0 
− 1271.85 0 − 340
−k
−1
Pk −1 = −[c0 A11
+ ... + ck −1 A11
]Pk
Pk =
−k
−[c0 A11
−1
+ ... + ck −1 A11
−1
+ A11 + ck I ] A12
olmaktadır.
(26)
Đspat:[29]
Kayma manifolduna ulaşmayı sağlayacak kontrol işareti
u = ksat (s )
(27)
şeklinde seçilebilir.
4. Benzetim Çalışmaları
(28a, b, c)
mV 2
= ma L olduğundan,
R
V (çizgisel hız)= w (açısal hız) x r (yarıçap), o halde
aL ⊥ V , F =
a
V
V
= 2 = − N dir.
R V
V
aL
(34)
b2 = −17000
(35)
(36)
(37)
c0 = 4, c1 = 24, c2 = 24, c3 = 16 seçilerek özdeğer ataması
yapılır.
Şekil4’te elde edilen kontrol işareti görülmektedir. Kontrol
işaretinin ilk andaki yüksek değerlerinden korunmak için bazı
uçuş kontrolü çalışmalarında ‘gecikmeli’ (latch) olarak
çalışan; geçici tepkinin etkisinden korunmak için belirli zaman
sonra kontrol işaretinin sisteme uygulanması esasına dayanan
yaklaşımlar yapılmıştır.
Uçuş sistemlerinde hesaplanan kontrol işaretini elde edecek
şekilde sürücüler vasıtasıyla kontrol yüzeylerinin ayarlanması
(arıza durumları da dahil) kontrol ataması (control allocator)
modülü vasıtasıyla yapılır. Başlı başına bir çalışma konusu
olmakla beraber basitçe söylemek gerekirse, vc kontrol
kuralından bulunan görünür kontrol (virtual control) kuralı
(kuvvet ve moment) ve u gerçek kontrol işareti olmak üzere
aralarındaki ilişki (38)’deki gibi bir fonksiyonla gösterilebilir.
Şekil1’deki gösterim dikkate alınarak ve
γ& =
0
1.824
 − 47.2
MAM −1 = 
0
47.2
2.07 
 37.71 − 1309.564 − 53.33 
n&1  − 47.2 0  1.824
+
y
&  = 
47.2 2.07 
 n2   0
y& = −1271.85n1 − 340 y − 17000u
Göz önüne aldığımız güdümlü füze kuyruk kontrollü, haç
biçiminde (cruciform) ‘+’ tipinde kuyruk yapılı ve dönme
açısal değer=0o ve dönme açısal hızı=0, füzenin dönme (roll)
hareketi yapmaması için dönme kontrolü (roll stabilized)
uygulanmaktadır.
Sistemdeki son durum denklemi otomatik pilot
gecikmesidir (autopilot lag). Belirli bir çalışma noktasında
lineer boylamsal dinamik denklemleri (28)’de verilmiştir [3031].
x&1 = −3.33x1 + x2 − 0.89 x3
x& 2 = −248x1 − 662 x3
x&3 = 50u − 50 x3
(33)
(29)
vc (t ) = g (u (t ))
(38)
20
15
a
F
= q + N ve y = a N olduğundan
mV
V
y = Zα .V .α + Z δ .V .δ
α& = q +
10
0
-5
olarak bulunur. Bu sebeple çıkış olarak seçilen ‘ivme’
büyüklüğü
y = a N = −1271.85 x1 − 340 x3
5
ivme
(30)
-10
-15
(31)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
35
40
zaman
Şekil 3: Sistem çıkışı:ivme
olarak yazılabilir.
Giriş-çıkış transfer fonksiyonu (32)’deki gibi olur.
0.5
0.4
(32)
0.3
kontrol isareti-u
a
− 339.98 ( s 2 − 2228)
H ( s) = L =
u
(0.02 s + 1) ( s 2 + 3.33s + 248)
Transfer fonksiyonu +47.2 de bulunan sıfır nedeniyle
minimum fazlı değildir. Sıfırın orijine uzaklığı nedeniyle hızlı
sönümleneceği düşünülerek kısmen minimum fazlı olmayan
(slightly nonminimum phase) olarak isimlendirilir [17].
Şekil3’teki sistem çıkışından da görüldüğü üzere otopilot
tarafından uygulanan kontrol işareti ilk olarak ters yönde bir
ivmelenmeye neden olmaktadır.
Bu durum füzenin
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
0
5
10
15
20
25
zaman
Şekil 4: Kontrol Đşareti
358
30
Guidance, Navigation and Control Conf. and Exhibit,
Providence, Rhode Island, s:1-15, 2004.
[12] G. M. Siouris, Missile Guidance and Control Systems
Springer- Verlag New York Inc. 2004.
[13] J. H. Blakelock, Automatic Control of Aircraft and
Missiles John Wiley &Sons Inc. 1991.
[14] A. Isidori ve C.I. Brynes, “Output Regulation of
Nonlinear Systems”, IEEE Trans. on Autom. Cont.,Vol:35,
No:2, s:131-140, 1990.
[15] A. Isidori ve C.H. Moog, On the nonlinear Equivalent of
the Notion of the Transmission Zeros (kitap bölümü),
Modeling and Adaptive Control Springer Verlag Berlin 1991.
[16]S. Devasia, D. Chen ve B. Paden, “Nonlinear Inversionbased Output Tracking”, IEEE Trans. on Autom. Cont.,
Cilt:41, No:7, 1996
[17] J. Hauser, S.Sastry ve G. Meyer, “Nonlinear Control
Design for Slightly Non-minimum Phase Systems:
Application to V/STOL Aircraft”, Automatica, Cilt:28, No:4,
s:665-679, 1992.
[18] P. Martin, S. Devasia ve B.E. Paden, “A Different Look
at Output Tracking: Control of VTOL aircraft”, Automatica,
Cilt:32, s:101-107, 1996.
[19]C.J. Tomlin ve S.S. Sastry, “Bounded Tracking for Nonminimum Phase Nonlinear Systems with Fast Zero
Dynamics”, International Journal of Control, Cilt:68, No:4,
s:819-848, 1997.
[20] F.-K. Yeh, “Adaptive-sliding-mode guidance law design
for missiles with thrust vector control and divert control
system”, IET Control Theory and Applications, Cilt:6, No:4,
s:552-559, 2012.
[21] H. Yan ve H. Ji, “Integrated guidance and control for
dual-control missiles based on small-gain theorem”,
Automatica, 48 s:2686-2692, 2012.
[22] D. Zhou ve C. Shao, “Dynamics and autopilot design for
endoatmospheric interceptors with dual control systems”,
Aerospace Science and Technology, Cilt:13, s:291-300, 2009.
[23] S. Gutman, “Superiority of Canards in Homing Missiles”,
IEEE Trans.on Aerospace and Electronic Systems, Cilt:39,
No:3, s:740-746, 2003.
[24] A.S. Zinober, Determininstic Control of Uncertain
Systems, Peter Peregrinus Ltd. London, 1998
[25] V. I. Utkin, Sliding Modes in Control and Optimization,
Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1992.
[26] A. Isidori, Nonlinear Control Systems, Springer Verlag
London 2.baskı,1995.
[27] J.A. Farrell ve M. M. Polycarpou, Adaptive
Approximation Based Control Unifying Neural, Fuzzy and
Traditional Adaptive Approximation Approaches, John
Wiley&Sons Inc., 2006.
[28] S. Sastry, Nonlinear Systems Analysis, Stability and
Control, Springer-Verlag New York, Inc. , 1999.
[29] I.A. Shkolnikov ve Y.B. Shtessel, “Aircraft Nonminimum
Phase Control in Dynamic Sliding Manifolds”, AIAA Journal
of Guidance, Control and Dynamics, Cilt:24, No:3, s:566572, 2001.
[30]B.Friedland, Control System Design An Introduction to
State-space methods, Mineola NY. Dover Publications INC,
2005
[31] T.Shima ve O.M. Golan, “End-game guidance laws for
dual-control missiles”, Proc. IMechE Cilt: 219 Part G: J.
Aerospace Engineering, s:157-170, 2005.
5. Sonuçlar
Bu çalışmada minimum fazlı olmayan sistemlerin kontrolü
konu edilmiştir. Literatürdeki çalışmaların çoğunda giriş
işaretine göre çarpımsal lineer (affine linear) olan
x& = f ( x) + g ( x)u biçiminde nonlineer modeller ele
alınmıştır. Daha farklı yapıdaki lineer ve nonlineer minimum
fazlı olmayan sistemlerin kontrolü konusunda çalışma
yapılmasına ihtiyaç vardır.
Çatırdama probleminin önüne geçildiği ve bozucuların üst
sınırlarının bilindiği durumlarda kayma kipli kontrol hızlı ve
kararlı kontrolör tasarımı imkanı tanımaktadır.
Sonuçlar uçuş kontrolü açısından değerlendirilirse,
minimum fazlı olmayan kuyruk kontrollü füzelerin ilk
hareketinin istenen yönün aksi yönünde gerçekleşiyor olması
bir problemdir. Literatürde çıkışı farklı şekilde tanımlayıp
ivme değerine geçmek için dışa bir kontrol döngüsü daha
eklenmesi yaklaşımı bazı çalışmalarda kullanılmıştır.
Kuyruk kontrolü yerine kanatçık kontrolünün tercih
edilmesi de kısa menzilli füzeler için ayrı bir seçenek
oluşturmaktadır.
Kaynakça
[1] I.A. Shkolnikov ve Y.B. Shtessel, “Tracking in a Class of
Nonminimum-phase Systems with Nonlinear Internal
Dynamics via Sliding Mode Control Using Method of System
Center”, Automatica, Cilt:38,s:837-842,2002.
[2] S. Gopalswamy ve J. Karl Hedrick, “Tracking Nonlinear
Non-minimum Phase Systems using Sliding Control”,
International Journal of Control, Cilt:57, No:5, s:1141-1158,
1993.
[3] Y.B. Shtessel, A.S.I. Zinober ve I.A. Shkolnikov, “Sliding
Mode Control of Boost and Buck-boost Power Converters
using the Dynamic Sliding Manifold”, International Journal
of Robust and Nonlinear Control,Cilt:13, s:1285-1298, 2003
[4] A.Levant, “Robust Exact Differentiation via Sliding Mode
Technique”, Automatica, Cilt:34, No:3, s:379-384, 1998.
[5] Y.Xia, Z.Zhu ve M.Fu, “Back-stepping Sliding Mode
Control for Missile Systems Based on an Extended State
Observer”, IET Control Theory and Applications, Cilt:5,
No:1, s:93-102, 2011
[6] I.A. Shkolnikov, Y.B. Shtessel, P. Zarchan ve D.P. Lianos,
“Sliding Mode Observers versus Kalman Filter in the Homing
Loop”, The Annual AIAA/BMDO Technology Conference,
10th Williamsburg Virginia, s:1-8, 2001.
[7] Y. B. Shtessel, I. A. Shkolnikov ve A. Levant, “Guidance
and Control of Missile Interceptor using Second-order Sliding
Mode”, IEEE Trans. on Aerospace and Electronic Systems,
Cilt:45 No:1, s:110-124, 2007.
[8] Y. B. Shtessel ve C. H. Tournes, “Integrated Higher-order
Sliding Mode Guidance and Autopilot for Dual-control
Missiles”, Journal of Guidance, Control, and Dynamics, Cilt:
32, No:1, s:79-94, 2009.
[9] M. Idan, T. Shima, ve O. M. Golan, “Integrated Sliding
Mode Autopilot-Guidance for Dual Control Missiles”,
Journal of Guidance, Control, and Dynamics, Cilt: 30 No:4,
s:1081-1089, 2007.
[10] Y. B. Shtessel, I. A. Shkolnikov ve A. Levant, “Smooth
Second-order Sliding-modes: Missile Guidance Application”,
Automatica, Cilt:43, No:8, s:1470-1476, 2007.
[11] M. Sharma ve N.D. Richards, “Adaptive, Integrated
Guidance and Control for Missile Interceptors”, AIAA
359
Kayan Kipli Kontrol Algoritmalarında Kontrol İşaretindeki
Salınımın Azaltılarak Performansın Arttırılması
1
1,2
Murat FURAT, 2İlyas EKER
Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü
Çukurova Üniversitesi
[email protected]
[email protected]
oldukça önemlidir. Çatırdama (chattering) olarak adlandırılan
kontrol işareti üzerindeki bu istenmeyen büyüklükteki salınım,
geleneksel kayan kipli kontrol algoritmalarının en önemli
sorunudur. Bu konuda detaylı incelemeler literatürde
mevcuttur [6].
Çatırdamayı ortadan kaldırmak ya da salınımı makul
büyüklüğe indirmek amacıyla literatürde birçok çözüm
önerilmiştir. Bunlar arasında anahtarlama kontrol sinyalinde
signum fonksiyonu yerine sigmoid [7], tanjant hiperbolik
[8]-[9], doyma fonksiyonları [10] sabit kazançlarla beraber
kullanılmıştır. Kazancın yüksek olması sistemin hızını
arttırırken salınımın büyüklüğünü de arttırmaktadır. Diğer
yandan salınımın azaltılması için kazancın küçük tutulması,
sistemi yavaşlatmaktadır. Bu nedenle anahtarlama sinyalindeki
sabit kazanç, sistemin performansı ile salınım büyüklüğü
arasında ikilem yaratmaktadır [13]. Bu sorunu aşmak için
salınıma neden olan belirsizliklerin yarattığı hataya bağlı
olarak değişen yaklaşımlar literatürde önerilmiştir [11]-[14].
Alternatif olarak, geleneksel kayan kipli kontrolün iyi
özelliklerini koruyarak önerilen yüksek dereceli kayan kipli
kontrol algoritmaları da aşırı salınım sorununun çözülmesinde
önerilen farklı yaklaşımlardandır [15]-[18].
Gerçek sistemlere yönelik kontrolcü tasarımlarında çözüm
algoritmasının kolaylığı büyük önem arz etmektedir. Kolay
çözüm yöntemi, geleneksel kayan kipli kontrol algoritmaların
bir özelliğidir. Geleneksel algoritmalar model tabanlı olmasına
karşın, yüksek dereceli olan algoritmalar modelden bağımsız
olarak kontrol işareti üretmektedir. Ancak modele dayalı
olarak geliştirilen ikinci derece kayan kipli kontrol algoritması
da vardır [19]. Bunların yanında, yapay sinir ağları, bulanık
mantık, genetik algoritma gibi yöntemler, kayan kipli kontrol
algoritmasıyla bütünleştirilmiş çalışmalar da mevcuttur [20].
Bu çalışmada, sabit kazançlı anahtarlama yerine hata ve
referans değeri kullanılarak değişken bir kazanç tanjant
hiperbolik fonksiyonu ile birlikte kullanılarak önerilmiştir.
Böylece sistem üzerindeki belirsizlikler ve bozuculardan
dolayı oluşan hata miktarına bağlı bir anahtarlama sinyali
üretilmesi ve erişim performansının arttırılması amaçlanmıştır.
Bu amaçla, öncelikle kayan kipli kontrol için temel bilgiler
ile literatürde mevcut üç farklı kayma fonksiyonuna sahip
algoritmada verilen kayma fonksiyonları ve anahtarlama
kontrol sinyalleri verilmiştir. Ardından önerilen anahtarlama
kontrol sinyali anlatılmıştır. Deneysel çalışma için gerçek bir
elektromekanik sistem kullanılmıştır. Çalışma noktasına göre
yaklaşık modellenen sistem üzerinde üç farklı referans
değerinde uygulama yapılmış ve elde edilen sonuçlar
karşılaştırmalı olarak verilmiştir. Son kısımda elde edilen
sonuçlara ilişkin ayrıntılı değerlendirme yer almaktadır.
Özetçe
Bu çalışmada geleneksel kayan kipli kontrol algoritmalarının
önemli sorunu olan kontrol işaretindeki yüksek frekanslı aşırı
salınımın azaltılması ve kapalı çevirim sistem performansının
arttırılması amacıyla yeni bir yaklaşım önerilmiştir.
Literatürdeki çalışmalarda, salınımın büyüklüğünü etkileyen
önemli faktörlerden biri olan signum fonksiyonu (doğrusal
olmayan) yerine yumuşak fonksiyonlar (doğrusal olan)
kullanılmıştır. Bu fonksiyonlarla beraber kullanılan sabit
kazançtan dolayı kontrol işaretindeki salınım, zaman zaman
gerçek sistemler için tehlikeli değerlere ulaşabilmektedir.
Düşük kazanç ise sistemin yavaşlamasına sebep olmaktadır.
Bu nedenle, mevcut sabit kazanç yerine hata ve referans
değerine bağlı değişken kazançlı bir yaklaşım önerilmiştir.
Elde edilen yeni kontrol işareti bir elektromekanik sisteme
uygulanmış ve literatürdeki çalışmalar ile grafiksel ve
istatistiksel olarak karşılaştırılmıştır.
1. Giriş
Kayan kipli kontrol ilk olarak Rus literatüründe ortaya atılmış
ve daha sonra uluslar arası literatürde geniş yer bulmuştur [1][4]. Gerek modelleme hatalarından ve dış bozuculardan
kaynaklanan belirsizliklere karşı gösterdiği dayanıklılık
gerekse çözüm yönteminin kolaylığı nedeniyle doğrusal ve
doğrusal olmayan gerçek sistemlere uygulama konusunda
birçok başarılı çalışma yapılmıştır. Bunlar arasında robot
kollar, motor sürücüleri, AC/DC dönüştürücüleri, rüzgâr
enerjisi sistemleri, DC/DC dönüştürücüleri, kimyasal süreçler
ve birçok elektriksel ve elektromekanik sistemler sayılabilir
[5].
Kayan kipli kontrol algoritmasındaki amaç, belirlenmiş bir
yüzeye sistemin durum yörüngesini yaklaştırmak ve daha
sonra bu yörünge üzerinde kalması sağlamaktır [5]. Durum
yörüngesinin erişimini sağlamak için anahtarlama kontrol
sinyali, orada kalmasını sağlamak için eşdeğer kontrol sinyali
kullanılır. Kapalı devre sistemin kontrol işareti bu iki kontrol
sinyalinin toplamından oluşur [1]. Erişim tamamlandığında ya
da belirsizliklerin mevcut olmadığı durumlarda anahtarlama
kontrol sinyalinin sıfıra yaklaşması beklenir [5]. Ancak gerçek
sistemlerde belirsizlikler sürekli mevcut olduğundan
anahtarlama sinyalinin de değişik büyüklüklerde kontrol
işaretine katkısı her zaman mevcuttur. Bu durumdan dolayı
kontrol işaretinde oluşan yüksek frekanslı aşırı salınım gerçek
sistemler için tehlikeli boyutlara ulaşabilmektedir ve en aza
indirilmesi sağlıklı bir kontrol işareti üretmek açısından
360
 Gecikme zamanlı birinci derece kararlı sistemler için
PI-PD tipi kayma fonksiyonu kullanılarak bir kayan
kipli kontrol algoritması önerilmiştir [8]. Bu kayma
fonksiyonu ile kapalı çevrimde daha iyi performans ve
daha kısa süreli kayma evresi elde etmek
amaçlanmıştır. Önerilen dört parametreli kayma
fonksiyonu:
2. Kayan Kipli Kontrol
Geleneksel kayan kipli kontrol tasarımı ilk olarak bir kayma
fonksiyonunun tanımlanması ile başlar. Literatürde, hata,
hatanın türevi ve diğer sistem değişkenlerinin kullanıldığı
çeşitli kayma fonksiyonları önerilmiştir [1], [7]-[10]. İlk
olarak aşağıdaki denklemde verilen kayma fonksiyonu
önerilmiştir:
 
 (t )   
d
 (t)  k1e(t)  k 2  e( ) d   k3 y (t)  k 4 y (t)
t
n 1
(4)
0
e(t)
(1)
 (1) denkleminde verilen geleneksel kayma fonksiyonu
ile elde edilen erişim evresinde performansın
iyileştirilmesi ve sonrasında daha doğru kontrol
sinyalinin üretilmesi amacıyla integral ile genişletilmiş
kayma fonksiyonu önerilmiştir [9]:
dt
Burada, n kontrol edilecek sistemin derecesini, e(t) ise
hatayı göstermektedir. Hata, referans değerinden çıkış
değerinin çıkarılması ile elde edilir, e(t)  r (t)  y (t) . İkinci
derece bir sistem için kayma fonksiyonu şu şekilde elde edilir:
 (t )  e(t)  e(t)


 (t)    
(2)
Kayan kipli kontrol, erişme ve kayma evresi olarak
adlandırılan iki temel evreden oluşur [5]. Erişme evresi, sistem
durumlarının kayma fonksiyonu ile belirlenen kayma yüzeyine
ulaşması evresidir. Erişme evresi için aşağıdaki denklemde
verilen koşulun sağlanması gerekmektedir:
 (t ) (t )  0


dt 
d
n 1
e(t)  ki
 e( )d
t
(5)
0
2.2. Anahtarlama Sinyalinin Seçimi
Kayma yüzeyinde erişme evresinin karakteristiğini
anahtarlama sinyali belirler. Bu çalışmada ele alınacak
algoritmalarda verilen anahtarlama sinyalleri aşağıdaki gibidir.
 Sabit değişimli anahtarlama sinyali [1]:
(3)
Kayma evresi ise  (t )  0 ve  (t )  0 sağlandığı
andır. Kayma evresi gerçekleştiğinde hata sıfıra ulaşır. Şekil
1’de erişim ve kayma evreleri gösterilmiştir.
ua (t)  k sgn( (t))
(6)
 Tanjant hiperbolik fonksiyonlu anahtarlama sinyali
[8]-[9]:
ua (t)  k tanh  (t) /  
(7)
Burada k sabit kazanç,  ise kayma yüzeyi etrafında
bulunan sınır katmanının kalınlığıdır.
2.3. Önerilen Anahtarlama Sinyali
Erişme evresinde etkili olan anahtarlama kontrol sinyalinin
yüksek kazançlı olması, sistemin referans değerine ulaşmasını
hızlandırmakla beraber belirsizliklerin oluşturduğu hatayı
karşılamak için ürettiği kontrol sinyalinin büyüklüğü de
gereğinden fazla arttırmaktadır [8]. Dolayısıyla, erişme
evresinde yüksek kazançlı ancak kayma evresinde değişken
kazançlı bir anahtarlama sinyali, geleneksel kayan kipli
kontrol algoritmalarının gerçek sistemlere uygulanabilirliğini
arttıracaktır. Bu nedenle hata ve referans değerine bağlı olarak
kazancı değişen yeni bir anahtarlama kontrol sinyali bu
çalışmada önerilmiştir:
Şekil 1: Kayma yüzeyinde erişme ve kayma evreleri.
2.1. Kayma Fonksiyonun Belirlenmesi
Literatürdeki kayan kipli çalışmaların ilkinde kayma
fonksiyonu (1) denkleminde verildiği gibi tanımlanmıştır [1].
Kayma fonksiyonunun birinci türevinin sıfıra eşitlenmesi ile
çözümünden eşdeğer kontrol sinyali elde edilir [8]-[10].
Eşdeğer kontrol sinyali kayma fonksiyonunun birinci
türevinde görüldüğü için geleneksel kayan kipli kontrol
algoritmaları birinci derece kayan kipli kontrol olarak da
adlandırılır.
Yüksek
dereceli
olarak
adlandırılan
algoritmalarda ise kontrol sinyalinin görüldüğü kayma
fonksiyonunun türevinin derecesi ile belirlenir.
Bu çalışmada ele alınan diğer çalışmalardaki kayma
fonksiyonları aşağıda verilmiştir:
ua (t)  ka  r (t) 
2

 e(t)    tanh  k

 (t) 
s
e(t)  


(8)
Burada k a  0 , k s  0 ,   0 , r (t)  0 .
Önerilen anahtarlama kontrol sinyalinde;
 k a en yüksek anahtarlama sinyalinin büyüklüğünün
sınırlandırılması için kullanılan pozitif katsayıdır ve
sistem üzerindeki belirsizlikleri karşılayacak yeterli
361
büyüklükte anahtarlama sinyalinin üretilmesi için
kullanılır,
 ks



kayma yüzeyi
etrafındaki
sınır
A , B ve C pozitif sistem parametrelerini bulmak için
motora 5,20 Volt uygulanmış ve 1200 dev/dk mil hızı, 4,48
Volt takojeneratör çıkış voltajı elde edilmiştir. Gecikme
zamanlı birinci derece modelleme yöntemi [21] kullanılarak
A  292, 6 , B  1970 ve C  1694, 6 yaklaşık değerleri
bulunmuştur.
kalınlığının
sınırlandırılması için kullanılan pozitif katsayıdır,
 , hata değerinin sıfıra gitmesi durumunda tanh
fonksiyonu içinde sıfıra bölünme durumuna karşı
seçilen çok küçük bir değerdir,
3.2. Deney Sonuçları
 r (t)  terimi referans değerinde yapılacak
değişikliklerde anahtarlama sinyaline üstel bir katkı
sağlar,
2
Kapalı çevirim kontrol için referans voltajı 4,48 Volt
kullanılmıştır. Böylece 1200 dev/dk mil hızı çalışma noktası
olarak hedeflenmiştir. Bulunan sistem parametreleri dışında,
algoritmalardaki parametreler seçilirken sürekli hata
bulunmaması ve hedef mil hızında aşma olmaması gibi
durumlar göz önünde bulundurulmuş; mili en kısa sürede
hedef hıza ulaştıran ve kontrol işaretinde en az salınıma sebep
olan değerler seçilmiştir. Ayrıca seçilen parametreler ile 900
dev/dk ve 1500 dev/dk hızlar için 3,39 Volt 5,52 Volt referans
voltajları kapalı çevrim sisteme uygulanmıştır. Önerilen
anahtarlama kontrol sinyalindeki parametre değerleri
 e(t)    terimi ise başlangıçta yüksek anahtarlama
sinyalinin oluşması sağlayan büyük bir değere sahiptir
ve sistemin erişim hızını arttırır. Daha sonra, sistemin
çıkışı referans değerine yaklaştıkça anahtarlama
sinyalinin azalmasını sağlar ve referans değerine
ulaşan çıkışı etkileyen bir belirsizlik durumunda
gerekli
büyüklükteki
anahtarlama
sinyalinin
oluşturulmasında rol oynayarak anahtarlama sinyalinin
sıfıra düşmesini engeller.
ka  0, 95 , k s  0, 01 ve   10
yaklaşık
%5’i)
 r (t)   e(t)   
2
3. Deneysel Çalışma
 td
 s 1
Bu denklemde

