Yirminci Yüzy›lda Matemati¤i Sarsan Temel Düflünceler

Matematik Dünyas›, 2004 Yaz
Yirminci Yüzy›lda Matemati¤i
Sarsan Temel Düflünceler
Timur Karaçay* / [email protected]
erhaba! Hepinize hofl geldiniz diyor, ve bu
3. Biçimsellik (formalism - Hilbert ekolü)
güzel bahar gününde “matematik” dinleme
Bu ekoller aras›nda çok sert tart›flmalar oldu.
Tart›flmalardan büyük düflünceler do¤du. Ama ne
cesaretini gösterdi¤iniz için sizleri kutluyorum.
Matematik-2001 etkinliklerinde matemati¤in
bu tart›flmalardan önce ne de sonra kimse “Neden
güzelli¤ini ve gücünü anlatmaya çal›flm›flt›m. Mamatematik?” sorusunu sormad›. Matemati¤in yadtematik-2004 etkinliklerinde, ayn› sözleri yineles›namaz gereklili¤i ve gücü asla kuflku uyand›rmad›.
mek yerine, 20inci yüzy›lda matemati¤in temelleriMatematik, do¤al olarak insano¤lunun yaflam›na
ni derinden sarsan düflünceleri konu etmek istiyogirmifltir. O dildir, sanatt›r, bilimdir. Bugün içinde
yaflad›¤›m›z bilimi, teknirum. Umar›m söyleyeceklerim
matemati¤e
¤i, teknolojiyi yaratm›flolan güvenimizi sarsmat›r. Uygarl›¤›m›z›n temelindedir. ‹nsanl›¤›n refah›
yacak, yaln›zca insan akl›n›n yaratt›¤› görkemli
ve mutlulu¤u için ortaya
bir tiyatroyu seyretmekonan her çaba içinde
matematik varolmufltur,
mizi sa¤layacakt›r1.
Matemati¤in sa¤lam
varolmay› sürdürecektir.
yap›s›ndan asla kuflkuBilim, matemati¤i
David
Hilbert
L.E.J.
Brouwer
Bertrand
Russell
lanmadan rahat yaflant›sa¤lam ve güvenilir bir
m›z› sürdürürken, 20inci
araç olarak görmüfltür. O
yüzy›l›n bafllar›nda o görkemli yap›n›n temellerine
kadar ki, ço¤unlukla, bir bulgu ya da kural›n “bisular inmeye bafllad›. Bunun öyküsünü k›saca özetlimsel” olarak nitelenmesi için, onun matematik
lemeye çal›flaca¤›m. “K›saca” diyorum, çünkü gediliyle söylenmifl olmas› gerek ve yeterli say›lm›flt›r.
çen yüzy›lda matematikteki her geliflim bafll›bafl›na
Matemati¤in ortaya ç›kard›¤› kurallar›n (teoremlebir ekoldür.
rin) do¤rulu¤undan kimse kuflku duyamaz. KendiBu ekolleri üç ana gruba ay›r›rsak çok k›s›tlasine yak›flt›rd›¤›m›z güzel nitelemelerin hepsini fazy›c› olmay›z:
las›yla haketmifltir. Matematik, kuflkusuz, insan
1. Usbilimsellik (logicism - Russell ekolü)
akl›n›n yaratt›¤› en yüce, en de¤erli yap›tt›r.
2. Sezgisellik (intuitionism - Brouwer ekolü)
Neden matematik bu kadar kesindir, neden
kimse do¤rulu¤undan kuflku duymaz? Buna veri* Baflkent Üniversitesi ö¤retim üyesi. Yazar›n 5-7 May›s 2004
len yan›tlar farkl›d›r. Ço¤umuzun benimsedi¤i yatarihleri aras›nda Matematikçiler Derne¤i taraf›ndan Ankara’da düzenlenen “Matematik Etkinlikleri”nde verdi¤i bir
n›t fludur: Matematik tümdengelimlidir (deductikonuflmadan derlenmifltir.
ve’dir.) Bir tümcenin do¤rulu¤undan bir baflka
1 Konuflmama geçmeden önce, bir fleyi aç›klamam gerekiyor. Bu
tümcenin do¤rulu¤unu ç›karmak için “ç›kar›m kukonuflmay› haz›rlamaya haftalar önce bafllad›m. Günlerce, kafamda kurgusunu yapt›m. Sonra yazmaya koyuldum. Bir korallar›” kullan›r. Kulland›¤›m›z usbilim (mant›k,
nuda yazarken, böyle yapmay› al›flkanl›k edinmiflim. Kurgulogic) do¤ru önermelerden yanl›fl önermeler ç›karyu yaparken, aç›l›fla gelecek ve ço¤unlu¤u matematikçi
maz. ‹ki bin y›l önce do¤ru bir önermeden yola ç›kolmayabilecek dinleyicileri s›kmamak için, a¤›r matematiksel
düflünceleri hafifleterek, biraz da gülmece havas›na sokarak
m›flsak, iki bin y›l sonra ulaflaca¤›m›z yeni önerme
anlatmay› düflündüm. Harika bir ifl yapman›n heyecan›n› yade do¤rudur. ‹ki bin y›l önce ortaya konmufl olsa
flarken Matematik Dünyas›’n›n 4 numaral› 2004 K›fl say›s› elibile, matematiksel ç›kar›mlar bugünküler kadar
me geçti. Ali Nesin bu ifli benim asla yapamayaca¤›m güzellikte ve sab›rla yapm›fl. Elimde olsa, bu konuflmay› ona
taptazedir. ‹ki bin y›l sonrakiler de öyle olacakt›r.
yapt›rarak cezaland›rmak isterdim. Bu arada, Ali Nesin’i ve
Bu görüfl, bütün matematik sistemini, kullandergi ekibini kutlarken, bir matematik dergisini bu denli ilginç
k›lan t›ls›m› bilebilmeyi çok istedi¤imi belirtmeliyim.
d›¤›m›z usbilime (mant›¤a) ve en baflta varsayd›¤›-
M
57
Matematik Dünyas›, 2004 Yaz
Matemati¤in Temelleri
Matemati¤in temelleri konusunda matematikçiler her zaman uzlaflamam›fllard›r. Bu nedenle, temel tan›mlamak yerine, temele dayanarak tan›mlanacak bafll›ca kavramlar› s›ralamak daha uygun
olur. Hemen akl›m›za gelenler: say›lar, kümeler,
kategoriler, fonksiyonlar, sonsuzluk, tümevar›m,
usbilimsel (mant›ksal) araçlar, geometri, topoloji…
Tümevar›m - Tümdengelim
Bugüne dek kimse 200 y›ldan fazla yaflamam›flt›r. Bu gözlemden yola ç›karak, herkesin 200
yafl›ndan önce ölece¤i ç›kar›m› yap›labilir. Bu tür
ç›kar›mlara “tümevar›msal” denir, çünkü özelden genele (tüme) var›rlar. Matematikte bu yöntem kabul edilemez. Tam tersine matematikte
genelden özele inilir (tümdengelim). “Her insan
ölümlüdür, Sokrates bir insand›r, dolay›s›yla
Sokrates ölümlüdür” önermesinde oldu¤u gibi.
Tümevar›m yöntemiyle, bugüne dek hiç ölmedi¤imden bundan sonra da hiç ölmeyece¤imi
ç›karabilirim!
Say›lar kuram›naki “tümevar›mla kan›t”
yöntemi bambaflka bir fleydir, yukar›da sözedilenle bir ilgisi yoktur.
Aray›fllar
Burada matemati¤in tarihini verecek de¤ilim.
Ama matemati¤in temellerini sarsan düflüncelere
ulaflabilmek için, matematiksel usbilime geliflin k›sa
resmigeçitini söylemeden
olmaz.
Aristo (M.Ö.384-322).
‹ki de¤erli usbilimin kurucusudur. Organon (Alet)
adl› yap›t› insanl›¤a miras
kalan en büyük yap›tlardan
biridir. Aristoteles 14 usavurma kural› (syllogism) Aristo (sağda) ve hocası
verdi. Bu kurallar bugünkü Eflatun. Rafael’in bir başyapıtından detay
biçimsel mant›¤›n temelidir
ve 2000 y›l› aflk›n bir zaman dilimi içinde insano¤lunun düflünme ve do¤ruyu bulma eylemini etkisi alt›nda tutmufltur. Kuflkusuz, matematik de bundan
nasibini alm›flt›r.
m›z belitlere (aksiyomlara) ba¤lar. Belitleri de¤ifltirdi¤imizde çok farkl› sistemler elde etti¤imizi
çoktan beri (Öklityen olmayan geometrilerin ortaya ç›k›fl›yla) biliyoruz. Art›k belitleri de¤ifltirmeyi
çok yad›rgam›yoruz.
Peki, kulland›¤›m›z usbilim (mant›k sistemi)
de¤iflirse ne olur? ‹flte bu yad›rgan›r. Hiç de¤ilse,
matematikçilerin büyük ço¤unlu¤u, usbilimi de¤ifltirme düflüncesine karfl›d›r. Konuflmam›n bir yerinde farkl› usbilim konusuna biraz de¤inece¤ism.
Ç›kar›m Kurallar›
Blaise Pascal (1623-1662). Herkesin gördü¤ü,
bildi¤i apaç›k bir gerçe¤i, Pascal, matematik diliyle
ifade etti: “Bir para at›ld›¤›nda, ya yaz› ya tura gelir. Yaz› gelme olas›l›¤›
1/2, tura gelme olas›l›¤›
da 1/2’dir. Bu iki olas›l›¤›n toplam› 1/2 + 1/2 = 1
eder.” Bu basit gerçek,
olas›l›k kuram› (probability theory) adl› bilim
dal›n› do¤urdu. Bu bilim
dal›n›n, biçimsel usbiBlaise Pascal
limle yak›n iliflkisi o günlerde hiç sezilmiyordu; çünkü biçimsel usbilime matematiksel yöntemler henüz kar›flmam›flt›.
Do¤rulu¤u bilinen ya da varsay›lan önermelerden yeni önermeler ç›karmak için en az bir
kurala gereksinilir. Genel kabul gören matematikte “modus ponens” denilen tek bir ç›kar›m
kural› vard›r: E¤er ϕ önermesi do¤ruysa ve ϕ
önermesi do¤ru oldu¤unda ψ önermesi de do¤ru oluyorsa o zaman ψ önermesi de do¤rudur.
Bu ç›kar›m kural› biçimsel olarak,
ϕ
ϕ→ψ
ψ
olarak gösterilir.
Belitleri azaltarak ç›kar›m kurallar›n› art›rabilir ya da ç›kar›m kurallar›n› azaltarak belitleri
ço¤altabiliriz. Ama her zaman en az bir belit ve
en az bir ç›kar›m kural› gereklidir.
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Matematikte usbilimselli¤in (logicism) ilk belirtileri
58
Matematik Dünyas›, 2004 Yaz
onunla ortaya ç›km›flt›r. Usavurma sürecini konuflulan dilden ve anlamdan (semantikten) ba¤›ms›z k›larak ona matematiksel ve biçimsel (sentetik) bir yap› kazand›rmaya çal›flan ilk kifli olan Alman matematikçi ve filozof Leibniz’in
yapt›¤› iflin önemi ölümünden
G. W. Leibniz
iki yüzy›l sonra anlafl›labilmifltir. Dissertatio de Arte Combinatoria (1666) adl›
eserinde simgesel bir dil yaratmay› düflündü. “Evrensel tam notasyon sistemi” dedi¤i bu dilde, her
kavram en küçük bileflenlerine ayr›flacak, kavramlar bu bileflenler cinsinden ifade edilecektir. Lingua
characteristica universalis, calculus ratiocinator
(ak›l yürütmenin hesab›) adl› projeleri kuramsal
olarak bile gerçekleflemedi. Yaflarken yay›mlanmam›fl usbilimsel makalelerinin önemi, ölümünden
çok sonra anlafl›lacakt›r.
Immanuel Kant (1724-1804).
1794’te mant›¤›n tamamen ifllenmifl, bitirilmifl, sona erdirilmifl bir
dal oldu¤unu ifade etmifltir. Kant
yan›l›yordu. Mant›¤›n görkemli
dönüflü henüz bafllamam›flt›.
Önermeler Mant›¤›/Yüklemsel Hesap
Önermeler mant›¤›nda bir önermenin anlam›
önemli de¤ildir, önemli olan önermelerin do¤ruluklar› ve yanl›fll›klar› aç›s›ndan birbirleriyle
olan iliflkileridir. “Her say›n›n karesi s›f›rdan
büyükeflittir” önermesi yüklemsel hesab›n kapsam›ndad›r. Günlük dille ifade edelim: “x’in
rengi y’dir” tümcesinin x çimen ve y yeflil oldu¤unda do¤ru olmas› yüklemsel hesab›n çal›flma
alan›na girer.
sansa x ölümlüdür” önermelerinde oldu¤u gibi.
Önermeleri de¤iflkenleriyle birlikte irdeleyen mant›k
dal›na yüklemsel hesap denir. Yüklemsel hesap, Frege’nin bulgular›ndan esinlenilerek 1910 ve 1920’lerde önermeler mant›¤›n›n üstüne kurularak bulunmufltur ve önermeler mant›¤›ndan daha güçlüdür.
Basitten Karmafl›¤a. 1820’lerden sonra Bolzano, Abel, Cauchy ve Weierstrass gibi ünlülerin,
kendi zamanlar›nda matematikte beliren baz› belirsizlikleri gideren önemli bulufllar› oldu. 19uncu
yüzy›l›n sonlar›nda Hamilton karmafl›k say›lar›
temsil etmek için gerçel say› çiftlerini kulland›.
Rasyonel say›lardan hareketle irrasyonel say›lar›
üretmek amac›yla Weierstrass, Dedekind ve Cantor yöntemler gelifltirdiler. Grassmann ve Dedekind’in çal›flmalar›na dayanarak Peano do¤al say›lardan hareketle rasyonel say›lar› elde eden yöntemini gelifltirdi. Görülüyor ki Frege zaman›nda, matemati¤in karmafl›k nesnelerinin göreceli olarak
daha basit ve bir anlamda daha küçük nesnelerden
yarat›labilece¤i görüflü a¤›rl›k kazanm›flt›.
I. Kant
George Boole (1815-1864). ‹ngiliz matematikçi Boole, Alman matematikçi Leibniz’in düflünü
matematiksel bir yap›yla gerçeklefltirdi. ‹ki de¤erli Aristo mant›¤›n›
matematiksel temellere oturtan
simgesel mant›¤› yaratt›. Buna Boole mant›¤›, Boole cebiri, matematiksel mant›k, simgesel mant›k gibi
adlar verilir. Boole mant›¤›nda ak›l
G. Boole
yürütmede kullan›lan simgeler, sözcüklere, nesnelere, duyulara, verilen anlamlara ba¤l› de¤ildir. Soyut
simgeler ve o simgeler aras›nda matematiksel ifllemler kullan›larak ak›l yürütme süreci tamamlan›r.
Kulland›¤› cebirsel yap›, mant›¤›n istedi¤i sa¤laml›¤› sa¤lar.
Belirsizlik (Uncertainty). Matematiksel (simgesel) mant›¤›n sa¤lam ve cebirsel bir yap› olarak ortaya konmas›, klasik (sözel) mant›ktan ancak 2000
y›l sonra yap›labilen çok büyük bir aflamad›r. Ama
Boole mant›¤› da klasik mant›¤›n ortaya koydu¤u
iki-de¤erlili¤i korumaktad›r. ‹ki-de¤erli mant›kta
belirsizlik olamaz. ‹ki de¤erli mant›kta bir önerme
ya do¤ru ya yanl›flt›r. Oysa, gerçek yaflamda önermeler hem do¤ru hem yanl›fl ya da biraz do¤ru, biraz yanl›fl olabilir. Daha ötesi, gözlemlere dayal›
önermelerin do¤rulu¤u belli bir olas›l›k katsay›s›na
ba¤l›d›r. M.Ö. 400’lü y›llardan beri, do¤ru ve yanl›fl aras›nda bir fleylerin daha olmas› gerekti¤i seziliyordu. Çünkü iki de¤erli mant›¤›n çat›flk›lar (paradoks) yaratt›¤› da görülüyordu.
Yüklemsel Hesap (Predicate Calculus). Boole’un nerdeyse her yönünü keflfetti¤i önermeler
mant›¤› önermelerin kendisini de¤iflken olarak kullan›r. Oysa bir önermenin kendisinde de de¤iflkenler
olabilir, “x ölümlüdür” ya da “her x için, x bir in-
59
Matematik Dünyas›, 2004 Yaz
Jan ◊ukasiewicz (1878 - 1956). Bu sorunu aflmak için çal›flanlar aras›nda Polonyal› ◊ukasiewicz’i anmak gerekir. ◊ukasiewicz geçen yüzy›l›n
bafl›nda çok-de¤erli mant›¤› kurdu. Önce do¤ru ve
yanl›fl aras›na bir arade¤er (bilirsiz-de¤er) koyarak
üç-de¤erli mant›¤› belitsel biçimde ortaya koydu.
Bu sistem iki de¤erli mant›¤› kapsayan daha genel
bir sistem oldu. Ama böylece bu iflin üç de¤erle k›s›tlanamayaca¤›, sonsuz de¤erli mant›¤a geçiflin
do¤all›¤› da ortaya ç›k›yordu.
Bu tümce yanl›flt›r!
“Bu tümce yanl›flt›r” tümcesini irdeleyelim.
“Bu tümce yanl›flt›r” tümcesi yanl›flsa do¤rudur, do¤ruysa yanl›flt›r.
Klasik mant›kta do¤ru tümceye 1, yanl›fl
tümceye 0 de¤eri verilir. Dolay›s›yla, e¤er yukardaki tümcenin de¤erine p dersek flöyle bir
sonuç ç›kar:
p = 1 ise p = 0’d›r
p = 0 ise p = 1’d›r.
Soldaki p’ye “eski p” diyelim ve pe olarak gösterelim. Sa¤daki p’ye “yeni p” diyelim ve py
olarak gösterelim. Demek ki,
pe = 1 ise py = 0’d›r
pe = 0 ise py = 1’d›r.
Cebirsel olarak, bu,
py = 1 – pe
demektir. Oysa biz bir tek p istiyoruz, “yeni p”,
“eski p” gibi ayr›m istemiyoruz, demek ki pe =
p = py. Yukardaki py = 1 – pe denkleminden p
= 1 – p denklemini buluruz. Yani p = 1/2. Dolay›s›yla, “bu tümce yanl›flt›r” tümcesinin do¤ruluk de¤eri 1/2 olmal›d›r!
‹ki de¤erli olan matematikte, yukardaki
çeliflkiden dolay› hiçbir önerme kendisinin
yanl›fll›¤›n› ifade edemez.
Bulan›k (Fuzzy) Mant›k. Do¤a olaylar›n› aç›klamak için kulland›¤›m›z matematiksel yöntemlerin
ve modellerin yarar›, gücü ve heybeti tart›fl›lamaz.
Ancak matemati¤in deterministik niteli¤inin uygulamada
gerçe¤e ço¤unlukla uymamas›, yüzy›llar boyunca bilim
adamlar›n› ve düflünürleri u¤raflt›rm›flt›r. “Çim yeflildir”
tümcesinin bile do¤ruluk de¤eri, yüksek olsa bile, tam
Lotfi Zadeh
yüzde yüz (yani 1) de¤ildir.
Matematiksel temsiller, evrenin karmafl›kl›¤› ve s›n›rs›zl›¤› karfl›s›nda yetersiz kalmaktad›r. Bu nedenle, do¤a olaylar›n› aç›klarken, ço¤unlukla, kesinli¤i
de¤il belirsizli¤i kullan›r›z. Azerbeycan do¤umlu
Lotfi Zadeh, 1965 y›l›nda ilk cesur ad›m› att› ve bulan›k kümeler ile bulan›k mant›¤› tan›mlad›.
Kuantum Fizi¤i. Klasik fizi¤in çözümleyemedi¤i baz› do¤a olaylar›n›n aç›klanabilmesi için yeni
kuramlara gereksinim duyulmufltur. Bu yöndeki
çabalar sonunda, 1924-28 aras›nda kuantum fizi¤i
kurulmufltur. Bu yeni kuram›n temelleri de, ad›na
“ça¤dafl analiz” ya da “fonksiyonel analiz” denilen
matematik dal›n›n ortaya ç›kmas›n› sa¤lam›flt›r. Bu
geliflim, do¤a olaylar›n›n matematiksel modellerle
temsiline yeni ve önemli örnekler getirmifltir. Örne¤in, ›fl›¤›n niteli¤ini, Schrödinger’in dalga mekani¤i
kuram› Heisenberg’in matris mekani¤i kuram›
farkl› biçimlerde ama do¤ru olarak aç›kl›yorlard›.
Kuantum fizi¤inin bu sorununa “Fonksiyonel Analiz” mükemmel ve zarif bir çözüm getirmifltir:
Schrödinger’in kuram› L2-fonksiyon uzay› içine,
Heisenberg’in kuram› ise l2-dizi uzay› içine yerlefltirilmekte ve bu modeller içinde aç›klanmaktad›r.
‹ki kuram›n farkl› görüntüsü buradan kaynaklanmaktad›r. Ancak bu iki uzay, matematiksel aç›dan
yap›lar› biribirlerine denk olan iki uzayd›r. Dolay›s›yla iki kuram bir anlamda birbirine denktir.
Analiz. Antik-ça¤ matematikçilerinin ussal
bilgiye dönüfltüremedikleri önemli bir kavram
vard›r: Sonsuzluk. 17inci ve 18inci yüzy›lda, fiziksel olaylar›n aç›klanabilmesi için (pek de ne
oldu¤u anlafl›lmadan ortaya at›lan) sonsuz küçük kavram› bu yönde önemli bir ad›md›r. Sonsuz kavram›n›n matematikselleflmesini sa¤layan
etmenlerden biri olan limit kavram›n›n, dört iflleme eklenen beflinci bir ifllem olarak matemati¤e
girifli, “analiz” ad›yla an›lan büyük ve önemli bir
matematik dal›n› do¤urmufltur. Analizin do¤uflunu ve geliflimini sa¤layan zorlay›c› etmenlerin bafl›nda fizik gelir. Klasik fizi¤in hemen her probleminin çözümü, analizin bilgi s›n›rlar›n› zorlam›fl
ve onu geliflmeye itmifltir. Bugün klasik fizikte
do¤a olaylar›n›n aç›klanmas›, analizin kesin egemenli¤i alt›ndad›r. Benzer olguya ça¤dafl fizikte
de rastlanmaktad›r.
