Giriş - İstanbul Bilim ve Sanat Mobil Matematik Merkezi

Giriş
Aritmetik
Geometri
Konular
Formüller
Ünlü Geometriciler
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Pappus
Pisagor
Öklid
Descartes
Penrose
Euler
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Pisagor Teoremi
Arı Peteklerinin Altıgen
Olması
Topoloji
Fraktal
Düzgün Çokyüzlüler
Pick Teoremi
Altın Oran
Pi Sayısı
Popüler Aritmetik
Ünlü Aritmetikçiler
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Goldbach Sanısı
Napier’in Kemikleri
Çokgen Sayılar
Çarpma
Bölme
Toplama
Çıkarma
Tam Sayılar
Basamak Değeri
Sayı Değeri
Doğal Sayılar
Eratoshenes’in Kalburu
İrrasyonel Sayılar
Fermat’ın Son Teoremi
Rasyonel Sayılar
Reel Sayılar
Karmaşık Sayılar
Smith Sayıları
Asal Sayılar
Pascal Üçgeni
Dolu Tanesi Sayıları
Altın Oran
Pi Sayısı
Mükemmel Sayılar
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Gauss
Napier
El Horezmi
Eratoshones
Ömer Hayyam
Platon
Fermat
Fibonacci
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
340 yılı sıralarında İskenderiye'de doğmuş olan Pappus, bu
okulun son büyük matematikçisidir. Almagest ve Elementler'e
şerhler yazmış, ancak bunlar günümüze kadar ulaşamamıştır.
Bugün büyük kısmı elimizde olan tek eseri ise Matematik
Kolleksiyonu adını taşımaktadır. Bu yapıt, dönemin geometri
bilginlerine en güç matematik çalışmalarının kısa bir analizini
vermek ve açıklayıcı teoremlerle bunların incelenmesini
kolaylaştırmak amacıyla yazılmış olmalıdır. Pappus bu kitapta,
Pythagoras teoreminin genelleştirilmesi, bir açının üçe bölünmesi,
spiral, konkoid, quadratrix, topolojik cisimler, involüt, mekanik,
otomatlar, su saatleri, hareketli küreler gibi birçok konuyu ele alıp
değerlendirmiştir. Matematik Kolleksiyonu, Aristaios, Eukleides,
Apollonios, Eratosthenes gibi kalburüstü Yunan matematikçilerinin
kayıp eserleri hakkında da zengin bilgiler vermektedir.
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
René Descartes (Röne Dekart okunur)
(Fransız matematikçi, bilimada31 Mart 159611 Şubat 1650mı ve filozof. Batı düşüncesinin
son yüzyıllardaki en önemli düşünürlerinden
biri
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Roger Penrose, İngiliz fizikçi, astrofizikçi,
kozmolog ve matematikçidir. Doğumu 8
Ağustos 1931, Colchester, Essex, İngiltere.
1970'lerde Roger Penrose, o güne kadar
imkansız olduğu düşünülen, "yüzeylerin beşli
simetri ile kaplanması“ nı mümkün kılan
ve Penrose Karoları olarak adlandırılan karo
kümelerini bulmuştur.
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Emanuel Handmann' nin çizimiyle
Leonhard Euler
Doğumu
15 Nisan 1707
İsviçre / Basel
Ölümü
18 Eylül 1783
Rusya / St. Petersburg
Leonhard Euler (d. 15 Nisan 1707, Basel, İsviçre ö. 18 Eylül 1783, St.
Petersburg, Rusya), İsviçreli matematikçi ve fizikçi.
18. yüzyıl'ın ın en önemli ve tüm zamanların önde
gelen matematikçilerinden biri kabul edilmektedir. En
üretken matematikçilerden biri olarak çalışmalarının
bütünü 70 cildi aşmaktadır. Euler pek çok yeni
kavram geliştirmiş, basit aritmetikten sayılar teorisi ve
topolojiye kadar farklı alanlarda uzun süre kabul
gören birçok teorem ispatlamıştır. Bu çalışmaları
esnasında, günümüzde kullanılan modern matematik
terminolojisinin yaratıcısı olmuş fonksiyon kavramı ve
onun yazımını tanımlamıştır (yaptığı bu çalışma için
verilebilecek örneklerden bazıları trigonometrik
fonksiyonlar için
yaptığı sin, cos ve tan tanımlamalarıdır).
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Eflatun (d. M.Ö. 427 - ö. M.Ö. 347) çok önemli bir Antik Yunan filozofu. Hayatını
geçirdiği Atina’daki ünlü akademiyi kurdu. Asıl adıAristokles'di. Geniş omuzları ve atletik
yapısı nedeniyle, Yunanca Platon (geniş göğüslü) lakabı ile anıldı ve tanındı.
Eflatun temsili
Adı
Eflatun veya
Platon
Doğumu
M.Ö. 427
Ölümü
M.Ö. 347
Okul/gelenek Eflatunculuk
İlgilendikleri retorik, sanat,
edebiyat, epist
emoloji,adalet
, erdem, politi
ka, eğitim, ail
e
,militarizm
Önemli katkı Platonik
ları
realizm
Yirmi yaşından itibaren ölümüne kadar yanından ayrılmadığı Sokrates’in öğrencisi
ve Aristoteles’in hocası olmuştur. Atina’da Akademi’nin kurucusudur. Eflatun’un felsefi
görüşlerinin üzerinde hala tartışılmaktadır. Eflatun, batı felsefesinin başlangıç noktası ve ilk
önemli filozofudur. Antik çağ yunan felsefesinde, Sokrates öncesi filozoflar (ilk filozoflar
veya doğa filozofları) daha ziyade materyalist (özdekçi) görüşler üretmişlerdir. Antik
felsefenin maddeci öğretisi, atomcu Demokritos ile en yüksek seviyeye erişmiş, buna
mukabil düşünceci (idealist) felsefe, Eflatun ile doruk noktasına ulaşmıştır. Eflatun bir
sanatçı ve özellikle edebiyatçı olarak yetiştirilmiş olmasından büyük ölçüde istifade etmiş,
kurguladığı düşünsel ürünleri, çok ustaca, ve şiirsel bir anlatımla süsleyerek, asırlar boyu
insanları etkilemeyi başarmıştır.
Modern filozoflardan Alfred North Whitehead’e göre Eflatun’dan sonraki bütün batı felsefesi
onun eserine düşülmüş dipnotlardan başka bir şey değildir.
Görüşleri İslam ve Hristiyan felsefesine derin etkide bulunmuştur.
Eflatun, eserlerini diyaloglar biçiminde yazmıştır. Diyaloglardaki baş aktör
çoğunlukla Sokrates’tir. Sokrates insanlarla görüşlerini tartışır ve onların görüşlerindeki
tutarsızlıkları ortaya koyar. Eflatun çoğunlukla görüşlerini Sokrates’in ağzından
açıklamıştır.
Eflatun, algıladığımız dış dünyanın esas gerçek olan idealar ya da formlar dünyasının
kusurlu kopyaları olduğunu, gerçeğe ancak düşünce ve tahayyül yoluyla ulaşılabileceğini
savunmuş, insan ruhunun ölümden sonra beden dışında kalıcı olan idealar dünyasına
ulaşacağını söylemiştir. Görüşleri ortaçağda İslam filozofları tarafından korunmuş ve İslam
düşünce dünyasındaki Yeni Eflatunculuk akımına neden olmuştur. Rönesans sonrasında
Batı Avrupa'da Antik Yunancadan çevirileri yapılmıştır.
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Pisagor büstü (Musei
Capitolini, Roma)
Adı
Sisamlı Pisagor
Doğumu
M.Ö. 580 – M.Ö.
572
Sisam
Ölümü
M.Ö. 500 – M.Ö.
490
Metapontum
Okul/gelenek
Pisagorculuk
İlgilendikleri
metafizik, müzik,
matematik, etik,p
olitika
Önemli katkıları musica
universalis, altın
oran,Pisagor
teoremi, Pisagor
akordu
Pisagor ya da Pythagoras (Yunancada: Πσθαγόρας)
, M.Ö. 580 - M.Ö. 500 tarihleri arasında yaşamış olan
İyonlu filozof, matematikçi ve Pisagorculuk olarak
bilinen akımın kurucusu.