K
 td s  1  s  1

C
s  As  B
2
(9)
K kazancı, t d gecikme zamanını,  sistemin
zaman sabitini A , B ve C pozitif sistem parametrelerini
etmektedir. Yukarıdaki denklem düzenlenip zaman düzlemine
çevrildiğinde:
y (t )   Ay (t )  By(t )  Cu(t )
Başlangıçta
ile elde edilen kazanç maksimum kontrol
1
seçilmesi
uygun olacaktır.
900, 1200 ve 1500 dev/dk hızlar için önce literatürde
verilen üç farklı kayan kipli kontrol algoritması deneysel
sistem üzerinde uygulanmış sonra da önerilen anahtarlama
sinyali kullanılarak uygulama yapılmıştır.
Önerilen anahtarlama sinyali ile elde edilen erişim
zamanındaki kısalma, kayma fonksiyonlarının sıfıra ulaşması
süresinden anlaşılmaktadır. Şekil 2’de çalışma noktasındaki
kayma fonksiyonlarının sıfıra yaklaşımları gösterilmiştir.
Şekil 3’de signum fonksiyonundan kaynaklanan sabit
değişimli anahtarlama sinyali [1] yerine önerilen anahtarlama
sinyali ile başlangıçta yüksek kazançlı ve sonrasında sıfıra
yakın büyüklükte olan bir anahtarlama sinyali elde edilerek
erişim süresi azaltılmış ve istenmeyen salınım gerçek sistemler
için tehlike oluşturmayacak uygun büyüklüğe düşürülmüştür.
Diğer algoritmalarda da [8]-[9] benzer şekilde başlangıçta
orijinaline göre daha yüksek büyüklükte başlayan önerilen
anahtarlama sinyali, kapalı çevrim sistemin erişim
performansını önemli ölçüde arttırarak motor hızını istenen
değere ulaşmasını hızlandırmıştır. Şekil 4’te elde edilen hız
grafikleri karşılaştırmalı olarak verilmiştir. Şekil 4
incelendiğinde, hedef hızlara erişimde önerilen anahtarlama
sinyalinin daha yüksek performans sağladığı, erişim süresini
azalttığı görülmektedir.
Kapalı çevrim deneysel çalışmalar için üzerinde birçok sensor
olan bir mil ile birbirine bağlı DC motor ve geri besleme için
kullanılacak takojeneratörden oluşan elektromekanik sistem
kullanılmıştır. Burada DC motor ile mil hızı kontrol
edilecektir. Kayan kipli kontrol algoritmalarında kullanılacak
ikinci derece model aşağıda verilmiştir:
Ke
(hata değişiminin
seçilmiştir.
işaretinden yüksek bir değer alacağından k a
3.1. Deneysel Sistemin Modellenmesi
G (s) 
olarak
3
(10)
elde edilir. Burada u (t) kontrol işaretini, y (t) ise çıkışı
temsil etmektedir.
Şekil 2: Orijinal ve önerilen anahtarlama kontrol sinyalleri ile kayma fonksiyonundaki değişim.
362
Şekil 3: Orijinal ve önerilen anahtarlama kontrol sinyallerinin farklı hızlardaki değişimi.
Şekil 4: Orijinal ve önerilen anahtarlama kontrol sinyalleri ile elde edilen motor hızları.
363
Önerilen anahtarlama kontrol sinyalinin sistemin
performansı üzerindeki etkisi istatistiksel olarak da
incelenmiştir. Tüm deneyler 5 sn süre ile 5 ms örnekleme
zamanı kullanılarak yapılmış ve elde edilen verilerden
istatistiksel performans indeksleri hesaplanmıştır.
Kontrol işaretinin performansının incelenmesi amacıyla
toplam değişim, TD (Total Variance) ve ISCI (Integral
Squared Control Input) kullanılmıştır.
Integral Time-Absolute Error:

ITAE= t e(t ) dt
(15)
Integral Time-Squared Error:

2
ITSE= te (t ) dt
(16)

TD=
 u (i  1)  u (i )
(11)
Tablo 2a: Hata tabanlı performans indeksleri.
i 1
u
ISCI=
2
(t ) dt
Algoritma
(12)
Tablo 1’de orijinal ve önerilen kontrol işaretlerinden elde
edilen performans istatistikleri verilmiştir. Deneyler
sonucunda elde edilen istatistikler incelendiğinde kontrol
işaretinde aşırı salınımın görüldüğü [1]’de toplam değişimin
düştüğü önemli derecede düştüğü, tanjant hiperbolik
fonksiyonunun kullanıldığı [8]’de de iyileşme sağlandığı
görülmektedir. [9]’da toplam değişim artmış gibi görünse de
anahtarlama sinyalinin değişiminde azalma Şekil 3’te
görülmektedir. Dolayısıyla toplam değişimdeki artış eşdeğer
sinyalden kaynaklanmaktadır. Bildirinin sayfa kısıtlaması
nedeniyle sonuçlara ilişkin diğer grafikler verilmemiştir.
Bununla beraber önerilen anahtarlama sinyali ile ISCI
değerinin düştüğü görülmektedir. Böylece harcanan enerji de
düşmüştür.
Utkin,
1977 [1]
İ. Kaya,
2007 [8]
Eker ve
Akınal,
2008 [9]
Utkin,
1977 [1]
İ. Kaya,
2007 [8]
İ. Eker,
2008 [9]
Hız
900
1200
1500
900
1200
1500
900
1200
1500
Algoritma
Toplam Değişim
ISCI
Orijinal Önerilen Orijinal Önerilen
910,32
161,94
97,60
84,50
900,25
156,92 152,21
138,96
912,45
213,92 214,35
202,88
48,87
15,39
83,83
80,45
47,75
30,79 139,09
136,78
60,14
66,46 204,68
201,31
38,68
147,05
85,00
84,02
36,79
122,46 141,53
140,11
43,25
156,79 207,48
206,93
Utkin,
1977 [1]
İ. Kaya,
2007 [8]
Eker ve
Akınal,
2008 [9]

2
900
1200
1500
900
1200
1500
900
1200
1500
ITAE
ITSE
Orijinal Önerilen Orijinal Önerilen
0,391
0,188
0,055
0,014
0,421
0,195
0,102
0,029
0,467
0,266
0,194
0,062
0,153
0,141
0,028
0,035
0,144
0,131
0,056
0,037
0,177
0,187
0,102
0,068
0,261
0,305
0,020
0,020
0,148
0,161
0,035
0,027
0,455
0,216
0,084
0,059
Bu çalışmada, geleneksel kayan kipli kontrol algoritmalarının
önemli bir sorunu olan kontrol işaretindeki aşırı salınım ve
bunun kapalı çevirimde gerçek sistemlerin performansı
üzerindeki olumsuz etkisini azaltacak yeni bir anahtarlama
sinyali önerilmiştir. Önerilen anahtarlama sinyali, bilinen
sistem parametrelerinden hesaplandığından ayarlanmasındaki
kolaylığın yanında literatürde önerilen çeşitli kayma
fonksiyonlarıyla beraber gerçek bir sistem üzerinde başarıyla
uygulanmıştır. Elde edilen sonuçlara göre aşağıdaki
değerlendirmeler yapılmıştır:
(13)
Integral Squared Error:
ISE= e (t ) dt
Hız
4. Değerlendirme ve Sonuç
Integral Absolute Error:
 e(t ) dt
IAE
ISE
Önerilen Orijinal Önerilen
0,249
0,865
0,416
0,355
1,694
0,889
0,509
2,997
1,589
0,394
0,658
0,712
0,401
1,279
0,991
0,565
2,114
1,694
0,292
0,514
0,421
0,341
1,041
0,882
0,496
1,812
1,569
Tablo 2 incelendiğinde, çalışma noktası 1200 dev/dk
seçilmesine rağmen, önerilen anahtarlama sinyalinin daha
düşük ve yüksek hızlarda da hatayı karşılamaktaki başarıyı
arttırdığı görülmektedir.
Ayrıca, önerilen anahtarlama kontrol sinyalinin
belirsizliklerden kaynaklanan hataları karşılama başarısını
ölçmek için literatürde sıklıkla kullanılan hata tabanlı
performans indeksleri ile ölçümler yapılmıştır. Aşağıda
literatürdeki isimleriyle denklemleri verilen hata tabanlı
performans indekslerinin sonuçları Tablo 2’de verilmiştir.
IAE=
900
1200
1500
900
1200
1500
900
1200
1500
Orijinal
0,457
0,629
0,849
0,373
0,472
0,620
0,301
0,370
0,628
Tablo 2b: Hata tabanlı performans indeksleri (devamı).
Tablo 1: Kontrol işaretinin performans indeksleri.
Algoritma
Hız
(14)
364

[7] O. Camacho, C. Smith ve W. Moreno, “Development of
Internal Model Sliding Mode Controller,” Industrial &
Engineering Chemical Research, Cilt: 42, s: 568-573,
2003.
[8] İ. Kaya, “Sliding-Mode Control of Stable Processes,”
Industrial & Engineering Chemical Research, Cilt: 46, s:
571-578, 2007.
[9] İ. Eker ve Ş. A. Akınal, “Sliding Mode Control with
Integral Augmented Sliding Surface: Design and
Experimental Application to an Electromechanical
System,” Electrical Engineering, Cilt: 90, s: 189-197,
2008.
[10] İ. Eker, “Sliding Mode Control with PID Sliding Surface
and Experimantal Application to an Electromechanical
Plant,” ISA Transactions, Cilt: 45, No: 1, s: 109-118,
2006.
[11] G. Monsees ve J. M. A. Scherpen, “Adaptive Switching
Gain for a Discrete-time Sliding Mode Controller,”
International Journal of Control, Cilt: 75, No: 4, s: 242251, 2002.
[12] F. Plestan, Y. Shtessel, V. Bregeault ve A. Poznyak,
“New Methodologies for Adaptive Sliding Mode
Control,” International Journal of Control, Cilt: 83, No:
9, s: 1907-1919, 2010.
[13] C. J. Fallaha, M. Saad, H. Y. Kanaan ve K. Al-Haddad,
“Sliding Mode Robot Control with Exponential Reaching
Law,” IEEE Transactions on Industrial Electronics, Cilt:
58, No: 2, s: 600-610, 2011.
[14] T. Yoshimura, “Adaptive Sliding Mode Control for a
Class of Uncertain Discrete-time Systems Using Multirate Output Measurement,” International Journal of
Systems Science, Cilt: 43, No: 2, s: 211-219, 2012.
[15] A. Levant, “Higher-order Sliding Modes, Differentiation
and Output Feedback Control,” International Journal of
Control, Cilt: 76, No: 9/10, s: 875-892, 2003.
[16] G. Bartolini, A. Pisano, E. Punta ve E. Usai, “A Survey
of Applications of Second-order Sliding Mode Control to
Mechanical Systems,” International Journal of Control,
Cilt: 76, No: 9/10, s: 924-941, 2003.
[17] A. Cavallo ve C. Natale, “Higher-order Sliding Mode
Control of Mechanical Systems: Theory and
Experiments,” Control Engineering Practice, Cilt: 12, s:
1139-1149, 2004.
[18] A. Levant, “Principles of 2-Sliding Mode Design,”
Automatica, Cilt: 43, s: 576-586, 2007.
[19] İ. Eker, “Second-order Sliding Mode Control with
Experimental Application,” ISA Transactions, Cilt: 49,
394-405, 2010.
[20] X. Yu ve O. Kaynak, “Sliding-mode Control with Soft
Computing: A Survey,” IEEE Transactions on Industrial
Electronics, Cilt: 56, No: 9, s: 3275-3285, 2009.
[21] M. Furat, ve İ. Eker, “Computer-Aided Experimental
Modeling of a Real System Using Graphical Analysis of
a Step Response Data,” Computer Applications in
Engineering Education, DOI: 10.1002/cae.20482.
Uluslar arası literatürde ilk olarak teorisi verilen kayan
kipli kontrol algoritmasında anahtarlama kontrol
sinyalinde signum fonksiyonu yer almaktadır [1].
Sabit kazanç içeren bu anahtarlama sinyali kontrol
işaretinde aşırı salıma neden olmaktadır. Önerilen
değişken kazançlı anahtarlama sinyali ile bu sorun
ortadan kaldırılmış, erişim tamamlandığında kontrol
işaretindeki salınım makul seviyelere indirilmiştir.
 Signum fonksiyonunun olumsuz etkisini azaltmak
amacıyla tanjant hiperbolik fonsiyonu gibi daha
yumuşak fonksiyonlar sabit kazançla beraber
kullanılmıştır [8]-[9]. Sabit kazançlı anahtarlama
sinyallerinde kazanç yüksek tutulduğunda erişim
performansı artarken salınımın büyüklüğü de artmakta,
düşük kazançta ise salınım azalırken performans
düşmektedir. Bu ikilemi oluşturan sabit kazanç yerine
hata ve referans değerine bağlı değişken kazanç
önerilmiştir. Hatanın büyüklüğü ile orantılı oluşan
anahtarlama sinyali kapalı çevirimde sistemin erişim
performansını arttırırken salınımın da makul seviyede
tutulmasını sağlamıştır.
 Önerilen anahtarlama kontrol sinyali sonucu elde
edilen hataya bağlı performans indeksleri yeni
anahtarlama sinyalinin çıkışın referans değerinde
tutulmasında daha büyük etkisi olduğunu göstermiştir.
Dolayısıyla gerçek sistemlerde mevcut belirsizlikleri
karşılamakta hem çalışma noktasında hem de farklı
referans değerlerinde önerilen anahtarlama kontrol
sinyali ile daha iyi sonuçlar elde edilmiştir.
Sonuç olarak, önerilen anahtarlama kontrol sinyali ile
geleneksel kayan kipli kontrol algoritmalarında, gerçek bir
sistem üzerinde daha yüksek performans elde edilmiştir.
Kaynakça
[1] V. I. Utkin, “Variable Structure Systems with Sliding
Modes,” IEEE Transactions on Automatic Control, Cilt:
AC-22, s: 212-222, 1977.
[2] R. A. Decarlo, S. H. Zak ve G. P. Matthews, “Variable
Structure Control of Nonlinear Multivariable Systems: A
Tutorial,” Proceedings of the IEEE, Cilt: 76, No: 3, s:
212-232, 1988.
[3] O. Kaynak, K. Erbatur ve M. Ertuğrul, “The Fusion of
Computationally Intelligent Methodologies and Sliding
Mode Control: A Survey,” IEEE Transactions on
Industrial Electronics, Cilt: 48, No:1, s: 4-17, 2001.
[4] X. Yu, B. Wang ve X. Li, “Computer Controlled
Variable Structure Systems: The State-of-the-Art,” IEEE
Transactions on Industrial Informatics, Cilt: 8, No: 2, s:
197-205, 2012.
[5] E. Köse, K. Abacı ve S. Aksoy, “Kayma Kipli Kontrolde
Farklı Erişim Alt Yaklaşımlarının Analizleri”, 6th
International Advanced Technologies Symposium
(IATS’11), Elazığ, Türkiye, s. 87-90, 2011.
[6] A. Levant, “Chattering Analysis,” IEEE Transactions on
Automatic Control, Cilt: 55, No: 6, s: 1380-1389, 2010.
365
İki Serbestlik Dereceli Helikopter Sisteminin
Ters Model Tabanlı Kontrolü
Zafer ÖCAL1, Zafer BİNGÜL2
1
Anadolu Isuzu Otomotiv
San. Tic A.Ş., Kocaeli
[email protected]
2
Kocaeli Üniversitesi, Kocaeli
[email protected]
modelindeki belirsizliklere ve harici bozuculara karşı
kullanılmıştır. [7] kaynağında bulanık model ters çevirme
yöntemi açıklanmıştır. Söz konusu kaynakta sunulan metot
sistem için seçilmiş girişi, doğrusal olmayan model durum
gözlemcisinin çıkışına göre tekrar yapılandıran, ileri yönlü bir
bulanık modelden oluşmaktadır. Bulanık model, sistem
cevabına göre, genetik algoritma yardımı ile iyileştirilmiştir.
Bu çalışmada, yazarın yüksek lisans tez çalışmasında yer
alan, sistemin doğrusal olmayan Newton modeli terslenerek
kullanılmıştır. Sistem mekaniği dışındaki, fırçasız doğru akım
motoru (FDA) ve pervane kuvvetleri; çeşitli ölçümler
sonucunda elde edilen verilerin eğri uydurma yöntemi ile
polinomlara dönüştürülmesi ile elde edilmiştir.
Özetçe
Bu çalışmada, iki serbestlik dereceli helikopter sisteminin
(İSHS) doğrusal olmayan ters dinamik model tabanlı kontrolü
yapılmıştır. Sistemin yunuslama açısı oransal-integral-türevsel
(proportional-Integral-Derivative) (PID) kontrol ve ileri
beslemeli ters model kontrolü, sapma açısı ise PID kontrolör
kullanılarak sağlanmıştır. Yunuslama açısının kontrolünde, tek
başına PID kontrol veya ileri beslemeli ters model kontrol
kullanılmasına kıyasla, birlikte kullanıldığı kontrol yapısı,
sistemin doğrusal olmayan yapısına rağmen oldukça iyi
sonuçlar vermiştir.
1. Giriş
2. İSHS
Doğrusal olmayan sistemlerde, doğrusalsızlıkların ters
çevrilerek (Dynamic Inversion [1]) yapıldığı kontrol iyi
bilinen ve sıklıkla kullanılan bir metottur. Bu metodun temel
avantajı, kontrol edilecek sistemin doğrusal olmayan
dinamiklerini doğrusal eş değerlerine çevirerek doğrusal
kontrol tekniklerinin kullanılmasına olanak sağlamasıdır. Bu
yöntem giriş (referans) sinyallerine karşılık gelen çıkış
sinyalinin doğrudan hesaplanmasıyla, bu sinyallerin kontrolör
tarafından bulunma ihtiyacını ortadan kaldırır [2]. Ancak, ters
çevrilmiş matematik model elde edebilmek için çoğunlukla
doğrudan bir yöntem yoktur. Kullanışlı bir ters model elde
edebilmek için çeşitli kabuller ve yaklaşımlar yapılmalıdır [3].
Ters model kullanılarak elde edilmiş kontrolör tasarımı
için literatürde birçok örnek vardır. Örneğin, [3] kaynağında
ters model kontrolörü, PD (proportional derivative) kontrolör
ile birlikte kullanılarak sistemin bir serbestlik dereceli (1SD)
kontrolü sağlamıştır. Burada ters model oluşturma hatalarını
telafi etmek için, sistemin geri besleme kontrolüne yapay sinir
ağları düzenleyicisi eklenmiştir. [4] kaynağında ters model
kontrolörü, PID kontrolör ile birlikte kullanılarak 1SD sistem
kontrolü sağlanmıştır. Aynı kaynakta PID parametreleri,
parçacık sürü optimizasyonu (PSO) kullanılarak elde
edilmiştir. [5] kaynağında YAMAHA R-50 insansız hava
aracının basitleştirilmiş modeli kullanılarak, ters çevrilmiş
dinamik model kontrolü, irtifa ve yönelim kontrolünde
kullanılmıştır. [6] kaynağında sistem ileri beslemeli ters model
kontrolü, doğrusal geri beslemeli kontrol ve geri besleme
doğrusallaştırması ile birlikte kullanılarak sistemin kontrolü
sağlanmıştır. Burada geri beslemeli kontrolör, sistem
Şekil 1’de görülebileceği gibi deney düzeneği, bir metal
çubuğun her iki ucuna birbirine dik yerleştirilmiş iki özdeş
FDA motoru ve motorlar tarafından döndürülen iki farklı
pervaneden oluşmaktadır.
Şekil 1: İki serbestlik dereceli helikopter sistemi
Metal çubuk, pervanelerin dönmesiyle oluşan kuvvetler
yardımıyla dönme noktasında yatay ve dikey düzlemde hareket
edebilmektedir. Bunların yanında, sistem sarkaç gibi
düşünülebilecek bir karşı denge yükü içermektedir. Bu yük
366
sağlandığı için
verilmemiştir.
sabit durumda sistemin açısal momentini dengelemek için
kullanılmıştır.
Sistemde kontrolör olarak, iki ayrı donanımsal enkoder
desteği, yüksek çalışma hızı ve Matlab/Simulink ile birlikte
çalışabilmesi özellikleri olan Texas Instruments firmasının
TMS320F28335 dijital sinyal kontrolörü (DSC) kullanılmıştır.
Şekil 2’de sistemin elektronik bileşenleri görülmektedir.
Burada yunuslama ve sapma açısını okumak için iki adet
π/2000 rad hassasiyetli enkoder kullanıldı. Motor sürücüsü
olarak iki adet Hobbyking Blueseries 30A FDA motor
sürücüsü kullanıldı. Motor sürücülerinin kontrol sinyallerine
daha hızlı cevap verebilmesi için, sürücülerin motor hızı
güncelleme periyodu 20ms’den 2,5ms’ye düşürülmüştür.
Sensörsüz sürme esnasında görece düşük hızlarda dönebilmesi
için 750KV’lik Aeolian FDA motoru seçildi. Sistemin mevcut
durumunu bilgisayara iletmesi için bir seri port kullanıldı.
Pozisyon sıfırlama, başlatma ve durdurma işlemleri için de üç
ayrı butondan kullanıldı.
bu
çalışmada
yatay
dinamiklere
400
350
Motor Hızı (rad/s)
300
250
200
150
100
50
0
0
2
4
6
Sürme sinyali (%)
8
10
Şekil 3: Sürme sinyali dm ile motor hızı ωm değişimi
1.5
Kuvvet (N)
1
Şekil 2: Bileşenler blok diyagramı
(-1.4d + 35d m + 139) ,
0
,

ω m (d m ) = sign(d m )
d m ≥ 0,2
d m < 0,2
0
-0.5
Ölçülen Değerler
Bu çalışmada İSHS’nin yunuslama açısı kontrolü ileri
beslemeli ters model kontrolü ile sağlandığı için öncelikli
olarak ters çevrilecek sistem modeli verilmiştir
Motor modeli için yapılan ölçümler Şekil 3’te verilmiştir.
Farklı sürme sinyali aralıklarında uydurulmuş polinomlar
denklem (1)’deki gibi elde edilmiştir.
2
m
0.5
3.Drc. Polinom
-1
-500
0
Açısal Hız (rad/s)
Şekil 4: Açısal pervane hızı, itme kuvvet ilişkisi
Tablo 1: İSHS Sabitleri
Parametre
dm,t (%PWM)
Fm (N)
g (m/s2)
Jv (kg/m2)
ltm (m)
lmm (m)
lcl (m)
lcb (m)
mcl (kg)
mmm (kg)
mtm (kg)
mtb (kg)
mmb (kg)
τg (Nm)
τm (Nm)
τt (Nm)
τv,fr (Nm)
θv (rad)
θh (rad)
ωm (rad/s)
(1)
Şekil 4’te pervane hızına göre aerodinamik kuvvetin
değimini gösteren grafik yer almaktadır. Bu grafikten elde
edilen hız ve kuvvet ilişkisini tanımlayan polinom denklem
(2)’deki gibi elde edilmiştir. Şekil 3’te gözlenen başlangıçtaki
ani hız değişimi FDA motorların sensörsüz sürücüler yardımı
ile sürülmesinden kaynaklanmaktadır.
(7.9e - 4ωm3 − 0.136ωm2 + 97ω − 570)e - 5, ωm ≥ 140

Fm (ωm ) = (4.5e - 4ωm3 + 0.045ωm2 + 56ω − 315)e - 5, ωm ≤ −140 (2)

0,
farklı

Dikey dinamiklerinin Newton modeli, denklem (3) – (9)
arasında verilmiştir. Bu denklemler [8] kaynağındaki
denklemler referans alınarak türetilmiştir. Denklemlerde
kullanılan değişkenlerin fiziksel anlamları Tablo 1’de yer
almaktadır. İSHS yatay kontrolü tek başına PID kontrol ile
367
Fiziksel Anlamı
Motor Sürme Sinyali
Ana motor aerodinamik kuvveti
Yerçekimi ivmesi
Dikey kol atalet momenti
Kuyruk kolu uzunluğu
Ana kol uzunluğu
Karşı denge yük eklem aralığı
Karşı denge kol uzunluğu
Karşı denge kolu kütlesi
Ana motor kütlesi
Kuyruk motor kütlesi
Ana kol kütlesi
Kuyruk kolu kütlesi
Yerçekimi torku
Ana kol torku
Kuyruk Kolu torku
Dikey eklem sürtünme torku
ISHS yunuslama açısı
ISHS rota açısı
Ana motor hızı
500
yer
θ&&v =
τv
4.1. Yunuslama Açısının Ters Model Açık Döngü Kontrolü
(3)
Jv
τ g = g (( A − B )cos(θ v ) − C sin (θ v ))
(4)
τ m = Fm (ω m )lmm
(5)
τ v = τ m + τ g − τ v , fr
(6)
m

A =  tb + mtm ltm
2


(7)
m

B =  mb + mmm lmm
2


lcb
C = mcb
+ mcl lcl
2
Ters model öncelikli olarak İSHS doğrusal olmayan modeli
üzerinde doğrulandı ardından gerçek sistem üzerinde
uygulanarak sonuçlar incelendi. Şekil 6’da açık döngü kontrol
yapısı görülmektedir. Şekil 7’de ise gerçek ISHS uygulanmış
periyodik basamak referans sinyallerine İSHS’nin cevabı
görülmektedir.
(8)
Şekil 6: Ters model açık döngü kontrol blok diyagramı
(9)
Sistemin cevabında görülen referans değerine oturmama
durumu FDA motorunun sensörsüz bir sürücü ile
sürülmesinden kaynaklanmaktadır. ISHS’nin kapalı döngü
kontrolünde doğrusal olmayan bu etki de kontrol edilmeye
çalışıldı.
3. Ters Çevrilmiş Sistem Modeli
Şekil 5’de de görüldüğü gibi elde edilen ters sistem modeli
giriş olarak referans açıyı dengeleyecek kuvveti üretecek
pervane hızının sürme sinyalini çıkış olarak vermektedir.
-0.3
Yunuslama açısı(rad)
-0.35
Şekil 5: Doğrusal olamayan ters model kontrol blok
diyagramı
Fm (ωm ) =
θ&&v J v − g (( A − B )cos(θ v ) − C sin (θ v )) + τ v , fr
lmm
5.4 × 10 -5 ω m2 + 0.013ω m − 2.83 , ω m ≥ 150
d m (ω m ) = sign(ω m )
, ω m < 150
0.0026ω m

-0.45
-0.5
-0.55
-0.6
-0.65
0
(10)
20
40
60
Zaman(s)
80
100
Şekil 7: Açık döngü periyodik basamak cevabı
Denklem (10) bir önceki bölümde verilen İSHS dinamik
modelinin ters çevrilmesi ile elde edilmiştir. Ters pervane
kuvveti ve ters motor modeli bir önceki bölümde yapılan
ölçümlerden yararlanılarak yine eğri uydurma yöntemi ile
polinoma dönüştürülmüştür. Denklem (11)’de ihtiyaç duyulan
kuvvet için gerekli pervane hızı ve denklem (12)’de ise bu hız
için gerekli sürme sinyalinin çıkarılışı verilmiştir.
 371Fm3 − 977 Fm2 + 1060Fm + 21 , Fm ≥ 0,05

