1 SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona

1 SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona

SOYUT CEBİR
Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.
Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm , grubun kendi üzerine
homomorfizmine endomorfizm denir. Sadece birebir olan homomorfizme monomorfizm
denir. Sadece örten olan homomorfizme epimorfizm denir.
Teorem 1: (Temel homomorfizm teoremi – I. İzomorfizm teoremi): Ø:G→G’ bir grup
homomorfizmi ve K=çekf = {e} olmak üzere K G nin bir normal alt grubu olsun. O halde
Ø (G) bir gruptur ve Ø (G) ile G/K arasında bir tabii izomorfizm vardır.
Teorem 2 (II. İzomorfizm teoremi): K ve N , (G,o) grubunun iki alt grubu olsun. ayrıca
N◄G olsun.Buradan K/K∩N=KN/N dir.
Teorem 3 (III. İzomorfizm teoremi): K ve N , (G,o) grubunun iki normal alt grubu olsun ve
N ⊂K olsun.buradan (G/K)/(K/N) = (G/K) dir.
Tanım 3 (G-cümlesi): (G,o) bir grup ve S de bir cümle olsun. f:GxS→S f (g,x) = gx
yazdığımızda her g1 , g2 Є G ve her x Є S için :
1. ex =x
2. (g1,g2)x=g1(g2)x
Şartlarını sağlayan bir f fonksiyonu varsa G grubu S cümlesine etki ediyor denir veya S
cümlesine G-cümlesi denir.
Tanım 4 (Grubun mertebesi): (G,o) bir grup olsun. G cümlesinin eleman sayısına (G,o)
grubunun eleman sayısı denir.
Tanım 5 (Devirli grup): (G,o) bir grup olsun. (G,o) grubunun her elemanının ürettiği alt
gruplardan birisi G ye eşit ise (G,o) grubuna devirli grup denir.
Tanım 6 (Elemanın mertebesi): (G,o) bir grup ve a Є G olsun. (G,o) grubunun a ile üretilen
devirli alt grubunun mertebesine a elemanının mertebesi denir.
Tanım 7 (İndeks): (G,o) bir sonlu grup ve H<G olsun. H ın G deki birbirinden farklı sağ ve
sol ötelemelerinin sayısına H ın G ye göre indeksi denir ve [G;H] ile gösterilir.
Teorem 4 (Lagrange teoremi): (G,o) bir sonlu grup ve H<G olsun. H ın mertebesi G nin
mertebesini tam böler.
İSPAT: G nin eleman sayısı n ve H ın eleman sayısı m olsun. H ın G deki her ötelenmişi m
elemanlıdır. (G,o) sonlu olduğundan bu ötelenmişlerin sayısıda sonludur. Ötelenmişlerin
sayısı r olsun.Bu ötelenmeler G nin bir parçalanışını verir.O halde n=m.r olur.Yani H ın
eleman sayısı G nin eleman sayısını böler.
Tanım 8 (Normal alt grup): (G,o) bir grup ve H<G olsun Her x Є G için x.H =H.x önermesi
doğru ise (H,o) grubuna G nin normal alt grubu denir ve H◄G ile gösterilir.
Tanım 9 (Doğal homomorfizm): (N,o)◄(G,o) olsun. O halde D:G→G/N homomorfizmine
doğal homomorfizm denir.
1
Created with Print2PDF. To remove this line, buy a license at: http://www.software602.com/
Tanım 10 (Torsiyon grubu): (G,o) grubunun her elemanının mertebesi sonlu ise (G,o)
grubuna torsiyon grubu denir. (G,o) grubunun birim elemandan başka hiçbir elemanı sonlu
mertebeden değilse (G,o) grubuna free(serbest) grup denir.
Tanım 11 (Basit grup): Bir grubun basit alt gruplarından başka normal alt grubu yoksa bu
gruba basit grup denir.
Tanım 12 (Bölüm grubu): (G,o) bir grup ve H◄G olsun.H ın G deki birbirinden farklı
ötelenmişlerinin cümlesine bölüm cümlesi denir ve G/H ile gösterilir.G/H cümlesi G nin alt
grupları arasındaki çarpma işlemine göre bir gruptur. Bu gruba bölüm grubu denir.