En iyi bilinen önermesi; adıyla anılan Pisagor
önermesidir. "Sayıların babası" olarak bilinir. Pisagor
ve öğrencileri her şeyin matematikle ilgili olduğuna;
sayıların nihai gerçek olduğuna; matematik aracılığıyla
her şeyin tahmin edilebileceğine ve ölçülebileceğine
inanmışlardır.
Kendisini filozof (υιλο-σουος), yani bilgeliğin dostu
olarak adlandıran ilk kişiydi. Pisagor düşüncelerini
yazıyla yaymadığı için onun hakkında bildiklerimiz
öğrencilerinin yazılarında anlattıklarıyla sınırlıdır.
Pisagor'a atfedilen birçok eser gerçekte onun
öğrencilerinin olabilir.
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Doğum
Ölüm
Milliyeti
Dalı
M.Ö 330
İskenderiye, Mı
sır
M.Ö 275
Yunan
Matematik
Önemli başarıl Öklid
arı
bağıntıları
(ögeleri)
Öklid geçmiş matematikçilerin içinde adı geometri ile en çok özleştirilen
kişidir. Geometri dünyasında kapladığı bu seçkin yeri kendisinin büyük
bir matematikçi olmasından çok, geometrinin başlangıcından kendi
zamanına kadar bilinen ismi ile Öğeler adını taşıyan kitabında
toplamıştır. Öklid derlemesinin tutarlı bir bütün olmasını sağlamak için,
kanıt gerektirmeyen apaçık gerçekler olarak 5 aksiyom ortaya koyar.
Diğer bütün önermeleri bu aksiyomlardan çıkarır.
Öklid geometrisi 19. yüzyılın başına kadar rakipsiz kaldı. Hatta 20.
yüzyılın ortalarına kadar bile orta öğretimde geometri, Öklid'in öğelerine
bağlı olarak okutuldu.
Öklid'in yaşamı konusunda hemen,hemen hiçbir şey bilinmiyor. Önceleri
bir Yunan kenti olan Megara'da doğduğu sanıldıysa da, sonradan
Megaralı Öklid'in, Öğeler'in yazarı İskenderiyeli Öklid'den yüzyıl kadar
yaşamış olan bir felsefeci olduğu ortaya çıkmıştır.
Öklid üzerinde çalıştığı proje hakkında diyor ki: "bir doğru istenildiği
kadar uzatabilir." ve "İki noktadan bir ve yanlız bir doğru gecer."
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Alman kökenli matematikçi ve bilim adamı.
Katkıda bulunduğu alanlardan bazıları;
sayılar kuramı, analiz, diferansiyel geometri,
jeodezi, manyetizma, astronomi ve optiktir.
"Matematikçilerin prensi" ve "antik
çağlardan beri yaşamış en büyük
matematikçi" olarak da bilinen
Gauss,[matematiğin ve bilimin pek çok
alanına etkisini bırakmıştır ve tarihin en
nüfuzlu matematikçilerinden biri olarak
kabul edilir.
Gauss'un çocukluk yıllarından beri dahi
olduğunu gösteren pek çok hikâye vardır,
nitekim pek çok matematiksel keşfini henüz
20 yaşına gelmeden yapmıştır. Sayılar
kuramının önemli sonuçlarını derleyip kendi
katkılarını da ekleyerek yazdığı büyük eseri
Disquisitiones Arithmeticae'yi 21 yaşında
(1798) bitirmişse de, eser ilk olarak 1801'de
basılmıştır.
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
John Napier veya latinceleştirildi Neper, Merchiston-Edinburgh'da 1550 yılında doğdu, 3
Nisan 1617 in Merchiston Castle'de öldü. Merchiston Baronu ve İskoçya'lı bir
matematikçi olan Napier, logaritmanın bulucusu olarak bilinir.
Napier, Saint Andrews Üniversitesinde eğitim görmüş ve matematiği de içinden gelen bir
merak olarak izlemiştir. Kendisi, amatör bir matematikçidir. Sayısal hesaplamaları
kolaylaştıracak bir yol ararken, önce Napier cetvelleri diye bilinen, üzerinde rakamlar
yazılmış küçük değnekler yardımıyla yapılan bir çarpma veya bölme yöntemi buldu. 1, 2,
3,... şeklindeki aritmetik dizi ile, buna karşılık gelen 10, 100, 1000,... biçimindeki
geometrik dizi arasındaki, ilişkiyi gördü. 1614 yılında yazdığı "Logaritma Kurallarının
Tanımı" adlı eserinde, aritmetik dizi ile geometrik dizinin karşılaştırılmasından,
matematiğe logaritma kavramını getirdi. Günümüzdekilerden farklı olarak kurulan bu
diziler, logaritmayı, sayısının azalan bir fonksiyonu olarak tanımlıyordu. Buradaki
aritmetik dizi, geometrik dizinin logaritmasıdır.
Oxford Üniversitesi matematik profesörü Henri Briggs, Napier'in bu buluşunu benimsedi
ve adi log cetvelinin hazırlanmasıyla ilgili düşüncelerini Napier'e açıklamak için
Edinburgh'a gitti. Napier, 1618 ve 1624 yılları arasında kusursuz iki logaritma cetveli
yayınladı. Bu eser onun tam yirmi yıllık bir çalışmasının ürünüdür. Napier'in bu konuda
çok sayıda eseri vardır. Bazı hesap makinelerinin temellerini veren iki kitabı, 1617
yılında yayınlandı
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Eratosthenes (Eratosten) (Yunanca Ἐρατοσθένης) (M.Ö. 276 M.Ö. 194 ) Yunanlı matematikçi , coğrafyacı ve astronom.
Eratosthenes, Cyrene'de (günümüz Libya'sı) doğmuştur, ama
ölene kadar tüm yaşamı Ptolemaios soyunun hüküm sürdüğü
Mısır'ın başkenti Alexandria'da (İskenderiye) geçmiştir. Hiç
evlenmemiştir.
Eratosthenes Alexandria'da ve bir müddet Atina'da öğrenim
görmüştür. İ.Ö.236'da Ptolemaios III Euergetes I tarafından
Alexandria Kütüphanesi'ine, o koltuktaki ilk kütüphaneci
Zenodotos'un ardından, kütüphaneci olarak atanmıştır. Matematik
ve doğal bilimlere katkılarda bulunmuştur. İ.Ö.195 de kör olmuştur
ve bir yıl sonra kasıtlı olarak kendini aç bırakarak ölmüştür.
Meridyen yayının uzunluğunu ve ondan yararlanarak Dünya’nın
çevre uzunluğunu Ekvator'u hesaplamış, çalışmalarını
Geopraphika adlı eserinde toplamıştır. Dünya üzerindeki yerleşik
alanların sınırlarını, hazırladığı bir haritada da gösteren
matematik coğrafyacıdır.
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Pierre de Fermat (piyer dö ferma okunur) (d.
1601, Beaumont-de-Lomagne – ö. 12 Ocak
1665, Castres), Bask kökenli Fransız hukukçu ve
matematikçi. İlk öğrenimini doğduğu şehirde
yapmıştır. Yargıç olmak için çalışmalarına
Toulouse’de devam etmiştir. Fermat,
memurluğunun yoğun işlerinden geriye kalan
zamanlarında matematikle uğraşmıştır. Arşimet'in
eğildiği diferansiyel hesaba geometrik görünümle
yaklaşmıştır. Sayılar teorisinde önemli sonuçlar
bulmuş, olasılık ve analitik geometriye de
katkılarda bulunmuştur.
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Leonardo Fibonacci, (Pisalı Leonardo,
Leonardo Pisano d. 1170, ö. 1250), yaygın olarak
ismiyle Fibonacci diye anılan, orta çağın en
yetenekli matematikçisi olarak kabul edilen İtalyan
matematikçi.
