vbbv

Zamanla Değişen Alanlar ve
Maxwell Denklemleri
Elektrik ve Manyetik Kuvvet
Bir elektrik alan içerisine küçük bir q test yükü yerleştirildiğinde, q’nun
konumunun fonksiyonu olan bir elektrik kuvveti oluşur.


Fe  q.E
[N]
Manyetik alan içindeki test yükü hareket ettiğinde, q yükü aynı zamanda bir
manyetik kuvvet ile karşılaşır.

v

B

 
Fm  q.v  B [N]
: Hareket eden yükün hızı [m/s]
: Manyetik akı yoğunluğu [Wb/m2] veya [T]
Elektrik ve Manyetik Kuvvet arasındaki farklar
• Elektrik alan tarafından uygulanan kuvvet alan
çizgileri ile aynı yöndedir. Manyetik alan
tarafından uygulanan kuvvet ise alana diktir.
• Elektrik alan kuvveti hem hareketli hem de
hareketsiz yükler üzerinde etkiliyken, manyetik
kuvvet sadece hareketli yüklere etki eder.
Elektrik ve Manyetik Kuvvet
Elektromanyetik Kuvvet
(Lorentz Kuvveti)
• Hareketli yüke etki eden Elektromanyetik kuvvet;

  
F  q (E  v B)
örnek

v  (ıˆx  ıˆy ) [m / s]
hızıyla hareket eden q yüklü bir parçacığa

B  (ıˆx  2.ıˆz ) [Wb / m 2 ]
alanı içinde kuvvet etki etmiyorsa elektrik alan
vektörünü bulunuz.

F 0

 
0  q.E  q.v  B

   
E  v  B  B  v

E  (2ıˆx  2ıˆy  ıˆz ) [V / m]
Örnek


ˆ
Bir bölge için E  E0 .ı y ve B  B0 .ıˆz dik alanları verilsin.
Küçük bir test yükü t=0 anında alan içinde hareketsiz olsun. Hareket
denklemlerini bulalım.

  
F  q( E  v  B)
dv y
dv
dv
q[ E0 .ıˆy  (v x .ıˆx  v y .ıˆy  v z .ıˆz )  B0 .ıˆz ]  m[ x .ıˆx 
.ıˆy  z .ıˆz ]
dt
dt
dt
dv y
dvx
dv
ˆ
ˆ
ˆ
[q.E0  q.v x .B0 ].ı y  q.v y .B0 .ıx  m[
.ıx 
.ıˆy  z .ıˆz ]
dt
dt
dt
dv y
dv
q.E0  q.v x .B0  m.
q.v y .B0  m. x
dt
dt
2
2
d 2vx  q.B0 
q

.
v

 x   .B0 .E0
dt  m 
m
İkinci dereceden
diferansiyel denklemin
çözümünden hız
bileşenleri bulunur.
E0
vx 
 C1. cos wc .t  C2 . sin wc .t
B0
q.B0
wc 
m
1 dvx
vy 
.
 C1. sin wc .t  C2 . cos wc .t
wc dt
Başlangıç koşullarından C sabitleri hesaplanır. v x  v y  0
, t 0
E0 E0
vx 