Tanım 13 (Betti sayısı): F sonlu üretilmiş bir sonlu abel grup olsun. O halde : F:ZXZX...XZ
(m-tane) olacak şekilde pozitif bir m tamsayısı vardır. Bu sayıya F nin betti sayısı denir.
Teorem 5 (Cayley teoremi): Her grup uygun bir S cümlesinin permütasyonları grubunun alt
grubuna izomorftur.
Tanım 14 (İzotropi grubu): Gx = { g Є G | gx=x } cümlesi (G,o) grubunun bir alt grubudur.
Bu alt gruba x i sabit tutan alt grup yada x in izotropi grubu denir.
Tanım 15 (Merkezleştirici): (G,o) bir grup olsun. (G,o) nin bir alt grubu G cümlesine eşlenik
olma bağıntısı ile etki etsin.Hx = {h Є H | hxh-1 = x } izotropi grubuna x in H daki
merkezleştiricisi denir.
Tanım 16 (P-grubu): G bir grup ve p bir asal sayı olsun. o halde G nin her elemanının
mertebesi p nin bir kuvveti ise G grubuna p-grubu denir.
Tanım 17 (Sylow p-alt grubu): (G,o) bir grup ve H da G nin bir p-alt grubu olsun. bu alt
grup G nin maksimal p-alt grubu ise H a G nin sylow p-alt grubu denir.
Teorem 6 (Cauchy teoremi): (G,o) sonlu bir grup ve p bir asal sayı olsun.Eğer p sayısı G nin
mertebesini bölüyorsa G nin mertebesi p olan bir elemanı vardır.
Teorem 7 (I. Sylow teoremi): p bir asal sayı ve (p,m) = 1 olmak üzere G nin mertebesi pn m
olsun. 1≤i≤n olacak şekilde G nin mertebesi pi olan her alt grubu G nin mertebesi pi+1 olan alt
grubunda normaldir.
Teorem 8 (II.Sylow teoremi): (G,o) sonlu bir grup olsun. G grubunun bir p-alt grubu H ve
bir sylow p-alt grubu P olsun. H<xPx-1 olacak şekilde x Є G vardır. Ayrıca G nin özellikle iki
sylow p-alt grubu eşleniktir.
Teorem 9 ( III.Sylow teoremi): (G,o) sonlu bir grup ve p bir asal sayı olsun. O halde G nin
sylow p-alt gruplarının sp sayısı O(G) yi böler. Uygun bir k≥0 tam sayısı için sp = k.p+1 dir.
Tanım 18 (Birli işlem): Boş olmayan bir A cümlesinden A ya tanımlanan fonksiyona yani
f:A→A ifadesine birli işlem denir.
Tanım 19 (İkili işlem): A≠Ø , α≠Ø ve α ⊂AXA olsun. *: α→A şeklinde tanımlanan
fonksiyona ikili işlem denir.
2
Created with Print2PDF. To remove this line, buy a license at: http://www.software602.com/
Tanım 20 (Yarı grup): A cümlesi “o” işlemine göre kapalı olsun. Eğer “o” işleminin
birleşme özelliği varsa (A,o) ikilisine yarı grup denir.
Tanım 21 (Regüler eleman): (A,o) bir yarı grup olsun.Her x , y Є A için : aox = aoy ⇒
x = y önermesi doğru ise a elemanına soldan regüler eleman denir. Her x , y Є A için : xoa =
xoy ⇒ x = y önermesi doğru ise a ya sağdan regüler eleman denir.
Tanım 22 (Birim eleman): Bir A cümlesinde tanımlanan “o” ikili işlemi verilmiş olsun. Her
x Є A için ∃ e Є A vardır öyle ki xoe =eox =x oluyorsa e ye “o” işlemine göre birim eleman
denir.
Tanım 23 (Ters eleman): A cümlesinde “o” işlemi verilmiş olsun. bu işleme göre A da
birim eleman olduğunu ve e ile gösterildiğini kabul edelim. Her x Є A için ∃y Є A vardır
öyle ki xoy = yox = e oluyorsa y elemanına x elemanının “o” işlemine göre tersi denir.
Tanım 24 (Cebirsel yapı): Üzerinde en az bir ikili işlem tanımlı boş olmayan bir kümeye
cebirsel yapı denir.