ωm (Fm ) = 1541Fm3 + 2475Fm2 + 1656Fm − 23, Fm < −0,05

0
, farklı

-0.4
4.2. Yunuslama Açısının Ters Model İleri Beslemeli PID
Kontrolü
Şekil 7’de görülebileceği gibi, istenilen açısal giriş için gerekli
motor hızı hesaplanıp sisteme verilse bile İSHS’nin istenilen
konuma gelmesi oldukça zaman alır. Bu süreyi kısaltmak ve
bozucu etkilerden kaynaklanan hataları azaltmak için sisteme
Şekil 8’deki gibi bir PID kontrolör eklendi. Böylelikle 20
saniyeyi bulan oturma zamanı 2 saniye seviyelerine indi ve
0.075 rad seviyelerinde olan aşma ise 0.04 rad seviyelerine
geriledi. Burada PID kat sayıları belirlenirken deneysel
çalışmalar yapıldı ve sonuçta kullanılan bu katsayılar Tablo
2’de verilmiştir.
(11)
(12)
4. İSHS’nin 2SD Kontrolü
İSHS’nin kontrolü için öncelikli olarak ters çevrilmiş model
ileri belemeli 1SD açık döngü cevabı incelendi ardından, 1SD
ters model ileri beslemeli ve PID kontrol birlikte sisteme
uygulandı ve son olarak da 2SD kontrol için yatay eksen
kontrolüne de bir PID kontrolör eklendi.
Şekil 8: Ters model ileri beslemeli PID kapalı döngü
kontrol blok diyagramı
368
açısındaki ani konum değişimi yunuslama açısında bir aşma
olarak ortaya çıkar. Benzer şekilde Şekil 12’de 40. ve 80.
saniyeler incelenirse yunuslama açısındaki aşmanın sapma
açısı yönelimi ile yakından ilişkili olduğu gözlenebilir.
-0.3
Yunuslama açısı(rad)
-0.35
-0.4
-0.45
-0.5
-0.55
-0.6
-0.65
0
20
40
60
Zaman(s)
80
100
Şekil 9: 1SD ters model ileri beslemeli PID periyodik
basamak cevabı
Şekil 10: 2SD kontrol yapısı
4.3. 2SD Kontrolü
H ( s) =
İSHS’nin yunuslama açısı kontrolü sağlandıktan sonra
yatay eksen kontrolü için PID denetleyicisi kullanıldı. Yatay
eksende motorun yön değiştirme hızı dikkate alınarak kontrol
sinyali (13)’te yer alan kesme frekansı 0.625Hz olan düşük
geçiren filtreden (DGF) geçirilmiştir. Bu filtre sayesinde daha
pürüzsüz bir kontrol sinyali elde edilmiştir. Kontrol için
kullanılan katsayılar Tablo 2’de verilmiştir. Şekil 10’da
verilen kontrol yapısına İSHS’nin gerçek zamanlı cevabı Şekil
12, 13 ve 14’te verilmiştir. Burada iki eksenin birbiri
üzerindeki bozucu etkileri Şekil 12 ve Şekil 13’te açıkça
görülebilmektedir. Örneğin Şekil 13’ün 76. saniyesinde sapma
1000
Durdur
C28x3x
[Dikey]
GPIOx
Durdur
GPIO DI
NOT
GPIOx
swi
GPIO DI
SIFIRLA BUT ONU
pi/2000
GPIOx
[Basla]
Out1
C28x3x
qposcnt
(13)
Şekil 11’de kontrolörün DSC’nin içine yüklenen C kodu
üreten Simulink modeli verilmiştir. Modelde örnekleme
zamanı 0.001 saniye kullanılmıştır. Ancak bilgisayara aktarma
esnasında bu kadar yüksek bir çözünürlüğe ihtiyaç olmadığı
için örnekleme zamanı 0.05 olarak seçilmiştir. Modelde
denklem (13)’te verilen DGF’nin ayrık zamanlı karşılığı yer
almaktadır. Pervaneler hareketsiz ve yunuslama açısı sabit
konuma geldiğinde pozisyonunu sıfırlamak için bir buton
kullanıldı.
C280x/C28x3x
C28x3x
10
s + 10
Basla
GPIO DI
Baslat
eQEP
Dikey Eksen
Basla/Dur
1/z
Err
Repeating
Sequence
Stair
T arget Preferences
HIZ (Genlik)
Ana Motor
Dikey_PID
[Ref]
Ref
[Yatay]
2048
Out
Genlik(%)
T ers M odel
C280x/C28x3x
qposcnt
pi/2048
[Basla]
eQEP
Yatay Eksen
Err
0.00995
Out
HIZ (Genlik)
z-0.99
Sine Wave
Discrete
T ransfer Fcn
Yatay_PID
[RefYatay]
Kuyruk Motoru
[Dikey]
C280x/C28x3x
ZOH
[RefDikey]
single
[Yatay]
Data
SCI XMT
[RefYatay]
Şekil 11: DSC'ye yüklenen kontrolörün Simulink modeli
369
Yunuslama (rad)
5. Sonuçlar
İSHS’nin yunuslama açısı cevapları incelendiğinde, basamak
ve basamak olmayan girişler için oldukça iyi bir kontrol
sağlandığı gözlenebilir. Sapma açısı kontrolündeki başarım ise
yunuslama açısı kadar iyi değildir. Bu farkın oluşmasındaki en
büyük sebep, yunuslama açısının doğrusallaştırılarak kontrol
edilmesine karşın, sapma açısının tüm doğrusalsızlıkları ile
kontrol edilmeye çalışılmasıdır.
Bu çalışmada, doğrusalsızlıkların ters çevirilerek kontrol
algoritması içine yerleştirilmesinin kontrolör başarımı
üzerindeki etkisi görülmüştür. Bunun yanında, açılar arası
çapraz etkileşimin etkisi de gözlenerek, ileriki çalışmalar için
kontrol algoritmasının içinde yer almasının gerekliliği
anlaşılmıştır.
0.5
0
-0.5
0
20
40
60
80
100
60
80
100
Sapma (rad)
Zaman(s)
0.5
0
-0.5
0
20
40
Zaman(s)
Şekil 12: 2SD ters model ileri beslemeli PID sinüs
referans cevabı
Kaynakça
Tablo 2: PID katsayıları
Sapma açısı (rad)
Yunuslama Açısı
PID Katsayıları
Kp
Ki
Kd
1
1,5
9
Sapma Açısı PID
Katsayıları
Kp
Ki
Kd
4
3
15
0.5
0
-0.5
20
Yunuslama (rad)
[1] J.J.E.Slotine, W.Li, Applied Nonlinear Control, Prentice
Hall, 1991.
[2] J.V.R. Prasad, A. Lipp, “Synthesis of a Helicopter
Nonlinear Controller Using Approximate Inversion”,
International Journal on Mathematical and Computer
Modeling, Vol. 18, No. 3/4, pp. 89–100, 1993.
[3] S. F. Toha and M. O. Tokhi, “Inverse model based
control for a twin rotor system” Cybernetic Intelligent
Systems (CIS), 2010 IEEE 9th International Conference,
pp. 1-5, 2010.
[4] A. Rahideh, H. Shaheed, and A. Bajodah, “Adaptive
nonlinear model inversion control of a twin rotor multiinput multi-output system using artificial intelligence”
Control Applications, 2007 CCA 2007. IEEE
International Conference, vol. 221, pp. 898-903, 2007.
[5] Z. Shuo and Z. Jihong, "Adaptive Compensated Dynamic
Inversion Control for a Helicopter with Approximate
Mathematical Model", International Conference on
Computational Intelligence for Modelling, Control and
Automation, Sydney, Australia, 2006, pp. 208-208.
[6] Yue Bai, Xun Gong, ZhiCheng Hou, Yantao Tian
“Stability Control of Quad-Rotor Based on Explicit
Model Following with Inverse Model Feedforward
Method” International Conference on Mechatronics and
Automation, pp. 2189-2194, 2011.
[7] Varkonyi-Koczy, A.R., Almos, A., Kovacshazy, T.
“Genetic algorithms in fuzzy model inversion” IEEE
International Fuzzy Systems Conference Proceedings,
pp. 1421-1426 vol.3, 1999
[8] Feedback Co., Twin Rotor MIMO System 33-007-4M5
Advanced Teaching Manual 1, 1998.
40
60
80
100
120
Zaman(s)
140
160
40
60
80
100
120
Zaman(s)
140
160
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
20
Yunuslama (rad)
Sapma Açısı(rad)
Şekil 13: 2SD ters model ileri beslemeli PID merdiven
referans cevabı
0
-0.2
-0.4
100
105
110
115
120
Zaman(s)
0.4
0.3
0.2
0.1
0
100
105
110
115
120
Zaman(s)
125
125
130
130
135
135
Şekil 14: Yakınlaştırılmış 2SD ters model ileri beslemeli PID
merdiven referans cevabı
370
Doğrusal Olmayan Sistemler İçin Durum Değişkenlerine Bağlı
Kayan Sektör Kontrol Tasarımı
Burak Eren Birinci1, Metin Uymaz Salamcı2
1
TÜBİTAK SAGE, Ankara
[email protected]
2
Makine Mühendisliği Bölümü
Gazi Üniversitesi, Ankara
[email protected]
getirilir. Tasarlanan sektörün sistemin dinamik davranışını
karşılayacak biçimde yapılandırılması gerekir.
Tek girişli doğrusal sistemler için KSK tasarım yöntemi
sistematik bir şekilde tanımlanmıştır [5]. Burada önce
doğrusal sistem için doğrusal bir kayma yüzeyi tasarlanmakta
ve ardından yüzey etrafında yine doğrusal olan sektörler
tanımlanmaktadır. Daha sonra, sistemi sektör içerine
yönlendirecek ve sektör içerisinde kalmasını sağlayacak
kontrol girişi belirlenmektedir [5].
Doğrusal olmayan sistemler için ise farklı kayan sektör
tasarım yaklaşımları geliştirilmiştir. Bunlardan biri
diferansiyel Riccati denkleminin çözümü yardımı ile zamanla
değişen KSK tasarımıdır [6]. Yöntem, diferansiyel Riccati
denkleminin çözümünden elde edilen zamanla değişen
optimum değerlerinin kayma yüzeyi ve kayan sektör
parametrelerinin belirlenmesine dayanmaktadır. Daha sonra
sistem yörüngelerini kayan sektör içerisinde yönlendiren
kontrolcü belirlenmektedir. Diğer bir yaklaşım ise durum
değişkenlerine bağlı KSK tasarımıdır [7]. Bu yöntemde
Riccati denkleminin durum değişkenlerine bağlı çözümü
kullanılarak sektör tasarlanmaktadır. Ancak, daha önceki
çalışmalarda yüzey eğimlerinde meydana gelen değişimin
değişken yapılı kontrolcü üzerindeki etkisi ihmal edilmiştir.
Bu çalışmada doğrusal olmayan sistemler için Durum
Değişkenlerine Bağlı Riccati Denkleminin (DDBRD) çözümü
kullanılarak kayma sektörü ve KSK kuralı tasarlanmıştır.
Yöntem doğrusal olmayan sistemin her bir zaman aralığında
dondurulup
durum
değişkenlerine
bağlı
olarak
değerlendirilmesine dayanır [9]. Elde edilen doğrusal sistemler
için DDBRD kullanılarak kayma sektörü tasarımı yapılır.
Tasarlanan ardışık sektörler birleştirildiğinde doğrusal
olmayan sistem için zamanla değişen kayma sektörü elde
edilir. Her bir zaman aralığında yüzey eğimlerindeki değişimi
de göz önüne alarak tasarlanan KSK kuralı yardımı ile sistem
tasarlanan kararlı sektör içerisine yönlendirilir ve kararlı hale
getirilir [11].
Çalışmanın ikinci bölümde, doğrusal sistemler için Kayma
Sektörü Tasarım Yöntemi gözden geçirilmektedir. Üçüncü
bölümde, doğrusal olmayan sistemler için bu çalışmada
önerilen KSK tasarım yöntemi irdelenmektedir. Çalışmanın
temelini oluşturan teorem (Teorem 2) ve ispatı burada
sunulmaktadır. Dördüncü bölümde, önerilen yöntem esnek
bağlantıya sahip robot manipülatör modeline uygulanmakta ve
Özetçe
Bu çalışmada doğrusal olmayan sistemler için durum
değişkenlerine bağlı doğrusal olmayan kayan sektör ve sistemi
sektör içerisinde tutan kontrolcü tasarımı önerilmiştir. Sistem
her bir zaman aralığında durum değişkenleri kullanılarak
doğrusal sistem gibi ele alınmış, durum değişkenlerine bağlı
Riccati denklemi çözülmek suretiyle bu zaman dilimi için
geçerli olan kayma yüzeyi oluşturulmuştur. Elde edilen kayma
yüzeyi etrafında sistemin dinamik davranışına uygun durum
değişkenlerine bağlı kayma sektörü tasarlanmıştır. Böylelikle
doğrusal olmayan sistem için kullanılabilecek durum
değişkenlerine bağlı doğrusal olmayan kayma sektörü elde
edilmiştir. Tasarlanan değişken yapılı kontrolcü ile sistem
yörüngeleri oluşturulan kayma sektörünün içine doğru
zorlanarak doğrusal olmayan sistem kararlı hale getirilmiştir.
Önerilen yöntemin, esnek bağlantıya sahip robot manipülatör
sistemine uygulanarak geçerliliği benzetimlerle gösterilmiştir.
1. Giriş
Parametre belirsizlikleri ve bozucu etkenlere karşı sağladığı
gürbüzlük özelliği nedeniyle Kayan Kipli Kontrol (KKK)
yöntemi üzerinde yoğun olarak çalışmalar yapılmaktadır.
Sağladığı avantajların yanında kontrol süresince, özellikle
anahtarlama aşamasında, sistemin kararlılığını sağlamak için
sürekli yön değiştiren yüksek frekanslı bir sinyal üretmesi
sebebi ile “çatırtı” denilen istenmeyen bir durum ortaya
çıkmaktadır. Çatırtı, kontrol sinyalini üretecek eyleyici ile
ilgili uygulama zorluklarını ortaya çıkarmakta; aynı zamanda
kontrol edilen sistemde yorulma ve sistemin ömründe
kısalmaya sebep olmaktadır. Çatırtının azaltılması ya da
giderilmesi için farklı yaklaşımlar önerilmiştir. Bunlardan
bazıları çatırtıya sebep olan işaret fonksiyonu yerine farklı
fonksiyonlar kullanılması [2], yüksek mertebeden kayan kipli
kontrol yöntemi [3,4] ve Kayan Sektör Kontrol (KSK)
yöntemidir [5].
KSK yönteminde kayan kipli kontrol metodundan farklı
olarak kayma yüzeyi yerine kararlı bir kayma sektörü
kullanılır. Öncelikle bir kayma yüzeyi tasarlanır. Daha sonra
bu kayma yüzeyini kapsayan (içine alan) kararlı bir sektör
tanımlanır. Sistem yörüngeleri tasarlanacak değişken yapılı
kontrolcü ile bu sektör içerisine yönlendirilerek kararlı hale
371
kullanılan kontrol yöntemlerinin aksine kayma sektörüne
dayalı değişken yapılı kontrol girişi, sadece sistem kayma
sektörünün dışında ise uygulanır. Buna “tembel kontrol”
(ing. lazy control) adı verilir. Çünkü değişken yapılı kontrol
girişi sistem sektör içerisindeyken sıfırdır [5].
Kayma sektörünün sınırlarında meydana gelebilecek
çatırtı oluşumunu azaltmak için kayma sektörü, iç sektör ve
dış sektör alt gruplarının toplamı olarak tanımlanabilir[5].
benzetim sonuçları verilmektedir. Son bölümde ise, varılan
sonuçlar aktarılmaktadır.
2. Doğrusal Sistemler için Kayma Sektörü
Tasarımı
Doğrusal, zamanla değişmeyen, tek girişli sürekli bir sistemin
dinamik davranışı aşağıdaki gibi elde edilebilir.
(1)
(10)
Burada
ve
olup sırası ile durum ve giriş
vektörleridir. ve ise uygun boyutlarda sabit matrisler olup
çifti kontrol edilebilirdir.
Sistemin P-normu aşağıdaki gibi tanımlansın.
(11)
Burada ,
sayıdır.
(2)
Burada
olup pozitif tanımlı simetrik bir matristir. Pnorm’un karesi Lyapunov fonksiyonu olarak kabul edilirse;
eşitsizliğini sağlayan pozitif sabit bir
3. Doğrusal Olmayan Sistemler için KSK
Tasarımı
(3)
3.1. Problemin Tanımı
Eğer (1) denkleminde verilen sistem karesel kararlı ise pozitif
tanımlı simetrik bir matrisi ve pozitif yarı tanımlı simetrik
bir matrisi vardır.
Doğrusal olmayan, zamanla değişen ve tek girişli bir sistemi
ele alınsın.
Furuta ve Pan’ın kayma yüzeyi tasarımı Young ve Özgüner’in
[10] önerdiği kayma yüzeyi tasarımına benzerdir. Tasarlanan
kayma yüzeyi etrafında oluşturulacak kayma sektörü tasarımı
Teorem 1’de verilmiştir.
(12)
Burada
ve
olup sırası ile durum ve giriş
vektörleridirler.
ve
ise uygun boyutlarda
matrislerdir ve
ikilisi her bir durum değişken
ve zaman için noktasal kontrol edilebilirdir. Burada
belirsizliği de aşağıdaki gibi tanımlansın.
Teorem 1 [5]: Aşağıdaki gibi kayma sektörü tanımlansın.
(4)
Burada
doğrusal fonksiyonu kayma yüzeyini ifade
etmektedir.
ise
karesel fonksiyonunun
kareköküdür ve kayma sektörünün sınırlarını belirlemektedir.
(13)
3.2. Kayma Sektörü Tasarımı
(5)
Doğrusal olmayan sistemler için durum değişkenlerine bağlı
doğrusal sektör kullanarak kayan sektör tasarımı, kontrol
edilecek sistemin her bir zaman aralığı için durum
değişkenlerine bağlı olarak değerlendirilerek ardışık doğrusal
sistemlerin elde edilmesi esasına dayanır. Elde edilen her bir
doğrusal sistem için kayma sektörü tasarımı yapılır.
Tasarlanan ardışık sektörler birleştirildiği zaman doğrusal
olmayan sistem için eğimi zamanla değişen kayma sektörü
elde edilir.
Bu sistem için her bir zaman aralığında Teorem 1’de
belirtilen kayma sektörü tasarımı sistemin bulunduğu
zamandaki durum değişkenlerine bağlı olarak yapılır [11] .
(6)
Burada
(7)
(8)
Burada,
pozitif tanımlı simetrik bir matris,
ise pozitif yarı tanımlı simetrik bir matristir.
şartını sağlayacak pozitif bir
sabiti için
şeklinde seçilebilir.
pozitif tanımlı simetrik
matrisi ise cebirsel Riccati denkleminin çözümünden elde
edilir.
(9)
(14)
İspat: Teoremin ispatı [5] numaralı kaynakta verilmiştir.
Teorem 1’e göre kayma sektörü tasarlanan bir doğrusal
olduğu zaman, yani sistem
sistem için
yörüngelerinin hareketi kayma sektörünün içinde iken, (1)
denklemindeki sistemin P-normu herhangi bir kontrol etkisi
olmadan düşer. Böylece sistem kayma sektörünün dışından
içine doğru değişken yapılı kontrol kuralı yardımı ile hareket
eder ve sektörün içinde iken P-norm azalışını sağlamak için
kontrol girişine gerek kalmaz. Doğrusal sistemlerde genellikle
(15)
(16)
Burada,
matrisi aşağıdaki durum değişkenlerine bağlı
cebirsel Riccati denkleminin her bir zaman aralığında
çözümünden elde edilir.
(17)
372
Burada
pozitif tanımlı bir matristir. Yukarıdaki Riccati
denkleminin farklı zamanlarda durum değişkenlerine bağlı
çözümünden elde edilen
matrisi kullanılarak tasarlanan
zamanla değişen sektör aşağıdaki gibi olacaktır.
Sistem sektör dışında iken, yani
olur. Bu durumda
sırası ile aşağıdaki eşitsizlikleri sağlar.
olduğunda
ve
(18)
Lyapunov fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanırsa;
Uygulanacak değişken yapılı kontrol
fonksiyonun türevi aşağıdaki şartı sağlar.
ile
Lyapunov
(19)
3.3. Kayan Sektör Kontrol Tasarımı
Bu bölümde, durum değişkenlerine bağlı kayan sektöre
doğrusal olmayan sistemi yönlendirecek kontrol girişi tasarımı
ele alınmaktadır. Çalışmadaki temel katkı Teorem 2 ile verilen
kontrol girişinin belirlenmesidir.
Teorem 2: Pozitif sabitler
ve
için
ve
eşitlikleri kullanılarak (10) ve
(11) denklemlerinde belirtildiği gibi tasarlanan iç ve
dış
sektörleri ile tanımlanan kayma sektörü için aşağıdaki gibi bir
kontrolcü tanımlansın.
Yukarıdaki eşitsizliğe göre doğrusal fonksiyon
’in mutlak
değeri azalacaktır. Yeterince büyük bir için
’in azalma
oranı,
’in mutlak değerinin azalma oranından daha yavaş
ise sistem iç sektörün içine doğru hareket eder.
(20)
Yeterince büyük bir
değeri için sistem kayan sektörün
dışından iç sektörün içine doğru hareket edecektir. Bu
durumda aşağıdaki eşitsizliğe göre seçilir.
(21)
pozitif bir sayıdır ve aşağıdaki eşitsizliğe göre
Burada
seçilir.
(22)
parçalı fonksiyonu ise aşağıdaki şekilde
ifade edilebilir.
(23)
Pozitif
sabiti ise aşağıdaki eşitsizliği sağlamaktadır.
(24)
İspat: Lyapunov
tanımlansın.
fonksiyonu
(3)
denklemindeki
gibi
373
Sistem iç sektörün içinde
olduğunda
aşağıdaki eşitsizliği şağlar.
Burada kolun toplam kütlesi , yerçekimi ivmesi , ağırlık
merkezinin uzunluğu , kolun atalet momenti , yay sabiti ,
motor rotorunun eylemsizlik momenti , kontrol girişi
(motor torku), kolun açısal konumu ve motor milinin açısal
konumu
ile ifade edilmektedir.
Benzetim için sistem parametreleri aşağıdaki gibi seçilmiştir.
iken yani
olur. Bu durumda
,
,
,
,
Doğrusal olmayan sistem denklemleri, durum bağımlı katsayı
matrisleri formunda yazılırsa;
(28)
(29)
Sistem kayma sektörünün dışına doğru hareket ederse (20)
denkleminde belirtilen kontrol girişi sistemi iç sektörün içine
doğru hareket ettirir. Bu sırada P-norm değeri düşmeye devam
eder. Böylece sistem kayma sektörünün dışından iç sektörün
içine doğru hareket ettirilirken, Lyapunov fonksiyonu durum
uzayında azalmaya devam eder. Bu da sistemin kuadratik
kararlı olmasını sağlar.
□
(30)
başlangıç değerleri ve
bozucu girişi için
saniye
boyunca
saniye zaman aralığı ile kontrol edilmiştir.
Kontrolcü parametreleri aşağıdaki gibi seçilmiştir.
Sistem
Teorem 3:
Pozitif sabitler
ve
için
ve
eşitlikleri
kullanılarak (10) ve (11) denklemlerinde belirtildiği gibi iç
ve
dış sektörleri tanımlansın. Tanımlana kayma sektörü için
aşağıdaki gibi bir kontrolcü tanımlansın.
,
(25)
Burada
seçilir.
,
(21) ve (22) numaralı denklemler kullanılarak
Kontrolcü katsayıları ise (21) ve (24) denklemlerine göre
aşağıdaki gibi belirlenmiştir.
İspat: Teoremin ispatı [11] numaralı kaynakta verilmiştir.
,k
4. Esnek Bağlantıya Sahip Robot Manipülatör
Uygulaması
Kontrolcü
ile sınırlandırılmıştır. Şekil 2 ve
Şekil 3’de önerilen kayan sektör kontrolcünün sisteme
uygulanması sonucunda elde edilen zaman cevabı
verilmektedir. Görüldüğü üzere, belirsizlik ve/veya bozucu
etkilere rağmen, doğrusal olmayan sistemin kararlılığı
sağlanmaktadır.
Bu çalışmada geliştirilen değişken yapılı kontrol yöntemi,
doğrusal olmayan bir yapıya sahip esnek bağlantılı robot
manipülatöre uygulanmaktadır.
x 1(derece)
40
20
0
-20
0
1
2
3
4
5
zaman(s)
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
zaman(s)
6
7
8
9
10
x 2(derece/s)
20
Şekil 1: Esnek bağlantıya sahip robot manipülatör [8].
Sistemin hareket denklemleri aşağıda verilmiştir [8].
0
-20
-40
(26)
Şekil 2: Kolun açısal konumu ve açısal hızı
(27)
374
Şekil 4’de ise, uygulanan kontrol girişi görülmektedir. KKK
girişinde karşılaşılan yüksek frekanslı kontrol sinyali yerine,
çok daha düzgün kontrol sinyali elde edilmektedir. Böylelikle,
kontrol
sinyalini
üretebilecek
eyleyicinin
pratikte
kullanılabilmesi mümkün olmaktadır. Ayrıca, çatırtı yüzünden
karşılaşılan diğer dezavantajlar da ortadan kaldırılmaktadır.
5. Sonuçlar
Bu çalışmada doğrusal olmayan sistemler için yeni bir KSK
yöntemi önerilmiştir. Yöntem DDBRD kullanılmasına
dayanmaktadır. Tasarlanan değişken yapılı kontrolcü yapı
olarak durum geri besleme kontrole benzer davranış gösterir.
Ancak bu yaklaşımda sistemin sektör içerisindeki kararlı
davranışından faydalanılarak iç sektörde kontrol girişi
yapılmamaktadır. Durum değişkenlerine bağlı olarak
tasarlanan kayma sektörü ve değişken yapılı kontrolcü
kullanımının kontrol sinyalindeki çatırtıyı azalttığı ve daha az
kontrol uygulanarak enerji tasarrufu sağladığı görülmüştür.
x 3(derece)
40
20
0
-20
0
1
2
3
4
5
zaman(s)
6
7
8
9
Kaynakça
10
[1]
V. Utkin, Sliding Modes in Control and Optimization. SpringerVerlag, London, U.K., 1992.
[2] C. Edwards, and S. Spurgeon, Sliding Mode Control: Theory
and Applications. Taylor and Francis, London, U.K., 1998.
[3] G. Bartolini, A. Pisano, E. Punta, and E. Usai, “A Survey of
Applications of Second-Order Sliding Mode Control to
Mechanical Systems,” Int. J. Control, Vol. 76, 9/10, pp. 875–
892, 2003.
[4] A. Levant, “Higher-Order Sliding Modes, Differentiation and
Output-Feedback Control”, Int. J. Control, Vol.76, pp. 924-941,
2003.
[5] K. Furuta, and Y. Pan, “Sliding Sectors for VS Controller,”
Automatica, Vol. 36, 2, pp. 211–228, 2000.
[6] Y. Pan, K.D. Kumar, G. Liu and K. Furuta, “Design of Variable
Structure Control System with Nonlinear Time-Varying Sliding
Sector,” IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 54, 8,
pp.1981-1985, 2009.
[7] S. Suzuki, K. Furuta, and Y. Pan, “State-Dependent SlidingSector VS-Control and Application to Swing-Up Control of
Pendulum”, Proc. of the 42th IEEE Conference on Decision and
Control, Hawaii USA, 251-256, 2003.
[8] J.J.E. Slotine, W. Li, “Applied Nonlinear Control”, Prentice
Hall, New Jersey, 242-244, 276-307, 1991.
[9] C.P. Mracek, and J.R. Cloutier, “Control Designs for the
Nonlinear Benchmark Problem via the State-Dependent Riccati
Equation Method,” International Journal of Robust Nonlinear
Control, Vol. 8, pp.401–433, 1998.
[10] K. Young, and U. Ozguner, “Sliding-Mode Design for Robust
Linear Optimal Control,” Automatica, vol. 33, no. 7, pp. 1313–
1323, 1997.
[11] S. Ozcan, M.U. Salamci and B.E. Birinci, “State Dependent
Sliding Sectors for Nonlinear Systems with Nonlinear Sliding
Surfaces” ACC 2013, 17-19 June 2013, Washington, USA.
x 4(derece/s)
40
20
0
-20
0
1
2
3
4
5
zaman(s)
6
7
8
9
10
Şekil 3: Motor mili açısal konumu ve açısal hızı
150
100
u(Nm)
50
0
-50
-100
-150
0
1
2
3
4
5
zaman(s)
6
7
8
9
10
Şekil 4: Kontrol girişi
Şekil 5, doğrusal olmayan sistem için tasarlanan kayan
sektörleri (dış ve iç sektörleri) ve sistem yörüngesinin sektör
içine doğru olduğunu göstermektedir.
600
Sistem davranışı
Dış sektör
İç sektör
400
Genlik
200
0
-200
-400
-600
0
1
2
3
4
5
zaman(s)
6
7
8
9
10
Şekil 5: Sistemin kayma yüzeyi ve kayma sektörü
fonksiyonlarının değişimi
375
Kayan Kipli Denetim Yönteminin Üç Eksenli Bir Hareket
Benzetimcisine Uygulanması
Galip Serdar TOMBUL ve Bülent ÖZKAN
Türkiye Bilimsel ve Teknolojik Araştırma Kurumu, Savunma Sanayii Araştırma ve Geliştirme
Enstitüsü (TÜBİTAK SAGE), ANKARA
{serdar.tombul, bulent.ozkan}@tubitak.gov.tr
sıralamasıdır. Bir başka deyişle, benzetimcinin sağlayacağı
açısal dönüş hareketlerinin hangi düzlemden başlayıp hangi
düzlemde sona ereceğidir. Hava uygulamaları için geliştirilen
kardanlı hareket benzetimcilerinde, ele alınan mühimmatın
seyir esnasındaki açısal hareketlerini gerçekleyecek şekilde
yandönme (İng. yaw), yunuslama (İng. pitch) ve yuvarlanma
(İng. roll) hareketlerinin öncelik-sonralık sırasına göre
kardan yapıları tasarlanmaktadır. Pek çok uygulamada “uçuş
hareket benzetimcileri (İng. flight motion simulators)” olarak
da adlandırılan bu tip benzetimciler, mühimmatın üç
düzlemdeki açısal hareketlerinin yanı sıra hareketli hedefin
yanca (İng. azimuth) ve yükseliş (İng. elevation)
eksenlerindeki açısal hareketlerini de yerine getirecek
kabiliyette beş eksenli bir yapıda da geliştirilebilmektedir.
Genel bir yaklaşım olarak, beş eksenli bir örneği Şekil ’de
verilen yatay kardan konfigürasyonlu hareket benzetimcileri
yunuslama, yandönme ve yuvarlanma dönüş sırasına
sahipken, bir örneği Şekil 2’de sunulan dikey
konfigürasyonlu benzetimciler yandönme, yunuslama ve
yuvarlanma dönüş sırasına sahiptir. Diğer taraftan, bahsedilen
iki dönüş sırasından birine göre hesaplanan kinematik ve
dinamik değişkenler, uygun koordinat dönüşümleri
kullanılarak diğer konfigürasyonun değişkenleri cinsinden de
elde edilebilmektedir [1].
Hareket benzetimcisi tasarımında göz önüne alınması
gereken hususların başında eyletim şekli gelmektedir. Dönüş
serbestisini sağlayan kardan yapısından bağımsız olarak test
kaleminin hep en içteki kardana bağlandığı benzetimcilerde,
test kalemi kütlesinin fazla ve yüksek açısal hız ve ivme
gereksiniminden kaynaklanan eyletim torku ihtiyacının
büyük olduğu durumlarda hidrolik eyletim yaklaşımı tercih
edilmektedir. Buna bağlı olarak uygun hidrolik eyletici ve
denetim elemanları (valfleri) seçimi de bu süreçteki müteakip
adımları oluşturmaktadır. Öte yandan, hantal ve yüksek
maliyetli oluşları, hidrolik eyletim sistemlerinin yerini zaman
içerisinde elektromekanik alternatiflerine bırakmasına neden
olmuştur. Ancak, denetim kolaylığı, düşük hacim ve temiz
işletim ortamı sağlama gibi üstünlüklerine karşın ısınma
sorunundan dolayı uzun süre yüksek tork sağlayamamaları
elektromekanik tip eyleticilerin temel zayıflığı olarak ortaya
çıkmaktadır. Yine de, diğer kardanlarında hidrolik eyleticiler
kullanılsa dahi, görece daha düşük eylemsizlik momentine
sahip en içteki kardanın (test kaleminin bağlandığı kardanın)
eyletiminde elektromekanik eyleticiler (doğru veya alternatif
akım elektrik motorları) tercih edilmektedir [1].
İlgili literatür incelendiğinde, kardanlı hareket
benzetimcilerin denetiminde çoğunlukla oransal ve tümlevsel
(PI) tipi denetim kuralının uygulandığı görülmektedir. Bahis
konusu denetim modellerinde kardan dinamiklerinin
birbirinden bağımsız olarak ele alındığı ve aralarındaki
Özetçe
Önceden belirlenmiş bir amacı gerçekleştirmek amacıyla
tasarlanan mekatronik sistemlerin fiziksel dünyadaki
uygulamalarından önce istenen başarım gereksinimlerini
yerine getirdiklerini doğrulamak amacıyla geliştirilen hareket
benzetimcileri, birden fazla işletim senaryosunun gerçek
sistemle yapılacak testlere nazaran çok daha düşük maliyetle
denenmesini sağlamaktadır. Otomotivden savunma sanayiine
kadar sivil ve askerî pek çok uygulamada yaygın bir kullanım
alanı bulan hareket benzetimcileri, özellikle hava
mühimmatlarının açısal hareketlerinin benzetimini yapmak
amacıyla sıklıkla tercih edilmektedir. Gerçekleştirebildikleri
açısal hareket sayısı kadar dönüş eksenine sahip olan
kardanlardan oluşan bu tip benzetimciler, kardan eksenlerinin
ardışık dönüş sırasına göre yatay veya dikey konfigürasyona
sahip olmaktadır. Bu çalışmada, yatay konfigürasyonlu üç
eksenli bir hareket benzetimcisi için geliştirilen kayan kipli
bir denetim sistemi uygulaması ele alınmaktadır. Bahsedilen
denetim sistemi, uygun şekilde oluşturulmuş modeller
kullanılarak gerçekleştirilen bilgisayar benzetimleri ile
denenmiştir.
1. Giriş
Geliştirilen
mekatronik
sistemlerin
gerçek
ortam
koşullarındaki davranış özelliklerini saha testlerinden önce
belirlemek amacıyla kullanılan hareketli benzetimciler,
sistemin fiziksel öntürü (prototipi) zayi edilmeksizin çok
sayıda işletim senaryosunun benzetiminin yapılmasına olanak
sağlamaktadır. Özellikle askerî uygulamalar söz konusu
olduğunda, birim maliyeti oldukça yüksek olan füze ve akıllı
bomba gibi mühimmattan çok kısıtlı sayıda (bir veya iki adet)
öntür kullanılarak olası bütün işletim koşullarını hayata
geçirebilmesi dolayısıyla maliyet etkin bir çözüm de sunan
hareket benzetimcileri, ele alınan test kalemi ve uygulama
koşullarına bağlı olarak farklı konfigürasyonlarda
tasarlanmaktadır. Örneğin, tekerlekli bir aracın farklı yol
koşullarındaki başarım özelliklerini incelemek amacıyla
geliştirilen hareket benzetimcisi dönel eksenlerin yanı sıra
doğrusal serbestlik derecesine (veya derecelerine) de sahip
olabilecekken, havada yol alan bir askerî sistemin
benzetimcisinin yalnızca açısal hareketlerin benzetimini
yapması yeterlidir. Bu kapsamda, göz önüne alınan test
kaleminin (mühimmatın) üç boyutlu uzaydaki hareket
profiline göre üç, iki ve hatta tek eksenli açısal hareket
benzetimcileri tasarlanmaktadır [1].
Birden çok dönüş serbestisine sahip hareket
benzetimcileri için kararlaştırılması gereken ilk husus dönüş
376
jiroskopik etkileşimin pek fazla hesaba katılmadığı göze
çarpmaktadır. Bilhassa bant genişliği gereksiniminin yüksek
olduğu uygulamalarda PI tipi klasik denetim kuralının
yetersiz kaldığı ve hesapta olmayan durağan durum
hatalarının ortaya çıktığı kaydedilmiştir. İncelenen
tasarımların bazılarında, denetim sistemi başarımını ve
eşdeğer sönüm oranını artırmak üzere, PI işlemine ilgili
eksendeki açısal hızın da eklendiği ve böylelikle jiroskopik
etkilerin olabildiğince ortadan kaldırılmaya çalışıldığı
anlaşılmaktadır [1].
Bu çalışmada, kardanları yunuslama, yandönme ve
yuvarlanma dönüş sırasına göre konumlandırılmış yatay
konfigürasyonlu üç eksenli bir hareket benzetimcinin
dinamik modeli çıkarılarak, en içteki yuvarlanma kardanına
bağlı olduğu varsayılan bir test kalemine önceden belirlenen
bir hareket profiline göre sağlanacak açısal hareketleri
oluşturacak bir denetim sistemi tasarlanmıştır. Bahsedilen
denetim sistemi birden fazla değişkenli kayan kipli bir
denetim yapısı olup, elde edilen algoritma; modellemede göz
önüne alınan parametreler için uygun sayısal değerler
atanarak MATLAB ortamında gerçekleştirilen bilgisayar
benzetimleri yardımıyla doğrulanmaya çalışılmıştır. Örnek
benzetimlerden ulaşılan sonuçlar, çalışmanın sonunda
sunulmuştur.
2. Sistemin Tanıtımı
Çalışma kapsamında ele alınan yatay konfigürasyonlu üç
eksenli hareket benzetimcisinin şematik görüntüsü Şekil 3’te
verilmektedir. Sırasıyla dış, orta ve iç kardanlardan oluşan
benzetimcide, test kalemi iç kardana bağlanmaktadır.
Dış Kardan
Orta Kardan
B
, To
u 2(e)= u 2(o)
A
İç Kardan
, Ti
u 1(o) C
, Tm
u 3(o)= u 3(m)
Şekil 3: Üç eksenli hareket benzetimcisi şematik
gösterimi.
Sırasıyla yunuslama, yandönme ve yuvarlanma
eksenlerindeki açısal hareketleri sağlayan dış, orta ve iç
kardanlara ait olan büyüklükler “o”, “m” ve “i” harfleri ile
gösterilmek üzere, j=o, m ve i ve k=1, 2 ve 3 için sembolü;
“j” kardanına yapışık olduğu varsayılan eksen takımının (j.
 (k )
eksen takımının) k. eksenini temsil eden birim vektör u j
olarak tanımlanararak, Şekil 3’teki gösterimde A, B ve C
harfleri kardan rulmanlarının temsilî dönüş noktalarını, θ, ψ
ve φ sembolleri yunuslama, yandönme ve yuvarlanma
 