Fibonacci modern çağda en fazla Hint-Arap
Sayılarını Avrupa'ya getirmesiyle ve 13. yüzyıl
başlarında yayınlanan Liber Abaci isimli hesaplama
yöntemleri kitabıyla tanınır. Liber Abaci'de bir örnek
olarak yer alan modern sayılarla hesaplanmış kendi
adıyla anılan sayı dizisi Fibonacci Dizisi olarak
anılmaktadır. Sadece Fibonacci dizisi ve özellikleri
ile ilgili kitaplar hatta haftalık düzenli yayınlanan
matematik dergileri bile bulunmaktadır
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Ebu Abdullah Muhammed bin Musa elHarezmi (Arapça:
Abū Abdullāh Muhammad ibn
Mūsā al-Khwārizmī), matematik, gökbilim
ve coğrafya alanlarında çalışmış ünlü bir
Fars bilgindir. 780 yılında Harzem
bölgesinin Hive şehrinde dünyaya
gelmiştir. 850 yılında Bağdat'ta vefat
etmiştir.
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Ömer Hayyam -2
Hayyam Nişabur'ludur. Yaşadığı dönemin ünlü veziri Nizamül-Mülk ve Hasan Sabbah ile aynı
medresede zamanın ünlü alimi Muvaffakeddin Abdüllatif ibn el Lübad'tan eğitim görmüş ve hayatı
boyunca her ikisi ile de ilişkisini koparmamıştır. Bazı kaynaklar; Hasan Sabbah'ın Rey kentinden
olduğu Nizamül-Mülk'ünde yaşca Ömer Hayyam ve Hasan Sabbah'tan büyük olduğunu ve buna
dayanarak aynı medresede eğitim görmediklerini belirtmektedir . Ama yine de Ömer Hayyam,
Hasan Sabbah ve Nizamül-Mülk'ün ilişki içinde olduklarını inkar etmemektedir. (Kaynak:
Semerkant-Amin Maalouf)
Birçok bilim adamınca Batıni, Mutezile anlayışlarına dâhil görülür. Evreni anlamak için, içinde
yetiştiği İslam kültüründeki hakim anlayıştan ayrılmış, kendi içinde yaptığı akıl yürütmeleri eşine az
rastlanır bir edebi başarı ile dörtlükler halinde dışa aktarmıştır.
Çadırcı anlamına gelen "Hayyam" takma adını babasının çadırcılık yapmasından almıştır. Ayrıca
İstanbul'un Beyoğlu ilçesinde bir semte adını da vermiştir. Tarlabaşı bulvarında Sakızağacı
ışıklardan başlayıp, Tepebaşına kadar inen caddenin adıdır.
Hayyam aynı zamanda çok iyi bir matematikçiydi Binom Açılımını ilk kullanan bilim adamıdır.
Hayyam, genelde şiirlerindeki eğlence düşkünlüğünün belirgin olmasından dolayı Rubâileri ile
ünlenmiştir.
Geçmişte yaşamış birçok ünlünün aksine Ömer Hayyam'ın doğum tarihi günü gününe bilinmektedir.
Bunun sebebi Ömer Hayyam'ın birçok konuda olduğu gibi takvim konusunda uzman olması ve
kendi doğum tarihini araştırıp gün be gün doğru bulmasına dayanmaktadır.
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Rubailerinde, dünya, varoluş, Allah, devlet ve toplumsal örgütlenme biçimleri gibi hayata ve
insana ilişkin konularda özgürce ve sınır tanımaz bir şekilde akıl yürüttüğü görülmektedir. Akıl
yürütürken ne içinde yaşadığı toplumun ne de daha öncesi zamanlarda yaşayan toplumların
kabul ettiği hiçbir kurala/tabuya bağlı kalmamış, kendinden önce yaşayanların insan aklına
koymuş olduğu sınırları kabullenmemiş, bir anlamda dünyayı, insanı, varoluşu kendi aklıyla
baştan tanımlamış; bu nedenle de çağını aşarak "evrenselliğe" ulaşmıştır. Ancak unutmamak
gerekir ki Hayyam'ın yaşadığı dönem, kendisi gibi çağları aşan ve tarihin gördüğü en büyük
düşünürlerden birini yaratacak sosyo-kültürel altyapıya sahipti. Kendi tarihinin belkide en
aydınlık dönemlerini yaşayan İslam dünyasında felsefenin hakettiği ilgiyi gördüğü, Selçuklu
saraylarında ise sentez bir Ortadoğu kültürü (Türk-Hint-Arap-Çin-Bizans) oluşmaya başladığı
bir dönemde yaşayan düşünür, böylece nispeten yansız ve bilimsel bir öğrenim görmüş,
müslüman fakat felsefeyi günah saymayan bir toplum içinde özgürce felsefe ile
ilgilenebilmiştir. Hayyam, aynı zamanda dünya bilim tarihi için de önemli bir yerdedir.
Dünyanın ilk rasathanesini kurmuştur. Günümüzde kullanılan Miladi ve Hicri Takvimlerden çok
daha hassas olan Celali Takvimi'ni hazırlamıştır. Okullarda Pascal Üçgeni olarak öğretilen
matematik kavramı aslında Ömer Hayyam tarafından oluşturulmuştur. Matematik, astroloji
konularında dünyanın önde gelen en büyük bilim adamlarındandır. Birçok bilimsel çalışması
olduğu bilinmektedir.
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Matematiğin ana dallarından biri olan Topoloji, Yunanca'da
yer, yüzey veya uzay anlamına gelen topos ve bilim anlamına gelen logos
sözcüklerinden türetilmiştir. Topoloji biliminin kuruluş aşamalarında yani
19. yüzyılın ortalarında, bu sözcük yerine aynı dalı ifade
eden Latince analysis situs (konumun analizi) deyimi kullanılıyordu.
Topoloji sözcüğü bir topolojik uzayı tanımlamak için inşa edilen ve belli
koşulları sağlayan kümeler ailesi için de kullanılır. Aşağıdaki matematiksel
tanımda bu koşullar sıralanmıştır. Topolojik yapı, geometri bağlamında bir
kümenin üzerine konabilecek en basit yapı olarak görülebilir. Başka bir
deyişle, topoloji, geometri yapmak için atılan ilk adımdır.
Topoloji için:
1)MOBİUS ŞERİDİ, KLEİN ŞİŞESİ
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Felix Klein'ın isim babalığı yaptığı bir ilginç yüzeyle tanışmak üzeresiniz. Klein şişesinin ilginç özelliklerinden biri
bir yüzey (dolayısıyla iki boyutlu) olmasına rağmen bulunduğumuz üç boyutlu uzayda bir makedi yapılamaz, bu
nedenle resmini de çizemeyiz! Fakat sizin
insafınıza sığınarak aşağıdaki şekli sunalım:
Resimde ucu tekrar içine bükülen ve zeminiyle birleşen bir şişe görülüyor. Klein şişesi ise bir manifold olduğundan
(yani üzerinde yürüyen görüşü kısıtlı bir böceğin düzlem sanacağı uzaylar) kendi kendini kesmemelidir, bu
nedenle dört boyutlu uzayda gerçek bir Klein şişesi oluşturulabilir: nasıl düzlemde kesişen iki doğru varsa biri
üçüncü boyutta ötelenerek kesişimden kurtulabilirsek, bu durumda da kesişim bölgesindeki noktaların bir
komşuluğu dördüncü boyutta uzaklaştırılır.
En kolayı yüzeyi şekildeki gibi düşünüp yüzey üzerinde yürüyen bir böcek kesişim bölgesine vardığında kesişimi
görmeden (bir hayalet gibi) yürüyüşünde bir değişim olmadan geçsin. Bu düşünce tarzı ile Klein şişesinin tek yüzlü
olduğu rahatça söylenir: bir yüzünden boyamaya başladığımızda öteki yüze geçmeden (!) boyamaya çalışırsak
boyanmamış yerin kalmadığı görülür, bu ise Klein şişesinin bir Möbius şeridi içermesinden kaynaklanır.
Bir kare alıp karşılıklı kenarlarını oklar yönünde yapıştıralım. Bu takdirde elde edeceğimiz Klein şişesidir! Bu
işleme topolojide bir uzayın bölüm uzayını oluşturma denir, uzayın bazı noktalarını aynı kabul etmek demektir.