60
Matematik Dünyas›, 2004 Yaz
Nerde Kalm›flt›k?
Bu k›sa resmigeçitten sonra as›l konumuza dönebiliriz.
Toplumlarda liderler, büyük kahramanlar zor
zamanlarda (do¤ru zamanlarda) ortaya ç›kar. Onlar› çevre koflullar› yarat›r. Bilimde de böyledir.
Çözüm zaman› gelen büyük problemleri çözecek
büyük bilginler daima (do¤ru zamanda) ortaya ç›kar. 20nci yüzy›l›n ilk yar›s›, matemati¤in temellerinin yeniden kurulmas› çabalar›yla doludur. Matematik böyle zor bir döneme girince, onu kurtarmak için kollar› s›vayanlar çok oldu. Harika ifller
baflard›lar. Bunlar›n hepsini önem s›ras›yla verebilece¤imi sanm›yorum. Ama 20nci yüzy›l matematik tarihinin hiç unutamayaca¤› adlardan baz›lar›
flunlard›r: Cantor, Zermelo, Skolem, Fraenkel,
Montague, Russell, Whitehead, Bernays, von Neumann, Hilbert, Gödel, Turing, Zadeh.
bildi¤i sonsuz say› kavram›n› ve baz›lar›n›n hayal
s›n›rlar›n› çok çok afl›yordu. Matematikçiler önceleri buna pek ald›r›fl etmediler; önemini de anlamad›lar. Ama giderek iflin vehametini anlad›lar: Temel sars›l›yordu. Dünyan›n en ak›ll› adamlar›,
olarak addedilen matematikçiler aras›nda büyük
bir tart›flma bafllad›. Kimileri Cantor’un söylediklerinin gerçekle ilgisi olmad›¤›, kafa yormaya de¤meyecek kurgular, hatta fanteziler oldu¤u görüflündeydi. Kimileri ise bu gibi fleylerin matematikçilerin de¤il, teologlar›n düflünece¤i saçmal›klar oldu¤unu savundu.
Cantor’un ortaya att›¤› kümeler kuram›, matematikte yepyeni bir 盤›r açt›. Ç›¤›r demek yetmez,
tam anlam›yla bir devrim yaratt›! Bundan sonra matemati¤in temelleri kümeler üzerine kurulmal›yd›!..
Usbilimsellik (logicism). Bertrand Russell,
gençli¤ine matematikçi olarak bafllad›, sonradan
filozoflu¤a kadar düfltü (!) Bununla yetinmeyip son
y›llar›nda hümanist ak›mlara kap›ld› ve savafl karfl›t› eylemlere kar›flt› (!) Durup dururken yaflam›n›n
son y›llar›n› neredeyse zora sokacakt›... Russell
matemati¤in temellerinin sars›ld›¤›n› ilk gören kifli
de¤ilse bile, bunu çok aç›k biçimde ortaya koyan
kiflidir. O nedenle, baz› matematikçilerin onu sevmemesini anlay›flla karfl›lamak gerekir. Bence insanl›k ad›na söyledi¤i ve yapt›¤› güzel fleyleri matematikçi olarak yapt› diye onunla ö¤ünmeliyiz.
Çok “popülarize” edilmifl olarak bildi¤imiz çat›flk›lar›n (paradokslar›n) birço¤u Russell taraf›ndan ortaya konulmufltur. Bunlar›n birço¤u Matematik Dünyas›’nda ç›km›flt›r; burada yinelemenin
gere¤ini görmüyorum. Yaln›zca bir örnek vermek
için berber çat›flk›s›n› Ali Nesin’in dilinden aktaraca¤›m: Köyün birinde bir berber varm›fl. Bu berber, o köyde kendini trafl etmeyen herkesi trafl
edermifl, kendini trafl edenleriyse trafl etmezmifl.
Soru flu: bu berber kendini trafl eder mi? Kendini
trafl etmezse, kendini trafl etmeyen herkesi trafl etti¤inden, kendini trafl etmeli. Kendini trafl ederse,
kendini trafl edenleri trafl etmedi¤inden, kendini
trafl etmemeli.
“Berberin kendini trafl edip etmemesinden bize
ne!” diyebiliriz. Ama bu çat›flk›lar›n birer oyun, birer bilmece olmay›p, matemati¤in temellerini derinden sarsan üstün düflünceler oldu¤una inananlar
ç›kt› orta yere.
Kümeler Kuram› ve Sonsuzluk. Geçen yüzy›la
girilirken Alman matematikçi Georg Cantor
(1845-1918) çeflitli sonsuzluklar bularak matematikte bir devrim yaratt›. Her devrim, kurulu düzende bir karmafla yarat›r. Matematikte de bu karmafla kaç›n›lmaz olarak yafland›.
Do¤an karmaflay› aç›klamak için flimdi hepimizin iyi bildi¤i N = {0, 1, 2, 3, …} do¤al say›lar
kümesinden bafllayal›m ve Cantor’un yapt›klar›n›
gözden geçirelim: Cantor,
0, 1, 2, 3, …
say›lar›n›n sonuna ω ile gösterdi¤i “sonsuz bir say›” ekledi:
0, 1, 2, 3, …, ω
Burada durmas› için bir nedeni yoktu; say› eklemeyi sürdürdü:
1, 2, 3, …, ω, ω+1, ω+2, ω+3, ...
Bu biçimde say› ekleme iflini 2ω’ya kadar götürdü:
1, 2, 3, …, ω, ..., 2ω
Say› ekleme ifline kendisini iyice kapt›ran Cantor,
eylemini inatla sürdürerek, s›rayla, flu kümeleri elde etti:
Sonunda ulaflt›¤› (sonlu ötesi) say›lar, analizin
61
Matematik Dünyas›, 2004 Yaz
Principia Mathematica. Russell matemati¤in
temelinde oluflan sars›nt›y› görüp söylemekle yetinmedi. Whitehead’le birlikte
matematikte do¤an çeliflkiyi
yokedecek yöntem arad›.
1910, 1912 ve 1913’te yay›mlanan üç ciltlik Principia
Mathematica’da bütün matemati¤in usbilimselli¤e (logicism’e) indirgenebilece¤ini
savundular. Tezlerini iki bölüme ay›rabiliriz. Birincisi,
bütün matematiksel do¤rular usbilimsel do¤rulara
dönüfltürülebilir. Baflka bir deyiflle, matematiksel
terimler usbilimsel terimlerin bir altkümesidir.
‹kincisi, bütün matematiksel kan›t yöntemleri usbilimsel kan›t yöntemleriyle ifade edilebilir. Baflka
bir deyiflle, matematiksel teoremler usbilimsel teoremlerin bir altkümesidir. Russell’in sözleriyle
özetlersek, bütün soyut matemati¤in usbilimsel kurallarla elde edilebilece¤ini göstermek usbilimcinin
iflidir. Öyleyse, matematik usbilimdir, matematikçi
de usbilimcidir. Principia Mathematica modern
matematiksel usbilimin do¤mas›na neden olmufltur. ‹lk bas›m› paras›zl›k yüzünden geciken Principia Mathematica, Aristo’nun Organon adl› ünlü
yap›t›ndan sonra usbilim alan›nda yaz›lm›fl en
önemli yap›t olarak kabul edilir.
ta toplad›¤› 17 formülle matematik teoremlerini kan›tlayabiliyordu. Ortaya att›¤› kuram›n ilk sunumunu yaparken flöyle diyordu: Matematik önyarg›s›zd›r. Onu bulmak için Kronecker’in yapt›¤› gibi
Tanr›’ya, Poincaré’nin yapt›¤› gibi yeteneklerimize
hitabeden varsay›mlara, Brouwer’in yapt›¤› gibi temel sezgilere, Russell’in yapt›¤› gibi belitlere gereksinim yoktur. Matematik, formüllerden oluflan kendi içinde kapal› bir sistemdir.
Hilbert büyük bir matematikçidir. 20nci yüzy›l
matemati¤ine damgas›n› vurmufltur. 1900’de Paris’te yap›lan Uluslararas› Matematik Kongresinde
ortaya att›¤› problemler, aradan geçen 100 y›lda
bile tam çözülememifltir, ama bu problemler yüzy›l›n matemati¤ine yön vermifltir. Herkes böyle bir
dahinin “ak›l oyunlar›” için yazd›¤› son perdeyle
temsilin bitti¤ine inanmaktad›r. Ta ki Gödel denen
biri ç›k›p oyuna hiç bitmeyecek bir perde daha ekleyene dek!..
Gödel Diye Biri! Bir matematik sisteminde üç
nitelik arar›z.
Birincisi, taml›k (completeness): Her önermenin ya kendisi ya da tersi kan›tlanabiliyorsa, baflka
bir deyiflle, sistemdeki her p önermesi için ya “p
do¤rudur” ya da “p yanl›flt›r” önermelerinden biri
kan›tlanabiliyorsa sistem tamd›r.
‹kincisi, tutarl›l›k (çeliflkisizlik, consistency):
Her p önermesi için ya “p do¤rudur” ya da “p yanl›flt›r” önermelerinden ancak biri teoremse sistem
tutarl›, her ikisi de teoremse sistem tutars›zd›r.
Üçüncüsü s›nanabilirlik: yani sistemde bir kan›t
verildi¤inde, bu kan›t›n geçerli olup olmad›¤›n› sonlu
zamanda s›nayabilece¤imiz bir yöntem olmal›d›r.
1931’de Kurt Gödel (1906-1978) ortal›¤› toz
dumana katana kadar Hilbert’in formal sisteminin
matematikteki krizi tamamen çözdü¤ü san›l›yordu.
Gödel’in tamamlanamazl›k (incompleteness) teoremi ad›n› verdi¤i teorem, sadece do¤al say›lar› ve toplamayla çarpmay› anlayacak kadarc›k karmafl›k bir
sistemin yukardaki üç niteli¤e sahip oldu¤unun o
sistem içinde kan›tlanamayaca¤›n› söylüyordu. Bu
sonuç, matemati¤in tutarl› oldu¤unun matemati¤in
içinde kan›tlanamayaca¤›n›n kan›t›yd›. Dolay›s›yla,
kendi içinde kapal› bir sistem oluflturdu¤u san›lan
Hilbert formalizminin çöküflü anlam›na geliyordu.
O zamana kadar kimse Hilbert’in yan›lm›fl olabilece¤ini düflünmüyordu. Dahi matematikçi von
Neumann bile Gödel’in yapt›¤›n› ö¤renince “Yan›l-
Sezgisellik (Intuitionism). Matemati¤i sezgisel
olarak kurmay› amaçlayan bu ekol esas olarak Luitzen Egbertus Jan Brouwer’›n (1881-1966) ortaya
koydu¤u sistemdir. Cantor’un kümeler kuram›na
dayal› yap›s›n› fliddetle yads›rken, Russell’in usbilimselli¤ine de karfl› durur. Tart›flma, “ak›l oyunlar›”n›n sergilendi¤i görkemli bir tiyatroya dönüflür.
Sergilenen oyuna seyirciler de kat›l›r… Poincaré
matemati¤in temellerini varsay›mlara dayamak isterken, Kronecker teolojiye s›¤›n›r.
Biçimsellik (Formalism). Poincaré’yle birlikte
ça¤›n en etkili matematikçisi David Hilbert (18621943), “ak›l oyunlar›”n›n son perdesini indirmek
istedi. Kan›t kuram› (proof theory) dedi¤i biçimsel
bir matematik dili gelifltirdi (1927). Ona göre sezgisel matematik yaparken konufltu¤umuz dil, duygular›m›z, özne (madde) geleneksel ç›kar›m yöntemlerimizi etkilemektedir. D›fl etkenleri yoketmek için
yapay bir matematik dili oluflturdu. Yedi ana grup-
62
Matematik Dünyas›, 2004 Yaz
[6] Kline, M. Mathematics, the Loss of Certainty, Oxford:
Oxford University Press, 1980.
[7] Nagel, E. ve Newman, J.R., Gödel’s Proof, New York:
New York University Press, 1958.
[8] Quine, W.V., Ways of Paradox, New York: Random House, 1966.
[9] Rand, A., Introduction to Objectivist Epistemology, New
York: Penguin Group, 1990.
[10] Ross, D., The Cognitive Basis of Arithmetic, Poughkeepsie, N.Y.: Institute for Objectivist Studies (ç›kacak).
[11] Russell, B., Principles of Mathematics, Cambridge: Cambridge University Press, 1903.
[12] Russell, B., Introduction to Mathematical Philosophy,
London: George Allen and Unwin, 1919.
[13] Whitehead, A. N., Treatise on Universal Algebra, Cambridge: Cambridge University Press, 1898.
[14] Whitehead, A. N., On Mathematical Concepts of the Material World, London: Dulau, 1906.
[15] Whitehead, A. N., ve Russell, B., Principia Mathematica,
3 cilt (1910, 1912, 1913), Cambridge: Cambridge University Press. ‹kinci bas›m, 1925 (cilt 1), 1927 (cilt 2 ve 3). K›salt›lm›fl bas›m 1962.
d›m, gemiyi kaç›rd›m!” (yani “Gödel’in teoreminin
do¤ru olabilece¤i akl›ma gelmedi”) diye hay›flanm›flt›r. Kurt Gödel, Aristo’dan sonra gelmifl en büyük usbilimci unvan›n› kazanm›flt›r.
Alan Turing (1912-1954). Leibniz’in düflünü
gerçeklefltirecek bir makinay› tasarlad› (1936). Turing makinas› ad›yla an›lan bu hayal makina, her
matematik problemini çözecek mekanik bir alet
olarak düflünüldü. Turing, bugünkü bilgisayarlar›n
çal›flma ilkelerine çok benzeyen bir yöntemle, bütün
problemleri çözen mekanik bir makinan›n (ya da
algoritman›n) var olamayaca¤›n› kan›tlad›. Bu sonuç, farkl›
bir yaklafl›mla Gödel’i do¤rulamaktad›r. Hatta, Greg Chaitin’e göre, Gödel’in yapt›¤› iflten daha büyüktür.
Sonuç. “Ak›l Oyunlar›”
sürüyor;
henüz son perdesini
Alan Turing
kimse yazamad›. Evrenin karmaflas› o son perdenin yaz›lmas›na henüz izin vermiyor. Do¤a olaylar›n› aç›klamak için ortaya koydu¤umuz kuramlar, evrenin yafl›na oranla daha
çok yeni, çok yetersiz. Kaosçular’›n deyimiyle,
“Çin’de kanat ç›rpan kelebe¤in Teksas’ta kas›rga
yarat›fl›n›” aç›klayan modelimiz yok. (Bu söz hiçbir politik ima tafl›m›yor.) Böyle oluflu gelecek için
umudumuz olmal›d›r. Çünkü insan soyuna üstünlük sa¤layan fley evrenin gizlerini tümüyle biliyor
olmas› de¤il, o gizleri durmaks›z›n arama iradesine
sahip olmas›d›r. Görkemli bir tiyatroda bitimsiz
bir oyunu oynuyoruz. Kimbilir, insano¤lu belki bu
oyuna erdemi de katabilir. ♥
[16] Walley, P., Statistical Reasoning with Imprecise Probabilities, Chapman and Hall, London, 1991.
[17] Willaeys, D. ve Malvache, N., The use of Probability
Functions for the Treatment of Fuzzy Information by
Computer, Probability Functions and Systems 5 (1981)
323-328.
[18] Wilson, N. ve Moral, S. A., Logical View of Probability,
Proc. of the 11th Europ. Conf. on Artificial Intelligence
(ECAI’94) (Ed. A.G. Cohn), Amsterdam, The Netherlands, Aug. 8-12, Wiley, New York (1994) 386-390.
[19] Zadeh, L.A., Quantitative Fuzzy Semantics, Information
Sciences 3 (1971) 159-176.
Kaynakça
[1] Baum, R., Philosophy and Mathematics,
San Francisco: Freeman, Cooper, 1973.
[2] Benacerraf, P. ve Putnam, H., Philosophy of Mathematics,
Selected Readings, Cambridge: Cambridge University
Press, 1983.
[3] Boyer, Carl B., The History of The Calculus and its Conceptual Development, New York: Dover, 1949.
[4] Courant, R. ve Robbins, H., What is Mathematics?, Oxford: Oxford University Press, 1978.
[5] Frege, G., Grundgesetze der Arithmetik, cilt I (1893), cilt
II (1903), Jena: Verlag Hermann Pohle. Ed.
63
Matematik Dünyas›, 2005 Bahar
Yirminci Yüzy›lda Matemati¤i
Sarsan Temel Düflünceler
Timur Karaçay* / [email protected]
gözlemlerine dayal› yasalar koymufltur. Konumuzla ilgili olan ikisi flunlard›r:
1. Cisimler a¤›rl›klar›yla do¤ru orant›l› bir ivmeyle yere düflerler.
2. Bir cismin hareket etmesi için ona sürekli
bir kuvvet etki etmelidir.
Aristo’nun bu mekanik yasalar› - ki yanl›flt›rlar - fizik bilmeyen herkesin sezgiyle ulaflabilece¤i sonuçlard›r. Ortalama
bir insan›n hareketi baflka türlü alg›lamas› zordur. Aristo’nun yasalar›, günlük yaflama ve alg›lamalar›m›za o kadar uygundur ki, 1800 y›l boyunca insanl›k bu yasalardan kuflku duymam›flt›r.
Ama bilim adamlar›n›n bir ifli de kuflkulanmak ve sorgulamakt›r: E¤er bir cismin hareketi için
ona sürekli kuvvet uygulamak gerekiyorsa, gök cisimlerini kim itiyor veya çekiyor? Dal›ndan düflen
elmay› yere iten veya çeken fley nedir?
Ad›na Kaos Kuram› denilebilecek bir kuram
bilimsel anlamda olufltu mu? Bu soruya olumlu
yan›t vermek için zaman henüz erken olabilir.
Ancak böyle bir kuram›n do¤uflu için yeterince
neden ve olgu oldu¤u ve bu amaçla çaba
sarfedildi¤i gözard› edilemez. Bu konuflmada,
bir matematikçi gözüyle determinizmin ve kaosun ne oldu¤u aç›klanacakt›r.
Hareket. ‹nsanl›¤› tarih boyunca çok u¤raflt›ran do¤a olaylar› vard›r. Hareket ve zaman bunlar›n bafl›nda gelir. Felsefenin, fizi¤in, matemati¤in
ve sanat›n temel u¤rafl alanlar› olmufllard›r.
Mekani¤in amac›, evrendeki nesnelerin hareketini aç›klamak, yani belli bir anda bulunacaklar›
konumu öngörebilmektir. Hareket eden nesneler,
galaksi ve günefl sistemleri gibi devasa, saat sarkaçlar› ve futbol topu gibi insan boyutunda ya da
elektron gibi atomik boyutlarda olabilir. Yak›n
çevremizdeki hareketleri Newton mekani¤iyle,
atomalt› parçac›klar›n hareketlerini kuantum mekani¤iyle, galaksilerin hareketini de görecelik kuram›yla aç›klamaya çal›fl›yoruz. Tüm bu hareketleri aç›klayan tek bir mekanik kuram› her sayg›n fizikçinin hayalidir.
17’inci yüzy›ldan sonra geliflen modern bilim,
hareketi aç›klama yönünde epeyce yol alm›flt›r,
ama gene de hareketin her yönünü aç›klamaktan
çok uzaktay›z. Biraz geriye bakarak bu yolda al›nan mesafeyi görmek, bundan sonra al›nacak yol
için umut ve cesaret verecektir. Henüz emekleme
ça¤›nda olan kaos kuram› bu yolda ça¤›m›zda at›lm›fl önemli bir ad›md›r.
Ptolemy. MS 150’lerde
Claudius Ptolemy’nin (MS
≈85 - ≈150) gök cisimlerinin
hareketi için koydu¤u yasalar Katolik Kilisesi’nin resmi
görüflüyle uyum sa¤lay›nca
yerküremiz evrenin merkezi
olma mertebesine eriflmifltir1.
Kopernik. Günün birinde Nikola Kopernik
(Nicolaus Copernicus, 14731543) adl› bir Polonyal› ç›plak gözle yapt›¤› uzun gözlemlerden sonra gerçekle yüzyüze gelmemizi sa¤lad›: Yerküremiz tafl›makta oldu¤u o
yüce payeyi günefle kapt›rd›:
Art›k, evrenin merkezi dünya
de¤il, güneflti2!
Aristo. MÖ 300 y›llar›nda Aristo (MÖ 384322), birçok alanda yapt›¤› gibi, hareket için de
* Baflkent Üniversitesi Matematik Bölümü ö¤retim üyesi. Yaz›,
21-24 Eylül 2004’te Assos’ta gerçeklefltirilen Mant›k, Matematik ve Felsefe II.Ulusal Sempozyumu’nda yap›lan konuflmadan
uyarlanm›flt›r.
1 Yermerkezli evren, ‹ngilizcesiyle geocentric universe.
2 Günmerkezli evren, ‹ngilizcesiyle heliocentric universe.
62
Matematik Dünyas›, 2005 Bahar
Kepler. Evren kuram›n› Johann Kepler (15711630) geometrik bir modele oturttu:
1. Bir gezegenin yörüngesi, bir oda¤›nda güneflin yer ald›¤› bir elipstir.
2. Günefli gezegene birlefltiren do¤ru eflit zaman aral›klar›nda eflit alanlar süpürür.
3. Gezegenin periyodunun karesi günefle olan
ortalama uzakl›¤›n›n küpüyle orant›l›d›r. (Dünya
için T 2 = R3.)
Kepler’in, bugün bile geçerli¤ini koruyan bu
mükemmel geometrik modeli,
günefl sistemi içindeki gezegenlerin hareketlerini kusursuz aç›kl›yordu ama evrendeki bütün hareketleri ve en
önemlisi hareketlerin nedenini
aç›klamaya yetmiyordu.
delinin ve Galile’nin yerçekimiyle ilgili flafl›rt›c›
gözleminin gerisinde yatan gizemi aramaya bafllad›. Gezegenler neden Kepler’in modeliyle hareket
ederler? A¤›r ve hafif cisimler neden ayn› ivmeyle
yere düflerler? Bu sorular›n yan›tlar›n› veren matematiksel bir formül olmal›yd›. Sonunda arad›¤›n›
buldu. Newton’un hareket yasalar›, biraz sonra ele
alaca¤›m›z determinizm kavram›n›n temelidir.