cos wc .t
B0 B0
E0
vy 
sin wc .t
B0
Hız bileşenlerinin zamana göre integrali, konumun zamana göre değişimini verir.
E0
E0
x
.t 
sin wc .t  C3
B0
wc .B0
E0
y
cos wc .t  C4
wc .B0
Başlangıç koşulları; t=0’da x=y=o
x
E0
E
.t  0 sin wc .t
B0
wc .B0
E0
E0
y   cos wc .t 
B0
wc .B0
z0
Hans Christian Ørsted, (d. 14 Ağustos 1777 – ö. 9 Mart 1851). Danimarkalı
profesör, fizikçi ve kimyager.
1819 yılında, Hollandalı bilim adamı Hans Christian
Oersted, manyetizma ile elektrik arasında çok önemli
bir ilişki keşfetti. Oersted, bir iletkenden geçen
elektrik akımının sadece sürtünmeden dolayı ısı
üretmediğini aynı zamanda kendi çevresinde bir
manyetik alan oluşturduğunu fark etti.
Michael Faraday, (d. 22 Eylül 1791, 25 Ağustos 1867) İngiliz bilim adamı
• Oersted’in bu keşfinden sonra 1831 yılında İngiliz bilim adamı
Michael Faraday, bir iletkenden geçen akımın manyetik alan
oluştururken acaba bir manyetik alanın da bir iletken üzerinde akım
oluşturup oluşturamayacağını (indüksiyon) merak etti. Bunun
üzerinde Faraday aşağıdaki resimdekine benzer bir düzenek
hazırladı.
• Düşüncesine göre anahtarı kapattığında
sağdaki sargı nedeniyle demir çekirdek
manyetik olacak ve soldaki sargı da
oluşan bu manyetik alan nedeniyle
üzerinden akım geçirecekti. İndüklenen
bu akım da, Oersted’in keşfine göre
pusula etrafında manyetik alan
oluşturacak ve pusula iğnesi sapma
yapacaktı.
Ancak durum Faraday’ın tahmin ettiği gibi olmadı. anahtarı kapatıp beklediğinde
pusulada herhangi bir sapma olmuyordu ancak anahtarı kapattığı anda pusula çok
hızlı bir şekilde sapıyor ve eski pozisyonuna geri dönüyordu. Bunu bir de anahtarı
açarak denedi ve gördü ki bu kez pusula çok hızlı bir şekilde ters tarafa sapmış ve
eski pozisyonuna geri dönmüştü.
Faraday bu deneyden, akımın beklediği gibi sabit bir manyetik alandan değil
değişen manyetik alandan dolayı oluştuğunu (indüklendiğini) anladı ve Faraday
Yasası ortaya çıktı.
İntegral Formunda Faraday Kanunu
• Bir elektrik akımı sabit bir manyetik alan içerisinde bulunduğu
taktirde buna bir elektromanyetik kuvvetin etki edeceğini
biliyoruz. Meydana gelen ve akıma etkiyen bu kuvvet etkisi ile,
üzerinden akım geçen iletken hareket eder.
• Bunun karşıtı olarak, iletken bir devre bir magnetik alan
içerisine konup hareket ettirilirse, bu devreden bir akımın
geçtiği görülür. Bu olay manyetik indüksiyon olayı olarak
adlandırılır ve devreden akım geçmesine neden olan bu
elektromotor kuvvete de indüksiyon elektromotor kuvveti
denir.
İntegral Formunda Faraday Kanunu
• İletken devrede böyle bir e.m. Kuvvetin doğuşu, bu devre içinden B
alanının geçirdiği  akısının değişmesinden kaynaklanır. Devreyi sabit
B alanı içinde hareket ettirerek içinden geçen akıyı değiştirebiliyoruz.
Eğer devre hareket etmezse akı sabit kalır ve e.m.k meydana gelmez.
• emk, sabit bir devre içinden zamana göre değişen bir akı geçirerek de
elde edilebilir.
LENZ KANUNU
İndüksiyon e.m.k.’nın yönü, genel bir şekilde Lenz kanunu ile verilmiştir. Bu
kanun “İndüksiyon elektromanyetik kuvveti, kendini doğuran sebebe karşı
koyar “ diye ifade eder.
İndüksiyon akım yönlerini bulunuz
+++++++++
+++++++++
+++++++++
+++++++++
+++++++++
+++++++++
|B| artıyor
............
............
............
B
............
............
............
|B| artıyor
+++++++++
+++++++++
+++++++++
+++++++++
+++++++++
+++++++++
|B| azalıyor
............
............
............
B
............
............
............
|B| azalıyor
+++++++
+++++++
+++++++
+++++++
+++++++
Yol, B’nin
dışında
|B| azalıyor
Elektromanyetik İndüksiyon
DC Motor ve Jeneratörler
DC Motor
Jeneratörler
Elektrik motoru  jeneratör
• Elektrik motoru:
– Elektrik enerjisini mekanik
• Jeneratör:
enerjiye dönüştürür
– Mekanik elektrik enerji.
– Üzerinden akım akan çevrim
manyetik alan içinde döner
– Manyetik alan içinde dönen
iletken çevrim, elektrik akımı
üretir.
Transformatör
Transformatör
Transformatör
Endüksiyon ile Isıtma Prensibi
Endüksiyon ısıtmanın genel prensibi elektromanyetik enerjinin ısı enerjisi haline
dönüştürülmesine dayanır. Değişken bir manyetik akım iletken madde üzerinde bir
gerilim indükler. ( Faraday kanunu ) İndüklenen bu gerilim , ( Lenz kanunu' na göre )
iletken üzerinde kendisine karşı oluşturulan akıma karşı koyacak şekilde bir akım yaratır.
İletkende yaratılan bu eddy akımı I²x R ile tanımlanan gücü ısı enerjisi halinde açığa
çıkarır.
B alanı içinde v hızı ile hareket eden elemanter dq yüküne etkiyen kuvvet:

 
dF  dq.v  B
olacaktır.
Bu eşitliğin her iki tarafını dq’ya bölersek;

dF  
vB
dq
olur. Bu da birim yüke etki eden kuvveti verir. Bir noktada birim yüke etki eden
kuvvet , o noktadaki elektrik alanın şiddetidir. Burada dq yükü hareketli bir yük
olduğu için bu ifade elektrik alanı şiddetinin tanımına tam olarak uymazsa da
boyut bakımından elektrik alandan farklı değildir. Biz bu alana dq yükü v hızı ile
hareket ettiği için, elektromotor alan diyeceğiz.



Em  v  B
Em’nin A ve B arasında hesaplanan eğrisel integrali bu iki nokta
arasında hareket eden elektrik yükünün meydana getirdiği ve yine Volt
cinsinden ifade edilen indüksiyon e.m kuvvetini verecektir.
  B   
e.m.k   Em .dl   (v  B).dl
b
a
A
Eğer dq yükü bir iletkenin A ve B gibi iki noktası arasında değil de kapalı bir
devre oluşturan bir C eğrisi boyunca hareket ederse, meydana gelen
indüksiyon elektromotor kuvveti aşağıdaki gibi olacaktır.
 
  
e.m.k   Em .dl   (v  B).dl
İndüksiyon e.m.k’nın Faraday tarafından deneyle bulunmuş olan
başka bir ifadesi aşağıdaki gibidir.
dm
d  
e.m.k   N .
  N .  B.ds
dt
dt s
 
d  
E
.
d
l


B
.
d
s
c

dt s
FARADAY
KANUNU
Bir kapalı eğri içinden geçen manyetik akı değişimi, bir gerilim
doğmasına sebep olur.
𝑒. 𝑚. 𝑘 =
𝑑∅
𝐸. 𝑑𝑙 = −
𝑑𝑡
Örnek
z=0 düzleminde 0.65 m2’lik bir alan bir iletkenle çevrilmiştir.

3  ıˆx  ıˆz 
B  0.05. cos10 t 
 [T ] verildiğine göre indüklenen gerilimi bulunuz.
 2 
B
emk   
.ds.ıˆz 
t
s
 ıˆx  ıˆz 
s 50. sin 10 t  2 .ds.ıˆz
3
 23. sin 103 t
z
B
iz
ds
i
x
y
Alan kosinüs fonksiyonunun ilk yarı domeninde
azalmaktadır. Kapalı bir devrede i’nin yönü bu
azalmaya karşı koyacak şekilde olmalıdır.
Örnek
Yarıçapı 40cm olan dairesel iletken xy düzleminde yer almaktadır ve 20 ohm’luk
dirence sahiptir. Bölgedeki manyetik akı yoğunluğu;

B  0,2. cos 500 t.ıˆx  0,75. sin 400 t.ıˆy  1,2. cos 314 t.ıˆz [T ]
olduğuna göre çerçevede akacak akımın efektif değerini bulunuz.