açılarını ve To , Tm ve Ti ibareleri de kardanlara uygulanan
denetim torku vektörlerini belirtmektedir. Burada “e” üst
indisi ise yeryüzüne yapışık olduğu varsayılan eksen
takımına karşılık gelmektedir.
Şekil 1: Beş eksenli yatay konfigürasyonlu hareket
benzetimcisi [1].
3. Hareket Benzetimcisi Dinamik Modeli
Şematik görüntüsü Şekil 3’te gösterilen üç eksenli
hareket benzetimcini denetlemek amacıyla kardanlara
uygulanan eyletim torkları, simetrik yapıda oldukları kabul
edilen kardanların eylemsizlik momenti ile ilgili dönüşleri
destekleyen yataklardaki viskoz sürtünme momentlerini
yenmeye çalışmaktadır.
Buradan, göz önüne alınan hareket benzetimcisinin üç
dönüş eksenindeki hareketini ifade eden diferansiyel
denklemler, Newton-Euler eşitlikleri yardımıyla aşağıdaki
gibi çıkarılabilir:
 + B o θ + B oθ θ 2 + B oθψ θ ψ
M oθ θ + M oψ ψ
− J i 23 cos(ψ ) ψ φ − B i sin (ψ ) φ = To
 + B m ψ + B mθ θ 2 + J i123 cos(ψ )θ φ
M mθ θ + M mψ ψ
− J i13 cos(φ )sin (φ ) ψ φ = Tm
 + B i φ + B iθ θ 2 − J i 23 cos(φ )sin (φ ) ψ
2
J i1 sin (ψ )θ + J i1 φ
 =T
+ B θ ψ
iθψ
Şekil 2: Üç eksenli dikey konfigürasyonlu hareket
benzetimcisi [1].
377
i
(1)
(2)
(3)
𝑥̇ [1] = 𝐴(𝑥0 )𝑥 [1] (𝑡) + 𝐵(𝑥0 )𝑢[1] (𝑡)
Burada, J i12 = J i1 − J i 2 , J i13 = J i1 − J i3 ve J i 23 = J i 2 − J i3
olmak üzere,
𝑥̇ [2] = 𝐴 �𝑥 [1] (𝑡)� 𝑥 [2] (𝑡) + 𝐵 �𝑥 [1] (𝑡)� 𝑢[2] (𝑡)
M oθ = J e 2 + J m1 sin 2 (ψ ) + J m 2 cos 2 (ψ )
[
]
+ J i 2 cos 2 (φ ) + J i3 sin 2 (φ ) cos(ψ )
M oψ = J i 23 cos(ψ ) cos(φ )sin (φ )
⋮
𝑥̇ [𝑖] = 𝐴 �𝑥 [𝑖−1] (𝑡)� 𝑥 [𝑖] (𝑡) + 𝐵 �𝑥 [𝑖−1] (𝑡)� 𝑢[𝑖] (𝑡)
B oθ = − J i 23 cos 2 (ψ )sin (ψ ) cos(φ )sin (φ )
B oθψ = [J i3 − J i 2 + 2 (J m1 − J m 2 )]cos(ψ )sin (ψ )
Burada,
M mθ = J 23 cos(ψ ) cos(φ )sin (φ )
M mψ = J m3 + J i 2 sin (φ ) + J i3 cos (φ )
2
𝑥 [𝑖] (𝑡0 ) = 𝑥0 ∈ ℝ6
� ∀𝑖 ≥1
𝑢[𝑖] (𝑡0 ) = 𝑢0 ∈ ℝ3
2
[
{
]
}
B mθ = (J m1 − J m 2 )sin(φ ) + J i 2 cos2 (φ ) + J i3 sin2 (φ ) − J i1 sin(ψ ) cos(ψ )
B iθ = J i 23 cos (ψ ) cos(φ )sin (φ )
[
]}
B iθψ = J i1 + J i 23 sin 2 (φ ) − cos 2 (φ ) cos(ψ )
tanımları kullanılmış olup, j=o, m ve i ve k=1, 2 ve 3 ara
değişkenleri yardımıyla bu ifadelerde yer alan Jjk ve Bj