Newton’dan sonra 20’inci yüzy›l bafl›na dek hareketle ilgili her fleyin Newton’un hareket yasalar›ndan ç›kt›¤›na inan›lacakt›r.
Nerden Nereye? (Matematikten Fizi¤e!)
Kepler, gezegenlerin hareketlerini aç›klayan
geometrik modeli yaratmak için Perge’li Apollonius’un (MÖ 262-190) 1800 y›l önce yazd›¤›
Konikler adl› yap›t›na dayan›yordu. Herhalde,
Apollonius, koniklerin gizlerini tutkuyla araflt›r›p ortaya dökerken, on sekiz yüzy›l sonra büyük
bir uygarl›¤a 盤›r açaca¤›n› akl›na bile getirmiyordu: Apollonius olmasa Kepler, Kepler olmasa
Newton, Newton olmasa Einstein olmazd›!
Galile. Galileo Galilei (1564-1642) bir yandan
teleskopla gök cisimlerini gözleyip Kopernik’in günmerkezli
kuram›n› do¤rularken, öte yandan yerçekimiyle ilgili deneyleri
Aristo’nun 2000 y›ll›k imparatorlu¤unu derinden sars›yordu:
Bütün cisimler ayn› ivmeyle yere düflerler.
Bu yasa a¤›r cisimlerin de hafif cisimlerle ayn›
ivmeyle yere düfltü¤ünü söylüyor ve Aristo’nun yukarda an›lan ilk yasas›n› çürütüyor. Tarih, büyük
imparatorluklar›n derinden sars›l›nca y›k›lmalar›n›n kaç›n›lmaz oldu¤unu göstermifltir.
Diferansiyel Denklemler - Dinamik Sistemler
Fiziksel bir olguyu, örne¤in bir nesnenin hareketini anlamak için, olguyu k⤛da hapsetmek, yani
matematiksel bir modelini kurmak gerekir. Bu da
genellikle matematiksel denklemlerle mümkündür.
Fiziksel olguyu matematiksel olarak anlamakla, bulunan denklem sistemini çözmek eflde¤erdir, en az›ndan bu yolda at›lm›fl çok önemli bir ad›md›r. Bulunan denklemler genellikle diferansiyel denklem denen bir türdendir. (Bkz. sayfa 64.)
Baz› diferansiyel denklemleri çözmek kolayd›r,
bunlara do¤rusal ya da lineer diferansiyel denklemler denir (bkz. bir sonraki sayfadaki gri karenin sonu.) Diferansiyel denklemlerin çözümleri ad›na analitik denilen (bkz. bir sonraki sayfadaki gri kutu), oldukça ele avuca gelen, bir anlamda eli yüzü düzgün
ya da evcil diyebilece¤imiz ve polinomlara oldukça
benzeyen fonksiyonlard›r. Bu diferansiyel denklemlerin çözümleri bulunabildi¤inden, temsil ettikleri fiziksel olgunun matematiksel çözümlemesi de yap›labilir, en az›ndan böyle bir kuramsal temel vard›r.
Do¤rusal olmayan diferansiyel denklemlerin
çözümleri ne yaz›k ki bilinen fonksiyonlar cinsinden yaz›lamaz genelde. Bu zor denklemler teorik
olarak çözülemedi¤inden yaklafl›k çözümler için
bilgisayarlar kullan›l›r.
Newton. Galile’nin sarst›¤› Aristo imparatorlu¤una Isaac Newton (16421727) son darbeyi indirecektir. Newton Hareket Yasalar›
denen afla¤›daki yasalar, Aristo imparatorlu¤unu y›kmakla
kalmad›, 200 y›l boyunca fizi¤in temeli oldu ve ça¤›m›z›n
teknolojisine yol açt›:
1. Hareketli bir cisim d›flar›dan bir kuvvetle etkilenmezse düzgün do¤rusal hareketini ilelebet sürdürür.
2. Kütlesi m olan bir cisme uygulanan F kuvvetiyle a ivmesi aras›nda F = ma ba¤›nt›s› vard›r.
3. Her etkiye karfl› ona eflit bir tepki vard›r.
Newton, Kepler’in mükemmel geometrik mo-
63
Matematik Dünyas›, 2005 Bahar
H›z
Diferansiyel Denklemler
Bir do¤ru üzerinde yol alan bir parçac›k t-inci
saniyede x(t) = t2 metrede olsun. Örne¤in, parçac›k, 0’›nc› saniyede x(0) = 02 = 0 metrede, 3’üncü
saniyede x(3) = 32 = 9 metrededir. H›z› gittikçe artan bu parçac›¤›n tam 3’üncü saniyedeki h›z›n› hesaplayal›m.
Önce parçac›¤›n 3 ve 4’üncü saniyeler aras›ndaki ortalama h›z›n› hesaplayal›m. Parçac›k, 3’üncü saniyede x(3) = 32 = 9 metredeyken, 4’üncü saniyede x(4) = 42 = 16 metreye varm›fl, demek ki 1
saniyede 16 − 9 = 7 metre katetmifl. Dolay›s›yla
parçac›¤›n 3 ve 4’üncü saniyeler aras›ndaki ortalama h›z› 7 metre/saniye’dir.
fiimdi parçac›¤›n 3 ve 3,1’inci saniyeler aras›ndaki ortalama h›z›n› hesaplayal›m. Parçac›k, 3’üncü
saniyede x(3) = 32 = 9 metredeyken, 3,1’inci saniyede x(3,1) = 3,12 = 9,61 metreye varm›fl, demek ki
0,1 saniyede 9,61 − 9 = 0,61 metre ketetmifl. Dolay›s›yla parçac›¤›n 3’üncü ve 3,1’inci saniye aras›ndaki ortalama h›z› 0,61/0,1 = 6,1 metre/saniye’dir.
fiimdi de, herhangi bir h için, parçac›¤›n 3 ve
3 + h’inci saniyeler aras›ndaki ortalama h›z›n› hesaplayal›m. Yukarda h = 1 ve 0,1 için 7 ve 6,1 bulduk.
Parçac›k, 3’üncü saniyede 32 = 9 metredeyken, 3 + h’inci saniyede (3 + h)2 = 9 + 6h + h2 metreye varm›fl, demek ki h saniyelik bir sürede
(9 + 6h + h2) − 9 = 6h + h2
metre katetmifl. Dolay›s›yla parçac›¤›n 3’üncü ve
3+h’inci saniye aras›ndaki ortalama h›z›
(6h + h2)/h = 6 + h
metre/saniye’dir.
Parçac›¤›n 3’üncü ve 3 + h’inci saniyeler aras›ndaki ortalama h›z›n›n 6 + h oldu¤unu bulduk.
Parçac›¤›n tam 3’üncü saniyedeki h›z›n› bulmak
için h = 0 almak gerekir: Parçac›¤›n tam 3’üncü
saniyedeki h›z› 6 + 0 = 6 metre/saniye’dir.
Yukardaki hesaplar› 3 yerine herhangi bir t
zaman› için yapal›m. Parçac›¤›n t ile t + h aras›ndaki ortalama h›z›,
Hareket eden bir noktan›n t an›ndaki konumunu x = x(t) ile gösterelim. Noktan›n her an bir
de h›z› vard›r. Noktan›n t an›ndaki h›z›n› x′ = x′(t)
ile gösterelim. Örne¤in e¤er x′(t) = 0 ise, nesne o t
an›nda hareket etmiyordur, (ama hemen sonra ya
da hemen önce hareket halinde olabilir, örne¤in
havaya bir tafl att›¤›m›zda, en tepeye vard›¤›nda
tafl›n h›z› 0’d›r, düflmeye bafllad›¤›nda h›z negatiftir.) ‹vme ise h›z›n h›z›d›r. Havaya at›lan bir tafl
gittikçe yavafllad›¤›ndan ivmesi bafllang›çta negatiftir; tafl düflmeye bafllad›¤›nda ivmesi pozitif olur.
Noktan›n t an›ndaki ivmesini x″ = x″(t) ile gösterelim. ‹vmenin de h›z› hesaplanabilir ve x′′′ ile gösterilir. Bunu böylece sonsuza kadar sürdürüp t zaman›na göre de¤iflen x, x′, x″, ..., x(n), ... fonksiyonlar›n› elde edebiliriz.
Hareket eden bir parçac›¤›n t an›ndaki x(t) konumunu belirlemek için, genellikle, önce, x, x′, x″,
x′′′, ... fonksiyonlar› aras›nda bir ba¤lant› kurulur.
Örne¤in, konum h›za eflit olabilir, o zaman ba¤lant› x = x′ dir (daha do¤rusu x(t) = x′(t)’dir.) Ya
da xx′ = 2tx″ gibi bir ba¤lant› olabilir. Bu tür ba¤lant›lara diferansiyel denklem denir. Diferansiyel
denklem bulunduktan sonra, bu diferansiyel denklemi sa¤layan x = x(t) fonksiyonlar›n›n bulunmas›
gerekir.
De¤iflkeni t olan p0, ..., pn, q fonksiyonlar›
için,
x(n) + pnx(n−1) + ... + p1x′ + p0x = q
biçiminde yaz›lan diferansiyel denklemlere do¤rusal diferansiyel denklemler denir. Do¤rusal diferansiyel denklemleri çözmek di¤erlerine göre daha
kolayd›r.
Sarkac›n Hareketi
Kütlesi m, ipinin uzunlu¤u L olan bir sarkaç
belli bir θ0 aç›s›yla gerilip belli bir h›zla itilirse, sarkac›n t an›ndaki aç›s› θ = θ(t),
Lθ″ + g sin(θ) = 0
P
diferansiyel denklemini sa¤lar. (Buradaki g yerçekiminin
θ(t)
L
ivmesidir.) Bu denklem lineer
de¤ildir ve çözümü, bilinen
di¤er fonksiyonlar cinsinden
mg sin θ
mg cos θ
yaz›lamaz, bilgisayar yard›m›yla say›sal ve yaklafl›k olamg
rak çözülebilir ancak. Ama
e¤er θ0 ve ilk h›z küçükse, o
zaman θ da küçük olur ve sin(θ) ≈ θ oldu¤undan,
küçük hatalar› umursamayarak denklemi Lθ″ + gθ
= 0 lineer denklemine dönüfltürüp çözebiliriz.
x(t + h) − x(t ) (t + h)2 − t 2 (t 2 + 2th + h2 ) − t 2
=
=
h
h
h
2
2th + h
=
= 2t + h
h
dir. h = 0 al›rsak, parçac›¤›n t an›ndaki h›z›n›n 2t
oldu¤unu buluruz. Genel formül flöyle:
h›z = x′(t) = limh→ 0
x(t + h) − x(t)
.
h
64
Matematik Dünyas›, 2005 Bahar
s′(t) = as(t) − bs(t)k(t)
k′(t) = cs(t)k(t) − ek(t).
Burada, a, b, c ve d, ava, avc›ya, co¤rafyaya vs göre
de¤iflen pozitif sabit say›lard›r; s′ ve k′ ise solucan ve
kufl say›s›n›n t an›ndaki art›fl (ya da azal›fl) h›z›d›r.
Birinci denklem flunu der: E¤er ortamda kufl
yoksa, yani k = 0 ise, solucan say›s› s′ = as h›z›yla
artar (yani kufl yoksa belli bir a sabiti için s(t) = aert
olur.) Ama her kufl da solucanlar›n belli bir b yüzdesini avlamaktad›r, dolay›s›yla kufl say›s› solucan
say›s›n› azaltmaktad›r. (Demek ki b sabiti 0’la 1
aras›nda bir say›d›r.)
‹kinci denkleme göre, avlanacak solucan yoksa
kufl say›s› k′ = − ek h›z›yla de¤iflir, yani azal›r. csk
terimi avlanan solucan say›s›n›n kufllar›n ço¤almas›na neden oldu¤unu gösterir.
‹flte bu, (sürekli) bir dinamik sistemdir. E¤er
bu sistemi çözmek çok zorsa, zaman› sürekli de¤ifltirmek yerine örne¤in saniye bafl› de¤ifltirterek flöyle bir sisteme varabiliriz:
sn+1 − sn = asn + bsnkn
kn+1 − kn = csnkn + ekn.
Buradaki sn = s(n) ve kn = k(n), n-inci andaki (ya
da saniyedeki) solucan ve kufl say›s›d›r. E¤er s›f›r›nc› saniyedeki solucan ve kufl say›s›n›, yani s0 =
s(0) ve k0 = k(0) say›lar›n› biliyorsak, hesapla
1000’inci saniyedeki solucan ve kufl say›s›n› − en
az›ndan kuramsal olarak − bulabiliriz. Zaman›n
birim birim ilerledi¤i böyle bir sisteme de ayr›k dinamik sistem denir.
E¤er s(0) ve k(0) biliniyorsa, sürekli ya da ayr›k
olsun, analitik çözümü olan her dinamik sistemin
tek bir çözümü vard›r. s(0) ve k(0) de¤ifltikçe, do¤al
olarak genel çözüm de de¤iflir. Bu de¤erlere dinamik sistemin bafllang›ç koflullar› denir.
Örne¤in bir bilardo topunun ›stakayla vurulufl
yönü, gücü ve topun neresine vuruldu¤u bafllang›ç
koflullar›d›r. Verilen bafllang›ç koflullar›yla top her
zaman ayn› yörüngeyi izler.
Analitik Fonksiyonlar
ƒ(x) = ax2 + bx + c gibi bir polinom taraf›ndan verilen fonksiyonlar oldukça kolay anlafl›l›rlar. Ama her fonksiyon polinom taraf›ndan
verilmez elbet. ƒ : R → R, belli bir a ∈ R noktas›nda n kez türevlenebilir bir fonksiyon olsun.
Kolayca kan›tlanabilece¤i üzere,
ƒ(a) = pn(a)
ƒ′(a) = pn′(a)
...
ƒ(n)(a) = pn(n)(a)
eflitliklerini sa¤layan bir ve bir tek n-inci dereceden pn(x) polinomu vard›r:
n
pn(x) = Σi=0 ƒ(i)(a)(x−a)i/i!
Bu polinomlar›n n büyüdükçe ƒ’ye daha çok
benzediklerini, hatta sonsuzda hem yak›nsak
hem de ƒ’ye eflit olduklar›n›, yani,
∞
ƒ(x) = Σi=0 ƒ(i)(a)(x−a)i/i!
eflitli¤ini ummak gerekir. Ne yaz›k ki bu eflitlik
her zaman do¤ru de¤ildir: 1) Seri yak›nsak olmayabilir, 2) Seri yak›nsak oldu¤unda da ƒ(x)’e
yak›nsamayabilir. Ama e¤er bir ε > 0 ve her x ∈
(a−ε, a+ε) için,
∞
ƒ(x) = Σi=0 ƒ(i)(a)(x−a)i/i!
ise, ƒ’ye a’da analitik denir. Analitik fonksiyonlar polinomsal olmasalar da polinomsal fonksiyonlara oldukça benzediklerinden el üstünde tutulurlar. exp, sin, cos gibi fonksiyonlar her noktada analitiktirler.
Basit hareketleri matematiksellefltiren diferansiyel denklemler ya da denklem sistemleri genellikle do¤rusald›r. Fiziksel sistem karmafl›klaflt›kça, diferansiyel denklemlerdeki de¤iflken say›s› artar, sistem çok de¤iflkenli olur. Ayr›ca denklemdeki terimlerin dereceleri büyür ve sistem do¤rusal olmaktan ç›kar. Genellikle, bu tip denklemlerin analitik bir çözüm uzay› yoktur. Bu, kaos diye adland›r›lan olgular› al›fl›lm›fl matematik diliyle aç›klayamay›fl›m›z›n as›l nedenidir.
Bafllang›ç Koflullar›. 1500’lerde, bir do¤a yasas›n› aç›klaman›n tek yolunun onu belirleyecek ölçümlerin yap›lmas›yla mümkün olabilece¤i görüflü
ç›kt›. Bunun anlam› aç›kt›: Evrenin yasalar› sözel
ifadeler yerine simge ve say›larla aç›klanmal›yd›.
Bu görüfl 17’inci yüzy›lda geliflmeye bafllayan modern bilimin temeli olmufltur ve maddeyi ve do¤a
olaylar›n› aç›klamak için bilim matemati¤i as›l araç
olarak kullanm›flt›r. Örne¤in, Newton yasalar› sö-
Dinamik Sistem. Diyelim bir ortamda kufllar
(avc›lar) ve solucanlar (avlar) var. Belli bir t an›ndaki solucan say›s›na s(t), kufl say›s›na k(t) diyelim. Elbette solucan ve kufl say›s› aras›nda bir iliflki olmal›, örne¤in kufl say›s› artt›kça solucan say›s› azalmal›. fiöyle bir model tasarlayal›m (LotkaVolterra modeli):
65
Matematik Dünyas›, 2005 Bahar
zel olarak ifade edilseler bile, bir fiziksel sistemin
durumunu aç›klamak için hareket eden parçac›¤›n
belli bir andaki (diyelim 0’›nc› saniyedeki) konumunun, h›z›n›n, yönünün ve ona etkiyen kuvvetlerin bilinmesi gerekir. Bu bilgiler de elbette
say›sald›r ve sistemin
bafllang›ç koflullar›d›r.
Bir dinamik sistemin
bir andaki konumunu,
h›z›n›, yönünü ve ona etkiyen kuvvetleri bildi¤imizi varsayarak onun
daha sonraki ya da daha
önceki bir zamandaki
Bir bilardo oyuncusu, asl›nda vuraca¤› topa istedi¤i yö- durumunu da bilmek isrüngeyi çizdirtecek bafllan- tiyoruz. Fiziksel durumu
g›ç koflullar›n› ar›yordur.
matematiksellefltiren diferansiyel denklem ya da sistem do¤rusalsa çözümün analitik oldu¤unu söylemifltik. Ama her bafllang›ç koflulu için bir baflka analitik çözüm bulunur.
Determinizmin matematiksel dili çok aç›kt›r.
Bafllang›ç koflullar› bilince, ona uyan biricik analitik çözümü bulabiliriz. Bu çözüme ƒ diyelim. Herhangi bir t an›nda sistemin durumunu biliyorsak, ƒ
fonksiyonunu biliyoruz demektir. Art›k her a için
ƒ(t+a) ve ƒ(t−a) de¤erlerini hesaplamak, yani sistemin a zaman sonra ve a zaman önceki durumlar›n› saptamak mümkündür.
Demek ki determinizmin uygulanabilmesi için,
sistemin analitik çözümüne ve iyi belirlenmifl bafllang›ç koflullar›na gereksinim vard›r. Çok kolaym›fl gibi görünen bu ifl, gerçekte pek çok sistem için
imkâns›zd›r. Bu imkâns›zl›k kaos diye an›lan fenomenleri yarat›r.
Tanr› Zar Atar m›? Newton fizi¤i doruktayken, 20’inci yüzy›l içinde Newton fizi¤inin eksi¤ini
tamamlamak için yap›lan çal›flmalarda iki yeni kuram ortaya ç›kt›: kuantum ve görecelik kuramlar›.
Görecelik kuram›, bu yaz›n›n kapsam› d›fl›ndad›r.
Kaosun olas›l›¤a dayal› yan›yla yak›n iliflkisi nedeniyle kuantum mekani¤ine birkaç sat›r ay›rmakta
yarar vard›r.
Determinizm. Felsefi aç›dan, klasik mekani¤in
yani Newton mekani¤inin özü determinizmdir. Determinizm, “bir fiziksel sistemin flimdiki durumu,
önceki durumunun sonucudur” der. Dolay›s›yla
her olay ve hareketi önceden belirlemek mümkündür. Bu görüflü, antik ça¤›n maddeci düflünürlerine
kadar geriye götürebiliriz. Hiç de¤ilse, 1500 y›llar›nda ortaya ç›kan nedensellik (neden-sonuç) düflüncesinin a¤›rl›k kazanmas›ndan sonra Isaac Newton’un ortaya koydu¤u hareketin üç temel yasas›
modern bilimi bütünüyle determinizme dayal› k›lm›flt›r. Bu yasalar, determinizmi yaln›z ileriye de¤il,
geriye do¤ru da çal›flan sa¤lam bir araç olarak görür. Gerçekten, Newton’un hareket yasalar›na göre, flu andaki fiziksel durum önceki fiziksel durumdan ç›kt›¤› gibi, bundan sonra olacak fiziksel durum da flu andaki fiziksel durumun sonucu olacakt›r. Klasik fizikçi aç›s›ndan, Halley kuyruklu y›ld›z›n›n 2061’de yeniden dünyay› ziyaret edece¤ini kesinlikle öngörebilmek ya da gelecek günefl tutulmas›n›n ne zaman olaca¤›n› ve dünyan›n neresinden en
iyi görünece¤ini flimdiden flaflmaz biçimde hesaplayabilmek, determinizmin yads›namaz zaferleridir.
Modern bilimin dayana¤› olan ve yüzy›llard›r etkisini sürdüren bu görüfl, bugünün bilimini, teknolojisini ve uygarl›¤›n› yaratm›flt›r.
Heisenberg Belirsizlik ‹lkesi’ne göre hareket
halindeki bir parçac›¤›n belli bir andaki momentumuyla (yani kütlesiyle h›z›n›n çarp›m›yla) bulundu¤u konumu, deney
koflullar› mükemmel bile
olsa, kesin olarak belirlenemez, mutlaka bir hata
olmal›d›r, çünkü ölçüm
yapmak için sistem mutlaka “rahats›z edilmelidir”.
Bu iki hatan›n çarp›m›
quantum sabiti ad› verilen ve h olarak simgelenen bir sabitten daha az
olamaz (h = h/2π = 6,6262 × 10−34/2π J×s). Bu
belirsizlik insani boyutlarda önemsiz olsa da atomik boyutlarda görmezden gelinemeyecek bir
hatad›r. E¤er momentum p, konum x ise ve hatalar da ∆p ve ∆x ise, ∆p × ∆x > h olmal›d›r. Dolay›s›yla konumu tam olarak tespit etmek için (yani ∆x’in 0 olmas› için), ∆p sonsuz olmal›d›r! Belirsizli¤in hakim oldu¤u bu “quantum dünyas›”nda bir parçac›¤›n uzaydaki konumu yüzdeyüz kesinlikle belirlenemez, parçac›¤›n konumu
sadece %99 gibi belli bir olas›l›kla belirlenebilir.