Yüksek boyutlu uzaylarda düşünmek yerine düzlemsel bir şekil olan bu kare üzerinde düşünelim,
o halde Klein şişesi üzerindeki bir noktanın komşuluğu şekildeki kırmızı daire olarak ifade edilebilir, Klein şişesi
üzerindeki bir yol ise bu kare içinde, sınırların yapıştırıldığı göz önünde bulundurularak, şekilde örneklenmiştir.
Bu gösterilimin geliştirilmesi ile, Klein şişesini kesmek de daha da kolaylaştı! Örneğin bir köşegen boyunca
kesersek ne elde ederiz?
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Geometrik olarak, uzunca bir şeridin bir ucunu 180 derece büküp diğer ucu ile
birleştirirsek elde edilen şeride Möbius şeridi denir. İlk olarak 1861'de Johann Benedict
Listing tarafından tanımlanmıştır, dört yıl sonra ise Möbius yayınladığı bir çalışmasında
tanımını vermiş, şeridin tek yüzlü olduğunu, yönlendirilememesi ile açıklamıştır.
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Pisagor teoremine göre bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamları hipotenüsün karesine eşittir.
Bunun ispatı şuna dayanmaktadır:
c2 = a2 + b2 c uzunluğu hipotenüstür. a ve b uzunlukları ise dik kenarlardır. Her kenardan birer kare oluşturulur. Bu
karelerin alanları, kare alan formülüne dayalı olarak a2,b2,c2 şeklinde sıralanır. Böylece üç karenin köşelerinin
birleşiminden oluşan bir dik üçgen oluşturulur. Oluşan üçgenin dik köşesinden hipotenüsün oluşturduğu karenin,
hipotenüse paralel olan kenara indirilen dikme ile üçgen içerisinde öklid bağıntısı kurulur. (öklid bağıntısı benzerlikten
ispatlanabilmektedir.) Öklide göre
a2 = p(p + q)
yani, dik kenarlardan birinin karesi, dik açıdan hipotenüse indirilen dikmenin ayırdığı parçalardan kendisine komşu olan
tarafın uzunluğu ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir. Bu durumda
a2 = p.c
olacaktır. Yani a kenarına ait karenin alanı, hipotenüse ait alanın dik açıdan indirilen dikmeyle ikiye ayırdığı alanlardan
kendisine komşu olan alana eşit olacaktır. Bu durumu diğer kenar için de düşünürüz.
a2 = p.(p + q)b2 = q.(p + q)
p+q=c
a2 = p.c,b2 = q.c olacaktır. Bunu takiben,
a2 + b2 = p.c + q.c
a2 + b2 = c.(p + q)
p+q=c
a2 + b2 = c.c
a2 + b2 = c2
olacaktır.Matematikte, Pisagor Teoremi, Öklid Geometrisinde bir dik üçgenin 3 kenarı için bir bağıntıdır. Bilinen en eski
matematiksel teoremlerden biridir. Teorem sonradan İÖ 6. YY'da Yunan filozof ve matematikçi Pisagor'a atfen
isimlendirilmiş ise de, Hindu, Yunan, Çinli ve Babilli matematikçiler teoremin unsurlarını, o yaşamadan önce bilmekteydiler.
Pisagor teoreminin bilinen ilk ispatı Öklid'in Elementler eserinde bulunabilir.
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Pi sayısı (π), bir dairenin çevresinin çapına bölümü ile elde
edilen matematik sabiti. Pi sayısı
ismini, Yunanca περίμετρον yani "çevre" sözcüğünün ilk harfi
olan π harfinden alır. Bu harf Latin Alfabesi'nde Pİ ile
sembolize edilir. Ayrıca pi
sayısı Arşimet sabiti ve Ludolph sayısı olarak da bilinir.
Günlük kullanımda basitçe 3.1416 olarak ifade edilmesine
rağmen gerçek değerini ifade etmek için periyodik olarak
tekrar etmeyen sonsuz sayıda basamağa ihtiyaç vardır. İlk 65
basamağa kadar ondalık açılımı şöyledir:
3, 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399
37510 58209 74944 5923
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Bilim standlarınızın vazgeçilmez üyesi olmaya
aday, orijinal adı "Pick Teoremi" (George Pick
tarafından 1899'da keşfedilmiş) olan "çivilerle
alan hesabı" aslında yeni keşfedilmiş bir şey
değil.1899 yılından beri kendisi önemli bir
teorem olarak matematik dokümanlarının
arasında yerini almakta. Peki, bu teorem ne işe
yarar? Nasıl uygulanır?... Gibi soruların cevabı
aşağıdaki satırlarda gizli.
Uygulama:Elimize düz bir tahta parçası alıyoruz,
30cm x 30cm 'lik mesela.Üzerine 2cm aralıklarla
çivi çakıyoruz, 10 x 10 'luk 100 çivilik bir
tahtamız var.Elimize aldığımız bir iple yada
lastikle istediğimiz çokgeni oluşturup alanını
aşağıdaki formülle buluyoruz;
Alan = I + B/2 - 1
öyle ki
I = çokgenin içindeki çivi sayısı
B = çokgenin sınırlarındaki çivi sayısı
Mesela şekildeki çokgenin alanı;
31 + 15 /2 - 1 = 37,5
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Fraktal parçalanmış ya da kırılmış anlamına
gelen Lâtince fractuuss kelimesinden gelmiştir. İlk
olarak 1975'de Polonya asıllı matematikçi Benoit
Mandelbrot tarafından ortaya atıldığı varsayılır. Kendi kendini
tekrar eden ama sonsuza kadar küçülen şekilleri, kendine benzer
bir cisimde cismi oluşturan parçalar ya da bileşenler cismin
bütününü inceler. Düzensiz ayrıntılar ya da desenler giderek
küçülen ölçeklerde yinelenir ve tümüyle soyut nesnelerde sonsuza
kadar sürebilir; tam tersi de her parçanın her bir parçası
büyütüldüğünde, gene cismin bütününe benzemesi olayıdır.
Doğada görülebilsen bir örnek olarak bazı bitkilerin yapısı
verilebilir
ÇOK YÜZLÜLER
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
ÇOK YÜZLÜ, bütün yüzleri düzlem çokgenlerle sınırlanmış
geometrik cisim. Herhangi bir yüzünden geçen düzlem çok
yüzlüyü keserse içbükey, kesmezse dışbükey çok yüzlü adını alır.
Her doğru, dışbükey birçok yüzlüyü en çok iki noktada keser.
Uygulamada düzgün çok yüzlüler önem taşır. Dört, altı, sekiz, on
iki ve yirmi yüzlü olmak üzere ancak beş tane düzgün çok yüzlü
olabileceği kanıtlanmıştır.
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
a) kapasitesi en büyük
b) en az yer kaplayacak
c) yapimi(dolayısıyla dna'ya kodlanmasi en kolay)
d) en sağlam
petek şekli hangisidir? şeklinde sorabiliriz. şimdi bir bir incelersek..
ilk olarak bir düzlemi kendi kendini tekrar ederek kaplayan kaç şekil olduğunu bulmamız gerekir. n kenarlı bir çokgende bir iç açının ölçüsü [(n2)*180]/n formülü ile bulunur. bizim istediğimiz şekil hiç boşluk bırakmayacak şekilde birleşmelidir. şekil x kenarlıdır diyelim.. bunlardan kaç
tanesinin bir köşesinin iç açısı toplamı 360 yapardı diye düşünürsek [(n-2)*180*x]/n=360 yazabiliriz. sadelestirme, vırt, zırt..