Tanım 25 (Bağıntı): A ve B cümleleri verildiğinde AXB nin her alt cümlesine A dan B ye bir
bağıntı denir.
Tanım 26 (Denklik bağıntısı): β A da bir bağıntı olsun. Aşağıdaki şartları sağlayan β
bağıntısına denklik bağıntısı denir.
1. ∀ a Є A için a β a ( Yansıma özelliği)
2. ∀ (a,b) Є β için (b,a) Є β (Simetri özelliği)
3. ∀ (a,b) Є β için (a,b) Є β ve (b,c) Є β ise (a,c) Є β (Geçişme özelliği)
Tanım 27 (Grup): (G,o) cebirsel yapısı aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bu yapıya grup
denir.
1. G cümlesi “o” işlemine göre kapalıdır.
2. ∀ x,y,z Є G için (xoy)oz = xo(yoz) (Birleşme özelliği)
3. ∀ x Є G için ∃ y Є G bulmalıyız ki xoy = yox = x olsun. (Birim eleman)
4. ∀ x Є G için ∃ y Є G bulmalıyız ki xoy = yox = e olsun. (Ters eleman)
Tanım 28 (Abel grup): (G,o) bir grup olsun. Eğer ∀ x,y Є G için xoy = yox önermesi doğru
ise (G,o) bir değişimli yada abel gruptur denir.
Tanım 29 (Alt grup): G grubunun boş olmayan bir alt cümlesi olan H G deki işleme göre bir
grup oluşturuyorsa H alt cümlesine G grubunun alt grubu denir.
Tanım 30 (Alt gruplar ailesi): I indisler cümlesi olmak üzere ∀ i Є I için (Hi ,o) çarpımsal
grubu için (Hi ,o)< (Gi,o) ise { Hi | i Є I } cümlesine G nin alt gruplar ailesi denir.
Tanım 31 (Permütasyon): Boş olmayan bir A cümlesi verilmiş olsun. A dan A ya birebir ve
örten bir fonksiyona A da bir permütasyon denir.
Tanım 32 (Permütasyonlar grubu): Boş olmayan bir A cümlesinin
permütasyonlarının oluşturduğu (PA , o) grubuna A nın permütasyonları grubu denir.
bütün
3
Created with Print2PDF. To remove this line, buy a license at: http://www.software602.com/
Tanım 33 (Tek ve çift permütasyon): Bir permütasyon σ Є Sn olsun. σ permütasyonu çift
sayıda transpozisyonun çarpımı şeklinde yazılabiliyorsa σ ya çift permütasyon denir. Eğer σ
permütasyonu tek sayıda transpozisyonun çarpımı şeklinde yazılabiliyorsa σ ya tek
permütasyon denir.
Tanım 34 (Grup homomorfizmi): (G,o) ve (H,*) iki grup olsun.f:G→H fonksiyonu
∀x,y Є G için : f(xoy) = f(x)*f(y) şartını sağlıyorsa f fonksiyonuna G den H a bir grup
homomorfizmi denir.
Tanım 35 (İzomorfizm): f: G→H homomorfizmi birebir ve örten ise bu homomorfizme
izomorfizm denir.
Tanım 36 (Halka): Boş olmayan H cümlesinde “+” ve “ *” işlemleri tanımlansın. O halde
(H,+,*) cebirsel yapısı aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa bu matematiksel yapıya halka denir.
1. (H,+) bir abel gruptur.
2. H cümlesi ”*” işlemine göre kapalıdır.
3. H cümlesi “*” işlemine göre birleşme özelliğine sahiptir.
4. “*” işleminin “+” işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
Tanım 37 (Halkanın sıfırı): (H,+,*) bir halka olsun. (H,+,*) halkasının “+” işlemine göre
birim elemanına halkanın sıfırı denir.
Tanım 38 (Değişimli ve birimli halka): (H,+,*) bir halka olsun. Eğer ikinci işlemin değişme
özelliği varsa (H,+,*) halkasına değişimli halka denir.Eğer ikinci işlemin birim elemanı varsa
bu halkaya birimli halka denir.
Tanım 39 (Yarı cisim): Birimli bir halkada halkanın sıfırı dışındaki her elemanının ikinci
işleme göre tersi varsa bu halkaya yarı cisim denir.
Tanım 40 (Cisim): Değişimli yarı cisme cisim denir.