66
Matematik Dünyas›, 2005 Bahar
Atomun yap›s›n› aç›klamak için atomalt› parçac›klar›n›n hareketleri belirlenmeli. Bu parçac›klara
determinizm ilkesini uygulayabilmek için bafllang›ç
koflullar›n›n bilinmesi gerekiyor. Ama Heisenberg ilkesine göre (bkz. bir önceki sayfadaki gri alan) parçac›klar›n ayn› anda tam olarak konum ve h›zlar›n›
ölçebilme olana¤› yok; h›z bilindi¤inde konum bilinmiyor, konum bilindi¤indeyse h›z bilinmiyor.
Buna çare olarak “olas›l›k” kuram› kullan›ld›.
Parçac›klar›n h›zlar› ya da konumlar› belli olas›l›klarla belirlendi. Fizikte olas›l›¤›n kullan›l›fl› determinizmden radikal bir sap›flt›r.
Dönemin en renkli kiflilerinden Albert Einstein
bu görüfle karfl› durup “Tanr›’n›n zar att›¤›na inanamam!” diyecektir. Ama, olay›n çok inand›r›c› yan› vard›r.
Yap›lan tahmin bir parçac›k için
de¤il, milyonlarcas› içindir. Bir
para at›p tura gelece¤ini tahmin
ederseniz, ya tutturur ya da yan›l›rs›n›z. Ama 1.000.000 tane
para at›p 500.000 tanesinin tura
Albert Einstein gelece¤ini söylerseniz gene büyük olas›l›kla yan›l›rs›n›z ama gerçek tura say›s›n›n
da çok uza¤›na düflmezsiniz.
Bütün bunlardan önce, hemen 20’inci yüzy›l bafllarken
Newton mekani¤ine duyulan güveni sarsan görüfllerin ortaya ç›k›fl›n› an›msamal›y›z. 1898’de
Frans›z matematikçisi Jacques
Hadamard bafllangݍ koflulunda
Jacques
bir hata yap›ld›¤›nda sistemin
Hadamard
uzun dönemde öngörülemez olaca¤›n› belirtti. Ünlü Frans›z Matematikçisi ve düflünürü Henri
Poincaré 1900’de günefl sisteminin dengesinin sa¤lam olup olmad›¤›n›n kan›tlanamayaca¤›n›
gösterdi. 1908’de Science et
Méthode adl› ünlü yap›t›nda konuyu ayr›nt›lar›yla ifllemifltir.
talar›n› bir yana koysak bile, kuramsal olarak hiçbir alet her zaman gerçek de¤erleri veremez. Ölçümlemede Belirsizlik dedi¤imiz bu olgu, bir fiziksel sistemin bafllang›ç koflullar›n›n kesin olarak belirlenemeyece¤i anlam›na gelir. Bu olgunun determinizm ilkesinde yaratt›¤› olumsuzlu¤u saptayan
ilk kifli Henri Poincaré’dir (1854-1912). fiimdi bunun ilginç öyküsüne geçebiliriz.
Kaotik Davran›fl
Analitik çözümü olan bir sistemde bafllang›ç
koflullar›ndaki ufak bir de¤ifliklik, afla¤›daki flekilde de görüldü¤ü gibi çözümlerde de ufak de¤iflikliklere
neden 4
olur. Oysa analitik 3
2
çözümü olmayan bir 1
sistemde ufak bir de- 0
¤ifliklik öngörülemez –1
0
1
de¤iflikliklere neden –1
olabilir. Örne¤in atmosfer olaylar› kaotiktir ve bu
yüzden meteoroloji ancak birkaç gün sonras›n›
tahmin edebilir.
Birbirine çok yak›n
bafllang›ç koflullar›
t = 10
Birbirinden tamam›yla
de¤iflik ve ba¤›ms›z
sonuçlar. Çözümlerden
birini bilmek di¤eri
hakk›nda bir fikir
vermiyor.
t=0
t=1
t = 10
Kaotik davran›fl
n Cisim Problemi
A¤›rl›klar› olan noktasal n cisim belli bir h›zla ve belli bir yörüngeyle bir ortama girdiklerinde, cisimler a¤›rl›klar›ndan dolay› birbirlerini çekerler ve yörüngeleri birbirinden etkilenir. Bu n
cismin çizece¤i yörüngeyi bulmak n cisim problemi olarak an›l›r. Cisimlerden biri ya da birkaç›
sabit varsay›labilir ya da bir ya da birkaç›n›n
a¤›rl›¤› di¤erlerine göre çok küçük al›nabilir. 3
cisim problemine örnek olarak günefl-jüpiterdünya ya da günefl-dünya-satelit al›nabilir.
‹ki cisim problemi Newton taraf›ndan çözülmüfltür ve çözümü analitiktir. Ama ikiden fazla
cisim için problemin genel çözümü kaotiktir.
Henri Poincaré
Ölçümlemede Belirsizlik. Bafllang›ç koflullar›n›
nas›l belirleyece¤iz? Bunun tek yolu gözlem ve ölçümlemedir. Ama gözlemler, deneyler, ölçümler
gerçek say›sal de¤erleri veremez; onlar› ancak belli
bir yaklafl›kl›kla, yani belli bir hatayla bulabiliriz.
Her ölçümlemede kaç›n›lmaz olan alet ve insan ha-
67
Matematik Dünyas›, 2005 Bahar
Kelebek Etkisi. Newton yasalar› iki gök cisminin hareketine mükemmel uyum sa¤lar, ama ikiden çok (örne¤in üç) cisim oldu¤unda analitik çözüm elde edilmez. “Üç Cisim Problemi” diye an›lan bu problem yirminci yüzy›la girerken astronomide popüler bir konu oldu.
Norveç Kral› II. Oscar, günefl sisteminin dengesinin sa¤lam ya da hassas olup olmad›¤›n› kan›tlayana ödül verece¤ini duyurdu. Henri Poincaré
1900’de, günefl sisteminin hareketini belirleyen
denklem sisteminin çözümünün bafllang›ç koflullar›na ba¤›ml› oldu¤unu,
ancak bafllang›ç koflullar›n›n asla do¤ru olarak
saptanamayaca¤›n›, dolay›s›yla günefl sistemiSa¤lam denge Hassas denge
nin sa¤lam ya da hassas
olup olmad›¤›n›n belirlenemeyece¤ini gösterdi. Bu
öngörülemez durum için “kaos” terimini kullanan
ilk kifli de odur. Böylece, Poincaré, istenen problemi çözmeden ödülün sahibi oldu. (Makale matbaadayken matematiksel bir hata farkedilir, Poincaré
hatay› zorlanarak da olsa düzeltir ama bu arada ald›¤› ödülün daha fazlas›n› hatay› düzeltmek için
harcam›flt›r!) Ama bir problemin çözülemeyece¤ini
kan›tlamak, problemi çözmek kadar de¤erlidir.
fiimdi Poincaré’nin büyük bulgusunun matematiksel aç›dan basit aç›klamas›n› yapabiliriz. Dinamik sistemin analitik çözümü varsa, belli bir
bafllang›ç de¤eri yak›n›ndaki de¤erler için fonksiyon (yörünge) de¤erleri de birbirine yak›nd›r (süreklilik). Determinizm as›l gücünü buradan al›r. Bu
sistemlerde bafllang›ç koflullar› kesinlikle belirlenemese bile, gerçek bafllang›ç de¤erlerine yak›n de¤erlerin al›nmas› sonuçta önemli farklar yaratmaz.
Çözüm analitik olmad›¤›nda, birbirine çok yak›n noktalardaki te¤etler birbirinden çok uzakta
olabilirler. Ya da birbirine çok yak›n bafllang›ç koflullar›nda sonuçlar birbirinden çok uzak olabilirler.
Bu k›sa aç›klamadan sonra, konuyla ilgilenen
fizikçilerin kaos terimine yükledikleri anlam› ortaya koyabiliriz: Bafllang›ç koflullar›na hassas ba¤›ml›l›k. Fizikçilerin bunu ifade eden güzel bir deyimleri var: Çin’de bir kelebek kanat ç›rparsa Teksas’ta kas›rga olabilir. Bu sözde hiçbir politik ima
olmad›¤›n› söylemeye gerek yoktur. Sadece, söylenmek istenen, bafllang›ç koflullar›ndaki çok küçük de¤iflimin sistemin davran›fl›nda çok büyük
fark yaratabildi¤idir.
Werner Karl Heisenberg
1901’de Almanya’da do¤mufltur. Birinci Dünya Savafl› yüzünden lise ö¤renimi yar›da b›rak›p Bavarya’da hasata yard›m etmek zorunda kal›r. Savafltan
sonra Münih’e gider ve Hitler’in
Bavarya’daki komünist iktidar›
y›kmaya çal›flan “Demokratik Sosyalist” güçlerinde yer al›r. Ayr›ca fliiriyle, müzi¤iyle, düflüncesiyle yeni bir “Alman yaflam›” kurmaya çal›flan “Yeni ‹zciler” gençlik hareketine kat›l›r.
1920’de say›lar kuram›nda matematik doktoras› almak için Münih Üniversitesi’ne girer
ama sonradan teorik fizi¤e geçer ve Bohr, Pauli,
Born ve Fermi gibi yüzy›l›n en büyük fizikçileriyle tan›fl›r. 1923’te, uygulamal› fizikteki baflar›s›zl›¤› yüzünden “orta” dereceyle doktoras›n›
al›r ama ayn› y›l ünlü Göttingen Üniversitesi’nde
profesör olur. Say›lar yerine matrisler kullanan
bir atom kuram› gelifltirir. Bir y›l sonra Schrödinger’in buldu¤u dalga mekani¤i Heisenberg’in
matris kuram›n› gölgelemifl olsa da Schrödinger
her iki kuram›n eflde¤er olduklar›n› kan›tlar.
1926’da Kopenhag Kuramsal Fizik Enstitüsü’ne
Bohr’un yan›na gider ve yaflam›n›n en verimli
zaman›n› geçirir. 1927’de elektronun özelliklerini anlamak için yollanan gamma ›fl›nlar›n›n
elektronun davran›fl›n› de¤ifltirdi¤ini gözlemler
ve Einstein’›n kuflkuyla karfl›lad›¤› Belirsizlik ‹lkesini öne sürer. Ayn› y›l Almanya’ya döner.
1932’de genç yafl›nda Nobel Ödülü’nü al›r. Ancak 1933 Nazi iktidar› ve ‹kinci Dünya Savafl›
Alman üniversitelerini allak bullak eder. Yahudi
akademisyenler ülkeyi terketmektedirler. Naziler “Yahudi fizi¤i” olarak nitelendirdikleri teorik fizi¤i üniversitelerden temizlemek isterler.
Heisenberg do¤rudan suçlan›r ama Birinci Dünya Savafl›’nda y›k›lan Almanya’y› eski günlerine
kavuflturmak istedi¤inden ülkeyi terketmez. SS
flefi Himmler’e baflvurmas›yla itibar› iade edilir.
Atom bombas› projesinin bafl›na getirilir. Savafl
bitti¤inde Heisenberg ‹ngiltere’de bir süre hapsedilir. Serbest b›rak›ld›¤›nda, daha sonra arkadafl› Max Planck’›n ad›n› verdi¤i Kaiser Wilhelm
Enstitüsü’nün bafl›na getirtilir. 1970’te emekli
olur ve 1976’da ölür. Almanya’n›n bomba yap›m›ndaki baflar›s›zl›¤› isteksizli¤inden mi yoksa
bilimsel yetersizlikten mi kaynakland›¤› bugün
dahi tart›flma konusudur.
68
Matematik Dünyas›, 2005 Bahar
Hoflgeldin Kaos! Aya insan indiren, Mars’a uydu gönderen ve bu hareketlerin her saniyesini önceden öngören determinizmin büyük gücünü yan›m›zda hissetmek hepimize huzur veriyor. Ama, bir bilardo topunun illa diktörtgen olmayan bir masada
nereye çarpaca¤›n› hesaplayamamak, üç gün sonras›n›n hava durumunu do¤ru tahmin edememek ya
da bir dünya savafl›n›n sonuçlar›n› öngörememek gibi olgular, kayg› verici de¤ilse bile, determinizmin
verdi¤i huzura gölge düflürecek kadar hayalk›r›c›d›r.
Konuflma diline indirirsek, davran›fl› öngörülemeyen dinamik sistemlerini ya da onlar›n davran›fllar›n› kaos olarak niteliyoruz. Fizikçilerin kaos terimine yükledikleri bu anlamla sokaktaki adam›n,
hele hele politikac›lar›n kaos terimine yükledikleri
anlam çok farkl›d›r. Fizikçilerin söylediklerini matematik diliyle ifade edersek kaosu daha iyi tan›mlam›fl oluruz.
Sonuç olarak, do¤rusal (lineer) olmayan dinamik sistemlerin ço¤u için öngörü yapmaya engel
olan üç neden vard›r:
1. Sistemin analitik çözümü yoktur.
2. Hiçbir bafllang›ç koflulunu tam olarak belirleyemeyiz (Ölçümlemede Belirsizlik ‹lkesi).
3. Bafllang›ç koflullar›nda meydana gelen çok
küçük de¤iflim(ler) sonuçta çok büyük farklara neden olabilir (Bafllang›ç koflullar›na hassas ba¤›ml›l›k – Kelebek etkisi).
Asl›nda üçüncü nedeni birinci nedene indirgeyebiliriz, çünkü sistemin çözümü analitikse kelebek etkisi ortadan kalkar, yani birbirine yak›n bafllang›ç koflullar› için birbirine yak›n fonksiyon de¤erleri ç›kar.
Lorenz havan›n ›s› de¤iflimini belirlemek için,
birinci basamaktan üç diferansiyel denklemden
oluflan
dx/dt = −ax + ay
dy/dt = bx − y −zx
dz/dt = −cz + xy
sisteminin say›sal çözümünü ar›yordu. Sistem do¤rusal de¤il ve ak›flkanlar dinami¤inde kullan›lan sistemlerin basitlefltirilmifl bir özel durumu. Zaman›
gösteren t de¤iflkeni ∆t ≈ dt kadar de¤iflti¤inde, Lorenz, analiz derslerine yeni bafllayan ö¤rencilerin bile itiraz edebilecekleri flu yaklafl›k ifllemleri yapt›:
X = x + ∆x ≈ x + dx = x − axdt + aydt
Y = y + ∆y ≈ y + dy = y + bxdt + aydt − ydt − zxdt
Z = z + ∆z ≈ z + dz = z − czdt + xydt
(Bafllang›ç de¤erleri: dt = 0,02, a = 5, b = 15, c = 1.)
t de¤ifltikçe (X, Y, Z) noktas›n›n üç boyutlu uzayda
çizdi¤i yörüngeyi bilgisayarla çizmeye bafllad› (bkz.
afla¤›daki flekil.) Ortaya ç›kan grafik kendisini hiç
kesmiyor ve iki nokta civar›nda dönüyordu. Bu
noktalara Lorenz Çekerleri3 denir.
Lorentz Çekerleri
Yandaki flekilde
birbirine çok yak›n
al›nan iki nokta flekildeki yollar› takip ederek bir süre birbirine
oldukça yak›n seyrederler ama k›sa bir süre sonra yollar› birbirinden tamam›yla ba¤›ms›z olur, birinin yolu di¤erinin alaca¤› yolu
Garip Çekerler. Poincaré’nin 1900’de buldu¤u
kaos kavram›, meteorolojist Edward Lorenz’in
1963’te “meteorolojik de¤iflimlerin bafllang›ç koflullar›na hassas ba¤›ml›l›¤›” diye ifade edilen gözlemlerine kadar pek ilgi çekmedi. Çünkü fizikçiler yirminci yüzy›l›n ilk yar›s›nda kendilerine daha ilginç gelen
kuantum fizi¤iyle ilgileniyorlard› ve Poincaré’nin bu
önemli buluflunu ihmal ettiler. Lorenz, Poincaré’nin
63 y›l önceki bulgusunu ondan ba¤›ms›z olarak yeniden buldu. Ele ald›¤› dinamik sistem için (meteoroloji) bafllang›ç koflullar›nda oluflacak küçük de¤iflimlerin sonuca çok büyük etkiler yapt›¤›n› gözlemledi ve bu gözlemini matematiksellefltirdi. Kelebek
benzetmesi onundur. Böylece, uzun süreli hava tahminlerinin olanaks›zl›¤›n› ortaya koydu.
Tekrarlar4. Lorenz kaosu yeniden keflfedince,
kaos örnekleri arayanlar ço¤ald›. Farkl› sistemler ve
farkl› bafllang›ç koflullar› için “garip çekerler”i canland›ran bilgisayar programlar› yaz›ld›. Bu sistemlerin ço¤u, matematik diliyle söylersek, tekrarlama
yöntemleriyle elde edilir. Bunlar aras›nda gündemde uzun süre kalan baz› örnekleri s›ralayaca¤›z.
Julia ve Mandelbrot Kümeleri. Gaston Maurice Julia (1893-1978) ‹kinci Dünya Savafl›’nda yü3 ‹ngilizcesi “attractors” ya da “strange attractors”.
4 ‹ngilizcesi “iterations”.
69
Matematik Dünyas›, 2005 Bahar
zünden yaraland›. Uzun süre hastanede kald›. Bu
sürede babas›n›n kendisine verdi¤i polinomlarla ilgili bir kitab› okumaya bafllad›. Rasyonel bir ƒ
fonksiyonu için
ƒn(X) = ƒ(ƒ(...(ƒ(X))...))
de¤erlerini inceledi. Yörüngesi, yani {ƒn(x) : n ∈ N}
kümesi sonlu olan x noktalar›ndan oluflan kümeleri araflt›rd› ve bunlar›n ilginç özelliklerini buldu.
Ancak, bulufllar› bir süre sonra unutuldu. 1973’te
Benoit Mandelbrot’un (d. 1924) ifli yeniden ele al›p
karmafl›k düzlemde bilgisayarla çizimler yapmas›yla konu yeniden gündeme geldi. Julia ve Mandelbrot kümeleri aras›ndaki fark›, karmafl›k düzlemde
yayg›n bir örnek olan z a z2 + c dönüflümü üzerinde aç›klayal›m.
Dizisel yörüngeleri kolay göstermek için bu
dönüflümü z(n+1) = z(n)z(n) + c biçiminde yazal›m.
Sabit bir c say›s› için {z(n) : n ∈ N} yörüngesini
sonlu yapan z(0) noktalar›n›n karmafl›k düzlemde
oluflturdu¤u J(c) kümesine Julian dolgusu5, bu kümenin kenar›na da Julian kümesi denir. 1919’da
G. Julia ve P. Fatou ikilisi, her dolgu kümesinin ya
tekparça6 (yekpare) bir küme ya da bir Cantor kümesi oldu¤unu ispatlad›.
Tekparça her Julia dolgusu bir Mandelbrot kümesi’dir. z a z2 + c dönüflümününde z(0) = 0 al›n›rsa c noktas›n›n yörüngesi bulunur:
z(1) = z(0)z(0) + c = c.
Bu flekilde yörüngesi sonlu olan c noktalar›n›n
oluflturdu¤u küme, z → z2 + c dönüflümüne karfl›l›k gelen Mandelbrot kümesidir. Bu küme ba¤lant›l› bir Julian dolgusudur. Kenar uzunlu¤u sonsuzdur ancak alan› bilinmemektedir.
Do¤al fraktaller: Bir a¤aç ve bir e¤relti otu.
Ev yap›m› fraktal
Matematiksel Fraktal: Yukardaki flekildeki gibi, her ad›mda
siyah renkli eflkenar üçgenlerden her biri dört eflkenar
üçgene ayr›l›r ve her ad›mda ortadaki at›l›rsa, sonsuz
ad›m sonra kalan flekle Sierpinski üçgeni ad› verilir.
Kaosla Birlikte Matemati¤e Giren Yeni Kavramlar. Tekrarlamayla yarat›lan ve kaotik say›lan
baz› olgular matemati¤e yeni ufuklar açt› m›? Buna flimdiden olumlu bir yan›t vermek zordur. Ama
kendi kendini tekrarlayan geometrik flekillerden ç›kan fraktal geometri ve fraktal boyut matemati¤e
yeni giren kavramlard›r.
L-sistem harflerin k›sa bir dizimiyle temsil edilen basit bir nesneden bafllayarak çok karmafl›k nesneler yaratabilen bir tekrarlama yöntemidir. Geçen
yüzy›l›n bafllar›nda ortaya ç›kan bu yöntem önceleri ilgi görmedi. 1950’li y›llarda Noam Chomsky Lsistemi do¤al dillerin sözdizimine (sentaksa) uygulad›. 1968’de biyolog Aristid Lindenmayer taraf›ndan
bitkilerin büyümesini temsil etmek üzere kullan›ld›.
L-sistem bilgisayar deste¤iyle baflar›l› sonuçlar verip
vermeyece¤ini düflünmeye de¤er.
z → z2 + c dönüflümüne karfl›l›k gelen Mandelbrot kümesi.
5 ‹ngilizcesi “Julian-filled set”.
6 ‹ngilizcesi “connected”.
70
Matematik Dünyas›, 2005 Bahar
zen bilgisayarlar›m›z, günün birinde baflkas›n›n
çizdi¤i “kaotik grafiklere” bakarak tekrarlama kural›n› ve kural›n bafllang›c›n› ç›karmaya bafllarsa
matematikçileri çok mutlu edeceklerdir.
Dinamik sistemlerde istenen fley, dinamik kural dedi¤imiz diferansiyel denklemin (ya da denklem sisteminin) çözümünü bulmakt›r. Buna matematikte tersinme (inverse) problemi diyoruz. Cebir, analiz ve diferansiyel denklem kuramlar›m›z
ço¤unlukla tersinme problemleriyle u¤rafl›r. Çünkü, determinizmin istedi¤i fleyleri veren odur. Öte
yandan, bütün problemleri çözen bir tersinme kural› yoktur. Bu nedenle problemler kendi içlerinde
birbirine benzer s›n›flara ayr›l›p, her s›n›f için ayr›
ayr› çözüm yöntemleri gelifltirilir. Örne¤in, bütün
diferansiyel denklemleri çözen bir tek yöntem yoktur. Bunun yerine, her diferansiyel denklem s›n›f›
için ayr› ayr› çözüm yöntemleri aran›r. Kaotik sistemler için de benzer fleyin olmas› gerekir. “Böl ve
yönet” ilkesi yaln›z politikada de¤il, bilimsel bilgi
üretiminde de geçerli¤i olan bir alt›n kurald›r.