(n-2)*x=2n --> nx-2x-2n=0 --> nx-2x-2n+4-4=0 --> (n-2)(x-2)=4 olur.. sadece pozitif tamsayılari kenar sayısı olarak alabileceğimizden..
n=6 ve x=3 olabilir yani 3 tane düzgün altıgen (bkz: petek)
n=6 ve x=6 olabilir yani 6 tane eşkenar üçgen.
n=4 ve x=4 olabilir yani 4 tane kare.
bu bölüm bilare isoperimetric problem başlığı yazılırsa daha anlamlı olacaktır..
bizim kodlayacağımız arıların petekleri en az malzeme kullanarak yapmaları lazımdır, yoksa bir tanri olarak bize hiç mi hiç yakışmaz. sonra
"optimize olmayan arı yapan tanri" diye adımız çıkar.. işte bu zorunluluk yüzünden arıların yaptıkları petekler maksimum bal alacak alana sahip
olmalıdır.
arı petekleri cevresi p olan bir kare olsaydı :
(p/4)^2= yani 0,0625*p^2
arı petekleri cevresi p olan bir eşkenar üçgen olsaydı :
[(p^2)*kok3]/36 yani 0,0481*p^2
arı petekleri cevresi p olan bir düzgün altıgen olsaydı :
[(p^2)*kok3]/24 yani 0,0721*p^2
sonuç olarak aynı çevreye sahip olmak koşulu ile bir yüzeyi kendini tekrar ederek kaplayan en fazla bal alabilecek şekil düzgün altıgen
peteklerdir. biz de tanri olarak bu petekleri kullanalım, kullandiralim..
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Altın Oran 2
Altın oran, doğada sayısız canlının ve cansızın şeklinde ve yapısında bulunan özel bir orandır. Doğada bir bütünün parçaları arasında gözlemlenen,
yüzyıllarca sanat ve mimaride uygulanmış, uyum açısından en yetkin boyutları verdiği sanılan geometrik ve sayısal bir oran bağıntısıdır. Doğada en belirgin
örneklerine insan vücudunda, deniz kabuklulularında ve ağaç dallarında rastlanır. Platon'a göre kozmik fiziğin anahtarı bu orandır. Altın oranı
bir dikdörtgenin boyunun enine olan "en estetik" oranı olarak tanımlayanlar da vardır.
Eski Mısırlılar ve Yunanlılar tarafından keşfedilmiş, mimaride ve sanatta kullanılmıştır. Göze çok hoş gelen bir orandır.
Altın Oran; CB / AC = AB / CB = 1.618; bu oranın değeri her ölçü için 1.618 dir.
Bir doğru parçasının (AB) Altın Oran'a uygun biçimde iki parçaya bölünmesi gerektiğinde, bu doğru öyle bir noktadan (C) bölünmelidir ki; küçük parçanın (AC)
büyük parçaya (CB) oranı, büyük parçanın (CB) bütün doğruya (AB)oranına eşit olsun.
Altın Oran, pi (π) gibi irrasyonel bir sayıdır ve ondalık sistemde yazılışı; 1.618033988749894... dür. (noktadan sonraki ilk 15 basamak). Bu oranın kısaca
gösterimi:
olur. Altın Oranın ifade edilmesi için kullanılan sembol, PHI yani Φ'dir.
Günümüzde birçok yerde karşımıza çıkan altın orana göz nizamının oranı diyebiliriz. Çoğu zaman doğayı
gözlemlediğimizde bu oranın varlığını görebiliriz. Mesela ideal insanın ölçülerine göre boy uzunluğunun göbekten ayak uçlarına
olan uzunluğa oranı, göbekten ayak uçlarına olan uzunluğun göbekten başucuna olan uzunluğa olan oranına eşit. Bunu
simgelerle belirtecek olursak:
İdeal insanın boyu x birim olsun. Göbeğinden ayak ucuna olan uzaklık da y birim olsun. Bu durumda göbeğinden
başucuna olan uzaklık da x - y birim olacak. İddiaya göre ideal insandaki ölçüler şu denklemi sağlamalı:
x / y = y / (x - y).
İdeal insanda sağlanması istenen bu orana yani x / y oranına , altın oran denir.
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Altın oranın görüldüğü ve kullanıldığı yerleri şöyle sıralayabiliriz:
Ayçiçeği: Ayçiçeği'nin merkezinden dışarıya doğru sağdan sola ve soldan sağa doğru tane sayılarının birbirine oranı altın oranı v
Çam Kozalağı: Çam kozalağındaki taneler kozalağın altındaki sabit bir noktadan kozalağın tepesindeki başka bir sabit noktaya
doğru spiraller (eğriler) oluşturarak çıkarlar.
İşte bu eğrinin eğrilik açısı altın orandır.
Deniz Kabuğu: Deniz kabuklarına dikkat edenimiz, belki de koleksiyon yapanımız vardır. İ
şte deniz kabuğunun yapısı incelendiğinde bir eğrilik tespit edilmiş ve bu eğriliğin tan-jantının altın oran olduğu görülmüştür.
Elektrik Devresi: Verilen n tane dirençten maksimum verim elde etmek için bir paralel bağlama yapılması gerekir.
Bu durumda Eşdeğer Direnç altın orana eşittir.
Kollar: Kolumuzun üst bölümünün alt bölüme oranı altın oranı vereceği gibi, kolumuzun tamamının üst bölüme oranı
yine altın oranı verir.
Mısır Piramitleri: Her bir piramidin tabanının yüksekliğine oranı altın oranı verir.
Mona Lisa Tablosu: Bu tablonun boyunun enine oranı altın oranı verir.
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Dikdörtgen prizmanın hacmi ve yüzey alanı
Paralelkenar Prizmanın Hacmi
Kürenin Hacmi ve Kürenin Yüzey Alanı
Geometri Formülleri-2
Silindirin Hacmi ve Silindirin Yüzey Alanı
Geometri Formülleri-3
Yamuk Silindirin Hacmi ve Yamuk Silindirin Alanı
Düzgün olmayan kesitli silindir
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Koninin hacmi ve koninin yüzey alanı
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Piramitin hacmi
Küre parçasının hacmi ve yüzey alanı
Geometri Formülleri-4
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Kesik koninin hacmi ve yüzey alanı
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Asal sayılar, yalnız ve yalnız iki böleni olan doğal sayılardır. Kendisinden ve 1
sayısından başka böleni olmayan, 1'den büyük pozitif tam sayılar biçiminde de
tanımlanmaktadır.(kendisinden küçük asal sayıların hiçbirine tam bölünmeyen sayılardır)
Yüzden küçük asal sayılar 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59,
61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 ve 97 dir.
Öklid (Euklides)'ten beri asal sayılar sonsuz olduğu bilinmektedir, fakat asal sayılar
hakkında pek çok başka soru hala daha cevapsızdır. Bunlardan en ünlü ikisi aralarındaki
fark iki olan asal sayılar (örneğin 11 ve 13, veya 29 ve 31) hakkındaki ikiz asallar
konjektürü ve asal sayıların doğal sayılar içersindeki dağılımı hakkındaki Riemann
Hipotezidir. Sayılar teorisi'nin en önemli uğraşı asal sayılar hakkındaki bu tür sorulardır.
Asal sayılar ayrıca kriptografi alanının da yapı taşlarıdır.
1'in asallığı
19. yüzyıl'a kadar, çoğu matematikçi 1'i asal sayı olarak kabul ediyorlardı ve 1'in asal
olarak kabul edilmesine dayanarak yapılan birçok çalışma geçerliliğini hâlâ
sürdürmektedir,örneğin [[Moritz Abraham Stern|lırsa bazı teoremlerde değişikliğe
gidilmesi gerekir. Örneğin tüm pozitif tam sayıların "yalnız bir şekilde" asal sayıların
çarpımları şeklinde yazılabileceğini söyleyen Aritmetiğin temel teoremi, nitekim
geçmişteki asal sayı tanımına göre geçerli değildir.
Goldbach Hipotezi
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Sayılar teorisindeki en eski Matematik'te çözümsüz problemlerden biridir.
Goldbach'ın orijinal sanısı (üçül varsayım) Euler'e 7 Haziran 1742'de yazdığı mektupta
şöyle ifade ediliyor:
...En azından 2'den büyük her sayı üç asal sayının toplamıdır...
Goldbach burada 1 sayısını da asal kabul etmektedir. (Bu konvansiyon artık
terkedilmiştir.)
(1 sayısı niçin asal değildir?: Çünkü bir asal sayı başka bir asal sayıyı asla tam bölmez.
Oysa 1 sayısı diğer asalları da tam böler.)