parametreleri, j. kardanın sırasıyla u (k ) eksenine göre
𝐵(𝑥) = �
j
eylemsizlik momenti bileşeni ve rulmanlarındaki viskoz
sürtünme katsayısını belirtmektedir.
Hareket benzetimcisinin bölüm 3’te çıkarılan dinamik
modeli, durum uzayı değişkenleri
(4)
𝑥̇ = 𝐴�𝑥(𝑡)�𝑥(𝑡) + 𝐵�𝑥(𝑡)�𝑢(𝑡).
(5)
𝑥̇
𝕆
� 1� = �
𝐴21
𝑥̇ 2
(8)
𝕀 𝑥1
𝕆
�� + � �𝑢
𝐴22 𝑥2
𝐵2
(9)
Burada, 𝕆 ve 𝕀 sırasıyla uygun boyutlarda 0 matrisi ve birim
matrisini göstermektedir. x1 ∈ ℝn−m ve x2 ∈ ℝm olacak
şekilde alt sistemler için durum değişkenleri vektörlerini
belirtmektedir. n ve m ise durum değişkenleri ile uygulanan
kontrol değişkeni sayılarını göstermektedir ve denklem
(7)’deki değerlere sahiptir. Kontrolcü tasarımında
kullanılmak üzere alt sistemler ayrı denklemler şeklinde
yaklaşım yönteminde gösterildiği gibi yazılırsa;
olarak seçilirse, en genel haliyle durum uzayı formunda
aşağıdaki şekilde yazılabilir.
𝐴�𝑥(𝑡)� ∈ ℝ6×6 ,
𝕆
�
𝐵2
şeklinde kontrol terimi içeren ve içermeyen olmak üzere iki
alt sistem şeklinde yazılabilmelidir. Denklem (4) ile verilen
durum değişkenleri seçildiğinde hareket benzetimcisine ait
hareket denklemleri kanonik formda iki alt sistem halinde
aşağıdaki gibi yazılabilir.
4. Hareket Benzetimcisi Denetim Sistemi
𝑇
[𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 , 𝑥5 , 𝑥6 ]𝑇 = �𝜃, 𝜓, 𝜙, 𝜃̇ , 𝜓̇, 𝜙̇�
(7)
olarak her bir iterasyonda başlangıç değerleri sabit
tutulmuştur. Kayan kipli denetim tasarımı için denklem
(6)’daki son eşitliği göz önüne alalım. Sistem her 𝑥 ve 𝑢
değerleri için kontrol edilebilir olmalı ve kontrol matrisi
𝐵(𝑥), kanonik formda yani,
2
{
(6)
⋮
𝐵�𝑥(𝑡)� ∈ ℝ6×3
[𝑖]
[𝑖]
𝑥̇1 = 𝑥2
Burada kontrol sinyali 𝑢(𝑡) = [𝑇𝑜 𝑇𝑚 𝑇𝑖 ]𝑇 olarak ele
alınmıştır. Denklem (5)’te verilen hareket benzetim sistemi
için bir kayan kipli denetim tasarımı önerilmiştir. Doğrusal
olmayan bir karakteristiğe sahip olan bu denklemler için
kayan kipli denetim tasarımı, doğrusal sistemler için denetim
tasarımı ile kıyaslandığında, özellikle kayma yüzeyinin ve
parametrelerinin seçimi göz önüne alındığında, çok daha
karmaşık bir yapıya sahiptir. Bu çalışmada, yaklaşımlı bir
algoritma kullanılarak doğrusal olmayan sistemler için
doğrusal denetim yöntemi kullanılarak denetim tasarımı
önerilmektedir. Bu yöntem ilk olarak Banks ve McCaffrey
[2] tarafından doğrusal olmayan sistemlerin çözümü için
ortaya atılmış ve kontrol sistemi tasarımı, doğrusal olmayan
sistemlerin çözümü gibi çeşitli uygulamalarda kullanılmıştır
[2-4].
[𝑖]
[𝑖]
[𝑖]
𝑥̇ 2 = 𝐴11 �𝑥 [𝑖−1] �𝑥1 + 𝐴22 �𝑥 [𝑖−1] �𝑥2 + 𝐵2 �𝑥 [𝑖−1] �𝑢[𝑖]
(10)
elde edilir. Hareket benzetimcisinin bir referans sinyali takip
ederek füze hareketlerini yerde benzetmesi istendiğinden
aşağıdaki şekilde bir hata fonksiyonu tanımlayabiliriz.
[𝑖]
𝑒 [𝑖] (𝑡) = 𝑥1 (𝑡) − 𝑥𝑑 (𝑡)
(11)
Burada 𝑥𝑑 (𝑡) , istenen hareketi temsil etmektedir.
Referans takibinin gerçekleşebilmesi hata fonksiyonunun
sıfır yapılması ile gerçekleştirilebileceğinden kayma yüzeyi
fonksiyonu da hata değişkenine bağlı olarak aşağıdaki
şekilde yazılabilir.
σ[i] (t) = λe[i](t) − ė [i] (t)
Yaklaşım tekniği, doğrusal olmayan problemlerin
çözümünün, doğrusal zamanla değişen sistemlerin çözümüne
indirgeyerek işlemleri kolaylaştırmaktadır. Denklem (5) ile
verilen doğrusal olmayan sistem ele alındığında doğrusal
yaklaşımlar aşağıdaki şekilde birbirini izleyen sistemler
şeklinde yazılabilir [4].
(12)
Burada, λ kayma yüzeyinin eğimidir ve yaklaşık olarak
sistemin örnekleme zamanının beşte biri olarak seçilebilir [5].
Sistemin kayma yüzeyi üzerinde hareket etmesi ve sürekli
yüzey üzerinde kalması için σ[i] (t) = 0 eşitliğinin sağlanması
378
gerekmektedir. Ancak bu eşitlik tek başına yeterli değildir.
Lyapunov kararlılığının sağlanabilmesi için aşağıdaki şekilde
bir bağıntı kullanılmalıdır.
Açı [derece]
𝜎 [𝑖] (𝑡) > 0 ⇒ 𝜎̇ [𝑖] (𝑡) < 0
� ⟺ 𝜎 [𝑖] 𝜎̇ [𝑖] < 0
𝜎 [𝑖] (𝑡) < 0 ⇒ 𝜎̇ [𝑖] (𝑡) > 0
5
(13)
Bu bağıntı literatürde yaklaşabilme koşulu olarak
adlandırılmaktadır. Verilen koşul kayma yüzeyine doğru
asimptotik bir yaklaşım sağlamaktadır. Sonlu zamanlı
yaklaşım için daha güçlü bir koşul olarak,
𝜎 [𝑖] 𝜎̇ [𝑖] < −𝜅�𝜎 [𝑖] �
-5
𝜅�𝜎 [𝑖] �
𝜎 [𝑖]
4
6
8
10
12
Şekil 4: Emir sinyali
= −𝜅 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝜎 [𝑖] )
[𝑖−1] −1
�
2
(14)
Emir sinyali, 1000 örnek/saniye olacak şekilde
oluşturulmuştur. Ayrıca, basamak sinyalleri en yüksek hız
değeri olarak 30 derece/saniye olacak şekilde eğimli bir
şekilde düzenlenerek hazırlanmıştır. Sinüs sinyalleri basamak
sinyali ile aynı genlikte 1Hz frekansında oluşturulmuştur. Bu
sinyalin gerçek füze hareketi ile bir bağlantısı olmayıp
tamamen test amacıyla oluşturulan bir emir sinyalidir.
(15)
elde edilir. Denklem (12)’nin zamana göre birinci türevi
alınıp denklem (15)’te yerine konursa, kontrol terimi
aşağıdaki şekilde elde edilir.
𝑢𝑒𝑞 = − �𝐵2
0
Zaman [saniye]
kullanılabilir. Burada, κ > 0 olarak seçilen bir parametredir
ve yeteri kadar büyük seçilmesi ile kararlılık garanti edilmiş
olur [5]. Denklem (14) yeniden yazılırsa,
𝜎̇ [𝑖] = −
0
[𝑖−1] [𝑖]
[𝑖]
[𝑖−1] [𝑖]
�𝐴21 𝑥1 + 𝜆𝑥2 + 𝐴22 𝑥2
− 𝜆𝑥̇ 𝑑 − 𝑥̈ 𝑑 + 𝜅 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝜎 [𝑖] ) �
Diferansiyel denklem çözümleri MATLAB ortamında
birinci dereceden Euler diferansiyel çözüm yöntemi ile sabit
zaman adımlı olarak çözülmüştür. Zaman adımı, emir sinyali
örnekleme zamanı ile aynı olacak şekilde 0.001 saniye olarak
alınmıştır.
(16)
λ, ψ ve α değerleri herbir kardan için ayrı ayrı seçilmiş
ve Tablo 1’de verilmiştir.
[𝑖−1]
Sadeleştirme
amacıyla
𝐴𝑖𝑗 �𝑥 [𝑖−1] (𝑡)� = 𝐴𝑖𝑗
kullanılmıştır. Farklı bir yaklaşımla kayma yüzeyi
fonksiyonunun üssel ifadesi kullanılarak sistemin kayma
yüzeyine ulaşırken yavaşlaması ve çatırtı olarak bilinen
fenomenin bir miktar azaltılması sağlanabilir [6].
𝛼
𝜎̇ [𝑖] = −𝜓 ∙ �𝜎 [𝑖] � ∙ 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝜎 [𝑖] )
Tablo 1: Denetim yöntemi tasarım parametreleri
𝜆
200
180
150
Dış Kardan
Orta Kardan
İç Kardan
(17)
Burada κ değeri ψ|σ|α ile değiştirilmiştir. ψ pozitif bir sayı,
α ∈ (0,1) şeklinde bir reel sayıdır.
𝜓
20
16
12
𝛼
0.93
Kardanlara ait eylemsizlik momentleri ve rulmanlı
yataklarındaki viskoz sürtünme katsayılarına ait sayısal
bilgiler Tablo 1’de verilmiştir.
5. Bilgisayar Benzetimleri
Bölüm (3)’te doğrusal olmayan dinamik modeli çıkarılan
hareket benzetimcisi için bölüm (4)’te yaklaşımlı bir kayan
kipli denetim tasarımı yapılmıştır. Bu bölümde sistemin
belirlenen bir emir sinyalini takip etmesi için tasarlanan
denetçinin bilgisayar benzetimleri ile gerçeklemesi
yapılacaktır.
İç
kardan
Tablo 2: Kardanların eylemsizlik momenti ve
rulmanlarındaki viskoz sürtünme katsayısı değerleri
Dış
Kardan
Orta
Kardan
İç, orta ve dış kardan için ortak bir emir takibi olduğu
farzedilmiş ve farklı basamak emirleri ile sinüs emirlerinin
birleşimi olarak Şekil 4'teki gibi bir sinyal oluşturulmuştur.
379
𝐽𝑖1
𝐽𝑖2 = 𝐽𝑖3
𝐵𝑖
𝐽𝑚1
𝐽𝑚2 = 𝐽𝑚3
𝐵𝑚
𝐽𝑜1
𝐽𝑜2 = 𝐽𝑜3
𝐵𝑜
2.7 𝑘𝑔 ∙ 𝑚^2
1.35 𝑘𝑔 ∙ 𝑚^2
0.1 𝑁𝑚𝑠/𝑟𝑎𝑑
34 𝑘𝑔 ∙ 𝑚^2
17 𝑘𝑔 ∙ 𝑚^2
0.5 𝑁𝑚𝑠/𝑟𝑎𝑑
271 𝑘𝑔 ∙ 𝑚^2
135.5 𝑘𝑔 ∙ 𝑚^2
1 𝑁𝑚𝑠/𝑟𝑎𝑑
Tablo 1 ve Tablo 2’de verilen değerler kullanılarak
benzetimler yapılmış ve bulunan denetim sinyalleri doğrusal
olmayan sisteme uygulanmıştır. Birinci yaklaşımda, yani
doğrusal zamanla değişmeyen durum ve denetim matrisi ile
tasarlanan denetim sinyali doğrusal olmayan sisteme
uygulandığında, sistemin kontrol edilemediği Şekil 5’te
görülmektedir.
Emir
Cevap
θ
5
0
100
-5
Emir
θ
Cevap
0
2
4
6
Zaman [s]
8
10
12
0
2
4
6
Zaman [s]
8
10
12
0
2
4
6
Zaman [s]
8
10
12
50
5
0
2
4
6
8
Zaman [s]
10
12
ψ
0
0
100
-5
0
5
-200
Emir
Cevap
-300
0
2
4
6
8
Zaman [s]
10
12
φ
ψ
-100
0
150
-5
Emir
Cevap
φ
100
Şekil 6: Üçüncü yaklaşım sonucunda bulunan
denetim sinyalinin doğrusal olmayan sisteme
uygulandığındaki sistem cevabı
50
0
0
2
4
6
8
Zaman [s]
10
12
Üçüncü yaklaşım sonucunda hesaplanan denetim sinyali
ile doğrusal olmayan sistemin kontrol edilebildiği
görülmektedir. Emir takibini daha da iyileştirmek için ψ
parametresinin değerini arttırabiliriz. Ancak bu aşımlı bir
sistem cevabı ve yüksek tork değerleri ortaya çıkarabilir.
Tablo 1’de verilen değerler kullanıldığında sistem aşımsız ve
birinci mertebeden sistem cevabına benzer şekilde bir
karakteristik göstermektedir. Dış kardana ait θ açısının ilk
basamak emri için cevabı yakınlaştırılmış olarak Şekil 7’de
verilmiştir.
Şekil 5: Doğrusal Zamanla Değişmeyen Sistem
Kullanılarak Tasarlanan Denetçi kullanıldığında
Doğrusal Olmayan Sistemin Cevabı
Görüldüğü üzere ilk yaklaşım olan, doğrusal zamanla
değişmeyen sistem sonucunda oluşturulan denetçi, doğrusal
olmayan sisteme uygulandığında kararsız bir karakteristik
göstermektedir.
Benzetimler sonucunda üçüncü iterasyondan elde edilen
denetim sinyalinin yakınsadığı görülmüş ve doğrusal
olmayan sisteme uygulanmıştır. Doğrusal olmayan sistemin
cevabı Şekil 6’da verilmiştir.
380
6. Tartışma ve Sonuç
5
Bu çalışmada, üç eksenli bir hareket benzetimcisinin
doğrusal olmayan hareket denklemleri çıkarılmış ve doğrusal
olmayan bu denklemler için bir kayan kipli denetim yöntemi
uygulanmıştır.
4
θ
3
Önerilen yöntemde, doğrusal olmayan sistem yaklaşımlı
bir şekilde doğrusal zamanla değişen alt sistemlere
dönüştürülmüş ve her bir doğrusal zamanla değişen sistem
için sabit kayma yüzeyi kullanarak doğrusal bir kayan kipli
denetim tasarımı yapılmıştır. Birkaç yaklaşım adımından
sonra doğrusal zamanla değişen sistemin cevabı, doğrusal
olmayan sistemin cevabına yaklaşmaktadır. Bu yöntemle
tasarlanan denetçi, hareket benzetimcisinin doğrusal olmayan
hareket denklemlerine uygulandığında üçüncü yaklaşımdan
sonra tam olarak kontrol edilebildiği gösterilmiştir. Yaklaşım
adım sayısı istenen emir sinyaline ve tasarım parametrelerine
bağlı olarak değişkenlik gösterebilmektedir. Bölüm 5’te
verilen tasarım parametreleri ve emir sinyaline bağlı olarak
üç yaklaşım yeterli olmuştur.
2
Emir
1
Cevap
0
2
2.1
2.2
2.3
Zaman [s]
2.4
2.5
Şekil 7: Dış kardanın basamak giriş emrine cevabı
Doğrusal olmayan sisteme uygulanan denetim sinyalleri
Şekil 8’de verilmiştir.
1000
Doğrusal olmayan sistemlerin denetçi tasarımında
karşılaşılan zorluklar gözönüne alındığında, kullanılan
yöntemin en büyük avantajı, doğrusal olmayan sistemler için
denetçi tasarımının doğrusal sistemler için denetçi tasarımına
indirgenmesidir. Böylece, karmaşık sistemler için bile denetçi
tasarımı gerçekleştirilmiş olmaktadır. Hâlihazırda, pratikte
uygulanması çok hızlı çalışan sistemler için zor olsa da daha
düşük hızlı sistemler için kullanılmasında hiçbir problem
oluşmayacaktır. Yazarlar, yöntemi gerçek sistemler üzerinde
uygulayabilmek için de çalışmalarda bulunmaktadırlar.
T [Nm]
500
o
0
-500
-1000
0
2
4
6
8
Zaman [s]
10
12
7. Kaynakça
0
[1] Özkan, B., Akmeşe, A. ve Uçar, A., "Evaluation of the
Different Configurations of Infrared-type Gimbaled
Cameras in the Sense of Blur", SPIE Defense, Security,
and Sensing-Infrared Imaging Systems: Design,
Analysis, Modeling, and Testing XX Conference,
Orlando, Florida, ABD, 13-17 Nisan 2009.
m
T [Nm]
100
-100
0
2
4
6
8
Zaman [s]
10
12
[2] Banks S. P. ve McCaffrey, D., Lie algebras, structure of
nonlinear systems and chaotic motion. International
Journal of Bifurcation and Chaos, 8(7):1437–1462,
1998.
T [Nm]
i
20
10
[3] Tombul, G.S. ve Banks S. P., Nonlinear optimal control
of rotating flexible shaft in active magnetic bearings.
Science China Technological Sciences, 54: 1084–1094,
2011.
0
-10
-20
0
2
4
6
8
Zaman [s]
10
[4] Tombul, G.S., Banks S. P. ve Akturk, N., Sliding mode
control for a class of nonaffine nonlinear systems.
Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications,
71(12):e1589 – e1597, 2009.
12
Şekil 8: Doğrusal olmayan sisteme uygulanan
denetim sinyali
[5] Slotin, J.E., Li, W., Applied Nonlinear Control,
Prentice-Hall Inc.,1991.
Denetim sinyali olarak tork değerleri ele alınmıştır. Bu
tork değerlerinin hesabında rulmanlardaki viskoz sürtünme
değerleri, jiroskopik etkiler ve emir sinyalinin hız değeri
etkili olmaktadır. Ayrıca denetim sinyali parametresi 𝜓
büyüdükçe sistemin hızı artmakta; bununla birlikte de tork
gereksinimleri yükselmektedir.
[6] Bandyopadhyay, B., Deepak, F., Kim, K., Sliding Mode
Control Using Novel Sliding Surfaces, SpringerVerlag,2009.
381
Aktif Manyetik Yataklı Elastik Rotor Sisteminde Doğrusal
Olmayan PI Tipi Denetleyici Uygulaması: Deneysel Sonuçlar
Beytullah Okur1,2, Erkan Zergeroğlu3, Sinan Başaran4, Selim Sivrioğlu4
1
Elektronik Mühendisliği Bölümü
Gebze Yüksek Teknoloji Enstitüsü, Gebze-Kocaeli
[email protected]
2
Yıldız Teknik Üniversitesi, İstanbul
[email protected]
3
[email protected]
4
Makine Mühendisliği Bölümü
{sbasaran,s.sivrioglu}@gyte.edu.tr
elde etmek için hassas ölçüm yapabilecek sensörlere, yüksek
verimli kontrol ve güç elektroniği ekipmanlarına ve uygun
kontrol algoritmalarına ihtiyaç duyulmaktadır. Ayrıca üretim
aşamasında da her uygulamaya yönelik ayrı bir planlama,
tasarım ve uygulama süreci gerekmektedir.
En basit manyetik yatak formu tek eksende bir çift
karşılıklı konumlanmış elektromıknatıstan oluşmaktadır. Her
iki mıknatıs tarafından oluşturulan ve rotora uygulanan çekme
kuvveti; bobinlerden geçen akımların kareleri ile doğru
orantılı ve mıknatıslarla rotor arasındaki boşluğun karesi ile de
ters orantılıdır [1]. Birçok uygulamada; yatak bobinleri üzerine
bias akımı denen sabit bir akım uygulanmaktadır. Pratikte bu
bias akımının rotorun kendi ağırlığını karşıladığı kabul edilir.
Rotor üzerine etkiyecek bir kuvvetin oluşmaması istendiğinde
kontrol işareti sıfır olur ve birbirine ters konumlanmış her iki
mıknatıstan da aynı akım geçer. İstenen kuvveti
oluşturabilmek için mıknatıslardan birindeki akım kontrol
işareti ile orantılı şekilde azaltılmaktadır ve diğer mıknatıstaki
akım aynı miktarda artırılmaktadır. Bu sayede tek bir kontrol
akımıyla her iki mıknatıstan da akan akım kontrol edilmekte
ve kontrol işaretiyle doğrusal orantılı bir net kuvvet
oluşmaktadır ve sistemin doğrusallaştırılmasını sağlamaktadır
[2]. Fakat bias akımı sistemi kararsız hale getirmektedir.
Manyetik kuvvetler, doğaları gereği, doğrusal olmayan
denklemlerle ifade edilmelerine karşın, AMY’lar yataklar
içerisindeki çalışma aralığının kısıtlanmış olması sebebiyle ve
bias akımı yardımıyla doğrusallaştırılmaktadırlar. Ayrıca
doğrusallaştırma aşamasında denge noktasında rotorun hızı
sıfır kabul edilmektedir[2]. Fakat denge noktası karasız bir
denge noktası olduğu için ancak aktif denetim altında dengede
kalabilmektedir ve sürekli titremektedir. Bu durum doğrusal
modelde bir takım sapmalara sebep olmaktadır ve denetleyici
performansını düşürmektedir. AMY’lar üretim aşamasından
kaynaklı bir takım parametrik belirsizlere de sahiptirler[3].
Örneğin elektromıknatıslardaki sarımların çalışma koşullarına
Özetçe
Karşılıklı konumlanmış elektromıknatıslarla oluşturulan aktif
manyetik yataklar, konvensiyonel yataklara göre bir çok
avantaj sunmaktadır. Örneğin, doğru denetleyici yöntemleri ile
kullanıldıklarında rotorları elastik modlarının ortaya çıkacağı
hızlara kadar çıkarabilmektedirler. Manyetik kuvvetlerin
doğası gereği manyetik yataklar doğrusal olmayan
denklemlerle ifade edilebilirler ve bazı parametrik
belirsizliklere sahiptirler. Bu çalışmada amaç; aktif manyetik
yataklı elastik rotor sisteminin doğrusal olmayan PI tipi bir
denetleyici altındaki davranışının incelenmesidir. Çalışma
kapsamında bu tip sistemler için yeni bir denetleyici yöntemi
önerilmiş, kararlılık analizi yapılmış ve performans analizi için
deneysel sonuçlar verilmiştir.
1. Giriş
Aktif manyetik yataklar (AMY); bir rotor elemanını
konum geri beslemesi ile aktif denetim altında yataklamaya
yarayan; karşılıklı konumlanmış ve ortak çalışan
elektromıknatıs setleridir. Aktif manyetik yatakların en bilinir
özellikleri herhangi bir temas olmaksızın konum ve hareket
denetimine imkân tanımalarıdır. Ayrıca manyetik yatakların
geleneksel yataklara göre birçok pratik avantajı da
bulunmaktadır. Bunlar; düşük devir kayıpları, yüksek dönüş
hızı, sürtünme kaybı olmaması, yağlamaya ve periyodik
bakıma gereksinim duymayışı, çok yüksek ve çok düşük
sıcaklıklarda çalışma imkânı, vakum ortamında çalışma imkanı
ve çok uzun çalışma ömrü olarak sıralanabilir[1]. Bu
özellikleri AMY’lara endüstriyel, tıbbi ve bilimsel
uygulamalarda birçok avantajlar ve fırsatlar sunmaktadır.
Ticari uygulama alanları olarak termonükleer pompalar; volan
enerji depolama sistemleri; türbin makineleri ve santrifirüjler
sayılabilir. Fakat bununla beraber AMY’lardan iyi bir verim
382
göre endüktansları ve iç dirençleri belirli aralıklarda
değişebilmektedir. Yada elekromıknatıslarla rotor arasındaki
etkin kesit alanı tam olarak belirleyebilmek çok zordur.
Yukarıda sıralanan avantajlar ve kısıtlar göz önüne
alındığında AMY’ların uygulamadaki faydalarının yanında
zorlukları da olduğu görülmektedir. Bu durumda modeldeki
sapmalara ve parametre belirsizliklerine dayanıklı bir
denetleyici yönteminin seçilmesinin AMY’ların sunduğu
avantajları elde etmede kilit rol oynadığı aşikardır.
Makalenin ilerleyen bölümleri şu şekilde düzenlenmiştir.
Üzerinde çalışılan sistemin modellenmesi ve bu modelin
uygun bir forma getirilmesi 2. Bölümde verilmiştir. 3.
Bölümde problem tanımlanmış ve probleme uygun denetleyici
formülasyonu verilmişir. Ayrıca denetleyicinin kararlılık
analizide bu bölümde verilmiştir. 4. Bölümde deneysel
sistemle ilgili bazı teknik bilgiler verilmiş, 5. Bölüm deney
sonuçlarına ayrılmıştır. Son olarak elde edilen sonuçlar 6.
Bölümde tartışılmıştır.
modellenecektir. Denetleyici rotorun elastikiyetine kısmi
olarak dayanıklı olacak şekilde tasarlanacaktır.
Şekil 1: AMY - rijit rotor sisteminin şematik gösterimi.
Şekil 1’deki rijit rotor manyetik yatak sistemini düşünelim.
Modelleme rotorun kütle merkezinin x ve y eksenleri
yönündeki öteleme ve bu eksenler etrafındaki Өx ile Өy saat
akrebinin tersi yönündeki küçük dönme hareketlerine göre
yapılmaktadır. Rotor kütlesi m, rotorun x ve y eksenleri
etrafındaki dönmelerine tekabül eden atalet momentleri Ir ile
gösterilmektedir. Ayrıca jiroskopik etkilerin ihmal edildiği ve
ağırlık kuvveti mg’nin manyetik yataklardan geçen bias akımı
tarafından karşılandığı düşünülmektedir. Sistemin hareket
denklemi Newton kanununa göre tüm atalet kuvvetlerini ve
momentlerini dengeleyen yatak kuvvet ve momentlerini
hesaba katarak aşağıdaki şekilde yazılabilir[4].
2. AMY-Rijit Rotor Sisteminin Modellenmesi
Bir elektromıknatıs tarafından oluşturulan elektromanyetik
çekme kuvveti
N 0 A i
2
F 
2
(1)
2
4
g
şeklinde yazılabilir[3]. Bu ifadede N manyetik yatağın
statorundaki sarımların sarım sayısını, A stator ile rotor
arasındaki manyetik akının oluştuğu etkin yüzey alanını, i
bobinlerden geçen akımları, µ0 manyetik geçirgenlik
katsayısını, g elektromıknatıslarla cisim arasındaki nominal
boşluğu göstermektedir. Manyetik kuvvet bobinlerden akan
akımın karesiyle doğru; elektromıknatısla cisim arasındaki
mesafenin karesiyle ters orantılıdır. (1)’den de görülmektedir
ki manyetik kuvvet ifadesi doğrusal olmayan bir modele
sahiptir. Aktif manyetik yatakları kontrol etmek için doğrusal
kontrolcüler kullanılmak istendiğinde manyetik kuvvet
ifadesinin doğrusallaştırılması bir bias akımı yardımıyla
kolaylıkla yapılabilmektedir. Stator kutupları ile rotor
arasındaki mesafenin çok küçük olması çalışma aralığını
sınırlandığı için denge noktasındaki hızında sıfır olduğu
kabülü ile manyetik kuvvetin doğrusal ifadesi şu şekilde
gösterilebilir[3].
F  ki i  k x x
m x g  f fx  f rx
I r y   L fb f fx  Lrb f rx
m y g  f fy  f ry
I r y  L fb f fy  Lrb f ry
mz  f z
Burada xg rotorun kütle merkezinin x ekseni doğrultusundaki
yer değiştirmesini, yg rotorun kütle merkezinin y ekseni
doğrultusundaki yer değiştirmesini göstermektedir. Ayrıca ffx
ön manyetik yatağın x ekseni doğrultusundaki kontrol
kuvvetini ve frx arka manyetik yatağın x doğrultusundaki
kontrol kuvvetini göstermektedir. Benzer şekilde y
doğrultusundaki ön ve arka yataklarda oluşturulan kontrol
kuvvetleri ffy ve fry olarak gösterilmiştir. fz rotora eksenel
olarak (z ekseni–rotorun yatay ekseni) etkiyen kuvveti
göstermektedir. Lfb ön manyetik yatak ile kütle merkezi
arasındaki mesafeyi, Lrb arka manyetik yatak ile kütle merkezi
arasındaki mesafeyi göstermektedir. Bu değerler Şekil 3’de
gösterilmektedir.
Esas olarak her bir elektromıknatısta çekme kuvveti
oluşturulmaktadır. Fakat kontrol dizaynı için oluşturulan
modellemelerde her bir yöne tekabül eden net bir kuvvet
olduğu düşünülmektedir. Ayrıca modelleme rotorun kütle
merkezine göre yapılmış olmasına rağmen kontrol sırasında
rotorun AMYlar içerisindeki kısımlarının pozisyonlarının
kontrol edilmesi gerektiğinden dolayı sistem durumları olarak
bu noktalar alınmıştır. Bu noktalar ile sistem durumları
arasındaki bağıntı geometrik olarak elde edilebilir[4],[5]. Bu
açıklamalar ışığında, (2) numaralı denklemle verilmiş olan
doğrusallaştırılmış kuvvet ifadesinin (4) numaralı denklem
takımıyla verilen sistem modelinde uygun şekilde yerlerine
yazılması ve geometrik çözüm ile rotor kütle merkezinin
kuvvetletrin uygulandığı noktalar ile değiştirilmesiyle
(2)
Burada ki kuvvet-akım katsayısını, kx kuvvet-yer değiştirme
katsayısını göstermektedir. Bu katsayılar şu şekilde
hesaplanabilir.
N  0 AI 0
2
ki 
2
x0
2
N  0 AI 0
2
kx 
(4)
(3)
3
x0
Burada; I0 bias akımını ve x0 stator ile rotor arasındaki
nominal boşluğu göstermektedir.
Elastik rotorun modellenmesinde sonlu elemanlar yöntemi
(FEM) tarzı bilgisayarla modelleme gerektiren yöntemler
kullanılmaktadır. Bu çalışmada rotorun rijit olduğu kabulü ile
serbest cisim diagramı üzerinden hareket denklemleri yazılarak
383
sistemimizin modeli aşağıdaki gibi matris formunda elde
edilebilir.
Mq  Kq  u
1
Mr   Mr  N  u
2
(5)
Burada sistemin pozisyon vektörü q(t)
vektörü u(t) şu şekilde tanımlanmıştır.
Buradaki N (M , K , qd , qd , qd , q, q)
şekilde tanımlanmıştır.
ve sistem girişi
N
q  [x f
xr
yf
yr
z]
u  i fx
irx
i fy
iry
iz 
T
T
(6)
d
N  N  Nd
(7)
N   ( x) x
(15)
(16)
Burada  ( ) pozitif tanımlı ve artmayan bir sınırlandırma
fonksiyonudur ve x vektörü şu şekilde tanımlanmıştır.
x  e r 
T
(8)
(17)
(14) ile gösterilen açık çevrim dinamiğinde hatayı sıfıra
götürecek kontrolcü işareti bir sonraki bölümde verilecek
kararlılık analizi yardımı ile şu şekilde tasarlanabilir[6].
(9)
u   kr  kn  2  r  Ki  rdt   tanh(e)  e
t
  e)  Kq  u
(14)
ve şu şekilde üstten sınırlandırılabildiği gösterilebilir[6].
Burada α pozitif, sabit kontrol kazancıdır. Sistemin hata
dinamiğini elde etmek için (8)’in zamana göre türevini alıp her
iki tarafınıda M ile çarparsak ve daha sonra (5)’te verilen
sistem modelini bu denklemde yerine yazarsak aşağıdaki açık
çevrim filtrelenmiş hata dinamiğini elde edebiliriz.
Mr  M ( qd
(13)
Burada N , N yardımcı sinyalinin gerçek değeri ile istenilen
durumlarla yazılan değeri arasındaki farkı göstermektedir ve
şu şekilde tanımlanmıştır,
t
0
, q  qd
1
Mr   Mr  N  N d  u
2
Analiz sırasında qd(t) ve zamana göre ilk iki türevinin her
zaman sınırlı olduğu kabul edilmiştir. Denetleyici tasarımı için
iki adet yardımcı hata daha tanımlıyoruz. Bunlar filtrelenmiş
hata sinyali[7] r (t )  5 ve onun integrali olarak şu şekilde
tanımlanmışlardır.
 r ( )d
(12)
Bu noktada şu varsayımı kolaylıkla yapabiliriz. qd sinyali
sınırlı ve ikinci dereceden türevi alınabildiği için Nd
sinyalininde en azından birinci türevi vardır ayrıca kendisi ve
türevi sınırlıdır. Tasarımın bu aşamasında yeni tanımladığımız
Nd sinyalini açık çevrim dinamiğimize ekleyip çıkarıyoruz ve
yeni dinamiği aşağıdaki formda yazıyoruz.
Tasarlayacağımız denetleyicinin amacı sistemin pozisyonunun
bilinen bir referans sinyali qd (t )  5 ’yi takip etmesidir.
Ayrıca sistem modelinde parametrik belirsizlikler olduğu göz
önünde bulundurulmuştur. Bu sebeple hem sistemdeki
parametrik belirsizliklerle baş edebilen hemde sistem model
bilgisine ihtiyaç duymayan bir denetleyici geliştirilecektir[6].
Bu amaçla denetleyicinin performansını takip edebilmek adına
hata sinyalini şu şekilde tanımlıyoruz.
 (t ) 
1
Mr  M (qd   e)  Kq
2
Nd  N q  q
3. Denetleyici Tasarımı ve Kararlılık Analizi
r (t )  e   e
yardımcı değişkeni şu
Tasarımın bu aşamasında yeni tanımlanıdığımız yardımcı
değişken N’nin istenilen sistem durumları ile yazılmış hali
olan Nd’yi şu şekilde tanımlıyoruz.
xfb rotorun ön manyetik yataktaki x ekseni konumu, xrb
rotorun arka manyetik yataktaki x ekseni konumu, yfb rotorun
ön manyetik yataktaki y ekseni konumu, yrb rotorun arka
manyetik yataktaki y ekseni konumu, z rotorun eksenel
manyetik yatak içindeki z ekseni konumunu göstermektedir. ifx
ön manyetik yatak x ekseni kontrol girişi, irx arka manyetik
yatak x ekseni kontrol girişi, ify ön manyetik yatak y ekseni
kontrol girişi, iry arka manyetik yatak y ekseni kontrol girişini
ve iz eksenel yatak kontrol girişini göstermektedir. M ve K
matrisleri Ek’de verilmiştir.
e (t )  qd (t )  q (t )
(11)
0
(18)
Bu kontrol girişini (14)’de verilen açık çevrim filtrelenmiş
hata dinamiğine uygularsak kapalı çevrim hata dinamiğimizi
şu şekilde elde ederiz.
1
Mr   Mr  N  N d   kr  kn  2  r
2
(10)
t
 Ki  rdt   tanh(e)  e
Bazı matematiksel işlemlerden sonra r(t) sinyali için
geliştirdiğimiz açık çevrim dinamiği, kontrolcü tasarım ve
analiz aşamasında işlemleri kolaylaştıracak şekilde, şu formda
yazılabilir.
0
384
(19)
3.1. Kararlılık analizi
e, e,  r (t )dt  L olduğu söylenebilir. Bu durumda (17) ile
tanımlanan x ve (18) ile tanımlanan u’da sınırlıdır diyebiliriz.
Ayrıca (19) incelendiğinde r  L olduğu ve kapalı çevrim
hata sistemindeki tüm sinyallerin sınırlı olduğu kolayca
görülebilir. Bunlarla beraber (26)’nın yapısı kullanılarak r ve
e’nin
ikinci
normlarınında
sınırlı
olduğunu
gösterebiliriz (r , e  L2 ). Böylece yukrıdaki bilgiler yardımıyla
ve Barbalat Lemma [8]’nın direkt olarak uygulanması ile
filtrelenmiş hata sinyali r’nin ve r’ nin (8)’de verilen tanımına
göre e, e ’ın asimtotik olarak azalan bir zarf altında, önceden
belirlenebilen sıfır civarında bir bölgeye yakınsayacağını
gösterebiliriz.
Yukarıdaki denetleyici tasarımı ve kararlılık analizinden açık
bir şekilde görülmektedir ki (18) ile verilen deneteleyici
sinyali tüm denetleyici kazançları uygun şekilde seçildiğinde
(19)’daki kapalı çevrim hata dinamiğindeki tüm sinyallerin
snırlılı kalmasını sağlamakta, ayrıca hatayı asimtotik bir
şekilde sıfır yakın bir değere götürmekte ve sistemin
kararlılığını garanti etmektedir.
Sistemin kapalı çevrim kararlılık analizi Lyapunav tarzı
yaklaşımlar kullanılarak yapılmıştır. Analizimize negatif
olmayan bir fonksiyon tanımlayarak başlayabiliriz.
V
Burada z (t ) 
5
1
1
1
Mr 2  e2  z  Ki 2
2
2
2
(20)
şu şekilde tanımlanmıştır.
z     r ( )  N d ( )   tanh(e( ))  d
t
0
(21)
Buradaki yardımcı sabit  ve kontrol kazancı  ’nın uygun
şekilde seçilmesiyle z ’nin sıfır ile alttan sınırlı olduğu
kolaylıkla ispatlanabilir[6].
(20)’nin türevini alıp (8), (19)’u uygun yerlerde yerlerine
koyup birbirini götüren terimleri iptal ettiğimizde türev
fonksiyonumuzu aşağıdaki formda elde etmiş oluruz.
V    kr  kn  2  r 2   e2  rN
4. Deney Sisteminin Tanıtılması
(22)
Bu çalışmada kullanılan deney düzeneği Gebze Yüksek
Teknoloji Enstitüsü Robotik Laboratuarında kurulu
bulunmaktadır. Deney düzeneğinin fotoğrafı Şekil 2 ‘de
görülmektedir. Deney düzeneğinde 1 adet elastik rotor, 2 adet
radyal AMY, 1 adet eksenel AMY, 1 adet alternatif akım
motoru bulunmaktadır. AMY’ların ve alternatif akım
motorunun titreşimsiz çalışabilmeleri için demir döküm bir
kaideye monte edilmişlerdir. Çevre birimleri olarak güç
kaynağı, manyetik yatak akım sürücüleri, sensör ve kontrol
devreleri ve frekans ayarlı alternatif akım motoru sürücüsü
bulunmaktadır. Ayrıca rotorun hızını ölçebilmek için
laboratuarımızda rotora bir enkoder ilave edilmiştir. Sensör
çıkışlarını okuyabilmek için ve tasarlanan kontrolcüleri
sisteme uygulayabilmek için dSpace 1104 veri giriş çıkış
arabirimi kullanılmıştır. Rotorun modellemesinde de
kullanılan fiziksel boyutları Şekil 3’de görülmektedir. Rotorun
kütlesi 4,8 kg’dır.
(16)’da verilen eşitsizlik yardımıyla fonksiyonumuzun türevi
şu şekilde üstten sınırlandırılabilir.
V   min(kr , ) x   r  ( x) x  kn  2 ( x)r 2 
2
2
Yukarıdaki eşitsizliğin sağ tarafına x
çıkarırsak eşitsizlik şu formu alır.
V   min(kr , ) x 
2
x
4kn terimini ekleyip
2
4k n
2

x 
  kn  2 ( x) r 2  r  ( x) x 

4kn 

Bu

eşitsizliğin
kn  r  x
2
ikinci
2 kn

satırı
(23)
dikkatlice
(24)
incelendiğinde
ifadesinin karesi olduğu görülebilir.
Bu kare ifadenin başında eksi işareti bulunduğu için
fonksiyonumuzun türevinin üst sınırını şu şekilde
genişletebiliriz.