Ev yap›m› bir baflka fraktal
Bu kavramlar›n matematikte yeni ufuklar aç›p
açamayaca¤›n› zamanla görece¤iz.
Matematik Aç›s›ndan As›l Sorun Nedir? Julia
kümeleri, Mandelbrot kümeleri, Sierpinski üçgeni,
Cantor tozu, e¤relti otu, brokoli gibi örnekleri ister kaotik sistem sayal›m ister saymayal›m, as›l sorunumuz baflkad›r. Tekrarlamalarla istedi¤imiz
kadar kaotik sistemler yaratabiliriz. Hatta kendi
kendisini tekrar etmesi gerekmeyen s›n›rs›z say›da
ard›fl›k ifllemler yaparak sistemi tamamen içinden
ç›k›lmaz duruma getirebiliriz. Bunu flöyle bir örnekle aç›klayabiliriz. Elimizde bir y = ƒ(x) fonksiyonu var olsun. Bunun birinci ve ikinci basamaktan türevlerini almay› da içeren sonlu say›da cebirsel ifllemden oluflan bir operatöre, iterasyonun bir
ad›m› gözüyle bakal›m. Bu ad›mlar› ard›fl›k olarak
uygulayarak çok karmafl›k bir diferansiyel denklem üretmek kolayd›r. ‹fllemlerden sonra üretti¤imiz denklem flöyle olsun:
F(x, y, y′, y″) = 0
fiimdi, yapt›¤›m›z ifllemleri unuttu¤umuzu varsayal›m ve bafllad›¤›m›z fonksiyonu yeniden bulmak isteyelim. Daha iyisi, yapt›¤›m›z ifllemlerden habersiz olan birisinden bu diferansiyel denklemi çözüp
yeniden y = ƒ(x) fonksiyonunu bulmas›n› isteyelim.
E¤er denklemimiz çözüm yöntemi bilinen bir s›n›fa girmiyorsa, hiç kimse aranan fonksiyonu bulamayacakt›r.
Söz gelimi, Sierpinski üçgeni sonunda düzlemde bir toz halini alacakt›r. Olay›n geçmiflini hiç bilmeyen birisi, bu tozun bir üçgenden Sierpinski iterasyon kural› ile elde edildi¤ini ispatlayabilir mi?
Bilimkurgusal bir dil kullanarak konuflal›m.
Bugün belli tekrarlamalarla “kaotik grafikler” çi-
Sonuç. Matematikçiler, Çin’de kanat ç›rpan
kelebe¤in nas›l olup da Teksas’ta kas›rga yarataca¤›n› aç›klayan matematiksel modelden çok, Teksas’ta olan kas›rgay› Çin’de hangi kelebe¤in hangi
kanat ç›rp›fl›yla yaratt›¤›n› bilmek isterler. Günün
birinde kaos bir bilim olacaksa, matematikçiler o
kelebe¤i bulmak zorundad›r.
♠
Kaynakça
1.
Anishchenko, Vadim S., Dynamical Chaos, World Scientific, 1995.
2. Aristid Lindenmayer, Mathematical models for cellular interaction in development, J. Theoret. Biology, 18:280-315,
1968.
3. Baker, Gregory L. ve Gollub, Jerry B., Chaotic Dynamics:
An Introduction. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.
4. Barry Cipra, What’s Happening in the Mathematical Sciences, Cilt 1-5, AMS Bookstore.
5. Crownover, Richard M., Introduction to Fractals and
Chaos, Jones and Bartlett, 1995.
6. David Ruelle, Rastlant› ve Kaos, TÜB‹TAK Popüler Bilim
Kitaplar›, Ankara, 1990.
7. Davis, Brian, Exploring Chaos: Theory and Experiment.
Perseus Books, 1999.
8. Gary Mar ve Patrick Grim, Semantics of Paradox: Chaotic
Liars, Fractals, and Strange Attractors, Philosophy and
Computing.
9. Hilborn, Robert C., Chaos and Nonlinear Dynamics, New
York: Oxford University Press, 1994.
10. Ian Stewart, Does God Play Dice? The Mathematics of
Chaos, Basil Blackwell, 1990.
11. James Gleick, Kaos, TÜB‹TAK Popüler Bilim Kitaplar›,
Ankara, 1987.
71
Matematik Dünyas›, 2005 Güz
Bekir S. Gür* / [email protected]
Leibniz’in Matematik(sel) Düflüncesi
urt Gödel’in hayat›n›n sonlar›na do¤ru yo¤un bir flekilde Leibniz üstüne çal›flt›¤› bilinir. Gödel’in Leibniz “saplant›”s› o dereceye varm›flt› ki, Gödel’e göre birileri Leibniz’in yaz›lar›n›n bir k›sm›n› imha etmifllerdi. Karl Menger’in
Leibniz’in yaz›lar›n› imha etmek isteyenlerin kim
olabilece¤i sorusuna cevaben Gödel flöyle diyecektir: “Elbette ki insanlar›n daha zeki olmas›n› istemeyenler!” [5, s. 223] Leibniz okumak yerine, kendi çal›flmalar›n› ilerletmesini tavsiye edenlere, Gödel
ald›r›fl etmeyecekti. Sonunda, tahmin edilmesi gereken gerçekleflmifl ve Leibniz’in izinden giderek Gödel de Tanr›’n›n ontolojik ispat›n› vermifltir.
Bu yaz›da, Leibniz’in çal›flmalar›n›n özellikle
matematik felsefesiyle ilgili olan k›sm› hakk›nda
okura bir fikir vermek için, characteristica universalis ve ikili say› sistemi gibi çal›flmalar›na ve yorumlar›na de¤inece¤iz. Ayr›ca, Leibniz’in ispat ve
analitik kavramlar›n› nas›l anlad›¤›n› konu edinece¤iz. Son olarak, teoloji ve metafizik/felsefe çerçevesinde Leibniz’in matemati¤e biçti¤i role e¤ilece¤iz.
K
Gottfried Wilhelm Leibniz
(1646-1716)
1646’da Leipzig flehrinde (flimdiki Almanya)
do¤ar. 14 yafl›ndan 21 yafl›na kadar hukuk ve felsefe e¤itimi görür. 1672’de Paris’e gidene kadar
Galileo, Descartes, Pascal ve Hobbes gibi isimlerle kendini hissettiren “yeni felsefe”den habersizdir. 1672’den 1676’ya kadar ikamet etti¤i Paris’te
Characteristica Universalis. Leibniz, siyasi veya felsefi tart›flma ve araflt›rmalar›n matematiksel
bir yöntem izlemedi¤inin bilincindeydi. Leibniz’e
göre, matematikçilerin de hata yapma ihtimali vard›r ama bu hatalar› keflfetmeye yarayacak araçlar›
da vard›r; bu araçlardan yoksun felsefeciler ise daha fazla hata yapabilirler. Felsefede Aristocular veya Platoncular oldu¤u halde, matematikte Öklitçiler veya Arflimetçiler yoktur [1]. Leibniz’e göre,
do¤ruluktan ziyade hislerin egemen oldu¤u fikir
kavgalar›n›n son bulmas› için düflüncenin matematiksellefltirilmesi gerekmektedir: Düflüncenin
önemli bir k›sm›n› biçimsellefltirmek için, matematikte karfl›m›za ç›kan türden simgeler ve kurallar
gereklidir. Leibniz’in Evrensel Bir Karakteristi¤e
buldu¤u entelektüel ortamdan etkilenir. Matematik, bilim ve felsefesinin temel tafllar›n› bu y›llarda atar. 1676’n›n Aral›k ay›nda Hanover’a (flimdiki Almanya) döner. Bu y›ldan sonra, çeflitli yerlerde k›sa süreli görevler alm›fl ve seyahatlerde
bulunmufl olsa da, hayat›n›n geri kalan›n›n büyük
bölümünü burada geçirir. Maden mühendisli¤i,
diplomat, kütüphaneci, mahkeme tarihçisi ve dan›flmanl›k gibi ifller yapm›flt›r. Paris’te bafllad›¤›
felsefi ve matematiksel çal›flmalar›n› Hanover’da
gelifltirmeye devam etmifltir. Hacimli kitaplar yerine, fikirlerini ve bulufllar›n›, ço¤unlukla, mektuplar›nda ve k›sa makalelerinde da¤›n›k olarak
aç›klam›flt›r. Monadoloji adl› meflhur eseri, sadece 12-13 sayfa uzunlu¤undad›r.
* Utah State University, doktora ö¤rencisi.
91
Matematik Dünyas›, 2005 Güz
Önsöz bafll›kl› yaz›s›nda
aç›klad›¤› gibi, characteristica universalis sayesinde düflüncemizin alfabesi
ortaya ç›kacak, temel
kavramlar›n analizi yap›lacakt›r ve bunlara dayanarak bütün her fley hesapsal olarak kesin bir flekilde yarg›lanacakt›r [4, s.
5-10]. Böylece iki farkl›
görüflü savunan filozoflar›n çat›flmalar›na gerek
kalmayacakt›r; yanyana oturup calculemus yani
“buyrun hesaplayal›m” diyerek düflüncelerinin
do¤rulu¤unu hesaplayabileceklerdir!
Leibniz’in characteristica universalis düflüncesi
bir tür hesapsal formüllefltirmedir. Bu düflünce, temel
veya indirgenmez düflüncelerle asal say›lar› efllefltirmeye dayan›yordu. Yani her temel düflünceyi nitelendiren bir say› olacakt›: karakteristik say›. Leibniz’in
Karakteristik Say›lara Örnekler bafll›kl› yaz›s›nda
verdi¤i bir örne¤i aktaral›m [4, s. 10-18]. “‹nsan, düflünen canl›d›r” önermesindeki “düflünen” ve “canl›”
temel kavramlar›na s›ras›yla (13, 5) ve (8, 7) say›
çiftlerini verelim, o zaman “insan” kavram›n› nitelendiren yani onun karakteristi¤i olan say› (13·8,
–5·7) yani (104, –35) olacakt›r. Bu fikre göre, sonsuz say›da birbirine asal say› oldu¤undan, bütün
temel veya indirgenemez kavramlara karfl›l›k gelen
bir say› veya bir say› çifti veya bir say› üçlüsü atanabilir; böylece, di¤er bileflik kavramlar asal say›lar›n çarp›m› olarak elde edilebilir ve bütün bir dil
haritalanabilir.
Leibniz’in tasarlad›¤› madalya
nün say› oldu¤unu iddia etmifltir. Bilindi¤i üzere,
ikili say› sisteminde bütün say›lar 0 ve 1 kullan›larak ifade edilebilir. 0’› “yokluk”, 1’i ise “Tanr›”
olarak yorumlayan Leibniz, böylece, ikili say› sisteminin yarat›l›fl› simgeledi¤ini, dolay›s›yla bu sistemde her fleyin ifade edilebilece¤ini iddia etmifltir.
Leibniz için, her fley 0 ile 1’in kar›fl›m›d›r. Burada,
Leibniz’in Yeni-Eflatuncu ve say›sal gizemci ö¤retileri izledi¤i ifade edilmelidir; buna göre, her fley
Bir’den yani Tanr›’dan sudûr etmifltir (taflm›flt›r).
Leibniz için, ikili say› sistemi, Tanr›’n›n yarat›fl›ndaki güzellik ve mükemmelli¤i gözler önüne serer. Yani, ikili sistemde herhangi bir say› tekil ola-
Analiz
Bilim ve matematik tarihinde en önemli ilerlemelerden biri, kuflkusuz, analizin ortaya ç›k›fl›d›r. Genelde matematikçiler Leibniz’i analiz dolay›s›yla tan›rlar. Analiz, e¤rilerin e¤imleriyle
alan ve hacim ölçümleri gibi o zamana kadar
birbirinden ba¤›ms›z olduklar› san›lan iki konunun birbirleriyle çok yak›n bir iliflkide oldu¤undan yola ç›kan bir matematik dal›d›r. Böylece,
diferansiyel analizle integral analizin birbirinin
“tersi” olduklar› ortaya konmufltur.
Analiz, Leibniz ve Newton taraf›ndan birbirinden ba¤›ms›z olarak keflfedilmifltir. Kimin
daha önce buldu¤u konusu tarihte çetin kavgalara neden olmufltur. Newton’un daha önce
buldu¤u ve Leibniz’in kimseden kopya çekmeden Newton’dan ba¤›ms›z olarak buldu¤u
bugün nerdeyse su götürmez bir gerçek olarak
kabul edilir.
‹kili Say› Sistemi. ‹kili say› sistemi Leibniz’den
önce de biliniyordu, fakat Leibniz bunu ilk defa sistematik ve olgun bir flekilde kayda geçirmifltir. Leibniz bir mektubunda her fleyin yokluktan yarat›lmas› konusu ile ikili say› sistemi konusunu birlikte
ele alm›flt›r. Bu, daha sonra de¤inece¤imiz üzere,
Leibniz’te, teolojiyle matemati¤in (hatta fizi¤in de)
iç içe girdi¤inin bir örne¤idir [1].
Leibniz, yarat›l›fl ve ikili sistem üstüne metal
bir madalya tasarlam›flt›r. Madalya flu ifadeleri tafl›yacakt›r: Imago creationis (Yarat›l›fl›n sureti),
Omnibus ex nihilo ducendis sufficit unum (Her fleyi yoktan türetmek için birlik yeterlidir) ve Unum
est necessarium (Bir, zorunludur). Leibniz, Pisagorcu ö¤retiyi izleyerek, her fleyin asl›n›n veya özü-
92
Matematik Dünyas›, 2005 Güz
rak gözümüze güzel görünmeyebilir ama altalta
yaz›ld›¤›nda genel sistem içindeki düzenden dolay›
güzelli¤i görünür. Benzer flekilde, dünyada tekil
olarak hoflumuza gitmeyen fleyler olabilir, ama
do¤ru perspektifi yakalad›¤›m›zda her fleyin mükemmel oldu¤unu görürüz.
Leibniz’in say› gizemcili¤inin sonu gelmez;
“Tanr› tek say›lar› sever” vs. gibi birçok söz sarfeder. Bu konuyu uzatmak istemedi¤imizden son bir
örnekle yetinece¤iz: Leibniz, Tanr›’n›n dünyay› alt› günde yaratmas› meselesi üzerine birçok say›sal
benzetme yapt›ktan sonra, yedinci günün ikili sistemde 111 gibi s›f›rs›z (“mükemmel”) bir say› oldu¤unu söyler. Ayr›ca 111’in üçlemeye (teslis) iflaret etti¤ini ifade eder [1].
Asl›nda, ispat fikrinin
Leibniz zaman›nda ortaya
ç›k›fl›n›n Leibniz’in kendisi taraf›ndan sunulan makul bir aç›klamas› vard›r:
Geometri kesinli¤in ölçüsü olarak al›nd›¤›nda,
modern ispat kavram›na
varmak zordur; çünkü,
geometrik ispatlar temelde “içeriklerine” dayan›rlar. Bu tür ispatlar›n geçerlili¤i, üzerinde çal›fl›lan
geometrik nesnenin bilinen özelliklerine uyup uymad›klar›yla belirlenir. Descartes’›n geometriyi cebirsellefltirmesiyle birlikte, ispatlar›n biçimsel bir
Modern ‹spat Kavram›. Bilim filozofu Ian Hacking’in gösterdi¤i gibi, Descartes ça¤dafl anlamda
ispat›n ne demek oldu¤unu bilmiyordu. Leibniz ise
modern ispata çok daha yak›n bir düflünceye sahipti [3, s. 200]. Descartes’›n matematiksel do¤rulu¤u
ispattan ba¤›ms›z ele alm›flt›r. Descartes için, do¤ru
bir fley ispatlanmasa bile o bizatihi kendili¤inden
do¤rudur. Dolay›s›yla, bir fleyin do¤ruluk de¤eri ile
ona verilen ispat birbiriyle ilgili fleyler de¤illerdir.
Burada ayr›ca Descartes’in ispat›n de¤il, yeni
matematiksel sonuçlar veren pratik yöntemler peflinde oldu¤unu hat›rlatal›m. Leibniz’in fark etti¤i
modern ispat kavram›n›
ça¤r›flt›ran fley fludur: Bir
ispat içeri¤inden de¤il, biçiminden dolay› geçerlidir. Buna göre, ispat, belli
özdeflliklerden bafllayarak kimi cümlelerin belli
mant›k kurallar›na göre sonlu say›daki bir diziliflidir. Descartes’› yeniden hat›rlatacak olursak, Descartes yeni bir fley elde ederken sezgiye büyük önem
atfediyordu, oysa Leibnizci bir ispat alg›s›nda as›l
olan, eldeki cümlenin “mekaniksel” bir ispat›n›
bulmakt›r.
Leibniz’in sundu¤u ispat fikri devrindeki düflüncelerden muhtemelen etkilenmiflti ve onlardan izler
tafl›yordu. Hacking’in dedi¤i gibi [3, s. 202], her devirde kendinden önceki düflünceleri derinden sarsan
bir kifli bulup ç›karmak adettendir, kendi devri için
Leibniz böyle bir kifli rolünü oynamaktad›r.
“Yaflayan Güç”
Leibniz, kütleyle h›z›n karesinin çarp›m›n›n
(mv2 ya da bunlar›n toplam›n›n) gücün gerçek
ölçüsü oldu¤una inan›rd›. Bugün kinetik enerji
olarak bilinen bu say›ya Leibniz vis viva yani
“yaflayan güç” ad›n› vermiflti.
Descartes ise gücü en iyi momentum’un yani
kütle çarp› h›z›n ölçtü¤üne inan›rd›. Bu yüzden
Frans›z Kartezyenleriyle do¤al olarak Leibniz’in
bafl›n› çekti¤i Alman fizikçileri aras›nda büyük
anlaflmazl›k ç›km›flt›. Newton’dan etkilenen ‹ngiliz fizikçileri de momentum’dan yanayd›lar.
Leibniz vis viva’n›n hiç artamayaca¤›na inan›rd›, yoksa sürekli hareket eden bir fley olurdu
ki bu da saçmayd›... Vis viva’n›n azalmas› da
mümkün de¤ildi, çünkü bu da Leibniz’e göre
Tanr›’n›n yarat›s›n›n sonsuza dek var olmas› gerekti¤iyle çeliflirdi.
Dolay›s›yla vis viva Leibniz’in inan›fl›na göre bir sabitti. Newtonculara göre ise momentum
bir sabitti. Bugün, bu iki kuram›n birbirini tamamlad›¤›n› biliyoruz.
Hepsinde de¤il ama birçok mekanik sistemde kinetik enerji de¤iflmez. Baz› deneylerle çeliflmesine karfl›n Leibniz bu kuram›ndan hiç vazgeçmedi ve bu yüzden ça¤dafllar›yla çat›flt›. Leibniz için dini ve felsefi inançlar bilimsel bir kan›t›n parças› olabilirlerdi.
Modern fizi¤in (örne¤in termodinami¤in birinci yasas›n›n) “bir sistemin toplam enerjisinin
de¤iflmezli¤i” düflüncesinin kökenleri Leibniz’a
dayan›r.
93
Matematik Dünyas›, 2005 Güz
flekle dönüflmelerinin
önü aç›lm›flt›r.
Leibniz için Gerçek
Monadoloji adl› eserinde iki tür gerçekten
sözeder Leibniz: 1) Ak›l yoluyla elde edilen gerçekler, ki bunlar baflka türlü olamayacaklar›ndan zorunlu olarak gerçektirler ve kan›tlar› vard›r. 2) Olgudan kaynaklanan, yani bir anlamda
tersini düflünebilece¤imiz ama sadece olgu olduklar› için do¤ru olan rastlant›sal (olumsal/mümkin/contingent) gerçekler.
Modern filozof Karl Popper’e göre ikinci tür
gerçekler bilimin, birinci tür gerçeklerse matemati¤in konusudur. Bilimin konusu olan olgular
hakk›ndaki bilgilerimiz “d›fl” dünyada yanl›fllanmaya aç›kt›rlar. Oysa matematik, analitik önermelerden oluflur, yani totolojilerden ibarettir ve
bu matematiksel önermeler “d›fl” dünyada de¤il
zihnimizdedirler.
Analitik
Yüklemi, özneyle
özdefl olan ya da yüklemin özne taraf›ndan içerildi¤i önermelere analitik denir. Örne¤in,
“bütün insanlar, canl›d›r” ifadesini söyledi¤imizde, Leibniz’e göre
flunu kastederiz: ‘canl› olma’ kavram›, ‘insan olma’
kavram›n›n içerisindedir [4, s. 11], dolay›s›yla bu
önerme analitiktir. Leibniz’e göre tüm matematiksel do¤rular analitiktir.
Immanuel Kant’›n (1724-1804), Leibniz’in gerçeklik kavram›n› özenle dönüfltürerek analitik-sentetik ayr›m›n› ortaya att›¤› iyi bilinmektedir. Kant’a
göre analitik a priori bilgi, sadece mant›k kullan›larak elde edilen bilgilerdir. Sentetik a priori ise, zaman ve uzay sezgisini kullanarak elde edilen bilgilerdir. Gene Kant’a göre, aritmetik ve geometrik
do¤rular sezgiye dayanan
sentetik a priori’dir. Burada üzerinde durmak istedi¤imiz bir husus fludur: (her ne kadar Kant
bu anlamlar› dönüfltürmüfl olsa da) Leibniz’in
analitik ve do¤ruluk kavramlar›na yükledi¤i anlamlar, 20’inci yüzy›l›n
bafl›nda Frege ve Russell
gibi, bütün matematiksel
önermeleri mant›¤a indirgemeye çal›flan mant›kç›lar›n temel iddialar›n›
flekillendirmifltir1.
Dahas›, Leibniz’in “aksiyomlar›n da ispat› verilebilir” fleklindeki düflüncesinin de mant›kç›lar› etkilemifl olmas› muhtemeldir. Buna ilaveten, Leibniz
matematiksel ispatlarda kullan›lan ilkelerin bizatihi
kendilerinin dahi ispat›n› sunmaya çal›flm›flt›r.
Leibniz’in ispat kavram› ile analitik kavram›
Leibniz, K›sa K›sa
• 70 yafl›nda öldü¤ünde görevliler d›fl›nda
cenazesinde sadece bir kifli vard›: asistan› Eckhart.
• Yaflam› boyunca binden fazla bilim adam›
ve devlet adam›yla yaz›flm›flt›r.