Asal sayılarla ilgili Goldbach hipotezi halen kanıtlanamamıştır: Her çift sayı iki asal
sayının toplamı mıdır? Örneğin:
4=2+2
6=3+3
8=3+5
10 = 3 + 7
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11
16 = 3 + 13
18 = 5 + 13
20 = 3 + 17
22 = 3 + 19
Fermat'nın son teoremi
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Fransız matematikçi Pierre de Fermat'nın 17. yüzyılda öne sürdüğü fakat kanıtı ancak 1994 yılında
İngiliz matematikçi Andrew Wiles tarafından verilen teoremdir.
İfadesinin ortaokul matematik bilgileriyle anlaşılacak kadar yalın olmasına karşılık öne sürülmesiyle
kanıtlanması arasında geçen çok uzun sürede pek çok ünlü matematikçi tarafından üzerinde
uğraşılıp da kanıtlanamamış olmasıyla matematik tarihinde öne çıkmıştır.
Kısaca, eğer n ikiden büyük bir tamsayıysa, ve x, y, z sayıları pozitif tamsayılar ise
ifadesinin sağlanamayacağını ifade eder. İfadenin n=1 ve n=2 durumlarında kolayca
sağlanabileceğini görmek zor değildir. Biraz açmak gerekirse, n=2 durumu ünlü Pisagor Teoremi ile
yakından ilişkili olup x=3, y=4, z=5 veya x=5, y=12, z=13 tamsayı üçlüleriyle kolayca sağlanır.
Bu sanının (artık teorem demek gerekiyor elbette) kanıtı için pek çok matematikçi uğraşmış ancak
başarısız olmuşlardır. Ancak yakın tarihlere kadar çok büyük n değerleri için bu sanının
doğrulanmasına devam edilmiştir. Bu tür kısmi ilerlemelere yönelik çabalar, hiç beklenmedik bir
zamanda İngiliz matematikçi Andrew Wiles'ın bir kanıt bulduğunu duyurmasıyla son bulmuştur. Ne
var ki kısa sürede Andrew Wiles'ın kanıtında bir hata bulunmuş ve Andrew Wiles uzun ve yorucu bir
çabanın sonunda 1994 yılında uzmanlarca doğruluğu kabul gören bir kanıt vermeyi başarmıştır.
Aslında Wiles'ın kanıtı Fermat'nın son teoreminden daha güçlü bir ifadenin, Şimura-Taniyama
Konjektürü'nün de doğruluğunu göstermiştir. Söz konusu kanıt Sayılar Teorisi'nin çok gelişkin
tekniklerini kullanır.
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Matematikte, Eratosthenes(eratosten) Kalburu belirli bir tamsayıya
kadar yer alan asal sayıların bulunması için kullanılan bir yöntemdir.
Daha hızlı ve karmaşık olan Atkin kalburunun atası sayılır. Eski
Yunan'da Eratosten tarafından geliştirilmiştir.
İşleyişi
Önce bir dizelgeye (listeye) 2'den başlayarak, istediğiniz en büyük tam
sayıya kadar olan tüm tamsayıları yazın. Bu dizelgenin adı A olsun
(resimdeki kutuların her biri).
Bir diğer dizelgeye A'daki ilk asal sayı olan 2'den başlayarak
bulduğunuz asal sayıları yazın. Bu dizelgenin adı B olsun (resimin
sağında bulunan dizelge).
A'dan 2'yi ve 2'nin tüm katlarını silin.
A'da kalan ilk tek sayı asaldır. Bu sayıyı B'ye ekleyin
Bu sayıyı ve tüm katlarını A'dan silin. Daha küçük katları zaten
silindiğinden, silme safhası bu sayının karesinden başlayabilir.
A dizelgesinde herhangi bir sayı kalmayıncaya kadar 4. ve 5. adımları
tekrarlayın
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Doğal sayılar,
şeklinde sıralanan tam sayılardır. Negatif değer almazlar. Bazı kaynaklarda "0"
doğal sayı olarak alınmaz.
Matematikte hala sıfırın bir doğal sayı alınıp alınmayacağı tartışma konusudur,
ancak eğer cebirsel inşâlar yapılmak isteniyorsa "0" sayısının doğal sayı olarak
alınması avantaj sağlayabilir.
Matematiğin diğer dallarında da problem hangi durumda daha kolay ifade
edilebilecekse doğal sayılar kümesi de o şekilde alınır.
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Bir doğal sayının rakamlarının belirttiği
değere rakamların sayı değeri denir.
Doğal sayının rakamlarının toplamına
rakamların sayı değerleri toplamı denir.
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
9 basamaklı bir doğal sayının basamaklarının değerleri
•Birler basamağının basamak değeri : 1
•Onlar basamağının basamak değeri : 10
•Yüzler basamağının basamak değeri : 100
•Binler basamağının basamak değeri : 1.000
•On binler basamağının basamak değeri : 10.000
•Yüz binler basamağının basamak değeri : 100.000
•Milyonlar basamağının basamak değeri : 1.000.000
•On milyonlar basamağının basamak değeri : 10.000.000
•Yüz milyonlar basamağının basamak değeri : 100.000.000
Onlu sayma düzeninde bir basamağın değeri sağındaki basamağın 10 katıdır.
Bir rakamın basamak değeri o rakam ile rakamın yazıldığı basamağın çarpımıyla bulunur..
12345 sayısındaki 2 nin basamak değeri 2 (sayı değeri) ve 1000 (basamak değeri) çarpılarak 2 X 1000
2000 şeklinde bulunur
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Toplama işlemi ileri doğru sayma işlemidir. Toplama işlemine katılan sayılara terim, işlemin sonucuna
toplam denir. Toplama işlemi sayıların aynı basamakları arasında yapılır. Bu nedenle toplama işleminde
sayılar aynı basamaklar alt alta gelecek şekilde yazılır.
Doğal sayılarda toplama aşağıdaki cebirsel kurallara uyar:
Toplamsal birim öğe:
a+0=a
Toplamanın değişme özelliği:
a+b=b+a
Toplamanın birleşme özelliği:
(a + b) + c = a + (b + c)
Toplamanın çarpma üzerine dağılma özelliği (sağdan dağılma):
(a + b)c = ac + bc
Bir a sayısını bir b sayısıyla toplamak, a sayısının b kere ardılını almak olarak tanımlanır. Daha
matematiksel bir tanım verilmek istenirse Ard(n) gösterimi n sayısının ardılını ifâde etmek üzere, toplama
aşağıdaki belitlerle tanımlanır:
a+0=a
a + Ard(b) = Ard(a + b)
Bu belitlerden yola çıkarak ardıllık işlemini toplama cinsinden göstermek mümkündür: 2. belitte b=0
seçilirse
a + Ard(0) = ard(a + 0)
sıfırın adrılı birdir, o halde,
Ard(a) = a + 1
olduğu kolaylıkla görülür.
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Çarpma işlemi ard arda toplama işlemidir. Çarpma işlemine katılan sayılara
çarpan, işlemin sonucuna çarpım denir.
Doğal sayılarda çarpma aşağıdaki cebirsel kurallara uyar:
Çarpımsal birim öğe:
a1 = a
Çarpmanın değişme özelliği:
ab = ba
Çarpmanın birleşme özelliği:
(ab)c = a(bc)
Çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği (soldan dağılma):
c(a + b) = ca + cb
Bir a sayısını bir b sayısıyla çarpmak, a sayısının b kere toplamını almak olarak
tanımlanır.
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Tam sayılarla iki sayının farkı;eksilen sayı
ile çıkan sayının toplama işlemine göre
tersinin toplamı ile aynıdır.
(+9)-(+3)=(+9)+(-3)= (+6), (-7)-(-8)=
(-7)+(+8)=(+1)
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Bölme özünde çarpmanın tersidir.
Tamsayılarda bölme, her sayı için
tanımlanmamıştır. Bu yüzden bölüm her
zaman tamsayılar kümesinin bir öğesi
olmayabilir. Örnek: (+15):(-3)=(-5)
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Tam sayılar, doğal sayılar (0,1,2,...) ve bunların negatif değerlerinden oluşur (-1,-2,-3,...). (-0
sayısı 0 sayısına eşit olduğundan ayrı bir tam sayı olarak sayılmaz). Matematikte tam
sayıların tümünü kapsayan küme genellikle
(ya da Z şeklinde gösterilir). Burada "Z" harfi Almanca Zahlen (sayılar)
sözcüğünün baş harfinden gelmektedir.