1  2
V    min(kr , ) 
(25)
 x
4
kn 

Son olarak k n kazancı yukarıdaki eşitsizlikte parantez içini
pozitif yapacak şekilde seçildiğinde türevimiz şu şekilde üstten
sınırlandırılabilir.
V   x
2
,  0
Şekil 2: AMY elastik rotor deney düzeneği
(26)
5. Deneysel Sonuçlar
(20)
ve
(26)’nın
işaretleri (V  0,V  0) beraber
yorumlandığında V’nin sınırlı bir fonksiyon olduğu açıkça
görülmektedir (V  L ). V’nin yapısından dolayı içinde
barındırdığı
tüm fonksiyonlarında
sınırlı
olduğunu
söyleyebiliriz (r , e, z,  L ). r ve  ’nin tanımından
Kontrol kazançları Tablo 1’de verilmiştir. Deney sonucunda
başarılı şekilde levitasyon sağlanmış ve dönüş deneylerinde
4200 devir/dakika hızın üstüne çıkılmıştır.
385
4
4
2
2
0
0
-2
-2
-4
-4
-6
0
1
2
Zaman [s]
-6
0
3
Levitasyon deneyi ve dönüş deneyi sonuçları aşağıdaki
grafiklerde verilmiştir. Grafiklerde dikkat edilmesi gereken
husus, ölçümler başladıktan yaklaşık 0.5 saniye sonra deney
sistemine enerji verilmiş olmasıdır.
6
4
4
2
2
0
0
Kr
Ki
α
β
-2
-2
0.04
0.08
0.12
0.1
0.25
55
50
10
5
25
20
30
20
20
40
80
60
50
55
90
-4
-4
ön yatak x ekseni konumu
-6
0
1
2
Zaman [s]
-6
0
3
0.15
0.15
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
0
4
0.05
0
-0.05
-0.1
2
0
-0.2
0
3
Arka yatak x ekseni konumu
0
-2
-0.05
-0.15
1
2
Zaman [s]
-4
1
2
Zaman [s]
3
-0.1
0
1
2
Zaman [s]
-6
0
3
Ön Radyal AMY yörüngesi
Arka yatak y ekseni konumu
0.15
0.15
0.01
0.01
0.1
0.1
0.005
0.005
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
0
0.05
0
-0.05
-0.1
y ekseni [mm]
0.015
y ekseni [mm]
0.015
Yerdeğiştirme [mm]
0.2
0
3
Arka Radyal AMY yörüngesi
0.2
0.05
1
2
Zaman [s]
Şekil 8: Leviyasyon deneyinde eksenel yatak rotor
konumu ve kontrol akımı
Şekil 4: Leviyasyon deneyinde ön yatak rotor
konumları
0.05
Akım [A]
0
6
0.1
0.1
3
Eksenel AMY Kontrol Akımı
Eksenel AMY z ekseni konumu
0.1
0.05
1
2
Zaman [s]
Şekil 7: Leviyasyon deneyinde arka yatak kontrol
akımları
ön yatak y ekseni konumu
0.2
3
Arka AMY y ekseni Kontrol Akımı
6
Akım [A]
Akım [A]
Arka AMY x ekseni Kontrol Akımı
Tablo1: Deney sırasında kullanılan Kazançlar
0.2
1
2
Zaman [s]
Şekil 6: Leviyasyon deneyinde ön yatak kontrol
akımları
Şekil 3: Rotorun ölçüleri
Ön yatak x ekseni
Ön yatak y ekseni
Arka yatak x ekseni
Ayka yatak y ekseni
Eksenel yatak
Ön AMY y ekseni Kontrol Akımı
6
Akım [A]
Akım [A]
Ön AMY x ekseni Kontrol Akımı
6
0
-0.005
0
-0.005
-0.01
-0.01
-0.015
-0.015
-0.15
1
2
Zaman [s]
3
-0.2
0
1
2
Zaman [s]
3
-0.01
0
x ekseni [mm]
0.01
-0.01
0
x ekseni [mm]
0.01
Şekil 9: Rotor 70 Hz hızla dönerken rotorun radyal
yataklardaki yörüngesi
Şekil 5: Leviyasyon deneyinde arka yatak rotor
konumları
386
3
x 10
Eksenel AMY yörüngesi
-3
6. Değerlendirme
Bu çalışmada Aktif manyetik yataklı elastik rotor sistemleri
için yeni bir doğrusal olmayan PI tipi denetleyici önerilmiştir.
Performans analizi için deneysel sonuçlar sunulmıştur. [5]
numaralı çalışmadaki sonuçlarla karşılaştırıldığında bu tip bir
denetleyicinin standart PID denetleyiciye göre daha başarılı
sonuçlar verdiği görülebilir .
Eksenel konum [mm]
2
1
0
-1
-2
-3
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
Zaman [s]
0.07
0.08
0.09
7. Kaynakça
0.1
[1]
Şekil 10: Rotor 70 Hz hızla dönerken rotorun eksenel
yatak içindeki yerdeğiştirmesi
Ön AMY y ekseni Kontrol Akımı
6
6
4
4
2
2
Akım [A]
Akım [A]
Ön AMY x ekseni Kontrol Akımı
0
-2
-4
-4
0.05
Zaman [s]
[3]
[4]
0
-2
-6
0
[2]
[5]
-6
0
0.1
0.05
Zaman [s]
0.1
[6]
Şekil 11: Rotor 70 Hz hızla dönerken ön yatak kontrol
akımları
Arka AMY x ekseni Kontrol Akımı
[7]
Arka AMY y ekseni Kontrol Akımı
6
6
4
4
2
2
Akım [A]
Akım [A]
[8]
0
-2
-4
-4
-6
0
-6
0
0.1
8. Ek: Model Matrisleri
0
-2
0.05
Zaman [s]
0.05
Zaman [s]
 I  mlr2

2
 k fi  l f  lr 

 I  ml f lr
2

 kri  l f  lr 

M 
0




0



0


0.1
Şekil 12:Rotor 70 Hz hızla dönerken arka yatak
kontrol akımları
Eksenel AMY Kontrol akımı
6
4
Akım [A]
2
0
 k fx

 k fi

 0


K  0



 0


 0

-2
-4
-6
0
0.01
0.02
0.03
0.04
C. R. Knospe, “Active magnetic bearings for machining
applications,” Control Engineering Practice, vol. 15, no. 3,
pp. 307–313, Mar. 2007.
A. Chiba, T. Fukao, O. Ichikawa, M. Osahima, M.
Takemoto, and D. G. Dorrell, Magnetic Bearings and
Bearingless Drives. Burlington: Elsevier, 2005.
G. Schweitzer, “Active Magnetic Bearings - Chances and
Limitations,” in 6th International IFToMM Conferences on
Rotor Dynamics, 2002, pp. 1–14.
S. Sivrioglu, “Adaptive backstepping for switching control
active magnetic bearing system with vibrating base,” IET
Control Theory Appl., vol. 1, no. 4, pp. 1054–1059, 2007.
B. Okur, E. Zergeroğlu, S. Başaran, and S. Sivrioğlu, “5
Eksenli Elastik Rotor Aktif Manyetik Yatak Sisteminde PID
Tipi Denetleyici Uygulaması : Deneysel Sonuçlar,” in
Otomatik Kontrol Türk Milli Komitesi 2011 Ulusal
Toplantısı, 2011.
J. Kuvulmaz and E. Zergeroglu, “A new high-gain
continuous controller scheme for a class of uncertain
nonlinear systems,” in 2007 46th IEEE Conference on
Decision and Control, 2007, pp. 2218–2222.
J.-J. E. Slotine and W. Li, Applied Nonlinear Control. New
Jersey: , 1991.
H. K. Khalil, Nonlinear Systems, 3rd ed. New Jersey:
Pearson Education, 2000.
0.05
0.06
Zaman [s]
0.07
0.08
0.09
0.1
Şekil 13: Rotor 70 Hz hızla dönerken Eksenel yatak
kontrol akımı
387

I  ml f lr
k fi  l f  lr 
I  ml 2f
k ri  l f  lr 
2

0
0
krx
kri
0
0
k fx
k fi
0
0
0
krx
kri
0
0
0
0
0
0
0
0
0
I  mlr2
0
0
0
2
I  ml f lr
kri  l f  lr 
0