Tanım 41 (Alt halka): (H,+,*) bir halka olsun. S ise H ın boş olmayan bir alt cümlesi olsun.
(S,+,*) cebirsel yapısı bir halka ise bu halkaya (H,+,*) halkasının alt halkası denir. ({O},+,*)
ve (H,+,*) alt halkalarına (H,+,*) halkasının basit halkaları denir. Bunlardan başka alt
halkalarına tam halka denir.
Tanım 42 (Asal cisim): Herhangi bir cismin kendisinden başka alt cismi yok ise bu cisme
asal cisim denir. Örneğin : (IR,+,*) bir asal cisim değildir çünkü (IR,+,*) cisminin bir alt
halkası (Q,+,*) dır.
Tanım 43 (Sıfırın bölenleri): (H,+,*) halkasının sıfırı O olsun. Bazı a,b Є H lar için : a≠O
ve b≠O ⇒ a*b=O önermesi doğru ise a ya sıfırın sol böleni ve b ye sıfırın sağ böleni denir.
Eğer halka değişimli ise a ve b ye sıfırın bölenleri denir. Örneğin: (Z,+,*) sonlu olmadığından
sıfırın bölenleri yoktur.
Tanım 44 (Tamlık bölgesi): Değişimli ve birimli bir halkada sıfırın bölenleri yoksa bu
halkaya tamlık bölgesi denir. Örneğin: (Z,+,*) birimli ve değişimli bir halkadır ve sıfırın
bölenleri yoktur. O halde bir tamlık bölgesidir. (ℂ,+,*) bir tamlık bölgesi değildir.
4
Created with Print2PDF. To remove this line, buy a license at: http://www.software602.com/
Tanım 45 (Halkanın karakteristiği): (H,+,*) halkasının sıfırı O olsun. O halde ∀ x Є H
için ∃n Є Z+ olacak şekilde n*x = O şartını sağlayan en küçük pozitif n tamsayısına halkanın
karakteristiği denir. Eğer böyle bir n tamsayısı yok ise halkanın karakteristiği O dır denir.
Tanım 46 ( İdeal): (H,+,*) bir halka I⊂ H ve I≠Ø olsun. O halde (I,+) ≤(H,+) olmak üzere :
1. ∀ x Є H ve ∀ a Є I için x*a Є I ise I ya halkanın sol ideali denir.
2. ∀ x Є H ve ∀ a Є I için a*x Є I ise I ya halkanın sağ ideali denir. I halkanın hem sağ
hem de sol ideali ise I ya halkanın ideali denir. Örneğin : 3Z idealdir.
Tanım 47 (Basit ideal): (H,+,*) halkasının sıfırı O olsun. O halde {O} ve H ideallerine
halkanın gerçek olmayan idealleri veya basit idealleri denir. Eğer halkanın bunlardan başka
bir ideali varsa bu ideale halkanın gerçek ideali denir.
Tanım 48 (Basit halka): Gerçek ideali olmayan halkaya basit halka denir.
Tanım 49 (Temel ideal): (H,+,*) halkasının sol ideali I olsun. I = { x Є H |∀ h Є H ,∃n Є Z
için x = h*a } olarak yazılabiliyorsa I ya halkanın sol temel ideali denir. (H,+,*) halkasının
sağ ideali I olsun.I = { x Є H | ∀ h Є H ,∃n Є Z için x = a*h } yazılabiliyorsa I ya halkanın
sağ temel ideali denir. I halkanın hem sol hem de sağ temel ideali ise I ya halkanın temel
ideali denir. Örneğin : 3Z cümlesi (Z,+,*) halkasının temel idealidir. Çünkü 3Z cümlesi
(Z,+,*) halkasının idealidir. Ayrıca 3Z = {x Є H | ∀ h Є H için x = 3h = h3 } olarak
yazılabildiğinden dolayı burada 3Z cümlesi (Z,+,*) halkasının bir temel idealidir.
Tanım 50 (Temel ideal halkası): Değişimli ve birimli bir halkanın her ideali temel ideal ise
bu halkaya temel ideal halkası denir.
Tanım 51 (Asal ideal): Değişimli bir (H,+,*) halkasının H dan farklı bir ideali I olsun.
∀ h, k Є H için h*k Є I ⇒ h Є H ve k Є I önermesi doğru ise I ya asal ideal denir.