Pozitif tam sayılar "0"dan uzaklaştıkça büyür. Negatif tam sayılar ise "0"dan
uzaklaştıkça küçülür.
En büyük negatif tam sayı -1'dir. En küçük pozitif tam sayı ise +1'dir.
Mutlak değer, sayının başlangıç noktasına uzaklığını ifade eder. Başlangıç
noktasına eşit uzaklıktaki sayılar mutlak değerce eşittir. Mutlak değer içindeki her
sayı, mutlak değer dışına pozitif olarak çıkar.
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Mükemmel Sayı : 6 , 28 ,496 gibi kendisi hariç bütün pozitif çarpanları toplamı
kendisine eşit olan sayılara denir. Mükemmel sayılar sonsuz tanedirler. Genel
formülleri henüz bulunamamıştır. Ancak 2n(2n+1-1), sayısının her n çift sayısı ve 1
için mükemmel sayı olduğu görülebilir. Tabi buradan mükemmel sayıların çift sayı
oldukları anlamı çıkmamaktadır. Yani bu formülün tüm mükemmel sayıların ortak
formülü olup olmadığı bilinmemektedir. İlk 11 mükemmel sayı : 6, 28, 496, 8128,
130816, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128,
2658455991569831744654692615953842176,
191561942608236107294793378084303638130997321548169216
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
1 den büyük asal olmayan bir tamsayının rakamlarının toplamı,
sayı asal çarpanlarına ayrılarak yazıldığında bu yazılışta bulunan
tüm asal çarpanların rakamlarının toplamına eşit oluyorsa bu tür
sayılara Smith sayısı denir.
121 = 11 * 11
1+2+1 = 1+1+1+1
4=4
( 121 bir Smith sayısıdır. )
166 = 2 * 83
1+6+6 =2+8+3
13 = 13 ( 166 bir Smith sayısıdır. )
Bu sayının nasıl ortaya çıktığını merak ediyor musunuz?
1982 yılında matematikçi Albert Wilansky, kardeşi Smith’i ararken
onun telefon numarasının ( 4937775 ) bu ilginç özelliğini fark etmiş.
Bundan dolayı da bu sayılara Smith sayıları adını vermiş.
Bu sayıyı da inceleyelim;
4937775 = 3 * 5 * 5* 65837
4 + 9 + 3 + 7 + 7 + 7 + 5 = 3 + 5 + 5+ 6 + 5 + 8 + 3 + 7
42 = 42 (4937775 bir Smith sayısıdır. )
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Sayılar teorisi ile ilgili güzel, kolay anlaşılır ve doğruluğu henüz ispatlanmamış bir
diğer teorem de "Collatz teoremi". Lothar Collatz tarafından 1937 yılında ortaya
atılmış. "3n+1 Teoremi" olarak da biliniyor. 1985 yılında Paul Erdos, matematiğin
henüz bu problemi çözmek için yeterli olgunluğa erişmediğini söylemiş. Teorem
söyle:
Elinize herhangi bir pozitif tamsayı alın. Bu sayı çift ise ikiye bölün, tek ise 3 ile
çarpıp 1 ekleyin. Bu işlem sonucunda ulaştığınız sayıyı tekrar aynı değerlendirme
ve işleme tabi tutun.a Collatz teoremine göre, seçtiğiniz pozitif tamsayı kaç olursa
olsun bu işlem eninde sonunda 1 ile sonlanıyor. İşte örnekler
Seçilen sayı: 6
Adım 1: Sayı çift olduğu için 2'ye bölünecek, sonuç 3;
Adım 2: 3 tek bir sayı olduğu için 3'le çarpılıp 1 eklenecek, sonuç: 10
Adım 3: 10 çift olduğundan, 10/2 = 5
Adım 4: 5 tek sayı olduğundan 5*3+1 = 16
Adım 5: 16 çift, 16/2 = 8
Adım 6: 8 çift, 8/2 = 4
Adım 7: 4 çift, 4/2 = 2
Adım 8: 2 çift, 2/2 = 1
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Çokgensel sayılar: Bir çokgenin köşelerini baz alarak elde ettiğimiz sayı dizelerinden oluşur.
Yukarıdaki şekilde görülen çokgensel sayıları inceleyelim.
Üçgen sayılar 1, 3, 6, 10, 15, 21,... şeklinde devam eden sayılar dır.
Kare sayılar 1, 4, 9, 16, 25,... (Kare alma işlemiyle de aynı sonuca ulaşabilinir.)
Beşgen sayılar 1, 5, 12, 22, 35, …
Bu sayı örüntülerinin genel ifadelerini verelim.
Üçgen, kare, beşgen, altıgen, yedigen ve sekizgen sayılar hep çokgensel sayılardır ve alttaki formüllerle
bulunabilirler:
Üçgen P3,n= n(n+1)/2 ..........1, 3, 6, 10, 15, …
Kare P4,n= (n üzeri 2) ...........1, 4, 9, 16, 25, …
Beşgen P5,n= n(3n-1)/2 .......1, 5, 12, 22, 35, …
Altıgen P6,n= n(2n-1) ...........1, 6, 15, 28, 45, …
Yedigen P7,n= n(5n-3)/2 .....1 , 7, 18, 34, 55, …
Sekizgen P8,n= n(3n-2) .......1, 8, 21, 40, 65, …
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Matematikte Gerçek sayılar (veya reel sayılar) kümesi, oranlı sayılar (rasyonel sayılar) kümesinin standart
metriğe göre bütünlenmesiyle elde edilen kümedir. Reel sayılar kümesi
sembolüyle gösterilir. Daha basit söyleyişle, bir reel sayı, ondalık gösteriminde virgülden sonra sonsuz
basamağı olan bir sayıdır.
Her oranlı sayı (rasyonel sayı) bir reel sayıdır; virgülden sonra tekrar eden ondalık açılımı vardır (0 dahil).
Örneğin:
veya
veya
eşitliklerinde olduğu gibi. Burada dikkat edilmesi gereken, ondalık basamaklardaki rakamların bir süre
sonra bloklar halinde periyodik tekrar etme özelliğidir. Bu şöyle ispatlanabilir: m, n iki tamsayı (n pozitif)
olsun. m/n oranlı sayısı ondalık ifade edilmek istendiğinde, m 'yi n 'ye bölerken (bölme algoritmasını
uygularken) ilk adımda kalan 0 ile n arasında olacaktır. Kalanın yanına sıfırlar ekleyip bölmeye devam
edilecek ve bir sonraki adımda kalan yine 0 ile n arasında olacaktır. Sonsuz adımda sonlu sayıda değer
alabilen kalanlar, bir süre sonra aynı değeri alacak ve kendini tekrar edecektir.
Oranlı sayılardan reel sayıları elde etme işlemiyse oranlı sayılara ondalık açılımındaki rakamların devirsel
tekrar etmediği sayıların eklenmesi olarak düşünülebilir. Bu tür sonradan elde ettiğimiz reel sayılara
irrasyonel sayılar denir.
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Oranlı sayılar kümesine dahil olmayan Gerçek sayılardır. Kesir olarak ifade edilemeyen bu
sayılara π, e ve
örnek verilebilir. Q' veya I ile gösterilir. Bu sayılar belli bir düzeni olmaksızın sonsuza kadar
devam eden ondalık sayılar (örneğin pi sayısı) veya oranlı karşılığı olmayan kökler olabilir.
Örnekler: 3√7, √2, 5√(9/8)...
3√64 veya √(4/9) irrasyonel sayılar değildir çünkü rasyonel karşılıkları vardır:
3√64=4
√(4/9)=2/3
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Matematikte, rasyonel veya oranlı sayılar (veya kesirler) iki tamsayının birbirine oranı ile ifade edilebilen
sayılardır.