• Uzaya yolculu¤u ilk düflleyenlerden biri
Leibniz’tir. Ama “havan›n inceli¤inden” dolay›
bu düflüncesinden k›sa zamanda (neyse ki!) vazgeçmifltir.
• Leibniz matemati¤i nerdeyse kendi kendine ö¤renmifltir. Bu konuda yol göstericisi ve ak›l
hocas›n›n Hollandal› fizikçi Christian Huygens
oldu¤unu söyleyebiliriz.
• Leibniz iki taban›nda mistisizm bulmufltur: 0 yokluk, 1 ise Tanr›’yd›, dolay›s›yla iki taban› yarat›l›fl› temsil ediyordu...
• Matematiksel anlamda “fonksiyon” terimini ilk kez Leibniz kullanm›flt›r. Leibniz’in
fonksiyonlar›n›n kalk›fl kümesi bir e¤riydi. Örne¤in bir e¤rinin bir noktadaki e¤imi Leibniz’in
ele ald›¤› fonksiyonlardan biriydi.
• Leibniz Cramer’den 50 y›l önce determinant kavram›n› kullanm›flt›r.
• Varl›¤›n parçalanmayan “monad”lardan
olufltu¤una ama hareketin ve de¤iflimin sürekli oldu¤una inan›rd›. (Natura non facit saltus: Do¤a
sݍramalar yapmaz.)
1 Analitikle ilgili olarak, Ludwig Wittgenstein’›n [6] Tractacus
Logico-Philosophicus’ta totoloji kavram› üstüne söyledikleri
zikredilebilir, örne¤in 4.461, 6.1, 6.11. Wittgenstein’a göre
totolojik bir önerme yeni bir anlam (sense) içermez ve mant›k
totolojilerden ibarettir.
94
Matematik Dünyas›, 2005 Güz
birbirini tamamlar, çünkü bir ispat verilirken herhangi bir önermenin öteki bir önermeden türetilmesi, analitik kavram›na karfl›l›k gelir.
taraf›ndan da dile getirilmifl olan “Tanr› her
fleyi bir ölçüye, say›ya
ve a¤›rl›¤a göre yaratt›” inanc›na e¤ilir. Leibniz flöyle düflünür:
Baz› nesnelerin a¤›rl›¤›
yoktur,
dolay›s›yla
a¤›rl›klar› hesaplanamaz; baz› nesnelerin
ise boyutlar› yoktur,
dolay›s›yla
boylar›
ölçülemez, fakat say›lamayacak bir fley yoktur [4].
Özetle, say› her fleyin özüdür. Leibniz’e göre Tanr›
kusursuz bir matematikçidir. Yaratma eylemi “kutsal matematik” (Mathesis quaedam Divina) ile gerçekleflmifltir. Leibniz, Eflyan›n Nihai Kökeni Üzerine bafll›kl› meflhur makalesinde, bütün her fleyin kökeninde “metafiziksel bir mekanizma” veya “kutsal
matematik” oldu¤unu söyler [4, s. 151]. Dünyadaki her fley belli ölçü ve kanunlara göredir ve bu kanunlar sadece “geometrik” de¤il ayn› zamanda
“metafiziksel”dir [s. 152].
Teodise ve di¤er bir çok yaz›s›nda de¤indi¤ine
göre, Leibniz için, zulüm ve kötülük bulunsa dahi
özgür iradenin oldu¤u bir dünya, zulmün, kötülü¤ün ve özgür iradenin olmad›¤› bir dünyadan daha
iyidir. Tanr›’n›n, içerisinde kötülük de bulunan bir
dünya yaratmas›n›n aç›klamas› budur. Bütün olas›
dünyalar içerisinde Tanr› neden baflka bir dünya
de¤il de bu dünyay› ve bu flekilde yaratm›flt›r? Leibniz’e göre, en mükemmel dünya budur da onun
için! Yani Tanr›, kusursuz bir matematikçi olarak,
bütün olas› dünyalar› hesaplam›fl ve bunlar içerisinden en iyisini yaratm›flt›r. Bütün olas› dünyalar içerisinde en iyisinin bu dünya oldu¤una örnek fludur:
Aslanlar tehlikeli hayvanlard›r fakat onlars›z bu
dünya daha az mükemmel olurdu. Ayr›ca, bu dünyan›n iyi olup olmad›¤› hakk›ndaki de¤erlendirmemiz, flimdiye kadar yaflanan ve bildi¤imiz olaylarla
s›n›rl›d›r. Halbuki, Tanr› bütün zamanlar› göz önüne alarak en mükemmel olan bu dünyay› seçmifltir
[4, s. 149-55; 1]. Bu konuda, Leibniz’in verdi¤i bir
Mathematica Divina. fiu ana kadar Leibniz’in
matematik hakk›ndaki görüfllerinden bir k›sm›na
de¤indik. Bu de¤inide ortaya ç›kan hususlardan biri, Leibniz’in matemati¤e yaklafl›m›n›n onun teolojik ve metafizik/felsefi görüfllerinden ayr›flt›r›lamayaca¤›d›r. Leibniz’in, örne¤in, ikili say› sistemini
sadece aritmetiksel bir mesele olarak kavramad›¤›na yukar›da de¤indik. Breger’in aktard›¤› gibi, Leibniz için, matematik ve teoloji, “Tanr›’ya yükselen bir merdivenin basamaklar› gibiydi” [1, s.
493]. Leibniz’in anlafl›lmas› için, onun matematik,
teoloji ve metafizik aras›nda kurdu¤u/varsayd›¤›
iliflkiler, üzerinde durulmas› gereken bir meseledir.
Böylesine karmafl›k bir meseleyi bu k›sa yaz› çerçevesinde ayr›nt›l› olarak ele almak mümkün de¤il;
onun yerine, okura bir fikir vermesi için bir kaç
hususa de¤inmekle yetinece¤iz.
Leibniz matematiksel baflar›lar›n›n, felsefi ve
teolojik düflüncelerine dikkat çekece¤ini ummufltur; ne de olsa, matematiksel bir baflar› güçlü bir
zihnin iflaretidir [1]. Leibniz’in kiflisel düzeydeki bu
“f›rsatç›l›¤›”, devrinin toplumsal düzlemindeki bir
baflka f›rsatç›l›¤›n yans›mas›d›r. Bilindi¤i üzere,
Çin’e giden H›ristiyan misyonerler, Çinlileri etkilemek ve böylece H›ristiyanlaflt›rmak amac›yla, Avrupa’n›n matematiksel baflar›lar›n› kullanm›fllard›.
Leibniz bunu tereddüt etmeksizin onaylayacakt›.
Zaten Leibniz için characteristica universalis yöntemi, Tanr›’ya inanmayanlara hakikati göstermek
için en emin yoldur çünkü bu yöntem “bir terazi
gibi” her fleyin do¤ruluk de¤erini ölçecek ve gösterecektir [4, s. 9]. Yani, misyonerlerin H›ristiyan olmayanlara
bu hesapsal yöntemle do¤rular› göstermeleri, onlar› H›ristiyanl›¤a yöneltmeye
yetecektir!
Leibniz’in, characteristica universalis için say›lar› kullanmas›n›n metafiziksel bir temeli vard›r. Leibniz, Platon
Daha ‹yi Bir Dünya?
Voltaire (1694-1778), Candide adl› roman›nda Leibniz gibi olas› en iyi dünyada yafland›¤›na inanan Pangloss karakterini yaratm›flt›r.
95
Matematik Dünyas›, 2005 Güz
sonsuz ifllemlerin sonucunu hesaplayabilmesi gibi).
Ayr›ca, Leibniz matematiksel do¤rulu¤u mutlak olarak ele almakla, birden fazla kendi içinde
tutarl› matematiksel sistem olabilece¤ini düflünmemifltir. Bu ise, Leibniz’in ilgilenmedi¤i bir sorunu
yani Tanr›’n›n hangi matemati¤i kulland›¤› sorununu do¤urmakta.
fiimdiye kadar yazd›klar›m›zdan anlafl›laca¤›
üzere, Leibniz’in bütün düflüncelerinde matematik
önemli bir yer iflgal eder. Ona göre matematikçi filozof olmal›d›r, t›pk› filozofun matematikçi olmas›
gerekti¤i gibi. L’Hôpital ile bir yaz›flmas›nda Leibniz, kendi metafizi¤inin matematiksel oldu¤unu
veya matematiksel olarak da yaz›labilece¤ini ifade
etmifltir [1]. Dahas›, Leibniz’e göre, matematik yeni icatlar yapma sanat› olan mant›¤a çok yak›nd›r ve metafizik de
bu sanattan çok farkl› de¤ildir.
“Filozof olarak bafllad›m ama
teolog olarak noktal›yorum” diyen Leibniz’in matematiksel felsefesini anlamak isteyen herkesin
yüzleflmesi gereken en önemli mesele, Leibniz’de matematikle felsefe, metafizik ve teoloji aras›ndaki
iliflkilerin içeri¤idir. Ancak bu iliflkiler zemininde, yak›n dönem filozoflar›ndan Heidegger ve Derrida’n›n teknikçili¤in ve teknolojinin yani modern metafizi¤in kurucusu olarak (Descartes’la birlikte) Leibniz’i hedef almalar›n›n veya
Husserl, Serres ve Deleuze’ün Leibniz’in kimi fikirlerini izlemelerinin veya yeniden yorumlamalar›n›n
dosdo¤ru bir de¤erlendirmesine bafllanabilir. ♦
“Leibniz hiç evlenmedi. 50 yafl›nda akl›ndan
geçti, ama akl›ndan geçirdi¤i kifli düflünmek için
zaman istedi. Bu, Leibniz’e de düflünme imkân›
verdi ve hiç evlenmedi.” Bernard Fontenelle
di¤er örnek fludur: Hapishanede do¤an biri, sadece
etraf›na bak›narak, bütün dünyan›n kötü oldu¤una
hükmedemez. Sonuçta, Leibniz için, bireyler sadece
belli bir parçay› görür, oysa Tanr› bütün her fleyi
görerek ve hesaplayarak karar verir2.
Sonuç Yerine
Leibniz’in göz kamaflt›r›c› characteristica universalis program› hiçbir zaman gerçeklefltirilememifltir.
David Hilbert, Leibniz’in bu düflüncesinin formelmatematiksel bir biçimini savunmufl ve buna göre bir program
önermifltir. Leibniz’e hayran olan
Kurt Gödel, Eksiklik Teoremi’ni ispatlayarak characteristica universalis türü programlar›n sadece
felsefe için de¤il matematik için bile
baflar›s›z olmaya mahkûm oldu¤unu göstermifltir.
Leibniz’in metafizi¤ini ve teolojisini k›smen matematiksel bir
düflünceye dayand›rmas› ciddi sorunlar› beraberinde getirmifltir. Leibniz, bir anlamda, her fleyi hesaplamaya indirgemifltir. Örne¤in, Tanr›’y› matematiksel sorular› çözen bir hesapç›ya indirgemifltir. Paradoksal görünebilir ama aç›kt›r ki, böyle bir Tanr›’n›n matematiksel olarak çözümü olmayan meseleler hakk›nda söz
hakk› yoktur. Leibniz kimi yerlerde sonsuz ifllemleri
Tanr›’n›n dahi yapamayaca¤›n› söylemifltir. Tanr›y›,
Leibniz’in anlad›¤› türden matematikçi k›l›nca, bu
tür bir matematikçinin aciz oldu¤u noktalarda Tanr› dahi bir anlamda aciz k›l›nm›flt›r. Leibniz için örne¤in, Tanr›, sonsuz ifllemleri yapam›yor ama sonucu görebiliyor (t›pk› matematikçinin limit hesaplar›
yaparken tek tek sonsuz ifllemi yapmamas› ama o
2
Kaynakça
[1] Breger, Herbert, God and Mathematics in Leibniz’s Thought, Mathematics and the Divine: A Historical Study, editörler: T. Koetsier ve L. Bergmans, Elsevier, s. 485-498,
2005.
[2] Guénon, René, The Metaphysical Principles of the Infinitesimal Calculus, çevirmenler: H. D. Fohr & M. Allen,
editör Samuel D. Fohr, Sophia Perennis, 2003.
[3] Hacking, Ian, Leibniz and Descartes: Proof and Eternal
Truths, Historical Ontology, Harvard University Press,
2002, s. 200-13.
[4] Leibniz, G. W. Philosophical Essays, çeviri: R. Ariew & D.
Garber, Hackett Publishing Company, 1989.
[5] Menger, Karl, Reminiscences of the Vienna Circle and the
Mathematical Colloquium, editörler: Louise Golland, Brian
McGuinness ve Abe Sklar. Kluwer Academic Publishers,
1994.
[6] Wittgenstein, Ludwig, Tractatus Logico-Philosophicus,
çeviri: D. F. Bears & B. F. McGuinness, Routledge & Kegal Paul, 1961.
Leibniz’e göre, do¤adaki her fley sanatkâr›n›n sonsuz tane
niflan›n› tafl›yordur, dolay›s›yla sonsuz küçükler analizi
matemati¤in do¤aya uyguland›¤› her bilim için önem arz eder
[1]. Biz bu yaz›n›n s›n›rlar› içinde, sonsuz küçükler analizinin
felsefi yönlerini ele almad›k. Bu, ayr› bir inceleme gerektirir.
‹lgililer, Leibniz’in ciddi bir elefltirisini René Guénon’un The
Metaphysical Principles of the Infinitesimal Calculus (Sonsuz
Küçükler Analizinin Metafiziksel ‹lkeleri) adl› eserinde bulabilirler [2].
96
Türkiye’de Cumhuriyet Dönemi Matematiğine Kısa Bir Bakış
Melek Dosay Gökdoğan
Osmanlı İmparatorluğu’nun yıkılması ve Kurtuluş Savaşı’ndan sonra kurulan yeni
Türkiye Cumhuriyeti’nde bu defa çağdaş uygarlıkları yakalama uğraşısı başlamıştı. Bu
çabaların odak noktasını doğal olarak bilim ve teknoloji alanındaki hamleler oluşturdu. Yeni
kurulan cumhuriyette bilim ve teknolojiyi kalkındırmak, bunlar hemen hemen yalnızca eğitim
kurumlarında yer aldığından, ancak mevcut okullardaki bilim eğitimini geliştirerek
sağlanacak gibi görünüyordu. Diğer bilimler arasında matematik de bu uğraşıdan kendi
payına düşeni aldı.
Öncelikle Osmanlılar’dan intikal etmiş olan okullarda bazı düzenlemeler yapıldı,
bunlar yeterli olmayınca, bu eğitim kurumları köklü reformlara tabi tutularak, yepyeni adları
ve programlarıyla bilimsel araştırmaların yapıldığı merkezler haline dönüştürüldü. Bu
dönüşüme uğrayan okulların başında Darülfünun gelir. 1933 yılında yapılan Üniversite
Reformu’yla Darülfünun İstanbul Üniversitesi adını aldı ve Fen Fakültesi’nde yer alan
Matematik Enstitüsü ile bu yeni dönemde yurt dışından getirtilen, özellikle de Nazi
Almanya’sından kaçan uzman hocalarla matematik eğitimine ivme kazandırıldı.
Ülkemizde Cumhuriyet döneminde matematik alanında gerçekleşen gelişme ve
atılımlar esas olarak 1933 Üniversite Reformu’yla başlatılmakla beraber, Cumhuriyet’in
kurulmasıyla Üniversite Reformu arasında geçen sürede, yani İstanbul Üniversitesi’ne
dönüşmeden önceki Darülfünun’da da matematik ile ilgili gelişmeler yok sayılamaz. Büyük
bilginimiz Salih Zeki’nin (1864- 1921) Darülfünun Fen Fakültesi dekanlığı sırasında, 1919
yılında sayılar teorisi kürsüsü kurulmuş, Salih Zeki, bu kürsünün başına Darüşşafaka’dan
hocası Mehmet Nadir’i (1856- 1927) getirmişti. Mehmet Nadir, 1927 yılında vefatına kadar
bu görevini sürdürmüştür. Mehmet Nadir’in araştırma konusu, sayılar teorisinde Diofant
denklemleri adıyla tanınan tam sayı çözümlü belirsiz denklemler üzerineydi. L’Intermédiaire
des Mathématiciens adlı dergide sayılar kuramına ilişkin birçok problemin çözümünü
yayımlamıştır. Darülfünun öğrencileri için sayılar teorisine giriş kitabı yazmış, bu kitapta asal
sayılar, üçgen sayılar gibi sayılar teorisinin temel kavramlarını, bölme işleminde kalan sayıyı
bulmak için kendi geliştirdiği yeni bir algoritmayı anlatmıştır. Fen Fakültesi Mecmuası’nda
on iki makale yayımlamış, bunların çoğunda sayılar teorisiyle ilgili dünyada bilinenleri
tanıtmış, iki makalesinde ise özgün araştırmalarına yer vermiştir.
Bu durumda Cumhuriyet dönemi matematikçilerimizi, araştırmaları yurt dışındaki
dergilerde yayımlanan hemen hemen ilk matematikçimiz olan Mehmet Nadir ile ve
Cumhuriyet dönemi matematik araştırmalarını onun çalışmalarıyla başlatmak isabetli
görünmektedir. Darülfünun’un ders programlarında vefat ettiği 1927 yılına kadar Nazariye-i
Adâd derslerini veren hoca olarak Mehmet Nadir yer almakta, 1927’den sonra ise bu ders
muhtemelen okutacak hocası olmadığından programdan çıkarılmış görünmektedir.
Aynı dönemde, Darülfünun’un Fünun Şubesi’nin Ulum-ı Riyaziyye Kısmı’nda,
Cebr-i Alâ (Yüksek Cebir) dersini Ali Yar, Riyaziyat-ı Umumiye (Genel Matematik) dersini

Ankara Üniversitesi, Dil ve Tarih Coğrafya Fakültesi, Bilim Tarihi Anabilim Dalı.
Hüsnü Hamid, Hendese-i Tahliliye (Analitik Geometri) dersini Şükrü Bey, Tahlili Riyaziye
(Matematik Analiz) dersini Burhaneddin Bey, Mihanik-i Riyazi (Matematiksel Mekanik)
dersini Mustafa Salim ve Hisab-ı İhtimâliyat (Olasılık Hesabı) dersini Fatin Bey okutmuştu.
Bu kadro ve ders programı 1933 yılına kadar devam etmiştir. Bu akademisyenlerden yalnız
Ali Yar (1884-1965), reform sırasında yapılan tasfiyeden sonra da kadroda kalmış, Umumi
Riyaziyat ve Yüksek Cebir Kürsüsü profesörü olarak görevine devam etmiştir. Yeni
üniversitede analitik geometri, cebir, yüksek matematiğe giriş, cebir tatbikatı ve analiz
dersleri vermiştir. 1911’de Paris Üniversitesi’nden mezun olan Ali Yar, cebir ve trigonometri
üzerine ders kitapları yazarak ve tercüme ederek de matematik eğitim-öğretimine katkıda
bulunmuştur.
1933 Reformuyla İstanbul Üniversitesi’nde oluşturulan Matematik Enstitüsü;
Umumi Riyaziyat ve Yüksek Cebir, Temami ve Tefazuli ve Yüksek Riyazi Tahlil, Riyazi
Mihanik ve Yüksek Hendese kürsüleri olmak üzere üç kürsüden oluşuyordu ve akademik
kadrosu da Almanya’dan gelen Profesör Richard von Mises ve asistanı Hilda Geiringer ve
Prof. Wilhelm Prager’den ibaretti. Von Mises’in araştırma konusu olasılık hesabı ve
akışkanlar mekaniği, Prager’inki ise elastisite olmak üzere uygulamalı matematik
alanlarındaydı. Yurt dışından gelmiş olan bu akademisyenlerin yanında, ilk doktoralı
matematikçimiz Kerim Erim (1894- 1952) ile Cahit Arf (1910-1997), Ratip Berker (19101997), Ferruh Şemin (1908-1985) gibi yurt dışında doktora yapmış genç matematikçilerimiz
de görev aldılar. Bu ilk doktoralı matematikçilerimiz Darülfünun’un yanı sıra, sonradan
İstanbul Teknik Üniversitesi olan Yüksek Mühendis Mektebi’nde de matematik dersleri
vermişlerdi. Alman bilim adamları 1940’larda ülkemizden ayrılıp Amerika’ya gittiklerinde bu
matematikçilerimiz ülkemizdeki matematik eğitimini ve araştırmalarını devam ettirdi ve
öğrenci yetiştirdiler.
1933’de Matematik Enstitüsü’nü oluşturan üç kürsü, 1950 yılında Analiz, Cebir ve
Sayılar Teorisi, Geometri, Uygulamalı Matematik olmak üzere dörde çıkarıldı ve enstitü de
bölüm oldu. 1981’de anabilim dalı olan bu konulara Topoloji eklendi. 1991’de de
Matematiğin Temelleri ve Matematik Lojik Anabilim Dalı eklendi, bütün üniversitelerin
matematik bölümleri bu anabilim dallarından oluşturuldu.
Üniversite Reformu’ndan sonra ülkemizde matematiğin gelişmesine çok önemli
katkıları olan bu kimseler arasında ilk doktoralı matematikçimiz olan Kerim Erim, 1914
yılında Mühendislik Mektebi’nden mezun olduktan sonra, matematiğe duyduğu ilgiyle daha
ileri matematik eğitimi almak üzere Berlin Üniversitesi’ne gitmiş, 1919’da Erlangen
Üniversitesi’den cebir konusunda doktora derecesini almıştır. Ülkesine dönerek Mühendis
Mektebi’nde Teorik Hesap ve Analitik Geometri dersleri vermiş, Üniversite Reformu’ndan
sonra da İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi dekanı ve analiz profesörü olmuştur. Cumhuriyet
döneminde temel matematik alanında ilk makale Kerim Erim’e aittir. 1928 yılında İtalya’daki
bir matematik kongresine sunduğu bildiride doktora tezinin sonuçlarını yayımladı. Yalnızca
matematik değil, fizik ve matematik felsefesiyle fizik felsefesi üzerine de Türkçe ve yabancı
dillerde çok sayıda kitap ve makale yazdı. Diferansiyel geometri, fonksiyonlar teorisi,
elastisite ve plastisite konularında birçok öğrenci yetiştirdi.