ds  r.dr.d .ıˆz
z
  0.42
   B.ds    1,2. cos 314t.r.dr.d
s
0 0
 0,603. cos 314t [W ]
d
 0,603.314. sin 314t
dt
0,603.314
133,9
efektif emk 
 133,9 [V ] I 
 6,69[ A]
20
2
emk  
y
R=20
ohm
x
Diferansiyel Formda Faraday Kanunu
(Maxwell-Faraday denklemi)
Kapalı bir devre içerisinden geçen manyetik akının değişmesi devrenin uçlarında bir
akım indüklenmesine sebep olmaktadır. İndüksiyon elektromotor kuvveti aşağıdaki
gibi tanımlanmıştı:
 
d  
c E.dl   dt s B.ds
 
  
d  
c E.dl  s (  E ).ds   dt s B.ds

Maxwell 
B
Faraday
 E  
denklemi
t
Her iki tarafın diverjansı alınırsa;

  
B  
.  E  . (.B)  0
t
 
.B  sabit
 
veya .B  0
Süreklilik Denklemi ve Kirchoff’un Akım Yasası
• Durağan veya hareketli yükler yaratılamaz ve yok edilemez. S yüzeyi tarafından
sınırlandırılmış kapalı bir V hacmi düşünelim. Bu bölgede net Q yükü olsun. Şayet
bölgeden dışarıya bir I akımı akarsa, hacimdeki yük miktarı akıma eşit şekilde azalır.
 
dQ
d
I   J .ds  
    v .dv
dt
dt v
 
d
I   (.J ).dv     v .dv
dt v
v
 
 v
3
.J  
[A/ m ]
t
Süreklilik
denklemi
Sabit akımlar için yük yoğunluğu zamanla değişmez,
 v
0
t
 
.J  0 
 
 J .ds  0
s
Bu denklem aşağıdaki gibi yazılabilir:
Ij  0
j
Kirchoff’un akım
yasası
• Bir iletkenin içinde üretilen yükler iletken yüzeyine doğru
hareket ederler, denge koşulları altında hacimsel yük
yoğunluğu ve elektrik alan sıfır olacak şekilde yeniden
dağılırlar.
 v   0 .e
0




.t

[C / m3 ]
: t=0 anı için yük yoğunluğudur.
Başlangıçta yük yoğunluğu 0 ise, =/ (s) zamanında 1/e değerine
düşer.
 : gevşeme zamanı
Maxwell-Amper Denklemi
• Gauss kanunu, integral formunda deplasman vektörü kullanılarak aşağıdaki gibi
yazılabilir.

J
 
 D.ds  q
Vektörünün sağladığı akım:
 
ia   J .ds
s
Deplasman akımı
Amper kanununda yerine konursa
Stokes teoriminden

 
  D 
  B  0  J 

t 

idep
dq d  

  D.ds
dt dt s
 
   d  
 B.dl  0 s J .ds  dt s D.ds 
  
   d  
s (  B)ds  0 s J .ds  dt s D.ds 
Maxwell-Amper denklemi

 
  D 
  B  0  J 


t


Eşitliğin her iki tarafının diverjansı alınırsa


J   v
t

      D 
.  B  . 0  J 

t 

  
  
  0 .J  ( 0 ..E )  0
t


Süreklilik denklemi ile karşılaştırılırsa
   v
J 
0
t
  

( 0 .E ) 
t
t
 
 0 ..E  
  
.E 
0
Maxwell’in
diverjans
eşitliği
Deplasman (Yerdeğiştirme) akımı ve
kondansatörler
DC kaynak bağlandığı zaman devreden akan akım I=0’dır. Belli bir frekansa sahip gerilim
kaynağı bağlandığı zaman ise, zamana göre değişen bir akım aktığını görürüz.
Deplasman (Yerdeğiştirme) akımı ve
kondansatörler
Plaka
üzerindeki
serbest yükler
1. tabaka
2. tabaka
Teldeki iletkenlik akımı
Kondansatördeki deplasman
akımı.
Gerilim zamana göre
değişince, yük de zamana
göre değişecektir.
Maxwell Denklemlerinin
Diferansiyel Formu
  
1  .E 
0

 
B
2  E  
t
 
3  .B  0

 
  D 
4    B  0  J 

t 

Maxwell Denklemlerinin
İntegral Formu
 
1   D.ds    v .dv
v

 
B 
2   E.dl   
.ds
t
s
 
3   B.ds  0



  D  
.ds
4   H .dl    J 


t

s