Oranlı sayılar b sıfır olmamak üzere a/b şeklinde (a ve b tamsayı) yazılabilir. 2/3 ve 4/6 veya 6/9 eşdeğer
oranlı sayılardır.
Dolayısıyla her oranlı sayı sonsuz şekilde ifade edilebilir. Oranlı sayıların en basit formu a ve b
tamsayılarının ortak böleninin
olmadığı a/b ifadesidir
veya
veya
Her tam sayı oranlı sayıdır. Çünkü
şeklinde yani oranlı sayı tanımına uygun biçimde yazılabilirler. Oranlı sayılar kümesi
, tam sayılar kümesi
'yi kapsar. Yaani
.
Tanım Oranlı sayılar kümesi, tam sayıların bir genişlemesidir ve Q ile veya
ile gösterilir.
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Matematikte karmaşık sayı, bir gerçel bir de sanal kısımdan oluşan bir nesnedir. Karmaşık sayılar şu
biçimde gösterilirler
Genel olarak karmaşık sayılar için "z" harfi kullanılır. a ve b sayıları gerçel olup
özelliğini sağlayan sanal birime i denir. Kimi zaman özellikle elektrik mühendisliğinde i yerine, j kullanılır.
Ayrıca matematikte bu sayıların uzayı c olarak gösterilir. Bu harfin seçilmesinin nedeni İngilizce'de
karmaşık sözcüğünün karşılığı olarak complex sözcüğünün kullanılmasıdır, nitekim bazı Türkçe
kaynaklarda complex sözcüğünden devşirilen kompleks sözcüğüne de rastlanabilir. Karmaşık sayılara
böyle bir adın verilmesinin nedeni ise aşağıda da göreceğimiz gibi gerçel ve sanal kısımların bir arada
durmasıdır.
Bütün gerçel sayılar sanal kısımları sıfıra eşit olan birer karmaşık sayı olarak düşünülebilir. Diğer bir
deyişle gerçel sayılar, karmaşık sayı düzleminde gerçel sayılar ekseni üzerinde bulunurlar.
Bir z karmaşık sayısının gerçel ve sanal parçaları sırasıyla Re(z) ve Im(z) şeklinde gösterilir. Bütün bu
tanımları ve özellikleri bir örnekte gösterelim.
sayısı gerçel kısmı Re(z) = 4, sanal kısmı Im(z) = − 7 olan
C uzayında bir karmaşık sayıdır. Gerçel sayılar, karmaşık sayıların alt kümesi olduğu için,
R uzayındaki cebrin hepsi dolayısıyla c uzayında da tanımlıdır. Bunun dışında karmaşık sayıların başka
özellikleri de vardır. Örneğin bir karmaşık sayı düzlemde bir vektör olarak temsil edilebilir.
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
n
0
1
1
1 1
2
1 2 1
3
1 3 3 1
4
1 4 6 4 1
5
1 5 10 10 5 1
6
1 6 15 20 15 6 1
7
1 7 21 35 35 21 7 1
8
1 8 28 56 70 56 28 8 1
↓
Pascal üçgeni, binom açılımındaki katsayıları bulmaya yarar. Pascal'ın bu üçgeni, olasılıklar kuramında da
ustalıkla kullanılır. Bu üçgen, biyolojideki uygulamalar, matematik, istatistik ve pek çok modern fizik
konularında uygulama alanı bulur. (Bazı kaynaklara göre eski Çinliler de üçgeni tanımışlar; bazıları da
Pascal üçgeni diye aslında bir Hayyam üçgeninden bahsetmişlerdir.)
Olasılıklar kuramının çıkış nedeni, Pascal'a kumarbaz Chevalier de Mere tarafından önerilmesiydi. En
önemli görevi de elli iki kâğıt oyunu oynuyordu. Bu ara tavla zarlarının, şekilleri aynı olan ayrı renkli
bilyelerin önemi büyüktür. Buna bağlı olarak, ünlü Pascal üçgeni doğdu. Pascal'ın bu üçgeni, daha sonraki
yıllarda çok kullanıldı. Özellikle seri açılımları ve binom açılımı bu yöntemle kolaylıkla bulunur.
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
İskoç matematikçi Joun Napier’in (1550 – 1617) Napier’in kemikleri (Napier’s
rods veya Napier’s bones) adıyla anılan hesaplama aletleri de çerçeve
metoduyla çarpma temeline dayanmaktadır ve günümüzdeki modern
bilgisayarların en ilkel numunelerinden sayılmak¬tadır. Bunlarda 0’dan 9’a
kadarki herbir rakam için ayrı bir çubuk mevcuttur ve her bir çubukta o
rakamın 1’den 9’a kadarki katları çerçevelerde yazılı bulunmaktadır. Bunlara
ek bir de index denen çubuk vardır ki bu da rakamların, katlarını
belirtmektedir. Napier’in kemikleri mekanik olarak çarpma, bölme ve karakök
alma işlerinde kullanılmaktaydı ve bunlar o devirde özellikle tüccarlar
tarafından yaygın olarak kullanılmaktaydı. Bunun dışında Napier 1614 yılında
logaritmayı (karmaşık görünümlü sayılarla çarpma ve bölme yaparken, üsleri
kullanarak, bu işlemleri toplamaya dönüştürme yöntemi) bularak hesaplamak
devrim yapmıştır.Resimi büyütmek için tıklayın.
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
Miletli Thales (d. M.Ö. 624 – ö. M.Ö. 546), Sokrates öncesi dönemde yaşamış olan
Anadolu'lu bir filozoftur.
İlk filozof olduğu için Felsefenin ve bilimin öncüsü olarak adlandırılır.
Eski Yunan'ın Yedi Bilgelerinin ilkidir. Birçok kişi tarafından felsefe ve bilimin kurucusu
olarak düşünülür.
Elimize ulaşmış hiçbir metni yoktur.
Yaşadığı döneme ait kaynaklarda da adına rastlanamaz ancak hakkındaki bilgiler Herodot
ve Diogenes
Laertios gibi antik yazarlardan edinilir.
Bertrand Russell'e göre Felsefe Thales'le başlamıştır.
Thales Teoremi :
Matematik alanında çığırlar açmış birisidir. Eski Yunan bilginlerinden Kallimakhos'un
aktardığı bir düşünceye göre denizcilere kuzey takım yıldızlarından Büyükayı yerine
Küçükayı'ya bakarak yön bulmalarını öğütlemiştir. Aynı zamanda Mısırlılardan geometriyi
öğrenip Yunanlılara tanıtmıştır. Bulduğu bazı geometri teoremleri şunlardır:
•Çap çemberi iki eşit parçaya böler.
•Bir ikizkenar üçgenin taban açıları birbirine eşittir.
Anasayfa
Aritmetik
Geometri
İtalyan papazı ve matematikçisi olan Cavalieri, 1598 tarihinde Milano'da doğdu.
Galile'nin en iyi öğrencilerinden biri olan Cavalieri, 1629 yılından ölünceye kadar
Bologna'da matematik okuttu. Astronomi ve küresel trigonometriyle ilgilendi.
Logaritma ve hesaplarının İtalya'da uygulanmasında öncülük etti.
"Süreklilerin Bölünmezleri Yolundan, Yeni Bir Yöntemle İlerletilmiş Geometri" adlı
eseri 1635 yılında yayınlandı. Bu eserinde, "bölünmezler" kuramıyla büyük bir ün
kazandı. Bu kuram, geometrik büyüklükleri, sonsuz öğeli bir sayıdan oluşmuş
kabul eder. Bu öğeler, geometrik büyüklüğün ayrılabileceği en son terimdir. Bu
nedenle de bölünemez olarak nitelenir. Uzunlukların, yüzeylerin ve hacimlerin
ölçülmesi sonsuz sayıda bölünmezlerin toplamından başka bir şey değildir. Belirli
bir integralin hesaplanması da bu ilkeye dayanır. Cavalieri, bu teoremiyle bugünkü
sonsuz küçükler hesabı denen analizin öncüsü olarak sayılabilir. 1647 yılında
Bologna'da ölen Cavalieri'nin kendi adıyla anılan postülatları, teoremleri ve
bunlardan başka kitapları da vardır.