Kerim Erim ile aynı kadroda bulunan Cahit Arf, 1938 yılında Göttingen
Üniversitesi’nde doktorasını tamamlamış; cebir, sayılar teorisi, elastisite teorisi, analiz,
geometri ve mühendislik matematiği gibi çeşitli matematik konularında araştırma yapmış ve
katkıda bulunmuştur. Almanya’ya, kafasında çalışmayı düşündüğü bir problemle gitmişti:
Çözülebilen cebirsel denklemlerin bir listesini yapmak. Doktorasını ünlü matematikçi
Hasse’in danışmanlığında yapmış ve teziyle sayılar teorisinde çok özel bir yeri olan lokal
cisimlerde dallanma teorisine çok önemli bir katkıda bulunmuştur. Bulduğu bazı sonuçlar
bugün dünya matematik literatüründe Hasse-Arf Teoremi olarak geçer.
Hasse’in önerisi üzerine, doktorasını bitirdikten sonra başka bir zor problemle
uğraşmak üzere bir yıl daha Göttingen’de kaldı. Bu problem, uzayda konisel yüzey
denklemlerinin bir örneğini oluşturduğu, kuadratik formlar diye bilinen konuyla ilgiliydi.
Buradaki temel problem, quadratik formların bir takım değişmezler yardımıyla
sınıflandırılmasıydı. Ünlü Alman matematikçi Witt, 1937’de karakteristiği ikiden farklı olan
cisimler için bu sınıflandırmayı yapmıştı. Ancak, katakteristik iki olunca problem çok daha
güçleşiyor ve Witt’in yöntemi uygulanamıyordu. Cahit Arf, bu problemi çözmeye çalıştı ve
karakteristiği iki olan cisimler üzerindeki quadratik formları sınıflandırdı. Bunların
değişmezlerini kurdu. Bu değişmezler bugün dünya matematik literatüründe “Arf
invariantları” olarak tanınmaktadır. Günümüz cebirsel ve diferansiyel topolojisinde ve
geometride hâlâ yerini koruyan bu çalışma 1941’de ünlü matematik dergisi Crell Journal’da
yayımlandı ve Cahit Arf’ı dünyaya tanıttı.
Cahit Arf, 1945 yılında, bir eğrinin parametreli denklemleri verildiğinde
karakterlerini bulma, eğrinin geometrik özelliklerini bozmadan en düşük kaç boyutlu uzaya
sokulabileceği problemiyle uğraştı ve tamamiyle çözdü. Çözümde önemli rol oynadığını
gördüğü bazı halkalara “karakteristik halka” adını verdi, daha sonra matematikçiler bu
halkalara “Arf halkaları” ve bunların kapanışlarına “Arf kapanışları” adını vermişlerdir. Cahit
Arf’ın bu çalışması 1949’da Proceeding of London Mathematical Society’de yayımlandı.
Cumhuriyet’in ilk matematikçileri arasında bulunan Ferruh Şemin (1908- 1985) de,
Fransa’da Grenoble Üniversite’sinden mezun olup yurda döndükten sonra 1933’de İstanbul
Üniversitesi’nde Umumi Matematik ve Yüksek Cebir hocası oldu. 1939’dan itibaren Yüksek
Mühendis Mektebi’nde de tasarı geometri ve teknik resim dersleri okutmaya başladı. 1944
yılında “Regle yüzeylerin Diferansiyel Geometrisi” başlıklı teziyle doktora derecesini aldı,
1946 yılında da İstanbul Üniversitesi’ni tercih ederek yalnızca buranın kadrosunda görevine
ve çalışmalarına devam etti. Geometrinin çeşitli konularında çeviri ve telif yayımlar
yapmıştır.
İstanbul Üniversitesi matematikçilerinden Nazım Terzioğlu (1912-1976), Göttingen
ve Münih Üniversitelerinde matematik okudu ve 1937’de Constantin Caratheodory’nin
danışmanlığında reel ve kompleks fonksiyonlar teorisi konusunda doktorasını tamamladı.
Yurda dönüşünde reformdan geçmiş olan İstanbul Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik
Enstitüsü’nde riyazi mihanik ve yüksek hendese asistanı olarak çalışmaya başladı.
Üniversitede rektörlük dahil çeşitli idari görevlerde bulunduğu sırada Fen Fakültesi
Matematik Araştırma Enstitüsü’nü kurdu (1971), bu kurum günümüzde Nazım Terzioğlu
Matematik Araştırma Enstitüsü adıyla etkinliğini sürdürmektedir. Matematik adına
gerçekleştirdiği bir diğer etkinliği de, matematiği yetenekli ve istekli öğrenciler arasında
yaymak maksadıyla ilk defa ( 1961) lise öğrencileri için başlattığı matematik yarışmalarıdır.
Osmanlı Devleti’nin son döneminin en parlak eğitim kurumu olan Mühendishaneler
de Cumhuriyet’le birlikte dönüşüme uğradı, önce 1928 yılında Yüksek Mühendis Mektebi
adını aldı, Üniversite Reformu sonrasında ise, 1934’de başlı başına bir üniversite oldu,
1941’de Yüksek Mühendis Okulu, 1944’de de İstanbul Teknik Üniversitesi adını aldı. Ülkede
matematik eğitiminin en iyi verildiği okul olan mühendishaneler gibi, dönüşüme uğrayarak
teknik üniversite haline getirilen bu okul da Cumhuriyet döneminde en ileri matematik
araştırmalarının ve eğitiminin üretildiği kurum olma özelliğini sürdürmüştür. Yurt dışında
doktora yapan akademisyenlerden Ratip Berker’in (1910-1997) buradaki matematik
araştırmalarına dinamizm getirme bakımından çok katkısı olmuştur. Ratip Berker,
Fransa’daki Lille Üniversitesi’nde 1936 yılında akışkanlar mekaniği konusunda, viskoz
akışkanların hareket denklemlerinin integrasyonu üzerine yapmış olduğu çalışmasıyla doktora
derecesi almıştır. Yurda dönüşünde hem İstanbul Üniversitesi’nde hem de Yüksek Mühendis
Mektebi’nde görev almış, 1944’de yeniden düzenlenen İTÜ’de Makine Fakültesi’ne dekan
olarak atanmıştır. 1946’da çıkarılan Üniversiteler Yasası gereğince sadece bir kurumda
çalışması gerektiğinden, İstanbul Üniversitesi’ndeki diğer matematikçi arkadaşlarının aksine
İTÜ’yü tercih etti.
1948 yılında Ankara Üniversitesi’nin kurulmasıyla buradaki Fen Fakültesi’nin
kadrosu ülkemiz matematiğine katkıda bulunmaya başladı. Ankara Üniversitesi’nin
Matematik Bölümü’ndeki ilk matematikçiler arasında daha sonra ODTÜ’ye geçerek FenEdebiyat Fakültesi dekanlığı da yapmış olan Cengiz Uluçay (fonksiyonlar teorisi) ve
Fransa’da Lille Üniversitesi’nde matematik eğitimi görmüşl olan Saffet Süray (1914- 1983)
(diferansiyel geometri ve mekanik) vardı. 1960 yılından itibaren Ege Üniversitesi ve 1964’de
de Orta Doğu Teknik Üniversitesi’nin matematik bölümleri ülkemizdeki matematik
araştırmalarında yer almaya başladılar.
1948 yılında Cahit Arf, Kerim Erim, Hamit Dilgan, Nazım Terzioğlu, Ali Yar,
Ferruh Şemin, Lütfi Biran, Salih Murat Özdilek gibi matematikçilerin girişimleriyle kurulan
Türk Matematik Derneği de ülkemizdeki matematik araştırmalarının gelişmesine katkıda
bulundu. Zaten derneğin amaçları, matematiksel bilim dallarının gelişmesini ve yurt içinde
yaygınlaşmasını sağlamak, ekonomik, sosyal ve teknolojik alanlarda matematiğin ve
matematikçinin katkısını arttırmak, orta ve yüksek öğretimde matematik eğitiminin
çekiciliğini, düzeyini ve etkinliğini yükseltmek olarak belirlenmişti. Dernek halen etkinliğini
çok aktif biçimde sürdürmektedir.
Ülkemizdeki bilimsel araştırmaları desteklemek maksadıyla 1963 yılında kurulan
Türkiye Bilimsel ve Teknik Araştırma Kurumu’nun (Tübitak) da Cumhuriyet dönemi
matematiğinin gelişmesine katkısı oldu. Bu kurum her şeyden önce, matematiğe ilgi duyan
yetenekli gençlere burs olanağı sağlayarak onları destekledi ve böylelikle geniş bir
matematikçiler topluluğu oluşmasını sağladı. Yurt dışına matematik alanında yüksek lisans ve
doktora yapmak üzere gönderilen gençler, eğitimlerini tamamlayıp yurda döndüklerinde,
değişik üniversitelerde görev aldılar ve buralarda yeni matematik ekolleri oluşturdular.
Üniversite hocalarının, ders ve danışmanlık yükünden etkilenmeden, rahat araştırma
yapabilmelerini sağlamak maksadıyla Tübitak bazı üniversitelerde, zaman zaman da kendi
bünyesinde araştırma enstitüleri veya üniteleri kurdu. Bu üniteler arasında, 1968’de İTÜ
İnşaat Fakültesi’nde Cahit Arf’ın isteğiyle kurulan Tatbiki Matematik Ünitesi’nde
mühendislik ve uygulama bakımından çok önemli olan Sürekli Ortamlar Mekaniği, Kontrol
Teorisi, Oyun Teorisi, Dalga Yayılımı konularında araştırmalar yapılmış, ulaşılan sonuçlar
uluslar arası dergilerde yayımlanmıştır. Bu ünite daha sonraları Uygulamalı Matematik
Bölümü adıyla Tübitak bünyesinde değişik birimlere bağlanarak etkinliğini sürdürmüştür.
1998 yılında yine Tübitak’a bağlı bir kuruluş olarak kurulan Feza Gürsey
Enstitüsü’nde fizik ve matematik araştırmaları programlanmış, yurt dışından davet edilen
bilim adamlarının da katılımıyla çalışma grupları oluşturulmuştur. Bu enstitü, halen
ülkemizde en yoğun matematik araştırmalarının yapıldığı merkezlerin başında gelmektedir.
Kaynaklar
Osman Bahadır, “Tarihten bir yaprak: Matematikçi Kerim Bey ve Einstein”, Matematik
Dünyası, 2004 Kış, s.60.
Mehpare Bilhan, “Cahit Arf’ın Çalışmalarının Kısa Bir Tanıtımı”, Tübitak Bilim Teknik
Dergisi, Sayı 315, Şubat 1994, 72-80.
Mithat İdemen- Hülya Şenkon, “Türkiye Cumhuriyeti’nin 75. Yılında Pür ve Uygulamalı
Matematiğin Gelişimi”, Türkiye Cumhuriyetinin 75. Yılında Bilim “Bilanço 1923-1998”
Ulusal Toplantısı, I. Kitap, I. Cilt, Tüba, Ankara, Eylül 1999, 53- 91.
Erdal İnönü, 1923- 1966 Dönemi Türkiye Matematik Araştırmaları Bibliyografyası ve Bazı
Gözlemler, ODTÜ, 1973.
Erdal İnönü, Mehmet Nadir Bir Eğitim ve Bilim Öncüsü,Tübitak, Ankara 1997.
Sevtap İshakoğlu-Kadıoğlu, İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi Tarihçesi (1900-1946),
İstanbul 1998.
Nuran Yıldırım, “Nazım Terzioğlu”, Bilim Tarihi, Sayı 16, Şubat 1993, 11-19.
Matematikçilerin
“Güzel” Dünyası
“Bir matematik problemine dalıp gitmekten daha büyük
mutluluk yoktur”. Böyle diyor C. Morley. Ünlü İngiliz
matematikçisi G.H. Hardy ise “Bir Matematikçinin
Savunması” adlı kitabında daha popüler bir görüş öne
sürüyor: ”Gazetelerdeki matematikle ilgili eğlence sütunlarının
son derece ilgi görüşü, matematiğin o büyük çekici gücüne
güzel bir örnektir. Aslında matematikten daha popüler, çok
az şey vardır. İnsanların çoğu matematiğe belli bir değer
verir, ondan hoşlanır. Tıpkı hoş bir melodiyi dinlemeyi
sevdikleri gibi”. Matematikten gelen o derin mutluluk, aklın
dağlarına tırmanmayı göze alanlara sunulan eşsiz bir ödüldür.
Mantığın sarp yollarını aşıp da doruklara varabilenler, orada
büyüleyici bir manzarayla karşılaşırlar: Sislerin arasından
birdenbire çıkan pırlantalardan yapılmış bir tapınak.
2500 yıldır yükselmekte olan ve son katı asla olmayacak
matematik kulesidir bu.
M
AT E M AT İ K T E
mutluluğu yaratan
şey nedir? Önce şunu anımsayalım:
Biz Homo sapiens’iz. Anlamı, düşünen ve yine düşünen insan demektir. Zamanın fırtınalarına rağmen hâlâ ayakta kalabilmiş olan bizlerin akıl, mantık ve hayal gücüdür. Matematik yapmanın
ve matematiği anlamanın önemi de
buradan geliyor işte. İnsanın kendi
1400 gramlık beynine ve o beynin
gizler dolu kıvrımlarına olan hayranlığını gösteriyor (maymunsu ilk atalarımızın beyni 500 gr.’dı!) Bu hayranlık, gurur ve sürprizle karışıktır:
“Kimin aklına gelirdi bu? Ne inanılmaz bir bağlantı! Ne incelikli bir kanıt! Ne süssüz, ne ölümsüz bir çözüm!”. Bakıyoruz, matematik tapınağının sütunlarına bazı dövizler
asılmış: “Mantık kaderden daha güçlü olunca, kendisi kader olur. Thomas Mann”. “ Mantık bize geleceği
gösteren kâhindir. Schopenhauer”.
“Mantıksızlara mantığı anlatamazsınız. Fuller”. “Kuvvetli bir beyni
98
olan, bir krallığa sahip gibidir. Seneca”. “Mantığın en büyük zaferi, bize
mantığın kendisinden bile şüphe etmeyi öğreten analitik düşünme biçimidir. Miguel de Unamuno”.
Hayat bir bakıma anlamsız. Uzayın sonsuz karanlıklarında kısa bir
süre parlayan ve bir gün sönüp gidecek bir yıldız gibiyiz. Varoluşumuzu
da, yokoluşumuzu da doğa yasaları
belirliyor. İnsan kendisini hem her
güce sahip, hem de bilinçsiz ve kalpsiz doğanın bir oyuncağı gibi hissediyor. Biz, doğanın “laboratuvar”larında fizik, kimya ve biyoloji yasalarına
göre oluşmuş bir molekül yığını mıyız? Belki; fakat akıl taşıyan, kendini
ve evreni sorgulayan bir molekül yığını. Pascal, insanın göl kenarındaki
bir kamış kadar zayıf olduğunu söylüyor; fakat hemen ekliyor: “... Ama
düşünen bir kamış”. Yine Pascal insanın düşünmek için doğduğunu,
düşünmenin onun hem bütün soyluluğu hem de değeri olduğunu söylüyor. Descartes ise cogito ergo sum
(düşünüyorum, öyleyse varım) diyecek kadar düşünceyi yüceltiyor.
İnsanoğlu matematiği, insanlığını daha çok duyumsamak, beynine
daha yakın olmak için seçmiştir. Burada elbette atalarımızın hayatın
günlük gereksinimleri için başvurduğu çakıl sayma, parmak sayma vb.
gibi pragmatik olgulardan söz etmiyoruz. O bile bir aşamaydı; maymunlara ancak birkaç sayıyı tanımak
öğretilebiliyor; fakat ilk insanlar saymayı kendileri icat ettiler; kimse onlara öğretmedi.
Matematik insanın basit gereksinimlerinden doğmuş olabilir; geometrinin temelinde her yıl taşan
Nil sularının altında kalan tarla sınırlarını yeniden çizmek olabilir; fakat
bütün bunlar insanlığın ve dolayısıyla matematiğin çocukluğuna ait
olaylardır. Daha başlangıçtan matematik soyut olduğunu göstermiştir.
Arşimet spirali, Zenon paradoksu
(bir ok asla hedefine varamaz) ve
Apollonius konikleri (elips, parabol,
hiperbol) hangi gereksinime karşılıktı? İnsanlık Apollonius’tan yüzyıllar sonra Kepler’le gezegenlerin Güneş çevresindeki yörüngesinin elips
Bilim ve Teknik
olduğunu ve daha sonra bazı kuyrukluyıldız yörüngelerinin parabol
olduğunu öğrendi. Matematiği günlük gereksinimlere indirgemek onu
çok hafife almak olur.
Matematik,
Buluşlara
Uygulanmak İçin
Yapılmaz
Peki, matematik niçin yapılır?
Bunu Galileo’nin ağzından dinleyelim: “Felsefe (bilim demek istiyor)
gözlerimiz önünde açık duran ‘evren’ dediğimiz o görkemli kitapta
yazılıdır. Ancak yazıldığı dili ve alfabesini öğrenmeden bu kitabı okuyamayız. Bu dil matematiktir; bu dil
olmadan kitabın tek bir sözcüğünü
anlamaya olanak yoktur”. Laplace’ın
ölmeden önceki son sözleri şunlar
olmuş: “Bildiklerimiz çok değil, bilmediklerimiz çok fazla”. Bütün bunlardan şöyle bir anlam çıkıyor: Biz
kendimizi ve doğa’yı çok az anlıyor
ve tanıyoruz. Aklımız olduğu için bir
hayvan gibi yaşamıyor, hayatı ve doğayı sorguluyoruz. Bu da bir doğa yasası; su yüksekten alçağa akacak,
volkanlar magma basıncı artınca
püskürecek ve insan da aklı olduğu
için düşünecektir. Düşündüğü için
her şeyi sorgulayacaktır. İşte bu sorgulamanın dili matematiktir. Doğa
insanın başına ölümsüz bir taç geçir-
Newton: “Dünya beni ne gözle görür bilemem; fakat kendi gözümde ben bilinmeyenlerin sonsuz okyanusu kıyısında, diğerlerinden daha düzgün ya da daha renkli bir deniz kabuğu arayarak eğlenen bir çoçuğum”.
Haziran 2000
Laplace: “Bildiklerimiz çok değil, bilmediklerimiz çok fazla”
miştir; bu taç akıldır; o tacın en parlak pırlantası da matematiktir.
Matematikçi, kendi beyin kıvrımlarının derinliklerinde daha önce bilinmeyen topraklar bulan bir kâşiftir.
Mutluluğu da yaptığı keşiftir. Matematikçinin ne istediğini Newton şöyle belirtiyor: “Dünya beni hangi gözle görür, onu bilemem. Fakat kendi
gözümde ben, bilinmeyenlerin büyük okyanusu kıyısında diğerlerinden daha düzgün ve daha renkli bir
deniz kabuğu arayarak eğlenen bir
çocuğum”. Diferansiyel hesabı ve
entegrali bulan, evrenin kütleçekim
yasalarını keşfeden büyük Newton
böyle diyor işte. Kendisine “çocuk”
deyişi çok yerinde; çünkü gerçeği
arayan bir matematikçi bir çocuğun
saf ve temiz ruhunu taşır; sayılarla oynarken bir çocuğun çıkarlardan uzak,
yaşamın kirlerine bulaşmamış mutluğu ve heyecanı içindedir. O, pozitronun varlığını, daha keşfedilmeden
matematik formüllerde gören Dirac’tır. O, Neptün gezegenini keşfedilmeden önce matematikle bulan
Adams’dır. O, Öklit dışı eğri uzay geometrisiyle Einstein’a görelilik yasaları yolunu açan Riemann’dır. O, kuaterniyonları (dördeyler) bularak mühendisliğe ivme veren Hamilton’dur.
O, matrisleri bularak Heisenberg’in
kuantum mekaniğini geliştirmesini
sağlayan Cayley ve Sylvester’dir. Bu
liste çok uzayabilir. Olasılık hesabını
bulan ve geliştiren matematikçiler
(Pascal, Fermat, Leibniz, Bernouilli,
de Moivre, Bayes, Condorcet, Laplace, Quetelet, Borel, Fisher, Kolmogo-
rov) olmasaydı bugün bilimin her dalında uygulanan istatistik analizler
yapılamaz ve büyük ölçüde olasılığa
dayanan kuantum fiziği gelişemezdi.
Asal sayıları bulan ve geliştiren matematikçiler (Öklid, Eratostenes, Fermat, Mersenne, Dirichlet, Wilson,
Goldbach, Vinogradov) olmasaydı,
bugün bankacılık, askerlik ve diplomaside kullanılan, en iyi bilgisayarların bile ancak yıllar sonra çözebileceği 100-200 basamaklı asal sayı şifreleri var olamazdı.
Burada vurgulamak istediğimiz
şudur: Matematikçi buluş yaparken
pratik bir amaca yönelik değildir; bir
teoremi uygulansın diye bulmaz. O
kafasının içinde kendisine gerçek
dünyadan ayrı bir dünya yaratmıştır.
Orada somut ya da soyut aksiyomlardan yola çıkarak usavurmayla belli
sonuçlara ulaşır. Aksiyomların gerçeğe uyması şart değildir; örneğin Riemann, Lobaçevski ve Bolyai, Öklit
dışı geometrilerinde, Öklit gibi somut, gerçeğe uygun, herkesçe kabul
edilir aksiyomlar değil, kendi yarattıkları soyut aksiyomları kullanmışlardır. Önemli olan aksiyomlardan sonuca giden yolun mantıklı olmasıdır.
Matematikçi, p ve q’nün doğruluğuyla ilgilenmez; “p gerektirir q” ile
ilgilenir. Aradığı sonuca varınca bir
esrime duyar. Esrime hissi psikolojide mutluluğun en üst derecesi olarak
kabul edilir; bu hissin belli göstergeleri vardır: büyük bir mutlulukla beraber büyük bir aydınlanma hissi, evrenle bütünleşme, kendinden geçme
ve o anı asla unutamayış. Suyun kaldırma gücünü bir hamamda yıkanırken bulan Arşimet’in “Eureka” (Buldum) diye bağırarak saraya doğru çıplak koşması böyle bir esrime sonucudur. Bu esrime hissi olmasaydı Cauchy 24 cilt tutan 789 çalışma yayımlayabilir miydi? Euler basılması 34 yıl
tutan 80 cilt yazabilir miydi?