0 


0 


0 



0 

k xz 
kiz 

2
I  ml f lr
I  ml 2f
2
k ri  l f  lr 
0
2
2

0



0


0



0


m

kiz 
Hareket Denetimi Uygulamalarında Kullanılan Sayısal
Filtrelerin FPGA ile Gerçekleştirilmesi
Ulaş Yaman1, Barış R. Mutlu2, Melik Dölen3, A. Buğra Koku4
1,3,4
Makina Mühendisliği Bölümü
Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Ankara
1
[email protected]
[email protected]
4
[email protected]
3
2
Makina Mühendisliği Bölümü
Minnesota Üniversitesi, ABD
[email protected]
İyelikleri (Intellectual Property, IP)] aracılığıyla yapmaya
başlamışlardır. FPGA üzerine gömülmüş işlemci IP'lerinin
birkaç yönden başarılı oldukları kanıtlanmış olmasına rağmen,
yeniden yapılandırılabilir bir paralel işlemci biriminin gerçek
potansiyeli kullanılmamıştır.
FPGA üzerinde kontrolcü uygulaması çoğu kez çeşitli
faktörlerin (örneğin, kaynak kullanımı, yürütme hızı,
geliştirme çabaları gibi) arasında dengeler gerektirir. Yüksek
başarımlı kontrolcüler elde etmek için, bazı araştırmacılar
[1,9-12] kontrolcülerini doğrudan sayısal devrelerle
gerçekleştirmektedirler.
Bu
şekilde
bir
çalışmayı
gerçekleştirebilmek için düşük seviyeli (mantık düzeyinde) bir
donanım tanımla dili (Hardware Description Language, HDL)
kullanılması gerekir ve bu kapsamda ortaya çıkan tasarım
süreci oldukça uzundur.
Literatür genel olarak incelendiğinde FPGA’ların
donanımsal yeteneklerinden yararlanan etkin çözümlerin
fazlalığı ortaya çıkmaktadır. Bu çözümler, endüstride
kullanılan herhangi bir kontrol uygulamasının gereksinimlerini
kolaylıkla giderebilecek genel IP’lere doğru yönelecektir. Bu
nedenle, bu çalışmanın temel amacı sayısal filtrelerin
gerçekleştirilmesine odaklanmak ve benzer sistemlerin
FPGA’lar üzerinde rahatlıkla uygulanabilirliklerini sağlamak
için geliştirme modülleri (IP’ler) oluşturmaktır.
Makalenin akışı şu şekildedir. Kısa bir giriş bölümünden
sonra sayısal filtreler ve FPGA uygulamaları sonraki bölümde
tartışılmıştır. Çalışmada dört farklı uygulama yöntemi
sunulmuştur. Makalenin üçüncü bölümünde örnek bir
uygulama (ters sarkaç) sunularak yöntemlerin başarımı
karşılaştırmalı olarak değerlendirilmiştir. Dördüncü bölümde
ise FPGA ile yapılan döngü içerisinde donanım benzetimi
sonuçları verilmiştir. Makalenin son bölümünde çalışmanın
ana hatları özetlenerek makale sonlandırılmıştır.
Özetçe
Alan Programlanabilir Kapı Dizileri (Field Programmable
Gate Array, FPGA) CNC takım tezgahları, robotik, gelişmiş
otomasyon, havacılık ve otomotiv sistemleri de dahil olmak
üzere özel gerçek zamanlı denetim uygulamaları için uygun
alternatiflerdir. Bu makalede, FPGA ile gerçekleştirilen
hareket denetimi uygulamalarında kullanılan sayısal filtreler
için yeni FPGA gerçekleştirme yöntemleri sunulmaktadır.
Sayısal filtrelerin FPGA uygulamaları için önerilen yöntemler
basamaklı denetim mimarisi üzerinde gerçekleştirilmektedir.
Bu uygulama bir Altera Cyclone II FPGA yongası üzerinde
uygulanmıştır. Ayrıca, ortaya çıkan sistemlerin denetimci
performansları MATLAB ortamında doğrusal olmayan bir
sistemin (ters sarkaç) gerçek zamansız Döngü İ çerisinde
Donanım Benzetimi (Hardware in the Loop Simulation,
HILS) ile incelenmiştir.
1. Giriş
Yonga üretim teknolojisindeki son gelişmelerle birlikte,
FPGA’lar etkili paralel işlem yapabilme yetenekleri, donanım
tasarımındaki esneklikleri ve güvenirlikleri ile geleneksel
işlemcilere [örneğin mikro-işlemciler, mikro-denetleyiciler ve
Sayısal İşaret İ şlemcileri (Digital Signal Processor, DSP)]
önemli birer alternatif haline gelmişlerdir. Son yıllarda, FPGA
kontrol mühendisliği alanında pek çok araştırmacının ilgisini
çekmiştir [1,2]. Birçok çalışmada, gömülü kontrolcü
tasarımlarının gerçekleştirilme alternatifleri ve FPGA’lar
üzerindeki farklı denetim topolojilerinin uygulamaları
sunulmaktadır. Bu alanda yapılan çalışmaların genel bir
değerlendirmesi Mutlu ve Dölen [3] tarafından yapılmıştır.
Geleneksel olarak, FPGA genellikle DSP ve çevre birimleri
arasında bir arayüz (örneğin duyucu arayüzleri / veri
dönüştürücüler) olarak kabul edilmektedir [4-6]. DSP’ler
kontrol işlemleri için gerekli olan hızlı (kayan noktalı sayılar
kullanarak) hesaplama ve esnek programlama yetenekleri ile
ön plana çıkmaktadırlar. FPGA’ların yetenekleri ve kaynakları
zamanla arttıkça, birçok araştırmacı [2,7,8] çeşitli kontrol
topolojileri için gerekli olan hesaplamaları FPGA’lar üzerine
gömdükleri işlemciler [mikro-işlemci veya DSP Düşünce
2. Sayısal Filtreler ve FPGA ile
Gerçekleştirilmeleri
Sayısal filtreler genellikle girdi olarak verilen işaretin spektral
içeriğini
değiştirmek
veya
düzenlemek
amacıyla
388
uygulanmaktadır. Sonsuz dürtü tepkili filtreleri (Infinite
Impulse Response, IIR) şu şekilde tanımlayabiliriz.
Bellek Arayüz
Modülü
sys_clock
enable
reset
18
32
n
m
y(k) = ∑ a i y(k − i) + ∑ b j x(k − j)
i=1
Saat
Üreteci
(1)
SRAM
sram_addr
sram_data
Ana Modül
filter_parameters
j=0
Genel Filtre Modülü
128
Bu denklemde k zaman endeksini, y(k) k zamanında filtrenin
çıkışını, x(k) filtrenin girişini, ai ve bj ise filtrenin sabit
katsayılarını belirtmektedir. Farklı özelliklere sahip olan alçak
geçiren, yüksek geçiren, bant durduran ve bant geçiren filtreler
bu katsayıların ayarlanmasıyla gerçekleştirilebilmektedir.
Denklem (1) ayrıca geleneksel kontrol teorisinin kurallarını
(P, PI, PD ve PID gibi) da gerçekleştirmek için kullanılabilir.
Örneğin bir PID kontrolcüsünün sabit katsayılı fark denklemi
(Constant Coefficient Difference Equation, CCDE) aşağıdaki
gibi ifade edilebilir.
y(k) = y(k-1) + b0 x(k ) + b1 x(k − 1) + b2 x(k − 2)
filter_clk
32
x
Filter Controller
Unit
m´ 32-bit
registers
n´ 32-bit
registers
add_enable
D
x
32
32
xn
ym-1
D
32
32-bit
register
32
MUL mul_res
custom multiplication
module
32
D
mul_enable
mux_sel
p
R
R
Register Control Bus
K
y
R
D
adder
R
ym
32
D
R
ym
mux
(2)
Şekil 1: Genel Filtre Modülünün Devre Şeması
Burada y kontrolcü tarafından üretilen düzeltme işaretini, x ise
takip hatasını (referans girdi ve ölçülen çıktı arasındaki fark)
belirtmektedir. Sonuç olarak DSP’lerin çoğunluğu (1)
numaralı denklemi gerçekleştirmek için özel aritmetik mantık
birimlerine sahiptirler. DSP’lerdeki gibi FPGA’lar için genel
IIR filtre modülleri oluşturularak sayısal filtrelerle birlikte
belirli kontrol topolojilerinin gerçekleştirilmesi sağlanabilir.
Bu makalede sayısal filtrelerin FPGA’lar üzerinde
gerçekleştirilebilmesi için iki farklı yöntem önerilmiştir. İlk
yöntem özel bir çarpanla genel bir filtre modülünün
geliştirilmesidir. İkinci yöntemde ise FPGA üzerine gömülmüş
bir işlemci (Nios II, Power PC ve MicroBlaze gibi)
kullanılmıştır. Takip eden alt bölümlerde bu yöntemler
ayrıntılı biçimde açıklanmıştır.
IMU özellikle giriş ve çıkışları tamsayılarla ifade
edilebilen sistemler için uygundur. Ünite filtre kazançlarının
tamsayı aritmetiği uygulayan sistem durumlarıyla çarpımına
odaklanmaktadır. Bu durumu değerlendirmek için y = ⎣ax⎦
işlemini ele alalım. Denklemde a (∈ ℜ) bir çarpılanı, x ve y (
∈ Z) çarpanı ve sonucu ifade etmektedir. ⎣⎦ ise taban
fonksiyonunun temsilidir. Bu işlemde kesirli bir sayı olan a’yı
iki farklı tamsayının (Na, Da) oranı olarak ifade edebiliriz:
y ≅ Nax/Da. Böylelikle belirtilen işlem tamsayıların çarpımına
ve bölümüne indirgenmiştir. Sonuç olarak en kötü durumda
IMU tanımlanan fonksiyonu iki aritmetik işlem neticesinde
gerçekleştirmektedir. Yapılan bu yaklaştırmanın doğruluğu
direkt olarak Na ve Nd için ayrılmış olan bitlerin sayısına
bağlıdır.
İleri uygulamalarda, FPU istenen aritmetik hassasiyetini
elde etmek için gereklidir. Bu birimin tasarımı Usselmann [15]
tarafından geliştirilen açık bir IP’ye dayanmaktadır. Tasarımın
ayrıntıları ve genel filtre modülü ile alakalı olan HDL kodları
[13]’te tartışılmıştır.
2.1. Yöntem I: Genel Filtre Modülü
Bu çalışmada dikkate alınan genel filtre modülü Mutlu ve
Dölen [3] tarafından önerilen matris çarpım modülüne
benzemektedir. Şekil 1’de bu filtre modülünün devre şeması
gösterilmiştir. Önceden belirlenmesi gereken iki parametre
bulunmaktadır: n (sistemin derecesi veya geçmiş çıktıların
sayısı) ve m (geçmiş girdilerin sayısı veya girişlerin derecesi).
Bu topolojide, 32-bit yazmaçlar (m ve n toplamı kadar)
yardımı ile girdilerin ve çıktıların önceki değerleri geçici bir
biçimde saklanmaktadır. Filtrenin katsayıları (ai, bj) ise
bellekte (RAM ya da SRAM) depolanmaktadır. Bu nedenle
filtre modülü donanım maliyetini azaltmak amacıyla özel bir
çarpan ve toplayıcı kullanarak denklem (1)’i sıralı bir şekilde
hesaplamaktadır. Dikkat edilmesi gereken diğer bir önemli
nokta ise yüksek örnekleme frekansı gerektiren uygulamalarda
FPGA’da denklem (1)’in paralel şekilde çalıştırılması
sağlanabilir. Paralel çalışmayı sağlamak için özel çarpan
üniteleri kullanılarak Şekil 1’de gösterilen çoğullayıcı /
çoğullama-çözücü ünitelerinden sistemin arındırılması
gerekmektedir. Ancak, Usenmez’in [14] çalışmasında da
belirttiği gibi böyle bir yaklaşım gereğinden fazla FPGA
kaynaklarının (mantık elemanları, çarpanlar) kullanılmasına
yol açmakta ve filtrelerin derecesi büyüdüğü için pratik
olmamaktadır.
Filtreler uygulamaya göre iki farklı çarpan (ve toplayıcı)
kullanabilmektedirler: i) tamsayı çarpma/bölme ünitesi
[Integer Multiplication/division Unit, (IMU)]; ii) kayan noktalı
çarpma/bölme ünitesi [Floating-point Multiplication/division
Unit, (FPU)].
2.2. Yöntem II: Genel İşlemci
Yumuşak-çekirdekli işlemciler ile tasarım yaklaşımı bir
önceki alt bölümde sunulan yöntemden (fiziksel bağlantılı
yaklaşım) oldukça farklıdır. Fiziksel bağlantılı yaklaşımda
belirli bir fonksiyonu yerine getirecek sayısal devreler HDL
(ya da şematik tasarım araçları) ile tasarlanmış ve modüller
arasında olan bağlantılar (veri yolları, saat işaretleri, açmakapama ve sıfırlama işaretleri, vb.) tasarımcı tarafından
tanımlanmış ve gerçekleştirilmiştir. Öte yandan yumuşakçekirdekli işlemcilerin FPGA’lar üzerindeki uygulamaları ise
üretici firmalar tarafından sunulan tasarım araçlarıyla
gerçekleştirilmektedir. Kullanıcılar kendi uygulamaları için
gerekli olacak yardımcı üniteleri (bellek yönetim ünitesi, seri
haberleşme üniteleri, genel giriş-çıkışlar, vb.) seçerek
işlemciyi hazırlayabilmektedirler. Yardımcı ünitelerle birlikte
gömülü işlemcinin devre sentezi yapıldıktan sonra C/C++ gibi
yüksek seviyeli diller kullanılarak işlemci üzerinde farklı
algoritmalar geliştirilebilmektedir. Sonuç olarak, bu yöntemde
geliştirilen yazılım çapraz bir şekilde derlenerek yumuşakçekirdekli
işlemci
üzerinde
koşmaya
hazır
hale
getirilmektedir.
389
Çalışmada Altera firmasının FPGA’ları için geliştirilmiş
olan NIOS II işlemci [16] kullanılmıştır. İşlemci, Quartus II
yazılımının programlanabilen yonga üzerinde sistem
oluşturma aracı kullanılarak oluşturulur. Bu araç kullanılırken
işlemcinin özellikleri ve yardımcı olarak SRAM ve seri
haberleşme denetim birimleri de seçilir. İşlemci için iki farklı
yapı dikkate alınmıştır. Birisinde kayan noktalı aritmetik işlem
yeteneği olan bir işlem ünitesi kullanılırken diğerinde bu
ünitenin
kayan
noktalı
işlemler
yapma
becerisi
bulunmamaktadır. Bu yöntemde dikkat edilmesi gereken diğer
bir nokta ise FPGA kaynak kullanımlarının algoritmanın
ayrıntılarına bağlı olmamasıdır. Kaynak kullanımı seçilen
işlemci özelliklerine ve yardımcı ünitelere bağlıdır. Ancak,
işlemin gerçekleşme süreci doğal olarak yazılan algoritmaya
bağlıdır.
İdeal Tork
Modülatörü
X*(z) +
_
mL
x cos(θ ) + (I + mL2 )θ+ mgL sin(θ ) = 0
(4)
X(z)
Kontrolcü (Altera DE1)
x
θ
tr
Motor
Sürücüsü
t
θx(s)
Konum
Çözücüsü
A
B
I
Konum
Kodlayıcı
r
Konum
Çözücüsü
Dördün Sayıcı
A
B
I
Konum
Kodlayıcı
Sistem Benzetimi (PC)
4. Döngü İçerisinde Donanım Benzetimi
Şekil 3’te gösterildiği gibi, kontrolcü ikinci bölümde anlatılan
yöntemlerle Altera DE1 FPGA değerlendirme kartı [17]
(Cyclone II - EP2C20F484C7 yonga ile) üzerinde
gerçekleştirilmiştir. Bu yapıda, FPGA ile üretilen düzeltilmiş
tork girdileri MATLAB ortamında çalışan gerçek zamansız
HILS’ye gönderilmektedir. Benzetim sırasında sistemin
dinamik modeli (3-4) kullanılarak hesaplanan yeni durumlar
RS-232 haberleşme protokolü ile FPGA’ya geri
gönderilmektedir.
Önerilen yöntemler kullanılarak yapılan benzetimlerin
sonuçlarından birisi Şekil 4’te gösterilmiştir. Benzetimler
gerçekleştirilirken başlangıç koşulları olarak x0 = 0 m ve θ0 = 0.05 rad alınmıştır. Birinci yöntem kullanılırken basamaklı
kontrol sistemi için iki adet genel filtre modülüne ihtiyaç
duyulmuştur. Öte yandan, ikinci yöntemde FPGA üzerine
gömülü geleneksel bir mikro-işlemci kullanıldığı için
kontrolcülerin sayısının ve derecelerinin hiçbir önemi yoktur.
Şekil 4’ten çıkarıldığı gibi, basamaklı kontrol sistem ters
sarkacı dik konumda tutmayı başarmıştır ve bu esnada
arabanın konumu da belirli bir aralıkta kalmıştır. Diğer
yöntemlerle yapılan benzetimler sonucunda da benzer
sonuçlar alındığı için sadece IMU kullanan Yöntem I’in
sonucu Şekil 4’te verilmiştir. Yöntemlerin başarımlarının aynı
olmasının en temel nedeni gerçekleştirme aşamalarının farklı
olmasına rağmen topolojilerinin aynı olmasıdır.
Quartus II yazılımının yonga planlama aracı kullanılarak
önerilen dört yöntemin sentezlenen sayısal devrelerinin taban
haritaları alınmıştır. Şekil 5-8’de gösterilen bu haritalardan
kullanılan kaynakların yoğunluğu gözlemlenebilmektedir.
Şekil 5 ve Şekil 6 (Yöntem I) karşılaştırıldığında, IMU ile
gerçekleştirilen fiziksel bağlantılı kontrolcünün FPU
kullanılan uygulamaya oranla daha az FPGA kaynakları
kullandığı görülmektedir. Benzer bir durum ikinci yöntemde
(Şekil 7 ve Şekil 8) de ortaya çıkmaktadır. Kayan noktalı
aritmetik yeteneği olmayan yaklaşım beklenildiği gibi daha az
kaynak kullanmaktadır.
Önerilen yöntemlerin kaynak ve zaman kullanımları Tablo
1’de özetlenmiştir. Tablo incelendiğinde, iki yöntemin de
yakın sayıda mantık elemanı kullandığı görülmektedir. Ancak,
birinci yöntem için gereken gömülü çarpanların sayısı ikinci
Zamanlı Kayış
AC Servo Motor
wx(s)
kontrolü PD ile yapılmakta ve iç çevrimde ise sarkaç kolunun
açısal konum düzenlemesi PID ile sağlanmaktadır.
Kontrolcülerin genel amacının sarkaç kolunu dik tutmak
olduğu için sistem dinamiğini tanımlayan doğrusal olmayan
denklemler (3-4) bu çalışma noktasında (θ* = 0) lineer hale
getirilmiştir. Kontrolcü tasarımı [13]’te ayrıntılı bir şekilde
açıklanmıştır.
Döner
Kodlayıcı
Araba
θ(s)
Ters Sarkaç Sistemi
Şekil 3: Basamaklı kontrol sistemi
x
Pinyon
FPGA
(Kontrolcü)
Tork Kapasite
Eğrisi
1
Dördün Sayıcı
θ
2L
Τ*(s)
PID Kontrolcü
θ(z)
Denklemlerde M arabanın m [kg] ise sarkaç kolunun kütlesini,
I [kgm2] sarkaç kolunun kütlesel atalet momentini, 2L [m] kol
uzunluğunu, b [Nms] eşdeğer viskoz sönümlemeyi, τ
düzeltilmiş girdiyi (motor torku), r [m] pinyonun sargı adımı
yarıçapını ve η ise genel aktarım verimliğini ifade etmektedir.
Kontrol sisteminin blok diyagramı Şekil 3’te sunulmuştur.
Basamaklı kontrol sisteminde dış çevrim ile arabanın konum
m,I
Gi(z)
_
D/A Çevirici
Servo-motor & Sürücü
Örnek uygulama olarak kontrol literatüründe sıklıkla ele
alınan ters sarkaç kullanılmıştır [3]. Şekil 2’de görüldüğü gibi
araba bir zamanlı kayış aracılığıyla AC servo-motor ile
sürülmektedir. Bu düzenekte kullanılan motor sürücüsü tork
modunda çalışmaktadır ve dolayısıyla motor-sürücü ikilisinin
bir ideal tork modülatörü olduğu varsayılmaktadır.
Kontrolcünün üretmiş olduğu ilgili tork değerleri bir 16-bit
sayısal-analog (D/A) çevirici üzerinden gönderilmektedir.
Sarkacın açısal konumu ve arabanın konumu iki tane döner
kodlayıcı (Her bir kodlayıcı kanalından bir çevrimde 10,000
vurum üretebilmektedirler.) aracılığıyla sisteme geri
beslenmektedir. Kullanılan tüm duyucuların çıktılarının ve
FPGA’nın çıkışının tamsayılarla ifade edilmesinden ötürü
sistemi bir “nicemlenmiş giriş/çıkış sistemi” olarak
tanımlayabiliriz [3].
Ters sarkaç sistemi lineer olmayan bir sistemdir. Bu
sistemin hareket denklemleri şu şekilde ifade edilebilir:
(3)
Go(z)
PD Kontrolcü
3. Örnek Uygulama
η
(M+m) 
x + bx + mLθcos(θ ) - mLθ 2sin(θ )= τ
r
+
Döner Kodlayıcı
r
Şekil 2: Sarkaç sürüş sistemi genel modeli
390
Bölge II
Bölge I
Bölge I
Bölge II
Şekil 4: Yöntemlerin HILS sonuçları
Arkaplan
Seçim
Vurgulama
Blok Sınırı
Bağlantı
Rota
Deste
Bölge II
LAB
Mantık Elemanı
Bellek
Pin Grubu
DSP
Mantık Elemanı
Bellek
Pin Grubu
DSP
Yerel Bağlantı
Global Bağlantı
Pin
Portlar
Farklı Pin Çifti
Bağlantıları
Bölge Atamaları
Yazmaçlar
Kullanıcı Tanımlı Kilitli Bölgeler
Otomatik Kilitli Bölgeler
Düşük Güç
Yüksek Hız
Yapay Giriş-Çıkış
Şekil 7: FPU kullanılmayan Yöntem II’in FPGA kaynak
kullanımı
Bölge I
Bölge I
Bölge II
Bölge I
Bölge II
Arkaplan
Seçim
Vurgulama
Blok Sınırı
Bağlantı
Rota
Deste
LAB
Mantık Elemanı
Bellek
Pin Grubu
DSP
Mantık Elemanı
Bellek
Pin Grubu
DSP
Yerel Bağlantı
Global Bağlantı
Pin
Portlar
Farklı Pin Çifti
Bağlantıları
Bölge I
Bölge Atamaları
Yazmaçlar
Düşük Güç
Yüksek Hız
Şekil 5: IMU kullanılan Yöntem I’in FPGA kaynak kullanımı
Bölge II
Arkaplan
Seçim
Vurgulama
Blok Sınırı
Bağlantı
Rota
Deste
LAB
Mantık Elemanı
Bellek
Pin Grubu
DSP
Mantık Elemanı
Bellek
Pin Grubu
DSP
Yerel Bağlantı
Global Bağlantı
Pin
Portlar
Farklı Pin Çifti
Bağlantıları
Bölge Atamaları
Yazmaçlar
Düşük Güç
Yüksek Hız
Bölge II
Şekil 8: FPU kullanılan Yöntem II’in FPGA kaynak kullanımı
Bölge I
Tablo 1: Önerilen yöntemlerin Altera Cyclone II FPGA
yongası üzerindeki kaynak kullanımları ve yürütme hızları
Gömülü
Çarpanlar
Toplam Saat
Döngüsü
En Yüksek
Frekans
[kHz]
Pin Grubu
DSP
Yerel Bağlantı
Global Bağlantı
Pin
Portlar
Farklı Pin Çifti
Bağlantıları
Toplam Mantık
Elemanı
LAB
Mantık Elemanı
Bellek
Pin Grubu
DSP
Mantık Elemanı
Bellek
I
TS
27%
15%
4×4
3000
I
KN
60%
27%
20×4
625
II
TS
24%
8%
400
125
II
KN
54%
21%
3270
15.3
Yöntem
Bölge II
Arkaplan
Seçim
Vurgulama
Blok Sınırı
Bağlantı
Rota
Deste
Hesaplama
Yöntemi
Bölge I
Bölge Atamaları
Yazmaçlar
Düşük Güç
Yüksek Hız
Şekil 6: FPU kullanılan Yöntem I’in FPGA kaynak kullanımı
yöntem için gerekenlerin neredeyse iki katıdır. Bunun temel
nedeni Şekil 3’te yer alan kontrolcülerin gerçekleştirilebilmesi
için iki adet genel filtre modülünün kullanılmasıdır. Öte
yandan, yumuşak-çekirdekli işlemcinin kullanıldığı tasarımda
dört gömülü çarpan bulunmaktadır ve bu da birinci yönteme
oranla büyük bir avantaj olarak öne çıkmaktadır. Çarpan
ünitelerinin sebep olduğu aşırı kaynak kullanımı, bazı
*kısaltmalar: TS: Tamsayı, KN: Kayan Nokta
araştırmacıların başvuru çizelgesi kullanımı [18] ve doğal
işaretli sayıların [19, 20] kullanılmasıyla birlikte azaltılmaya
çalışılmaktadır.
391
[3] B.R. Mutlu ve M. Dolen, “Novel Implementation of
State-Space Controllers using Field Programmable Gate
Arrays,” Proc. of the Int’l Symp. on Power Electronics,
Electrical Drives, Automation, and Motion (SPEEDAM),
s:1436-1441, 2010.
[4] X. Dong, W. Tianmiao, W. Hongxing ve L. Jingmeng,
“A new dual-core Permanent Magnet Synchronous Motor
Servo System,” 4th IEEE Conference on Industrial
Electronics and Applications, s:715-720, 2009.
[5] I. Birou ve M. Imecs, “Real-time robot drive control with
PM-synchronous motors using a DSP-based computer
system,” Proceedings of the Third International Power
Electronics and Motion Control Conference, Cilt: 3,
s:1290-1295, 2000.
[6] S. Jung ve S.S. Kim, “Hardware Implementation of a
Real-Time Neural Network Controller With a DSP and
an FPGA for Nonlinear Systems,” IEEE Transactions on
Industrial Electronics, Cilt: 54, No: 1, s:265-271, 2007.
[7] F.L. Ni, M.H. Jin, Z.W. Xie, S.C. Shi, Y.C. Liu, H. Liu
ve G. Hirzinger, “A Highly Integrated Joint Servo
System Based on FPGA with Nios II Processor,”
Proceedings of the 2006 IEEE International Conference
on Mechatronics and Automation, s:973-978, 2006.
[8] Y. Li, S. Zhuang ve L. Zhang, “Development of an
FPGA-Based Servo Controller for PMSM Drives,” IEEE
International Conference on Automation and Logistics,
Cilt: 18, No: 21, s:1398-1403, 2007.
[9] Y.F. Chan, M. Moallem ve W. Wang, “Efficient
implementation of PID control algorithm using FPGA
technology,” 43rd IEEE Conference on Decision and
Control, Cilt: 5, s:4885-4890, 2004.
[10] Y.D. Tao, H. Lin, Y. Hu, X. Zhang ve Z. Wang,
“Efficient implementation of CNC Position Controller
using FPGA,” 6th IEEE International Conference on
Industrial Informatics, s:1177-1182, 2008.
[11] J. Lanping, Z. Runjing ve L. Zhian, “Realization of
position tracking system based on FPGA,” 7th
International Conference on Signal Processing, Cilt: 3,
s:2588-2591, 2004.
[12] F.J. Lin ve Y.C. Hung, “FPGA-based Elman Neural
Network Control System for Linear Ultrasonic Motor,”
IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics and
Frequency, Cilt: 56, No: 1, s:101-113, 2009.
[13] B.R. Mutlu, Real-time Motion Control using Field
Programmable Gate Arrays, Yüksek Lisans Tezi, ODTÜ,
2010.
[14] S. Usenmez, R.A. Dilan, M. Dolen ve A.B. Koku, “Realtime Hardware in the Loop Simulation of Electrical
Machine Systems using FPGAs,” Proc. of the 12th Int’l
Conf. on Electrical Machines and Systems, 2009.
[15] R. Usselmann, Open Floating Point Unit Manual,
www.opencores.org, 2000.
[16] NIOS II Processor Reference Handbook, Altera Co.,
2009.
[17] Altera DE1 FPGA Development and Education Board
User Manual, Altera Co., v1.1, 2006.
[18] M.I.A. Abdalla, “Treatment the Effects of Studio Wall
Resonance and Coincidence Phenomena for Recording
Noisy Speech Via FPGA Digital Filter,” Journal of
Telecommunications, Cilt: 2, s:42-48, 2010.
[19] M. Yamada ve A. Nishihara, “Design of FIR Digital
Filters with CSD Coefficients Having Power-of-Two DC
Gain and Their FPGA Implementation for Minimum
Critical Path,” IEICE TRANSACTIONS on Fundamentals
Toplam saat döngüleri dikkate alındığında optimize
edilmiş modüler filtre tasarımlarından dolayı birinci yöntemin
büyük bir avantajı söz konusudur. Bu avantajın ortaya
çıkmasının nedenlerinden birisi kullanılan gömülü çarpanların
fazlalığıdır. Birinci yöntemde gömülü çarpan sayısı diğer
yönteme göre iki katı olmasına rağmen oldukça hızlıdır.
Birinci yöntem için gerekli olan toplam saat döngüsü filtredeki
toplam çarpım işlemi sayısına bağlı olarak belirlenebilir.
Önerilen yöntemlerin benzetim sonuçları, kaynak
kullanımları ve zaman başarımları genel olarak incelendiğinde
hepsinin FPGA’lar üzerinde sayısal filtre gerçekleştirilmesi
için uygun olduğu görülmektedir. Ancak, tasarım karmaşık
(filtre sayısı ve sistem derecesi) hale geldikçe birinci yöntemin
kaynak kullanımı, genel filtre modülü gereksinimin
artmasından dolayı, önemli ölçüde artmaktadır. Öte yandan
ikinci
yöntemde
gerçekleşme
zamanı
algoritmanın
karışıklığının artmasından dolayı artmaktadır. Özetlemek
gerekirse birinci yöntem gerçekleşme hızının önemli olduğu
kontrol uygulamaları için daha uygunken, ikinci yöntem
(kayan noktalı aritmetik yeteneğine sahip olan) ise
algoritmanın karışık olduğu ve proje geliştirme sürecinin
kısıtlı bir zamanda yapılması gerektiğinde ön plana
çıkmaktadır.
5. Sonuçlar
Sayısal hareket kontrol uygulamalarında, kontrolcüler
genellikle sayısal filtreleme algoritmaları tarafından
gerçekleştirilmektedir
ve
mikro-işlemciler,
mikrodenetleyiciler, DSP, FPGA ve ASIC gibi farklı işlemciler
üzerinde uygulanabilmektedir. Bu makalede, genel sonsuz IIR
filtrelerin FPGA uygulamaları için iki farklı yöntem (fiziksel
bağlantılı yöntemi kapsayan ve NIOS II işlemcisi kullanan)
sunulmuştur. Örnek uygulama için ise doğrusal olmayan bir
sistemin (ters sarkaç) basamaklı denetimi kullanılmıştır.
Önerilen tekniklerin performansları gerçek zamanlı olmayan
bir HILS aracılığıyla incelenmiştir. Ayrıca, her iki teknik için
kaynak kullanımı ve yürütme hızı da ayrıntılı olarak
değerlendirilmiştir.
İki
yöntem
arasındaki
göreceli
karşılaştırmalar, geleneksel denetim topolojilerinin FPGA’lar
(sınırlı kaynaklara sahip yongalarla bile) üzerinde rahatlıkla
gerçekleştirilebileceğini göstermektedir. Özel tamsayı çarpan
birimi kullanan genel filtre ünitesinin kaynak kullanımı ve
yürütme hızı açısından oldukça verimli olduğu görülmektedir.
Bu ünite, seri arayüz modülü ve SRAM denetleyici modülü
gibi açık kaynak IP’ler ile gerçeklenebilir.
Teşekkür
Bu çalışma, TÜBİTAK’ın 108E048 kodlu projesi kapsamında
yapılmıştır. Makalenin yazarları sağladığı finansal destekten
ötürü TÜBİTAK’a teşekkür ederler.
Kaynakça
[1] J.U. Cho, Q.N. Le ve J.W. Jeon, “An FPGA-Based
Multiple-Axis Motion Control Chip,” IEEE Transactions
on Industrial Electronics, Cilt: 56, No: 3, s:856-870,
2009.
[2] Y.S. Kung, R.F. Fung ve T.Y. Tai, “Realization of a
Motion Control IC for X-Y Table Based on Novel FPGA
Technology,” IEEE Trans. on Industrial Electronics,
Cilt: 56, No: 1, s:43-53, 2009.
392
of Electronics, Communications and Computer Sciences,
Cilt: E84-A, No: 9, s:1997-2003, 2001.
[20] K.S. Yeung ve S.C. Chan, “Multiplier-less FIR digital
filters using programmable sum-of-power-of-two
(SOPOT) coefficients,” IEEE International Conference
Proceedings on Field-Programmable Technology (FPT),
s:78- 84, 2002.
393
Düzenli (Regüler) Biçimde Uzay Aracı Yönelme Dinamiği ve
İntegral Kayma Kipli Salt Manyetik Yönelme Kontrolü
Ahmet Sofyalı1, Elbrus Caferov2
Uzay Mühendisliği Bölümü
İstanbul Teknik Üniversitesi, İstanbul
1
[email protected]
Uçak Mühendisliği Bölümü
İstanbul Teknik Üniversitesi, İstanbul
2
[email protected]
mekanik momentum değişimi aygıtlarından çok daha
elverişlidir.
1961 yılından beri, manyetik eyleyicilerden yardımcı
eyleyiciler olarak yararlanılmaktadır. Salt manyetik yönelme
kontrolü üzerine ilk çalışmalardan biri 1989 yılında
yayımlanmıştır [1]. Bu çalışmada, doğrusal kuadratik bir
regülatör önerilmiştir. 1996 tarihli bir doktora tezinde, alçak
irtifalı Dünya yörüngesindeki bir küçük uydunun
yönelmesinin, sadece birbirine dik olarak yerleştirilmiş üç
manyetik eyleyici kullanılarak kontrolü için, aralarında
kayma kipli kontrolör de bulunan birçok doğrusal ve doğrusal
olmayan kontrol yasası önerilmiştir [2]. Kayma kipi
yaklaşımını kullanarak salt manyetik yönelme kontrolü
problemini ele alan diğer iki çalışma [3] ve [4] no’lu
kaynaklardır. 2012 tarihli bir yayında bu probleme, doğrusal
olmayan bir kayma manifoldu ile birlikte kullanılan ikinci
mertebeden bir kayma kipli kontrolör ile çözüm getirilmiştir
[5].
[2]’de önerilen kayma kipli kontrolör sürekli bir erişme
yasasına sahiptir, ki bu bozuculara karşı koyma özelliğinin
yitirilmesine neden olmuştur. Bu sorunu gidermek amacıyla
[6] no’lu kaynakta, kayma vektörünün signumunun bir kazanç
ile çarpılmasına eşit olan klasik süreksiz erişme yasası ile
[2]’deki sürekli yasanın bir birleşimi olarak kabul
edilebilecek bir erişme yasası tasarlanmış ve asimptotik
kararlılığı kuramsal olarak gösterilmiştir. Denge durumundan
oldukça sapmış başlangıç durumları için ve çevresel bozucu
torklar etkisinde dahi, tasarlanan kontrol yasasının durumları
dengeye taşıdığı benzetimlerle ortaya konmuştur. [7] no’lu
çalışmada ise, [6]’da önerilen kontrol yasasına, geçici rejim
başarımını artırmak amacıyla, kayma vektörünün türevini geri
besleyen bir terim eklenmiştir.
Bu çalışmada, öncelikle sistem durum uzayında ifade
edilmiştir. Yapılan incelemede, kontrole göre kaymış
(control-affine) olan sistemin “eşleşik olmayan (unmatched)”
zorlayıcılar (bozucular) etkisinde olduğu belirlenmiştir.
Tasarım için tercih edilen yöntem, salt manyetik kontrol
problemine ilk kez bu çalışmada uygulanmış olan integral
kayma kipli kontroldür. Bu yöntem, bir kontrol sisteminin
bozucu etkisinde olsa dahi, bozucu etkisinde olmadığı haldeki
başarımına kontrol sürecinin en başından itibaren kayıpsız
şekilde sahip olabilmesini mümkün kılan bir yaklaşım
sunmaktadır. İlk öne sürüldüğünde, uygulanabilmesi için ele
alınan sisteme etki eden zorlayıcıların “eşleşik (matched)”
Özetçe
Bu çalışmada, küçük uyduların yönelmesinin salt manyetik
eyleme ve integral kayma kipi yaklaşımı ile kontrolü ele
alınmıştır. Doğrusal olmayan uzay aracı modeli kullanılarak,
PD-benzeri bir nominal manyetik kontrol yasasına dayalı bir
integral kayma kipli manyetik kontrol sistemi tasarlanmıştır.
Doğrusal olmayan uzay aracı yönelme dinamiği durum
uzayında ifade edilmiş, ardından düzenli (regular) biçimde
yazılmıştır. Sisteme etki eden çevresel bozucuların eşleşik
olmayan belirsizlikler (zorlayıcılar) olarak ele alınması
gerektiği belirlenmiştir. Literatürdeki, bu özel hale özgü
tasarım yaklaşımları izlenerek, integral kayma kipli kontrol
yasası tasarlanmış ve gerçekçi benzetimler ile sınanmıştır.
Sonuçlar, integral kayma kipli kontrolörün nominal
kontrolöre göre daha iyi bir daimi hal başarımına sahip
olduğunu göstermiştir.
1. Giriş
1980’li yılların başından itibaren, küçük uydular uzay
görevlerinde giderek daha çok tercih edilir olmuştur. Boyut,
kütle ve güç bakımından kısıtlı olmalarından dolayı, bu
platformların yönelmelerinin kontrolünde, geleneksel
eyleyicilerden daha küçük, daha hafif ve daha az güç tüketen
eyleyicilere ihtiyaç duyulmaktadır. Bunun sonucu olarak,
küçük uyduların yönelme kontrolü problemi ilgi uyandıran bir
çalışma konusu haline gelmiş ve bugüne dek literatürde bu
probleme birçok çözüm önerilmiştir. Bunlardan biri, “salt
manyetik yönelme kontrolü” yöntemidir. Bu yöntem ile,
yönelme üç eksende sadece elektromanyetik eyleme ile
kontrol edilmektedir.
Manyetik eyleyiciler, düşük kütleli elektromanyetik sarım
ya da çubuklar olarak ve küçük hacimlere rahatlıkla
sığabilecek şekilde imal edilir. Normal görev kipinde düşük
enerji tüketimine sahip olan bu eyleyiciler, göreceli olarak
düşük yönelme doğruluğu gerektiren uzay görevleri için
oldukça uygundur. Mekanik olmayan yapısı sayesinde,
zamanla aşınma sorunundan muaftır. Bunun yanında, kontrol
edilen akım işareti ile doğru orantılı bir çıkışa sahip
olduğundan, kayma kipli kontrol gibi anahtarlama mantığına
dayalı kontrol yöntemlerinin uygulamalarında kullanılmaya,
394
olması şart koşulmuş olsa da [8], son yıllarda, eşleşik
olmayan zorlayıcılara sahip sistemler için integral kayma
kipli kontrol yönteminin uygulanmasını sağlayan yaklaşımlar
geliştirilmiştir [9-11]. [9]’da, varsayımı yapılan nominal bir
kontrolör içeren yeni bir doğrusal olmayan integral kayma
manifoldu sunulmuştur. [10]’da ise, kayma manifoldunun
durum vektörüne göre Jakobiyan matrisinin, eşleşik olmayan
zorlayıcıların etkisini şiddetlendirmeyecek şekilde nasıl
seçilmesi gerektiği ortaya konmuştur. [11]’de gösterildiğine
göre, uygun bir kayma manifoldu tanımlaması ve kayma
kipinin sağlanması ile, eşleşik bozuculara tamamıyla karşı
koyulması
ve
eşleşik
olmayan
bozucuların
şiddetlendirilmemesi mümkündür; böylelikle sisteme etki
eden bozucu terimlerin etkisi asgari kılınmış olmaktadır. Bu
çalışmada, [10] ile [11]’de ortaya konan yaklaşım, [8] ile [12]
no’lu kaynakların ışığında saptanan, ele alınan sistemin
“düzenli (regular) biçimde” olma özelliğine uygun şekilde
kullanılmıştır. Düzenli biçimde olma, sistemin n-m boyutlu,
kontrol etkisinde olmayan ve m boyutlu, kontrol etkisinde
olan iki bloğa ayrılmış şekilde durum uzayında ifade
edilebilmesidir. Burada n sistemin mertebesi ve m kontrol
girişi sayısıdır. Bozucu etkisinde bulunulmayan halde sistemi
kontrol etmek üzere çalışmada seçilen nominal kontrolör,
[13] ve [14]’te kullanılmış olan salt manyetik bir PD-benzeri
kontrolördür. PD-benzeri kontrolör, oransal olarak
kuvaterniyon vektörünü ve türevsel olarak bağıl açısal hız
vektörünü negatif olarak geri beslemektedir. Bağıl açısal hız
vektörü, kuvaterniyon vektörünün zaman türevine eşit
olmadığından dolayı, bu kontrol yasası PD yerine PD-benzeri
olarak adlandırılmaktadır. Bahsi geçen vektörler ikinci
bölümde tanımlanacaktır.
Bildirinin ikinci bölümünde, uzay aracının yönelme
hareketini betimleyen kinematik ve dinamik denklemler
sunulmuş, çevresel bozucuların sisteme nasıl dahil edildiği
üzerinde durulmuş, ardından salt manyetik yolla kontrol
edilen doğrusal olmayan sistem durum uzayında ifade edilmiş
ve
düzenli
biçimde
yazılarak
“eksik
eylenme
(underactuation)”, “düzenli (regular) biçimde olma” ve
“belirsizliklerin
(zorlayıcıların)
eşleşik
olmaması
(unmatched)” açılarından çözümlenmiştir. Üçüncü bölümde,
PD-benzeri bir nominal manyetik kontrol yasasına dayalı bir
integral kayma kipli manyetik kontrol yasası tasarlanmıştır.
Tasarlanan kontrolör ile gerçekleştirilen benzetimlerde
kullanılan modele ve tasarım parametrelerine ait değerlerle
başlangıç koşulları ve karşılaştırmalı benzetim sonuçları
dördüncü bölümde sunulmuştur. Bildirinin son bölümünde,
sonuçlar özetlenmiş ve yorumlanmıştır.
q
(2)
Burada, q 3x1 boyutlu kuvaterniyon vektörü ve q4 skalar
kuvaterniyon bileşenidir. B’nin A’ya göre açısal
konumlanmasını betimleyen ve Euler parametrelerinden elde
edilen Euler açıları şunlardır: yörüngeye teğet doğrultu
etrafındaki yuvarlanma açısı  , yörünge düzlemine dik
doğrultu etrafındaki yunuslama açısı  , Dünya merkezine
yönelmiş doğrultu etrafındaki sapma açısı  . 3x1'lik  ve
 B N uydunun asal gövde eksen takımının, sırası ile,
yörünge eksen takımına göre (bağıl) ve Dünya merkezli
eylemsiz eksen takımı N’ye (bkz. Şekil 1) göre (mutlak)
açısal hız vektörüdür. Köşegen eylemsizlik matrisi I, asal
eylemsizlik momentleri olan I1, I2, I3’ü içerir [15]. T ise,
çevresel bozucu tork bileşenleri ile kontrol torkunun toplamı
olan, uyduya etki eden net dış torktur.
Şekil 1: A, B ve N referans eksen takımları, [15]’ten
uyarlanmıştır.
2.2. Çevresel Bozucu Torku Modelleri
Kütle-çekim gradyanı torku, [15]’te verilen
Tkç  3n2  a3  Ia3 
formülü
kullanılarak
her
hesaplanabilmektedir. Burada,
2  q q  q q 
1 3
2 4


a3   2  q2 q3  q4 q1  

2
2 
 1  2  q1  q2  
2. Uzay Aracı Yönelme Dinamiği
2.1. Yönelme Hareketi Denklemleri
Dairesel yörüngedeki, katı (rijit) bir uzay aracının dönme
hareketi üç dinamik (1) ve üç kinematik (2) denklem ile ifade
edilir. Bu denklemler, Şekil 1’de gösterilen asal gövde eksen
takımı B’nin yörünge eksen takımı A’ya göre açısal
konumlanmasını
tanımlayan
Euler
parametrelerinin
(kuvaterniyonların) ve açısal hızların fonksiyonudur.
I B N   B N  I B N  T
1
1
q4    q  ve q4    q 
2
2
(3)
benzetim
adımında
(4)
n ise uydunun Dünya etrafındaki açısal hızıdır.
Aerodinamik sürükleme ve Güneş radyasyonu basıncı
kaynaklı bozucu torklar, gerçeğe uygun matematiksel
modelleri aracılığıyla benzetim ortamına aktarılmıştır.
(1)
395
2.3. Durum Uzayı Tanımlamaları
ki burada
Uzay aracının yönelmesine ait durum vektörü
x   q
 B / A 
q4
T