Tanım 52 (Maximal ideal): (H,+,*) halkasının bir ideali I olsun. I yı gerçek ideal olarak alan
bu halkanın gerçek ideali yok ise I ya halkanın maximal ideali denir. Örneğin : 3Z (Z,+,*)
halkasının bir maksimal idealidir.
Tanım 53 (Bölüm halkası): (H,+,*) halkasının ideali I olsun. O halde ∀ a + I , b + I Є H/I
için (a +I) ⊕(b + I) = a + b ve ayrıca (a + I) ⊙(b + I) = a*b +I şeklindedir. H/I cümlesi “⊕”ve
“⊙”işlemlerine göre bir halkadır. Bu halkaya bölüm halkası denir.
Tanım 54 (Halka homomorfizmi): (H,+,*) ve (T, ⊕,⊙) iki halka olsun. f:H→T fonksiyonu
∀ x,y Є H için :
1. f(x +y) = f(x) ⊕f(y)
2. f(x*y) = f(x) ⊙f(y)
şartlarını sağlıyorsa f fonksiyonuna halka homomorfizmi denir.
Tanım 55 (Halkanın çekirdeği): (H,+,*) halkasının sıfırı O ve (H’, ⊕,⊙) halkasının sıfırı e’
olsun. f:H→H’ bir halka homomorfizmi olmak üzere K = çekf = { x Є H | f(x) =e’ }
cümlesine f homomorfizminin çekirdeği denir.
5
Created with Print2PDF. To remove this line, buy a license at: http://www.software602.com/
Tanım 56 (Polinom): H bir halka olsun. H ın a0 , …., an …. Elemanlarının sonlu sayıdakileri
sıfırdan farklı ve diğerleri sıfır olmak üzere (a0 , …., an) dizisine H üzerinde bir polinom
denir.
Tanım 57 (Polinom halkası): (H,+,*) halkası üzerindeki polinomların H[X] = {p| p =
(a0,….an),ai Є H } cümlesi (a0,….an) ⊕ (b0 ,….bn) = (a0 + b0,…., an + bn) ve
(a0,….an) ⊙(b0,….bn) = (d0,…., dn ) işlemlerine göre bir halkadır bu halkaya polinom halkası
denir.
Tanım 58 (Halkanın belirsizi): (H[X] , ⊕,⊙) polinom halkasının x = (0,1,0,…..) elemanına
halkanın belirsizi denir.
Tanım 59 (Öklidiyen halka): Değişimli (H,+,*) halkasının sıfırı O olsun. H-{O} da
Z+ ∪{O} cümlesine aşağıdaki iki şartı sağlayan bir d fonksiyonu varsa (H,+,*) halkasına
öklidiyen halka denir.
1. ∀ a,b Є H-{O} için d(a) ≤ d(ab)
2. ∀ a,b Є H-{O} için a =bt +r olacak şekilde H da t ve r elemanları r =0 ve d(r) <d(b)
olacak şekilde bulunurlar.
Teorem 10: Sonlu sıradan bir cismin karakteristiği pozitiftir.
Teorem 11: Bir cismin gerçek ideali yoktur.
Teorem 12: Her cisim bir tamlık bölgesidir.
Teorem 13: Bir cismin karakteristiği ya sıfırdır yada asaldır.
Teorem 14: (H,+,*) bir tamlık bölgesi olsun. H sonlu ise (H,+,*) bir cisimdir.
Teorem 15: Devirli her grup değişmelidir.
Teorem 16: n. Basamaktan devirli her grup (Zn,⊕) grubuna izomorftur.
Teorem 17: Sonsuz basamaktan devirli her grup (Z,+) grubuna izomorftur.
Teorem 18: Her cismin bir asal alt cismi vardır.
Teorem 19: Değişimli ve birimli bir halkanın gerçek ideali yok ise bu halka bir cisimdir.
Teorem 20: (H,+,*) tamlık bölgesi I cümlesi bunun bir ideali olsun. (H/I,+,*) halkasının
cisim olması için gerek ve yeter şart I nın maximal ideal olmasıdır.
6
Created with Print2PDF. To remove this line, buy a license at: http://www.software602.com/
7
Created with Print2PDF. To remove this line, buy a license at: http://www.software602.com/