Batı uygarlığının temelinde matematik yatmaktadır. Ortaçağ karanlığı boyunca düşünmek suç sayılmış,
Engizisyon akılla savaşmış, aklın tohumları zindanlarda çürümüş ve ancak Rönesansla insanlığın ilkbaharı
gelince aklın dallarında bilimin güzel
çiçekleri açmıştır. Bilim ağaçları matematik toprağında büyümüşlerdir.
Her matematik buluş, kendinde bir
gün uygulanabilme gizilgücünü taşır.
99
Matematiğin Önemi
Eflatun, “matematiksiz kültür olamaz” demişti. Bugün kaç kişi böyle
düşünüyor acaba? Ortaçağ karanlığında bile yıpranmayan tek bilim matematikti. Üniversitelerde ve okullarda
ders programları daima matematik,
geometri, astronomi ve müzik içerirdi.
Son zamanlara kadar matematik, birçok köklü üniversitenin felsefe programlarının parçasını oluşturuyordu.
Ne yazık ki bugün matematiğin,
uygarlığın ve kültürün temel elemanı
olduğu gerçeği giderek gözden kaçıyor. Rönenasta resim, heykel, edebiyat ve felsefeyle birlikte matematiksel düşünce de 1000 yıl süren kış uykusundan uyandı. Örneğin matematikçiler ilk kez Rönesans’ta şans öğesini olasılık hesabının içine aldılar.
Bunun için Rönesans beklendi; çünkü olasılık hesapları geleceği belirleyebiliyordu; oysa ortaçağ için geleceği
belirleyen tek güç Tanrı’ydı. 19. yüzyılda Cantor’un sonsuzu matematiğe
sokması tutucu çevrelerde tepkiyle
karşılandı; yalnız Tanrı sonsuz olabilirdi. 17. yüzyılda Newton ve Leibniz’in türev, diferansiyel ve entegral
hesabı (calculus) bulmaları büyük bir
devrimdi; çünkü o zamana kadar matematik, hareket halindeki bir cismin
belli bir andaki durumunu hesaplıyamıyordu. Mühendislik ancak calculusla mümkün oldu. Bugün dergiler,
gazeteler, radyo ve TV, matematiğe
(bilmeceler hariç) tıp, fizik, biyoloji
vb. kadar yer vermiyorlar. Bunun bir
nedeni, matematik terimlerini halka
açıklamanın zor oluşudur. İnsanlar
anlamadıkları şeyleri dinlemez ve
okumazlar.
Matematik çok az kişinin sohbet
konusu oluyor. Kim kime “Altın Oran”ı, Zeta ve Gama fonksiyonlarını,
Stirling’in faktöryel formülünü öğrendin mi diye soruyor? Matematiğin
kendine özgü dili, bir duvar gibi onu
kendi dünyasına kapatıyor. 1997 sonunda yitirdiğimiz Prof. Cahit Arf
anılarında otobüste 4-5 arkadaş bir
matematik problemini coşkuyla tartışırlarken halkın kendilerini “mecnun” sandığından söz etmiştir.
ABD’de 3 matematik derneğinin
50 000 üyesi var. Amerikan Matematik Topluluğu’na 25 000 üye kayıtlı.
Dünyada 1500 matematik dergisi var
100
ve her yıl 25 000 kadar matematik
araştırma yazısı yayımlanıyor. Matematik son 50 yılda, 2500 yılda yarattığından fazla buluş yaptı. ABD’de bir
yerleşkede matematik bölümü genellikle en büyüktür. En azından fizikçi
ve ekonomist kadar matematikçi vardır. Matematikçiler her yerde hazır ve
nazırdırlar. Aynı zamanda da görünmezdirler (Matematik Sanatı, J. P.
King, s.6).
Öğrencileri matematikten soğutan bir eğitim de topluma zararlı oluyor. Matematiği gençlere sevdirmek
şart. Saman kâğıdına, şekilleri renksiz, berbat baskılı (bazı sayılar okunmuyor) ve paragrafsız, iç içe yazılarla
yazılmış okul kitabı artık olmamalı.
Bilimlerin en hızlı değişeni matematiktir. Matematik 2000 yıllık kuramları hâlâ geçerli olan tek bilim dalıdır. Fakat bu 2000 yıllık ağaç durmadan yeni sürgünler vermektedir; işte
son yılların fraktal geometrisi, kaos
teorisi, standart olmayan analiz, oyun
teorisi vb. Eski dallardan olasılık kuramı, trafiğe ve iletişime uygulanıyor;
Descartes: “Düşünüyorum, öyleyse varım”.
uzay uçuşlarında roketlerin kalkış hızı, yakıt miktarı, yörünge ve seyir bilgileri matematik gerektiriyor. Üretim
ve tüketim hızları, enflasyon, devalüasyon, borsa, faiz, büyüme hızı, kişi
başına düşen gelir vb. matematiksiz
olamaz. Doğal olarak matematikçi bazen bilgisayarla bütünleşiyor.
Matematiğin bu uygulamaları yanında soyut matematik de dev adımlar atıyor; çünkü matematikçiler için
yarar değil, estetik önde gelir. Bertrand Russell’in dediği gibi matematikte sanatlardakine benzer bir güzel-
lik vardır; bir teoremden “ ne kadar
güzel”, “ne kadar zarif” diye söz ederiz. Varılan sonuç ne kadar yalın ve
basit işlemlerle elde edilmişse o derece güzeldir. Matematikte karmaşıklık, istenmeyen bir şeydir. Matematik
bir solucan yumağı değil, altın halkalı
bir zincirdir. Bugün sonsuz sayıda irili
ufaklı sonsuzlar var; oysa daha 150 yıl
önce sonsuzla uğraşmak Tanrı’nın işine karışmak sayılıyordu. Bugün geometride sonsuz boyutlu uzaylar kullanılmaktadır; yeni cebirler yaratılmıştır.
Yeni bir matematik dalı doğmuştur: Eğlence matematiği. Öğrencilere
matematiği sevdirmekte bütün dünyada bu kullanılıyor. ABD’de yıllardır
Journal of Recreational Mathematics
(Eğlence Matematiği Dergisi) yayımlanmakta. İçinde insanı merak içinde
bırakan sıra dışı problemler ve konular var. Ayrıca ABD’de Mathematical
Intelligencer, Mathematical Teacher,
Mathematical Gazette, Mathematical
Horizons adlı popüler matematik ve
Quantum adlı popüler matematik-fizik dergileri yayımlanıyor. Rusya’da
1976’dan beri aylık Kvant dergisi,
Rusça olarak renkli şekillerle çok sıra
dışı matematik-fizik yazıları ve problemleri veriyor. ABD Quantum popüler matematik-fizik dergisi 1990’dan
itibaren Rus-Amerikan ortak yapımı
olarak tamamen İngilizce çıkıyor. Popüler bilim dergilerinden Scientific
American, Discover ve Recherche
her sayısında matematik-mantık soruları veriyor. Biz de Bilim ve Teknik
dergisi olarak 1963’ten beri zekâ sorularına yer veriyoruz. Matematik eğlence problemleri büyük değer taşıyor; büyük matematikçilerden Hamilton, Fermat, Euler, Steiner, Lucas
vb. matematik bilmeceleriyle hayli
uğraşmışlardır; örneğin Euler’in Königsberg Köprüsü (7 Köprü) problemi, Hamilton’un gezi oyuncağı, Steiner’in gezici satıcı, Lucas’nın Hanoi
Kulesi problemleri. Bu konuda çok
ünlü diğer üç isim Amerikalı Sam
Loyd ve Martin Gardner ve İngiliz
Henry Dudeney’dir.
Dünyada yaklaşık 6000 kadar yaratıcı matematikçi vardır. Bu matematikçiler için matematik bir oyun gibidir. Öklid’in aksiyomları gözlemlerden türetilmiş, “doğruluğu açıkça belli” gerçeklerdi. Modern matematiğin
Bilim ve Teknik
aksiyomlarıysa tamamen soyuttur.
Onları satranç kurallarına benzetebilirsiniz. Doğada ne satranç vardır, ne
de modern aksiyomlar. İsterseniz satranç kurallarını değiştirebilirsiniz: üç
kişiyle oynanan satranç, üç boyutlu
satranç vb. Modern aksiyomlar gerçeğe dayanmamakla birlikte, satranç kuralları gibi kendi içlerinde tutarlıdırlar.
Bu aksiyomlar dış dünyanın gerçeklerinden kopuksalar da kendi matematik “gerçek”lerini yaratmışlardır. Matematikçiler yarattıkları yeni gerçeğin
mantığa tam uyup uymadığını bilemezler. 20. yüzyılda Bertrand Russell
ve Hilbert, matematiği sağlam mantık
temellerine dayandırmaya uğraşırlarken Gödel, matematikte kanıtlanamayacak gerçekler olduğunu göstermiştir. Kendi tutarlılığını kanıtlamak, matematiğin gücünü aşar.
Matematikte birçok kavram bir
çocuğun anlayabileceği kadar basittir.
Columbia Üniversitesinden Edward
Kasner, anaokulundaki çocukların
sonsuz kümeleri kolayca anladıklarını
belirtmiştir. Çocuklar soyutlamaya
eğilimlidir; çünkü hayalleri geniştir;
masalları da bu nedenle severler. Ünlü “Alice Harikalar Diyarında” çocuk
kitabının yazarı bir matematikçiydi:
C. L. Dodgson ya da takma adıyla
Lewis Carroll.
Matematikte
Düşüncenin Zarafeti
Bir matematikçi diğerinin buluşunu “çok zarif” (elegant) diyerek över.
Güzel bir matematik buluşu tanımlamak güzel bir insanı tanımlamak kadar zordur. Stanford Üniversitesinden
Prof. George Polya bir teoremin zarifliğini şöyle tanımlıyor: “Matematikte
zarafet görebildiğiniz düşüncelerin
sayısıyla doğru, onları görebilmek için
harcadığınız çabayla ters orantılıdır”.
Burada yalınlığın güzelliği vurgulanıyor. Bir filozof “basiti yaratmak deha
ister” demiştir. Ünlü İngiliz matematikçisi G. H. Hardy “Bir Matematikçinin Savunması” kitabında şöyle der:
“Matematikçinin yarattığı şey, bir ressamın ya da şairinki kadar güzel olmalıdır. Düşünceler, renkler ve sözcükler gibi uyumlu bir biçimde birbirine
uymalıdır... dünyada çirkin matematik için kalıcı bir yer yoktur”. MateHaziran 2000
matik bir sanat eseridir. Şair John Keats şöyle der: “Güzellik hakikattır;
hakikat de güzellik”. Bertrand Russell de matematikte yalnız doğruluk
değil, sanattaki gibi güzellik olduğunu vurgular. Hardy zarif bir matematik buluşun bir kare bulmaca ya da
satranç problemi gibi entellektüel bir
çıkmaz sokak olmaması, mutlaka diğer matematik düşünceleriyle bağlantılı ve zenginleştirilmiş olması gerektiğini söyler.
Euler 80 cilt tutan matematik makaleleri
yazdı; bunların basılması 34 yıl sürdü.
ABD’de İleri Çalışmalar Enstitüsü’nden Marston Morse özetle şöyle
demiştir: “Matematik buluş mantıkla
ilgili değildir. Burada sanatla matematik arasındaki bağ ortaya çıkar. Matematikçi kimsenin anlamadığı esrarlı
bir güçle sonsuz desenler arasından
birini seçip yeryüzüne indirir; bunda
kendinin de farketmediği bir güzellik
önemli rol oynar”.
Matematikçinin en gelişmiş estetik hissi, müzikle ilgili olanıdır. Birçok matematikçi müzik aletleri çalar,
ya da korolara, küçük orkestralara ve
oda müziği gruplarına katılır. Matematiğin terimleri müziğin notaları gibidir. İkisi de güzellik yaratıcı hayal
ürünleridir ve ikisinde de tek bir yanlışa bile yer yoktur. Matematik buluş
aklın senfonisidir; hayaldeki güzellik
sıkı bir mantık disiplini altında somutlaşmış ve sonsuzlaşmıştır. Bir matematikçi bir müzik parçasının bestecisini kolaylıkla tanır.
Matematikçi şiiri sever. Alman matematikçisi Weierstrass şöyle demiş:
“Biraz da şair olmayan hiçbir matematikçi, gerçek matematikçi sayılmaz”.
Birçok matematikçi satranç, briç
gibi oyunlar oynar. Ancak bunlarda
birinci olan azdır. Dünyada satranç
şampiyonu olan iki matematikçi çıkmıştır: Emanuel Lasker ve Max Euwe. Bunun üç nedeni vardır: Önce
satranç şampiyonu olmak için her gün
saatlerce satranç oynamak şarttır; matematikçinin buna zamanı yoktur.
İkincisi matematikçi düşünerek hatasını düzeltir; satrançta buna zaman
yoktur; matematikçiler çok hızlı düşünür diye bir şey de yoktur. Hızla
akıldan hesap yapmak, ancak bazı
matematikçilerde görülmüştür: Gauss, Euler, Galois, von Neuman vb.
Üçüncüsü, satranç şampiyonlarının
hepsinde özel bir yetenek bulunmasıdır: Fotoğrafsal bellek. Şampiyon bir
bakışta tahtanın tümünü görür ve onu
uzun süre gözlerinin önünde canlandırabilir. Bu sayede 50-60 kişiyle gözü
bağlı simültane maç yapıp kazanabilir. Bütün şampiyonlar oynadıkları bir
maçın bütün hamlelerini uzun süre
sonra bile anımsarlar; 9-10 hamle ötesini görebilirler. Fotoğrafsal belleği
olmak koşuluyla, her matematikçi
satranç şampiyonu olabilir; fakat satranç şampiyonlarının hepsi matematikçi olamazlar. Bunlar iki ayrı yetenektir. Matematikçiler matematiği bir
bütün olarak görürler. Genellikle matematikçiler mühendisler kadar cisimleri gözlerinde canlandıramaz ve
muhasebeciler kadar akıldan hızlı hesap yapamazlar; fakat hayal güçleri sınırsızdır. Augustus De Morgan “matematikde hayal gücü mantıktan önce
gelir” demiştir.
Matematikçinin
Karakteri
Matematikçilerin çoğu yalnız çalışır, grup halinde araştırma yapmazlar. Matematik makalelerinin hemen
hepsi tek imzalıdır; bir azınlığı iki
imzalıdır; ikiden fazla imzalı yok gibidir (tıpta da aksi; 15 imzalı makale
bile vardır). Matematikçi buluş için 4
şey ister: sakin bir oda, kütüphane,
kâğıt ve kalem; tabii bir de yaratıcı
bir beyin. Kimyacı ve fizikçiler laboratuvara bağımlıdırlar. Belki böyle
serbest oldukları için, matematikçiler genellikle çok seyahat ederler ve
diğer matematikçilerle temas kurar101
lar. Macar asıllı Amerikan matematikçisi Paul Erdöst durmadan seyahat eden biriydi.
Matematikçiler şairlerin aksine
kesin olmamaktan nefret ederler. Kesinlik matematikçinin kalite damgasıdır. Matematikçiler bizlerin bilmediği birçok şeyi bilirler; fakat çoğu,
söylencesel deniz kızları gibi yalnız
kendileri için şarkı söylerler; bizler
için değil. Yüksek matematiğin tümünü matematik dışında olan meraklılara öğretmek için tek bir kitap
yazılmamıştır daha; ancak parça parça
öğreten kitaplar vardır. Neden? Matematikçi olmayanlar matematiği anlayamaz önyargısından mı? Matematiği kapalı duvarlar arasında saklamak
için mi? Hiçbiri değil. Daha lisede
edebiyat (sosyal) ve fen kolları ayrılır.
Sosyalciler sanat ve felsefe deyince
koşarlar; matematik deyince kaçışırlar; lise bitse de şu matematik belasından yakayı kurtarsak derler. Liseden sonra matematiği yanlarına uğratmamaya yeminlidirler. Birinci neden bu. İkinci nedense, matematikçilerin çoğunun kendi fildişi kulelerinde matematiğin esrikleştirici büyüsüne kapılmış olmalarıdır. Onlar
matematik anlatmak değil, matematik yapmak isterler; yani matematikte
buluş yapmak peşindedirler. Bir şair
de kimseye şiir yazmayı öğretmeyi
düşünmez. Matematikçilerin yazdıklarını yalnız kendileri ve matematikçiler (o da bazen) okurlar.
Sosyalciler için genellikle matematik taş gibi ağır, toprak gibi tatsızdır; onlar matematiği hiç düşünmezler. Mühendis ve bilimciler içinse matematik bir araç, mikroskop ya da tansiyon âleti gibi bir şeydir; işe yarar tabii. Ama o kadar. Mikroskopun güzeli mi olur?
Oysa matematikçi çok güzel şiirler yazan, ama onu anlayacak okurlar
bulamayan bir şair gibidir. Matematikçi olmayanlarla arasında uçurumlar
vardır.
Matematikçiler kendilerini bir sanatçı olarak görseler de - ki gerçekten
öyledirler- ne yazık ki sanatçılar onları duygusuz, mermer mantıklı insanlar olarak görürler.
Matematikçi, formülleri kara tahtaya özenle yazar. Onlara saygı duyar.
Karşılarına geçip susarak onları seyreder. O sırada kafasının içinde Beetho102
ven’in 9. senfonisi ya da Mahler’in 1.
senfonisi çalıyor gibidir. Matematikçi,
matematiğe tapar. Pisagorcuların sayılara taptıkları biliniyordu. Pisagorcular
√2’yi (irrasyonel sayıları) tanımıyorlardı; kenarı 1 olan karenin köşegenini
√2 bulunca çok şaşırmışlar, Tanrı’ların
kendilerini çarptığını sanmışlar, bunu
bir sır olarak saklamışlardı.
Matematiksel dünya kafanın içinde, gerçek dünya ise dışındadır. Matematikçi garip bir paradoks içindedir: Kendisi gerçek dünyada yaşar;
ancak üzerinde çalıştığı nesneler o
dünyada yaşamazlar; kafasının içinde
yaşarlar. Bunun için çoğu kez dalgındırlar. Kafanın içinde yaşayan bir şey
daha vardır: Gerçek.
Kepler: “Dünya Güneş etrafında
dönerken bir elips çizer ve Güneş bu
elipsin odaklarından birinde bulunur”.
Matematikçi Alfred Renyi, şöyle
demişti: “İnsanın var olmayan şeyler
hakkında var olanlardan daha çok şey
bilmesi ne gizemli değil mi?”. Matematikçi matematik hakkında gerçek
dünyadan fazla şey bilir. Bazıları
“Matematik insanın dışında da, kafasında da var; matematiği insan icat etmedi” diyorlar. Tartışmalı bir görüş.
Doğada entegral, logaritma, türev,
kök alma vb. var mı? Yok. O halde...
Yalnız şu söylenebilir: “İnsanın kafasında doğan matematik, doğaya uygulanabilmektedir.” Ama her bilimde
böyle değil mi? Doğa, insan beyninin
ürünü olan mantık kurallarına uygundur. Bu nedenle insan mantığının
ürünü olan matematik, doğaya da uygulanabilmektedir.
Matematik evrende varsa ve onu
beynimize ve evrene Tanrı koyduysa
neden matematik bazen yanılmıştır?
Örneğin Ptolemy’nin büyük yanılgısı
(Evren’in merkezi Güneş’tir). Newton’un ışık teorisi neden yanlıştı?
Kepler neden gezegenleri çokyüzlüler içine yerleştirmeye çalıştı? Neden
doğa’da yalnız doğal sayılar var; rasyonel, irrasyonel, aşkın, ondalık sayılar,
log, ln, integral, türev, matris, n boyutlu uzaylar, topolojik garip şekiller
vb. nerede?
Matematikteki yalın güzelliğe iki
örnek verelim. Euler şu formülü bulmuştu. eiθ = cosθ + i sinθ. (θ gerçek
sayı). θ = π için sinθ = 0 ve cosθ = 1’den eiπ = -1. Güzelliğe bakın. Matematiğin birbirinden bağımsız gözüken üç sayısı, natürel logaritmaların
tabanı e, i = √-1 ve π nasıl bir araya
geldi.
Bir başka güzellik. Öklit asal sayıların sonsuz olduğunu basitçe şöyle
kanıtladı: olmayana ergi ile diyelim ki
asal sayılar sonludur; p1, p2, p3... asal
sayılar ve sonuncu asal sayı P olsun.
Hepsini çarpalım: A = (p1.p2.p3.
...P)+1 yazalım. A asal sayı değil (asallar bitti; hepsi parantezin içinde; orada A yok). A, parantez içi sayıların
hiçbirine tam bölünemez; hep 1 artar.
A asal olmadığına göre en az 2 asal
çarpanı vardır ve bu asal çarpanlar parantez içindekilerden ikisi olamaz
(bunların hepsi kalan olarak 1 verir ve
bu yüzden A’nın asal çarpanı olamaz).
Biz asal sayılar P ile bitti demiştik.
Görüyoruz ki A asal değil; A’nın en az
iki tam böleni vardır. A’nın en az bir
asal çarpanı vardır ve bu, parantezimiz içinde değildir. O halde demek ki
P’den daha büyük en az 1 asal sayı
vardır. Aynı yöntem tekrarlanırsa asal
sayıların sonsuz olduğu anlaşılır.
Yazımızı Büyük Alman matematikçisi Jacobi’nin şu güzel sözleriyle
bitirelim: “Ben matematiği insan aklını onurlandırmak için seçtim”.
Selçuk Alsan
Kaynaklar
Boehm, G.A.W., The New World of Mathematics, 1959
Boll, M., Matematik Tarihi, İletişim Yayınları, 1991
Dönmez, A., Matematik Tarihi, 1986.
Hardy, G.H., Bir Matematikçinin Savunması, TÜBİTAK Popüler Bilim Kitapları, Ankara, 1997
İ. Asimov, Biographic Encydopedia of Science and Technology, 1975
King, J.P., Matematik Sanatı, TÜBİTAK Popüler Bilim Kitapları, Ankara,
1997
Sertöz, S., Matematiğin Aydınlık Dünyası, TÜBİTAK Popüler Bilim Kitapları, Ankara, 1998
Wells,D., Matematiğin Gizli Dünyası, (Çeviri: Alsan, S.) Sarmal Yayınevi,
İstanbul, 1997.
Wells,D., Geometrinin Gizli Dünyası, (Çeviri: Alsan, S.) Sarmal Yayınevi,
İstanbul, 1998.
Tema Larousse, Tematik Ansiklopedi.
Bilim ve Teknik