0

B  x , t    B3  x , t 
  B2  x , t 
(5)
şeklinde (7x1)’lik bir vektör olarak tanımlıdır. Çalışmada,
“Dünya’ya yöneltme (Earth pointing)” problemine çözüm
aranmaktadır, dolayısıyla denge haline B ve A birbiriyle
0




d  x, t   
0

 I 1Td  x , t  
B A
q  q42
 q12
 q22
 q32
 q42
sıfıra, dolayısıyla q
 1 uyarınca
dördüncü elemanı bire ve son üç elemanı sıfıra eşit olacak
şekilde seçilmiştir. (2)’deki dinamik denklem bu tanıma
uygun olarak yeniden yazılırsa,
 B A   I 1  B / A  na2   I  B / A  na2  


2.4. Sistem Çözümlemesi
(6)
Kontrol matrisinin rankının 2’ye eşit olması, sistemin “eksik
eylenen (underactuated)” olduğunu göstermektedir. Uzay
aracı yörüngesinde ilerlerken, gövde eksen takımına göre
eksik eylenen doğrultu daimi olarak değişmektedir. Bu
değişimin periyodiklik taşıması, salt manyetik eyleme ile
yönelmenin üç eksende kontrol edilebilmesi için bir
mühendislik çözümü sağlamaktadır.
İntegral kayma kipli kontrol yönteminin uygulanabilmesi
için, ele alınan sistemin kontrole göre kaymış olması ve
zamandan bağımsız, fakat konuma bağımlı kontrol matrisinin
rankının tam olması gerekmektedir [8]. Manyetik yönelme
kontrolü probleminde kontrol matrisi hem konuma hem de
zamana bağımlıdır, bu da sisteme “ani olarak eksik eylenme
(instantaneous underactuation)” özelliği kazandırmaktadır.
Denebilir ki, “eksik eylenme” ile “ani olarak eksik eylenme”
arasındaki kuramsal fark, kontrol matrisinin rankı tam
olmamasına rağmen integral kayma kipli kontrol yönteminin
ele alınan probleme uygulanmasını sağlamaktadır.
elde edilir.
Hem dış bozucu torku vektörü
(7)
hem de manyetik kontrol torku vektörü
Tmk  Tmk  x , t   M  x , t   B  x , t 
(8)


B  x, t   u  x  


B
x
,
t
 
 B  x, t  2 


açık olarak zamana bağlı olduğundan dolayı, ele alınan salt
manyetik yönelme kontrolü sistemi doğrusal olmadığı gibi,
otonom da değildir. Kapalı çevrim dinamik sistem
x  f  x   b  x, t  u  x   d  x, t 
BT  x , t  B  x , t 
(9)
B  x, t 
şeklinde yazılacak olursa, doğrusal olmayan vektörel sistem
fonksiyonu




1 B/ A
B/ A
 q4    q 



2




1 B/ A
f x  
   q 

2



1
B
/
A
B
/
A
  I   na2 (q , q4 )   I   na2 (q , q4 )   ... 




...  3n 2 I 1  a (q , q )  Ia (q , q )   n  a (q , q )   B / A  
3
4
3
4
2
4


(14)
2
matrisinin tersi olmadığından dolayı, (15)’teki eşitliği
sağlayan bir   x , t  bulunmamaktadır.
d  x, t   b  x, t    x, t 
(10)
(15)
Bu nedenle, “eşleşiklik koşulu (matching condition)”
sağlanmamaktadır [8]. Bu, sisteme giren bozucuların eşleşik
olmadığına işaret etmektedir. Benzetim denemelerinde,
(14)’teki matrisin indüklenmiş 2-normunun 1’e eşit olduğu
saptanmıştır. Öyleyse, kontrol matrisinin son üç satırında yer
alan bu matris, soldan çarpıldığı kontrol vektörünün
büyüklüğünü
etkilememekte,
sadece
doğrultusunu
değiştirmektedir.
Eksik eylenen ve belirsizlikleri eşleşik olmayan kapalı
çevrim dinamik sistemin “düzenli biçimde” olduğu
gösterilebilir. Bunun için sistem iki bloğa ayrılır [8]. n-m=4
satırlı ilk bloğa ait durum vektörü
açık olarak zamana bağlı olan kontrol matrisi [16]
01x 3




0
1x 3



,
01x 3

b  x, t   
01x 3


 I 1 BT  x , t  B  x , t  


2


B
x
,
t




(13)
olarak tanımlanabilir.
 n a2   B / A  I 1T
Td  Td  x , t 
B2  x , t  

 B1  x , t   (12)

0
tanımı söz konusudur, ve açık olarak zamana bağlı vektörel
dış bozucu fonksiyonu
çakıştığında erişilir. Bu halde, q ve 
sıfır vektöre eşit
olur. Durum vektörü, sistem dengedeyken, ilk üç elemanı
T
 B3  x , t 
0
B1  x , t 
(11)
x1   q1
396
q2
q3
q4    q
T
T
q4  ,
(16)
Yukarıda
belirtildiği
gibi,
bu
yöntemde
s  x  t0   s  x0   s0  0 geçerlidir ve s vektörü t  t0 için
m=3 satırlı ikinci bloğa ait durum vektörü ise
x2  1B / A
2B / A
T
3B / A    B / A 
T
(17)
sıfıra eşit kalmaya zorlanmaktadır. Buradaki g vektörü,
geleneksel kayma kipi yönteminde tanımlanan kayma
manifolduna eşittir. z vektörü ise integral terimidir ve t  t0
şeklinde tanımlıdır. Sonuç olarak, düzenli biçimde yazılmış
manyetik kontrol sistemi şöyledir:
için geçerli olan s  x   0 eşitliğinden çıkarılan
x1  f1  x1 , x2 
x2  f1  x1 , x2   b2  x1 , x2 , t  u  x   d 2  x1 , x2 , t 
b2  x , t  
I 1 BT  x , t  B  x , t 
B  x, t 
2
d 2  x , t   I 1Td  x , t 
(18)
z x  g x 
g  x 
x  Gx x
x
(24)
 G  x   f  x   b  x , t  u0  x  

(19)

denkleminin her iki tarafının integrallenmesi sonucunda
z  x   g  x  t0  
(20)
t
 G  x   f  x   b  x ,  u0  x  d



(25)
t0
elde edilir. Burada G  x  mxn, dolayısıyla ele alınan
3. Manyetik İntegral Kayma Kipli Kontrolör
problem için 3x7 boyutlu Jakobiyan matristir ve genel halde
durum vektörüne bağlı olduğu kabul edilse de, g ’nin
3.1. İntegral Kayma Kipli Kontrol
tanımına göre sabit bir matris de olabilir [10,11,12].
Önceki bölümde gösterildiği gibi, ele alınan salt manyetik
yönelme kontrolü sistemi düzenli biçimdedir. [12]
demektedir ki, düzenli biçimdeki sistemler için, aranan en
uygun g vektörü, durum vektörüne doğrusal olarak
bağımlıdır, yani
İntegral kayma kipli kontrol yöntemi, geleneksel kayma kipli
kontrol yönteminde bulunan erişme kipini ortadan kaldırmak
amacıyla geliştirilmiştir [17]. Sistem durumlarının kayma
kipine girmeden önce içinde bulunduğu erişme kipinde,
kayma kipinde geçerli olan dış ve parametrik bozuculara
karşı dayanıklı olma durumu geçerli değildir. İntegral kayma
kipli kontrol yöntemi, sistemin kapalı çevrim yanıtının
başlangıcından itibaren kayma kipini geçerli kılarak, bu
dayanıklılık özelliğini bütün sürece yayar. Buna karşılık
olarak ise, geleneksel kayma kipindeki hareketi betimleyen
denklemin mertebesi sistem ile kontrol girişi mertebelerinin
farkına, yani n-m’ye eşitken, integral kayma kipindeki
hareketin denkleminin mertebesi sistemin mertebesine eşittir
[8].
Kontrol işareti ikiye ayrılır:
u  x   u0  x   u1  x 
g  x   Gx
şeklindedir. Yine [12]’ye göre, sabit G matrisi de şu şekilde
tanımlıdır:
G  0m x ( nm)
Nm xm  .
(27)
N matrisinin rankı tam, yani m=3’e eşit olmalıdır. (27)
göstermektedir ki, G matrisinin düzenli biçimdeki sistemin
ilk bloğuna karşılık gelen mx(n-m) bloğu sıfır olarak
tanımlanmıştır. Böylelikle, kontrol etkisinin bulunmadığı ilk
bloğa giren ve bu nedenle eşleşik olmayan olarak adlandırılan
bozucuların etkisinin şiddetlendirilmesi önlenmektedir.
(18)’de görüldüğü gibi, ele alınan problemde söz konusu
bloğa giren bozucu bulunmamaktadır, dolayısıyla G
matrisinin ilk n-m adet sütünu sıfırdan farklı elemanlar içerse
dahi
eşleşik
olmayan
belirsizliklerin
etkisinin
şiddetlendirilmesi söz konusu olmayacaktır. Bu çıkarım,
optimal olduğu [18]’de [19]’a atıf yapılarak kanıtlanmış olan
aşağıdaki g seçiminin yapılmasını mümkün kılmıştır:
(21)
Burada, u0  x  bozucu etkisinde olmayan sistemi istenen
şekilde kontrol etmek üzere tasarlanmış kontrol yasasıdır ve
“ideal” [8], “nominal” [10] veya “yüksek seviyeli (high
level)” [11,12] kontrolör olarak adlandırılmaktadır. u1  x 
ise, bozucuya karşı koyarak sistemi kayma kipinde tutmakla
yükümlü süreksiz bir kontrol yasasıdır [8,10,11,12].
İntegral kayma kipli kontrol yönteminin uygulanabilmesi
için, bozucu vektörünün t  t0 için sınırlandırılmış
(bounded) olduğu kabul edilir:
di  x, t   d j ; i  5,6,7 ve j  1, 2,3
(26)
g   B / A  Kq q
(22)
(28)
Burada,
Sabit d1 , d 2 , d 3 sınır değerleri benzetim denemeleriyle
 kq

Kq   0
0

belirlenebilir ve u1  x  kontrolörünün kazancı o değer
dikkate alınarak seçilir [8,10,11,12].
m=3 boyutlu kayma manifoldu şu şekilde tanımlanır:
s x  g x  z x
(23)
397
0
kq
0
0

0  ; kq  0
kq 
(29)
getirmeyi amaçlamaktadır. Bu problemde, sistemin
başlangıçtaki durumu denge durumundan oldukça uzaktadır,
dolayısıyla doğrusal olmayan yönelme dinamiği ve kinematiği
kullanılmış ve benzetimlerde uydu (36)’da belirtilen
tepetaklak durumdan denge durumuna taşınmıştır.
köşegenlerinde kayma manifoldu tasarım parametresi k q ’yu
içeren katsayı matrisidir. Buradan
 kq

G0

 0
0
0
0 1 0 0
kq
0
0 0 1 0
0
kq
0 0

(30)

0 1 

elde edilir.
t t0
 180
0
T
0
 B / A t t  0/sn 0/sn 0/sn 
T
İntegral kayma kipli kontrol yöntemi, aşağıdaki nominal
kontrol yasası kullanılarak uygulanmıştır:
u0  K P q  K D B / A
Burada,
T
(36)
Başlangıç bağıl açısal hızları (37)’de görüldüğü gibi sıfırdır,
yani uzay aracı başlangıçta durağan haldedir.
3.2. Kontrol Yasası
kP
K P   0
 0
 
0
kP
0
Denge durumu, (38) ve (39) ile ifade edilmiştir.
(31)
0
0  ; k P  0
k P 

  K P q  K D B / A  K ss sign  s 
0
T
(38)
kq  2,5 103 rad sn
olarak belirlenmiştir.
parametreleri
(39)
Sürekli
(40)
kontrol
terimi
tasarım
kP  5,65 106 Nm , kD  7,6 103 Nmsn (41)
(32)
ve kayma koşulu tasarım parametresi
kss  2, 5 107 Nm
(42)
olarak alınmıştır. k ss ’nin değeri, benzetim denemelerinde
elde edilen d1  1,413 107 Nm , d2  2, 228  107 Nm ,
d3  1,172  107 Nm değerlerinden yüksek olacak şekilde
(33)
seçilmiştir. Bilindiği gibi, u  x  ve d  x , t  sisteme ayrı
noktalarda girmektedir; kontrol işareti ek olarak kontrol
BT  x , t  B  x , t 
matrisinde yer alan farklı terim olan
matrisi
2
B  x, t 
ile çarpılarak sisteme etki etmektedir. Bu matrisin 2-normu
tüm benzetim süreci boyunca 1’e eşit olduğundan dolayı k ss
ve d değerlerinin doğrudan karşılaştırılabilir olduğu
sonucuna varılmıştır.
İntegral kayma kipli kontrolör ile PD-benzeri kontrolörü
karşılaştırabilmek için, Euler (yönelme) açıları ve (bağıl)
açısal hızlara ait, 15 yörünge periyodu boyunca elde edilmiş
olan zaman yanıtları, sırasıyla Şekil 2-3 ve 4-5’te
karşılaştırılmaya sunulmuştur.
I1  2, 904 kgm2
(34)
I 3  1, 275 kgm2
Uydunun yörüngesindeki açısal hızı n ve yörünge periyodu T
(35)’te verilmiştir.
T  5,98 103 sn  99, 6 dak
0
Benzetim denemeleri sonucunda, kayma manifoldu
tasarım parametresi için en uygun değer
Benzetimlerde kullanılan model Danimarka’nın Oersted adlı
uydusuna aittir ve uyduya ait bilgiler [2]’den alınmıştır.
Model aşağıdaki üç asal eylemsizlik momenti ile
tanımlanmaktadır.
n  6, 02 102 der sn
denge
  0
T
4. Benzetim Sonuçları
I 2  3, 428 kgm2
T
 B / A denge  0/sn 0/sn 0/sn 
 kss 0 0 
Burada, K ss   0 kss 0  ; kss  0 ’dır. Öyleyse, integral
 0 0 kss 
kayma kipli manyetik yönelme kontrol sisteminin kontrol
vektörü, (21)’den aşağıdaki gibi yazılabilir:
u  x   u0  x   u1  x 
 
ve
kD 0 0 
K D   0 k D 0  ; k D  0 ’dır. PD-benzeri olarak
 0 0 k D 
adlandırılan bu kontrol yasası, salt manyetik yönelme
kontrolü probleminin çözümünde [13] ve [14]’te
kullanılmıştır.
Kullanılan süreksiz kontrol yasası şöyledir:
u1   K ss sign  s 
(37)
0
(35)
Çalışma, yönelme kontrolü probleminin özel bir hali olan
“yönelme edinimi (attitude acquisition)” problemine çözüm
398
Şekil 2: PD-benzeri kontrolör ile elde edilen Euler
açılarına ait zaman yanıtları.
Şekil 5: İntegral kayma kipli kontrolör ile elde edilen
(bağıl) açısal hızlara ait zaman yanıtları.
Yukarıdaki şekillerden, geçici rejim başarımları açısından
iki kontrolör arasında belirgin bir fark olmadığı
görülmektedir.
Daimi
rejim
başarımlarının
karşılaştırılabilmesini mümkün kılmak için, Euler açılarının
±5° aralığındaki değişimleri Şekil 6-8’de verilmiştir.
Şekil 3: İntegral kayma kipli kontrolör ile elde edilen
Euler açılarına ait zaman yanıtları.
Şekil 6: Her iki kontrolör ile elde edilen yuvarlanma
açısına ait zaman yanıtları.
Şekil 4: PD-benzeri kontrolör ile elde edilen (bağıl) açısal
hızlara ait zaman yanıtları.
399
frekanslı bir şekilde değiştirilebilen elektrik akımı ile
sürülmektedir.
Şekil 7: Her iki kontrolör ile elde edilen yunuslama
açısına ait zaman yanıtları.
Şekil 9: Kayma vektörünün normuna ait zaman yanıtı.
Şekil 8: Her iki kontrolör ile elde edilen sapma açısına ait
zaman yanıtları.
Şekil 10: PD-benzeri kontrolörün ürettiği manyetik
momentlere ait zaman yanıtları.
Bu şekillerdeki grafikler göstermektedir ki, integral etki üç
yönelme açısını da daimi halde denge değerleri olan sıfır
civarında tutarak hatayı azaltmıştır. Kullanılan uydu modeli
kütle-çekimsel olarak özellikle yuvarlanma ve yunuslama
hareketleri açısından kararlıdır, bu nedenle integral kayma
kipli kontrolör etkisini belirgin olarak sapma hareketinin
hatasını azaltmada göstermiştir. Bunun karşılığında açısal
hız yanıtlarında, süreksiz kontrol etkisinden kaynaklı olarak
yüksek frekanslı ve düşük genlikli salınımlar baş
göstermiştir (bkz. Şekil 5).
İntegral kayma kipli kontrol ile, (23)’te tanımlanmış olan
kayma vektörü özellikle daimi halde sıfır civarında
tutulabilmiştir (bkz. Şekil 9). PD-benzeri ve integral kayma
kipli kontrol yasaları, sırasıyla (31) ve (33)’te verilmiştir.
Şekil 10 ve 11, bu yasaların ürettiği manyetik kontrol
momentlerini göstermektedir. Şekil 11’deki moment
bileşenleri, (32)’deki süreksiz kontrol teriminden
kaynaklanan çatırtıya sahiptir. Çatırtı ele alınan problem
açısından sorun oluşturmamaktadır, çünkü manyetik
eyleyiciler, uygun bir devre tasarımıyla yönü yüksek
Şekil 11: İntegral kayma kipli kontrolörün ürettiği
manyetik momentlere ait zaman yanıtları.
400
5. Sonuçlar
Çalışmada tasarlanan integral kayma kipli kontrolör,
beklendiği gibi, nominal kontrolör olarak seçilen PD-benzeri
kontrolörün çevresel bozucular etkisindeki daimi hal
davranışını iyileştirmiştir. Yönelme açılarına ve açısal
hızlara ait grafiklerden görüldüğü gibi, integral kayma kipli
kontrolör, bozucuların bu değişkenler üzerindeki daimi hal
etkisinin genliğini düşürememiş, sadece salınımları yatay
eksen civarına taşıyarak ortalama daimi hal hatasını
azaltmıştır. Süreksiz kontrol teriminin bozuculara tamamıyla
BT  x , t  B  x , t 
karşı koyamamasının nedeni,
matrisinin bir
2
B  x, t 
[10]
[11]
[12]
döndürme matrisi karakterinde olup, her benzetim adımında
kapalı çevrim sistem tarafından üretilen kontrol vektörünün
doğrultusunu değiştirmesidir. Bu sırada vektörün boyu
değişmemekte, fakat dış bozucu vektörüne karşı koymak
üzere üretilen kontrol vektörünün bu beklenen etkisi,
doğrultusunun değişmesi dolayısıyla azalmaktadır.
Çalışmanın devamında, başka nominal kontrolörler
kullanılarak, integral kayma kipli kontrol yaklaşımının daimi
hal başarımı incelenecektir. Bir sonraki adım ise, model
belirsizliği hesaba katılarak problemin yeniden ele alınması
olacaktır.
[13]
[14]
6. Kaynakça
[15]
[1] K.L. Musser ve L.E. Ward, “Autonomous Spacecraft
Attitude Control Using Magnetic Torquing Only,” Proc.
of Flight Mechanics and Estimation Theory Symposium,
NASA, s:23-38, 1989.
[2] R. Wisniewski, “Satellite Attitude Control Using Only
Electromagnetic Actuation,” Doktora Tezi, Dept. Control
Eng., Aalborg Univ., Aalborg, 1996.
[3] P. Wang, Y.B. Shtessel ve Y. Wang, “Satellite Attitude
Control Using Only Magnetorquers,” Proc. of AIAA
Guidance, Navigation, and Control Conference, Boston,
s:1490-1498, 1998.
[4] H. Bolandi ve B.G. Vaghei, “Stable SupervisoryAdaptive Controller for Spinning Satellite Using Only
Magnetorquers,” IEEE Trans. on Aerospace and
Electronic Systems, Cilt: 45, No: 1, s:192-208, 2009.
[5] S. Janardhanan, M.u. Nabi ve P.M. Tiwari, “Attitude
Control of Magnetic Actuated Spacecraft Using SuperTwisting Algorithm with Nonlinear Sliding Surface,”
Proc. of 12th IEEE Workshop on Variable Structure
Systems (VSS’12), Mumbai, s:46-51, 2012.
[6] A. Sofyalı ve E.M. Jafarov, “Purely Magnetic Spacecraft
Attitude Control by Using Classical and Modified
Sliding Mode Algorithms,” Proc. of 12th IEEE
Workshop on Variable Structure Systems (VSS’12),
Mumbai, s:117-123, 2012.
[7] A. Sofyalı ve E.M. Jafarov, “Salt Manyetik Eyleme ve
Kayma Kipi Yaklaşımı ile Uzay Aracı Yönelme
Kontrolü,” Otomatik Kontrol Türk Milli Komitesi 2012
Ulusal Toplantısı (TOK’12), Niğde, s:138-143, 2012.
[8] V.I. Utkin, J. Guldner ve J. Shi, Sliding Mode Control in
Electromechanical Systems, CRC Press, 2009.
[9] W.-J. Cao ve J.-X. Xu, “Nonlinear Integral-Type Sliding
Surface for Both Matched and Unmatched Uncertain
[16]
[17]
[18]
[19]
401
Systems,” IEEE Trans. on Automatic Control, Cilt: 49,
No: 8, s:1355-1360, 2004.
F. Castanos ve L. Fridman, “Analysis and Design of
Integral Sliding Manifolds for Systems With Unmatched
Perturbations,” IEEE Trans. on Automatic Control, Cilt:
51, No: 5, s:853-858, 2006.
M. Rubagotti, A. Estrada, F. Castanos, A. Ferrara ve L.
Fridman, “Integral Sliding Mode Control for Nonlinear
Systems With Matched and Unmatched Perturbations,”
IEEE Trans. on Automatic Control, Cilt: 56, No: 11,
s:2699-2704, 2011.
M. Rubagotti, A. Estrada, F. Castanos, A. Ferrara ve L.
Fridman, “Optimal Disturbance Rejection via Integral
Sliding Mode Control for Uncertain Systems in Regular
Form,” Proc. of 11th IEEE Workshop on Variable
Structure Systems (VSS’10), Mexico City, s:78-82,
2010.
M. Chen, S.J. Zhang, F.H. Liu ve Y.C. Zhang,
“Combined Attitude Control of Small Satellite Using
One Flywheel and Magnetic Torquers,” Proc. of 2nd
International Symposium on Systems and Control in
Aerospace and Astronautics (ISSCAA’08), s:1-6, 2008.
A. Sofyalı ve E.M. Jafarov, “Three-Axis Attitude
Control of a Small Satellite by Magnetic PD-like
Controller Integrated with Passive Pitch Bias
Momentum Method,” Proc. of 5th International
Conference on Recent Advances in Space Technologies
(RAST’11), İstanbul, s:307-311, 2011.
B. Wie, Space Vehicle Dynamics and Control, AIAA
Education Series, 1998.
A. Calloni, A. Corti, A.M. Zanchettin ve M. Lovera,
“Robust Attitude Control of Spacecraft with Magnetic
Actuators,” Proc. of 2012 American Control Conference,
Montreal, s:750-755, 2012.
V. Utkin ve J. Shi, “Integral Sliding Mode in Systems
Operating Under Uncertainty Conditions,” Proc. of 35th
IEEE Conference on Decision and Control, Kobe,
s:4591-4596, 1996.
S.R. Vadali, “Variable-Structure Control of Spacecraft
Large-Angle Maneuvers,” J. Guidance, Control, and
Dynamics, Cilt: 9, No: 2, s:235-239, 1986.
V.I. Utkin, Sliding Modes in Control Optimization,
Springer-Verlag, Berlin, 1992.

doğrusal olmayan kontrol sistemleri - TOK2013

Transkript

Benzer belgeler

Newtonsal Olmayan Akışkanlar (Non-Newton

Fizik-1 Uygulama-5

GOT-It 2.0.1 ile Elektromanyetik Sistemlerin

LDAP Administrator ile Active Directory Yonetimi Active Directory

Araştırma derinliği Yüzeyden verilen akımın nüfüz derinliği tamamen

kendi cd`ni kendin yap - Müzik Eğitimcileri Sitesi

amaç ue3070300 ue3070300 maltese-cross tüpü

Bu PDF dosyasını indir - Gazi Üniversitesi Fen Bilimleri Dergisi Part

Sistem Analizi Ders Notları – Bölüm 2